El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Cuántica sin fórmulas - Superposiciones cuánticas

Por tercera semana consecutiva seguimos enzarzados en la serie Cuántica sin fórmulas, tratando de desentrañar los secretos de los estados cuánticos. Hace dos semanas hablamos acerca del concepto de estado cuántico, y la semana pasada lo hicimos sobre un tipo de estados especiales: los eigenestados, estados propios o autoestados de un observable determinado. Como espero que recuerdes, una de las propiedades fundamentales de los autoestados era que se trataba de lo que llamamos “estados incompatibles”. Como dije entonces, esta propiedad proporciona a los autoestados una enorme potencia para describir cualquier otro estado cuántico del sistema (al menos, en lo que se refiere al observable al que describen). Hoy nos centraremos precisamente en esto, y trataremos de escribir cualquier estado de nuestra “moneda cuántica” en función de sus estados propios utilizando, por supuesto, la elegante notación bra-ket de Dirac. Hablaremos sobre las superposiciones cuánticas, utilizando las mismas simplificaciones abyectas de los artículos anteriores.

Cthulhu

La cara de Cthulhu tras enfrentarse a los espacios de Hilbert. Crédito: Wikipedia/FDL.

Para empezar, debemos profundizar algo más en el concepto de “estados incompatibles”, puesto que si no conoces cálculo vectorial –y no parto de la base de que lo conozcas– no es sencillo entender las implicaciones del hecho de que, por ejemplo, $\left \langle cara | cruz \right \rangle = 0$. Naturalmente, de lo que sí parto es de que entiendes la expresión que acabo de escribir; si no es así, mejor retrocedes a los artículos anteriores.

Los dos eigenestados de la moneda, $\left | cara \right \rangle$ y $\left | cruz \right \rangle$, establecen las dos únicas posibilidades que pueden medirse del observable lado de la moneda; cualquier otro estado se “colapsa” a uno de estos dos estados una vez que observamos la moneda. Es más: cualquier estado anterior, como vimos en las entradas anteriores, viene a ser una medida de la probabilidad de que, al observar la moneda, su estado sea $\left | cara \right \rangle$ o $\left | cruz \right \rangle$.

Es como si cualquier estado pudiera ser “completamente $\left | cara \right \rangle$”, “completamente $\left | cruz \right \rangle$”, o una combinación de los dos: “casi completamente $\left | cara \right \rangle$ y un poquito $\left | cruz \right \rangle$”, “prácticamente $\left | cara \right \rangle$ pero un poco $\left | cruz \right \rangle$”, “medio $\left | cara \right \rangle$ y medio $\left | cruz \right \rangle$”, etc. Es decir, puede pensarse en los estados de la moneda como superposiciones de los dos autoestados. Esto es posible, precisamente, por la “estúpida propiedad” que mencionamos en el artículo anterior: la incompatibilidad de los dos estados o, matemáticamente, por la perpendicularidad entre los dos autoestados .

Una manera bastante visual de representar las posibilidades del estado de la moneda es utilizar coordenadas espaciales: esto requiere cierta imaginación y que te abstraigas, pues no son coordenadas espaciales del espacio euclidiano. Imagina que dibujamos dos ejes: voy a llamar al eje horizontal “eje cara” y al eje vertical “eje cruz”. Ambos ejes van de 0 a 1 (porque, si sabes algo de cuántica, como hicimos en la entrada anterior suponemos que los estados están normalizados y ese 1 significa “100%”), con lo que al final, tenemos un cuadrado de lado 1 como éste, en el que el origen –el punto $(0,0)$– está en la esquina inferior izquierda:

Cuadrado

Mi intención es ahora convencerte de que podemos representar cualquier estado posible de la moneda en ese cuadrado. Empecemos por los dos más evidentes: el estado $\left | cara \right \rangle$ está puramente sobre el “eje cara” horizontal, y no tiene absolutamente nada de “cruz”, con lo que sus coordenadas en nuestro cuadrado serían $(1,0)$, y en el dibujo se encuentra aquí:

Cuadrado 1,0

Lo mismo sucede con el otro autoestado, $\left | cruz \right \rangle$: en este caso, por supuesto, sucede al contrario. No tiene nada de “horizontal” (cara) y es completamente “vertical” (cruz), de modo que sus coordenadas en nuestro cuadrado son $(0,1)$:

Cuadrado 0,1

Cualquier otro estado de la moneda puede dibujarse como un punto dentro del cuadrado, pero ¡ojo!, es fundamental que entiendas este breve párrafo para comprender realmente la naturaleza de nuestra representación de estados en función de $\left | cara \right \rangle$ y $\left | cruz \right \rangle$: todos los estados posibles son puntos dentro del cuadrado, pero no todos los puntos del cuadrado son estados posibles.

Por ejemplo, fíjate en el punto $(1,1)$:

Cuadrado 1,1

¡Es imposible que ese punto se corresponda con un estado de nuestra moneda! Significaría que ese estado es un 100% $\left | cara \right \rangle$ y un 100% $\left | cruz \right \rangle$ a la vez, ¡absurdo! Como recordarás, en el artículo anterior definimos $\left \langle estado1 | estado2 \right \rangle$ como el “grado de compatibilidad” de un estado con otro, y dijimos que su valor máximo era 1, cuando ambos estados eran el mismo. Aunque no voy a entrar en cálculo vectorial aquí, esa condición, en nuestro cuadrado, se traduce al hecho de que la distancia de cualquier estado al origen debe ser exactamente 1. Esto garantiza, entre otras cosas, que la probabilidad de observar “cara” o “cruz” al mirar la moneda sea siempre del 100% en total.

Puedes mirarlo de este modo: cualquier estado que no esté a una distancia 1 del origen no puede ser un estado real, porque al sumar las probabilidades de obtener “cara” y de obtener “cruz” al medir el valor del lado de la moneda, obtendríamos un valor de menos del 100% (en cuyo caso la moneda puede estar en algún estado que no es $\left | cara \right \rangle$ ni $\left | cruz \right \rangle$ al observarla y, entonces, hay algún autoestado que no habíamos considerado) o mayor del 100% (y entonces a veces es posible que la moneda esté al mismo tiempo en $\left | cara \right \rangle$ y $\left | cruz \right \rangle$, lo cual significa que esos estados no son autoestados). En cualquiera de los dos casos habríamos metido la pata: o faltan autoestados en un caso, o no son autoestados en el otro.

¿Ves ahora qué puntos de nuestro cuadrado se corresponden con estados posibles de la moneda? Si sabes geometría, probablemente ya lo ves: los puntos del interior del cuadrado que están a una distancia de 1 del origen, es decir, un cuarto de circunferencia. Pero hay una forma muy fácil de verlo, incluso si no estás muy puesto en geometría. Puesto que cualquier estado real de la moneda está a una distancia de 1 del origen (es decir, de la esquina inferior izquierda de nuestro cuadrado), imagina que tenemos una barra de longitud 1, y que ponemos un extremo justo en la esquina inferior izquierda: el otro extremo se encuentra siempre a una distancia 1 de ese punto, con lo que cualquier estado real de la moneda está sobre el otro extremo de la barra – si ahora movemos la barra (siempre con un extremo sobre el origen), el extremo opuesto “pinta” todos los posibles estados de la moneda, es decir, todos los puntos del cuadrado que distan 1 del origen:

Circunferencia

Pensemos un momento en las consecuencias de lo que acabamos de hacer, que es bastante más profundo de lo que puede parecer en un principio:

En primer lugar, fíjate en ese trozo de circunferencia que acabamos de dibujar, y que representa gráficamente todos los estados posibles de la moneda. Como dijimos en la entrada anterior, hay infinitos estados, puesto que esa línea contiene infinitos puntos. Dos de ellos son especiales: los que se encuentran justo sobre los ejes, es decir, $(1,0)$ y $(0,1)$, que se corresponden con $\left | cara \right \rangle$ y $\left | cruz \right \rangle$. Permite que los escriba de una manera un tanto estúpida pero que –espero– pronto sea reveladora: $\left | cara \right \rangle = 1 \left | cara \right \rangle + 0 \left | cruz \right \rangle$, y $\left | cruz \right \rangle = 0 \left | cara \right \rangle + 1 \left | cruz \right \rangle$.

Cualquier otro estado posible de la moneda puede expresarse como un punto $(x,y)$ de ese cuadrado. Pero fíjate en lo que esto significa: las coordenadas $x$ e $y$ del punto nos indican cuánto de $\left | cara \right \rangle$ y cuánto de $\left | cruz \right \rangle$ tiene. Es decir, el punto $(x,y)$ representa un estado que podemos escribir como $\left | estado \right \rangle = x \left | cara \right \rangle + y \left | cruz \right \rangle$:

Punto x,y

En nuestras coordenadas del cuadrado, ¿cómo escribiríamos el estado $\left | agitada \right \rangle$ del que hablamos hace dos artículos? Si lo recuerdas, se trataba del estado de la moneda cuando Dirac había agitado la caja una vez y nadie había mirado aún dentro de ella. Es posible que tu primer impulso sea decir que $\left | agitada \right \rangle = \frac{1}{2} \left | cara \right \rangle + \frac{1}{2} \left | cruz \right \rangle$, pero fíjate en nuestro cuadrado: el punto que representa ese estado, es decir, el punto $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ no está a una distancia 1 del origen, está en el interior de la circunferencia, no sobre su borde.

No voy a entrar aquí en fórmulas matemáticas, pero gráficamente creo que es fácil ver que el punto que tiene “lo mismo de cara que de cruz” es el punto que se encuentra justo en el medio de nuestro arco de circunferencia, y sus coordenadas se pueden calcular utilizando el Teorema de Pitágoras (sumando el cuadrado de los dos catetos, es decir, las dos coordenadas $x$ e $y$, debe obtenerse la hipotenusa, es decir, 1). Sólo hay un punto que tenga lo mismo de cara que de cruz y diste 1 del origen:

Punto x2,y2

Las coordenadas de ese punto, por si te interesan, son $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$, y el estado $\left | agitada \right \rangle$ sí puede escribirse como $\left | agitada \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left | cara \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \left | cruz \right \rangle$. Por supuesto, cualquier otro estado también puede escribirse como una combinación “ponderada” de los autoestados.

En segundo lugar, piensa en lo que acabamos de hacer: hemos representado todos los estados posibles de la moneda en un “sistema de coordenadas” que acabamos de inventar, en el que hemos empleado los dos estados propios como dimensiones. Hemos creado, por lo tanto, un espacio conceptual de dos dimensiones, dentro del cual se encuentran localizados (conceptualmente, claro) absolutamente todos los posibles estados de la moneda. No sé a ti, pero a mí esto me parece algo apabullante: los infinitos estados, constreñidos a una línea imaginaria (el arco de circunferencia) en un espacio conceptual cuyas dimensiones son los propios eigenestados del sistema.

No es necesario, por lo tanto, realizar complejos cálculos para determinar todos los posibles estados de la moneda: sólo hace falta calcular dos estados. Para cualquier otro estado sólo tenemos que calcular dos números: sus coordenadas en nuestro espacio bidimensional cara-cruz. Sí, a veces puede ser peliagudo calcular esos dos números, pero no me negarás que es una tarea menos imponente que enfrentarse a los infinitos estados posibles “a pelo”.

Pero es que hay mucho más: ten en cuenta que, hasta ahora, hemos trabajado con nuestra moneda, el sistema más simple que he podido imaginar. Creo que estamos listos para ir más allá. Imagina que tenemos un sistema algo más complejo que la moneda, aunque no mucho más: un dado de seis caras. En este caso voy a describir el sistema, los autoestados y todo lo demás bastante más rápido que en el caso de la moneda, porque parto de la base de que tienes el sistema de la moneda superado.

Simplificando todo lo necesario, nuestro sistema –el dado– tiene un observable, el lado que muestra al mirarlo. Al lanzar el dado, éste puede mostrar seis posibles valores del observable lado, es decir, puede mostrar 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Estos seis valores se corresponden, por supuesto, con los seis autoestados del sistema, que son los seis estados en los que puede encontrarse el dado una vez que lo hemos lanzado. Llamemos a estos seis autoestados como sus valores asociados, para que sea evidente cuál es cuál: $\left | 1 \right \rangle$, $\left | 2 \right \rangle$, $\left | 3 \right \rangle$, $\left | 4 \right \rangle$, $\left | 5 \right \rangle$ y $\left | 6 \right \rangle$.

¿Cómo representar todos los demás estados del dado que no son autoestados? Pues, una vez más, utilizando los autoestados como las dimensiones de nuestro espacio conceptual. En este caso, y se trata de un simple y vulgar dado, ya aparecen cosas bien abstractas: no se trata ahora de un espacio de dos dimensiones, como en el caso de la moneda, ni de tres dimensiones como el que vemos con los ojos cuando miramos al mundo… se trata de un espacio de seis dimensiones, las correspondientes a los seis estados propios del dado.

Como comprenderás, en este caso no puedo utilizar dibujos para ayudarte a verlo, porque Geli todavía no ha aprendido a dibujar en 6D, pero sí podemos intentar imaginar –hasta donde es posible– a qué equivale la cosa. En el caso de la moneda teníamos dos dimensiones y dos coordenadas, ahora tenemos seis. En este espacio imaginario, cualquier estado del dado podría escribirse como un punto $(x,y,z,p,q,r)$, donde esas letras son las coordenadas del punto en el espacio. Todos los estados posibles del dado son puntos de ese tipo pero, una vez más, no todos los puntos posibles son estados del dado. No hace falta dibujar nada para ver esto: por ejemplo, creo que estarás de acuerdo conmigo en que el punto $(1,1,1,1,1,1)$ no es un estado posible, está “fuera de la circunferencia”.

Pero, claro, ahora no hay una circunferencia: estamos hablando de seis dimensiones. Imagina –para que sea más fácil de ver– que hubiéramos aumentado las dimensiones, pero no hasta seis, sino hasta algo más asequible: tres dimensiones, algo que sí podemos visualizar. En ese caso, la condición que pusimos (los puntos posibles son aquéllos que están a una distancia 1 del origen) se traduciría, no en los puntos del cuadrado que disten 1 del origen, es decir, un cuarto de circunferencia, sino en los puntos de un cubo de tres dimensiones que disten 1 del origen, es decir… una esfera. Si tienes visión espacial, espero que no tengas problema para ver eso – el conjunto de puntos del espacio que distan 1 de un punto determinado constituye una esfera en tres dimensiones.

En seis dimensiones, por supuesto, no aparece una esfera, pero la condición sigue siendo la misma: es el conjunto de puntos que están a una distancia 1 del origen. La generalización del concepto de “esfera” a un espacio de n dimensiones recibe el nombre de hiperesfera o n-esfera, y es lo que se obtiene en este caso. Sé que suena un poco a ciencia-ficción, pero los infinitos estados posibles del dado constituyen una hiperesfera en el espacio de seis dimensiones formado por los autoestados.

Dado

Sistema de descripción hiperesférica hexadimensional, vulg. “dado”. Crédito: Wikipedia/FDL .

Por ejemplo, el estado del dado justo antes de lanzarlo (suponiendo que no hacemos trampa y que nada favorece que salga un lado más probablemente que otro) es un estado que tiene lo mismo de todos los autoestados. No, no es $\frac{1}{6}$ de cada uno, porque entonces la distancia no sería 1: recuerda el caso de la circunferencia y cómo las coordenadas del “punto medio” no eran $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, sino $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$. En este caso sucede lo mismo, y podemos escribir el “punto medio” entre todos los estados como $(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}})$.

En notación bra-ket, si llamamos al estado del dado antes de lanzarlo $\left | previo \right \rangle$, podemos decir que $\left | previo \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 1 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 2 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 3 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 4 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 5 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 6 \right \rangle$. Quitémonos un sombrero n-dimensional ante Paul Dirac y compañía, señores.

Ah, pero la cosa no acaba aquí: si crees que los cuánticos se conforman con trabajar con espacios de seis dimensiones es que los subestimas. Apliquemos nuestra nueva “representación espacial” a un caso aún más complejo, y del que hemos hablado ya en la serie anteriormente: el pozo de potencial infinito. Si te hace falta, no dudes en releer la entrada antes de seguir con este artículo.

Como recordarás, una partícula dentro del pozo infinito no podía tener cualquier energía: sólo podía tener unos valores determinados. El valor más pequeño era el correspondiente al estado fundamental, y según aumentaba el número de nodos de la onda lo hacía también la energía que medíamos al mirar al electrón. ¿Qué quiere decir todo esto en los términos que venimos manejando ahora? En primer lugar, el observable que estamos midiendo en este caso es la energía del electrón, y cuando lo hacemos obtenemos una serie de posibles valores – no todos son posibles, sino sólo los correspondientes a los “escalones” que describimos en aquella entrada.

Es decir, las energías de cada escalón (la del estado con dos nodos, la del de tres, la del de cuatro, etc.) son los autovalores de la energía del sistema. Y los estados del electrón que describimos entonces son los autoestados del sistema. En aquel entonces nos limitamos a cavilar sobre lo que sucedía cuando mirábamos al electrón, pero ahora estamos listos para describir el estado del electrón en cualquier momento, no sólo al medir su energía.

Pero ahora la cosa es todavía más abstracta que en en el caso del dado. Como espero que recuerdes de aquel artículo sobre el pozo infinito, existen infinitos escalones de energía. Es decir, al construir ahora nuestro “espacio conceptual” utilizando los autovalores del electrón como las dimensiones del espacio… hay infinitas dimensiones, una por cada autoestado posible del electrón.

Llamemos, por ejemplo, $\left | E0 \right \rangle$ al estado fundamental del electrón (la onda de dos nodos en los extremos), $\left | E1 \right \rangle$ al siguiente “escalón”, $\left | E2 \right \rangle$ al siguiente, etc. Entonces, cualquier estado posible del electrón –antes o después de mirarlo– puede expresarse como un punto en un espacio de infinitas dimensiones, cuyas coordenadas serán $(a,b,c,d,…)$. Sí, dentro del paréntesis hay infinitas coordenadas. Raro, ¿eh?

En nuestra notación de Dirac, cualquier estado del electrón puede escribirse como $\left | E \right \rangle = a \left | E0 \right \rangle + b \left | E1 \right \rangle + c \left | E2 \right \rangle + d \left | E3 \right \rangle …$ y así hasta el infinito. Naturalmente, algunos de los estados posibles del electrón no son sumas infinitas, porque tal vez no incluyen a todos los autoestados, sino que muchas de sus coordenadas son cero. Por ejemplo, supongamos que el electrón se encuentra “a medias” entre los estados $\left | E0 \right \rangle$, $\left | E1 \right \rangle$ y $\left | E2 \right \rangle$. Entonces, su estado será (recuerda que la distancia debe ser siempre 1, y las raíces correspondientes) $\frac{1}{\sqrt{3}} \left | E0 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \left | E1 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \left | E2 \right \rangle$.

Pero, por supuesto, otros estados sí pueden involucrar infinitas coordenadas no nulas. Es decir, en general, un estado cuántico se corresponde con un punto cualquiera de una hiperesfera en un espacio de infinitas dimensiones. Podrías pensar que, llegados a este punto, sólo hay dos opciones: asumir la propia demencia y hundirse en un mundo de ilusión y fantasía delirantes, o abandonar cualquier esperanza de estudiar estas cosas. Sin embargo, curiosamente, para cuando la cuántica alcanzó este grado de madurez, las matemáticas ya habían llegado hasta aquí.

Sí, puede resultar extraño, pero alguien había definido ya el concepto de un espacio parecido al euclídeo que podemos ver, pero con infinitas dimensiones, y había desarrollado las matemáticas necesarias para operar con esos espacios. Ese genio –porque no merece otro calificativo– no es otro que David Hilbert, que ya ha aparecido en El Tamiz hace un tiempo (también hablando en aquella ocasión del concepto de infinito). Y estos espacios conceptuales reciben el nombre, en su honor, de espacios de Hilbert.

Puede parecer que no es posible algo más abstracto y difícil de imaginar que el caso del pozo infinito y similares, pero lo hay; no vamos a hablar de ello hoy, porque tiene sutilezas que deberíamos preparar mejor, pero si conoces la diferencia entre un número infinito pero contable y otro incontable (como, por ejemplo, la diferencia entre los números naturales y los números reales) puedes comprender el horror en el que puede convertirse todo esto: en el caso del pozo infinito existen tantos estados como números naturales hay… pero también es posible tener un número infinito e incontable de dimensiones en un espacio de Hilbert. Por ejemplo, recordarás que la energía de un sistema cuántico “encerrado”, como el electrón en el pozo infinito, sólo puede tomar valores escalonados… pero esto no sucede para un sistema libre: un electrón –por decir una partícula concreta– que viaja libre por el espacio puede tener cualquier energía. Entonces, los infinitos autoestados del sistema no son valores discretos, sino cualquier valor real de la energía. Tenemos entonces un espacio ∞-dimensional con tantas coordenadas como existen números reales. Si no puedes imaginarlo, bienvenido al club: ¡cállate y calcula! (al menos a ti, a diferencia de mí, alguien ha intentado explicártelo en términos que pueden comprenderse hasta cierto punto).

Además, lo que acabamos de describir son estados cuánticos puros; también existen, cuando el sistema consta de muchas partículas, por ejemplo, estados cuánticos mixtos en los que la estadística tiene aún más que decir, pero por ahora no nos preocuparemos de ello – simplemente recuerda que, aunque esto sea complicado, aún hay más complicaciones en la formulación cuántica moderna. Pero, por otro lado, si has entendido esto no dejes que el hecho de que existan otras complicaciones te quite la satisfacción de haber comprendido algo realmente complejo. ¡Saborea el momento!

Dentro de unas semanas continuaremos nuestro viaje por las procelosas aguas de la física cuántica aplicando estos conceptos a otros sistemas que ya hemos estudiado antes, pero primero volveremos a otras series más pedestres que tenemos abandonadas, como la del Sistema Solar. Entre otras cosas, la OMS recomienda no leer más de tres entradas seguidas sobre cuántica, ”[…] o la mente del lector puede ser empujada más allá de los débiles límites de la cordura de modo que las simples tres dimensiones del espacio euclídeo se difuminen, revelando un Universo en el que los mitos de Cthulhu parecen cuentos de abuela”. Hasta la próxima, en la que hablaremos del gato de Schrödinger.

El crédito de todas las imágenes es de Geli J. Crick, Licencia Creative Commons 2.5-España de Atribución, Sin obras derivadas y No comercial (como atribución basta incluir este mismo mensaje y un enlace a este artículo).

Para saber más:

Ciencia, Cuántica sin fórmulas, Física

77 comentarios

De: Lucas
2008-11-24 18:53:35

Sencillamente deslumbrante


De: croc21
2008-11-24 19:00:30

Joder... no tengo palabras. plas, plas, plas...


De: Brigo
2008-11-24 19:21:27

Aclarar que, si bien es cierto que la OMS permite leer tres entradas seguidas sobre cuántica, la votación para que solo fuesen dos estuvo muy reñida, y puedo ver por qúe :-)

Creo que para la gente que no tenga ni idea sería bueno aclarar en los gráficos el lugar donde está el 0 (0,0).

Diría que comprendí la entrada pero ¿dónde están los ejercicios de comprensión? :-)


De: meneame.net
2008-11-24 19:48:18

Cuántica sin fórmulas - Superposiciones cuánticas...

[c&p] Trataremos de escribir cualquier estado de nuestra “moneda cuántica” en función de sus estados propios utilizando, por supuesto, la elegante notación bra-ket de Dirac. Hablaremos sobre las superposiciones cuánticas, utilizando las mismas simp...


De: Pedro
2008-11-24 20:03:30

Brigo,

Añadido un pequeño comentario al respecto del origen (cuando Geli tenga tiempo le pediré que lo incluya en el dibujito, no se me ocurrió pensar que podría no estar claro pero tienes toda la razón). ¡Gracias! :)


De: oriol18
2008-11-24 20:38:38

Ay, por el FSM y por Cthulhu, qué complicada es la cuántica. Deberé releermelo mañana. Hasta la cuántica "antigua", medio me enteraba, pero ahora... Argh, qué rabia me da estar aún en 4º de ESO


De: Scarbrow
2008-11-24 20:57:15

Me encanta el humor de estos artículos. Después de ver las monstruosidades con las que los físicos os enfrentáis, no me extraña nada el peculiar sentido del humor que resulta (y lo sé porque soy programador, otra rama con sentido del humor "peculiar")

"o la mente del lector puede ser empujada más allá de los débiles límites de la cordura de modo que las simples tres dimensiones del espacio euclídeo se difuminen, revelando un Universo en el que los mitos de Cthulhu parecen cuentos de abuela”. Tremendo, Pedro. Inimitable :-)


De: José
2008-11-24 23:17:22

:) A mi me mata la parte que dice:

"se trata de un espacio de seis dimensiones [...] Como comprenderás, en este caso no puedo utilizar dibujos para ayudarte a verlo, porque Geli todavía no ha aprendido a dibujar en 6D"


De: Dicanri
2008-11-25 02:27:31

Tenía un error de concepto, creía que por obligación si escribía (agitada) = a cruz + b cara, a y b tenían que sumar 1. Ahora veo que no es así, y no sé de dónde habré sacado la idea.

Un saludo!


De: Xoca
2008-11-25 02:32:58

impresionant como siempre, pero aun tendre que releerme los ultimos 3 articulos para entenderlos mejor :D


De: Angel
2008-11-25 05:20:07

:O
y permitanme añadir :O :O :O :O :O
A sus pies me hallo caballero.

Hacia mucho que no escribia por aqui, y me gustaria preguntar algo que me carcome por dentro (Sobretodo despues de leer el articulo mas claro que he leido en mi vida sobre Espacios de Hilbert)

No soy capaz de salir de este dilema:

"Si todo cuanto de Energia nace o muere en un Pozo de Potencial Infinito"

"Entonces toda la energia que escape de un Pozo de Potencial Infinito tendra un valor escalonado"

Se que algo ahi arriba esta mal, porque siempre dices que la energia libre (No encerrada dentro de un Pozo de potencial Infinito) puede tomar cualquier valor, y no veo como .... no soy capaz de verlo, ¿Como? ¿Como adquiere un rango de energia no escalonado?, si tienes algo de tiempo por favor indicamelo,

Ni de este Otro:

¿Porque infinitos escalones?

"A mayor numero de escalones mayor energia"
"por lo tanto mayor vibracion"
"por lo que la velocidad de la particula sera mayor"
¿No hay un limite (En un sistema de coordenadas local) en los 300000 km\s?

por dios a ver si hay suerte y me lees ^L^ .... y puedo entender esto de una vez ..... todo lo demas tan claro que me asusta .... comienzan a ser adictivos tus articulos :P

PD: Bajo mi humilde opinión son los 3 mejores articulos de toda la pagina web, de verdad, enhorabuena >:B

PD2: <> "LE-GEN-DA-RIO" :)


De: Mazinger
2008-11-25 10:07:46

¡Vade retro Satana! Pedro, no te tenía por un adorador de Cthulhu. Supongo que debí haberlo supuesto cuando has empezado a hablar de espacios de inifitas dimensiones...

Mejor dejemos que Cthulhu siga durmiendo... ¡Chist!


De: Sergio
2008-11-25 10:34:59

Espectacular!

...es curioso que al final todo acaben siendo esferas. Supongo que es una cuestión de equilibrio. Tengo la mente bloqueada ahadhgjgjjjj...


De: azzurro
2008-11-25 10:46:01

No sé qué me ha impresionado más: si lo que cuentas o la manera en que lo cuentas.
¡Pero si hasta da la impresión de que se entiende!
Absolutamente deslumbrante. Peazo comunicador. Creo que es el mejor artículo del Tamiz.


De: Macluskey
2008-11-25 13:29:20

FANTASTICO!! Este artículo lo aclara todo!!

Tenía yo mis dudas sobre los de los autovalores y eso, pero según empieza Pedro a hablar de dimensiones, se me hizo la luz. Casi no me hizo falta leer el resto del artículo, estoy muy familiarizado con los problemas n-dimensionales y las hiper-esferas Ctulhu-anas, y a esta alturas ya me parecen sencillamente triviales...

No, de verdad, que no es broma: para mí es muy sencillo.

Cuando se trabajan unos años en "Business Intelligence", creando "Data Warehouses", diseñando "Snowflake Schemas", etc, el pensar en 8 ó 9 dimensiones es el pan nuestro de cada día, y ya no tiene el menor misterio. Y, sinceramente, entre 9 dimensiones e infinitas dimensiones, por muy incontables que sean, pues no es más que ponerle más "rayitos" al "Copo de Nieve", así que es trivial. Largo, pero trivial.

Jo, hoy me siento bien. Pedro: Eres un genio; me has alegrado el día. Saludos a todos,


De: macaco
2008-11-25 16:25:46

Nunca pensé que se pudiera entrometer Cthulhu en explicaciones de cuántica. Ahora que lo vi parece hasta natural.


De: nikolai
2008-11-25 20:35:31

Kernel panic - number of dimension allowed was exceed: attempted to kill init


De: Pedro
2008-11-25 20:50:57

#universe.reboot()


De: Bastonivo
2008-11-25 21:22:53

No voy a decir nada que no te hayan dicho ya. Tienes un don tremendo y mucho más que envidiable.

Explicas lo complejo con una soltura y una simpleza, que hasta Cthulhu parece un lindo chipirón... Es que hasta aprender a dibujar en 6D se puede hacer asequible al ritmo que vas xD.

Siempre oía hablar a los físicos de espacios de Hilbert y todo eso, de los estados y valores, y no entendía ni papa. O.o Me has dejado con una sonrisa de satisfacción por haber entendido por dónde van los tiros cuando hablan de ello. Muchísimas gracias, en serio.


De: Pedro
2008-11-25 21:41:55


[...] hasta Cthulhu parece un lindo chipirón


Muchas gracias, casi echo la cena encima del portátil :P

Me alegro mucho de que os haya gustado tanto, me las vi y me las deseé para escribirlo de una manera que no fuese incomprensible pero que dijese algo y no se quedase en agua de borrajas. Pero tampoco os paséis, que ya tengo el ego subido :)


De: Lluis
2008-11-25 22:54:53

Si tienes el ego subido y no quieres que sigamos haciéndote la ola, pues te aguantas:
¡Marchando una ola por Pedro!

Voy a tener que leer otra vez los últimos tres artículos, despacito y tomando notas. Habrá muchos lectores que con tus magnificos artículos son capaces de entenderlo todo, pero la verdad es que aún con tu ayuda la cabeza no me llega para pillarlo a la primera. Ni a la segunda.

Pero estoy seguro de lo lograré. Y cuando vea la luz voy a disfrutar más que un verderón, o que el chipirón verde ese.

(Para Bastonivo: Te parecerá bonito lo que has hecho... nunca más leeré a Lovecraft sin reirme pensando que Cthulhu es un mero chipirón...).

:)


De: Mazinger
2008-11-26 14:17:18

Bueno, vale, todo esto está muy bien... Pero..., esto..., ¿queda mucho para que salga a escena el gato del señor Schrodinger? Es que yo sigo sin tener muy claro si cuando no miro está medio vivo o medio muerto, y si resucita o muere cuando yo miro, y como ya estamos tratando de superposición de estados... Pues eso. Paciencia.


De: Mazinger
2008-11-26 14:56:44

Hola a todos.

Continuando con el tema, a ver si me respondo yo mismo. Supongo que los autovalores para el estado del gato son |vivo> y |muerto>, y que (vivo|muerto).

Así pues, si hay un 50% de posibilidades de que se desintegre la partícula que dispara el dispositivo del gas venenoso, tendremos que |estado> = |vivo>/sqlrt(2) + |muerto>/sqrt(2).

O sea que su estado (la información que de él tenemos) es a la vez vivo y muerto, concretamente medio vivo y medio muerto. Y solo sabremos cual es el autovalor por el que se decanta el azar cuando hagamos una observación que obligue a la determinación de uno de los dos autovalores posibles.

Me abstengo de decir que el gato está siempre o bien |vivo> o bien |muerto> pero que sólo cuando miramos lo sabemos. Y me abstengo porque según lo que se desprende de los artículos leídos hasta ahora, el mismo derecho tiene a estar definido y ser considerado el estado |medio vivo> que el estado |vivo>.

Conclusión hasta aquí: el estado del gato en ausencia de toda observación es |medio vivo> (o |medio muerto>, según se mire).

Supongamos ahora lo siguiente: nos acercamos a la caja y antes de abrirla, oímos un maullido. ¿Cómo afecta esto a nuestro experimento?

Si he entendido bien hasta ahora lo que Pedro ha explicado, este hecho podría explicarse de una de las siguientes dos formas:


  1. Escuchar los sonidos provenientes del interior de la caja es un modo de llevar a cabo una observación. No necesariamente tenemos que destapar la caja y verificar visualmente si el gato está |vivo> o |muerto>. Basta con escuchar y verificar si nos llega un sonido de la caja. Si oímos un maullido, un arañazo o un movimiento, la observación queda verificada y podemos concluir que el estado ha colapsado al autovalor |vivo>, en tanto que si no oímos nada, el estado sería |medio vivo/muerto>, donde la barra da a entender de que la ausencia de sonido significaría que se favorece el estado |muerto>, sin que se pueda decantar por dicho estado debido a que podría bien ser |medio vivo/dormido> o |medio vivo/quietecito>.


  2. Escuchar no es una observación válida desde el punto de vista de la cuántica. Como también parece desprenderse de los artículos de Pedro, una observación colapsa el estado de modo que, tras la misma, se obtiene un autovalor, o |vivo> o |muerto>, ni más ni menos. Sin embargo, por el punto 1 hemos visto que escuchar y no oir nada no hace colapsar el estado a |muerto> en ningún caso. Entonces, ¿qué interpretación cabe? Supongo que la única explicación plausible es que hemos aumentado nuestra información sobre el sistema, por lo que ahora sabemos que está más |medio muerto> que |medio vivo>, que es lo que significa en este ejemplo el estado |medio vivo/muerto>. Digamos que si tuviésemos que apostar, apostaríamos porque el gato estará muerto cuando destapemos la caja (aunque claro está, podríamos encontrárnoslo vivo).


En fin, espero haber sido un alumno aplicado. Ardo en deseos de leer el siguiente artículo sobre cuántica.


De: Mazinger
2008-11-26 15:40:02

Diablos... ¡Una cosa me lleva a otra y ya no puedo parar!

A ver, supongo que para disponer de información sobre el sistema no hay más remedio que observar. Por tanto una observación sirve en primer término para reunir información sobre el sistema.

Escuchar la caja, según expliqué en el comentario anterior, aporta nueva información sobre el sistema, que puede, o bien colapsar el estado a |vivo> (nuestra información es total o, al menos suficiente), o bien cambiar el estado a |medio vivo/muerto> (nuestra información a aumentado y las probabilidades han cambiado).

Así pues, supongo que conceptualmente la observación de un obervable, por el mecanismo que sea, tiene la función de aportar nueva información al sistema. La diferencia está en la calidad o suficiencia de esa información aportada, que puede hacer cambiar el estado a un autovalor, o no.

Desde este punto de vista entiendo que la interpretación 2 de mi anterior comentario es la correcta.

Por otro lado, no quiero pasar por alto una aclaración que hizo Pedro en su anterior artículo a uno de mis comentarios:

"...cuando nuestro cerebro nos dice que vemos la moneda macroscópica “como realmente es”, se trata de una ilusión: no hay un “como realmente es”, en ese caso simplemente las fluctuaciones en el estado de la moneda son tan pequeñas –o nuestros sentidos tan burdos– que no las vemos, de modo que nos pensamos que no hay estados, sólo moneda."

Creo que viene bastante a colación hablar de ello aquí porque ¿acaso mirar la moneda no es sino realizar una observación sobre ella? ¿Acaso tocarla en la mano y estimar su peso no es otra observación? ¡Ahora lo he terminado de cazar!

Nuestros ojos no son nada más que un sensor más para llevar a cabo observaciones. La única diferencia con un telescopio o una lupa es que los tenemos pegados a la cara. No hay diferencia entre la información que recabamos a través de una cámara de video y la que obtenemos a través de nuestros ojos. A partir de ellos no aprehendemos la realidad mismo, sino información sobre la realidad. Así pues, nuestras imágenes visuales no son más que información, nos pongamos como nos pongamos.

Joder, ¡no tenemos la realidad, no sabemos cómo la realidad es antes de mirarla! Simplemente al mirarla hemos colapsado su estado hacia un maldito autovalor en nuestro cerebro. Antes de mirar simplemente teníamos información sobre la realidad, ¡pero después de mirarla también: la diferencia es que tenemos información suficiente para ver un autovalor, y no un estado intermedio!

Nuestros conceptos no son otra cosa que autovalores, estamos programados para reconocer autovalores, que es lo único que "no tenemos" prohibido ver. Por eso nos cuesta tanto trabajo trabajar con estados intermedios o superpuestos. Podemos tratarlos a un nivel abstracto e intelectual, pero no podemos visualizarlos porque no tenemos experiencia directa sobre ellos.

Creo que he ido algo más lejos de lo que pretendía... Perdonad, estoy un poco excitado... Hoy he aprendido algo que suponía inaprensible. Gracias Pedro. Gracias compañeros por todos los comentarios con que aderezáis los artículos de Pedro. ¡Voy a emborracharme!


De: Pedro
2008-11-26 16:35:53

@ Mazinger,

Jeje, es divertidísimo ver cómo va trabajando tu cerebro... estás digiriendo cosas que a algunos nos llevan años :)


De: Hidrargyros
2008-11-26 16:48:14

Hola Pedro, en este ultimo mes me he leido enteras casi todas las series y me parece un trabajo muy bueno el que haces, normalmente no me quedan dudas y si me queda alguna alguien ya hizo la pregunta je, bueno pero hoy no asi que aca va mi inauguracion: porque decis que el conjunto de puntos que representa todos los posibles estados del observable lado del dado, son la hiperesfera completa? esto no implica que estoy teniendo en cuenta valores negativos de los autoestados? Si es asi, que significa esto? Llego a esta conclusion partiendo del ejemplo de la moneda, donde solamente un cuarto de circunferencia es el universo completo de posibilidades y si esuviera la circunsferencia completa como decis para dimensiones superiores... no entendi


De: Pedro
2008-11-26 16:52:48

@ Hidrargyros,

No es demasiado importante: en el ejemplo de la moneda hemos considerado sólo valores positivos y reales. En la realidad se utilizan coeficientes que no sólo pueden ser negativos sino complejos, pero eso no añade mucho más que complicación al asunto, así que no hemos trabajado con ello. Si quieres pensar en el conjunto de estados como una fracción de una hiperesfera, no tiene importancia :)


De: kemero
2008-11-26 17:52:18

Me doy!... estaba a punto de entenderlo todo a la primera pero no logré digerir esta frase:
" un electrón –por decir una partícula concreta– que viaja libre por el espacio puede tener cualquier energía."
No que la energía es discreta??? o sea... puede ser muy grande, pero siempre sigue siendo un múltiplo, o no?

Bueno, y ahora una trivialidad: después de la foto de los dados en el segundo párrafo donde aparece la letra en negrita dice "ahora nuestro “espacio conceptual” utilizando los autovalores del electrón como las dimensiones DLE espacio…"


De: Pedro
2008-11-26 18:03:26

@ kemero,

Recuerda que la cuantización de la energía siempre la hemos discutido en ondas y en osciladores u otras partículas ligadas por una energía potencial -- electrones en un átomo, osciladores armónicos, etc. No en partículas libres, en cuyo caso cualquier valor real entre dos dados puede darse.

Ahora mismo corrijo la errata, ¡gracias! :)


De: maeghith
2008-11-26 19:26:55

Vaya, yo que acababa de ver la película "Dimensions" y creía tener "dominados" los hiperespacios de más de 3 dimensiones (en realidad, a penas me hago una idea)...

¡Que vértigo dan los ∞-dimensionales!, ¡madre mía!


De: Tirso de Andrés
2008-11-26 21:46:43

¡Genial la serie!
Sólo se me ocurre una indicación que quizá no viene mucho a cuento: Observar el sistema no sólo es obtener información del sistema sin perturbarlo, sino que también es interaccionar con el sistema. No se puede obtener información sin interactuar, y es esa interacción la que colapsa la función de onda.


De: Mazinger
2008-11-27 11:09:01

@Pedro.

"Jeje, es divertidísimo ver cómo va trabajando tu cerebro...estás digiriendo cosas que a algunos nos llevan años"

Gracias. Debe ser que estoy bebiendo de las mejor fuente. Debo confesar, no obstante, que llevo ya tiempo intentando entender la cuántica y he leído varios libros de divulgación que, si bien no están centrados en la cuántica, sí que la tocan bastante. Sin embargo con ellos no he logrado aprender ni una décima parte de lo que he aprendido desde que sigo tu serie.

Tienes un don Pedro, no te quepa la menor duda. No sólo lo explicas bien, sino que nos das los instrumentos para pensar. Sin ellos no se puede llegar muy lejos.

@Tirso

Gracias por la aclaración. Ayer empezaba a sentirme como Dios, la responsabilidad me abrumaba. No sabía si mantener los ojos abiertos o cerrados ante la posibilidad de hacer colapsar la realidad de tal modo que ocurriese una catástrofe. :-)

Por suerte hoy he comprendido que en todo caso lo que colapsa a un autovalor es la información de que dispongo sobre la realidad, no directamente la realidad misma, que no sé qué demonios es y ahora entiendo que jamás lo sabré a ciencia cierta. Aunque considerando que la información sobre la realidad debe ser representativa de ella, alguna conexión a un nivel profundo debe haber entre la realidad y lo que de ella percibimos. ¡Siento vértigo solo de pensarlo!

Por cierto..., ¿hasta qué punto estamos afectando al sistema si nos ponemos al lado de la caja a escuchar si el gato maulla? Reconozco que aquí tengo un agujero. Sé que al menos mi campo gravitatorio ya tendrá una misma afectación, pero... ¿no se podría considerar despreciable el efecto del observador en este caso? En tal caso toda la incertidumbre (o prácticamente toda) estaría asociada con la probabilidad de que la partícula que dispara el gas venenoso se desintegrase y nada (o prácticamente nada) con el hecho de que yo esté escuchando. Hay aquí mucha tela que cortar, me parece.


De: Pedro
2008-11-27 11:54:23

@ Mazinger,

El efecto del observador no es necesariamente la consecuencia de una influencia activa por parte del observador que modifica el sistema. La observación requiere un cambio en el sistema observado, la inicies tú o no: en el caso de un gato que maúlla, el gato antes y después del maullido no es el mismo. Ha perdido energía, que se ha emitido en forma de onda sonora; los movimientos de sus músculos al maullar habrán producido fricciones que han aumentado la temperatura en ciertas zonas, se habrán producido cambios químicos cuando las células de los músculos han realizado el esfuerzo, etc.

Evidentemente, en el caso del gato el cambio es tan pequeño comparado con toda la información que tienes sobre él, y lo que te interesa es algo tan concreto (¿está vivo o no?) que el efecto del observador es despreciable. Por eso nuestra intuición no incluye los efectos cuánticos, porque en nuestra experiencia no los percibimos.


De: joel
2008-11-27 15:12:15

Con respecto a las infinitas dimensiones... y lo de imaginarse espacios de más de 3...

Recuerdo que de pequeño dibujaba cubos de 6 ó 9 dimensiones, pensando la 4a como mas cubos al lado del nuestro (universos paralelos o algo así), la 5a como filas de cubos encima de los anteriores (macro universos de universos paralelos), etc...

Hasta ahí muy bonito. Volviendo a la realidad se puede ver como cualquier sistema en el que localizamos, por ejemplo, objetos en estanterías, alturas, pasillos, almacenes, calles, poblaciones, etc... Pero resulta que estamos tratando dimensiones discretas.

Podemos imaginar lo anterior, pero no podemos imaginar que entre una estantería y otra haya infinitas posiciones, o entre un calle y otra haya otras infinitas.

Por otro lado, podemos intentar representarlas gráficamente, como hacemos con nuestras 3 dimensiones, sobre espacios de 2, como un papel o la pantalla. Asignamos un vector 2D para cada dimensión que queramos representar. Como en la perspectiva isométrica. En tal caso lo que tenemos es una pérdida de información. Pues cada punto 2D representa una recta sobre la 3a dimensión (le llaman rayo y en algo así consiste la técnica raycasting de renderizado 3D).

A pesar de perder información, sigue siendo útil si la mayor parte de esa información es irrelevante (en general, vacío). Pero si aumentamos a 4D, por cada punto estamos perdiendo un plano entero. Y si aumentamos a 6 nos acabamos de perder todo otro espacio 3D como el nuestro.

Por eso mejor no imaginar tanto y aplicarnos el "CÁLLATE Y CALCULA".


De: Sergio
2008-11-27 17:35:23

Yo he tenido hace poco una "rallada" con lo de las n dimensiones. Igual que representamos 3D a partir de un "truco" en 2D (o sea, introducimos un cuadrado en otro y unimos sus vértices), intenté recrear 4D en 2D, o sea introducir un cubo (un hexágono si miramos el cubo con determinada perspectiva) en otro y unir sus vértices. El resultado me dejó perplejo y el siguiente paso sería representar esa figura supuestamente 4D en las 3D (con palillos y plastelina había pensado...jejeje).

Lo que me tiene verdaderamente intrigado (como ya he dicho antes y que lo he comprobado siguiento el mismo sistema de aumento de dimensiones) es: ¿Por qué si seguimos añadiendo dimensiones, al final acaba todo en el círculo (en 2D) o la esfera (en 3D).

En fin, me resulta curioso...


De: Anónimo
2008-12-02 17:44:38


Por suerte hoy he comprendido que en todo caso lo que colapsa a un autovalor es la información de que dispongo sobre la realidad, no directamente la realidad misma, que no sé qué demonios es y ahora entiendo que jamás lo sabré a ciencia cierta. Aunque considerando que la información sobre la realidad debe ser representativa de ella, alguna conexión a un nivel profundo debe haber entre la realidad y lo que de ella percibimos. ¡Siento vértigo solo de pensarlo!


Mazinger, algún día empezarás a sentir que nuestra mente
está diseñada para crear nuevos autovalores de la realidad...


De: xx32
2008-12-08 22:25:20

Una pequeña duda ¿Nó existen estados que solo sean temporales (0,05%cara y 99,95%cruz) o incluso que el radio sea diferente de 1 por corto tiempo?
Por cierto, para imaginar 4 dimensiones basta imaginar tres en distintos periodos de tiempo, la información que se pierde no será mayor que la que perdemos por interferencia al sistema.............
Muy buen artículo, por cierto


De: JAIRO
2008-12-09 07:36:39

ESTOY FELIZ; APARTE DE RICHARD FEYNMAN, EXISTE OTRO GRAN PEDADOGOGO DE LA MECANICA CUANTICA. ERES TÙ, GRACIAS AL TAMIZ......... EN MEDIA HORA HE ENTENDIDO MAS QUE LO QUE INTENTE EN UN AÑO...


De: Javierlb
2009-01-04 23:07:02

Hola, Pedro (a tus pies me tienes) y demás "cuanticolgados".

Llevo dos días y medio leyendo artículos y series completas, de forma más o menos ordenada, y creo que he llegado con este a ponerme al día.
Me parece increíble tu capacidad didáctica, ya que no me ha costado casi nada seguirte, en unos temas que no son ndad fáciles de digerir y que tenía abandonados hace mucho tiempo.

El caso es que en este artículo concreto, me he atascado en la representación como arco de lo que para mí debería ser una línea recta. Me explico:

Si la función representa en el eje x las posibilidades de que el estado sea cara, y en el eje y las de que sea cruz, como tú mismo dices la suma de ambos valores debe dar 1, es decir, un 100% de probabilidad. Por tanto la función es y=1-x, una recta.Pero esto parece (me parece a mí, estúpido ignorante...) contradecirse con la afirmación siguiente: "la distancia de cualquier estado al origen debe ser exactamente 1", que es la base de la representación en forma de arco.

Lo único que me hace dudar es que creo recordar que las operaciones con vectores se hacían con determinantes, y éstos tenían unas características distintas de las operaciones con números. ¿Tengo que entender que estamos hablando de una ecuación de determinantes?

Perdona el tocho, pero es que hace más de 20 años que hice el COU y no recuerdo si eran los determinantes los que se utilizaban para el cáculo matricial, o me he hecho la picha un lío (cuántico, por supuesto)


De: Hipnox
2009-01-09 14:19:34

HOla, soy nuevo por aqui, descubri la web hace poco, no tengo casi conocimientos de física, aunque siempre me ha llamado la atención, me he leido tus articulos sobre cuantica sin formulas, y aunque creo que ahora tengo mas dudas y dolor de cabeza, me ha encantado! Has conseguido que una persona sin conocimientos de física se haga una idea de la física cuantica!

Gracias y felicidades por tus articulos, espero impaciente la próxima entrega!

Saludos


De: kawoq
2009-01-22 23:46:32

[quote]
Entre otras cosas, la OMS recomienda no leer más de tres entradas seguidas sobre cuántica, “[...] o la mente del lector puede ser empujada más allá de los débiles límites de la cordura de modo que las simples tres dimensiones del espacio euclídeo se difuminen, revelando un Universo en el que los mitos de Cthulhu parecen cuentos de abuela”. Hasta la próxima.
[/quote]

Y por que carajos esa advertencia no esta al principio de la serie??? que me h leido todos los articulos en un dia y vale que la cabeza la tengo dando mil vueltas y ya no se si voy o vengo!

Muy buenos articulos, me la he pasado leyendo ya dos dias todo lo que encuentro y todo esta muy interesante, a ver con que sigo ahora con Relatividad o Sistema Solar? creo que por el bien de mi existir sera mejor dejar La Relatividad para otro dia y divertirme con el origen del Sistema Solar... estare pendiente para la proxima entrada de "Cuántica sin fórmulas".

Gracias por crear y mantener este sitio, simplemente de lo mejor que he encontrado en la red...

Saludos,


De: Kenrae
2009-03-17 14:46:34

¿Naturales y reales? ¿Se hablará de enumerables y no enumerables? ¿Aparecerán Gödel y Turing por aquí? ¡Por fin algo que ya conocía realmente con anterioridad! :D
Entre esto y Dirac siendo un diseñador de software al final resultará que el Universo es un ordenador. ¿Será 42 la respuesta a la pregunta última?


De: Battosay
2009-05-13 10:45:47

@Javierlb

Como veo que no te ha respondido nadie, intentaré hacerlo yo.

Tu propuesta de la recta que une los puntos (1,0) y (0,1), es la que todo el mundo tiene como primera opción y el error que todos cometemos cuando empezamos a hablar de vectores.

La representación de cualquier estado es una combinación de los autovalores, y esa combinación siempre tiene que tener una probabilidad de ocurrir de 100%. Y la probabilidad es la longitud del vector, no la suma de sus componentes (la vertical y la horizontal). Ese el centro de la cuestión, la probabilidad es la longitud del vector, no la de sus componentes.

Puedes verlo de otra forma, la longitud del vector siempre es uno. Si varían las probabilidades, varía la relación de los componentes horizontal y vertical. Un par de ejemplos:

-50% cara y 50% cruz: Implica que los lados son iguales. Aunque vaya en contra de la filosofía del tamiz, hagamos una excepción con el teorema de Pitágoras. Llamemos x a la longitud de los lados:

x^2+x^2=1.

Si la resuelves, ves que x da 1/raiz(2). Disculpa la notación chunga.

-75% cara y 25% cruz: Llamemos x a la cruz y 3x la cara (por que es el triple de la cruz). De nuevo pitágoras.

x^2+(3x)^2=1 (Ojo al paréntesis ahí está el truco).

Nos da que la cara es 3/raiz(10) y la cruz 1/raiz(10).

Como ves la suma no da uno, pero representan una probabilidad total de uno.

Espero haber sido de ayuda.

-


De: Battosay
2009-05-13 10:53:35

Después de intentar una respuesta un par de dudas que me han surgido leyendo los comentarios.

Si tenemos un electrón libre, puede tener cualquier energía posible, es decir, que puede tener múltiplos no enteros de la Constante de Planck. No lo entiendo, ¿me estás diciendo que puedo tener un electrón por ahí con una energía que es la mitad de la de Planck?

No lo veo, tío, no lo veo ni p'atrás. Y creo que no soy el único, por lo que he visto en varios comentarios de otros artículos.

Creo que no sería mala idea un artículo para distinguir sistemas ligados, sistemas libres, y porqué en uno se pueden tener sólo determinados niveles y en otro cualquier valor de energía.


De: Juan
2009-05-22 16:11:59

Muy bueno, Pedro. Parafraseándote: "lo que suele caracterizar a tus explicaciones, en mi opinión, es la exquisita elegancia que proporcionas a cualquier tema complicado que tocas". De verdad.

Yo también me he quedado con la duda de Battosay

"[...]recordarás que la energía de un sistema cuántico “encerrado”, como el electrón en el pozo infinito, sólo puede tomar valores escalonados… pero esto no sucede para un sistema libre: un electrón –por decir una partícula concreta– que viaja libre por el espacio puede tener cualquier energía."

¿La energía no está siempre cuantizada?

Me reído mucho con Mazinger por su forma de explicar sus razonamientos - dicho sea de paso, muy esclarecedores. Yo quería añadir que la intuición sí que debería de modificar mucho el estado cuántico, ya que - según la entiendo yo - se trata de información "rescatada y utilizada por el subconsciente" para resolver un problema.


De: MiGUi
2009-05-22 23:24:19

La cara de Cthulhu tras enfrentarse a los espacios de Hilbert.
Me he hartado de reir con eso. Aunque los de Hilbert son inocentes al lado del espacio de Fock, que se utilizan para describir colectivos de partículas.

En fin, esto tiene miga.

"¿La energía no está siempre cuantizada?"

Cuando una partícula está libre se dice que está en el continuo porque no hay restricción a su valor de la energía. El electrón en el continuo no se va a desexcitar a ningún nivel menor. Piensa que la energía es un término que tiene sentido en cuanto a que establecemos una referencia.

En el modelo atómico ponemos E = 0 en el continuo y los niveles negativos son los estados ligados del átomo y los positivos los del continuo.

El electrón en un estado alto de energía podría decaer a uno de energía menor siempre que se lo permita el principio de exclusión de Pauli.

Pero si no hay átomo y el electrón está libre ¿tiene sentido considerar un nivel de energía para ese electrón que no puede emitir fotones para perder la que tiene? En ese momento la única energía que tiene es la dada por E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 es decir la energía que tiene por el hecho de estar en movimiento y la energía en reposo. Pero no hay más términos de energía porque no hay ningún potencial producido ni nada.


De: Pedro
2009-05-23 07:32:56

Juan, aunque la explicación de MiGUi es clara, permite que te responda yo también, en términos referidos a esta serie.

En el artículo sobre el pozo infinito, cuando obtuvimos las ondas posibles de una partícula en una caja, la energía de la partícula estaba cuantizada porque debía ser necesariamente una onda estacionaria, y sólo hay determinados valores posibles de la longitud de onda de una onda estacionaria para que ésta pueda existir dentro de la "caja". Si la partícula sale del pozo de potencial (evidentemente, no en el infinito sino en uno finito), ¿qué condiciones fijan las propiedades de la onda resultante? No hay nada que requiera que sea una onda estacionaria, es una onda "normal" con cualquier valor posible de su longitud de onda --que determinará la velocidad de la partícula--.

Si lo piensas en términos de Planck y compañía, ¿de dónde salió en la serie, lógicamente hablando, la cuantización de la energía? De la hipótesis de Planck, que se refiere a la energía que puede tener un oscilador armónico -- un sistema "encerrado", "ligado", como el del pozo infinito. Los fotones resultan de la energía ganada o perdida por esos osciladores, que debe estar cuantizada. Pero ¿dónde en la serie hemos deducido de manera lógica que la energía de un protón libre, por ejemplo, esté cuantizada? En ninguna parte: luego, hasta que tengamos razones para pensar que lo está, no podemos suponerlo.

Por lo tanto, "la energía está cuantizada" es una afirmación demasiado vaga y, dicha así, es mentira cochina. "La energía de un sistema ligado está cuantizada", mejor :)


De: Juan
2009-05-25 13:12:27

Gracias por las 2 aclaraciones.

Entonces, según lo entiendo, el dominio de E para un electrón libre es un intervalo (0,x) de la recta real positiva, donde x es el valor de energía que necesitaria un electrón para llegar a la velocidad de la luz.

Gracias otra vez,

Juan


De: Pedro
2009-05-25 13:38:44

Juan, casi. Lee la serie de relatividad sin fórmulas (http://eltamiz.com/relatividad-sin-formulas) y verás que es [0, infinito), ya que un electrón necesitaría infinita energía para alcanzar la velocidad de la luz.


De: Angel
2009-06-29 22:28:29

Creo que hay un modo más o menos sencillo e intuitivo de entender porque una partícula libre no tiene estados de energía cuantizados. Para ello partamos del pozo de potencial infinito que tan bien explico Pedro. La separación entre dos niveles de energía consecutivos es constante y además, aquí viene la gracia, es indirectamente proporcional a la distancia entre las paredes del pozo. Es decir, cuanto más estrecho sea el pozo, mayor sera la diferencia entre un nivel de energía y el siguiente, estarán más espaciados. No se me ocurre una forma sencilla de explicar por qué ocurre esto (no tengo el nivel de Pedro para estas cosas y además mi cuántica está un poco oxidada), pero los cálculos son así.

Pues bien, ahora imaginaos que vamos separando cada vez más las paredes del pozo. Creo que es sencillo visualizar que es lo que ocurrirá. Efectivamente, los niveles de energía se irán aproximando cada vez más. Y, por lo tanto, cuando las paredes estén en el infinito la distancia entre los niveles será cero: tenemos un continuo de energía, la partícula puede tener cualquier valor de energía.

Y por último, ¿Qué significa que las paredes del pozo están en el infinito? Pues que la partícula se puede mover desde un extremo a otro de la recta (desde menos infinito a más infinito), es decir, ¡es una partícula libre!

Espero que esta explicación le sirva a la gente que no acababa de pillar esto. Recuerdo que cuando empecé a estudiar cuántica al principio también me mosqueo un poco esto, pero con este ejemplo lo pude entender fácilmente.


De: xx32
2009-07-30 16:36:50

pero ¿eso no requeriría que el universo fuera infinitamente grande? Si la separación de los "escalones" depende de la distancia de las paredes, al ser el universo inmenso pero no infinito los escalones estarían CASI pegados, no pegados (para fines prácticos sería continuo)


De: Angel
2009-08-01 18:16:24

xx32: matematicamente hablando es cierto, solo en universo infinito los niveles serían continuos. Pero a nivel físico, simplemente con que la separación entre las paredes sea de unos pocos centimetros, la diferencia de energía entre los niveles es tan pequeña que no hay forma de medirla, así que a todos los efectos podemos considerarlo como un continuo.


De: xx32
2009-08-01 18:32:47

es correcto, pero la diferencia entre "muy pegado" y "continuo" significa muuuuucho, porque si fuera continua la energía, para subir de un escalon a otro se requeriría pasar por infinitos escalones de por medio, entonces no habria diferencias de energía................o habría supertareas............


De: Angel
2009-08-02 13:20:40

Hombre, eso es la famosa paradoja de Zenon sobre Aquiles y la tortuga ;-)


De: María Arnaiz
2009-10-17 21:53:40

Extraño: ¿cómo desconsiderar que la moneda es tridimensional y puede caer en la diagonal del cuadrado de representación, (representación que tiene la cualidad de ser "forma caída" de la idea) -donde por otro lado no se sostendría- es decir de canto?


De: Martín López García
2010-07-15 18:46:33

Respecto a este párrafo:

Puede parecer que no es posible algo más abstracto y difícil de imaginar que el caso del pozo infinito y similares, pero lo hay; no vamos a hablar de ello hoy, porque tiene sutilezas que deberíamos preparar mejor, pero si conoces la diferencia entre un número infinito pero contable y otro incontable (como, por ejemplo, la diferencia entre los números naturales y los números reales) puedes comprender el horror en el que puede convertirse todo esto: en el caso del pozo infinito existen tantos estados como números naturales hay… pero también es posible tener un número infinito e incontable de dimensiones en un espacio de Hilbert. Por ejemplo, recordarás que la energía de un sistema cuántico “encerrado”, como el electrón en el pozo infinito, sólo puede tomar valores escalonados… pero esto no sucede para un sistema libre: un electrón –por decir una partícula concreta– que viaja libre por el espacio puede tener cualquier energía. Entonces, los infinitos autoestados del sistema no son valores discretos, sino cualquier valor real de la energía. Tenemos entonces un espacio ∞-dimensional con tantas coordenadas como existen números reales. Si no puedes imaginarlo, bienvenido al club: ¡cállate y calcula! (al menos a ti, a diferencia de mí, alguien ha intentado explicártelo en términos que pueden comprenderse hasta cierto punto).

Aquí les dejo un link con una explicación muy sencilla que podría solucionar el problema

http://www.petroquimex.com/articulos.php?id=5&num=050608


De: javier
2010-08-20 13:23:56

Ayer propuse un experimento que espero que alguien haya resuelto y conozca la respuesta pero hoy se me ha ocurrido un segundo experimento:

Supongamso que tengo una particula tontorrona en un estado con unas probabilidades del 50% de encontrarse en una región del espacio y unas probabilidades del 50% de encontrarse en otro lugar del espacio.

Supongamos que hago experimentos para encontrarla en ambos lugares.

Me gustaría saber si es posible encontrarla en ambos lugares simultáneamente o en ninguno.

Si, la pregunta parece tonta (y posiblemente lo sea) pero oye, yo tengo madera de científico experimentador (y particularmente me gusta sacudir las cosas absurdas... lo que posiblemente explique por que estoy leyendo esto).

Total, la idea es: ejecuto "unas cuantas veces" dos experimentos simultáneos para encontrar la particula en dos areas diferentes, en las que se que puede estar con probabilidad 0.5 en cada una de ellas.

¿en alguno de los experimentos encontraré la particula en lso dos lugares o en ninguno?

El sentido común dice: ¡¡venga hombre!!

pero como me has enseñado a no fiarme.... ¿alguna vez ocurre?.


De: McDiufa
2010-10-14 11:17:48

El texto pone...

Imagina –para que sea más fácil de ver– que hubiéramos aumentado las dimensiones, pero no hasta seis, sino hasta algo más asequible: tres dimensiones, algo que sí podemos visualizar. En ese caso, la condición que pusimos [...] se traduciría, no en los puntos del cuadrado que disten 1 del origen, es decir, un cuarto de circunferencia, sino en los puntos de un cubo de tres dimensiones que disten 1 del origen, es decir… una esfera. Si tienes visión espacial, espero que no tengas problema para ver eso — el conjunto de puntos del espacio que distan 1 de un punto determinado constituye una esfera en tres dimensiones.

... Ya sé que es una tontería que no influye en la comprensión del texto, pero ¿no sería "Un cuarto de esfera" en lugar de una esfera?

Estoy leyendo toda la serie con calma y no salgo de mi asombro... Es genial, no tiene desperdicio, que enganchadera.... Después del decanso recomendado por la OMS y releer los 3 últimos... Voy a por el gato!


De: Pedro
2010-10-14 17:23:23

McDiufa, sí :)


De: yir
2010-11-02 02:02:04

Sistema: El Tamiz
Observable: Cuántica sin fórmulas
AutoestadosPerpendicularesIncompatibles: | Comprensible > , | Incomprensible >
( Inteligible | Ininteligible ) = 0
( Inteligible | Comprensible ) = 1

| Observador pertinente > = 1 | Comprensible > + 0 | Incomprensible >


De: javier
2011-01-23 22:25:45

una pequeña duda, cuando dices "Geli todavia no ha aprendido a dibujar 6D" estas bromeando o sí es posible hacer esa clase de dibujos en computador???


De: Pedro
2011-01-23 23:33:00

Lo decía de broma :)


De: compotrigo
2011-01-30 01:49:52

Si logran esto, me hago devoto cuántico (con promesa, calvario y cirio).

http://www.cienciakanija.com/2009/09/17/¿podemos-crear-criaturas-cuanticas-en-el-laboratorio/


De: Ideo
2011-03-19 22:12:54

Una vez mas, que lastima haber llegado tan tarde hasta aquí. Estaba pensando hasta que punto se parece todo esto a los fenómenos y los noumenos de Kant, que ya hablaba de la realidad "en si" y la percepción que nosotros tenemos de ella como conceptos distintos


De: Pedro
2011-03-19 22:30:38

¡Nunca es tarde si la dicha es buena! :P


De: Ideo
2011-03-21 17:18:13

Y tan buena Pedro y tan buena... Tanto que me he leído varias series completas y no sabiendo exactamente que leer después me dije: " empecemos por el principio" y aquí estoy de momento, poniendome al día a ritmos forzados.


De: jcsc
2011-05-17 01:42:32

En primer lugar, Pedro, debo darte un enorme y sincero GRACIAS. Porque éste es un tema que me interesa enormemente (tengo pensado estudiar física) y esta serie es la mejor base del mundo para luego saltar a cosas más complicadas.Te debo mucho por haber escrito "Cuántica sin fórmulas" y "Esas maravillosas partículas". Por otro lado una micro-aclaración, por favor, ¿sería correcto decir que cuando un sistema físico está en un estado cuántico que no es ninguno de los autoestados, es cuándo experimenta la superposición?(Es para un resumen que me estoy haciendo de la serie.) Y otra pregunta: cuando se calcula la compatibilidad de dos estados cuánticos mediante el cálculo vectorial siempre da (como dijiste) entre 0 y 1, pero ese número, ¿significa algo en concreto (como un porcentaje o algo parecido) o simplemente se mira a ojo que esté más cerca de 0 o de 1 para ver la compatibilidad aproximada?


De: Pedro
2011-05-18 07:23:18

jcsc, respecto a la primera pregunta, sí. Respecto a la segunda, el producto interno está relacionado con la probabilidad de que si un sistema está en uno u otro estado, al medir un observable se obtenga el mismo resultado en ambos.

Me alegro de que te haya servido la página, y ¡ánimo! :)


De: Freddy
2011-08-31 12:03:58

Estoy un poco confundido... Para el caso del electrón en el pozo infinito, en el texto afirmas "supongamos que el electrón se encuentra “a medias” entre los estados |E0>, |E1> y |E2>"... ¿No supondría eso que el valor de energía asodiado a ese estado estaría también a medias de E0, E1 y E2?

Yo había entendido que el electrón solo podía encontrarse en los autoestados, donde la energía del electrón necesariamente debía ser E0 (o E1, o E2, etc). Así que le he dado al tarro un poco, a ver si tiene esto sentido:

El estado puede ser cualquiera (mientras sea una combinación lineal normalizada de los autoestados). En el momento en que medimos un observable (la energía en este caso), interaccionando con el sistema, el valor que se obtiene es necesariamente uno de los autovalores (E0, o E1, etc), y el electrón se encontrará en el auotoestado correspondiente.

Temo no haber entendido nada :(


De: Desidiactivo
2013-01-03 21:22:57

Umm… Al leer este artículo, me temo que la idea que me había formado por otras lecturas y "visionados" de lo que es la superposición cuántica puede ser errónea. Me explico, a ver si me lo podéis aclarar:
Por lo que yo tenía entendido, la "superposición" se trataba de la peculiaridad que tendrían las partículas de poder estar en dos lugares distintos a la vez. Pero de estar en dos lugares a la vez "físicamente", no en función de probabilidades, que es lo que se explica (muy clarito, por cierto) en este y otros artículos previos. Porque por lo que llevo leído en El tamiz, no es que la partícula se encuentre en más de un sitio a la vez, sino que calculamos las probabilidades de hallarla en un lugar u otro. Eso hasta que medimos, la función de onda se colapsa y entonces sólo encontraremos la partícula en uno de los estados posibles. Pero eso no quiere decir que antes de medirla, la partícula estuviera físicamente en más de un lugar, ¿verdad?
No sé si me estoy metiendo en algo de lo que Bohr y Heisenberg se reirían, como dice Pedro, o si puede ser esta una de tantas cosas en las que los cuánticos no se han puesto de acuerdo aún.

Os pongo un ejemplo de lo que traía yo en la mochila antes de pasar por aquí: es un extracto muy corto de un documental de Odisea que me gustó, The quantum tamers, donde se habla de la superposición en el sentido de estar la misma partícula en más de un sitio a la vez:
enlace

Ya que estamos, otro ejemplo. Podéis ir directamente a 02:03:
enlace

Aquí, entre otras "perlas", sueltan esta: "Ahora se pueden ver en numerosos laboratorios objetos que son suficientemente grandes como para verlos a simple vista, y están en dos lugares simultáneamente. Incluso les puedes sacar una fotografía. Es la misma cosa en dos lugares".
Por lo que me ha comentado un amigo tamizero, no se ha llegado a ver ninguna partícula "a simple vista". Es más, no tenemos ni idea de cómo se mueve un electrón, por ejemplo, ni mucho menos qué aspecto tiene. Pero supongamos que el tío que dice esta frase quiere referirse a que se ha "medido" una partícula (porque medirla sería la única forma de "verla") y se ha detectado que está en dos sitios a la vez, la MISMA partícula en dos sitios a la vez. Eso tampoco es posible, ¿no? Aparte de lo raro que esto sería (aunque hace tiempo que "raro" y "cuántica" son sinónimos en mi cabeza), antes de medirla sólo existen probabilidades, con lo que no tenemos "pruebas" de que la partícula esté en varios sitios a la vez. Y una vez que medimos, la partícula pasa a colapsarse en una ubicación determinada, pero sólo en una, por lo que tampoco se da esa "superposición", al menos no en el sentido en el que se refieren al fenómeno en estos documentales, ¿no es así?


De: Sergio B
2013-01-04 14:00:13

@desidiactivo, yo creo que la cuestión de ver que algo este en dos sitios al mismo tiempo tiene que ser con mediciones que no colapsen el estado de partícula en concreto, sino que midan precisamente esas probabilidades, y que se considera que esas probabilidades son la naturaleza de la partícula en cuestión.

Lo que quiero decir, con un ejemplo, supongamos una partícula que tuviera dos estados posibles, estar un metro a la derecha nuestra o un metro a la izquierda. Si midiéramos la atracción gravitatoria que ejerce sobre nosotros podríamos tener:

Si la partícula esta en uno de los dos lados, notaríamos una fuerza para ese lado.
Si la partícula esta con un 50% de probabilidades en cada lado, no notaríamos nada, por que se compensarían o si tuviera mayor porcentaje en uno de los lados, notaríamos cierta fuerza hacia ese lado, pero menor de si pudiéramos decir que la partícula eta ahí.

Creo que si el resultado fuera el segundo se podría decir eso de ver la partícula en dos sitios.


De: Luis
2013-03-21 13:25:14

La representación está bien, lo único que hay que aclarar es que ese 1/ raiz (2) = 0,7. Pero eso no significa que tenga un 70% de probabilidades, sino 0,7 * 0,7 , que es 50% para cara y 50% para cruz.
Así, cuando ves un qbit definido con:
0,7<0| + o,7<1|
quiere decir que el cero tiene un 50% y el 1 un 50%.
De echo, en los algoritmos cuánticos lo primero que se hace es colocarlos en entrelazamiento en ese estado con matrices Hadamard.
Aquí dejo un enlace a un applet que muestra como cambian los estados del qbit mediante la modificación de sus ángulos y fase en la esfera de Bloch.
http://www.pha.jhu.edu/~javalab/qubit/qubit.html


De: Sergio B
2013-11-28 17:06

Hola Pedro,

Lo he comprobado y tambien me pasa en el movil, en varios articulos hasta este (por eso comento aqui tambien, puedes borrar este comentario). Me salen cosas tan horribles como esta:

En notación bra-ket, si llamamos al estado del dado antes de lanzarlo $\left | previo \right \rangle$, podemos decir que $\left | previo \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 1 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 2 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 3 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 4 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 5 \right \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \left | 6 \right \rangle$. Quitémonos un sombrero n-dimensional ante Paul Dirac y compañía, señores.

Un saludo!

De: Omar
2014-03-19 03:27

Gracias: Acabas de salvar mi vida, creé que jamás entendería mi tarea y por suerte me encontré con esta página. Explican excelente :D.

De: flyrusca
2014-08-21 15:37

Bueno, pues me tomo el obligado descanso.

Adjunto un link (http://www.wired.com/2014/06/the-new-quantum-reality/) sobre un experimento de dinámica de fluídos que establece un símil con los espacios cuánticos de probabilidad. El video del artículo resume perfectamente el efecto observado. Posiblemente en alguna entrada posterior de esta serie se explique el tema de las ondas-piloto y el de los corrales cuánticos a los que el experimento hace referencia.

Un saludo, Francesc.

De: Gonzalo
2014-08-27 05:52

¿Sabés como puedo tener actualizaciones de respuestas para saber cuándo me responden? Porque capaz que hago una pregunto y después me olvido, e.g. ahora.

Decís que la energía de las partículas libres no está cuantizada, pero sí lo está en partículas ligadas. ¿Qué sucede cuando una partícula pasa de estar “libre” a “ligada” con esa «porción de cuanto de energía que posería»? Suponeniendo, claro, el caso de que la partícula tenga, por ejemplo, “5 cuantos y medio de energía”.

Espero que lo leas, y ¡muy bueno el blog! Lo encontré un poco lejos de su creación, espero que siga tan activo. Me estoy fumando todos los artículos demasiado rápido por consecuencias de ya tenerlos todos jaja.

Saludos, Gonzalo.

De: J
2014-08-27 13:26

Gonzalo,

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