El Cedazo

Seguimos con la serie en la que finalmente, después de un buen tiempo y seis artículos, empezamos a hablar de un modelo atómico. Empezaremos por el primer modelo atómico “importante”: El modelo atómico de Thomson. Y primero de todo, ¿cuál es la idea del modelo atómico de Thomson?

El modelo atómico de Thomson es muy simple. Según él los átomos son esferas de carga positiva con electrones incrustados dentro de la esfera, lo cual les confiere una carga eléctrica neutra. Este modelo habla ya del átomo formado por partes positivas y partes negativas.

Vamos a ver consecuencias de este modelo. Básicamente, la gran revolución de este modelo está en el hecho de que predice que los átomos deben radiar ondas electromagnéticas, algo que se había comprobado experimentalmente, como ya comenté vagamente en la presentación de la serie. Voy a intentar explicarlo más o menos sin ecuaciones, aunque ya os advierto que este modelo tiene poca chicha.

Para hacer simplificaciones, imaginemos el átomo de hidrógeno. Según este modelo, el átomo de hidrógeno está formado por una esfera de carga positiva y un único electrón. Aunque parece obvio que el electrón tendrá una posición estable en el centro de la esfera, es bastante fácil razonarlo con la ley de Gauss. Supongamos ahora superficies esféricas concéntricas a nuestro átomo (más pequeñas que el radio atómico). La ventaja de estas superficies es que, debido a la simetría, una vez conocido el flujo de campo eléctrico podemos calcular sin dificultad el campo eléctrico. A este tipo de superficies se les llama superficies gaussianas.

Como la esfera tiene carga positiva y ésta está repartida por toda la esfera (supondremos que la carga se reparte homogéneamente por toda ella), cualquier superficie de éstas tendrá algo de carga positiva dentro, por lo que el flujo de campo eléctrico será diferente de cero. Pero recordemos que si el flujo no es cero significa que existen líneas de campo que atraviesan esta superficie y que, por lo tanto, existe un campo eléctrico. La existencia de un campo eléctrico en esta superficie significa que un electrón que se encuentre en esta superficie (es decir, a una distancia r del centro) sufrirá una fuerza. La única superficie donde el campo eléctrico vale 0 es precisamente cuando el radio es igual a cero, es decir, cuando el electrón se encuentra en el centro de la esfera de carga positiva. Por lo tanto, cuando el electrón se encuentre dentro de la esfera experimentará una fuerza que lo empuja hacia el centro, donde el electrón se va a encontrar en una posición de equilibrio (recordemos del artículo dedicado al movimiento armónico que posición de equilibrio hace referencia a una posición donde no actúan fuerzas).

Pero no nos paremos aquí e imaginemos que desplazamos el electrón del punto de equilibrio. Hemos visto que aparece una fuerza, pero que dicha fuerza justamente intenta llevar al electrón de nuevo a la posición de equilibrio… ¿os suena? ¡Efectivamente, la fuerza eléctrica actúa aquí como una fuerza recuperadora! Además, podemos ver que cuanto más alejemos el electrón del centro más grande será la fuerza recuperadora:

Recordemos que podemos calcular el campo eléctrico a cualquier distancia del centro usando la ley de Gauss (como ya hemos hecho arriba), pero cuanto más lejos esté el electrón del centro, más grande será la superficie gaussiana y más carga positiva habrá encerrada dentro (recordemos que la carga está repartida homogéneamente por toda la esfera, no está concentrada en el centro), por lo que el flujo (y por lo tanto el campo eléctrico y la fuerza) será más grande.

Si no acabáis de entender porqué cuando el electrón está más lejos del centro entonces la fuerza es más grande, vamos a verlo más a fondo. Como he dicho, el modelo de Thomson supone que la carga positiva del núcleo esta distribuida homogéneamente en una esfera. Imaginad una esfera llena de agua, el volumen total de agua es exactamente el volumen de la esfera. Imaginad ahora que tenemos una segunda esfera, más pequeña, o lo que es lo mismo, con un radio más pequeño (fijaros que el radio de la esfera es precisamente la distancia que hay entre el centro y cualquier punto de la superficie esférica), ahora vertimos el agua de la primera esfera a esta segunda. Supongo que todos sabéis que el volumen de una esfera (y por lo tanto, el volumen máximo de agua que puede encerrar) depende del radio, y cuanto más radio, más volumen. Entonces no podremos verter toda el agua y una parte de ésta se quedará en la primera esfera. Debéis estar preguntándoos que carajo tiene que ver esto con el modelo atómico de Thomson y por qué estoy divagando… Vale, imaginad^[1] que estas esferas son precisamente las esferas definidas por las superficies gaussianas dentro del átomo y que en lugar de agua están llenas de carga eléctrica. ¿No resulta evidente ahora que, cuanto más grande sea la superficie gaussiana más carga habrá encerrada dentro? Es importante también ver que la carga es constante; en nuestra analogía, si sumamos el volumen de agua de la esfera más pequeña y el volumen que se ha quedado en la primera obtenemos exactamente el volumen de la primera esfera. Lo mismo pasa con la carga, que está repartida en una esfera de radio el radio del átomo.

También quiero decir que el hecho de que la fuerza aumente con la distancia es una aproximación suponiendo que el radio de las superficies gaussianas no supera el radio atómico, en cuyo caso la carga deja de aumentar, pero en ese caso el electrón ha escapado del átomo, por lo que no nos interesa.

Espero que ahora os haya convencido que la fuerza recuperadora es proporcional a la distancia y que algunos de vosotros ya hayáis visto por donde voy… ¡El electrón sigue un movimiento armónico simple!

Aunque antes hay otra cosa muy importante que debemos tener en cuenta. Debido a la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza sobre un cuerpo éste sufre una aceleración directamente proporcional. Por lo tanto, el electrón está siendo acelerado todo el rato, por lo que, si recordáis lo dicho en el anterior artículo, emitirá radiación, ya que cualquier carga acelerada emite radiación electromagnética. Así que efectivamente el modelo atómico de Thomson predice que los átomos deben radiar ondas electromagnéticas, tal y como he anunciado al inicio del artículo. Pero además, en el anterior artículo también dije que una carga que siga un movimiento circular de frecuencia ν radia ondas de la misma frecuencia. Aunque en el artículo anterior usé el ejemplo de electrones dando vueltas en círculos, podéis volver a hacer lo mismo en el caso de un electrón siguiendo un MAS^[2] y deberíais estar de acuerdo conmigo si os digo que la conclusión es la misma (de hecho, el MAS y el movimiento circular uniforme están estrechamente relacionados).

Por lo tanto, no sólo sabemos que el electrón radia ondas electromagnéticas, además sabemos que tendrán la misma frecuencia que el electrón. ¿Recordáis de qué dependía la frecuencia de un MAS? Dependía de la “rigidez” del muelle y de la masa, en este caso, del electrón. Como ahora evidentemente no hay ningún muelle no tiene sentido hablar de la rigidez, pero, como vimos, la rigidez simplemente nos indica cuan intensa es la fuerza en una elongación concreta. En nuestro caso dependerá de la carga de la esfera (estamos pensando en el caso simplificado del hidrógeno, pero los razonamientos que hemos hecho servirían para cualquier átomo con un solo electrón, como el Helio ionizado) y del radio del átomo.

Lo más importante es una conclusión que remarqué en la segunda parte del artículo dedicado al MAS. No nos interesa tanto de qué depende la frecuencia de oscilación, sino de qué no depende esta frecuencia. Hemos visto que sólo depende de la carga de la esfera (ya que la masa del electrón es una constante que no podemos variar) y del radio del átomo, pero no depende de la distancia a la que desplacemos el electrón del centro. Por lo tanto, tendremos una frecuencia de vibración bien definida que solamente dependerá de cada átomo en concreto. De hecho, para un átomo de hidrogeno^[3] la carga de la esfera es, evidentemente, la carga de un protón, que es aproximadamente 160 zC^[4] y su radio atómico es aproximadamente 1 Å^[5], por lo que tenemos que la frecuencia de vibración es de aproximadamente 2,53 PHz,^[6] lo que equivale a una longitud de onda de 119 nm.^[7]

Aunque lo hecho aquí sólo sirve estrictamente para átomos con un solo electrón, es posible demostrar que si el número de electrones aumenta podemos aproximar el movimiento de cada uno de los electrones a un movimiento armónico simple, de forma que, en buena aproximación, podemos generalizar los resultados de lo que acabamos de ver para cualquier átomo sea el número de electrones tan grande como se quiera. Eso es debido a que aunque el número de electrones sea diferente a 1, siempre existirán posiciones de equilibrio estables (seguramente no en el centro), y cualquier posición de equilibrio estable cumple que la función de la energía potencial tiene un mínimo en esa posición.^[8] Y si has estudiado el MAS con más profundidad de lo que expliqué yo, ya sabes que la función energía potencial del movimiento es una parábola, pero cualquier función con un mínimo puede aproximarse alrededor de este mínimo como una parábola. Por lo que, efectivamente, cualquier movimiento alrededor de un punto de equilibrio estable puede aproximarse como un movimiento armónico simple (evidentemente, cuanto menor sea la elongación mejor será la aproximación).

Hasta aquí el primer artículo hablando sobre el modelo atómico de Thomson. En el próximo vamos a ver los fallos del modelo (uno de ellos salta ya a la vista) para poder ver en un futuro cuales son las ventajas del modelo de Rutherford.

Modelo atómico de Thomson (con ecuaciones)

Vamos a poner algunas ecuaciones a lo dicho arriba. Como muchas veces, éste es un material bastante complementario que, si dominas el lenguaje matemático, te ayudará a entender mejor lo explicado arriba.

Vamos a suponer un átomo de hidrógeno, formado por una esfera de carga +e, con un electrón en el centro con carga -e. Supongamos que desplazamos el electrón una distancia r₀ del centro. ¿Cuánto vale E en ese punto? Vamos a aplicar la ley de Gauss, recordemos lo que nos dice:

Escojamos ahora una superficie cerrada donde podamos aplicar la ley de Gauss. Evidentemente, como queremos calcular el campo en un punto concreto, debemos buscar una superficie cerrada que incluya dicho punto. Debemos notar que el campo en ese punto es independiente de cómo lo calculemos y, por lo tanto, escojamos la superficie que escojamos debemos llegar al mismo resultado. Para simplificar vamos a escoger una superficie esférica de radio r₀ concéntrica al átomo. Esta superficie es muy útil porque cumple dos condiciones que nos facilitan mucho el cálculo:

1. El campo eléctrico es perpendicular o paralelo a la superficie en todos los puntos de ésta.
2. El campo eléctrico tiene el mismo módulo en todos los puntos en los que es perpendicular a ésta.

En la siguiente imagen se ve claramente que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie en todos los puntos:

La segunda ventaja de usar esta superficie es evidente si recuerdas que el modulo varía con la distancia: la esfera justamente tiene la propiedad que todos los puntos están a la misma distancia del centro.

¿Qué ventajas nos proporciona la superficie esférica? Muy sencillo, primero debemos fijarnos en la definición de flujo y veremos que se simplifica un poco:

Ya que el coseno de π/2 es 1. Esto puede parecer una tontería, pero nos hemos quitado los vectores del medio, lo que simplifica muchas cosas. Justamente, como ahora lo que está dentro de la integral es el modulo del campo y la segunda propiedad de la superficie nos dice que éste es constante, podemos sacarlo fuera de la integral (antes lo que teníamos dentro era el vector campo eléctrico, que no es constante, ya que varía en dirección. Por este motivo la primera propiedad es muy importante). Veamos cómo queda la ley de Gauss ahora:

Donde hemos aplicado que la integral del diferencial de superficie sobre una superficie es precisamente esta misma superficie, que en nuestro caso es una superficie esférica de radio r₀. Las superficies que poseen estas dos propiedades nos permiten calcular siempre el campo eléctrico en ellas, y se llaman superficies gaussianas. Realmente aunque la ley de Gauss se cumple en cualquier situación, su utilidad es básicamente la de calcular campos eléctricos de forma sencilla (al menos mucho más sencillo que hacerlo mediante la ley de Coulomb). Usarla bien puede simplificar páginas de cálculos y reducirlas a pocas líneas.^[9]

Ahora solo debemos calcular la carga interior de la superficie. Usemos el concepto de densidad volumétrica de carga que definimos en el artículo sobre ley de Coulomb, pero supongamos que la densidad es constante a toda la esfera:

Entonces la carga encerrada en un volumen concreto será

Sustituido en la ecuación del campo eléctrico:

Finalmente podemos calcular la fuerza a partir de la definición de campo eléctrico

Aquí se pone claramente en evidencia que efectivamente el movimiento del electrón se trata de un movimiento armónico simple. Además, sabemos que la frecuencia de las oscilaciones viene dada por la ecuación

Finalmente, sólo debemos calcular el valor de la densidad de carga

Donde r_A es el radio atómico, juntando todas las ecuaciones obtenemos lo siguiente:

Donde sustituyendo valores aproximados resulta lo dicho en la primera parte.

Ahora sí, hasta aquí llega el primer artículo dedicado al modelo atómico de Thomson. Espero que la espera haya valido la pena.

1. Sí, debéis tener una gran imaginación, al fin y al cabo estamos intentando entender un átomo, ¿no? [↩]
2. Recordad que MAS son las siglas de “Movimiento Armónico Simple”. [↩]
3. Por si tenéis la química lejos: un átomo de hidrógeno es un protón + un electrón. [↩]
4. 160 zeptoculombios, equivalente a 160·10^-21 C. [↩]
5. 1 ångström, equivalente a 100 pm=10^-10 m. [↩]
6. 2,53 Petahertz, equivalente a 2,53·10¹⁵ Hz. [↩]
7. 119 nanómetros, equivalente a 119·10^-9 m. [↩]
8. Esto no lo hemos visto, pero tranquilos, no es importante para la serie, una simple curiosidad. [↩]
9. Ejemplos de campos fácilmente calculables por la ley de Gauss son configuraciones esféricas, un hilo infinito o una superficie plana infinita… [↩]