El Cedazo

Tras la presentación de hace unas fechas, empecemos hoy con el primer artículo de esta serie, en la que voy a explicar conceptos básicos, y no tan básicos, para intentar que todo el mundo pueda entender con profundidad el modelo atómico de Thomson. No hace falta decir que si no te interesa profundizar en los modelos o tienes un nivel de conocimientos aceptable no hace falta que leas este artículo, aunque siempre es recomendable.

Antes de hablar del modelo de Thomson creo que es necesario conocer los siguientes fenómenos físicos de los que hablaré en sucesivos artículos (posiblemente un artículo por fenómeno):

1. Conservación de la energía y del momento lineal
2. Colisiones elásticas
3. Movimiento armónico
4. Ley de Coulomb
5. Teorema de Gauss
6. Conceptos básicos sobre radiación

Antes de empezar, voy a recomendar la lectura de dos series de El Tamiz: Mecánica Clásica I y Electricidad I

Bien, es posible que pase muy por encima de ciertos conceptos y en otros me pare bastante porque son más difíciles o más importantes. Todos ellos voy a intentar explicarlos conceptualmente, pero aquí voy a necesitar el uso de ecuaciones, así que espero que no os asustéis y que pueda hacer entendibles todos los conceptos (si no, siempre estaré abierto a sugerencias para mejorar).

Ahora sí, empecemos esta serie de una vez:

1. Conservación de la energía y del momento lineal

Conservación de la energía

Si habéis seguido mi consejo ya debéis saber qué es el trabajo y la energía, y también que hay dos tipos de esta última: cinética y potencial.

En física existe un teorema, llamado Teorema Trabajo-Energía cinética, que afirma que el trabajo realizado sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de la misma.

El trabajo, recordemos, es el producto de la fuerza por la distancia que recorre el objeto en la dirección de la fuerza. Parece bastante intuitivo que si tenemos una partícula parada y le aplicamos un trabajo, ésta empiece a moverse a cierta velocidad, lo que provoca que aumente su energía cinética, ya que ésta es la energía que tiene un cuerpo debido a su movimiento. Del mismo modo, si la partícula ya se está moviendo y aplicas una fuerza en el sentido del movimiento (trabajo positivo), la velocidad de la partícula aumentará, mientras que si aplicas una fuerza en sentido contrario al movimiento (trabajo negativo), la velocidad disminuirá. Una variación de este teorema dice que, en un sistema de partículas, el trabajo total realizado por todas las fuerzas es igual a la variación de energía cinética de ese sistema.

Las fuerzas que actúan sobre un sistema pueden ser de dos tipos, internas o externas. Las fuerzas internas son las que ejercen unas partículas del sistema sobre otras del mismo sistema, mientras que las externas son las que ejercen partículas externas al sistema sobre las partículas internas al mismo. Un ejemplo de sistema de partículas sería, por ejemplo, el sistema Tierra-Luna:^[1] una fuerza interna es la fuerza gravitatoria con la que la Tierra atrae a la Luna (y viceversa), mientras que una fuerza externa seria la fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre ambas partículas.

Las fuerzas también pueden clasificarse como conservativas o no conservativas. Imaginemos que queremos llevar un objeto desde un punto 1 a un punto 2 y que tenemos dos caminos distintos para hacerlo (S1 y S2):

 

Para llevar el objeto desde el punto 1 hasta el 2 tendremos que aplicar una fuerza y, por lo tanto, debemos hacer un trabajo. Puede parecer que evidentemente el trabajo que hacemos es mayor si seguimos el camino S1 que si seguimos S2, pero esto no es necesariamente cierto. En esto se basa esta clasificación de la fuerza. Si el trabajo realizado al llevar el objeto desde el punto 1 hasta el 2 es el mismo para los infinitos caminos posibles, entonces hablamos de una fuerza conservativa. Si, por el contrario, hay algún camino donde el trabajo realizado es mayor o menor, hablamos de una fuerza no conservativa.  Es importante recordar que el trabajo debe compararse para infinitos caminos posibles, no sólo para dos (he escogido una imagen con únicamente dos porque he creído que dibujar infinitos caminos sería un poco confuso).

Bien, es importante tener muy claro esto, ya que sólo se puede hablar de energía potencial debida a fuerzas conservativas. De hecho se define la variación de energía potencial debida a una fuerza conservativa como menos (-) el trabajo realizado por dicha fuerza (es decir, el trabajo cambiado de signo). Recordad que el Teorema Trabajo-Energía cinética afirma que el trabajo realizado sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de la misma.

Ahora definimos un tipo de energía, la energía mecánica, que es la suma de las energías cinética y potencial.

Pues bien, en los casos donde todas las fuerzas son conservativas y no existen trabajos exteriores al sistema, resulta que la energía mecánica es constante. Esto se puede ver cuando lanzamos una moneda: al principio está quieta, nosotros aplicamos una fuerza (realizamos un trabajo) externo a la moneda, entonces ésta gana energía cinética^[2], que va convirtiéndose paulatinamente en energía potencial a medida que sube, hasta que toda la energía cinética, al pararse en el punto más alto de su trayectoria, se ha convertido en potencial y vuelve a bajar hasta caer al suelo (en todo este movimiento la energía mecánica se ha conservado), donde el suelo realiza un trabajo externo negativo, haciendo que toda la energía cinética desaparezca (a veces no desaparece del todo y la moneda rebota), de nuevo la energía mecánica ha disminuido.

Conservación de la energía (con ecuaciones)

Bien, para los que no tengáis miedo a las ecuaciones vamos a repetir el apartado anterior pero con ellas, ya que nos van a ayudar a visualizar por qué la energía se conserva:

El Teorema Trabajo-Energía cinética puede escribirse como:

Donde W es el trabajo y E_c la energía cinética.

De nuevo, por definición, como hemos dicho el trabajo realizado por fuerzas conservativas puede escribirse

donde U es la energía potencial.

A partir de aquí debemos entender que el trabajo total es la suma de todos los trabajos realizados por las fuerzas, por lo tanto:

Si el trabajo realizado por fuerzas no conservativas (W_nc) es cero y no existen trabajos externos al sistema, entonces la energía mecánica -cinética más potencial- resulta constante (la variación de energía mecánica es 0), como hemos dicho más arriba.

Conservación del momento lineal

El momento lineal, también llamado ímpetu, cantidad de movimiento o simplemente momento si no causa confusión, se puede considerar como una medida de la dificultad de llevar la partícula al reposo.

La cantidad de movimiento es proporcional a la masa y a la velocidad. Cuanto más masivo es un cuerpo más difícil es frenarlo, y cuanto más rápido se mueve, igual. La segunda ley de Newton nos dice que la variación del momento es igual a la fuerza aplicada por el tiempo que la aplicamos. Lo vemos en el siguiente ejemplo:, todo el mundo sabe que si das un golpe (una fuerza durante un tiempo muy pequeño) a algún objeto, éste adquiere una cierta velocidad, pero que si empujas el objeto (aplicas una fuerza de igual intensidad durante un cierto tiempo) la velocidad que obtiene es mayor.

En un sistema de partículas suele definirse un punto especial que llamamos el centro de masas. Este punto es un punto del espacio tal que si en él hubiera una partícula con la misma masa que el conjunto del sistema, ésta se movería igual a como lo hace el sistema. Resulta intuitivo que el momento de un sistema de partículas sea igual al momento que tendría esta partícula imaginaria. La variación del momento sería también igual en los dos casos.

Pero si no existe una fuerza neta externa al sistema, como se debe cumplir la segunda ley de Newton, la partícula imaginaria no experimentará ninguna variación de su momento. A partir de aquí podemos determinar que el momento de un sistema de partículas se mantendrá constante a no ser que actúen fuerzas externas. Es importante ver que las fuerzas internas del sistema no producen ninguna variación del momento: si esto fuera así, veríamos que todos los objetos (que no dejan de ser sistemas de muchísimas partículas) se moverían de forma aleatoria sin que actuara ninguna fuerza sobre ellos.

Por lo tanto, si no hay fuerzas externas, el momento se conserva.

Conservación del momento (con ecuaciones)

El momento de una partícula se define de la siguiente forma:

Donde la negrita indica que se trata de una magnitud vectorial, es decir, magnitudes que nos indican no sólo su valor, sino hacia donde actúan (por ejemplo la velocidad nos indica la rapidez con la que se mueve un cuerpo, pero también hacia donde se mueve).^[3]

La segunda ley de Newton nos dice:

Pero suponer que la fuerza es la misma durante un largo período de tiempo puede no ser correcto. Para evitar esto nos interesa que la variación de tiempo sea muy, muy pequeña. Esto es lo que se conoce como derivada y se escribe:

Que de hecho es la forma correcta de escribir la segunda ley de Newton, donde vemos que, como he dicho, la variación de momento es igual al producto de la fuerza por el lapso de tiempo en que es aplicada.

Ya he definido arriba qué es el centro de masas de un sistema (cm), y es posible determinar este punto del espacio con la siguiente ecuación en donde (i) se refiere a cada una de las partículas del mismo; m, la masa; r, su vector posición y M, la masa total del sistema:

Derivando respecto al tiempo podemos conocer la velocidad con la que se mueve el centro de masas:

 

Por lo tanto, el momento del centro de masas es igual a la suma de los momentos de todas las partículas. De nuevo, derivando respecto al tiempo:

Como toda fuerza tiene una reacción, para cada fuerza interna que actúa sobre una partícula existe una fuerza igual pero opuesta, y por lo tanto la suma de todas las fuerzas internas es 0. Por lo que nos queda:

Y por lo tanto:

Donde obtenemos que si no hay una fuerza neta externa sobre el sistema, el momento se conserva.

Hasta aquí el primer artículo de la serie. En el siguiente vamos a hablar de un concepto estrechamente relacionado con los explicados hoy, las colisiones y, en concreto, las colisiones elásticas.

Hasta la próxima.

1. Imaginemos que tanto la Tierra como la Luna son partículas. Aunque lo que voy a explicar es cierto, no tengo ganas de explicar por qué se cumple con cuerpos de muchas partículas. [↩]
2. Con lo que gana energía mecánica y ésta no se conserva, ya que hay una fuerza exterior. [↩]
3. En el próximo artículo dedicaremos algunos párrafos más sobre el tema de magnitudes vectoriales. [↩]