El Cedazo

Vamos con una nueva entrada de esta serie donde pretendo, con la excusa de explicar los modelos atómicos, a lo que ya llegaremos, hablar un poco de física. Después de hablar sobre el Movimiento Armónico y sobre la Ley de Coulomb en el último artículo, vamos a continuar en la rama de la electrodinámica. Hablaremos hoy de una forma distinta de decir lo mismo que en el último artículo, pero una forma más general: hablaremos de la Ley o Teorema de Gauss.

Pedro dedicó un artículo a hablar de lo mismo: http://eltamiz.com/2011/08/29/las-ecuaciones-de-maxwell-ley-de-gauss-para-el-campo-electrico/

Os recomiendo que antes o después de leer este artículo os paséis por ahí porque sus explicaciones son inmensamente mejores que las mías.

5. Ley de Gauss

La ley de Gauss es una de las cuatro leyes de Maxwell, así que seguro que todos habéis oído hablar de ella en mayor o menor medida. Además, para cargas estáticas, la ley de Gauss y la ley de Coulomb dicen exactamente lo mismo (de hecho, daré una pequeña demostración en la segunda parte a partir de la ley de Coulomb), pero la ley de Gauss es más general, ya que se puede aplicar a cualquier carga, se esté moviendo o no.

Antes de hablar de la ley de Gauss, es necesario introducir un concepto más de la Teoría Clásica de Campos: El flujo del campo. Voy a hablar en concreto sobre el flujo eléctrico, ya que es lo que nos interesa, pero puede aplicarse a cualquier campo. Espero que recordéis el concepto de líneas de campo que introducimos en el artículo anterior, ya que para el concepto de flujo es imprescindible.

Bien, ¿qué es el flujo eléctrico? El flujo eléctrico es el número de líneas de campo que cruzan una superficie. Como dijimos en el artículo anterior, la densidad de líneas está relacionada con la intensidad del campo eléctrico, por lo que es lógico pensar que, si suponemos una superficie constante, cuando mayor sea el campo eléctrico en los puntos de esa superficie, más líneas de campo pasaran a través de ella. Por lo que el flujo eléctrico debe ser proporcional al campo eléctrico. Evidentemente,también es lógico pensar que cuanto más grande sea la superficie, más grande será el flujo, ya que más líneas pasaran a través de ella.

Introduzcamos otro concepto, hablaremos de una superficie cerrada siempre que la superficie divida el espacio en dos trozos, un trozo interior a la superficie y un trozo exterior a la superficie. Es decir, una superficie que encierre un cierto volumen será una superficie cerrada. Por ejemplo, la superficie de una esfera, o de un cubo, una pirámide etc… son superficies cerradas; en cambio una superficie cuadrada o redonda no lo son. Por supuesto, ninguna superficie en dos dimensiones puede ser una superficie cerrada.

Además, establezcamos un convenio, diremos que el flujo eléctrico es positivo si sale de una superficie cerrada, y diremos que el flujo eléctrico es negativo si entra a una superficie cerrada. Si en una superficie cerrada entran X líneas y salen Y líneas el flujo es el mismo que si solo salieran Y-X líneas de campo (si la resta es negativa significa que entran más líneas de las que salen). Pero recordemos que las líneas de campo nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas, por lo que, si en una superficie cerrada no hay ninguna carga,^[1] todas las líneas que entren deben salir por algún sitio, por lo que si una superficie no encierra ninguna carga, el flujo que atraviesa la superficie es necesariamente 0.^[2] A lo mejor estas imagenes os ayudan a visualizar lo que acabo de decir:

De la misma forma, si el flujo en una superficie cerrada es positivo, significa que salen más líneas de las que entran, por lo tanto, dentro de esta superficie están naciendo líneas de campo, lo que quiere decir que hay una carga positiva. De la misma forma, si el flujo en una superficie cerrada es negativo, significa que hay una carga negativa.

Pues bien, esto es lo que dice la ley de Gauss. Concretamente:

El flujo que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada dentro.

Quiero hacer un pequeño comentario: hemos visto que si dentro de una superficie cerrada no hay ninguna carga, entonces el flujo que atraviesa la superficie^[3] es 0, y también que, si el flujo que atraviesa una superficie es positivo/negativo, entonces dentro de esa superficie hay una carga positiva/negativa.

Ahora bien, ¿son ciertas las afirmaciones recíprocas? Es decir, ¿podemos afirmar que, si el flujo que atraviesa una superficie es 0, entonces no hay ninguna carga dentro la superficie? ¿O que, si dentro de una superficie hay una carga positiva/negativa, entonces el flujo que atraviesa esa superficie será positivo/negativo? La respuesta es NO, y todo se debe a lo mismo: la Ley habla de carga neta.

Vamos a ver porque no es cierta la primera afirmación; ¿qué quiere decir que el flujo que atraviesa una superficie es 0? Pues como lo hemos definido antes, simplemente nos dice que entran las mismas líneas que salen, pero ¿deben ser las mismas líneas? No, es posible que entre el mismo número de líneas que salen, pero que dentro de la superficie mueran algunas líneas y se creen otras, evidentemente para que entren y salgan el mismo número de líneas, dentro de la superficie deben crearse el mismo número de líneas que se mueren, por lo que, aunque no podemos afirmar que no haya cargas en el interior, sí que podemos afirmar que la carga neta (la suma de todas las cargas) será exactamente cero, habrá la misma carga positiva que negativa. Si se ha entendido esto es evidente porque la otra afirmación es también falsa.

¿Por qué, si dentro de una superficie hay una carga positiva/negativa, el flujo que atraviesa la superficie no será necesariamente positivo/negativo? Fácil porque, aunque dentro de la superficie haya una carga positiva no podemos descartar que pueda haber otras cargas negativas, y si la carga neta es negativa el flujo será negativo, aunque haya cargas positivas dentro.

Espero que haya quedado clara esta ley, que, como podéis ver es bastante intuitiva.

Ley de Gauss (con ecuaciones)

Empecemos, como arriba, hablando del flujo eléctrico. Hemos dicho que el flujo eléctrico es el número de líneas de campo que atraviesan una superficie, y hemos deducido que debe ser proporcional al campo eléctrico y a la superficie. Entonces tenemos que el flujo (Φ) se puede calcular así:

Donde Φ es el flujo eléctrico, E es el campo eléctrico y A es la superficie.

Bien, resulta que esta ecuación no es del todo cierta. Para simplificar las cosas vamos a suponer que estamos en una región donde el campo eléctrico E es constante en todos los puntos. Fijémonos en el siguiente dibujo:

Como vemos el flujo que atraviesa las superficies A₁ y A₂ es el mismo (en ambos casos atraviesan 4 líneas de campo). Pero evidentemente A₁ y A₂ son diferentes. Para esto vamos a definir un vector, perpendicular a la superficie, al que llamaremos vector superficie, e impondremos que el módulo de dicho vector sea proporcional al valor de la superficie. Si imaginamos los vectores superficie de A₁ y A₂ vemos que forman un ángulo θ, que es el ángulo que está dibujado, ya que A₂ es el vector n que aparece en el dibujo y A₁ es paralelo a E. El dibujo ya nos marca la relación entre A₁ y A₂. Con lo que sabemos podemos definir lo siguiente:

Enfoquemos ahora las cosas de otra manera. El ángulo θ no es el ángulo entre los dos vectores superficie, sino que es el ángulo entre un vector superficie y el vector E. Por lo tanto, como el ángulo entre A₁ y E es 0 podemos afirmar que:

Donde hemos aplicado que el producto del módulo de dos vectores por el coseno del ángulo entre los dos vectores es, por definición, el producto escalar de los dos vectores. Ésta es la definición correcta de flujo eléctrico; vemos que si la superficie es perpendicular al campo eléctrico, θ es 0 y el flujo es el producto de los módulos. Lo bueno de un producto escalar es que, si no nos gusta trabajar con vectores, podemos usar los siguientes trucos:

Donde E_n y A_n son, respectivamente, el campo eléctrico perpendicular a la superficie y la superficie perpendicular al campo eléctrico. Bien, pero todo esto lo hemos hecho suponiendo que el campo era constante en cualquier punto del espacio… Algo que no suele ocurrir, ya que el campo creado por una carga varía con la distancia al cuadrado. Pues entonces hagamos un truco muy utilizado en física. Sabemos lo que ocurre si el campo es constante… pues busquemos una superficie muy pequeña. ¿Es ahora el campo prácticamente constante para toda la superficie? ¿No? Pues busca una aún más pequeña y así hasta que la variación del campo sea tan pequeña que podamos considerarlo constante en toda la superficie (aunque puede que tengamos que buscar superficies infinitamente pequeñas). Si hacemos esto podemos afirmar que, para una superficie infinitamente pequeña, que llamamos dA, el flujo (infinitamente pequeño también) será:

Pero claro… Nos interesa poder trabajar con cualquier superficie, ya sea infinitesimal (es decir, infinitamente pequeña) o no, y además nos interesa poder trabajar con superficies en las que el campo eléctrico no es constante, ¿cómo lo hacemos? Pues bien, simplemente debemos dividir la superficie en infinitas superficies infinitesimales, calcular el flujo de estas superficies y sumar todos los flujos. Esto es lo mismo que ya hicimos en el anterior artículo, y se escribe así:

Y ahora sí, esta es la definición general de flujo eléctrico (si sabéis integrar podréis comprobar que suponiendo E constante sale la definición anterior).

NOTA: El flujo tal y como lo hemos definido no tiene signo. Matemáticamente, con la definición que hemos dado, el flujo tiene un valor concreto, pero puede ser positivo o negativo. Esto es debido a que hemos definido el vector superficie como el vector perpendicular a ésta, pero existen dos vectores, de signos opuestos perpendiculares a cualquier superficie. Algunas veces, para evitar esto, se impone que el vector debe tener un sentido concreto, pero esto no nos hace falta.

Hemos hablado de flujo eléctrico en general para cualquier superficie, pero para la ley de Gauss nos interesan sólo superficies cerradas, así que vamos a introducir un par de cosas que se usan solamente para superficies cerradas:

Primero de todo, como he dicho, una superficie cualquiera puede tener dos vectores asociados. Para una superficie cerrada impondremos que el vector debe salir de la superficie, por lo que ahora sí que tiene sentido hablar del signo del flujo eléctrico. Elegir este vector implica la convención que he dicho antes, y es que el flujo es positivo si sale de la superficie y negativo si entra. Además, para no especificar si una superficie es cerrada o no, cuando hablemos de flujo en una superficie cerrada escribiremos lo siguiente:

Ahora, para deducir la ley de Gauss vamos a introducir el concepto de ángulo sólido.

Seguro que todos vosotros sabéis qué es un ángulo plano (llamado así porque es un ángulo “en dos dimensiones”); el ángulo plano, por definición, es la longitud de un arco de circunferencia dividida por el radio de dicha circunferencia:

Con la definición se puede ver claro que el ángulo de una circunferencia entera es 2π radianes, donde el radián es la unidad de ángulo plano definida como el ángulo de un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia.

Pues bien, el ángulo sólido es una especie de ángulo en tres dimensiones, que se define como el área de un casquete esférico^[4] dividido por el radio de la esfera al cuadrado.

El ángulo sólido, al igual que el plano, es adimensional (longitud al cuadrado entre longitud al cuadrado) y la unidad es el estereorradián, que es el ángulo sólido de un casquete esférico de área r². Sabiendo que la superficie de una esfera es 4πr² no es difícil ver que el ángulo sólido de una esfera es 4π estereorradianes.

Ahora bien, sabemos calcular el ángulo plano de una circunferencia y el ángulo sólido de una esfera, pero ¿cómo calculamos el ángulo de otros objetos?

¿Qué es lo que hacemos para calcular el ángulo plano de un objeto? Pues proyectamos el objeto sobre una circunferencia y calculamos el ángulo del arco proyectado. Para calcular el ángulo sólido de una superficie cualquiera la proyectamos sobre una esfera y calculamos el ángulo del casquete proyectado. Como explicar esto es algo complicado, os pongo una imagen que espero que os lo aclare:

El ángulo sólido subtendido por una superficie en un punto O es:

Donde θ es el ángulo que forma el vector superficie con el vector que une la superficie con el punto O.

Si habéis entendido el concepto de ángulo sólido y de superficie cerrada, deberías ver que, independientemente de la superficie, el ángulo sólido subtendido por una superficie cerrada en un punto O interior a la superficie es 4π estereorradianes.

A partir de aquí, supongamos una carga puntual encerrada en una superficie. El flujo eléctrico lo calculamos usando:

El campo eléctrico lo podemos calcular con la ley de Coulomb, que nos dice que

Por lo tanto, el flujo queda

Recordemos que definimos la constante ε₀ como 1/4πK

Y ésta es exactamente la ley de Gauss. Recordemos que cualitativamente hemos deducido que lo que nos decía la ley de Gauss era que el flujo eléctrico que atravesaba una superficie era proporcional a la carga encerrada. Pues vemos que efectivamente la ley de Gauss nos dice que

Hemos deducido esto para una carga puntual, pero puede demostrarse que este resultado es general y no depende de si la carga encerrada es puntual o no. Esta ley es muy útil para calcular campos eléctricos de cuerpos muy simétricos. Pero el artículo ya es suficientemente denso, así que lo dejaremos aquí.

El siguiente artículo es el último de los conceptos previos al átomo de Thomson, además es muy corto, y en él hablaremos de conceptos básicos de radiación.

Hasta la próxima.

1. Nos referimos al volumen encerrado por la superficie, por esto necesitamos que sea cerrada. [↩]
2. IMPORTANTE: No he dicho que no haya líneas de campo que atraviesen la superficie, he dicho que las líneas que entran, salen. [↩]
3. A partir de ahora no especificaré superficie cerrada, doy por entendido que la Ley de Gauss solo se aplica a este tipo de superficies. [↩]
4. Un casquete esférico no es más que una parte de una superficie esférica. [↩]