Seguimos hoy nuestra conversación con Salviati, Sagredo y Simplicio en la traducción comentada de los Discorsi de Galileo, publicados en 1638. Es absurdo leer esto sin empezar desde el principio, de modo que si no sabes de qué va el asunto, te recomiendo la presentación para que sigas desde allí.

Habíamos dejado a los tres amigos discutiendo sobre la posibilidad de que la materia contuviese un número infinito de espacios vacíos en un volumen finito. La cuestión del infinito es tela marinera hoy en día, y lo era mucho más en el siglo XVII, cuando nuestras Matemáticas aún no le habían hincado el diente de veras.

Pero ése es uno de los encantos del libro de Galileo: el italiano ataca los problemas con agudeza, pero sin una base teórica, con la misma ingenuidad que un niño. Eso sí, un niño con una inteligencia privilegiada, claro, con lo que incluso cuando no llega a conclusiones correctas es una delicia pensar con él.

Dejo, como siempre, la última intervención del pasado diálogo para continuar hoy:

Salviati – De otro modo, ¿qué? Ya que hemos alcanzado una paradoja, veamos si podemos demostrar que es posible encontrar un número infinito de vacíos en un volumen finito. Al mismo tiempo intentaremos al menos alcanzar una solución al más notable de todos los problemas que el propio Aristóteles llama maravillosos; me refiero a sus Preguntas de Mecánica. Esta solución no puede ser menos clara y contundente que la que él mismo da, y también muy diferente de la tan claramente expuesta por el sapientísimo Monsignor di Guevara.

En primer lugar es necesario considerar una idea, no explorada por otros, pero de la que depende la solución al problema y de la que, si no estoy equivocado, extraeremos otras conclusiones nuevas y notables. Para mayor claridad, dibujemos una figura precisa. Tomando G como centro, describamos un polígono equiangular y equilátero de cualquier número de lados, por ejemplo el hexágono ABCDEF.

La figura en cuestión, que Galileo utilizará durante un buen rato, se las trae: tiene muchos puntos y se hablará de ella varias veces. Pero no te preocupes, échale un vistazo y luego reproduciré las partes relevantes de nuevo según nos hagan falta, para que no tengas que ir y volver constantemente.

Figura 5.

Dibujemos un segundo polígono más pequeño similar a él y de menor tamaño, HIKLMN. Prolonguemos el lado AB del hexágono mayor indefinidamente hacia S; del mismo modo, prolonguemos el lado correspondiente del hexágono menor, HI, en la misma dirección, de manera que la línea HT es paralela a AS. Y tracemos la línea GV que pasa por el centro y es paralela a las otras dos.

Por ahora puedes olvidarte de las circunferencias de abajo. En la parte de arriba, aunque todo suene como un trabalenguas, Salviati propone básicamente dos cosas:

• Dos hexágonos regulares concéntricos, uno grande (ABCDEF) y otro más pequeño (HIKLMN). No importa el tamaño de ambos mientras uno sea mayor que el otro.

• Tres líneas rectas paralelas entre sí: una es la prolongación del lado inferior AB del hexágono grande, otra es la prolongación del lado HI del pequeño, y la tercera es la recta paralela a ambas que pasa por el centro de ambos hexágonos (que es el mismo, claro, porque son concéntricos).

Una vez hecho esto, imaginemos que el polígono más grande rueda sobre la línea AS, llevando consigo al polígono más pequeño. Resulta evidente que si el punto B –el extremo del lado AB– se mantiene fijo desde el inicio de la rotación, el punto A subirá y el punto C caerá siguiendo el arco CQ, hasta que el lado BC coincida con la línea BQ, de igual tamaño que BC.

Si imaginas los dos hexágonos como si fuera una rueda de madera de forma hexagonal, donde el hexágono pequeño es el hueco de la rueda, lo que propone Galileo (quiero decir, Salviati) es precisamente hacerla rodar. Evidentemente no es una rueda circular, sino hexagonal, de modo que el giro no es suave, pero eso ahora da igual: el objetivo es que gire “un paso”.

Al tratarse de un hexágono regular, tras girar 60º la rueda volverá a reposar sobre uno de sus lados: en vez de AB como antes, ahora será BC. Durante ese giro, B ha permanecido “en el suelo”, mientras que A ha subido recorriendo un arco, y C ha bajado recorriendo otro, hasta llegar al “suelo”. En el dibujo, C ahora está en Q, de modo que la base del hexágono girado es BQ, que mide, por supuesto, igual que AB.

El siguiente fragmento puede volver a sonar como un trabalenguas, pero básicamente es la misma descripción de lo que le pasa al hexágono menor (el “hueco” de la rueda):

Pero durante esta rotación el punto I del polígono más pequeño subirá por encima de la línea IT, porque IB es oblicuo a AS; y no volverá a la línea IT hasta que el punto C haya alcanzado la posición Q. El punto I, una vez ha descrito el arco IO sobre la línea HT, alcanzará la posición O al mismo tiempo que el lado IK se sitúa en OP; pero al mismo tiempo el centro G ha recorrido una trayectoria sobre GV y no vuelve a esa línea hasta haber completado el arco GC.

Una vez dado este paso, el polígono más grande descansará con su lado BC sobre la línea BQ, mientras que el lado IK del polígono menor coincide con el segmento OP, y ha pasado sobre el segmento IO sin tocarlo; además, el centro G habrá alcanzado la posición C tras haber recorrido todo su camino sobre la línea paralela GV.

Finalmente, la figura entera tendrá una posición similar a la inicial, de modo que si continuamos la rotación y damos el siguiente paso, el lado DC del polígono mayor coincidirá con el segmento QX y el lado KL del polígono menor, habiendo recorrido el arco PY, caerá sobre YZ, mientras que el centro, siempre sobre la línea GV, volverá a ella en R tras haber recorrido el arco CR.

Como ves, el último párrafo es una descripción de lo mismo pero para el segundo “paso”. Si damos seis pasos como estos, nuestra rueda hexagonal habrá completado una revolución y se encontrará de nuevo con el lado AB sobre el suelo, como empezó:

Tras una rotación completa el polígono mayor habrá trazado sobre la línea AS, de manera continua, seis segmentos cuya suma será igual a su perímetro; el polígono menor habrá trazado igualmente seis segmentos en total iguales a su perímetro, pero separados por la interposición de cinco arcos cuyas cuerdas representan las partes de HT que no han sido tocadas por el polígono: el centro G sólo toca la línea GV en seis puntos.

Claro, los lados del polígono mayor se han ido apoyando todos en el suelo de manera continua, pero como el centro de giro sobre el suelo es el vértice del hexágono mayor, el pequeño va dando pequeños “saltitos” y cada lado se apoya dejando un hueco con el anterior. He marcado en rojo las zonas de apoyo de los lados del hexágono pequeño:

De todo esto se deduce que el espacio recorrido por el polígono menor es casi igual que el del mayor, es decir, el segmento HT es similar al segmento AS, y difiere de él únicamente por la longitud de la cuerda de uno de estos arcos, suponiendo que la línea HT incluye los cinco arcos saltados.

He marcado en rojo el segmento HT descrito por el hexágono pequeño, en verde el AS descrito por el grande, y en azul la diferencia entre ambos, que es uno solo de los pequeños “saltos” que ha dado el hexágono menor en su giro:

Pero evidentemente Galileo no está interesado sólo en los hexágonos. Parte de su genio es que, para atacar un problema difícil de asimilar, como otros antes que él –los griegos eran magníficos en esto– empieza con un problema más asequible para, gradualmente, acercarse al que realmente le interesa.

Ahora bien, esta explicación que he dado en el caso de los hexágonos también se aplica a todos los demás polígonos, independientemente del número de lados, siempre que sean similares, concéntricos y conectados de manera rígida, de modo que cuando el de mayor tamaño rota el menor también lo hace, por pequeño que sea.

También debéis comprender que las líneas descritas por estos dos son casi iguales siempre que incluyamos en el espacio recorrido por el más pequeño los intervalos que no son tocados por ningún punto del perímetro de ese mismo polígono menor.

Es decir, a partir de la situación sencilla –los hexágonos–, el italiano generaliza. Pero, por si no entendemos aún la generalización, nos lo aclara con otro ejemplo.

Supongamos que un polígono mayor de, por ejemplo, mil caras, realiza una rotación completa, y por tanto traza un segmento igual a su perímetro; al mismo tiempo, el más pequeño recorrerá una distancia aproximadamente igual, compuesta de mil partes más pequeñas, cada una igual a uno de sus lados pero intercaladas con otros mil segmentos que, en contraste con las porciones que coinciden con los lados del polígono, podemos denominar “vacías”. Hasta ahora el asunto está libre de dificultad o duda.

La clave de la cuestión, como veremos en un momento, está en lo siguiente: en el caso del hexágono menor, dejaba seis segmentos sin tocar de la recta horizontal: los que hay entre los segmentos rojos. Pero el polígono de mil lados dejará mil segmentos, los equivalentes a cada “salto” que da el polígono… pero son segmentos huecos mucho más pequeños que antes. Es decir, el número de huecos aumenta con el número de lados, pero el tamaño de cada hueco disminuye.

Supongo que ya te imaginas hacia dónde va Salviati: polígonos de seis lados, polígonos de mil lados… pero, al fin y al cabo, una manera de definir una circunferencia es como un polígono regular de infinitos lados. ¿Qué sucederá entonces?

Pero ahora supongamos que alrededor de cualquier centro, llamémoslo A, describimos dos circunferencias concéntricas y conectadas de manera rígida; y supongamos que desde los puntos C y D sobre sus radios trazamos las tangentes CE y BF, y que a través del centro A se traza la línea AD paralela a ellas. Entonces si el círculo mayor realiza una rotación completa sobre la línea BF, igual no sólo a su circunferencia sino también a las otras dos líneas CE y AD, decidme qué harán el círculo menor y su centro.

Es decir, exactamente lo mismo de antes: las tres líneas horizontales son las equivalentes a las anteriores, y en vez de hexágonos mayor y menor (o polígonos de muchos lados, mayor y menor) ahora tenemos una rueda de verdad, compuesta por dos circunferencias concéntricas.

El centro viajará en contacto siempre con la línea AD, mientras que la circunferencia del círculo menor trazará por sus puntos de contacto toda la línea CE, como sucedía con los polígonos de antes. La única diferencia es que la línea HT no estaba siempre en contacto con el perímetro del polígono menor, sino que se dejaban sin tocar tantos segmentos como los que coincidían con los lados. Pero en el caso de los círculos, la circunferencia del más pequeño nunca abandona la línea CE, de modo que ningún segmento de ésta queda sin ser tocado por el círculo, y nunca hay un momento en el que algún punto del círculo deje de tocar la línea recta. Pero ¿cómo puede el círculo menor trazar una longitud mayor que su propia circunferencia si no lo hace a saltos?

Dicho de otro modo: en el primer ejemplo de todos, el hexágono menor recorría una distancia sobre la recta horizontal mayor que su perímetro. Pero no había truco: lo hacía porque daba saltos, de manera que iba dejando huecos a su paso y sólo se apoyaba sobre ciertas secciones de la recta. Al sumar los segmentos sobre los que se apoyaba, el resultado era, naturalmente, el perímetro del hexágono.

Pero ahora, ¿qué tamaño tienen los huecos que deja la circunferencia menor en su giro? ¡Ninguno! De modo que, ¿cómo es posible que, dejando huecos de tamaño nulo, la circunferencia menor recorra sobre la recta una distancia más larga que su propio perímetro? Hay algo que no encaja: ese algo es, por supuesto, el concepto de infinito, que lleva a paradojas como ésta. Pero el italiano sigue examinando la cuestión con cuidado.

En este caso, lo hace con la intervención de Sagredo, que actúa, como pasa a menudo, como la voz del lector:

Sagredo – Me parece que podríamos decir que lo mismo que el centro del círculo, al moverse a lo largo de la línea AD, se mantiene siempre en contacto con ella a pesar de ser un único punto, los puntos de la circunferencia del círculo menor, acompañando al movimiento del círculo mayor, se deslizarían sobre algunas pequeñas secciones de la línea CE.

Salviati – Hay dos razones por las que eso no puede suceder. La primera es que no hay base para pensar que un punto de contacto, como C, y no otro, se deslizará sobre algunas porciones de la línea CE. Por el contrario, si se produjeran deslizamientos así sobre la línea CE deberían ser infinitos en número, ya que los puntos de contacto –siendo simples puntos– son infinitos: un número infinito de deslizamientos finitos, sin embargo, producirá una línea infinitamente larga, mientras que de hecho la línea CE es finita.

La clave de la cuestión está en lo de un número infinito de deslizamientos infinitos, claro. Una de esas dos cosas no puede ser verdad.

La otra razón es que según el círculo mayor, en su rotación, cambia su punto de contacto de manera continua, el círculo menor debe hacer lo mismo, ya que B es el único punto desde el cual puede trazarse una línea recta hasta A que pase por C. Por lo tanto, el círculo pequeño debe cambiar su punto de contacto cuando lo hace el grande: ningún punto del círculo menor toca la línea recta CE en más de un punto. No sólo esto, sino que incluso en la rotación de los polígonos nunca había un punto del perímetro del polígono menor que coincidiese con más de un punto de la línea recorrida por ese perímetro; esto resulta claro si recordamos que la línea IK es paralela a BC, y que por lo tanto IK siempre se mantendrá sobre IP hasta que BC coincida con BQ, y que IK nunca se encontrará con IP excepto en el instante en el que BC ocupa la posición BQ; en ese momento la línea IK completa coincide con IP e inmediatamente después se eleva sobre ella.

Sagredo – Se trata de un problema muy difícil. No veo ninguna solución. Por favor, explícanos cuál es.

Salviati – Volvamos a pensar en los polígonos de antes, cuyo comportamiento ya entendemos. En el caso de polígonos de 100 000 lados, la línea recorrida por el perímetro del mayor, es decir, la línea descrita por sus 100 000 lados uno tras otro, es igual a la línea trazada por los 100 000 lados del pequeño, si incluimos allí los 100 000 espacios vacíos intercalados. Por lo tanto, en el caso de las circunferencias, que son polígonos con un número infinito de lados, la línea descrita por los lados infinitos de la circunferencia más grande es igual a la descrita por los lados infinitos de la circunferencia menor, con la excepción de que éstos se alternan con espacios vacíos; y ya que los lados no son finitos en número, sino infinitos, también lo serán los espacios vacíos intercalados.

La línea descrita por la circunferencia mayor consistirá pues en un número infinito de puntos que la llenan completamente; mientras que la trazada por la circunferencia menor consiste en un número infinito de puntos que dejan espacios vacíos y llenan la línea sólo parcialmente. Y aquí me gustaría que os fijáseis en que, tras dividir y resolver la línea en un número finito de partes, es decir, un número que puede ser contado, no es posible volver a disponer esas partes de modo que tengan una longitud mayor que cuando constituían un continuo y estaban conectadas sin espacios vacíos intercalados en igual número.

Pero si consideramos la línea dividida en un número infinito de partes infinitamente pequeñas e indivisibles, podremos concebir la línea como extendida por la interposición de un número no finito, sino infinito, de espacios vacíos infinitamente pequeños e indivisibles.

En otras palabras, los huecos dejados por la circunferencia menor –y debe haberlos, ya que cada punto de ella sólo toca la recta en la que se apoya en un punto, de acuerdo con Galileo– son infinitos, pero de un tamaño infinitamente pequeño. Y el resultado de sumar infinitos huecos infinitamente pequeños puede ser un número finito – en términos más modernos, se trata de una indeterminación (infinitos huecos multiplicados por un tamaño nulo).

Aunque el ejemplo haya sido largo, y puede no estar clara la conclusión a la que llega Galileo, en mi opinión es algo así: al considerar una línea recta como un conjunto de infinitos puntos de tamaño infinitamente pequeño, es posible cambiar la longitud de la recta intercalando en ella un número infinito de espacios vacíos, una vez más de tamaño infinitamente pequeño. Así se resuelve la contradicción aparente entre las rectas trazadas por la circunferencia grande y la pequeña.

El problema del italiano es que su concepción microscópica de la materia es demasiado “matemática”, y eso lo lleva a error. Es cierto que, matemáticamente hablando, una recta consta de infinitos puntos, pero en el mundo físico las cosas no etán formadas por infinitas partículas infinitamente pequeñas; sin embargo, Galileo lleva la concepción matemática a la realidad:

Ahora bien, esto que acabamos de decir sobre líneas simples debe también ser cierto en el caso de superficies y cuerpos sólidos, ya que suponemos que están formados por un número infinito, y no finito, de átomos. Un cuerpo así dividido en un número finito de partes no puede ser reconstruido de modo que ocupe más espacio que antes salvo que interpongamos un número finito de espacios vacíos, es decir, espacios libres de la sustancia que compone el sólido.

Pero si imaginamos que el cuerpo, por algún sistema de análisis extremo y definitivo, se divide en las partes elementales que lo constituyen, de número infinito, entonces podremos pensar en ellas como algo extendido infinitamente por el espacio, no por la interposición de un número finito, sino infinito, de espacios vacíos. Así, uno puede imaginar fácilmente una pequeña esfera de oro expandida a un volumen enorme sin introducir un número finito de espacios vacíos, siempre que supongamos que el oro está formado por un número infinito de partes indivisibles.

Como digo, esto no es cierto: la materia está formada por un número descomunal de partículas minúsculas, pero ni son infinitamente pequeñas, ni hay un número infinito de ellas. Lo que sí es cierto, y muestra una vez más la agudeza de Galileo, es el hecho de que la mayor parte del volumen de la materia está vacío: la masa ocupa realmente una porción minúscula de ese volumen. Pero la concepción no es galileana, aunque sí lo sea el rigor del argumento y los ejemplos con límites. El atomismo fue algo ya propuesto por varios filósofos griegos, por ejemplo.

Donde el italiano va más allá es en la mezcla de matemáticas y física, como es su legado. En este caso, aunque su conclusión fuera errónea, Galileo puso en el foco de atención el hecho de que al llevar las cosas hacia el infinito todo se vuelve raro: es posible, por ejemplo, convertir una línea más corta en otra más larga añadiendo segmentos de longitud infinitamente pequeña, por ejemplo. Pero esta noción le parece tan compleja –porque lo es– que le dedicará más tiempo, y de hecho seguiremos con ella en la siguiente parte de los Discorsi.

Simplicio – Me da la impresión de que te estás aproximando a los vacíos propuestos por cierto filósofo de la Antigüedad.

Salviati – Pero debes añadir, “… que negaba la existencia de la Divina Providencia”, un comentario inadecuado que, en una situación similar, realizó cierto antagonista de nuestro Académico.

Simplicio – He percibido, y no sin indignación, el rencor de este oponente desabrido; omitiré cualquier otra mención de estos asuntos, no sólo por educación, sino porque sé lo desagradables que son para alguien de temperamento gentil y mente ordenada, además de religioso y piadoso, como tú.

Creo que el filósofo de la Antigüedad al que se refiere Simplicio es Herón de Alejandría: era un atomista, pero además sostenía que entre los átomos hay vacíos minúsculos y la materia no es, por tanto, tan sólida como parece. Así es posible comprimir o expandir algo, y así es posible que el fuego entre en los cuerpos.

El resto, desgraciadamente, me parece simplemente una autodefensa del propio Galileo contra algunos de sus críticos (recuerda que el Académico del que habla el libro es siempre él mismo, aunque no participe en los diálogos).

Pero, para volver a nuestro tema de conversación, tu explicación anterior me deja con muchas dudas que no sé resolver. La primera de ellas es que, si las longitudes de ambas circunferencias son iguales a los dos segmentos CE y BF, de los cuales el segundo es un continuo y el primero está interrumpido por una infinidad de puntos vacíos, no veo cómo es posible decir que la línea AD descrita por el centro y compuesta por infinidad de puntos es igual a este centro, que es un único punto. Además, esta construcción de segmentos a partir de puntos, divisibles a partir de indivisibles, y finitos a partir de infinitos, me produce una duda muy difícil de evitar; y la necesidad de introducir un vacío, tan concluyentemente refutado por Aristóteles, me supone un obstáculo similar.

Los dos problemas básicos de Simplicio son, por tanto, la dificultad de asimilar infinitésimos y el propio infinito, y una vez más el horror vacui aristotélico, es decir, la tradición anterior a Galileo. El italiano muestra estos obstáculos a propósito, claro está, para luego superarlos a través de Salviati.

Salviati – Estos obstáculos son reales, y no son los únicos. Pero recordemos que estamos tratando con infinitos e indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros por su enormidad y los segundos por su pequeñez. A pesar de esto los hombres no pueden evitar discutir sobre ellos, incluso si deben hacerlo con rodeos.

Y de ellos discutiremos en la continuación de estos Discorsi, por supuesto… ¡hasta entonces!