Nota: Si ves las fórmulas mal (por ejemplo, si ves símbolos de dólar alrededor de esta $x$) es que no estás leyendo el artículo en la web, que es donde se ve bien. Prueba a leer el artículo original aquí: https://eltamiz.com/2014/02/27/matematicas-i-coordenadas-cartesianas/.

Los primeros cuatro capítulos de este bloque de repaso de Matemáticas han estado dedicados al álgebra. Hemos hablado de expresiones, ecuaciones, ecuaciones polinómicas y sistemas de ecuaciones. En la segunda parte hablaremos sobre geometría, aunque como verás la enlazaremos con el álgebra que hemos estudiado ya. Con ambas cosas podremos atacar bloques de Física posteriores utilizando fórmulas sin rubor –algo que no hemos hecho hasta el momento–.

Como digo, no vamos a hablar de geometría euclidiana sin más: al igual que en la primera parte supusimos que la aritmética estaba más o menos superada, aquí haremos lo mismo con la geometría elemental. No voy a hablar de lo que es un rectángulo, ni voy a entrar en detalles con el teorema de Pitágoras. Recordaremos este tipo de cosas, pero de pasada y uniéndolo con lo que hemos visto antes en álgebra. Eso sí, recordad que siempre podéis preguntar en comentarios o por correo si algo que doy por sentado no está claro.

Pero, como siempre, antes de entrar en materia, resolvamos los desafíos del capítulo anterior.

Solución al desafío 5 - Sistemas de ecuaciones

Se nos pedía resolver los siguientes sistemas empleando los tres métodos. Te recuerdo que hay muchas maneras de obtener la solución, y que es posible que hayas usado una diferente a la que utilizaré yo; mientras que el resultado esté bien, eso no importa. De hecho, puesto que has empleado los tres métodos para cada uno, ya habrás comprobado que tu solución está bien. Yo utilizaré para cada uno un solo método, el que vea más rápido según leo el sistema.

El primer sistema era:

$$4a-3b = 6$$ $$b-5a = 1$$ Multiplicando la segunda ecuación por 3, $$3b-15a = 3$$ Sumando ambas miembro a miembro, $$4a-3b+3b-15a = 6+3$$ $$-11a = 9$$ $$a = -\frac{9}{11}$$ Y basta con sustituir en la segunda para obtener el valor de $b$: $$b = 1+5a$$ $$b = 1 -\frac{45}{11}$$ $$b = \frac{11-45}{11}$$ $$b = -\frac{34}{11}$$ El segundo sistema era: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $$ $$\frac{-x}{y} = 4$$ De la segunda ecuación podemos despejar $x$: $$x = -4y$$ Sustituyendo en la primera, $$-\frac{1}{4y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $$ Multiplicando ambos miembros por $20y$ para librarnos de los denominadores, $$-5 + 20 = y$$ $$y = 15$$ Volvemos ahora a la ecuación donde despejamos $x$ y obtenemos su valor: $$x = -60$$ El tercer sistema: $$i^2 + j^2 = 4$$ $$j^2-1 = k^2$$ $$k^2+1 = i^2$$ Podemos hacer una igualación, ya que en la última ecuación despejamos $k^2$: $$k^2 = i^2-1$$ Igualando $k^2$ en la segunda y tercera ecuación, $$j^2-1 = i^2-1$$ $$j^2 = i^2$$ Y por tanto podemos ir a la primera ecuación y obtener $$i^2 + i^2 = 4$$ $$2i^2 = 4$$ $$i^2 = 2$$ $$i = \pm \sqrt{2}$$ Pero, como $i^2 = j^2$, $$j = \pm \sqrt{2}$$ Y volviendo a la última ecuación y sustituyendo el valor de $i^2$, $$k^2 = 2 - 1$$ $$k^2 = 1$$ $$k = \pm 1$$ Combinando todos los valores obtenidos puedes ver que este sistema tiene nada menos que ocho soluciones, y era seguramente el más difícil de los tres.

Solución al desafío 6 - ¿Sistema de ecuaciones?

En este caso teníamos nosotros que construir el sistema traduciendo al lenguaje algebraico la situación que se nos presentaba:

El granjero Perico se gasta cada mes 21200€ en alimentar a sus vacas y sus cerdos. La comida de cada vaca cuesta el doble que la de cada cerdo, y en la granja hay 12 vacas y 84 cerdos. ¿Cuánto se gasta el granjero Perico en cada vaca?

Traduzcamos pues. Lo que se gasta el granjero en las vacas será el producto del número de vacas (12) por lo que cuesta la comida de cada vaca ($v$), mientras que en el caso de los cerdos será el producto del número de cerdos (84) por el coste de cada cerdo ($c$). Y la suma de todo esto es lo que se gasta en total. Dicho en lenguaje algebraico,

$$12v + 84c = 21200$$

Pero se nos da otro dato más: la comida de cada vaca cuesta el doble de la de cada cerdo, es decir,

$$v = 2c$$

Luego tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Tras resolver los del desafío anterior, este debería haber sido pan comido. Sustituimos en la primera ecuación el valor de $v$:

$$24c + 84c = 21200$$ $$108c = 21200$$ $$c = \frac{5300}{27}$$ Y por tanto cada vaca consume $$v = \frac{10600}{27}$$

Geometría analítica

Como dije al principio, no vamos a estudiar geometría con escuadra y cartabón: es algo divertidísimo, pero nos llevaría demasiado tiempo para lo que nos rentaría después empleándolo en Física. Normalmente los físicos solemos usar la geometría a través del álgebra (y por eso hemos empezado estudiando álgebra), es decir, que nos importan más las variables y las expresiones que lo que aparece dibujado en un papel. Dicho más técnicamente, aquí haremos geometría analítica, que suena mucho más guay.

No sólo hacemos esto porque en Física sea más común tratar con fórmulas en vez de con reglas y compases. Hay otra razón más: aunque originalmente este tratamiento se empleó para medir cosas en el espacio que nos rodea, posteriormente fuimos más allá y la geometría analítica alcanzó un grado de abstracción mucho mayor. Como veremos algún día –o eso espero–, es posible emplear la geometría analítica para representar cosas que no son curvas ni puntos ni distancias en el espacio que vemos, sino que se trata de una especie de geometría conceptual que rige cosas que no se pueden tocar.

Eso sí, no te preocupes: en este bloque pretendo establecer bases, no alcanzar alturas de abstracción divina. Por ahora, aunque tratemos con geometría analítica e introduzcamos el álgebra en la geometría, todo se referirá a cosas que existen en el espacio “de verdad”: posiciones, rectas, curvas y áreas como Dios manda. Una vez entendido esto con una referencia tangible es más fácil abstraerlo a otras cosas no tan concretas.

El padre de la geometría analítica fue el francés René Descartes, que en el siglo XVII cambió nuestra manera de hacer geometría. Otro francés, Pierre de Fermat, hizo algo parecido de manera independiente pero no publicó nada, de modo que quien tiene el mérito de veras es Descartes. Como veremos algún día, sin este paso de gigante del francés hubiera sido muy difícil el trabajo de otros genios posteriores como Newton, pero éste no es el lugar de hablar de esto.

René Descartes (1596-1650).

El sistema de representación de Descartes se denomina, en su honor, sistema cartesiano de coordenadas, llamadas por tanto coordenadas cartesianas. El francés lo hizo originalmente con una sola coordenada, pero luego fuimos ampliando el sistema y las coordenadas cartesianas tradicionales son dos (para trabajar en geometría plana), y posteriormente hemos añadido más hasta llegar hasta el infinito y más allá. Pero empecemos, como el francés, en una dimensión.

Coordenadas cartesianas en una dimensión

Imagina que deseamos saber dónde está un objeto sabiendo que se mueve únicamente en una dirección (como un tren a lo largo de una vía recta). En lo que a nosotros respecta, es como si el Universo tuviera una sola dimensión – los objetos sólo pueden estar en algún punto de esa recta. ¿Cómo identificar cuantitativamente dónde está el objeto?

El sistema de Descartes es bien simple. En primer lugar tomamos un punto de referencia arbitrario, el origen, que divide esa recta o eje en dos semiejes infinitos. Tradicionalmente se representa este eje o recta en la horizontal:

En segundo lugar elegimos, también arbitrariamente, uno de los dos semiejes como positivo y otro como negativo. Tradicionalmente suele elegirse el semieje de la derecha como positivo y el de la izquierda como negativo:

Podemos ahora identificar la posición de un objeto con un número: la distancia al origen, pero acompañado de un signo, positivo si está en el semieje positivo y negativo si está en el semieje negativo. Este número con su signo es la coordenada del punto. Así, decir que algo está en el punto (-4) significa que está a cuatro metros del origen (suponiendo que se trate de una distancia en metros), y que está en el semieje negativo, es decir, si se ha representado de manera tradicional, a la izquierda del origen de coordenadas:

Naturalmente un punto no tiene por qué estar a una distancia entera del origen, y tendría igual sentido decir que algo está en $(\frac{3}{4})$ o en $(\sqrt{7})$. Lo importante es lo siguiente: en un sistema cartesiano de una coordenada, un punto viene identificado por un número real. Repito, aunque me ponga pesado: el número indica dos cosas. Por una parte la distancia al punto de origen, y por otra parte a qué lado del origen está. Como ves, se trata simplemente de un modo conciso y eficaz de identificar un punto en un eje.

Las cosas se ponen más interesantes, por supuesto, en dos dimensiones, de modo que vamos a ello.

Coordenadas cartesianas en dos dimensiones

Para añadir una segunda dimensión debemos añadir un segundo eje. Aunque podríamos hacerlo de muchas maneras diferentes, el sistema cartesiano exige que ese segundo eje sea perpendicular al primero. Como hemos representado el primer eje horizontalmente, nuestro segundo eje podrá ser vertical, para mantener todo sobre el plano de la pantalla:

El origen del segundo eje es el mismo que el del primero, de modo que podemos hablar del origen del sistema de coordenadas, ya que sólo hay uno: el punto de corte de ambos ejes. Además, debemos hacer lo mismo de antes – elegir un semieje positivo y otro negativo. Aunque esto es arbitrario, lo más usual es hacer que el semieje positivo sea el que va hacia arriba si hemos representado los ejes horizontal y verticalmente como aquí:

A partir de ahora, a veces me saltaré los signos y la O del origen, porque no suele hacer falta representarlos. Recuerda: el origen está en el punto de corte de ambos ejes, y los sentidos positivos son hacia la derecha y hacia arriba. Para distinguir ambos ejes, en vez de hablar del vertical y el horizontal, suelen denominarse eje de abscisas y eje de ordenadas o eje x y eje y.

Ahora podríamos hacer exactamente lo mismo de antes, y decir que si un objeto está en alguna parte del eje de ordenadas podemos representar su posición mediante un número. Así, la posición (5) en el eje de ordenadas se encuentra cinco unidades (metros, por ejemplo) por encima del origen:

Pero esto tiene muy poca gracia. Lo interesante es que ahora podemos identificar cualquier punto sobre cualquiera de los dos ejes, pero también cualquier punto en cualquier parte del plano de dos dimensiones definido por los dos ejes, es decir, la pantalla. Por ejemplo, observa este punto:

No está en ninguno de los dos ejes, pero pensemos en cada uno de los dos por separado. En lo que respecta al eje horizontal –de abscisas–, ¿está a la derecha del origen o a la izquierda? A la izquierda, luego su “número identificador”, es decir, su coordenada, será negativa. Pero ¿está muy a la izquierda o no demasiado lejos? La distancia medida en horizontal, que nos indica cuán a la izquierda está, es 3, luego su coordenada horizontal es (-3).

Fíjate en que no estamos siquiera considerando lo que pasa en la vertical: nos importa únicamente lo que sucede en lo que respecta al eje de abscisas. Esta “separación” entre los ejes es una de las características del sistema cartesiano. Estamos haciendo algo así como proyectar el punto sobre el eje horizontal para tratarlo como si no existiera el eje de ordenadas:

Olvidémonos ahora del eje de abscisas y pensemos en el de ordenadas, es decir, en la vertical: ¿se encuentra nuestro punto por encima o por debajo del origen? Por encima, por supuesto, luego el signo de la coordenada vertical será positivo. Ahora bien, ¿cuánto por encima se encuentra el punto? Si medimos la distancia en vertical hasta el nivel del origen vemos que son cuatro unidades –cuatro metros, por ejemplo–. Es decir, la coordenada en vertical es (4). Una vez más, lo que acabamos de hacer es tratar el punto como si fuera la proyección del punto real sobre el eje $y$:

De manera que la abscisa de P es -3, y su ordenada es 4. Otra manera de decirlo, utilizando las tradicionales $x$ e $y$ para abscisas y ordenadas, es así: las coordenadas cartesianas de P son $x = -3$ e $y = 4$. Aquí tienes las dos representadas a la vez:

Hay varias maneras “compactas” de expresar P, pero aquí haremos lo tradicional, es decir, escribir sus dos coordenadas en orden, primero la abscisa y luego la ordenada, entre paréntesis: $P = (-3,4)$. Es un modo conciso y muy claro, siempre que recuerdes que el primer número es la coordenada $x$ y el segundo la $y$.

Por poner otro ejemplo, el punto $(6,-4)$ está seis unidades a la derecha del origen, y cuatro unidades por debajo. Una de las razones por las que esta convención de coordenadas cartesianas es muy útil es el hecho de que, una vez expresado todo de esta manera, no hace falta dibujar nada. Se trata de una abstracción, y aunque a veces ayuda mucho dibujar las cosas, no es necesario. Descartes fabricó una herramienta matemática que abstrae el espacio físico y lo convierte en una serie de objetos manipulables mediante la aritmética y, por supuesto, el álgebra.

Permite que te muestre cómo esta abstracción es útil, y luego entramos de lleno en el álgebra mezclada con geometría.

Distancias

Medir distancias paralelas a los ejes de coordenadas en el sistema cartesiano es muy fácil: por ejemplo, la distancia entre el punto (-2,0) y el punto (0,0) es de dos metros. Pero incluso cuando los puntos están en cualquier otro sitio la cosa sigue siendo sencilla.

Imagina que tenemos no un punto como antes, sino dos, $P=(-3,4)$ y $Q=(5,2)$, y nos pidieran que midiésemos la distancia entre ellos. Podríamos desde luego hacerlo gráficamente: hacemos divisiones regulares en dos ejes, representamos ambos puntos, tomamos una regla y medimos la distancia. Pero, como decía, no hace ninguna falta dibujar nada. Yo lo haré para que veas de qué hablo, pero es algo innecesario una vez comprendas el quid de la cuestión. Aquí tienes los puntos $P$ y $Q$:

Para medir distancias utilizando coordenadas cartesianas no hay más que recordar uno de los teoremas más importantes de la geometría: el teorema de Pitágoras, que como decía al principio del artículo no voy a demostrar aquí ya que lo doy por sabido. Por si acaso tienes alguna laguna, un brevísimo recordatorio: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo y que no es adyacente al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados que forman entre sí el ángulo recto).

Expresado algebraicamente, si los catetos son $a$ y $b$ y la hipotenusa es $c$,

Observa la conexión con el sistema cartesiano: la clave de los ejes cartesianos es que son perpendiculares, como los catetos de un triángulo rectángulo. Esto significa que, dados dos puntos cualesquiera –como $P$ y $Q$– siempre podemos construir un rectángulo de lados perpendiculares a los ejes cartesianos, de manera que los dos puntos estén en vértices opuestos del rectángulo:

Pero la distancia entre ellos es la longitud del segmento que los une, como se ve en el dibujo:

¿Ves por qué Pitágoras asoma la cabeza? Tenemos dos triángulos rectángulos idénticos (uno “boca abajo” del otro). Sabemos lo que miden los dos catetos (en un momento veremos una manera formal de obtenerlos, pero aquí el largo mide 8 y el corto 2), y usando el teorema de Pitágoras podemos obtener en un momento la hipotenusa, que es la distancia que queremos:

Aunque sea pesado, quiero detenerme un momento en esta idea porque es crucial. Dos puntos del plano cualesquiera pueden definir un segmento arbitrario, que tenga la inclinación y la longitud que le dé la gana. Pero siempre podemos calcular la longitud del segmento aprovechando el hecho de que los ejes cartesianos son perpendiculares entre sí, con lo que es posible construir siempre un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea la distancia entre los puntos, y cuyos catetos sean paralelos a los ejes cartesianos. Dado que medir distancias a lo largo de los ejes es trivial, no hay problema para medir ninguna distancia que se nos ponga por delante.

Ahora bien, ¿cómo hemos obtenido la medida de los catetos, 8 y 2? Aunque tal vez lo hayas visto ya, es importantísimo tenerlo claro, de modo que también me detengo aquí. Además, quiero que veas que una vez comprendido el concepto no es siquiera necesario calcular nada. Las coordenadas de los puntos eran (-3,4) y (5,2). Eso significa que $P$ está más a la izquierda y más arriba, y Q más a la derecha y más abajo. Pero ¿cuánto?

Si restamos las abscisas de ambos tendremos la diferencia de posición en horizontal, es decir, la longitud de la base del rectángulo que hemos construido: $b = 5- (-3) = 8$. Por otro lado, restando las ordenadas tendremos la longitud de la altura del rectángulo, que es el otro cateto del triángulo rectángulo: $a = 4-2 = 2$.

Puede que te estés preguntando, ¿en qué orden restamos coordenadas? ¿Por qué hemos restado la abscisa de Q menos la de P, pero luego la ordenada de P menos la de Q? La respuesta es que importa muy poco: recuerda que, al utilizar Pitágoras, elevamos al cuadrado, de modo que lo mismo da usar un número que su opuesto.

Ahora bien, queda muy raro decir que una distancia es negativa, que es lo que pasaría si calculásemos la altura del triángulo rectángulo como 2-4 = -2. Por eso siempre se toma el valor positivo. Si recuerdas el concepto de valor absoluto, puedes pensarlo así: la base y la altura del triángulo rectángulo son los valores absolutos de las diferencias entre coordenadas. Si no sabes de qué hablo no te preocupes: hablaremos de ese concepto en próximas entradas.

Ecuaciones en geometría analítica

Ahora sí, por fin llegamos a lo que –en mi humilde opinión– hace de la geometría analítica algo no sólo útil, sino bello. Es difícil expresar qué hace bello algo en Matemáticas, pero a menudo es algo tan sencillo como esto: la capacidad de expresar algo profundo de manera concisa y elegante. Veremos si estás de acuerdo conmigo.

Ya hemos visto qué quiere decir que $x=4$, $y = 2$. Estamos hablando de un punto que está a la derecha y arriba del origen, cuatro y dos unidades respectivamente:

Pero olvida un momento el hecho de que estamos hablando de geometría. ¿Qué reconoces aquí?

¡Es un sistema de ecuaciones! Es cierto que es una idiotez de sistema de ecuaciones, pero lo sigue siendo. Su solución es evidentemente que $x = 4$ e $y = 2$. Y esa solución, que es única, puede traducirse –recordando que las variables representan coordenadas cartesianas– como un punto en el plano, el punto que hemos representado arriba.

Pero ¿y si el sistema no fuera éste, sino uno diferente? Observa este otro sistema, menos determinado que el primero, que también traduciremos a puntos en el plano cartesiano:

¿Qué valores de $x$ e $y$ lo resuelven, es decir, qué puntos del plano lo cumplen? Creo que tienes las ecuaciones y los sistemas lo suficientemente asimilados como para responder, y espero que al hacerlo –si no has hecho esto antes, o no lo entendiste con profundidad entonces– sientas la belleza de la que hablaba antes.

El valor de $y$ para resolver el sistema de una ecuación es, por supuesto, $y = 2$, pero cualquier valor de x sirve. Es decir, el punto (x,2) cumple ese sistema para cualquier valor de x: (0,2), (-2,2), (81,2)… ¡son infinitos puntos! Pero ¿qué quiere decir esto gráficamente, en nuestro sistema cartesiano?

La solución a esa ecuación es una recta.

Es una recta horizontal, todos cuyos puntos tienen $y = 2$ y cualquier valor de $x$. Es decir, es la recta horizontal, por encima del origen y a dos unidades de él:

Algo parecido pasa, por ejemplo, con $x = -2$. Ya que no hay restricción alguna para la coordenada $y$, cualquier valor de $y$ vale –es decir, hay infinitos puntos que resuelven esto–, pero $x$ está perfectamente determinada. Por lo tanto estamos hablando de otra recta, la formada por todos los puntos que están dos unidades a la izquierda del origen:

¡Pero la maravilla –porque, en mi opinión, lo es– no acaba aquí! Esta traducción entre geometría y álgebra, en uno y otro sentido, va mucho más allá. Por ejemplo, piensa en la traducción al álgebra de la siguiente pregunta: ¿dónde se cortan las dos rectas que hemos dibujado?

Todos los infinitos puntos de la recta horizontal cumplen una ecuación: $y = 2$. Todos los puntos de la recta vertical cumplen otra ecuación: $x = -2$. Los puntos de corte de ambas rectas pertenecen a las dos rectas, luego deben cumplir las dos condiciones a la vez.

Es decir, los puntos de corte son la solución de ambas ecuaciones simultáneamente, en otras palabras, del sistema trivial:

Sólo hay una solución, es decir, $x= -2$, $y=2$, o lo que es lo mismo, en el sistema cartesiano, (-2,2), que es el punto de corte de ambas:

No te creas que esto es todo, ¡ni mucho menos! Pero prefiero parar aquí y dejarte con los dientes largos, y utilizar estos conceptos para construir cosas más elevadas en la siguiente entrada. Espero que, al menos, hayas vislumbrado lo maravilloso y abstracto que es esto de la geometría analítica.

Ideas clave

El siguiente capítulo se basa completamente en los conceptos establecidos en éste, o sea que ojo avizor:

• La geometría analítica utiliza el álgebra para representar conceptos geométricos.

• El sistema cartesiano de coordenadas utiliza ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto.

• El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas.

• El eje horizontal suele denominarse eje x o eje de abscisas.

• El eje vertical suele denominarse eje y o eje de ordenadas.

• Una coordenada es la distancia al origen medida a lo largo de un eje, con un signo que indica el semieje.

• Un punto tiene una serie de coordenadas, normalmente ordenadas como (x,y).

• El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones con incógnitas x, y representa un conjunto de puntos en el plano cartesiano.

Antes de seguir…

El desafío de hoy tiene varias preguntas, algunas muy fáciles, otras ni fu ni fa, y algunas bastante complicadas. No te preocupes si no eres capaz de sacarlas todas, pero recuerda: cuanto más te pelees con ellas mejor asimilarás lo que acabas de leer.

Desafío 7 - Ecuaciones y puntos

Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones –unos mucho más fáciles que otros– intenta encontrar la solución, pero además intenta traducir esa solución al sistema cartesiano: ¿de qué punto, puntos o figura geométrica se trata?

1. El sistema:
• $x +1 = 0$
• $y -4 = 0$
2. El sistema:
• $x = 2$
• $y^2 = 4$
3. El sistema:
• $x + y = 0$
4. El sistema:
• $x^2 + y^2 = 25$