En la primera parte de este artículo hablamos sobre la “primera fase” del establecimiento de la hipótesis de Planck, que le supuso el Nobel de Física de 1918. Vimos entonces cómo el alemán modificó la curva de Wien, ajustándola a los datos experimentales utilizando meramente las matemáticas. También vimos cómo esto le producía una gran desazón, ya que no tenía ni la menor idea del porqué de esa modificación, de ese truco de magia –porque no era más que eso, de no comprender su razón física–.
Planck se decicó pues, como dijimos, a intentar encontrar la base teórica que justificase la fórmula modificada: si la teoría existente no obtenía la fórmula ajustada era, necesariamente, porque la teoría existente estaba mal. Pero la pregunta natural, por supuesto, era: ¿dónde? Y ésa era la preocupación de Planck, que siguió un proceso lógico y muy metódico para obtener la solución.
No puedo darte cada paso detallado de este proceso, porque es imposible sin usar muchas fórmulas y conceptos como la entropía, los estados de fases y cosas así, pero sí voy a intentar explicar el proceso mental hasta donde sea capaz. Al final dejaré algún enlace a tratamientos matemáticos del asunto, pero aquí intentaremos verlo a vista de “pájaro a vuelo rasante”, es decir, intentando ni pasarnos ni quedarnos cortos.
Por una parte, Planck tomó la fórmula modificada y fue hacia atrás: recorriendo los pasos que se hubiesen dado partiendo de la teoría clásica hasta llegar a la de Wien, pero desde el resultado hacia las premisas. Era posible hacer esto porque el mismo Planck, que era por encima de todo un termodinámico, dominaba perfectamente el cálculo y la teoría necesarios para obtener la fórmula original, al derecho o al revés, y era capaz de ir al revés añadiendo las modificaciones necesarias para que el siguiente paso fuese el de “Wien modificado” y no el clásico.
Por otra parte, tomó la teoría clásica y fue hacia delante, desde las premisas hacia el resultado: dando los pasos deductivos habituales para obtener la fórmula. De llegar al final, por supuesto, sin cambiar nada, obtendría la fórmula de Wien, que era incorrecta. Pero espero, con esta pobre explicación, hacerte ver el objetivo: encontrar el punto en el que era imposible seguir con la teoría clásica, el lugar en el que se producía el salto de una a otra. De hacer eso, Planck podría entonces examinar la diferencia para encontrar la modificación a la teoría clásica que produciría el resultado empírico.
Max Planck, junto a Albert Einstein, en 1929.
La cadena de razonamientos y fórmulas utilizaba un concepto termodinámico bastante abstracto, el de entropía, que tiene que ver en cierto modo con el desorden pero también con la relación entre temperatura y energía térmica. Para nuestro “vuelo rasante”, te basta con tener clara por ahora una idea: en el equilibrio térmico, la entropía es un máximo. Cualquier variación de energía alrededor de ese máximo supone una pérdida de entropía, y esta propiedad permite determinar que un sistema está en equilibrio. Siento no entrar en más detalle, pero me llevaría cuatro artículos hacerlo, y algún día llegaremos en Termodinámica.
La teoría radiativa clásica consideraba que existían una infinidad de osciladores minúsculos –para algunos científicos se trataba de átomos, mientras que para otros, como Planck, eran una mera construcción matemática–, y que cada uno de ellos contribuía una minúscula cantidad de energía a la radiación emitida (y absorbía una minúscula fracción de la radiación absorbida).
Y era al llegar a la expresión de la entropía del cuerpo negro donde Planck se encontraba con la desconexión: al recorrer el razonamiento “al derecho”, desde la teoría, llegaba a una expresión (y, de continuar, a la fórmula de Wien), pero cuando lo hacía “al revés”, desde su fórmula modificada, llegaba a una expresión parecida, pero diferente. El problema era que, habiendo alcanzado su meta –encontrar el punto en el que divergían la teoría clásica y la fórmula modificada– Planck era incapaz de encontrar la modificación a la teoría que produjese la expresión que había obtenido en vez de la clásica.
Hay que reconocer que la cosa no era fácil. Se trataba de un chorizo que quita el hipo:
Vamos, un espanto, en el que lo único que hace falta que reconozcas es el número de osciladores, $N$, la energía de cada oscilador, $U$, y la frecuencia de oscilación, $f$, porque lo demás son todo constantes. Todo se hubiera ido al traste y no estaríamos hablando de esto si no fuera por una razón, algo que parece imposible pero no es ficción: Max Planck había visto una fórmula casi idéntica antes.
Ésas eran las buenas noticias, ya que era difícil aceptar que algo tan complejo fuese fruto de la casualidad, luego el alemán tenía algo a lo que agarrarse. Pero también había malas noticias: la expresión que reconoció Planck era algo que no le gustaba absolutamente nada. Se trataba de algo obtenido por Ludwig Boltzmann –el de la ley de Stefan-Boltzmann de la que hemos hablado ya–, al tratar la Termodinámica con una interpretación estadística del comportamiento de los átomos basándose también en el trabajo de James Clerk Maxwell, cuyo nombre tal vez te suene.
Ya he dicho antes que Planck utilizaba la entropía para obtener la fórmula de Wien. El concepto de entropía clásica había sido establecido por un alemán, Rudolf Clausius, pero había sido ampliado después por Ludwig Boltzmann. Boltzmann había utilizado la interpretación estadística para asociar la entropía de un sistema físico al “desorden atómico”, de modo que el concepto boltzmanniano de la entropía se basaba en la existencia de los átomos.
Espero que la ironía te haga sonreír tanto como a mí: Planck pensaba que la materia no estaba compuesta por átomos. Puede que te sorprenda que a estas alturas hubiese proponentes de una materia continua, pero los había –aunque fuesen minoría– y Max Planck era uno de ellos. Hacia 1880 pronunció estas palabras (¡qué clarividencia!):
A pesar de los grandes éxitos de la teoría atomista en el pasado, finalmente tendremos que abandonarla y decidirnos a favor de la concepción continua de la materia.
Antes de que te rías demasiado de Max, la existencia de los átomos fue demostrada más allá de toda duda por el francés Jean Perrin, basándose en el trabajo de Albert Einstein sobre el movimiento browniano en 1905, unos años después de nuestra historia. Si tienes curiosidad por ello, no te preocupes, porque Perrin ganó el Nobel por este descubrimiento, con lo que hablaremos de eso algún día.
Pero no sólo cuento lo del atomismo para bajar a Planck de las nubes y llevarlo al terreno de los mortales que cometen errores de bulto. Es relevante por lo sorprendente, y duro, que tuvo que ser para él, al mirar una expresión espantosa que no reconocía, encontrarse con una vieja conocida pero, al fin y al cabo, anatema.
La interpretación estadística de la Termodinámica de Maxwell y Boltzmann funcionaba estupendamente bien, algo que hacía rabiar a Planck, al que no le gustaba nada: a él le gustaban las leyes absolutas, no las basadas en la probabilidad y la estadística –otra ironía, como ya sabes si has leído Cuántica sin fórmulas–.
Al considerar la materia compuesta de partículas discretas, Boltzmann utilizaba a menudo herramientas matemáticas que no hubiera sido posible emplear de tratarse de un continuo. Por ejemplo, para calcular la entropía de un sistema de muchos átomos, Boltzmann empleaba el análisis combinatorio: dado un número de átomos $N$ que poseen una cantidad de energía total $E$ entre todos, ¿de cuántas maneras posibles pueden almacenar energía cada uno?
Ludwig Boltzmann (1844-1906).
“¿Y a mí que me importa?”, puedes responder. Pero a Boltzmann le importaba, porque como he dicho antes, la entropía está asociada al desorden de un sistema: cuanto más grande sea el número de maneras en el que puede almacenar esa energía el sistema de átomos, más desordenado puede estar. De modo que el alemán utilizaba la combinatoria, pero tenía un problema: había un número finito, $N$, de átomos, pero la energía total $E$ podía dividirse en trozos infinitamente pequeños, de modo que había infinitas maneras posibles de repartirla entre todos los átomos.
Es algo así como si te preguntan de cuántas maneras pueden guardarse $x$ bolas en $y$ cajas, pero puedes romper las bolas en trozos infinitamente pequeños y guardar unos trozos en unas y otros en otras… podrías hacerlo de infinitas maneras. Pero esto impide el tratamiento combinatorio del problema, y hace imposible la asociación de la entropía al desorden, ya que el desorden es completo siempre: hay infinitas maneras posibles de ordenar algo.
De modo que al loro con la astucia de Boltzmann para resolver el entuerto, que merece esta pausa de un párrafo. Respiremos.
Para poder emplear la combinatoria, Boltzmann puso una condición a la energía: cada átomo no podía tener cualquier cantidad de energía, sino sólo un número finito de “paquetes” de energía muy pequeños, $\epsilon$, de modo que la energía total era un gran número de estos paquetes: $E = M\epsilon$. De este modo el problema se convertía en el siguiente: ¿de cuántas maneras posibles pueden almacenar $M$ paquetes de energía $N$ átomos? Y esto, si sabes combinatoria, es muy fácil responderlo – es una pregunta de esas del tipo “de cuántas maneras pueden guardarse no sé cuántas bolas en no sé cuántas cajas”.
Pero Boltzmann, que empleó este truco en 1877, no postuló una auténtica cuantización: se trataba de una mera argucia matemática para poder emplear la combinatoria, y posteriormente Boltzmann hacía el límite para un valor infinitamente pequeño de $\epsilon$ y se lo quitaba de encima. ¿Y para qué te cuento todo este rollo? Para que veas una de las fórmulas obtenidas por Boltzmann empleando la combinatoria. Una expresión de la entropía de ese conjunto de $N$ átomos que se reparten $M$ “paquetes” de energía discretos:
Tal vez el corazón te haya dado un vuelco al recordar la expresión de Planck, como imagino que le pasó al alemán pero al revés, cuando recordó la expresión de Boltzmann. Aquí tienes de nuevo la de Planck:
Son exactamente iguales si suponemos simplemente que $NU = Mhf$. ¡Idénticas! Podría ser casualidad, pero dada la complicación de esos chorizos de ecuaciones, parece difícil aceptarla como tal. Pero –y esto es fundamental– mientras que la expresión de Planck provenía de ir “hacia atrás” desde la fórmula indemostrada, la expresión de Boltzmann era una consecuencia inevitable de una teoría básica. La había obtenido el propio Boltzmann a partir de la combinación de dos cosas: la interpretación estadística de la Termodinámica y el carácter discreto –aunque sólo temporalmente en el proceso– de la energía almacenada por los átomos.
Planck había encontrado la base teórica que estaba buscando. Era posible “enganchar” la deducción de Boltzmann para la entropía de un conjunto de partículas con energías discretas con la fórmula modificada de la de Wien, y obtener así la fórmula empírica a partir de una teoría. Sólo había un problema.
Max Planck aborrecía esa teoría: un número discreto de átomos con energías discretas… ¡atomismo hasta el infinito y más allá! Ni siquiera podía hacer como Boltzmann y despreciar nada, porque entonces la fórmula obtenida no era la buena. Algo inaceptable… pero inevitable. No le quedaban alternativas, y llevaba trabajando en esto dos meses. En cartas posteriores reconoció estar desesperado, obsesionado con encontrar una razón teórica para la ley:
[…] debía encontrarse una interpretación teórica a cualquier precio.
Y parte del precio, desgraciadamente para Planck, era el atomismo boltzmanniano. Al menos hay que reconocer al alemán que, enfrentado a una situación en la que debía elegir una teoría que le agradaba o una que explicaba los resultados empíricos, eligió la que explicaba los resultados empíricos, aunque cayó en el mismo error de Boltzmann, como veremos en un momento. Pero había otro precio más asociado a esta suposición, algo más terrible aún que el atomismo.
¿Cuál era la interpretación teórica de $NU = Mhf$? Por un lado, $NU$ es la energía total: el número de osciladores multiplicado por la energía de cada uno de ellos. Por otro, $Mhf$ era el producto del número de “paquetes de energía” por una constante ($h$) y la frecuencia de la radiación, $f$. Pero esto significaba que la energía de cada oscilador del cuerpo negro no era un continuo: era imposible tener cantidades que no fuesen múltiplos de $hf$.
Los osciladores, por lo tanto, tenían un conjunto de energías discretas posibles. Aunque Max Planck no era consciente en absoluto de la importancia de esta suposición ni de la revolución que traería consigo, estaba planteando la cuantización de la energía. El 14 de diciembre de 1900, en una charla a la Sociedad Física Alemana, explicó que la única solución al dilema era considerar la energía
[… ] como un número completamente determinado de partes finitas.
Ésa era la modificación teórica necesaria. La teoría clásica era incapaz de predecir la fórmula modificada de Planck para la radiación del cuerpo negro, pero con este simple cambio sí se obtenía el resultado correcto. Aunque Planck era un tradicionalista, no un revolucionario, era lo suficientemente inteligente como para darse cuenta de que en esto la casualidad no podía ser la explicación: la introducción de la idea de Boltzmann en la teoría clásica producía una fórmula que se ajustaba con exactitud milimétrica a los resultados obtenidos.
De modo que el alemán postuló esa hipótesis, que seguimos llamando hoy en día hipótesis de Planck (y te recomiendo que leas ese artículo, si no lo has hecho, ya cuando termines éste): que los osciladores microscópicos que emiten y absorben radiación en la materia sólo pueden tener valores discretos de energía. Sin embargo, como tradicionalista que era, Planck no pensó en absoluto que estuviera trayendo una revolución.
Como Boltzmann antes que él, consideró la existencia de estos osciladores y la de sus energías discretas como una simple alteración formal, con consecuencias matemáticas pero no necesariamente relevancia física. En una carta de 1931 dijo que su hipótesis era
[…] una suposición puramente formal, y no le di mucha importancia más allá del hecho de que, sin importar el precio, debía llegar a una conclusión válida.
El error en la teoría clásica, según Planck, estaba en el modo formal de proceder, no en las bases teóricas profundas. La existencia de estos osciladores y sus energías cuantizadas eran meras herramientas: sé que es difícil de aceptar que no profundizase más, pero ten en cuenta que concebir la existencia física de esa cuantización es extremadamente difícil de aceptar.
Sin embargo, otros después de él sí explorarían las consecuencias de esta cuantización de los valores de energía de los osciladores. Al final resultó que no era una suposición formal, sino una realidad física; que los osciladores no eran simples abstracciones, sino objetos reales, y que el mundo era muchísimo más raro de lo que habíamos pensado. Y todo llegó muy deprisa, como veremos en las siguientes entregas de esta misma serie –y como ya sabes si eres viejo del lugar–. Planck, el revolucionario tradicionalista, iba a ver cambiar la faz de la Física en una década, y todo por su “suposición puramente formal”.
Pero en 1900, como digo, casi nadie dio demasiada importancia a la hipótesis de Planck. Estoy bastante convencido de que, de haber propuesto a Max Planck como candidato al Nobel ese año, o cualquiera de los inmediatamente posteriores, los miembros del Comité de Física hubiesen dicho algo como “Max… ¿Max qué?” o “Pero… se supone que tenemos que premiar logros importantes”. Hicieron falta casi dos décadas para que el mundo se inclinase ante Planck, incluyendo al propio Planck.
Su recompensa tuvo que esperar, de hecho, a que terminase la Gran Guerra, ya que como sabes si has leído la serie hasta ahora fue en 1920 cuando se produjo una ceremonia a la que asistieron todos los que no habían podido acudir a recibir su Nobel durante la guerra. No te preocupes, porque podrás leer las palabras que, por fin, recompensarían a Max Planck, pero antes quiero hablar de otra cosa brevemente.
Planck no sólo se encontró ante el dilema de aceptar las teorías anteriores o lo extraño de la realidad cuántica –como casi todos los de su generación, se resistió mucho a hacerlo–. También se encontró ante el terrible dilema de todos los grandes físicos alemanes de la primera mitad del siglo XX: qué hacer ante el auge del Tercer Reich. ¿Cómo reaccionaría ante estos dos dilemas?
Ante el primero reaccionó como puedes esperar si he sido capaz de transmitir su personalidad a lo largo de estas líneas: como un tradicionalista. Planck se negó a aceptar las implicaciones físicas profundas de la mecánica cuántica. Estaba convencido de que las limitaciones que establecía esa teoría sobre nuestro conocimiento del mundo serían superadas. Pensaba, como Einstein, que lo que fallaba era nuestra teoría, y que cuando desarrollásemos la mecánica ondulatoria nos daríamos cuenta de que lo que parecían efectos sorprendentes –de los que no voy a hablar aquí otra vez porque les hemos dedicado una serie entera– resultarían ser consecuencia de agujeros en nuestras fórmulas, y no parte de la estructura de la propia realidad.
Esto es, una vez más, tremendamente irónico. El propio Planck, en su juventud, había hecho la siguiente afirmación (esta vez sí, clarividente de veras):
Una nueva verdad científica no triunfa convenciendo a sus oponentes y haciendo que vean la luz, sino porque sus oponentes mueren tarde o temprano, y crece una nueva generación que está acostumbrada a ella.
El propio Planck nunca se acostumbró a la nueva verdad científica que él mismo había hecho nacer, e hizo falta que muriese la anterior generación para que surgiera una nueva acostumbrada a la realidad cuántica que surgió de su hipótesis. ¡Ay, Max!
Respecto al Tercer Reich, Planck estaba en una posición diferente a la de otros grandes científicos alemanes de la época. Recuerda que había nacido en 1858, lo cual significa que cuando Hitler obtuvo el poder en 1933 tenía casi 75 años. Su importancia no era ya práctica, pero sí moral, porque era una de las figuras fundamentales de la Física alemana y un nombre respetadísimo.
Walther Nernst, Albert Einstein, Max Planck, Robert Millikan y Max von Laue en 1931.
Y aquí debo decir que su manera de ser lo llevó a una actitud, en mi opinión, reprobable, sobre todo al principio. No es que apoyase activamente al gobierno, pero mantuvo durante mucho tiempo su puesto como Presidente de la Kaiser-Wilhelm-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften (Sociedad del Kaiser Guillermo para el avance de la ciencia). Mientras fue remotamente posible intentó basicamente mantener la paz y la tranquilidad, ignorar la política y apaciguar las aguas.
Yo soy el primero en estar de acuerdo con la separación de ambas cosas –ciencia y política–, pero aquí había un problema: muchos científicos alemanes, judíos o supuestos simpatizantes de los judíos, perdieron sus cátedras y sus puestos de profesor en las universidades alemanas. Y Planck, francamente, no hizo casi nada hasta que la cosa se volvió realmente horrible. Es cierto que tal vez hubiese podido hacer poco, pero hemos hablado en esta misma serie de otros alemanes ganadores del Nobel, como Richard Willstätter, cuya valentía e integridad dejan la boca abierta. A Planck le costó mucho plantar cara.
Finalmente lo hizo en 1935 al organizar, junto con Max von Laue, un homenaje a Fritz Haber ante la oposición del Reich. No voy a repetir aquí la historia completa, porque ya hablé del episodio en el artículo sobre Max von Laue, pero aquí por fin Planck demostró tener espina dorsal. Un año más tarde, cuando terminaba la presidencia de Planck en la Kaiser Wilhelm, el Reich lo presionó para que no se presentase otra vez (aunque es cierto que ya no era ningún zagal, pero estaba muy bien física y mentalmente).
Además de estos gestos, Planck hizo algo que también fue atacado por los partidarios de la Deutsche Physik: enseñaba en la Universidad la física de Einstein, es decir, Jüdische Physik, como también hacían Sommerfeld y Heisenberg. Todos ellos fueron acusados de ser “judíos blancos”, y el propio Planck aguantó una investigación sobre sus orígenes. ¿No tendría tanta simpatía por los judíos por ser él mismo uno de ellos? La conclusión fue que Planck era judío en una dieciseisava parte, ¡toma castaña!
Sin embargo, Planck nunca abandonó Alemania y permaneció allí hasta su muerte en 1947. En una ironía final, su hijo menor, Erwin Planck, fue acusado de tomar parte en el intento de asesinato de Hitler del 20 de julio de 1944 y murió a manos de la Gestapo en 1945. Con esta tragedia se cerraba la vida de este genio, conservador en todos los aspectos, pero que nos trajo una revolución que cambiaría el mundo.
Pero, volviendo al año que nos ocupa, por fin, el 1 de junio de 1920, A. G. Ekstrand, el Presidente de la Real Academia Sueca de las Ciencias, pronunciaría estas palabras:
La Real Academia de las Ciencias ha decidido otorgar el Premio Nobel de Física del año 1918 al Dr. Max Planck, catedrático de la Universidad de Berlín, por su trabajo en el establecimiento y desarrollo de la teoría de los cuantos elementales.
Desde el momento en el que Kirchhoff enunció el principio de que “la intensidad de la radiación de un cuerpo negro depende únicamente de la longitud de onda de la radiación y de la temperatura del cuerpo radiante, una relación que merece ser investigada”, el tratamiento teórico del problema radiativo se ha convertido en una fuente rica y fértil de nuevos descubrimientos.
Sólo es necesario aquí recordar el fértil principio de Doppler y, además, la transformación de nuestro concepto de la naturaleza de la luz, como se ve en la teoría electromagnética de la luz formulada por ese gran hombre, Maxwell, la deducción de la Ley de Stefan por Boltzmann, y la Ley de radiación de Wien. Puesto que estaba claro, sin embargo, que ésta no se correspondía exactamente con la realidad, sino que era más bien, como la ley proporcionada por Lord Rayleigh, sólo un caso particular de una ley radiativa general, Planck buscó y encontró en 1900 una fórmula matemática para aquélla, que dedujo más adelante de manera teórica.
La fórmula contenía dos constantes; una, como fue demostrado, proporcionaba el número de moléculas en un gramo de materia. Planck también fue el primero en obtener, mediante esta relación, un valor altamente preciso del número en cuestión, el denominado número de Avogadro. La otra constante, llamada constante de Planck, demostró finalmente tener una importancia aún mayor, tal vez, que la primera.
El producto hν, donde ν es la frecuencia de vibración de una radiación, es de hecho la cantidad más pequeña de calor que puede ser radiada a esa frecuencia de vibración. Esta conclusión teórica está en completa oposición a nuestro concepto anterior del fenómeno radiativo. La experiencia debía proporcionar, por tanto, una confirmación sólida antes de que la teoría radiativa de Planck pudiera ser aceptada.
Desde entonces esta teoría ha tenido un éxito inaudito. El calor específico de las sustancias, la Ley de Stokes de fenómenos de fosforescencia y fluorescencia y el efecto fotoeléctrico proporcionan, como Einstein fue el primero en sugerir, el apoyo más sólido imaginable a la teoría radiativa de Planck frente al concepto antiguo y usualmente aceptado.
La teoría de Planck ha obtenido un triunfo aún mayor en el campo del análisis espectrográfico, donde el trabajo básico de Bohr, junto con el de Sommerfeld y Epstein, además de otros esfuerzos complementarios, han proporcionado una explicación de las leyes enigmáticas que rigen esta parte de la ciencia. Recientemente se ha vertido nueva luz sobre fenómenos físico-químicos básicos, como el efecto de la temperatura sobre la velocidad de las reacciones y el calor de reacción, como resultado del trabajo de W. C. McCullagh, Lewis, Perrin y otros, utilizando la teoría de Planck.
La teoría radiativa de Planck es, en verdad, la estrella guía de la investigación física moderna, y parece que pasará mucho tiempo antes de que los tesoros revelados gracias al genio de Planck se agoten.
Profesor Planck. La Academia Sueca de las Ciencias le ha otorgado el Premio Nobel de 1918 en reconocimiento a sus investigaciones revolucionarias sobre la teoría cuántica. Esta teoría, que estaba originalmente conectada con la radiación de cuerpo negro, ha demostrado luego su validez en otros campos y relaciones de la Naturaleza y la constante bautizada en su honor es un factor de proporcionalidad que describe una propiedad común, pero hasta ahora desconocida, de la materia. La Academia le suplica ahora, profesor, que reciba el premio de manos del Presidente de la Fundación Nobel.
En la siguiente entrega, el Premio Nobel de Química de 1918, entregado a Fritz Haber por la síntesis del amoníaco.
Para saber más (esp/ing si es posible):