Seguimos repasando conceptos de álgebra en nuestro bloque recordatorio de [Matemáticas I]. Tras hablar sobre variables y expresiones primero, y sobre ecuaciones en general y polinómicas después, hoy lo haremos sobre sistemas de ecuaciones. No será necesario introducir conceptos nuevos, sino más bien utilizar los que hemos visto hasta ahora para poder resolver muchos más problemas terriblemente comunes en Física.

En el caso de que en vez de ver fórmulas matemáticas normales te aparezcan símbolos de dólar alrededor de cosas (si ves esta $x$ encerrada entre dos dólares, por ejemplo) es posible que sea porque no estás viendo el artículo en la misma página. Si es así, aquí tienes el enlace a la entrada original: https://eltamiz.com/2014/01/23/matematicas-i-sistemas-ecuaciones/.

Antes de entrar en materia, sin embargo, la respuesta al desafío del capítulo anterior.

Sistemas de ecuaciones

Una vez entendido el concepto de ecuación, el de sistema de ecuaciones es bastante intuitivo. Se trata simplemente de un conjunto de ecuaciones con un conjunto de incógnitas que resuelven todas las ecuaciones simultáneamente. Antes de entrar en detalles, aquí tienes un ejemplo para que veas a qué me refiero:

$$a - 2 = b + 1$$ $$3b = a$$

Si sólo viésemos la segunda ecuación, $3b = a$, se trataría de una de esas ecuaciones con una solución de infinitos valores. Se cumple para $a = 0$ y $b=0$, por ejemplo, pero también para $a = 3$ y $b = 1$, para $a = 6$ y $b = 2$, etc. Algo parecido pasa con la primera ecuación. Pero no todos los valores que resuelven una lo hacen en la otra. Así, $a = 0$ y $b = 0$ es, como hemos dicho, una solución de la segunda ecuación, pero si introducimos esos valores en la primera obtenemos $-2 = 1$, lo cual es una mentira cochina. Así que $a = 0$ y $b = 0$ no es una solución simultánea de ambas.

¿Cuántas ecuaciones y cuántas incógnitas pueden existir en un sistema? Cualquier número, aunque un sistema de una sola ecuación es una idiotez de sistema y una tontería llamarlo así. Ahora bien, la relación entre el número de ecuaciones y de incógnitas tiene consecuencias sobre las posibles soluciones del sistema. Aquí no vamos a entrar en disquisiciones teóricas, pero sí quiero dar una pequeña explicación de por qué es así.

Cada ecuación del sistema nos proporciona una pieza de información sobre él, ya que restringe los posibles valores de las soluciones. Cada ecuación es algo así como un requisito: la solución debe cumplir esto. Así, cuantas más ecuaciones, más fácil es determinar la solución. Ahora bien, cada incógnita que tenemos es un misterio a resolver: si hay sólo una incógnita será mucho más fácil determinar su valor que si son siete.

Imagina, por ejemplo, este sistema:

$$x + y + z = 25$$ $$y = 4j$$

Tenemos cuatro incógnitas pero muy, muy poca información de la que obtener sus valores. Sin embargo, fíjate en este otro:

$$k^2 + p = 1$$ $$k -p = 0$$

Esto ya es otra cosa… sólo hay dos misterios a resolver ($k$ y $p$) pero tenemos dos piezas de información clave. Así es mucho más sencillo llegar a la solución. Como digo, no vamos a entrar en detalles teóricos, pero sí quiero que tengas clara la idea fundamental: un sistema con muchas ecuaciones y pocas incógnitas está muy determinado, luego tendrá pocas soluciones posibles. Por el contrario, un sistema con muchas incógnitas y pocas ecuaciones está muy poco determinado y tendrá probablemente infinitas soluciones posibles.

Como regla general –aunque hay casos raros–, un sistema que tiene más ecuaciones que incógnitas está tan restringido que o bien no tiene solución –ya que las variables pueden cumplir unas ecuaciones u otras, pero no tantas a la vez–, o bien tiene una solución única; dicho más finamente, una solución con un solo valor. Por el contrario, un sistema con más incógnitas que ecuaciones suele tener una solución múltiple, a menudo con infinitos valores posibles. Un sistema educado y de buen comportamiento, que quiere hacernos las cosas lo más fáciles posibles, suele tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

Por poner un ejemplo de esto que tiene que ver con cosas prácticas, éste es un sistema muy típico en cinemática –el estudio del movimiento–, en el que las incógnitas son el tiempo que tarda un objeto en pararse y la aceleración con que lo hace:

$$0 = 20 + at$$ $$20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$$

En este caso tenemos el mismo número de “pistas” (ecuaciones) que de “misterios” (incógnitas) de modo que, si todo va bien, nuestro sistema tendrá una solución única. Recuerda además que a veces las ecuaciones matemáticas pueden dar resultados posibles que no tienen sentido físico, y es nuestro trabajo –en este caso porque hacemos Física con las ecuaciones– darnos cuenta de ello y analizar el resultado.

Ahora bien, ¿cómo obtener las soluciones del sistema? Nuestros métodos de capítulos anteriores funcionaban bien para encontrar la solución en ecuaciones en las que había una sola variable, pero ¿y ahora? La respuesta es que aquellos métodos siguen funcionando, y que recordando algunas cosas más podemos ser muy eficaces al resolver sistemas como éste.

Aunque hay muchos métodos posibles para resolver sistemas, los relativamente simples que suelen aparecer a nivel de Bachillerato en Física pueden resolverse, con pocas excepciones, utilizando tres muy conocidos: el de sustitución, el de igualación y el de reducción. Recuerda que la solución es la que es independientemente de cómo lleguemos a ella, de modo que no hay un método “más correcto” que otro, pero a veces uno de ellos es mucho más rápido y eficaz que otros, de modo que es conveniente tener varias herramientas en el cinturón para elegir la más conveniente en cada caso.

Sustitución

El primer método es el de fuerza bruta. Simplemente hacemos lo que hacíamos antes: despejar una incógnita. Puede parecer que estamos siendo testarudos al seguir empleando algo que evidentemente no va a funcionar, ya que no conocemos dos variables y no una, pero simplemente tenemos que ser pacientes.

En la sustitución se despeja una incógnita en una ecuación y a continuación se sustituye el valor de esa incógnita en la otra ecuación por el valor despejado – de ahí el nombre del método. Para hablar con datos concretos antes de hilar más fino, hagámoslo en el sistema de arriba. Por ejemplo, en la primera ecuación despejemos el valor de la aceleración $a$, ya que sabes de sobra para hacerlo. Sigo haciéndolo paso a paso, como antes, por si te atascas en el proceso:

$$0 - 20 = 20 + at - 20$$ $$-20 = at$$ $$-\frac{20}{t} = \frac{at}{t}$$ $$a = -\frac{20}{t}$$

El problema es el que decía antes: si conociésemos el valor de $t$ tendríamos el de $a$, ¡pero no lo tenemos! De modo que ahora hacemos honor al nombre del método y sustituimos, en $20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$, el valor de $a$ por el que acabamos de obtener, $-\frac{20}{t}$. Seguro que ya ves a dónde queremos llegar: al hacer eso tendremos una sola ecuación con una sola incógnita, que es exactamente lo que hemos aprendido a resolver en capítulos anteriores:

$$20 = 20t + \frac{1}{2}(-\frac{20}{t})t^2$$ $$20 = 20t - \frac{20 t^2}{2t}$$ $$20 = 20t - 10t$$ $$20 = 10t$$ $$t = 2$$

Luego ya tenemos parte de la solución: sabemos que para que haya equilibrio $t = 2$. Pero si recuerdas nuestro primer paso $a = \frac{-20}{t}$, lo único que nos hubiera hecho falta para obtener el valor de $a$ era $t$, ¡y ya lo tenemos! Si sustituimos $t = 2$ en la expresión de $a$ obtenemos:

$$a = \frac{-20}{2}$$ $$a = -10$$

Aunque yo no voy a hacerlo ahora, como siempre mi consejo es ir a ambas ecuaciones y sustituir $a = -10$ y $t = 2$ para comprobar que, efectivamente, ambas ecuaciones se cumplen simultáneamente con esos valores. Hemos obtenido, por tanto, la solución por el método de sustitución.

Es posible que se te ocurra la siguiente pregunta: dado que hace falta empezar despejando una incógnita en una ecuación, *¿qué incógnita y en qué ecuación? * ¿por qué hemos elegido $a$ en $0 = 20+at$ en este caso? La respuesta es que depende.

Como he dicho antes, el resultado correcto es siempre el que es: no importa cómo lleguemos a él, la verdad no cambia. Ahora bien, como en la elección de método de resolución, hay maneras más rápidas y más horribles de llegar a esa verdad. Una vez que elijas mal varias veces y te encuentres en un atolladero irás teniendo vista para esto, pero mientras, unos pequeños consejos:

• Si una de las dos ecuaciones es más simple que la otra, empieza despejando en la ecuación simple y deja la horrible para el final.

• Si en una de las ecuaciones sólo hay productos y cocientes pero en la otra hay sumas o restas, deja la de sumas y restas para el final.

• Una vez elegida la ecuación, fíjate en la otra ecuación. En la que has elegido, despeja la incógnita que en la otra ecuación aparezca lo menos posible y de la forma más simple posible.

• Si haces una elección y te encuentras con algo espantoso, no sigas resolviendo. Sé consciente de que has elegido mal y vuelve al principio con una elección diferente.

Así, en el sistema de antes la primera ecuación era más simple que la segunda, de modo que elegimos ésa. Podíamos haber despejado $t$ o $a$, pero mirando la segunda ecuación vemos que $a$ aparece sólo una vez y de modo simple, mientras que $t$ aparece dos veces y una de ellas al cuadrado, de modo que elegimos despejar $a$.

Como digo, no importa mucho y lo único que va a cambiar es lo rápido que llegues a la solución y las probabilidades de equivocarte por el camino. Si tienes algo de tiempo, de hecho, no habría nada más didáctico ahora mismo que volver al sistema de antes y que lo resuelvas por sustitución con todas las posibilidades existentes: despejar $t$ en la primera y segunda ecuación, y despejar $a$ en la segunda ecuación, como primer paso de la resolución. Verás que no todos los caminos son igual de eficaces.

De hecho, el método de sustitución no suele ser el más eficaz cuando las cosas se complican. En muchas ocasiones es el último recurso, y antes de recurrir a él es conveniente intentar aplicar los otros dos, que son algo más sofisticados. Vamos con el segundo, el de igualación.

Igualación

El método de igualación es una variación del anterior pero, como digo, algo más sofisticado. Consiste en despejar algo –no tiene por qué ser una incógnita, puede ser una expresión más o menos compleja– en ambas ecuaciones. Al ser algo común a las dos ecuaciones, es posible entonces igualar el resultado despejado de ambas expresiones y así llegar a algo simple.

Las diferencias con la sustitución, por tanto, son las siguientes:

• No es necesario despejar una incógnita, sino cualquier cosa que aparezca en ambas ecuaciones.

• No se sustituye un resultado despejado en la otra ecuación, sino que se igualan los resultados despejados en ambas.

Puede parecer retorcido y menos inmediato, pero a menudo es muy útil. A diferencia del anterior es posible usarlo de maneras que no llevan a nada útil –la primera vez que lo usemos haremos exactamente eso a propósito–, pero bien empleado es eficacísimo. De hecho una vez que te haya quedado claro te daré algún consejo sobre cuándo es muy eficaz emplearlo. Pero, antes de nada, apliquémoslo a nuestro sistema anterior:

$$0 = 20 + at$$ $$20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$$

Debemos despejar, como decía antes, la misma expresión en ambas ecuaciones. Puede ser simple o complicada, eso da igual. Podríamos, por ejemplo, despejar algo tan simple como el 20 que aparece en ambas, ya que en la segunda ecuación está ya despejado. Hagamos eso:

$$20 = -at$$ $$20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$$

Puesto que la expresión de arriba es igual a 20 y la expresión de abajo también, podemos igualar ambas expresiones, haciendo así honor al nombre del método:

$$-at = 20t + \frac{1}{2}at^2$$

Con lo que tenemos una única ecuación… pero no sólo no estamos mejor que antes, ¡estamos aún peor! Porque tenemos una ecuación, pero seguimos teniendo en ella dos incógnitas. Aquí ves una de las claves de la eficacia en la igualación: es muy conveniente igualar expresiones en las que sólo haya “sobrevivido” una variable.

Si lo piensas en estos términos verás la segunda clave: al despejar y luego igualar, nos estamos quitando de enmedio parte de cada ecuación, la parte común que hemos despejado. En nuestro ejemplo hemos despejado el 20 y en la ecuación final, resultado de igualar, ya no aparece el 20. Ha “sobrevivido” el resto de cada ecuación.

Por lo tanto lo mejor es despejar lo más complicado posible que tengan ambas ecuaciones en común, ya que precisamente lo que despejemos no sobrevivirá a la igualación y nos quedaremos con algo más simple. El problema es, claro está, que no siempre es tan fácil ver qué tienen ambas en común que sea complicado, y no hay una sola manera de obtener el resultado.

En nuestro sistema podemos despejar e igualar, al menos, algo un poco más complejo que antes, como por ejemplo la expresión $at$, que aparece en ambas ecuaciones (en la segunda en $at^2$). En la primera,

$$-20 = at$$ $$at = -20$$

En la segunda (no pongo demasiado detalle en cada paso, que ya estás curtido),

$$20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$$ $$20 - 20t = \frac{1}{2}at^2$$ $$40 - 40t = at^2$$ $$at = \frac{40-40t}{t}$$

Hemos despejado $at$ en ambas ecuaciones, luego el resultado de cada despeje es exactamente el mismo y podemos igualarlos:

$$-20 = \frac{40-40t}{t}$$

Esta vez sí: tenemos una única ecuación con una sola incógnita y podemos emplear las herramientas que tienes en el bolsillo desde hace semanas para resolverla:

$$-20t = 40 - 40t$$ $$-20t + 40t = 40$$ $$t = 2$$

Y ahora no hay más que introducir ese valor de $t$ en $at = -20$ para obtener el valor de $a$, que es por supuesto el que ya conocíamos, $a = -10$. Ahora bien, como ves en este caso el método de igualación, aunque funciona, no nos ha supuesto una ventaja muy grande sobre el de sustitución (si alguien tiene una aplicación más eficaz que la mía para este sistema, que lo diga y la uso en vez de ésta).

Por eso vamos a los consejos: ¿cuándo es realmente útil el método de igualación? Si has comprendido las dos claves que he mencionado antes es posible que te lo huelas: cuando en ambas ecuaciones haya una gran cantidad de contenido común, y especialmente si ese contenido es horroroso. Imagina que en el siguiente sistema conocemos el valor de todas las variables excepto las incógnitas $a$ y $b$:

$$\frac{2 - a}{b^2-4b -4} = 4a + 1$$ $$b^2 -4 b - 4 = 6a +2$$

Es un espanto, pero ambas ecuaciones tienen un horror en común: $b^2-4b-4$. Así, si despejamos esa expresión en la primera ecuación tenemos

$$b^2-4b-4 = \frac{2-a}{4a+1}$$

Y puesto que en la segunda ya lo tenemos despejado,

$$b^2 -4 b - 4 = 6a +2$$

Podemos igualar el valor de ambas expresiones:

$$\frac{2-a}{4a+1} = 6a + 2$$

Que es una ecuación con una sola incógnita. El horror de $b$ ha desaparecido, no ha sobrevivido a la igualación y eso nos hace todo mucho más fácil. Operemos:

$$2-a = (6a + 2)(4a+1)$$ $$2-a = 24a^2 + 6a + 8a + 2$$ $$2 - a = 24a^2 + 14a + 2$$ $$24a^2 + 15a = 0$$

Es una ecuación de segundo grado, pero si te fijas en ella podemos hacerla incluso más fácil dividiendo ambos miembros entre $a$ (y recordando luego que la solución $a = 0$ va a desaparecer al hacerlo):

$$24a + 15 = 0$$

Luego $a = \frac{-15}{24}$, que simplificando es $a = \frac{-5}{8}$. Luego las dos soluciones a nuestra ecuación son $a = 0, a = \frac{-5}{8}$. Ahora podemos volver a cualquiera de las otras dos, sustituir el valor de $a$ por cada uno de estos dos, y obtener así el de $b$. Observa que este sistema es de cierta categoría: al ser ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen dos soluciones para cada variable, con lo que en total obtendremos cuatro soluciones.

No voy a obtener paso a paso los valores de $b$, pero te lo dejo como deberes: las cuatro soluciones posibles son $a = 0$ y $b = 2- \sqrt{10}$, $a= 0$ y $b = 2+\sqrt{10}$, $a = \frac{-5}{8}$ y $b = \frac{-1}{2}$ y finalmente $a = \frac{-5}{8}$ y $b = \frac{9}{2}$.

Para terminar, hay veces en las que más eficaz que la sustitución o la igualación es otro método diferente, el de reducción.

Reducción

El de reducción es el método conceptualmente más sofisticado, y sólo es útil para sistemas determinados, pero cuando funciona es muy rápido y muy eficaz. Consiste en convertir una de las ecuaciones en otra equivalente a ella pero en la que aparezca un término idéntico al de alguna otra ecuación con el signo contrario, para luego sumar ambos miembros de las dos ecuaciones y así quitarse de enmedio ese término.

Sé que es un párrafo confuso, así que veámoslo con un ejemplo. Antes de volver a nuestro sistema de tiempo y aceleración, hagámoslo con uno más sencillo. Supongamos que queremos encontrar la solución de este sistema –más bien tonto– de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$$h + j = 4$$ $$h - j = 2$$

Aunque podríamos resolverlo utilizando la sustitución o la igualación, hagámoslo por reducción para que veas este método en la práctica. Los pasos que seguimos son los siguientes:

• En primer lugar, identificar algún término en ambas ecuaciones en el que podamos, manipulando una de ellas, conseguir una ecuación equivalente pero en la que ese término tenga signo contrario en ambas. En este caso esto es muy fácil porque hay un término que ya es opuesto en las dos sin necesidad de hacer nada: $+j$ en la primera y $-j$ en la segunda.

• En segundo lugar, sumar cada miembro en las dos ecuaciones. Aquí es donde la cosa requiere una explicación conceptual, porque a menudo se hace sin más sin pensar en por qué es correcto hacerlo. ¿A qué me refiero con sumar los miembros de ambas ecuaciones?

Recuerda que si sumamos lo mismo en ambos miembros de una ecuación, la ecuación obtenida es equivalente a la primera, es decir, tiene la misma solución. Por ejemplo, en este caso podríamos hacer lo siguiente:

$$h + j + 10 = 14$$

Hemos sumado 10 en ambos miembros. Pero no tenemos por qué sumar un número, sino que también podemos sumar una expresión, siempre que sea la misma en ambos miembros, por supuesto:

$$h + j +4j = 4+ 4j$$

En este caso, a la primera ecuación le hemos sumado $4j$ en ambos miembros, luego la nueva ecuación es equivalente a la primera. Pero esto significa que podríamos sumar como expresión a la primera ecuación uno de los miembros de la segunda:

$$h+j + h - j = 4 + h - j$$

Hemos sumado $h-j$ en ambos miembros, luego la ecuación es equivalente a la primera. Pero aquí es donde sale la paloma de la chistera, así que ojo avizor: podemos sumar $h-j$ en un miembro y $2$ en el otro.

¿Cómo es posible? Puedes pensar. ¿No hemos dicho que tenemos que sumar la misma cantidad en ambos miembros? Sí, por supuesto: pero nuestra segunda ecuación nos dice que $h-j = 2$, lo cual significa que sumar $h-j$ y sumar $2$ es exactamente lo mismo, luego la nueva ecuación sigue siendo equivalente a la primera.

Si volvemos a mirar el sistema original, piensa en qué sucederá si sumamos a la primera ecuación los miembros de la segunda: el primer miembro al primero y el segundo miembro al segundo:

$$h + j = 4$$ $$h - j = 2$$

¡Desaparecerá la incógnita $j$! El resultado será:

$$h + j + h - j = 4 + 2$$ $$2h = 6$$ $$h = 3$$

Y una vez obtenido el valor de $h$ no tenemos más que sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener el de $j$:

$$3 - j = 2$$ $$j = 1$$

Evidentemente este sistema estaba a punto de caramelo para aplicarle la reducción, pero en otras ocasiones sólo hay que tocarlo un poco para que suceda lo mismo. Observa este otro:

$$x + y = 2$$ $$2x + y = 3$$

En este caso si sumamos ambas miembro con miembro no desaparece ninguna incógnita, pero recuerda el capítulo introductorio a las ecuaciones: podemos multiplicar ambos miembros de una ecuación por la misma cantidad y el resultado es equivalente a la primera ecuación. Así, en este caso podemos multiplicar la primera ecuación por $-1$ y el sistema queda:

$$-x-y = -2$$ $$2x + y = 3$$

Y ahora puedes ver que si sumamos como en el ejemplo anterior nos quitamos de encima la $y$:

$$-x-y+2x+y = -2+3$$ $$x = 1$$

Una vez más no tenemos más que sustituir en cualquiera para obtener $y$:

$$1+y = 2$$ $$y = 1$$

Incluso cuando las cosas no parecen tan inmediatas, como en nuestro sistema de aceleración y tiempo, la reducción puede funcionar muy bien. Recuerda cómo era el sistema:

$$0 = 20 + at$$ $$20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$$

Aquí sí que no parece haber por dónde librarse de nada sumando miembro a miembro, ¿verdad? Pero observa que en un caso hay $at$ y en el otro $\frac{1}{2}at^2$. Aunque podríamos hacer esto en un solo paso hagamos las cosas pasito a pasito para que veas la transformación.

Empecemos por multiplicar la segunda ecuación por $2$:

$$40 = 40t + at^2$$

Ahora sí que está maduro para caerse del árbol… si multiplicamos la primera ecuación por $-t$:

$$0 = -20t - at^2$$

El sistema ahora sí está más que listo para sumar miembro a miembro:

$$0 = -20t - at^2$$ $$40 = 40t + at^2$$

Sumando nos queda

$$40 = 20t$$

De donde obtenemos rápidamente $t$ y con él $a$ sustituyendo en alguna de las anteriores, aunque no voy a hacerlo por tercera vez. Lo que sí voy a hacer, para intentar poner de manifiesto el poder de la reducción, es mirar de nuevo el sistema original y hacer una reducción en un solo paso:

$0 = 20 + at$ $20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$

Si multiplicamos la primera ecuación por $\frac{-t}{2}$ obtenemos el sistema

$$0 = -10t - \frac{1}{2}at^2$$ $$20 = 20t + \frac{1}{2}at^2$$

De modo que, sumando, nos libramos de casi todo:

$$20 = 10t$$

Creo que no hace falta que siga, y que te habrás dado cuenta de que este método es el que ha resuelto la ecuación más deprisa con mucha diferencia, pero es a cambio de algo: de requerir un “encendido de bombilla” al mirar las ecuaciones.

De hecho ésa es la tendencia al mirar esos tres sistemas, y espero que se haya hecho evidente al recorrerlos en este orden: el primero es absolutamente mecánico, funciona siempre pero es de fuerza bruta. El segundo requiere de hacer la manipulación correcta, pero casi siempre es posible igualar algo en ambas ecuaciones. El tercero es el que sólo tiene sentido si vemos claramente cómo reducir el sistema, pero si podemos hacerlo es el más rápido de los tres.

De modo que ¿cuál es mi consejo cuando te encuentres con un sistema de ecuaciones? Que lo mires unos minutos para intentar aplicar la reducción. Si no tiene mucho sentido hacerlo porque requeriría de muchos cálculos, o bien ni siquiera eres capaz de agarrarlo por ninguna parte para conseguir reducirlo, debes decidir si merece la pena aplicar la igualación porque eliminaría expresiones farragosas fácilmente. Si tampoco es ése el caso, entonces no queda otra que la sustitución, es decir, pico y pala.

Las buenas noticias son que da igual qué método sigas, si lo haces sin cometer errores el resultado será el mismo: es simplemente una cuestión de eficacia. Y recuerda también que si te encuentras con un sistema absolutamente horrible, siempre puedes recurrir a herramientas como Wolfram Alpha e introducir allí las ecuaciones separadas por comas para que alguien obtenga la ecuación por ti: no es igual de satisfactorio, pero mucho más que quedarte sin la solución.

Ideas clave

Aunque, como dije al principio, éste no haya sido un artículo muy teórico sino más bien práctico, sí deberías haberlo terminado con los siguientes conceptos bien claros:

• Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con una o más incógnitas.

• El número de soluciones de un sistema depende, entre otras cosas, de la relación entre el número de ecuaciones y el de incógnitas.

• Los tres métodos más comunes para resolver sistemas simples son el de sustitución, el de igualación y el de reducción.

• El método de sustitución consiste en despejar una variable en una ecuación, sustituye en otra, y así sucesivamente hasta obtener una ecuación con una incógnita.

• El método de igualación consiste en igualar expresiones comunes en dos ecuaciones diferentes para eliminar incógnitas.

• El método de reducción consiste en operar con ecuaciones diferentes para encontrar términos opuestos y luego sumarlas para eliminar esos términos.

• Dependiendo del sistema de que se trate, unos métodos son más eficaces que otros, pero el resultado correcto es el mismo independientemente del método empleado.

Antes de seguir…

Te puedes imaginar lo que viene y lo que necesitas ahora: lápiz, papel y paciencia. Para aprender a tejer hace falta algo más que mirar tejer a alguien. Pues eso. De paso, para repasar conceptos anteriores, habrá un segundo desfío que mezcla expresiones y ecuaciones.