Tras la presentación de ayer, hoy entramos en faena en este bloque introductorio a las Matemáticas en el que pretendemos repasar conceptos esenciales sin los que sería muy difícil avanzar en el conocimiento de la Física. Nuestro primer paso será establecer una base de álgebra elemental, y a ella dedicaremos dos o tres capítulos, ya que es absolutamente fundamental para construir, sobre ella, conceptos más elevados. No te preocupes si no sabes siquiera qué es el álgebra, porque vamos a ir de la mano.

Muchas veces confundimos elemental con inferior, cuando no es así en absoluto: los elementos con los que se construye una estructura son probablemente lo más importante de todo. Entender el álgebra elemental es tan importante para las Matemáticas como entender las letras del alfabeto para aprender un idioma. De hecho yo pensaría en ello de este modo: aprender álgebra es aprender un idioma nuevo. Al principio hace falta pensar con cuidado pero, con el tiempo, la cosa va fluyendo sola.

Antes de empezar –no os preocupéis que no son avisos repetitivos– debe quedar claro algo que no suelo decir: si alguien tiene la más mínima duda que pregunte. Este bloque y el siguiente seguramente se irán construyendo uno sobre otro y cualquier laguna en conceptos básicos puede mandar al garete todo lo demás. De ahí que cada entrada no presente muchos conceptos nuevos, porque quiero estar seguro de que están muy claros antes de seguir avanzando.

Dicho esto, empecemos juntos nuestro camino lento pero seguro y conozcamos al-ŷabr.

Una brevísima introducción histórica

La diferencia entre la aritmética (más antigua) y el álgebra (más moderna) es el grado de abstracción. En aritmética se realizan operaciones con números: $(3+2)^2 = 25$. El álgebra, sin embargo, abstrae las operaciones y las generaliza para que sean ciertas no para un número concreto, sino para cualquier número. Es más difícil que la aritmética precisamente por eso –el conocimiento abstracto suele ser más difícil de asimilar que el concreto– pero también por la misma razón es muchísimo más útil.

Hay desacuerdos sobre el momento y lugar en los que nació el álgebra. De lo que no cabe duda es de que los antiguos griegos fueron los primeros en utilizar letras para representar longitudes en geometría, para generalizar reglas a segmentos de la longitud que fuese en vez de para una longitud concreta. Esto no es sorprendente porque en gran medida las Matemáticas primigenias no eran sino geometría.

De la geometría se pasó a utilizar letras para representar “cualquier número de que se trate” de un modo más abstracto, sin hacer referencia siquiera a segmentos medibles. Este avance se lo debemos a un matemático alejandrino llamado Diofanto; no sabemos exactamente cuándo vivió, aunque parece haber sido entre el año 200 y el 300 de nuestra era. Diofanto publicó un tratado llamado Aritmética en trece libros, en el que utilizaba letras para referirse a valores desconocidos y empleaba un lenguaje matemático de una abstracción inaudita hasta entonces. Por eso hay quien considera a Diofanto el padre del álgebra.

El otro contendiente al título fue un matemático persa, Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, más conocido en castellano como al-Juarismi. Seguro que recuerdas, del artículo inicial sobre la naturaleza de la luz, la Casa de la Sabiduría de Bagdad establecida por la dinastía abásida. Al-Juarismi trabajó precisamente allí en el siglo IX y publicó el libro que hizo nacer de veras el álgebra tal y como la conocemos hoy: al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala, Compendio de cálculo por compleción y equilibrado.

El compendio de al-Juarismi alcanzó un grado de abstracción muy superior al de matemáticos anteriores. En él, el persa explica cómo reducir una ecuación aplicando la misma operación algebraica en ambos miembros (por ejemplo, sumando lo mismo en ambos lados), y esta acción es lo que al-Juarismi llama equilibrado, ŷabr. Por esa razón el equilibrado, al-ŷabr, se convirtió en nuestra álgebra. El nombre no es demasiado bueno para lo que ha llegado a significar, pero este énfasis en el equilibrio de las ecuaciones es algo que repetiremos al hablar de ellas en el siguiente capítulo del bloque.

Álgebras de Diofanto y al-Juarismi.

En cualquier caso tras al-Juarismi su al-ŷabr se convirtió en una parte esencial de nuestras Matemáticas. Utilizando el álgebra es posible realizar afirmaciones mucho más generales que las de la aritmética, por ejemplo $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$, ya que no se presupone un valor concreto para $a$ o $b$. La abstracción y formalización hicieron avanzar muchísimo las Matemáticas en los siglos siguientes, especialmente a partir del XVIII.

Variables algebraicas

La presencia de variables es precisamente lo que nos hizo pasar de la aritmética al álgebra. Una variable no es más que un símbolo que representa un valor numérico, pero no un valor concreto sino, en principio, cualquiera. Originalmente –por ejemplo en el texto de al-Juarismi– se utilizaba una palabra para representar cualquier valor, pero con el tiempo fuimos empleando letras sueltas.

En la enseñanza tradicional de las Matemáticas se emplea la letra $x$ más que ninguna otra, sobre todo cuando se quiere poner énfasis en el hecho de que no se conoce el valor de $x$, pero yo intentaré usar muchas letras diferentes porque en mi experiencia usar siempre la misma letra crea problemas. Lo esencial es que usamos $x$, $y$, $t$, $p$ o $n$ como abstracción de un número –en principio, cualquier número–.

Como digo, en principio una variable puede tener cualquier valor, pero recuerda que aquí no estamos estudiando Matemáticas porque sí, sino para utilizarlas luego en Física. En esa disciplina las variables son casi siempre la representación de magnitudes físicas, de modo que a veces no tiene sentido que tengan determinados valores y, además, es necesario saber cómo representar esos valores y qué significan. De modo que hablemos un momento de este “añadido” a las variables algebraicas, las magnitudes físicas.

Magnitudes físicas

El caso es que en Física la variable $b$ no es completamente abstracta como en Matemáticas: representa algo relacionado con el Universo que nos rodea, es decir, una magnitud física. A veces se trata de algo que podemos ver o sentir, como por ejemplo la longitud de una barra, y otras veces su valor es simplemente una herramienta que nos permite comprender y predecir cuantitativamente cómo se comportan las cosas, como sucede con la temperatura de una habitación.

Existen, por tanto, diferencias entre una variable física y una variable puramente matemática (hablaremos de cada una:

• Una variable física representa el valor de una magnitud física, como la masa o la temperatura. Por ejemplo, si diseñamos un circuito de carreras circular y usamos $r$ para representar el radio del circuito, la magnitud física es una longitud. Esto tiene un par de consecuencias.

• El valor de una variable física tiene unidades, las correspondientes a la magnitud que representa. Así, en el ejemplo del circuito el valor de $r$ estará medido en metros (la unidad de longitud), por ejemplo $r = 3~\mathrm{m}$. Una variable matemática en general no tiene por qué tener unidades ni representar nada del mundo real.

• Una variable física sólo puede tener valores coherentes con la situación real que estudiamos utilizando las Matemáticas. En el ejemplo de antes, $r$ tendrá que ser un número positivo, ya que $r = -4,5~\mathrm{m}$ no tendría sentido físico. Es esencial recordar esto, porque la parte matemática no contiene esa información: el hecho de que $r$ representa algo medible en el mundo es lo que nos permite restringir sus posibles valores.

Al igual que en Matemáticas a menudo se usa $x$ para representar un valor desconocido, en Física suelen utilizarse letras que dan una pista sobre el significado de la variable. Por ejemplo, prácticamente siempre se usa $m$ para representar la masa y $a$ para la aceleración. De hecho hay un estándar internacional ISO que recomienda letras específicas para cada variable y símbolos con cada unidad, pero como puedes imaginar no voy a aburrirte aquí con eso: lidiaremos con ello según salga.

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica no es más que un conjunto de variables, números y operaciones entre ellos. Algunas son muy poco interesantes y otras son complicadísimas. Por ejemplo, $0$ es una expresión algebraica, lo mismo que lo es $v^2 + w^3 - \frac{2}{3}y + 72$. Creo que no hace falta que explique mucho sobre los símbolos que he empleado; el único que a veces se escribe de maneras diferentes es el producto ($\times$, $\cdot$ o directamente nada). Yo no suelo usar nunca el símbolo $\times$ para el producto, e intento no poner ningún símbolo cuando no hay ambigüedad (como he hecho en $\frac{2}{3}y$), mientras que cuando puede haberla tiendo a usar $\cdot$, por ejemplo $4 \cdot 3$.

Es aquí donde la abstracción del álgebra se hace evidente, y donde aparece el poder del lenguaje matemático para describir realidades complejas. También es aquí donde debemos “pensar en lenguaje matemático” para traducir situaciones del mundo real a esta forma de expresarnos. Creo que lo mejor es hacerlo con un par de ejemplos concretos –uno de la vida cotidiana y otro físico–. La primera expresión la construiremos nosotros y la otra no.

Supón que deseamos construir una expresión algebraica que nos diga cuánto dinero gana el propietario de un cine sabiendo el coste por proyección de la película, el precio de cada entrada y el número de espectadores que ven la película. ¿Qué debemos hacer para construir la expresión?

• En primer lugar, asignar variables a lo que estamos cuantificando. Suele ser recomendable usar letras que nos ayuden, al leer la expresión, a recordar qué cosa representa cada una. Por ejemplo, en este caso podemos representar el coste con $C$, el precio de cada entrada con $p$ y el número de espectadores con $n$.

• En segundo lugar –y esto suele ser lo difícil– escribir el cálculo que deseamos realizar utilizando las variables que hemos escogido. En este caso la expresión nos dice cuánto beneficio neto obtiene el propietario del cine, con lo que será lo que pagan los espectadores menos lo que le cuesta la proyección: $np-C$.

Esta expresión nos dice, por tanto, cuánto ganará cualquier cine sea cual sea el precio de la entrada y el número de espectadores: es una abstracción del cálculo aritmético que realizaríamos con números concretos. Podemos, además, asignar una variable al resultado de la expresión para poder emplearla en otros lugares; en este caso podemos elegir $B$ como el beneficio del cine, de modo que escribiremos $B = np-C$.

Si damos valores a las variables podemos evaluar la expresión en un caso concreto y analizar el resultado. Por ejemplo, si proyectar la película cuesta 500€, asisten 68 espectadores y cada entrada cuesta 7€, basta con hacer $C = 500$, $n = 68$ y $p = 7$ para obtener el valor de la expresión: $B = -24$. ¿Qué quiere decir esto en términos del mundo real? Que el pobre propietario ha perdido 24€ en la proyección – el coste de la película es mayor que lo que pagan los espectadores.

Nuestro segundo ejemplo es una expresión física “de verdad”, que debes creerte porque no voy a justificarla ahora ni es importante lo que significa físicamente. La Ley de Gravitación Universal de Isaac Newton proporciona una expresión algebraica para la fuerza gravitatoria con la que se atraen todos los cuerpos del Universo:

$$G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

En esta expresión $G$ es una constante física, la constante de gravitación universal, $m_1$ y $m_2$ son las masas de los dos cuerpos y $r$ es la distancia entre sus centros. Una vez más, basta con dar valores a cada una de las variables para obtener un resultado realizando operaciones aritméticas – no las voy a hacer, porque lo importante no es eso sino el hecho de que esta expresión sirve para cualquier par de cuerpos con cualquier valor de sus masas y a cualquier distancia uno del otro.

Esto nos permite pensar sobre el asunto de manera cuantitativa de un modo que no podríamos hacer sin la expresión. Por ejemplo, es evidente que cuanto más lejos están los dos cuerpos, menos se atraen entre sí mediante la gravitación. Pero con la expresión algebraica podemos saber exactamente cuánto menos. Podemos, por ejemplo, preguntarnos lo siguiente: ¿qué sucede si la distancia entre ellos se hace el doble?

Para ello debemos volver a la expresión anterior y traducir al lenguaje matemático nuestra pregunta. Si antes estaban separados $r$, digamos entonces que ahora están separados $2r$. Tenemos ahora que la expresión de su atracción mutua es

$$G\frac{m_1 m_2}{(2r)^2}$$

Pero ahora podemos emplear propiedades aritméticas: por ejemplo, la potencia de un producto es el producto de las potencias, luego $(2r)^2 = 4r^2$, de modo que la expresión queda

$$G\frac{m_1 m_2}{4r^2}$$

Traduciendo de nuevo al lenguaje cotidiano, al doblar la distancia entre ambos la atracción no se hace la mitad sino cuatro veces menor que antes. Es algo que podríamos haber intuido evaluando la expresión para distintos valores concretos de masa y distancia, pero tener la expresión algebraica general es mucho más poderoso.

Ahora bien, la utilidad suprema de las expresiones no está en usarlas solas, sino en equilibrio unas con otras, es decir, poner en brega al-ŷabr de al-Juarizmi. Es entonces cuando tenemos una ecuación y podemos estudiar el mundo de manera cuantitativa de veras. De las ecuaciones hablaremos en la siguiente entrega del bloque.

Ideas clave

Dado que en el siguiente capítulo del bloque, como verás entonces, usaremos variables y expresiones sin parar, debes tener muy claro lo que son. Aquí tienes las tres ideas, simples pero esenciales, que hemos visto hoy:

• El álgebra es una generalización de la aritmética en la que aparecen variables además de números concretos.

• Una variable algebraica es la representación de un valor mediante un símbolo. En principio ese valor puede ser cualquier número.

• Una variable física representa el valor de una magnitud física, luego ese valor tiene unidades y además puede haber restricciones debido a la realidad que representa.

• Una expresión algebraica es un conjunto de variables y números con operaciones matemáticas entre ellos.

• Evaluar una expresión algebraica es dar un valor concreto a cada variable y obtener así un valor concreto para la expresión.

Antes de seguir…

Sí, en este bloque sí: voy a mandarte deberes. No serán muchos, pero sí los suficientes como para que tengas la soltura necesaria con lo que hemos visto para atacar el siguiente artículo con ganas. De hecho no sólo voy a mandarte uno, sino varios. Afortunadamente para ti no tendrás que enfrentarte a mi fuego interior si no haces los deberes, pero te recomiendo que lo hagas para aprovechar de veras el siguiente capítulo.