En este bloque introductorio a la Mecánica Clásica hemos hablado básicamente de dos asuntos: la descripción del movimiento (cuando estudiamos los sistemas de referencia, la velocidad y la aceleración) y la de las fuerzas (al hablar del primer y el segundo principio de Newton). Hoy terminaremos nuestra descripción general de las fuerzas y sus propiedades con el tercer principio de la dinámica; pero antes, como siempre, la solución al último Desafío.

Tercer principio de la Dinámica - Acción y reacción

El tercer principio completa la descripción de las características de las fuerzas. Como espero que recuerdes, el primero establecía la fuerza como la causa de los cambios en el movimiento de los cuerpos, y el segundo principio cuantificaba dicho cambio. Sin embargo, hay una cosa más de la que hablamos cuando describimos de manera informal las características de las fuerzas: el hecho de que una fuerza es siempre una interacción entre dos cuerpos.

Si te fijas, tanto el primer principio como el segundo se centran en el cuerpo que sufre las fuerzas: ¿Cambia su estado de movimiento? Si es así, ¿cómo y cuánto lo hace? Pero, por supuesto, ese cuerpo no sufre fuerzas que surgen de la nada, sino que algo ejerce esas fuerzas. ¿Qué hay de quien las ejerce? ¿Tiene sentido decir que alguien ejerce una fuerza y otro la sufre, si las fuerzas son interacciones entre cuerpos? ¿No deberían ser los dos iguales, y la situación simétrica?

A estas preguntas responde el tercer principio, también denominado tercera ley de Newton y, a menudo, principio de acción y reacción. Se trata, en mi opinión, del más jugoso de los tres. Si agachamos la cabeza con humildad, podemos leer juntos este tercer principio de la pluma de Newton:

Lex III: Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

Ley III: Para cada acción siempre existe una reacción igual y opuesta: las fuerzas que dos cuerpos ejercen el uno sobre el otro son siempre iguales y dirigidas en sentidos contrarios.

Se trata de un principio físico bellísimo por la cantidad de consecuencias que pueden deducirse de él, a pesar de su concisión. Son tantas cosas las que se derivan de este principio –aparte de que algunas no son precisamente intuitivas– que tenemos que ir por partes. Como siempre, paciencia, que avanzamos poco a poco pero con paso seguro.

Primer aspecto - las fuerzas existen a pares

En primer lugar, las fuerzas existen siempre a pares: dado que son interacciones entre cuerpos, ambos ejercen una influencia el uno sobre el otro. No tiene sentido pensar en un cuerpo como originador de la fuerza y el otro como su receptor – ambos son, a la vez, originadores y receptores. Por tanto, no hay una fuerza sobre un cuerpo, sino dos fuerzas, una sobre cada uno de los dos cuerpos.

Aunque creo que es algo bastante intuitivo, tal vez una analogía económica te ayude a asimilarlo mejor. Supongamos que el estado de movimiento en mecánica es el estado económico de una persona, y que las fuerzas –las modificaciones de ese estado– son ganancias y pérdidas de dinero. Toda ganancia o pérdida, de acuerdo con el tercer principio, no es algo que le sucede a un individuo aislado, sino que es una interacción entre individuos. Visto así, una fuerza se convertiría, en esta analogía, en algo así como una transferencia bancaria. Y una transferencia no puede tener sólo una cuenta involucrada: se produce siempre entre dos cuentas bancarias.

Dicho incluso más burdamente: si ganas dinero, alguien te lo ha dado, y si lo pierdes, alguien te lo ha quitado (en el mundo de esta analogía no hay hipotécas basura, inflación ni otras zarandajas). Los cambios monetarios son siempre interacciones entre dos individuos.

Esto significa que no es posible para un cuerpo modificar su estado de movimiento sin interaccionar con alguien más y, por tanto, modificar el estado de movimiento del otro. Si un cuerpo está compuesto de partes, desde luego, unas partes pueden modificar su estado de movimiento interaccionando con otras partes –y las consecuencias de esto las exploraremos en un rato–, pero un cuerpo simple, como una partícula, sólo puede alterar su estado de movimiento si alguien interacciona con él.

Segundo aspecto - Las fuerzas se dirigen en sentidos contrarios

En segundo lugar, las fuerzas que aparecen sobre ambos cuerpos son de sentidos contrarios. Esto sigue siendo bastante intuitivo, porque lo llevamos notando toda nuestra vida, pero veamos un ejemplo concreto.

Imagina que tú y un amigo estáis sobre una pista de hielo perfectamente lisa, de pie el uno frente al otro, y en un momento dado pegas un empujón a tu amigo para alejarlo de ti. De acuerdo con el tercer principio, no tiene sentido decir simplemente que tú empujas a tu amigo en una dirección: el empujón se convierte en una interacción entre ambos en la que los dos sufrís las consecuencias. Efectivamente, tu amigo empieza a moverse en una dirección, pero tú también sufres un empujón idéntico al suyo en sentido opuesto, y te alejas también del punto en el que te encontrabas:

En nuestra analogía económica, los cambios monetarios son interacciones en sentidos opuestos: si tú ganas dinero, no sólo debe haber alguien más involucrado, sino que ese alguien pierde dinero. También pasa al revés, claro: si tienes menos dinero que antes es que has interaccionado con alguien que ahora tiene más dinero que antes.

El tercer principio se pone de manifiesto, de hecho, constantemente en nuestras vidas, y seguro que has notado alguna de estas cosas:

• Cuando estás en un bote junto al muelle y te bajas del bote, éste se aleja del muelle y puedes incluso caerte al agua si no eres lo suficientemente hábil.

• Cuando disparas un arma y la bala sale disparada hacia delante, el arma a su vez sale disparada hacia atrás con retroceso.

• Cuando saltas hacia arriba en una barca, la barca se hunde un poco más en el agua justo en el momento del salto.

Hay una multitud de ejemplos obvios, pero si has comprendido la parte evidente de la cuestión, me gustaría pararme en los menos obvios. Si recuerdas la primera consecuencia del principio, no es posible empujar sobre uno mismo: las fuerzas son interacciones. Así, si estás de pie y en reposo sobre el suelo, no es posible modificar ese estado sin interaccionar con alguien. ¡No puedes siquiera andar tú solo!

Lo mismo sucede en cualquier otra situación: si estás flotando en el agua y quieres empezar a moverte, no puedes hacerlo tú solo. Si estás en el aire y quieres volar, no puedes hacerlo tú solo. Podríamos decir que éstas son las “malas noticias” del tercer principio: tú solo no vas a ninguna parte. Sin embargo, evidentemente, tú caminas todos los días, y seguramente alguna vez has nadado o has volado en algún vehículo, con lo que es posible hacerlo utilizando el tercer principio. ¿Cómo sucede esto?

Cuando quieres andar hacia delante, de acuerdo con el tercer principio, debes ejercer una fuerza sobre alguna otra cosa hacia atrás. Esa “alguna otra cosa”, en la inmensa mayoría de las ocasiones, es simplemente el suelo: lo empujas hacia atrás con los pies y, como consecuencia del tercer principio, tú sales impulsado hacia delante, en sentido contrario. Sí, avezado lector, si se te ha encendido la bombilla puedes redefinir lo que significa andar: andar es empujar el suelo hacia atrás.

Pero ¿qué es nadar? ¡Empujar el agua hacia atrás, naturalmente! Cuando mueves los brazos y las manos al nadar, piensa en lo que estás haciendo: estás tomando agua, cuanta más agua mejor, con los brazos, y empujándola hacia atrás. Como consecuencia de esta interacción, el agua te impulsa a ti hacia delante. Lo mismo haces con las piernas y los pies, por supuesto. Y volar es, desde luego, la misma cosa: empujar el aire en una dirección para sufrir una fuerza opuesta. Así vuelan un pájaro, un avión o un helicóptero.

La tercera ley en un helicóptero; se ha representado en blanco la fuerza del helicóptero sobre el aire y en negro la del aire sobre el helicóptero.

Pero claro, este principio se aplica a todas las fuerzas, no sólo a las que decidimos hacer nosotros al andar, nadar o volar. Por ejemplo, la Tierra te atrae hacia abajo debido a la gravedad, pero a estas alturas, sabes que esa descripción es incompleta: la Tierra y tú os atraéis ambos, el uno al otro, en una interacción en forma de fuerza. La Tierra “tira” de ti hacia abajo, luego tú “tiras” de la Tierra hacia arriba… pero ¿con cuánta fuerza?

Tercer aspecto - Las fuerzas son de igual intensidad

Hemos visto ya la parte cualitativa, es decir, que las fuerzas aparecen siempre a pares y se dirigen en sentidos opuestos, pero hay una palabra clave en la Lex III de la que no hemos hablado aún - ese aequales fundamental para entender el Universo. Las fuerzas no sólo se producen a pares, y no sólo se dirigen siempre en sentidos contrarios, sino que son absolutamente idénticas en intensidad. Este asunto es el que a menudo hace chirriar nuestra intuición aunque al principio no nos demos cuenta.

En el dibujo de tu amigo y tú sobre el hielo, podemos representar este tercer aspecto cuantitativo eligiendo un valor para la fuerza entre vosotros:

Como decíamos antes, la Tierra tira de ti hacia abajo, y ese tirón es lo que llamamos peso. Pero eso significa, de acuerdo con el tercer principio, que tú ejerces una fuerza idéntica sobre la Tierra hacia arriba. Esto suele hacernos arquear la ceja por dos razones:

En primer lugar, solemos pensar, ¿cómo va un mindundi como yo a ejercer la misma fuerza sobre la Tierra que el planeta entero sobre mí? ¡La fuerza que hace la Tierra debería ser muchísimo mayor que la que hago yo!

En segundo lugar, seguimos razonando muy ufanos, si las dos fuerzas son iguales, ¿por qué yo me caigo al suelo cuando salto, y la Tierra no sube hacia mí debido a mi atracción sobre ella? ¿Por qué yo noto algo y la Tierra no nota nada? ¡Tiene que ser porque las fuerzas no son iguales!

La respuesta a la primera pregunta, naturalmente, es que ambas fuerzas son exactamente iguales. La atracción gravitatoria, como cualquier otra fuerza, no es algo que una cosa ejerce sobre otra, sino algo que ambas comparten y que “pertenece” igualmente a ambas. Puedes pensarlo así: la atracción gravitatoria es tanto mayor cuanto más grandes son ambos cuerpos. Por tanto, la intensidad de la atracción entre la Tierra y cualquier otra cosa depende de la Tierra y de la otra cosa, del mismo modo que la atracción entre tu cuerpo y cualquier otra cosa depende de tu cuerpo y de la otra cosa. Ambos dependéis igualmente el uno del otro.

La respuesta a la segunda pega es más profunda, y requiere haber asimilado bien el resto del bloque. Recuerda que las fuerzas son las causas de los cambios en el estado de movimiento, y el cambio de movimiento –es decir, la aceleración– es la consecuencia. Cuando hablamos del principio fundamental de la dinámica vimos que el hecho de que dos cuerpos sufran la misma fuerza no quiere decir que sufran la misma aceleración.

En el caso de la Tierra y tu cuerpo, ambos sufren exactamente la misma fuerza en sentidos contrarios; calcular su valor es algo que no nos preocupa ahora mismo, de modo que digamos, por ejemplo, que se trata de una fuerza de 600 N y que tu masa es de 60 kg. La causa es idéntica para ambos, pero ¿lo es la consecuencia? ¡No! Suponiendo que esa fuerza es la única que sufrís la Tierra y tú, la aceleración que sufrís cada uno, si recuerdas la segunda ley, será esa fuerza dividida por cada una de vuestras masas:

• Tu cuerpo sufrirá una aceleración igual al cociente de la fuerza entre tu masa, es decir, 600 N / 60 kg = 10 m/s². Se trata de una aceleración considerable, que notas perfectamente.

• La Tierra sufrirá una aceleración igual al cociente de la misma fuerza entre su masa (unos 6·10²⁴ kg), es decir, 600 N / 6·10²⁴ kg, o lo que es lo mismo, 10^-22 m/s². Para saborear bien lo que esto significa, es tan sólo 0,000 000 000 000 000 000 000 1 m/s².

De modo que ambos sufrís exactamente la misma fuerza; sin embargo, tu movimiento cambia mucho y el de la Tierra muy poco, por la diferencia de masas. De manera que la tercera ley de Newton no dice que las aceleraciones que se notan sean iguales, dice que las fuerzas son iguales; el efecto que esas fuerzas tienen sobre cada cuerpo puede ser muy diferente.

Permite que te dé otro ejemplo similar en el que, en vez de ser el cuerpo minúsculo, eres el más grande. Si tiras un hueso de cereza con todas tus fuerzas, el hueso sale disparado y tú no. Sin embargo, tú has sufrido exactamente la misma fuerza que el hueso pero en sentido contrario. En este caso quien tiene una masa muy pequeña –y por tanto nota una gran aceleración– es el hueso, mientras que la misma fuerza apenas se nota en tu cuerpo por su mayor masa.

En nuestra analogía monetaria, este aspecto cuantitativo simplemente dice que sí la cantidad de dinero que ganas tú es de 20€, entonces quienquiera que haya perdido dinero (y tiene que haber alguien más, y además tiene que haber perdido dinero) ha de haber perdido necesariamente la misma cantidad exacta, 20€.

El efecto de la masa también puede ser traducido a esta analogía; podemos decir que alguien nota el cambio monetario si, en proporción, su dinero ha cambiado de manera notable. Supongamos entonces que tú has ganado 20€ y la otra persona ha perdido 20€. ¿Cambiará la vida de cada uno de vosotros en consecuencia? Depende; si tú antes tenías 10€, ahora tienes 30€, lo que significa que has triplicado tu dinero. Sin embargo, si la otra persona ha perdido la misma cantidad de 20€ pero tenía 200 000€, el cambio es un 0,01%, con lo que ni siquiera se dará cuenta de nada. Causas idénticas, consecuencias diferentes.

El tercer principio en términos de cantidad de movimiento

Como recordarás, al hablar del principio fundamental de la dinámica establecimos una magnitud nueva, la cantidad de movimiento o momento lineal, mediante la que pudimos enunciar ese principio de una forma alternativa. Dijimos entonces que de este modo podríamos llegar a un principio de conservación fundamental en Física.

El principio fundamental, en términos de la cantidad de movimiento, decía lo siguiente:

La fuerza neta sobre un cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento cada segundo.

Pero ¿qué consecuencias tiene introducir el segundo principio, expresado de este modo, en el tercer principio que acabamos de ver? Pues tiene consecuencias muy profundas, de modo que vayamos despacito y con cuidado y empecemos con un caso sencillo.

Imagina que tenemos únicamente dos cuerpos, alejados de cualquier otro en el espacio interestelar. Si los dos cuerpos interaccionan mediante una fuerza determinada, entonces uno sufrirá la fuerza en un sentido (por ejemplo, hacia la derecha) y el otro en el contrario (hacia la izquierda), y ambas fuerzas serán exactamente iguales en intensidad.

¿Qué le sucede a la cantidad de movimiento de cada cuerpo?

Uno de los dos cuerpos modificará, como consecuencia de la fuerza, su cantidad de movimiento en un sentido (hacia la derecha) y el otro hacia la izquierda. Pero, dado que la variación en la cantidad de movimiento por segundo es la fuerza neta sobre el cuerpo, y ambas fuerzas son exactamente iguales pero de sentidos contrarios, la variación en la cantidad de movimiento de ambos cuerpos será también exactamente igual pero en sentidos contrarios.

Sí, sí… ya sé que parece que no hemos llegado a nada nuevo, porque hemos dicho lo mismo usando la “definición alternativa”, pero hay una diferencia esencial entre ambas formas de expresarlo, en términos de fuerzas o en términos de cantidad de movimiento: la fuerza apareció en un momento dado, pero tal vez luego deje de actuar. Sólo tiene sentido hablar de ella mientras los cuerpos la sufren. Pero la cantidad de movimiento es una magnitud que podemos medir todo el tiempo, ya que es una propiedad del cuerpo. Además, la fuerza es algo inherente a dos cuerpos juntos, por ser una interacción, pero el momento lineal es una magnitud propia de un cuerpo.

De modo que, antes de que los dos cuerpos ejercieran fuerzas uno sobre el otro, cada uno de ellos tenía una cantidad de movimiento determinada. Tras la interacción, ambas cantidades de movimiento habrán variado, pero la suma de las dos cantidades de movimiento se habrá mantenido constante. La razón es, por supuesto, el tercer principio: hemos dicho que, sea cual sea la variación del momento lineal de uno de los cuerpos, la variación del otro será igual y opuesta.

Pensemos en el caso más simple posible: ambos cuerpos estaban juntos y en reposo el uno respecto al otro. Si uno empuja al otro con una fuerza variará su cantidad de movimiento y, de acuerdo con la tercera ley de Newton, variará su propia cantidad de movimiento con igual magnitud y en sentido contrario. De modo que, si ponemos números, al principio el momento lineal de cada cuerpo era 0. Luego, tras la fuerza, digamos que uno tiene una cantidad de movimiento de valor 20 dirigida hacia la izquierda (recuerda que p, al ser proporcional a la velocidad, es una magnitud vectorial con lo que tiene dirección).

Naturalmente, eso significa que el otro cuerpo tendrá p = 20 dirigido hacia la derecha. Cada cuerpo no está en la situación de antes, ya que ahora ambos se mueven, pero ¿qué le ha sucedido al conjunto de los dos cuerpos? Al principio, la cantidad de movimiento total era p = 0 + 0 = 0. Tras la interacción, si damos un signo negativo para denotar “hacia la izquierda” y uno positivo para “hacia la derecha”, tenemos que p = -20 + 20 = 0.

En otras palabras, los dos cuerpos pueden interaccionar, empujarse el uno al otro, tirar el uno del otro o hacer piruetas mediante fuerzas complicadísimas que ejercen entre sí. Pero, hagan lo que hagan, hay algo que nunca conseguirán: modificar la cantidad de movimiento total. Cada cuerpo hará cosas raras, pero el conjunto de ambos –en términos más técnicos, el sistema formado por ambos cuerpos– nunca modificará su cantidad de movimiento. Lo mismo hubiera sucedido si, en vez de dos cuerpos, hubiésemos tenido treinta y cinco cuerpos, claro, porque cada interacción individual entre dos de ellos se hubiera comportado exactamente igual.

La razón, claro está, es que para conseguir eso le haría falta interaccionar con alguien: pero estamos hablando siempre de fuerzas entre los cuerpos que componen el sistema, es decir, de partes del propio sistema. Si viene alguien de “fuera” y le da un empujón a un cuerpo del sistema, entonces el momento lineal total del sistema sí se modificará. Dicho de otro modo, las fuerzas interiores entre cuerpos del sistema siempre producen variaciones “cancelables” por ser opuestas, pero si se trata de una fuerza proveniente de un cuerpo externo (una fuerza exterior), entonces el sistema sólo siente una fuerza, pero no siente la contraria, ya que la partícula externa no forma parte de él.

Principio de conservación de la cantidad de movimiento

La cuestión es que podemos entonces enunciar el tercer principio de una forma alternativa: como un principio de conservación. A los físicos les encantan los principios de conservación, porque es muy fácil comprobar experimentalmente si son verdaderos o falsos y porque son utilísimos para predecir el comportamiento futuro de un sistema. El principio que acabamos de desentrañar se denomina principio de conservación de la cantidad de movimiento, y dice lo siguiente:

La cantidad de movimiento de un sistema físico permanece constante salvo que sobre él actúe una fuerza exterior neta no nula.

¿Te suena esto? Como ya hace bastante tiempo, te recuerdo otro principio que hemos visto aquí:

Un cuerpo no modifica su velocidad salvo que sobre él actúe una fuerza neta no nula.

Se parecen mucho, ¿verdad? Sin embargo, el que acabamos de ver es inmensamente más complejo y más útil, porque se refiere a sistemas físicos completos, no únicamente a un cuerpo concreto. Es más, sólo hay una cosa que guste más a los físicos que establecer principios de conservación – llevarlos al extremo. De modo que hagamos exactamente eso.

Como hemos dicho, dos cuerpos que interaccionan pueden cambiar sus cantidades de movimiento individuales, pero el momento lineal total se conserva salvo que “hagamos trampa”: que alguien externo realice una fuerza. Pero claro, si ese alguien realiza una fuerza e interacciona con nuestro sistema, el tercer principio también se aplica al nuevo cuerpo, pues es un principio físico universal. Por tanto, podemos extender nuestro sistema al tercer cuerpo y tener entonces un sistema de tres cuerpos; la cantidad de movimiento total no habrá cambiado en la interacción.

¿Y si alguien “desde fuera” interacciona con ellos? No tenemos más que aplicar el principio de conservación a los cuatro cuerpos. O a los cinco, o seis, o diez trillones de cuerpos que nos dé la gana. El principio se aplica a cualquier sistema que queramos definir. Podemos llevar esto al extremo más absoluto y preguntarnos: ¿cómo se comporta la cantidad de movimiento del Universo entero?

Aquí ya no hay vuelta de hoja, y no hay un “desde fuera”. Si nuestro sistema físico consta de todas y cada una de las cosas que existen, entonces todas las interacciones son internas y, por lo tanto, la cantidad de movimiento permanecerá siempre constante. Unas partes del Universo intercambiarán momento lineal con otras, pero el total nunca podrá cambiar, puesto que no hay interacciones con nada más. Si te preguntas, por cierto, “¿y si hay una interacción con algo más?”, la respuesta es que, si hay una interacción con algo más, es que nuestra definición de “Universo” era demasiado restringida y que no estabamos teniendo en cuenta el Universo entero.

Podemos enunciar entonces el principio de conservación del momento lineal aplicándolo a la totalidad de lo que existe, sin ninguna coletilla de “salvo que…”, del siguiente modo:

La cantidad de movimiento del Universo permanece constante.

Se trata de uno de los principios de conservación más importantes de que disponemos: tanto es así que en física moderna no se emplea tanto el concepto de fuerza como el de cantidad de movimiento. Otros principios son más conocidos, como el de conservación de la energía, pero no son tan fáciles de emplear en la práctica.

La energía, como veremos en este mismo bloque, tiene muchas formas y a veces parece “desaparecer” simplemente porque se ha convertido en alguna otra forma de energía que hemos pasado por alto. La cantidad de movimiento, por el contrario, es obvia e imposible de ignorar, con lo que en muchos sistemas físicos es más útil para predecir lo que va a suceder que la energía.

Ideas clave

Para continuar con nuestro estudio del movimiento y sus causas, debes haber asimilado los siguientes conceptos:

• El tercer principio de la dinámica o tercera ley de Newton afirma que para cualquier fuerza ejercida por un cuerpo sobre otro siempre existe otra idéntica y de sentido contrario ejercida por el segundo cuerpo sobre el primero.

• Las fuerzas, al ser interacciones entre cuerpos, siempre aparecen a pares.

• Los pares de fuerzas son tales que ambas tienen siempre sentidos contrarios.

• Cada una de las dos fuerzas tiene exactamente la misma intensidad que la otra.

Hasta la próxima…

Tras varios desafíos, hoy podemos permitirnos ya el lujo de hacer un experimento que ponga de manifiesto el tercer principio. Mi recomendación, si lo llevas a cabo, es que lo hagas con un niño (puedes ser tú mismo, dependiendo de tu nivel de madurez, yo me lo paso pipa haciéndolo), porque es como se disfruta de verdad.