Solución Desafío | Esferiformes vociferinos

La solución a este problema es básicamente resolver 2 ecuaciones con 2 incógnitas: Una ecuación es la conservación del momento lineal (choque entre las dos bolas) y la otra es la conservación de energía cinética.

Siendo M la masa del esferiforme pesado, m la masa del esferiforme liviano, descendiendo desde una altura dada, de modo que en el momento que ocurra el choque elástico tengan una velocidad v y tras él unas velocidades v₁ y v₂ tenemos que:

$M\cdot v\:-\:m\cdot v\:=\:M\cdot v_1+\:m\cdot v_2\:(1)$

$\frac{1}{2}\cdot M\cdot v^2\:+\frac{\:1}{2}\cdot m\cdot v^2\:=\frac{\:1}{2}\cdot M\cdot v_1^2\:+\frac{\:1}{2}\cdot m\cdot v_2^2\:(2)$

Nótese el signo negativo del primer término en (1). Es debido a que en el momento del choque, los esferiformes vociferinos tienen velocidades iguales pero de sentido contrario.

$v^2\left(M+m\right)=M\left(\frac{Mv-mv-mv_2}{M}\right)^2\:+\:mv_2^2\:;\:dividimos\:por\:M$

$v^2\left(1+\frac{m}{M}\right)\:=\frac{\left[v\left(M-m\right)\:-\:mv_2\right]^2}{M^2}\:+\frac{\:m}{M}v_2^2$

$v_2^2\left(\frac{m}{M}+\frac{m^2}{M^2}\right)-\:v_2\cdot2v\left(\frac{m}{M}-\frac{m^2}{M^2}\right)\:-\:v^2\left(3\cdot\frac{m}{M}-\frac{m^2}{M^2}\right)\:=0\:;\:Despreciando\:\frac{\:m^2}{M^2}$

Tomamos sólamente el signo positivo, ya que el negativo indicaría que el esferiforme liviano atravesaría al pesado

Ahora falta conocer la velocidad del esferiforme liviano a la que se produce el choque elástico, fruto de una caída libre desde una altura de 1.1m (1m de altura más 0.2m del diámetro del esferiforme pesado).

$e=\frac{1}{2}at^2;\:t=\sqrt{\frac{2e}{a}};\:v=a\cdot t=\sqrt{2\cdot e\cdot a}\:$

$h=0.2+v_2t_2\:-\frac{\:1}{2}at_2^2\:;\:t_2=\frac{v_2}{a}$

$h=0.2+9\cdot e=9.2\:metros$

Para calcular la segunda parte del problema hay que tener en cuenta que en cada choque elástico, la velocidad del esferiforme liviano es el triple del pesado, y así sucesívamente, por lo que

$log\left(\frac{v_e}{v}\right)<\left(n-1\right)log\:3;\:n>\frac{log\left(\frac{v_e}{v}\right)}{log\:3}\:+\:1$

Es decir, hace falta más de 8.12 esferiformes vociferinos para alcanzar la velocidad de escape.
Para n=8; v₈=9780 m/s
Para n=9; v₉=29341 m/s que será la velocidad de nuestro querido viajero interplanetario.

Gráfica relación masas contra altura alcanzada

BONUS: Relación de masas a la cual el esferiforme vociferino pesado permanece inmóvil tras el choque elástico

v₁ en las ecuaciones (1) y (2) es 0, por lo que:

$Mv-mv=v_2\:;\:Mv^2+mv^2=mv_2^2$

$v^2\left(M+m\right)=\frac{v^2}{m}\left(M-m\right)^2$

$Mm+m^2=M^2-2Mm+m^2$

$M\left(M-3m\right)=0;\:M=0\:ó\:\frac{M}{m}=3$

El Tamiz - Desafío Esferiformes Vociferinos