Qué gozada leerte.

Abrazos

Mac

La definición que das se corresponde con la del producto de cuaterniones, a los que dediqué la tercera y cuarta entregas de esta serie sobre el álgebra geométrica. Allí vimos que los cuaterniones, que tienen cuatro componentes reales (que a su vez podemos agrupar en una componente escalar y tres componentes que forman lo que para Hamilton era un “vector”), tenían estructura de cuerpo no conmutativo (o más técnicamente quizás, anillo de división). Ello tiene como consecuencia que todo cuaternión no nulo tiene inverso y puede ser utilizado para dividir a otro cuaternión, usando la fórmula que das, y que yo apliqué en la última sección (Invertibilidad del producto de cuaterniones) del segundo capítulo dedicado a los cuaterniones.

En esa última sección de aquel capítulo ejemplifico precisamente a partir de la definición que das la invertibilidad del producto cuaterniónico. Pero una álgebra geométrica no es un cuerpo no conmutativo, como los cuaterniones, ya que un elemento genérico de una álgebra geométrica no sólo incluye parte escalar (parte real) y parte vectorial, sino que además puede incluir parte bivectorial, trivectorial… y hasta parte n-vectorial, donde n es la dimensión del espacio vectorial sobre el que se construye el álgebra vectorial que deseemos (puedes mirarte la décima entrega de la serie).

La definición de producto geométrico que doy es plenamente coherente, porque no pretendo definir un cuerpo multiplicativo (no conmutativo), sino un tipo de álgebra asociativa . El ejemplo típico y tópico de álgebra asociativa es la que forman las matrices cuadradas respecto a suma y producto de matrices entre sí, y al producto de números (reales o complejos) por las susodichas matrices. De hecho, cualquier álgebra asociativa es representable mediante una álgebra de matrices cuadradas, cosa que ha influido en la “obsesión” (si hemos de hacer caso a David Hestenes, gran promotor de la interpretación geométrica de las álgebras de Clifford) entre los físicos del pasado siglo por expresar diferentes álgebras geométricas mediante álgebras generadas por matrices (las matrices de Pauli, en el caso del álgebra geométrica del espacio euclídeo tridimensional, o las matrices de Dirac, en caso del álgebra asociada al espacio pseudoeuclídeo de cuadridimensional de la relatividad, cosa que contribuye a ocultar el significado geométrico subyacente). Recordemos que el inverso de una matriz no siempre existe: si la matriz tiene determinante nulo, no existe el inverso. En el álgebra geométrica no sólo contiene escalares y vectores, sino bivectores, trivectores y hasta n-vectores (donde n es la dimensionalidad del espacio vectorial sobre el que se construye). El producto de estos multivectores queda definido por los axiomas presentados en la séptima entrega de la serie. Por tanto, cuando digo que uv = u.v + u^v no estoy definiendo el producto geométrico en general, sólo me refiero al caso particular en que u y v son vectores: el resultado tiene una parte escalar (u.v) y otra bivectorial (u ^ v. El producto exterior de vectores, que represento con el símbolo ^, no es lo mismo que el producto vectorial, que represento con una aspa (x): el primero es asociativo, y da como resultado un bivector (cuando son dos los vectores multiplicados), el segundo da como resultado otro vector, pero no es asociativo.

Para que quede más claro, voy a rehacer a continuación, pero en el lenguaje del álgebra geométrica, el mismo ejemplo que puse al final de la cuarta entrega de la serie para ilustrar cómo la invertibilidad de los cuaterniones permitía encontrar dos vectores conociendo su producto escalar y su producto vectorial: allá sería como exactamente dices, supongo que estarás de acuerdo, porque está hecho con el lenguaje de los cuaterniones. Pero ahora voy a encontrar el vector incógnita a partir de su producto interior (que en el caso de vectores coincide con el producto escalar de vectores de toda la vida, y a la fecha en que escribo este comentario todavía no he llegado al capítulo en que defino el producto interior en el caso general) y de su producto exterior con otro vector conocido. Y verás que todo encajará perfectamente. Allá vamos:

Teníamos dos vectores v y w . El primero de ellos valía:

v = 6 i – 3 j + 2 k

Y nos piden encontrar w conociendo el producto escalar y vectorial de ambos:

v.w = -1

v x w = 13 i + 34 j + 12 k

Reescribamos ahora todo en el lenguaje del álgebra geométrica: los vectores i, j y k corresponden a los vectores e_1, e_2 y e_3:

v = 6 e_1 – 3 e_2 + 2 e_3

v . w = -1

Pero ojo al producto vectorial, que se transforma en producto exterior de esta forma:

v ^ w = 13 e_2 e_3 + 34 e_3 e_1 + 12 e_1 e_2

…porque v y w son vectores, y en cambio v ^ w es un bivector simple (no representa una longitud orientada, sino una área orientada). Escribimos e_2 e_3 en vez de e_2 ^ e_3 por comodidad, sencillamente porque el producto geométrico de dos vectores diferentes de una base ortogonal coincide con su producto exterior, por anularse el producto interior.

Pues bien, si conocemos el producto interior y el exterior de dos vectores, conocemos su producto geométrico, que será la suma formal de ambos:

v w = v . w + v . w =-1 + 13 e_2 e_3 + 34 e_3 e_1 + 12 e_1 e_2

Como el producto geométrico es asociativo, exactamente igual que el producto de matrices, y conocemos uno de los factores, tendremos forma de despejar w:

vw = ( 6 e_1 – 3 e_2 + 2 e_3 ) w = -1 + 13 e_2 e_3 + 34 e_3 e_1 + 12 e_1 e_2

Ya que como si de matrices se tratara, puedo multiplicar ambos miembros por v por la izquierda (no hace falta poner paréntesis en el producto geométrico de tres multivectores gracias a la asociatividad):

vvw = v (-1 + 13 e_2 e_3 + 34 e_3 e_1 + 12 e_1 e_2)

Y como el cuadrado de v sabemos que tiene que valer:

vv = (6 e_1 ? 3 e_2 + 2 e_3) (6 e_1 ? 3 e_2 + 2 e_3) = 6^2 + (-3)^2 + 2^2 = 36 + 9 + 4 = 49

Ya que el producto geométrico de un vector por sí mismo es escalar (no tiene parte vectorial, por el axioma de contracción) y queda expresado como suma de los cuadrados de sus componentes en la base ortonormal. Así pues, sustituimos en la fórmula anterior, que queda:

vvw = 49 w = (6 e_1 ? 3 e_2 + 2 e_3) (-1 + 13 e_2 e_3 + 34 e_3 e_1 + 12 e_1 e_2)

Ahora hacemos el producto geométrico en el miembro final antes de despejar w, como siempre, aplicando la asociatividad y recordando siempre que el cuadrado geométrico de un vector es un escalar (coincide con el producto interior del vector por s?? mismo) y que el producto geomérico de dos vectores ortogonales anticonmuta, por coincidir con su producto exterior:

49 w = 6 e_1 (-1) + 6 e_1 13 e_2 e_3 + 6 e_1 34 e_3 e_1 + 6 e_1 12 e_1 e_2 +

-3 e_2 (-1) – 3 e_2 13 e_2 e_3 – 3 e_2 34 e_3 e_1 – 3 e_2 12 e_1 e_2 +

+2 e_3 (-1) + 2 e_3 13 e_2 e_3 + 2 e_3 34 e_3 e_1 + 2 e_3 12 e_1 e_2

Efectuamos, pues, operaciones:

49 w = -6 e_1 + 78 e_1 e_2 e_3 – 204 e_3 + 72 e_2 +

+3 e_2 – 39 e_3 -102 e_1 e_2 e_3 + 36 e_1 +

• 2 e_3 – 26 e_2 + 68 e_1 + 24 e_1 e_2 e_3 =

= (-6 + 36 + 68) e_1 + (72 + 3 – 26) e_2 + (-204 – 39 – 2) e_3 + (78 – 102 + 24) e_1 e_2 e_3 =

= 98 e_1 + 49 e_ – 245 e_3 + 0 e_1 e_2 e_3

Vemos que en la versión en álgebra geométrica, el producto de vv por w es un vector, ya que la parte trivectorial (que es el volumen orientado del paralelepípedo de aristas v, v y w) se anula (en la versión con cuaterniones, lo que se anulaba era una parte escalar resultado de hacer un producto escalar de un vector con un producto vectorial de vectores: en los cuaterniones no sólo se “confunden” vectores con bivectores, sino además escalares con trivectores (que en álgebra geométrica asociada al espacio tridimensional son pseudoescalares, o sea, duales de escalares), lo que limita el uso de cuaterniones exclusivamente a la geometría tridimensional.

Finalmente puedo despejar w, aprovechando que el inverso de un escalar no nulo siempre existe:

w = 1/49 (98 e_1 + 49 e_2 – 245 e_3 ) = 2 e_1 + e_2 - 5 e_3

En plena concordancia con la versión “cuaterniónica” vista entonces, que sería lo que conoces. Espero haberte convencido de forma definitiva de que la definición de producto geométrico ??s absolutamente coherente…

La auténtica definición debe ser UV = -U.V +U^V

Así mismo U / V= 1/v² (U.V – U^V) que propicia la comprobación de dividendo=cociente por divisir. Lo que no ocurre en el otro caso. .