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Explorando el álgebra geométrica 4 – Antecedentes – Los cuaterniones (II)




En la entrada anterior de esta serie introduje el primer sistema de números hipercomplejos: los cuaterniones. En el artículo de hoy seguiremos analizaremos el producto de dos vectores (o como diría Hamilton, dos cuaterniones puros, o sea, sin parte escalar). También mencionaré otra creación de Hamilton, el operador nabla \mathbf{\nabla}, un objeto de carácter “híbrido” (es una especie de vector, pero sus componentes, en vez de ser números reales, son operadores de derivación), esencial en el estudio de campos escalares y vectoriales. Por último, ilustraré la invertibilidad del producto cuaterniónico de vectores.

Producto de dos vectores (o sea, de dos cuaterniones sin parte escalar)

Consideremos lo que Hamilton llamaría dos cuaterniones puros, o sea, dos cuaterniones sin parte escalar \mathbf{v} y \mathbf{w}.[1] Expresémoslos primero en componentes:

\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}

\mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k}

y ahora hagamos el producto de \mathbf{v} por \mathbf{w} (tened siempre en cuenta que v_1, v_2, v_3, w_1, w_2 y w_3 son números reales):

\mathbf{v w} = \left(v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}\right) \left(w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k}\right) =

v_1 w_1 \mathbf{i i}+v_1 w_2 \mathbf{ij} + v_1 w_3 \mathbf{ik} +

v_2 w_1 \mathbf{ji} + v_2 w_2 \mathbf{jj} + v_2 w_3 \mathbf{jk} +

v_3 w_1 \mathbf{ki} + v_3 w_2 \mathbf{kj} + v_3 w_3 \mathbf{kk}

Aplicamos la regla de los productos (\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=-1, \mathbf{ij}=-\mathbf{ji}=\mathbf{k}, \mathbf{jk}=-\mathbf{kj}=\mathbf{i}, \mathbf{ki}=-\mathbf{ik}=\mathbf{j}):

\mathbf{vw} = v_1 w_1 \left(-1\right) + v_2 w_2 \left(-1\right) + v_3 w_3 \left(-1\right) +

\left(v_1 w_2 - v_2 w_1\right)\mathbf{ij} + \left(-v_1 w_3 + v_3 w_1\right)\mathbf{ki} + \left(v_2 w_3 - v_3 w_2\right)\mathbf{jk} =

-\left(v_1 w_1+v_2 w_2+v_3 w_3\right) +

\left(v_2 w_3 - v_3 w_2\right)\mathbf{i} + \left(-v_1 w_3 + v_3 w_1\right)\mathbf{j} + \left(v_1 w_2 - v_2 w_1\right)\mathbf{k}

Resumiendo, por una parte tenemos la parte escalar del producto (como cuaterniones) de dos vectores, que es:

\operatorname{PS}\left(\mathbf{vw}\right) = -\left(v_1 w_1+v_2 w_2+v_3 w_3\right)

Esta parte escalar merecía tener su nombre propio; se la denominó producto escalar de los vectores \mathbf{v} y \mathbf{w}, y aquí la notaremos como \mathbf{v} \bullet \mathbf{w}:

\mathbf{v} \bullet \mathbf{w} = -\left(v_1 w_1+v_2 w_2+v_3 w_3\right)

Bien, supongo que la mayoría habréis reconocido que este producto escalar de vectores no es exactamente el que se enseña actualmente en los institutos de enseñanza secundaria ni en las facultades de ciencias o escuelas de ingenieros. Está cambiado de signo. Por eso lo he indicado con un “punto gordo”,\bullet, en vez del “punto fino”, \cdot, con que se escribe la forma actual, para diferenciarlos, evitar confusiones y tener claro en todo momento a cuál nos referimos. El producto escalar “moderno”, sería pues:

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1 w_1+v_2 w_2+v_3 w_3 = -\mathbf{v} \bullet \mathbf{w}

Por otra parte, la parte vectorial del producto cuaterniónico de dos vectores resulta ser:

\operatorname{PV}\left(\mathbf{vw}\right) = \left(v_2 w_3 - v_3 w_2\right)\mathbf{i} + \left(v_3 w_1 - v_1 w_3\right)\mathbf{j} + \left(v_1 w_2 - v_2 w_1\right)\mathbf{k}

Y, por supuesto, también merece un nombre especial: se lo conoce como producto vectorial de los vectores \mathbf{v} y \mathbf{w}. Lo indicaremos con el símbolo \times, y en este caso sí coincide totalmente con la definición actual:

\mathbf{v \times \mathbf{w} = \left(v_2 w_3 - v_3 w_2\right)\mathbf{i} + \left(v_3 w_1 + v_1 w_3\right)\mathbf{j} + \left(v_1 w_2 - v_2 w_1\right)\mathbf{k}

Podemos observar que el producto escalar es simétrico (si intercambiamos el primer factor con el segundo el resultado no cambia):

\mathbf{v} \bullet \mathbf{w} = \mathbf{w} \bullet \mathbf{v}

Por otro lado, el producto vectorial es antisimétrico (si intercambiamos el primer factor con el segundo el resultado cambia de signo):

\mathbf{v} \times \mathbf{w} = -\mathbf{w} \times \mathbf{v}

Y el producto cuaterniónico de dos vectores \mathbf{v} y \mathbf{w} puede escribirse simplemente como:

\mathbf{vw} = \mathbf{v} \bullet \mathbf{w} + \mathbf{v} \times \mathbf{w}

Si en el producto cuaterniónico intercambiamos el orden de factores cambiará de signo la parte vectorial respecto al producto sin intercambiar los factores, como hemos visto:

\mathbf{wv} = \mathbf{w} \bullet \mathbf{v} + \mathbf{w} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \bullet \mathbf{w} - \mathbf{v} \times \mathbf{w}

Las dos últimas fórmulas permiten expresar tanto el producto escalar como el vectorial en función del producto cuaterniónico:[2]

\mathbf{v} \bullet \mathbf{w} = \frac{\mathbf{vw+wv}}{2}

\mathbf{v} \times \mathbf{w} = \frac{\mathbf{vw-wv}}{2}

Estas fórmulas simplifican a menudo la demostración de fórmulas en que aparecen productos escalares y/o vectoriales, ya que permiten utilizar el producto de cuaterniones, que es asociativo. Ni el producto escalar ni el vectorial tienen la propiedad asociativa.[3] Por desgracia, actualmente el producto de cuaterniones no es casi conocido, y sencillas y bellas demostraciones se convierten en un tedioso padecimiento. Un ejemplo clásico es la demostración de la identidad de Jacobi, una propiedad del producto vectorial:

\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \times \mathbf{c} + \left(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\right) \times \mathbf{a} + \left(\mathbf{c} \times \mathbf{a}\right) \times \mathbf{b} = \mathbf{0}

Expresando los productos vectoriales utilizando productos de cuaterniones se puede demostrar esta identidad en un par de líneas. Si se quiere demostrar a partir de la expresión del producto vectorial a partir de las componentes de los respectivos vectores, la demostración pasa a ser una auténtica tortura. Recuerdo incluso un libro de texto de primer ciclo de carrera que recomendaba ayudarse de un programa informático de manipulación algebraica…

Se puede demostrar que el producto escalar \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} de dos vectores es un número real igual al producto de las normas de los vectores \mathbf{v} y \mathbf{w} por el coseno del ángulo que forman:

\mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = |\mathbf{v}| |\mathbf{w}| \cos \theta

Y, por tanto, la definición antigua del producto escalar, la que usaba Hamilton, será la anterior, pero con el signo cambiado:

\\mathbf{v} \\bullet \\mathbf{w} = -\\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{w} = - |\\mathbf{v}| |\\mathbf{w}| \cos \\theta

Una consecuencia importante es que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es 0, ya que el coseno de 90^{\circ} vale 0. Pedro ya os habló del producto escalar en la  entrega dedicada al trabajo mecánico en su bloque de Mecánica Clásica, ya que una de las aplicaciones  más importantes del producto escalar es precisamente la definición de trabajo mecánico. Si no conoces el producto escalar todavía, creo que es útil pasar por el enlace. De todos modos, ya hablaré más en detalle sobre el producto escalar cuando trate el producto interior de vectores en las álgebras geométricas.

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores se puede interpretar como el producto de las normas de los vectores que se multiplican por el coseno del ángulo que forman, o, de forma alternativa, como el producto de la norma de uno de ellos por la proyección escalar del otro sobre él.

 

En cuanto al producto vectorial \mathbf{v} \times \mathbf{w}, se trata de un vector cuya dirección es perpendicular al plano en que se encuentran los vectores \mathbf{v}\mathbf{w} y cuya longitud o norma es igual al producto de las normas de \mathbf{v} y \mathbf{w} por el seno del ángulo que forman:

|\mathbf{v} \times \mathbf{w}| = |\mathbf{v}| |\mathbf{w}| |\operatorname{\textrm{sen}} \theta|

El sentido de \mathbf{v} \times \mathbf{w} viene dado de aplicar la regla de la mano derecha: con la mano derecha apuntando en la dirección y sentido de \mathbf{v}, y la palma mirando en el sentido de \mathbf{w}, el pulgar extendido señala el sentido de \mathbf{v} \times \mathbf{w}. La norma del producto vectorial es también igual en valor numérico a la superficie del paralelogramo que tiene por lados los vectores \mathbf{v} y \mathbf{w}. El área del paralelogramo es igual a la longitud de la base por la altura. Si tomamos como base el vector \mathbf{v}, la longitud de la base será |\mathbf{v}|, y la altura será la norma del otro lado multiplicada por el seno del ángulo \theta que forman \mathbf{v} y \mathbf{w}:

h = |\\mathbf{w}| |\\operatorname{\textrm{{sen}}\, \\theta|

S_{paralelogramo} = |\\mathbf{v}| h = |\\mathbf{v}| |\\mathbf{w}| |\\operatorname{\textrm{sen}}\,\\theta| = |\\mathbf{v} \\times \\mathbf{w}|

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores que se multiplican. Su módulo es igual al área del paralelogramo definido por los vectores que se multiplican. El sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

Podemos afirmar que el producto vectorial representa el área orientada del paralelogramo de lados \mathbf{v} y \mathbf{w} mediante un vector perpendicular a la misma. Al intercambiar el orden de los factores del producto se cambia el signo del mismo, y con él la orientación del área.

Vectores polares y axiales

Conviene introducir una distinción entre vectores polares y vectores axiales. Un vector polar es un vector propiamente dicho: un objeto unidimensional, una ”flecha dirigida” como puede ser un desplazamiento en el espacio. Un vector axial, en cambio, es el producto vectorial de dos vectores polares: es un objeto, en el fondo, bidimensional, pero disfrazado de objeto unidimensional. Cuando cambiamos de signo las coordenadas espaciales (lo que los físicos llamamos una inversión de paridad) todos los vectores polares cambian de signo. En cambio, los vectores axiales, como son producto vectorial de dos vectores polares, no cambian de signo (menos por menos da más). Como ejemplo de vectores polares tenemos: los vectores de posición, de desplazamiento, velocidades, aceleraciones, las fuerzas, los campos eléctrico y gravitatorio, y muchos otros. Como ejemplo de vectores axiales tenemos, entre otros: los momentos de las fuerzas, el momento angular o el campo magnético.

El hecho de que en el álgebra vectorial convencional, como consecuencia de provenir de los cuaterniones, los vectores se utilicen tanto para representar objetos unidimensionales como bidimensionales limita su uso al espacio tridimensional, porque sólo en tres dimensiones es posible asignar un único vector ortogonal a una superficie orientada. En el álgebra geométrica se distinguen perfectamente los vectores de los bivectores.

El operador nabla

Hamilton introdujo también un operador diferencial en el espacio tridimensional. En Física se definen tanto campos escalares como campos vectoriales en el espacio, y para el estudio de su variabilidad en el espacio necesitamos un operador diferencial direccional. Hamilton llamó a este operador nabla, y lo definió de esta manera:

\\mathbf{\\nabla} = \\mathbf{i} \\frac{\\partial}{\\partial x} + \\mathbf{j} \\frac{\\partial}{\\partial y} + \\mathbf{k} \\frac{\\partial}{\\partial z}

El símbolo \frac{\partial}{\partial x} es el operador de derivación parcial en el sentido del eje x. Cuando actúa sobre la función que describe un campo (sea escalar o vectorial) en el espacio devuelve el resultado de derivar respecto a la variable x (el eje x es el que va en dirección del vector \mathbf{i}), tratando como constantes las variables y y z. Esta derivación es calcular el límite cuando variamos x en una cantidad infinitesimal \Delta x, del cociente que resulta de dividir el incremento correspondiente de la función, que denominaremos \Delta f entre el valor \Delta x:

\\frac{\\partial f}{\\partial x} = \\lim_{\\Delta_x \\rightarrow 0} \\left.\\frac{\\Delta f}{\\Delta x}\\right|_{y,z\ \\mathrm{constantes}} =\\lim_{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f\\left(x+\\Delta x, y, z\\right) - f\\left(x,y,z\\right)}{\\Delta x}

Análogamente se define la derivación parcial respecto a la variables y y z.

Si queremos estudiar un campo escalar f (como puede ser un campo de temperaturas en el espacio, o el potencial eléctrico o gravitatorio), el operador \mathbf{\nabla} es útil porque al operar sobre el campo f nos da un campo vectorial, conocido como gradiente de f. El gradiente de f es un campo vectorial que da en cada punto del espacio la dirección de variación máxima del escalar f. Si seguimos la dirección del gradiente de temperatura en un punto del espacio, el incremento de temperatura al desplazarse una  pequeña distancia será el mayor posible, en comparación a desplazarse la misma pequeña distancia en otra dirección.

\mathbf{\nabla} f =\operatorname{grad}f= \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k

En el caso de un campo vectorial \mathbf{f}, como podría ser la velocidad en cada punto del espacio de un fluido o el campo eléctrico, el operador \mathbf{\nabla} actúa sobre él produciendo dos partes, una escalar y otra vectorial, en analogía al producto escalar y al producto vectorial de dos vectores:

\mathbf{\nabla} \mathbf{f} = \mathbf{\nabla} \bullet \mathbf{f} + \mathbf{\nabla} \times \mathbf{f}

La parte escalar, \mathbf{\nabla} \bullet \mathbf{f}, fue denominada por Maxwell convergencia, ya que se puede interpretar, en el caso de que \mathbf{f} sea la velocidad de un fluido, como la velocidad de acumulación del fluido en un pequeño volumen alrededor del punto en que se calcula \mathbf{\nabla} \bullet \mathbf{f}. Actualmente, como el producto escalar se define con el signo cambiado, se habla de divergencia en vez de convergencia, y representa la velocidad a la que se escapa el fluido de un pequeño volumen en torno al punto en que se calcula \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{f}. Si recordáis la serie que Pedro dedicó a las ecuaciones de Maxwell, el operador divergencia aparecía en la entrada dedicada a la ley de Gauß para el campo eléctrico y también en la dedicada a la ley de Gauß  para el campo magnético:

\\mathbf{\\nabla} \\cdot \\mathbf{f} = \\operatorname{div} \\mathbf{f} = -\\mathbf{\\nabla} \\bullet \\mathbf{f} = \\frac{\\partial f_x}{\\partial x} + \\frac{\\partial f_y}{\\partial y} + \\frac{\\partial f_z} {\\partial z}

La parte vectorial, \mathbf{\nabla} \times \mathbf{f}, fue denominada por Maxwell bucle (en inglés, curl), despúes de haber descartado otras opciones, como twist (torsión) o twirl (vuelta). Internacionalmentmente se ha impuesto finalmente rotacional (en textos en inglés se puede ver el rotacional de \mathbf{f} indicado tanto como \operatorname{curl} \mathbf{f} como \operatorname{rot} \mathbf{f}). Pedro ya os habló del rotacional en su serie sobre las ecuaciones de Maxwell, concretamente en el artículo sobre la ley de inducción de Faraday, y también en el dedicado a la ley de Ampère-Maxwell.

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{f} = \operatorname{rot} \mathbf{f} = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z}\right) i + \left(\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x}\right) j + \left(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial_y}\right) k

 

Invertibilidad del producto de vectores

La existencia del inverso de todo cuaternión diferente de 0, y en particular si se trata de un vector, permite despejar un vector incógnita en un producto de cuaterniones. Si de los dos vectores \mathbf{v} y \mathbf{w} uno es conocido, podemos encontrar el otro si conocemos los productos \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} y \mathbf{v} \times \mathbf{w}, ya que estos productos, que no son invertibles cada uno por separado, determinan el valor del producto cuaterniónico \mathbf{vw}, que sí lo es (maravillosa propiedad de los cuaterniones). Por ejemplo, encontremos \mathbf{w}, sabiendo que:

\mathbf{v} = 6 \mathbf{i} - 3 \mathbf{j} + 2 \mathbf{k}

\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = -1

 \mathbf{v} \times \mathbf{w} = 13 \mathbf{i} + 34 \mathbf{j} +12 \mathbf{k}

De estos datos podemos conocer el producto cuaterniónico \mathbf{vw}, que es:

\mathbf{vw} = \mathbf{v} \bullet \mathbf{w} + \mathbf{v} \times \mathbf{w} = - \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \times \mathbf{w}

Sustituyendo:

\left(6 \mathbf{i} -3 \mathbf{j} +2 \mathbf{k}\right) \mathbf{w} = 1 + 13 \mathbf{i} +34 \mathbf{j} +12 \mathbf{k}

Para despejar \mathbf{w} necesitamos multiplicar la ecuación anterior por el inverso de \mathbf{v} (que es el primer paréntesis por la izquierda). Recordemos que el inverso de un vector, considerado como cuaternión con parte escalar nula, es el conjugado del vector (o sea, el vector cambiado de signo) dividido por el cuadrado de su norma:

\mathbf{v}^{-1} = -\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|^2} = \frac{-6 \mathbf{i} +3 \mathbf{j} - 2\mathbf{k}}{6^2+\left(-3\right)^2 + 2^2} = \frac{-6 \mathbf{i} + 3 \mathbf{j} - 2\mathbf{k}}{36+9+4} =

 \frac{-6 \mathbf{i} +3 \mathbf{j} - 2\mathbf{k}}{49} = \frac{1}{49} \left(-6 \mathbf{i} +3 \mathbf{j} - 2\mathbf{k}\right)

Ya podemos multiplicar por la izquierda los dos lados de la ecuación de donde había que despejar \mathbf{w}:

 \mathbf{v}^{-1} \mathbf{v} \mathbf{w} = \mathbf{v}^{-1} \left(1 + 13 \mathbf{i} +34 \mathbf{j} +12 \mathbf{k}\right)

Que, aplicando que \mathbf{v}^{-1} \mathbf{v} =1, se transforma en:

 1 \mathbf{w} = \frac{1}{49}\left(-6 \mathbf{i} +3 \mathbf{j} - 2\mathbf{k}\right) \left(1 + 13 \mathbf{i} +34 \mathbf{j} +12 \mathbf{k}\right)

Hacemos los productos (los términos que dan resultado escalar los marco en rojo):

\mathbf{w} = \frac{1}{49} \left[\left(-6\mathbf{i}\right)\left(1\right) + {\color{red}\left(-6\mathbf{i}\right) \left(13\mathbf{i}\right)}+\left(-6\mathbf{i}\right)\left(34\mathbf{j}\right)+\left(-6\mathbf{i}\right)\left(12 \mathbf{k}\right)+\right.

\left(3 \mathbf{j}\right)\left(1\right)+\left(3 \mathbf{j}\right)\left(13 \mathbf{i}\right)+{\color{red}\left(3 \mathbf{j}\right)\left(34 \mathbf{j}\right)}+\left(3 \mathbf{j}\right)\left(12 \mathbf{k}\right) +

\left.\left(-2 \mathbf{k}\right)\left(1\right)+\left(-2 \mathbf{k}\right)\left(13 \mathbf{i}\right)+\left(-2 \mathbf{k}\right)\left(34 \mathbf{j}\right)+{\color{red}\left(-2 \mathbf{k}\right)\left(12 \mathbf{k}\right)\right]}

Y los agrupamos en una parte escalar y en una parte vectorial (recordemos una vez más que \mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=-1 y que \mathbf{ij}=-\mathbf{ji}=\mathbf{k}, \mathbf{jk}=-\mathbf{kj}=\mathbf{i} y \mathbf{ki}=-\mathbf{ik}=\mathbf{j}):

\frac{1}{49}\left[{\color{red}\left(78-102+24\right)} +\left(-6+36+68\right)\mathbf{i}+\left(72+3-26\right)\mathbf{j}+\left(-204-39-2\right)\mathbf{k}\right]=

\frac{1}{49}\left({\color{red}0}+98\mathbf{i}+49\mathbf{j}-245\mathbf{k}\right) = {\color{red}0} +2\mathbf{i} +\mathbf{j} -5\mathbf{k}

\mathbf{w} = 2\mathbf{i} +\mathbf{j} -5\mathbf{k}

 

Podéis comprobar que la solución cumple las condiciones que exigíamos.

Además, de acuerdo  a lo que esperábamos, hemos obtenido un vector, ya que la parte escalar se ha anulado. Eso no ha pasado por casualidad, ya que los datos iniciales (\mathbf{v} y \mathbf{v} \times \mathbf{w} ) no podía inventármelos de cualquier manera: recordad que el producto \mathbf{v} \times \mathbf{w} tiene que ser perpendicular tanto a \mathbf{v} como a \mathbf{w}, y por tanto tenía que cumplirse que \mathbf{v} \cdot \left(\mathbf{v} \times \mathbf{w}\right) = 0. De hecho, si seguimos la pista a ese 0 que se obtiene de parte escalar, y lo he marcado en rojo precisamente para hacerlo más fácil, vemos que proviene precisamente del producto escalar de \mathbf{v} por \mathbf{v} \times \mathbf{w}.

 

  1. Indico los vectores con negrita, igual que en la entrada anterior, para facilitar la lectura y remarcar las analogías con el álgebra vectorial que se enseña hoy en día. Pero Hamilton y sus discípulos cuaternionistas lo escribían todo con el mismo tipo de letra, como en los números complejos []
  2. Las fórmulas se obtienen fácilmente tras sumar o restar las expresiones anteriores para \mathbf{vw} y \mathbf{wv}. Fijaos cómo se perciben claramente tanto la simetría del producto escalar como la antisimetría del producto vectorial. []
  3. De hecho, en el caso del producto escalar ni siquiera tiene sentido plantearse la pregunta de si es asociativo o no, por estar definido cuando los factores son vectores y su resultado es un escalar. []

Sobre el autor:

jlese (Juan Leseduarte)

Soy licenciado en Ciencias Físicas y profesor de Matemáticas de Educación Secundaria en excedencia. Además de la Física y de las Matemáticas, me gusta la música antigua y trastear en el sistema operativo GNU/Linux. También intento que mis conocimientos de alemán no se oxiden.
 

{ 4 } Comentarios

  1. Gravatar adpp | 07/07/2018 at 07:21 | Permalink

    Hay un gazapo en la fórmula de la derivada parcial. En la parte derecha debería poner Delta(f)/Delta(x).

    Por lo demás una entrada interesantísima como toda la serie hasta ahora. Gracias.

  2. Gravatar jlese | 07/07/2018 at 11:24 | Permalink

    Corregido. ¡Gracias!

  3. Gravatar Txarli | 11/07/2018 at 06:59 | Permalink

    En algunas operaciones con números rojos falta un paréntesis para indicar que 1/49 multiplica a todo lo demás.

  4. Gravatar jlese | 12/07/2018 at 04:22 | Permalink

    Gracias, Txarli. Esto me pasa por querer poner llaves, que necesitan barra invertida delante, en vez de corchetes. Pues nada, corchetes. Hay que ver qué traidor es el LaTeX… Corregido.

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