En álgebra geométrica se identifica vector y segmento dirigido. En Matemáticas, en general, vector puede ser “cualquier cosa que se comporta como tal”, o sea, que se comporta como un objeto perteneciente a un espacio vectorial, definido por unas determinadas propiedades. En Matemáticas abstractas, un vector puede ser cualquier cosa, como una sucesión ordenada de n números (tanto reales como complejos, o incluso cuaterniones), o una matriz de n filas y m columnas de números reales o complejos, o incluso una función, siempre y cuando se pueda definir coherentemente la suma de vectores y el producto de los escalares de un cuerpo por los vectores de modo que cumplan las propiedades de espacio vectorial.

En el caso del álgebra geométrica se hace referencia a la geometría, y ahí se puede identificar vectores y segmentos dirigidos. La suma de vectores se equipara a sumar desplazamientos dirigidos y el producto de escalares (que en álgebra geométrica, sólo son números reales) por vectores se identifica con un vector en la misma dirección, si el escalar es positivo (u opuesta, si el escalar es negativo) que la representada por el vector original y cuya longitud resulta de multiplicar el escalar por la longitud del desplazamiento asociado al vector original.

Cuando avances más por la serie verás que la i, la j y la k de Hamilton, son en realidad, desde el punto de vista del álgebra geométrica, bivectores simples, es decir, el producto geométrico de dos vectores, y propiamente representan, no segmentos orientados, sino superficies orientadas (pero claro, en el espacio tridimensional podemos asignar de forma única un vector a una superficie orientada, haciendo que sea perpendicular a la superficie, haciendo su longitud proporcional a la superficie, y asignando su sentido por la regla de la mano derecha, o la “regla del sacacorchos”).

El álgebra geométrica extiende su validez a cualquier dimensionalidad del espacio. En la entrada 7 se introducen los axiomas del álgebra geométrica, y en las entradas 8 y 9 se interpreta geométricamente qué hacen, respectivamente, el producto interior y el producto exterior de vectores, y es donde se ve claramente la conexión entre el álgebra geométrica y la geometría propiamente dicha.

En la universidad (Ing. Civil) recuerdo llevar geometría analítica y álgebra lineal entre otras materias, esta algebra nunca la había visto y me parece muy interesante sin embargo al ir leyendo su teoría me saltan muchas dudas e interrogantes: ¿Un segmento dirigido es un vector y viceversa?. Esta pregunta ya se la había hecho a unos matemáticos, parece sencilla, pero se contradecían en sus respuestas. Entiendo que los vectores provienen de una necesidad de la Física por lo que libros de geometría analítica (como Charles H. Lehmann) nunca menciona el término vector y siempre usan el término segmento dirigido ¿Puedo considerarlos términos equivalentes?.

Otra consulta es sobre la parte vectorial de los cuaterniones, es muy interesante saber que la “i”, “j” y “k” (unidades imaginarias) pasaron a ser los vectores unitarios (en los ejes “X”, “Y” y “Z”) en el álgebra lineal. Hay alguna forma de demostrar esto o simplemente los matemáticos vieron las ventajas de operar en la parte compleja y decidieron usarlo como herramienta para operar en un espacio tridimensional real.

Gracias de antemano.

Saludos cordiales

Pero si de verdad quieres llegar a 6 sumando esas dos raíces cúbicas, conviene que sepas algunas cosillas:

Cada una de esas raíces cubicas es un número complejo, expresable cada una como algo del tipo a + b i, donde a y b son números reales. Dentro de la primera raíz cúbica tenemos este complejo: -36 + 40 rq(7) i. Y dentro de la segunda raíz cúbica tenemos este otro complejo: -36 – 40 rq(7) i, donde rq es la función que devuelve la determinación positiva de la raíz cuadrada del número positivo entre paréntesis. Para sacar las correspondientes raíces cúbicas de cada uno de estos complejos te remito a lo que se dice en la siguiente entrada. Verás que la raíz cúbica de un complejo es otro complejo cuyo módulo (“longitud”) es la raíz cúbica del módulo del complejo original y cuyo argumento (“ángulo respecto al eje real”) puede ser: a) la tercera parte del argumento del complejo original, o bien, b) la tercera parte del argumento del complejo original, más un ángulo de 120º, o bien, c) la tercera parte del argumento del complejo original, más un ángulo de 240º. O sea, que tienes tres opciones para elegir el valor de cada una de las raíces cúbicas, de momento.

El módulo del complejo que hay dentro de la primera raíz cúbica sería, aplicando el teorema de Pitágoras:

|-36 + 40 rq(7) i| = rq{(-36)^2 + [40 rq(7)]^2} = rq{1296 + 2800} = rq(4096) = 64

Y el módulo del complejo que hay dentro de la segunda raíz cúbica da exactamente lo mismo:

|-36 – 40 rq(7) i| = rq{(-36)^2 + [40 rq(7)]^2} = rq{1296 + 2800} = rq(4096) = 64

El argumento del complejo que hay dentro de la primera raíz cuadrada sería:

\theta_1 = arc tg [40 rq(7)/(-36)], que aproximadamente vale 124,2289º (la calculadora da -55,7711º, pero hay que sumar 180º, porque el complejo se encuentra en el segundo cuadrante, entre 90º y 180º (parte real negativa, parte imaginaria positiva)

El argumento del complejo que hay dentro de la segunda raíz cuadrada sería:

\theta_2 = arc tg [-40 rq(7)/(-36)], que aproximadamente vale 235,7711º (la calculadora da 55,7711º, pero hay que sumar 180º, porque el complejo se encuentra en el tercer cuadrante, entre 180º y 270º (partes real e imaginaria negativas).

Ahora toca sacar las raíces cúbicas de estos complejos a partir de sus respectivos módulos y argumentos. El módulo de la raíz cúbica del primer complejo, será la raíz cúbica (indicada como rc() ) del módulo del primer complejo, ya calculado antes:

|rc[-36 + 40 rq(7) i]| = rc |-36 + 40 rq(-7)| = rc(64) = 4

Para el módulo de la segunda raíz cúbica volvemos a obtener 4: |rc[-36 - 40 rq(7) i]| = rc |-36 – 40 rq(-7)| = rc(64) = 4

Para el argumento, que llamaré \phi_1, de la primera raíz cúbica, si seguimos la opción a) mencionada antes:

\phi_1 = \theta_1/3, que aproximadamente es 124,2289º/3 = 41,4096º

Para el argumento, que llamaré \phi_2, de la segunda raíz cúbica, siguiendo otra vez la opción a) mencionada antes:

\phi_2 = \theta_2/3, que aproximadamente es 235,7711º/3 = 78,5904º

Pero ¡CUIDADO!: aquí hay una trampa en la que no hay que caer. No podemos elegir la combinación de opciones para los argumentos que nos de la gana, porque resulta que la llamada “fórmula” de Cardano en el fondo no es propiamente una fórmula, sino como bien se dice en la correspondiente entrada de la Wikipedia, un método. La “fórmula” en sí no basta, porque ese par de raíces cúbicas que se suman son expresiones ambiguas (multivaluadas, usando la expresión que usé en la respuesta a Felipe, más arriba), que debería haber puesto, para ser riguroso, entre comillas. Para resolver la ambigüedad hay que exigir el cumplimiento de esta propiedad: el producto de las dos raíces cúbicas tiene que valer -p/3, donde p es el coeficiente que multiplica a “x” en la ecuación de tercer grado reducida (o sea, sin término cuadratico). En nuestro caso, p = -48, y por_tanto, p = -48/(-3) = 16, que es un número real. Para que el producto de estas dos raíces cúbicas sea un número real necesito que el argumento de la segunda raíz cúbica sea el opuesto de la primera. O sea, que el \phi_2 que hemos encontrado no nos vale. Pero sí nos vale el argumento \phi_2 obtenido siguiendo la opción c):

\phi_2 = \theta_2/3 + 240º, que es aproximadamente 318,5904º, en el cuarto cuadrante. O reexpresándolo como ángulo negativo, restando una vuelta entera:

318,5904º – 360º = -41.4096º

Que no es más que el argumento de la primera raíz cúbica, pero cambiado de signo. Perfecto, porque para multiplicar dos complejos se toma como módulo resultante el producto de módulos, en nuestro caso:

4 x 4 = 16, que da el valor -p/3 que tenía que dar, como tiene que ser

y el argumento del producto es la suma de argumentos, que en nuestro caso se anula y da 0, como tiene que ser, ya que el resultado es real.

Así pues, encontramos que la suma de las dos raíces cúbicas es, sumando por componentes real e imaginaria, como una suma de componentes de un vector:

“rc(-36 + 40 rq(7) i)” + “rc(-36 – 40 rq(7) i” =(aprox.) = 4 (cos 41,4096º + i sen 41,4096º) + 4 (cos 41,4096º – i sen 41,4096º) = = 4 cos 41.4096º + 4 cos 41,4096º + 4 i sen 41,4096 – 4 i sen 41,4086º = 8 cos 41,4096º + i 0 = 8 cos 41,4096º = (aprox.) = 6

Si quieres obtener el resultado exacto, sin pasar los complejos a forma polar (módulo-argumento), a palo seco, te aconsejo que procedas de esta forma: Escribe la primera raíz cúbica así:

rc(-36 + 40 rq(7) i) = a + b i

Y la segunda así:

rc(-36 -40 rq (7) i) = a – b i (porque que una sea la conjugada compleja de la otra es la única forma en que se puede cumplir que el producto de las dos raíces cúbicas dé resultado real)

Y para demostrar que (a + bi) + (a – bi) = 2 a = 6, eleva los dos miembros de la ecuación al cubo. A la derecha, obtendrás 6^3 = 216. Al otro lado, tendrás que utilizar la expresión del cubo del binomio. Pero antes de desarrollar ningún producto de paréntesis, tendrás que utilizar el hecho de que (a+bi)(a-bi) = -p/3 = 16. Sólo después de esto deberías utilizar que (a+bi)^3 = -36 + 40 rq(7)i y (a-bi)^3=-36-40 rq(7)i y acabar de desarrollar. La suma de todo debería darte 216.

La demostración de la expresión de Leibniz es más fácil. Basta elevar al cuadrado en los dos lados, y con un poco de manipulación cuidadosa se comprueba la igualdad.

Si raiz es una función f(R) -> R, entonces raiz(-2) no está definida, y por lo tanto entiendo que raiz(-2) * raiz(-3) tampoco debería estarlo, o eso me dice el sentido común y toda práctica que yo recuerde. Sería parecido al caso de hacer (1/2) : (1/0). Por mucho que aplicar la mecánica habitual conduzca al resultado 0/2, entiendo que al no estar definido 1/0 no hay nada que hacer.

Si raiz es una función f(R) -> C, entonces… bueno, me resulta una definición un tanto artificial escoger el resultado positivo si los complejos en general no tienen signo definido (de nuevo, que yo sepa o recuerde). Es verdad que como el resultado siempre tendrá solo parte real o solo parte imaginaria, habrá una elección obvia, pero me resulta un poco artificial. Pero bueno, todas las definiciones son artificiales

Gracias por la aclaración

El error de Euler está en seguir la regla, válida para los números reales positivos, que dice que el producto de dos raíces cuadradas es la raíz cuadrada del producto de los radicandos. Es cierto que raíz(4) * raíz(9) = raíz(4 * 9) = raíz(36) = 6, pero en cambio, es falso que raíz(-1) * raíz(-1) = raíz [(-1)*(-1)] = raíz(+1) = +1. Lo correcto es que raíz(-1) * raíz(-1) = -1, naturalmente, por la misma definición de raíz cuadrada.

Espero que que haya quedado claro…