Comentarios en: Trigonometría, los enigmáticos triángulos rectángulos I: El Teorema de Pitágoras https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/ Comparte conocimiento. Thu, 12 Mar 2026 17:38:12 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.4.2 Por: Ulises https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/comment-page-1/#comment-7296 Ulises Mon, 26 Sep 2011 12:14:26 +0000 http://eltamiz.com/elcedazo/?p=13704#comment-7296 <p>Buen artículo ;)</p> Buen artículo ;)

]]> Por: Kratso https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/comment-page-1/#comment-7289 Kratso Sun, 25 Sep 2011 12:02:22 +0000 http://eltamiz.com/elcedazo/?p=13704#comment-7289 <p>Bueno, sin tener imagenes a mano(ya que era puramente geométrica, vendría a ser algo así: Sea el triángulo ABC, rectángulo en C, con catetos a( $$\overline{BC}$$ ) y b( $$\overline{AC}$$ ) e hipotenusa c. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, que determina los segmentos a’ y b’, siendo catetos de dos nuevos triángulos rectángulos con catetos ellos y a y b, respectivamente. Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.</p> <p>de la semejanza entre ABC y AHC tenemos que: $$\frac{b}{b'}=\frac{c}{b}$$ Usando el produxto de medios y extremos: $$b^2=cb'$$</p> <p>De la semejanza de ABC y BHC $$\frac{a}{a'}=\frac{c}{a}$$ Ídem $$a^2=ca'$$</p> <p>Sumando ambas igualdades tenemos que: $$a^2+b^2=ca'+cb'=c(a'+b')$$ Pero como hemos dicho antes a'+b'=c, por ser divisiones de la hipotenusa tenemos que: $$a^2+b^2=c(a'+b')=c^2$$ Quedando así demostrado. Tambien hay otra usando semejanza entre áreas, pero ahora no la encuentro entre mis apuntes ;)</p> Bueno, sin tener imagenes a mano(ya que era puramente geométrica, vendría a ser algo así: Sea el triángulo ABC, rectángulo en C, con catetos a( \overline{BC} ) y b( \overline{AC} ) e hipotenusa c. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, que determina los segmentos a’ y b’, siendo catetos de dos nuevos triángulos rectángulos con catetos ellos y a y b, respectivamente. Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

de la semejanza entre ABC y AHC tenemos que: \frac{b}{b'}=\frac{c}{b} Usando el produxto de medios y extremos: b^2=cb'

De la semejanza de ABC y BHC \frac{a}{a'}=\frac{c}{a} Ídem a^2=ca'

Sumando ambas igualdades tenemos que: a^2+b^2=ca'+cb'=c(a'+b') Pero como hemos dicho antes a’+b’=c, por ser divisiones de la hipotenusa tenemos que: a^2+b^2=c(a'+b')=c^2 Quedando así demostrado. Tambien hay otra usando semejanza entre áreas, pero ahora no la encuentro entre mis apuntes ;)

]]> Por: Argus https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/comment-page-1/#comment-7281 Argus Fri, 23 Sep 2011 12:21:36 +0000 http://eltamiz.com/elcedazo/?p=13704#comment-7281 <p>Bueno, ¿y cómo es la demostración de Pitágoras?</p> Bueno, ¿y cómo es la demostración de Pitágoras?

]]> Por: Kratso https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/comment-page-1/#comment-7258 Kratso Sat, 17 Sep 2011 14:56:30 +0000 http://eltamiz.com/elcedazo/?p=13704#comment-7258 <p>Bueno, bueno, despues de unas vacaciones que se han alargado demasiado, vuelvo. Bueno, Ya que la...¿duda se le puede llamar? La verdad, los ángulos centesimales los conocí por primera vez documentandome para este artículo, de modo que no creo que nadie los use... Y a no ser que se pueda sobreentender, ser debería indicar que tipo de grados son.</p> Bueno, bueno, despues de unas vacaciones que se han alargado demasiado, vuelvo. Bueno, Ya que la…¿duda se le puede llamar? La verdad, los ángulos centesimales los conocí por primera vez documentandome para este artículo, de modo que no creo que nadie los use… Y a no ser que se pueda sobreentender, ser debería indicar que tipo de grados son.

]]> Por: Sergio B https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/comment-page-1/#comment-7247 Sergio B Wed, 14 Sep 2011 21:25:46 +0000 http://eltamiz.com/elcedazo/?p=13704#comment-7247 <p>@Fran García Curiosa pregunta, cualquier superficie en general, puede describrirse segun el cuadrado de una longitud y cierto parametro. En un cuadrado es uno, en un triangulo isosceles es 0,433 y este parametro se puede sacar facilmente para cualquier triangulo con los que se forma un poligono regular cualquiera, como seria multiplicar por un factor en los 3 terminos del teorema de pitagoras, en efecto valdria para todos los casos. En general, aunque es mas dificil de deducir, existe la semejanza geometrica segun la cual todas las figuras pueden caracterizarse por una longitud, asi que estariamos en el mismo caso, asi que si los poligonos son semejantes, si que se seguira cumpliendo el teorema de pitagoras.</p> <p>Lo de la semejanza geometrica, se usa bastante, cualquier figura geometrica, en la que tengas propiedades, como el numero de lados y angulos entre los lados y solo la longitud de uno de los lados, el problema esta definido y si llamas a esa longitud L, en lugar de darle un valor, pues cualquier poligono semejante dependera solo de esa L, y el area de L al cuadrado. Una forma de verlo es pensar que cualquier geometria se puede dividir en triangulos y el area de un triangulo es la mitad de la base por la altura, si pensamos que la base mide L (sino es cuestion de girar el triangulo), la altura sera el numero que sea por L, por lo que el area sera la mitad del numero que sea por L al cuadrado, por lo que queda demostrado para los triangulos y como todos los poligonos se pueden dividir en triangulos, queda demostrado para todos los poligonos.</p> @Fran García Curiosa pregunta, cualquier superficie en general, puede describrirse segun el cuadrado de una longitud y cierto parametro. En un cuadrado es uno, en un triangulo isosceles es 0,433 y este parametro se puede sacar facilmente para cualquier triangulo con los que se forma un poligono regular cualquiera, como seria multiplicar por un factor en los 3 terminos del teorema de pitagoras, en efecto valdria para todos los casos. En general, aunque es mas dificil de deducir, existe la semejanza geometrica segun la cual todas las figuras pueden caracterizarse por una longitud, asi que estariamos en el mismo caso, asi que si los poligonos son semejantes, si que se seguira cumpliendo el teorema de pitagoras.

Lo de la semejanza geometrica, se usa bastante, cualquier figura geometrica, en la que tengas propiedades, como el numero de lados y angulos entre los lados y solo la longitud de uno de los lados, el problema esta definido y si llamas a esa longitud L, en lugar de darle un valor, pues cualquier poligono semejante dependera solo de esa L, y el area de L al cuadrado. Una forma de verlo es pensar que cualquier geometria se puede dividir en triangulos y el area de un triangulo es la mitad de la base por la altura, si pensamos que la base mide L (sino es cuestion de girar el triangulo), la altura sera el numero que sea por L, por lo que el area sera la mitad del numero que sea por L al cuadrado, por lo que queda demostrado para los triangulos y como todos los poligonos se pueden dividir en triangulos, queda demostrado para todos los poligonos.

]]> Por: Fran García https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/comment-page-1/#comment-7245 Fran García Wed, 14 Sep 2011 11:46:06 +0000 http://eltamiz.com/elcedazo/?p=13704#comment-7245 <p>A mi me llamó la atención algo que leí por un blog hace poco, era una especie de teorema de Pitágoras "ampliado". Resulta que el "pentágono" de la hipotenusa (un pentágono construido sobre la hipotenusa) es igual a la suma de los "pentágonos" de los catetos, y tambien hexágonos, heptágonos,... y en general para cualquier polígono de n lados. Y ni siquiera tienen que ser polígonos regulares, puede ser cualquier polígono cerrado, con tal de que los 3 polígonos sean semejantes.</p> <p>Vi un widget animado que lo demostraba, pero no la demostración en si. Tampoco me he parado a intentar demostrar si es verdad. ¿Alguien sabe si esto es cierto?</p> A mi me llamó la atención algo que leí por un blog hace poco, era una especie de teorema de Pitágoras “ampliado”. Resulta que el “pentágono” de la hipotenusa (un pentágono construido sobre la hipotenusa) es igual a la suma de los “pentágonos” de los catetos, y tambien hexágonos, heptágonos,… y en general para cualquier polígono de n lados. Y ni siquiera tienen que ser polígonos regulares, puede ser cualquier polígono cerrado, con tal de que los 3 polígonos sean semejantes.

Vi un widget animado que lo demostraba, pero no la demostración en si. Tampoco me he parado a intentar demostrar si es verdad. ¿Alguien sabe si esto es cierto?

]]> Por: Sergio B https://eltamiz.com/elcedazo/2011/09/12/trigonometria-los-enigmaticos-triangulos-rectangulos-i-el-teorema-de-pitagoras/comment-page-1/#comment-7243 Sergio B Mon, 12 Sep 2011 12:51:14 +0000 http://eltamiz.com/elcedazo/?p=13704#comment-7243 <p>Muy bien explicado e interesante el asunto, me ha gustado lo de los babilonios, ¿para que una escuadra cuando se puede tener una cuerda con 12 nudos? A mi también me gusta mas la demostración de Green, Leonardo se complica mucho la vida. Por cierto, en los comentarios comentas el angulo recto, creía que con grados no se debía añadir sexagesimales y por cierto, ¿alguien usa los centesimales?</p> Muy bien explicado e interesante el asunto, me ha gustado lo de los babilonios, ¿para que una escuadra cuando se puede tener una cuerda con 12 nudos? A mi también me gusta mas la demostración de Green, Leonardo se complica mucho la vida. Por cierto, en los comentarios comentas el angulo recto, creía que con grados no se debía añadir sexagesimales y por cierto, ¿alguien usa los centesimales?

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