pero ¿existe a priori, es decir, sin saber la estrategia del contrincante, o existe siempre, dada una estrategia del contrincante conocida?

Creo que tu confusión viene de que estás mezclando un par de conceptos distintos. Si es así, no me extraña que lo mezcles, porque en muchos casos son la misma cosa… pero en otros no.

Por un lado el de Equilibrio de Nash. El equilibrio solo tiene sentido cuando hablamos de las estrategias de ambos. Si uno de los jugadores (cualquiera) mejora al cambiar su estrategia, entonces eso no era un equilibrio de Nash.

Por otro, el de la estrategia óptima: mi estrategia óptima es la que me da el mejor pago (aún hay que decir respecto a qué es óptima). Obviamente, esto solo tiene sentido si conozco la estrategia del contrincante.

¿Cuándo conozco la estrategia del contrincante? El caso obvio es cuando el otro ya ha decidido, y ya no pinta más, y entonces solo quedo yo por decidir. Pero también, cuando ambos decidimos a la vez, pero sé que el otro es un ser racional y él sabe que yo lo soy, y entonces, ambos sabemos que la mejor estrategia conjunta es el Equilibrio de Nash.

Otra forma de verlo:

-Si conoces la estrategia del oponente, puedes diseñar una estrategia óptima. -Si el oponente es racional y sabe que tú lo eres, indirectamente sabes su estrategia, y él sabe la tuya, luego también puedes diseñar una estrategia… que “casualmente” será la que el sabía que tú ibas a utilizar.

Y, ¿cuándo puede ocurrir que el equilibrio de Nash no sea una estrategia óptima? Pues precisamente cuando uno de los jugadores no lo elige. Puede que uno de ellos sea irracional. O puede que, aún siendo racional, tenga información parcial o errónea. Fíjate que en la vida real esto muy-muy común.

Ejemplo. Aún no sabemos cuál es el Equilibrio de Nash de este juego de los tenistas. Lo buscaremos en la segunda parte. De momento, imagínate que el equilibrio es que Alberto saque al revés con p=0,6, y que Ana defienda el revés con p=0,2. Pero si Ana es irracional y decide defender siempre su revés, ¿sigue siendo el equilibrio la mejor estrategia de Alberto? No, claro que no, en ese caso, lo mejor es sacar siempre al drive.

Si las probabilidades no son conocidas, como mucho se puede llegar a asegurar esperanza nula, que corresponde al caso de mostrar piedra, papel o tijera con la misma probabilidad (1/3 para cada una).

Bueno… es que ese es el equilibrio de Nash de ppt.

Entonces, ¿cuál es realmente la estrategia óptima para este juego? ¿Asegurar a priori esperanza 0 minimizando pérdidas (minimax)? ¿O en función de la estrategia del contrincante?

Te remito a la explicación anterior. Un ejemplo divertido:

-Si vais a jugar a ppt con Bart Simpson (que dice “la piedra es lo mejor, nada gana a la piedra”), lo mejor es elegir siempre papel.

-Si vais a jugar con Lisa, sabemos que ella es racional, y ella sabe que nosotros lo somos, de forma que ambos sabemos que el equilibrio 1/3-1/3-1/3 (esperanza 0) es lo mejor que podemos conseguir. Así que ambos usaremos esa estrategia.

He hecho unos números con el juego de piedra-papel-tijera, con una matriz de pagos 3×3, dándole diferentes probabilidades a cada jugador para cada jugada. Los pagos son -1 derrota, 0 empate y 1 victoria. La fórmula de la esperanza se halla fácilmente, según el ejemplo del texto, pero el óptimo depende de las probabilidades del contrincante. Si las probabilidades no son conocidas, como mucho se puede llegar a asegurar esperanza nula, que corresponde al caso de mostrar piedra, papel o tijera con la misma probabilidad (1/3 para cada una).

Entonces, ¿cuál es realmente la estrategia óptima para este juego? ¿Asegurar a priori esperanza 0 minimizando pérdidas (minimax)? ¿O en función de la estrategia del contrincante?

[1] mi correo es cruzki123 en gmail

Respecto al sistema de ecuaciones polinomiales multihomogéneas, si no me cuentas más, pongo solo una referencia al comentario, porque no sé ni siquiera a qué se parece eso.

Lo que si que se sabe es que el número de equilibrios que hay es “alto” en general (vamos que hay BASTANTES más que uno).