Una vez fijado este extremo, ya podemos operar tranquilamente con proposiciones para ver qué hay y qué no en cada una de ellas. Una vez que tenemos una frase o un conjunto de frases, podemos construir su Forma Normal Disyuntiva y determinar cuál es su fórmula final, aplicando únicamente los axiomas y teoremas ya demostrados para el álgebra de Boole, aunque hablando de proposiciones decimos más bien “tablas de verdad”.

Lo complicados que somos los humanos...

Esto está muy bien para proposiciones simples. Ya podemos decir “Llueve”, “O no llueve o voy al cine”, “Soy español y me gusta el atletismo y el fútbol pero no el béisbol”… y cosas así, y podemos saber si la proposición, por muy compleja que sea, es o no cierta en función de los valores de verdad de cada proposición individual, valores que podemos determinar mirando, por ejemplo, si la calle está mojada o no. Pero esto no es suficiente para poder comunicarnos. De ninguna manera. Porque, claro…

Si habláramos así, entonces esta frase sería imposible.

Necesitamos algo más. Y ese algo más es, como poco, la implicación lógica. La escurridiza y tantas veces discutida implicación lógica. Escurridiza, porque cuando parece que uno por fin ha entendido bien el concepto, de pronto se topa con un caso que parece desbaratar lo entendido. Y discutida… no os podéis imaginar la de amigables discusiones que propicia debatir sobre ella.

A intentar desbrozarla dedicaré este artículo, siguiendo las explicaciones de Pepe Cuena en aquel lejanísimo enero o febrero de 1974… Artículo en el que ha colaborado activamente, más aún, decisivamente, nuestro editor, J. Suyos son algunos ejemplos y explicaciones, y suyas muchas de las ideas para organizar el artículo y que lo que quede se entienda…

Así que, por mucho que como autor del artículo diga “Macluskey“, en justicia debería decir “J y Macluskey“… Gracias por tu esfuerzo, J, aunque Pedro también intervino lo suyo en las discusiones. El artículo es mucho mejor ahora. ¡O eso creemos!

Bien, nos quedamos en que… Si habláramos así, entonces esta frase sería imposible.

Analicemos la frase, aunque por comodidad, le cambiaremos el tiempo verbal al más sencillo presente de indicativo: Si hablamos así, entonces esta frase es imposible.

Pues esto es lo que se llama una implicación lógica, que se representa como .

En este caso, p es la proposición “hablamos así”, a la que se conoce como “antecedente”, y q es la proposición “esta frase es imposible”, conocida como “consecuente”,^[1] y la implicación nos dice intuitivamente que, si la primera frase es cierta, entonces la segunda también debe serlo.^[2]

.

En este punto hay que elegir entre dos aproximaciones didácticas posibles:

• Definir la implicación lógica, escribiendo su tabla de verdad y su formulación, y usamos con suficiencia el argumento de autoridad: “esto es así… y punto” (que es una forma ligeramente maleducada de decir que “es así por definición”). Luego nos ponemos a analizarla… y descubrimos que… ¡qué casualidad! Representa bastante bien lo que queremos decir cuando hablamos.
• Pensamos en la frase anterior escrita en español corriente (Si habláramos así, esta frase sería imposible) y pensamos…”Mmmm… ¿cómo podríamos representar esto matemáticamente?”… y recorrer juntos el camino hasta llegar a su tabla de verdad y, por consiguiente, a su formulación.

Nosotros preferimos la segunda aproximación, que es también la seguida por José Cuena en aquellos lejanos tiempos del cuplé, porque nos ayuda a desbrozar poco a poco los porqués de la implicación lógica, no sólo su fórmula desnuda. En una palabra, esa aproximación es la que vamos a seguir de aquí en adelante.

.

De todos modos, voy a cambiar la frase de ejemplo, que ha servido para introducir el concepto de la forma elegante a la par que ingeniosa que caracteriza mis escritos (!!), usando una frase bastante más sencilla y adecuada para explicar el concepto. A saber:

Si estornudo, cierro los ojos.

O sea, cuando YO estornudo, YO cierro los ojos.

Fijaos que no me estoy refiriendo a lo que te ocurra a ti, querido y sufrido lector, ni tampoco al resto de la humanidad, sino exclusivamente al caso particular de lo que me ocurre a mí al estornudar… esto es importante para más adelante, pero de momento lo dejaremos aquí. Ya volveremos cuando sea oportuno.

.

Bien, el quid del asunto reside no en determinar la certeza o falsedad de las frases individuales que componen la implicación, sino en cómo determinar la certeza o falsedad de la propia implicación lógica en función de los valores de verdad o falsedad de las dos proposiciones que la forman: el antecedente (p) y el consecuente (q).

Por favor, releed el párrafo anterior… volveremos una y otra vez a él.

Esto quiere decir ni más ni menos lo siguiente: Si teníamos una frase compuesta por un conjunto de proposiciones elementales unidas como sea, con “NO”, “O” e “Y” como nos venga en gana, y con tantos paréntesis como nos venga en gana, podíamos fácilmente averiguar si la frase compuesta era verdadera o falsa en función de los valores de verdad o falsedad de las proposiciones elementales. Pues ahora lo que debemos hacer es determinar el valor de verdad o falsedad de la frase que contiene la implicación según sean verdaderas o falsas p y q, las dos proposiciones implicadas. Insisto: el valor de certeza o falsedad de la propia implicación en sí. Que no deja de ser una frase, una mera proposición más compuesta a su vez por un par de proposiciones elementales.

Bueno, en realidad no tienen por qué ser elementales-elementales, no sé si me explico. Tanto p como q pueden ser proposiciones tan complicadas como queramos, llenas de paréntesis y de Oes y de Yes y de NOes…^[3] pero como ya sabemos determinar sin problemas el valor de esas proposiciones compuestas en función de las proposiciones elementales que las forman, para lo que aquí nos interesa son eso: proposiciones elementales.

Sentado esto, introduciremos ahora otro ejemplo de la realidad cotidiana; a lo largo del artículo iremos haciendo referencia a uno u otro ejemplo para ver cómo se comporta el uno o el otro ante la prueba de la verdad… de la tabla de verdad, queremos decir.

.

Imaginemos a un político cualquiera de un país cualquiera que, en su programa electoral, hace la siguiente afirmación: “Si gano la elección, construiré un hospital“. Seguramente esta frase (o alguna otra equivalente) os sonará de algo, igual habéis escuchado cosas similares a alguien en la tele o en un mitin o donde sea…

Podríamos representar esta promesa electoral finamente como Político gana la elección  Hospital Construido. Analicemos qué pasa con esa frase.

Si, en el momento de leer el programa electoral, miramos el sitio donde se supone que se construiría el dichoso hospital, vemos que no hay nada allí. Es un barrizal lleno de excrementos de perro. No hay hospital que valga, luego podemos concluir que Hospital Construido=0, o sea, la proposición “Hay un hospital construido en tal zona” es falsa. De momento, es falsa, para ser precisos.

Como la elección aún no se ha producido, es evidente también que Político gana la elección=0; de momento la proposición “El político tal ganó la elección” es falsa también, no puede ser cierta entre otras cosas porque todavía no se ha producido la elección.

Pero… daros cuenta que no es eso lo que queremos conocer, en realidad. La frase que queremos saber si es cierta o falsa no es ninguna de esas dos, que ya sabemos de antemano que, de momento, son falsas, sino, recordad, ”Si gano la elección, construiré un hospital“, que es la promesa  que, entre otras, se supone, contiene su programa electoral. Esa frase, esa promesa concreta, en esa elección concreta… ¿Es verdadera o es falsa?

Fijaos bien que, en el fondo, lo que de verdad es importante aquí, lo que estamos decidiendo, no es si la frase dichosa es verdadera o falsa, sino que en realidad estamos determinando si el que la dice es un tipo que dice la verdad o que miente al respecto.

Si el tipo en cuestión dice la verdad entonces es un tipo honrado que cumple lo que promete, por lo que entonces seguro que su promesa electoral es verdadera también; si gana la elección, tendremos hospital, fijo. En cambio, si el tipo es un falsario, un mentiroso, si nos ha engañado, en definitiva, entonces, por mucho que salga elegido, no tendremos hospital nos pongamos como nos pongamos: la frase en sí, su promesa, esa promesa, es falsa de toda falsedad.

Lo malo es que no podremos demostrárselo hasta dentro de algún añito.

Y para acabarlo de complicar… también puede resultar que no salga elegido.

.

Ojo, que no estoy prejuzgando nada. No estoy diciendo que “todos los políticos mienten siempre“, ni tampoco que “todos los políticos dicen siempre la verdad“. Ése no es el caso, y de hecho estaréis de acuerdo en que con toda seguridad ambas frases universales, aplicadas a la totalidad de la clase política, son falsas.

Me estoy refiriendo al caso particular de un político concreto que hace una promesa concreta en un lugar concreto y para una elección concreta (es decir, en un momento temporal concreto). Y tenemos que decidir si ese político miente o no al prometer la promesa que analizamos (que construirá un hospital si gana la elección), ni siquiera en saber si todas sus promesas son verdaderas o falsas… Ésa sería otra historia, pues habría que analizar una por una su certidumbre o falsedad: “si gano la elección: bajaré el paro; subiré los subsidios y los sueldos; eliminaré los impuestos; incrementaré el número de colegios, traeré a Lady Gaga a las fiestas del pueblo, etc, etc”).

Aquí y ahora, en este nuestro ejemplo, intentaremos exclusivamente saber qué va a pasar con nuestro hospital…

.

Bien, dejemos por un rato a nuestro político y su promesa y sigamos con la exposición.

La implicación lógica en sí, por tanto, no es más que una frase que contiene un par de proposiciones elementales. Sólo eso, nada más. En cálculo proposicional, la determinación de tal cosa (la certeza o falsedad de una proposición lógica) se hacía construyendo la tabla de verdad… ¿recordáis?

Podemos, efectivamente, construir con facilidad esa tabla de verdad de la implicación lógica teniendo en cuenta, como siempre, qué ocurre en los diferentes posibles estados de verdad de las dos variables involucradas p y q, ¿no?  En nuestro ejemplo primigenio, el de “Si estornudo, cierro los ojos“: “estornudo“, que es p, es el antecedente; y “cierro los ojos“, que es q, es el consecuente.

Construir esa tabla de verdad es fácil. Total, son sólo cuatro casos de nada…

Vamos allá:

Vaya, ya estamos en la mata…^[4]

Veámoslo línea a línea. Los dos primeros casos son fáciles: siempre que p (“estornudo”) es Verdadero, podemos discernir claramente si la propia implicación es Verdadera o Falsa en función del valor de q (“cierro los ojos”). Así, en la primera línea, si cuando estornudo efectivamente cierro los ojos, podemos concluir que la implicación lógica es cierta. Y en la segunda línea, si cuando estornudo no cierro los ojos, podemos decidir que la implicación en sí es decididamente falsa. Hasta aquí de acuerdo.

Pero… ¿Qué pasa si no estornudo? ¿Cómo resolvemos las dos últimas líneas? ¿Qué podemos decir sobre el valor de verdad de la propia implicación lógica, “si p entonces q“, si el antecedente p es falso?

Buena pregunta, pardiez.

¿Qué hacemos en ese caso?

.

Intentemos representar esta situación recurriendo al álgebra de Conjuntos, de la forma que vimos en el capítulo correspondiente de la serie, a ver si así se nos ocurre algo.

En el Conjunto Universal de situaciones aplicable,^[5] podemos establecer dos posibles conjuntos: el de aquellas situaciones en las que estornudo, y el de aquellas situaciones en las que cierro los ojos. Estos dos conjuntos de situaciones pueden, en principio, ser independientes uno del otro, por lo que podemos representarlos de forma genérica, por ejemplo representando en color amarillo las situaciones en que “cierro los ojos” y en color azul las situaciones en que “estornudo” (y en verde,^[6] aquellas en que simultáneamente estornudo y cierro los ojos). En gris quedan las situaciones en que ni una cosa ni la otra.

El dibujo podría ser algo similar al siguiente:

Si estornudo, Cierro los Ojos. Situación genérica.

En esta situación genérica puede haber casos en que “estornudo” y “cierro los ojos” sin relación alguna entre ambos conjuntos; todas las situaciones de estornudos y parpadeos son posibles. Puede que estornude y yo no cierre los ojos (la zona azul), o que cierre los ojos sin estornudar (la zona amarilla), o que estornude y realmente cierre los ojos (la zona verde), o que incluso ni estornude ni cierre los ojos (la zona gris).

Ahora bien, para que la proposición de marras, “Si estornudo, cierro los ojos”, sea verdadera, lo que estamos diciendo en realidad es que el conjunto de situaciones en que estornudo deben ser también situaciones en las que cierro los ojos, puesto que no debe haber ninguna situación en que al estornudar no cierre yo los ojos.

Si hubiera alguna situación en que, estornudando, no cerrara yo los ojos (representada por la zona azul del dibujo de arriba), entonces la implicación, la frase “Si estornudo, cierro los ojos”, sería falsa. Bastaría un único contraejemplo, una única vez que me ocurriera tal cosa, para falsar la implicación. Para que sea verdadera, pues, el rectángulo azul no debería existir, debería ser el conjunto vacío…

Resumiendo, para que eso ocurra, para que la implicación sea verdadera, es necesario que el conjunto de situaciones en que estornudo esté contenido en el conjunto de situaciones en que cierro los ojos, o, como decíamos ayer,  .

Por consiguiente, para que la implicación en sí sea válida, o mejor, verdadera, el dibujo de los conjuntos tiene que ser el siguiente:

Si Estornudo, Cierro los Ojos. Resultado de la implicación.

Lo que implica (je, je, otra vez la implicación en el lenguaje natural) que, además de las situaciones en que estornudo y simultáneamente cierro los ojos (la zona verde), pueden existir también situaciones en que, no estornudando, cierro los ojos de todos modos (la zona amarilla), o bien puede haber situaciones en que no cierro los ojos de ninguna manera (la zona gris clarita), donde, desde luego, tampoco estoy estornudando. Ambas situaciones (“no estornudo y cierro los ojos”,^[7] y “no estornudo y no cierro lo ojos”^[8] ) son perfectamente compatibles con la veracidad de la frasecita dichosa: “Si estornudo, cierro los ojos”.

Relee ahora el último párrafo. ¿Te das cuentas de que lo que hemos descrito en él, en roman paladino, son las dos últimas líneas de nuestra tabla de verdad? Ninguna de ellas nos hace sospechar que la frase original, la implicación lógica sea falsa, en definitiva.

O sea, que no es falsa.

Luego es verdadera.

El valor de la implicación lógica en estos dos últimos casos es “V“. Es cierta.

.

Cuando la proposición antecedente, p, es falsa, la implicación lógica es verdadera. Si no estoy estornudando, no hay forma de sacar como conclusión que “Si estornudo cierro los ojos” sea una proposición falsa, tanto si efectivamente los cierro como si no.

He aquí un individuo estornudando...

Por curiosidad… al parecer esto es cierto para todos, no sólo para mí.

A los humanos (a no ser que tengamos alguna enfermedad rara o algún superpoder) nos resulta imposible estornudar sin cerrar los ojos. Dicen los expertos que el estornudo es un acto reflejo que implica el movimiento concertado e irrefrenable de centenares de músculos de todo el cuerpo, entre ellos, los de los párpados… Desde luego, al menos, siempre que nosotros lo hemos intentando hemos sido incapaces de mantener los ojos abiertos al estornudar. Ni una vez.

Por lo tanto, aunque hasta ahora nuestra estereotipada frase “Si estornudo, entonces cierro los ojos” se refería exclusivamente a mi caso particular, puesto que es una frase en primera persona, como parece que se trata de un caso general podemos reescribirla de modo que afecte a la totalidad del género humano: “Si un hombre estornuda, cierra los ojos“. Acabamos de convertir una observación particular que afecta a un individuo concreto (yo) en una Ley, una observación universal que afecta a la totalidad de la humanidad.

Más adelante veremos cómo afecta esta generalización a la determinación del valor de verdad de la implicación lógica, es decir, qué diferencias conlleva que la implicación lógica se refiera a un caso particular o a uno universal… Cada cosa a su tiempo.

.

Cambiando de ejemplo, en el de la promesa electoral, que, recordad, es otra proposición particular, puesto que se refiere a la promesa concreta de un político concreto, si el político que la hizo ganó efectivamente la elección y construyó el hospital, es claro que su promesa era cierta y no nos engañó. Ahora bien,  si ganó la elección pero durante su mandato no se construyó el hospital,^[9] entonces el tipo nos mintió: su promesa era falsa.

Pero si no ganó la elección puede que el hospital se construyera al fin (porque el candidato que salió elegido de todos modos lo construyó), o puede que no se construyera… en ambos casos no podemos asegurar que la promesa electoral fuera falsa, puesto que al no cumplirse el antecedente (no ganó la elección), no tuvo los medios para cumplir el consecuente (construir el hospital).

Y si la promesa no es falsa, es que es verdadera. No hay vuelta de hoja.

En español decimos que “le otorgamos el beneficio de la duda“. Recordad siempre que, al juzgar la certeza o falsedad de una implicación lógica, en realidad estamos normalmente juzgando “por elevación” la condición de honrado o de mentiroso de la persona que la hace. Por esta razón es tan habitual escuchar promesas electorales del estilo de “Si gano la elección, haré… lo que hay que hacer“. Ole con ole y ole. Eso sí que es concreción…

.

Tras toda esta diatriba, resulta que la tabla de verdad de la implicación lógica es la siguiente:

Por tanto podemos definir la fórmula matemática de la implicación lógica, simplemente creando la Forma Normal Disyuntiva a partir de su tabla de verdad, es decir:

Simplificando,

.

Ergo , o, en la notación propia del cálculo proposicional, .

Es decir, el antecedente implicando el consecuente es igual a la unión de la negación del antecedente con el consecuente. O sea, una implicación es cierta bien cuando el consecuente (q) es cierto, bien cuando el antecedente (p) es falso, o ambas cosas. Y no hay más. Es la base. Las implicaciones lógicas son fundamentales para el cálculo proposicional, el cálculo de predicados y el desarrollo mismo de la ciencia…

Con estos mimbres, es fácil averiguar cómo es la doble implicación, en la que ocurre simultáneamente que y , o, formalmente . Esto se suele representar como , así con doble flecha.^[10]

Sabiendo cómo se representa la implicación , podemos fácilmente encontrar la tabla de verdad de la doble implicación, escribiendo la tabla de verdad de cada implicación y la de su conjunción ():

En Forma Normal Disyuntiva, será, pues, .

De todos modos, no hacía falta escribir la tabla de verdad para llegar a esa conclusión. Conociendo que es , como hemos visto hace un poquito, y que por tanto será … determinar cómo es es tan sencillo como reducir (que, por cierto, es el resultado de escribir la misma tabla en Forma Normal Conjuntiva, en vez de Disyuntiva), y listo. Hacedlo, si os place, para que comprobéis que no me he equivocado. Que espero que no…

.

Ahora que ya sabemos cómo es la tabla de verdad (y la fórmula, claro) de la implicación lógica, incluso la de la doble implicación, nos será muy sencillo saber cómo discernir si una frase condicional (o sea, una implicación) es cierta o no. Basta con fijarse si simultáneamente el antecedente p es cierto y el consecuente q falso. O sea, que se cumple . Si esto ocurre, hemos encontrado un contraejemplo, y la implicación es falsa. Pero si no hemos encontrado un contraejemplo, en todos los otros casos, es cierta. Por raro que nos suene. Cierta como que el hierro tiene 26 electrones…

.

Vamos con algunos ejemplos cotidianos…

“Si llueve, me mojaré“. Frase que decimos muchos cuando vemos que se acerca un nublado. ¿Es cierta o es falsa?

Mmmm… pues… depende. Puede que llueva, me pille a descubierto y efectivamente me empape: es cierta. Y puede que no llueva, y entonces es cierta también. Ojo, si no llueve, es cierta independientemente de que me moje (porque me moje una vecina que está regando los tiestos, por ejemplo) o no. Claro que también puede ocurrir que al final llueva, pero yo tenga la suerte de que me pille debajo de una marquesina y pueda resguardarme: entonces es falsa. Sólo entonces es falsa.

¿Cuándo sabremos, pues, si la frase es cierta o falsa? Cuando detectemos un contraejemplo: llovió y no me mojé. Entonces sabremos que la frase es falsa. Pero mientras tanto… ¡Es verdadera, pase lo que pase! No he mentido.

Otro:

“Si eres hombre, eres mortal“. Frase paradigmática de la filosofía clásica. ¿Es cierta o es falsa? Estaremos de acuerdo en que las pruebas nos indican que debe ser cierta: hasta ahora no se ha encontrado ningún contraejemplo, no se ha encontrado a ningún hombre inmortal, salvo en novelas de ciencia ficción, como en “Tú, el inmortal”, de Roger Zelazny, y me han dicho que los ejemplos literarios no sirven… Así que, en ausencia de contraejemplo, la daremos por cierta siempre y en toda ocasión. Y como se refiere a todos los hombres, sin excepción, la elevamos a la categoría de Ley Universal.

Otro:

“Si todo el mundo fuese mío, todo lo daría por yacer con la Reina de Inglaterra“. Frase del Siglo XIII extraída de Carmina Burana, a la que puso música inmortal Carl Orff, que con variantes diversas hemos oído o dicho muchas veces a lo largo de nuestra vida.^[11] ¿Cierta o Falsa?

Pues en tanto no nos hagamos ricos-riquísimos, no se cumple el antecedente, así que, entretanto, la frase es verdadera. Sólo se demostrará como falsa si alguna vez todo el mundo es nuestro y nos pensamos mejor eso de darlo todo por yacer con la Reina de Inglaterra.^[12]

Y otro más:

“Si soy un hombre, tengo ocho patas“. Frase que quizá os suene rara, pero cosas parecidas decimos también en nuestras doctas conversaciones de cada día: “Si mi abuela tuviera ruedas, sería un camión”, o “Si eso es verdad, yo soy el Papa de Roma”… En fin: ¿Verdadera o falsa?

Vaya, ésta es realmente fácil: siendo hombres como somos, basta con mirarse de cintura para abajo (y saber contar) para darse cuenta de que al menos hay un humano que no tiene ocho patas… hemos  encontrado al menos un contraejemplo: la frase es falsa, por tanto.

.

Unos pocos párrafos antes nos preguntábamos cuál sería la diferencia entre una implicación particular (que afecta a una única situación, individuo, etc) y una universal (que afecta a todo el “Conjunto Universal” aplicable: la humanidad, los españoles, las ardillas del parque, lo que sea), de cara a la determinación de su certidumbre o falsedad.

Es decir: ¿Afecta en algo para determinar si una implicación es cierta o falsa el que ésta se refiera a un particular o a un universal, por ejemplo que se aplique sólo a mi estornudo concreto o al estornudo de todo ser humano, incluso al estornudo de todo bicho viviente?

Pensadlo un momento…

.

Efectivamente. En nada en absoluto. Su tabla de verdad es exactamente la misma, y el método de comprobación, el mismo: en cuanto encontremos un contraejemplo (cuando, cumpliéndose el antecedente p, no se cumple el consecuente q, o sea cuando ), podemos determinar que la implicación es falsa. Se trate de una tontería mía del estilo de “Si voy al cine, como palomitas“, que ya ves tú qué importancia puede tener, o de una Ley Universal del estilo de “Si estamos en este Universo, no hay nada que pueda ir más rápido que la luz“. Da igual.

Si voy al cine dispuesto a comprar palomitas de maíz,^[13] pero la máquina está estropeada y no puedo comprarlas (ni comerlas), o bien ese día no tengo hambre y paso de comer palomitas, en cualquier caso mi “palomitera“ afirmación es falsa. Y si alguien detecta en este Universo un neutrino díscolo que va más rápido que la luz, uno solo,^[14] entonces la Relatividad Especial es falsa, se ponga Einstein como se ponga… Total, Einstein fue quien se “cargó” la Gravitación Universal de Newton, así que…

.

Por fin un último ejemplo, que nos servirá, además, de nexo con el siguiente capítulo. Extraído directamente de los ínclitos Les Luthiers, lo que garantiza su plena vigencia…

Una madre desesperada le dice a su hijito: “Mirá nene… Si no tomás la sopa, viene el Hombre de la Bolsa“.^[15] Una implicación como una casa, como veis: .

Tras lo que ya sabemos, que es mucho, ¿qué podemos decir de tan amenazante implicación?

Si el nene se achanta y se toma la sopa, entonces podemos concluir que la implicación era cierta; si el Hombre de la Bolsa no viene, pues nada, normal, pero incluso aunque el Hombre de la Bolsa le diera por ir de todos modos, la implicación en sí sería cierta, es decir, si el nene sí se comió la sopa mamá dijo la verdad.

Pero ¿qué pasa si el nene no se toma la sopa de ninguna manera…? Pues puede que efectivamente el Hombre de la Bolsa vaya y haga lo que quiera que hagan los Hombres de la Bolsa: nuevamente, mamá dijo la verdad, no mintió, la implicación era cierta. Lo que luego le pase al nene en su estrecho diálogo con el Hombre de la Bolsa es otra historia…

Claro está, también puede pasar que el dichoso Hombre de la Bolsa no vaya. ¡Catástrofe! ¡La mamá mintió! La implicación lógica base de la amenaza sopera no era cierta, ergo quien la dijo mintió: Mamá.

Eso es lo que se llama deducir… A formalizar la deducción lógica estará dedicado el siguiente artículo de la serie, así que por ahora, mejor lo dejamos así. Únicamente comentar que, tras la deducción, que ya veremos cómo se hace, cómo se formaliza, el nene aprende… ¡Vaya si aprende! La próxima vez tampoco tomará la sopa, aunque le amenacen con ponerle la discografía completa de David Bisbal… ¡Dos veces! ¡Esto es lo que se llama “Educación“!

… Pero es que aún hay un caso peor… Sí, mucho peor.

Como se preguntan Les Luthiers, ¿qué pasaría si El Hombre de la Bolsa tampoco quiere tomar la sopa? ¿Eh? Esto sí que sería como para convertirse en adorador del Gran Spaghetti Volador… Así que cuidadín con amenazar: igual luego no podemos cumplir la amenaza y quedamos como unos embusteros, además de como Cagancho en Almagro.^[16]

.

Y para acabar con este kilométrico artículo, unas breves frases para desmontar de una vez por todas una de las falacias más habituales hablando de implicaciones lógicas: El que una implicación entre dos frases sea cierta no quiere decir que sea cierta la implicación entre la negación de esas mismas frases. Me explico:

Supongamos como cierta la implicación que todos los padres decimos a nuestros hijos en alguna ocasión: “Si comes, crecerás“.^[17] Podemos suponer a priori que es mayormente verdadera: para crecer es preciso comer. Ahora bien, de la presumible certeza de esta frase no se puede extraer de ninguna manera que “Si NO comes, NO crecerás“. En absoluto.

Representemos todo esto en nuestras conocidas, las ecuaciones booleanas amigas. Siendo p: “Comer” y q: “Crecer“, podemos representar:

“Si comes, crecerás” como , y

“Si NO comes, NO crecerás” como .

O, lo que es lo mismo,

“Si comes, crecerás“: , y

“Si NO comes, NO crecerás“: .

Para que la segunda frase sea cierta (suponiendo cierta la primera) debe tener su misma Forma Normal Disyuntiva, o lo que es lo mismo, su misma tabla de verdad. ¿De acuerdo en esto?

La FND de la primera frase (“Si comes, crecerás“) es: ,  y

La FND de la segunda frase (“Si NO comes, NO crecerás“) es: .

No son iguales. El segundo término es diferente en ambos casos: en el primero y en el segundo. ¿Qué quiere esto decir? Traduzcamos al español:

Los términos “Comes y Creces” () y “No comes y No Creces” () forman parte de la FND de las dos implicaciones, pero en la primera de ellas está el término “No Comes y Creces” ()^[18] mientras que en la segunda el término que está es “Comes y No Creces” ().^[19]  Dejamos para el que lo desee construir la tabla de verdad de ambas frases, para que constate visualmente, además de algebraicamente, que no es lo mismo una frase que otra.

Algunos pueden pensar, no obstante, que la diferencia es sutil, que no es para tanto, que en definitiva es prácticamente lo mismo… pues no lo es. Y, desde luego, en un razonamiento científico no se puede de ningún modo caer en esta falacia.

.

Ah! ¿Hay algunos de entre vosotros, sufridos lectores, que aún no veis claro por qué este tipo de frases son una falacia? Vale, volvamos un momento a la frase que nos ha introducido en los intríngulis de las implicaciones lógicas, a saber: “Si estornudo, cierro los ojos“. Os acordáis, ¿no?

Bien. Pues aplicar esta falacia aquí implica que, asumiendo como verdadera la implicación original, aceptamos igualmente como cierta la siguiente perla: “Si NO estornudo, NO cierro los ojos“. Es decir, el conjunto de situaciones en que “No Estornudo” está contenido en el conjunto de situaciones en que “No Cierro los Ojos“, o . ¿Es eso cierto?

Para empezar, según las propiedades de la relación de orden parcial que vimos en el segundo artículo de la serie,   implica también que  . ¿Recordáis?

¿Qué significa esto? Veamos: el dibujo sería algo como el siguiente:

Supongo que ya os dais cuenta de que algo hay que no funciona… Porque ésta es también la representación en diagramas de Venn de la implicación “Si cierro los ojos, estornudo“…. y no era esto lo que nosotros queríamos decir, que era: “Si NO estornudo, NO cierro los ojos”.

Ja! Una y otra son exactamente la misma frase, tienen la misma fórmula, la misma tabla de verdad. Es lo mismo. Son idénticas.

Así que, para probar definitivamente si la frase es cierta o no, como hemos dicho unas doce veces ya, basta con encontrar un contraejemplo, es decir, una única situación en que No Estornudando, de todos modos Cierro los Ojos. No es muy difícil encontrar una situación tal: basta con echarse una siestecita…

Luego, suponiendo como verdadero que “Si estornudo, Cierro los ojos”, entonces “Si NO estornudo, NO cierro los ojos” (o “Si cierro los ojos, estornudo”, que ya hemos visto que es lo mismo) es una falsedad como un piano de cola.

¿Se ve claro ahora?

.

En un ejemplo tan tonto, tan evidente como éste, parece obvio que una y otra frase no son la misma cosa, pero pensad en cosas más serias, como cuando un candidato a alcalde asegura que “si me elegís, habrá una carretera entre Villarriba y Villabajo“. Lo que sibilinamente él quiere que entendáis es que “si no me elegís, no habrá tal carretera“… pero eso no es la misma cosa. En absoluto. Puede, por ejemplo, que los otros candidatos también tengan pensado hacer la carretera. De nuevo, estos ejemplos son fáciles, pero a menudo esta falacia se esconde detrás de dobles negaciones y enrevesadas frases con muchas más condiciones, y no es tan sencillo darse cuenta de ella.

Avisados quedáis.

.

Es todo por hoy. Ha salido un artículo bastante intenso, me parece. En realidad, podríamos seguir y seguir… las discusiones sobre implicaciones lógicas son eternas, pero en algún momento hay que cortar… De todos modos, ahí están los comentarios para debatir lo que gustéis.

El próximo día continuaré profundizando en el fascinante cálculo proposicional, en concreto sobre el proceso deductivo, siempre de la mano de Don José Cuena, a ver dónde acabamos. Además de en el psiquiátrico, quiero decir.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. El “entonces” se representa con la flecha, obviamente.
2. Ya es curioso que para definir una implicación lógica estemos usando precisamente una implicación lógica… forman parte natural del lenguaje y todo el mundo las entiende sin más complicaciones.
3. Incluso de otras implicaciones, si os lo estabais preguntando: al final del artículo espero que ya no os asuste tal cosa.
4. Expresión muy española para: “Ya nos hemos metido en el lío”.
5. No sé bien cómo definir este “Conjunto Universal de situaciones”: Los milisegundos que estoy vivo, quizas…
6. Que es el color que le sale al pintor al mezclar amarillo con azul.
7. Por ejemplo, porque estoy durmiendo… esperamos que la lectura de tan apasionante artículo no te haya llevado a esta situación.
8. Probablemente tú estás ahora mismo así, ¿verdad?
9. ¿A qué me suena a mí esto?
10. En términos matemáticos, se dice que algo (p) ocurre si y sólo si ocurre esto otro (q). Y viceversa.
11. “Si fuera rico haría esto o lo otro”, “Si pudiera, iría a tal sitio”, “Si lo hubiera sabido, no habría hecho tal cosa”, et altera…
12. Sin comentarios.
13. Así se llaman en España; en inglés se denominan “pop-corn“, y en HispanoAmérica me consta que se llaman de múltiples maneras… que no conozco.
14. Y de verdad va más rápido que la luz, claro.
15. En España decimos “El Hombre del Saco“, y este personaje popular está basado en hechos reales: parece que a fines del Siglo XIX hubo un asesino, un tal Francisco Ortega, El Moruno, que secuestraba a sus víctimas, las metía en un saco de arpillera, las desangraba, descuartizaba y qué sé yo, y luego echaba los pedazos en otro saco para esconderlos por el campo… La realidad supera a la ficción.
16. Recomiendo encarecidamente que, cuando terminéis con este escrito, os leáis el artículo de JdJ en su blog Historias de España sobre Cagancho en Almagro… JdJ es simplemente sublime, pero en el artículo de Cagancho en Almagro literalmente se salió.
17. Con todas sus variantes: “Si comes te pondrás fuerte”, “Si comes mucho serás más alto que tu primo”, etc, etc.
18. Es decir, puede que crezcas aunque no comas.
19. Es decir, que puede que, aunque te atiborres de comida, no crezcas ni un milímetro.

En comparación, las farmacéuticas, una vez que sacan al mercado un medicamento nuevo, tras años de investigación, rediseño, pruebas, autorizaciones, etc, sólo tienen diez años para disfrutar en exclusiva de los derechos industriales de su invento, a partir de los cuales el medicamento pasa al dominio público y cualquiera puede fabricarlo (es lo que se llama “genéricos”). La asimetría es tan tremenda que no me extraña que estas farmacéuticas dediquen cada vez más recursos a la investigación en cosmética y menos a crear medicamentos nuevos…

Pero dejemos este espinoso tema, y vayamos a lo que me trae hoy aquí: el Concierto para Piano y Orquesta núm. 2 de Piotr Ilich Tchaikowsky. Y no, no me he equivocado de número: es el número 2, en sol mayor, Op.44, no el archiconocido número 1, Op.23, que todo el mundo conoce (aquí tenéis un video del principio del concierto número 1 interpretado por Daniel Barenboim, con Zubin Mehta dirigiendo una orquesta desconocida, por si no sabéis de que hablo, para que veáis que efectivamente todo el mundo, incluidos vosotros, amables lectores, lo conoce). Porque el caso es que al ignorante de mí le gusta más, bastante más, el número 2. Si al número 1 le quitamos su arrollador comienzo, los tres o cuatro primeros minutos, le dejamos en el chasis, siempre según mi opinión, claro. Este número 2 de hoy, en cambio, está mucho mejor balanceado entre sus tres movimientos, destacando sobre todo el Andante, su espectacular movimiento lento, el segundo, una auténtica sorpresa, ya veréis por qué.

Piotr Ilich Tchaikowsky

Ya comenté brevemente algo sobre la vida de Piotr Ilich Tchaikowsky en el artículo dedicado a su Concierto para Violín y Orquesta, sin duda alguna el Everest de los conciertos para violín del repertorio. Recordar, únicamente su nacimiento en 1840 en una remota localidad minera de los Urales, en los confines de la Rusia europea, y cómo se empeñó en ser músico en lugar de funcionario, que era para lo que le educó su familia.

Su educación musical fue muy “occidental”, por llamarlo de alguna manera, al ser alumno de Antón Rubinstein, gran pianista y director, competidor directo de Liszt como intérprete, lo que le mantuvo relativamente alejado de la corriente nacionalista que tuvo su máximo exponente en el Grupo de los Cinco que ha aparecido por acá en varias ocasiones. Pero, aunque sus ideas musicales no coincidían al 100%, mantuvo siempre una buena y amistosa relación con sus componentes, en particular con Rimsky Korsakoff. Se respetaban unos al otro y viceversa.

Piotr Ilich tuvo una vida complicada, debido sobre todo a su reprimida y siempre ocultada homosexualidad, cosa muy, pero que muy mal vista en la época en la capital de los zares (y en todas partes, diría yo). Contrajo matrimonio con una alumna suya, Antonina Miliukova, pero fue un desastre; no llegaron a vivir juntos ni, desde luego, tuvieron ningún hijo; apenas tres meses después de la boda se separaron. Años después tuvo una relación platónica con la rica viuda Nadezha von Meck,^[1] admiradora suya que le “adoptó” como protegido, financiando sus actividades compositivas… Trece años duró esta relación, que mantuvo a Tchaikowsky con la estabilidad financiera y mental necesaria como para componer sus mejores obras.

Tchaikowsky falleció en San Petersburgo en 1893, a los 53 años de edad, tan solo nueve días después del estreno de su Sexta Sinfonía, la Patética. La versión oficial dice que falleció de cólera, debido al consumo de agua contaminada. Sin embargo, una estudiosa rusa asegura en los últimos tiempos que del estudio de no sé qué documentación se deduce que en realidad se suicidó, como consecuencia del dictamen de un cierto “tribunal de honor” extraoficial que le juzgó y le condenó a morir debido a su homosexualidad, al haber tenido un tormentoso romance con un joven miembro de la nobleza,^[2] y para evitar el escándalo mayúsculo que hubiera supuesto… sobre todo para él, claro, no para el noble.

Evidentemente, a estas alturas nadie lo va a saber con certeza, pero pocas dudas quedan a cualquiera que haya oído sus dos últimas Sinfonías. Su Quinta es abrumadora, con las aterradoras intervenciones del Destino (representado por el metal: trompetas, trompas y trombones) que se esparcen por toda la obra, cortando de raíz todo atisbo de alegría y lirismo de la obra. Pero ya el colmo es la Sexta, la Patética, su testamento, una auténtica autobiografía musical, con ese Adagio lamentoso final que rompe de plano con la tradición casi universal de acabar las obras con un movimiento alegre (un Allegro, vaya). Se trata de un aplastante movimiento final total y absolutamente premonitorio, un Adagio que, cuando termina, y con él la sinfonía, no sabes si aplaudir o irte a un rincón a llorar… A mí no me cabe la menor duda de que Piotr Ilich sabía perfectamente que su vida llegaba a su fin, que esa Sexta Sinfonía sería irremediablemente la última, pues sólo así se explica ese angustioso latir del corazón (son los contrabajos quienes laten, con un pizzicato en piano) con que termina la obra, latidos que se van ralentizando poco a poco, poco a poco… hasta que cesan. Del todo.

Desdichado Tchaikowsky. Genial Tchaikowsky.

Aunque su música fue bastante menospreciada por los críticos durante buena parte del Siglo XX, no cabe hoy la menor duda de que es uno de los más eximios compositores que sobre la faz de la Tierra hayan sido. Y su Segundo Concierto para Piano y Orquesta de hoy lo demuestra.

.

Compuesto entre 1879 y 1880, en los años de mecenazgo de Nadezha von Meck, fue dedicado al pianista Nikolái Rubinstein, hermano de Antón, considerado uno de los mejores pianistas del momento. Nikolái Rubinstein había sido muy crítico con el primer concierto del compositor (sí, ese tan famoso), pero luego, en vista de su éxito, tuvo que reconocer que se había equivocado y que la obra era excelente. Tchaikowsky quiso de esta manera agradecerle su postura; cuando le envió el primer texto, la respuesta de Rubinstein fue mucho más receptiva que con el primero. Pero cuando por fin el concierto estuvo listo para su estreno llegó la noticia de que el pianista había fallecido en París. De modo que el encargado del estreno, en 1882 y en Moscú, fue otro grande: Sergei Taneyev, antiguo alumno del propio Tchaikowsky, con la dirección del mismo Rubinstein del que una vez fue alumno: Antón. El círculo se cierra…

El Concierto no alcanzó los grados de popularidad que tenía su primer concierto, lo que desagradó profundamente a Tchaikowsky, que lo consideraba (con razón) como una de sus mejores obras. Y estaba particularmente satisfecho del Andante, el movimiento lento… Yo estoy de acuerdo con él: es una de sus mejores obras. Y el segundo movimiento es de los mejores movimientos lentos de todos los conciertos de piano que yo conozco. Espero que, tras escuchar el concierto, estéis de acuerdo conmigo.

La versión que vamos a escuchar es la de Konstantin Scherbakov al piano, con la Orquesta Filarmónica de Rusia dirigida por Dmitry Yablonsky. La duración total del concierto son unos cuarenta minutos, y son dos videos: el primero tiene el primer movimiento completo y el segundo, los dos restantes, que se ejecutan sin interrupción entre uno y otro, es decir, en attaca. El primer video son fotos de alguna ciudad presumiblemente centroeuropea que no reconozco; el segundo tiene paisajes de campos, lagos, castillos y montañas acompañando al Andante, y fotos de otra (o la misma) ciudad centroeuropea en el tercer movimiento. Las fotos originales seguramente serían buenas, pero en cualquier caso el video no las hace justicia. Pero la música es excelente, que es lo que importa.

Vamos ya con el primer movimiento, Allegro brillante e molto vivace:

En este movimiento hay muchos menos pasajes de lo que es habitual en que la orquesta toque simultáneamente con el piano, es decir, “compitiendo” el uno con la otra. Esta situación es muy normal en casi todos los conciertos de piano y orquesta, pero parece que a Tchaikowsky no le gustaba mucho esta combinación, por lo que este movimiento tiene muchas intervenciones de la orquesta sola, o cadenzas del piano solo, y pocas colaboraciones entre ambos. De lo que no cabe duda es que es un movimiento brillante, como bien dice su título.

Comienza con una brillante intervención de la orquesta, contestada en seguida por el piano. La música continúa desgranándose, con intervenciones solistas del piano, la primera en el minuto 1:30, respondidas por intervenciones puntuales de la orquesta, para luego volver el solo del piano… y así una y otra vez. En este movimiento no es muy habitual que piano y orquesta toquen a la vez, y cuando lo hacen la orquesta da el contrapunto al piano.

Así siguen las cosas, con brillantez inusitada, hasta que en el minuto 7:00, tras una larga introducción orquestal, cambia el tema. El piano ahora es más lírico, acompañado suavemente por la orquesta, para comenzar 30 segundos después una cadenza más, de minuto y medio, aproximadamente. Tras otra larga introducción orquestal, en el minuto 10:50 comienza una nueva, larga y muy lírica cadenza, que al rato se vuelve mucho más difícil, de virtuoso… es una delicia escuchar a Konstantin Scherbakov interpretando tan difícil pasaje con tanta autoridad. Esta larguísima cadenza (dura cuatro minutos, mucho más de lo que era normal hasta entonces), a mí me recuerda a la famosa cadenza del Concierto número 3 de Rachmaninoff, de la que es claramente precursora, de la que ya tuvimos oportunidad de hablar en el artículo correspondiente.

En el minuto 15:45 la orquesta interrumpe por fin al piano, recuperando el tema principal del movimiento. Tras un minuto, el piano recupera su protagonismo, en una repetición del primer tema, que se va desarrollando hasta que en minuto 19:15 comienza la coda final del movimiento, que termina por fin como transcurrió: de forma brillante.

Magnífico movimiento, sin duda. Gran Tchaikowsky. Para ver los otros dos movimientos es preciso cambiar de video. Vamos, pues, con el segundo movimiento, Andante non troppo:

Dije al principio que este movimiento (además de ser simplemente perfecto) venía con sorpresa. Y esta sorpresa es que se trata, en realidad, de un movimiento típico de un Triple Concierto (un concierto para trío de piano, es decir, violín, cello y piano, y orquesta), es decir, además de las intervenciones solistas del piano, hay otras muchas intervenciones solistas del violín del concertino (en la versión del video, Andrey Kudryavtsev) y del primer cello de la orquesta (en la versión del video, el propio director de la orquesta, Dmitry Yablonsky), configurando de facto un concierto para trío y orquesta (las intervenciones de ésta son siempre de acompañamiento, sin quitar el protagonismo al trío en ningún momento). El único Triple Concierto famoso del repertorio es el de Beethoven… que al ignorante de mí no le gusta. Nada de nada, por muy Beethoven que sea. Hasta el mejor escribano echa un borrón. Este Andante del Concierto número 2 de Tchaikowsky, sin embargo, me entusiasma.

Hay versiones de este concierto en que las partes solistas de violín y cello han sido reescritas para piano. No me gustan. Bueno, sí me gustan, pero mucho menos que el original. El lirismo de este movimiento es realmente superlativo.

Comienza con una breve introducción orquestal que da en seguida paso al violín solista que ataca el tema principal del movimiento, acompañado suavemente por la orquesta. En el minuto 1:05 llegamos por fin a ese pasaje mágico, bellísimo, realmente encantador, que es el tema principal del movimiento. En el minuto 2:25 es ahora el cello solista quien toma la línea principal de la música, ahora acompañado por el violín y la orquesta allá al fondo… Delicioso.

En el minuto 3:25, por fin, todos callan para que sea ahora el piano quien declame la melodía en solitario durante un minuto, luego acompañado por la orquesta y más adelante por violín y cello también. En el minuto 5:30 el tema cambia, siendo ahora el piano quien lleve la voz cantante, acompañado de la orquesta, pues violín y cello solistas ahora callan por un rato, hasta el minuto 7:10 en que vuelven a tomar el protagonismo en un dúo magnífico, que dura hasta que se les une el piano en el minuto 8:45, convirtiéndose nuevamente en un trío… la orquesta está callada en esta sección, dejándonos disfrutar de la melodía llevada por los tres instrumentos. Extraordinario pasaje, me parece a mí. Alrededor del minuto 10:00 se une por fin la orquesta en piano, mientras que el piano ahora calla.

El pasaje lo cierra el piano en el minuto 11:15, con un nuevo solo, que prepara el final del movimiento, suave final del Andanteque termina abruptamente en el minuto 13:25, interrumpido bruscamente por un clarinazo que comienza (en attaca) el tercer y último movimiento, Allegro con fuoco .

En este movimiento el violín y el cello se integran de nuevo en su lugar en la orquesta para acompañar al piano que, nuevamente, es el protagonista absoluto, como debe ser en un concierto para piano y orquesta como éste. Allegro con fuoco significa alegre con “fuego”, con pasión… y vaya si tiene pasión el movimiento. Se alternan las breves intervenciones solistas del piano con las respuestas de la orquesta siempre con variaciones del mismo tema inicial del movimiento. El ritmo es frenético en todo momento, exigiendo lo mejor del solista. Bueno, y de los profesores de la orquesta, también. En el minuto 18:55 cambia el ritmo por fin, pero sólo para preparar las intervenciones finales del piano, la coda del movimiento y del concierto, que termina por fin, con mucho “fuoco”, en el minuto 20:20.

Una gran ovación del público pone el broche de oro al concierto. Los intérpretes se la merecen, ciertamente.

.

Mientras que del concierto número 1 de Piotr Ilich Tchaikowsky hay numerosísimas versiones grabadas, de este número 2, Op.44, hay muchas menos, por alguna razón que, después de haberlo oído, no se entiende muy bien… pero es lo que hay. Recomendaré, para no equivocarme, la misma versión del video, con Konstantin Scherbakov al piano y Dmitry Yablonsky dirigiendo la Orquesta Filarmónica de Rusia, editada por Naxos (siempre una garantía de calidad y buen precio).

.

En Spotify hay un montón de versiones… pero ¡del omnipresente Op.23, el concierto número 1 de Tchaikowsky! Del número 2, el Op.44, éste del artículo, hay apenas cuatro o cinco; algunas son de la versión original antes de las sucesivas revisiones de Piotr Ilich, versión más larga que la que hemos oído; el andante de otras tiene el arreglo para piano que elimina el maravilloso trío de violín, cello y piano… En fin, de lo poco que queda he seleccionado la versión de la Orquesta de la Radio Nacional Polaca con Antoni Wit en la dirección y Bernd Glemser al piano, también de Naxos (qué casualidad), tan buena como la del video, cuyo enlace podéis encontrar aquí. No hay mucho donde comparar esta vez.

.

Escuchar música en directo es mejor que enlatada. Mucho mejor. Sí, es la misma cantinela de siempre, ¡qué le vamos a hacer! Pero… es que es la verdad.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. En realidad sería una relación epistolar, pues se relacionaban por carta: Nadezha puso como condición que nunca debían conocerse cara a cara.
2. Es decir, en términos del dichoso tribunal, por “haber seducido” a un inexperto, tierno e ignorante hijo de duque, conde o barón…

Una de dichas aplicaciones es el diseño y fabricación de los circuitos digitales, que permiten tomar un conjunto de entradas digitales binarias y obtener un resultado 1 ó 0. Pero como Macluskey está siguiendo los apuntes de hace un porrón de años, en aquel momento no se contaba nada de eso en la escuela. Cuando él estudió aquello, les contaron interruptores (pero no puertas lógicas) probablemente porque se pensaba que muchos ingenieros informáticos tendrían que dedicarse al hardware, y el tiempo ha demostrado que… se equivocaron. La inmensa mayoría de los ingenieros informáticos se dedican al software. De hecho, yo soy teleco y también estudié interruptores en la carrera (aunque unos pocos años después de Mac) y después puertas lógicas, pensando en que probablemente los telecos, esos sí, se iban a dedicar al hardware… pero jamás lo he usado en mi vida profesional.^[1]

Finalmente, aprovechando que me dais un púlpito al que subirme a largar, repasaremos un poquito las principales tecnologías hardware para hacer esto.

Este artículo puede enlazar detrás de casi cualquiera de los artículos introductorios de la serie de Macluskey, pero como probablemente el sitio natural sea justo después del del cálculo proposicional, ahí es justamente donde lo publicamos. Para seguir este artículo supondremos, además, conocimientos del artículo de álgebra de Boole y el del álgebra de circuitos. Revísalos si no los tienes frescos.

Para empezar a ver la utilidad de esto, y antes de entrar en formalismos, vamos a tratar de poner un ejemplo. Supongamos que yo tengo:

• Un sensor que me detecta si entra luz por la ventana. Si entra luz genera un 1, y si no, un 0 (ya veremos luego cómo representamos esto físicamente).
• Un sensor de movimiento que me detecta si estoy en la habitación, generando un 1 si estoy, y un 0 en caso contrario.
• Una luz que se enciende cuando recibe un 1, y se apaga cuando recibe un 0.

¿Podría yo crear un circuito digital que  encienda la luz cuando estoy en la habitación pero no entra luz por la ventana? A lo mejor me gustaría que la luz del pasillo se encienda automáticamente cuando viene alguien, pero, claro, solo cuando no sea de día.

Pues sí, podría diseñar un circuito digital que haga eso. El circuito más sencillo que lo logra es el siguiente:

¡Hey! ¿Qué son esos dibujos extraños que hemos puesto entre los sensores y la bombilla?

Esos dibujos son puertas lógicas.

La primera de las puertas lógicas, la que parece una D mayúscula, es una puerta AND. Su trabajo (la veremos formalmente más adelante) es poner un 1 en la salida si en ambas entradas hay un 1, y un 0 en cualquier otro caso.

La segunda de las puertas lógicas, la que parece un triángulo con un círculo en la punta, es una puerta NOT. Su trabajo es poner en la salida lo contrario de lo que haya en la entrada.

Piénsalo un poco, y resumamos en la siguiente tabla los cuatro posibles estados del sistema:

Si lo pensáis un poco, esa tabla resume lo que queríamos hacer: la luz se enciende si detecta a alguien, pero solo si es de noche.

Fácil, ¿verdad?

Existen 3 puertas lógicas básicas: AND, OR y NOT (supongo que, dada la serie en la que estamos, y dado que quizá adivinas algo de lo que vamos a decir en los próximo párrafos, no te sorprenden esos nombres…).

Una puerta AND se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada1	Entrada2	AND
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Una puerta OR se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada1	Entrada2	OR
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Finalmente, una puerta NOT se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada	NOT
0	1
1	0

¿Será, por un casual, el conjunto (S, OR, AND), junto con la puerta NOT, siendo S los dos posibles valores {0,1}, un álgebra de Boole? Ya sabemos cómo demostrarlo, si es necesario, por anteriores artículos de la serie… pero sí, obviamente, es un álgebra de Boole. De hecho, a poco inglés que sepamos, sabemos que AND significa Y, OR significa O y NOT significa NO… y eso nos da muchas pistas. No vamos a demostrarlo aquí, porque ya lo ha hecho Macluskey en otros artículos para otros casos; se hace igual.

Eso significa que podemos definir funciones a base de combinar puertas lógicas, y que podemos aplicarles a esas funciones todas las operaciones que veíamos en un álgebra de Boole, tales como la conmutatividad y asociatividad, las leyes de De Morgan, la simplificación de Karnaugh, su descripción en FND^[2] o FNC,^[3] o muchas otras. De hecho, es muy habitual definir las funciones de lógica digital precisamente con la misma notación que Macluskey ha usado en el resto de la serie: el símbolo de + para el OR; y el punto de multiplicación o simplemente nada para el AND. Para el NOT se usa a menudo una barra horizontal sobre la variable o una tilde tras ella… como hemos ido haciendo en el resto de la serie, vaya.

Por ejemplo, para definir nuestro circuito de arriba, si llamamos L al sensor de luz exterior, P al sensor de presencia y S a la salida, podemos decir que S=P·L’.

Saber que es un álgebra de Boole tiene su importancia. Por ejemplo, si definimos nuestra función digital en forma de tabla, podemos usar la simplificación de Karnough para encontrar la función digital que menos términos tiene (es decir, que menos puertas lógicas necesita). Esto tiene su importancia, porque a veces tener más puertas significa utilizar más mm² de la oblea de silicio, y, por lo tanto, el circuito resulta más caro.

O también, podemos encontrar la FND de cualquier circuito, para comprobar si dos circuitos lógicos son en realidad el mismo. Por cierto, que esta FND tiene una ventaja adicional: al parecer es relativamente sencillo, por la forma en que se fabrican los circuitos integrados,^[4] tomar todas las entradas, pasarlas agrupadas por un montón de puertas AND y el resultado pasarlo por una única puerta OR. Es decir, la representación FND de la función. Al parecer, dependiendo de la tecnología que se utilice, esto puede ser más fácil (es decir, más barato) que el circuito de Karnaugh equivalente, aunque aparentemente tenga más puertas.

Por comodidad, se suelen definir unas cuantas puertas lógicas más: XOR, NOR, XNOR y NAND. Pero no olvidemos que todas ellas se pueden representar simplemente como una combinación de AND, OR y NOT.^[5]

XOR es el OR eXclusivo que ya ha salido otras veces a lo largo de la serie, y se suele representar con un + rodeado en círculo: . A menudo se dice que esta es la puerta de la suma (y no el OR, como podría parecer por el símbolo), porque si sumo con sumas “normales”, me sale lo que dice la puerta XOR… ¡Por Tutatis! ¿Y el 0 de la última fila! Ten en cuenta que son sumas binarias, y 1+1=… 0… y me llevo 1 (este “me llevo 1” se suele llamar acarreo, y se puede calcular simplemente con el AND), del mismo modo que en nuestro sistema decimal habitual, “5+5=0 y me llevo 1″.

A	B	XOR
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR es simplemente la combinación de NOT y OR:

A	B	NOR
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

XNOR es nada más que la combinación de NOT y XOR y se suele representar con un punto en un círculo: . Se suele decir que esta es la puerta de la equivalencia, porque si os fijáis en la tabla veréis que comprueba si A y B son iguales.

A	B	XNOR
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Finalmente, la puerta NAND es la combinación de NOT y AND:

A	B	NAND
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Bueno, ¿y esto qué tiene que ver con el álgebra de circuitos? Porque mucho decir que es continuación del álgebra de circuitos, pero hasta ahora solo lo hemos tratado como una cosa independiente. Pues tiene que ver porque hasta ahora estas puertas lógicas que hemos visto son solo un concepto abstracto, que vive en el mundo de las ideas de Platón. ¿Cómo trasladamos esas puertas ideales a componentes físicos con los que construir un ordenador?

El cómo lo hagamos depende de la tecnología que empleemos, pero hoy en día casi siempre es con interruptores, como los que vimos en el capítulo III, dedicado al álgebra de circuitos.

Pero antes… vaya… antes aún vamos a dar un paso intermedio. Vamos a definir primero un interruptor ideal controlado por una señal. Bueno, mejor dicho, vamos a definir dos:^[6]

El interruptor de la izquierda, cuando recibe un 1 por la patilla de control, cierra el circuito (es decir, deja pasar la corriente); y cuando recibe un 0, lo abre. El de la derecha funciona exactamente al revés: cierra el circuito cuando recibe un 0 y lo abre cuando recibe un 1. Y ahora combinamos esos interruptores para conformar las puertas que hemos definido. Por ejemplo, veamos cómo es una puerta AND construida con estos interruptores:

Si lo pensamos un poco, vemos que este circuito cumple la tabla de la puerta AND: si alguna de las entradas A ó B es un 0, la parte superior del circuito está abierta, por lo que el 1 nunca llega hasta la salida, mientras que al menos uno de los interruptores de la parte de abajo lleva el 0 hasta la salida. Solo si ambas entradas son un 1 se cierra la parte superior y se abre la inferior, llevando el 1 hasta la salida.

De forma similar podemos construir todas las demás puertas lógicas (aunque no vamos a verlas… hacedlo mentalmente o en los comentarios si queréis).

Así que ya solo nos queda definir qué son el 0 y el 1 y cómo son esos interruptores. De nuevo, eso depende de la tecnología que estemos usando, pero es muy habitual decir que el 1 son 5V y el 0 son 0V (eso se llama “lógica TTL”). En otras tecnologías se usan +12/-12V, 3.3/0 ó cosas así.

Para los interruptores, la tecnología más antigua que conozco se basa en relés.^[7]. Un relé es una cosa muy tonta: un electroimán que cierra o abre un circuito. Veamos el dibujo:

El muelle mantiene el circuito abierto por defecto. Cuando en las patillas de control metemos por ejemplo 5V, circula un montón de corriente por ahí, produciendo un electroimán que atrae al metal del interruptor, cerrando el circuito. Ingenioso.

La tecnología es muy sencilla, fácil de fabricar, y se conoce desde que se conoce el electromagnetismo. La desventaja principal es que se basa en el movimiento de componentes físicos muy grandes, que tardan un montón en moverse. Cuando empieza a circular corriente por la bobina de control, empieza a atraer al interruptor para cerrarlo… pero ese cierre tarda unos cuantos milisegundos. Puede parecer que unos pocos milisegundos es muy poco tiempo, pero piensa en que el ordenador que tienes delante funciona probablemente a un par de GHz… 2 mil millones de conmutaciones por segundo. O más. Es decir, que cada conmutación debe tardar menos de medio nanosegundo… decididamente, unos pocos milisegundos es muuuuuucho tiempo. Y eso por no hablar del precio.

Eso no impidió que se construyeran ordenadores con esta tecnología. Eran ordenadores primitivos, lentos… pero vaya, ordenadores al fin y al cabo. Como curiosidad, para los que se dediquen a la programación, parece ser que el término bug proviene de que con esta tecnología los bichos (insectos, arañas, cosas así) se metían físicamente entre los contactos (bug es bicho en inglés) e impedían que los terminales hicieran contacto… y por lo tanto debugar era ir con insecticida y pinza a quitar físicamente los bichos del circuito.

También de esta época es la palabra hacker. Al parecer, si un relé pasaba mucho tiempo en una determinada posición, sus terminales se empezaban a oxidar y ya no se movían. Así que unos expertos iban a darle un golpe a la máquina, un onomatopéyico hack!, en donde lo necesitaba, para despegarlos (hack en inglés es algo así como “hachazo”).

Válvula de vacío (RJB1, cc-by-sa)

Con el tiempo vinieron los conmutadores de válvulas. No conozco en detalle el principio físico de las válvulas, pero las más comunes de ellas se basan en que, cuando pasa corriente por los terminales de control, sube la temperatura, aumentando la cantidad de electrones libres, lo que permite el paso de corriente entre las bornas del interruptor (¿algún físico en la sala que pueda ampliar la información?). También pueden usarse como amplificadores, aprovechando la parte de su curva de comportamiento en que hay una relación lineal entre entrada y salida.

Su principal desventaja, además del precio, es el tamaño.^[8] Aunque muchos melómanos siguen diciendo que los amplificadores de válvulas dan un sonido mucho más fiel al original que los de transistores (aunque con mi oído patatero soy incapaz de diferenciarlo),^[9] cuando se usan como conmutadores no les conozco ninguna ventaja frente a los transistores…

Y con esto, finalmente, llegamos a los transistores.

Distintos tipos de transistores... en encapsulados estandarizados (http://www.automation-drive.com)

Si el principio de funcionamiento de las válvulas era complicado, el de los transistores no te digo nada (a ver si alguien recoge el guante…). Al parecer, existen compuestos (típicamente de silicio con pequeñas cantidades de otros elementos, aunque se pueden usar otros, como el germanio) que no se pueden catalogar simplemente como conductores o aislantes… sino que, a pesar de que por defecto son aislantes, dependiendo de si por uno de los lados se les mete más o menos voltaje (o corriente, depende), empiezan a conducir (se les llama precisamente semiconductores). Uhm… ¿eso no es básicamente nuestro interruptor controlado por tensión?

Transistor bipolar NPN y PNP

El comportamiento detallado de un transistor (sus ecuaciones) depende del tipo que sea (bipolar, JFET, MOSFET…), pero cualitativamente podríamos describirlo así:

• Si la tensión entre Base y Emisor es muy pequeña, no circula corriente entre Colector y Emisor (es decir, son un interruptor abierto) . A esto se le llama zona de corte.
• Si la tensión entre Base y Emisor es muy grande, no solo circula corriente entre Colector y Emisor, sino que es virtualmente un cortocircuito, un interruptor cerrado. A esto se le llama zona de saturación.
• Si no es ni muy pequeña ni muy grande, la corriente que circula por el Colector es proporcional a la corriente que circula por la Base. A esto se le llama zona lineal.

Lo que hemos descrito es un transistor bipolar NPN. El PNP funciona igual, pero cambiando los signos de las tensiones y corrientes… la flecha da una pista de cómo circula la corriente. Los transistores JFET y MOSFET, aunque siguen ecuaciones distintas, y con nombres distintos, son cualitativamente parecidos.

Cuando estamos usando un transistor para hacer un amplificador, se utiliza la zona lineal, mientras que si lo que estamos haciendo es un interruptor controlable, se usan las zonas de saturación y corte… pues bien, podemos aprovechar eso para fabricar nuestros circuitos digitales.

Las ventajas de los transistores son muchas: pequeño tamaño (estamos hablando de nanómetros), pequeño consumo, muy baratos (aunque el proceso de fabricación es complicado, mucho más que el de un relé, está muy trillado ya en la industria), velocidades de conmutación asombrosamente altas (en electrónica de consumo estamos acostumbrados, por ejemplo, a microprocesadores que van a varios GHz… y eso es solo la electrónica de consumo).

La única desventaja que se me ocurre de los transistores frente a los relés es que en general estos soportan más corriente y más voltaje. Además… parece que empezamos a encontrar el límite. Parece que estamos haciendo ya transistores muy pequeños, en los que los “microcomponentes”^[10] de los transistores  se mide en “unos pocos átomos”, y en esas situaciones empezamos a chocar con la cuántica, el “efecto túnel” deja de ser despreciable y ya no está tan claro que podamos hablar de “circuitos abiertos” o “circuitos cerrados” y toda esa terminología electrónica.

Antes de despedirnos, una última salvedad: aquí hemos usado continuamente el término “digital” para referirnos a 1s y 0s, es decir, lógica digital binaria. Obviamente es posible otra lógica digital que no sea binaria, sino ternaria, cuaternaria… Esa lógica ya no es un álgebra de Boole, pero es matemáticamente posible (aunque poco usada, ya que no sé si hay alguna situación no-binaria que no pueda resolverse con un uso ingenioso de la lógica binaria).

Y con esto nos despedimos. Hemos repasado las tecnologías involucradas de las puertas lógicas hacia abajo, hacia la física (por supuesto, solo un análisis cualitativo; una fabricación real es bastante más complicada). Otro día quizá, aprovechando otro púlpito, introduzcamos un poco lo que hay desde las puertas lógicas hacia arriba, hasta llegar al ordenador que tienes en tus manos.

Fue un placer.

1. En la vida privada sí, pero es que soy muy friki.
2. Forma Normal Disyuntiva
3. Forma Normal Conjuntiva
4. Tiene que ver con la distribución física de las distintas bandas de dopaje sobre el silicio.
5. Se dice que el conjunto {AND, OR, NOT} es un conjunto completo (aunque no es el único que lo es) porque cualquier otro conjunto de puertas se puede representar con combinaciones de AND, OR y NOT… pero si realmente necesitabas esta nota es que necesitabas un texto un poco más profundo.
6. Existen tecnologías que utilizan un componente más, un atenuador o debilitador, pero se usa poco, así que no lo vamos a explicar. Una vez más, si necesitabas esta salvedad, es que necesitabas algo más que este artículo.
7. Bueno, existieron maquinas, basadas en piezas mecánicas o tuberías de agua que intentan ¡y consiguen! cosas parecidas. Existen desde hace ¡siglos!, pero no pasan de ser juguetes ingeniosos.
8. Macluskey, que ya va para anciano, vio la tele por primera vez en un aparato de válvulas, a fines de los cincuenta. Las válvulas, un par de docenas o así, eran casi más grandes que la pantalla, que no sería de más de doce pulgadas… Cuando las válvulas se fundían, entonces llamabas a un técnico que venía con su soldador y cambiaba la fundida por otra nueva y ¡hala!, unos meses más de tele.
9. Tiene que ver con que el comportamiento de las válvula es más lineal que el de los transistores.
10. Por llamarlos de algún modo… técnicamente, nos referimos al “tamaño de la puerta”… pero otra vez, si necesitabas eso, no necesitas este artículo.

Sirva en mi descargo que nos hemos estado preparando para ello, pues hasta ahora hemos visto cómo es el álgebra de Boole con su Forma Normal Disyuntiva, luego entramos en la base del álgebra de Circuitos, y por fin, en el artículo anterior vimos el álgebra de Conjuntos desde la óptica del álgebra de Boole… pero ya con una cierta aplicación a la resolución de problemas lógicos, lo que muchos de vosotros llamaríais “Acertijos”, como el ínclito e incombustible “¿Cómo se llama el maquinista?”, que os dejé de regalo en el capítulo anterior de la serie. Espero que su resolución no os haya destruido muchas neuronas.

José Cuena Bartolomé controlando una pantalla (1987).

Como sabéis, porque lo he dicho en cada capítulo, en realidad estoy siguiendo mis emborronados apuntes de la asignatura de “Metodología” de Segundo de Informática, curso 1973-74, impartido por José Cuena Bartolomé, desgraciadamente fallecido en 1999, uno de los mejores profesores que he tenido en mi vida.

Supongo que os habréis dado cuenta del método didáctico seguido por Pepe Cuena para desasnarnos en estas lides…

Empezó por la base teórica, el álgebra de Boole, luego nos explicó aplicaciones de la misma a problemas distintos (los circuitos eléctricos, los conjuntos), para llegar al cálculo proposicional… Iba paulatinamente definiendo los ladrillitos con los que se construirían los edificios cada vez más altos de la Lógica. No daba nada por sentado, sino que definía las cosas de lo particular a lo general…

Al final del artículo incluiré unos párrafos explicando todo esto de forma más detallada, para que no os perdáis en lo que sigue. Leedlo y podréis seguir lo que queda de serie con facilidad… espero.

.

En fin, a estas alturas del curso (debía ser enero o febrero de 1974), Don José nos dijo que ya estaba bien de holgazanear, que ya iba siendo hora de entrar en materia, lógicamente, con la Lógica de verdad… y eso haremos en este capítulo dedicado al Cálculo Proposicional. Sigamos el razonamiento y las explicaciones de Don José…

Si estamos hablando de Cálculo Proposicional, es decir, Cálculo de Proposiciones, lo primero que habrá que definir es qué es para nosotros una Proposición: Una frase a la que podemos atribuir, sin el menor asomo de duda, un valor de Verdad o de Falsedad.

Atención: “Podemos atribuir” no indica que tengamos que saber exactamente si la frase es verdadera o falsa en un contexto, sino que tenemos los medios para saberlo. Por ejemplo, la frase “Está lloviendo” es una proposición a la que podemos asignar sin duda alguna un valor de verdad o falsedad… una vez que hayamos mirado por la ventana.^[1]

Entonces, frases del estilo “La frase que está Vd. leyendo es falsa” no es una proposición, pues no podemos asignarle un valor de verdad ni de falsedad ni de nada de nada, salvo quizá acordarnos amablemente de los ancestros del autor de la frase. En una palabra, el cálculo proposicional no es pertinente para tratar frases de esas tan comunes que cualquiera calificaría de “Verdades a Medias” o de “Medias Mentiras”, que para el caso es lo mismo. No es, por lo tanto, una herramienta adecuada para analizar frases y afirmaciones de políticos, economistas, abogados… Si lo hacemos llegaremos continuamente a contradicciones y sinsentidos, así que mejor dejar el análisis de sus afirmaciones a avezados analistas y tertulianos varios, aunque me dé la sensación de que acertarían más leyendo los posos del té… En fin, dejemos este espinoso tema para esos avezados analistas y tertulianos que nos siguen, y centrémonos en el cálculo de proposiciones, de ésas de las que con todo rigor podemos estar seguros si son verdaderas o falsas…

.

Naturalmente, podemos unir varias proposiciones elementales (del estilo de “Llueve”, “Soy agricultor” o “La Tierra se mueve”) en una proposición compuesta, para lo que tenemos que unirlas mediante nexos. Estos nexos posibles son ni más ni menos que las conjunciones copulativas y/o las disyuntivas. En una palabra, mediante las conjunciones Y y O. Y también podemos negarlas (“No llueve”), mediante la partícula NO.^[2]

Podemos decir, por tanto, que “Llueve Y NO me mojo”, o que “Llueve O me mojo”. En este último caso, y que quede claro de aquí para siempre jamás, decir “Llueve O me mojo” quiere en realidad decir “Llueve O me mojo O ambas cosas”.

Si lo que queremos decir es que “O bien Llueve, o bien Me mojo, pero no simultáneamente”, cosa que en el cálculo proposicional y en la vida real es perfectamente posible, veremos más adelante que eso se trata de un “O lógico exclusivo”, y no de un “O“ normal. Lo digo porque en el lenguaje cotidiano se usa muchas veces el “O” con sentido exclusivo, y todo el mundo lo entiende así. Por ejemplo, si alguien nos pregunta “¿Adónde quieres cenar, en un chino o en un italiano?”, o bien “¿Dónde quieres que vayamos hoy, al cine o al teatro?”, prácticamente todo el mundo entiende que ambas opciones son exclusivas: si vamos al cine queda descartado el teatro y viceversa, y si vamos al italiano, el chino se queda hoy sin algunos clientes… Si a cualquiera de esas preguntas contestas “¡A ambos sitios!” lo más normal es que quien pregunta se quede sorprendido… no espera tal contestación (e incluso puede ser directamente imposible, si ambas actividades son a la misma hora).

Repito para que quede claro, cristalino: En cálculo proposicional, el “O” implica siempre, siempre, “Uno u Otro o Ambos a la vez”. Siempre.

Veamos, pues, usando la ínclita Forma Normal Disyuntiva, que para algo la expliqué hace un tiempo, cómo se comportan estas proposiciones compuestas (aquí, obviamente, V significa “Verdadero” y F, “Falso”):

A estas tablas tan monas se les denomina, de forma no muy imaginativa pero ciertamente descriptiva, “Tablas de Verdad”, y serán muy importantes en todo lo que sigue.

Tablas de Verdad. Anotarlo en algún rinconcito del cerebro para que no se olvide…

.

También podemos negar una proposición, dando origen a una proposición nueva, como “No llueve”, que será verdadera cuando “Llueve” sea falsa y viceversa. Entonces la tabla de verdad de una negación sería algo tan tonto como:

En jerga “cálculoproposicionalística”, las proposiciones genéricas que se usan en las fórmulas no suelen designarse con x, y, z… como es habitual en casi todas las ramas de la Matemática, sino más bien con p, q, r…. Además, en lugar de “Y”, “O” o “NO”, se usan los símbolos siguientes: , para el “y”,  para el “o”, y  para el “no”, aunque también se puede usar el símbolo  para denotar la negación; de ambas formas podéis encontrarlo, aunque yo usaré normalmente el signo .

Además, y ya puestos, podemos cambiar la representación de los propios valores posibles, asignando un “1” al valor Verdadero y un “0” al valor “Falso”. En realidad no hemos cambiado nada, tan sólo la forma de escribirlo… Sabiendo esto, podemos reescribir las tablas anteriores de la forma siguiente:

¿De acuerdo? Obviamente, si tenemos varias proposiciones (frases) mezcladas con “o” e “y”, algunas de ellas negadas y otras no, por muy complicada que sea la frase, siempre podemos conocer el valor de verdad de la proposición completa en base a la explotación de la correspondiente tabla de verdad. Muy útiles, las tablas de verdad, como veis.

Por ejemplo, sea la proposición , de la que queremos establecer su tabla de verdad en función de los valores de las proposiciones elementales p, q y r. Para facilitarnos la vida, usaremos algunas variables intermedias: llamaremos s al resultado de la proposición (ahora la fórmula original será , y luego llamaremos t al resultado de .

Construyendo la tabla de verdad paso a paso (tabla que, debido a que son tres las variables, tendrá ocho posibles combinaciones de valores, como supongo os habéis dado cuenta),^[3] llegamos a los valores de verdad resultantes:

NOTA: Podemos obtener con toda sencillez la fórmula equivalente en Forma Normal Disyuntiva de dicha fórmula simplemente explotando la Tabla de Verdad, creo que se ve claro mirando dicha tabla de verdad, ¿no es cierto?

Si queremos, por fin, conocer la tabla de verdad del O lógico exclusivo (lo denominaré por hacerlo de alguna forma; así al menos es como se identifica el XOR en el diseño de puertas lógicas)^[4] al que antes hice referencia (donde es cierta una proposición u otra, pero no ambas a la vez), no es ni más ni menos que la siguiente:

Y su fórmula resultante (en Forma Normal Disyuntiva) será .

.

Bueno, pues ahora sólo queda pensar un poco acerca de la naturaleza íntima de las proposiciones y las operaciones que las afectan… Mmmmm… veamos qué tenemos…

Un conjunto de elementos que pueden admitir sólo dos valores (0, 1), y dos operaciones cerradas que operan sobre ellos ()… Mmmmm… Esto me suena. ¿No será esto, por una casualidad, un álgebra de Boole?

.

Vamos a comprobarlo, y para ello habrá que verificar si todo este sistema cumple los axiomas de Huntington (1904). En el primer capítulo de la serie conté cuáles eran estos axiomas. Id allí si queréis refrescarlos.

Habría que comprobar, sucesivamente, si las operaciones “Y” y “O” referidas a proposiciones que pueden ser Verdaderas o Falsas exclusivamente (ya sabéis, eso de las “Verdades a Medias” no funciona muy bien en Cálculo Proposicional) cumplen los cuatro axiomas. No voy a detallar paso a paso las demostraciones, dejando al lector, si lo desea, probar los axiomas uno a uno, demostrando si se cumplen o no. Para ello utilizará seguramente las correspondientes tablas de verdad que tan útiles son…

Uno: ¿Son las operaciones “Y” y “O” conmutativas? Pues sí, lo son. Intuitivamente, parece que igual da decir “Llueve o Me mojo” que “Me mojo o Llueve”…

Dos: ¿Tienen las operaciones un elemento neutro? Evidentemente. El valor “Falso” (0) es el elemento neutro del “O” (“Llueve O Cualquier Cosa Falsa”^[5] es equivalente a “Llueve”, pues tiene su misma tabla de verdad), mientras que el valor “Verdadero” (1) es el elemento neutro del “Y” (“Llueve Y Cualquier Cosa Verdadera”^[6] es equivalente a “Llueve”, pues también tiene su misma tabla de verdad).

Tres: ¿Cumplen las operaciones la propiedad distributiva? Esto es menos evidente, pero si construís las tablas de verdad, veréis que, efectivamente, se cumple a rajatabla la propiedad distributiva, tanto del “Y” respecto del “O”, como del “O” respecto del “Y”.

Cuatro: ¿Tiene cada elemento un complementario? Esto sí que es sencillo: al haber sólo dos valores posibles, es sencillo ver que “Verdadero” es el complementario (el contrario) de “Falso”, y viceversa.^[7][8][9]

Por lo tanto, Señoras y Señores, el cálculo proposicional es un álgebra de Boole. Y yastá.

Todos los artilugios, teoremas y procedimientos que funcionan para un álgebra de Boole funcionan también en Cálculo Proposicional. Hala! Ya sabemos bucear entre Verdades y Mentiras…

.

Ya os podéis imaginar que todo esto es vital para poder diseñar y escribir programas eficientemente.

Efectivamente, todo aquél que haya escrito un  programa en su vida (y eso incluye haber metido alguna fórmula medianamente compleja en una hoja electrónica) ha tenido que lidiar con el famoso “IF“. El “Si” condicional que gobierna el flujo de los programas.

Muchas veces sirve escribir el if consultando una única proposición. Por ejemplo, en un cajero automático: Si el saldo de la cuenta es menor que el dinero que el cliente desea llevarse, denegar la operación. Fácil

Pero es muy normal tener que lidiar con proposiciones complejas que hay que evaluar para decidir por dónde debe seguir el programa…

Verbigracia:  Si el cliente es nuevo y tiene una marca de captación mayor de 7, o, siendo antiguo, tiene un saldo superior a x Euros y no tiene ninguna marca de “Cliente especial” siempre que el director de la sucursal no le haya calificado como de tipo 1 ó 3, o bien el director de la regional le haya calificado como de tipo 6, pero no de tipo 9, y además está como titular en una cuenta en la que alguno de los otros titulares sea un cliente preferente… entonces le concedemos el préstamo.

(!!)^[10]

Estaréis pensando… ¡qué condiciones tan retorcidas se ha sacado de la manga el Macluskey…! Pues no, amigos, no. Cosas mucho más complicadas todavía he tenido que escribir a lo largo de mi vida profesional… Y lo peor no es que esa condición sea alambicada, no: lo peor es que ¡Hay que programarla!, es decir, hay que escribir un programa que refleje fielmente esa condición de negocio. Y no sólo tiene que reflejar con fidelidad la condición de negocio, sino que tiene que hacerlo de la manera más simple y eficaz posible. Es más, de éstas habrá muchas, pero muchas, en cualquier Sistema que se precie…

¿Os dais cuenta ahora de lo importante que resulta conocer el Cálculo Proposicional para poder hacer esto correctamente?

La de programas que han fallado miserablemente por no tener correctamente programado el “if” correspondiente… Es, con gran diferencia, el principal motivo de fallo de los programas de todas partes: un if mal programado.

El Funcionamiento de una Alarma

El verbo “IF” es el usado universalmente para designar la instrucción condicional; luego, según el lenguaje de programación usado, se escriben de una forma u otra tanto las comparaciones que forman las proposiciones individuales^[11] como las uniones entre ellas: Y (que casi siempre se pone en inglés: AND), O (lo mismo: OR) o NO (NOT),.

En Cobol, por ejemplo, se usan en inglés tal cual (AND, OR, NOT), lo mismo que en otros muchos lenguajes, como en SQL, pero en C, por ejemplo, igual que en Java o en PHP, se usa && para el Y, || para el O y ! para el NOT,^[12] y en Excel, versión española, se usa O(a,b,…), Y(a,b,…) y NO(a), y así.

Obviamente, la misma explicación sirve para las condiciones de terminación de los bucles DO-UNTIL o DO-WHILE, así que me ahorro seguir.

Y hoy en día hay muchísimos componentes y mecanismos industriales (como la alarma que funciona según el diagrama de la derecha) que tienen empotrado un software… un software casi siempre llenito de IF’s…

Bueno, pues ahora ya sabéis que, como todo esto es un álgebra de Boole, puedes aplicar todas sus reglas (que son las mismas del Cálculo Proposicional) para simplificar el contenido del if, o bien usar su FND para tratar de comprender uno que ya está programado.

Como bien dice J, “Ay, si me hubieran dado un mísero euro por cada vez que me he encontrado un if kilométrico^[13] que siempre era “true” (verdadero) o siempre era “false” (falso, claro),  o bien que se podía simplificar a uno mucho más sencillo“…

.

Ya para acabar, dije antes que, como el Cálculo Proposicional forma un álgebra de Boole,  ya sabemos bucear entre Verdades y Mentiras… pero no. No del todo.

Los humanos somos tan raros hablando y formulando frases, que hay que profundizar un poco más para poder usar esta herramienta en proposiciones formales. Pero eso lo iremos viendo en siguientes capítulos, que éste va quedando largo. Para empezar, hablaremos de la implicación lógica, la dichosa y a priori tan poco comprendida implicación lógica. A ver si, antes simplista que incomprensible, consigo explicarme y que se entienda tan “enrevesada” cosa, y por qué es como es y no de otra manera… Siento el suspense, pero no queda otra que esperar hasta el siguiente capítulo de “Eso que llamamos Lógica”, próximamente en sus pantallas…

.

NOTA IMPORTANTE

… para poder seguir el resto de la serie sin perderse.

Dije al principio del artículo que el método seguido por José Cuena para enseñarnos Lógica, dentro de su asignatura de “Metodología”, se basaba en introducir poco a poco los conceptos teóricos de lo particular a lo general, de tal modo que cada concepto explicado tuviera siempre otros conceptos en los que asentarse. En un símil del mundo de la construcción, primero definía cómo hacer un ladrillo, luego cómo construir una pared con ladrillos, luego cómo construir una habitación a base de paredes, una casa a base de habitaciones, una urbanización a base de casas…

Este método se denomina en la jerga informática “bottom-up“, de abajo arriba, de lo particular a lo general, en contraposición al método “top-down“, de arriba abajo, que funciona exactamente al revés: de lo general a lo particular. Ambos métodos funcionan, claro, pero bajo mi modestísimo punto de vista, en la enseñanza de cualquier tipo de temario se debe preferir el método “bottom-up”. Por ejemplo, antes de enseñar al niño a leer palabras completas se le enseña a leer letras individuales, y antes de leer frases, se le enseña a leer palabras. Y antes de enseñar a multiplicar, se enseña a sumar…

Todo esto puede parecer evidente, obvio, casi de Perogrullo. Pero resulta que, para lo que viene a continuación, para la exposición de los intríngulis de la Lógica, este sistema “bottom-up” puede resultar contraproducente, puede dificultar la comprensión de lo expuesto en cada momento. No es que falte nada, que no falta, está todo, todo, pero… no sé cómo decirlo, descolocado, desordenado… al menos desde cierto punto de vista.

Me he dado cuenta de ello, poco a poco, en los intensos debates^[14] que hemos mantenido Pedro, J y yo durante la revisión de los artículos de la serie. Ellos ponían pegas, porque no entendían ni las explicaciones ni los ejemplos, no porque estuvieran mal, sino porque les faltaban cosas obvias para ellos que yo (o sea, Pepe Cuena) estaba pasando por alto… Luego, al revisar el siguiente artículo, decían: “Ah!, claro, es que lo que yo echaba en falta en el artículo x, lo explicas luego en el artículo x+1, o en el x+2…“.

Disculpadme: No puedo ser mucho más preciso al respecto si no quiero destripar lo que queda de serie; sólo contaros que estos malosentendidos son debidos fundamentalmente, según mi entender, a la diferencia entre su formación (de J y de Pedro) y la mía: mientras su enorme formación es de corte marcadamente científico, la escasa mía es más bien de corte generalista: ellos echaban en falta, necesitaban para entender bien los conceptos que las cosas se expusieran de un modo diferente, mejor, en un orden diferente al que se exponen en la serie. Y hasta aquí puedo leer…

En fin, tras todos estos intensos intercambios, he modificado sustancialmente los artículos para, sin perder esa orientación “bottom-up” ni destripar nada de lo que quede ni usar nada que no haya sido explicado, ir dando al lector las armas para ir siguiendo la explicación y que no se pierda en disquisiciones que serán resueltas más adelante.

O sea: no voy a dar por sentado nada. Nada de nada. Voy a ir avanzando pasito a pasito por el proceloso mundo lógico hasta llegar a su glorioso final. Pero, por favor, creedme, ¡no os impacientéis! Cuando acabe la serie, todo lo necesario para razonar e inferir cosas a partir de otras estarán explicadas, desde lo particular a lo general, “bottom-up”. Nada faltará, el círculo estará cerrado, todo encajará.

Como si fuera una buena novela de suspense, por favor, seguid la exposición, aceptar las cosas como las iré contando y en el orden en que las iré contando, y el final seguro que os satisfará. Pero, permitidme que insista… ¡No   Os   Impacientéis!

.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Aunque hay veces que no sé yo… como decía un amigo mío sevillano, preguntado sobre el tiempo que hacía cierto día en Sevilla: “Llover, llover, lo que se dice llover… llueve. Pero llover, llover, lo que se dice llover… pues ¡no llueve! ¡Ah, qué maravillosa riqueza la del idioma español!
2. La conjunción NI, que es copulativa también, en realidad es la suma de NO y de Y, así que en realidad no es atómica.
3. Por ser 2 (estados) elevado a 3 (variables).
4. Su nombre “de guerra” es Exclusive Or, en inglés. Aunque en realidad todo el mundo se refiere a él por su abreviatura: XOR, que es como se llaman normalmente las instrucciones de ordenador que lo implementan.
5. Cualquier Cosa Falsa sería una proposición que resulte siempre falsa, como por ejemplo “Macluskey tiene menos de treinta años”… ¡quién los pillara!
6. Cualquier Cosa Verdadera sería una proposición que resulte siempre verdadera, como por ejemplo “Macluskey tiene más de treinta años.
7. Truco para descreídos: cuando hablé de circuitos eléctricos en el tercer capítulo de la serie, sí que demostré con santa paciencia todos y cada uno de los dichosos axiomas. Si vais allí y cambiáis “Cerrado” por “Verdadero”, y “Abierto” por “Falso”, y además cambiáis “En Serie” por “Y” y “En Paralelo” por “O”, pues ya lo tenéis todo demostrado.
8. Bueno, en realidad, lo que ocurre es que las estructuras matemáticas subyacentes a la Lógica Proposicional son las mismas que la de los Circuitos eléctricos.
9. … Uff ¿A ver si va a ser verdad que al final las máquinas dominarán el mundo…?
10. Con razón se conceden tan pocos préstamos.
11. En el ejemplo, Cliente Nuevo=SI; Marca de Captación>7; Saldo>X; Tipo de Cliente=1; etc, etc.
12. Que ya son ganas de molestar, con lo fácil que es lo de AND, OR, NOT…
13. Por supuesto, siempre escrito por otros, claro, faltaría más, no iba yo a hacerlo mal…
14. Y esta vez, cuando digo intensos, es que han sido intensos.

Dado su puesto de compositor de corte, donde dependía del favor de sus patrones para seguir subsistiendo, Boccherini tuvo al principio que “españolizar” un tanto sus maneras musicales italianas, al principio un poco forzado por la circunstancias, pero después fue abducido por la cultura y la música popular española, y así se convirtió de hecho en el máximo exponente de esa misma música española, o sea, la producida en España, de finales del Siglo XVIII.

Y una de esas obras tan españolas del toscano Boccherini es la obra de hoy: El Quinteto de Guitarra núm. 4 en re mayor, G448, conocido por su sobrenombre de “Fandango”.^[1]

Luigi Boccherini

Luigi Rodolfo Boccherini nació en Lucca, Toscana, en 1743, en una familia de artistas: su padre era músico, una hermana suya, bailarina, y su hermano, poeta y libretista para compositores como Salieri (sí, el malo de la peli “Amadeus”, cosa que en la vida real no era… malo, quiero decir) o Haydn. Luigi, en cambio, se interesó por el cello desde joven, y en principio fue conocido sobre todo como cellista. Formó parte de uno de los primeros cuartetos de cuerda estable de que se tiene noticia, interpretando obras de Haydn y también suyas, y fue saltando de ciudad en ciudad, de protector en protector y de mecenas en mecenas, buscándose la vida como todos los artistas de la época, hasta que en París conoce al embajador español en la Corte francesa, Joaquín Anastasio Pignatelli, que le convence para que se instale en Madrid, en la corte del rey Carlos III. Y a Madrid viaja a fines de 1768. Nunca dejaría España desde entonces.

Carlos III, hijo de Felipe V, fue rey de España de rebote a la muerte de su hermano Fernando VI. Fue un rey ilustrado e inteligente que había sido Rey de Nápoles antes que de España, y trajo a España un notable cambio de actitud. Cambió las finanzas, reformó las leyes (el Código Civil español de la actualidad es básicamente el de Carlos III), hizo grandes reformas en los trazados urbanos de las ciudades más importantes (en Madrid seguimos diciendo, doscientos cincuenta años después, que Carlos III ha sido el mejor alcalde de Madrid), y bajo su reinado tuvo un resurgimiento la cultura en general, aunque el rey no era, precisamente, muy amante de la música. En la Corte había ya una plantilla de músicos, muchos de ellos italianos importados desde la corte de Nápoles, que, a la llegada de Boccherini a Madrid, tomaron al músico de Lucca como un competidor más… o sea, mal.

El caso es que en 1769, con 26 años de edad, Luigi Boccherini, por casualidad, conoce al infante Luis Antonio de Borbón y Farnesio, el hermano menor del rey Carlos III, y al año siguiente es nombrado violonchelista y compositor de la capilla real del infante don Luis (virtuoso di camera e compositor di musica), con un sueldo, acorde con el puesto, de 30.000 reales, que era de los más altos de la corte, lo que indica la gran estima que don Luis le tenía, o lo buen músico que era, que es lo más lógico.

Comienza entonces la etapa de mayor producción musical del artista, sobre todo música de cámara (cuartetos y quintetos de cuerda, sobre todo), que es la música que le ha hecho famoso hoy en día.

En 1776 su protector, don Luis, contrae nupcias morganáticas^[2] con María Teresa de Vallabriga, y como consecuencia fue obligado a “retirarse” de la corte (palabra fina para decir “fue exiliado”). Tras un año dando tumbos por España, recala por fin en Arenas de San Pedro, pequeña población cerca de la Sierra de Gredos, en Ávila, a apenas ciento sesenta kilómetros de Madrid, pero para los efectos casi como si fuera en mitad del altiplano andino. Y a su “retiro” se llevó, naturalmente, a toda su corte, incluyendo a su orquesta y, claro está, a su director. Sin embargo, a pesar de su aislamiento durante siete u ocho años, Boccherini continuó en contacto con las casas editoriales más importantes, que dieron a conocer su música por toda Europa.

Curioso paralelismo con Joseph Haydn, que también pasó una buena porción de su vida aislado en el Palacio campestre de los Esterházy, en Esterháza. Hay que contar aquí que el gran auge de la música de cámara en la época, composiciones para tres, cuatro o cinco instrumentos de los que la mayoría, o todos, son de cuerda, fue la consecuencia de la educación standard del aristócrata standard del Siglo XVIII, dentro de la cual la música formaba parte importante. La gran mayoría de nobles eran amantes de la música, lo que estaba muy bien visto, y muchos de ellos eran intérpretes ellos mismos, por lo que la demanda de nuevas obras para que se interpretaran en los palacios, muchas veces por sus propios dueños, era incesante. Esto hacían los grandes editores, como Ignaz Pleyel, discípulo de Haydn y el editor parisino de Boccherini y de tantos otros: pagaban los manuscritos originales a los autores, los editaban y luego vendían las copias a las diferentes casas nobles para su interpretación en los salones de sus palacios.

Así siguieron las cosas para Luigi Boccherini, en un plácido e inspirado aburrimiento (en esta época compuso sus obras más brillantes), hasta que en 1785 falleció su esposa y, al poco tiempo, su patrón, don Luis. Así que Luigi tuvo que volver a Madrid con sus seis hijos, nuevamente a ganarse la vida, a buscarse un mecenas. Recordad que en la época clásica los músicos sólo podían ganarse bien la vida si encontraban un protector para el que trabajar: un duque, un infante, un rey, un arzobispo… sólo tras Beethoven fue posible que los músicos pudieran vivir de sus conciertos y vender su música al mejor postor. Boccherini consiguió dos nuevos mecenazgos que le permitieron sacar adelante a su familia, el de María Josefa Pimentel, marquesa de Benavente y duquesa de Osuna,^[3] y el del rey Federico Guillermo II de Prusia, gran amante de la artes y músico él mismo, en concreto cellista como el propio Boccherini, que le nombró compositor de Corte, pero sin imponerle la obligatoriedad de residir en Berlín.

.

Permitidme un pequeño off-topic, una curiosidad sobre el rey Carlos III y el abuelo de Federico Guillermo II de Prusia, también rey prusiano y con su mismo nombre: Federico Guillermo I de Prusia, apodado “El Rey Sargento”. Con ocasión de la boda de Carlos III con María Amalia de Sajonia, en 1738 (Carlos era por entonces Carlos VII de Nápoles, y María Amalia sólo tenía catorce años de edad), le regaló una pequeña marcha musical para pífanos y tambores, hay quien dice que compuesta por él mismo aunque no hay seguridad el respecto, conocida como la “Marcha de Granaderos”. A Carlos III le gustó, más por motivos sentimentales, por ser un regalo a su esposa, que musicales, y le gustaba oírla.

El matrimonio de Carlos y María Amalia era un matrimonio concertado, como casi todos los de la realeza, pero el caso es que se enamoraron perdidamente el uno de la otra y viceversa. Tras darle nada menos que trece hijos, de los que sólo siete llegaron a la edad adulta, Maria Amalia falleció en 1760, a los 36 años de edad, de tuberculosis. Carlos llegó a decir que “en 22 años de matrimonio, éste (su fallecimiento) es el único disgusto serio que me ha dado”.

A continuación podéis ver sendos retratos de los protagonistas de la historia: Carlos y Amalia.

A Carlos, la Marcha de Granaderos regalada por su tío político le recordaba siempre que la escuchaba a su querida difunta esposa,^[4] por lo que, para dar gusto al monarca, que para eso era monarca, se interpretaba cada vez que entraba o salía de Palacio… y de esta manera, de simple Marcha de Granaderos se convirtió en Marcha de Honor y, con el tiempo, en Marcha Real. En la actualidad es el himno nacional español, y ése es el motivo por el que es uno de los poquísimos himnos nacionales del mundo mundial que no tienen letra. Ninguna, pese a algunos loables esfuerzos para ponérsela.

Aún recuerdo, sonriéndome, las caras de los waterpolistas españoles cuando, tras ganar la medalla de oro en el Campeonato Mundial de Waterpolo de Fukuoka, Japón, en 2001, y tras la ceremonia de imposición de medallas, el locutor anunció por megafonía que “había un problema técnico con el sistema de reproducción de himnos”, y solicitaba amablemente, en inglés, claro, que “los propios jugadores entonaran el himno nacional”… Naturalmente, tras unos instantes de confusión (seguramente debido al endémico escaso conocimiento de la lengua de Shakespeare que tenemos los de aquí), los jugadores se arrancaron, entre visibles muestras de chufla y chirigota, con un “chunda-chunda-tachunda-chunda-chunda-chúuun….”.

Los educados y siempre protocolarios japoneses, lo mismo que los yugoslavos y rusos que compartían podio con los españoles, todos ellos se quedaron perplejos, y me imagino que todo aquel desconocedor de la circunstancia que vio aquello debió colegir que “estos españoles están locos”. Que también, pero esta vez había sus motivos.

Fin del off-topic. Volvamos a Boccherini…

.

Tras obtener estos dos nuevos patrocinios, Boccherini vivió tranquilo unos años, pero Federico Guillermo II falleció en 1797 dejando a Prusia en la bancarrota (de música sabía un rato, pero parece ser que dirigir un país no era exactamente lo suyo), y María Josefa de Benavente-Osuna dejó de ser su protectora de la noche a la mañana al año siguiente, por causas desconocidas, a lo que se unieron más desgracias personales (la muerte de su segunda esposa y de cuatro de sus seis hijos), por lo que pasó los últimos años de su vida en mala situación personal y económica, a pesar de contar durante un tiempo con el patrocinio de Lucien Bonaparte, embajador francés en la corte española.

Falleció en 1805, a los 62 años de edad. Fue enterrado en lo que es hoy la Basílica Pontificia de San Miguel, en la calle del Sacramento, en pleno barrio de los Austrias madrileño. Pero en 1927 Mussolini pidió a Miguel Primo de Rivera, a la sazón el dictador de España, retirar sus restos para ser enterrados en el panteón de hombres ilustres de su Lucca natal, donde permanecen desde entonces. Aún se puede leer en Madrid un rótulo conmemorativo de Luigi Boccherini en la casa donde vivió muchos años y donde murió, al principio de la Calle de Jesús y María, cerca de la Plaza de Tirso de Molina.

Quizá su obra más conocida sea su famoso Minuetto del Quinteto de Cuerdas, Op.11,5, muy utilizado en películas y series y tal^[5], y también la “Música Nocturna de las Calles de Madrid”, el Quinteto de Cuerda Op. 30,6.^[6]

Boccherini escribió una ingente cantidad de música, casi toda ella de cámara: 124 quintetos de cuerda, 90 cuartetos, 48 tríos… Aunque siguió en buena medida los modelos compositivos creados por Joseph Haydn para los cuartetos de cuerda, sin embargo, mientras que en la música de Haydn el cello prácticamente sólo tiene un papel acompañante, similar al continuo barroco, Boccherini dio en sus obras bastante más protagonismo al cello, pues él mismo era cellista, además un auténtico virtuoso de una maestría que pocas veces ha sido alcanzado con posterioridad, según cuentan las crónicas. En sus quintetos para dos violonchelos, forma compositiva que inventó, uno de los cellos es tratado prácticamente como un cello solista, por lo que están considerados como una suerte de concierto para cello y cuarteto de cuerda. También fue un innovador en cuanto a que fue él quien primero compuso quintetos de piano (piano y cuarteto de cuerda).

La música popular española le influyó bastante durante su prolongada estancia en España, y en muchas obras suyas se puede ver esta influencia. Por ejemplo, en sus Quintetos de Guitarra, una auténtica novedad (no sé de ningún otro Quinteto de Guitarra que no sea de Boccherini), que sólo se le hubiera podido ocurrir componer en un país donde la guitarra tiene tanta tradición como es España, pues sólo en España podía haber peticiones de tales obras.

Sin embargo, los quintetos de guitarra de Boccherini no son, por lo que se sabe, obras originales, sino que eran transcripciones de otras obras suyas para otros instrumentos que adaptó él mismo para guitarra. De los doce que compuso (de los que sólo han sobrevivido ocho hasta nuestros días), nueve provienen de quintetos de piano (para piano y cuarteto de cuerda) y los otros tres de otras obras suyas, como quintetos de flauta, para dos cellos, etc, y todos ellos conservan la misma tonalidad de la obra original.^[7] La causa de esa reescritura de la partitura de piano a guitarra tiene un origen muy noble… El Marqués de Benavente, esposo de su protectora la Duquesa de Osuna, era un consumado guitarrista. Y lo demás sigue la lógica habitual de la época: su patrón toca la guitarra, su patrón necesita obras para exhibir su habilidad ante sus cortesanos, ergo su músico protegido escribe obras para guitarra y para que su señor se luzca con ellas… en este caso ni siquiera escribió obras originales: tomó otras obras suyas y las transcribió, cambiando, por ejemplo, la parte de piano para el nuevo instrumento.

Un Quinteto de Guitarra es una composición de cámara escrita para un conjunto de cinco instrumentos, de los que cuatro de ellos son normalmente el típico cuarteto de cuerda (dos violines, una viola y un cello), y el otro es una guitarra. No es un concierto para guitarra y cuarteto de cuerda, es decir, la guitarra no tiene en general un papel preponderante en la obra, sino que es un instrumento más en la composición, que en ocasiones se trata como un instrumento puramente armónico y rítmico acompañando a la cuerda de arco, en ocasiones amalgamándose con las cuerdas para aportar su especial cualidad tímbrica, y en ocasiones, por fin, como instrumento puramente solista… Ahora bien, como en cualquier caso tiene una sonoridad completamente distinta del resto de instrumentos de cuerda frotada, la guitarra da bastante juego en el marco de la obra. Ahora lo veremos.

.

De los ocho Quintetos de Guitarra que han llegado intactos hasta nuestros días, los dos más conocidos son el número 9, “La Ritirata de Madrid”,^[8] y el número 4 “Fandango”. El resto son igualmente deliciosos, que los tengo todos en disco, pero vamos a escuchar precisamente el “Fandango”. Alguno había que elegir, y éste es especialmente bonito, pues su último movimiento es eso: un fandango que incluso necesita percusión (castañuelas, naturalmente, y sistro, una especie de antiquísima pandereta oriental) y en él se distinguen más de lo habitual esos rasgos españoles que tantas veces se encuentran en la música de Luigi Boccherini. Todos ellos fueron compuestos en algún momento de la década de los noventa del Siglo XVIII, pues en 1798, tras la pérdida del patrocinio de la Duquesa de Osuna, se los ofreció a su editor parisino, Pleyel, para su publicación. Se desconoce cuánto dinero le reportó, pero seguramente sería más bien poco.

El Quinteto “El Fandango” proviene originalmente de dos quintetos para dos cellos, donde uno de los cellos ha sido sustituido por la guitarra. Tiene tres movimientos y viene a durar en total unos diecisiete minutos. La versión que escucharemos es la de Pepe Romero a la guitarra con un Conjunto de músicos de la Academy of St. Martin in the Fields, en concreto Iona Brown y Malcolm Latchem, violines, Stephen Singles, viola, y Denis Vigay en el papel de Boccherini, digo… en el cello. Ah, y Tristan Fry a las castañuelas y el sistro, que no se me olvide. Quizá hubiera sido mejor ver a Pepe Romero y a sus compañeros divirtiéndose mientras tocan el fandango, pero, por una vez y sin que sirva de precedente, se trata de un video (en realidad son dos videos, pues la obra no cabe en uno solo) de fotos fijas de vistas del Madrid antiguo que es realmente maravilloso, o al menos a mí, madrileño de pura cepa (y de tercera o cuarta generación, que eso sí que es raro), me parece maravilloso. No es que tenga mucha calidad, claro, porque las fotos, de las que la más moderna debe ser de 1920 o así, son como son, en blanco y negro y conservadas de aquella manera, pero… ¡Ah, que delicia ver la Puerta del Sol, Cuatro Caminos, el Rastro, la Plaza de la Villa o la Plaza Mayor como estaban hace más de cien años!^[9] Además, tiene una buena calidad de sonido, y no hay problema alguno de partición, pues los dos primeros movimientos están en el primer video, y el tercero y último (que es el que propiamente contiene el fandango), en el segundo. En definitiva, una delicia de video, y una delicia de música, de la que poco hay que comentar. Es preciosa.

Veamos y oigamos ya el Quinteto de guitarra núm. 4, Fandango. He aquí el primer movimiento Pastoral:

Esta Pastoral, o pieza de temática pastoril o bucólica, muy de moda durante toda la época barroca y clásica, es un tema tranquilo y muy de virtuoso, donde la voz cantante la llevan los violines con sordina. La guitarra es casi siempre un acompañamiento del resto de instrumentos, aunque tiene también su parte solista, intercambiando papeles con violines, viola y cello.

Con los suaves acordes de la guitarra termina la pastoral en el minuto 4:35, y comienza el segundo movimiento, Allegro maestoso, en el que la guitarra apenas tiene papel solista, y en cambio lo tiene el cello, el omnipresente cello del virtuoso Boccherini. Aun llamándose Allegro maestoso, no es un movimiento tan majestuoso como podría parecer por el título. Es un movimiento amable, elegante, sencillo y muy lírico, muy “de Boccherini”, justamente famoso por la elegancia galante de sus composiciones.

El video termina, y para ver la conclusión del Quinteto, hay que cambiar de video. Veamos el tercer movimiento: Grave assai – Fandango:

Comienza con una introducción lenta (grave), con bastante protagonismo de la guitarra, introducción que se demora hasta el minuto 1:25, en que comienza el fandango propiamente dicho, con un evidente cambio de ritmo… y de alegría. Todo fandango que se precie se basa en las repeticiones del mismo tema, en lo que musicalmente se conoce como ostinato, y aquí no va a ser menos. Boccherini exige el uso de elementos de percusión (sistro y castañuelas) porque en los fandangos tradicionales eran parte indispensable de la música, para ayudar a marcar el ritmo de los danzantes, o sea, en puridad no es el Fandango un quinteto, sino un sexteto para guitarra y percusión… disfrutemos de la danza, precursora del fandango aflamencao que es hoy uno de los palos de ese españolísimo flamenco declarado recientemente Patrimonio de la Humanidad.

De momento, vemos que el protagonismo de la música la llevan los violines, con la guitarra marcando el ritmo, con rotundos rasgueos de tanto en cuando, pero en el minuto 2:30 se produce un precioso dúo de guitarra y cello, marca de la casa Boccherini… y así sigue el baile. Sobre el minuto 3:40 se producen cuatro espectaculares glissandos descendentes del cello, acompañados del repicar de la pandereta (el sistro) que merece la pena remarcar; sobre el minuto 4:40 hay un bello solo de guitarra seguido de otro de cello… Por fin en el minuto 5:30 se produce la primera intervención de la percusión tan española de las castañuelas, que ya no nos abandonarán con su repiqueteo hasta el final del fandango.

Y el fandango se acaba, y el video también. No sé qué me da más pena, si que se acabe la música o el video. Me traen tantos recuerdos las fotos…

.

No existen muchas grabaciones de los quintetos de guitarra de Boccherini, que yo sepa. La de Philips con los ocho quintetos conocidos, con el Academy of St. Martin in the Fields Ensemble y Pepe Romero, grabado entre 1978 y 1980, es quizá la primera grabación completa, y sigue siendo la referencia hoy en día. Hay algunas versiones más, y el placer de descubrirlas es una delicia… .

En Spotify sólo he encontrado una versión, para mí desconocida, del Drottningholm Baroque Ensemble y Jakob Lindberg, que también tiene allí subidos el resto de Quintetos de Guitarra, no sólo el Fandango, versión que no está nada mal. Esta versión es algo más lenta que la de Pepe Romero, tiene separados en dos cortes distintos el último movimiento, por una parte el “grave assai” y por otra el fandango propiamente dicho, donde se ahorran la pandereta, aunque no las castañuelas. Usa, además, una versión más larga del Fandango propiamente dicho, pues mientras que la versión que hemos oído en los videos dura unos seis minutos, aquí dura unos once y medio, maravilla que consiguen por el simple procedimiento de repetir prácticamente todo el fandango completo cuando llega a su final… mejor, más tiempo de disfrute. Sinceramente, desconozco quién está ejecutando la versión “original-original”, si Pepe Romero, la corta, o Jacob Lindberg, la larga. En cualquier caso, el enlace está aquí.

.

La especial sonoridad de la música de cámara, con tan pocos instrumentos en el escenario, permite distinguir muy bien la melodía de cada uno de ellos, cómo se complementan, cómo compiten unos contra otros…. Y como permite más libertad de expresión de cada participante que en una orquesta, resulta mas sutil, si se me permite la expresión, que la música sinfónica. Por eso es tan importante, en este caso, el directo. Ni el mejor stereo puede transmitir tanta sutileza.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. No hay enlace: no existe la entrada en ninguna Wikipedia, que yo haya encontrado.
2. Toma ya el palabro “morganático”: un enlace es morganático cuando se contrae entre dos personas de diferente rango social, por ejemplo un infante real con una plebeya, como era el caso, de tal modo que ninguno de los contrayentes cambia su rango social. Estaba muy, pero que muy mal visto… en la nobleza, por lo que era habitual que si un noble decidía esposar con una plebeya (o una noble con un plebeyo, tanto da) fuera ninguneado, expulsado, exiliado… Ahora ya no deben de pasar esas cosas, viendo cómo son los matrimonios de la realeza.
3. Los Duques de Osuna tenían en la época casi tanto poder y posesiones como la mismísima Corona… aunque menos que los de Alba, claro.
4. De hecho, cómo sería su amor por ella que Carlos III, rey de España viudo y con apenas 44 años, nunca se volvió a casar, cosa bastante extraña dentro de la lógica del tradicional intercambio de cromos que se traían las monarquías en la época.
5. Aunque el Minuetto de Boccherini no era la sintonía de “Érase una vez el hombre”, como dice erróneamente la Wikipedia española: en realidad esa sintonía era el Septimino de Beethoven.
6. Que desde que se usó como parte de la banda sonora de la película “Master & Commander”, protagonizada por el hierático Russel Crowe, se hizo muy popular. ¿No la has visto? Pues ahórratela: es un pestiño.
7. “Blanco amarillento”, que dirían Les Luthiers…
8. Hace mención al toque de retreta en el Palacio Real de Madrid, toque diario de corneta que, tocado a la caída de la tarde, indica el fin del día militar.
9. O sea, casi, casi cuando nació el Macluskey, estaréis pensando, ¿no, malpensados? Pues no, os equivocáis. Soy viejo, pero no tanto. Cuando nací ya había agua corriente en casa y todo, que lo sepáis.

Así que seguiré con la asignatura de Metodología de Segundo de Carrera, impartida por Don José Cuena Bartolomé en el Instituto de Informática (antes de que se convirtiera en Facultad), allá por finales del año 1973 o principios de 1974…

Entonces, tras contar teoría sobre al álgebra de Boole y de su inmediata aplicación a los Circuitos Eléctricos, Pepe Cuena entró a destripar la Teoría de Conjuntos (ésa que conocíamos malamente del Bachillerato, con sus diagramas de Venn y todo eso), pero con una orientación bastante diferente de la que habíamos visto, con una orientación muy… lógica, si se me permite la expresión. Enseguida veréis por qué digo esto…

Los conjuntos, definidos de la forma clásica, es decir, todos aquellos grupos de elementos dentro del “Conjunto Universal” que son factibles de agruparse por cualquier criterio, más las operaciones Union (+) e Intersección (·)^[2] forman un álgebra de Boole, eso es algo bastante claro. De hecho, fue este conocimiento (al que llegamos tras horas de frustrantes especulaciones, como conté en el primer artículo de la serie) el que nos libró de ser ingresados en un frenopático cuando nos enfrentamos por vez primera con el álgebra de Boole, así que lo dábamos por descontado.

Dos conjuntos típicos en un Diagrama de Venn

Para los que tengáis un poco oxidados los conjuntos, aquí tenéis un par de ellos para vuestro uso y disfrute, A (azul) y B (rojo), inmersos en un “Conjunto Universal” verde que te quiero verde…

La intersección entre A y B es la parte gris rayada; la unión entre A y B es… lo que no es verde; el complementario de A es lo que le falta para ser el Universal, es decir, lo que no es azul (y el complementario de B, lo que no es rojo), etc, etc. Para fijar ideas, suponer, por ejemplo, que el conjunto A son “los rubios” y el conjunto B, “los que tienen más de cincuenta años“, y rápidamente podéis poner cara y ojos a cada uno de los grupitos que aparecen en el dibujo…

También os acordaréis de que un conjunto puede contener a otro. Por ejemplo, el conjunto de los europeos contiene al conjunto de los españoles, y a su vez el conjunto de los españoles está contenido en el conjunto de los europeos, y decimos que “los españoles” son un subconjunto de “los europeos”… Hasta aquí no creo que haya descubierto nada nuevo.

Entremos, pues, en materia:

.

Es evidente que, lidiando con conjuntos:

1- Las dos operaciones (+,·, es decir, Unión e Intersección) son conmutativas.

2- Existe un elemento neutro para cada operación: el Conjunto Vacío, o 0, para la unión (+) y el Conjunto Universal, o 1, para la intersección (·).

3- Ambas operaciones cumplen la propiedad distributiva respecto de la otra ( A·(B+C) = A·B+A·C; y A+(B·C) = (A+B)·(A+C) ).

4- Todo Conjunto A tiene su complementario A’ tal que A+A’=1 y A·A’=0, es decir, el Conjunto A’ es el Universal menos el propio conjunto A.

Así que no queda la menor duda de que los conjuntos, con la Unión y la Intersección, forman un álgebra de Boole.

.

En teoría de conjuntos, una cierta información aplicada a un cierto conjunto permite determinar un subconjunto de él. Por ejemplo, si tenemos el conjunto de todas las ovejas de un rebaño, aplicando una cierta información, un cierto atributo de ellas (el de ser negras, por ejemplo) define un subconjunto del anterior, el que forman las ovejas negras del rebaño, o sea, aquellas ovejas que, perteneciendo al rebaño, son negras, es decir, aquellas ovejas en las que se cumple que la frase “ser negra” es verdadera.^[3]

Como no todas las ovejas del rebaño son negras (o sí, quién sabe, pero en principio esto es irrelevante), se define la relación “Estar contenido en” () por la que denotamos que todos los elementos de un determinado conjunto pertenecen también a otro conjunto de rango superior. Así, el conjunto de las ovejas negras de un rebaño está contenido en el conjunto de todas las ovejas del rebaño. No hay mucha ciencia en esto…

Estrictamente, un conjunto A es contenido por uno B () cuando todos los elementos de A están también en B, pero el conjunto B puede tener más elementos que no estén contenidos en A… o no, en cuyo caso A y B serían iguales (). En este caso, tanto A contiene a B como B contiene a A.

Si os acordáis del segundo artículo de la serie (dedicado sobre todo a definir la Forma Normal Disyuntiva), comenzaba explicando en él qué era la relación “ser menor o igual que”: (que se definía como ), y cómo esta relación “menor o igual que” definía en un álgebra de Boole una relación de orden parcial. Pues bien, tratándose de conjuntos, la relación “es contenido por” es equivalente a la relación , y, por tanto, es también de orden parcial.

Como consecuencia, sólo queda decir que es lo mismo que decir que . O sea, en español corriente, que si un conjunto A está contenido en otro conjunto B, entonces la intersección de A con el complementario de B es el conjunto vacío.

Y… no pongáis caras raras, que es evidente. Echad una ojeada al siguiente dibujo (que ya salió antes en la serie), y lo entenderéis.

Una Relación de orden en Conjuntos

Si A está contenido en B, entonces la intersección de A (la zona azul) con el complementario de B (B’, o sea, la zona gris) es el conjunto vacío, pues no comparten ni un solo elemento… Fácil.

.

Bien, con esto, ya tenemos todo lo que necesitamos para operar con conjuntos. Porque al saber que el álgebra de conjuntos es un álgebra de Boole, sabemos que en la relación de orden se cumple la propiedad transitiva, es decir, si y , entonces … y eso nos lleva probablemente a entender de una forma nueva^[4] las implicaciones de la teoría de conjuntos… Veamos un ejemplo.

Supongamos que tenemos una serie de afirmaciones que se suponen ciertas referidas a un cierto entorno, un país, pueblo… o a toda la humanidad, tanto da:

1 – Un hombre que no es feliz no es dueño de sí mismo.

2 – Todo hombre casado tiene responsabilidades.

3 – Todo hombre, o bien está casado o es dueño de sí mismo o ambas cosas.

4 – Ningún hombre con responsabilidades puede pescar todos los días.

¿Qué podemos decir de esta comunidad de vecinos, aplicando lo que sabemos de teoría de conjuntos y del álgebra de Boole?

.

En primer lugar, consideramos como Conjunto Universal el que engloba a todos los hombres de ese entorno al que se refiere el enunciado (país, ciudad, continente…) y definimos luego una serie de conjuntos (todos ellos obviamente contenidos en ese Conjunto Universal) que definimos según la propiedad o propiedades definidas por las frases. En una palabra, cada afirmación está definiendo de forma implícita un subconjunto del Conjunto Universal… y estos subconjuntos son los siguientes (en todos los casos, x representa a un hombre perteneciente al Conjunto Universal):

Conjunto F: x es feliz.

Conjunto D: x es dueño de sí mismo.

Conjunto C: x está casado.

Conjunto R: x tiene responsabilidades.

Conjunto P: x puede pescar todos los días.

Si no supiéramos nada más, si no conociéramos las relaciones entre estos subconjuntos, esto podríamos representarlo, grosso modo, de la siguiente manera (siendo el conjunto H de todos los hombres, el Universal):

Posibles Conjuntos y Subconjuntos de H

Cualquier representación sería factible, claro. Pero es que en realidad sí que tenemos información adicional que nos ayuda a establecer determinadas relaciones entre esos conjuntos… veamos cómo:

1 – Un hombre que no es feliz no es dueño de sí mismo: Esta frase podemos expresarla como que el conjunto de de los “no felices” está contenido en el conjunto de los “no dueños de sí mismos”, y lo representamos como , pero también como , pues al complementar ambos términos de la ecuación cambia el signo de la relación, o sea, el orden.

Traduciendo esta afirmación, , al español corriente, lo que significa es que el conjunto de los Dueños de sí mismos está contenido en el de los Felices, es decir, los dueños de sí mismos son felices, cosa implícita en la frase del enunciado (de hecho es, estrictamente, la misma frase, pues contiene la misma información), pero que no es, ni mucho menos, tan evidente.

Si os acordáis del segundo artículo de la serie, cuando entonces . Pues esa propiedad es la que hemos usado aquí para “dar la vuelta a la tortilla” a la frase.

Por tanto, de la imagen genérica que teníamos antes, ya podemos decir algo más sobre este par de conjuntos en particular. A continuación, una representación de estos dos conjuntos (subconjuntos del Universal H, en realidad) tal como son uno respecto del otro: F contiene a D.

Los Felices y los Dueños de sí mismos.

Sigamos con el resto de enunciados:

2 – Todo hombre casado tiene responsabilidades. Es decir: , pero también , por la misma razón que antes.

3 – Todo hombre, o bien está casado o es dueño de sí mismo o ambas cosas. En una palabra:, pues la unión entre los conjuntos C (los casados) y D (los dueños de sí mismos) abarca a todos los hombres. Por lo tanto, siendo H el universal, podemos reescribir la ecuación como … o , que, como sabéis, es lo mismo.^[5]

Sí, es así, es lógico: si C y D cubren conjuntamente todo el Universal, el H, podemos decir que todos los hombres (elementos del conjunto universal) pueden estar en una de estas tres situaciones, y sólo en una: pertenecen a C, pero no a D; pertenecen a D, pero no a C; o bien pertenecen simultáneamente a C y a D. No hay nadie que esté en C’·D’. El siguiente diagrama lo ilustra, siendo la parte marcada en turquesa la intersección de ambos conjuntos C y D.

Los Casados y los Dueños de Sí mismos.

Luego la intersección de los complementarios de cada conjunto (C’ y D’) es el conjunto vacío. ¿Sí?

Bien, entonces tenemos que . Si recordamos la definición de la relación de orden parcial “Es Contenido” (), sabíamos que . Luego el hecho de que sea quiere decir, simultáneamente, dos cosas:

Una: que . Dos: que .

No os hagáis cruces, que es algo evidente: si lo hacemos ahora al revés, vemos que la relación implica que . Pero también la relación implica que , que es lo mismo. Luego ambas relaciones de inclusión son válidas. Echad un ojo al diagrama de más arriba para entenderlo, si aún os quedan dudas.

Por tanto, el tercer enunciado podemos descomponerlo en dos ecuaciones independientes: y (que, por cierto, son cada una de ellas la complementación de la otra).

4 – Ningún hombre con responsabilidades puede pescar todos los días. Es decir:  (los que tienen responsabilidades son un subconjunto de los que no pescan cada día), y también  (los que pescan cada día no tienen responsabilidades).

Si ahora empezamos a ir tomando los enunciados, y aplicando la propiedad transitiva inherente a la relación de orden , tenemos que:

De (4) y  (2), tenemos que : Los que pescan no están casados.

De la anterior y  (3), tenemos que : Los que pescan son dueños de sí mismos.

De la anterior y (1), tenemos que : Los que pescan son felices.

Bueno, ¡tampoco es tanta sorpresa!

Con todo este conocimiento podríamos representar todos estos conjuntos, por ejemplo, mediante la imagen siguiente:

Configuración final de los diversos conjuntos

Donde los que pescan son el grupo amarillo que, ni están casados, ni tienen responsabilidades, pero sí que son dueños de sí mismos y felices; el grupo de los que tienen responsabilidades son todos los casados más el grupito azul claro, que sí son dueños de sí mismos y, por tanto, felices, pero no están casados. El grupo de los felices son todos los dueños de si mismos más la franja roja (están casados, y no son dueños de sí mismos)… en fin, creo que es suficiente.

.

Igual esta ristra de ecuaciones os ha dejado temblando… porque he hecho una serie de conversiones y operaciones que quizá os hayan sorprendido, puesto que estamos hablando de casados, de gente que pesca y de los que son felices o no, y no estamos acostumbrados en absoluto a pensar en conjuntos de personas en términos algebraicos. Y llega entonces el tándem Cuena-Macluskey y se lía a poner ecuación tras ecuación…

Lo que he hecho han sido, en realidad, tres pasos, a saber:

Primero: He convertido los enunciados del problema a ecuaciones algebraicas (de álgebra de Boole, pero algebraicas, al fin).

Segundo: He operado con las ecuaciones, simplificado, etc, aplicando las reglas que conocemos para el álgebra correspondiente hasta llegar a un resultado (o varios parciales, tanto da).

Tercero: He “traducido” el resultado o resultados parciales nuevamente a lenguaje cotidiano: Los que pescan son felices, por ejemplo. Hala.

Y todo esto es una forma de proceder bastante extraña.

.

¡Un momento! ¿Seguro que ésta es una forma extraña de proceder? ¿Seguro? Pongamos otro problema diferente:

“Pepito tiene diez caramelos. Le da tres a su hermana. ¿Cuántos caramelos tiene ahora Pepito?“.

¿Qué hacemos para resolver este singular y dificilísimo problema de Quinto de Carrera?

Primero: Convertimos el enunciado del problema a ecuaciones algebraicas (de álgebra numérica “normal”). Decimos que , siendo x el número de caramelos de Pepito antes de la dádiva a su hermana, y que , siendo y el número de caramelos que le quedan a Pepito al final y 3, los caramelos que intervienen en la transacción.

Segundo: Operamos con las ecuaciones, simplificando, etc, hasta llegar a un resultado (o varios parciales, tanto da). Aquí, diremos que . El resultado final buscado es .

Tercero: Traducimos el resultado nuevamente a lenguaje cotidiano. Los caramelos que le quedan a Pepito son 7. Hala.

Luego… ¿Qué he hecho yo en el problema de los felices y los casados que no pescan que sea distinto a lo que hacemos normalmente para resolver problemas de cualquier tipo…? Nada. Nada de nada. Únicamente he usado álgebra de Boole en lugar de la “normal”, pero el método utilizado es ni más ni menos que el de toda la vida.

Espero que esta diatriba os haya tranquilizado. Un poco, al menos.

.

Llegados a este punto en el que ya no estamos seguros de que si somos felices es porque pescamos o que si nos casamos es porque no sabemos lo que hacemos, vamos a hablar de las ecuaciones booleanas y las cosas que les pasan que son de utilidad para nosotros.

En primer lugar, cualquier ecuación puede reducirse a una equivalente en que el segundo miembro es nulo.^[6] Así, se reduce simplemente a , es obvio, pero ¿qué hacemos con la igualdad, ?

Pues es, simultáneamente, y . La primera da origen a que , mientras que la segunda da origen a que .

Sumamos miembro a miembro, y tenemos que .

O sea, podemos sustituir por .

Además, y como acabamos de observar, podemos reducir cualquier sistema de ecuaciones booleanas a un única ecuación (lo acabamos de hacer, de hecho, en el ejemplo). Si tenemos un par de ecuaciones del tipo y (como acabamos de ver, toda ecuación puede reducirse a una igualdad con el segundo miembro igual a cero), podemos concluir que .

Por si quedan dudas, tomamos la primera ecuación, , y sumamos la identidad a cada miembro, lo que nos deja . Pero B es cero, así que .

Por cierto, el sistema es dual, como casi todo en álgebra de Boole: si las ecuaciones fueran y , entonces podríamos reducirlas a .

Este procedimiento puede generalizarse para cualquier número de ecuaciones, por lo que es evidente que efectivamente es posible reducir cualquier sistema de ecuaciones booleanas a una única ecuación.

Lo que sí puede ocurrir es que un sistema de ecuaciones booleanas sea inconsistente, es decir, que no haya ningún valor posible de sus variables que cumpla todas las restricciones. Esto se puede ver fácilmente al reducir el sistema de ecuaciones original a una sola ecuación y luego aplicar reducciones… por ejemplo, el sistema de estas tres ecuaciones es inconsistente: ; ; . No voy a decir por qué, para no estropearos el placer de descubrirlo vosotros mismos…

Y si os quedáis con ganitas de más, intentad demostrar si es inconsistente o no el sistema de tres ecuaciones booleanas siguiente: ; ; .

.

Sigrid de Thule: el amor platónico del Capitán Trueno

Veamos ahora un ejemplo muy característico, en forma de acertijo de tipo de los que podéis encontrar en los dominicales, debajo del crucigrama y al lado del Sudoku. Dice así:

“Del mítico reino de Thule no se sabe nada… ha estado sumido en la bruma del misterio años y años. Y más años. De hecho, sólo se sabe que su princesa Sigrid era el gran amor (platónico, desde luego) del Capitán Trueno cuyos tebeos^[7] tanto leí en mi infancia…

“Pero cuatro thulianos, de turismo en un barco, naufragan frente a las costas de Galicia y, antes de perecer ahogados, dan alguna información sobre el reino de Thule. Esto es lo que cuentan:

“El náufrago número 1 dice que “En el reino de Thule todo el mundo que lleva pluma roja, o está casado o tiene perro o ambas cosas”, y a continuación expira con expresión beatífica.

“El náufrago número 2 asegura que “En el reino de Thule no hay ningún casado que no lleve pluma roja, a menos que sea brujo”, e inmediatamente fallece plácidamente.

“El náufrago número 3 afirma que “Todos los thulianos propietarios de perro que llevan pluma roja están casados”, y muere tranquilamente al instante.

“Por fin, el náufrago número 4, entre estertores, asevera que “No hay brujos en Thule”, y exhala su último suspiro con una sonrisa en su faz.

“¿Qué información nos han dado, en realidad, los cuatro náufragos?”

¿?

No, no me preguntéis por qué razón cuatro honrados y felices ciudadanos del mismísimo y misterioso reino de Thule, en su última hora, dan una información tan idiota. Es lo que tienen los acertijos booleanos…

Vamos con las ecuaciones que descifran los cuatro mensajes, teniendo en cuenta que los conjuntos básicos que aparecen en las declaraciones de los thulianos son:

R: x lleva una pluma roja.

P: x es propietario de un perro.

C: x está casado.

B: x es brujo.

1 – En el reino de Thule todo el mundo que lleva pluma roja, o está casado o tiene perro o ambas cosas, que se representa como , o sea, , o sea, (por la Ley de De Morgan).

2 – En el reino de Thule no hay ningún casado que no lleve pluma roja, a menos que sea brujo, lo que se representa como , es decir, .

3 – Todos los thulianos propietarios de perro que llevan pluma roja están casados, que se representa como , o lo que es lo mismo, .

4 – No hay brujos en Thule, que se representa (y ésta sí que es fácil) como .

.

Espero que, hasta aquí, no haya habido problema para entender de dónde salen estas ecuaciones.

Ahora sumamos todos los primeros miembros y los segundos, que obviamente darán 0, y tenemos que: .

Ahora se trata de simplificar un poco, a ver qué sale. Reordenando:

Ahora, los dos términos centrales podemos sustituirlos por , dado que sabemos que y por consiguiente y entonces . Por tanto, reordenando, queda:

;  sacando factor común (por la propiedad distributiva) , queda:

, y como , queda finalmente:

.

Ahora, en base a los términos de la ecuación, e igualando a cero cada uno de ellos (todos ellos son cero; si no, recordad, no podrían sumar cero)^[8] calculamos las relaciones “contenido por” (). Como , podemos inferir que:

, luego ; por otra parte , luego ; y por fin, .

De las dos primeras deducimos que C contiene a R, pero también que R contiene a C… ergo . Así que podemos por fin informar a nuestros superiores que:

, es decir, traduciendo de nuevo al lenguaje cotidiano, todos los casados de Thule y sólo los casados llevan pluma roja, y

, o sea, no hay brujos en Thule. Ésta es, en definitiva, la información obtenida de los cuatro náufragos.

Supongo que os habéis dado cuenta de que, dado que una de las premisas es que “no hay Brujos en Thule“, es decir, , bien podía haber eliminado de antemano esa B de las ecuaciones donde aparece sumando, puesto que vale 0… Sí. Podía haberlo hecho, pero si no lo he eliminado ha sido para realizar la demostración en su caso general. En cualquier caso, podéis rehacer, si queréis, el razonamiento eliminando donde proceda ese B que es 0… y os dará exactamente lo mismo. Al menos, debería dar lo mismo.

.

¿Dolor de cabeza? Psé, tampoco es para tanto, de veras. Si os han quedado ganas de más, ahí va un clásico, que no voy a resolver para no estropear el disfrute:

“En un tren viajan tres empleados de ferrocarriles, el jefe de tren, el maquinista y el camarero, de nombres White, Black y Brown, aunque no necesariamente en ese orden, y viajan también tres viajeros que tienen los mismos nombres, White, Black y Brown. Tenemos además los siguientes datos sobre ellos:

“El viajero Black vive en Washington, pero el camarero vive a mitad de camino entre Washington y New York, mientras que el viajero que se llama igual que el camarero vive en New York. El viajero Brown gana doscientos mil dólares justos al año. El empleado de ferrocarriles de nombre White gana siempre al ajedrez al jefe del tren. Uno de los viajeros es vecino del camarero y gana exactamente, hasta el último céntimo, el triple que él.

Y la pregunta es… ¿Cómo se llama el maquinista?”^[9]

.

Hasta aquí esta visión de la teoría de conjuntos con un poco de… lógica. En el próximo episodio de la serie entraré, de una santa vez, de la mano de Don José, en el Cálculo Proposicional. Pero… antes simplista que incomprensible, ¡eh! Hasta la próxima.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Se suponía en aquellos lejanos tiempos que igual nos tendríamos que dedicar al diseño de hardware, así que se contaban todas estas cosas; en la realidad, el 95% o más de nosotros nos dedicamos al software.
2. Aviso: Usaré siempre + y · en vez de y .
3. Ovejas negras: la intersección entre “las ovejas” y “las cosas que son negras”… o algo así.
4. Bueno, igual no.
5. Aplicando la Ley de De Morgan.
6. No sólo en las ecuaciones booleanas; es obvio que en las algebraicas “normales” también.
7. Aún no sabíamos que se llamaban comics.
8. En álgebra de Boole, para que una suma de términos a+b+…c dé 0 es necesario que cada uno de los sumandos, a, b…c, sea 0, es decir, el conjunto vacío si hablamos de Conjuntos. Obviamente esto no es ni mucho menos cierto en álgebra numérica “normal”, pero sí en la de Boole.
9. Aunque yo conozco el acertijo desde hace más de cuarenta años, incluso mucho antes de estudiar lógica, es relativamente fácil encontrar el acertijo y su solución en la Red. No lo hagáis: con un poquito de paciencia se resuelve bien, y es muy agradecido de resolver… ¡y siempre podéis torturar a algún amigo o pariente con el dichoso maquinista!

En el primero de ellos escuchamos un concierto arreglado al estilo de uno de los principales compositores del barroco: Georg Friedrich Händel, en el segundo, otro concierto arreglado al estilo de Antonio Vivaldi, y en el tercero, otro más, arreglado según los dictados del insigne Johann Sebastian Bach… Cada uno estaba arreglado para una plantilla orquestal diferente, pero recordaban mucho en el estilo a los citados compositores… mérito de Peter Breiner.

En el artículo de hoy escucharemos un concierto grosso arreglado al estilo del Arcangelo Corelli, otro de los grandes compositores del barroco e inventor del formato de “Concerto Grosso”, donde muchos instrumentos tienen su propia parte solista, a diferencia del otro tipo básico de concierto barroco: el “Concerto per soli”, escrito para el lucimiento de un determinado instrumento, y donde el resto de intérpretes se limitan a acompañar y resaltar la melodía principal a cargo del solista, tipo de concierto del que Vivaldi fue el máximo exponente.

En este caso el concierto contiene cuatro movimientos (los anteriores tenían cinco o seis; los conciertos barrocos suelen tener un mínimo de tres movimientos y un máximo de seis), y está arreglado para orquesta de cuerda, esta vez con mayor preponderancia de la cuerda grave y numerosas intervenciones solistas del cello, lo que le da un aire más “profundo” que, por ejemplo, los otros conciertos al estilo de Vivaldi o al de Bach, que al tener como solistas a violín o flauta, resultan más “brillantes”, al ser sus notas preponderantes más agudas…

Los Beatles en la portada del álbum Abbey Road

Nuevamente, y para no perder la costumbre en la miniserie, éste será un artículo corto. Sobre The Beatles existen miles y miles de páginas web en todos los idiomas, y una ingente documentación fuera de la red…

En cuanto a Arcangello Corelli, sólo unas breves notas biográficas… al estilo de Les Luthiers: Nació; era el menor de sus hermanos… al menos cuando nació, lo era. Sus padres no quisieron que se dedicara a la música, aunque es posible que sí quisiesen que fuera músico… el caso es que lo fue, músico, quiero decir. Vivió los años suficientes como para componer toda su obra musical, y cuando la tuvo toda ella escrita, falleció.

En una palabra, que no voy a contar nada de Corelli, como tampoco conté nada de Bach, Vivaldi o Haendel; ya aparecerá el buen Arcangelo por acá más tarde o más temprano.

Así que vamos al grano, y vamos ya con el Concerto Grosso sobre temas de los Beatles a la manera de Corelli. El video tiene un buen sonido y de fondo, para variar, tiene diversas fotos de la banda de Liverpool a lo largo de su existencia, esos siete años escasos de éxitos que tanto influyeron en la música posterior.

Tampoco esta vez Peter Breiner ha etiquetado los cuatro movimientos del concierto con aquello de Allegro, Adagio, etc, pero no obstante iré comentando la función que cada canción, cada movimiento, tiene en la lógica invariable de los concertos grossos barrocos. Lo iremos viendo.

El Concierto comienza con una Ouverture, lo normal en un concierto barroco. Se trata de la canción Here comes the sun, una preciosa canción de The Beatles, o al menos es una de mis favoritas, compuesta en 1969 por… ¡George Harrison! y parte del álbum Abbey Road.

Por una vez, y casi sin que sirva de precedente, no se trata de una canción acreditada a Lennon-McCartney, pues todas las canciones compuestas por cualquiera de ellos dos, en solitario o en colaboración, eran acreditadas sistemáticamente a ambos, como coautores. Aunque George Harrison era el guitarrista líder (“lead guitar”) del grupo, y con ello bastante hacía, pues buena parte de la culpa del “sonido Beatles” era culpa suya, también hacía coros, fue voz solista de algunas canciones, como es el caso en esta canción, y compuso algunas, de las cuales la mejor y más famosa es justamente ésta: Aquí llega el sol. La otra es Something, por cierto. Una cosa curiosa es que en la grabación de Here comes the sun no interviene John Lennon, que se estaba recuperando de un accidente automovilístico: aquí los Beatles, por una vez, eran tres, y no cuatro. Pocos meses después no fueron ninguno en absoluto…

Observad los contrapuntos, muchos en canon, entre la cuerda grave (cellos y contrabajos) y el violín solista.

Sólo un minuto y treinta y cinco segundos dura la alegoría a la llegada del sol, momento en que comienza el siguiente movimiento: un Allegro sobre la canción Michelle, canción de 1965 compuesta mayormente por Paul McCartney a la salud de alguna novia francesa, aunque acreditada a Lennon-McCartney, como es costumbre con ellos dos, y que apareció en el álbum Rubber Soul.

El estribillo principal (en francés, que yo sepa la única canción de The Beatles que tiene parte de la letra en otro idioma que no sea inglés: ”Michelle, ma belle”, sont des mots qui vont très bien ensemble,^[1] , aunque aquí da igual, claro, pues no hay voz) entra una y otra vez en canon, ejecutado por diferentes grupos instrumentales… una delicia puramente barroca, y todo ello sin dejar de reconocer perfectamente las inspiradas notas originales…

El canto de amor a la bella francesita termina en el minuto 5:00, y da comienzo un nuevo movimiento, Good Night, configurado como un Adagio, canción compuesta por John Lennon y acreditada nuevamente a Lennon-McCartney, publicada en 1968 dentro del álbum The Beatles, álbum que, debido a su estúpido título y a que su portada era blanca, todo el mundo lo conocía como “El Blanco”, menuda sorpresa. Otra curiosidad: el vocalista de la canción era Ringo Starr, cosa muy rara porque cantando era casi casi tan malo como yo… Aquí podemos oír muy bien los contrapuntos típicos de Corelli y de la música barroca en general, es decir, las melodías alternativas que potencian la melodía principal, alternándose el cello solista con el violín en la melodía principal y el acompañamiento.

Y por fin, en el minuto 8:15 comienza un último Allegro molto, basado en la canción Carry that weight, de 1969, canción de Lennon-McCartney comprendida también en el álbum Abbey Road. Otra rareza, porque en ella cantan los cuatro, incluido Ringo… Una alegre canción y un alegre movimiento, con floreada instrumentación, sobre una alegre canción… con un trasfondo triste, pues fue de las últimas en grabarse por el cuarteto de Liverpool antes de su ruptura, y el propio título (“Soporta ese peso”) ha sido interpretado de muy distintas formas, especulando sobre quién sería quien debería “llevar el peso” de la inminente separación del grupo.

En definitiva, una canción muy adecuada para terminar el movimiento, el concierto y, con él, la miniserie dedicada a los Beatles y a cómo es posible arreglar sus melodías incluso en forma de concierto barroco… ¡Cosas veredes, amigo Sancho!, conocida frase que, a pesar de que Miguel de Cervantes no la escribió (ni parecida) en El Quijote, todos sabemos a qué se refiere, incluso… ¡estamos completamente seguros que es de El Quijote!

Y colorín, colorado, esta miniserie dedicada a los Concerti Grossi sobre canciones de los Beatles arregladas por Peter Breiner ha acabado. El próximo día la serie volverá a su aburrida tónica habitual, donde despellejaré cualquier obra sublime de cualquier sublime compositor, y a quien Dios se la dé, San Pedro se la bendiga…

Aquí tenéis el enlace al disco memorable “Beatles go Baroque” de Peter Breiner y su Orquesta de Cámara, editado por Naxos. Es un lujo, y bien baratito, como todo lo de Naxos. Y no, en Spotify no está… Mala suerte: habrá que comprarlo…

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. “Michelle, mi preciosa” son palabras que juntas quedan muy bien…

Como sabéis los seguidores habituales de la serie, uso para confeccionarla los apuntes de Lógica de mi Segundo de Carrera, allá por 1973-74, impartidos por D. José Cuena, Pepe para casi todo el mundo.

Sigamos esos apuntes.

Un interruptor eléctrico, y su diagrama

Nueva semana, nueva clase. Don José Cuena aparece con cinco minutos de retraso (¡Pardiez, es humano!) y comienza su clase, definiendo qué es un interruptor… un interruptor eléctrico. Bueno, no es que nos describiera físicamente dicho artilugio infernal (materiales, tamaños, tolerancias, etc), no, sino… para qué sirve.

Un interruptor es, definido de este modo, un artefacto eléctrico que sirve para dejar pasar la corriente en un circuito o para cortarla, según que esté en estado Cerrado o Abierto, respectivamente. Lo que mayormente conocemos como “la llave de la luz”, vaya.

Y un interruptor puede estar en dos posiciones, mediante el accionamiento del mecanismo, que lo pone bien en estado “A” (y la corriente se corta), bien en estado “C” (y la corriente sigue su curso).

O sea, mismamente una llave de la luz, sin ir más lejos.

Entonces, tras esta ingenua definición, comenzó Don José a modelizar cómo son los circuitos eléctricos, esos diabólicos engendros compuestos de cables e interruptores…

Veamos qué es lo que pasa. Qué es lo que pasó, en realidad.

En primer lugar, un determinado interruptor puede ser modelizado por una variable, digamos “x” por ser originales, que sólo puede adoptar dos valores, que denotaremos como x y x’, ya que el interruptor puede estar en uno u otro de los estados, pero no al mismo tiempo: Abierto(A)/Cerrado(C).

Por convención asignamos el valor 1 al estado Cerrado (pasa la corriente) y el valor 0 al estado Abierto (no pasa la corriente), aunque nada nos impediría hacerlo al revés. Asimismo, ambos estados son complementarios entre sí: lo contrario a Abierto es Cerrado, y viceversa.

Representando esto en una tabla, queda algo tan soso como:

En cuanto a cómo podemos conectar cables e interruptores, es decir, qué operaciones podemos realizar con ellos, hay dos maneras, y sólo dos:

En serie: Dos interruptores x e y están conectados en serie si están conectados uno a continuación del otro sobre la misma línea. La corriente sólo pasa a través del circuito si ambos interruptores están simultáneamente cerrados.

En paralelo: Dos interruptores x e y están conectados en paralelo si están conectados cada uno en un ramal de la línea, volviendo a unirse ambos inmediatamente después. La corriente pasa si cualquiera de los interruptores (o los dos) están cerrados.

El esquema de ambos casos es el siguiente:

Entonces, el esquema de funcionamiento puede establecerse mediante las siguientes tablas, recordando siempre que 0 significa Abierto y 1 significa Cerrado:^[1]

Es evidente por su comportamiento que podemos llamar “·” a la operación “conectar en serie” y “+” a la operación “conectar en paralelo”. A partir de este momento usaré esta notación: cuando ponga “+” significa “conectar en paralelo“, y cuando diga “·”, significa “conectar en serie“.

Ahora lo que corresponde es comprobar qué es el Conjunto (S,+,·) siendo S un conjunto de variables (interruptores) que admiten sólo dos valores (Abierto = 0 y Cerrado = 1, porque para algo son interruptores y sólo pueden estar en una de esas dos posiciones), y las operaciones “+,·”, las conexiones en paralelo y en serie, respectivamente.

Mmmm… ¿Formará acaso este Conjunto (S,+,·) una hermosa Álgebra de Boole? Para ello debería cumplir los cuatro axiomas de Huntington que vimos en el primer artículo de la serie, pero si lo fuera… no tendríamos que calcular nada más: todos los axiomas y hallazgos que hicimos para un Álgebra de Boole cualquiera servirían automáticamente para el cálculo de circuitos… Veamos, pues, qué pasa:

¿Serán, quizá, conmutativas las operaciones + y · ?

Si escribimos la tabla anterior como tabla de doble entrada, poniendo cada variable x,y una en abscisas y otra en ordenadas, tenemos:

Si nos fijamos bien, ambas tablas son simétricas respecto a la diagonal “ángulo superior izquierdo – ángulo inferior derecho”; podemos deducir, por tanto, que ambas son conmutativas, pues. Además, el sentido común nos dice que si tenemos dos interruptores a y b conectados en serie, es indiferente que esté físicamente antes el a o el b… el resultado es el mismo, pues sólo pasa la corriente si ambos están cerrados, y lo mismo, o mejor dicho, lo contrario, si están en paralelo.

Por tanto, cumplen con el axioma 1 del álgebra de Boole.

.

¿Existirán, quizás, elementos neutros para ambas operaciones + y ·? Estos elementos neutros serán 0, para la suma (conexión en paralelo) y 1, para la multiplicación (conexión en serie).

Dado un interruptor cualquiera, si le conectamos un interruptor Abierto (0) en paralelo (operación “+”), el resultado del circuito, si circula o no corriente por él, depende exclusivamente del estado (Abierto-0 o Cerrado-1) del interruptor original.

A su vez, dado un interruptor cualquiera, si le conectamos un interruptor Cerrado (1) en serie (operación “·”), el resultado del circuito, si circula o no corriente por él, depende exclusivamente del estado (Abierto-0 o Cerrado-1) del interruptor original (de hecho este último caso es equivalente a alargar el cable conectando un nuevo trozo al trozo original).

Una imagen que vale más que mil palabras:

En términos algebraicos, pues: x+0 = 0+x = x, por un lado, y x·1 = 1·x = x, por el otro.

Por tanto, existe un elemento neutro de cada operación, y se cumple también el Axioma 2 del álgebra de Boole. No va mal la cosa. Prosigamos.

.

¿Serán, por ventura, distributivas las operaciones + y · respecto de la otra?

Si nos acordamos,^[2] la propiedad distributiva de un álgebra de Boole obligaba a que se cumplieran las siguientes ecuaciones:

x·(y+z) = xy+xz, por un lado, y por el otro x+(yz) = (x+y)(x+z).

Para ver si, por ventura, se cumplen estas propiedades distributivas, construimos una tabla de valores, con la que comprobaremos si el circuito resultante tiene o no corriente al final.

Primero, para la distributiva de la multiplicación respecto de la suma:^[3]

Esta tabla la hemos construido, paso a paso, fijándonos siempre en si la corriente circula o no en cada uno de los 8 casos representados por la combinación de las tres primeras columnas.

El esquema de construcción es el siguiente:

La quinta columna, x·(y+z), muestra el resultado del circuito mostrado en el primer dibujo; mientras que la última columna, xy+xz, muestra el comportamiento del representado en el segundo dibujo. Ambos circuitos son perfectamente equivalentes, pues con cada posible posición de todos los interruptores, siempre que la corriente circula en el primer circuito, circula también en el segundo circuito, luego, como son equivalentes, cumplen esta propiedad.

Sólo queda comprobar la propiedad distributiva equivalente, es decir, si la propiedad distributiva de la suma respecto de la multiplicación se cumple también, y lo haremos de la misma forma, construyendo la correspondiente tabla de valores:

Esta tabla la hemos construido también paso a paso, fijándonos siempre en si la corriente circula o no en cada caso.

El esquema de construcción es el siguiente:

La quinta columna, x+(yz), muestra el resultado del circuito del primer dibujo, cuándo circula la corriente y cuándo no, mientras que la última columna, (x+y)(x+z), muestra el comportamiento del circuito del segundo dibujo. Idénticas.

Por tanto, podemos asegurar que en los circuitos se cumplen ambas propiedades distributivas, es decir, cumplen el axioma 3 del álgebra de Boole. Bien, bien, vamos bien… Sigamos con el axioma que nos queda.

.

¿Existirá, por una afortunada coincidencia, un elemento complementario para cada elemento de S, es decir, para cada conmutador?

Ésta sí que es fácil, pues refleja la característica más característica (valga la redundancia) de un interruptor: que puede estar abierto o cerrado… y nada más: no puede estar casi abierto y medio cerrado a la vez, al menos si no tenemos en consideración efectos cuánticos y demás… y en esta serie no hay cuántica que valga: para eso ya está la prodigiosa serie de Pedro en El Tamiz.

Y dado que un interruptor puede estar Abierto (0) o Cerrado (1), estados que, si al interruptor lo llamamos x, denominaremos x’ y x, respectivamente, por convención (es decir, un interruptor puede estar en estado x, cerrado, o x’, abierto), entonces cumplen que x+x’=1 y que x·x’=0.

Los siguientes dibujos representan ambas situaciones, donde se puede comprobar fácilmente el cumplimiento de ambas suposiciones.

En el primero, en serie, sea cual fuera el valor de x, Abierto o Cerrado, su complementario x’ tiene el valor contrario. Por tanto uno de los dos está siempre abierto… y como consecuencia no hay corriente en el final del circuito. Lo contrario pasa si están conectados en paralelo; uno de los dos estará necesariamente Cerrado, lo que garantiza que al final del circuito habrá siempre corriente.

Por lo tanto, los circuitos cumplen también el Axioma 4 del álgebra de Boole. Como éste postulado era el último que quedaba, eso quiere decir que los circuitos cumplen todos los axiomas del álgebra de Boole. ¡Prueba conseguida!

.

¿…Y entonces?

Pues que vamos a poder representar circuitos con funciones booleanas. Ni más, ni menos. Así que lo primero que haremos es denominar Álgebra de Circuitos a las operaciones que podemos hacer con circuitos, añadiendo o quitando interruptores… Y el álgebra de Circuitos es un álgebra de Boole, una vulgar y nada especial álgebra de Boole, un álgebra de Boole monda y lironda. Como consecuencia, todas las transformaciones, teoremas y cositas varias (como la Forma Normal Disyuntiva, mismamente, lo mismo que las Leyes de De Morgan y todo eso) que hemos encontrado y demostrado para el álgebra de Boole son inmediata y directamente aplicables al diseño de circuitos.

¡Casi nada! Ya habéis aprobado el primer curso de Electricista. Hala.^[4] Algunos electricistas me he topado yo a lo largo de mi vida que si tuvieran algún conocimiento de álgebra de Boole hubieran hecho mucho mejor su trabajo, porque ¡tengo cada chapuza de conexiones de cables en mi casa…! Por ejemplo, la luz del pasillo está simultáneamente conectada a dos diferenciales diferentes, (!!) o también, cuando se va una zona determinada, la de la cocina, porque salta el diferencial al enchufar la plancha, la lavadora y el horno a la vez, entonces el salón, que no tiene nada que ver en teoría, se queda a media luz… Misterios de las conexiones escondidas en tubos, cajas y empalmes. Escondidas, sí, pero mal hechas.

.

Volviendo a lo nuestro, Don José Cuena estuvo varios días dando vueltas a la teoría de Circuitos; viendo el método de Karnaugh, por ejemplo, para simplificar circuitos,^[5] método de reducción de funciones booleanas del que J nos ilustró su funcionamiento en el artículo anterior de la serie, y que Don José utilizó extensivamente para simplificar circuitos eléctricos, y después de eso, sobre Diseño de Circuitos.

No voy a entrar en detalle en esta parte, sin duda muy interesante,^[6] pero que se escapa del alcance de esta serie. No quiero entrar en conflicto con ningún sindicato de electricistas.

Sólo voy a poner un único ejemplo de cómo diseñar un circuito que probablemente sea de los más útiles en nuestras mansiones: cómo poner un foco, lámpara o simple bombilla desnuda regulada por dos conmutadores. Un conmutador es parecido a un interruptor,^[7] pero con dos salidas en vez de una; por lo tanto lo que hace en realidad es enviar (conmutar) la corriente por uno u otro camino, en vez de simplemente interrumpir o no la corriente. Su diagrama es el siguiente:

Fijaos que en realidad el conmutador no interrumpe nada,^[8] tan sólo deriva (conmuta) la corriente eléctrica por uno u otro cable, según que su mecanismo esté en una u otra posición. O sea, siempre tiene un lado abierto y el otro cerrado (salvo los nanosegundos en que el mecanismo en movimiento no está en contacto con ningún borne… pero vamos a obviar esto, ¿no os parece?).

Entonces lo que tenemos es una habitación normal y corriente en la que hay dos llaves de la luz (conmutadores en este caso), una en cada extremo de la habitación, y queremos que cualquiera de las llaves encienda/apague la luz independientemente de la posición de la otra, es decir, que si la luz está encendida, al accionar cualquier conmutador, se apague, y viceversa, si está apagada, que se encienda cuando accionemos cualquiera de los dos. Lo mismito que casi todos tenemos en el salón o el dormitorio, vaya.

Lo primero de todo es modelizar el comportamiento de nuestro sistema, teniendo en cuenta que llamaremos a los dos conmutadores x e y, para variar. Y para ello crearemos la tabla de estados, en la que modelizaremos nuestro sistema de dos conmutadores. Mediante la Forma Normal Disyuntiva, claro.

La tabla resultante es la siguiente:

El primer valor (un 1) lo ponemos arbitrariamente, pues en principio igual nos da que en este caso haya luz o no en la habitación.^[9] Lo importante es que, fijado este caso inicial, con una única pulsación sobre cualquier conmutador, la luz se apague, y una vez apagada, con una única pulsación sobre cualquier conmutador, la luz se encienda. Eso quiere decir que, desde el estado inicial (1,1), una única variación en cualquiera de los dos (0,1) ó (1,0), debe apagar la luz; mientras que a partir de cualquiera de estos dos estados, un único cambio en cualquier variable, o sea, una pulsación en cualquier conmutador, encienda la luz. Esos dos estados son el (1,1) original o el (0,0). ¿Se ve claro? Espero que sí.

Pues ahora podemos darnos cuenta de una pequeña sutileza: si sumamos (ojo: esta vez, y sin que sirva de precedente, utilizaremos una suma numérica normal, no booleana) los valores 0 ó 1 de cada fila, si la suma da un valor cero o par ( (1,1) suma 2, y (0,0) suma 0), el sistema debe estar encendido; mientras que si el resultado de la suma es impar ( (0,1), (1,0), que ambos suman 1), el sistema debe estar apagado. Interesante, ¿no?

Bien, ahora escribamos la función booleana que describe el sistema a partir de la tabla de funcionamiento, con lo que ya sabéis que se obtiene la Forma Normal Disyuntiva de dicha función booleana. La función “Bombilla encendida” se representa por la función f(x,y)=xy+x’y’. Es decir, ambos conmutadores tienen que estar o bien ambos “hacia arriba” o ambos “hacia abajo” para que la corriente transite por la bombilla y podamos leer algún buen libro… ¿Cómo se implementa esta función xy+x’y’ con los conmutadores? Fácil; mediante su conexión de la forma siguiente:

Si alguna vez abrís un conmutador que dé corriente a un circuito conmutado y le miráis las tripas, veréis siempre esos dos cables (que en España se suelen poner de color marrón, aunque tanto da) que van de uno a otro conmutador… he aquí la causa.

Y sabiendo esto, ahora podemos diseñar circuitos donde no haya dos conmutadores para encender/apagar un sistema, sino que haya tres, cuatro… Se crea la tabla de valores de todos los estados posibles de todos los conmutadores ( posibilidades), y se marca cuáles de ellos deben dar como resultado de la función “Apagado” (0) ó “Encendido” (1). Para no equivocarse al asignar valores, se puede uno ayudar por el truco de sumar todos los valores (con una suma numérica normal) y asegurarse que todos los valores impares tengan el mismo valor final (0 ó 1, igual da), y los valores pares o cero, el contrario. Este truco garantiza que desde cualquier posición, el cambio de una única variable (o sea, el accionamiento de un conmutador cualquiera) cambia el resultado de la suma en 1, en más o en menos, y eso cambia la paridad del resultado final, y por tanto, el valor Encendido/Apagado de nuestra bombilla.

Así que, si os viene en gana y queréis practicar, podéis diseñar cómo sería el circuito para tener tres conmutadores que gobiernen el encendido de una bombilla: uno en la entrada de la habitación, otro al lado de la cama y el tercero al lado de la mesita. No deberíais tener ningún problema en llegar a la función. Pero quizá sí lo tengáis al diseñar el circuito… necesitaréis de un nuevo mecanismo que llamaremos conmutador/cruzador, o conmutador de cruce, cuyo diagrama es el siguiente:

Circuito cruzador. Esquema y diagrama técnico.

Actualización (24/11/2011): El párrafo siguiente contenía un error. Clamoroso, por cierto. Lo he corregido para que quede correcto. Además, he actualizado el diagrama para hacerlo más completo y comprensible. Siento las molestias. Macluskey.

En una de sus posiciones, el conmutador-cruzador permite el paso directo de corriente, de a a c y de b a d, representado por las líneas continuas. En la otra, permite el paso cruzado de corriente de a a d y de b a c, representado por las líneas discontinuas. Para que no queden dudas, al lado tenéis un diagrama de cruzador obtenido del folleto técnico de una conocida marca comercial.

Es decir, este circuito deja siempre pasar la corriente que pudiera venir por cualquiera de las dos entradas, sólo cambia el modo de paso de la misma, dependiendo de su posición. Está diseñado para su uso conjunto con conmutadores “normales”, pues él sólo no se ve muy bien para qué puede valer… Ya sólo os queda diseñar el circuito.

.

Para terminar, uno de los problemas que nos puso Don José en el examen sobre circuitos, una o dos semanas antes de las navidades del 73… No es muy difícil, pero sí muy divertido. No voy a dar la solución para no chafaros el disfrute de hacerlo y aprender un poco más sobre circuitos eléctricos. Dice así:

“Pedro, J y Mac, como no tienen otra cosa que hacer, están jugando a cara o cruz con una moneda cada uno y un dispositivo eléctrico con tres botones, cada uno de ellos asociado a cada uno de los jugadores, que denominaremos p, j y m. Cada jugador lanza su moneda y pulsa el botón correspondiente si sale cara y no lo pulsa si sale cruz.

“Gana el juego el jugador que tenga un valor en su moneda distinto al de los otros dos. Por ejemplo, si Pedro tiene cara y J y Mac tienen cruz, gana Pedro. O si J tiene cruz y Pedro y Mac tienen cara, gana J. Si los tres valores son iguales, no gana nadie.

“Se pide diseñar un circuito con un origen (una toma única de corriente) y cuatro bombillas que se iluminan: la bombilla 1, si gana Pedro; la bombilla 2, si gana J; la bombilla 3, en el altamente improbable caso de que gane Mac; y, por fin, la bombilla 4 si no gana nadie.”

Que sepáis que aquél que logre resolverlo (no es tan difícil) no va a poder patentarlo… ¡Ya lo hice yo! Incluso me sirvió para aprobar el primer parcial de la asignatura.

.

Hasta aquí lo que voy a contar sobre circuitos eléctricos. En la red podéis encontrar mucho más y mejor que esta breve introducción. Pero no contado de esta manera, me temo.

Hasta la próxima, donde, una vez sentadas las bases, empezaré a hablar (Pepe Cuena empezará a hablar, mejor dicho), de una vez, de algo parecido a la Lógica. Entre tanto…

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Sí, evidentemente, ¡estamos usando la Forma Normal Disyuntiva! que vimos en el artículo anterior.
2. Y si no nos acordamos… ¡mal vamos!
3. ¡La FND, de nuevo!, que tendrá 8 filas, es decir, , dado que son tres variables: x,y,z.
4. Ahora sólo os queda aprender todas esas tonterías de la Ley de Ohm, los voltajes y los amperios y cuándo no conviene tocar con los deditos un cable pelado, pero eso, leyendo la Serie de Electricidad de Pedro en El Tamiz, es pan comido. O no.
5. Simplificar circuitos es útil cuando te dan un circuito embarullado, como los de mi casa sin ir más lejos, y tienes que buscar el circuito equivalente que haga lo mismo… Ojo, lo mismo, no lo correcto, que eso es otra cosa.
6. A mí me ha servido en muchas ocasiones ante el dilema de cómo conectar algún cacharro en casa.
7. De hecho, por fuera un conmutador es igualito que un interruptor.
8. Aunque bien se podría usar como mero interruptor, simplemente no conectando nada a una de las dos salidas; de hecho, la mayoría (aunque no todos) de los interruptores que se venden hoy en día son en realidad conmutadores en los que se deja una pata al aire… los ahorros en el proceso de fabricación, al tener que fabricar un solo cacharro en vez de dos, compensan de sobra el sobrecoste de tener más circuitería interna.
9. Salvo que seáis unos frikis como yo y os empeñéis en que cuando todos los interruptores o conmutadores de la casa están hacia abajo, esté toda la casa apagada… Eso permitiría dejar todas las luces apagadas incluso cuando no hubiera electricidad. En fin, cosas mías.

La reducción de Karnaugh es un método poco formal, pero muy ingenieril y astucioso, de buscar la manera de usar los mínimos términos posibles para definir una función lógica, y que además esos términos tengan los mínimos componentes posibles.

Para ello, empecemos por un ejemplo: supongamos que tenemos una función lógica F con dos entradas A y B; y que su definición, en Forma Normal Disyuntiva, es:

F= AB’ + A’B + A’B’

Pensando un poco podríamos llegar a darnos cuenta de que esa fórmula es bastante complicada, y que podríamos simplificarla a

F=A’+B’

¿Estáis de acuerdo en que son la misma función? Haced las tablas de estados de ambas funciones y veréis que es la misma.^[1]

…

¿Ya habéis vuelto?

¿Habéis necesitado hacer las tablas para verificar que son la misma función?

¿O quizá habéis utilizado el método algebraico para generar la FND de ambas funciones y comprobar que son la misma? En el fondo, ambas cosas son lo mismo.

Pero… ¿no parece que la FND es una cosa muy engorrosa? ¿No parece que tiene demasiados términos? Está bien, nos confirma que ambas funciones son la misma, pero además de eso a mí me gustaría que, si me dieran la primera función, fuera capaz de llegar a la segunda con facilidad, ¿no?

Y eso que esta función solo tiene dos variables… imaginaos que tuviera más.

Pues eso es lo que intenta el método de Karnaugh: encontrar una forma simplificada de una función dada.

Para ello nos aprovecharemos de que el cerebro humano es muy bueno reconociendo patrones visuales. No tengo nada claro que pueda contar el procedimiento de manera muy formal, porque además estoy hablando sobre todo de memoria (tiré todos mis apuntes en los que aprendí esto)… pero vaya, es como me lo contaron a mí.^[2]

El problema es que para reconocer esos patrones visuales, tenemos que dibujar, y a día de hoy solo somos capaces de dibujar en 2D en un papel. Eso limita mucho la cantidad de variables que podemos manejar. A mí me resulta difícil hacer mapas de Karnaugh que tengan más de 4 variables, y cuando intento hacerlos de 5 ó más variables, ya empiezo a pensar en el programa que podría hacerlo. Así que voy a contaros el ejemplo de 4 variables, que es el más complejo que podemos pintar con facilidad.

Vamos a suponer una función de 4 variables, que hemos representado según una tabla. Las columnas A, B, C y D son obviamente las 4 variables y F es el resultado de la función.

Lo primero que debemos hacer es conocer el concepto de código circular de Gray. ¿Qué es eso? En un código de Gray tenemos que hacer que entre dos cualesquiera valores consecutivos la única diferencia sea una de las variables.

Jo, qué difícil. Cuando a mí me lo contaron lo hicieron aprovechando los conceptos de bit y código binario, que ya conocía, así que contároslo sin recurrir a ello se me hace complicado… en fin, probemos con un ejemplo.

Si tenemos 2 variables, solemos ordenarlas así:

0 0

0 1

1 0

1 1

Entre la primera fila y la segunda, solo cambia un valor: el segundo 0 se ha convertido en un 1.

Pero entre la segunda fila y la tercera cambian dos valores: el 0 se ha convertido en un 1, y el 1 se ha convertido en un 0.

Peor aún: hemos dicho circular… es decir, que cuando llegamos al final, volvemos a empezar. Es decir, también tenemos que mirar que tras la fila 4ª viene la fila 1ª. En este caso, los dos 0s se han convertido en sendos 1s.

No podemos decir que eso siga el código de Gray…

El código de Gray de 2 variables es el siguiente:

0 0

0 1

1 1

1 0

Fijaos que ahora sí que solo hay un cambio entre la fila 2ª y 3ª, y lo mismo entre la fila 4ª y 1ª y entre todas las demás filas consecutivas.

En este momento, a las personas que saben binario y cómo se codifican los números decimales en notación binaria (que probablemente son todos nuestros lectores, porque hoy en día esto se enseña en el colegio),^[3] se les revuelven las tripas, porque parece como si estuviéramos desordenando los números… pues no. Destierra esa idea de tu cabeza, no traduzcas esos números binarios a decimal. Solo estamos describiendo el comportamiento de nuestra función ante distintas entradas… ¿qué más da que primero escribamos una fila o la otra? Lo importante es que las escribamos todas.

Podríamos generalizar esta idea para 3 ó 4 bits, pero en realidad no nos hace falta para nuestro mapa de Karnaugh. Consultar la página de la Wikipedia si lo necesitáis algún día.

Vale, pues ahora dibujamos una matriz bidimensional, donde en cada eje pongamos 4 valores, ordenados según el código de Gray:

Como tenemos 4 variables de entrada, ponemos 2 variables en filas y 2 en columnas, es decir, 4 filas y 4 columnas. Si tuviéramos 3 variables, podríamos solo 2 filas, por ejemplo. Y si tuviéramos solo 2 variables, podríamos solo 1 fila y 1 columna.

Esta tabla se llama mapa de Karnaugh y es el corazón del método.

Ahora trasladamos los valores desde nuestra tabla de estado de la función a nuestro mapa de Karnaugh, pero con cuidado de darnos cuenta de que las filas y columnas están ordenadas de una forma “rara”:

Hasta aquí, fácil.

Ahora es cuando viene el arte: hay que buscar los grupos que tengan 16, 8, 4, 2 y 1 unos juntos en un rectángulo (no valen formas raras: tienen que ser rectángulos). Empezamos buscando grupos de 16 unos todos juntos. Obviamente, no tenemos ninguno, porque entonces tendríamos una función que siempre tiene unos… vaya tontería de función… pero bueno, teóricamente sí es posible.

Como no hay, buscamos grupos de 8 unos juntos. Tampoco tenemos ninguno.

Buscamos entonces los grupos de 4 unos juntos. Yo veo uno muy obvio.

Existe otro más, que se solapa parcialmente con el grupo anterior. No hay problema en que solapen, lo marcamos también.

Ya no hay más grupos de 4 unos juntos, así que empezamos a buscar los grupos de 2 unos juntos. Encontramos un grupo y lo marcamos.

No es necesario marcar los grupos de 2 que formen parte completamente de los grupos de 4 que hayamos marcado antes (como por ejemplo, coger de 2 en 2 los que ya tenemos en el azul), pero sí los que se solapen parcialmente, si los hay. También debemos tener cuidado de no crear más grupos de los necesarios, pues existen situaciones en que por ejemplo dos grupos astutamente elegidos serían suficiente, pero si nos confundimos podríamos necesitar 3 (o sé si existe un algoritmo óptimo que encuentre los grupos y te garantice que son como deben ser… yo siempre lo he hecho a ojo; al fin y al cabo con 16 celdas tampoco es tan difícil).

Luego ya no hay más grupos de 2 unos…

…

¿Seguro?

…

Pues sí, hay otro. Al haber usado un código circular de Gray, lo que “sale” por la derecha, “entra” por la izquierda.((Técnicamente se dice que tiene topología de toro o de toroide.)) Por lo tanto, existe un grupo más, que marcamos en amarillo:

Obviamente, lo mismo ocurre entre arriba y abajo (lo que “sale” por abajo, “entra” por arriba). Además, podría habernos ocurrido esto mucho antes de haber llegado a los grupos de 2, por ejemplo cuando buscábamos grupos de 4 ó de 8. Este ejemplo lo hemos elegido cuidadosamente para ir mostrando las cosas poco a poco, pero en cualquiera de nuestras búsquedas debemos tener esto en cuenta.

Bueno, finalmente debemos marcar los unos que queden sueltos… son grupos de 1 elemento. Un grupo de 1 uno es muy triste, pero también tiene derecho, el pobre.

Bien, pues cada uno de esos grupos será un término en nuestra función simplificada. En nuestro ejemplo, tenemos 4 términos.

Para construir cada uno de los términos debemos fijarnos en las únicas variables que sean fijas en todo el grupo.

Por ejemplo, para el grupo azul vemos que A siempre vale 0 y B siempre vale 0, mientras que C y D recorren todo el espectro de posibles valores. Así que tenemos que para el grupo azul solo es importante que A=0 y B=0. Sabemos cuál es la fórmula de eso: A’B’. Debemos darnos cuenta de que podemos hacer esto porque hemos ordenado las filas y columnas según un código de Gray, donde un elemento y el siguiente se diferencian solo en uno de los valores… ahora entiendes por qué lo hacíamos, ¿verdad?

Deduciendo de la misma forma encontramos que el grupo rojo es A’C', porque solo B y D barren todos los valores posibles. Los grupos verde y amarillo, como son de solo 2 elementos, necesitan 3 variables, pero podemos deducir del mismo modo que son ABD y B’CD’ respectivamente.

Así que nuestra fórmula completa es:

F=A’B’ + A’C’ + ABD + B’CD’

Podemos entender este método de Karnaugh como lo contrario a la FND. La FND pretendía tener todas la variables en cada término, mientras que este método pretende tener el mínimo posible. Más adelante en la serie veremos que estas dos aproximaciones tienen su utilidad en el mundo real.

Si hubiéramos querido hacerlo para 5 ó 6 variables, tendríamos que haberle dado “profundidad” a la matriz, una tercera dimensión. Pero como no podemos pintar en 3D, se suele poner una segunda matriz a la derecha (para el caso de 5 variables) y otras dos más debajo (para el caso de 6 variables)… pero en esos casos ya es complicado buscar los patrones visualmente. El procedimiento es el mismo, solo hace falta ser capaz de buscar los patrones saltando de matriz en matriz.

Finalmente, podemos pensar un poco y darnos cuenta de que si en vez de agrupar los unos, agrupamos los ceros, podemos construir una suma para cada uno de los grupos y luego multiplicarlos todos, y así llegamos a la fórmula equivalente donde, en vez de tener sumas de productos, tenemos productos de sumas. Como todo en el álgebra de Boole, es dual.

Y hasta aquí el método de Karnaugh de reducción de funciones. El próximo día seguirá la serie exprimiendo los amarillentos apuntes de Macluskey sobre Eso que llamamos Lógica.

1. Nota: Esta función es, por cierto, el resultado de hallar la Forma Normal Conjuntiva de la función original, pero es casualidad.
2. Está bien… confieso que antes de escribirlo he mirado la Wikipedia.
3. A Macluskey le costó hacer una carrera para enterarse.

Sigamos con él, pues.

Bien, lo que Don José nos contó ese día fue cómo se definía una determinada relación en el álgebra de Boole, introduciendo para ello el signo , que relaciona dos elementos del conjunto S. Evidentemente, la relación se llama “Menor o igual que”, hasta ahí podíamos llegar… En un álgebra de Boole se puede definir esta relación mediante la siguiente ecuación:

Como ya nos habíamos dado cuenta los de clase, o al menos la mayoría, que para algo el descubrimiento de la semana pasada había corrido como la pólvora, de que el álgebra de Boole era la que regulaba la Teoría de Conjuntos, rápidamente nos dimos cuenta de que la relación en conjuntos era exactamente la relación “Contiene” que estudiamos años atrás en dicha teoría; mejor dicho, puesto que es “menor o igual que” y no “mayor o igual que”, en realidad se trata de la relación “Es Contenido por”.

Y claro, a partir de aquí todo fue coser y cantar. Si el conjunto A es contenido por el conjunto B, esto implica que la intersección de A y el complementario de B es el conjunto vacío… ergo implica que .

Naturalmente. Evidentemente. ¡Qué tontería!

Una Relación de orden en Conjuntos

En la figura anterior queda claro. B contiene a A, así que A es menor o igual que B, es decir, . Por tanto, la intersección de A (el conjunto azul) con B’ (la zona gris clarita), que es el complementario de B (la parte amarilla),  es el conjunto vacío, pues no tienen ningún elemento en común, luego es evidente que .

Toda la clase estuvo dedicada a demostrar las diferentes propiedades de tal relación, en demostrar que es una relación de orden, y, dentro de las de orden, de “orden parcial”, puesto que la relación no abarca a todos los elementos de S.

Por muy intimidante que parezca el párrafo  anterior, en realidad es una tontería, es muy sencillo de entender: La relación en los números naturales o en los reales, por ejemplo, es de orden total: cada uno de todos los números es o menor o mayor que todos los demás, pero tratando con conjuntos no tiene por qué ser así: pueden existir conjuntos que ni contienen ni son contenidos por otros conjuntos. El ejemplo más claro es lo que ocurre entre un conjunto y su complementario, por ejemplo, “los españoles” con “los extranjeros (los no españoles, vaya)”: ninguno de los dos conjuntos contiene al otro.^[1]

Y como toda buena relación de orden, cumple con las tres conocidas propiedades: es Reflexiva (es decir, , pues todo elemento es menor o igual que sí mismo, en este caso estrictamente igual) es Transitiva (o sea, si  y , entonces , lo que es bastante evidente), y es Antisimétrica (es decir, que si  y simultáneamente , entonces necesariamente , lo que es también sencillo de entender).

Antes de que digáis nada, en realidad la cosa es al revés: como en esta relación “” se cumplen las tres propiedades, entonces la relación “” es de orden.  Ahora sí.

Como consecuencia de ser una relación de orden, se cumplen un par de propiedades adicionales:

Por un lado, si entonces .

Y por el otro, si entonces .

No voy a demostrar estas fórmulas: no son muy complicadas, por no decir que son intuitivas.^[2]  Quedémonos simplemente con esto: la relación “” en un álgebra de Boole es de orden parcial, y con eso nos sirve.

Le íbamos cogiendo el tranquillo a esto de la Lógica…

.

Siguiente día, siguiente semana. Hora en punto. Esto ya se está convirtiendo en todo un síntoma…

Hoy D. José nos hablará de La Forma Normal Disyuntiva de las expresiones (funciones) en un álgebra de Boole.

Mmmm. La… ¿qué? Sí, la Forma Normal Disyuntiva, ¿qué pasa? Será algo importantísimo para lo que sigue más adelante, así que hagamos menos chiribitas con los ojos, y vayamos al grano.

Primero habrá que definir qué es una función boleana. Toda aplicación de que venga dada por una expresión en álgebra de Boole es una función booleana. Fácil, ¿no? … Venga, que es sencillo: dado que las dos operaciones definidas para el álgebra (+,·) son cerradas, es decir, que aplicadas a dos elementos de S dan como resultado otro elemento de S, el resultado de toda función f(x,y,z,…) expresada en álgebra booleana también pertenece a S.

…

Bueno, vale, ya voy.

Sea, por ejemplo, la función definida en un sistema que obedece al álgebra de Boole.

Como tanto x como y como z son elementos de S, sea S lo que sea (y, por tanto, sus complementarios también lo son), cualquier operación (+,·) realizada sobre ellos (y entre ellos) y sus complementarios dará obligatoriamente un resultado que será también un elemento de S.

Truco: Pensad en conjuntos y lo veréis claro. Dados varios conjuntos cualesquiera y unidos e intersecados entre sí y sus complementarios como nos venga en gana, el resultado será siempre otro conjunto. Eso es una aplicación de .

Teóricamente, las expresiones del álgebra de Boole podrían llevar constantes; de hecho hay dos constantes “de oficio”: los dos elementos neutros, 0 y 1. Pero las constantes en el sentido algebraico habitual no tienen mucho sentido:

¿Qué sería 6a, por ejemplo? Pues a, claro, dado que .  Como sabemos que ^[3] entonces , obviamente.

¿Y qué sería , entonces? Pues , natural, dado que .

En definitiva, nunca aparecerán constantes en las expresiones que usaremos aquí (ni en las que usaremos normalmente en nuestra vida cotidiana de relación con el álgebra de Boole).

Pues bien, si tenemos una función booleana cualquiera en la que no aparecen constantes (por ejemplo, , sin ir más lejos), entonces dicha función se puede representar como una suma de productos , tales que:

1) En todo término aparecen reflejadas todas las variables que aparecen en la fórmula original (bien complementadas, bien sin complementar). Todas ellas, sin faltar ni una.

2) Todos los productos son distintos entre sí.

.

Cabe decir aquí que a partir de ahora haré lo mismo que Don José hizo hace casi cuarenta años, simplificando la notación de las fórmulas de la misma manera que lo hacemos en el “álgebra normal”, la numérica: no escribiendo el signo “·”, salvo en los casos donde su uso sea preciso para hacer más descriptiva la fórmula. Es decir, la fórmula del ejemplo de arriba (y todas las demás) la escribiré preferentemente a partir de ahora de la siguiente manera:

Se entiende, ¿no? Pero recordad que “+” no es “suma” ni “·” es “multiplicación” en el sentido numérico habitual, sino que son “sumas booleanas” o “productos booleanos”, que ya veremos cómo se definen en según que sistemas… En conjuntos, por ejemplo, “+” es “Unión y “·” es “Intersección”, como ya sabéis. En otros sistemas, serán… otras cosas…

Paciencia.

.

Volviendo a la afirmación de hace un ratito (eso de que toda función se puede descomponer en sumas de productos), que seguro que os ha dejado con cara de haba, veremos cómo se llega con sencillez a esto, procediendo a la reducción sistemática de las expresiones en tres pasos:

Paso 1: Quitar sistemáticamente toda complementación a fórmulas entre paréntesis. Para ello usaremos extensivamente las Leyes de De Morgan.^[4] Eran el Teorema 8 que vimos en el artículo anterior.

Por ejemplo, si tenemos , quedaría, aplicando De Morgan, .

Al final de este paso sólo sólo habrá complementaciones de las variables individuales, pero no de operaciones con ellas (que no habrá complementaciones a paréntesis, vaya).

Paso 2: Quitar sistemáticamente el signo “·” entre paréntesis, aplicando la propiedad distributiva. Así, quedaría .

Por ejemplo, quedaría .

En realidad, ése es el resultado final, tras dos pasos. El primero dejaría , y en un segundo paso quedaría ; reordenando,^[5] queda la fórmula del texto.

Por supuesto, si algún término resulta que tiene simultáneamente una variable x y su complementaria, x’, al estar ambas multiplicándose entre sí, el resultado de esta multiplicación es cero,^[6] por lo que podemos eliminar sin pudor alguno el término completo. Así, si, por ejemplo, resultara un término , al ser , queda , y podemos eliminar el término completo, pues sabemos que . Además, si quedan dos o más términos exactamente iguales, se pueden eliminar todos menos uno, puesto que sabemos también (mejor, seguimos sabiendo) que .

Bien, ahora tenemos ya la expresión reducida a una suma de productos distintos… pero no es suficiente, porque es posible que no en todos los productos estén representadas todas las variables, lo que era uno de los requisitos iniciales. De hecho, en el ejemplo anterior son 4 las variables (x,y,z,w) y ningún término tiene más que dos… Hay que hacer algo para que todos los términos tengan todas las variables, bien complementadas, bien sin complementar, que era el requisito previo, si os acordáis. Para solucionarlo:

Paso 3: Multiplicar los términos a los que les falte alguna variable x por , que, como es igual a 1, no cambia el resultado.

Por ejemplo, si son tres las variables de una cierta función f(x,y,z), y tenemos un término (sin z), entonces éste se multiplica por ,^[7] quedando .

Nuevamente, si como consecuencia de todas estas operaciones resultan dos o más términos iguales, se eliminan todos ellos menos uno, debido a la consabida idempotencia:

En fin, tras la aplicación secuencial de estos tres pasos tenemos la misma fórmula original, bien masajeada, vale, pero la misma original, expresada de la forma pedida.

.

A esta forma de organizar las fórmulas booleanas se le llama Forma Normal Disyuntiva (FND), y veremos que es de gran utilidad más adelante… y hasta aquí puedo contar. Paciencia.

.

Veamos un ejemplo: Sea . Con tres variables, como podemos ver: x,y,z. ¿Cuál es su Forma Normal Disyuntiva?

Aconsejo a los que os interese todo esto que intentéis realizar el proceso vosotros solos, tenéis conocimientos y argumentos más que suficientes para hacerlo… y es fácil.

.

Según el paso 1, se eliminan los complementos en paréntesis (Ley de De Morgan).

queda, en primer lugar,

, que a su vez queda

. Reordenando los productos (gracias a la propiedad conmutativa) queda, por fin:

.

Ahora aplicamos la distributiva (paso 2). Primero, sacamos en los dos primeros términos sumando común a x,^[8] y entonces queda:

. Ahora aplicamos de nuevo la distributiva en el primer paréntesis, y queda:

; zz’ es cero, así que lo eliminamos, y queda:

. Otra vez la distributiva y queda:

, y otra vez más y queda, finalmente:

.

Como xx’ es cero, lo mismo que yy’, queda finalmente: .

¿Ya está? Pues no, aún queda un poco.

Uno de los dos términos no tiene la variable z, así que le multiplicamos por , que es, obviamente, 1 (paso 3), y tenemos que la fórmula original, ésa tan fea de ahí arriba, es equivalente a , mucho más bonita, dónde va a parar, que ya está en Forma Normal Disyuntiva.^[9]

.

José Cuena Bartolomé.

Prosiguió su exposición Don José contándonos que se podría definir una Forma Normal Disyuntiva Completa, que es, para n variables, la suma de todos los productos posibles de las n variables complementadas y sin complementar, que, como es fácil comprobar, son en total .^[10]

Se demuestra fácilmente que una función cuya Forma Normal Disyuntiva sea Completa, es decir, que no le falta ni uno solo de los posibles términos que se pueden definir con las variables que la forman, es igual a la unidad (yo no voy a hacerlo aquí).

Por otra parte, se demuestra también fácilmente que, suponiendo como conjunto de valores posibles sólo 0 y 1, y dando a las variables valores arbitrarios entre estos, 0 ó 1, en la Forma Normal Disyuntiva Completa sólo habrá un único término que valdrá 1 y todos los demás, 0 (y su suma, 1, claro, al sumar muchos ceros y un único 1).

Esto es así porque para que un término (producto) cualquiera valga 1 en estas condiciones, todas las variables que lo componen tienen que valer 1, por lo que habrá sólo una combinación plausible: cualquier otra combinación de valores de las variables variará en al menos un valor de una variable, que será entonces 0 y anulará al término completo, al estar esa variable igual a cero multiplicando.^[11]

…

No se me arremolinen… Un pequeño ejemplo servirá para entenderlo (recordad que los valores en este caso sólo pueden ser 0 y 1): Mirando la Forma Normal Disyuntiva Completa de un conjunto de tres variables, x,y,z, uno de los términos que la forman es, verbigracia, . Este término sólo puede valer 1 para los valores siguientes de las variables: x=1; y=0; z=1. En estas condiciones, este término vale 1, ¿sí?

Pero… ¿Qué les ocurrirá al resto de términos de la FNDC, por ejemplo el ? Que variarán en al menos la complementación de una variable, en nuestro ejemplo en dos: x e y. Y al variar en alguna variable, quiere decir que alguno de los términos del producto ya no será 1, será 0, por lo que el producto completo será… cero. Efectivamente, para x=1; y=0; z=1, el producto es cero. Y valen cero igualmente todos los demás términos, salvo el que cité al principio, el , que sí valdrá 1. Luego la FNDC se compone de la suma de un único término que vale 1 y siete que valen 0, por lo que la suma final es… 1. Siempre 1.

.

Vale, pero… ¿Para qué sirve esta dichosa Forma Normal Disyuntiva? Pues para saber si dos funciones son en realidad la misma, puesto que toda función que sea igual a otra tendrá su misma Forma Normal Disyuntiva.^[12]

Esto nos será de gran utilidad más adelante, porque podemos representar la FND de cualquier función booleana en forma de tabla… veamos cómo quedaría la fórmula anterior, aquella original, cuya Forma Normal Disyuntiva habíamos visto que era .

Representamos primero todos los valores posibles de la Forma Normal Disyuntiva Completa, todas las combinaciones posibles (en este caso serán ), y entonces marcamos con 0 los términos que no están en su FND, y con 1 los que sí están…

Y el resultado es:

Tachaaannn!!

Las cosas empiezan a tener sentido, ¿no?

Aquí se acabó la clase, aquel frío otoño de 1973. Y el artículo. Hasta otra…

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. En este caso, además, es que cada conjunto no contiene ni siquiera a uno solo de los integrantes del otro conjunto, no digamos a la totalidad…
2. Pensad en conjuntos y veréis que efectivamente son evidentes.
3. Teorema 1 del artículo sobre el álgebra de Boole, ¿recordáis?
4. No son Leyes de Morgan, sino de De Morgan, pues son debidas al matemático indio-británico Augustus De Morgan.
5. Aplicando la propiedad conmutativa.
6. Por el Axioma 4 del álgebra de Boole, para los descreídos.
7. Que es 1.
8. Qué raro suena eso de “sacar sumando común”, ¿verdad? Pues más vale acostumbrarse…
9. Sí, por si os lo estabais preguntando, también hay una Forma Normal Conjuntiva, que es parecida, pero sustituyendo los + por · y viceversa, así que lo que resulta es un producto de términos tal que cada uno de ellos es una suma que contiene todas las variables, complementadas o no, en vez de una suma de productos… La demostración es idéntica, en realidad, cambiando, en los pasos 2 y 3, el 1 por el 0 y el + por el ·, y viceversa. Todo en Álgebra de Boole es dual…
10. Permutaciones de 2 elementos (complementado-sin complementar) tomados de n en n.
11. Y lo mismo ocurre con la Forma Normal Conjuntiva, pero al revés: la Forma Normal Conjuntiva Completa será siempre cero.
12. O Conjuntiva, cierto. Todo, absolutamente todo en álgebra de Boole es dual.