José Cuena Bartolomé, 1987.

Estamos llegando al final de la asignatura. Estamos ya con los calores de mayo y los sudores fríos que a todos nos dan los inminentes exámenes finales. D. José dedicó estas últimísimas clases a acabar de perfilar el Cálculo de Predicados y a hacer ejercicios para preparar los dichosos finales. Pero descuidad, yo no voy a examinaros de nada… allá cada cual con lo que haya aprendido (o desaprendido, quién sabe) siguiendo esta serie tan amarillenta como los añejos apuntes en que se basa… serie que, por cierto, hoy llega a su fin… por fin.

Hace un par de artículos vimos cómo era, desde el punto de vista del cálculo proposicional, el proceso de deducción.

Recordemos que, teniendo una serie de premisas que se suponen ciertas, se puede deducir una nueva proposición… Suponiendo las premisas , esto lo representábamos de la forma: , es decir, la conjunción de todas las premisas implicando la conclusión tiene que ser cierta. Esto era, ni más ni menos, el modus ponens, si os acordáis. Y nos indica que, si todas y cada una de las premisas son ciertas, y sólo en ese caso, entonces la conclusión lo es también.

Vamos a generalizar este proceso, utilizando los cuantificadores universal (Para Todo: ) y existencial (Existe: ), para definir el proceso de inferencia lógica. Para ello, primero definiremos las diferentes formas de deducción que emanan de los cuantificadores. Tienen todas ellas nombres bastante intimidatorios, pero… son no sólo sencillas, sino evidentes; más aún, como decía mi abuela, son de cajón de madera de pino… Ved cómo es así:

Especificación Universal

Esto quiere decir que si para todo x se cumple A(x), evidentemente el predicado A se cumplirá también para todos los elementos y. Así, si tenemos la aserción siguiente: a todo español le gustan los toros (es decir, para todo hombre perteneciente a los españoles, “le gustan los toros” es cierto), podemos convertirla simplemente en “a los españoles les gustan los toros“. En lenguaje corriente tendríamos dificultades en distinguir una forma de decir las cosas de la otra… porque son equivalentes, eso es.

Y, evidentemente, la frase es un ejemplo. Porque, en realidad, no a todos los españoles les gustan los toros, yo mismo entre ellos: la premisa inicial es falsa, así que, por muy bien hecho que esté el razonamiento, que lo está, su conclusión no es válida, puesto que el predicado inicial no lo es.

Recordad siempre: un razonamiento puede ser correcto o incorrecto, no verdadero o falso. Verdaderas o falsas son las frases, las aserciones, los predicados que se usan en el razonamiento, pero nunca el razonamiento en sí.

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También es cierta la contraria de la Especificación Universal, llamada:

Generalización Universal

Si siempre se cumple A(x), entonces también se cumple que para todo y se cumple A(y). Si el predicado A es “Los turcos tienen bigote“, es bastante sencillo ver que “para todo x perteneciente a los hombres turcos, x tiene bigote“. Incluso, nuevamente, en el lenguaje corriente ambas formas de hablar (“los (hombres) turcos tienen bigote” y “todo (hombre) turco tiene bigote“) son equivalentes, por no decir indistinguibles. En Lógica formal, lo son también, puesto que se infieren una de la otra, y viceversa.^[1]

En el ejemplo paradigmático de la filosofía clásica, de “los hombres son mortales“, proposición normalmente dada por verdadera, puesto que no se ha observado ningún contraejemplo hasta el momento, según esta generalización universal se convertiría en “Todo hombre es mortal” (para todo x perteneciente a “Los Hombres“, x es mortal), llegando así a convertirse en Ley Universal.

Sigamos.

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Especificación Existencial

Aquí representa un cierto elemento que cumple el predicado A. Alguno debe de haber, claro, pues si no, no sería cierta la especificación “Existe un x tal que A(x)”. Si decimos que “existe algún inglés que sabe hablar correctamente el español“, por ejemplo, es evidente que para un cierto valor de x perteneciente a “los ingleses”, digamos un tal John Smith que estudió en los Salesianos de La Almunia de Doña Godina, se cumplirá que ese caballero inglés en concreto habla español correctamente. Si no hay disponible ningún John Smith hispanoparlante, entonces la propia premisa de especificación existencial sería falsa, puesto que NO existiría ningún inglés que hable español como es debido…

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Nuevamente, su contraria:

Generalización Existencial

Si hay un cierto elemento que cumple A, entonces existe al menos un x tal que A(x) se cumple, que será precisamente ese elemento , al menos. Efectivamente, si conocemos a un tal Mike Taylor que estudió en los Escolapios de Puente del Arzobispo y habla en español por los codos, entonces podemos afirmar sin titubear que “existe al menos un inglés que habla español correctamente“. El tal Mike Taylor, al menos.

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No creo que haya que explicar más estas formulitas: son bastante evidentes, casi infantiles, perogrullescas… ¡y potentes!.

Armados con ellas y con lo que ya sabemos de cálculo de predicados y proposicional, somos capaces de resolver inferencias lógicas como el que lava… en la Edad Media nos hubiéramos podido ganar bien la vida como resolvedores (¡o inventores!) de silogismos… eso si antes no nos habían quemado en la hoguera, por brujos.

Veamos algunos ejemplos. Ahí va el primero de ellos:

1. – Ningún ser humano es cuadrúpedo.

2. – Todos los pigmeos son humanos

Conclusión: Ningún pigmeo es cuadrúpedo^[2]

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Veamos cómo llegamos, lógicamente, a la conclusión de que nuestros queridos aborígenes africanos de baja estatura no se desplazan normalmente sobre cuatro patas.^[3]

Primero, definamos las proposiciones individuales:

H(x): x es un ser humano

C(x): x es un cuadrúpedo

P(x): x es pigmeo

Una vez hecho esto, definimos ahora los predicados 1 y 2 en términos de cálculo lógico:

Se ve claro, ¿no? Pues por si acaso no se ve…

La primera: Para todo x, si x es un hombre, entonces x no es un cuadrúpedo.

La segunda: Para todo x, si x es un pigmeo, entonces x es un hombre.

¿Está claro? Operemos un poco con cada uno de los dos predicados originales, aplicando la Especificación Universal:

Ya sabemos, pues, que los “humanos no son cuadrúpedos“, y que “los pigmeos son humanos“. Con este par de especificaciones nos hemos librado (de momento) de los cuantificadores, con lo que nos han quedado dos proposiciones de lo más normalitas. Por lo tanto, podemos aplicar sin más las reglas del cálculo proposicional que conocemos.

Tomamos ahora ambas conclusiones y:

Claro: Si A implica B y B implica C, entonces, por la propiedad transitiva, A implica C.  O sea: “Los pigmeos no son cuadrúpedos“.^[4] Ya casi está. Ahora sólo queda generalizar:

O sea, que todo Pigmeo no es cuadrúpedo. Es decir: Para todo x, si x es Pigmeo, entonces x no es cuadrúpedo. Como se quería demostrar. ¡Menudo descubrimiento!, por cierto.

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En el mundo de los silogismos, siempre que mi escuálida memoria no me falle, éste de los pigmeos es del tipo “Celarent“, es decir: Universal Negativo + Universal Positivo dan como conclusión otro Universal Negativo.  En este caso, Premisa-Universal Negativo: “Ningún humano es cuadrúpedo“; Premisa-Universal Positivo: “Todos los pigmeos son humanos“; Conclusión (Universal Negativo): “Ningún pigmeo es cuadrúpedo“. Así se las gastaban los monjes medievales… Había decenas y decenas de tipos de silogismos, que se sabían de memoria.

Y, en cambio, nosotros, en aquella “Metodología” de Segundo de Informática, nunca jamás citamos siquiera el nombre “Silogismo“, cuando no hacíamos más que resolver uno tras otro.

Al final del artículo dedicaré algunos párrafos a describir, muy por encima, cómo eran los silogismos y cómo se usaban, por si alguno de vosotros tiene curiosidad.

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Pongamos un último ejemplo. De hecho yo tengo cinco de ellos en mis descoloridos apuntes del siglo pasado, pero no voy a torturaros con más… si es caso, dejaré uno último para que quien quiera divertirse un rato, pueda hacerlo… pero a solas. Veamos este último ejemplo:

1 – Todos los números racionales son números reales

2 – Algún número racional es entero.

Conclusión: Algunos números reales son enteros

De Perogrullo, sí, pero hay que demostrarlo, que, si no, nuestros amigos matemáticos se enfadan mucho. Veamos primero los predicados involucrados:

Q(x): x es racional.

R(x): x es real.

E(x): x es entero.

Las premisas son las siguientes:

Traducción: Para todo número x que es racional entonces x es real.

 Traducción: Existe al menos un número x tal que es simultáneamente racional y entero.

y la conclusión propuesta es:

Traducción: Existe al menos un número x tal que es  simultáneamente real y entero.

Evidente, ¿no? Espero que sí. Venga, vamos a operar otro poco. Por una parte, mediante especificación universal:

Por otra parte, y ahora mediante especificación existencial:

Al ser éste último un predicado conjugado,^[5] para ser cierto deben ser ciertos a la vez y ; podemos, pues, tomarlos independientemente, y eso es justo lo que vamos a hacer, uniéndolos por partes con el otro enunciado.

(Esto es un modus ponens de lo más normalito)

(La otra parte de la conjunción)

, y por generalización existencial:

, que era la conclusión buscada.

O sea, efectivamente algunos racionales son, sorpresivamente, también enteros.

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El último ejemplo que prometí, para aquellos masoquistas que quieran ejercitarse… Demostrar si la siguiente inferencia lógica es correcta:

1 – Algunos franceses son amigos de todos los monegascos.

2 – Ningún francés es amigo de los aficionados al cricket.

Conclusión: Ningún monegasco es aficionado al cricket.

No es difícil, ni mucho menos. Ya podéis lidiar con silogismos sin despeinaros, tengan una premisa, dos, tres o las que hagan falta… ya no hace falta cantar, como yo canté en mi lejanísimo Bachillerato, aquello de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio… du-duá, du-duá…“.^[6]

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Mmmm. He citado bastantes veces a lo largo de la serie eso de “los silogismos“, y acabo de explicar que conociendo lo que hoy he terminado de exponer sobre Lógica y sobre inferencias lógicas, no hace falta conocer nada acerca de silogismos, y que se podía olvidar uno de lo del “Bárbara, Celarent”… Podría parecer que estoy menospreciándolos, pero no, en absoluto. Los silogismos fueron la piedra angular sobre la que se basó toda la ciencia medieval e incluso la de los Siglos XVI, XVII y XVIII. Muchos grandes pensadores, algunos conocidos pero la mayoría anónimos, aportaron a lo largo de los siglos su grano de arena al corpus de los silogismos…

Yo los estudié, no mucho, pero sí lo suficiente, en mi aún más lejana Filosofía de Quinto de Bachillerato (tenía yo quince años por entonces), y la verdad es que me acuerdo más bien poco.

… Pero parece que en nuestros tiempos ya no se explican. Nada. Es lógico: sabiendo álgebra de Boole, cálculo proposicional y de predicados, todo lo demás sale solo, así que, aunque sólo sea por lo importantes que fueron en su día, voy a dedicarles algunos párrafos para explicar, sin grandes detalles, qué eran y cómo se usaban…

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SILOGISMOS, o cómo se razonaba en la Edad Media.

Fue Aristóteles, nada menos, quien definió por primera vez el término silogismos (que en griego clásico quiere decir “razonamiento”), aunque luego fueron los escolásticos los que afinaron su definición, los estudiaron a conciencia y explicaron cómo usarlos.

Para definir un silogismo se precisan tres proposiciones: Una, denominada “Mayor“, otra, “Menor” y otra, por fin, llamada “Conclusión“, que, como podéis imaginar, es la que se deduce de las otras dos proposiciones, las premisas. Estas proposiciones deben tener en total tres términos, denominados mayor, menor y medio, y además resulta que… bueno, la cosa se empieza a complicar. Mejor ver un ejemplo clásico:

Proposición Mayor: “Todos los hombres son mortales“

Proposición Menor: ”Sócrates es un hombre“

Conclusión: “Sócrates es mortal“

Ya veis que se trata de un modus ponens de lo más sencillito, de una inferencia muy evidente, según acabamos de observar. Sabiendo cálculo proposicional y de predicados esto está chupado. Sólo hay un pequeño problema: ¡¡No estaban inventados!! En el Siglo XII toda noción de cálculo, y no digamos de álgebra, estaba en pañales; ni siquiera se había importado de los indios, pasando por los árabes, el sistema de notación numérico actual, con su cero incluido.

Monje en su scriptorium, calculando silogismos

¿Cómo se las apañaron, pues, Tomás de Aquino, Guillermo de Ockham y demás escolásticos para lidiar con cualesquiera razonamientos…?^[7]  De Memoria.  Se los aprendían de memoria.

Primero, codificaron los diferentes predicados según su tipo, de la forma siguiente:

Universal afirmativo: Letra A. (Traducido: Para todo x, ocurre P(x) )

Universal negativo: Letra E. (Traducido: Para todo x, ocurre No P(x) )

Particular afirmativo: Letra I.  (Traducido: Existe un x, en que ocurre P(x) )

Particular negativo: Letra O. (Traducido: Existe un x, en que ocurre No P(x) )

Luego, siglo tras siglo, en base a sesudos razonamientos llegaron a determinar qué tipos de razonamientos eran válidos y cuáles no. Razonamientos en los que no podían reducir fórmulas según el álgebra de Boole o las Leyes de De Morgan, porque tanto a George Boole como a Augustus De Morgan les faltaban quinientos años o más para nacer, o sea, todo a puro pelo. Los dividieron y categorizaron una y otra vez: en hipotéticos y disyuntivos, condicionales, chiripitifláuticos, etc, dando lugar a diferentes figuras, modos, sistemas…

Luego, a cada figura le asignaron una o varias  consonantes iniciales que indicaban de qué figura era el silogismo. No me preguntéis más detalles sobre esto de las figuras y tal, que no llego más que hasta aquí.

Teniendo tres predicados y cuatro tipos de predicado posibles (A,E,I,O), encontraron que había 64 posibles modos de ordenarlos, a base de escribir todos uno a uno y contarlos. No creo que supieran que las variaciones con repetición de cuatro tipos tomados de tres en tres era “4 elevado a 3“… ni siquiera sabían qué rayos era una “variación con repetición“, pero sí sabían que en total había 64 modos posibles, del A-A-A al O-O-O.

También se dieron cuenta de que no todos los modos posibles eran silogismos correctos. Por ejemplo, si las dos premisas son negativas, no se puede inferir conclusión alguna, como en “Ninguna planta de mi jardín sabe hablar”; “Mi perro Toby no es una planta”… No es posible sacar ninguna conclusión sobre si Toby sabe o no sabe hablar en base a estas dos premisas iniciales.

De los 64 modos posibles, tras siglos de estudio, encontraron que sólo 19 eran correctos. ¿Cómo hacer para recordarlos, en aquellos tiempos en que la matemática simplemente no existía? Fácil: escribieron esos 19 modos válidos que encontraron, de forma exhaustiva, buscando palabras mnemotécnicas que les ayudaran a recordarlas. De ahí lo de “Barbara, Celarent, Darii, Ferio…”. Y se las aprendieron de memoria.

Así, Barbara señala un razonamiento en el que todas las proposiciones son universales afirmativas (A-A-A: bArbArA, para que se vea más claro), por ejemplo: “Todos los hombres son mortales”; “Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Todos los pigmeos son mortales”.

En nuestro africano ejemplo anterior, el de los pigmeos: “Ningún hombre es cuadrúpedo”, ”Todos los pigmeos son hombres”; Conclusión: “Ningún pigmeo es cuadrúpedo”, es un silogismo de modo Celarent (EAE: cElArEnt). Sus proposiciones son: Universal Negativo (E)-Universal Afirmativo (A)-Universal Negativo (E).

En el  de “Todos los hombres son mortales”; “Sócrates es un hombre”; Conclusión: “Sócrates es mortal”, las proposiciones son: Universal Afirmativo (A), Particular Afirmativo (I), Particular Afirmativo (I)… es un Darii (dArII, para que se vea más claro).   Y así, con todo.

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¿Cómo usaban esto los filósofos medievales? Bien, estaban ellos elucubrando sobre la flamigerez de los bordosíes, sin ir más lejos, y se planteaban el siguiente razonamiento:

Premisa Mayor: “Nadie que ferrulice a un churrimano es un flamígero descendente“;

Premisa Menor: “Tengo un bordosí emperifollado que ferruliza a un churrimano“

¿Qué conclusión puedo yo sacar de estas dos premisas? Como no sé álgebra de Boole… lo llevo crudo. Pero, claro, en su lugar, tengo mi lista de silogismos…

A ver… la primera premisa es una Universal Negativa: Una E. La segunda es un Particular Afirmativo: una I. Luego tengo que buscar en la lista de silogismos válidos y aceptados por los Padres de la Iglesia (no vaya a cometer herejía y acabe en el potro de tortura) a ver si hay alguno con ese comienzo “E-I“, aunque lo normal es que no me haga falta, porque me los sepa de memoria… Pues sí, hay uno: Festino. La tercera sílaba de Festino^[8]  lleva una O. Eso quiere decir que la conclusión es de tipo O: particular negativo. Y como Festino empieza por F, es de no sé qué figura (según la Wikipedia, de la segunda figura, signifique lo que signifique eso y tenga las consecuencias que tenga).

O sea, la conclusión sería “Este bordosí emperifollado ferrulizador no es un flamígero descendente“. O algo parecido…

Bueno, más o menos así sería el método. Además, para ayudarse en su tarea, inventaron uno de los primeros prontuarios de la historia: las cartas silogísticas. No me preguntéis cómo se usaban. No me acuerdo, si es que alguna vez lo supe.

La realidad es que, aunque soy viejo, nunca llegué a usar activamente ni las cartas silogísticas ni los propios silogismos (ya habían pasado de moda cien años antes de que yo naciera), y los tengo bastante olvidados. Espero, eso sí, que gracias a estas pocas palabras os quede, al menos, una idea de cómo funcionaba todo el asunto.

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En fin. El curso académico se acababa. Don José nos propuso dos o tres ejercicios más, luego… Vinieron los exámenes parciales (en las asignaturas que los hacían, que no eran tantas), y después los finales. Aprobé todo, incluyendo esta tan lógica asignatura de “Metodología”. Con buena nota, creo recordar. La mayoría de mis compañeros y yo estuvimos de acuerdo en que estas clases impartidas por Pepe Cuena habían sido de las más divertidas y útiles que habíamos recibido en nuestras vidas.

El verano siguiente me dediqué a cumplir mis obligaciones como ciudadano español de pro de la época: me fui la mili, el Servicio Militar Obligatorio, que terminé año y pico después, simultaneando las guardias y las imaginarias con el curso de Tercero de Informática…^[9] No me fue muy bien en ninguna de las dos actividades: del curso me quedaron unas cuantas asignaturas para el año siguiente (aunque aprobé dos o tres, que algo es algo), y en la mili comprobé que toda la estupenda Lógica que había aprendido ese curso 1973-1974 no me sirvió absolutamente de nada: no puede decirse que el Servicio Militar de aquellos años se rigiera por parámetros excesivamente lógicos. Menos mal que no estábamos en guerra con nadie, que si no…

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Aquí se acaba esta historia. Y la serie.

Seguramente os habrá aburrido mortalmente a la mayoría, a otros os habrá parecido limitada, pedante y, sobre todo, ingenua, y, por fin, a dos o tres de vosotros igual os ha servido para algo, os ha ayudado a entender un poco cómo se razona, y sobre todo cómo razonamos los informáticos… perdón, cómo razonábamos los informáticos de los tiempos del cuplé.

Hasta otra.

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¡Ah!. Se me olvidaba: Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. En otro caso, ¡ya me diréis para qué valdría la Lógica!
2. Qué cosas… en la clase anterior aparecían negros, por aquello de “Juan es negro”, y aquí aparecen pigmeos… que también son negros. Ya digo yo que la corrección política imperante en la actualidad no había hecho todavía su aparición en los años 70.
3. No hay más que ver la foto, pero en fin…
4. Si aún tenéis dudas, pensad en conjuntos, en relaciones de pertenencia entre los conjuntos involucrados,  y lo veréis clarísimo.
5. O sea, unido con un hermoso “Y”.
6. En mis tiempos se aprendían muchas cosas cantando, la primera de ellas la tabla de multiplicar, naturalmente: dos por una es dos; dos por doooos, cuatro; dos por treees, seis… y así hasta el infinito. Y más allá.
7. No, cualesquiera razonamientos, no. Casi todos eran para demostrar ésta o aquella faceta de la divinidad, para demostrar la infalibilidad del Papa o la venida del Espíritu Santo o la mendacidad de algún obispo casquivano… La poquísima cultura que subsistía en Occidente durante los oscuros años medievales se guardaba o practicaba en monasterios y conventos. Sin excepción.
8. No creo que pensaran en relojes suizos los monjes medievales que le pusieron el nombre.
9. Fui a la mili aunque aún era menor de edad: esos años la mayoría de edad no se alcanzaba hasta cumplir los 21 años, y yo aún no los tenía. Sí, era menor de edad para casi todo, menos para ir pegando tiros por ahí.

José Cuena Bartolomé en el curso 1973-74

En el artículo anterior de esta anticuada (pero intensa) serie sobre Lógica de aplicación para la informática, para confeccionar la cual estoy usando los apuntes de la asignatura de “Metodología” de mi lejanísimo Segundo de Carrera, de Informática, del año académico 1973-74, impartida por el desgraciadamente fallecido profesor D. José Cuena Bartolomé, llegamos a definir el proceso de deducción lógica dentro del cálculo proposicional. Habíamos visto cómo usar la implicación lógica, el modus ponens y alguna cosilla más.

Como veréis, en esta serie no aparecen ni los silogismos ni, prácticamente, el “modus tollens”^[1] ni todas esas cosas tan de buen ver en la Lógica filosófica tradicional, por no decir medieval, o escolástica, o aristotélica, o sanagustiniana, vaya Vd. a saber.

Pero es que en aquella asignatura de tan misterioso nombre, “Metodología”, de un par de horas semanales nada más, nos quedamos siempre “en el chasis”, en los fundamentos que nos permiten definir, con sólo pensar un poco, todos los demás modos de “modus”, etc. Todo está gobernado por el álgebra de Boole. Ah, si los afanosos silogistas medievales hubieran conocido el álgebra de Boole, las cosas hubieran sido mucho más sencillas… pero aún faltaban algunos siglos para que George Boole, que nació en 1815, definiera su famosa álgebra.

Y el método de exposición que siguió Pepe Cuena, como ya dije, era desde lo particular a lo general, definiendo bien los ladrillitos y luego construyendo con ellos cada vez edificios más y más altos y complejos…^[2] Pues ya nos estamos aproximando a “lo general”…

Estamos ya a mediados, casi finales de abril, el curso se está acabando. Las clases finalizaban por entonces a mediados de mayo, para realizar los últimos parciales y dedicar casi todo junio a los finales, y luego septiembre a los exámenes de recuperación.^[3] El curso se está acabando… y la serie con él. El último tema del curso, y el que cierra el círculo, tendrá que ver con el Cálculo de predicados. Cedamos un día más la palabra a Don José…

Cálculo de predicados, sí, pero… ¿qué es un predicado?

Pues un predicado es alguna cosa que se dice de algo, una cierta información que se da acerca de un término (en gramática o lingüística, diríamos del sujeto).

Supongamos la frase “Juan es fontanero”. Aquí el término es “Juan”, mientras que el predicado es “es fontanero”, que nos informa de que Juan tiene ciertas habilidades que le permiten, entre otras muchas cosas, arreglar un grifo que gotea.^[4] En este caso se trata de un predicado “monádico”, puesto que se refiere a un solo término (Juan) y se representa por P(x), siendo la variable x cada término a los que se refiere el predicado, aquellos términos para los que el predicado P(x) es cierto. En este caso P sería “ser fontanero” y x se referiría a todos aquellos humanos para los que “ser fontanero” sería cierto, entre ellos Juan, claro está. Podríamos decir algo como “Ser fontanero(x)”, por ejemplo.

Ahora bien, los predicados que usamos en la vida corriente no son todos monádicos, ni mucho menos, sino que muchos se refieren a dos términos a los que ponen en relación, como en “Luis es amigo de Juan”, que expresaríamos P(x,y) (P sería aquí “ser amigo”, y x e y, dos personas que cumplen esa relación de amistad, como en “Ser amigo(Luis, Juan)”), o también tres términos, como en “Zaragoza está entre Madrid y Barcelona”, que denotaríamos P(x,y,z), o cuatro… y así sucesivamente. Serían predicados diádicos, triádicos, etc, respectivamente.

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Vamos al lío.

Si tenemos un cierto Conjunto Universal (los españoles, los hispanoparlantes, la Humanidad en pleno, las plantas de mi jardín… lo que sea), podemos definir un cierto predicado que sea cierto para todos y cada uno de los componentes de dicho Conjunto Universal (como en “Todos los hombres son mortales”), o bien que sea cierto solamente para algunos de ellos (como en “Algunos hombres son fontaneros”), o, por fin, que no sea cierto para ninguno (por ejemplo, “Ninguna planta de mi jardín sabe hablar”).

Creo que os habéis dado cuenta de que ésta es la definición formal de un concepto que estaba apareciendo de rondón en artículos anteriores de la serie, sobre todo en el de la implicación lógica y en el anterior, el del proceso deductivo. Me refiero a la distinción entre los predicados Universales, que aplican a todos los elementos que componen un cierto Conjunto Universal, y los Particulares, que sólo aplican a algunos elementos de dicho Conjunto Universal y no a otros.

Todo lo que hemos visto hasta ahora, la escurridiza implicación y el proceso deductivo, se aplican a cualquier proposición, sea del tipo que sea. Tanto nos da que las proposiciones sean ciertas en todo el universo o sólo en el rellano de mi escalera: el método para tratarlas es idéntico.

Es ahora, mediante el Cálculo de Predicados, donde se introduce el concepto Universal/Particular y donde se hacen distinciones evidentes según que un predicado sea de un tipo o de otro. Ladrillito a ladrillito, la casa cada vez es más alta y resistente…

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Bueno, pues para la definición formal de estos predicados, que se refieren a todo un conjunto o a sólo una parte, necesitamos algo más, algo que nos ayude a cuantificar cuántos elementos están afectados. Este algo más son los cuantificadores (), que junto con la negación () permiten expresar todos estos tipos de predicados.

Estos cuantificadores se definen de la forma siguiente:

Todos los hombres son mortales: (siendo H: “Los Hombres”, y P: “ser mortal”, y se lee: “Para todo x perteneciente a Los Hombres, x es mortal”).

Algunos hombres son fontaneros: (siendo H: “Los Hombres”, y P: “ser fontanero”, y se lee: “Existe algún x perteneciente a Los Hombres, donde x es fontanero”).

Ninguna planta de mi jardín sabe hablar: (siendo J: “Las Plantas de mi Jardín”, y P: “saber hablar”, y se lee: “Para todo x perteneciente a Las Plantas de mi Jardín, x no sabe hablar”).^[5]

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Como veis, hasta aquí no es muy complicado… Veamos ahora cuáles son las propiedades de los dos cuantificadores, el universal (Para todo) y el existencial (Existe), y cómo podemos representarlos en nuestra vieja conocida forma, como variables booleanas extraídas directamente del Cálculo Proposicional. No nos acobardemos: veréis que, en realidad es todo muy sencillo e intuitivo…

implica que , es decir, todos y cada uno de los que forman el conjunto universal estudiado cumplen que

En nuestro ejemplo de “todos los hombres son mortales”, esto quiere decir que Juan es mortal, Luis es mortal… etc, hasta El Tato es mortal: todos los individuos comprendidos en el conjunto de “Los Hombres” son mortales, por lo que “mortal(x)=1, para cualquier x”. Y esto lo podemos formular de forma sencilla como proposiciones, como vimos en el artículo correspondiente:

 o, en álgebra de Boole:

,

Tranquilidad en la Sala… Esta formulita de nada no hace ni más ni menos que decir lo siguiente: si todo x perteneciente a X cumple P(x) implica que si tomamos por separado todos y cada uno de los “x” que integran el conjunto X, y miramos qué le pasa a P(x), entonces resulta que la proposición P(x) es cierta, o sea, 1, para todos los x. Si no fuera así, no sería “Para todo…”.

Por tanto, la conjunción (·) de todos los P(x) individuales es 1 también (puesto que 1·1·1…·1=1, evidentemente).

.

Por otra parte, implica que habrá algún , al menos 1, en que ocurrirá que . Por ejemplo, como Juan es fontanero, (siendo P “ser fontanero”, en este caso). En notación proposicional, esto quedaría:

  o, en álgebra de Boole:

.

Ahora, lo que decimos con Existe un x perteneciente a X que cumple P(x) es, ni más ni menos, que al menos uno de todos los x que pertenecen al conjunto X debe cumplir que P(x)=1. Por tanto, la disyunción (la suma lógica, el +) de todos los P(x) tendrá como resultado 1, dado que hay uno, al menos un P(x), ése que “existe“, cuyo valor es 1. Entonces, por mucho que todos los demás P(x) valgan 0 (sean falsos), ese único valor verdadero (ese único Juan que sí que es un fontanero de rompe y rasga) hará verdadera la suma lógica.

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¿Y qué pasa con la negación de un cuantificador? Veamos:

 , debido a la aplicación de la siempre tan útil Ley de De Morgan, y por tanto:

Es natural y lógico. Decir que “No todo x cumple P(x)” es lo mismo que decir que “Existe un x tal que no se cumple P(x)“, o lo que es lo mismo, “Existe un x para el que no se cumple P(x)“, y por fin, “Existe un x tal que P(x)=0“.

O sea, traduciendo al lenguaje natural, si no todo el mundo es fontanero, es porque hay alguien, al menos uno, yo mismo sin ir más lejos, que no es fontanero. Una perogrullada como una casa.

¿Veis cómo en realidad las fórmulas son muy sencillas? Imponen, con tanta x y tanto simbolito raro, pero son evidentes.

Al contrario, es fácil demostrar que . Es decir, si no existe nadie que sea fontanero es porque todo el mundo no es fontanero. Otra vez evidente, al traducirlo al lenguaje cotidiano.

.

Entonces, refiriéndose al producto lógico, o sea, booleano, y no a la multiplicación “normal”, como supongo que os habréis dado cuenta, y en cuanto al cuantificador existencial:

^[6]

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Por otra parte, ¿qué pasaría si nuestro predicado no fuera monádico, sino que se refiriera a dos términos a los que pone en relación?

Pues, si tenemos la expresión , podemos operar con ella de la siguiente manera:

…

.

Este tocho de fórmulas es intimidante, de acuerdo, pero en lenguaje cotidiano es una obviedad. En realidad no quiere decir ni más ni menos que lo siguiente: que todas las posibles combinaciones de P(x,y), tomemos como tomemos los x’s y lo y’s, los emparejemos como los emparejemos,  tendrán siempre como resultado 1, y por tanto,  la conjunción (con Y, con ·) de todas ellas, como todas valen 1, será 1 también.

Así, por ejemplo, si decimos que en un pueblo todo el mundo es amigo de todo el mundo, con lo que el predicado básico es Ser Amigo(x,y), que valora si x e y son amigos (y valdrá 1 si sí que son amigos, y 0 si no lo son),^[7] entonces, elijamos como elijamos las x’s y las y’s, sean quienes sean esos x e y, aunque vivan en los extremos más alejados del pueblo, son efectivamente amigos, así que para ellos el predicado Ser Amigo(x,y) es igual a 1, y por tanto la conjunción (el producto lógico) de todos ellos será 1 también. No es tan difícil, como veis.

Para  tres variables (x,y,z), cuatro, etc, procederíamos de igual manera, generalizando esta misma fórmula.

Y naturalmente, dada la simetría del álgebra de Boole, podemos de la misma forma asegurar que

No lo voy a escribir, pero cambiando el + y el · sale del tirón…

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Por otra parte, es sencillo demostrar que los cuantificadores pueden “saltar” por los signos de conjunción o disyunción a través de las funciones. Veamos (y que no os intimiden las fórmulas, que parecen muy complicadas pero no lo son en absoluto).

En primer lugar, supongamos que tenemos los dos siguientes predicados individuales:

: “Hace frío”, y

: “Todas las vacas tienen cuernos”, o, mejor expresado, “Para todo x perteneciente al conjunto de las vacas, x tiene cuernos”.

Entonces el predicado significaría “Hace frío y todas las vacas tienen cuernos”. Es evidente que “p” es aquí un predicado que no tiene nada que ver con la variable y, es independiente a ella (porque hace frío, o no, independientemente de que las vacas tengan o no cuernos).

Operemos ahora un poco con este predicado compuesto:

Es decir: , lo que quiere decir en nuestro ejemplo que “Para todo x perteneciente al conjunto de las vacas, hace frío y x tiene cuernos”. Como veréis es incluso realmente difícil expresar esta sutil distinción en español.

Ahora veamos qué le ocurre al siguiente predicado: . Operando:

. . .

Aquí, cada predicado es independiente de (tiene que ver con la variable x, que es obviamente distinta de y), así que podemos aplicar la propiedad que demostramos unas líneas más arriba. Queda que:

Entonces podemos finalmente afirmar que:

, y que el cuantificador “Para todo” puede saltar a través de la fórmula del predicado, a guisa de saltimbanqui…

Análogamente (esto ya no lo demuestro: es prácticamente inmediato en base a lo anterior):

y por fin:

Bello, ¿no?

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Se define entonces la Forma Normal PRENEX para representar fórmulas en Cálculo de Predicados, donde las funciones adoptan la forma siguiente:

Primero, todos los cuantificadores, en cabeza de la fórmula, aprovechando que pueden “saltar” a través de ellas.

Después, todas las expresiones, ligadas exclusivamente por conjunciones, , o disyunciones, , y donde la negación, las que haya, están aplicadas exclusivamente a las proposiciones simples, no a expresiones.

Esta última parte es sencilla de ver, pues ya vimos cómo se podía convertir cualquier expresión booleana a una suma de productos, para llegar a expresar toda función booleana en su Forma Normal Disyuntiva (o Conjuntiva, tanto da)… y dado que los cuantificadores pueden “saltar” a través de la expresión (siempre que se refieran a las propias variables sobre las que saltan, o bien sean independientes de ellas), no es muy difícil llegar a escribir cualquier predicado, por compleja que sea su expresión, en Forma Norma PRENEX. Con ello se consigue tener una forma de expresión que permite comparar diferentes expresiones con predicados, para ver si son iguales o, si no lo son, en qué se diferencian (algo similar a lo que se obtenía mediante la Forma Normal Disyuntiva, si os acordáis).

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Un ejemplo. Se pide escribir en Forma Normal PRENEX la siguiente expresión:

Veamos…

 en primer lugar, una simplificación de la implicación “”  …

  ahora un cambio de cuantificador negado: No existe ningún x tal que R(x) es lo mismo que Para Todo x se cumple que No R(x). R(x) aquí hace referencia a la expresión compleja que hay dentro del paréntesis…

 la negación entra dentro del paréntesis, y en el camino cambia el por el , según la Ley de De Morgan…

  otro nuevo cambio de cuantificador negado: No todo y cumple Q(y) es lo mismo que Existe un y tal que No se cumple Q(y)…

 ahora el cuantificador existencial salta, a modo de saltimbanqui, a través del paréntesis…

,  et voilà!, la expresión resultante ya está en Forma Normal PRENEX.

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Vaya. Ha salido un artículo relativamente cortito para mis costumbres. Pero otra vez intenso. Creo.

Se está terminando el mes de abril… de 1974. Sólo quedan un par de clases, como mucho,^[8] antes de los exámenes finales, así que usamos esas dos clases finales para terminar con algún detalle y hacer ejercicios para ejercitarnos antes de dichos exámenes… pero aún da para otro artículo más, que, esta vez sí, será el último de esta serie sobre Eso que llamamos Lógica que rememora las clases que Don José Cuena impartió a los alumnos de Segundo de Informática aquel calentito año de 1974… Hasta entonces.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Ni mucho menos el “modus ponendo tollens”, el “modus tollendo ponens” ni ningún otro tipo de inferencia clásica… sabiendo álgebra de Boole y cálculo proposicional, no hacen falta.
2. Es lo que los consultores llamarían un método “bottom-up”, o de abajo arriba, en contraposición al método “top-down”, de arriba abajo, o desde lo general a lo particular.
3. Ahora, con eso de “Bolonia”, el calendario universitario tradicional ha cambiado tanto que ya no sé cómo funciona.
4. Atentos al dato: Lo que yo tengo anotado en mis apuntes, el ejemplo que usó Pepe Cuena en 1974, no era “Juan es fontanero”, no, sino que era… “Juan es negro”. En aquella época, decir de alguien que “era negro” no tenía ninguna acepción extraña: su piel era de color negro o de algún tono más o menos chocolate, y punto. Si ahora se me ocurre poner en el texto principal, “Juan es negro”, así por las buenas, sirviéndome además para casi todos los ejemplos y diatribas posteriores, seguro que me cae la del pulpo. Ay, ¡cómo ha cambiado la sociedad española en cuarenta años! ¡Y qué mal llevo yo lo de la “corrección política”, eso de “personas de color”, “ciudadanos y ciudadanas”, “miembros y miembras” y demás sandeces, memeces y estupideces por el estilo.
5. Al menos, no saben hablar en español…
6. No tendré que repetir aquí que se trata de una suma lógica, y no aritmética… ¿verdad?
7. Y no, no vale “0,5″ si son conocidos pero no se llevan muy bien y tal… sólo 0 y 1.
8. Y eso si no hacemos huelga por alguna importante razón; a mediados de los setenta del siglo pasado ésa era una situación bastante común… los únicos que podían hacer huelga sin terminar en el trullo éramos los estudiantes, aunque ciertamente la autoridad de entonces lo llamaba más bien “hacer pellas”.

Aquejado de un insomnio galopante, el conde pasaba muchas noches en vela.

Corría el año 1741, y el conde Keyserlingk, que a pesar de su germánico nombre era un diplomático ruso, era a la sazón embajador del imperio ruso, cuya zarina era en aquellas fechas Ana de Rusia, en Dresde, la capital de Sajonia, cargo que ostentó hasta 1745, cuando fue destinado en Berlín, la capital de Prusia. El buen Hermann Carl era, como buen príncipe ruso de la época, rico, riquísimo, además de un hombre culto y amante del arte, condición indispensable para poder alternar con la nobleza y la realeza alemana de la época. Y, comme il faut, mantenía a su servicio un considerable número de criados, sirvientes y acompañantes, incluidos, naturalmente, músicos que amenizaban fiestas, reuniones y veladas.

Uno de estos músicos era Johann Gottlieb Goldberg, un dotado clavecinista reputado como uno de los más hábiles de su época, al que Keyserlingk conoció en 1737 y que desde entonces fue su protegido y músico de cabecera. Además, el conde Keyserlingk era, ¡faltaría más!, mecenas y protector de artistas y músicos, entre ellos de un tal Johann Sebastian Bach del que posiblemente hayáis oído algo, por entonces cantor de la Thomaskirche de Leipzig, también en Sajonia, hasta el punto de que llegó a apadrinar a Carl Philipp Emanuel Bach, hijo de Johann Sebastian. Fruto de esta relación mecenas-protegido fue que Goldberg fuera enviado a pasar temporadas con Bach para perfeccionar su técnica y aprender del gran factótum de la música religiosa luterana del siglo XVIII.

Sí, el conde Keyserlingk era un hombre afortunado, todo lo tenía, todo… pero no podía dormir.

Johann Sebastian Bach

Entonces al buen conde se le ocurrió encargar a su protegido y amigo Johann Sebastian la composición de alguna obra que, ejecutada por su fiel Goldberg, le permitiera conciliar el sueño. Entonces Bach decidió escribir para su mecenas un conjunto de variaciones para clavecín sobre un tema principal, alternando pasajes rápidos con otros más lentos, en general alegres y que exaltaran el espíritu de tal forma que llevaran al oyente a un estado de relajación que le ayudara a conciliar el sueño. Y todo eso, a pesar de que al gran Bach de 1741 no le gustaba nada componer variaciones: le resultaba aburrido y poco gratificante: su genio era tal que lo que para casi todo el mundo era dificilísimo o simplemente imposible, para él era trivial… Bach estaba por entonces en el culmen de su producción como Maestro Cantor de la Iglesia de Santo Tomás, donde compuso sus obras más insignes, como por ejemplo la Pasión según San Mateo que salió por estas páginas hace ya bastantes meses.

El resultado de tanto esfuerzo fue un conjunto de un aria (el tema principal), seguido de treinta variaciones sobre ella y terminadas con una repetición final del mismo aria inicial, cerrando así el círculo. Una variación sobre un cierto tema consiste en tomar dicho tema y alterar de forma consistente bien el tempo, la altura de las notas, su disposición u orden, añadirle contrapuntos, cánones, etc, de tal forma que, estando todas ellas basadas sin ambages en el tema original, son al oído del ignorante tan diferentes entre sí que parecen completamente distintas.

Una vez que las variaciones estuvieron en poder del conde Keyserlingk, se las encomendó a su clavecinista de cabecera, Goldberg, para su ejecución siempre que el embajador lo necesitara. A partir de ese momento, en las noches de insomnio el conde pedía a Goldberg que le tocara “alguna de mis variaciones”… y el conde por fin pudo dormir. Tal fue su agradecimiento que entregó a Bach, en pago por sus queridas Variaciones, la escandalosa cifra de cien luises de oro contenidos en una copa también de oro, el equivalente de unos 500 táleros, es decir, casi la misma suma que representaba para Bach un salario anual como maestro cantor de la Thomaskirche, que ya era un salario más que generoso… Y las variaciones fueron desde entonces conocidas como Variaciones Goldberg, en recuerdo del esforzado clavecinista del conde.^[1]

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Todos estos acontecimientos los refiere prolijamente el biógrafo de Bach, Johann Nikolaus Forkel, en la biografía suya que publicó en 1802, más de cincuenta años después de su muerte. La de Bach, quiero decir, que ocurrió en 1750. Y es una historia realmente bonita y sugerente: yo la conozco hace muchos años y siempre me fascinó.

Sí, es una historia bonita. Y falsa.

Prácticamente ningún estudioso de la obra y de la vida y circunstancias de Johann Sebastian Bach la da por verdadera. La obra, originalmente denominada por Bach “Aria con variaciones diversas para clave con dos teclados” fue compuesta a lo largo de varios años y publicada en 1741 como la cuarta parte del “Clavier-Übung”, algo así como “Ejercicios para teclado” para aficionados exigentes. Y competentes, vaya que sí. Las tres primeras partes eran: la primera, Seis partitas para clave; la segunda, el Concierto italiano y la Obertura francesa; y la tercera, la Misa alemana para órgano y cuatro duetos para clave.

El hecho de que la publicación se produjera en 1741 o 1742, es decir, en vida del autor, es una rareza. Sin embargo, es casi seguro que su composición sería años anterior, pues se ha encontrado una copia manuscrita del aria en un cuaderno de la segunda esposa de Bach, Anna Magdalena fechado hacia 1725, aunque bien pudo ser añadida después.

En fin, lo más probable es que bien Goldberg, bien el propio Keyserlingk, se hicieran con una copia de esa primera edición, quizá entregada por el propio Bach a su protector en un viaje a Dresde, y tanto fue el agradecimiento del conde y tanto las interpretó su clavecinista que, con el paso de los años, todo el mundo las conoce como “Variaciones Goldberg”. Le sirvieran para dormir, o no, pero eso nunca lo sabremos con seguridad, me temo.

En una palabra, lo que importa es que dentro de esta ignorante serie sobre música hoy toca disfrutar con una interpretación absolutamente maravillosa de estas Variaciones Goldberg. Ya me contaréis, ya…

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Clavecín, Siglo XVIII

Las Variaciones Goldberg están escritas para clave, es decir, un instrumento de teclado^[2] con dos teclados, situados uno por encima del otro; es posible, y muy normal en las obras compuestas para clave, que una mano esté ejecutando la pieza en uno de los teclados y la otra mano, en el otro, es una técnica habitual al tocar el clave, que, por otra parte, era casi el único instrumento de teclado (junto con el órgano, que es de viento) de la época.

En efecto, el pianoforte, que había sido inventado por Bartolomeo Cristofori a comienzos del siglo XVIII, aún no tenía la gran difusión que tendría unos años después, debido a que la construcción de estos primeros pianos dejaba bastante que desear. A diferencia del clave, el mecanismo del pianoforte hace que al pulsar una tecla un martillo golpea la cuerda equivalente; la gran diferencia con el clave reside en que dependiendo de la fuerza con que se pulsa la tecla, así golpea el martillo la cuerda, permitiendo un sonido suave (piano) o fuerte (forte) según la firmeza de la pulsación. De ahí su nombre: piano-forte. Sólo con la experimentación y la mejora del mecanismo a lo largo de los años se obtuvieron pianofortes que obtuvieran con fidelidad los sonidos que se suponía que debían obtener. De hecho, Bach no compuso pieza alguna para pianoforte; seguramente sí llegó a conocerlo, pero no le interesó para componer sus refinadas piezas para ser ejecutadas en él.^[3]

Si las Variaciones Goldberg fueron compuestas originalmente para clave se podría pensar que éste sería el instrumento adecuado para su interpretación. Y lo es, claro, pero es que los modernos pianos no son como los del siglo XVIII, han mejorado “un poquito”, así que, en la modestísima opinión de este ignorante escribidor, el instrumento con el que se obtienen los mejores resultados, con el que se consigue reflejar mejor el espíritu de esta obra, es con el piano. Su capacidad de variar la potencia del sonido (piano-forte) según la fuerza aplicada en la tecla permite una mayor capacidad expresiva que con el clave, donde cada tecla siempre suena con la misma potencia independientemente de cómo se pulse la tecla… Y para ejecutar la obra en el piano sólo hay que transcribir la partitura para este instrumento. Fácil.

Bueno, fácil, fácil… Sí, fácil es hacer la transcripción. En alguna parte olvidada he leído que transcribir del clave al piano es sencillo y casi automático, aunque ya sabéis que como no sé nada de estas cosas, igual es todo lo contrario… Pero, claro, el clave tiene dos teclados diferentes y el piano solamente uno, así que, por muy fácil que sea transcribir la obra, el resultado no tiene por qué ser fácil de ejecutar. Y eso es lo que pasa exactamente con las Variaciones Goldberg al transcribirlas para piano. A la enorme dificultad de ejecutarlas en el clave original, con sus cánones a tres y cuatro voces, sus esmerados contrapuntos y su delicada armonía, se suma el hecho de que, al tener un solo teclado, es necesario ahora, para ejecutar las variaciones esritas para los dos teclados, que son bastantes, que las manos se crucen una y otra vez, incluso que estén ambas manos sobre literalmente el mismo grupo de notas, una sobre otra, en un dificilísimo ejercicio de acrobacia pianística…

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Y aquí es donde entra el tercer protagonista del artículo de hoy, tras el compositor (Bach) y el clavecinista que dio nombre a la obra (Goldberg). Demos la bienvenida a uno de los más eximios pianistas de todos los tiempos: el canadiense Glenn Gould.

Glenn Gould

Glenn Herbert Gould nació en Toronto en 1932, y falleció en 1982, a los cincuenta años de edad. Dotado de una técnica sobrenatural, sin embargo era un auténtico inadaptado social. Lleno de manías a cuál más rara, tenía dificultades para relacionarse con el personal; muchos años después de su muerte fue diagnosticado como poseedor del síndrome de Asperger, no me preguntéis por qué métodos. Los afectados de este síndrome suelen ser inteligentísimos y muy creativos, pero tienen serias dificultades para percibir o sentir emociones, lo que les lleva en muchos casos a no poder relacionarse normalmente son sus semejantes, incluso a la marginación social.

En el caso de Gould, éste siempre se interesó por la tecnología de la grabación. Era un estudioso de las técnicas de grabación aplicadas a la música, y de hecho se sentía mucho más a gusto en un estudio de grabación que en una interpretación en directo. Efectivamente, maníaco de la perfección hasta lo indecible, él se daba cuenta de los pequeños errores que cometía en los conciertos en directo (errores inevitables, por otra parte), aunque nadie entre el auditorio se hubiera dado cuenta de ellos, y esos errores le fastidiaban; entre eso y que el aplauso del público y su admiración realmente le traían al pairo (típico de los “aspergianos”), el caso es que en 1964, con 32 años aún sin cumplir, decidió dejar los conciertos en directo (cuando era una de las mayores figuras mundiales) y dedicarse en exclusiva a la grabación en estudio. Mientras a la mayoría de grandes pianistas los micrófonos les intimidan, pues captan todos y cada uno de los errorcillos que pasan desapercibidos en el directo, Glenn se sentía realmente a sus anchas rodeado de ellos, o de cámaras, a solas con ellos y su piano.

En conversaciones con otros afamados pianistas, afirmaba (con buena parte de razón), que la influencia que él tendría con sus interpretaciones sería muy superior a la que el otro obtendría con sus conciertos en directo. Decía que “siempre que haya dudas o se desee recordar una ejecución, basta con poner el disco y escuchar de nuevo la obra…”.

Y el caso es que verle tocar en directo debía ser todo un espectáculo. Solía aparecer para realizar sus grabaciones (y antes, sus conciertos) con abrigos, bufandas y guantes, aunque fuera pleno verano, con un cargamento de píldoras, jarabes y medicamentos varios para cualquier posible afección real o imaginada, y siempre, siempre, con su silla…

…Con su especialísima silla especial de tocar el piano: una desvencijada silla de enea, baqueteada por sus viajes a lo largo y lo ancho el mundo, con las patas recortadas de tal manera que el teclado le quedaba a la altura casi de la barbilla, lo que le obligaba a tocar en una extrañísima postura, encorvado sobre el piano y con una posición de brazos completamente antinatural… no es que lo diga yo; lo vais a ver en un momentito, así que no digo más.

¡Ah, y canta! Cuando Glenn Gould ejecuta una obra, sobre todo las que de verdad le gustan, canta. Tararea y sigue el ritmo con sonidos guturales que son perfectamente audibles en la gran mayoría de sus grabaciones… y también eso lo vais a ver en unos momentos. Supongo que algún editor meticuloso le reprocharía este canturreo que “estropea” la nitidez sobrenatural de sus interpretaciones… pero, claro, eso también le importaba un ardite.

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Seguiremos la audición de la obra con una película que se rodó con motivo de su ¡cuarta! grabación de las Variaciones Goldberg, en 1981, sólo un año antes de su fallecimiento en 1982, debido a un infarto cerebral. Esta grabación concreta está universalmente reconocida como la grabación de referencia de las Goldberg, y esta vez sí veremos al artista desplegar su arte ejecutando la dificilísima obra, en lugar de ver fotos de paisajes o de Bach o del mismo Gould o lo que sea…

La película comienza con unos minutos en los que el locutor introduce la obra y al intérprete, y luego prosigue con una corta entrevista al propio Gould, donde expresa su ideario acerca de la interpretación de esta obra y en general… Toda esta introducción dura unos seis minutos, y en el minuto 6:35 comienza ya la obra en sí, que se desarrollará sin interrupciones hasta su conclusión: su duración total es de unos 50 minutos y toda ella está en un solo video.^[4]

Es excelente la realización, extraordinario el sonido, y de la interpretación ya, ni hablo. Es para mí un auténtico placer presentaros a Glenn Gould cantando y haciendo cantar a su magnífico piano Steinway en estas maravillosas Variaciones Goldberg.

Como en la Wikipedia mismamente hay una descripción estupenda de cómo es el aria y cada variación, me limitaré a daros una indicación del minuto exacto en que comienza cada una de ellas, para que no tengáis que perder de vista a Mr. Gould haciendo fantasía en honor a Bach. Únicamente comentar que cada tres variaciones Bach introduce un canon, supongo que para hacer más alegre y festiva la obra completa… ¡o para poner a prueba a Herr Goldberg!. En fin, vamos ya con el video.

El Aria inicial, tocada con enorme dulzura y recreándose en ella como se merece, comienza en el minuto 6:35 del video. A partir de ahí, cada variación comienza en los minutos siguientes (segundillo más o menos):

Variación 1: Minuto 9:25.

Variación 2: Minuto 10:35

Variación 3 – Canon al unísono: Minuto 11:25

Variación 4: Minuto 12:55

Variación 5: Minuto 13:45 (Una locura de variación: obsérvese el cruce continuo de manos)

Variación 6 – Canon a la segunda: Minuto 14:20

Variación 7 – Al tempo di Giga: Minuto 15:00

Variación 8: Minuto 16:20

Variación 9 – Canon a la tercera: Minuto 17:15

Variación 10 – Fughetta: Minuto 18:15

Variación 11: Minuto 19:15

Variación 12 – Canon a la cuarta: Minuto 20:10

Variación 13: Minuto 21:45

Variación 14: Minuto 24:25

Variación 15 – Canon a la quinta (in moto contrario): Minuto 25:30

Variación 16 – Ouverture: Minuto 30:30

Variación 17: Minuto 32:10

Variación 18 – Canon a la sexta: Minuto 33:05

Variación 19: Minuto 34:05

Variación 20: Minuto 35:10 (Otra locura de interpretación)

Variación 21 – Canon a la séptima: Minuto 36:00

Variación 22 – Alla breve: Minuto 38:15

Variación 23: Minuto 39:20

Variación 24 – Canon a la octava: Minuto 40:15

Variación 25 – Adagio: Minuto 41:55

Variación 26: Minuto 47:55

Variación 27 – Canon a la novena: Minuto 48:50

Variación 28: Minuto 50:15

Variación 29: Minuto 51:15

Variación 30 – Quodlibet: Minuto 52:15

Aria da capo (o sea, la misma que la que abría la obra, aunque ahora ejecutada un poco más lentamente que al principio, si cabe con aún mayor dulzura y expresión): Minuto 53:45. Por cierto, el realizador nos obsequia aquí con un primer plano de los micrófonos, esos grandes amigos de Gould…

La obra termina en el minuto 57:25, quedando junto al piano tan sólo la silla, esa sillita ridícula que usaba el gran hombre, bajo los focos, hasta el final del film.

Ni que decir tiene que existen muchas grabaciones de las Variaciones Goldberg. Es obvio recomendar la que para mí es la mejor versión de todas la de Glenn Gould, pero todos los grandes pianistas la han tocado y, muchos de ellos, grabado, como puede ser el caso del gran pìanista y director argentino, Daniel Barenboim o la tremendamente eficaz del checo Jenö Jandó (la estrella emergente del sello Naxos). Y también existen bastantes grabaciones con el clave para el que fueron originalmente escritas, como la del clavecinista y organista Richard Egarr, por ejemplo. Pero es que además hay versiones para otros instrumentos, como por ejemplo para Trío de Cuerda, orquesta de cuerda, arpa, violas… En fin, mucho y bueno donde elegir, aunque ya os advierto que en todas partes encontraréis alguna de las versiones de Glenn Gould…

En Spotify hay, como es de suponer, muchas versiones de las Variaciones Goldberg, pero he seleccionado una versión del propio Gould, pero grabada mucho antes que la del video, así podéis comparar cómo entendía la obra el artista canadiense cuando tenía veintitantos años con cómo la entendía con casi cincuenta. He aquí su enlace. Pero, eso sí, preparaos para escuchar publicidad si sois gratuitos, como es mi caso, pues son 32 piezas en total, aunque muchas de ellas de menos de un minuto de duración. En cualquier caso, está también en Spotify la versión de Gould 1981, la del video, por si os gusta más, y es muy sencilla de encontrar.

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En este caso, y sin que sirva de precedente, no sé si voy a poder contradecir a Glenn Gould. Esta versión suya de la Variaciones Goldberg, así como de otras muchas obras, nunca se escucharon en salas de Conciertos… pero era debido más a su especial forma de entender las relaciones humanas que a que el resultado fuera mejor. Seguro, seguro, que en directo sonaría mejor… por muchos pequeños (¡o no tan pequeños!) errores que el intérprete pueda cometer. Siempre que se pueda, en directo.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. Igual se hubieran podido llamar “Variaciones von Keyserlingk”, pero así son las cosas.
2. El clave es un instrumento de cuerda pulsada, similar al arpa o la guitarra, pues la pulsación de una tecla origina una pulsación de la cuerda correspondiente.
3. Esto es raro, pues realmente Bach compuso obras para casi cualquier instrumento conocido de su época, incluido alguno que no se conserva, pero no para pianoforte.
4. Gracias a Youtube/Google desde que eliminó la duración máxima de los videos: los aficionados a la música clásica se lo agradecemos infinitamente.

Llegamos a que , o sea, la implicación es cierta si el antecedente es falso o verdadero el consecuente (o ambas cosas, claro), e intenté justificar por qué es así y no de otra manera. Espero haberlo conseguido.

Esto, en álgebra de Boole, se representa así: .

Estamos más o menos en marzo de 1974. Semana Santa acecha, con sus consabidas vacaciones y sus exámenes parciales, se acercan los exámenes finales, y hay que apretar. Veamos cómo empieza hoy la clase Pepe Cuena…

Pero antes de comenzar a deducir nada debo insistir una vez más en cuál es la función de la Lógica formal que estoy contando, con la inestimable ayuda de Pepe Cuena a través del Túnel del Tiempo.

Hemos visto que, teniendo de unas ciertas proposiciones individuales, éstas se pueden combinar de mil y una formas, mediante disyuntivas, conjuntivas o negaciones, con implicaciones, etc, mediante el cálculo proposicional. En todos los casos hemos visto cómo calcular el valor de verdad de la proposición compuesta resultante en base a los valores de verdad de las proposiciones atómicas que las componen, bien de forma algebraica, bien mediante las tan útiles tablas de verdad. Hemos puesto diversos ejemplos, rebatido falacias… y hay que reconocer que el resultado de alguna de estas frases era, cuando menos, chocante, sobre todo cuando lidiábamos con las consecuencias de la escurridiza implicación lógica del capítulo anterior.

Por ejemplo, una frase como “Si la arcilla es un metal, entonces es maleable” es radicalmente verdadera, por mucho que todos sepamos que la arcilla no es de ninguna manera un metal. Y es así porque sólo resultaría falsa en el caso de que siendo verdadero el antecedente (La arcilla es un metal) entonces fuera falso el consecuente (la arcilla es maleable). Como resulta que la arcilla sí es maleable, ese caso no se da, y por tanto la implicación es verdadera. Y eso nos choca, nos suena a cuento chino y nos hace desconfiar de los resultados de la aplicación de las fórmulas… ¡Si ya decía yo que la implicación era escurridiza!

Entonces ¿qué es lo que ocurre? Pues dos cositas, dos nimios detalles que muchas veces damos por sentado y otras… olvidamos, a saber:

Primero: La Lógica trata con proposiciones, y dije en el capítulo correspondiente, he repetido varias veces desde entonces y repito una vez más ahora que “Una proposición es una frase a la que podemos atribuir sin ningún género de duda un valor de certeza o falsedad”. Atención: “sin ningún género de duda”.

Esto elimina todas las frases que no sean objetivamente catalogables en cierto momento como verdad o mentira, es decir, muchísimas afirmaciones de filósofos y pensadores de todos los tiempos que tienen que ver con la divinidad, la naturaleza humana, la moral, etc, etc. Por ejemplo, la frase “Los arios son una raza superior” seguramente sería clasificada como verdad inmutable por los jerarcas y pensadores nazis, pero sería terminantemente catalogada como falsa de toda falsedad por casi todos los demás. ¿Es verdadera o es falsa? ¿Qué conclusiones podemos obtener de cualquier proposición compleja en la que aparezca esta frasecita? Pues eso.

Y segundo, y casi más importante: La Lógica formal no entiende nada acerca de si una proposición individual es verdadera o falsa. No tiene ni la menor idea de si p o q son verdaderas o falsas, ni le importa, ni le interesa lo más mínimo. Lo que sí formaliza es qué les ocurre a las diferentes proposiciones complejas que se forman conjugando o negando o implicando proposiciones individuales, en función de los diferentes valores de verdad de las proposiciones individuales que las forman.

Asegura la Lógica que, por ejemplo, si tenemos la proposición (p•q), esa proposición compleja sólo será cierta si tanto p como q son ciertas, y en cualquier otro caso, p•q es falsa. ¿Qué es lo que dice esta aseveración acerca del valor de verdad o falsedad de p y de q?

Efectivamente: Nada. Nada de nada.

Entonces, ¿quién es el responsable de fijar en cada caso si p o q son verdaderas o falsas? Nosotros, desde luego. No “La Lógica”, sino nuestra percepción o nuestro conocimiento o nuestras costumbres o lo que sea. Para fijar qué proposiciones son ciertas y cuáles falsas están otras disciplinas filosóficas (Ética, Moral, Ontología, etc), o científicas (Termodinámica, Trigonometría, Floricultura, Cromodinámica cuántica, etc). No la Lógica.

En este aspecto la Lógica es como la Matemática: ésta última permite transformar ecuaciones en base a una serie de reglas (por ejemplo, los axiomas de Peano) sin entrar a descifrar su significado. Son otras ramas de la ciencia quienes “descifran” las ecuaciones y las aplican a casos concretos del mundo real; por ejemplo, la fórmula V=I•R (la famosa Ley de Ohm) sale como consecuencia de la aplicación estricta de las reglas matemáticas sobre una serie de otras ecuaciones iniciales. Quien decide si las ecuaciones de partida son verdaderas o falsas no es la Matemática, claro, sino los físicos de la Electricidad. La Matemática garantiza nada más (¡y nada menos!) que todas las transformaciones matemáticas realizadas hasta llegar a V=I•R  son correctas, así que si las ecuaciones iniciales son verdaderas, entonces la conclusión lo es también. Fijaos bien: si las ecuaciones iniciales son verdaderas.

Pues lo mismo ocurre con la Lógica. Dadas una serie de proposiciones iniciales combinadas de cierta manera, por complicada que ésta sea, la Lógica (que no deja de ser una rama de la Matemática) nos dice cómo podemos transformarlas y nos asegura qué les ocurre a las proposiciones que con ellas se forman, según sea el valor de verdad o falsedad de esas proposiciones iniciales… valor de certeza o falsedad que tienen que proporcionar otras personas u otras ciencias. No la Lógica.

Espero haber aclarado un poco más este concepto, que será muy importante para ver lo que viene a continuación: cómo se razona formalmente usando las reglas de la Lógica, es decir, cómo se pueden deducir unas cosas a partir de otras mediante la aplicación razonada de todos los artefactos lógicos que hemos visto hasta ahora. Es decir, vamos a usar los ladrillitos que hemos ido fabricando en los capítulos anteriores para construir primero paredes, luego edificios, luego ciudades… En una palabra, vamos ya a destripar el proceso de Deducción Lógica.

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Antes que nada, hay que definir formalmente qué es una Tautología, puesto que nos hará falta manejar bien este concepto en todo lo que sigue.

Una Tautología es una proposición lógica que es siempre verdad, pero siempre, siempre, como las promesas de un político, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Por ejemplo, la estúpida frase “Hace calor O No hace calor”, es una tautología: tanto da si hace calor como si no, por fas o por nefas, la frase resultante es obviamente cierta. Muchos políticos, analistas, consultores, economistas y demás basan sus discursos en tautologías más o menos elaboradas para que no resulten tan evidentes a primera vista, de tal modo que sea poco menos que imposible que se equivoquen en sus predicciones. Y aún así, no consiguen acertar…

El caso contrario, cuando una proposición lógica es intrínsecamente falsa, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones atómicas individuales que la forman, se llama Contradicción. “Llueve Y no llueve” es una contradicción: pase lo que pase en la calle, es falsa. Frase idiota,^[1] y encima falsa.

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El auténtico Rey de la Deducción nos contempla...

Definidos estos dos conceptos, para seguir con la exposición hay que definir matemáticamente cómo es la deducción.

Según la Real Academia de la Lengua, deducir es “Inferir, sacar consecuencias de un principio, proposición o supuesto“. No es ésta una definición matemática, como podréis comprobar, así que habrá que ponerse a ello…

Desde ese punto de vista formal, la deducción, que es una de las herramientas matemáticas y lógicas más potentes, consiste en deducir (inferir, construir, crear) nuevas frases a partir de otras preexistentes, llamadas premisas, de tal modo que, si las premisas son todas ellas ciertas, también lo sea la frase deducida, la conclusión.

Esto es intuitivo, de acuerdo, pero hay que asegurarse bien de que cuando deducimos algo, estamos haciéndolo bien, es decir, tenemos que asegurar formalmente que el proceso de deducción en sí mismo es correcto.

En una palabra, si las premisas en que nos basamos, los antecedentes, son verdaderos, entonces, de forma irremediable, obligatoria, necesaria, el consecuente, lo deducido, debe ser verdadero también. Si no fuera así es que el propio proceso deductivo es erróneo.

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En realidad, estamos tan acostumbrados a deducir cosas a partir de otras, a inferir resultados, comportamientos y acciones a partir de otros, que damos el proceso por sentado. Y no es así.

Bueno, no es que no sea así, entendedme, pero hay que formalizarlo para que podamos decir sin temor a equivocarnos que cuando deducimos unas cosas a partir de otras lo hacemos bien, es decir: que podemos fiarnos del resultado de la deducción, para poder seguir deduciendo otras frases a partir de ahí.

Es la base, esto es la base de prácticamente todo en la ciencia y la matemática. Si esto no funciona… se nos cae todo el edificio matemático, así que mejor formalizarlo, y hacerlo bien.

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Veamos:

Si tenemos, por ejemplo, tres premisas A, B y C,^[2] y queremos deducir de ellas una conclusión D, debe ocurrir que cuando todas las premisas son verdad (es decir, en cálculo proposicional: ), entonces la conclusión (D) debe ser también verdad, es decir, igual a 1, o sea, .

Para expresar esta frase según los dictados de la Lógica formal necesitamos de una buena implicación, que para eso las conocemos ya y no nos asustan.

La fórmula es, evidentemente:

Fórmula que en español leeríamos, más o menos: “Si ocurren simultáneamente A, B y C, entonces ocurre D, y esto pasa siempre, siempre“.

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¿Cómo se interpreta esta formulita de arriba?^[3]

Pues que siempre que se cumple que las tres premisas son ciertas,^[4] la conclusión debe serlo también, por lo que la propia implicación lógica debe ser también verdad… o sea, una tautología.^[5]

En una palabra, la tabla de verdad de la expresión anterior,   debe ser una tautología, es decir, todos los valores resultado para todas las combinaciones posibles de valores deben ser 1. Si no fuera una tautología, si con alguna cierta combinación de valores de A, B y C, por un lado, y de D, por el otro, la implicación diera un resultado falso, no podríamos deducir nada, no sería una deducción válida, o mejor dicho, se trataría de una deducción no válida, incorrecta.

Ahora bien, si recordáis la tabla de verdad de la implicación lógica, (en nuestro ejemplo p es la conjunción de las tres premisas originales: ), hay un caso en que el resultado de la implicación es falso… ¿Recordáis? Sí, seguro que recordáis:

Esto choca con lo que acabo de decir, que para que la deducción sea posible es preciso que , y esto para cualquier valor, luego debe ser obligatoriamente una tautología… O sea, que hay que quitarse de enmedio esa fatídica “F“.^[6]

¿Cómo resolverlo? No queda más remedio que obligar a que, cuando p sea verdad, q sea obligatoriamente verdad. Y hay que darle una forma formal, valga la redundancia.

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Desde hace muchos cientos de años los filósofos se han ocupado de este problema, que no es ni más ni menos que la forma común de razonar de la gente, pero, además, es un razonamiento central a la matemática y la ciencia en sí. En el lenguaje corriente se ha llegado a una fórmula que representa fielmente esta forma de razonar, de deducir cosas a partir de otras con la seguridad de que el razonamiento es correcto. Esta fórmula tiene desde tiempos antiguos un llamativo nombre en latín que a muchos os sonará: modus ponens (o, para los más precisos, “modus ponendo ponens”, toma ya).

El modus ponens se representa de la forma siguiente:

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Que las fórmulas no nos acobarden: es muy sencillo, en realidad, e intuitivo. Veámoslo con un ejemplo que ya hemos analizado hasta la saciedad en el artículo anterior, con estornudos y ojos que se cierran:

Estoy estornudando.

Si estornudo, cierro los ojos.

Luego: Cierro los ojos.

El sentido común nos dice que esto es efectivamente así, que el razonamiento es plenamente correcto: si es cierto que “estoy estornudando“, y es también cierto que “si estornudo, entonces cierro los ojos“, si ambas son ciertas, repito, y sólo en ese caso,^[7] entonces indefectiblemente debo estar con los ojos cerrados. Ciego total. Sin ver ni un pimiento.

Y en el ejemplo del prometedor (porque promete cosas) político del último artículo, ése que decía que “Si gano la elección construiré un hospital“, imaginemos que le hemos creído a pies juntillas, que le votamos y que al final ganó la elección. Por tanto, podríamos asegurar que:

El político ganó la elección.

Si gana la elección, entonces construirá un hospital.

Ergo: Construirá un hospital.    Esta conclusión es indefectible, inevitable como el devenir de las estaciones: en unos meses o un par de años habrá un nuevo hospital en la zona…

…Ah. ¿Que no lo construyeron? Vaya. Qué cosas.

Pues el razonamiento está bien hecho, es un razonamiento correcto, ni Descartes lo hubiera hecho mejor… así que en este caso habrá que reexaminar la certeza o falsedad de las premisas. Como parece innegable que nuestro político ganó la elección, que yo le he visto celebrarlo efusivamente en la tele, parece que la única posibilidad factible para que no tengamos hospital nuevo es que la frase “Si gano la elección, construiré un hospital” sea falsa. Falsa como un billete de 38 euros y medio…

Entonces, si la frase de marras, la promesa electoral de nuestro amigo, es falsa, simple y llanamente falsa, es porque, vean Vds., quien la dijo, mintió. Ni más ni menos. Nos la ha dado con queso, nos ha engañado, nos ha hecho un trile. Así que, en justa correspondencia, escarmentados, en las próximas elecciones no le votamos más, por mentiroso.

Ah, ¿que esto tampoco es exactamente así…? Uff, ya decía yo que de Lógica humana sabía yo más bien poco…

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Sigamos con el razonamiento. El modus ponens se especificaba como:

Bien. Si escribimos todo esto según los dictados del cálculo proposicional, llegaremos a que .

Efectivamente, la conjunción (Y) de las dos premisas implicando la conclusión es una tautología. El que una de las dos premisas sea otra implicación es, en realidad, irrelevante, pues no deja de ser una proposición, ni más ni menos que una proposición monda y lironda como otra cualquiera, que puede ser evaluada como cierta o falsa sin dificultad.

Supongo, además, que os habéis dado cuenta de que para obtener un modus ponens con toda la barba, y a la luz del Cálculo Proposicional y su propiedad conmutativa, el orden en que se presentan las dos premisas es irrelevante. Es decir, también sería un modus ponens válido si expresamos las proposiciones de la forma siguiente:^[8]

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Sólo queda comprobar una pequeña cosita… ¿en verdad esta construcción es una tautología?

No os fiéis de mi palabra: comprobémoslo, como siempre, mirando su tabla de verdad.

Efectivamente, resulta una tautología, su resultado siempre es verdadero. ¿No lo ves? Espera, vamos a hacerlo mediante nuestra amiga, la eficacísima álgebra de Boole, verás qué rápido lo entiendes.

Listo.^[9]

Por lo tanto, el hecho de deducir es ver si puede existir formalmente una relación tal que, cuando la conjunción de todas las premisas sea verdad (o sea, todas ellas son simultáneamente verdad) entonces la conclusión ha de ser necesariamente verdad.

Si alguna de las premisas es falsa entonces la conclusión puede ser verdadera, falsa o mediopensionista, no podremos asegurar nada en absoluto sobre ella, como ocurre en el ejemplo de la hospitalaria promesa del político.

Por cierto, y esto es importante, el razonamiento puede ser correcto o incorrecto, nunca verdadero o falso. Las premisas lo son, verdaderas o falsas; el razonamiento en sí no lo es. Si el razonamiento que hemos hecho es correcto, entonces, cuando todas las premisas sean verdad, y sólo en ese caso, podemos asegurar que la conclusión es verdadera también. Eso es lo que se llama una buena deducción…

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Atención: Podría parecer que el proceso deductivo sólo puede hacerse con Leyes Universales, con enunciados que abarquen a todo un conjunto universal, incluso a todo un Universo… Pues no, señores, no es así. El proceso descrito hasta ahora es correcto sean como sean los enunciados sobre los que se aplica… siempre que las premisas sean ciertas, insisto por enésima vez.

Tanto da que apliquemos el proceso deductivo a la Ley de la Relatividad General^[10], como al hecho de  si como o no como palomitas en el cine.^[11] En ambos casos el proceso de falsamiento es el mismo: buscar contraejemplos.^[12] Claro que las repercusiones de falsar la Relatividad General no son comparables a las de falsar mi impenitente avidez por palomitas en el cine… pero el proceso en sí es idéntico. Idéntico.

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Pongamos un ejemplito de proceso deductivo. Chiquitín.^[13] Ver si lo siguiente es un razonamiento correcto… o no. El ejemplo es el siguiente:

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¿Entendéis algo? ¿No? Vaaaaale, pongámosle nombre a las proposiciones:

a: Soy español.

b: Tengo bigote.

c: Me gusta el futbol.

d: Me gustan los toros.

Con estas premisas, el razonamiento a comprobar es el siguiente:

Premisas:

“Si soy español y tengo bigote, entonces me gustan el fútbol y los toros.“

“O no tengo bigote o no me gustan los toros (o ambas cosas, como siempre)“.

Y la conclusión sería: “O no soy español o no tengo bigote“.

¿Se ve mejor así…? Se trata de comprobar si éste es un razonamiento correcto, si se puede deducir la conclusión de esas dos premisas.

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Vamos con ello.  Hay dos premisas, , por un lado, y por el otro .

Si ambas son ciertas, entonces la conclusión, , debe serlo también. Es decir,  

Para comprobarlo, construyamos la fórmula de la deducción en álgebra de Boole y, simplificando, veamos si es efectivamente su valor es 1 en toda ocasión. Esa fórmula es:

, que es lo mismo que:

 Aplicando las Leyes de De Morgan:

 Reordenando:

 Aplicando la distributiva del + sobre el ·  (ésa que tan rara se nos hace):

 Y aplicando nuevamente la distributiva del + sobre el · :

 Reordenando de nuevo:

Y otra vez la distributiva del + sobre el · :

Bufff. Efectivamente, la tabla de verdad del razonamiento es una tautología. O sea, que, sólo en el caso de que las dos premisas sean verdaderas, o no soy español o no tengo bigote (o ambas cosas, recordemos que el O no es exclusivo). El razonamiento está bien hecho, pues. Es correcto. Pero, no nos olvidemos, insisto, sólo podemos asegurar que la conclusión  es cierta cuando ambas premisas, y  sean ciertas. Si alguna no lo es… vaya Vd. a saber lo que le pasará a la conclusión, podría ser cierta o falsa, nada podemos decir de ella.

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A continuación, una serie de razonamientos correctos. Muchos de ellos completamente obvios, además. Dejo al lector la tarea de demostrarlo (advierto: son muchísimo más sencillos que el ejemplo anterior). Para hacerlo, recordad, bastará demostrar que la conjunción de las premisas (o la única premisa, si es que sólo hay una) implicando la conclusión es una tautología:^[14]

Etc. Aconsejo echarle una miradita a estos razonamientos correctos. Alguno de ellos seguramente os parecerá sorprendente, por ejemplo el último… pero a poco que lo penséis (¡o lo calculéis!) os daréis cuenta que todos son correctos y obvios.

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Naturalmente, en la vida real no siempre se conoce de antemano la conclusión. Es posible que un científico^[15] suponga que ocurre algo (la conclusión buscada) y realice el razonamiento deductivo correspondiente para asegurarse de que la conclusión puede derivarse de las premisas conocidas. Pero es más común, creo yo, tener una serie de premisas que son (o se suponen) ciertas y, a partir de ellas, elaborar el razonamiento deductivo hasta llegar a una conclusión. Si el razonamiento está bien hecho, si no es falaz, la conclusión debe ser cierta también (si y sólo si las premisas son ciertas, lo repito una vez más).

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Veamos ahora el razonamiento que hizo el nene luthierano al que su mamá amenazaba con el Hombre de la Bolsa si no tomaba la sopa que vimos en el último ejemplo del artículo anterior. Le decía su mamá: “Si no tomás la sopa, viene el Hombre de la Bolsa“. Y el nene, a pesar de la amenaza, no se tomó la sopa, que no le gustaba ni un poquito. Entonces, el nene se planteó el siguiente modus ponens:^[16]

Evidentemente, el nene no tomó la sopa.

El nene esperó, aterrado, a que el Hombre de la Bolsa viniera a hacer lo que sea que se supone que haga ese siniestro individuo. Pero, pasado un rato prudencial, El Hombre de la Bolsa no vino. La conclusión del razonamiento era, definitivamente, falsa.

¿Qué conclusión, valga la redundancia, sacó el nene de todo esto? Pues que hay algo mal en el planteamiento anterior. O el razonamiento está mal hecho, o alguna de las premisas era falsa (o las dos a la vez).

El nene rápidamente se da cuenta de que el razonamiento es impecable: ¡Si es un modus ponens que ni el mismísimo Aristóteles lo hubiera mejorado! Luego entonces deben ser las premisas; alguna de ellas es falsa, no hay duda. Tan sólo mirando el plato lleno de sopa, y el vacío en su estómago, ya se da cuenta de que la proposición “El nene no tomó la sopa” es cierta, está clarísimo. Luego, por eliminación, es la otra premisa la que está mal, la que es falsa…

Vaya. Entonces, no es cierto que “Si no me tomo la sopa, Viene el Hombre de la Bolsa“. Amenazante frase pronunciada por su mamá, que ha quedado retratada como una… mentirosa. Amante, sí, pero mentirosa. El nene aprendió que no todas las cosas que dicen los adultos, ni siquiera su mamá, son ciertas… ¡Ya se está preparando para la vida adulta!

De todos modos, como los mismos Les Luthiers concluyen al respecto, “Señora… ¿A quién se le ocurre amenazar con un folklórico personaje imaginario…? Puestos en el caso es mucho mejor amenazar con horrores más tangibles: El lobo, la araña, una buena víbora…“. Grandes, Les Luthiers. MUY grandes.

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Volviendo a lo que nos ocupa, es sencillo ver que si el razonamiento es cierto para dos premisas y una conclusión será también válido para tres premisas (pues basta con considerar que una de las premisas es la conjunción de las otras dos).

No hay que ser muy listo, entonces, para darse cuenta de que sirve igual para un número cualquiera de premisas . En este caso, podemos decir que . No me voy a detener en la demostración, porque es muy sencilla e intuitiva y, queridos lectores, tenéis herramientas más que suficientes para poder demostrarlo fácilmente. Y pasar un buen rato. Supongo.

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Igual alguno de vosotros está pensando “Yo estudié alguna vez no sólo el modus ponens, sino también el modus tollens y no sé cuántos modus más… y no los veo por parte alguna”. Tenéis razón. Ni los veis ni los vais a ver: no hacen ninguna falta. Sabiendo cálculo proposicional y cómo es el modus ponens, todos los demás modus aparecen naturalmente de él.

Veamos, por ejemplo, el “modus tollendo tollens“, más conocido por modus tollens a secas, y que tan importante es para el Falsacionismo.  Dice el modus tollens:

O sea, si se cumple que A implica a B, y se cumple la negación de B, entonces la conclusión es la negación de A. ¿En qué se diferencia esto de un modus ponens? En poco: que las proposiciones A y B están negadas y sin negar en diferentes sitios… ¿y eso nos asusta?

Fijaos bien, para saber si esta forma de razonar llamada modus tolllens es correcta, hay que hacer exactamente lo mismo que hicimos con el modus ponens: descubrir si la conjunción de las premisas implicando la conclusión es una tautología.

O sea,     debe ser una tautología, igual a 1, en otras palabras. ¿Lo es?

La fórmula equivalente a comprobar, eliminando sucesivamente las implicaciones y reduciendo, es:

El resultado siempre es 1: Tautología al canto. Luego el modus tollens es un razonamiento correcto. Y lo mismo con el resto de modus. Conociendo bien el modus ponens, pues, y las reglas del Cálculo Proposicional, que en realidad son las del álgebra de Boole, los demás… salen solos.

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Sigamos un poco más. Cuando tenemos una cadena de premisas con implicaciones encadenadas, se puede alcanzar la conclusión usando extensivamente el modus ponens, en una suerte de propiedad transitiva encadenada, usando la conclusión del modus ponens anterior como premisa del siguiente, y así. Por ejemplo:

Es fácil de ver: al ir aplicando modus ponens sucesivos, vemos que:

Imaginad que la cadena de frases de ahí arriba es del estilo: “Soy español”; “si soy español me gusta el fútbol”; “si me gusta el fútbol veo la tele”; “si veo la tele me voy tarde a la cama”, etc, etc. Es evidente que, si todas las frases son ciertas, y sólo en ese caso, si soy español entonces… me voy tarde a la cama. Cosa que suele ocurrir, por cierto.

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Un último ejemplo por hoy: Un vecino mío es de costumbres fijas. Muy fijas:

Si toma café, no toma leche.

Toma galletas sólo si bebe leche.

No toma sopa a menos que haya tomado galletas.

Hoy al mediodía se tomó una taza de café.

La pregunta es: ¿Ha tomado hoy sopa?^[17]

Designemos, en primer lugar,  las proposiciones elementales:

c: Toma café.

l: Toma leche.

g: Toma galletas.

s: Toma sopa.

Bien. Ahora escribamos las diferentes implicaciones del enunciado, que son la base deductiva:

Creo que no habrá problema alguno en entenderlo. Ahora ordenamos y reducimos:

La conclusión, pues, es s‘. La negación de s. Luego no, no tomó sopa hoy. Quizás comió patatas…

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Basta por hoy, deduzco que ya ha habido bastante deducciones por esta vez… El próximo día, más píldoras lógicas de la mano de Don José Cuena, hablándonos vía el Túnel del Tiempo desde mis apolillados apuntes del curso 1973-74.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Aunque ciertamente hay casos en que… ¡a saber si está lloviendo o no!
2. Igual podíamos haber tenido una, dos… o cincuenta premisas: da lo mismo.
3. Fórmula importantísima, en realidad, pues es la base de todo el asunto deductivo.
4. Tres premisas en el ejemplo; en el caso general será el conjunto de todas las premisas, claro.
5. Acabamos de definir tautología como una expresión que siempre es verdadera, sean cuales sean los valores de verdad de las proposiciones individuales que la componen. Lo vuelvo a poner aquí para que tengáis a mano el significado de la palabrita.
6. Y, ojo, no vale con plantarle una “V” a la brava y yastá…
7. ¿Habéis detectado la doble implicación? Je, je, la Lógica es como un bulldozer…
8. Imaginaos que la rayita de debajo de la p fuera más larga… cosas del Latex, o, mejor, mías, que no sé cómo hacerla más larga.
9. Vale: ya sé que en realidad es más fácil comprobar la tabla de verdad, pero el método algebraico también funciona.
10. Si la luz pasa cerca de una masa, se curva; La luz pasa cerca de una masa; Conclusión: La luz se curva.
11. Si voy al cine, como palomitas; Ayer fui al cine; Conclusión: Ayer comí palomitas.
12. La luz pasa cerca de una masa, pero no se curva: La Ley de la Relatividad General es falsa. Ayer no comí palomitas, así que o no fui al cine, o no es cierto que “si voy al cine como palomitas”.
13. Bueno, más o menos chiquitín.
14. Perdonad que los ponga en una imagen, pero es que estoy a punto de darme por vencido en mi lucha a brazo partido con el dichoso Latex…
15. O un agricultor,  o un fresador, o un vendedor, o una ama de casa… recordemos que esto funciona no sólo con “Leyes Universales” y fórmulas matemáticas, sino con proposiciones normalitas de la vida corriente.
16. Él no lo sabía, claro, pero estaba “modusponensizando” de lo lindo.
17. Y no, no le amenazaremos con ningún Hombre de la Bolsa si no se la toma.

Cómo llegué a conocer NiFe tiene su propia historia. Que voy a contar rápidamente, claro, hasta ahí podríamos llegar.

Hace como cuatro o cinco años fui a un concierto de la ORCAM, la Orquesta de la Comunidad de Madrid, que compré porque su programa me gustaba.^[1] Creo recordar que constaba del Concierto de piano número 3 de Prokofiev y la Sinfonía número 1, Primavera, de Schumann. Y un estreno mundial, que resultó ser NiFe en versión para orquesta sinfónica y coro. Pues vaya…

Yo había comprado las entradas por Prokofiev y Schumann, claro, y no me defraudaron en absoluto, pero ya sabéis que los estrenos me dan repelús, y lo digo por experiencia propia: de cada cinco estrenos que he escuchado, por lo menos cuatro son para mí una tortura para el oído, y sólo uno se salva, lo que tampoco quiere decir que me entusiasme. Claro que de vez en cuando, con mucha menos frecuencia de la que me gustaría, asisto a un estreno que me deja conmocionado, como me pasó con el Concierto de Piano de Michel Camilo, que ya conté hace tiempo… o como me ocurrió con la obra de hoy, sin ir más lejos. ¡Y eso que, según vi el instrumental necesario para ejecutar la obra, casi me voy a la cafetería, directamente!

Flores Chaviano

Pongámonos primero en situación. Resulta que 1995 fue un año especialmente trágico en la minería asturiana. Asturias es una región del norte de España, un Principado bañado por el Mar Cantábrico, de enorme belleza natural y con una gran tradición minera, sobre todo de carbón. En diversos accidentes ocurridos en varias minas perdieron la vida nada menos que 33 mineros asturianos ese año, 14 de ellos en un solo accidente provocado por una explosión de grisú en el Pozo San Nicolás de Mieres (mina conocida popularmente como “La Nicolasa”), conmocionando a la sociedad española y, sobre todo, como es lógico, a la asturiana.

Con estos lúgubres antecedentes, Manuel Paz, el director de la Orquesta del Conservatorio del Nalón (su nombre se refiere al valle del río Nalón, quizá el río más importante de la región) en Langreo, en plena cuenca minera asturiana, tuvo la idea de encargar una obra para rememorar a los mineros muertos, una especie de Réquiem con el que conmemorar tan aciago acontecimiento, homenajeando a las víctimas y a la sociedad minera en su conjunto, y que sirviera de catarsis en una sociedad atribulada por la magnitud de la tragedia. El elegido para componer dicho réquiem fue el guitarrista y compositor cubano Flores Chaviano. Quizá el hecho de que Manuel Paz hubiera sido alumno de guitarra de Flores Chaviano hacía años influyera en su decisión.

Nacido en 1946 en Caibarién, Cuba, Flores Chaviano estudió y desarrolló la primera parte de su carrera en su Cuba natal. En 1981 se instaló en España, donde reside desde entonces, y donde ha desarrollado buena parte de su actividad como compositor, profesor, director e intérprete. En la época del encargo, Flores Chaviano, que era conocido sobre todo por sus obras para guitarra, que es su instrumento, no tenía mucha relación con Asturias, por lo que probablemente no conocía de primera mano los sucesos. En estas circunstancias, muchos hubieran compuesto una obra más o menos neutra, sentida pero no exacerbada, trascendente sin llegar a la exaltación… lo que en tauromaquia se denomina una faena de aliño, vaya.

Sin embargo, Chaviano no se limitó a realizar una faena de aliño para la ocasión, de ninguna manera. Se documentó, mantuvo decenas de conversaciones con el propio Manuel Paz y con otras personas para impregnarse de lo que significan las jaulas, las vagonetas, los ascensores, las interminables galerías subterráneas, el duro trabajo del picador arrancando carbón, del barrenero jugándose la vida con cada cartucho de dinamita, del estruendo de la maquinaria, de las mujeres de los mineros esperando en casa cada día la vuelta del marido de la mina… se empapó de las aterradoras historias de desprendimientos en la galería, explosiones de grisú, pavorosos incendios y las mil y una formas de tener un accidente en uno de los oficios más peligrosos del mundo. Y también  de las canciones que cantan los mineros, del folklore asturiano.

El resultado es NiFe, así llamada por el núcleo de la Tierra, compuesto de hierro y níquel y que se denomina precisamente NiFe por los símbolos químicos de estos dos metales (Ni de Níquel y Fe de Hierro).^[2] Sólo dos años después de componer la obra bajó por fin Chaviano a una mina. ¡Quién lo diría! Escuchando NiFe, parece que hubiera pasado allá toda su vida…

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Todo esto lo leí en el programa del concierto. Y me temí lo peor, claro. A ver: un Réquiem para orquesta y coro dedicado a la minería, compuesto por un compositor contemporáneo, cubano y además guitarrista… no auguraba nada bueno. Y luego, al repasar la disposición de la orquesta, llamaban poderosamente la atención algunos instrumentos… digamos… poco habituales: una gaita asturiana, una sirena de esas que se usan para avisar de los cambios de turno y cosas así, pero sobre todo para avisar de que hay un incendio en la fábrica o en la mina (sirena que en Asturias llaman “turuyu” y que tiene uno de los sonidos más desagradables y desasosegadores que uno puede imaginarse) y… dos bombonas de butano, supongo que vacías, debidamente colgadas de un poste en T. No, perdón, eran de propano, que llevaban la característica raya negra que las distingue, pero para el caso, es lo mismo. De butano o de propano, suenan igual…

Una bombona de propano (por la raya negra)

Sí. Dos bombonas de butano. Dos, a falta de una. Como lo oís, o mejor, como lo leéis. No se me ocurre un instrumento musical menos musical que una bombona de butano, sinceramente. Así que me preparé para lo peor…

Pues no. De eso, nada.

Entiendo perfectamente que el público que asistió a su estreno, el 20 de diciembre de ese fatídico 1995, precisamente en Langreo, en plena cuenca minera, quedara completamente conmocionado tras la audición de la obra. Ni siquiera sé si la palabra es “conmocionados”. Aterrados, esperanzados, conmovidos, apesadumbrados, emocionados, exaltados, estremecidos, orgullosos, abrumados… todo un poco, a la vez. Y conmocionados, claro. Un rato conmocionados.

Gracias al patrocinio y mediación de Hunosa,^[3] el Conservatorio del Nalón había invitado al estreno del concierto-homenaje en el Teatro de Langreo a familiares de todas las víctimas de la minería no sólo de ese año, sino de algunos años anteriores.

Hubo intervenciones orales, sonó la música, hubo más discursos… Todo bonito y entrañable. Doloroso, quizá, pero entrañable. Entonces la Orquesta interpretó NiFe. Trece minutos tremendos, brutales, magistrales…

Glub!

No me extraña que el alcalde de Langreo, que debía finalizar el acto justo después con un discurso, no fuera capaz de decir ni una palabra. Ojo al dato: un político, un político profesional en un acto delante de sus votantes, ¡incapaz de decir ni una sola palabra! Eso puede dar idea de en qué estado quedó la concurrencia tras oír este Réquiem por la minería asturiana.

Bueno. Luego me diréis si es o no para quedarse sin palabras.

Vamos a seguir la obra con un video de fotos fijas de minas y mineros que acompañan a la única grabación, que, que yo sepa, se ha realizado de esta obra, precisamente por la Orquesta de Cámara de Siero (Siero es un concejo asturiano justo al norte de Langreo, y es el lugar donde reside la Orquesta), dirigida, naturalmente, por quien encargó la obra: Manuel Paz. Vale, las fotos son razonablemente apropiadas al tema, pero esta vez es una pena que no haya un video con la orquesta interpretando la obra, pues hay algunos momentos en que es casi más importante ver lo que pasa con los músicos, qué hacen en esos momentos, que escuchar lo que resulta… intentaré explicarlo cuando llegue el momento. Y ya voy avisando de que por mucho stereo hiperheterodino que tengáis, lo que vais a oír no es ni un pálido reflejo de lo que es escuchar esta barbaridad de obra en directo. Ni siquiera el reflejo del reflejo.

Por cierto, esta versión que grabó la Orquesta de Cámara de Siero en 2006 no es la que yo oí en el Auditorio de Madrid. La del video es la versión primigenia, para orquesta de cámara (o sea, no muy grande), y nada más,^[4] mientras que la versión que yo vi y escuché era la adaptación para orquesta sinfónica (más numerosa, por tanto), coro de mujeres y coro de voces masculinas graves. Duraba más tiempo, unos dieciséis minutos, o sea, unos tres o cuatro más que la del video, y las intervenciones de los coros eran muy adecuadas… pero esa versión, o no está grabada, o yo no la he encontrado. Y en Youtube, desde luego, no está. Así que me abstendré de contar las diferencias, aunque aseguro que algunas merecían ser contadas. ¡Para qué voy a poneros los dientes largos!

En cualquier caso, la versión que vamos a oír es excelente, ya lo creo que sí. Trece minutos realmente impactantes, de otro mundo… un mundo subterráneo, primordial, tenebroso, acojonante. Espero que os guste. Aviso: para hacerse una pálida idea de cómo sonaría esta obra en una Sala de Conciertos, hay que poner el volumen alto. Bastante alto. Muy alto.

Allá vamos, y que no nos pase ná.

Comienza NiFe con predominio de notas graves en la cuerda… lógico: la boca de la mina espera. Los mineros se van acercando a las jaulas de los ascensores que les llevarán adentro, adentro… cerca de mil metros de profundidad llegan a tener algunas minas, con sus túneles persiguiendo las caprichosas vetas de mineral… Ahí dentro hace calor, mucho calor, hasta cincuenta grados en las minas más profundas… el trabajo es penoso, exige un gran desgaste físico, y es muy peligroso. Mucho. Un barreno mal colocado, una taladradora desbocada, un escape de grisú no detectado, una vagoneta descarriada… y hay víctimas.

Bueno, de momento todo va bien. Los ascensores suben y bajan, las máquinas funcionan, los extractores de aire hacen su función, las carretillas van sacando el mineral a la superficie… Todo normal, vaya. Las jaulas bajan mineros al tajo, y luego suben el carbón hacia fuera, a la superficie donde las centrales térmicas, glotonas, esperan… Flautas y clarinetes dan el contrapunto a la cuerda, siempre en tonos graves, con alguna intervención de la percusión. Es un día más en el tajo.

Los mineros deciden arrancarse con una canción, una canción minera, su canción, una especie de himno minero asturiano: “Santa Bárbara bendita”, que seguramente conoceréis. En el minuto 5:05 la cuerda en pizzicato ataca la conocida canción, que acompaña a los mineros en su trabajo, pero pronto la canción se calla… parece que algo no va hoy como debiera. Hay gas… ¡maldito grisú! Lo oímos escaparse, amenazador, con su agudo silbido, a partir del minuto 6:00. La tensión sube, sabemos que un escape de grisú en la mina es muy peligroso… Un ominoso crescendo de todos los grupos orquestales nos trae muy malos presagios.^[5] Todo el mundo corre, hay que ponerse a cubierto. Las jaulas trabajan a destajo, mientras el gas se acumula allá abajo, se acumula, se acumula…

Bueno, menos mal, parece que la cosa se controla, la presión disminuye… pero no, qué va, sólo era la calma que precede a la tormenta, pues nuevamente en el minuto 7:55 vuelve a crecer desmesuradamente. La bolsa de gas está tomando proporciones gigantescas, esto no augura nada bueno… ¡Huyamos!

¡Huyamos!

¡HUYAMOS!

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No ha podido ser. Hacia el minuto 8:10 la bolsa de grisú estalla, con toda su maligna fuerza destructiva. El percusionista bombonero agarra una barra de metal (quizá eran dos, no recuerdo) y comienza a golpear con todas sus fuerzas las dos bombonas de butano, mientras toda la orquesta ejecuta su parte al máximo volumen posible, incluidos los timbales, el bombo, el gong, la caja, los platillos… y las bombonas, cuyo sonido aterrador sobrepasa, prácticamente tapa a todos los demás. En directo, yo me hundí en mi asiento, literalmente aterrorizado. Además, en la versión que yo escuché, que, recordaréis, era con coro, en ese mismo momento todos los componentes del coro, que hasta entonces habían estado sentados y callados, se levantaron de un salto, todos al unísono, y prorrumpieron en un “WAAAHH” con todas las fuerzas de sus pulmones. Como para quedarse sin sangre en las venas. Yo me quedé…

Pero hay más… Porque se desata el pandemonium. Abruptamente. Literalmente.

Intentaré describir lo que pasa en la orquesta entre el minuto 8:15 y el 9:15, más o menos. La bombona de butano sigue golpeando nuestros tímpanos brutalmente, mientras que todos los profesores de la orquesta se vuelven locos… locos de atar. Los violinistas golpean con el arco en el atril que sujeta la partitura, otros golpean con su mano o con el arco en el propio violín, pero en la madera, y lo mismo los cellos, las violas… los contrabajistas hacen girar sus contrabajos sobre su soporte, los clarinetistas golpean sus clarinetes con las manos, el responsable de la caja golpea con la baqueta no en el pellejo, sino en el bastidor, el trombón aúlla, literalmente, el pianista abre y cierra la tapa del piano, las flautas… el fagot… incluso la gaita, todos nos hacen llegar ese momento de supremo horror representando el mayor desbarajuste orquestal que yo haya visto nunca, y a todo esto, cada músico de una forma diferente. Estremecedor. Y por si fuera poco, la sirena… el espantoso aullido de la sirena anunciando el desastre, pasando incluso por encima del tremendo retumbar de las bombonas de butano.

El resultado es… es… no sé qué adjetivo usar.^[6] Sorprendente, sobrecogedor, brutal, terrorífico… genial. Porque en medio de semejante desconcierto aún se distingue una melodía, una melodía atávica, básica, primordial, la melodía del terror de las profundidades.

Y sin casi darnos cuenta queda como sonido predominante el agudo pitido de la gaita, que, de pronto, de manera sorprendente y a la vez irremediable, a partir del minuto 9:15, entona con gran brío la canción minera por antonomasia, la invocación a los rescatadores, esa Santa Bárbara bendita cuya letra es tan reveladora: “mira, mira, Maruxina, cómo vengo yo…”.^[7]

Bajo el poderoso influjo de la canción cantada por la gaita, los ánimos se tranquilizan poco a poco. Pasado el momento de pánico cada cuál asume su trabajo, esta vez no para extraer carbón, sino para rescatar a los compañeros heridos… cada músico vuelve al trabajo, vuelve poco a poco a tocar su instrumento de una forma diríamos “normal”, los violinistas frotando el arco contra las cuerdas, los clarinetistas soplando por la boquilla, etc. Queda un rumor de pizzicatos… En el minuto 10:40 vuelve a entonarse la canción, la omnipresente canción homenaje a Santa Bárbara, Virgen y Mártir, patrona de los mineros, primero por la madera, y luego… por toda la orquesta, pero cantando, cantando “a boca chiusa”, es decir, con la boca cerrada, entonando las estrofas con un MMMmmmMMmmm… Es el Réquiem, el recuerdo de los compañeros muertos o heridos, el homenaje a los héroes que bajan cada día a la mina a extraer el negro carbón jugándose los pulmones y la vida en el empeño, la gratitud a los que a su vez se jugaron la vida para salvar las de sus colegas atrapados… y todo ello con un resonar lejano de campanas (representadas por el gong) y de pífanos…

Genial. Absolutamente genial.

La canción se desvanece… hay que restañarse las lágrimas, tragarse el dolor y volver al tajo, ese peligroso tajo que, seguro, mañana reclamará nuevas víctimas. Un brutal “bombonazo” final nos lo recuerda, cerrando la obra.

Hala. Ahí queda eso.

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Portada del disco NIFE

Sólo hay, que yo sepa, una grabación de NiFe, la misma que se ha usado para el video, dentro de un disco de la Orquesta de Cámara de Siero dirigida por Manuel Paz, bastante difícil de encontrar (a mí me costó meses localizarlo y comprarlo). Denominado “Música de Flores Chaviano para Asturias”, además de NiFe tiene una serie de obras basadas en canciones o temas típicamente asturianos, adaptados para orquesta por Chaviano,^[8] resultando una curiosa mezcla folklórica-caribeña-orquestal, muy agradable de oír. Aunque, lógicamente, el plato fuerte es NiFe. En este enlace, con suerte, dice cómo puede conseguirse el disco, que es llamando por teléfono a la sede de la Orquesta. Si es que no está definitivamente agotado. La Orquesta de Cámara de Siero es una orquesta magnifica, pero modesta, y no sé si puede asumir grabar o reeditar sus grabaciones con facilidad.

Y, por supuesto, en Spotify no está. Ni sombra. Es tan predecible… me hubiera llevado una enorme sorpresa si hubiera estado.

Para acabar, la cantinela de siempre, pero más: no hay punto de comparación entre escuchar música en directo o enlatada. Pero en la obra de hoy, mucho más. Muchísimo más. El sonido metálico, desagradable, agudísimo, chirriante y, sobre todo, fortississississimo, si se me permite el palabro, que produce una bombona de butano cuando es aporreada con todas las fuerzas del percusionista, que son muchas, con una barra de hierro… y todo mientras suena la sirena, y la gaita y todo el resto de la orquesta atacan con furia sus instrumentos… no tiene parangón. Nunca he escuchado algo con tantos decibelios en una Sala de Conciertos. Era, sencillamente, aterrador. A ver quién es el guapo que graba eso en un disco, y a ver quién es el guapo que pone semejante cosa en su casa a ese volumen… En fin. En directo mejor, ya sabéis.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. No suelo yo comprar conciertos de la ORCAM, a pesar de que es una excelente orquesta y que programa anualmente un ciclo de más o menos una veintena de conciertos… pero es que los programas que selecciona normalmente no me llaman nada. Pero nada. Mucho estreno, muchísima obra contemporánea, mucho autor desconocido… vale, sé que me estoy perdiendo grandes obras, pero también me estoy ahorrando muchos tostones.
2. No sé yo si en estos tiempos se usa mucho eso de NiFe referido al núcleo de la Tierra. En los míos desde luego que sí, pues así me lo enseñaron en el Colegio hace muuuucho tiempo.
3. Hulleras del Norte, SA, o sea, HUNOSA, es la empresa estatal de cuya propiedad son la mayoría de minas de hulla (carbón mineral) de la cuenca asturiana. Suyas eran casi todas las minas, por ejemplo la malhadada Nicolasa, donde se produjeron los accidentes que costaron tal sangría de vidas de mineros en 1995.
4. La plantilla orquestal es, además de la cuerda, 3 flautas, 3 clarinetes, fagot, trombón, piano, sintetizador, sirena, gaita y percusión, percusión a cascoporro, incluidas las dichosas bombonas de butano.
5. Especialmente la cuerda, con sus trémolos continuos cada vez más agudos, más forte, da una portentosa sensación de agitación y malos augurios.
6. ¡Y mira que he usado adjetivos en lo que va de escrito!
7. En asturiano original: Mirái, mirái, Maruxina, mirái mirái como vengo yo…”
8. En concreto una “Suite Orquestal de Canciones Asturianas” y la suite “Escenas del Nalón”.

Una vez fijado este extremo, ya podemos operar tranquilamente con proposiciones para ver qué hay y qué no en cada una de ellas. Una vez que tenemos una frase o un conjunto de frases, podemos construir su Forma Normal Disyuntiva y determinar cuál es su fórmula final, aplicando únicamente los axiomas y teoremas ya demostrados para el álgebra de Boole, aunque hablando de proposiciones decimos más bien “tablas de verdad”.

Lo complicados que somos los humanos...

Esto está muy bien para proposiciones simples. Ya podemos decir “Llueve”, “O no llueve o voy al cine”, “Soy español y me gusta el atletismo y el fútbol pero no el béisbol”… y cosas así, y podemos saber si la proposición, por muy compleja que sea, es o no cierta en función de los valores de verdad de cada proposición individual, valores que podemos determinar mirando, por ejemplo, si la calle está mojada o no. Pero esto no es suficiente para poder comunicarnos. De ninguna manera. Porque, claro…

Si habláramos así, entonces esta frase sería imposible.

Necesitamos algo más. Y ese algo más es, como poco, la implicación lógica. La escurridiza y tantas veces discutida implicación lógica. Escurridiza, porque cuando parece que uno por fin ha entendido bien el concepto, de pronto se topa con un caso que parece desbaratar lo entendido. Y discutida… no os podéis imaginar la de amigables discusiones que propicia debatir sobre ella.

A intentar desbrozarla dedicaré este artículo, siguiendo las explicaciones de Pepe Cuena en aquel lejanísimo enero o febrero de 1974… Artículo en el que ha colaborado activamente, más aún, decisivamente, nuestro editor, J. Suyos son algunos ejemplos y explicaciones, y suyas muchas de las ideas para organizar el artículo y que lo que quede se entienda…

Así que, por mucho que como autor del artículo diga “Macluskey“, en justicia debería decir “J y Macluskey“… Gracias por tu esfuerzo, J, aunque Pedro también intervino lo suyo en las discusiones. El artículo es mucho mejor ahora. ¡O eso creemos!

Bien, nos quedamos en que… Si habláramos así, entonces esta frase sería imposible.

Analicemos la frase, aunque por comodidad, le cambiaremos el tiempo verbal al más sencillo presente de indicativo: Si hablamos así, entonces esta frase es imposible.

Pues esto es lo que se llama una implicación lógica, que se representa como .

En este caso, p es la proposición “hablamos así”, a la que se conoce como “antecedente”, y q es la proposición “esta frase es imposible”, conocida como “consecuente”,^[1] y la implicación nos dice intuitivamente que, si la primera frase es cierta, entonces la segunda también debe serlo.^[2]

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En este punto hay que elegir entre dos aproximaciones didácticas posibles:

• Definir la implicación lógica, escribiendo su tabla de verdad y su formulación, y usamos con suficiencia el argumento de autoridad: “esto es así… y punto” (que es una forma ligeramente maleducada de decir que “es así por definición”). Luego nos ponemos a analizarla… y descubrimos que… ¡qué casualidad! Representa bastante bien lo que queremos decir cuando hablamos.
• Pensamos en la frase anterior escrita en español corriente (Si habláramos así, esta frase sería imposible) y pensamos…”Mmmm… ¿cómo podríamos representar esto matemáticamente?”… y recorrer juntos el camino hasta llegar a su tabla de verdad y, por consiguiente, a su formulación.

Nosotros preferimos la segunda aproximación, que es también la seguida por José Cuena en aquellos lejanos tiempos del cuplé, porque nos ayuda a desbrozar poco a poco los porqués de la implicación lógica, no sólo su fórmula desnuda. En una palabra, esa aproximación es la que vamos a seguir de aquí en adelante.

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De todos modos, voy a cambiar la frase de ejemplo, que ha servido para introducir el concepto de la forma elegante a la par que ingeniosa que caracteriza mis escritos (!!), usando una frase bastante más sencilla y adecuada para explicar el concepto. A saber:

Si estornudo, cierro los ojos.

O sea, cuando YO estornudo, YO cierro los ojos.

Fijaos que no me estoy refiriendo a lo que te ocurra a ti, querido y sufrido lector, ni tampoco al resto de la humanidad, sino exclusivamente al caso particular de lo que me ocurre a mí al estornudar… esto es importante para más adelante, pero de momento lo dejaremos aquí. Ya volveremos cuando sea oportuno.

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Bien, el quid del asunto reside no en determinar la certeza o falsedad de las frases individuales que componen la implicación, sino en cómo determinar la certeza o falsedad de la propia implicación lógica en función de los valores de verdad o falsedad de las dos proposiciones que la forman: el antecedente (p) y el consecuente (q).

Por favor, releed el párrafo anterior… volveremos una y otra vez a él.

Esto quiere decir ni más ni menos lo siguiente: Si teníamos una frase compuesta por un conjunto de proposiciones elementales unidas como sea, con “NO”, “O” e “Y” como nos venga en gana, y con tantos paréntesis como nos venga en gana, podíamos fácilmente averiguar si la frase compuesta era verdadera o falsa en función de los valores de verdad o falsedad de las proposiciones elementales. Pues ahora lo que debemos hacer es determinar el valor de verdad o falsedad de la frase que contiene la implicación según sean verdaderas o falsas p y q, las dos proposiciones implicadas. Insisto: el valor de certeza o falsedad de la propia implicación en sí. Que no deja de ser una frase, una mera proposición más compuesta a su vez por un par de proposiciones elementales.

Bueno, en realidad no tienen por qué ser elementales-elementales, no sé si me explico. Tanto p como q pueden ser proposiciones tan complicadas como queramos, llenas de paréntesis y de Oes y de Yes y de NOes…^[3] pero como ya sabemos determinar sin problemas el valor de esas proposiciones compuestas en función de las proposiciones elementales que las forman, para lo que aquí nos interesa son eso: proposiciones elementales.

Sentado esto, introduciremos ahora otro ejemplo de la realidad cotidiana; a lo largo del artículo iremos haciendo referencia a uno u otro ejemplo para ver cómo se comporta el uno o el otro ante la prueba de la verdad… de la tabla de verdad, queremos decir.

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Imaginemos a un político cualquiera de un país cualquiera que, en su programa electoral, hace la siguiente afirmación: “Si gano la elección, construiré un hospital“. Seguramente esta frase (o alguna otra equivalente) os sonará de algo, igual habéis escuchado cosas similares a alguien en la tele o en un mitin o donde sea…

Podríamos representar esta promesa electoral finamente como Político gana la elección  Hospital Construido. Analicemos qué pasa con esa frase.

Si, en el momento de leer el programa electoral, miramos el sitio donde se supone que se construiría el dichoso hospital, vemos que no hay nada allí. Es un barrizal lleno de excrementos de perro. No hay hospital que valga, luego podemos concluir que Hospital Construido=0, o sea, la proposición “Hay un hospital construido en tal zona” es falsa. De momento, es falsa, para ser precisos.

Como la elección aún no se ha producido, es evidente también que Político gana la elección=0; de momento la proposición “El político tal ganó la elección” es falsa también, no puede ser cierta entre otras cosas porque todavía no se ha producido la elección.

Pero… daros cuenta que no es eso lo que queremos conocer, en realidad. La frase que queremos saber si es cierta o falsa no es ninguna de esas dos, que ya sabemos de antemano que, de momento, son falsas, sino, recordad, ”Si gano la elección, construiré un hospital“, que es la promesa  que, entre otras, se supone, contiene su programa electoral. Esa frase, esa promesa concreta, en esa elección concreta… ¿Es verdadera o es falsa?

Fijaos bien que, en el fondo, lo que de verdad es importante aquí, lo que estamos decidiendo, no es si la frase dichosa es verdadera o falsa, sino que en realidad estamos determinando si el que la dice es un tipo que dice la verdad o que miente al respecto.

Si el tipo en cuestión dice la verdad entonces es un tipo honrado que cumple lo que promete, por lo que entonces seguro que su promesa electoral es verdadera también; si gana la elección, tendremos hospital, fijo. En cambio, si el tipo es un falsario, un mentiroso, si nos ha engañado, en definitiva, entonces, por mucho que salga elegido, no tendremos hospital nos pongamos como nos pongamos: la frase en sí, su promesa, esa promesa, es falsa de toda falsedad.

Lo malo es que no podremos demostrárselo hasta dentro de algún añito.

Y para acabarlo de complicar… también puede resultar que no salga elegido.

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Ojo, que no estoy prejuzgando nada. No estoy diciendo que “todos los políticos mienten siempre“, ni tampoco que “todos los políticos dicen siempre la verdad“. Ése no es el caso, y de hecho estaréis de acuerdo en que con toda seguridad ambas frases universales, aplicadas a la totalidad de la clase política, son falsas.

Me estoy refiriendo al caso particular de un político concreto que hace una promesa concreta en un lugar concreto y para una elección concreta (es decir, en un momento temporal concreto). Y tenemos que decidir si ese político miente o no al prometer la promesa que analizamos (que construirá un hospital si gana la elección), ni siquiera en saber si todas sus promesas son verdaderas o falsas… Ésa sería otra historia, pues habría que analizar una por una su certidumbre o falsedad: “si gano la elección: bajaré el paro; subiré los subsidios y los sueldos; eliminaré los impuestos; incrementaré el número de colegios, traeré a Lady Gaga a las fiestas del pueblo, etc, etc”).

Aquí y ahora, en este nuestro ejemplo, intentaremos exclusivamente saber qué va a pasar con nuestro hospital…

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Bien, dejemos por un rato a nuestro político y su promesa y sigamos con la exposición.

La implicación lógica en sí, por tanto, no es más que una frase que contiene un par de proposiciones elementales. Sólo eso, nada más. En cálculo proposicional, la determinación de tal cosa (la certeza o falsedad de una proposición lógica) se hacía construyendo la tabla de verdad… ¿recordáis?

Podemos, efectivamente, construir con facilidad esa tabla de verdad de la implicación lógica teniendo en cuenta, como siempre, qué ocurre en los diferentes posibles estados de verdad de las dos variables involucradas p y q, ¿no?  En nuestro ejemplo primigenio, el de “Si estornudo, cierro los ojos“: “estornudo“, que es p, es el antecedente; y “cierro los ojos“, que es q, es el consecuente.

Construir esa tabla de verdad es fácil. Total, son sólo cuatro casos de nada…

Vamos allá:

Vaya, ya estamos en la mata…^[4]

Veámoslo línea a línea. Los dos primeros casos son fáciles: siempre que p (“estornudo”) es Verdadero, podemos discernir claramente si la propia implicación es Verdadera o Falsa en función del valor de q (“cierro los ojos”). Así, en la primera línea, si cuando estornudo efectivamente cierro los ojos, podemos concluir que la implicación lógica es cierta. Y en la segunda línea, si cuando estornudo no cierro los ojos, podemos decidir que la implicación en sí es decididamente falsa. Hasta aquí de acuerdo.

Pero… ¿Qué pasa si no estornudo? ¿Cómo resolvemos las dos últimas líneas? ¿Qué podemos decir sobre el valor de verdad de la propia implicación lógica, “si p entonces q“, si el antecedente p es falso?

Buena pregunta, pardiez.

¿Qué hacemos en ese caso?

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Intentemos representar esta situación recurriendo al álgebra de Conjuntos, de la forma que vimos en el capítulo correspondiente de la serie, a ver si así se nos ocurre algo.

En el Conjunto Universal de situaciones aplicable,^[5] podemos establecer dos posibles conjuntos: el de aquellas situaciones en las que estornudo, y el de aquellas situaciones en las que cierro los ojos. Estos dos conjuntos de situaciones pueden, en principio, ser independientes uno del otro, por lo que podemos representarlos de forma genérica, por ejemplo representando en color amarillo las situaciones en que “cierro los ojos” y en color azul las situaciones en que “estornudo” (y en verde,^[6] aquellas en que simultáneamente estornudo y cierro los ojos). En gris quedan las situaciones en que ni una cosa ni la otra.

El dibujo podría ser algo similar al siguiente:

Si estornudo, Cierro los Ojos. Situación genérica.

En esta situación genérica puede haber casos en que “estornudo” y “cierro los ojos” sin relación alguna entre ambos conjuntos; todas las situaciones de estornudos y parpadeos son posibles. Puede que estornude y yo no cierre los ojos (la zona azul), o que cierre los ojos sin estornudar (la zona amarilla), o que estornude y realmente cierre los ojos (la zona verde), o que incluso ni estornude ni cierre los ojos (la zona gris).

Ahora bien, para que la proposición de marras, “Si estornudo, cierro los ojos”, sea verdadera, lo que estamos diciendo en realidad es que el conjunto de situaciones en que estornudo deben ser también situaciones en las que cierro los ojos, puesto que no debe haber ninguna situación en que al estornudar no cierre yo los ojos.

Si hubiera alguna situación en que, estornudando, no cerrara yo los ojos (representada por la zona azul del dibujo de arriba), entonces la implicación, la frase “Si estornudo, cierro los ojos”, sería falsa. Bastaría un único contraejemplo, una única vez que me ocurriera tal cosa, para falsar la implicación. Para que sea verdadera, pues, el rectángulo azul no debería existir, debería ser el conjunto vacío…

Resumiendo, para que eso ocurra, para que la implicación sea verdadera, es necesario que el conjunto de situaciones en que estornudo esté contenido en el conjunto de situaciones en que cierro los ojos, o, como decíamos ayer,  .

Por consiguiente, para que la implicación en sí sea válida, o mejor, verdadera, el dibujo de los conjuntos tiene que ser el siguiente:

Si Estornudo, Cierro los Ojos. Resultado de la implicación.

Lo que implica (je, je, otra vez la implicación en el lenguaje natural) que, además de las situaciones en que estornudo y simultáneamente cierro los ojos (la zona verde), pueden existir también situaciones en que, no estornudando, cierro los ojos de todos modos (la zona amarilla), o bien puede haber situaciones en que no cierro los ojos de ninguna manera (la zona gris clarita), donde, desde luego, tampoco estoy estornudando. Ambas situaciones (“no estornudo y cierro los ojos”,^[7] y “no estornudo y no cierro lo ojos”^[8] ) son perfectamente compatibles con la veracidad de la frasecita dichosa: “Si estornudo, cierro los ojos”.

Relee ahora el último párrafo. ¿Te das cuentas de que lo que hemos descrito en él, en roman paladino, son las dos últimas líneas de nuestra tabla de verdad? Ninguna de ellas nos hace sospechar que la frase original, la implicación lógica sea falsa, en definitiva.

O sea, que no es falsa.

Luego es verdadera.

El valor de la implicación lógica en estos dos últimos casos es “V“. Es cierta.

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Cuando la proposición antecedente, p, es falsa, la implicación lógica es verdadera. Si no estoy estornudando, no hay forma de sacar como conclusión que “Si estornudo cierro los ojos” sea una proposición falsa, tanto si efectivamente los cierro como si no.

He aquí un individuo estornudando...

Por curiosidad… al parecer esto es cierto para todos, no sólo para mí.

A los humanos (a no ser que tengamos alguna enfermedad rara o algún superpoder) nos resulta imposible estornudar sin cerrar los ojos. Dicen los expertos que el estornudo es un acto reflejo que implica el movimiento concertado e irrefrenable de centenares de músculos de todo el cuerpo, entre ellos, los de los párpados… Desde luego, al menos, siempre que nosotros lo hemos intentando hemos sido incapaces de mantener los ojos abiertos al estornudar. Ni una vez.

Por lo tanto, aunque hasta ahora nuestra estereotipada frase “Si estornudo, entonces cierro los ojos” se refería exclusivamente a mi caso particular, puesto que es una frase en primera persona, como parece que se trata de un caso general podemos reescribirla de modo que afecte a la totalidad del género humano: “Si un hombre estornuda, cierra los ojos“. Acabamos de convertir una observación particular que afecta a un individuo concreto (yo) en una Ley, una observación universal que afecta a la totalidad de la humanidad.

Más adelante veremos cómo afecta esta generalización a la determinación del valor de verdad de la implicación lógica, es decir, qué diferencias conlleva que la implicación lógica se refiera a un caso particular o a uno universal… Cada cosa a su tiempo.

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Cambiando de ejemplo, en el de la promesa electoral, que, recordad, es otra proposición particular, puesto que se refiere a la promesa concreta de un político concreto, si el político que la hizo ganó efectivamente la elección y construyó el hospital, es claro que su promesa era cierta y no nos engañó. Ahora bien,  si ganó la elección pero durante su mandato no se construyó el hospital,^[9] entonces el tipo nos mintió: su promesa era falsa.

Pero si no ganó la elección puede que el hospital se construyera al fin (porque el candidato que salió elegido de todos modos lo construyó), o puede que no se construyera… en ambos casos no podemos asegurar que la promesa electoral fuera falsa, puesto que al no cumplirse el antecedente (no ganó la elección), no tuvo los medios para cumplir el consecuente (construir el hospital).

Y si la promesa no es falsa, es que es verdadera. No hay vuelta de hoja.

En español decimos que “le otorgamos el beneficio de la duda“. Recordad siempre que, al juzgar la certeza o falsedad de una implicación lógica, en realidad estamos normalmente juzgando “por elevación” la condición de honrado o de mentiroso de la persona que la hace. Por esta razón es tan habitual escuchar promesas electorales del estilo de “Si gano la elección, haré… lo que hay que hacer“. Ole con ole y ole. Eso sí que es concreción…

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Tras toda esta diatriba, resulta que la tabla de verdad de la implicación lógica es la siguiente:

Por tanto podemos definir la fórmula matemática de la implicación lógica, simplemente creando la Forma Normal Disyuntiva a partir de su tabla de verdad, es decir:

Simplificando,

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Ergo , o, en la notación propia del cálculo proposicional, .

Es decir, el antecedente implicando el consecuente es igual a la unión de la negación del antecedente con el consecuente. O sea, una implicación es cierta bien cuando el consecuente (q) es cierto, bien cuando el antecedente (p) es falso, o ambas cosas. Y no hay más. Es la base. Las implicaciones lógicas son fundamentales para el cálculo proposicional, el cálculo de predicados y el desarrollo mismo de la ciencia…

Con estos mimbres, es fácil averiguar cómo es la doble implicación, en la que ocurre simultáneamente que y , o, formalmente . Esto se suele representar como , así con doble flecha.^[10]

Sabiendo cómo se representa la implicación , podemos fácilmente encontrar la tabla de verdad de la doble implicación, escribiendo la tabla de verdad de cada implicación y la de su conjunción ():

En Forma Normal Disyuntiva, será, pues, .

De todos modos, no hacía falta escribir la tabla de verdad para llegar a esa conclusión. Conociendo que es , como hemos visto hace un poquito, y que por tanto será … determinar cómo es es tan sencillo como reducir (que, por cierto, es el resultado de escribir la misma tabla en Forma Normal Conjuntiva, en vez de Disyuntiva), y listo. Hacedlo, si os place, para que comprobéis que no me he equivocado. Que espero que no…

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Ahora que ya sabemos cómo es la tabla de verdad (y la fórmula, claro) de la implicación lógica, incluso la de la doble implicación, nos será muy sencillo saber cómo discernir si una frase condicional (o sea, una implicación) es cierta o no. Basta con fijarse si simultáneamente el antecedente p es cierto y el consecuente q falso. O sea, que se cumple . Si esto ocurre, hemos encontrado un contraejemplo, y la implicación es falsa. Pero si no hemos encontrado un contraejemplo, en todos los otros casos, es cierta. Por raro que nos suene. Cierta como que el hierro tiene 26 electrones…

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Vamos con algunos ejemplos cotidianos…

“Si llueve, me mojaré“. Frase que decimos muchos cuando vemos que se acerca un nublado. ¿Es cierta o es falsa?

Mmmm… pues… depende. Puede que llueva, me pille a descubierto y efectivamente me empape: es cierta. Y puede que no llueva, y entonces es cierta también. Ojo, si no llueve, es cierta independientemente de que me moje (porque me moje una vecina que está regando los tiestos, por ejemplo) o no. Claro que también puede ocurrir que al final llueva, pero yo tenga la suerte de que me pille debajo de una marquesina y pueda resguardarme: entonces es falsa. Sólo entonces es falsa.

¿Cuándo sabremos, pues, si la frase es cierta o falsa? Cuando detectemos un contraejemplo: llovió y no me mojé. Entonces sabremos que la frase es falsa. Pero mientras tanto… ¡Es verdadera, pase lo que pase! No he mentido.

Otro:

“Si eres hombre, eres mortal“. Frase paradigmática de la filosofía clásica. ¿Es cierta o es falsa? Estaremos de acuerdo en que las pruebas nos indican que debe ser cierta: hasta ahora no se ha encontrado ningún contraejemplo, no se ha encontrado a ningún hombre inmortal, salvo en novelas de ciencia ficción, como en “Tú, el inmortal”, de Roger Zelazny, y me han dicho que los ejemplos literarios no sirven… Así que, en ausencia de contraejemplo, la daremos por cierta siempre y en toda ocasión. Y como se refiere a todos los hombres, sin excepción, la elevamos a la categoría de Ley Universal.

Otro:

“Si todo el mundo fuese mío, todo lo daría por yacer con la Reina de Inglaterra“. Frase del Siglo XIII extraída de Carmina Burana, a la que puso música inmortal Carl Orff, que con variantes diversas hemos oído o dicho muchas veces a lo largo de nuestra vida.^[11] ¿Cierta o Falsa?

Pues en tanto no nos hagamos ricos-riquísimos, no se cumple el antecedente, así que, entretanto, la frase es verdadera. Sólo se demostrará como falsa si alguna vez todo el mundo es nuestro y nos pensamos mejor eso de darlo todo por yacer con la Reina de Inglaterra.^[12]

Y otro más:

“Si soy un hombre, tengo ocho patas“. Frase que quizá os suene rara, pero cosas parecidas decimos también en nuestras doctas conversaciones de cada día: “Si mi abuela tuviera ruedas, sería un camión”, o “Si eso es verdad, yo soy el Papa de Roma”… En fin: ¿Verdadera o falsa?

Vaya, ésta es realmente fácil: siendo hombres como somos, basta con mirarse de cintura para abajo (y saber contar) para darse cuenta de que al menos hay un humano que no tiene ocho patas… hemos  encontrado al menos un contraejemplo: la frase es falsa, por tanto.

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Unos pocos párrafos antes nos preguntábamos cuál sería la diferencia entre una implicación particular (que afecta a una única situación, individuo, etc) y una universal (que afecta a todo el “Conjunto Universal” aplicable: la humanidad, los españoles, las ardillas del parque, lo que sea), de cara a la determinación de su certidumbre o falsedad.

Es decir: ¿Afecta en algo para determinar si una implicación es cierta o falsa el que ésta se refiera a un particular o a un universal, por ejemplo que se aplique sólo a mi estornudo concreto o al estornudo de todo ser humano, incluso al estornudo de todo bicho viviente?

Pensadlo un momento…

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Efectivamente. En nada en absoluto. Su tabla de verdad es exactamente la misma, y el método de comprobación, el mismo: en cuanto encontremos un contraejemplo (cuando, cumpliéndose el antecedente p, no se cumple el consecuente q, o sea cuando ), podemos determinar que la implicación es falsa. Se trate de una tontería mía del estilo de “Si voy al cine, como palomitas“, que ya ves tú qué importancia puede tener, o de una Ley Universal del estilo de “Si estamos en este Universo, no hay nada que pueda ir más rápido que la luz“. Da igual.

Si voy al cine dispuesto a comprar palomitas de maíz,^[13] pero la máquina está estropeada y no puedo comprarlas (ni comerlas), o bien ese día no tengo hambre y paso de comer palomitas, en cualquier caso mi “palomitera“ afirmación es falsa. Y si alguien detecta en este Universo un neutrino díscolo que va más rápido que la luz, uno solo,^[14] entonces la Relatividad Especial es falsa, se ponga Einstein como se ponga… Total, Einstein fue quien se “cargó” la Gravitación Universal de Newton, así que…

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Por fin un último ejemplo, que nos servirá, además, de nexo con el siguiente capítulo. Extraído directamente de los ínclitos Les Luthiers, lo que garantiza su plena vigencia…

Una madre desesperada le dice a su hijito: “Mirá nene… Si no tomás la sopa, viene el Hombre de la Bolsa“.^[15] Una implicación como una casa, como veis: .

Tras lo que ya sabemos, que es mucho, ¿qué podemos decir de tan amenazante implicación?

Si el nene se achanta y se toma la sopa, entonces podemos concluir que la implicación era cierta; si el Hombre de la Bolsa no viene, pues nada, normal, pero incluso aunque el Hombre de la Bolsa le diera por ir de todos modos, la implicación en sí sería cierta, es decir, si el nene sí se comió la sopa mamá dijo la verdad.

Pero ¿qué pasa si el nene no se toma la sopa de ninguna manera…? Pues puede que efectivamente el Hombre de la Bolsa vaya y haga lo que quiera que hagan los Hombres de la Bolsa: nuevamente, mamá dijo la verdad, no mintió, la implicación era cierta. Lo que luego le pase al nene en su estrecho diálogo con el Hombre de la Bolsa es otra historia…

Claro está, también puede pasar que el dichoso Hombre de la Bolsa no vaya. ¡Catástrofe! ¡La mamá mintió! La implicación lógica base de la amenaza sopera no era cierta, ergo quien la dijo mintió: Mamá.

Eso es lo que se llama deducir… A formalizar la deducción lógica estará dedicado el siguiente artículo de la serie, así que por ahora, mejor lo dejamos así. Únicamente comentar que, tras la deducción, que ya veremos cómo se hace, cómo se formaliza, el nene aprende… ¡Vaya si aprende! La próxima vez tampoco tomará la sopa, aunque le amenacen con ponerle la discografía completa de David Bisbal… ¡Dos veces! ¡Esto es lo que se llama “Educación“!

… Pero es que aún hay un caso peor… Sí, mucho peor.

Como se preguntan Les Luthiers, ¿qué pasaría si El Hombre de la Bolsa tampoco quiere tomar la sopa? ¿Eh? Esto sí que sería como para convertirse en adorador del Gran Spaghetti Volador… Así que cuidadín con amenazar: igual luego no podemos cumplir la amenaza y quedamos como unos embusteros, además de como Cagancho en Almagro.^[16]

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Y para acabar con este kilométrico artículo, unas breves frases para desmontar de una vez por todas una de las falacias más habituales hablando de implicaciones lógicas: El que una implicación entre dos frases sea cierta no quiere decir que sea cierta la implicación entre la negación de esas mismas frases. Me explico:

Supongamos como cierta la implicación que todos los padres decimos a nuestros hijos en alguna ocasión: “Si comes, crecerás“.^[17] Podemos suponer a priori que es mayormente verdadera: para crecer es preciso comer. Ahora bien, de la presumible certeza de esta frase no se puede extraer de ninguna manera que “Si NO comes, NO crecerás“. En absoluto.

Representemos todo esto en nuestras conocidas, las ecuaciones booleanas amigas. Siendo p: “Comer” y q: “Crecer“, podemos representar:

“Si comes, crecerás” como , y

“Si NO comes, NO crecerás” como .

O, lo que es lo mismo,

“Si comes, crecerás“: , y

“Si NO comes, NO crecerás“: .

Para que la segunda frase sea cierta (suponiendo cierta la primera) debe tener su misma Forma Normal Disyuntiva, o lo que es lo mismo, su misma tabla de verdad. ¿De acuerdo en esto?

La FND de la primera frase (“Si comes, crecerás“) es: ,  y

La FND de la segunda frase (“Si NO comes, NO crecerás“) es: .

No son iguales. El segundo término es diferente en ambos casos: en el primero y en el segundo. ¿Qué quiere esto decir? Traduzcamos al español:

Los términos “Comes y Creces” () y “No comes y No Creces” () forman parte de la FND de las dos implicaciones, pero en la primera de ellas está el término “No Comes y Creces” ()^[18] mientras que en la segunda el término que está es “Comes y No Creces” ().^[19]  Dejamos para el que lo desee construir la tabla de verdad de ambas frases, para que constate visualmente, además de algebraicamente, que no es lo mismo una frase que otra.

Algunos pueden pensar, no obstante, que la diferencia es sutil, que no es para tanto, que en definitiva es prácticamente lo mismo… pues no lo es. Y, desde luego, en un razonamiento científico no se puede de ningún modo caer en esta falacia.

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Ah! ¿Hay algunos de entre vosotros, sufridos lectores, que aún no veis claro por qué este tipo de frases son una falacia? Vale, volvamos un momento a la frase que nos ha introducido en los intríngulis de las implicaciones lógicas, a saber: “Si estornudo, cierro los ojos“. Os acordáis, ¿no?

Bien. Pues aplicar esta falacia aquí implica que, asumiendo como verdadera la implicación original, aceptamos igualmente como cierta la siguiente perla: “Si NO estornudo, NO cierro los ojos“. Es decir, el conjunto de situaciones en que “No Estornudo” está contenido en el conjunto de situaciones en que “No Cierro los Ojos“, o . ¿Es eso cierto?

Para empezar, según las propiedades de la relación de orden parcial que vimos en el segundo artículo de la serie,   implica también que  . ¿Recordáis?

¿Qué significa esto? Veamos: el dibujo sería algo como el siguiente:

Supongo que ya os dais cuenta de que algo hay que no funciona… Porque ésta es también la representación en diagramas de Venn de la implicación “Si cierro los ojos, estornudo“…. y no era esto lo que nosotros queríamos decir, que era: “Si NO estornudo, NO cierro los ojos”.

Ja! Una y otra son exactamente la misma frase, tienen la misma fórmula, la misma tabla de verdad. Es lo mismo. Son idénticas.

Así que, para probar definitivamente si la frase es cierta o no, como hemos dicho unas doce veces ya, basta con encontrar un contraejemplo, es decir, una única situación en que No Estornudando, de todos modos Cierro los Ojos. No es muy difícil encontrar una situación tal: basta con echarse una siestecita…

Luego, suponiendo como verdadero que “Si estornudo, Cierro los ojos”, entonces “Si NO estornudo, NO cierro los ojos” (o “Si cierro los ojos, estornudo”, que ya hemos visto que es lo mismo) es una falsedad como un piano de cola.

¿Se ve claro ahora?

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En un ejemplo tan tonto, tan evidente como éste, parece obvio que una y otra frase no son la misma cosa, pero pensad en cosas más serias, como cuando un candidato a alcalde asegura que “si me elegís, habrá una carretera entre Villarriba y Villabajo“. Lo que sibilinamente él quiere que entendáis es que “si no me elegís, no habrá tal carretera“… pero eso no es la misma cosa. En absoluto. Puede, por ejemplo, que los otros candidatos también tengan pensado hacer la carretera. De nuevo, estos ejemplos son fáciles, pero a menudo esta falacia se esconde detrás de dobles negaciones y enrevesadas frases con muchas más condiciones, y no es tan sencillo darse cuenta de ella.

Avisados quedáis.

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Es todo por hoy. Ha salido un artículo bastante intenso, me parece. En realidad, podríamos seguir y seguir… las discusiones sobre implicaciones lógicas son eternas, pero en algún momento hay que cortar… De todos modos, ahí están los comentarios para debatir lo que gustéis.

El próximo día continuaré profundizando en el fascinante cálculo proposicional, en concreto sobre el proceso deductivo, siempre de la mano de Don José Cuena, a ver dónde acabamos. Además de en el psiquiátrico, quiero decir.

Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. El “entonces” se representa con la flecha, obviamente.
2. Ya es curioso que para definir una implicación lógica estemos usando precisamente una implicación lógica… forman parte natural del lenguaje y todo el mundo las entiende sin más complicaciones.
3. Incluso de otras implicaciones, si os lo estabais preguntando: al final del artículo espero que ya no os asuste tal cosa.
4. Expresión muy española para: “Ya nos hemos metido en el lío”.
5. No sé bien cómo definir este “Conjunto Universal de situaciones”: Los milisegundos que estoy vivo, quizas…
6. Que es el color que le sale al pintor al mezclar amarillo con azul.
7. Por ejemplo, porque estoy durmiendo… esperamos que la lectura de tan apasionante artículo no te haya llevado a esta situación.
8. Probablemente tú estás ahora mismo así, ¿verdad?
9. ¿A qué me suena a mí esto?
10. En términos matemáticos, se dice que algo (p) ocurre si y sólo si ocurre esto otro (q). Y viceversa.
11. “Si fuera rico haría esto o lo otro”, “Si pudiera, iría a tal sitio”, “Si lo hubiera sabido, no habría hecho tal cosa”, et altera…
12. Sin comentarios.
13. Así se llaman en España; en inglés se denominan “pop-corn“, y en HispanoAmérica me consta que se llaman de múltiples maneras… que no conozco.
14. Y de verdad va más rápido que la luz, claro.
15. En España decimos “El Hombre del Saco“, y este personaje popular está basado en hechos reales: parece que a fines del Siglo XIX hubo un asesino, un tal Francisco Ortega, El Moruno, que secuestraba a sus víctimas, las metía en un saco de arpillera, las desangraba, descuartizaba y qué sé yo, y luego echaba los pedazos en otro saco para esconderlos por el campo… La realidad supera a la ficción.
16. Recomiendo encarecidamente que, cuando terminéis con este escrito, os leáis el artículo de JdJ en su blog Historias de España sobre Cagancho en Almagro… JdJ es simplemente sublime, pero en el artículo de Cagancho en Almagro literalmente se salió.
17. Con todas sus variantes: “Si comes te pondrás fuerte”, “Si comes mucho serás más alto que tu primo”, etc, etc.
18. Es decir, puede que crezcas aunque no comas.
19. Es decir, que puede que, aunque te atiborres de comida, no crezcas ni un milímetro.

En comparación, las farmacéuticas, una vez que sacan al mercado un medicamento nuevo, tras años de investigación, rediseño, pruebas, autorizaciones, etc, sólo tienen diez años para disfrutar en exclusiva de los derechos industriales de su invento, a partir de los cuales el medicamento pasa al dominio público y cualquiera puede fabricarlo (es lo que se llama “genéricos”). La asimetría es tan tremenda que no me extraña que estas farmacéuticas dediquen cada vez más recursos a la investigación en cosmética y menos a crear medicamentos nuevos…

Pero dejemos este espinoso tema, y vayamos a lo que me trae hoy aquí: el Concierto para Piano y Orquesta núm. 2 de Piotr Ilich Tchaikowsky. Y no, no me he equivocado de número: es el número 2, en sol mayor, Op.44, no el archiconocido número 1, Op.23, que todo el mundo conoce (aquí tenéis un video del principio del concierto número 1 interpretado por Daniel Barenboim, con Zubin Mehta dirigiendo una orquesta desconocida, por si no sabéis de que hablo, para que veáis que efectivamente todo el mundo, incluidos vosotros, amables lectores, lo conoce). Porque el caso es que al ignorante de mí le gusta más, bastante más, el número 2. Si al número 1 le quitamos su arrollador comienzo, los tres o cuatro primeros minutos, le dejamos en el chasis, siempre según mi opinión, claro. Este número 2 de hoy, en cambio, está mucho mejor balanceado entre sus tres movimientos, destacando sobre todo el Andante, su espectacular movimiento lento, el segundo, una auténtica sorpresa, ya veréis por qué.

Piotr Ilich Tchaikowsky

Ya comenté brevemente algo sobre la vida de Piotr Ilich Tchaikowsky en el artículo dedicado a su Concierto para Violín y Orquesta, sin duda alguna el Everest de los conciertos para violín del repertorio. Recordar, únicamente su nacimiento en 1840 en una remota localidad minera de los Urales, en los confines de la Rusia europea, y cómo se empeñó en ser músico en lugar de funcionario, que era para lo que le educó su familia.

Su educación musical fue muy “occidental”, por llamarlo de alguna manera, al ser alumno de Antón Rubinstein, gran pianista y director, competidor directo de Liszt como intérprete, lo que le mantuvo relativamente alejado de la corriente nacionalista que tuvo su máximo exponente en el Grupo de los Cinco que ha aparecido por acá en varias ocasiones. Pero, aunque sus ideas musicales no coincidían al 100%, mantuvo siempre una buena y amistosa relación con sus componentes, en particular con Rimsky Korsakoff. Se respetaban unos al otro y viceversa.

Piotr Ilich tuvo una vida complicada, debido sobre todo a su reprimida y siempre ocultada homosexualidad, cosa muy, pero que muy mal vista en la época en la capital de los zares (y en todas partes, diría yo). Contrajo matrimonio con una alumna suya, Antonina Miliukova, pero fue un desastre; no llegaron a vivir juntos ni, desde luego, tuvieron ningún hijo; apenas tres meses después de la boda se separaron. Años después tuvo una relación platónica con la rica viuda Nadezha von Meck,^[1] admiradora suya que le “adoptó” como protegido, financiando sus actividades compositivas… Trece años duró esta relación, que mantuvo a Tchaikowsky con la estabilidad financiera y mental necesaria como para componer sus mejores obras.

Tchaikowsky falleció en San Petersburgo en 1893, a los 53 años de edad, tan solo nueve días después del estreno de su Sexta Sinfonía, la Patética. La versión oficial dice que falleció de cólera, debido al consumo de agua contaminada. Sin embargo, una estudiosa rusa asegura en los últimos tiempos que del estudio de no sé qué documentación se deduce que en realidad se suicidó, como consecuencia del dictamen de un cierto “tribunal de honor” extraoficial que le juzgó y le condenó a morir debido a su homosexualidad, al haber tenido un tormentoso romance con un joven miembro de la nobleza,^[2] y para evitar el escándalo mayúsculo que hubiera supuesto… sobre todo para él, claro, no para el noble.

Evidentemente, a estas alturas nadie lo va a saber con certeza, pero pocas dudas quedan a cualquiera que haya oído sus dos últimas Sinfonías. Su Quinta es abrumadora, con las aterradoras intervenciones del Destino (representado por el metal: trompetas, trompas y trombones) que se esparcen por toda la obra, cortando de raíz todo atisbo de alegría y lirismo de la obra. Pero ya el colmo es la Sexta, la Patética, su testamento, una auténtica autobiografía musical, con ese Adagio lamentoso final que rompe de plano con la tradición casi universal de acabar las obras con un movimiento alegre (un Allegro, vaya). Se trata de un aplastante movimiento final total y absolutamente premonitorio, un Adagio que, cuando termina, y con él la sinfonía, no sabes si aplaudir o irte a un rincón a llorar… A mí no me cabe la menor duda de que Piotr Ilich sabía perfectamente que su vida llegaba a su fin, que esa Sexta Sinfonía sería irremediablemente la última, pues sólo así se explica ese angustioso latir del corazón (son los contrabajos quienes laten, con un pizzicato en piano) con que termina la obra, latidos que se van ralentizando poco a poco, poco a poco… hasta que cesan. Del todo.

Desdichado Tchaikowsky. Genial Tchaikowsky.

Aunque su música fue bastante menospreciada por los críticos durante buena parte del Siglo XX, no cabe hoy la menor duda de que es uno de los más eximios compositores que sobre la faz de la Tierra hayan sido. Y su Segundo Concierto para Piano y Orquesta de hoy lo demuestra.

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Compuesto entre 1879 y 1880, en los años de mecenazgo de Nadezha von Meck, fue dedicado al pianista Nikolái Rubinstein, hermano de Antón, considerado uno de los mejores pianistas del momento. Nikolái Rubinstein había sido muy crítico con el primer concierto del compositor (sí, ese tan famoso), pero luego, en vista de su éxito, tuvo que reconocer que se había equivocado y que la obra era excelente. Tchaikowsky quiso de esta manera agradecerle su postura; cuando le envió el primer texto, la respuesta de Rubinstein fue mucho más receptiva que con el primero. Pero cuando por fin el concierto estuvo listo para su estreno llegó la noticia de que el pianista había fallecido en París. De modo que el encargado del estreno, en 1882 y en Moscú, fue otro grande: Sergei Taneyev, antiguo alumno del propio Tchaikowsky, con la dirección del mismo Rubinstein del que una vez fue alumno: Antón. El círculo se cierra…

El Concierto no alcanzó los grados de popularidad que tenía su primer concierto, lo que desagradó profundamente a Tchaikowsky, que lo consideraba (con razón) como una de sus mejores obras. Y estaba particularmente satisfecho del Andante, el movimiento lento… Yo estoy de acuerdo con él: es una de sus mejores obras. Y el segundo movimiento es de los mejores movimientos lentos de todos los conciertos de piano que yo conozco. Espero que, tras escuchar el concierto, estéis de acuerdo conmigo.

La versión que vamos a escuchar es la de Konstantin Scherbakov al piano, con la Orquesta Filarmónica de Rusia dirigida por Dmitry Yablonsky. La duración total del concierto son unos cuarenta minutos, y son dos videos: el primero tiene el primer movimiento completo y el segundo, los dos restantes, que se ejecutan sin interrupción entre uno y otro, es decir, en attaca. El primer video son fotos de alguna ciudad presumiblemente centroeuropea que no reconozco; el segundo tiene paisajes de campos, lagos, castillos y montañas acompañando al Andante, y fotos de otra (o la misma) ciudad centroeuropea en el tercer movimiento. Las fotos originales seguramente serían buenas, pero en cualquier caso el video no las hace justicia. Pero la música es excelente, que es lo que importa.

Vamos ya con el primer movimiento, Allegro brillante e molto vivace:

En este movimiento hay muchos menos pasajes de lo que es habitual en que la orquesta toque simultáneamente con el piano, es decir, “compitiendo” el uno con la otra. Esta situación es muy normal en casi todos los conciertos de piano y orquesta, pero parece que a Tchaikowsky no le gustaba mucho esta combinación, por lo que este movimiento tiene muchas intervenciones de la orquesta sola, o cadenzas del piano solo, y pocas colaboraciones entre ambos. De lo que no cabe duda es que es un movimiento brillante, como bien dice su título.

Comienza con una brillante intervención de la orquesta, contestada en seguida por el piano. La música continúa desgranándose, con intervenciones solistas del piano, la primera en el minuto 1:30, respondidas por intervenciones puntuales de la orquesta, para luego volver el solo del piano… y así una y otra vez. En este movimiento no es muy habitual que piano y orquesta toquen a la vez, y cuando lo hacen la orquesta da el contrapunto al piano.

Así siguen las cosas, con brillantez inusitada, hasta que en el minuto 7:00, tras una larga introducción orquestal, cambia el tema. El piano ahora es más lírico, acompañado suavemente por la orquesta, para comenzar 30 segundos después una cadenza más, de minuto y medio, aproximadamente. Tras otra larga introducción orquestal, en el minuto 10:50 comienza una nueva, larga y muy lírica cadenza, que al rato se vuelve mucho más difícil, de virtuoso… es una delicia escuchar a Konstantin Scherbakov interpretando tan difícil pasaje con tanta autoridad. Esta larguísima cadenza (dura cuatro minutos, mucho más de lo que era normal hasta entonces), a mí me recuerda a la famosa cadenza del Concierto número 3 de Rachmaninoff, de la que es claramente precursora, de la que ya tuvimos oportunidad de hablar en el artículo correspondiente.

En el minuto 15:45 la orquesta interrumpe por fin al piano, recuperando el tema principal del movimiento. Tras un minuto, el piano recupera su protagonismo, en una repetición del primer tema, que se va desarrollando hasta que en minuto 19:15 comienza la coda final del movimiento, que termina por fin como transcurrió: de forma brillante.

Magnífico movimiento, sin duda. Gran Tchaikowsky. Para ver los otros dos movimientos es preciso cambiar de video. Vamos, pues, con el segundo movimiento, Andante non troppo:

Dije al principio que este movimiento (además de ser simplemente perfecto) venía con sorpresa. Y esta sorpresa es que se trata, en realidad, de un movimiento típico de un Triple Concierto (un concierto para trío de piano, es decir, violín, cello y piano, y orquesta), es decir, además de las intervenciones solistas del piano, hay otras muchas intervenciones solistas del violín del concertino (en la versión del video, Andrey Kudryavtsev) y del primer cello de la orquesta (en la versión del video, el propio director de la orquesta, Dmitry Yablonsky), configurando de facto un concierto para trío y orquesta (las intervenciones de ésta son siempre de acompañamiento, sin quitar el protagonismo al trío en ningún momento). El único Triple Concierto famoso del repertorio es el de Beethoven… que al ignorante de mí no le gusta. Nada de nada, por muy Beethoven que sea. Hasta el mejor escribano echa un borrón. Este Andante del Concierto número 2 de Tchaikowsky, sin embargo, me entusiasma.

Hay versiones de este concierto en que las partes solistas de violín y cello han sido reescritas para piano. No me gustan. Bueno, sí me gustan, pero mucho menos que el original. El lirismo de este movimiento es realmente superlativo.

Comienza con una breve introducción orquestal que da en seguida paso al violín solista que ataca el tema principal del movimiento, acompañado suavemente por la orquesta. En el minuto 1:05 llegamos por fin a ese pasaje mágico, bellísimo, realmente encantador, que es el tema principal del movimiento. En el minuto 2:25 es ahora el cello solista quien toma la línea principal de la música, ahora acompañado por el violín y la orquesta allá al fondo… Delicioso.

En el minuto 3:25, por fin, todos callan para que sea ahora el piano quien declame la melodía en solitario durante un minuto, luego acompañado por la orquesta y más adelante por violín y cello también. En el minuto 5:30 el tema cambia, siendo ahora el piano quien lleve la voz cantante, acompañado de la orquesta, pues violín y cello solistas ahora callan por un rato, hasta el minuto 7:10 en que vuelven a tomar el protagonismo en un dúo magnífico, que dura hasta que se les une el piano en el minuto 8:45, convirtiéndose nuevamente en un trío… la orquesta está callada en esta sección, dejándonos disfrutar de la melodía llevada por los tres instrumentos. Extraordinario pasaje, me parece a mí. Alrededor del minuto 10:00 se une por fin la orquesta en piano, mientras que el piano ahora calla.

El pasaje lo cierra el piano en el minuto 11:15, con un nuevo solo, que prepara el final del movimiento, suave final del Andanteque termina abruptamente en el minuto 13:25, interrumpido bruscamente por un clarinazo que comienza (en attaca) el tercer y último movimiento, Allegro con fuoco .

En este movimiento el violín y el cello se integran de nuevo en su lugar en la orquesta para acompañar al piano que, nuevamente, es el protagonista absoluto, como debe ser en un concierto para piano y orquesta como éste. Allegro con fuoco significa alegre con “fuego”, con pasión… y vaya si tiene pasión el movimiento. Se alternan las breves intervenciones solistas del piano con las respuestas de la orquesta siempre con variaciones del mismo tema inicial del movimiento. El ritmo es frenético en todo momento, exigiendo lo mejor del solista. Bueno, y de los profesores de la orquesta, también. En el minuto 18:55 cambia el ritmo por fin, pero sólo para preparar las intervenciones finales del piano, la coda del movimiento y del concierto, que termina por fin, con mucho “fuoco”, en el minuto 20:20.

Una gran ovación del público pone el broche de oro al concierto. Los intérpretes se la merecen, ciertamente.

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Mientras que del concierto número 1 de Piotr Ilich Tchaikowsky hay numerosísimas versiones grabadas, de este número 2, Op.44, hay muchas menos, por alguna razón que, después de haberlo oído, no se entiende muy bien… pero es lo que hay. Recomendaré, para no equivocarme, la misma versión del video, con Konstantin Scherbakov al piano y Dmitry Yablonsky dirigiendo la Orquesta Filarmónica de Rusia, editada por Naxos (siempre una garantía de calidad y buen precio).

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En Spotify hay un montón de versiones… pero ¡del omnipresente Op.23, el concierto número 1 de Tchaikowsky! Del número 2, el Op.44, éste del artículo, hay apenas cuatro o cinco; algunas son de la versión original antes de las sucesivas revisiones de Piotr Ilich, versión más larga que la que hemos oído; el andante de otras tiene el arreglo para piano que elimina el maravilloso trío de violín, cello y piano… En fin, de lo poco que queda he seleccionado la versión de la Orquesta de la Radio Nacional Polaca con Antoni Wit en la dirección y Bernd Glemser al piano, también de Naxos (qué casualidad), tan buena como la del video, cuyo enlace podéis encontrar aquí. No hay mucho donde comparar esta vez.

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Escuchar música en directo es mejor que enlatada. Mucho mejor. Sí, es la misma cantinela de siempre, ¡qué le vamos a hacer! Pero… es que es la verdad.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. En realidad sería una relación epistolar, pues se relacionaban por carta: Nadezha puso como condición que nunca debían conocerse cara a cara.
2. Es decir, en términos del dichoso tribunal, por “haber seducido” a un inexperto, tierno e ignorante hijo de duque, conde o barón…

Una de dichas aplicaciones es el diseño y fabricación de los circuitos digitales, que permiten tomar un conjunto de entradas digitales binarias y obtener un resultado 1 ó 0. Pero como Macluskey está siguiendo los apuntes de hace un porrón de años, en aquel momento no se contaba nada de eso en la escuela. Cuando él estudió aquello, les contaron interruptores (pero no puertas lógicas) probablemente porque se pensaba que muchos ingenieros informáticos tendrían que dedicarse al hardware, y el tiempo ha demostrado que… se equivocaron. La inmensa mayoría de los ingenieros informáticos se dedican al software. De hecho, yo soy teleco y también estudié interruptores en la carrera (aunque unos pocos años después de Mac) y después puertas lógicas, pensando en que probablemente los telecos, esos sí, se iban a dedicar al hardware… pero jamás lo he usado en mi vida profesional.^[1]

Finalmente, aprovechando que me dais un púlpito al que subirme a largar, repasaremos un poquito las principales tecnologías hardware para hacer esto.

Este artículo puede enlazar detrás de casi cualquiera de los artículos introductorios de la serie de Macluskey, pero como probablemente el sitio natural sea justo después del del cálculo proposicional, ahí es justamente donde lo publicamos. Para seguir este artículo supondremos, además, conocimientos del artículo de álgebra de Boole y el del álgebra de circuitos. Revísalos si no los tienes frescos.

Para empezar a ver la utilidad de esto, y antes de entrar en formalismos, vamos a tratar de poner un ejemplo. Supongamos que yo tengo:

• Un sensor que me detecta si entra luz por la ventana. Si entra luz genera un 1, y si no, un 0 (ya veremos luego cómo representamos esto físicamente).
• Un sensor de movimiento que me detecta si estoy en la habitación, generando un 1 si estoy, y un 0 en caso contrario.
• Una luz que se enciende cuando recibe un 1, y se apaga cuando recibe un 0.

¿Podría yo crear un circuito digital que  encienda la luz cuando estoy en la habitación pero no entra luz por la ventana? A lo mejor me gustaría que la luz del pasillo se encienda automáticamente cuando viene alguien, pero, claro, solo cuando no sea de día.

Pues sí, podría diseñar un circuito digital que haga eso. El circuito más sencillo que lo logra es el siguiente:

¡Hey! ¿Qué son esos dibujos extraños que hemos puesto entre los sensores y la bombilla?

Esos dibujos son puertas lógicas.

La primera de las puertas lógicas, la que parece una D mayúscula, es una puerta AND. Su trabajo (la veremos formalmente más adelante) es poner un 1 en la salida si en ambas entradas hay un 1, y un 0 en cualquier otro caso.

La segunda de las puertas lógicas, la que parece un triángulo con un círculo en la punta, es una puerta NOT. Su trabajo es poner en la salida lo contrario de lo que haya en la entrada.

Piénsalo un poco, y resumamos en la siguiente tabla los cuatro posibles estados del sistema:

Si lo pensáis un poco, esa tabla resume lo que queríamos hacer: la luz se enciende si detecta a alguien, pero solo si es de noche.

Fácil, ¿verdad?

Existen 3 puertas lógicas básicas: AND, OR y NOT (supongo que, dada la serie en la que estamos, y dado que quizá adivinas algo de lo que vamos a decir en los próximo párrafos, no te sorprenden esos nombres…).

Una puerta AND se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada1	Entrada2	AND
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Una puerta OR se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada1	Entrada2	OR
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Finalmente, una puerta NOT se representa por el siguiente símbolo y define su comportamiento según la siguiente tabla:

Entrada	NOT
0	1
1	0

¿Será, por un casual, el conjunto (S, OR, AND), junto con la puerta NOT, siendo S los dos posibles valores {0,1}, un álgebra de Boole? Ya sabemos cómo demostrarlo, si es necesario, por anteriores artículos de la serie… pero sí, obviamente, es un álgebra de Boole. De hecho, a poco inglés que sepamos, sabemos que AND significa Y, OR significa O y NOT significa NO… y eso nos da muchas pistas. No vamos a demostrarlo aquí, porque ya lo ha hecho Macluskey en otros artículos para otros casos; se hace igual.

Eso significa que podemos definir funciones a base de combinar puertas lógicas, y que podemos aplicarles a esas funciones todas las operaciones que veíamos en un álgebra de Boole, tales como la conmutatividad y asociatividad, las leyes de De Morgan, la simplificación de Karnaugh, su descripción en FND^[2] o FNC,^[3] o muchas otras. De hecho, es muy habitual definir las funciones de lógica digital precisamente con la misma notación que Macluskey ha usado en el resto de la serie: el símbolo de + para el OR; y el punto de multiplicación o simplemente nada para el AND. Para el NOT se usa a menudo una barra horizontal sobre la variable o una tilde tras ella… como hemos ido haciendo en el resto de la serie, vaya.

Por ejemplo, para definir nuestro circuito de arriba, si llamamos L al sensor de luz exterior, P al sensor de presencia y S a la salida, podemos decir que S=P·L’.

Saber que es un álgebra de Boole tiene su importancia. Por ejemplo, si definimos nuestra función digital en forma de tabla, podemos usar la simplificación de Karnough para encontrar la función digital que menos términos tiene (es decir, que menos puertas lógicas necesita). Esto tiene su importancia, porque a veces tener más puertas significa utilizar más mm² de la oblea de silicio, y, por lo tanto, el circuito resulta más caro.

O también, podemos encontrar la FND de cualquier circuito, para comprobar si dos circuitos lógicos son en realidad el mismo. Por cierto, que esta FND tiene una ventaja adicional: al parecer es relativamente sencillo, por la forma en que se fabrican los circuitos integrados,^[4] tomar todas las entradas, pasarlas agrupadas por un montón de puertas AND y el resultado pasarlo por una única puerta OR. Es decir, la representación FND de la función. Al parecer, dependiendo de la tecnología que se utilice, esto puede ser más fácil (es decir, más barato) que el circuito de Karnaugh equivalente, aunque aparentemente tenga más puertas.

Por comodidad, se suelen definir unas cuantas puertas lógicas más: XOR, NOR, XNOR y NAND. Pero no olvidemos que todas ellas se pueden representar simplemente como una combinación de AND, OR y NOT.^[5]

XOR es el OR eXclusivo que ya ha salido otras veces a lo largo de la serie, y se suele representar con un + rodeado en círculo: . A menudo se dice que esta es la puerta de la suma (y no el OR, como podría parecer por el símbolo), porque si sumo con sumas “normales”, me sale lo que dice la puerta XOR… ¡Por Tutatis! ¿Y el 0 de la última fila! Ten en cuenta que son sumas binarias, y 1+1=… 0… y me llevo 1 (este “me llevo 1” se suele llamar acarreo, y se puede calcular simplemente con el AND), del mismo modo que en nuestro sistema decimal habitual, “5+5=0 y me llevo 1″.

A	B	XOR
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR es simplemente la combinación de NOT y OR:

A	B	NOR
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

XNOR es nada más que la combinación de NOT y XOR y se suele representar con un punto en un círculo: . Se suele decir que esta es la puerta de la equivalencia, porque si os fijáis en la tabla veréis que comprueba si A y B son iguales.

A	B	XNOR
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Finalmente, la puerta NAND es la combinación de NOT y AND:

A	B	NAND
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Bueno, ¿y esto qué tiene que ver con el álgebra de circuitos? Porque mucho decir que es continuación del álgebra de circuitos, pero hasta ahora solo lo hemos tratado como una cosa independiente. Pues tiene que ver porque hasta ahora estas puertas lógicas que hemos visto son solo un concepto abstracto, que vive en el mundo de las ideas de Platón. ¿Cómo trasladamos esas puertas ideales a componentes físicos con los que construir un ordenador?

El cómo lo hagamos depende de la tecnología que empleemos, pero hoy en día casi siempre es con interruptores, como los que vimos en el capítulo III, dedicado al álgebra de circuitos.

Pero antes… vaya… antes aún vamos a dar un paso intermedio. Vamos a definir primero un interruptor ideal controlado por una señal. Bueno, mejor dicho, vamos a definir dos:^[6]

El interruptor de la izquierda, cuando recibe un 1 por la patilla de control, cierra el circuito (es decir, deja pasar la corriente); y cuando recibe un 0, lo abre. El de la derecha funciona exactamente al revés: cierra el circuito cuando recibe un 0 y lo abre cuando recibe un 1. Y ahora combinamos esos interruptores para conformar las puertas que hemos definido. Por ejemplo, veamos cómo es una puerta AND construida con estos interruptores:

Si lo pensamos un poco, vemos que este circuito cumple la tabla de la puerta AND: si alguna de las entradas A ó B es un 0, la parte superior del circuito está abierta, por lo que el 1 nunca llega hasta la salida, mientras que al menos uno de los interruptores de la parte de abajo lleva el 0 hasta la salida. Solo si ambas entradas son un 1 se cierra la parte superior y se abre la inferior, llevando el 1 hasta la salida.

De forma similar podemos construir todas las demás puertas lógicas (aunque no vamos a verlas… hacedlo mentalmente o en los comentarios si queréis).

Así que ya solo nos queda definir qué son el 0 y el 1 y cómo son esos interruptores. De nuevo, eso depende de la tecnología que estemos usando, pero es muy habitual decir que el 1 son 5V y el 0 son 0V (eso se llama “lógica TTL”). En otras tecnologías se usan +12/-12V, 3.3/0 ó cosas así.

Para los interruptores, la tecnología más antigua que conozco se basa en relés.^[7]. Un relé es una cosa muy tonta: un electroimán que cierra o abre un circuito. Veamos el dibujo:

El muelle mantiene el circuito abierto por defecto. Cuando en las patillas de control metemos por ejemplo 5V, circula un montón de corriente por ahí, produciendo un electroimán que atrae al metal del interruptor, cerrando el circuito. Ingenioso.

La tecnología es muy sencilla, fácil de fabricar, y se conoce desde que se conoce el electromagnetismo. La desventaja principal es que se basa en el movimiento de componentes físicos muy grandes, que tardan un montón en moverse. Cuando empieza a circular corriente por la bobina de control, empieza a atraer al interruptor para cerrarlo… pero ese cierre tarda unos cuantos milisegundos. Puede parecer que unos pocos milisegundos es muy poco tiempo, pero piensa en que el ordenador que tienes delante funciona probablemente a un par de GHz… 2 mil millones de conmutaciones por segundo. O más. Es decir, que cada conmutación debe tardar menos de medio nanosegundo… decididamente, unos pocos milisegundos es muuuuuucho tiempo. Y eso por no hablar del precio.

Eso no impidió que se construyeran ordenadores con esta tecnología. Eran ordenadores primitivos, lentos… pero vaya, ordenadores al fin y al cabo. Como curiosidad, para los que se dediquen a la programación, parece ser que el término bug proviene de que con esta tecnología los bichos (insectos, arañas, cosas así) se metían físicamente entre los contactos (bug es bicho en inglés) e impedían que los terminales hicieran contacto… y por lo tanto debugar era ir con insecticida y pinza a quitar físicamente los bichos del circuito.

También de esta época es la palabra hacker. Al parecer, si un relé pasaba mucho tiempo en una determinada posición, sus terminales se empezaban a oxidar y ya no se movían. Así que unos expertos iban a darle un golpe a la máquina, un onomatopéyico hack!, en donde lo necesitaba, para despegarlos (hack en inglés es algo así como “hachazo”).

Válvula de vacío (RJB1, cc-by-sa)

Con el tiempo vinieron los conmutadores de válvulas. No conozco en detalle el principio físico de las válvulas, pero las más comunes de ellas se basan en que, cuando pasa corriente por los terminales de control, sube la temperatura, aumentando la cantidad de electrones libres, lo que permite el paso de corriente entre las bornas del interruptor (¿algún físico en la sala que pueda ampliar la información?). También pueden usarse como amplificadores, aprovechando la parte de su curva de comportamiento en que hay una relación lineal entre entrada y salida.

Su principal desventaja, además del precio, es el tamaño.^[8] Aunque muchos melómanos siguen diciendo que los amplificadores de válvulas dan un sonido mucho más fiel al original que los de transistores (aunque con mi oído patatero soy incapaz de diferenciarlo),^[9] cuando se usan como conmutadores no les conozco ninguna ventaja frente a los transistores…

Y con esto, finalmente, llegamos a los transistores.

Distintos tipos de transistores... en encapsulados estandarizados (http://www.automation-drive.com)

Si el principio de funcionamiento de las válvulas era complicado, el de los transistores no te digo nada (a ver si alguien recoge el guante…). Al parecer, existen compuestos (típicamente de silicio con pequeñas cantidades de otros elementos, aunque se pueden usar otros, como el germanio) que no se pueden catalogar simplemente como conductores o aislantes… sino que, a pesar de que por defecto son aislantes, dependiendo de si por uno de los lados se les mete más o menos voltaje (o corriente, depende), empiezan a conducir (se les llama precisamente semiconductores). Uhm… ¿eso no es básicamente nuestro interruptor controlado por tensión?

Transistor bipolar NPN y PNP

El comportamiento detallado de un transistor (sus ecuaciones) depende del tipo que sea (bipolar, JFET, MOSFET…), pero cualitativamente podríamos describirlo así:

• Si la tensión entre Base y Emisor es muy pequeña, no circula corriente entre Colector y Emisor (es decir, son un interruptor abierto) . A esto se le llama zona de corte.
• Si la tensión entre Base y Emisor es muy grande, no solo circula corriente entre Colector y Emisor, sino que es virtualmente un cortocircuito, un interruptor cerrado. A esto se le llama zona de saturación.
• Si no es ni muy pequeña ni muy grande, la corriente que circula por el Colector es proporcional a la corriente que circula por la Base. A esto se le llama zona lineal.

Lo que hemos descrito es un transistor bipolar NPN. El PNP funciona igual, pero cambiando los signos de las tensiones y corrientes… la flecha da una pista de cómo circula la corriente. Los transistores JFET y MOSFET, aunque siguen ecuaciones distintas, y con nombres distintos, son cualitativamente parecidos.

Cuando estamos usando un transistor para hacer un amplificador, se utiliza la zona lineal, mientras que si lo que estamos haciendo es un interruptor controlable, se usan las zonas de saturación y corte… pues bien, podemos aprovechar eso para fabricar nuestros circuitos digitales.

Las ventajas de los transistores son muchas: pequeño tamaño (estamos hablando de nanómetros), pequeño consumo, muy baratos (aunque el proceso de fabricación es complicado, mucho más que el de un relé, está muy trillado ya en la industria), velocidades de conmutación asombrosamente altas (en electrónica de consumo estamos acostumbrados, por ejemplo, a microprocesadores que van a varios GHz… y eso es solo la electrónica de consumo).

La única desventaja que se me ocurre de los transistores frente a los relés es que en general estos soportan más corriente y más voltaje. Además… parece que empezamos a encontrar el límite. Parece que estamos haciendo ya transistores muy pequeños, en los que los “microcomponentes”^[10] de los transistores  se mide en “unos pocos átomos”, y en esas situaciones empezamos a chocar con la cuántica, el “efecto túnel” deja de ser despreciable y ya no está tan claro que podamos hablar de “circuitos abiertos” o “circuitos cerrados” y toda esa terminología electrónica.

Antes de despedirnos, una última salvedad: aquí hemos usado continuamente el término “digital” para referirnos a 1s y 0s, es decir, lógica digital binaria. Obviamente es posible otra lógica digital que no sea binaria, sino ternaria, cuaternaria… Esa lógica ya no es un álgebra de Boole, pero es matemáticamente posible (aunque poco usada, ya que no sé si hay alguna situación no-binaria que no pueda resolverse con un uso ingenioso de la lógica binaria).

Y con esto nos despedimos. Hemos repasado las tecnologías involucradas de las puertas lógicas hacia abajo, hacia la física (por supuesto, solo un análisis cualitativo; una fabricación real es bastante más complicada). Otro día quizá, aprovechando otro púlpito, introduzcamos un poco lo que hay desde las puertas lógicas hacia arriba, hasta llegar al ordenador que tienes en tus manos.

Fue un placer.

1. En la vida privada sí, pero es que soy muy friki.
2. Forma Normal Disyuntiva
3. Forma Normal Conjuntiva
4. Tiene que ver con la distribución física de las distintas bandas de dopaje sobre el silicio.
5. Se dice que el conjunto {AND, OR, NOT} es un conjunto completo (aunque no es el único que lo es) porque cualquier otro conjunto de puertas se puede representar con combinaciones de AND, OR y NOT… pero si realmente necesitabas esta nota es que necesitabas un texto un poco más profundo.
6. Existen tecnologías que utilizan un componente más, un atenuador o debilitador, pero se usa poco, así que no lo vamos a explicar. Una vez más, si necesitabas esta salvedad, es que necesitabas algo más que este artículo.
7. Bueno, existieron maquinas, basadas en piezas mecánicas o tuberías de agua que intentan ¡y consiguen! cosas parecidas. Existen desde hace ¡siglos!, pero no pasan de ser juguetes ingeniosos.
8. Macluskey, que ya va para anciano, vio la tele por primera vez en un aparato de válvulas, a fines de los cincuenta. Las válvulas, un par de docenas o así, eran casi más grandes que la pantalla, que no sería de más de doce pulgadas… Cuando las válvulas se fundían, entonces llamabas a un técnico que venía con su soldador y cambiaba la fundida por otra nueva y ¡hala!, unos meses más de tele.
9. Tiene que ver con que el comportamiento de las válvula es más lineal que el de los transistores.
10. Por llamarlos de algún modo… técnicamente, nos referimos al “tamaño de la puerta”… pero otra vez, si necesitabas eso, no necesitas este artículo.

Sirva en mi descargo que nos hemos estado preparando para ello, pues hasta ahora hemos visto cómo es el álgebra de Boole con su Forma Normal Disyuntiva, luego entramos en la base del álgebra de Circuitos, y por fin, en el artículo anterior vimos el álgebra de Conjuntos desde la óptica del álgebra de Boole… pero ya con una cierta aplicación a la resolución de problemas lógicos, lo que muchos de vosotros llamaríais “Acertijos”, como el ínclito e incombustible “¿Cómo se llama el maquinista?”, que os dejé de regalo en el capítulo anterior de la serie. Espero que su resolución no os haya destruido muchas neuronas.

José Cuena Bartolomé controlando una pantalla (1987).

Como sabéis, porque lo he dicho en cada capítulo, en realidad estoy siguiendo mis emborronados apuntes de la asignatura de “Metodología” de Segundo de Informática, curso 1973-74, impartido por José Cuena Bartolomé, desgraciadamente fallecido en 1999, uno de los mejores profesores que he tenido en mi vida.

Supongo que os habréis dado cuenta del método didáctico seguido por Pepe Cuena para desasnarnos en estas lides…

Empezó por la base teórica, el álgebra de Boole, luego nos explicó aplicaciones de la misma a problemas distintos (los circuitos eléctricos, los conjuntos), para llegar al cálculo proposicional… Iba paulatinamente definiendo los ladrillitos con los que se construirían los edificios cada vez más altos de la Lógica. No daba nada por sentado, sino que definía las cosas de lo particular a lo general…

Al final del artículo incluiré unos párrafos explicando todo esto de forma más detallada, para que no os perdáis en lo que sigue. Leedlo y podréis seguir lo que queda de serie con facilidad… espero.

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En fin, a estas alturas del curso (debía ser enero o febrero de 1974), Don José nos dijo que ya estaba bien de holgazanear, que ya iba siendo hora de entrar en materia, lógicamente, con la Lógica de verdad… y eso haremos en este capítulo dedicado al Cálculo Proposicional. Sigamos el razonamiento y las explicaciones de Don José…

Si estamos hablando de Cálculo Proposicional, es decir, Cálculo de Proposiciones, lo primero que habrá que definir es qué es para nosotros una Proposición: Una frase a la que podemos atribuir, sin el menor asomo de duda, un valor de Verdad o de Falsedad.

Atención: “Podemos atribuir” no indica que tengamos que saber exactamente si la frase es verdadera o falsa en un contexto, sino que tenemos los medios para saberlo. Por ejemplo, la frase “Está lloviendo” es una proposición a la que podemos asignar sin duda alguna un valor de verdad o falsedad… una vez que hayamos mirado por la ventana.^[1]

Entonces, frases del estilo “La frase que está Vd. leyendo es falsa” no es una proposición, pues no podemos asignarle un valor de verdad ni de falsedad ni de nada de nada, salvo quizá acordarnos amablemente de los ancestros del autor de la frase. En una palabra, el cálculo proposicional no es pertinente para tratar frases de esas tan comunes que cualquiera calificaría de “Verdades a Medias” o de “Medias Mentiras”, que para el caso es lo mismo. No es, por lo tanto, una herramienta adecuada para analizar frases y afirmaciones de políticos, economistas, abogados… Si lo hacemos llegaremos continuamente a contradicciones y sinsentidos, así que mejor dejar el análisis de sus afirmaciones a avezados analistas y tertulianos varios, aunque me dé la sensación de que acertarían más leyendo los posos del té… En fin, dejemos este espinoso tema para esos avezados analistas y tertulianos que nos siguen, y centrémonos en el cálculo de proposiciones, de ésas de las que con todo rigor podemos estar seguros si son verdaderas o falsas…

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Naturalmente, podemos unir varias proposiciones elementales (del estilo de “Llueve”, “Soy agricultor” o “La Tierra se mueve”) en una proposición compuesta, para lo que tenemos que unirlas mediante nexos. Estos nexos posibles son ni más ni menos que las conjunciones copulativas y/o las disyuntivas. En una palabra, mediante las conjunciones Y y O. Y también podemos negarlas (“No llueve”), mediante la partícula NO.^[2]

Podemos decir, por tanto, que “Llueve Y NO me mojo”, o que “Llueve O me mojo”. En este último caso, y que quede claro de aquí para siempre jamás, decir “Llueve O me mojo” quiere en realidad decir “Llueve O me mojo O ambas cosas”.

Si lo que queremos decir es que “O bien Llueve, o bien Me mojo, pero no simultáneamente”, cosa que en el cálculo proposicional y en la vida real es perfectamente posible, veremos más adelante que eso se trata de un “O lógico exclusivo”, y no de un “O“ normal. Lo digo porque en el lenguaje cotidiano se usa muchas veces el “O” con sentido exclusivo, y todo el mundo lo entiende así. Por ejemplo, si alguien nos pregunta “¿Adónde quieres cenar, en un chino o en un italiano?”, o bien “¿Dónde quieres que vayamos hoy, al cine o al teatro?”, prácticamente todo el mundo entiende que ambas opciones son exclusivas: si vamos al cine queda descartado el teatro y viceversa, y si vamos al italiano, el chino se queda hoy sin algunos clientes… Si a cualquiera de esas preguntas contestas “¡A ambos sitios!” lo más normal es que quien pregunta se quede sorprendido… no espera tal contestación (e incluso puede ser directamente imposible, si ambas actividades son a la misma hora).

Repito para que quede claro, cristalino: En cálculo proposicional, el “O” implica siempre, siempre, “Uno u Otro o Ambos a la vez”. Siempre.

Veamos, pues, usando la ínclita Forma Normal Disyuntiva, que para algo la expliqué hace un tiempo, cómo se comportan estas proposiciones compuestas (aquí, obviamente, V significa “Verdadero” y F, “Falso”):

A estas tablas tan monas se les denomina, de forma no muy imaginativa pero ciertamente descriptiva, “Tablas de Verdad”, y serán muy importantes en todo lo que sigue.

Tablas de Verdad. Anotarlo en algún rinconcito del cerebro para que no se olvide…

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También podemos negar una proposición, dando origen a una proposición nueva, como “No llueve”, que será verdadera cuando “Llueve” sea falsa y viceversa. Entonces la tabla de verdad de una negación sería algo tan tonto como:

En jerga “cálculoproposicionalística”, las proposiciones genéricas que se usan en las fórmulas no suelen designarse con x, y, z… como es habitual en casi todas las ramas de la Matemática, sino más bien con p, q, r…. Además, en lugar de “Y”, “O” o “NO”, se usan los símbolos siguientes: , para el “y”,  para el “o”, y  para el “no”, aunque también se puede usar el símbolo  para denotar la negación; de ambas formas podéis encontrarlo, aunque yo usaré normalmente el signo .

Además, y ya puestos, podemos cambiar la representación de los propios valores posibles, asignando un “1” al valor Verdadero y un “0” al valor “Falso”. En realidad no hemos cambiado nada, tan sólo la forma de escribirlo… Sabiendo esto, podemos reescribir las tablas anteriores de la forma siguiente:

¿De acuerdo? Obviamente, si tenemos varias proposiciones (frases) mezcladas con “o” e “y”, algunas de ellas negadas y otras no, por muy complicada que sea la frase, siempre podemos conocer el valor de verdad de la proposición completa en base a la explotación de la correspondiente tabla de verdad. Muy útiles, las tablas de verdad, como veis.

Por ejemplo, sea la proposición , de la que queremos establecer su tabla de verdad en función de los valores de las proposiciones elementales p, q y r. Para facilitarnos la vida, usaremos algunas variables intermedias: llamaremos s al resultado de la proposición (ahora la fórmula original será , y luego llamaremos t al resultado de .

Construyendo la tabla de verdad paso a paso (tabla que, debido a que son tres las variables, tendrá ocho posibles combinaciones de valores, como supongo os habéis dado cuenta),^[3] llegamos a los valores de verdad resultantes:

NOTA: Podemos obtener con toda sencillez la fórmula equivalente en Forma Normal Disyuntiva de dicha fórmula simplemente explotando la Tabla de Verdad, creo que se ve claro mirando dicha tabla de verdad, ¿no es cierto?

Si queremos, por fin, conocer la tabla de verdad del O lógico exclusivo (lo denominaré por hacerlo de alguna forma; así al menos es como se identifica el XOR en el diseño de puertas lógicas)^[4] al que antes hice referencia (donde es cierta una proposición u otra, pero no ambas a la vez), no es ni más ni menos que la siguiente:

Y su fórmula resultante (en Forma Normal Disyuntiva) será .

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Bueno, pues ahora sólo queda pensar un poco acerca de la naturaleza íntima de las proposiciones y las operaciones que las afectan… Mmmmm… veamos qué tenemos…

Un conjunto de elementos que pueden admitir sólo dos valores (0, 1), y dos operaciones cerradas que operan sobre ellos ()… Mmmmm… Esto me suena. ¿No será esto, por una casualidad, un álgebra de Boole?

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Vamos a comprobarlo, y para ello habrá que verificar si todo este sistema cumple los axiomas de Huntington (1904). En el primer capítulo de la serie conté cuáles eran estos axiomas. Id allí si queréis refrescarlos.

Habría que comprobar, sucesivamente, si las operaciones “Y” y “O” referidas a proposiciones que pueden ser Verdaderas o Falsas exclusivamente (ya sabéis, eso de las “Verdades a Medias” no funciona muy bien en Cálculo Proposicional) cumplen los cuatro axiomas. No voy a detallar paso a paso las demostraciones, dejando al lector, si lo desea, probar los axiomas uno a uno, demostrando si se cumplen o no. Para ello utilizará seguramente las correspondientes tablas de verdad que tan útiles son…

Uno: ¿Son las operaciones “Y” y “O” conmutativas? Pues sí, lo son. Intuitivamente, parece que igual da decir “Llueve o Me mojo” que “Me mojo o Llueve”…

Dos: ¿Tienen las operaciones un elemento neutro? Evidentemente. El valor “Falso” (0) es el elemento neutro del “O” (“Llueve O Cualquier Cosa Falsa”^[5] es equivalente a “Llueve”, pues tiene su misma tabla de verdad), mientras que el valor “Verdadero” (1) es el elemento neutro del “Y” (“Llueve Y Cualquier Cosa Verdadera”^[6] es equivalente a “Llueve”, pues también tiene su misma tabla de verdad).

Tres: ¿Cumplen las operaciones la propiedad distributiva? Esto es menos evidente, pero si construís las tablas de verdad, veréis que, efectivamente, se cumple a rajatabla la propiedad distributiva, tanto del “Y” respecto del “O”, como del “O” respecto del “Y”.

Cuatro: ¿Tiene cada elemento un complementario? Esto sí que es sencillo: al haber sólo dos valores posibles, es sencillo ver que “Verdadero” es el complementario (el contrario) de “Falso”, y viceversa.^[7][8][9]

Por lo tanto, Señoras y Señores, el cálculo proposicional es un álgebra de Boole. Y yastá.

Todos los artilugios, teoremas y procedimientos que funcionan para un álgebra de Boole funcionan también en Cálculo Proposicional. Hala! Ya sabemos bucear entre Verdades y Mentiras…

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Ya os podéis imaginar que todo esto es vital para poder diseñar y escribir programas eficientemente.

Efectivamente, todo aquél que haya escrito un  programa en su vida (y eso incluye haber metido alguna fórmula medianamente compleja en una hoja electrónica) ha tenido que lidiar con el famoso “IF“. El “Si” condicional que gobierna el flujo de los programas.

Muchas veces sirve escribir el if consultando una única proposición. Por ejemplo, en un cajero automático: Si el saldo de la cuenta es menor que el dinero que el cliente desea llevarse, denegar la operación. Fácil

Pero es muy normal tener que lidiar con proposiciones complejas que hay que evaluar para decidir por dónde debe seguir el programa…

Verbigracia:  Si el cliente es nuevo y tiene una marca de captación mayor de 7, o, siendo antiguo, tiene un saldo superior a x Euros y no tiene ninguna marca de “Cliente especial” siempre que el director de la sucursal no le haya calificado como de tipo 1 ó 3, o bien el director de la regional le haya calificado como de tipo 6, pero no de tipo 9, y además está como titular en una cuenta en la que alguno de los otros titulares sea un cliente preferente… entonces le concedemos el préstamo.

(!!)^[10]

Estaréis pensando… ¡qué condiciones tan retorcidas se ha sacado de la manga el Macluskey…! Pues no, amigos, no. Cosas mucho más complicadas todavía he tenido que escribir a lo largo de mi vida profesional… Y lo peor no es que esa condición sea alambicada, no: lo peor es que ¡Hay que programarla!, es decir, hay que escribir un programa que refleje fielmente esa condición de negocio. Y no sólo tiene que reflejar con fidelidad la condición de negocio, sino que tiene que hacerlo de la manera más simple y eficaz posible. Es más, de éstas habrá muchas, pero muchas, en cualquier Sistema que se precie…

¿Os dais cuenta ahora de lo importante que resulta conocer el Cálculo Proposicional para poder hacer esto correctamente?

La de programas que han fallado miserablemente por no tener correctamente programado el “if” correspondiente… Es, con gran diferencia, el principal motivo de fallo de los programas de todas partes: un if mal programado.

El Funcionamiento de una Alarma

El verbo “IF” es el usado universalmente para designar la instrucción condicional; luego, según el lenguaje de programación usado, se escriben de una forma u otra tanto las comparaciones que forman las proposiciones individuales^[11] como las uniones entre ellas: Y (que casi siempre se pone en inglés: AND), O (lo mismo: OR) o NO (NOT),.

En Cobol, por ejemplo, se usan en inglés tal cual (AND, OR, NOT), lo mismo que en otros muchos lenguajes, como en SQL, pero en C, por ejemplo, igual que en Java o en PHP, se usa && para el Y, || para el O y ! para el NOT,^[12] y en Excel, versión española, se usa O(a,b,…), Y(a,b,…) y NO(a), y así.

Obviamente, la misma explicación sirve para las condiciones de terminación de los bucles DO-UNTIL o DO-WHILE, así que me ahorro seguir.

Y hoy en día hay muchísimos componentes y mecanismos industriales (como la alarma que funciona según el diagrama de la derecha) que tienen empotrado un software… un software casi siempre llenito de IF’s…

Bueno, pues ahora ya sabéis que, como todo esto es un álgebra de Boole, puedes aplicar todas sus reglas (que son las mismas del Cálculo Proposicional) para simplificar el contenido del if, o bien usar su FND para tratar de comprender uno que ya está programado.

Como bien dice J, “Ay, si me hubieran dado un mísero euro por cada vez que me he encontrado un if kilométrico^[13] que siempre era “true” (verdadero) o siempre era “false” (falso, claro),  o bien que se podía simplificar a uno mucho más sencillo“…

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Ya para acabar, dije antes que, como el Cálculo Proposicional forma un álgebra de Boole,  ya sabemos bucear entre Verdades y Mentiras… pero no. No del todo.

Los humanos somos tan raros hablando y formulando frases, que hay que profundizar un poco más para poder usar esta herramienta en proposiciones formales. Pero eso lo iremos viendo en siguientes capítulos, que éste va quedando largo. Para empezar, hablaremos de la implicación lógica, la dichosa y a priori tan poco comprendida implicación lógica. A ver si, antes simplista que incomprensible, consigo explicarme y que se entienda tan “enrevesada” cosa, y por qué es como es y no de otra manera… Siento el suspense, pero no queda otra que esperar hasta el siguiente capítulo de “Eso que llamamos Lógica”, próximamente en sus pantallas…

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NOTA IMPORTANTE

… para poder seguir el resto de la serie sin perderse.

Dije al principio del artículo que el método seguido por José Cuena para enseñarnos Lógica, dentro de su asignatura de “Metodología”, se basaba en introducir poco a poco los conceptos teóricos de lo particular a lo general, de tal modo que cada concepto explicado tuviera siempre otros conceptos en los que asentarse. En un símil del mundo de la construcción, primero definía cómo hacer un ladrillo, luego cómo construir una pared con ladrillos, luego cómo construir una habitación a base de paredes, una casa a base de habitaciones, una urbanización a base de casas…

Este método se denomina en la jerga informática “bottom-up“, de abajo arriba, de lo particular a lo general, en contraposición al método “top-down“, de arriba abajo, que funciona exactamente al revés: de lo general a lo particular. Ambos métodos funcionan, claro, pero bajo mi modestísimo punto de vista, en la enseñanza de cualquier tipo de temario se debe preferir el método “bottom-up”. Por ejemplo, antes de enseñar al niño a leer palabras completas se le enseña a leer letras individuales, y antes de leer frases, se le enseña a leer palabras. Y antes de enseñar a multiplicar, se enseña a sumar…

Todo esto puede parecer evidente, obvio, casi de Perogrullo. Pero resulta que, para lo que viene a continuación, para la exposición de los intríngulis de la Lógica, este sistema “bottom-up” puede resultar contraproducente, puede dificultar la comprensión de lo expuesto en cada momento. No es que falte nada, que no falta, está todo, todo, pero… no sé cómo decirlo, descolocado, desordenado… al menos desde cierto punto de vista.

Me he dado cuenta de ello, poco a poco, en los intensos debates^[14] que hemos mantenido Pedro, J y yo durante la revisión de los artículos de la serie. Ellos ponían pegas, porque no entendían ni las explicaciones ni los ejemplos, no porque estuvieran mal, sino porque les faltaban cosas obvias para ellos que yo (o sea, Pepe Cuena) estaba pasando por alto… Luego, al revisar el siguiente artículo, decían: “Ah!, claro, es que lo que yo echaba en falta en el artículo x, lo explicas luego en el artículo x+1, o en el x+2…“.

Disculpadme: No puedo ser mucho más preciso al respecto si no quiero destripar lo que queda de serie; sólo contaros que estos malosentendidos son debidos fundamentalmente, según mi entender, a la diferencia entre su formación (de J y de Pedro) y la mía: mientras su enorme formación es de corte marcadamente científico, la escasa mía es más bien de corte generalista: ellos echaban en falta, necesitaban para entender bien los conceptos que las cosas se expusieran de un modo diferente, mejor, en un orden diferente al que se exponen en la serie. Y hasta aquí puedo leer…

En fin, tras todos estos intensos intercambios, he modificado sustancialmente los artículos para, sin perder esa orientación “bottom-up” ni destripar nada de lo que quede ni usar nada que no haya sido explicado, ir dando al lector las armas para ir siguiendo la explicación y que no se pierda en disquisiciones que serán resueltas más adelante.

O sea: no voy a dar por sentado nada. Nada de nada. Voy a ir avanzando pasito a pasito por el proceloso mundo lógico hasta llegar a su glorioso final. Pero, por favor, creedme, ¡no os impacientéis! Cuando acabe la serie, todo lo necesario para razonar e inferir cosas a partir de otras estarán explicadas, desde lo particular a lo general, “bottom-up”. Nada faltará, el círculo estará cerrado, todo encajará.

Como si fuera una buena novela de suspense, por favor, seguid la exposición, aceptar las cosas como las iré contando y en el orden en que las iré contando, y el final seguro que os satisfará. Pero, permitidme que insista… ¡No   Os   Impacientéis!

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Disfrutad de la vida, mientras podáis.

1. Aunque hay veces que no sé yo… como decía un amigo mío sevillano, preguntado sobre el tiempo que hacía cierto día en Sevilla: “Llover, llover, lo que se dice llover… llueve. Pero llover, llover, lo que se dice llover… pues ¡no llueve! ¡Ah, qué maravillosa riqueza la del idioma español!
2. La conjunción NI, que es copulativa también, en realidad es la suma de NO y de Y, así que en realidad no es atómica.
3. Por ser 2 (estados) elevado a 3 (variables).
4. Su nombre “de guerra” es Exclusive Or, en inglés. Aunque en realidad todo el mundo se refiere a él por su abreviatura: XOR, que es como se llaman normalmente las instrucciones de ordenador que lo implementan.
5. Cualquier Cosa Falsa sería una proposición que resulte siempre falsa, como por ejemplo “Macluskey tiene menos de treinta años”… ¡quién los pillara!
6. Cualquier Cosa Verdadera sería una proposición que resulte siempre verdadera, como por ejemplo “Macluskey tiene más de treinta años.
7. Truco para descreídos: cuando hablé de circuitos eléctricos en el tercer capítulo de la serie, sí que demostré con santa paciencia todos y cada uno de los dichosos axiomas. Si vais allí y cambiáis “Cerrado” por “Verdadero”, y “Abierto” por “Falso”, y además cambiáis “En Serie” por “Y” y “En Paralelo” por “O”, pues ya lo tenéis todo demostrado.
8. Bueno, en realidad, lo que ocurre es que las estructuras matemáticas subyacentes a la Lógica Proposicional son las mismas que la de los Circuitos eléctricos.
9. … Uff ¿A ver si va a ser verdad que al final las máquinas dominarán el mundo…?
10. Con razón se conceden tan pocos préstamos.
11. En el ejemplo, Cliente Nuevo=SI; Marca de Captación>7; Saldo>X; Tipo de Cliente=1; etc, etc.
12. Que ya son ganas de molestar, con lo fácil que es lo de AND, OR, NOT…
13. Por supuesto, siempre escrito por otros, claro, faltaría más, no iba yo a hacerlo mal…
14. Y esta vez, cuando digo intensos, es que han sido intensos.

Dado su puesto de compositor de corte, donde dependía del favor de sus patrones para seguir subsistiendo, Boccherini tuvo al principio que “españolizar” un tanto sus maneras musicales italianas, al principio un poco forzado por la circunstancias, pero después fue abducido por la cultura y la música popular española, y así se convirtió de hecho en el máximo exponente de esa misma música española, o sea, la producida en España, de finales del Siglo XVIII.

Y una de esas obras tan españolas del toscano Boccherini es la obra de hoy: El Quinteto de Guitarra núm. 4 en re mayor, G448, conocido por su sobrenombre de “Fandango”.^[1]

Luigi Boccherini

Luigi Rodolfo Boccherini nació en Lucca, Toscana, en 1743, en una familia de artistas: su padre era músico, una hermana suya, bailarina, y su hermano, poeta y libretista para compositores como Salieri (sí, el malo de la peli “Amadeus”, cosa que en la vida real no era… malo, quiero decir) o Haydn. Luigi, en cambio, se interesó por el cello desde joven, y en principio fue conocido sobre todo como cellista. Formó parte de uno de los primeros cuartetos de cuerda estable de que se tiene noticia, interpretando obras de Haydn y también suyas, y fue saltando de ciudad en ciudad, de protector en protector y de mecenas en mecenas, buscándose la vida como todos los artistas de la época, hasta que en París conoce al embajador español en la Corte francesa, Joaquín Anastasio Pignatelli, que le convence para que se instale en Madrid, en la corte del rey Carlos III. Y a Madrid viaja a fines de 1768. Nunca dejaría España desde entonces.

Carlos III, hijo de Felipe V, fue rey de España de rebote a la muerte de su hermano Fernando VI. Fue un rey ilustrado e inteligente que había sido Rey de Nápoles antes que de España, y trajo a España un notable cambio de actitud. Cambió las finanzas, reformó las leyes (el Código Civil español de la actualidad es básicamente el de Carlos III), hizo grandes reformas en los trazados urbanos de las ciudades más importantes (en Madrid seguimos diciendo, doscientos cincuenta años después, que Carlos III ha sido el mejor alcalde de Madrid), y bajo su reinado tuvo un resurgimiento la cultura en general, aunque el rey no era, precisamente, muy amante de la música. En la Corte había ya una plantilla de músicos, muchos de ellos italianos importados desde la corte de Nápoles, que, a la llegada de Boccherini a Madrid, tomaron al músico de Lucca como un competidor más… o sea, mal.

El caso es que en 1769, con 26 años de edad, Luigi Boccherini, por casualidad, conoce al infante Luis Antonio de Borbón y Farnesio, el hermano menor del rey Carlos III, y al año siguiente es nombrado violonchelista y compositor de la capilla real del infante don Luis (virtuoso di camera e compositor di musica), con un sueldo, acorde con el puesto, de 30.000 reales, que era de los más altos de la corte, lo que indica la gran estima que don Luis le tenía, o lo buen músico que era, que es lo más lógico.

Comienza entonces la etapa de mayor producción musical del artista, sobre todo música de cámara (cuartetos y quintetos de cuerda, sobre todo), que es la música que le ha hecho famoso hoy en día.

En 1776 su protector, don Luis, contrae nupcias morganáticas^[2] con María Teresa de Vallabriga, y como consecuencia fue obligado a “retirarse” de la corte (palabra fina para decir “fue exiliado”). Tras un año dando tumbos por España, recala por fin en Arenas de San Pedro, pequeña población cerca de la Sierra de Gredos, en Ávila, a apenas ciento sesenta kilómetros de Madrid, pero para los efectos casi como si fuera en mitad del altiplano andino. Y a su “retiro” se llevó, naturalmente, a toda su corte, incluyendo a su orquesta y, claro está, a su director. Sin embargo, a pesar de su aislamiento durante siete u ocho años, Boccherini continuó en contacto con las casas editoriales más importantes, que dieron a conocer su música por toda Europa.

Curioso paralelismo con Joseph Haydn, que también pasó una buena porción de su vida aislado en el Palacio campestre de los Esterházy, en Esterháza. Hay que contar aquí que el gran auge de la música de cámara en la época, composiciones para tres, cuatro o cinco instrumentos de los que la mayoría, o todos, son de cuerda, fue la consecuencia de la educación standard del aristócrata standard del Siglo XVIII, dentro de la cual la música formaba parte importante. La gran mayoría de nobles eran amantes de la música, lo que estaba muy bien visto, y muchos de ellos eran intérpretes ellos mismos, por lo que la demanda de nuevas obras para que se interpretaran en los palacios, muchas veces por sus propios dueños, era incesante. Esto hacían los grandes editores, como Ignaz Pleyel, discípulo de Haydn y el editor parisino de Boccherini y de tantos otros: pagaban los manuscritos originales a los autores, los editaban y luego vendían las copias a las diferentes casas nobles para su interpretación en los salones de sus palacios.

Así siguieron las cosas para Luigi Boccherini, en un plácido e inspirado aburrimiento (en esta época compuso sus obras más brillantes), hasta que en 1785 falleció su esposa y, al poco tiempo, su patrón, don Luis. Así que Luigi tuvo que volver a Madrid con sus seis hijos, nuevamente a ganarse la vida, a buscarse un mecenas. Recordad que en la época clásica los músicos sólo podían ganarse bien la vida si encontraban un protector para el que trabajar: un duque, un infante, un rey, un arzobispo… sólo tras Beethoven fue posible que los músicos pudieran vivir de sus conciertos y vender su música al mejor postor. Boccherini consiguió dos nuevos mecenazgos que le permitieron sacar adelante a su familia, el de María Josefa Pimentel, marquesa de Benavente y duquesa de Osuna,^[3] y el del rey Federico Guillermo II de Prusia, gran amante de la artes y músico él mismo, en concreto cellista como el propio Boccherini, que le nombró compositor de Corte, pero sin imponerle la obligatoriedad de residir en Berlín.

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Permitidme un pequeño off-topic, una curiosidad sobre el rey Carlos III y el abuelo de Federico Guillermo II de Prusia, también rey prusiano y con su mismo nombre: Federico Guillermo I de Prusia, apodado “El Rey Sargento”. Con ocasión de la boda de Carlos III con María Amalia de Sajonia, en 1738 (Carlos era por entonces Carlos VII de Nápoles, y María Amalia sólo tenía catorce años de edad), le regaló una pequeña marcha musical para pífanos y tambores, hay quien dice que compuesta por él mismo aunque no hay seguridad el respecto, conocida como la “Marcha de Granaderos”. A Carlos III le gustó, más por motivos sentimentales, por ser un regalo a su esposa, que musicales, y le gustaba oírla.

El matrimonio de Carlos y María Amalia era un matrimonio concertado, como casi todos los de la realeza, pero el caso es que se enamoraron perdidamente el uno de la otra y viceversa. Tras darle nada menos que trece hijos, de los que sólo siete llegaron a la edad adulta, Maria Amalia falleció en 1760, a los 36 años de edad, de tuberculosis. Carlos llegó a decir que “en 22 años de matrimonio, éste (su fallecimiento) es el único disgusto serio que me ha dado”.

A continuación podéis ver sendos retratos de los protagonistas de la historia: Carlos y Amalia.

A Carlos, la Marcha de Granaderos regalada por su tío político le recordaba siempre que la escuchaba a su querida difunta esposa,^[4] por lo que, para dar gusto al monarca, que para eso era monarca, se interpretaba cada vez que entraba o salía de Palacio… y de esta manera, de simple Marcha de Granaderos se convirtió en Marcha de Honor y, con el tiempo, en Marcha Real. En la actualidad es el himno nacional español, y ése es el motivo por el que es uno de los poquísimos himnos nacionales del mundo mundial que no tienen letra. Ninguna, pese a algunos loables esfuerzos para ponérsela.

Aún recuerdo, sonriéndome, las caras de los waterpolistas españoles cuando, tras ganar la medalla de oro en el Campeonato Mundial de Waterpolo de Fukuoka, Japón, en 2001, y tras la ceremonia de imposición de medallas, el locutor anunció por megafonía que “había un problema técnico con el sistema de reproducción de himnos”, y solicitaba amablemente, en inglés, claro, que “los propios jugadores entonaran el himno nacional”… Naturalmente, tras unos instantes de confusión (seguramente debido al endémico escaso conocimiento de la lengua de Shakespeare que tenemos los de aquí), los jugadores se arrancaron, entre visibles muestras de chufla y chirigota, con un “chunda-chunda-tachunda-chunda-chunda-chúuun….”.

Los educados y siempre protocolarios japoneses, lo mismo que los yugoslavos y rusos que compartían podio con los españoles, todos ellos se quedaron perplejos, y me imagino que todo aquel desconocedor de la circunstancia que vio aquello debió colegir que “estos españoles están locos”. Que también, pero esta vez había sus motivos.

Fin del off-topic. Volvamos a Boccherini…

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Tras obtener estos dos nuevos patrocinios, Boccherini vivió tranquilo unos años, pero Federico Guillermo II falleció en 1797 dejando a Prusia en la bancarrota (de música sabía un rato, pero parece ser que dirigir un país no era exactamente lo suyo), y María Josefa de Benavente-Osuna dejó de ser su protectora de la noche a la mañana al año siguiente, por causas desconocidas, a lo que se unieron más desgracias personales (la muerte de su segunda esposa y de cuatro de sus seis hijos), por lo que pasó los últimos años de su vida en mala situación personal y económica, a pesar de contar durante un tiempo con el patrocinio de Lucien Bonaparte, embajador francés en la corte española.

Falleció en 1805, a los 62 años de edad. Fue enterrado en lo que es hoy la Basílica Pontificia de San Miguel, en la calle del Sacramento, en pleno barrio de los Austrias madrileño. Pero en 1927 Mussolini pidió a Miguel Primo de Rivera, a la sazón el dictador de España, retirar sus restos para ser enterrados en el panteón de hombres ilustres de su Lucca natal, donde permanecen desde entonces. Aún se puede leer en Madrid un rótulo conmemorativo de Luigi Boccherini en la casa donde vivió muchos años y donde murió, al principio de la Calle de Jesús y María, cerca de la Plaza de Tirso de Molina.

Quizá su obra más conocida sea su famoso Minuetto del Quinteto de Cuerdas, Op.11,5, muy utilizado en películas y series y tal^[5], y también la “Música Nocturna de las Calles de Madrid”, el Quinteto de Cuerda Op. 30,6.^[6]

Boccherini escribió una ingente cantidad de música, casi toda ella de cámara: 124 quintetos de cuerda, 90 cuartetos, 48 tríos… Aunque siguió en buena medida los modelos compositivos creados por Joseph Haydn para los cuartetos de cuerda, sin embargo, mientras que en la música de Haydn el cello prácticamente sólo tiene un papel acompañante, similar al continuo barroco, Boccherini dio en sus obras bastante más protagonismo al cello, pues él mismo era cellista, además un auténtico virtuoso de una maestría que pocas veces ha sido alcanzado con posterioridad, según cuentan las crónicas. En sus quintetos para dos violonchelos, forma compositiva que inventó, uno de los cellos es tratado prácticamente como un cello solista, por lo que están considerados como una suerte de concierto para cello y cuarteto de cuerda. También fue un innovador en cuanto a que fue él quien primero compuso quintetos de piano (piano y cuarteto de cuerda).

La música popular española le influyó bastante durante su prolongada estancia en España, y en muchas obras suyas se puede ver esta influencia. Por ejemplo, en sus Quintetos de Guitarra, una auténtica novedad (no sé de ningún otro Quinteto de Guitarra que no sea de Boccherini), que sólo se le hubiera podido ocurrir componer en un país donde la guitarra tiene tanta tradición como es España, pues sólo en España podía haber peticiones de tales obras.

Sin embargo, los quintetos de guitarra de Boccherini no son, por lo que se sabe, obras originales, sino que eran transcripciones de otras obras suyas para otros instrumentos que adaptó él mismo para guitarra. De los doce que compuso (de los que sólo han sobrevivido ocho hasta nuestros días), nueve provienen de quintetos de piano (para piano y cuarteto de cuerda) y los otros tres de otras obras suyas, como quintetos de flauta, para dos cellos, etc, y todos ellos conservan la misma tonalidad de la obra original.^[7] La causa de esa reescritura de la partitura de piano a guitarra tiene un origen muy noble… El Marqués de Benavente, esposo de su protectora la Duquesa de Osuna, era un consumado guitarrista. Y lo demás sigue la lógica habitual de la época: su patrón toca la guitarra, su patrón necesita obras para exhibir su habilidad ante sus cortesanos, ergo su músico protegido escribe obras para guitarra y para que su señor se luzca con ellas… en este caso ni siquiera escribió obras originales: tomó otras obras suyas y las transcribió, cambiando, por ejemplo, la parte de piano para el nuevo instrumento.

Un Quinteto de Guitarra es una composición de cámara escrita para un conjunto de cinco instrumentos, de los que cuatro de ellos son normalmente el típico cuarteto de cuerda (dos violines, una viola y un cello), y el otro es una guitarra. No es un concierto para guitarra y cuarteto de cuerda, es decir, la guitarra no tiene en general un papel preponderante en la obra, sino que es un instrumento más en la composición, que en ocasiones se trata como un instrumento puramente armónico y rítmico acompañando a la cuerda de arco, en ocasiones amalgamándose con las cuerdas para aportar su especial cualidad tímbrica, y en ocasiones, por fin, como instrumento puramente solista… Ahora bien, como en cualquier caso tiene una sonoridad completamente distinta del resto de instrumentos de cuerda frotada, la guitarra da bastante juego en el marco de la obra. Ahora lo veremos.

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De los ocho Quintetos de Guitarra que han llegado intactos hasta nuestros días, los dos más conocidos son el número 9, “La Ritirata de Madrid”,^[8] y el número 4 “Fandango”. El resto son igualmente deliciosos, que los tengo todos en disco, pero vamos a escuchar precisamente el “Fandango”. Alguno había que elegir, y éste es especialmente bonito, pues su último movimiento es eso: un fandango que incluso necesita percusión (castañuelas, naturalmente, y sistro, una especie de antiquísima pandereta oriental) y en él se distinguen más de lo habitual esos rasgos españoles que tantas veces se encuentran en la música de Luigi Boccherini. Todos ellos fueron compuestos en algún momento de la década de los noventa del Siglo XVIII, pues en 1798, tras la pérdida del patrocinio de la Duquesa de Osuna, se los ofreció a su editor parisino, Pleyel, para su publicación. Se desconoce cuánto dinero le reportó, pero seguramente sería más bien poco.

El Quinteto “El Fandango” proviene originalmente de dos quintetos para dos cellos, donde uno de los cellos ha sido sustituido por la guitarra. Tiene tres movimientos y viene a durar en total unos diecisiete minutos. La versión que escucharemos es la de Pepe Romero a la guitarra con un Conjunto de músicos de la Academy of St. Martin in the Fields, en concreto Iona Brown y Malcolm Latchem, violines, Stephen Singles, viola, y Denis Vigay en el papel de Boccherini, digo… en el cello. Ah, y Tristan Fry a las castañuelas y el sistro, que no se me olvide. Quizá hubiera sido mejor ver a Pepe Romero y a sus compañeros divirtiéndose mientras tocan el fandango, pero, por una vez y sin que sirva de precedente, se trata de un video (en realidad son dos videos, pues la obra no cabe en uno solo) de fotos fijas de vistas del Madrid antiguo que es realmente maravilloso, o al menos a mí, madrileño de pura cepa (y de tercera o cuarta generación, que eso sí que es raro), me parece maravilloso. No es que tenga mucha calidad, claro, porque las fotos, de las que la más moderna debe ser de 1920 o así, son como son, en blanco y negro y conservadas de aquella manera, pero… ¡Ah, que delicia ver la Puerta del Sol, Cuatro Caminos, el Rastro, la Plaza de la Villa o la Plaza Mayor como estaban hace más de cien años!^[9] Además, tiene una buena calidad de sonido, y no hay problema alguno de partición, pues los dos primeros movimientos están en el primer video, y el tercero y último (que es el que propiamente contiene el fandango), en el segundo. En definitiva, una delicia de video, y una delicia de música, de la que poco hay que comentar. Es preciosa.

Veamos y oigamos ya el Quinteto de guitarra núm. 4, Fandango. He aquí el primer movimiento Pastoral:

Esta Pastoral, o pieza de temática pastoril o bucólica, muy de moda durante toda la época barroca y clásica, es un tema tranquilo y muy de virtuoso, donde la voz cantante la llevan los violines con sordina. La guitarra es casi siempre un acompañamiento del resto de instrumentos, aunque tiene también su parte solista, intercambiando papeles con violines, viola y cello.

Con los suaves acordes de la guitarra termina la pastoral en el minuto 4:35, y comienza el segundo movimiento, Allegro maestoso, en el que la guitarra apenas tiene papel solista, y en cambio lo tiene el cello, el omnipresente cello del virtuoso Boccherini. Aun llamándose Allegro maestoso, no es un movimiento tan majestuoso como podría parecer por el título. Es un movimiento amable, elegante, sencillo y muy lírico, muy “de Boccherini”, justamente famoso por la elegancia galante de sus composiciones.

El video termina, y para ver la conclusión del Quinteto, hay que cambiar de video. Veamos el tercer movimiento: Grave assai – Fandango:

Comienza con una introducción lenta (grave), con bastante protagonismo de la guitarra, introducción que se demora hasta el minuto 1:25, en que comienza el fandango propiamente dicho, con un evidente cambio de ritmo… y de alegría. Todo fandango que se precie se basa en las repeticiones del mismo tema, en lo que musicalmente se conoce como ostinato, y aquí no va a ser menos. Boccherini exige el uso de elementos de percusión (sistro y castañuelas) porque en los fandangos tradicionales eran parte indispensable de la música, para ayudar a marcar el ritmo de los danzantes, o sea, en puridad no es el Fandango un quinteto, sino un sexteto para guitarra y percusión… disfrutemos de la danza, precursora del fandango aflamencao que es hoy uno de los palos de ese españolísimo flamenco declarado recientemente Patrimonio de la Humanidad.

De momento, vemos que el protagonismo de la música la llevan los violines, con la guitarra marcando el ritmo, con rotundos rasgueos de tanto en cuando, pero en el minuto 2:30 se produce un precioso dúo de guitarra y cello, marca de la casa Boccherini… y así sigue el baile. Sobre el minuto 3:40 se producen cuatro espectaculares glissandos descendentes del cello, acompañados del repicar de la pandereta (el sistro) que merece la pena remarcar; sobre el minuto 4:40 hay un bello solo de guitarra seguido de otro de cello… Por fin en el minuto 5:30 se produce la primera intervención de la percusión tan española de las castañuelas, que ya no nos abandonarán con su repiqueteo hasta el final del fandango.

Y el fandango se acaba, y el video también. No sé qué me da más pena, si que se acabe la música o el video. Me traen tantos recuerdos las fotos…

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No existen muchas grabaciones de los quintetos de guitarra de Boccherini, que yo sepa. La de Philips con los ocho quintetos conocidos, con el Academy of St. Martin in the Fields Ensemble y Pepe Romero, grabado entre 1978 y 1980, es quizá la primera grabación completa, y sigue siendo la referencia hoy en día. Hay algunas versiones más, y el placer de descubrirlas es una delicia… .

En Spotify sólo he encontrado una versión, para mí desconocida, del Drottningholm Baroque Ensemble y Jakob Lindberg, que también tiene allí subidos el resto de Quintetos de Guitarra, no sólo el Fandango, versión que no está nada mal. Esta versión es algo más lenta que la de Pepe Romero, tiene separados en dos cortes distintos el último movimiento, por una parte el “grave assai” y por otra el fandango propiamente dicho, donde se ahorran la pandereta, aunque no las castañuelas. Usa, además, una versión más larga del Fandango propiamente dicho, pues mientras que la versión que hemos oído en los videos dura unos seis minutos, aquí dura unos once y medio, maravilla que consiguen por el simple procedimiento de repetir prácticamente todo el fandango completo cuando llega a su final… mejor, más tiempo de disfrute. Sinceramente, desconozco quién está ejecutando la versión “original-original”, si Pepe Romero, la corta, o Jacob Lindberg, la larga. En cualquier caso, el enlace está aquí.

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La especial sonoridad de la música de cámara, con tan pocos instrumentos en el escenario, permite distinguir muy bien la melodía de cada uno de ellos, cómo se complementan, cómo compiten unos contra otros…. Y como permite más libertad de expresión de cada participante que en una orquesta, resulta mas sutil, si se me permite la expresión, que la música sinfónica. Por eso es tan importante, en este caso, el directo. Ni el mejor stereo puede transmitir tanta sutileza.

Disfrutad de la vida, mientras podáis. A ser posible, escuchando música.

1. No hay enlace: no existe la entrada en ninguna Wikipedia, que yo haya encontrado.
2. Toma ya el palabro “morganático”: un enlace es morganático cuando se contrae entre dos personas de diferente rango social, por ejemplo un infante real con una plebeya, como era el caso, de tal modo que ninguno de los contrayentes cambia su rango social. Estaba muy, pero que muy mal visto… en la nobleza, por lo que era habitual que si un noble decidía esposar con una plebeya (o una noble con un plebeyo, tanto da) fuera ninguneado, expulsado, exiliado… Ahora ya no deben de pasar esas cosas, viendo cómo son los matrimonios de la realeza.
3. Los Duques de Osuna tenían en la época casi tanto poder y posesiones como la mismísima Corona… aunque menos que los de Alba, claro.
4. De hecho, cómo sería su amor por ella que Carlos III, rey de España viudo y con apenas 44 años, nunca se volvió a casar, cosa bastante extraña dentro de la lógica del tradicional intercambio de cromos que se traían las monarquías en la época.
5. Aunque el Minuetto de Boccherini no era la sintonía de “Érase una vez el hombre”, como dice erróneamente la Wikipedia española: en realidad esa sintonía era el Septimino de Beethoven.
6. Que desde que se usó como parte de la banda sonora de la película “Master & Commander”, protagonizada por el hierático Russel Crowe, se hizo muy popular. ¿No la has visto? Pues ahórratela: es un pestiño.
7. “Blanco amarillento”, que dirían Les Luthiers…
8. Hace mención al toque de retreta en el Palacio Real de Madrid, toque diario de corneta que, tocado a la caída de la tarde, indica el fin del día militar.
9. O sea, casi, casi cuando nació el Macluskey, estaréis pensando, ¿no, malpensados? Pues no, os equivocáis. Soy viejo, pero no tanto. Cuando nací ya había agua corriente en casa y todo, que lo sepáis.