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Las doce bolas




Abres los ojos – ¿Dónde estoy? – te preguntas. Te duele la cabeza y estas mareado, miras a tu alrededor, te encuentras en una especie de habitación. Una habitación en la que, aunque estas seguro de no haber estado nunca antes, te resulta extrañamente familiar. Empiezas a recordar, ayer saliste con tus amigos de fiesta para celebrar el ascenso de un amigo tuyo en el trabajo, recuerdas que fuisteis a un bar y pedisteis unas cervezas seguidas de bastantes rondas de bebidas alcohólicas varias. De repente un olor nauseabundo inunda la habitación interrumpiendo tus pensamientos, un olor de difícil descripción que aumenta aún más tu mareo y el dolor de cabeza, crees que va a explotar. Levantas la cabeza para intentar averiguar de dónde sale ese olor, no te resulta demasiado difícil porque en la habitación acaba de entrar un ser con un aspecto aún peor que su olor, un ser lleno de tentáculos que deja un rastro de babas ácidas por allá donde pasa, y de repente recuerdas por qué la habitación te resulta tan familiar.

Hace tiempo leíste en un blog unos artículos de un profesor de física chiflado (o eso creías por entonces) que afirmaba que una raza de alienígenas súper-inteligentes se dedicaba como pasatiempo a raptar seres humanos, obligándoles a participar en juegos matemáticos y en los que, en el mejor de los casos, te premiaban con dejarte vivir. Tu creías que el pobre padecía delirios o que simplemente tenía una forma muy extraña y perturbadora de enseñar matemáticas a la gente.

De pronto esa cosa que acababa de entrar empieza a hablar:

– Hola, xuglurz, veo que ya has despertado. Mi nombre es Drebhliditav, y soy el encargado que tiene que cocinaaa… digooo, que tengo que explicarte por qué estás aquí. Como puedes ver, aquí delante tienes un aparato primitivo que usáis los humanos para medir eso que llamáis “peso”.

Evidentemente a tu derecha hay una balanza bastante rara. El alienígena saca nueve bolas idénticas de un sitio que prefieres no saber qué es, te las da y sigue hablando:

– Estas nueve bolas son exactamente idénticas en tamaño, en color y en todo lo que tú puedes observar. Tan sólo se diferencian en una cosa: una de ellas es un asqueroso caramelo de menta que te proporcionará la libertad, mientras que las otras ocho son caramelos deliciosos de cianuro, todo un manjar que desgraciadamente son letales para ti – dice, mientras empieza a salivar salpicando las paredes de ácido sulfúrico y varias cosas más que estás seguro de que ni siquiera existen en la Tierra –. Tu objetivo es fácil, xuglurz, debes comerte un caramelo. Si es el de menta puedes estar seguro de que no vamos a comerte, mientras que si por suerte comes algún caramelo de cianuro nos alegrarás bastante la cena de hoy. Pero antes de escoger un caramelo al azar te permitiremos hacer dos pesadas con la balanza, lo cual te será de gran ayuda, ya que por suerte para ti los caramelos de menta son más pesados que los de cianuro. Así que… ¿qué caramelo te quieres comer? -

Debes tomar una decisión rápida, así que empiezas a pensar, ¿existe alguna forma de, haciendo como máximo dos pesadas, encontrar el caramelo de menta?

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Desgraciadamente para el alienígena has sido bien entrenado por el profesor chiflado ese, por lo que no tienes demasiados problemas en encontrar una solución que te permite salvar la vida.

Coges las nueve bolas y las divides en tres grupos de tres, colocas dos de estos grupos, uno en cada plato de la balanza; si ésta marca que un plato pesa más que el otro sabrás que el caramelo de menta está en el grupo que pesa más, mientras que si los dos platos pesan lo mismo sabrás que el caramelo de menta está en el grupo de tres que no has pesado. En cualquier caso, ahora tienes seis caramelos de cianuro identificados y dudas entre tres caramelos, pero puedes volver a hacer lo mismo que antes, coges dos caramelos de los tres y los pesas en la balanza, si uno pesa más que el otro éste será el de menta, si pesan igual el caramelo de menta será el que no has pesado.

Sigues ese razonamiento y te comes el caramelo. Lamentablemente eso no sabe a menta, el dolor de cabeza se intensifica y caes cual saco de patatas al suelo.

 

Vuelves a abrir los ojos, estás confuso, el caramelo que te habías comido no era de menta (por lo menos no era que lo que los humanos entendemos por menta…) pero tampoco podía ser cianuro, ya que estabas vivo, o al menos eso crees. Al levantar la vista ves que Drebhliditav sigue en la habitación, al parecer tu olfato está ya tan deteriorado que ni siquiera te molesta ya su olor. De nuevo el alienígena te dice, con lo que parece ser una sonrisa burlona:

– No creerías que salvar tu vida sería tan fácil ¿no? Ésa era solo una prueba para separar la comida de la basura… Ya sabes que cuanto más listos son los xuglurz mejor gusto tienen… Ahora sí que vamos a hacer el experimento y esta vez sí, si aciertas te prometemos que te dejaremos libre.

Aunque confías poco en la palabra de un alienígena, no puedes hacer nada más que lo que te dice.

-Esta vez la prueba será más difícil – dice mientras saca no nueve, sino doce bolas exactamente idénticas -. De nuevo aquí tienes doce bolas idénticas en todo… excepto en su composición, las bolas pueden ser de cianuro o de menta, igual que antes, pero tienes suerte. Ahora no tiene por qué haber solamente una de menta, hay dos posibilidades: o bien hay once bolas de cianuro y una de menta, o bien hay once bolas de menta y una de cianuro. Como antes, tienes que escoger un caramelo y comértelo, puedes hacer varias pesadas antes de comértelo, pero te avisamos de que si excedes un número máximo de pesadas serás comido aquí mismo.

Este problema sin duda es mucho más difícil que el anterior, así que empiezas a pensar cómo puedes solucionarlo, Drebhliditav ha dicho que tienes un máximo de pesadas, pero no te ha dicho cuántas son… por lo que, ¿existe alguna forma de encontrar el caramelo de menta? Y si existe, ¿cuál es el número mínimo de pesadas que puedes hacer para encontrarlo?

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La primera respuesta es muy fácil, evidentemente existen formas de encontrar el caramelo de menta, pero la segunda es bastante más difícil. Mi primera respuesta fue 4 (y de hecho encontré varias maneras de hacerlo). Desgraciadamente no es un resultado correcto. La respuesta es 3,;si habías pensado “3″, enhorabuena, si no, ahora que sabes la respuesta, vuelve a pensar, ¿qué pesadas debes hacer para encontrar el caramelo de menta?

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Bien, si has llegado hasta aquí supongo que ya has encontrado la solución correcta (si no, te recomiendo que pienses más, yo tardé algunas horas antes de dar con esta respuesta).

Primero coges las doce bolas e, igual que antes, las divides en tres grupos, esta vez de cuatro bolas. Pones dos grupos en la balanza, hay dos opciones, o bien los dos platos pesan igual o bien uno de los dos pesa más (como en este caso la información que tenemos de las bolas que pesamos es simétrica tanto nos da cuál de los dos grupos pese lo mismo).

Si la balanza está equilibrada quiere decir que las ocho bolas pesan lo mismo (esta vez lamentablemente no sabemos si son ocho caramelos de cianuro u ocho caramelos de menta), Ahora procedes de la siguiente manera:

 

Coges tres de las bolas que aún no has pesado (las bolas que aún no han sido pesadas las marcaré en blanco) y una bola que ya has pesado (que marcaré en negro). Puede parecer que tienes la misma información de una bola blanca que una de negra, pero no es así, efectivamente en ambos casos hay un 50% de que sean caramelos de menta y un 50% de que sean cianuro, pero sabes que independientemente de eso, hay once bolas iguales y solo una distinta, por lo que sabes que todas las bolas negras son del mismo tipo. Ahora hay tres opciones:

1-      La balanza esta equilibrada

2-      Las dos bolas blancas pesan más

3-      Las dos bolas blancas pesan menos

En el primero de los casos podremos marcar esas tres bolas blancas de color negro (seguiremos sin saber nada de ellas), pero ahora tenemos 8+3=11 bolas negras, por lo tanto, la bola distinta será la bola blanca que nos queda (la que no hemos pesado aún) y solo necesitaremos pesarla con cualquier otra bola, si la bola blanca pesa más, significa que es el caramelo de menta, si pesa menos, pues es cianuro.

Si en la segunda pesada las dos bolas blancas pesan más, entonces sabremos que una de esas tres bolas será la especial, o bien una de las dos bolas que pesan más es el caramelo de menta o bien la que pesa menos es el caramelo de cianuro.

Simplemente pesamos las dos bolas que creemos pueden ser de menta, si pesan lo mismo la bola especial es la que no hemos pesado y es cianuro (por lo tanto, todas las otras son de menta). Si una de las dos bolas pesa más que la otra, ésa será el caramelo de menta.

El tercer caso es simétrico, si las dos bolas blancas pesan menos, entonces o bien una de esas es cianuro o bien la otra es el caramelo de menta. Pesamos las dos de cianuro y entonces sabremos cual es el caramelo de menta.

Está claro que, si en la primera pesada la balanza esta equilibrada, no tendremos ningún problema. Pero ¿qué pasa si no está equilibrada? Primero, sabremos que la bola “especial” está en uno de los dos grupos de cuatro, por lo tanto, las cuatro bolas que no hemos pesado serán negras (es decir, no sabemos qué son, pero sabemos que no son especiales), luego de las ocho bolas que tenemos en la balanza, o bien una de las cuatro que pesan más es el caramelo de menta (las marcaremos como verdes) o bien una de las cuatro que pesa menos es el caramelo de cianuro (las marcaremos como amarillas). Entonces hacemos la pesada siguiente:

 

Aquí volvemos a tener dos posibilidades (dada la simetría evidente). Si la balanza está equilibrada la bola especial es una de las dos amarillas que no hemos pesado, y solo tenemos que pesar esas dos para ver cuál pesa menos y, por lo tanto, es el cianuro.

Si, en cambio, la balanza no está equilibrada, las bolas verdes que suban no pueden ser caramelos de menta (pues pesarían más) y la bola amarilla que baja no puede ser cianuro.((Dejadme que aclare la frase un poco, cuando digo esta bola no puede ser un caramelo de menta o cianuro, me refiero a que no puede ser el único caramelo de menta o cianuro, es decir que esta bola pertenece al grupo “negro” por lo tanto, si resulta que hay once caramelos de menta, pues seran de menta…)) De modo que reducimos el problema a dos bolas verdes y una amarilla, y nos queda una pesada, pero esto es exactamente lo que hemos hecho antes.

 

Pones en marcha tu plan, y te comes de nuevo un caramelo, pero… de nuevo no tiene sabor a menta, solo tienes tiempo de mirar cabreado al alienígena antes de caer de nuevo al suelo sumido en la oscuridad.

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Abres los ojos – ¿Dónde estoy? – te preguntas. Te duele la cabeza y estas mareado, miras a tu alrededor, te encuentras en una especie de habitación. Una habitación que te resulta familiar. Empiezas a recordar, ayer saliste con tus amigos de fiesta para celebrar el ascenso de un amigo tuyo en el trabajo, recuerdas que fuisteis a un bar y pedisteis unas cervezas seguidas de bastantes rondas de bebidas alcohólicas varias. De repente ves entrar una cara conocida, y empiezas a ordenar tus ideas, te das cuenta que te encuentras tumbado en el sofá del piso de una amiga tuya, te mira y sonríe.

– Te pasaste un poco con la bebida ayer ¿no? –  Sonríes y asientes con la cabeza. – No sabes qué pesadilla más rara he tenido – le dices sin dejar de sonreír, contento de ver que todo ha pasado y, evidentemente, sin sospechar que tu experiencia no ha tenido nada de pesadilla y que Drebhliditav es ni más ni menos que el capitán de Rotnacgroeg, la nave que estaba a punto de empezar la conquista de la Tierra, cabreado porque se ha quedado sin cena.

 

 


Espero que os haya gustado el relato. La verdad es que escribir no es precisamente mi fuerte, pero he hecho lo que he podido. Para los que no hayan entendido nada de lo que acaba de pasar les recomiendo que lean esta serie (aunque Pedro os recomienda todo lo contrario). Sin duda este artículo no está a la altura de ninguno de esos, pero, la verdad, cuando me propusieron este ejercicio en clase de Álgebra pensé que estaría bien compartirlo aquí y ésta es la mejor idea que he tenido…

Como la segunda prueba es algo complicada, y una imagen vale más que mil palabras, dejadme que os ponga un dibujo (cutre, como todos) de los caminos posibles a seguir:

En este dibujo he marcado las bolas con los colores que ya he usado en el artículo, y además he marcado en verde-azul los caramelos que ya sabemos al 100% que son de menta. Aún así he seguido con más dibujos por una simple razón: el problema original[1] trata de doce bolas en las que sabes que sólo una pesa más/menos y tienes que decir cual es y si pesa más o menos. Evidentemente, a nosotros sólo nos interesa encontrar las bolas que pesan más, por esta misma razón, aunque creo que no, es posible que el problema planteado aquí pueda resolverse con dos movimientos.

En fin, espero que os haya gustado, o por lo menos entretenido este artículo que, si es posible, servirá para que sepáis que sigo vivo y que los modelos atómicos llegarán… al fin y al cabo, si la Humanidad pudo esperar 1904 años a que Thomson propusiera su modelo, vosotros igual podéis esperar unos meses.

  1. Sí, aunque te parezca una barbaridad no iba sobre alienígenas ni nada de eso… Qué aburridos son los matemáticos ¿no? []

Sobre el autor:

Roger Balsach (Roger Balsach Garcia-Cascon)

Hola, mi nombre es Roger Balsach, soy de Sabadell (Catalunya) tengo 19 años (soy del 1997 por si esto se queda sin editar). Mis pasiones son la física y la música, estudio 2º del grado de física y estoy en el último curso del conservatorio de Sabadell.
 

{ 15 } Comentarios

  1. Gravatar Alejandro Coria | 05/11/2016 at 07:18 | Permalink

    Muy muy entretenido! Me remontó a los cuentos de Pedro al instante! Felicidades!

    No sé si hay una solución con solo dos movimientos, pero yo pensé en otro de tres:

    Dividimos las 12 bolas en dos grupos de 6 y las pesamos. Si o si uno de los grupos va a ser más pesado (tiene una bola de menta y 5 de cianuro o las 6 de menta). Luego dividimos ese grupo en dos grupos de 3 y los pesamos. Si ambos grupos pesan lo mismo entonces todas eran de menta y podemos comer cualquiera (o disfrutar las 6 si fueran realmente de menta terrícola). Si uno de los grupos pesa más que el otro significa que tiene una bola de menta y 2 de cianuro o las 3 de menta. Como tercer movimiento pesamos 2 bolas de las 3. Si una pesa mas que la otra entonces esa es de menta y la comemos. Si pesan lo mismo entonces las 3 son de menta o las 2 son de cianuro la que no pesamos es de menta. En cualquier caso comemos la que no pesamos.

    Claramente esta solución solo sirve para esta versión del problema.

    Saludos!

  2. Gravatar duhu | 07/11/2016 at 12:25 | Permalink

    Yo también llegué a esta solución de 3 pesadas dividiendo en grupos de 6 y de 3, me parece mucho más sencilla.

    Un saludo y buena entrada.

    Duhu

  3. Gravatar Javier | 04/12/2016 at 06:12 | Permalink

    Creo que he llegado a una solucion de dos o tres movimientos segun la suerte que tengamos.

    Lo cual es importante por si acaso el matemático este solo nos deja 2 pesadas:

    Dividimos en 5, 5 y 2.

    Si 5 y 5 pesan lo mismo, pesamos 2 y la que pese más es caramelo seguro.

    (2/12 de obtener solución en 2 pesadas)

    Si uno de los grupos de 5 pesa más, lo seleccionamos y lo dividimos en 3 y 2.

    Pesamos los 3, para lo que añadimos una de las que hemos desechado.

    Si la que tiene el desechado pesa más, entonces nos comemos la del grupo de 5 que pusimos ahí, porque seguro que es caramelo.

    (también resolvemos en 2 pesadas).

    Si pesan lo mismo, entonces pesamos las desechadas y nos comemos la más pesada.

    Si el grupo sin desecho pesa más, entonces lo pesamos y nos comemos la más pesada.

    Creo, pero no lo he calculado que tenemos en torno a un 25% de acabar en 2.

    Asumiendo que este bien…

    ¿A alguien se le ocurre alguna forma con mas probabilidades de acabar en 2?

  4. Gravatar Roger Balsach | 05/12/2016 at 12:34 | Permalink

    Javier, es una propuesta interesante, sin duda. Solo tengo una duda, cuando dices “Si pesan lo mismo, entonces pesamos las desechadas y nos comemos la más pesada.”

    Que quieres decir con “pesamos las desechadas” porque ya llevas dos turnos y en ese grupo hay 4 bolas, pesas 2-2 y del grupo más pesado te comes una al azar? Porque si no haces esto debes hacer otra medida y ya aumentas hasta 4…

    Si lo que quieres hacer es lo que he dicho de pesar y escoger al azar tu elección no esta mal… si no me he equivocado tienes un 17% de sobrevivir en 2 turnos, un 63% de sobrevivir en 3 turnos y un 21% de morir por escoger mal el caramelo.

    Espero que puedas resolver mi duda, aún así, según el método explicado en el artículo (que como digo no es para este problema específico sino para un más general) te aseguras no morir y las probabilidades de conocer el caramelo de menta en solo dos turnos son del 29%

    Saludos, Roger ;)

  5. Gravatar Javier | 05/12/2016 at 05:20 | Permalink

    Hola,

    Con las desechadas me refiero a las desechadas de la segunda ronda. Que son solo dos.

    Las pesadas que hemos hecho hasta ahora nos aseguran que las 10 bolas anteriores pesan lo mismo. Así que la que pese mas de las dos que quedan es caramelo seguro.

    Salvo que me haya columpiado, claro.

    El cálculo de la probabilidad de acabar en 2 no estoy seguro de haberlo hecho bien, pero me sale 0.37.

    He hecho 2/10 + 10/12*1\5.

    Pero no estoy seguro. Y no tengo tiempo pa pensarlo!!!

  6. Gravatar Roger Balsach | 06/12/2016 at 10:09 | Permalink

    Mmm…pues seré yo que no lo veo, pero si tienes dos grupos de 5, desechas uno de los grupos y usas una de estas para hacer dos grupos de tres. Lo que te quedan son 4 bolas.

    Igualmente, para este problema en particular creo que la opción de Alejandro y duhu es sino la mejor una de las mejores porque terminas en dos rondas un 50% de las veces y en 3 el otro 50%

    Saludos, Roger ;)

  7. Gravatar Sergio B | 07/12/2016 at 11:06 | Permalink

    Si el metodo de Alejandro y duhu es muy bueno, pero como lo explica alejandro veo un error, en la segunda pesada:

    “Si uno de los grupos pesa más que el otro significa que tiene una bola de menta y 2 de cianuro o las 3 de menta. “

    Es incorrecto, si un grupo pesa mas que otro, una bola es de menta y 2 de cianuro seguro, no es que afecte en nada, todo sea dicho.

  8. Gravatar Roger Balsach | 07/12/2016 at 11:25 | Permalink

    Sergio, toda la razón, yo también me di cuenta de esto, pero como bien dices no afecta en nada. De hecho ni siquiera es incorrecto :D

    Saludos, Roger ;)

  9. Gravatar Sergio B | 07/12/2016 at 11:47 | Permalink

    Roger, a mi me parece que Javier cuando dice desechadas para la segunda pesada se refiere a una de las dos que habia desechado antes. Cogiendo solo diez si pesan lo mismo, sabes que las dos que has desechado al principio son una de menta y una de cianuro, si pesan diferente, las dos que has descartado son dos de menta y las cinco mas pesada tambien de menta o las dos desechadas son dos de cianuro y las mas pesadas 4 de cianuro y una de menta, anadiendo una de las deseachadas te encuentras en la misma situacion que en el metodo de alejandro y duhu tras la primera pesada. Creo que el de Javier es una mejora por que anade unas posibilidades mas a que termines en dos pesadas.

  10. Gravatar Roger Balsach | 07/12/2016 at 12:49 | Permalink

    Toda la razón, si entiendo bien lo que dices Sergio (esperemos que si) este método es sin duda mejor (creo que hay un 58% de acabar en 2 rondas y un 42% de hacerlo en 3). Aún así, el comentario de Javier me hace dudar si realmente quería decir lo que yo he entendido con tu comentario… Debo estar bastante espeso :P En cualquier caso, a lo mejor edito el post incluyendo este método (o otro si alguien encuentra uno mejor).

    Saludos, Roger ;)

  11. Gravatar Javier | 07/12/2016 at 06:39 | Permalink

    Si Roger,

    Me referia a eso. De todas maneras: no veo mi comentario en el que lo xplicaba como lograrlo con un 58% de exito….

    Se ha borrado?

  12. Gravatar Javier | 09/12/2016 at 07:34 | Permalink

    Parece ser que el post que escribi se ha borrado asi que lo vuelvo a redactar.

    Creo que la mejor estrategia es coger mi primer movimiento y el segundo de alejandro. Asi logramos un 58% de supervivencia en 2 pesadas:

    • Primer movimiento.

    Dividimos en 5,5 y 2.

    Pesamos 5 y 5.

    Puede ser que un grupo pese mas que el otro o que pesen igual.

    • segundo movimiento “pesan igual”

    Pesamos las dos que no habiamos pesado y nos zampamos la mas pesada.

    -segundi movimiento “un grupo pesa mas”.

    Seleccionamos el grupo que pesa mas, lo dividimos en un grupo de 3 y otro de dos. Añadimosuna bola del grupode 2 bolas de la division de 5,5,2 al nuevo grupo de 2 bolas a pesar.

    Si pesan igual nos comemos cualquierade ellas.

    Si un grupo pesa mas vamos a la tercera pesada.

    • tercera pesada: pesamos 2 de las 3 bolas del grupo que mas pesaba.

    Si na pesa mas, nos la comemos. Si pesan igual nos comemos la tercera.

    Esta menos explicado que la ultima vez, pero ahora lo escribo desde el movil ;)

  13. Gravatar Alejandro Coria | 12/12/2016 at 05:56 | Permalink

    Sergio B, sobre tu comentario sobre mi comentario… Si un grupo de 3 pesa lo más que el otro grupo entonces puede ser que tenga 3 de menta (y el otro 2 de menta y una de cianuro).

  14. Gravatar Sergio B | 14/12/2016 at 05:13 | Permalink

    Saludos Alejandro, a mi me parece que en la primera pesada, el grupo con 5 de menta y 1 de cianuro es descartado frente al grupo con 6 de menta, que pesa mas, es imposible que en la segunda pesada tengas 5 de menta y 1 de cianuro para repartir en grupos de 3, al igual que es imposible tener 6 de cianuro.

  15. Gravatar Alejandro Coria | 14/12/2016 at 05:53 | Permalink

    Sergio B, tenés razón, mala mía.

    Gracias! Saludos.

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