Hablando de… es la serie caótica (hoy más que nunca) en la que recorremos el pasado saltando de asunto en asunto casi al azar, enlazando cada artículo con el siguiente y tratando de mostrar cómo todo está conectado de una manera u otra; los primeros veinte artículos de la serie están disponibles, además de en la web, en forma de libro, pero esto no tiene pinta de terminarse pronto. En los últimos artículos hemos hablado acerca del debate Huxley-Wilberforce sobre la evolución, en el que participó el “bulldog de Darwin”, Thomas Henry Huxley, que utilizó para defender las ideas de su amigo un cráneo de Homo neanderthalensis, nombre científico según el sistema creado por Carl Linneo y empleado en su obra magna, el Systema Naturae, que acabó en el Index Librorum Prohibitorum, lo mismo que todas las obras de Giordano Bruno, prohibidas por el Papa Clemente VIII, quien en cambio tres años antes dio el beneplácito de la Iglesia al café, bebida protagonista de la Cantata del café de Johann Sebastian Bach, cuya aproximación intelectual y científica a la música fue parecida a la de Vincenzo Galilei, padre de Galileo Galilei, quien a su vez fue padre de la paradoja de Galileo en la que se pone de manifiesto lo extraño del concepto de infinito, cuyo tratamiento matemático sufrió duras críticas por parte de Henri Poincaré, el precursor de la teoría del caos. Pero hablando de la teoría del caos…

A pesar de que pocos comprendieron su enorme relevancia, las conclusiones de Poincaré sobre el problema de los n cuerpos cambiarían nuestra concepción, si no del Universo, de nuestra capacidad para comprenderlo de manera absoluta. Como recordarás, el francés se había topado, al estudiar ese problema físico aparentemente simple, con el hecho de que una modificación levísima de los datos iniciales llevaba a soluciones que divergían en el tiempo. Además de eso, Poincaré se percató de otras características del problema que se convertirían, con el paso de los años, en los requisitos básicos de un sistema caótico — pero a esas otras características llegaremos un poco más adelante, cuando definamos un sistema caótico.

Porque, a pesar de que Poincaré fue el precursor de la teoría del caos, pasarían muchos años hasta que comprendiéramos las consecuencias de su descubrimiento. No es que la comunidad científica despreciase las conclusinoes de Poincaré ni mucho menos (ya vimos que era profundamente admirado), pero se pensaba que lo que había descubierto el francés era algo restringido a este sistema físico. Era posible que hubiese otros sistemas con un comportamiento impredecible en la práctica, desde luego, pero lo que nadie comprendió aún es que todos esos sistemas, por el mero hecho de comportarse así, tuviesen tantísimas cosas en común como realmente tienen, y que algunas de esas cosas fueran tan extrañas como realmente son.

El estudio del flujo turbulento tuvo un antes y un después de la creación de la teoría del caos (dominio público).

Me parece irónico que el primer sistema en el que observamos –aunque no nos diésemos cuenta de su auténtica relevancia– un comportamiento caótico fuese uno tan simple como un conjunto de masas sometidas únicamente a la fuerza gravitatoria. En cierto sentido se trataba de un sistema casi diseñado para ser predecible, como la “niña bonita” del mecanicismo determinista newtoniano… pero se convertiría en el umbral de algo muy diferente. Dada la arrogancia del ser humano, no resulta sorprendente que, tal vez de manera inconsciente, intentásemos o bien olvidarlo o quitarle importancia. Poincaré publicó sus conclusiones en la década de 1880, y podrías pensar que la teoría del caos surgiría unos pocos años más tarde, pero no fue así en absoluto: tras Poincaré, durante muchas décadas, prácticamente nada.

De hecho, esto se repetiría a lo largo de los años: alguien descubriría un sistema de este tipo, y se quedaría asombrado; estudiaría sus características… y luego la cosa se dormiría de nuevo, o quedaría incluso olvidada durante años, o sería considerada como una curiosidad matemática sin importancia para el “mundo práctico”. Posteriormente, alguien más descubriría un sistema sin la menor relación aparente con el anterior, en una rama diferente de la ciencia, y se quedaría sorprendido; estudiaría sus características… y otra vez la cosa se dormiría. Era como si nos negásemos a aceptar la naturaleza de las cosas, como si dijésemos “¡Anda, que excepción más curiosa!”, “¡Vaya, otra excepción más, parecida a la otra!”, “¡Fíjate, otra excepción más!” “¡Que de excepciones tan parecidas, quién lo hubiera pensado!”, e hiciese falta que la realidad nos diese en los morros una y otra vez para comprender que no eran excepciones.

Mirando hacia atrás, hoy sabemos que varios científicos en la primera mitad del siglo XX, sobre todo durante la elaboración de sus tesis doctorales, se encontraron con lo que luego llamaríamos sistemas caóticos; pero en unos casos fueron incapaces de ver que ahí había algo más que “ruido” o errores de medición y cálculo, y en otros sus directores de tesis les aconsejaron no publicar sus conclusiones para no caer en el ridículo. Hizo falta esperar unos ochenta años tras la solución de Poincaré al problema de los n cuerpos para comprender que había algo que se nos estaba escapando. Hizo falta además la llegada de algo de lo que Poincaré había carecido: los ordenadores.

En la década de los 60, un matemático y meteorólogo estadounidense llamado Edward Lorenz (a la derecha) estaba trabajando con modelos matemáticos del tiempo meteorológico. En esa época ya empezaban a utilizarse ordenadores para predecir el tiempo utilizando ecuaciones bastante complejas: en el caso de Lorenz, disponía de doce ecuaciones interrelacionadas. Comparado con alguna de las máquinas descritas por Macluskey en su impagable historia de un viejo informático, el ordenador LGP-30 de Lorenz era una modernidad — tenía un teclado en vez de usar tarjetas perforadas, y los bits de salida se leían en una especie de pantalla (digo “especie” porque no era una auténtica pantalla, la puedes ver en el enlace anterior si tienes curiosidad). Este monstruo de la computación tenía nade menos que unos 16 KB de memoria y pesaba tan sólo unos cuatrocientos kilos.

Entonces, igual que ahora, predecir el tiempo requería una capacidad de proceso tremenda, de modo que cuando se iniciaba un proceso de este tipo no se obtenía el resultado en unos minutos. Por tanto, el programa de Lorenz iba imprimiendo los resultados intermedios según iba calculando las cosas; por ejemplo, si iba a predecir el tiempo de mañana utilizando incrementos de tiempo de media hora, iba imprimiendo los datos predichos cada media hora hasta llegar al final. Así, si algo iba mal, al menos tenías los datos intermedios en papel.

El caso es que Lorenz necesitaba retomar un conjunto de datos determinado; pero empezar desde el principio otra vez era un rollo, por lo mucho que tardaba la máquina en recorrer todo el tiempo de la predicción. Afortunadamente, en la ejecución anterior el programa había ido imprimiendo los datos intermedios (hombre, no es que fuera cuestión de suerte — el propio Lorenz lo había ordenado así a propósito). Lo único que necesitaba hacer el estadounidense era introducir los datos intermedios y reducir así el tiempo de ejecución, puesto que la primera parte del trabajo ya estaba hecha. En el caso de una variable determinada, por ejemplo, el valor que mostraba el papel era 0,506. De modo que Lorenz puso esos datos en el ordenador como datos iniciales y dejó el programa corriendo y prediciendo el tiempo a partir de ese punto.

Pero, para su sorpresa, el resultado final no era el mismo que la ejecución anterior. No sólo eso: no era ni siquiera parecido. El sistema había evolucionado de una manera absolutamente diferente a la anterior, ¡a pesar de tener los mismos datos iniciales! Sólo que, naturalmente, no se trataba de los mismos datos. El ordenador calculaba las variables con seis decimales, pero para ahorrar espacio en el papel, Lorenz los imprimía con tres decimales. El dato intermedio introducido por el meteorólogo, aunque en el papel había salido como 0,506, había sido en la memoria 0,506127, como Lorenz observó cuando imprimió los datos intermedios con más detalle. De ahí que la solución fuera distinta al descartar los decimales adicionales.

Gráficas del programa de predicción de Lorenz para 0,506 y 0,506127: observa la divergencia en el tiempo.

Sin embargo, la sorpresa seguía estando allí: ¿cómo era posible que en un tiempo de predicción relativamente corto, con una diferencia en el cuarto decimal, la solución fuera completamente distinta de la anterior? Es más: un dato inicial con cuatro cifras decimales era algo, en la práctica, casi inalcanzable. Por lo tanto, si este comportamiento de las ecuaciones era consistente, en la práctica sería imposible predecir el tiempo meteorológico más allá de tiempos muy cortos, cuando las dos soluciones aún no han divergido mucho.

En 1963, Lorenz publicó sus conclusiones en Deterministic Nonperiodic Flow (Flujo no periódico determinista). Hablando con sus colegas, uno de ellos dijo que, de ser esto cierto, el batir de las alas de una gaviota en un lugar determinado podría cambiar el tiempo meteorológico para siempre. Posteriormente, supongo que para ser más poético, Lorenz habló del batir de las alas de una mariposa originando un tornado (y eso es lo que ha perdurado en la imaginación colectiva), pero a mí me gusta más la gaviota.

Sin embargo, como decía al principio, realmente no era algo nuevo: era, una vez más, el problema de Poincaré. Un sistema en el que cada parte afecta a las demás, de modo que las ecuaciones predicen estados diferentes con condiciones iniciales distintas que, a su vez, producen estados más y más diferentes… De hecho, el genial Ray Bradbury ya había escrito, en la década de los 50, una historia corta llamada A Sound of Thunder (El ruido de un trueno), que te recomiendo que leas si no la conoces, en la que la muerte de una simple mariposa en el pasado modifica los acontecimientos futuros.

No, no es una idea nueva: evidentemente, cambiar las condiciones iniciales de un sistema cambia el futuro del sistema. De hecho, hay gente que cree que eso es lo que significa que un sistema sea caótico, y por tanto llega a la conclusión de que es una perogrullada. Sin embargo, hay mucho más que eso — pero hacía falta más tiempo para darnos cuenta. Los ordenadores fueron nuestros aliados en esto, ya que eran capaces de realizar cálculos iterados una infinidad de veces en un tiempo muy corto y con paciencia cibernética.

El propio Lorenz desarrolló otros sistemas de ecuaciones de este tipo pero más simples que el que, por casualidad, lo había llevado a descubrir este extraño comportamiento y que, como decía antes, tenía doce ecuaciones y doce incógnitas. Uno de ellos es tan famoso que tiene nombre propio y recibe el nombre de sistema de Lorenz:

Se trata de un sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas, que modela de una manera muy simple la convección atmosférica. Es un sistema tan simple en su planteamiento, tan determinista en su corazón y tan endiabladamente complejo en sus predicciones que lo hemos venido usando constantemente para entender estas cosas; además, el tener tres incógnitas nos permite “ver” la evolución del sistema de un modo muy intuitivo; luego hablaremos más de este asunto.

Unos años después de que Lorenz publicase su artículo, otro científico estaba trabajando en un problema en apariencia completamente diferente del tiempo meteorológico: las poblaciones de animales. Se trataba del australiano Robert May –que, entre otros rimbombantes títulos como Barón May de Oxford y miembro de la Orden del Mérito, ha sido Presidente de la Royal Society, que no es moco de pavo–. En la década de los 70, May (a la derecha) estaba estudiando la evolución de poblaciones de animales, tratando de simularla con ecuaciones relativamente simples.

Entre los muchos factores que determinan la evolución de una población, como el número de individuos iniciales, la cantidad de comida disponible, el nivel de depredación, etc., May jugó con el número de hijos por individuo para observar su efecto sobre el comportamiento poblacional. Y al hacerlo se topó con algo sorprendente, como me imagino que ya te olías que iba a suceder.

Si el número de hijos por individuo era pequeño, la población desaparecía (algo nada sorprendente). Si lo iba aumentando, la población no desaparecía sino que se estabilizaba en un valor determinado, que dependía de la comida disponible y ese número de hijos, pero no dependía en absoluto del número inicial de individuos; una vez más, algo nada sorprendente.

Sin embargo, cuando el número medio de hijos superaba un determinado valor, la población se ponía a oscilar entre dos valores fijos, que dependían precisamente de ese factor y se separaban uno de otro cuando aumentaban los hijos por individuo. Y al superar otro valor determinado, la oscilación era entre cuatro valores de población, luego ocho, luego dieciséis… y en un intervalor muy pequeño de aumento del factor de hijos por individuo, esta especie de “cascada” desembocaba en una miríada de bifurcaciones y un sistema muy raro.

A partir de ese valor crítico, las condiciones iniciales sí afectaban a la evolución del sistema. No sólo eso: al igual que en el caso del tiempo meteorológico de Lorenz, variando ligeramente el número inicial de individuos, el sistema iba evolucionando de manera cada vez más diferente hasta que, en unas cuantas generaciones, cualquier parecido con la solución anterior era pura coincidencia. De hecho, el comportamiento era prácticamente idéntico al del problema de Lorenz: ambos sistemas, aunque de orígenes diferentes, presentaban un comportamiento particular y propio de muchos otros sistemas de la Naturaleza.

Aquí es donde tengo que hacer un paréntesis y una invitación.

En la primera versión de este artículo entré bastante en detalle en las ecuaciones y su comportamiento en el ejemplo de May, con un programita en javascript que predecía la población a lo largo del tiempo y cosas así. El resultado fue un monstruo de artículo infumable, sobre todo teniendo en cuenta que esta serie intenta “picotear” por los asuntos, no entrar de lleno en ellos y menos aún en matemáticas bastante densas. Por lo tanto, he eliminado del artículo la parte más abstracta y matemática para centrarme en las cuestiones generales e históricas: no hace falta leer aquello para entender la importancia y el fundamento de la teoría del caos.

Aquí viene, sin embargo, la invitación: si tras leer este artículo tienes ganas de entrar más en detalle en el asunto, jugar con un caso concreto y ver juntos cómo surge el caos de un sistema aparentemente muy simple, la semana que viene publicaremos esa otra parte eliminada de aquí dentro de la serie Alienígenas matemáticos, que se presta más a artículos largos y abstractos. Como digo, se trata de algo absolutamente opcional, y aquel artículo requerirá de mucho más esfuerzo que éste para entenderlo. Así cada uno puede ir tan lejos como lo lleve su interés.

Hecho este paréntesis, seguimos con la programación habitual…

En diciembre de 1977 ya se habían encontrado los suficientes ejemplos de este tipo de sistemas (el flujo turbulento de aire, la mezcla de distintas tintas en un vaso de agua, la evolución del precio de las cosas o la bolsa…) como para que la comunidad científica realizase un simposio sobre ellos. Estos sistemas se denominaron sistemas caóticos, un término mencionado por primera vez en un artículo de James A. Yorke y Tien-Yien Li titulado Period Three Implies Chaos (El período tres implica caos) en 1975.

Al simposio del 77 acudieron, entre otros, Lorenz, May y Yorke. A partir de entonces se empezó a desarrollar una auténtica teoría del caos que describiese las propiedades de estos sistemas –que resultaron ser muchísimos–. Se trata siempre de sistemas con las siguientes características básicas (dichas mal y pronto, como siempre):

• Son sistemas determinísticos. En otras palabras, dadas unas condiciones iniciales determinadas siempre se obtiene el mismo resultado. En el caso del tiempo meteorológico, unas condiciones idénticas a otras producen un tiempo idéntico. Un sistema puramente aleatorio, por tanto, no es caótico, y los sistemas caóticos no son la consecuencia de la incertidumbre cuántica ni nada parecido.

• Son sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales, de modo que un cambio ligero en esas condiciones supone un cambio enorme, a largo plazo, en el comportamiento del sistema: el ejemplo del batir de alas de la gaviota (o de la más poética mariposa).

• Son sistemas que, modificando ligeramente las condiciones iniciales, alcanzan prácticamente cualquier estado válido dentro del sistema. En el caso de las poblaciones de May, por ejemplo, si en un ecosistema de comportamiento caótico pueden existir un máximo de un millón de individuos e inicialmente tenemos diez, modificando ligeramente ese número (a nueve, a once), tarde o temprano tendremos casi cualquier otro valor de población entre 1 y 1 000 000.

A menudo se hace énfasis en la segunda característica, pero quiero dejar claro que el hecho de que un sistema sea sensible a las condiciones iniciales no lo convierte en caótico. Como ejemplo, imagina que pensamos en un sistema simple, como el dinero en un banco a interés compuesto. Si tú empiezas con una cantidad de dinero y yo con otra, al cabo del tiempo la diferencia entre lo que tienes tú y lo que tengo yo se irá haciendo cada vez mayor y, pasado el suficiente tiempo, se hará arbitrariamente grande — enorme sensibilidad a las condiciones iniciales. Sin embargo, no es un sistema caótico.

La tercera condición es clave, porque es la que no cumple, por ejemplo, el sistema de dinero en el banco de arriba. En un sistema caótico suele haber un intervalo válido de estados (como los individuos en una población determinada con un límite definido por la comida disponible) y, al cabo del tiempo, dos estados iniciales muy diferentes acabarán produciendo estados intermedios muy parecidos. Puedes pensar en ello con este otro ejemplo: si en un vaso echas una gota de tinta roja en un sitio y otra de tinta azul en otro, y luego remueves el vaso, al cabo del tiempo cada gotita de tinta roja habrá recorrido prácticamente todo el vaso, lo mismo que cada gotita de tinta azul, de modo que al final todo acaba mezclado.

Observa la especie de simetría entre la segunda y la tercera característica (sí, sí, soy repetitivo pero es la clave de todo): la segunda asegura que, si dos estados no son exactamente iguales, terminarán en algún momento como cosas muy diferentes. Pero la tercera afirma que, aunque dos estados sean muy diferentes, terminarán en algún momento como cosas muy parecidas. No puedes quedarte quieto, pero tampoco puedes escaparte.

La relevancia de la teoría del caos resultó ser extraordinaria porque, al final, ha resultado que casi todos los sistemas complejos presentan un comportamiento caótico, y nuestra incapacidad frecuente para conocer con total exactitud el estado inicial de los sistemas que estudiamos hace que, aunque sean determinísticos, nos sea imposible predecir lo que va a pasar más allá de cierto punto. Entre los sistemas complejos en los que hemos encontrado comportamiento caótico se hallan cosas aparentemente tan distintas como los terremotos, la bolsa, las llamaradas solares, la evolución biológica o la dinámica de fluidos.

Además, las sorpresas aún no se habían terminado. El propio Lorenz se dio cuenta de que, a pesar de la impredecibilidad de los sistemas caóticos, en muchos de ellos el estado del sistema parecía acercarse a algunos estados “privilegiados” y permanecer cercano a esos estados de ahí en adelante. Era como si algunos valores de las variables del sistema fueran muy “atractivos” y el sistema acabase acercándose a ellos tarde o temprano — algo predecible dentro de lo impredecible.

Esas regiones “atractivas” se denominaron, por tanto, atractores. Esto sucede, desde luego, en sistemas no caóticos: por ejemplo, si empiezo con 10€ y cada día me quitas 1€ hasta dejarme sin nada, el estado de mi sistema tiene un atractor clarísimo: 0€. Una vez llego allí, nunca podré salir. Lo curioso no era eso, sino que sistemas aparentemente “locos”, como el propio sistema de Lorenz que hemos mencionado antes, también tengan atractores.

Más curioso aún es que, si un sistema está cerca de un atractor y modificamos las variables ligeramente, no suele alejarse de él o, si lo hace, vuelve cerca posteriormente: una vez más, orden dentro del caos, como si la Naturaleza quisiera llevarnos la contraria ahora que habíamos aceptado el caos como algo sensible a las condiciones iniciales. Y hay otra cosa más curiosa todavía, pero que tengo que mostrar visualmente para que se haga obvia.

A menudo se dibuja la evolución de un sistema representando el estado como un punto cuyas coordenadas son las variables del sistema (en una línea si hay una variable, una superficie si hay dos, un volumen si hay tres…). Al hacerlo, puede visualizarse cómo evoluciona el sistema mirando cómo se mueve ese punto a lo largo del tiempo. Esto no funciona, claro, para un sistema de doce variables diferentes, porque no podemos visualizar cosas en doce dimensiones, pero afortunadamente hay sistemas caóticos, como el de Lorenz, que son de tres variables.

Así, al visualizarlo se tiene un punto que se mueve en tres dimensiones. En el vídeo se empieza con tres estados prácticamente idénticos, lo cual, gráficamente, significa que son tres puntos prácticamente coincidentes, tanto que durante un tiempo es imposible discernir que hay tres puntos y no uno. Pero, según avanzamos, vemos la divergencia propia del caos… y, al mismo tiempo, el orden propio del caos. Estás viendo el atractor de Lorenz, y debería ser evidente por qué se llama así:

Hay muchos tipos diferentes de atractores y, como digo, muchos sistemas dinámicos los tienen, caóticos o no. Pero muy pronto, cuando los matemáticos como Lorenz se dedicaron a determinar, no ya la existencia de un atractor en un sistema caótico determinado como el del vídeo, sino la forma del atractor, se toparon con la sorpresa mayúscula de verdad. Algunos, como digo, eran una línea (una dimensión); otros, cosas como un círculo o un cuadrado, es decir, una superficie (dos simensiones), otros eran volúmenes de tres dimensiones, como el interior de una esfera.

Y otros no tenían una dimensión entera.

Dicho de otra manera, algunos atractores son fractales, y la presencia de atractores fractales es una de las cosas más interesantes de muchos sistemas caóticos. Cuando un atractor tiene dimensión fractal, por cierto, se denomina atractor extraño. El atractor de Lorenz es seguramente el atractor extraño más famoso. Si los fractales te dejan confuso, tal vez te ayude –o te desquicie– leer el artículo en dos partes que les dedicamos al hablar de la baldosa del palacio de Nholeghoveck.

El caso es que seguimos aprendiendo cosas sobre los sistemas caóticos continuamente: date cuenta de lo reciente del nacimiento de esta disciplina, ¡está en pañales! Según pasa el tiempo y, sobre todo, según mejoran nuestros ordenadores, vamos descubriendo cosas nuevas. La clave de la cuestión está en el cambio de paradigma que se produjo gracias a Lorenz, May y similares.

Antes de ellos era como si muchas veces fuéramos “contra corriente”: pensábamos que la Naturaleza debía ser simple. Cuando un sistema no lo era, nos daba rabia, e intentábamos reducirlo a algo simple, resistiéndonos a aceptar su complejidad. Pero, como hizo Poincaré con el problema de los n cuerpos, la solución era dejar de luchar sólo en ese sentido — en cambio, debíamos estudiar la propia complejidad, para comprender lo que puede comprenderse de ella. No quiere decir que dejemos de buscar la simplicidad; quiere decir que, al mismo tiempo que hacemos eso, debemos abrazar la complejidad y aprender también de ella.

En primer lugar, provistos de una teoría del caos, aunque sea incipiente, somos capaces de reconocer sistemas caóticos en vez de simplemente quejarnos de que no se comporten “bien”. Un buen ejemplo de esto es el flujo turbulento de líquidos y gases; cuando los fluidos se mueven bastante despacio, las ecuaciones que describen ese movimiento son predecibles y estupendas. Sin embargo, cuando el flujo se vuelve turbulento, la cosa es mucho más difícil de estudiar: puntos que empiezan muy próximos pueden terminar muy alejados uno de otro, mientras que puntos muy lejanos en un principio, o regiones separadas del fluido, pueden mezclarse rápidamente. ¿Te suena esto?

Flujo turbulento en un fluido (C. Fukushima y J. Westerweel, Universidad Técnica de Delft/ Creative Commons Attribution 3.0 License).

Antes de empezar a comprender los sistemas caóticos, nuestras herramientas para estudiar el flujo turbulento y similares eran bastante más limitadas. Tras la elaboración de la teoría del caos, un matemático holandés –Floris Takens– y un físico-matemático belga –David Ruelle– la emplearon para superar la teoría anterior y mejorar enormemente nuestra comprensión del flujo turbulento. Fueron Ruelle y Takens, por cierto, los creadores del término atractor extraño. Para rizar el rizo de las conexiones, en 2006 David Ruelle recibió el Premio Henri Poincaré por sus aportaciones a la física matemática.

Hoy en día podemos reconocer las propiedades de un sistema caótico y, por tanto, aunque seamos incapaces de predecir lo que la propia naturaleza caótica del sistema nos impide, sí podemos hacer cosas como encontrar atractores, con lo que sabemos hacia dónde se dirigirá el sistema tarde o temprano, dentro de ciertos límites. Una vez más, la humildad nos permite llegar un poco más lejos que antes.

Pero, además, comprender el comportamiento caótico no significa rendirse a él, ni dar la batalla por perdida: en muchos casos no queremos un comportamiento caótico. Ahí es donde conocer a nuestro “enemigo” es nuestra mejor herramienta — ya tenemos estudios que determinan, una vez un sistema está en una órbita inestable alrededor de un atractor, cómo debemos perturbarlo constantemente, con pequeños “empujoncitos”, de modo que nunca salga de esa órbita. Si empieza a desviarse un poco por la derecha, por ejemplo –lo que quiera que sea que “la derecha” significa en las variables del sistema–, producimos una minúscula modificación hacia la izquierda, de modo que el estado se va autocorrigiendo y nunca se sale de donde queremos que esté.

Es posible, por cierto, que todo esto de la impredecibilidad, la sensibilidad a las condiciones iniciales y demás te recuerde a la mecánica cuántica; ambas se parecen en la necesidad de la aceptación de que no podemos predecir exactamente lo que va a suceder, pero los sistemas caóticos son clásicos: no hace falta dualidad onda-corpúsculo ni principio de incertidumbre para producir caos. Eso sí, dado que en un sistema caótico no tenemos certidumbres sino más bien probabilidades, sí nos estamos valiendo de nuestro conocimiento de la cuántica –irónicamente bastante más antiguo que el del caos– para ser capaces de estudiar eficazmente los sistemas caóticos.

El caso es que gracias –entre otros, claro– a Poincaré, Lorenz y May, nos hicimos más humildes y más versátiles a la hora de observar el Universo. Y pasamos de ignorar a científicos que apuntaban a la existencia del caos a darles honores como, en el caso de Robert May, la Presidencia de la Royal Society. Pero hablando de la Royal Society…

Hoy volvemos a Hablando de…, la serie en la que recorremos el pasado de forma caótica, enlazando cada artículo con el siguiente y tratando de mostrar como todo está conectado de una manera u otra; los primeros veinte artículos de la serie están disponibles, además de en la web, en forma de libro, pero esto no tiene pinta de terminarse pronto. En los últimos artículos hemos hablado acerca del debate Huxley-Wilberforce sobre la evolución, en el que participó el “bulldog de Darwin”, Thomas Henry Huxley, que utilizó para defender las ideas de su amigo un cráneo de Homo neanderthalensis, nombre científico según el sistema creado por Carl Linneo y empleado en su obra magna, el Systema Naturae, que acabó en el Index Librorum Prohibitorum, lo mismo que todas las obras de Giordano Bruno, prohibidas por el Papa Clemente VIII, quien en cambio tres años antes dio el beneplácito de la Iglesia al café, bebida protagonista de la Cantata del café de Johann Sebastian Bach, cuya aproximación intelectual y científica a la música fue parecida a la de Vincenzo Galilei, padre de Galileo Galilei, quien a su vez fue padre de la paradoja de Galileo en la que se pone de manifiesto lo extraño del concepto de infinito, cuyo tratamiento matemático sufrió duras críticas por parte de Henri Poincaré. Pero hablando de Henri Poincaré…

Como otros protagonistas en esta serie –ahora mismo se me ocurren John von Neumann y Enrico Fermi–, el personaje de hoy es un auténtico genio. Poincaré destacó en prácticamente todo a lo que dedicó su atención: la física, la ingeniería, las matemáticas, la filosofía… injusta que es la vida, ¡unos tanto y otros tan poco! Como siempre, aquí no pretendo dar una visión profunda sobre su vida, sino las suficientes pinceladas como para que te hagas una idea de su genio y, si te interesa lo suficiente, leas cosas más profundas sobre él.

Aviso: Ojalá fuera matemático, pero no lo soy. Así que no tengáis problema quienes sabéis mucho más que yo en corregirme cuando diga barbaridades en este artículo, que las diré.

Jules Henri Poincaré nació en 1854 en Nancy, en Francia, en el seno de una familia acaudalada. Ya desde niño era evidente que no era normal: destacaba enormemente en prácticamente todas las asignaturas –aunque era especialmente bueno en Matemáticas, un “monstruo” en palabras de su profesor–, le interesaba todo y mostraba una enorme pasión por aprender. Tras pasar nueve años en el Lycée de Nancy y servir en el cuerpo de ambulancias en la guerra franco-prusiana de 1870, ingresó en la École Polytechnique, en los suburbios de París, donde estudió Matemáticas.

En 1879 obtuvo su título de ingeniero por la École des Mines, aunque nunca dejó de estudiar matemáticas como un poseso. De hecho, lograría mantener un equilibrio entre ambas facetas –ingeniería de minas y matemáticas– a lo largo de su vida, aunque desde luego fue como matemático que dejó al mundo boquiabierto. Al mismo tiempo que obtenía el título de ingeniero trabajaba en su doctorado en Ciencias y Matemáticas bajo un mentor de excepción, Charles Hermite, una de las máximas figuras europeas de las matemáticas de la época. La importancia de esta tesis es tal que hablaremos de ella un poco más adelante; también lo haremos de Hermite, ya que aparecerá en un episodio bastante interesante de la vida posterior de Poincaré.

Charles Hermite (1822-1901).

El mismo año que obtenía su título de ingeniero de minas, Poincaré recibía el doctorado en matemáticas por la Sorbonne. En un par de años era miembro del Corps des Mines, el cuerpo de ingenieros de minas del estado, y además entraba como profesor asociado de Análisis en la Sorbonne. Para culminar un año extraordinario para él, se casó con Poulain d’Andecy, con la que tendría cuatro hijos.

Con los años fue tomando más responsabilidades en las dos vertientes de su carrera profesional: como miembro del Corps des Mines se convirtió primero en Ingeniero jefe y luego en Inspector general. En la Sorbonne enseñaba casi de todo: en un momento dado tenía las cátedras de Probabilidad, Mecánica Celeste y Astronomía, Mecánica Física y Experimental y Física Matemática. Pero es que, como digo, este individuo era bueno en prácticamente todo, y su capacidad estaba alimentada por una energía inagotable.

Aparte de su inteligencia, Poincaré era muy peculiar en su forma de trabajar, que consistía en una extraña mezcla entre el orden más metódico y el caos más absoluto. Por un lado, su rutina diaria era sacrosanta: prácticamente todos los días trabajaba con el mismo horario distribuido de la misma manera. Clases aparte, dedicaba dos horas por la mañana (de las diez a las doce) y otras dos por la tarde (de las cinco a las siete) al trabajo que requería más concentración –fundamentalmente las matemáticas–, mientras que por la noche se dedicaba a leer.

Henri Poincaré (1854-1912) antes de desarrollar plenamente sus cejas (dominio público).

Nunca se detenía en un asunto más de un par de horas, y saltaba de una cosa a otra como una mariposa va de flor en flor. Eso sí, mientras estaba centrado en un asunto concreto se enfocaba en él como si no existiera otra cosa en este mundo. Este constante saltar de una cosa a otra se debía a dos razones fundamentales: por un lado, para evitar aburrirse, ya que consideraba que mantener la mente fresca e interesada era lo esencial para resolver problemas.

Por otro, porque Poincaré –a quien le interesaba la psicología, como prácticamente todo– creía que el cerebro necesita su tiempo para crear conocimiento nuevo a partir de una información determinada, y que trabaja en ello inconscientemente aunque dediquemos nuestra atención a otra cosa. De modo que se ponía a trabajar en un problema un tiempo, y luego lo dejaba estar unas horas, o unos días, para luego volver a él fresco y encontrar, muy a menudo, que tenía la solución en la mente sin haberle dedicado un minuto consciente entre ambas sesiones. Tanto es así que no le gustaba pensar en problemas matemáticos tras determinada hora, porque su sueño se veía perturbado por su mente intentando resolverlo durante la noche en vez de descansar.

Todo esto puede sonar al comportamiento de un artista, y no el de un científico, pero es que el carácter de Henri era una mezcla entre ambos. Por ejemplo, muy al contrario que otros insignes matemáticos, Poincaré creía que la meticulosidad y la lógica eran trabas para crear ideas nuevas, y que la matemática es una disciplina de creación. Por lo tanto, para alcanzar nuevo conocimiento –o más bien, para él, para crear nuevo conocimiento– había que dejar a la mente volar libre en una primera etapa.

Evidentemente, la cosa no se queda ahí o Poincaré hubiera podido ser un gran artista pero no un gran matemático. No, una vez concluida esa primera etapa para la idea de que se tratase, aplicaba la lógica más minuciosa para verificar si tenía sentido o no y, si lo tenía, perfilar y refinar el teorema o lo que quiera que estuviera investigando en ese momento: como digo, no es que rechazara la lógica, sino que pensaba que la raíz de las nuevas ideas era un proceso de creación, no de análisis lógico. A diferencia de muchos otros matemáticos, por tanto, no solía trabajar mucho tiempo con lápiz y papel, sino que pensaba y visualizaba en su cabeza las cosas y luego, si tenían sentido, las ponía por escrito en poco tiempo. Caos y orden.

Esta combinación peculiar de trabajo en períodos cortos pero intensos, intuición y creación asociados al pensamiento lógico y el interés por tantas cosas diferentes hicieron que Poincaré, a lo largo de los años, realizara aportaciones enormes en muy diversos campos, aunque sobre todo en matemáticas y, dentro de ellas, en algunos de los asuntos más abstractos de todos. Tanto es así que, aunque mi intención es mostrar lo genial de Poincaré, es muy difícil hacerlo, tan profundo y tan abstracto es casi todo lo que creó o resolvió.

El primer gran logro de Poincaré, que le proporcionó fama en el mundo matemático, se produjo como consecuencia de su tesis doctoral bajo Charles Hermite, de la que hemos hablado antes. El título de la tesis era Sur les propriétés des fonctions définies par les équations différences (Sobre las propiedades de las funciones definidas por las ecuaciones diferenciales), y en ella Poincaré postuló la existencia de un tipo de funciones especiales, que hoy llamamos formas automórficas y engloban algo más general, pero que él denominó funciones de Fuchs o funciones fuchsianas en honor al matemático alemán Lazarus Immanuel Fuchs, que había contribuido mucho al avance en el estudio de las ecuaciones diferenciales¹.

El propio Poincaré relató posteriormente el proceso por el que llegó a plantear la existencia de las formas automórficas como una extensión de las funciones trigonométricas, y que ejemplifica muy bien su manera de trabajar y de pensar:

Durante quince días intenté demostrar que no podían existir funciones como las que he denominado posteriormente funciones fuchsianas. Era muy ignorante; cada día me sentaba frente a mi mesa de trabajo y permanecía allí una o dos horas, probando un gran número de posibilidades y no obteniendo ningún resultado. Una noche, en contra de mi costumbre, tomé un café solo y no podía dormir. Las ideas venían a mi cabeza a multitudes; las sentía chocar hasta que pares de ideas se conectaban, por así decirlo, para formar combinaciones estables. A la mañana siguiente había establecido la existencia de una clase de funciones de Fuchs, las que provienen de la serie hipergeométrica; simplemente tenía que poner el resultado por escrito, algo que me llevó pocas horas.

Un par de años más tarde, Poincaré publicó su Théorie des groupes fuchsiens y dejó al mundo patidifuso… porque el mundo no sabía lo que quedaba por venir, claro. A partir de entonces fue raro el año en el que el francés no nos apabullara con alguna innovación matemática.

Una página del Théorie des groupes fuchsiens (1882).

Además de en matemáticas puras, la intuición de Poincaré era afilada en muchas otras disciplinas relacionadas. Por ejemplo, la mecánica celeste era fundamentalmente una aplicación de las matemáticas: por un lado, debían resolverse las ecuaciones diferenciales derivadas de las leyes de la dinámica newtoniana y, por otro, las trayectorias de los cuerpos celestes seguían las leyes de la geometría. No en vano, durante muchos siglos las palabras astrónomo y matemático significaban prácticamente lo mismo. La época de Poincaré fue el final de esta etapa, pero él es uno de los últimos ejemplos de esta combinación –en parte por sus variados intereses–.

Como ejemplo de esto tenemos un episodio interesante por muchas razones: el del premio ofrecido en 1885 por Óscar II de Suecia a quien fuera capaz de resolver el problema de los n cuerpos, del que hemos hablado recientemente en la serie sobre el Sistema Solar pues Joseph-Louis Lagrange obtuvo las posiciones de lo que hoy llamamos puntos de Lagrange intentando resolver ese problema para tres cuerpos mucho antes de que Óscar II propusiese recompensa alguna.

El rey Óscar, a su vez, propuso el premio a instancias de Gösta Mittag-Leffler, el insigne matemático sueco de amable mirada que ves a la derecha. Más que por sus muchos logros, este individuo es injustamente conocido por un rumor falso. Cuando Alfred Nobel instituyó sus famosos premios, no incluyó uno de Matemáticas –entre otras cosas porque ya existían importantes premios en esta disciplina–. Las malas lenguas rumorearon que esto se debía a que Nobel estaba enamorado de Signe Lindfors, la mujer de Mittag-Leffler, y su rivalidad con el matemático era la razón de que no existiera un Nobel de matemáticas, una mentira como un piano de cola.

El caso es que el premio proponía varios problemas diferentes, no sólo el de los n cuerpos, pero éste era considerado el más difícil de todos; otro de los problemas propuestos, por cierto, estaba referido a las funciones fuchsianas del propio Poincaré. De hecho, mucha gente pensaba que el francés se presentaría al premio con algún trabajo relacionado con las funciones de Fuchs, ya que era la máxima autoridad en ese campo… pero la mariposa ya había pasado a otra flor, el estudio del problema de los n cuerpos. La descripción del problema en la presentación del premio era la siguiente:

Dado un sistema compuesto por un número arbitrario de masas puntuales que se atraen mutuamente de acuerdo con la ley de Newton, bajo la suposición de que las masas nunca colisionan entre sí, debe tratarse de encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie de una variable que sea una función conocida del tiempo, de modo que para todos los valores de esa variable la serie converja uniformemente.

Dicho en términos menos rimbombantes, el premio sería otorgado a quien pudiera predecir matemáticamente la posición de las masas a lo largo del tiempo. El problema, a decir verdad, era más matemático que físico: su planteamiento era trivial utilizando la mecánica newtoniana, pero se llegaba a una serie de ecuaciones diferenciales que dependían unas de otras de un modo que convertía el problema en una auténtica pesadilla. Ya vimos como Lagrange no pudo resolverlo, a pesar de tratarse sólo de tres cuerpos en su caso –el de Óscar II era más ambicioso– y de suponer que uno de ellos era mucho más ligero que los otros dos.

Un tribunal de tres matemáticos insignes deliberaría sobre las posibles soluciones para determinar la vencedora: el propio Gösta Mittag-Leffler y los dos mayores expertos en análisis matemático del mundo, el alemán Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y el francés Charles Hermite (el director de tesis doctoral de Poincaré). Naturalmente, las soluciones serían enviadas bajo pseudónimos, de modo que los tres jueces pudieran ser objetivos en su deliberación. La solución ganadora sería anunciada el 21 de enero de 1889, el sexagésimo cumpleaños de Óscar II.

De todas las soluciones recibidas, una brillaba con luz propia: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique (Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica). Era tan diferente, tan lejana al enfoque tradicional para intentar resolver el problema y tan afilada que, a pesar del pseudónimo, los tres jueces tenían bastante claro que el autor era Poincaré. En cierto sentido supongo que esto evitaba que fueran realmente objetivos, pero por otro lado era el propio genio de Poincaré el que hacía su solución especial, y no tanto el nombre de Henri.

Henri Poincaré con sus prodigiosas cejas plenamente desarrolladas.

Y es que el francés había hecho algo que nadie había intentado hasta entonces: en vez de intentar resolver las ecuaciones para obtener una solución, se había centrado en algo diferente. ¿Cómo podrían ser todas esas soluciones? ¿Habría muchas y muy diferentes, o serían parecidas? Si se dibujaran las trayectorias de todos los cuerpos involucrados, ¿realizarían órbitas estables, inestables, movimientos periódicos o qué otra cosa?

Dicho de otro modo, Poincaré no se preocupó de estudiar la trayectoria que seguiría cada cuerpo, sino en las propiedades comunes de todas las trayectorias posibles para cada cuerpo. Al mirar el problema “desde lejos”, como un todo, sin centrarse en los detalles, Poincaré llegó mucho más lejos que nadie antes que él, y las otras soluciones parecían juegos de niños comparadas con la suya. En palabras de Weierstrass, Hermite y Mittag-Leffler, la solución constituía “el trabajo original y profundo de un genio matemático cuyo lugar está junto a los grandes geómetras de este siglo”.

Tanto es así que los tres jueces, de forma unánime, le otorgaron el premio, y se publicó su solución. Sólo había un pequeño problema.

La solución de Poincaré estaba mal.

El asunto tiene, además, una ironía deliciosa. No sólo el propio Henri Poincaré, un genio matemático de primera línea, había cometido un error de bulto que invalidaba su solución; además, los tres mayores expertos en análisis de todo el mundo se lo habían tragado como si tal cosa. El trabajo de Poincaré fue enviado a un joven matemático sueco, Lars Edvard Phragmén (algo así como el becario), para que lo adecentara y lo enviara a la imprenta. ¡Y fue el “becario” el que se dio cuenta! Con bastante cautela, Phragmén escribió a Mittag-Leffler para señalar varios puntos en los que no estaba convencido de las conclusiones de Poincaré, y Mittag-Leffler envió las preguntas de Phragmén al propio Poincaré.

En cuatro de los cinco puntos señalados por Phragmén, Poincaré tenía razón y se trataba de algo que Phragmén simplemente no había entendido… pero en el quinto punto, el sueco tenía razón y Poincaré no. Y la razón era la habitual: Poincaré había mirado las cosas a grandes rasgos y no se había fijado mucho en los detalles. En un momento dado, había demostrado un teorema utilizando una serie convergente, ¡pero nunca había demostrado que lo fuera! El cauteloso Phragmén simplemente había sugerido que tal vez fuera útil para el lector tener una demostración de que esas series eran convergentes, pero cuando Poincaré se dispuso a detallar la demostración se dio cuenta de que no tenía por qué ser convergente. Pero claro, el resto de la argumentación de Poincaré se basaba en la convergencia de esa serie, con lo que todo lo que venía después se iba al traste.

En honor a Poincaré, el francés escribió rápidamente a Mittag-Leffler para reconocer su error –otros más arrogantes hubieran luchado con uñas y dientes, o hubieran buscado excusas o alguna otra cosa ruin–. Pero había otro pequeño problema: la solución errónea al problema no sólo había sido ya enviada a la imprenta, sino que ya se había imprimido y se había enviado a los matemáticos que así lo habían solicitado. Al pobre Gösta se le pusieron los pelos de punta: ¡menudo ridículo! Se dedicó a retirar las copias que pudo agarrar, y escribió a muchos matemáticos pidiéndoles que le reenviaran su copia antes de leerla con pretextos un poco absurdos. Mittag-Leffler ni siquiera se atrevió a mencionar el error a Hermite y Weierstrass aunque, desde luego, al final todo el mundo se enteró y el propio Poincaré se dedicó a trabajar en el problema corregido.

Incluso considerando el error, por cierto, la solución de Poincaré seguía siendo tan superior a las otras que se mantuvo el premio. Pero la ironía se completa por el hecho de que, aunque la solución original de nuestra mariposa estaba mal, la corrección nos trajo algo aún más hermoso de lo que hubiera sido una solución correcta al problema de los n cuerpos. Al trabajar en el problema una vez más, Poincaré se dio cuenta de algo extraño: aunque el problema físico era determinístico, es decir, a partir de una situación inicial determinada debía ser posible predecir con precisión arbitrariamente grande lo que sucedería en el futuro, en la práctica no lo era.

La razón era la siguiente: supongamos unos datos iniciales determinados (valores de las masas, posiciones iniciales, etc.), para los que habría una solución al problema de los n cuerpos. Si modificamos los datos iniciales la solución, naturalmente, cambia. Pero ¿qué pasa si modificamos los datos iniciales una cantidad minúscula? Lo lógico sería pensar que la nueva solución sería prácticamente igual que la antigua, modificada un valor minúsculo. Pero, al estudiar el problema, Poincaré se dio cuenta de que no era así: la nueva solución y la antigua divergían en el tiempo de modo que, tras el transcurso de un tiempo determinado, eran tan diferentes como soluciones a datos completamente distintos. Era como si un levísimo toque inicial al sistema produjese un comportamiento absolutamente diferente al cabo del tiempo, un comportamiento caótico.

Al tratar de resolver el problema de los tres cuerpos y fallar, Lagrange había obtenido sus famosos puntos. Al hacer lo mismo y fallar de nuevo, Poincaré había creado lo que posteriormente se convertiría en teoría del caos. Pero la mariposa ya estaba buscando otras flores.

Además de sus responsabilidades como inspector de minas y catedrático, en 1893 Poincaré entró a formar parte del Bureau des Longitudes, la oficina fundada en 1795 y responsable de la estandarización de unidades de medida, sobre todo en lo que se refería a la navegación. En 1897, el Bureau des Longitudes se planteó de nuevo un sueño de un siglo antes: llevar el Sistema Internacional de Unidades a las unidades de tiempo, uno de los pocos lugares en los que no se había implantado realmente. Sí, existía el segundo como unidad, pero ¿y sus múltiplos? En otras magnitudes, como la longitud, se empleaban de manera rutinaria los kilómetros, pero en el tiempo se seguían empleando las unidades ancestrales de minutos, horas y días.

De modo que los miembros de la oficina, entre ellos Poincaré, se dedicaron a estudiar el problema de la medida del tiempo, la sincronización de relojes en distintos lugares del planeta, etc. Como consecuencia, entre muchas otras cosas, Poincaré se dedicó a pensar en la cuestión del tiempo medido por observadores diferentes. Si un reloj se encontraba en el hemisferio occidental de la Tierra y otro reloj en el oriental, de modo que ambos se movieran a gran velocidad el uno respecto al otro, ¿medirían el mismo tiempo o los relojes se irían desfasando uno respecto al otro?

Por entonces, de hecho, se estaban realizando los experimentos de Michelson-Morley en los que la Tierra parecía estar en reposo respecto al éter, salvo que algo en la física que estábamos empleando hasta entonces no fuera correcto, y muchos físicos trataban de encontrar una solución al tremendo dilema. Quien finalmente lo hizo, como bien sabes si eres “viejo del lugar”, fue Albert Einstein, pero sin negar el genio del alemán, la solución era inevitable y seguramente hubiera llegado en poco tiempo incluso sin él.

El holandés Hendrik Antoon Lorentz, por ejemplo, de quien acabamos de hablar hace poco por su trabajo en electromagnetismo, ya introdujo en algunas ecuaciones que trataban de refinar las ecuaciones de Maxwell lo que denominó “tiempo local” que dependía de la velocidad relativa de los observadores, aunque nunca le dio relevancia física, sino que lo trató como una herramienta matemática. Por aquella época era muy común el diálogo epistolar entre científicos, y Lorentz y Poincaré hablaban a menudo de este modo, debatiendo los artículos de uno y otro, corrigiéndose y haciéndose sugerencias. En este caso, como en otros (Einstein y Bohr son otro ejemplo excelente), ambos eran de buen talante y no se enfadaban, ni mucho menos, cuando estaban en desacuerdo.

Como consecuencia, Poincaré estaba muy al tanto del trabajo de Lorentz, y llevó más allá las ideas del holandés: según Poincaré, el “tiempo local” de Lorentz apuntaba a algo profundo en nuestro concepto de tiempo y simultaneidad. En 1898, siete años antes del annus mirabilis de Einstein, el francés publicó La mesure du temps (La medida del tiempo), donde se planteaba cómo definir exactamente qué es, cómo medirlo y qué queremos decir cuando hablamos de que dos sucesos son simultáneos o no lo son. ¿Te suena?

La conclusión de Poincaré es bien simple: no tiene sentido hablar de simultaneidad o tiempo entre dos sucesos utilizando nuestra intuición. Es más, no podemos estar seguros de que cualquier definición sea la “buena”, de modo que debemos olvidarnos de reglas aplicadas al tiempo que sean “ciertas”. La definición de simultaneidad que debemos emplear es la que nos permita formular leyes físicas de manera eficaz. En sus propias palabras,

En conclusión: no tenemos una intuición directa de la simultaneidad ni de la igualdad entre dos períodos de tiempo. Si creemos tener esta intuición se trata de una ilusión. La reemplazamos con la ayuda de ciertas reglas que aplicamos casi siempre sin siquiera pensar en ellas.

Pero ¿cuál es la naturaleza de estas reglas? No existe una regla general ni rigurosa; utilizamos una multitud de pequeñas reglas aplicables a cada caso en concreto.

Estas reglas no nos son impuestas y podemos divertirnos inventando otras; pero no podríamos descartarlas sin complicar enormemente la formulación de las leyes de la física, la mecánica y la astronomía.

Por lo tanto elegimos estas reglas, no porque sean ciertas, sino por que son las más convenientes, y podríamos resumirlas del siguiente modo: “La simultaneidad de dos sucesos o el orden en el que se han producido, la igualdad entre dos períodos de tiempo, deben ser definidos de modo que la formulación de las leyes naturales sea lo más simple posible. En otras palabras, todas estas definiciones son sólo el fruto de un oportunismo inconsciente.

Sin embargo, aunque parezca paradójico, Poincaré era un defensor de la idea del éter, el sistema de referencia absoluto, y creía que un reloj en reposo respecto al éter mostraría el tiempo absoluto y cualquier reloj en movimiento respecto al éter mostraría el tiempo local — otra cosa es que, para formular nuestras leyes físicas, nos interese utilizar uno o el otro. De hecho, en 1889 el propio Poincaré sopesó la idea de que tal vez el éter fuera algo indetectable y por tanto una entelequia física… pero al mismo tiempo siguió considerándolo como una entelequia útil, con lo que continuó utilizándolo en sus argumentos. Dos ideas algo contradictorias, pero es que no es fácil ponerse en la piel de los físicos de finales del XIX: es muy, muy difícil abandonar la última “referencia absoluta”, el éter, y quedar sin rumbo ni ancla ni nada a donde agarrarse.

Ahí es donde Einstein le dio sopas con honda a Poincaré: ambos publicaron conclusiones bastante similares en 1905, a pesar de que, a diferencia de Lorentz-Poincaré, no había relación entre ellos ni estaban al tanto del trabajo uno del otro. Poincaré tenía ideas revolucionarias y muy interesantes, como la extrapolación como realidad física del tiempo local de Lorentz, pero fue Einstein quien rechazó toda referencia absoluta y trabajó “hacia atrás”, partiendo del carácter absoluto de la velocidad de la luz. Einstein también llegó más lejos en sus conclusiones, demostrando entre otras cosas la equivalencia masa-energía; finalmente, la simplicidad de sus postulados y argumentos deja a cualquier otro físico de la época en pañales y, además, después desarrolló una teoría más general que llega tan lejos respecto a las ideas de Poincaré que es difícil siquiera compararlas.

Pero creo que estarás conmigo, si has leído sobre relatividad y ahora este artículo, en que la teoría especial de la relatividad era cuestión de tiempo, y no demasiado tiempo: Lorentz y Poincaré (además de otros, como FitzGerald) habían ya alcanzado conceptos como tiempo local, contracción de la longitud, relatividad de la simultaneidad… es imposible tratar de conciliar las ecuaciones de Maxwell con los experimentos de Michelson-Morley y el principio de relatividad de Galileo sin llegar a conclusiones parecidas. De no haber habido un Einstein, probablemente algún discípulo o lector de Poincaré y Lorentz hubiera elaborado una teoría muy similar, pues sólo faltaba el paso de abandonar la referencia absoluta, tan difícil de olvidar.

Poincaré en su despacho cerca del final de su vida.

El resto de su vida, hasta su muerte en 1912, nuestra mariposa siguió revoloteando, dejando que su prodigiosa creatividad nos regalara conceptos nuevos constantemente, sobre todo en Matemáticas. El nombre de este francés cejudo está por todas partes: la métrica de Poincaré, el teorema de Poincaré-Bendixson, el teorema de la dualidad de Poincaré, el teorema de Poincaré-Hopf, la serie de Hilbert-Poincaré, el método de Lindstedt-Poincaré, el teorema de la recurrencia de Poincaré, la desigualdad de Poincaré… ¿hace falta que siga?

No quiero, sin embargo, terminar este repaso a su genio sin dejar otro ejemplo que me deja patidifuso intentando asimilar el instinto matemático y la capacidad de abstracción de este personaje. En 1893, mientras básicamente creaba la topología, Poincaré propone una conjetura (que no es la famosa conjetura de Poincaré, de la que hablaremos en un momento) a la que llega por intuición pero que es incapaz de demostrar, y que hoy conocemos como teorema de la dualidad de Poincaré. La conjetura (pues no era teorema entonces, ya que este individuo llegó a ella sin demostrarla, así, al buen tuntún), expresada en términos modernos, dice los siguiente: si se tiene una variedad de n dimensiones que sea cerrada y orientable, el k-ésimo grupo de cohomología de esa variedad es isomorfo al (n-k)-ésimo grupo de cohomología de la variedad para cualquier número entero k.

Si Cthulhu viera eso, se le caían los tentáculos.

Finalmente, resulta irónico el hecho de que, con tantas cosas en Matemáticas que llevan su nombre, la más conocida por el común de los mortales es, en cierto sentido, un error. Se trata de la famosa conjetura de Poincaré, a la que llegaremos en un momento, pero antes, paciencia.

Ya se sabía hacía mucho tiempo que cualquier superficie cerrada y sin agujeros es, dicho fatal, una “esfera deforme”: es posible coger esa superficie cerrada y sin agujeros y deformarla hasta conseguir una esfera o al revés. Los matemáticos, que son mucho más finos que esto y no hablan de esferas deformes, dicen que una variedad de dos dimensiones cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a una esfera.

Otra manera de verlo que no involucra deformar superficies es la siguiente: si tienes una superficie cerrada y sin agujeros, es posible tomar un lazo atado sobre sí mismo sobre la superficie e ir cerrándolo hasta colapsarlo a un punto. Aquí tienes un dibujo con una esfera:

Salix alba/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

Es decir, que una esfera es homeomorfa a una esfera, lo cual es de perogrullo. Pero imagina que fuera un ovoide, o un globo en forma de jirafa hecho de una sola pieza sin agujeros, o un cubo: siempre podrías ir cerrando el lazo y colapsarlo a un punto. Sin embargo, como ejemplo de una superficie cerrada que no es homeomorfa a una esfera (porque tiene agujeros), tenemos el toroide, es decir, el donut. Como ves, ninguno de los dos “lazos” puede colapsarse a un punto:

Fropuff/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

Como digo, esto del homeomorfismo entre superficies cerradas sin agujeros y la esfera ya era bien conocido. Bien, Poincaré se pregunta si esto también será cierto en el caso de una variedad de tres dimensiones en vez de dos, es decir, un volumen cerrado. ¿Es un volumen cerrado y sin agujeros homeomorfo a un volumen esférico? Evidentemente, él no lo expresó en estos términos tan vulgares, pero bueno. El caso es que el bueno de Henri no supo contestar, ni realizó realmente conjetura alguna, sino simplemente una pregunta.

Otros después de él siguieron intentando contestar, y con el tiempo la afirmación se empezó a conocer como conjetura de Poincaré, a pesar de que él nunca sostuvo que fuera cierta:

Toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a una esfera.

Pero claro, esto no es tan intuitivo como antes. En el caso anterior la variedad era como la cáscara de una naranja que encierra una naranja de tres dimensiones, pero ahora es una cáscara de tres dimensiones cerrada que encierra a una naranja de cuatro dimensiones. Curiosamente, los matemáticos lograron demostrar que esta afirmación es cierta para dimensiones mayores que tres, pero no para tres dimensiones, hasta hace relativamente poco: entre 2002 y 2003, el matemático ruso Grigori Yakovlevich Perelman publicó una demostración de la conjetura. Pero no es esto lo que me interesa: es el hecho de que la intuición de Poincaré lo llevaba a plantear cuestiones tan tremendas que no sólo él no podía responder sino que nos han llevado, en ocasiones, un siglo conseguir resolver.

A cambio de estos quebraderos de cabeza, Henri nos proporcionó maravillas como la topología o la teoría del caos que cambiaron nuestra manera de ver el mundo. Pero hablando de la teoría del caos…

Para saber más (esp/ing cuando es posible):

• Henri Poincaré / Henri Poincaré
• Problema de los tres cuerpos / Three-body problem, como siempre,
• Conjetura de Poincaré / Poincaré Conjecture

1. Pero no sé si fue quien definió por primera vez las formas automórficas o no… ¿matemáticos, alguien sabe algo?

La aproximación de Cantor al infinito no fue a través de la geometría, como en el caso de Arquímedes, ni del cálculo infinitesimal de Newton y compañía, sino a través de la teoría de conjuntos. Antes de Cantor, la teoría de conjuntos era algo bastante primitivo, considerado en general como algo muy básico. Sí, había algunos flecos que eran bastante raros; en particular, los conjuntos de infinitos elementos, como los números naturales, suponían pegas. Ya vimos en el artículo anterior la de Galileo y su paradoja, en la que una parte de los naturales se correspondía con el todo, pero al mismo tiempo era menor que el todo, y eso se consideraba algo imposible. La solución hasta Cantor había sido la “fácil”, claro: no se puede comprender el infinito, la paradoja de Galileo muestra que no podemos aplicar la lógica a cosas tan raras… estos no son los droides que estás buscando.

Georg Cantor (1845-1918).

El principal problema que surge al considerar conjuntos infinitos, como le sucedía a Galileo, es que es imposible comparar sus tamaños contando elementos, ya que no puede alcanzarse a contarlos todos: de ahí que muchos considerasen que eran “infinitos” y punto final. Sin embargo, Cantor introduce un método de comparar tamaños de conjuntos –o cardinales de conjuntos, en términos de Cantor– que permite hacerlo de igual manera para conjuntos con un número finito o infinito de elementos. De acuerdo con Cantor –pero sin usar lenguaje matemático–, dos conjuntos son del mismo tamaño cuando es posible definir una relación de uno a uno entre ambos en la que ningún elemento se quede “sin pareja”.

La idea tras el razonamiento de Cantor es la siguiente: independientemente de que podamos contar los elementos en dos conjuntos o no podamos, si uno de ellos tiene más elementos que otro –mayor cardinal que el otro–, entonces no puede haber ninguna manera de hacer una relación de uno a uno entre ambos, sino que cualquier relación sistemática que podamos tratar de encontrar siempre dejará elementos “sueltos” en el conjunto más grande, mientras que si encontramos una relación que establezca parejas de modo que todos los elementos estén emparejados en ambos conjuntos, eso significará que ambos son igual de grandes.

Esto se comprende bien con un ejemplo sencillo. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos conjuntos, A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}. Si queremos saber si ambos son igual de grandes –aunque sea una tontería–, hay dos maneras de hacerlo. La manera clásica es simplemente contar: A tiene tres elementos y B tiene tres elementos, luego ambos conjuntos son del mismo tamaño. De perogrullo, ¿no? Hagámoslo ahora a la Cantor.

¿Podemos idear una regla que relacione cada elemento de A con cada elemento de B sin que ningún elemento se quede sin pareja en ninguno de los dos conjuntos? Sí, sin problemas. Basta con hacer algo así: a cada elemento x del conjunto A le sumamos 3, y así obtenemos su pareja en B (y para cada uno de B hacemos lo contrario, restar 3, para obtener su pareja en A). Así, el 2 se corresponde con 2+3 = 5, el 3 con 3+3 = 6, etc. De este modo existe una relación “de uno a uno” entre ambos conjuntos, lo que significa que son igual de grandes.

Evidentemente, la manera clásica es muchísimo más simple que la de Cantor de establecer relaciones entre ellos. ¿Por qué iba nadie a complicarse la vida y hacerlo así, en vez de simplemente contar? Pues sí, imagino que ya lo has adivinado — porque la de Cantor es una manera de una elegancia pasmosa para hacer lo mismo cuando no se puede contar. Una vez más, veámoslo con un ejemplo.

Supongamos que tenemos dos conjuntos infinitos; A = {1, 2, 3, 4, …}, donde una vez más los puntos suspensivos significan “y así para siempre”, con lo que A es el conjunto de todos los números naturales. Y pongamos que tenemos otro conjunto, B = {11, 12, 13, 14, …}, es decir, todos los números del once para arriba. ¿Cuál de los dos es más grande? ¿O son iguales? Son preguntas que no se pueden responder contando, claro está… pero, ¿y al modo de Cantor?

Si comprendiste el ejemplo anterior, verás que –aunque la intuición se queja, al menos en mi caso– ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Basta con decir que a cada elemento de A le sumamos 10 y tenemos su pareja en B (y lo contrario al revés). Dicho de otro modo — supongamos que tú afirmas que, “evidentemente”, A es más grande que B, ¡pues tiene todos los elementos de B y además tiene los números del 1 al 10 que B no tiene! Si tienes razón, deberías ser capaz de encontrar elementos en A que no tienen pareja en B… ¿pero qué elementos son esos? Si me dices que el 6, te diré que su pareja es el 16. Si me dices que el 2, te diré que su pareja es el 12. Y si me dices que para hacer esto estoy “desplazando” los números diez posiciones, con lo que “se me acabarán” las posiciones hacia el infinito al establecer la relación, te diré que no se me puede “acabar” nada… porque no hay límite de tamaño para los números. Si no lo has leído, tal vez te sea útil echar un vistazo al artículo sobre el Gran Hotel de Hilbert, en el que hablamos precisamente de esto.

Observa que este argumento resuelve así, de un plumazo, la paradoja de Galileo. Si nos fijamos en los números naturales {1, 2, 3, 4, …} y en los cuadrados de los números naturales {1, 4, 9, 16, …}, podemos utilizar el método de Cantor para comparar sus cardinales. Basta con olvidar por un momento eso de que “en el primer conjunto hay elementos que en el segundo no hay…”. Establezcamos una relación de uno a uno, para emparejar a todos. Esta vez no podemos sumar y restar como antes, pero tampoco hay que darle muchas vueltas a la cabeza por la propia definición de ambos conjuntos: a cada elemento del primero le corresponde en el segundo, como pareja, su cuadrado, y a cada elemento del segundo le corresponde, por lo tanto, la raíz cuadrada como pareja. Así, tenemos que 1 va con 1, 2 con 4, 3 con 9, etc. No hay ninguno que se quede solo en ninguno de los dos conjuntos, luego ambos tienen el mismo cardinal –dicho en cristiano, que me perdonen los matemáticos, son igual de grandes–.

No puedo evitar dar otro ejemplo más: los números enteros, es decir, positivos, negativos y el cero. A primera vista resulta completamente evidente –al menos, a mí– que hay muchos más enteros que naturales: al fin y al cabo, los naturales son sólo {1, 2, 3, 4, …} mientras que los enteros son todos los naturales y además {0, -1, -2, -3, -4, …}. Los enteros son, por así decirlo, “el doble de los naturales más uno”. Por lo tanto, parece imposible establecer una relación de pareja de uno a uno entre ellos… pero resulta que sí es posible. Basta con hacer lo siguiente:

Como puedes ver, todos los conjuntos infinitos que hemos visto en estos ejemplos tienen el mismo cardinal, que es el de los números naturales. De hecho, el “truco”, si se puede llamar así, es que siempre que puedas establecer alguna regla que ordene un conjunto de un modo sistemático, basta con poner en relación el primer elemento del conjunto ordenado con el número 1, el segundo con el 2, el tercero con el 3, y de ese modo demostrar que el cardinal de tu conjunto es idéntico al de los naturales.

De modo que Cantor se preguntó entonces si todos los conjuntos infinitos son “igual de grandes” que los números naturales o, dicho de otro modo, si existen diferentes grados de infinito o no. Se trata de algo parecido a lo que hicieron los jainistas unos milenios antes, pero en el caso de Cantor, de un modo sistemático y riguroso. El alemán se plantea un caso concreto: los números racionales, es decir, las fracciones de enteros, como 1/2, 276/452356 o 45245236/1. Una vez más, parece clarísimo que hay muchísimos más racionales que naturales, pero ¿es realmente así? ¿Es posible ordenar todas las posibles fracciones, de modo que podamos poner cada una en relación con la posición que ocupa, es decir, un número natural?

Aquí es donde, en mi opinión, el genio de Cantor brilla como una linterna… El alemán empieza por colocar todos los números racionales en una tabla, ya que todos ellos son, al fin y al cabo, parejas de enteros, uno en el numerador y otro en el denominador. Él lo hace con los racionales positivos pero, una vez más, ampliar a los negativos no supone ningún problema. Cantor los coloca de modo que cada fila tiene un mismo número natural en el numerador, y cada columna un mismo número en el denominador:

Puedes ver que, así, tenemos absolutamente todas las fracciones positivas; es más, algunas están repetidas, ya que 1/1 es lo mismo que 2/2, 3/3…, y algo parecido pasa con 1/2 y 2/4, 3/6, etc. Ahora bien, ¿podemos ordenar de modo sistemático estos números? La respuesta es que sí. Observa que la tabla se extiende infinitamente, pero empezamos en la esquina superior izquierda, y podemos ir recorriendo la tabla entera así:

Se ve mejor en este otro diagrama, más completo y en el que se muestran en rojo los números racionales repetidos que nos podemos saltar al ordenar:

Cronholm144/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

El conjunto de los racionales puede ordenarse, por tanto, como {1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, …}. Y por lo tanto podemos establecer una relación de uno a uno con {1, 2, 3, 4, …}, de modo que cada número racional se corresponde con su orden en la lista de arriba. ¡Ay, lo que parecía un “infinito más grande” ha resultado ser, simplemente, el mismo de siempre! Pero Cantor no se detuvo ahí, por supuesto. Más allá de los racionales están los números reales, que incluyen cosas como el número pi o el número e, la raíz cuadrada de 2, y todos los demás números que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten, y no pueden expresarse como fracciones de enteros. ¿Se trata de un conjunto más grande, o es una vez más “igual de infinito” que los anteriores?

No voy a dar aquí el primer argumento de Cantor de 1874, sino uno posterior de 1891 que es más bonito y fácil de entender (el llamado “argumento diagonal”), aunque sean equivalentes. Cantor intenta demostrar que existen conjuntos –como el de los números reales– que no sólo tienen cardinal infinito, sino que es mayor que el de los números naturales. Dicho de otro modo, existen conjuntos que no pueden ordenarse para ser contados poniéndolos en relación con los naturales: conjuntos incontables, en contraposición a conjuntos contables, como los racionales, aunque sean infinitos.

¿Podré expresar aquí la genialidad del alemán, que deja su logro anterior con los racionales como algo burdo en comparación? No, no podré, pero tengo que intentarlo, porque se me ponen los pelos de punta cada vez que lo veo. Cantor razona del siguiente modo: supongamos que los números reales sí pueden ser ordenados para ser contados, por el sistema que sea –es irrelevante–. Imaginemos que tenemos los infinitos números reales entre el 0 y el 1 ordenados en esa lista, por ejemplo (me invento los números, claro):

Fíjate que ni nos planteamos cómo hemos obtenido algo tan maravilloso como una lista ordenada de todos los números reales entre cero y uno, porque nos da igual: vamos a demostrar que nuestra lista ordenada no puede existir. Pero, por ahora, supongamos que hemos logrado esta maravilla: nuestra lista contiene absolutamente todos los infinitos números reales entre 0 y 1, y están perfectamente ordenados, con lo que su cardinal –de poderse ordenar así– es el de los números naturales. Pero aquí Cantor alza la ceja: “Sólo hay un problema”, susurra con malicia. “Esa lista no contiene todos los números reales… yo conozco uno que no está ahí.”

“Construyamos un número real”, dice el de San Petersburgo. Su primera cifra decimal es la primera cifra decimal del primer número de la lista, su segunda cifra decimal la del segundo número de la lista, la tercera es la tercera cifra decimal del tercer número, etc. En el dibujo de arriba, nuestro número sería el 0,181201… y tiene infinitas cifras decimales, ya que nuestra lista ordenada contiene infinitos números. Como puedes comprobar, nuestro número inventado coincide en una cifra decimal, al menos, con cada número de la lista (la primera con el primero, la segunda con el segundo, la tercera con el tercero, etc.). Desde luego, es incluso posible que coincida en todas sus cifras decimales con alguno de la lista, y de hecho esto sucederá necesariamente si, como afirmamos al principio, nuestra lista contiene todos los números reales entre 0 y 1. “Pero hagamos sólo una cosa más” , sugiere Cantor.

“Sumemos uno a cada cifra decimal del número inventado, de modo que el 1 se convierta en 2, el 2 en 3…, y el 9 en 0″. Nuestro número anterior será ahora, por tanto, 0,292312…, lo cual puede parecer poco interesante. Pero detengámonos a pensar un momento: antes, la primera cifra coincidía con la primera del primer elemento de la lista, pero como le hemos sumado uno, acabamos de garantizar que nuestro número no coincide con el primero de la lista, pues esa cifra decimal ya no coincide. Y lo mismo pasa con el segundo elemento: nuestro número no es ése, pues al menos en la segunda cifra decimal no coinciden. Y eso mismo pasa con absolutamente todos los elementos de la lista. Nuestro número es distinto de todos y cada uno de ellos al menos en una cifra decimal, porque así lo hemos construido — nuestro número no está en la lista.

¡Pero eso es imposible! Habíamos dicho que la lista contenía todos y cada uno de los infinitos números reales entre 0 y 1… lo cual, evidentemente, era mentira. Pero observa dónde está el quid de la cuestión: sólo hemos podido conseguir este número “fuera de la lista” porque la lista estaba ordenada, de modo que pudimos crear una regla para construir nuestro número diferente de todos los demás. Dicho de otra manera: los números reales no pueden ordenarse de ninguna manera y, por tanto, no pueden contarse utilizando los naturales. Su cardinal es infinito, pero “más infinito” que el de los naturales: es un infinito incontable.

Podríamos decir que el infinito de los naturales es un “infinito discreto”, y por esa razón contable, como una escalera con infinidad de escalones, mientras que el infinito de los reales es un “infinito continuo” y por tanto incontable, como los puntos en una recta. El “infinito continuo” es, de acuerdo con la demostración de Cantor, mayor que el “infinito discreto” de los naturales, y la profundidad de este hecho es, como digo, algo que no puedo expresar adecuadamente aquí.

De modo que, como con los jainistas, ya no era posible decir simplemente infinito como contraposición a finito: no era algo borroso y sin distinción como el apeiron, sino que existían diversos grados, no finitos, pero unos mayores que otros y que era posible ordenar. Cantor denominó a estos números más allá de los finitos números transfinitos; el más pequeño de todos ellos, el cardinal de los números naturales, fue llamado álef cero o aleph cero (ℵ₀) por la letra hebrea álef (ℵ), equivalente al alfa griega. Así, el cardinal de los números naturales y todos los otros conjuntos que hemos visto son del mismo tamaño que él es ℵ₀. Cantor puso el subíndice 0 para así denotar otros transfinitos mayores: el siguiente transfinito mayor que ℵ₀ sería ℵ₁, luego ℵ₂, etc. Y así, hasta… bueno, sí, hasta el infinito.

Claro está, el número ℵ₀ no es un número al que se apliquen las mismas reglas que a los números finitos. Por ejemplo, hemos visto que ℵ₀ + 10 = ℵ₀ en uno de nuestros ejemplos, que 2ℵ₀ + 1 = ℵ₀ en otro>… Así, si uno fuese friki, pero friki de verdad, podría cantar una canción como

ℵ₀ elefantes

se balanceaban

sobre la tela de una araña,

como veían

que no se caían

fueron a llamar a otro elefante.

ℵ₀ elefantes

se balanceaban…

y así, ad infinitum, nunca mejor dicho. Pero claro, los números reales no son ℵ₀, sino que son más. Esto quiere decir que, si llamamos c al cardinal de los números reales –es decir, al “infinito continuo”–, c > ℵ₀. La siguiente pregunta, entonces, es: si el infinito continuo es mayor que el discreto, ¿hay algún otro número transfinito entre ellos? Cantor era de la opinión de que no había ninguno: un conjunto de cardinal transfinito podía tener ℵ₀ elementos o c elementos, pero nada entre medias –también podía tener, tal vez, más de c elementos, pero eso no es lo importante ahora–. Dicho de otro modo, Cantor sospechaba que c = ℵ₁, es decir, el siguiente transfinito después de ℵ₀.

Esta hipótesis de que no hay nada entre ℵ0 y c recibe el nombre de hipótesis del continuo, e incluso el incomparable Georg Cantor fue incapaz de demostrarla: era sólo una intuición. Gente de la talla de Kurt Gödel o Paul Cohen dedicaron sus mentes al problema tiempo después de la muerte de Cantor; Gödel, por ejemplo, demostró que con la teoría de conjuntos de la época no podía demostrarse que la hipótesis fuera falsa, mientras que Cohen demostró que con la teoría de conjuntos de la época no podía demostrarse que la hipótesis fuera verdadera, ¡toma castaña! De hecho, la hipótesis del continuo sigue siendo hoy en día un asunto controvertido y la cosa no está nada clara.

Existía además otra pregunta: suponiendo que, efectivamente, ℵ₁ era el cardinal del continuo y el siguiente “escalón transfinito” después de ℵ₀, ¿qué pasaba más allá? Cantor se preguntó si, del mismo modo que los puntos de una recta eran más –”transfinitamente hablando”– que los números naturales, los puntos de un plano eran más que los de una recta. Dicho de otro modo, si un infinito continuo de dos dimensiones es mayor que el de una dimensión. Ya vimos al principio del artículo que algunos matemáticos jainistas eran precisamente de esa opinión, y distinguían el “infinito de una dimensión” del de dos dimensiones, éste del de tres, etc. Cuando nuestro buen alemán se hizo la pregunta alrededor de 1874, sospechaba que la cosa era, efectivamente, así: al fin y al cabo, resulta evidente que hay infinitamente más puntos en un plano que en una recta.

Cantor se pasó casi toda la luna de miel pensando en esto –imagino que en las pausas que le permitiesen otras actividades incluso más placenteras– y discutiendo el asunto por carta con su amigo Richard Dedekind, también matemático. La luna de miel terminó, pero la respuesta seguía sin llegar, y tardó algunos años más; por fin, en 1878, el alemán obtuvo la solución al problema utilizando una vez más su bellísimo, elegante, maravilloso razonamiento del “emparejamiento” de elementos de ambos conjuntos uno a uno. Y la respuesta era justo la contraria a la que había sospechado.

Tomemos, por ejemplo, un cuadrado de lado 1. Los puntos de uno de sus lados son todos los números reales entre el 0 y el 1, que son tantos como todos los números reales, es decir, c –y, de acuerdo con la hipótesis del continuo, ℵ₁, pero eso da igual ahora–. Si tomamos un punto cualquiera de la superficie del cuadrado, ese punto tiene dos coordenadas, x e y que, a su vez, son números reales entre el 0 y el 1. Por lo tanto, hay c puntos en el lado del cuadrado, pero hay c x c, es decir, c² puntos en el cuadrado entero, que parecen ser muchos más… y sin embargo podemos emparejar cada uno de esos puntos del cuadrado con exactamente un punto del lado.

Para hacerlo, pensemos en un punto concreto del cuadrado, de coordenadas 0.598164761… (con infinitos decimales sin repetición, para hacerlo más difícil), y 0.214828299…:

Podemos asignar a ese punto un punto único del lado alternando los decimales: cogiendo el primer decimal de la coordenada x, el primero de la coordenada y, el segundo de la x, el segundo de la y, y el resultado será un número único del lado del cuadrado, en este caso 0.529184186248726919… Y al hacer esto ni un solo punto del cuadrado se quedará sin pareja en el lado: no hay más puntos en el cuadrado que en el lado, por más raro que esto resulte:

Tan raro es, tan contrario a la intuición, que en una carta a Dedekind, tras obtener el resultado, el propio Cantor dijo:

¡Lo veo, pero no lo creo!

La conclusión inmediata, por lo tanto, es que el infinito de dos dimensiones tiene el mismo cardinal que el de una dimensión. Pero claro, podemos hacer lo mismo con un cubo de tres dimensiones, un hipervolumen de cuatro, de cinco o de doscientas dimensiones, simplemente alternando más decimales antes de pasar al siguiente decimal de cada coordenada: cualquier continuo con un número finito de dimensiones es exactamente igual de grande que un segmento de recta. Nuestro Universo, al fin y al cabo, no parece ya tan grande, ¿verdad?

Por si te lo estás preguntando, sí, existen conjuntos mayores que c, aunque son bastante raros. El conjunto de todas las funciones matemáticas entre los números reales y los números reales es uno de ellos (curiosamente, no lo es el conjunto de todas las funciones continuas), como también lo es el conjunto de todos los posibles subconjuntos de los números reales. Sí, sí… muy raros. Tan raros que podríamos decir que, para casi cualquier cosa que podamos imaginar, existen dos infinitos: ℵ₀ y c –ℵ₁ si Cantor tenía razón–.

Ni qué decir tiene que las ideas de Cantor recibieron críticas por todas partes, como hemos dicho antes. Parte del problema, como ha sucedido otras veces en esta serie, estaba en que para muchos, religión, ciencia y matemáticas estaban entrelazadas: “tocar” el infinito de esta manera, asignar propiedades determinadas a diversos infinitos en vez de considerar que había un único infinito, El Infinito, incognoscible, absoluto, era inaceptable, pues ponía en cuestión la propia idea de Dios. Cantor mantuvo una intensa correspondencia con varios teólogos cristianos, entre ellos el Cardenal Johannes Franzelin, que consideraba que los números transfinitos no eran sino una forma de politeísmo. Georg llegó incluso a enviar una misiva al Papa León XIII para defender sus ideas –aunque, afortunadamente para él, los tiempos habían cambiado desde Galileo y no corría peligro de ningún tipo debido a sus posiciones matemáticas, de modo que no las defendía para salvar su carrera ni mucho menos su vida–.

Antes de que te surja la tentación de pensar en Cantor como un mártir de las Matemáticas y el pensamiento racional frente a los prejuicios religiosos, él mismo estaba lejos de considerar la pregunta sobre el infinito matemático y el concepto de Dios como asuntos completamente distintos, ¡ni mucho menos! No, el alemán considera que su estudio de los números transfinitos es un acercamiento a Dios, y que sus descubrimientos sobre ellos han sido inspirados precisamente por el Creador.

En cualquier caso, las objeciones de sus contemporáneos no eran puramente religiosas: muchos matemáticos de la época no estaban de acuerdo con él, y algunos sentían emociones realmente intensas al respecto. Al igual que su amigo Dedekind admiraba profundamente las ideas de Cantor, otros, como Leopold Kronecker, las aborrecían. Kronecker calificó a Cantor de “charlatán”, “renegado” y “corruptor de la juventud” por tratar el infinito como un número con propiedades que pueden compararse con las de otros. Claro está, Kronecker era bastante clasicón en sus ideas matemáticas; parece que una vez afirmó algo así como “Dios creó los números enteros; el resto es invención del hombre”, con lo que imagínate lo que pensaba del infinito, no digamos ya de los infinitos diversos de Cantor.

Pienso, y no soy el único que lo hace, que es importante no introducir jamás ningún concepto que no pueda ser definido completamente con un número finito de palabras. Sea cual sea el remedio que se adopte, podemos asegurarnos la alegría del médico que es llamado para atender un bello caso patológico.

El “caso patológico” al que se refería Poincaré eran, claro está, los números transfinitos de Cantor, cuya teoría el matemático y físico francés tildó de “enfermedad” de la que las Matemáticas serían algún día curadas. Y, a diferencia de Kronecker, que era un matemático capaz pero, en mi humilde e ignorante opinión, un tanto cerrado de miras, Poincaré era un individuo de una inteligencia absolutamente excepcional. Pero hablando de Henri Poincaré…

Para saber más (esp/ing cuando es posible):

• Infinito / Inifinity
• Georg Cantor / Georg Cantor
• Hipótesis del continuo / Continuum hypothesis
• A glimpse of Cantor’s Paradise

Muchísimo antes de que Galileo, en su diálogo imaginario entre Simplicio, Sagredo y Salviati, hiciese obvio lo “raro” que es el infinito, este concepto había hecho ya su aparición: se trata de algo inevitable en cuanto el ser humano empieza a pensar en conceptos, ideales, abstracciones y límites, es decir, a hacer Filosofía. No es posible tampoco profundizar en las Matemáticas sin toparse de bruces con el infinito, con lo que es algo que ha surgido de muy variadas formas a lo largo de la Historia, y de maneras muy parecidas en culturas diversas. Aquí, por cierto, al enlazar desde la paradoja de Galileo, nos dedicaremos fundamentalmente a explorar el infinito desde el punto de vista de las Matemáticas.

Los filósofos griegos fueron de los primeros en enfrentarse a la idea de infinito de una forma más o menos seria. Anaximandro, por ejemplo, en el siglo VI antes de Cristo, introduce la idea del apeiron, “sin límites”. Ése es el significado literal de infinito, claro: algo sin fin, sin bordes ni límites que lo “encierren”. En el caso del apeiron, se trata de algo borrosamente definido, de donde provienen todas las cosas, y que no tiene apenas características, ni tamaño finito, ni origen, ni fin, ni nada. Por lo tanto, asignarle propiedades concretas más allá de las que definen su caracter ilimitado es imposible. Ésta es, de hecho, una de las posibles actitudes al enfrentarse al concepto: como nada de lo que ves es infinito, no puedes comprenderlo; por tanto, pensar en él más allá de su calidad de infinito es inútil. Podríamos decir que esta actitud es la actitud finitista.

Es así posible hablar de un tiempo infinito, sin principio, o sin fin, o sin ninguna de las dos cosas, de un espacio infinito –luego hablaremos más en detalle de esto–, etc. Pero aquí no quiero hablar tanto de qué significa que una cosa u otra sea infinita, o si es posible que lo sea o no, sino del propio concepto de infinito — ¿hay sólo uno? ¿es posible tener diferentes infinitos? ¿es posible ir más allá del “es algo que no puedes imaginar”?

Algunos matemáticos indios contemporáneos de los filósofos griegos, especialmente jainistas, estudiaron con bastante cuidado el concepto desde un punto de vista matemático. Varios textos, como el Surya Prajnapati Sutra (nada más y nada menos que del siglo V a. C.), llegan a conceptos matemáticos de una profundidad que, aunque no debiera resultarnos sorprendente, dado el nivel matemático de la India en esos siglos comparado con otros lugares, sí suele resultar llamativa por el eurocentrismo de nuestro sistema educativo — al menos en mi caso y en mi época, todo hay que decirlo. Soy el primero en admirar profundamente a los filósofos y matemáticos griegos –y, como verás en un momento, se me cae la baba con uno en concreto–, pero los indios contemporáneos me dejan a veces la boca abierta.

Surya Prajnapati Sutra.

En esos textos se distinguen ya varios tipos de números respecto a su contabilidad. Los números que pueden alcanzarse sumando uno a uno, como una decena, un millar o un millón, son numerables. No pienses que el concepto de numerable es, en los textos jainistas, algo restringido a cantidades muy pequeñas; por ejemplo, un purvi es una unidad de tiempo equivalente a 75 600 000 000 000 años, y un Shirsha Prahelika es el equivalente a 8 400 000²⁸ purvis… ¡un número con 194 cifras!

La segunda categoría son cantidades innumerables, que son aquellas a las que se llegaría sumando uno a uno tras ir más allá de todas las cantidades numerables. Se trata de un concepto muy parecido a uno mucho más moderno del que hablaremos luego, aunque no tenga aún demasiado rigor, pero recuerda que estamos hablando de alrededor de 400 a. C. Y los matemáticos indios no se quedan ahí: consideran que hay algo más allá de las cantidades innumerables: los puntos de una recta, por ejemplo, son más “infinitos” que los innumerables, aunque ambos sean infinitos. Por así decirlo, los innumerables son un infinito “con orden y estructura”, mientras que los puntos de una recta son un verdadero “infinito” en el sentido de caos, desorden, falta real de límites y estructura. Así se establece la distinción entre “innumerable” e “infinito en una dimensión”, aunque, como digo, sea todavía una distinción poco rigurosa. Pero, por favor, no olvides este párrafo para cuando lleguemos a la distinción entre ℵ₀ y c, incluso aunque no sepas todavía lo que significa cada uno –especialmente si no sabes lo que significan–.

A continuación, los textos matemáticos jainistas establecen otra distinción: aunque ambas sean cantidades infinitas, de acuerdo con ellos no es lo mismo el número de puntos en una recta que el número de puntos en un plano. Hay infinitamente más puntos en un plano que los que hay en una línea recta, luego surge el infinito en dos dimensiones, de mayor grado que el de una dimensión, y a continuación, por extrapolación al volumen, el infinito en tres dimensiones (aquí patinan y esto ha sido superado como veremos después, pero leches, ¿te das cuenta de cuándo estamos hablando?). Finalmente, en un ejercicio de abstracción que me deja los ojos como platos, se lleva al límite el concepto para establecer un infinito en infinitas dimensiones, que sería el infinito de mayor grado de todos.

A pesar de la sofisticación en esta serie de conceptos (numerable, innumerable, infinito en una dimensión, infinito en dos dimensiones, infinito en tres dimensiones e infinito en infinitas dimensiones), no debemos tampoco subestimar a los filósofos y matemáticos griegos; es cierto que algunos, ante el concepto de infinito, se quedaban en el “no se puede comprender”, pero otros no hacían así. En el primer grupo –en mi opinión– se encuentra un genio, Zenón de Elea, que propone una serie de paradojas que tratan de demostrar que el movimiento es una ilusión dado que cualquier movimiento está compuesto de infinitos pasos, pero realizar infinitos pasos es imposible. No voy a describir aquí las paradojas de Zenón, ya que Lucas lo hizo de una forma excelente en este artículo de El Cedazo, pero sí quiero dedicar tiempo a un razonamiento del segundo tipo: un ir más allá del “infinito inconmensurable”, un intento con éxito de “tocar el infinito” realizado por el incomparable Arquímedes de Siracusa, al que seguro que conoces por su principio físico y la historia de la corona y tal y cual… pero no te pierdas esta otra hazaña.

Dudo que pueda expresar en estas líneas el genio de Arquímedes al atacar este problema infinito, pero haré todo lo que pueda: si no te emociona no es culpa de Arquímedes, sino mía. El de Siracusa se encontraba intentando medir exactamente el área de un segmento parabólico, es decir, el trozo morado de la figura:

Naturalmente, Arquímedes intentaba hacerlo en el siglo 3 a. C., con lo que no disponía de integrales ni nada parecido. No, él intentaba, sin ningún tipo de herramienta matemática sofisticada, realizar la cuadratura de la parábola: construir un cuadrado con la misma superficie que el área de la parábola, lo cual requiere medir esa área con total exactitud utilizando polígonos. El método de la época era realizar aproximaciones cada vez mejores; por ejemplo, es posible construir un triángulo más o menos ajustado a la curva y estimar el área de la parábola como la del triángulo… claro, no es un resultado exacto, pero es un comienzo. Arquímedes lo hacía utilizando los dos extremos del segmento que corta la parábola como dos vértices del triángulo, y un tercer vértice sobre la parábola en la mitad entre los otros dos puntos en horizontal, como se ve en la figura:

Si te fijas, la aproximación que podemos medir perfectamente es la superficie del triángulo celeste, y el “error” (lo que no hemos medido aún) es el área de las dos regiones que he marcado en rojo. Observa el quid de la cuestión: cada una de las dos regiones rojas es otra vez el problema original, es decir, medir el área encerrada por cada segmento y la parábola, pero son áreas más pequeñas que la primera. A continuación podemos hacer lo mismo que antes para tener una aproximación mejor: utilizar los dos extremos del segmento en cada región roja, añadir un tercer punto como vértice de un triángulo y, así, aproximar cada región roja por un triángulo similar al primero. Desde luego, todavía habría un error, ya que en cada triángulo dejaríamos dos “regiones rojas”, con lo que ahora tendríamos cuatro, pero mucho más pequeñas que la original.

Si quisiéramos estimar el área de la curva con la exactitud que fuese, no habría más que añadir pasos y más pasos –es decir, triángulos y más triángulos– al proceso. Por ejemplo, aquí tienes un paso más en verde y otro en amarillo:

Pero quedarnos aquí es no “tocar” el infinito, y Arquímedes no se contentaba con esto. ¿Cuál es el área de verdad? La respuesta es que se trata del resultado de hacer este proceso infinitas veces. En términos matemáticos jainistas, innumerables veces. Pero ¿cómo hacer algo infinitas veces? ¡No se puede! Una mente inferior se hubiera parado ahí — es algo que no se puede comprender y punto. Pero Arquímedes no. Él se pregunta si hay alguna manera de poder conocer el resultado del proceso infinito sin necesidad de realizar los infinitos pasos.

Utilizando la geometría es posible ver de manera bastante sencilla que el área de cada triángulo verde es la octava parte que la del triángulo azul grande, lo mismo que el área de cada triángulo amarillo es la octava parte que la del triángulo verde correspondiente, y así sucesivamente. De modo que lo que Arquímedes necesitaba obtener era el resultado de la suma de las superficies de infinitos triángulos cada vez más pequeños. Si el triángulo inicial tenía una superficie S, la de cada triángulo verde es S/8 (y hay dos triángulos verdes), la de cada triángulo amarillo es S/64 (y hay cuatro triángulos amarillos), y luego S/512 (y hay ocho triángulos de esta superficie), etc. De modo que el área total es:

A = S + 2·S/8 + 4·S/64 + 8·S/512 + …

O, escrito de una forma más sencilla sacando factor común,

A = S · (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + …)

Pero claro, esto es lo fácil: estoy poniendo esos puntos suspensivos como diciendo “hala, sigue sumando infinitas veces”… pero ¿cómo calcular ese resultado? De lo que no cabe duda es de que, aunque el proceso sea infinito, el resultado no lo es: se trata del área morada de la primera figura, y esa superficie no es infinita. El problema es que sumar infinitos términos uno a uno no es posible, de modo que el siracusano buscó otro camino. Él no lo hace utilizando fórmulas de series infinitas, ¡porque todavía no las hay!, sino mediante un razonamiento geométrico tan bello como una obra de Bach. Lo que doy aquí es una adaptación con dibujos diferentes que creo que se entiende mejor, pero es equivalente a la explicación de Arquímedes.

Imaginemos un cuadrado de área S metros. Si lo partimos en cuatro cuadrados iguales, el área de cada uno de ellos es 1/4 de la original; si hacemos lo mismo otra vez con uno de los cuadrados pequeños, el área de cada cuadradito restante es 1/4 de 1/4 del original, es decir, 1/16 del original; si lo hacemos de nuevo, la superficie de cada nuevo cuadradito es 1/64 del original, etc. De modo que el área que deseamos medir es la del cuadrado grande (S) más la de todos los cuadrados morados de la figura, que son infinitos (S + S/4 + S/16 + S/64 + …):

Claro, a mí me enseñan esto y lo único que puedo decir es que no puedo sumar infinitos cuadrados, pero es que yo no soy Arquímedes. Fíjate en este otro dibujo del mismo problema, pero con los cuadrados que no nos interesaban coloreados en otros tonos:

Preguntémonos ahora, no cuánto mide la superficie de nuestros infinitos cuadrados morados, sino algo diferente: ¿quién cubre más área, los cuadrados morados, los rojos o los verdes? La respuesta es que el conjunto de cuadrados morados, el de verdes y el de rojos miden exactamente lo mismo, ninguno de ellos “gana”, ya que hay una simetría perfecta entre ellos. Por lo tanto, el área de cada color completo es un tercio del área total del cuadrado. La conclusión de Arquímedes, por tanto, es que S/4 + S/16 + S/64 + … = S/3. Y, como consecuencia, el área parabólica que deseábamos no es más que S + S/3, es decir, 4S/3. No hay más que medir el área del primer triángulo grande, multiplicarla por 4/3 y listo. Pero lo tremendo no es que Arquímedes lograse cuadrar la parábola, algo maravilloso en sí mismo: es que, al medir la “superficie de los cuadrados morados”, “tocó” el infinito.

El propio Arquímedes se enfrentó a un problema similar, pero de mucha más difícil solución, al intentar realizar la cuadratura del círculo: la idea era hacer algo parecido a lo de arriba para calcular el área de un círculo mediante polígonos. El de Siracusa creaba un par de polígonos del mismo número de lados, uno inscrito en el círculo y otro circunscrito a él: puesto que el círculo estaba entre ambos, el área del círculo era mayor que la del polígono interior y menor que la del exterior:

Leszek Krupinski/CC Attribution-Sharealike 3.0 License.

Aumentando el número de lados se disminuía el área entre ambos polígonos y, por tanto, se obtenía el valor del área del círculo con más y más exactitud. Para que te hagas una idea, no del genio, sino de la tenacidad de Arquímedes, calculó las áreas de sucesivos polígonos con más y más lados hasta llegar a los de 96 lados, y estimar así no sólo el área del círculo sino, con ella, el valor del número π como situado entre 3 + 10/71 y 3 + 10/70, es decir, 3.140 845 070 42 y 3.142 857 142 86. ¡Toma castaña!

Eso sí, en este caso el siracusano no pudo llegar al valor “real”, ya que aquí no hay manera de “hacer trampa” como en el caso de los cuadrados de antes. Entre otras cosas, π es un número irracional, con lo que es imposible escribirlo como una fracción –a esto volveremos más adelante–; la consecuencia es que aquí la secuencia infinita de áreas de polígonos, aunque tiende a un valor finito, no puede calcularse con un número finito de cálculos como antes.

El propio Arquímedes fue el primero, o uno de los primeros, en dar una definición con rigor matemático de los conceptos de infinito e infinitesimal. Expresado en términos modernos, según Arquímedes, un número x es infinito si x > 1, x > 1+1, x > 1+1+1, x > 1+1+1+… para cualquier número de pasos que queramos seguir. Es decir, x es infinito si, para cualquier número al que quieras llegar contando, x es mayor que ese número. Sé que puede parecer que esto no es más sofisticado que el “infinito es lo que no se puede medir”, pero lo es — desgraciadamente, no tengo el talento ni los conocimientos necesarios para expresarlo con claridad.

Respecto a un número infinitamente pequeño –un infinitesimal–, Arquímedes demuestra aún más elegancia. Desde luego, podríamos decir que el cero es el número infinitesimal por definición, pero la idea no es ésa: el de Siracusa quiere definir un número más pequeño que cualquier otro, pero que no sea necesariamente cero. Su definición es la siguiente: un número x es infinitesimal si x ≠ 0 y además 1/x > 1, 1/x > 1+1, 1/x > 1+1+1, 1/x > 1+1+1+… para cualquier número de pasos que queramos seguir. Es decir, x es infinitesimal si, sin ser cero, su inverso es mayor que cualquier número al que podamos llegar contando.

Durante muchos siglos, el concepto matemático de infinito siguió asociado a la geometría. La razón es, en gran parte, el hecho de que la mayor parte de los métodos para medir el área bajo curvas en problemas similares a los de Arquímedes y la cuadratura de la parábola o del círculo involucra operaciones realizadas infinitas veces. La primera aparición del símbolo de infinito, que hoy utilizamos con tanta naturalidad, se produjo precisamente en un texto de geometría de uno de los precursores del cálculo diferencial. Se trata del De sectionibus conicis (De las secciones cónicas), del inglés John Wallis, publicado en 1655. En él, Wallis afirma:

Supongo que cualquier plano [...] está formado por un número infinito de rectas paralelas o, como yo prefiero, un número infinito de paralelogramos de la misma altura; sea la altura de cada uno de estos paralelogramos una fracción infinitamente pequeña, 1/∞ de la altura total (y sea el símbolo ∞ la representación de infinito) y la altura total es la altura de la figura.

No está claro por qué la elección de ∞ como símbolo de infinito. Hay quien piensa que es una modificación de la última letra del alfabeto griego, omega; si se toma omega minúscula, ω, y se “cierra el lazo” por arriba, se obtiene ∞. También hay quien piensa que puede ser una adaptación del símbolo etrusco para el número mil, CIƆ, que a menudo en vez de denotar el millar exactamente se empleaba para decir “una multitud” –de modo similar a como “una miríada de estrellas” puede no significar mil estrellas, sino simplemente muchas–. El caso es que el símbolo tuvo aceptación, en parte por la facilidad de escribirlo como un ocho “tumbado”, y hoy en día seguimos utilizándolo. El símbolo recibe a menudo el nombre de lemniscata, del latín lazo, dado que es casi idéntico a un cierto tipo de curvas matemáticas llamadas precisamente lemniscatas y que se definen por la ecuación (x² + y²)² = a² (x² – y²):

Lemniscata de Bernoulli (Fibonacci/CC 2.0 Attribution-Sharealike License)

Esta idea de dividir una superficie en “infinitos paralelogramos infinitamente delgados” es, básicamente, cálculo integral en ciernes. Obtener el área de una curva como, dicho mal y pronto, la suma de infinitos rectángulos infinitamente pequeños, es algo así como decir que una circunferencia es un polígono de infinitos lados infinitamente cortos. Esto puede sonar a hacer trampa y decir un sinsentido, pero es la base del cálculo diferencial e integral, desarrollado poco tiempo después de Willis por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz –que tuvieron una buena polémica acerca del mérito de cada uno y la independencia de los descubrimientos–.

Medir el área de una curva de este modo es sorprendentemente similar a cómo lo hacía Arquímedes con sus curvas, teniendo en cuenta los siglos que separan a unos de otros. Imagina que tienes una curva cualquiera, y quieres medir la superficie encerrada por ella (en este caso voy a cerrarla con una recta, pero la cosa cambia muy poco si hay otra curva ahí). Es posible hacerlo utilizando rectángulos, todos igual de anchos, cada uno de altura igual a la de la curva en el punto medio del rectángulo.

Claro, si coges pocos rectángulos, el área de los rectángulos no se parece mucho a la de la curva, pero si aumentas el número de rectángulos, el error disminuye hasta que, como diría John Wallis, si tomas infinitos rectángulos infinitamente estrechos, el área total de los rectángulos es igual al área de la curva. Pero creo que, mejor que con palabras, lo ves con una animación (si alguien talentoso con estas cosas puede hacer algo mejor, que me dé un toque):

Sin embargo, aunque la utilidad práctica del cálculo diferencial iniciado por Newton y Leibniz es enorme, el gran salto en el entendimiento del concepto de infinito llegó con un genio comparable al de Arquímedes: el alemán Georg Cantor. Nacido en San Petersburgo en 1845, este matemático fue más allá de lo que había ido el de Siracusa, más allá que los matemáticos indios, más que Newton, Leibniz o cualquier otro. Tal fue la sofisticación de Cantor en el estudio del infinito, la distinción de distintos infinitos y la concreción de sus propiedades que recibió críticas, no sólo de otros matemáticos, sino de teólogos cristianos que consideraban que su teoría atacaba el carácter absoluto del infinito encarnado en Dios. Pero, ¡ay!, tu frágil mente no soportaría más charla sobre el infinito en tan poco tiempo, de modo que dejaremos esa segunda parte –para la que debes preparar las neuronas con cuidado– para la semana que viene. ¡Hasta entonces! Puedes seguir leyendo aquí: http://eltamiz.com/2011/06/29/infinito-ii/

Viendo que las cosas están a su favor al tener nada menos que al Papa de su lado, Galileo intenta de nuevo publicar un libro en el que mostrar las pruebas que considera lógicamente inatacables del heliocentrismo copernicano. Hay un tira y afloja durante algunos años, ya que Galileo es lo suficientemente sensato para no publicar sin más, sino que intenta obtener permiso del Santo Oficio. Como había dejado claro Bellarmino –que a estas alturas ya había muerto–, exponer las ideas heliocéntricas no era el problema, siempre que se hablase de ellas como una hipótesis tan válida como el geocentrismo; el problema era afirmar su realidad física. De modo que Galileo se pone a intentar escribir un libro que sea aceptable para la Iglesia pero que, al mismo tiempo, deje claro que el heliocentrismo es la realidad y que el geocentrismo es una tontería.

Recordemos que estamos en el siglo XVI, y la comunicación no es precisamente fluida, ni siquiera dentro de la Iglesia. Galileo envía el manuscrito a los censores, que no conocen el anterior veredicto ni el requerimiento explícito que se le hace de no sostener las ideas heliocentristas, y no tengo ni idea de por qué, los censores parecen tragarse el libro y considerar que no defiende la realidad de las ideas copernicanas, tal vez porque, como veremos en un momento, no lo hace de forma explícita, pero no hay que ser muy listo para darse cuenta de que es una trampichuela para saltarse la censura.

Eso sí, el permiso es precisamente para exponer ambas hipótesis y sus virtudes respectivas, de un modo imparcial. La idea de Galileo es publicar un diálogo, al estilo de los antiguos griegos, en el que un filósofo geocentrista y otro heliocentrista expliquen los méritos de cada hipótesis. El propio Urbano, como amigo de Galileo, le explica sus propios argumentos, naturalmente favorables al geocentrismo aristotélico, y le pide que los incluya en su libro. Tener las ideas del propio Papa en el libro sería una garantía estupenda de que es aceptado, claro. Hasta aquí, todo estupendo… pero la ineptitud social de Galileo en este punto de la historia me deja apabullado –y no lo dice alguien socialmente hábil, ni mucho menos–.

Portada del Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (1632).

Galileo pone manos a la obra y el libro, que supone un antes y un después en la historia de la Ciencia, es publicado en 1632 con el título de Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo). A diferencia de la mayor parte de los libros científicos de la época, está escrito en italiano y no en latín, con lo que es posible que lo lea y entienda el común de los mortales, y no sólo los astrónomos. En la Europa del siglo XVII hay ya un público relativamente grande deseoso de aprender y leer sobre este tipo de cosas, y el libro se convierte en un auténtico fenómeno (lo que hoy llamaríamos, seguro, un best-seller, porque la primera edición se agota en un plis-plas). El lenguaje es, como siempre en Galileo, fino y acerado, con un humor afilado y extraordinario, los argumentos vivos y entretenidos, las explicaciones claras: el libro es un éxito inmenso.

Sin embargo, hay un enorme problema, y aunque sé que tal vez voy contra corriente en esto, el problema fundamental es que, una vez más, Galileo se comporta como un imbécil arrogante, por más genio que sea. ¡Ojo! No trato de justificar la actitud de la Iglesia en absoluto pues es injustificable, simplemente de ser objetivo (¡soy moderado, pero leal!), y creo que, cuando termine de explicarlo, estarás de acuerdo conmigo. Tal y como había sido acordado, el Dialogo es una conversación a lo largo de cuatro días entre dos filósofos ficticios, además de un lego que actúa de “juez neutral” sobre la racionalidad de sus argumentos.

El filósofo heliocentrista se llama Salviati, en honor a un amigo de Galileo, Filippo Salviati, y sus argumentos son básicamente los de Galileo; podríamos decir que Salviati es simplemente Galileo con otro nombre. Naturalmente, el italiano convierte a Salviati en un personaje de inteligencia afiladísima y sus argumentos reciben “oohs” y “aahs” por parte del lego neutral. Este lego recibe el nombre de Sagredo, una vez más en honor a un amigo de Galileo, Giovanni Francesco Salgredo, y aunque al principio sea neutral luego es convencido, por supuesto, por los clarividentes argumentos de Salviati.

¿Y el geocentrista? ¿recibe él también el nombre de un amigo de Galileo? Pues no; recibe el nombre de Simplicio, supuestamente por un filósofo aristotélico del siglo VI, Simplicio de Cilicia, dado que defiende las ideas de Aristóteles. Pero recuerda la capacidad de Galileo para el sarcasmo: el nombre de Simplicio sugiere, en italiano como en español, a un simple, a un bobo muy inferior a Salviati. Y así se nos muestra el pobre Simplicio en la obra, esgrimiendo argumentos inanes y muy inferiores en calidad filosófica a los del genial Salviati.

Aquí es donde, en mi opinión, Galileo es deshonesto y algo ruin. Es evidente que la obra pretende ser un diálogo neutral para así salvar el obstáculo de la Inquisición pero que, realmente, es una defensa de la realidad de las afirmaciones de Copérnico, y en ese aspecto me parece perfectamente aceptable: de otro modo, sin engañar un poco a la Iglesia, no hubiera sido posible publicarlo. No es ahí donde estriba mi pega. Lo vergonzoso es que Galileo hace trampa: Simplicio no esgrime los argumentos inteligentes de los geocentristas de la época, sino que utiliza razonamientos con agujeros enormes (que ningún filósofo geocentrista real hubiera empleado), y que están en el libro simplemente para que Galileo –perdón, Salviati– los destruya y quede como un campeón. Vamos, un ejemplo clarísimo de crear un “hombre de paja” para intentar mostrar que uno mismo tiene razón.

Por esta época, el modelo de Universo sostenido por la Iglesia no es ya el geocentrismo simple de Aristóteles, ni siquiera el de Ptolomeo, sino un modelo “híbrido” propuesto por el danés Tycho Brahe a finales del XVI para combinar algunas de las ventajas evidentes, en cuanto a simplicidad matemática, del modelo de Copérnico con el geocentrismo de los dos anteriores. En el modelo tychónico, la Tierra es el centro del Universo; el Sol y la Luna giran directamente alrededor de nuestro planeta, y el resto de los planetas giran alrededor del Sol; como la estrella gira a nuestro alrededor, al final acaban también moviéndose alrededor de la Tierra, pero de manera indirecta y no realizando circunferencias. El sistema tychónico y el copernicano predicen exactamente las mismas posiciones en el firmamento de los astros, por cierto, pero la Iglesia favorece naturalmente a Tycho porque en su modelo la Tierra permanece inmóvil.

Modelo tychónico del Sistema Solar.

Tycho era geocentrista, pero de una inteligencia extraordinaria, justo lo contrario que Simplicio en el libro. De hecho, el danés se plantea argumentos a favor y en contra de ambos modelos –geocentrista y heliocentrista–, y llega a la conclusión (antes de las observaciones de Galileo) de que el geocentrismo es el que mejor explica lo que vemos. El argumento principal de Tycho es el siguiente: si la Tierra se mueve respecto a las estrellas, entonces podremos comprobar que las posiciones aparentes de las estrellas cambian debido a la paralaje. Si, por el contrario, la Tierra está quieta, no habrá cambio en la posición de las estrellas. Al mirar al firmamento, se comprobó que no existía paralaje alguno, luego Tycho concluyó que la Tierra no se movía.

Cuando Friedrich Bessel midió por primera vez la paralaje de una estrella echó por tierra el argumento de Tycho Brahe… en 1838. La razón de que no se hubiera medido antes no era que la Tierra estuviera quieta, sino que las estrellas están tan endiabladamente lejos que es minúscula, pero casi nadie había considerado la posibilidad de un Universo tan gigantesco, desde luego ni Tycho ni Galileo. En época de Galileo y muchos años después, el razonamiento de Tycho era un mazazo para el heliocentrismo, un argumento demoledor en cualquier discusión entre ambos modelos. De hecho, este argumento es de tal importancia que Galileo no tiene razón al considerar imposible una concepción distinta de la copernicana, dadas las observaciones de la época. Auténtica dinamita, el argumento de Tycho.

¿Sabes cómo emplea Simplicio el argumento de la paralaje estelar de Tycho? No lo hace. No, el obstáculo empírico más grande del heliocentrismo no es mencionado en el Diálogo en el que, supuestamente, se cruzan los razonamientos para defender y atacar cada hipótesis. No, Simplicio defiende la forma más casposa, antigua y estúpida de geocentrismo que pueda existir, una forma de geocentrismo que pocos defendían en la época, y lo hace expresando sus argumentos de una manera torpérrima, haciendo honor a su nombre ficticio. No se trata de una discusión honesta entre los mejores argumentos de uno y otro bando, sino de una pantomima, por más que Galileo tuviera razón en sus conclusiones.

De entre los argumentos esgrimidos por Salviati para defender el heliocentrismo –entre los que están, por supuesto, las observaciones astronómicas realizadas por Galileo en años anteriores– hay dos que me parecen de gran interés por razones diferentes.

Por un lado, Galileo esgrime como argumento a favor del movimiento de la Tierra el hecho de que existan las mareas. ¿Cómo explicarlas, sin movimiento terrestre? De acuerdo con Galileo, la fuerza centrífuga debida al movimiento circular de la Tierra sobre sí misma y alrededor del Sol era lo que hacía que el mar subiese y bajase. Sin embargo, de ser ésa la razón, debería haber una marea alta y una baja cada día, mientras que hay dos… algo que el pisano atribuía a “factores secundarios”, como la forma del mar y su profundidad diferente en cada punto. Curiosamente, Johannes Kepler sostenía que las mareas se debían a la influencia lunar y, al final, la realidad resultó ser una mezcla de ambas. El caso es que aquí Galileo patina un poco.

Por otro lado, y aquí el italiano sí demuestra una vez más su genio, un argumento relativamente común contra el heliocentrismo –especialmente entre los menos educados, todo hay que decirlo– era el siguiente: si la Tierra se mueve alrededor del Sol y sobre sí misma, ¿por qué no lo notamos? Los cálculos más burdos demuestran que cualquiera de estos dos movimientos tiene una velocidad considerable, pero no notamos nada. La respuesta de Salviati en el libro muestra algo esencial en nuestra concepción moderna de la Mecánica de lo que hablaremos luego: imaginemos, dice Salviati, a un marinero en un barco. Se encuentra bajo cubierta, y no puede ver el exterior, con lo que no puede ver directamente si el barco se mueve o está parado. Con él tiene distintas cosas, como un grifo que gotea, una pecera con peces, una mariposa, etc. ¿Cómo puede saber, observando el goteo del agua, el vuelo de la mariposa, etc., si el barco está quieto o se mueve con velocidad constante?

La respuesta es, naturalmente, que no puede, ya que todo se mueve con él, incluyendo el suelo y el aire que contiene la bodega, con lo que es imposible para él, sin una referencia externa, determinar si el barco se está moviendo o está parado. Al explicar este concepto, el divino italiano establece lo que hoy conocemos como principio de relatividad de Galileo, o invariancia galileana, a saber, que todos los sistemas inerciales –en la concepción galileana del movimiento, sistemas que se mueven a velocidad constante– son equivalentes e indistinguibles entre sí mediante ningún experimento físico. No tiene sentido, por tanto, decir que algo se mueve o está parado, sino que se mueve respecto a algo o que está parado en referencia a algo.

La importancia de la invariancia galileana estriba en su posición como uno de los pilares de la física newtoniana. Sería llevado a una forma aún más extrema y extraordinaria, por supuesto, por otro genio, Albert Einstein, quien primero incluiría la luz y su constancia en los experimentos físicos que puede realizar el tripulante del barco de Galileo en su Teoría Especial de la Relatividad, y después lo extendería más aún, incluyendo la gravitación en el asunto y estableciendo un nuevo concepto de sistema inercial, uno en el que es posible tener sistemas inerciales que no se mueven a velocidad constante. Pero que otros logros posteriores, por ingentes que sean, no nos hagan olvidar la maravilla con la que, pegas aparte, Galileo nos regala en el Dialogo.

De hecho, la verdadera metedura de pata de Galileo en el libro no es conceptual, sino social. ¿Recuerdas que Urbano le había comentado sus propios argumentos, pidiéndole que los incluyera en el libro en la parte geocentrista? Pues Galileo va y lo hace… pero claro, en boca de Simplicio, el “tonto de la película” y listos para ser descuartizados por la afilada lengua de Salviati. Parece ser –y tiene sentido– que Galileo no hizo esto con mala intención, ya que tenía aprecio por Urbano, pero poner al simple Simplicio soltando por su boca los argumentos de Urbano para luego refutarlos… en fin, que se puede ser espabilado para unas cosas y torpe para otras, está claro.

El caso es que el círculo de personas que rodea a Urbano –al principio, mucho más que él mismo, que no se lo toma a la tremenda– está indignado. Los más intrigantes y cizañeros le sugieren al Papa que Galileo ha creado a Simplicio como una caricatura del propio Urbano, y al final, el Papa acaba ordenando una comisión especial que investigue el libro y ordena que se prohiba su venta. Es imposible saber si todo hubiera sucedido igual de no haber metido así la pata Galileo, pero desde luego, desde este momento pierde el apoyo fundamental del que había gozado hasta entonces, y la benevolencia anterior por parte de la Iglesia se termina.

La comisión llama a Galileo a declarar, luego delibera y finalmente dicta sentencia. Creo que lo mejor que puedo hacer es dejarte directamente la parte relevante de la sentencia, aunque sea larga, porque se trata de un suceso de tal importancia que me parece que merece realmente la pena (salvo que lo hayas leído antes, claro), pues se leen unas cosas y otras, interpretaciones varias, y lo mejor es leer el documento original, aunque sea traducido malamente.

Al principio, los cardenales relatan lo que había sucedido en 1616, cuando se produjo el aviso inicial, de modo que esa parte me la salto, y luego ya entran en faena con el asunto del Dialogo. No me digas que algunas cosas –dentro de la tragedia de todo el asunto– no tienen gracia, como lo de “debemos suponer que, en tanto tiempo, os habéis olvidado de algunas expresiones del aviso”. Menuda mala baba que tenían los inquisidores:

[...]

Considerando que ha aparecido últimamente un libro, impreso en Florencia el año pasado, cuya portada mostraba que vos érais el autor, de título Diálogo por Galileo Galilei sobre los dos principales sistemas del mundo, ptolemaico y copernicano; y considerando que la Santa Congregación fue informada de que con la impresión de este libro se diseminaba la falsa opinión del movimiento de la Tierra y la inmovilidad del Sol, y que esa opinión se iba extendiendo más y más, dicho libro fue examinado diligentemente y se determinó que violaba explícitamente el aviso que se os había dado anteriormente; pues en el mismo libro defiendéis la misma opinión antes condenada y declarada en vuestra presencia, aunque en el propio libro intentáis, a través de diversos subterfugios, dar la impresión de dejarlo sin decidir y considerarlo simplemente como algo probable; se trata, sin embargo, de un grave error, ya que no es posible que una opinión declarada como contraria a las Sagradas Escrituras pueda considerarse como probable.

Por lo tanto, a nuestra orden fuisteis llamado a este Santo Oficio donde, interrogado bajo juramento, admitisteis haber escrito y publicado el libro. Confesasteis que diez o doce años atrás, después de haber recibido el requerimiento mencionado anteriormente, empezasteis a escribir dicho libro, y que después pedisteis permiso para imprimirlo sin explicar a quienes os otorgaron el permiso que estabais bajo el requerimiento de no sostener, defender ni enseñar dicha doctrina de ninguna manera.

De igual modo, confesasteis que en diversos lugares las explicaciones de dicho libro se expresan de tal manera que un lector podría llegar a la conclusión de que los argumentos a favor del bando falso son suficientemente eficaces para ser capaces de convencer, en vez de ser fáciles de refutar. Vuestras excusas de haber cometido un error, como dijisteis, lejos de vuestra intención, eran que habíais escrito el libro en forma de diálogo, y todo el mundo siente una predilección natural por las propias argucias y tiende a mostrarse más agudo que el hombre medio, encontrando argumentos ingeniosos y aparentemente probables incluso a favor de proposiciones falsas.

Informándoos de los términos adecuados para presentar vuestra defensa, nos entregasteis un certificado manuscrito por el eminente Cardenal Bellarmino, que afirmasteis haber obtenido para defenderos de las calumnias de vuestros enemigos, que aseguraban que habíais abjurado de vuestras ideas y habíais sido castigado por el Santo Oficio. Este certificado indica que no habíais abjurado ni habíais sido castigado, sino simplemente que habíais sido notificado de la declaración realizada por Su Santidad y publicada por la Santa Congregación del Índice, cuyo contenido es que la doctrina del movimiento de la Tierra y la inmovilidad del Sol es contraria a las Sagradas Escrituras y por lo tanto no puede ser sostenida ni defendida. Puesto que este certificado no contiene dos expresiones del requerimiento, a saber, “enseñar” y “de ninguna manera”, se supone que durante el curso de catorce o dieciséis años las habéis olvidado, y que por esta misma razón permanecisteis en silencio sobre ese requerimiento cuando solicitasteis la licencia para publicar el libro. Además, se supone que debemos creer que nos hacéis notar todo esto no para excusar el error, sino para atribuirlo a una ambición presuntuosa en vez de a la malicia. Sin embargo, el certificado que nos entregasteis en vuestra defensa hace aún más grave vuestro caso, ya que, aunque indica que dichas opiniones son contrarias a las Sagradas Escrituras, os habéis atrevido a defenderlas y mostrarlas como probables; y no os ayuda la licencia que insidiosa y astutamente conseguisteis obtener, ya que no mencionasteis entonces el requerimiento que os vinculaba.

Porque no pensamos entonces que hubierais dicho toda la verdad sobre vuestras intenciones, consideramos necesario proceder contra vos con un examen riguroso. Aquí sí contestasteis de una manera católica [¿imagino que quiere decir "honesta"?], aunque sin perjuicio de los asuntos antes mencionados confesados por vos mismo y que pueden ser utilizados contra ti sobre tus intenciones.

Por lo tanto, habiendo visto y considerado seriamente los méritos de vuestro caso, junto con las confesiones y excusas antes mencionadas y con otros asuntos razonables merecedores de observación y consideración, hemos llegado a la sentencia final contra vos, que procedemos a exponer.

Por lo tanto, invocando el más Santo nombre de Nuestro Señor Jesucristo y su más gloriosa Madre, la eterna Virgen María; y conformándonos como tribunal, con el consejo y ayuda de los Maestros Reverendos de Teología Sagrada y los Doctores en ambas leyes, nuestros consejeros; en esta opinión escrita pronunciamos el juicio final del caso expuesto ante nosotros entre el Magnífico Carlo Sinceri, Doctor en ambas leyes y Fiscal de la Acusación de este Santo Oficio, por un lado, y vos, el antes mencionado Galileo Galilei, el acusado aquí presente, examinado, juzgado y confesado, por otra:

Decimos, pronunciamos, sentenciamos y declaramos que vos, el antes mencionado Galileo, por los hechos deducidos en el juicio y confesados por vos como se ha dicho antes, os habéis convertido de acuerdo con este Santo Oficio en sospechoso vehemente de herejía, concretamente de haber sostenido y creído una doctrina que es falsa y contraria a las divinas y Santas Escrituras: que el Sol es el centro del mundo y no se mueve de este a oeste, y que la Tierra se mueve y no es el centro del mundo, y que uno puede sostener y defender como probable una opinión después de haber diso declarada y definida contraria a las Sagradas Escrituras. Por lo tanto, habéis incurrido en todas las censuras y castigos impuestos y promulgados por los sagrados cánones y todas las leyes particulares y generales contra tales delincuentes. Estamos dispuestos a absolveros de ellas siempre que, primero, con un corazón sincero y una fe transparente, delante de nosotros, abjuréis, maldigáis y detestéis los errores y herejías antes mencionados, y cualquier otro error y herejía contrario a la Iglesia Católica y Apostólica, de la manera y forma que os ordenemos.

Además, de modo que este error serio y pernicioso y esta transgresión no quede sin castigo alguno, y de modo que seáis más cauteloso en el futuro y os convirtáis en un ejemplo para que otros se abstengan de crímenes similares, ordenamos que el libro Diálogo de Galileo Galilei sea prohibido por edicto público.

Os condenamos a ser encarcelado formalmente en este Santo Oficio a nuestra voluntad. Como penitencia saludable, os imponemos el recitar los siete Salmos penitenciales una vez a la semana durante los próximos tres años. Y nos reservamos la potestad de moderar, cambiar o perdonar completamente o en parte los castigos y penitencias anteriores.

Imagino que eres consciente de quién está diciendo esto, y de las amenazas nada veladas como lo de “castigos impuestos y promulgados” y cosas así. El pobre Galileo no tiene más opción que “abjurar, maldecir y detestar” sus anteriores opiniones, y así lo hace. Sé que suena cursi, pero no quiero poner aquí sus palabras, porque son una farsa y se me enciende la sangre al leer cómo se humilla y dice cosas que sabe perfectamente que no son ciertas, pero que no puede evitar decir por la amenaza del castigo.

Por cierto, lo de “Eppur si muove (Y sin embargo, se mueve)” parece ser una invención muy posterior, y me sorprendería mucho que Galileo hubiera sido tan bobo de decir algo así después del veredicto. No, el pobre hombre –porque no puedo empezar a imaginar cómo se sentiría– se calla y no vuelve a mencionar el asunto. Pero, antes de seguir con la vida del divino italiano, ¿consigue la Iglesia su objetivo último con el veredicto? Pues no, la verdad es que afortunadamente no.

El problema es que, por más que Galileo trampee en el Dialogo, el geocentrismo es simplemente falso, y cada vez más científicos y gente educada en ciencia se da cuenta. Como ya vimos antes, ya había en 1616 astrónomos religiosos que sostenían posiciones heliocentristas, y la cosa se expande como la espuma por toda Europa y no se puede parar. Durante cierto tiempo, el heliocentrismo es una de esas cosas que todo el mundo sabe pero que no se enseñan en público, por lo que pudiera pasar, y desde luego es ilegal imprimir el Dialogo y cualquier otra obra heliocentrista en los países donde la Iglesia tiene algo que decir.

De hecho, no es hasta 1758 que se elimina la prohibición “general y automática” sobre los libros que mencionasen el heliocentrismo como verdadero, e incluso entonces las obras ya prohibidas con anterioridad permanecen en el Index Librorum Prohibitorum. Tampoco se deja claro que el heliocentrismo sea aceptable –sospecho que, en parte, porque hacerlo significaba reconocer el desastre de 1633–, con lo que la cosa… digamos que se diluye. Por entonces, como te puedes imaginar, nadie con una educación universitaria en ciencias y dos dedos de frente piensa ya que la Tierra sea el centro de nada, las obras de Newton ya han sido publicadas hace mucho y la Ciencia está ya especulando sobre otras galaxias y el origen del Sistema Solar y ha dejado ya muy atrás el debate del geocentrismo.

¿Y el Santo Oficio? No, el Santo Oficio todavía no. En 1820 otro sacerdote astrónomo como el pobre carmelita Paolo Foscarini, Giuseppe Settele, pide permiso para publicar un libro en el que habla explícitamente del heliocentrismo, no como hipótesis, sino como un hecho. Estamos, naturalmente, en 1820, ¡en 1820!… y se le niega ese permiso por parte de los censores. Settele apela la decisión, se reúnen la Congregación del Índice y el Santo Oficio y ahora sí, por fin, se otorga el permiso a Settele. Cuando sale la siguiente edición del Index Librorum Prohibitorum en 1835, el Dialogo de Galileo (y el De revolutionibus, de Copérnico) ya no están en él. Sólo habían hecho falta doscientos años.

Puede parecer que me regodeo en este asunto, pero me parece esencial y absolutamente relevante hoy en día. Lo terrible del asunto no es la ignorancia de los cardenales que juzgan a Galileo, lo importante no es que estuvieran equivocados y tuviera razón él. Lo vergonzoso es que hubo un tiempo en el que unos seres humanos, por la fuerza, obligaban a otros a decir mentiras so pena de sufrir tortura o muerte, y prohibían los libros que no les parecían adecuados. Afortunadamente ya no vivimos en una época así… ¡ah, no, espera! Esto sigue sucediendo hoy en día en determinados lugares del mundo. No olvidemos las lecciones del pasado, por doloroso que nos resulte hacerlo –y sé que a algunos católicos este asunto los incomoda, algo que comprendo perfectamente–. No se trata únicamente de religión, y no creo que debamos quedarnos con esa idea — el acallamiento por la fuerza de opiniones disidentes, en general, es una vergüenza que nos humilla como especie.

Pero me voy por las ramas; afortunadamente, el genio de Galileo se mantiene vivo, y en esta última época de su vida, durante la cual permanece bajo arresto domiciliario, continúa experimentando y escribiendo auténticas maravillas que, para cambiar de aires, estoy seguro de que te harán sonreír. Su libro de 1638, Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze (Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias) representa, en cierto sentido, el nacimiento de la Física moderna y, sin él, tal vez no hubiéramos tenido a Newton — o el inglés no hubiera sido quien fue.

Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze (1638).

El pobre pisano tiene problemas para publicar, porque la Inquisición no sólo ha prohibido el Dialogo, sino que no se le permite sacar a imprenta ningún otro libro. Tras diversos intentos de publicación, finalmente consigue publicar los Discorsi en Leiden, en los Países Bajos, lejos del alcance del Santo Oficio. El libro es, esta vez sí, una auténtica obra de arte. Permanecen los personajes de Salviati, Simplicio y Salgredo, pero ahora no hay caricaturas, sino que todos son igualmente inteligentes, aunque no igualmente sabios.

Salviati sigue siendo, realmente, el propio Galileo, y son sus ideas las que explica, pero ahora el diálogo no pretende contraponer dos hipótesis opuestas sino servir de ayuda para que el lector razone junto con los personajes y comprenda los conceptos expuestos. Simplicio es en cierto sentido, aunque parezca curioso, también el propio Galileo, pero un Galileo más joven, con sus ideas anteriores. Y es que los Discorsi son una vuelta a problemas ya estudiados en la juventud del italiano, en el siglo XVI, pero afrontados ahora con aún más rigor, con años y años de experimentación y maduración, y en él se corrigen errores anteriores y se exponen nuevas hipótesis y experimentos.

Las dos “nuevas ciencias” a las que se refiere el título son la resistencia de materiales por un lado y la cinemática por otro. A lo largo del libro, los tres personajes van exponiendo sus ideas, razonando juntos, proponiendo experimentos y explicaciones geométricas, pero sin mordacidad como en obras anteriores. Se trata, si tienes el tiempo y la paciencia, de un placer de lectura, siempre que te saltes algunas de las explicaciones geométricas más largas porque, la verdad, son un tostón.

Como suele pasar con Galileo, lo revolucionario de los Discorsi no son tanto los descubrimientos que en él se exponen, sino la manera de hacer las cosas. Por ejemplo, al estudiar la resistencia de materiales, Galileo se pregunta sobre la resistencia relativa de trozos de madera de diferentes tamaños y la misma proporción, y aplica ese conocimiento a los esqueletos de los seres vivos. Nunca antes –que tengamos noticia– se había aplicado la Física de forma cuantitativa a la biología, a partir del estudio de piezas de madera de tamaños distintos. De acuerdo con Galileo, al aumentar el tamaño de la pieza aumenta su resistencia debido al aumento de sección, pero también aumenta el volumen y con él, el peso; puesto que el peso aumenta con el cubo de la dimensión pero la sección aumenta con el cuadrado, existe un límite para cualquier material sobre el cual no es posible que crezca más la pieza, pues no podría soportar su propio peso — ¿recuerdas los nanotubos de carbono?

El italiano muestra incluso cómo habría que cambiar las proporciones de los huesos para… pero no, mejor dejo que te lo explique él mismo, y no puedo evitar seguir con el diálogo con Simplicio porque es una auténtica gozada, y entran ya a discutir sobre mecánica de fluidos con una naturalidad deliciosa. Te da una idea del tono de esta obra de arte de la divulgación, muy alejada de los rollos macabeos de otros científicos de la época y posteriores:

[Salviati] Para ilustrarlo brevemente, he esbozado un hueso cuya longitud natural ha sido aumentada tres veces y cuyo grosor ha sido multiplicado hasta que, para un animal del tamaño correspondiente, pudiera realizar las mismas funciones que desempeña el hueso pequeño para el animal de menor tamaño. Puedes ver de las figuras cómo el hueso grande ha sido deformado y pierde toda proporción. Es claro entonces que, si uno pretende mantener las mismas proporciones en los miembros de un gigante que en los de un hombre ordinario, debe encontrar un material más duro y resistente para fabricar los huesos, o debe aceptar una disminución relativa de la fuerza respecto a la de los hombres de estatura media; pues si su altura es aumentada indefinidamente, caerá y será aplastado por su propio peso. Por otro lado, si se disminuye el tamaño de un cuerpo, la fuerza de ese cuerpo no disminuye en la misma proporción; de hecho, cuanto menor es el cuerpo, mayor es su fuerza relativa. Así, un perro pequeño probablemente podría llevar sobre su espalda dos o tres perros de su mismo tamaño; pero no creo que un caballo pudiera acarrear siquiera uno solo de su propio tamaño.

[Simplicio] Tal vez esto sea así; pero tiendo a dudarlo, por la razón del enorme tamaño alcanzado por ciertos peces, como la ballena, que, según tengo entendido, es diez veces más grande que un elefante; y sin embargo todos ellos soportan su propio peso.

[Salviati] Tu pregunta, Simplicio, sugiere otro principio, uno que hasta ahora se había escapado a mi atención y que permite que los gigantes y otros animales de enorme tamaño puedan soportar su propio peso y moverse más o menos tan bien como los más pequeños. Este resultado puede obtenerse o bien aumentando la resistencia de los huesos y otras partes que soportan no sólo su peso sino la carga adicional; o, manteniendo las proporciones de la estructura ósea constantes, el esqueleto se sostendrá del mismo modo o incluso más fácilmente si uno disminuye, en la porporción adecuada, el peso del material óseo, de la carne y del resto de las cosas que sostiene el esqueleto. Este segundo principio es el empleado por la naturaleza en la estructura de los peces, haciendo sus huesos y músculos no sólo ligeros, sino completamente desprovistos de peso.

[Simplicio] La tónica de tu argumento, Salviati, es evidente. Puesto que los peces viven en el agua, la cual, debido a su densidad o, como dirían otros, su peso, disminuye el peso de los cuerpos sumergidos en ella, lo que quieres decir es que, por esta razón, los cuerpos de los peces estarán desprovistos de peso y serán soportados sin dañar sus huesos. Pero esto no puede ser todo; porque, aunque el resto del cuerpo del pez carezca de peso, no puede haber duda de que sus huesos lo tienen. Tomemos el caso de las costillas de una ballena, que tienen las dimensiones de vigas; ¿quién puede negar su enorme peso, o su tendencia a hundirse hacia el fondo cuando se sumerge en agua? Uno no esperaría, por tanto, que estas grandes masas se sostuvieran.

[Salviati] ¡Una muy aguda objeción! Y ahora, en respuesta, dime si alguna vez has visto peces inmóviles a propósito bajo el agua, sin ascender a la superficie ni descender hacia el fondo, sin ejercer fuerza alguna al nadar?

[Simplicio] Se trata de un fenómeno muy conocido.

[Salviati] El hecho entonces de que los peces son capaces de permanecer inmóviles bajo el agua es una razón concluyente para pensar que el material que compone sus cuerpos tiene la misma gravedad específica que el agua; por lo tanto, si en su composición hay algunas partes más pesadas que el agua, debe haber otras que son más ligeras, pues de otro modo no podría existir el equilibrio.

Por lo tanto, si los huesos son más pesados, necesariamente los huesos u otros constituyentes del cuerpo deben ser más pesados, de modo que su flotabilidad compense el peso de los huesos. En los animales acuáticos, por tanto, las circunstancias son al revés que en los animales terrestres en el sentido de que, en los segundos, los huesos no sólo soportan su propio peso, sino también el de la carne, mientras que en los primeros es la carne la que soporta no sólo su propio peso, sino también el de los huesos. Por tanto, debemos dejar de preguntarnos por qué estos enormes animales habitan el agua y no la tierra o, mejor dicho, el aire.

[Simplicio] Estoy convencido, y simplemente quiero añadir que lo que llamamos animales terrestres deberían llamarse mejor animales aéreos, ya que viven en el aire, están rodeados de aire y respiran aire.

¿No es delicioso? Pues ése es el tono de todo el libro, en el que los tres contertulios van descubriendo juntos el mundo, aunque Salviati es siempre el listillo que todo lo sabe, por supuesto. Entre las perlas de esta obra se encuentra un ejemplo extraordinario del empirismo galileano que hemos mencionado antes: la descripción exquisita de un experimento concreto, teniendo cuidado en controlar los factores involucrados lo más posibles, realizar mediciones precisas, etc. Se trata del estudio de la caída de los cuerpos debida a la gravedad, y quiero detenerme en ella un momento por cómo ejemplifica lo mejor de nuestro lenguaraz amigo. Eso sí, no pienses que es lo único que hay allí: el estudio de los tiros parabólicos de proyectiles es también maravilloso.

Desde luego, si has captado el espíritu cuidadoso de Galileo, comprendes que las historias sobre tirar objetos desde la Torre de Pisa son falsas; parecen haber sido inventadas por un biógrafo de Galileo bastante tiempo tras su muerte. Desde luego, es bien posible que en algún momento dejase caer algo desde allí, para probar, pero como vas a ver por la descripción de su experimento, nunca hubiera alcanzado la precisión de medida deseada por el pisano, con lo que no hubiese demostrado nada.

En la segunda parte de los Discorsi –la dedicada al movimiento de los cuerpos–, los tres personajes están discutiendo sobre el movimiento acelerado de los cuerpos debido a la gravedad, y Salviati describe cómo ha estado presente en algunos de los experimentos realizados por “el Autor” (es decir, Galileo), y en qué consistieron esos experimentos. Espero que sea evidente el contraste entre la especulación científica cualitativa que había prevalecido hasta entonces y que, como a mí, se te ponga la carne de gallina al imaginar la escena (énfasis en negrita mío):

Se tomó una tabla de madera de unos 12 codos de largo, medio codo de ancho y tres dedos de grosor; sobre su borde se cortó un canal de poco más de un dedo de ancho; una vez este surco fue perfeccionado de modo que era lo más recto, suave y pulimentado como era posible, y tras cubrirlo con pergamino lo más terso y liso posible, hicimos rodar sobre él una bola muy perfectamente redonda, dura y pulida. Al poner el tablero inclinado, levantando un extremo unos dos codos sobre el otro, hicimos rodar la bola, como iba diciendo, a lo largo del surco, midiendo, del modo que en un momento describiré, el tiempo que tardaba en descender.

Repetimos el experimento más de una vez, para medir el tiempo con una precisión tal que la desviación entre dos observaciones nunca fuera más de la décima parte de un latido de corazón. Tras haber realizado esta operación y habernos asegurado de su fiabilidad, hicimos rodar la bola sólo una cuarta parte de la longitud del surco; y habiendo medido el tiempo de su descenso, vimos que era exactamente la mitad del tiempo anterior. A continuación probamos otras distancias, comparando el tiempo en recorrer toda la longitud con la de la mitad, o con la de dos tercios, o tres cuartos, o cualquier otra fracción; en esos experimentos, repetidos cien veces cada uno, siempre comprobamos que los espacios recorridos eran unos a otros como los cuadrados de los tiempos, y esto era cierto para cualquier inclinación del plano, es decir, del surco, a lo largo del cual hacíamos rodar la bola. También observamos que los tiempos de descenso, para diversas inclinaciones del plano, tenían una proporción entre ellos que era exactamente la que, como veremos luego, el Autor había predecido y demostrado que tendrían.

Para medir el tiempo empleamos un gran recipiente lleno de agua en una posición elevada; una pequeña cañería estaba soldada al fondo de este recipiente, de modo que de él salía un fino chorro de agua, que recogíamos en un pequeño vaso a lo largo del tiempo de cada descenso, ya fuese para toda la longitud del surco o para una parte de su longitud; luego se pesaba el agua así recogida, tras cada descenso, en una balanza muy precisa; las diferencias y relaciones entre estos pesos nos daban las diferencias y relaciones entre los tiempos, y esto con una precisión tal que, aunqu ela operación se repitió muchas, muchas veces, no había una discrepancia apreciable en los resultados.

Galileo no fue el primero en postular esta ley de caída de los cuerpos, por cierto, aunque se le suela atribuir. En el siglo XIV ya la habían vislumbrado un grupo extraordinario de científicos británicos del siglo XIV, los “calculadores de Oxford”, con base en el Merton College de esa Universidad inglesa. Estos científicos fueron, para su época, unos adelantados, ya que empezaron a hacer las cosas en las que luego Galileo sería un auténtico maestro, como tratar de establecer una ciencia más mátemática que antes; parece que el primero en establecer la ley de la caída de los cuerpos fue uno de estos “calculadores”, Thomas Bradwardine, matemático, filósofo y científico –dada la época, estaba todo mezclado–, pero claro, ni con la precisión ni con la claridad en la descripción de Galileo.

Unos años tras la publicación de los Discorsi, en 1642, Galileo finalmente muere aún bajo arresto domiciliario en su casa. Dado que el pisano era sospechoso de herejía, no se permitió que sus restos fueran enterrados junto a los de su familia en la Basilica de la Santa Croce en Florencia, como deseaba Ferdinando II, Gran Duque de la Toscana e hijo del anterior Gran Duque, Cosimo, también protector y defensor de Galileo. No, habría que esperar un siglo: en 1737 sus restos fueron trasladados a la Basílica y allí descansan con los honores que merecía.

Tumba de Galileo en la Santa Croce, Florencia (stanthejeep/CC Attribution-Sharealike 2.5).

Y merece muchos –no, no me importa lo más mínimo ser pesado en esto–. La Ciencia moderna, con mayúsculas, se asienta sobre unas bases de enorme solidez que la distinguen de otras formas de adquirir conocimiento mucho menos cautelosas, y en casi todas ellas Galileo fue quien nos indicó el camino y quien significó el florecimiento de esos modos de hacer Ciencia: el diseño cuidadoso de experimentos controlados con los que comprobar hipótesis sin que factores indeseados afecten al resultado, la descripción meticulosa de esos experimentos para que puedan ser repetidos y comprobados por otros, la cuantificación de resultados, que dejan así de ser “borrosos” para ser comprobables con instrumentos de medida, la sumisión del conocimiento a la verdad empírica de los experimentos verificables repetidamente… sin palabras, de verdad, sin palabras.

Es imposible saber además hasta dónde podría haber llegado de haber dispuesto de unas matemáticas más avanzadas de las que tenía. Como has visto, en sus escritos todo es cuestión de proporciones y, en general, de geometría –la rama más avanzada de la Matemática en la época–. En particular, la teoría de conjuntos tenía un buen trecho por recorrer, y con ella los conceptos de cardinalidad e infinito. En los Discorsi lo pone él mismo en evidencia, al darse cuenta de una contradicción aparente entre conceptos: si sumamos un número a infinito, sigue siendo infinito, pero es más grande que antes, pues se le ha sumado algo… ¿cómo puede ser infinito igual a infinito, pero infinito ser mayor que infinito al mismo tiempo? Mucho mejor que yo lo explican Salviati, Sagredo y Simplicio:

[Simplicio]Aquí se me presenta una dificultad que me parece insoluble. Puesto que está claro que podemos tener una línea más larga que otra, cada una de las cuales tiene un número infinito de puntos, debemos admitir que, en una misma clase, tenemos algo más grande que infinito, ya que la infinidad de puntos de la línea más larga es mayor que la infinidad de puntos de la línea más corta. Esta asignación de un valor mayor que infinito a una cantidad infinita se escapa bastante de mi comprensión.

[Salviati] Esta es una de las dificultades que surgen cuando intentamos, con nuestras mentes finitas, hablar sobre el infinito, asignándole las mismas propiedades que damos a lo finito y limitado; pero creo que esto es un error, ya que no podemos hablar de cantidades infinitas como mayores o menores o iguales unas que otras. Para demostrar esto se me ocurre un argumento que, para que sea más claro, lo expondré en forma de preguntas a Simplicio, quien sugirió este problema. Parto de la base de que sabes qué números son cuadrados de otros y cuáles no.

[Simplicio] Soy bien consciente de que un número cuadrado es uno que resulta de la multiplicación de otro por sí mismo: así, 4, 9, etc., son números cuadrados que provienen de multiplicar 2, 3, etc., por sí mismos.

[Salviati] Muy bien; y también sabes que lo mismo que los productos se denominan cuadrados, los factores se denominan raíces; mientras que, por otro lado, los números que no provienen del producto de dos factores idénticos no son cuadrados. Por lo tanto, si afirmo que todos los números, incluyendo cuadrados y no cuadrados, son más que sólo los cuadrados, digo la verdad, ¿no es así?

[Simplicio] Desde luego.

[Salviati] Si te pregunto entonces cuántos cuadrados hay, uno puede responder ciertamente que hay tantos como raíces, pues cualquier cuadrado tiene su propia raíz, y cualquier raíz su propio cuadrado, pero no hay ningún cuadrado que tenga más de una raíz, ni ninguna raíz que tenga más de un cuadrado.

[Simplicio] Exactamente.

[Salviati] Pero si me pregunto cuántas raíces hay, no puede negarse que hay tantas como números, ya que cualquier número es la raíz de otro. Teniendo esto como cierto, debemos decir entonces que hay tantos cuadrados como números, ya que son tan numerosos como sus raíces, y todos los números son raíces. Sin embargo, al principio dijimos que hay muchos más números que cuadrados, ya que la mayor parte de ellos no son cuadrados. No sólo eso, sino que además la proporción de cuadrados disminuye cuando nos fijamos en números grandes. Así, hasta 100 tenemos 10 cuadrados, es decir, los cuadrados constituyen la décima parte de los números; hasta 10000, sólo la centésima parte son cuadrados; y hasta un millón sólo la milésima parte lo son; por otro lado, en un número infinito, si pudiéramos concebirlo, deberíamos admitir que hay tantos cuadrados como números en total.

[Sagredo] Entonces, ¿cuál debe ser nuestra conclusión en estas circunstancias?

[Salviati] Hasta donde puedo verlo, sólo podemos concluir que la totalidad de los números es infinita, que el número de cuadrados es infinito, y que el número de sus raíces es infinito; ni es menor el número de cuadrados que la totalidad de todos los números, ni es mayor el segundo que la primera; y, finalmente, que los conceptos “igual”, “mayor” y “menor” no son aplicables al infinito, sino sólo a cantidades finitas. Por lo tanto, cuando Simplicio habla de líneas de diferente longitud y me pregunta cómo es posible que las más largas no contengan más puntos que las más cortas, le respondo que una línea no puede contener más puntos, menos puntos ni igual número de puntos que otra, sino que cada línea contiene un número infinito.

Esta idea recibe el nombre de paradoja de Galileo: como ves, hasta cuando se topa con limitaciones de las Matemáticas, el pisano sienta cátedra. Habría que esperar un tiempo para que nuestras Matemáticas avanzasen lo suficiente para resolver la paradoja de Galileo, cuando nuestro concepto de infinito evolucionase desde simplemente “muchos, muchísimos” hasta algo más sofisticado. Pero hablando de infinito…

• Galileo Galilei (esp) / Galileo Galilei (eng)
• Galileo’s Inquisition
• De motu

Galileo Galilei (1564-1642).

[Nota: Como me pasa tantas veces, he empezado a escribir, a meter citas y fragmentos de libros, a divagar... y el caso es que me ha salido tal ladrillo que he decidido partirlo en dos trozos; si aguantáis éste, el segundo llegará la semana que viene, para dar tiempo a oxigenar las neuronas]

Siempre es difícil estar seguros de cómo hubieran sido las cosas de no haberse combinado los factores como lo hicieron, pero me parece bastante razonable pensar que, sin la influencia de Vincenzo Galilei, su hijo no se hubiera convertido en el enorme, ¡enorme!, científico que fue. No es que fuera la criatura de su padre –una figura como la de Galileo no es la criatura de nadie–, pero es inevitable ver a Vincenzo en algunas de las concepciones científicas de su hijo.

En la época de Vincenzo –el siglo XVI–, la Ciencia moderna no existía aún. Sí existía la Filosofía Natural, y los científicos –aunque no hicieran ciencia en el sentido moderno del término– se preguntaban razonadamente sobre lo que veían, pero faltaban varios factores para que la Ciencia madurase y, por fin, floreciese como lo haría a partir del XVII. Uno de esos factores era la formalización matemática de las leyes y el estudio cuantitativo en los experimentos, cosas que hoy nos parecen de cajón pero que por entonces no lo eran en absoluto.

No, la manera típica de hacer ciencia era cualitativa, especulativa y más bien “borrosa”, con la excepción notable de la geometría en la Astronomía ya desde el tiempo de los griegos. Los experimentos de acústica de Vincenzo Galilei fueron realmente excepcionales; no porque demostrase que existe una relación entre la tensión en una cuerda y el tono del sonido emitido, sino porque se preocupó de tomar medidas cuantitativas de los pesos que colgaba, para encontrar así una relación numérica entre causa y efecto. Al establecer esa relación numérica –la frecuencia era proporcional al cuadrado de la tensión de la cuerda– Vincenzo nos proporcionó la primera ley no lineal de la Historia de la Ciencia, pero también fue uno de los que inició el camino hacia una ciencia cuidadosa, cuantitativa, preocupada por la precisión y el establecimiento de leyes específicas; quien culminó ese trabajo y, tal vez exagerando un poco, hizo florecer la Filosofía Natural en la Ciencia en el sentido moderno fue su hijo, pero indudablemente bajo la influencia de las ideas de su padre.

De hecho, el joven Galileo, sin la influencia paterna, seguramente nunca se hubiera dedicado a hacer ciencia. Nacido en 1564 en Pisa –en lo que era entonces el Ducado de Florencia–, el muchacho estuvo a punto de ingresar en el sacerdocio, ya que era un devoto cristiano (ironías de la vida, tal y como le irían las cosas después), pero su padre lo convenció para que estudiara en la Universidad de Pisa. Allí estudió medicina, matemáticas en general, geometría y perspectiva en particular, así como astronomía. Por entonces, como he dicho antes, la astronomía y las matemáticas estaban ya íntimamente unidas, y era esa disciplina la única en la que esto sucedía.

Estamos por entonces, claro está, en pleno Renacimiento, con lo que la especialización extrema, y muchas veces absurda, no había surgido aún; el joven Galileo estudia Arte, pinta, se hace amigo de diferentes artistas y desarrolla su lado más creativo. Como en el caso de algunos otros genios –no todos–, es como si se le diera bien todo aquello que le interesara, aunque su verdadera pasión eran las matemáticas. En 1589, con veinticinco años, se convierte en profesor de Matemáticas en la Universidad de Pisa, y todo le iría estupendamente bien hasta 1616. Tras su paso por Pisa recala en la Universidad de Padua, y su genio florece.

Ese genio es tan inmenso, y abarca cosas tan diferentes, que sería imposible aquí describir todos los logros del divino italiano; como suele suceder aquí, mi idea es darte un conocimiento básico, mostrar cosas que no se suelen mostrar directamente (como citas de textos del pisano) y, sobre todo, despertar en ti el interés por conocer más sobre Galileo, sobre el que se han escrito muchos, muchos libros. Pero no puedo evitar dar algunas pinceladas sobre lo que, a mi entender, son las bases de ese genio singular sin el que nuestra Física no sería como es hoy; si no consigo emocionarte mientras lees las palabras del pisano, aunque sea un poquito, me como el sombrero.

Las diferencias esenciales entre Galileo y la mayor parte de sus coetáneos –probablemente influido por su padre– son, por un lado, el énfasis en la precisión, la comprobación empírica de hipótesis y la elaboración de leyes matemáticas comprobables mediante la medición de variables rigurosamente definidas; y, por otra, la utilización de instrumentos de medida para realizar observaciones de esas variables. Para Galileo, no basta con realizar afirmaciones más o menos vagas sobre la naturaleza del Universo — cualquier asunto puede ser atacado empleando las matemáticas y, si no es así, el problema no ha sido analizado de la manera correcta. En su primera época, Galileo pone esta filosofía en acción, y más adelante la expresa explícitamente en varias de sus obras. Por ejemplo, en Il Saggiatore, de 1623, afirma:

La Filosofía [se refiere a la Filosofía Natural, lo que hoy llamaríamos Ciencia] está escrita en este gran libro –me refiero al Universo– que permanece abierto continuamente a nuestra mirada, pero no puede ser comprendido si uno no entiende primero el lenguaje en el que está escrito y aprende a interpretar sus caracteres. Está escrito en el lenguaje de las Matemáticas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las que no es humanamente posible entender una sola palabra de él; sin éstas, uno deambula sin rumbo por un laberinto.

Este libro es, por cierto, una auténtica metedura de pata por parte de Galileo, a pesar de la brillantez con la que defiende el asunto matemático en particular… pero de eso hablamos en un rato. El caso es que Galileo, por la naturaleza de su método de adquirir conocimiento, está bastante alejado de lo que Aristóteles, por ejemplo, hubiera considerado Filosofía Natural. Es, por así decirlo, un filósofo “de manos sucias” que pone manos a la obra y comprueba cosas numéricamente, tan interesado en los conceptos que rigen el comportamiento de las cosas como en los aparatos con los que pueden medirse las variables que regulan ese comportamiento. En la primera parte de su vida, todavía en el siglo XVI, Galileo diseña diferentes aparatos de medida que tendrían una gran utilidad para fines prácticos.

Fíjate que digo diseña, no construye; lo de las “manos sucias” no era en sentido literal. Quien construye los instrumentos diseñados por Galileo es Marc’Antonio Mazzoleni, que vive bajo el techo del genio durante cuatro años junto con su mujer y su hija –la mujer era el ama de llaves y cocinera de Galileo–. Mazzoleni fabrica brújulas, termómetros, balanzas, compases… que Galileo luego vende al público, junto con pequeños “cursos” sobre cómo utilizarlos. Se trataba de instrumentos de medida con una precisión muy buena para la época, y los compases de Galileo-Mazzoleni fueron de enorme utilidad para los cálculos geométricos de navegantes, astrónomos y artilleros.

Compás diseñado por Galileo y construido por Mazzoleni en 1604 (Sage Ross/CC 3.0 License).

Su primera obra, de hecho, es La billancetta (La pequeña balanza) de 1586, y en ella explica cómo determinar con gran precisión el peso de los objetos. Como ves, el cambio de mentalidad no era sólo de lo cualitativo a lo cuantitativo; al evolucionar la ciencia hacia lo cuantitativo, se hace inevitable medir cosas. De la ciencia especulativa que extrae conclusiones a partir de lo que perciben directamente los sentidos, entramos en lo que también define la ciencia moderna: en la observación del Universo mediante la tecnología. Tanto en una cosa como en la otra –cuantificación y medición– Galileo no es el primero, ni el único; forma parte de una corriente a lo largo del siglo XVI en Europa… pero es, sin duda, el más grande de los impulsores de este modo de hacer Ciencia.

No es el primero en emplear leyes numéricas, ni en utilizar el telescopio o el microscopio; pero sí es quien hace avanzar a la Ciencia pasos de gigante en unas pocas décadas, aplicando la tecnología y las matemáticas al problema de comprender el mundo que nos rodea, además de emplear definiciones rigurosas y comprobables empíricamente de los conceptos empleados. Por ejemplo, durante su estancia en Pisa se dedica a estudiar el movimiento de los objetos en distintos medios, y a cuestionar la mecánica aristotélica. Le preocupaba lo que por entonces se denominaba peso específico (hoy más comúnmente densidad) de los objetos, ya que en su opinión el lenguaje cotidiano metía la pata a menudo y era importante ser precisos en ese aspecto. Los primeros párrafos de su primer libro de Física, De motu (Sobre el movimiento), de 1590, dejan claro este aspecto:

Así, a veces decimos de un trozo grande de madera que es más pesado que un pequeño trozo de plomo, aunque, pura y simplemente, el plomo es más pesado que la madera [al hablar de "pesado" y "ligero", Galileo se refiere a "más denso" y "menos denso" respectivamente]; y de un gran trozo de plomo decimos que es más pesado que uno pequeño, pero el plomo no es más pesado que el plomo. Por esta razón, para que podamos evitar errores de este tipo, debe decirse de dos cosas que tienen el mismo peso cuando, siendo de igual tamaño, pesan lo mismo: así, si tomamos dos trozos de plomo del mismo tamaño, y pesan lo mismo, debemos decir que realmente tienen el mismo peso.

Como ves, quiere dejar las cosas claras de una manera que cualquiera pueda comprobar por sí mismo empíricamente. Por desgracia, en De motu (una obra muy temprana aún), el pisano llega a una conclusión errónea: piensa que, en el vacío, un objeto más denso (lo que él denomina “más pesado” refiriéndose a la sustancia) caería más deprisa que uno menos denso, y también que incluso en el vacío habría una velocidad terminal, como sucede dentro de un fluido. Sin embargo, aunque algunas de sus conclusiones sean erróneas, lo sustancial no es el resultado, es el método de hacer ciencia, que está cambiando — posteriores experimentos del propio Galileo lo acercarían más a la verdad, aunque seguiría metiendo la pata muchas veces, ¡porque eso es hacer ciencia, al fin y al cabo!

Cuando este divino barbudo empieza a cambiar de verdad nuestra concepción del mundo es en el siglo XVII, y lo hace como consecuencia de las dos peculiaridades que he mencionado antes: instrumentación y cuantificación. En 1608, de acuerdo con la mayor parte de los historiadores, el holandés Hans Lippershey construye el primer telescopio; parece ser que Galileo oye hablar de él, aunque no tiene ninguna descripción muy detallada, pero aun así consigue construir uno propio en 1609, primero no demasiado potente y posteriormente, al mejorarlo, de una calidad y potencia extraordinarias para la época.

Galileo muestra uno de sus telescopios al Duque de Venecia (cuadro de Bertini).

Los telescopios de Galileo dejan anonadados a sus contemporáneos, y se hace bastante famoso por ellos. De hecho, obtiene considerables beneficios al venderlos, no para fines científicos, sino simplemente para ser empleados en la navegación y con fines militares. Pero el propio Galileo dirige su telescopio hacia el firmamento, y observa cosas que ningún ser humano ha observado antes. Se me ponen los pelos de punta al pensarlo. El italiano publica el informe de lo que ha visto con su telescopio en Sidereus nuncius (El mensajero de las estrellas), de 1610.

Para empezar, el pisano ve una miríada de estrellas nuevas, que ningún ojo humano había visto nunca, ya que son demasiado tenues para ser visibles sin instrumentos ópticos. Observa también que lo que antes se pensaba era una nube difusa de luz no es otra cosa que una infinidad de estrellas muy juntas, que no es posible discernir como puntos diferentes a simple vista. Sin embargo, no es aquí donde Galileo cambia nuestra concepción del Universo.

Telescopio de Galileo.

Cuando dirige su telescopio hacia la Luna para mirarla con detenimiento y estudiar sus fases –que todo el mundo sabía ya se debían al hecho de que una parte estaba iluminada por el Sol y otra no–, se encuentra con una nueva sorpresa. El terminador –la línea que separa luz de sombra, día de noche– sobre el satélite no es una línea curva perfecta, sino que en ciertas regiones de la Luna tiene irregularidades. Es más: la sombra arrojada por la superficie lunar muestra que no es lisa, sino que contiene montañas, cráteres y diferentes imperfecciones. Galileo, que ha estudiado arte y es ducho en la técnica del chiaroscuro, dibuja bosquejos de lo que ve, muy diferente de la idea de la perfección aristotélica de los cuerpos celestes.

Esbozo de las fases lunares vistas por Galileo (1610).

Galileo observa también que existe una diferencia esencial entre estrellas fijas y planetas (además de la evidente que daba el nombre a cada una de las dos categorías de cuerpos celestes): a simple vista, tanto unas como otros son simples puntos de luz. Sin embargo, al mirar con el telescopio, los planetas se revelan como discos con cierto tamaño, mientras que las estrellas siguen siendo puntos de luz. Esto lleva al pisano a confirmar lo que ya muchos sospechaban: que la distancia hasta las estrellas era muchísimo mayor que a los planetas. Pero la verdadera revolución surge cuando Galileo se fija en un planeta en particular, Júpiter, y hemos hablado ya de esto en El Sistema Solar al estudiar los satélites galileanos.

El telescopio mostraba cuatro estrellas junto al gigante Júpiter. Esas cuatro estrellas no eran fijas, pues se movían sobre el fondo formado por las verdaderas estrellas, pero lo sorprendente –e innegable, una vez observadas durante cierto tiempo– era que regularmente desaparecían tras Júpiter para aparecer luego al otro lado, con períodos fijos. El italiano había observado, por primera vez en la historia, el movimiento de satélites alrededor de otro planeta. Una vez más, Galileo documentó todo cuidadosamente en el Sidereus nuncius, mencionando “tres estrellas en el firmamento que se mueven alrededor de Júpiter, del mismo modo que Venus y Mercurio alrededor del Sol.” y dibujando sus movimientos respecto al planeta:

Lunas de Júpiter en el Sidereus nuncius.

Ya hacía tiempo, desde que Copérnico lo sugiriese en su De revolutionibus orbium coelestium en 1543, antes de nacer el propio Galileo, que muchos sospechaban que los modelos geocéntricos del Sistema Solar (y del Universo en su conjunto, pues pocos sospechaban que era mucho más grande que nuestro sistema estelar) no eran correctos. El problema estaba en demostrarlo; los modelos de Ptolomeo y Copérnico predecían, en su mayor parte, las mismas observaciones, y la única razón para elegir el modelo heliocéntrico del polaco respecto al geocéntrico era que era más simple… salvo, claro está, que alguien demostrase empíricamente que no todo giraba alrededor de la Tierra y que nuestro propio planeta se movía. La observación de Galileo mostraba sin lugar a dudas que había objetos que no orbitaban la Tierra.

Pero es que, unos meses más tarde de publicar el Sidereus nuncius, el pisano ve otra cosa más que supone un auténtico “¡zas, en toda la boca!” al geocentrismo. Al mirar hacia Venus, Galileo observa que ese planeta muestra fases, lo mismo que nuestra propia Luna, que no se habían notado antes porque, sin un telescopio, el planeta no se mostraba como un disco sino como un punto.

Diagramas de Saturno, Júpiter, Marte y, debajo, las fases de Venus (1623).

El diagrama de arriba no sería publicado hasta unos años después, pero Galileo comprende ya en 1610 que existían pruebas evidentes, incontrovertibles, de que Copérnico tenía razón y el modelo geocéntrico debía ser desterrado. Sin embargo, la cosmología aristotélica (y su refinamiento, la ptolemaica) se había entrelazado de tal modo con el cristianismo a lo largo de los siglos que cuestionar el geocentrismo era algo muy, muy gordo, aunque no por lo que suele repetirse más a menudo –la idea de la Tierra como centro del Universo representando al Hombre como centro de la Creación–, aunque de eso hablaremos en breve.

El caso es que, dentro de la Iglesia Católica, los jesuitas eran los más versados en Astronomía –geocentrista, por supuesto–. Al principio, como es natural, reciben la noticia de las observaciones de Galileo y sus conclusiones heliocéntricas con gran escepticismo. Sin embargo, algunos de ellos hacen lo que cualquiera con interés científico hubiera hecho, ya que Galileo explica claramente qué hay que hacer para ver lo mismo que él: una vez que se extienden los telescopios por Europa, estos científicos consiguen uno y se ponen a mirar al cielo. Varios de ellos, tras mirar al firmamento con sus telescopios, quedan convencidos de que las afirmaciones del pisano sobre satélites jovianos, manchas solares o montañas en la Luna son ciertas, pero otros –como el Padre General de los jesuitas, Claudio Aquaviva– siguen siendo fervientes defensores del geocentrismo.

Es más: algunos astrónomos –sacerdotes y legos– se niegan a mirar a través de telescopios para verificar las afirmaciones de Galileo. Para ellos, hacerlo era dudar de la verdad de la Biblia, con lo que simplemente rechazaban la mera posibilidad de observar qué había ahí fuera. Puedes imaginar la frustración que esto generaba en nuestro barbudo –y soberbio, todo hay que decirlo– pisano, como afirma en una carta a Johannes Kepler en 1610:

Querido Kepler, ojalá pudiéramos reírnos de la estupidez notable de este rebaño. ¿Qué opinas de los principales filósofos de esta academia, que gozan de la terquedad de un áspid [¿son tercas las áspides?] y no quieren mirar a cualquiera de los planetas, la Luna o utilizar el telescopio, incluso aunque les he ofrecido libre y deliberadamente la oportunidad un millar de veces? Realmente, lo mismo que el áspid se tapa los oídos, estos filósofos se tapan los ojos a la luz de la verdad.

Uno de los filósofos que rechaza las afirmaciones de Galileo pero al mismo tiempo se niega a comprobarlas parece haber sido un colega de la Universidad de Padua, Cesare Cremonini. De acuerdo con el testimonio posterior de otros colegas, Cremonini lanzó estas perlas por su boca:

No deseo dar mi aprobación a afirmaciones de las que no tengo confirmación, y sobre cosas que no he visto [...] y observar a través de esas lentes me da dolor de cabeza. ¡Basta! No quiero oír hablar más de este asunto.

Por esa época, Galileo estaba bajo el ala del mecenas Cosimo II de’ Medici, en cuyo honor dio nombre a las cuatro “estrellas compañeras” de Júpiter; Galileo denominó a esos cuatro satélites estrellas mediceas, aunque hoy las conocemos, con mucha más justicia, como satélites galileanos, y también le dedicó su Sidereus nuncius. La relación entre ambos parece haber sido estrecha desde la niñez de Cosimo, ya que Galileo fue su profesor personal durante tres años. El caso es que, en 1613, en una conversación con Cosimo en la que no está presente Galileo, un filósofo natural llamado Cosimo Boscaglia –que no era sacerdote ni nada parecido– intenta “meter cizaña” entre protector y protegido diciendo que las observaciones de Galileo estaban muy bien, pero que sus afirmaciones sobre el movimiento de la Tierra eran contrarias a las Sagradas Escrituras.

Curiosamente, quien sale en defensa de nuestro pisano favorito es un sacerdote y antiguo alumno de Galileo, el abad benedictino Benedetto Castelli. De hecho, en esta primera época Galileo tiene los suficientes aliados dentro de la jerarquía de la Iglesia Católica –como veremos, en los más altos niveles– para poder permitirse defender las ideas de Copérnico contra los más cerrados de mente sin demasiado peligro. Eso sí, los más beligerantes e intransigentes ya van lanzando unos buenos ataques contra él. Inevitablemente, en 1615 es denunciado a la Santa Inquisición por sus afirmaciones en una carta a Castelli.

La Inquisición ya llevaba lidiando tiempo con el heliocentrismo, claro está, y quiero detenerme un momento para intentar explicar –con mis pobres e ignorantes palabras– por qué el grave problema. No era tanto porque a la Iglesia le importase cuál era realmente el centro del Universo –que también–. No, la posición y movimiento de Tierra y Sol eran algo secundario; el problema era que en la Biblia se decía claramente que la Tierra no se mueve y el Sol sí. De aceptar que esto no era cierto, el miedo de las autoridades eclesiásticas era que se abriera un “agujero” de credibilidad de las Sagradas Escrituras –consideradas, claro, una verdad literal–. Dicho mal y pronto, si la Biblia se equivocaba en eso, ¿cómo afirmar entonces que otras cosas eran verdaderas con total seguridad?

Roberto Bellarmino (1542-1621).

Casi al mismo tiempo que Galileo, otro científico estaba en algunos aprietos por defender a Copérnico: un carmelita llamado Paolo Antonio Foscarini. El encargado de solventar el entuerto causado por Foscarini –que intentaba compatibilizar el heliocentrismo con los pasajes bíblicos, demostrando así que no toda la Iglesia era tan cerrada de mente– era el cardenal Roberto Bellarmino. Tal vez el nombre te suene, ya que es un viejo conocido de la serie por trágicas razones; fue quien juzgó a Giordano Bruno unos años antes y parece condenado a ser el “malo de la película” en esta serie –y eso que fue canonizado en el siglo XX, ironías de la vida–.

En una carta al carmelita Foscarini, Bellarmino le indica que explicar la hipótesis heliocentrista no supone ningún problema, ya que eso no contradice la Biblia. El problema está en llevar la afirmación un paso más allá y sostener que el heliocentrismo no es una mera hipótesis, sino una realidad física; defender esa idea, en palabras de Bellarmino –y la carta fue remitida también a Galileo, pues se hablaba de él en ella–, es

[...] algo muy peligroso, que irritaría no sólo a todos los teólogos y filósofos escolásticos, sino que también dañaría la Santa Fe al convertir las Sagradas Escrituras en falsas.

No sé a ti, pero a mí un miembro de la Santa Inquisición me dice que afirmar algo es “muy peligroso” y me callo completamente y de por vida; cobarde que es uno. De hecho, aunque no lo sé seguro, imagino que eso fue exactamente lo que hizo el pobre Foscarini –quien, con su mejor intención, había intentado conciliar unas cosas y otras–. Pero Galileo, en ciertos sentidos parecido a Giordano Bruno, no se calla. Recuerda que el pisano era fervientemente religioso: no quería desafiar a la Iglesia, sino ser comprendido y convencer a la jerarquía de la realidad de las cosas. Por ahora, aún tiene los apoyos suficientes para poder defender sus ideas y, de hecho, en 1616 viaja a Roma para intentar convencer a la jerarquía de que aceptase las ideas de Copérnico y dejase de “acosar” a quienes las defendían, él mismo incluido.

Por entonces, una comisión de teólogos de la Inquisición estaba considerando el asunto del propio Galileo, bajo la mirada de Bellarmino. Los once miembros de la comisión emiten su veredicto el 24 de febrero de 1616. Las dos afirmaciones de Galileo que se les pide evaluar son:

1. El Sol es el centro del Universo y se encuentra completamente desprovisto de movimiento.

2. La Tierra no es el centro del Universo ni está inmóvil, sino que se mueve como un todo y también tiene un movimiento diurno [respectivamente, traslación y rotación].

Las conclusiones de la comisión, en la que participan algunos de los teólogos más insignes de la época (cito):

1. Todo lo sostenido en esta afirmación es estúpido y absurdo en filosofía, y formalmente herético ya que contradice explícitamente en varios lugares las Sagradas Escrituras, de acuerdo con el significado literal de las palabras y de acuerdo con la interpretación y entendimiento comunes por los Santos Padres y los doctores en teología.

2. Todo lo sostenido en esta afirmación recibe el mismo veredicto en filosofía y, respecto a la verdad teologal, es al menos erróneo en la fe.

Vamos, que le meten un rapapolvo a Galileo de muy señor mío. El encargado de informar de este veredicto al pisano es, por supuesto, el cardenal Roberto Bellarmino. No se trata de un juicio, ni se inician acciones contra Galileo, sino que se trata de un aviso. De acuerdo con el informe del encuentro por parte de la Inquisición,

[...] en nombre de Su Santidad el Papa y de toda la Congregación del Santo Oficio, [el cardenal Bellarmino] ordenó encarecidamente a Galileo, que estaba aún presente, que abandonase completamente la opinión anteriormente mencionada de que el Sol se encuentra en el centro del Universo y que la Tierra se mueve, y a partir de entonces que no la sostuviera, enseñase o defendiera de manera alguna, oralmente o por escrito; de otro modo, el Santo Oficio iniciaría un proceso contra él.

Vamos, que es un “aviso” pero no precisamente sutil, y de acuerdo con el informe que cito arriba, Galileo promete obedecer. Unos días más tarde se incluyen en el tenebroso Index Librorum Prohibitorum varias obras heliocentristas, entre ellas la de Paolo Foscarini, el pobre carmelita que he mencionado antes. Sin embargo, sorprendentemente, la relación de Galileo con la jerarquía sigue sin ser mala y sus obras no son prohibidas. Parece que se reúne con Bellarmino y con el propio Papa, quien le asegura que no va a ser procesado –imagino que si seguía las órdenes de Bellarmino sobre no volver a considerar las ideas de Copérnico como una verdad física–, y todo parece estar calmado. Bellarmino incluso acalla rumores de que Galileo ha sido castigado por la Inquisición, afirmando que no ha habido penitencia alguna y que se ha tratado simplemente de un aviso. Pero de lo que no hay duda es de que Galileo se había dirigido a Roma para intentar defender el heliocentrismo, y vuelve a casa escaldado.

No quiero dejar pasar la oportunidad de expresar una opinión personal (pero quiero dejar claro que lo es, de ahí este aviso preliminar). Como espero que hayas notado a estas alturas, por el caso de Foscarini y el del abad Castelli, la Iglesia no era un grupo monolítico en cuanto a las ideas del Universo se refería –como en muchas otras cosas, claro– ni en su oposición cerril al avance científico. El problema, en mi opinión, es común a muchas otras organizaciones y movimientos, y no se me ocurre otro nombre que darle más que “síndrome de los extremistas”. Suele suceder que, dentro de un grupo de personas que tienen unos ideales en común, algunos son más flexibles y moderados que otros. Sin embargo, en esos grupos de personas, los extremistas suelen identificar las llamadas a la moderación con falta de lealtad al movimiento de que se trate, lo cual les ahorra tener que encontrar defectos reales en las opiniones de los moderados.

De este modo, los más inflexibles suelen subir hasta las posiciones de poder y los más moderados acaban siendo sospechosos de deslealtad (“¿Eres realmente uno de nosotros?”). Además, y esto es lo más importante, los indecisos se dan cuenta de que si eligen una postura no serán cuestionados, pero que si eligen la contraria serán sospechosos de la misma deslealtad… con lo que, si capitulan ante los extremistas están a salvo, y si no, acaban siendo silenciados o expulsados. Es mi pesimista opinión que casi cualquier movimiento organizado que involucra un sentimiento de “lealtad” corre este terrible peligro, y que la mayor parte sucumben a él — y la Iglesia del siglo XVII y el asunto de Galileo son, en mi opinión, perfectos ejemplos de ello.

El caso es que, durante unos años, de hecho, Galileo cierra la boca sobre el asunto. Sin embargo, en 1623 sucede algo que lo anima a volver “al ataque”. El 8 de julio de ese año muere el Papa Gregorio XV, y es sucedido por un amigo de Galileo y defensor suyo durante el “aviso” de 1616, el cardenal Maffeo Barberini, que toma como Papa el nombre de Urbano VIII. Galileo va a visitarlo recién nombrado Papa, y le dedica su obra principal de 1623, Il Saggiatore, que hemos mencionado al principio; ¡en la portada de esta obra aparece hasta el escudo de armas de la familia Barberini, las tres abejas!

Portada de Il Saggiatore (1623).

A pesar de que Il Saggiatore es una obra menor, no quiero dejarla pasar por varias razones. En primer lugar, porque muestra lo mucho que Galileo quiere agradar al nuevo Papa, que recibe el honor con gran alborozo. En segundo lugar, porque aunque sea de forma lateral, Galileo defiende en sus páginas el concepto matemático de la ciencia que hemos mencionado antes. Y en tercer lugar porque en la idea central de Il Saggiatore Galileo está absoluta, total, irremediablemente equivocado. Quiero mostrar esto aquí porque sé que al escribir me pierde la emoción y parece que idolatro al italiano, pero se trata –como en todos los casos– de un ser humano con sus equivocaciones tremendas, sus miserias y sus defectos terribles, además de sus grandezas.

El caso es que unos años antes un astrónomo jesuita, Orazio Grassi, había publicado un pequeño tratado sobre los cometas. En él, Grassi afirmaba que la paralaje demostraba que los cometas debían ser objetos muy alejados de la Tierra, indudablemente más lejanos que la Luna. Sin embargo, Galileo, el genio, el enorme científico que me hace babear de pasión, pensaba que los cometas eran… ¡ilusiones ópticas! No sólo eso, sino que el objetivo de Il Saggiatore es destrozar las ideas del pobre Grassi –que era geocentrista, naturalmente, pero en esto en particular tenía toda la razón–, y lo hace ridiculizando las afirmaciones del jesuita con un sarcasmo corrosivo tremendo; vamos, algo patético y vergonzoso por parte del pisano, que se comporta aquí de manera ruin. De hecho, parece que a partir de entonces la Compañía de Jesús se le pondría definitivamente de uñas, algo que Galileo probablemente se buscó y que demuestra, como sucedía con Bruno –aunque no tan intensamente– una falta de inteligencia social considerable.

Sin embargo, a Urbano VIII el sarcasmo de Galileo no sólo no le molesta, sino que la obra le encanta –imagino que, en parte, porque era en su honor–, y alaba la fina pluma del pisano, algo que me hace reír por lo que vendría después: qué gracioso se nos hace lo hiriente cuando no somos nosotros las víctimas, y cuánto cambian las cosas cuando lo recibimos nosotros, ¿verdad?

Sin embargo, por más que pareciese que las cosas le iban bien, con el Papa de su parte, todo iba a empezar a ir fatal. Y, en parte, la razón es precisamente el apoyo del Papa, que envalentona a nuestro amigo… pero de eso hablaremos la semana que viene, en la segunda parte del artículo, donde Galileo sufre terriblemente pero después nos regala con maravillas de las que alegran la vida. Hasta entonces.

Aviso: Este artículo no es sólo mío. Tal vez conozcas Historia de un ignorante… ma non troppo, de Macluskey, la serie en la que nos deleita de vez en cuando con obras de música clásica analizadas de manera asequible para ignorantes como yo. Esta entrada repite fragmentos de su maravilloso artículo sobre la Toccata y Fuga en re menor de Bach, además del hecho de que mi renovado interés en Johann Sebastian se debe, básicamente, a ese artículo de Macluskey. Si no conoces la serie en general, y esta entrada en general, ¿a qué estás esperando, alma de cántaro? Posteriormente hablaremos de otra entrada más dedicada a una obra de Bach, también imprescindible, pero puedes empezar con ésa.

En cualquier caso, mientras que Mac es ignorante ma non troppo, yo soy ignorante troppissimo. La música, como las matemáticas, es cruel… yo las amo, y ellas me desprecian. Me emociono con ellas (y, en el caso de Bach, ambas se combinan para un mayor placer), y a veces veo un rasgo, una pincelada que comprendo en ellas… pero siempre acaban escapándose y no consigo entenderlas de verdad. ¡En fin! El caso es que en este artículo probablemente se digan barbaridades, y acepto gustoso las correcciones que quienes sabéis de música tengáis a bien hacer. Mi intención, como siempre en esta serie, no es dar una cantidad enorme de información, sino dar pinceladas y, si es posible, despertar en ti el gusanillo para que sigas aprendiendo de este asunto utilizando fuentes más doctas que ésta.

Dicho esto, vamos con el divino alemán.

Este futuro adicto a la cafeína nació en 1685 en Eisenach, en Turingia. Aunque, como veremos luego, su talento era extraordinario, su destino como músico estaba más o menos decidido desde su nacimiento, porque mamó música desde la cuna. Tanto su padre como varios de sus tíos eran músicos profesionales, y la familia Bach tenía una reputación considerable antes de que Johann Sebastian tocase una sola nota; posteriormente, claro, la fama del recién llegado eclipsaría a las de toda su familia, anterior y posterior, y hoy en día para referirnos a cualquier Bach menos a él hace falta decir el nombre de pila, mientras que Bach a secas sólo hay uno. Antes de que Johann Sebastian se convirtiera en el genio que resultaría ser, “el Bach” era su tío Johann Christoph, un organista muy famoso que murió cuando el joven Bach tenía sólo nueve años.

Aunque su padre, Johann Ambrosius, lo introdujo en el mundo de la música, la mayor influencia en la infancia de Bach se debió a su hermano mayor Johann Christoph (sí, el mismo nombre que el tío). Los dos padres de Bach murieron muy pronto y a los diez años era huérfano, con lo que su hermano se hizo cargo de él. Johann Christoph era maestro organista en la ciudad de Ohrdurf, también en Turingia, con lo que el chaval se convirtió en una especie de ayudante y aprendiz de su hermano: copiaba obras musicales e imagino que era “el becario” que hacía todo tipo de trabajos necesarios y aburridos, pero de paso aprendía rápidamente teoría y práctica musical en general, y del órgano en particular –aunque Johann Christoph también lo instruyó en otros instrumentos de teclado de la época–.

El mundo de Bach, a pesar de su hermano, se hubiera quedado bastante pequeño en Ohrdurf, pero a los catorce años recibió una beca y se mudó a Lüneburg (cerca de Hamburgo), donde entró a formar parte del coro de la Escuela de San Miguel y recibió la educación formal de la época; la Escuela de San Miguel era un colegio de mucho prestigio, al que acudían los hijos de muchos nobles alemanes. Bach tuvo, como consecuencia de estudiar allí, una educación exquisita, y aprendió varios idiomas, física, matemáticas, geografía, etc. Naturalmente, su formación musical avanzó mucho allí, aunque no sé si ya destacaba como intérprete de órgano y clavicordio o no.

Sospecho que, tan joven aún, sus habilidades no debían de ser demasiado impresionantes, porque tras salir de la escuela hizo las pruebas de organista en Sangerhausen… y no lo contrataron. Quien se convertiría en el compositor más importante del barroco –y, para algunos, el más brillante que ha existido nunca– entró a formar parte de la troupe musical de la corte del Duque de Weimar, en su natal Turingia. Una vez más, sus tareas seguramente fueron menores y “de becario” a sus 18 años. Sin embargo, aquí su talento ya debe de haber sido notable, pues tras sólo siete meses en Weimar, fue contratado como organista por la Iglesia de San Bonifacio en Arnstadt. Esta ciudad también está en Turingia y la familia de Bach era lo suficientemente influyente en la zona como para haber tenido un papel en esta contratación… pero no creo que hubieran elegido a Johann Sebastian si no hubiera sido un organista realmente bueno.

En esta primera época de su vida, Bach no permaneció demasiado tiempo en ningún puesto ni en ninguna ciudad. En Arnstadt sólo estuvo tres años, tras los que obtuvo un mejor puesto en Mühlhausen, donde se casó con una prima segunda, Maria Barbara. Tampoco duró mucho más de un año en Mühlhausen, y en 1708 volvió a Weimar otra vez, ¡a la corte del mismo Duque de Weimar de unos años antes! Pero ahora, con veintitrés años, Bach ya no es un mindundi: vuelve como maestro de conciertos y organista de la corte, con un gran número de músicos a su disposición y con un prestigio considerable. En Weimar compone una barbaridad de obras: antes, como había sido organista de iglesias, había escrito música mayoritariamente religiosa, pero ahora escribe mucha música sacra, de complejidad cada vez mayor, deleitándose sobre todo en la maravilla que es el contrapunto, del que hablaremos en un momento.

No estoy seguro de por qué, Bach acaba muy mal en Weimar. Tras la boda de la hermana del Príncipe Leopold de Anhalt-Köthen con el Duque de Weimar, Leopold echa el ojo a Bach –profesionalmente, se entiende–, y cuando el director musical de su corte se va, ofrece el puesto a Johann Sebastian. Bach acepta, pero parece ser que no sigue los procedimientos correctos al solicitar su baja, y el Duque de Weimar no se anda con chiquitas — Bach es arrestado y permanece detenido casi un mes. Finalmente, en 1718 consigue largarse y unirse a la corte de Leopold.

Durante esta época, Bach sigue componiendo mucha música no religiosa, porque Leopold era calvinista, y la tradición calvinista utilizaba música religiosa muy simple… demasiado simple para estimular a Bach. De modo que durante estos años compone, por ejemplo, los famosos Conciertos de Brandeburgo y varias obras de El clave bien temperado, del que hablaremos en un rato. Creativamente es una muy buena época para él, aunque personalmente no tanto, ya que su mujer muere. Naturalmente, un viudo en esa época no duraba mucho, y muy pronto se casa de nuevo, con una muchacha de dieciocho años –él tenía treinta y cinco–, con la que tendría una barbaridad de hijos.

Finalmente, en 1723 abandona a Leopold para asentarse en lo que será su hogar hasta su muerte en 1750: Leipzig, en Sajonia. Allí se convierte en Cantor de la Thomasschule, la Escuela de Santo Tomás, además de director musical de muchas iglesias de la ciudad y una verdadera personalidad. Allí es donde representa la Cantata del café en la que, humorísticamente, elogia la bebida que tanto le gustaba, y allí pasa los veintisiete años de vida que le restan.

Bach, unos meses antes de morir (1750).

En este caso, dadas sus responsabilidades, compone mucha música sacra: la Thomasschule y la Thomaskirche a la que pertenece son luteranas; el propio Bach era un ferviente luterano, y su fe se vuelca en muchas de sus obras religiosas, como la Pasión según San Mateo que compondrá en Leipzig. Si no conoces esta obra y, sobre todo, si tienes la idea equivocada de que la música de Bach es “intelectual” y no “emocional”, podrías utilizar el tiempo de maneras inútiles, o bien dirigirte a la magistral entrada de Macluskey en El Cedazo sobre esta misma obra, en la que puedes escucharla de cabo a rabo mientras aprendes sobre ella. Es un magnum opus de tal magnitud que no puedo ni empezar a describirla aquí.

La Pasión según San Mateo, de la mano del propio Bach.

Tampoco significa esto que abandone las obras más juguetonas, más matemáticas y menos profundas emocionalmente… que son, aunque suene irreverente, las que más me gustan. Su inacabada El arte de la fuga, publicada tras su muerte, es de una complejidad y maravilla tremendas. Y de eso quiero hablar precisamente: de juegos, complejidad y maravilla.

Como he dicho al principio, yo amo la música pero ella no me corresponde y no se rinde a mí: no la entiendo. Escuchar a Bach, por ejemplo, me produce un gran placer, y sé que parte de ese placer es intelectual e involucra las matemáticas, pero no sé exactamente cómo ni por qué. Con la ayuda de Macluskey y algún artículo al que enlazaré al final, voy a intentar explicar, con las limitaciones de espacio, conocimientos y talento evidentes, al menos por dónde van los tiros.

La música de casi cualquier cultura y época tiene dos elementos comunes: el ritmo y la melodía. El ritmo depende, básicamente, de la repetición de los sonidos en intervalos determinados, y es posible tener ritmo con un instrumento de percusión que ni siquiera produzca notas reconocibles. Dependiendo de la época y el tipo de música, el ritmo es más o menos importante –en la música más popular hoy en día, por ejemplo, tiene un papel fundamental–, pero ha estado ahí casi desde el principio. La melodía también ha estado ahí desde que se emitió el primer sonido musical con la voz: se trata de la sucesión de sonidos de diferentes frecuencias, en distintos momentos, que se convierte en nuestro cerebro, en vez de en una sucesión de “cosas” separadas, en “una sola cosa” que resulta agradable de escuchar. Puesto que la melodía incluye los momentos en los que se introduce cada diferente sonido, el ritmo es parte de ella — pero es posible tener ritmo sin melodía. El caso es que tanto ritmo como melodía son ancestrales, y durante mucho tiempo fueron suficientes. Qué sucesiones de sonidos resultan agradables es, por cierto, una cuestión muy interesante, aunque de ello hablaremos dentro de un rato, pues Bach tiene mucho que ver con el “sistema de generación de melodías” que utilizamos hoy en día.

Improvisar un determinado ritmo, si se tiene algo de talento, es sencillísimo. Algo parecido sucede con la melodía: sabiendo algo de música y teniendo las aptitudes necesarias, es sencillo improvisar una melodía que suene bien y sea razonablemente interesante. Por eso las músicas que emplean sólo estos elementos no necesitan realmente de la escritura musical: es posible improvisarlas sin problemas, y si se escuchan unas cuantas veces, repetirlas con bastante fidelidad. De hecho, en muchos casos el propio concepto de una estructura musical fija y permanente en el tiempo es una cosa absurda, y cada intérprete toca la música como le parece, aunque sea inspirada en melodías escuchadas anteriormente. A lo que voy es a esto: con ritmo y melodía no hace falta planificar nada, y la música no necesita demasiado de la razón.

Sin embargo, en ciertos momentos y lugares –no en todos, y varias músicas del mundo nunca han utilizado más que melodía o ritmo– apareció un elemento nuevo: la armonía. En Europa, por ejemplo, esto empezó a suceder en la Alta Edad Media en algunos coros de música religiosa. Era posible utilizar más de una voz al mismo tiempo –al principio, literalmente voces humanas, pero el término se refiere también a varios instrumentos tocando melodías distintas– , y obtener un resultado muy agradable al oído. Se trata de la polifonía frente a la monodia de una sola voz, y consiste precisamente en eso: en producir más de una melodía simultáneamente, de modo que el conjunto suene bien. Esto es muchísimo más difícil de conseguir que de sugerir, pero el resultado es maravilloso cuando se hace bien.

La cuestión está en que, igual que las sucesiones de sonidos de distintas frecuencias pueden sonar bien o mal dependiendo de la relación entre ellos, lo mismo pasa para varias melodías simultáneas: dependiendo de qué notas musicales suenen a la vez o muy próximas, la cosa suena muy bien o fatal. Por lo tanto, hace falta elegir las notas de cada melodía que vaya a sonar a la vez de modo que “encajen” unas con otras. Estoy seguro de que alguna vez has escuchado “Noche de Paz” cantada a dos voces, y la relación entre ellas da una riqueza a la música que no está ahí cuando se canta con una sola voz. Es como si se añadieran “capas melódicas”, en vez de tener una música más “plana”: esta dimensión vertical es tanto más rica cuantas más melodías se añaden, pero también se hace más complicada.

Los primeros ejemplos de esto son, de hecho, bastante simples, pero en ellos está ya el cambio de paradigma: la música se convierte en algo planeado e intelectualmente complejo. Hace falta elegir melodías que encajen entre sí, y esto requiere de cuidado y, por así decirlo, “cálculo”, aunque se trate de una clase de cálculo que involucra el talento musical. No en vano es tan común que quien sea talentoso en matemáticas lo sea también musicalmente. Además de la mayor dificultad al componer, este tipo de obras prácticamente requieren de una forma escrita, sobre todo si hay más de dos voces, porque ¿cómo demonios se va a acordar alguien de lo que ha oído sin apuntarlo en algún sitio? Tanta planificación debe quedar registrada, al menos de forma esquelética –era muy común escribir la “base” de cada voz, y que el intérprete improvisase sobre ella, pero siempre volviendo a ese esqueleto de referencia–.

Tampoco es fácil interpretar música de varias voces: ¿cómo lo haces, por ejemplo, con una flauta? Básicamente hay dos opciones: o bien hay varios músicos involucrados, como en el caso de un coro, o bien el instrumento de un solo intérprete permite tocar varias melodías simultáneamente, como pasa con un arpa, un clavecín o un órgano. De modo que esto no sólo hace la música más difícil de componer, sino también de interpretar: la música va abandonando su accesibilidad. Cualquiera puede inventar una pequeña y simple melodía, o un ritmo de tambor, pero ¿intercalar dos voces que suenen bien juntas, y luego interpretar eso? Ya no es tan fácil.

De hecho, en parte el cambio está también ahí: se empieza a escribir música que no sólo suene bien, sino que consiga cosas difíciles. Así no sólo se pone de manifiesto la maestría del compositor al escribirla y del músico al interpretarla, sino que se enfatiza el carácter de juego de la música: ¿hasta dónde puedo llegar? ¿puedo empezar con una melodía y luego añadir una segunda, y una tercera, que hagan cosas realmente complicadas pero que el conjunto suene bien? ¿puedo empezar con una melodía que repita lo mismo y luego cambie ligeramente y que las otras cambien con ella? Cosas así: un juego para el compositor, para el intérprete y para el oyente, algo así como un juego circense de equilibrio o malabarismo, pero intelectual.

Contrapunto en una obra de Bach.

En el Renacimiento aparece un tipo nuevo de polifonía, el contrapunto, que viene del latín punctus contra punctum, estrictamente punto contra punto pero que significa realmente nota contra nota. Alguien que sepa más que yo seguramente podría dar definiciones estrictas, pero dicho mal y pronto, el contrapunto es un paso más allá de la polifonía “a secas”, el término con el que suele llamarse antes de que aparezca el contrapunto. En él, las melodías no sólo son diferentes, sino que ni siquiera tienen siempre el mismo ritmo, y cada una de ellas sería una pieza fascinante en sí misma. Si has oído el “Noche de Paz” a dos voces que he mencionado antes, una de las voces podría cantar el villancico a solas y sonaría perfectamente normal, pero la otra sonaría un poco rara, porque es claramente el acompañamiento de la primera; además, las dos melodías cambian de nota a la vez — muy simple, no es contrapuntística.

Antes del contrapunto renacentista ya se vislumbraban avances en ese sentido. Por ejemplo, la forma musical del canon, como seguro que sabes, tiene como peculiaridad el hecho de que empieza una sola voz y, en un momento determinado, aparece una segunda que repite la melodía de la primera con cierto desfase. Para escribir un canon, por tanto, hay que conseguir que notas de la melodía que compones suenen bien con notas posteriores de la propia melodía desfasadas un tiempo determinado… una tarea que requiere esfuerzo y planificación, aunque nada comparado con lo que estaba por venir.

En el contrapunto renacentista y, más aún, en el barroco –del que Bach es el punto culminante–, cada melodía es realmente compleja, cambian de nota de forma independiente y son maravillas por separado. Aunque no sea un instrumento tan grandioso como el órgano o el piano, o incluso que el más humilde clavecín, el humildísimo clavicordio me parece una manera estupenda de expresar lo que digo, porque la propia sencillez del instrumento permite fijarse en las dos voces entrelazadas. Mientras sigues leyendo, te recomiendo que lo hagas escuchando esta breve interpretación de una obra del propio Bach (la Giga de su Suite Inglesa número 2) en la que hay dos voces que se entrelazan de una forma maravillosa –una ejecutada con cada mano–:

A veces las dos notas suenan a la vez, a veces suena la nota de una melodía mientras hay silencio en la otra, y luego la primera calla y suena la segunda, y luego la primera mientras calla la segunda, pero todo sucede muy rápido, con lo que es como si hubiera una sola melodía de la que cada voz reproduce una mitad… pero de pronto ambas se unen y suenan a la vez, o una se vuelve lenta mientras la otra es rápida, una sube a frecuencias mayores mientras la otra baja más lentamente a menores, etc. Vamos, que componer algo así es, en complejidad, un paso tan grande sobre la polifonía del siglo X como ésta es sobre una melodía simple del siglo IV. Y esa complejidad añade “capas de placer” a la escucha de esas obras.

Como ves, a pesar de utilizar sólo dos voces, el contrapunto de Bach en la pieza de arriba es deliciosamente complicado. A algunas personas este tipo de música les resulta algo fría, lo cual es perfectamente razonable; el propio Bach tiene otras obras mucho más “emocionales”, como la Pasión que hemos mencionado antes. Sin embargo, creo que a veces despreciamos el placer intelectual sin razón — hay un lugar y momento para cada cosa. Algo parecido pasa con las ecuaciones: a mucha gente ver la identidad de Euler puede parecerles frío y sin mucho sentido, mientras que otros pueden encontrarla bella y, el comprenderla o pensar sobre ella, actividades placenteras.

Identidad de Euler. ¿Belleza? ¡Ya lo creo que sí!

El propio Bach compuso obras de una complejidad apabullante; tanto es así que, a diferencia de otros compositores de la época, dejaba poco lugar a la improvisación, pues a diferencia de obras más simples, en muchas de las suyas las notas encajan con tal precisión que es difícil hacer cualquier otra cosa que no sea la planeada por el compositor. A mí me resulta especialmente placentero, en el caso de obras como la de arriba, mirar las manos del intérprete según toca, porque me da una idea más acertada –en mi ignorancia– de lo que está haciendo cada melodía, aunque suenen ambas a la vez.

Sin embargo, para mí el “antes y después” al escuchar a Bach lo supuso un vídeo que Macluskey mostró en su artículo sobre la Toccata y fuga en re menor: una visualización de las notas de cada voz. Mi problema es que, al ser un zopenco, cuando la cosa se complica demasiado y, sobre todo, cuando hay más de dos voces, lo que acabo oyendo es una pieza monolítica y no soy capaz de saber qué voz es cuál. Desde luego, no hay nada malo en ello, pero cuando vi el vídeo que nos enseñó Mac, en el que pueden visualizarse las notas de una forma muy clara para el profano, fui consciente de la riqueza de la obra y las relaciones entre voces de una manera que nunca había sido antes. El contrapunto no será lo mismo para mí tras experimentarlo así; y espero que, si no leíste aquella entrada de Mac, no lo sea para ti tras ver el siguiente vídeo.

En este caso se trata de la Fantasía y Fuga en la menor, BWV 904 (BWV significa “Bach Werke Verzeichnis” es decir, “Catálogo de Obras de Bach”, para que te hagas una idea de la cantidad de cosas que escribió este individuo excepcional). En este caso no hay dos voces intercaladas… ni tres… sino cuatro. Sin esta visualización, yo sería incapaz de seguirla. Aunque esta interpretación es con varios instrumentos, por cierto, la obra está escrita originalmente para ser interpretada en un clavicordio, ¡llevando dos voces con cada mano! En este caso, te recomiendo que no sigas leyendo, sino que te pierdas en la visualización de la música y, si no lo has sentido hasta ahora, te regodees como un niño ante el juego que se presenta ante ti. No te pierdas el tema inicial, que entra luego como la segunda voz, como si fuera un canon, y una tercera, y una cuarta, pero no se limita a repetirlo, sino que… ¡aaah, no puedo describirlo, mejor lo experimentas tú mismo!:

Tal complejidad requiere, además del talento y los conocimientos suficientes, de una teoría musical avanzada, avanzadísima: a una especie de aproximación cuasi-científica a la composición. Y los compositores se encontraban con un problema que no había existido cuando la música era cantada con voces humanas y, sobre todo, cuando existía una sola voz: cuando se subía mucho por la escala musical o se bajaba mucho, las cosas no encajaban. Explicar esto en detalle sería muy largo, pero intentaré resumirlo para que te hagas una idea, ya que el bueno de Bach hizo avanzar las cosas mucho en este sentido.

Para el oído humano, cuando se duplica la frecuencia de un sonido, se percibe otro muy parecido al original; por ejemplo, la frecuencia de 440 Hz corresponde a la nota la. Si escuchas otro sonido de 880 Hz, volverá a sonarte como la, aunque más agudo. Estás oyendo la misma nota, pero una octava más arriba. Lo mismo con cualquier otro múltiplo similar: 27,5 Hz, 55 Hz, 110 Hz, 220 Hz, 440 Hz, 880 Hz, 1760 Hz, 3520 Hz, 7040 Hz, 14080 Hz… todos te sonarán como la misma nota, subiendo o bajando octavas.

¿Por qué “octavas”? Porque en casi todos los sistemas musicales que alcanzan cierto nivel teórico se divide ese intervalo entre una frecuencia y su doble en siete trozos. Cómo se divide depende del sistema musical, y cada uno tiene ventajas e inconvenientes. Por razones que desconozco, ciertos múltiplos y submúltiplos de una frecuencia “suenan bien” a nuestro oído (son consonantes entre sí) mientras que otros no (son disonantes). Por ejemplo, ya hemos dicho que f y 2f son la misma nota. 1,5f, es decir, 3/2 de f, también suena bien con ellas; y lo mismo sucede con 4/3 de f, pues 4/3 de f es 2/3 de 2f. Con lo que ya tenemos varias notas consonantes de f: 4f/3, 3f/2 y 2f. Pero si repetimos el proceso tenemos que 3f/2 * 3/2 suenan bien entre sí, lo que nos da 9/4 de f. Pero ¡un momento! 9/4 es más de dos, así que si nos mantenemos en el intervalo f-2f tenemos que dividir esa cantidad por 2, que será la misma nota musical, pero dentro de nuestra octava: así tenemos 9/8 de f.

Si hacemos lo propio con 9/8 * 3/2 tenemos 27/16 de f, que también está dentro de nuestro intervalo. Ya tenemos como múltiplos de f: 1, 9/8, 4/3, 3/2, 27/16, 2. Pero 27/16 * 3/2 resulta ser 81/32, que es más grande que 2, luego lo dividimos entre 2 y tenemos 81/64 que sí entra dentro de nuestro intervalo. Hemos llegado casi al final: 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 2. Puesto que 81/64 * 3/2 es 243/128, que sigue estando dentro de nuestro intervalo, tenemos la secuencia de ocho notas: 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, 2, es decir una octava. Podríamos seguir dividiendo, pero tradicionalmente sólo se da “nombre propio” a esas siete notas –recuerda que la octava vuelve a ser la primera–… sólo que hoy no utilizamos estas proporciones.

Durante muchos siglos se emplearon éstas, pero había un problema, para el que tenemos que seguir hablando de múltiplos de frecuencia. Como puedes ver, la quinta nota respecto a la primera tiene una frecuencia de 3/2 (1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2), por lo que está una quinta por encima de ella. Cuando empezaron a componerse obras polifónicas, se vio que una melodía interpretada en una frecuencia y una quinta por encima o por debajo sonaba muy bien. Hasta aquí, todo perfecto.

El problema está en llevar el asunto más lejos: una quinta por encima de una quinta está 3/2 * 3/2 por encima, es decir, 9/4 por encima de ella, y sigue sonando bien con la primera. La siguiente está 9/4 * 3/2 por encima, es decir, 27/8, etc. Si seguimos subiendo quintas –y el oído humano puede percibir un rango de frecuencias bastante grande, entre 20 y 20 000 Hz para un jovenzuelo–, la cosa ya no suena tan bien. Por ejemplo, doce quintas por encima de la nota original estamos en una frecuencia (3/2)¹² veces superior, es decir, 129,746337891 veces superior. Y esa nota es casi, casi, casi exactamente igual que la nota inicial. Fíjate: al duplicar la frecuencia, mantenemos la nota en la siguiente octava. La siguiente es 4 veces superior, la siguiente 8, 16, 32, 64 y 128. De modo que subir doce quintas y subir siete octavas es muy parecido. Pero, como comprenderás, oír dos sonidos de frecuencias similares pero no iguales es discordante, y las cosas suenan fatal cuando utilizas esas proporciones y vas muchas quintas arriba o abajo.

De modo que, si te restringes a una sola voz –de modo que no pueda comparar su frecuencia con ninguna otra más que la de las notas que la preceden y la siguen– y a una sola quinta o unas poquitas alrededor de la inicial, todo va bien. Pero si quieres escribir una obra contrapuntística en la que varias voces suenan simultáneamente con frecuencias muy diferentes, te encuentras con un problema. Todo se resolvería perfectamente si (3/2)¹² = 2⁷, es decir, si 129,746337891 fuera 128. Y la manera de resolverlo, de una manera elegante y mucho más simple que todo ese tostón de 81/64, 243/128 y demás, es el temperamento igual, uno de cuyos primeros defensores fue un compositor, teórico de la música e intérprete de laúd italiano, cuyo apellido tal vez te suene: Vincenzo Galilei. Pero ¿en qué consiste el temperamento igual?

La idea es la siguiente: entre cada una de las notas de la afinación o temperación que he descrito arriba (1, 9/8, 81/64, etc.) no hay intervalos de proporciones uniformes. Pero ¿qué sucedería si los cambiáramos, de modo que al subir doce quintas obtuviéramos, en vez de 129,746337891, 128? Resolverlo matemáticamente no es difícil. En vez de 3/2 para la quinta, utilicemos otro número, x, de modo que x¹² = 2⁷. Si despejamos x, tenemos que x = 2^7/12, es decir, 1,49830707688… en vez de 1,5 (es decir, 3/2). La diferencia entre una quinta de 3/2 y una quinta de 2^7/12 es de tan sólo el 0,1%, algo inapreciable para casi cualquiera –no sé si alguien con un oído privilegiado puede notar la diferencia–.

Con el sistema defendido por Galilei, la octava puede dividirse en doce notas, cada una de las cuales tiene una frecuencia 2^1/12 veces la anterior, de modo que la número doce sea 2^12/12 veces la primera, es decir, el doble de frecuencia. Si nos movemos siete posiciones sobre la primera, tenemos una frecuencia 2^7/12 la primera, es decir, una quinta por encima. Evidentemente, no se le da nombre a todas, sino que algunas de las doce son sostenidos/bemoles, para mantener los nombres antiguos del resto, con lo que las siete notas de antes tienen ahora otras intermedias que no reciben nombre propio.

Con este temperamento igual es posible subir o bajar quintas indefinidamente sin temor: cada doce quintas que se suba o se baje, uno estará cinco octavas por encima o por debajo, y todo encaja perfectamente para composiciones con voces muy separadas, en frecuencia, unas de otras. Pero hay un problema que, para algunos, era tremendo: sí, tal vez la diferencia fuera pequeña en porcentaje, pero hay una diferencia conceptualmente tremenda… los intervalos de antes eran todos fracciones –unas más simples que otras, pero fracciones–. El nuevo sistema supone que todos los intervalos sean números irracionales, inexpresables mediante cualquier fracción algebraica. ¡Infinitos decimales, maldición! La imperfección conceptual era insoportable para muchos, y la idea establecida desde épocas ancestrales (Pitágoras) de que las notas son consonantes cuando las frecuencias tienen proporciones de fracciones sencillas estaba en peligro.

De modo que había que elegir: la perfección de las fracciones y las “notas perfectas” que restringían las composiciones, o la aproximación de las “notas imperfectas” que se parecían mucho a las originales pero no eran exactamente iguales, y estaban descritas por raíces duodécimas. ¿Merecía la pena la aproximación? ¿Era posible componer obras tan complejas y maravillosas que nunca se hubieran podido hacer con el antiguo sistema? ¿Quién podía decirlo? ¿Quién?

Johann Sebastian Bach. Con un par.

Para demostrar la riqueza del temperamento igual, nuestro cafeinómano compuso dos preludios y dos fugas en clave mayor, y dos en clave menor, para cada una de las doce notas en las que rompía la octava el temperamento igual. Obras de una precisión, complejidad, belleza e inteligencia absolutamente indescriptibles, que compiló en una obra de dos volúmenes, Das wohltemperierte Klavier (El clave bien temperado ), donde el “clave” es el teclado, referido a un clavecín afinado con el nuevo sistema.

Se trata de una especie de “¡zas, en toda la boca!” a los detractores del nuevo sistema, que agacharon las orejas, reconocieron la maestría de Bach y la superioridad del nuevo sistema de afinación, y a otra cosa, mariposa. Ni Mozart, ni Beethoven, ni tantos otros hubieran podido componer lo que compusieron sin esta proeza de Johann Sebastian Bach. Estos compositores, por cierto, fueron admiradores profundos de Johann Sebastian, en una época en la que su popularidad no era tan grande como su talento merecía.

Sí, aunque parezca mentira, tras su muerte, Bach fue recordado más como profesor y padre de algunos de sus hijos –también compositores e intérpretes– que como compositor. Estaba surgiendo un nuevo tipo de música, el barroco moría, y Bach resultaba anticuado. Sólo algunos genios –como Beethoven o Mozart– eran conscientes, al leer sus partituras o escuchar sus obras, de la enormidad de su genio. En algunos casos puede incluso notarse un “antes y después” de compositores que, tras exponerse a la música de Bach, escriben de un modo más complejo y “contrapuntístico”. Pero al gran público hubo que redescubrírselo, y el responsable principal fue el bueno de Felix Mendelssohn, quien representó una versión abreviada de La Pasión según San Mateo en Berlín en 1829 y dejó al público patitieso. A partir de entonces, Bach recuperó su trono y ahí ha permanecido hasta ahora, y su aproximación “científica” a la música no tiene igual.

Vincenzo Galilei (c. 1520-1591).

Sin embargo, aunque no sea comparable a él, no debemos olvidar al otro “científico musical” del que hemos hablado hoy, Vincenzo Galilei, quien ya propuso la temperación igual bastante tiempo antes de Bach, además de realizar distintos experimentos relacionados con la acústica con un rigor y una inteligencia notables. Desde mucho tiempo atrás se sabía, por ejemplo, que la frecuencia de un sonido emitido por una cuerda tensa era inversamente proporcional a la longitud de la cuerda, pero Galilei descubrió que era también proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda. Para demostrarlo, Vincenzo utilizaba pesas, que colgaba de las cuerdas: cuanto más peso colgaba de la cuerda, más tensa estaba, y más agudo era el sonido emitido. Para producir dos notas separadas, por ejemplo, por una quinta (recuerda, frecuencias en una relación de 3/2), no hacía falta poner 3/2 veces más peso en una cuerda que en otra… sino 9/4.

Esta sistematización del estudio de la acústica es extraordinaria –estamos hablando del siglo XVI–: observación de un sistema físico, experimentación y modelización matemática posterior para establecer predicciones. Y este modo de hacer las cosas, aunque con un genio mucho mayor, fue inculcado a su hijo, el divino Galileo Galilei. Pero hablando de Galileo Galilei…