En este anexo, por cierto, vamos a centrarnos en los aspectos directamente relacionados con las cuatro ecuaciones de Maxwell y la ley de Lorentz, y no dar una visión completa de la historia de la relatividad especial. Tampoco vamos a continuar con la propia teoría einsteniana, entre otras cosas porque ya tenemos una serie completa dedicada a ella. Para comprender la segunda parte de este anexo es esencial haber entendido algunos conceptos de relatividad, como la contracción de la longitud, de modo que si no has leído aquella serie te recomiendo que lo hagas antes de seguir aquí.

Lo que sí podemos hacer es ir más allá de lo que lo hicimos en el preludio a Relatividad sin fórmulas. Allí hablamos –como lo haremos brevemente hoy– del experimento de Michelson-Morley para detectar la velocidad de la Tierra respecto al éter, pero no de la otra cara de la moneda, la teórica: la inspiración de Einstein en las ecuaciones de Maxwell y su invariancia para desarrollar su teoría. No lo hicimos porque era imposible sin conocer las ecuaciones de Maxwell, pero ahora la cosa es diferente.

No voy a repetir en detalle los avisos del anexo anterior, porque son los mismos: aunque he hecho lo posible por explicar esto con razonamientos lo más claros posibles, esto no es fácil de entender, es abstracto, confuso y endiabladamente complicado. Así que ya puedes engrasar las neuronas y la paciencia si quieres seguir; por otro lado, si sabes de esto, deja de leer, bébete un batido, pasea al perro o haz algo más útil con tu vida que leer mis simplificaciones abyectas.

¿Listos? Pues vamos con ello.

Como dijimos al terminar el anexo anterior, la teoría electromagnética de Maxwell, aunque era de una belleza extraordinaria, presentaba un problema que se hizo evidente en las décadas posteriores a su publicación, y realmente acuciante en los últimos años del siglo. La raíz de este problema era el hecho de que en la mecánica primaba el principio de relatividad de Galileo, del que hemos hablado más en profundidad al hacerlo del italiano hace unos meses. Según este principio, cualquier experimento realizado por dos observadores diferentes que se muevan el uno respecto al otro con velocidad constante proporciona exactamente los mismos resultados para ambos: es imposible afirmar que uno está quieto y el otro se mueve. Este principio físico aún estaba presente a finales del XIX, puesto que todos los experimentos lo habían confirmado hasta entonces.

Pero las ecuaciones de Maxwell y Lorentz no eran iguales para todos los observadores: la velocidad de las ondas electromagnéticas se medía respecto al éter, y la velocidad de un cuerpo cargado que sufre la fuerza de Lorentz también. El principio de relatividad de Galileo quedaba, por lo tanto, invalidado en la práctica. El italiano sostenía que no era posible saber quién estaba parado y quién se movía, pero resolver el dilema era tan sencillo como coger una linterna y medir la velocidad de la luz. Si tú mides 300 000 km/s y yo no, es que tú estás en reposo respecto al éter y yo no. Sí existe un sistema de referencia privilegiado, un “espacio absoluto”, y ese sistema está definido por el éter.

Hasta aquí, desde luego, no hay problema experimental por ninguna parte, y el propio Maxwell estaba satisfecho con medir las velocidades respecto al éter, ya que el escocés estaba convencido de su existencia. El problema experimental surgió cuando se intentó medir la velocidad de la Tierra respecto al éter y se comprobó repetidas veces que la Tierra estaba en reposo respecto al éter todo el tiempo, ¡incluso según cambiaba de velocidad en su movimiento alrededor del Sol! No voy a dedicar más tiempo a los experimentos correspondientes porque lo hicimos en Relatividad sin fórmulas y no tendría sentido repetirlos aquí.

En lo que quiero centrarme hoy, porque es lo que inspiró a Einstein a desarrollar su teoría, es en un aspecto diferente en el que la luz no desempeña ningún papel pero que también muestra el carácter absoluto del espacio de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell; creo que a estas alturas estás preparado para afrontarlo, tras asimilar las leyes de Gauss (ambas), Faraday y Ampère-Maxwell.

Para comprender el problema inherente a las ecuaciones y las consecuencias extrañas que se derivan de ellas utilizaremos un ejemplo concreto –que no es mío, sino que es un clásico al explicar este tipo de cosas a gente que conoce las ecuaciones de Maxwell y Lorentz–. Mi objetivo con este ejemplo es, por un lado, mostrar cómo lo que observan dos personas diferentes que se mueven una respecto a la otra no es lo mismo en ambos casos, violando así el principio de relatividad de Galileo, y por otro lado cómo resolver el problema modificando nuestro punto de partida desde un espacio absoluto hacia una relatividad del espacio y el tiempo.

Imagina, como haría Maxwell, que tenemos un cable eléctrico rectilíneo e infinitamente largo, en reposo respecto al éter, por el que circula una corriente determinada. El cable tiene exactamente el mismo número de protones que de electrones, es decir, no tiene carga eléctrica neta. Los electrones del cable, eso sí, se mueven a una velocidad hacia la derecha respecto al éter. Tú, estimado y paciente lector, estás en reposo respecto al éter, y observando lo que sucede a su alrededor. Lo que verías sería algo así (protones en reposo y electrones en movimiento):

De acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell –que tú, como observador, conoces bien– debido a esta corriente eléctrica el cable produce a su alrededor un campo magnético cuyo rotacional puedes calcular sin problemas, aunque aquí no lo hagamos. Debido a que no hay ningún campo eléctrico variable cerca, la ecuación de Ampère-Maxwell se queda sólo con la primera parte, sin la corrección de Maxwell:

Como digo, podríamos calcular la densidad de corriente J a partir de las cargas del cable y su velocidad, y con ella el campo magnético alrededor del cable, etcétera. Pero lo importante no es eso, es el hecho de que alrededor del cable aparecerá un campo magnético como el que movía las limaduras de hierro en las experiencias de Faraday, y que “girará” alrededor del cable como si éste fuera un tornillo, de una manera parecida a ésta:

Imagina ahora que situamos un protón libre y díscolo cerca del cable que se mueve hacia la derecha a una velocidad respecto al cable:

De acuerdo con la ley de Lorentz, ese protón sufrirá una fuerza magnética. Dado que, una vez más, aquí no hay ningún campo eléctrico, la fuerza de Lorentz sólo tiene el término correspondiente al campo magnético:

Ya sé que esto parece un repaso inane a lo que ya sabes, pero paciencia. Podríamos calcular cuánto vale esa fuerza pero, una vez más, eso nos da igual; lo importante es que el protón sufre una fuerza magnética debida al campo magnético creado por el cable. Esa fuerza es, por cierto, perpendicular tanto a la velocidad del protón como al campo magnético y, aunque no sea muy importante, en este caso está dirigida hacia abajo:

Aunque estemos hablando de un problema teórico, por cierto, esto realmente sucede: si pones una carga moviéndose paralelamente a un cable por el que circula corriente, la carga sale disparada en una dirección perpendicular al cable. Hasta aquí, todo normal. Tú, como observador en reposo respecto al cable, deberías ver el protón curvar su trayectoria hacia abajo separándose del cable debido al campo magnético.

Veamos qué observo yo, que no estoy en reposo respecto al cable sino que me muevo hacia la derecha a velocidad , exactamente la misma que la de los electrones en el cable y el protón fuera de él. Claro, como yo viajo respecto al cable a la misma velocidad que los electrones y el protón, veo parados tanto a unos como al otro. Lo que yo veo moverse es a ti y al resto del cable –es decir, los protones– a la izquierda a la misma velocidad :

Por lo tanto, yo también veo que el cable transporta una corriente eléctrica, en este caso debido no al movimiento de los electrones hacia la derecha sino de los protones hacia la izquierda. Curiosamente, la intensidad de corriente que veo es exactamente la misma que tú: la misma cantidad de carga –pues hay el mismo número de electrones que de protones–, la misma velocidad y, aunque aquí el movimiento es al contrario que antes, como la carga también es la opuesta –positiva en vez de negativa– la intensidad de corriente es exactamente igual que la que veías tú. Hasta aquí nos libramos de paradojas raras.

Es más, puesto que veo la misma intensidad de corriente, la ley de Ampère-Maxwell predice exactamente el mismo campo magnético que veías tú:

Pero ahora nos topamos con un problema de cuidado. De acuerdo con la ley de Lorentz, ¿qué fuerza sufrirá el protón?

Absolutamente ninguna.

Cuando hablamos de la ley de Lorentz hicimos énfasis en que el campo magnético se diferencia del eléctrico en que sólo actúa sobre cargas en movimiento. Al mirar la situación tú, la fuerza de Lorentz era , pero ahora la velocidad del protón es cero, luego el producto de esa velocidad por el resto de factores es cero, y el protón no sale disparado para ninguna parte y, desde luego, no se separa del cable.

¿Cómo es posible esto? ¿Cómo puedes tú ver que el protón se aleja del cable y yo no? La única respuesta clásica posible, desde luego, es que lo que sucede es lo que ves tú, y no yo, porque la velocidad en la ley de Lorentz es la velocidad respecto al éter, que es el sistema de referencia “de verdad” respecto al cual suceden los fenómenos electromagnéticos, luego no hay principio de relatividad galileana que valga. Tú estás parado de verdad, yo me muevo de verdad, y ambos vemos al protón separarse del cable. Sin embargo, esta respuesta producía una inmensa insatisfacción en muchos, entre ellos en el propio Lorentz, en Henri Poincaré y en Albert Einstein.

Desde luego, sería una respuesta válida si se comprobase que, efectivamente, el éter existe y es un sistema de referencia absoluto. Sin embargo, todos los experimentos que trataron de demostrar ese hecho fracasaron estrepitosamente. ¿No podría, se preguntó Einstein, haber una explicación alternativa que no violase el principio de relatividad y que predijera que tanto tú como yo observamos lo mismo?

Ése es el punto del que parte el alemán para establecer una base diferente: la suposición de que lo real es el principio de inercia –que siempre se había comprobado empíricamente– y no la existencia del éter y el movimiento absoluto –cuya existencia no había sido probada–. En 1905 Einstein publica su Zur Elektrodynamik bewegter Körpe (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento), donde establece sus dos famosos postulados y asombra al mundo con su teoría especial de la relatividad. Pero, como ves por el nombre, el origen último de la inspiración de Einstein es el electromagnetismo.

En el prólogo, inmediatamente tras explicar un experimento teórico ligeramente distinto pero equivalente al nuestro, Einstein afirma:

Otros ejemplos de esta índole así como los intentos infructuosos para constatar un movimiento de la Tierra con respecto al “medio de propagación de la luz” permiten suponer que no solamente en mecánica sino también en electrodinámica ninguna de las propiedades de los fenómenos corresponde al concepto de reposo absoluto. Más bien debemos suponer que para todos los sistemas de coordenadas, en los cuales son válidas las ecuaciones mecánicas, también tienen validez las mismas leyes electrodinámicas y ópticas, tal como ya se ha demostrado para las magnitudes de primer orden.

Queremos llevar esta suposición (cuyo contenido será llamado de ahora en adelante “principio de la relatividad”) al nivel de hipótesis y además introducir una hipótesis adicional que solamente a primera vista parece ser incompatible con el principio de la relatividad. Dicha hipótesis adicional sostiene que la luz en el espacio vacío siempre se propaga con cierta velocidad v que no depende del estado de movimiento del emisor.

Basándonos en la teoría de Maxwell para cuerpos en reposo, estas dos hipótesis son suficientes para derivar una electrodinámica de cuerpos en movimiento que resulta ser sencilla y libre de contradicciones. La introducción de un “éter” resultará ser superflua puesto que de acuerdo a los conceptos a desarrollar no es necesario introducir un “espacio en reposo absoluto”, ni tampoco se asocia un vector de velocidad a ninguno de los puntos del espacio vacío en los que se llevan a cabo procesos electromagnéticos.

A partir de ahí, el alemán realiza los razonamientos que ya vimos en Relatividad sin fórmulas y obtiene cosas sorprendentes. Otros además de él habían ya intentado dar soluciones teóricas parciales al problema: Hendrik Lorentz, George Francis FitzGerald, Heaviside y sobre todo Henri Poincaré sugirieron hipótesis y teorías que resolvían varios de los problemas planteados por la incongruencia entre el carácter absoluto del electromagnetismo y el relativo de la mecánica.

De hecho, una de las posibles explicaciones al fracaso del experimento Michelson-Morley, sugerida por FitzGerald, era que al moverse respecto al éter, las fuerzas eléctricas y magnéticas que mantienen las moléculas unidas unas a otras se ven afectadas de modo que se produce una contracción en la longitud de los objetos en la dirección del movimiento, lo cual altera los valores de la velocidad de la luz medidos en el experimento. Pero ninguno llegó tan lejos como Einstein, ni de una forma tan limpia, ni desterrando ideas anteriores que no tenían verificación experimental, ni con tal cantidad de conclusiones verificables empíricamente.

Curiosamente, esta contracción de la longitud sugerida por FitzGerald y demostrada por Einstein a partir de sus dos postulados resuelve la aparente contradicción de nuestro experimento en un plis-plas. Quiero dar esta breve explicación no sólo por el puro placer de ver la relatividad en acción (por eso decía al principio que sin entender algo de relatividad esto no se puede seguir), sino porque la conclusión que se obtiene a partir de ella debería llevarte a mirar E y B de otra manera. Si lo hacemos bien tanto tú como yo, debería haber en un momento dado un “encendido de bombilla” de esos que se recuerdan. Veremos.

Retrocedamos al ejemplo del cable y a lo que yo, que me movía respecto a él a la misma velocidad que los electrones y el protón:

Pensemos en lo que yo veo relativísticamente hablando. Los protones del cable se mueven hacia la izquierda luego, de manera inevitable, van a estar más cerca unos de otros de lo que estaban en reposo. De modo que, teniendo en cuenta la relatividad, lo que yo veo se representa más fielmente así:

Los protones están más “apretados”, lo cual sería simplemente un efecto curioso pero no relevante, si no fuera por un pequeño detalle tan importante que lo voy a poner en su propia línea y en negrita:

El cable ya no es neutro.

La distancia entre protones se ha acortado, luego en la región cercana al protón y que nos interesa hay los mismos electrones de antes, pero hay más protones que antes. Como ves en el dibujo, ahora el cable tiene carga eléctrica neta positiva. De acuerdo con la ley de Gauss para el campo eléctrico, por lo tanto, la divergencia del campo eléctrico alrededor del cable será también positiva:

Por lo tanto, el campo eléctrico “sale” del cable y en la posición del protón irá hacia abajo:

y el protón sufre sus efectos de acuerdo con la ley de Lorentz. Ya vimos que el efecto del campo magnético que yo observo sobre el protón es nulo, puesto que el protón no se mueve, ¡pero ahora tenemos un campo eléctrico! La fuerza que sufre el protón será por tanto

Esa fuerza irá en la dirección del campo eléctrico, es decir, alejándose del cable:

¡Ahora todo encaja! El protón, debido a la fuerza de Lorentz causada por el campo eléctrico, es repelido por el cable y se aleja de él, exactamente lo mismo que veías tú desde tu sistema de referencia, de modo que es una vez más imposible saber quién se mueve y quién está parado. La relatividad ha salvado el día y podemos dormir tranquilos… salvo por otro pequeño detalle.

Sí, el protón es repelido por el cable y ambos lo vemos, pero ¿por qué es repelido exactamente? Tu explicación es clara: la corriente del cable crea, de acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell, un campo magnético. El protón es una carga en movimiento en el seno de un campo magnético luego sufre una fuerza que lo separa del cable. Mi explicación es igualmente clara: la contracción en la longitud de los protones del cable hace que éste tenga carga neta positiva. Como consecuencia de la ley de Gauss, crea a su alrededor un campo eléctrico que apunta “hacia fuera” del cable, y ese campo eléctrico empuja al protón alejándolo del cable.

¿Quién ha repelido al protón? ¿El campo magnético, como dices tú, o el campo eléctrico, como digo yo? ¿Quién tiene razón?

Como dije tantísimas veces en Relatividad sin fórmulas, los dos tenemos razón, y la pregunta no tiene sentido. Pero las consecuencias de esto son bastante más profundas de lo que puede parecer en un principio.

Cuando yo observaba lo que sucedía, moviéndome respecto al cable, apareció un campo eléctrico que no existía en el sistema de referencia del propio cable como consecuencia del movimiento relativo entre protones y electrones (pues si ambos se hubieran movido igual, no habría habido carga neta positiva, ya que ambos se habrían contraído del mismo modo). Dicho con otras palabras, el campo eléctrico es un efecto relativista del campo magnético.

Pero la cosa no acaba aquí. Recuerda que nadie tiene razón: es igualmente válido razonar al revés (o inventar un experimento mental diferente con un cable distinto) y ver cómo el campo magnético aparece como consecuencia de un desequilibrio de carga y movimiento relativo, de modo que ese campo magnético produzca el mismo efecto que producía el eléctrico original: el campo magnético es un efecto relativista del campo eléctrico.

No es que uno de los dos sea el “campo de verdad” y el otro una “consecuencia relativista”, no. Hay un solo campo electromagnético, y dependiendo de cómo nos movamos respecto a los objetos lo notamos –y llamamos– como “campo eléctrico” o “campo magnético”, y sus efectos son idénticos tanto en un caso como en otro cuando se aplica la relatividad con cuidado. Damos los nombres a las dos caras de la moneda, pero la moneda es sólo una.

Una vez asimilado esto –y no es fácil–, la ecuación de onda de Maxwell no resulta tan sorprendente, ¿verdad? Los campos eléctrico y magnético están tan entrelazados entre sí que no son más que aspectos de una misma realidad física, luego no resulta sorprendente en absoluto que se afecten el uno al otro como lo hacen de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell. Tampoco lo es el hecho de que hablemos tantas veces del campo electromagnético sin distinguir una de sus facetas de la otra — no es simplemente una manera de hablar, es un modo de reflejar la realidad más profunda que se esconde tras ambos, aunque para comprender esa naturaleza común haga falta entender las ecuaciones de Maxwell y la relatividad, al menos hasta cierto punto.

Y con esto y un bizcocho, despedimos esta miniserie. Espero que hayas disfrutado leyéndola lo mismo que yo escribiéndola –pero ojalá con menos esfuerzo–, y que hayas aprendido cosas que de otro modo se te hubieran escapado. Y, la próxima vez que veas las ecuaciones del buen James, échales una sonrisa, que se lo merecen.

Nota: Una vez este artículo haya pasado vuestro filtro (erratas varias y demás) recopilamos la serie en un librito electrónico y lo anunciamos en cuanto esté listo.

Maxwell podría haber considerado este hecho como una simple curiosidad de los campos eléctrico y magnético, pero reflexionando sobre ello se dio cuenta de dos cosas: por un lado, que ambos campos estaban entrelazados de un modo que los convertía en un auténtico campo electromagnético; por otro, de que las ecuaciones que regían su comportamiento y que el propio Maxwell había obtenido predecían que la interacción entre ambos campos generaría ondas en el espacio. Manipulando sus ecuaciones, el escocés obtuvo el tesoro de la entrada de hoy: la ecuación de onda electromagnética.

James Clerk Maxwell (1831-1879) (dominio público).

A diferencia del primer anexo, el de hoy tiene un único héroe: el propio James Clerk, que obtuvo uno de las predicciones teóricas más sorprendentes realizadas hasta entonces utilizando simplemente un papel, un lápiz y su cerebro. Mi objetivo hoy, por lo tanto, es intentar explicar cómo es posible predecir la existencia de ondas electromagnéticas a partir de las cuatro ecuaciones de Maxwell, y luego hablar sobre algunas de las consecuencias de este hecho. ¿Conseguiré hacerlo sin extenderme más de la cuenta? No, seguramente no.

Antes de empezar, por cierto, un par de avisos: en primer lugar, con el cálculo vectorial adecuado y la versión moderna de las ecuaciones (es decir, las ecuaciones à la Heaviside, porque el cálculo original de Maxwell es más engorroso) es posible obtener una ecuación de onda en un abrir y cerrar de ojos. Sin embargo, para ello hace falta conocer bien operadores como el rotacional o el laplaciano, saber reconocer una ecuación de onda y, en resumen, saber la suficiente Física como para no tener que estar leyendo esto. Además, a menudo se realizan esas manipulaciones matemáticas sin ahondar en el significado físico de lo que se está haciendo, con lo que tampoco se aprende tanto haciendo las operaciones sin más. De modo que no lo haremos así; realmente haremos algo parecido, pero con palabras y no tanto ecuaciones.

Eso sí, para poder hacerlo hay una contrapartida: voy a realizar simplificaciones que harían al gentil Maxwell mascullar obscenidades, y al bueno de Heaviside sollozar como un niño al que han quitado a su perrito. Si es necesario voy a trampear y obviar pegas que harán rechinar los dientes a quienes sabéis de esto — ¡ja! Si seguís leyendo, merecéis todo lo que os pase.

Finalmente, a pesar de que razonaremos con palabras y no espero que sepas más matemáticas que las que se aprenden en el colegio, este anexo es denso y requiere esfuerzo; realizaremos razonamientos lógicos –o eso espero–, e iremos poco a poco, pero es posible que este artículo requiera una segunda lectura antes de que lo asimiles del todo. Avisados estáis.

Dicho todo esto, partamos de nuestras ya familiares cuatro ecuaciones de Maxwell, que deberían empezar a parecerte como los muebles de la casa de tus padres:

Los términos de la derecha, como espero que recuerdes, son las fuentes de los campos eléctrico y magnético, y había básicamente dos tipos de fuentes, que alguna vez en estos artículos hemos llamado primarias y secundarias: las cargas eléctricas –por sí mismas o en movimiento– eran las causas primarias de los campos, y las variaciones en el tiempo de los propios campos eran las secundarias. De no ser por esas fuentes secundarias, los campos eléctrico y magnético serían muy aburridos, ya que sólo podrían existir alrededor de las cargas eléctricas.

Sin embargo, podemos eliminar toda la materia de las ecuaciones: ni átomos, ni protones, ni electrones, ni nada; en términos de nuestras ecuaciones, podemos suponer que no hay ni ρ ni J. Incluso así, suponiendo que estamos en el vacío, las cuatro ecuaciones siguen estando ahí, más concisas, pero no nulas:

Si te fijas, al eliminar las cargas las ecuaciones del campo eléctrico y el magnético se parecen mucho más que antes: uno estaba afectado por las cargas en sí mismas mientras que el otro estaba afectado por las cargas en movimiento, pero al eliminar todas las cargas, esa diferencia desaparece. De hecho, las dos primeras ecuaciones sí tienen la apariencia que cabría esperar en ausencia de cargas: no hay fuentes de los campos. Pero, como ya dijimos al hablar de las dos últimas, la variación en cualquiera de los dos campos produce un rotacional del otro campo incluso en ausencia de cargas y corrientes. Es en estas dos ecuaciones en las que vamos a fijarnos hoy.

El propio Maxwell hizo algo así, y le dio mucho que pensar el hecho de que, incluso eliminando las cargas y las corrientes, siguiera habiendo términos a la derecha de las ecuaciones. ¿Qué quería esto decir sobre cada campo? El problema para intentar desentrañar el misterio es que, como puedes ver, en cada una de las dos ecuaciones de abajo aparece un campo en función del otro. Para obtener conclusiones sobre alguno de los dos campos, lo ideal sería encontrar una ecuación que describiera sólo ese campo –por ejemplo el magnético–, de modo que tuviéramos información sobre él que no dependiera explícitamente del otro. Eso es precisamente lo que Maxwell se propuso hacer manipulando sus ecuaciones — es decir, pensando sobre el problema de una manera formal.

Nosotros haremos lo propio pero a nuestro estilo, claro; por suerte, Maxwell y Heaviside no van a ver esto.

Empecemos con un ejemplo concreto. Supongamos que, en un punto cualquiera del vacío, existe un campo magnético que está cambiando en el tiempo, por ejemplo, aumentando hacia la derecha cada vez más deprisa; evidentemente, para que esto pase algo tiene que haber creado ese campo magnético, y de eso hablaremos más adelante, pero por ahora eso no nos importa, mientras lo que quiera que haya creado el campo esté lejos de aquí para no perturbar nuestras bellas ecuaciones sin cargas; digamos que alguien está agitando un protón a un kilómetro de distancia, por ejemplo.

Lo importante es que tenemos un campo magnético dirigido hacia la derecha que es cada vez más grande y aumenta cada vez más rápido: hace falta que cambie en el tiempo, recuerda, o no conseguiremos un campo eléctrico como consecuencia. De acuerdo con la tercera ecuación de arriba, la ley de Faraday, alrededor del punto en cuestión aparecerá un campo eléctrico cuyo rotacional va en contra del campo magnético, de modo que el campo eléctrico será perpendicular a él y estará “girando” como un tornillo que se mueve hacia la izquierda, como ya indicamos al hablar de la ley de Faraday, de modo que permite que no me detenga mucho en esto:

Sí quiero hacer énfasis en algo que no era muy importante cuando hablamos sobre esto la primera vez, pero hoy es fundamental: el hecho de que el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético, no en el mismo sentido. En términos de las ecuaciones, simplemente quiero que tengas bien presente ese pedazo de signo negativo en la ley de Faraday, que es el responsable de que las dos flechas de la ecuación de arriba vayan en sentidos contrarios. Porque, como veremos, los campos eléctrico y magnético no se comportan igual respecto a esto, y ese diferente comportamiento es una de las razones de que estés leyendo estas líneas.

Además, puesto que hemos dicho que nuestro campo magnético no sólo está aumentando, sino que lo hace cada vez más rápido, el rotacional del campo eléctrico no sólo aparecerá “de la nada”, sino que será cada vez más grande. En fin, el caso es que con nuestro ejemplo hasta ahora hemos simplemente repasado la ley de Faraday. Pero, como hizo Maxwell, tenemos que ir más allá y enlazar esta ley con la siguiente, la de Ampère-Maxwell.

Recuerda que antes no existía campo eléctrico alguno: ha aparecido a consecuencia del campo magnético variable que nos hemos inventado. Ahora, sin embargo, sí hay un campo magnético con un rotacional que es cada vez mayor. Si antes no había campo eléctrico y ahora sí es que tenemos un campo eléctrico variable en el tiempo. Pero ya vimos, al hablar de la ley de Ampère-Maxwell, que un campo eléctrico que cambia en el tiempo origina inevitablemente un campo magnético a su alrededor que es perpendicular a su variación en el tiempo:

¡Pero aquí ya había un campo magnético! ¿Ahora tenemos dos? No, claro que no: tenemos un campo magnético total que es la suma del campo magnético adicional añadido al que ya existía. Lo esencial para comprender esto, el quid de la cuestión, es ver qué relación guardan el campo magnético “original” y el campo magnético “secundario”. Hay dos cosas importantísimas que hace falta entender aquí.

En primer lugar, con la ley de Faraday hemos obtenido un campo eléctrico perpendicular al campo magnético original; pero ahora, con la de Ampère-Maxwell, obtenemos un campo magnético perpendicular a ese campo eléctrico. ¡Por lo tanto, el campo magnético secundario debe ser de nuevo paralelo al campo magnético original! Dicho con otras palabras, en la ley de Faraday giramos B 90º para obtener la dirección de E, pero ahora en la de Ampére-Maxwell, que también tiene un rotacional, giramos E 90º para obtener la dirección de B, de modo que estamos como al principio.

Esto es lo suficientemente importante como para que lo exprese de una tercera manera, por si a alguien le ayuda a verlo: el campo magnético secundario es perpendicular a la perpendicular al campo magnético original, luego debe ser paralelo a él. Es como si hubiéramos hecho el “rotacional del rotacional” y nos hubiéramos quedado como estábamos antes… o casi.

Porque aquí viene la segunda cosa importantísima de la que hablaba: antes dijimos que algo esencial en la ley de Faraday es que había un signo menos a la derecha de la ecuación, es decir, que el rotacional del campo eléctrico no iba en el sentido de la variación del campo magnético, sino en contra. Pero en la ley de Ampére-Maxwell no hay ningún signo menos, y esa diferencia es de una importancia capital, tanta que voy a poner un signo más en la segunda aunque no haga falta:

Aquí tienes las imágenes que mostramos en ambas leyes, en las que puedes ver la diferencia de comportamiento entre ambos campos:

De modo que antes hablé mal: dije que habíamos hecho “el rotacional del rotacional”, pero en el primer caso no hicimos eso, sino “menos el rotacional”, con lo que lo que hicimos realmente al combinar ambas ecuaciones, partiendo del campo magnético original para obtener el secundario, fue “menos el rotacional del rotacional”. Por lo tanto, el campo magnético secundario vuelve a ser paralelo al campo original, pero va en sentido contrario.

Es decir, el campo magnético original aumentaba con el tiempo, y como consecuencia produjo un campo eléctrico que antes no existía; la aparición de ese campo eléctrico, a su vez, indujo la aparición de un nuevo campo magnético que se dirige justo en contra del campo magnético original. Por lo tanto, el campo magnético total ya no aumenta tan rápido como antes pues, por pequeño que sea este nuevo campo magnético secundario, compensará parte del campo principal, ya que va en sentido contrario a él.

Si hubiéramos hecho este “menos rotacional del rotacional” como Dios manda, hubiéramos obtenido la ecuación que resulta de combinar ambas para librarnos del campo eléctrico y fijarnos sólo en el magnético, que es algo así:

Ese operador nabla al cuadrado se llama laplaciano, en honor al francés Pierre-Simon de Laplace, viejo conocido nuestro, y tiene que ver con este “rotacional del rotacional”, pero aquí no voy a meterme en el berenjenal de explicar cálculo vectorial, así que dejémoslo así: me basta con que hayas comprendido la explicación cualitativa con palabras, si es que no te has dormido por el camino. No quería, sin embargo, dejar de poner la ecuación, para que veas que el razonamiento que hemos hecho nos permite obtener una ecuación nueva en la que sólo aparece el campo magnético, justo el objetivo de Maxwell.

Pero la cosa no acaba aquí.

Según el campo magnético original va perdiendo ímpetu, pasa algo curioso: el campo magnético aumenta cada vez más despacio, frenado poco a poco por el aumento constante del campo eléctrico. ¡Pero las ecuaciones de Maxwell no han dejado de estar ahí tras el primer tramo de nuestro razonamiento! Ahora empezará a suceder justo lo contrario.

El campo magnético neto empezará a disminuir, y cuando el campo magnético secundario supere al original, se invertirá el sentido del campo magnético total. El campo eléctrico ha ido aumentando cada vez más rápido y, como consecuencia de la ley de Ampére-Maxwell, también lo está haciendo el rotacional del campo magnético perpendicular a él; pero este campo magnético secundario producirá entonces un campo eléctrico perpendicular a él, pues el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético. Estamos haciendo “el rotacional de menos el rotacional”, pero llegamos a la misma conclusión inevitable de antes: el campo eléctrico inducido ahora será justo de sentido contrario al campo eléctrico anterior.

Matemáticamente, el resultado es idéntico a la ecuación que obtuvimos antes para el campo magnético, una vez más con el laplaciano:

Dicho en términos energéticos, una vez el campo eléctrico empieza a crecer a costa de “robar” parte de la energía con la que crecía el otro, disminuyendo así su ritmo de crecimiento, es él el que induce la aparición de un campo magnético cada vez mayor y, como consecuencia, pierde energía a su vez para “alimentar” al otro, de modo que crece menos de lo que debería porque están creciendo ambos a la vez. Pero este campo magnético no va en el sentido del campo original, sino que va en contra de él (en nuestro ejemplo, hacia la izquierda). Naturalmente, a continuación pasará lo mismo: el campo magnético originará uno eléctrico que irá en contra del anterior, y éste uno magnético que irá en contra del anterior, y así constantemente.

¿Qué le está sucediendo entonces a cada uno de los dos campos, sin fijarnos en el otro? Nuestro campo magnético empezó yendo hacia la derecha y era cada vez más grande. Sin embargo, pronto empezó a perder ímpetu, luego fue decreciendo y finalmente se dio la vuelta para empezar a ser cada vez más grande hacia la izquierda. Pero, ¡ah!, este campo invertido enseguida empezó a perder ímpetu también, pues creaba un campo en sentido contrario, para luego decrecer y luego revertir al campo original. Lo que está sucediendo es que el campo magnético crece, para de crecer, decrece, se invierte, crece, para de crecer… el campo magnético está oscilando.

Naturalmente, lo mismo le está pasando al campo eléctrico: crece, deja de crecer, decrece, se invierte, etc. Sólo hay dos diferencias entre ambos, y estoy convencido de que, si has soportado todo este rollo hasta aquí, las tienes muy claras: en primer lugar, ambos campos oscilantes son perpendiculares entre sí. En segundo lugar, ambos campos crecen y decrecen a la vez, ya que el aumento de uno produce el aumento del otro, pero ese segundo aumento “roba” parte de la energía que seguiría aumentando el primero, con lo que ambos van perdiendo ímpetu y finalmente dejan de crecer para disminuir de nuevo y, finalmente, invertirse.

Sin embargo, hay otro efecto más que no podemos olvidar: esto no se detiene en el punto en el que estamos mirando. El rotacional del campo eléctrico indica que aparece un campo alrededor del punto original, no sólo allí. Por lo tanto, el campo eléctrico que estamos induciendo no sólo aparecerá en este punto, sino en otros cercanos. Y ese campo eléctrico, al variar en el tiempo, producirá otro magnético alrededor de él, pero una vez más, no sólo en ese punto, sino en otros cercanos. De modo que esta especie de reacción en cadena que hemos creado con nuestro campo magnético original se va propagando por el espacio, no se queda donde la iniciamos.

De hecho, si piensas en términos energéticos, esto significa que la energía del campo magnético original se va desperdigando, pues parte de ella pasa al campo eléctrico de los puntos próximos al original, y parte de ésa a los puntos próximos al nuevo punto en forma de campo magnético… si no hiciéramos nada más, en el punto original la oscilación de los campos eléctrico y magnético se iría desvaneciendo poco a poco según los campos inducidos en puntos próximos se fueran llevando esa energía cual sanguijuelas electromagnéticas. La única manera de mantener la oscilación inicial es si quienquiera que estuviera creando el campo magnético sigue haciéndolo, proporcionándonos “energía extra” con la que mantener la oscilación.

Hagamos entonces, como hizo Maxwell, una reflexión sobre lo que está sucediendo aquí realmente. Tenemos algo que oscila en un vaivén constante, y la energía de esa oscilación se propaga a otros puntos cercanos, en los que aparece una oscilación similar, y así una y otra vez. Hay un transporte de energía oscilante a través del espacio.

Se trata de una onda.

Ojalá pudiera haber visto la cara de Maxwell cuando se dio cuenta. A él no le hizo falta pensar en la propagación de la energía oscilante de unos puntos a otros, desde luego, sino simplemente obtener cualquiera de las dos ecuaciones con el laplaciano que hemos visto antes. La razón es que esas ecuaciones, si has estudiado mecánica ondulatoria, gritan “¡Onda, ondaaaaaa!” como unas descosidas. Aquí tienes la ecuación de una onda cualquiera en el espacio en la que oscila lo que quiera que sea que está oscilando, que represento con la letra A:

Compárala con la que hemos obtenido, por ejemplo, para el campo eléctrico, e imagina que eres Maxwell:

Más claro el agua, ¿no?

Desde luego, si hay algo oscilando en forma de onda, la primera pregunta inmediata es “¿Qué demonios está oscilando aquí, si no hay materia por ninguna parte?”; una respuesta posterior a Maxwell podría ser que lo que está oscilando es el propio campo electromagnético. En la época de Maxwell, sin embargo, se pensaba que lo que estaba oscilando realmente era el éter luminífero, una sustancia redundantemente etérea que llenaba todo el espacio y cuyas perturbaciones eran las oscilaciones del campo eléctrico y el magnético. Pero, en lo que a nosotros respecta hoy, lo importante es la existencia de una onda de los campos eléctrico y magnético oscilantes que se alimentan mutuamente: una onda electromagnética.

Pero ésa no es la única pregunta, y estoy convencido de que Maxwell se hizo la segunda muy rápidamente y la contestó también bastante deprisa. es muy fácil producir campos eléctricos y magnéticos variables. Basta con cambiar la intensidad de corriente en un cable o agitar un imán. Si los campos magnéticos y eléctricos variables son tan comunes y fáciles de producir, ¿dónde están estas “ondas electromagnéticas” que deberían estar por todas partes?

Afortunadamente para Maxwell, esta pregunta se respondió casi a sí misma cuando el escocés determinó una cosa más sobre la oscilación del campo electromagnético. Si te fijas en la ecuación de onda general que hemos puesto arriba en la que oscila algo llamado A, la única diferencia con las ecuaciones de las ondas electromagnéticas es que en una aparece y en la otra ; y esa no es más que la velocidad de propagación de la onda.

De modo que el producto determina la velocidad de las ondas electromagnéticas, con lo que Maxwell podría calcular esa velocidad como . Una vez más, afortunadamente para él, los valores de las dos constantes, eléctrica y magnética, habían sido obtenidos ya con una precisión razonable por varios científicos experimentales antes que él (dimos sus valores respectivos en las entradas correspondientes de esta mini-serie), con lo que James sólo tuvo que calcular la raíz cuadrada de su producto.

Al hacerlo, Maxwell obtuvo el resultado: unos 300 000 kilómetros por segundo.

Curiosamente, no fue el primero en obtener ese número a partir de las constantes electromagnéticas. Antes que él lo habían hecho los alemanes Wilhelm Eduard Weber y Rudolph Kohlsrauch en 1855, que se habían dado cuenta –sin saber nada sobre ondas electromagnéticas ni nada parecido– de que tenía unidades de longitud partido por distancia, es decir, de velocidad, y habían calculado que ese valor era de 3,1·10⁸ m/s. Sin embargo, ni Weber ni Kohlrausch le dieron mayor importancia a la coincidencia de este valor con la velocidad de la luz, que el francés Hippolyte Fizeau había determinado unos pocos años antes como 3,14·10⁸ m/s (incorrecto, pero recuerda la época de la que estamos hablando). Desde luego, Weber y Kohlsrauch ni se plantearon que la luz tuviera que ver con esas unidades de velocidad obtenidas a partir de constantes eléctricas.

Pero, para llegar allí, Maxwell había partido de algo muy distinto: de la ecuación de una onda. Las oscilaciones electromagnéticas producían una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s, y la luz era una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s. El escocés llegó a la conclusión de que eso no podía ser una coincidencia: efectivamente, las ondas electromagnéticas sí estaban por todas partes, y sí que las veíamos, ¡literalmente! En palabras del propio Maxwell, que he citado otras veces pero no puedo resistirme a hacerlo aquí,

Esta coincidencia de resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son efectos de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.

En 1864, con un título absolutamente clarificador, Maxwell publicó Electromagnetic Theory of Light (Teoría electromagnética de la luz). Allí, el escocés detallaba su derivación de las ecuaciones de onda electromagnética y el cálculo de su velocidad de propagación. Nada volvería a ser lo mismo.

Naturalmente, hubo quien pensó que sí se trataba de una coincidencia y que Maxwell no sabía de lo que estaba hablando, pero al genio teórico de James Clerk se sumó el genio experimental del alemán Heinrich Rudolph Hertz, que en una serie de experimentos entre 1885 y 1889 demostró sin ningún género de dudas que la hipótesis electromagnética de la luz de Maxwell era cierta, y este segundo episodio, el experimental, fue objeto de un artículo entero que, si no has leído, complementaría bastante bien el que vas a terminar ahora.

Finalmente, no quiero olvidar algo que mencionamos al empezar nuestro ejemplo y que es importante: ¿quién estaba generando el campo magnético original del ejemplo? Dicho de otro modo, una vez aparece un campo magnético o un campo eléctrico variable, aparece una onda electromagnética de manera inevitable pero, ¿quién produce ese campo original?

Si recuerdas las cuatro ecuaciones de Maxwell, puedes contestar tú mismo a esa pregunta: las cargas eléctricas. Eso sí, no vale cualquier carga eléctrica, porque no queremos simplemente un campo eléctrico o uno magnético — hacen falta cargas eléctricas que hagan aumentar el campo magnético (o uno eléctrico, que lo mismo da) cada vez más deprisa. Podríamos lograr esto, por ejemplo, con una carga eléctrica que se acercase hacia el punto que estábamos estudiando cada vez más deprisa: con una carga eléctrica acelerada. Lo mismo daría, por supuesto, que el campo fuera disminuyendo cada vez más deprisa porque la carga se estuviera alejando cada vez más rápido, o que hubiera cualquier otro cambio en el campo eléctrico o magnético que fuera cada vez más o menos brusco.

Son las cargas eléctricas aceleradas, por lo tanto, quienes crean la perturbación original y de las que proviene la energía necesaria para ponerla en marcha, y son las cuatro ecuaciones de Maxwell las que determinan esa perturbación original a partir de las densidades de carga y corriente; y, una vez puesto en marcha el proceso, son las cuatro ecuaciones sin carga ni corrientes las que describen cómo se propaga la perturbación por el espacio a la velocidad de la luz — es decir, de las ondas electromagnéticas de James Clerk Maxwell.

Esto llevó a un auténtico problema en la física de finales del XIX, por supuesto: los electrones en los átomos son cargas eléctricas aceleradas, ya que están girando constantemente alrededor del núcleo. Las ecuaciones de Maxwell, por lo tanto, predicen con una exactitud y minuciosidad tremendas las características de la onda electromagnética emitida por esos electrones constantemente. Esa onda electromagnética se iría llevando la energía del electrón, que iría cayendo más y más hacia el núcleo hasta pegarse un mamporrazo contra él… pero claro, eso no sucede o no existirían los átomos estables que existen. La respuesta a este dilema fue una revolución como pocas en la historia de la Física: la cuántica.

Sin embargo, había otro problema aún más evidente: como hemos dicho, Maxwell obtuvo una velocidad de propagación para las ondas electromagnéticas de unos 300 000 km/s. Ahora bien, ¿300 000 km/s respecto a qué? Lo mismo pasa con la fuerza de Lorentz que estudiamos en el anexo anterior, en la que aparece la velocidad de una partícula cargada que sufre un campo magnético… ¿velocidad respecto a qué? Puedes imaginarte la respuesta según el escocés: respecto al éter. Al fin y al cabo, en su teoría electromagnética el éter era el medio que oscilaba, el éter era el medio que transmitía las fuerzas eléctricas y magnéticas… el éter era algo así como el océano en el que notábamos las olas y los movimientos de otros objetos inmersos en él.

Esto suponía un enorme problema expeirmental, y a él dedicaremos el tercer y último anexo a esta miniserie, ya que supuso, una vez más, una revolución como pocas, comparable sólo a la propia cuántica: la relatividad.

Hoy volvemos a Hablando de…, la serie en la que recorremos el pasado de forma caótica, enlazando cada artículo con el siguiente y tratando de mostrar como todo está conectado de una manera u otra; los primeros veinte artículos de la serie están disponibles, además de en la web, en forma de libro, pero esto no tiene pinta de terminarse pronto. En los últimos artículos hemos hablado acerca del debate Huxley-Wilberforce sobre la evolución, en el que participó el “bulldog de Darwin”, Thomas Henry Huxley, que utilizó para defender las ideas de su amigo un cráneo de Homo neanderthalensis, nombre científico según el sistema creado por Carl Linneo y empleado en su obra magna, el Systema Naturae, que acabó en el Index Librorum Prohibitorum, lo mismo que todas las obras de Giordano Bruno, prohibidas por el Papa Clemente VIII, quien en cambio tres años antes dio el beneplácito de la Iglesia al café, bebida protagonista de la Cantata del café de Johann Sebastian Bach, cuya aproximación intelectual y científica a la música fue parecida a la de Vincenzo Galilei, padre de Galileo Galilei, quien a su vez fue padre de la paradoja de Galileo en la que se pone de manifiesto lo extraño del concepto de infinito, cuyo tratamiento matemático sufrió duras críticas por parte de Henri Poincaré. Pero hablando de Henri Poincaré…

Como otros protagonistas en esta serie –ahora mismo se me ocurren John von Neumann y Enrico Fermi–, el personaje de hoy es un auténtico genio. Poincaré destacó en prácticamente todo a lo que dedicó su atención: la física, la ingeniería, las matemáticas, la filosofía… injusta que es la vida, ¡unos tanto y otros tan poco! Como siempre, aquí no pretendo dar una visión profunda sobre su vida, sino las suficientes pinceladas como para que te hagas una idea de su genio y, si te interesa lo suficiente, leas cosas más profundas sobre él.

Aviso: Ojalá fuera matemático, pero no lo soy. Así que no tengáis problema quienes sabéis mucho más que yo en corregirme cuando diga barbaridades en este artículo, que las diré.

Jules Henri Poincaré nació en 1854 en Nancy, en Francia, en el seno de una familia acaudalada. Ya desde niño era evidente que no era normal: destacaba enormemente en prácticamente todas las asignaturas –aunque era especialmente bueno en Matemáticas, un “monstruo” en palabras de su profesor–, le interesaba todo y mostraba una enorme pasión por aprender. Tras pasar nueve años en el Lycée de Nancy y servir en el cuerpo de ambulancias en la guerra franco-prusiana de 1870, ingresó en la École Polytechnique, en los suburbios de París, donde estudió Matemáticas.

En 1879 obtuvo su título de ingeniero por la École des Mines, aunque nunca dejó de estudiar matemáticas como un poseso. De hecho, lograría mantener un equilibrio entre ambas facetas –ingeniería de minas y matemáticas– a lo largo de su vida, aunque desde luego fue como matemático que dejó al mundo boquiabierto. Al mismo tiempo que obtenía el título de ingeniero trabajaba en su doctorado en Ciencias y Matemáticas bajo un mentor de excepción, Charles Hermite, una de las máximas figuras europeas de las matemáticas de la época. La importancia de esta tesis es tal que hablaremos de ella un poco más adelante; también lo haremos de Hermite, ya que aparecerá en un episodio bastante interesante de la vida posterior de Poincaré.

Charles Hermite (1822-1901).

El mismo año que obtenía su título de ingeniero de minas, Poincaré recibía el doctorado en matemáticas por la Sorbonne. En un par de años era miembro del Corps des Mines, el cuerpo de ingenieros de minas del estado, y además entraba como profesor asociado de Análisis en la Sorbonne. Para culminar un año extraordinario para él, se casó con Poulain d’Andecy, con la que tendría cuatro hijos.

Con los años fue tomando más responsabilidades en las dos vertientes de su carrera profesional: como miembro del Corps des Mines se convirtió primero en Ingeniero jefe y luego en Inspector general. En la Sorbonne enseñaba casi de todo: en un momento dado tenía las cátedras de Probabilidad, Mecánica Celeste y Astronomía, Mecánica Física y Experimental y Física Matemática. Pero es que, como digo, este individuo era bueno en prácticamente todo, y su capacidad estaba alimentada por una energía inagotable.

Aparte de su inteligencia, Poincaré era muy peculiar en su forma de trabajar, que consistía en una extraña mezcla entre el orden más metódico y el caos más absoluto. Por un lado, su rutina diaria era sacrosanta: prácticamente todos los días trabajaba con el mismo horario distribuido de la misma manera. Clases aparte, dedicaba dos horas por la mañana (de las diez a las doce) y otras dos por la tarde (de las cinco a las siete) al trabajo que requería más concentración –fundamentalmente las matemáticas–, mientras que por la noche se dedicaba a leer.

Henri Poincaré (1854-1912) antes de desarrollar plenamente sus cejas (dominio público).

Nunca se detenía en un asunto más de un par de horas, y saltaba de una cosa a otra como una mariposa va de flor en flor. Eso sí, mientras estaba centrado en un asunto concreto se enfocaba en él como si no existiera otra cosa en este mundo. Este constante saltar de una cosa a otra se debía a dos razones fundamentales: por un lado, para evitar aburrirse, ya que consideraba que mantener la mente fresca e interesada era lo esencial para resolver problemas.

Por otro, porque Poincaré –a quien le interesaba la psicología, como prácticamente todo– creía que el cerebro necesita su tiempo para crear conocimiento nuevo a partir de una información determinada, y que trabaja en ello inconscientemente aunque dediquemos nuestra atención a otra cosa. De modo que se ponía a trabajar en un problema un tiempo, y luego lo dejaba estar unas horas, o unos días, para luego volver a él fresco y encontrar, muy a menudo, que tenía la solución en la mente sin haberle dedicado un minuto consciente entre ambas sesiones. Tanto es así que no le gustaba pensar en problemas matemáticos tras determinada hora, porque su sueño se veía perturbado por su mente intentando resolverlo durante la noche en vez de descansar.

Todo esto puede sonar al comportamiento de un artista, y no el de un científico, pero es que el carácter de Henri era una mezcla entre ambos. Por ejemplo, muy al contrario que otros insignes matemáticos, Poincaré creía que la meticulosidad y la lógica eran trabas para crear ideas nuevas, y que la matemática es una disciplina de creación. Por lo tanto, para alcanzar nuevo conocimiento –o más bien, para él, para crear nuevo conocimiento– había que dejar a la mente volar libre en una primera etapa.

Evidentemente, la cosa no se queda ahí o Poincaré hubiera podido ser un gran artista pero no un gran matemático. No, una vez concluida esa primera etapa para la idea de que se tratase, aplicaba la lógica más minuciosa para verificar si tenía sentido o no y, si lo tenía, perfilar y refinar el teorema o lo que quiera que estuviera investigando en ese momento: como digo, no es que rechazara la lógica, sino que pensaba que la raíz de las nuevas ideas era un proceso de creación, no de análisis lógico. A diferencia de muchos otros matemáticos, por tanto, no solía trabajar mucho tiempo con lápiz y papel, sino que pensaba y visualizaba en su cabeza las cosas y luego, si tenían sentido, las ponía por escrito en poco tiempo. Caos y orden.

Esta combinación peculiar de trabajo en períodos cortos pero intensos, intuición y creación asociados al pensamiento lógico y el interés por tantas cosas diferentes hicieron que Poincaré, a lo largo de los años, realizara aportaciones enormes en muy diversos campos, aunque sobre todo en matemáticas y, dentro de ellas, en algunos de los asuntos más abstractos de todos. Tanto es así que, aunque mi intención es mostrar lo genial de Poincaré, es muy difícil hacerlo, tan profundo y tan abstracto es casi todo lo que creó o resolvió.

El primer gran logro de Poincaré, que le proporcionó fama en el mundo matemático, se produjo como consecuencia de su tesis doctoral bajo Charles Hermite, de la que hemos hablado antes. El título de la tesis era Sur les propriétés des fonctions définies par les équations différences (Sobre las propiedades de las funciones definidas por las ecuaciones diferenciales), y en ella Poincaré postuló la existencia de un tipo de funciones especiales, que hoy llamamos formas automórficas y engloban algo más general, pero que él denominó funciones de Fuchs o funciones fuchsianas en honor al matemático alemán Lazarus Immanuel Fuchs, que había contribuido mucho al avance en el estudio de las ecuaciones diferenciales¹.

El propio Poincaré relató posteriormente el proceso por el que llegó a plantear la existencia de las formas automórficas como una extensión de las funciones trigonométricas, y que ejemplifica muy bien su manera de trabajar y de pensar:

Durante quince días intenté demostrar que no podían existir funciones como las que he denominado posteriormente funciones fuchsianas. Era muy ignorante; cada día me sentaba frente a mi mesa de trabajo y permanecía allí una o dos horas, probando un gran número de posibilidades y no obteniendo ningún resultado. Una noche, en contra de mi costumbre, tomé un café solo y no podía dormir. Las ideas venían a mi cabeza a multitudes; las sentía chocar hasta que pares de ideas se conectaban, por así decirlo, para formar combinaciones estables. A la mañana siguiente había establecido la existencia de una clase de funciones de Fuchs, las que provienen de la serie hipergeométrica; simplemente tenía que poner el resultado por escrito, algo que me llevó pocas horas.

Un par de años más tarde, Poincaré publicó su Théorie des groupes fuchsiens y dejó al mundo patidifuso… porque el mundo no sabía lo que quedaba por venir, claro. A partir de entonces fue raro el año en el que el francés no nos apabullara con alguna innovación matemática.

Una página del Théorie des groupes fuchsiens (1882).

Además de en matemáticas puras, la intuición de Poincaré era afilada en muchas otras disciplinas relacionadas. Por ejemplo, la mecánica celeste era fundamentalmente una aplicación de las matemáticas: por un lado, debían resolverse las ecuaciones diferenciales derivadas de las leyes de la dinámica newtoniana y, por otro, las trayectorias de los cuerpos celestes seguían las leyes de la geometría. No en vano, durante muchos siglos las palabras astrónomo y matemático significaban prácticamente lo mismo. La época de Poincaré fue el final de esta etapa, pero él es uno de los últimos ejemplos de esta combinación –en parte por sus variados intereses–.

Como ejemplo de esto tenemos un episodio interesante por muchas razones: el del premio ofrecido en 1885 por Óscar II de Suecia a quien fuera capaz de resolver el problema de los n cuerpos, del que hemos hablado recientemente en la serie sobre el Sistema Solar pues Joseph-Louis Lagrange obtuvo las posiciones de lo que hoy llamamos puntos de Lagrange intentando resolver ese problema para tres cuerpos mucho antes de que Óscar II propusiese recompensa alguna.

El rey Óscar, a su vez, propuso el premio a instancias de Gösta Mittag-Leffler, el insigne matemático sueco de amable mirada que ves a la derecha. Más que por sus muchos logros, este individuo es injustamente conocido por un rumor falso. Cuando Alfred Nobel instituyó sus famosos premios, no incluyó uno de Matemáticas –entre otras cosas porque ya existían importantes premios en esta disciplina–. Las malas lenguas rumorearon que esto se debía a que Nobel estaba enamorado de Signe Lindfors, la mujer de Mittag-Leffler, y su rivalidad con el matemático era la razón de que no existiera un Nobel de matemáticas, una mentira como un piano de cola.

El caso es que el premio proponía varios problemas diferentes, no sólo el de los n cuerpos, pero éste era considerado el más difícil de todos; otro de los problemas propuestos, por cierto, estaba referido a las funciones fuchsianas del propio Poincaré. De hecho, mucha gente pensaba que el francés se presentaría al premio con algún trabajo relacionado con las funciones de Fuchs, ya que era la máxima autoridad en ese campo… pero la mariposa ya había pasado a otra flor, el estudio del problema de los n cuerpos. La descripción del problema en la presentación del premio era la siguiente:

Dado un sistema compuesto por un número arbitrario de masas puntuales que se atraen mutuamente de acuerdo con la ley de Newton, bajo la suposición de que las masas nunca colisionan entre sí, debe tratarse de encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie de una variable que sea una función conocida del tiempo, de modo que para todos los valores de esa variable la serie converja uniformemente.

Dicho en términos menos rimbombantes, el premio sería otorgado a quien pudiera predecir matemáticamente la posición de las masas a lo largo del tiempo. El problema, a decir verdad, era más matemático que físico: su planteamiento era trivial utilizando la mecánica newtoniana, pero se llegaba a una serie de ecuaciones diferenciales que dependían unas de otras de un modo que convertía el problema en una auténtica pesadilla. Ya vimos como Lagrange no pudo resolverlo, a pesar de tratarse sólo de tres cuerpos en su caso –el de Óscar II era más ambicioso– y de suponer que uno de ellos era mucho más ligero que los otros dos.

Un tribunal de tres matemáticos insignes deliberaría sobre las posibles soluciones para determinar la vencedora: el propio Gösta Mittag-Leffler y los dos mayores expertos en análisis matemático del mundo, el alemán Karl Theodor Wilhelm Weierstrass y el francés Charles Hermite (el director de tesis doctoral de Poincaré). Naturalmente, las soluciones serían enviadas bajo pseudónimos, de modo que los tres jueces pudieran ser objetivos en su deliberación. La solución ganadora sería anunciada el 21 de enero de 1889, el sexagésimo cumpleaños de Óscar II.

De todas las soluciones recibidas, una brillaba con luz propia: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique (Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica). Era tan diferente, tan lejana al enfoque tradicional para intentar resolver el problema y tan afilada que, a pesar del pseudónimo, los tres jueces tenían bastante claro que el autor era Poincaré. En cierto sentido supongo que esto evitaba que fueran realmente objetivos, pero por otro lado era el propio genio de Poincaré el que hacía su solución especial, y no tanto el nombre de Henri.

Henri Poincaré con sus prodigiosas cejas plenamente desarrolladas.

Y es que el francés había hecho algo que nadie había intentado hasta entonces: en vez de intentar resolver las ecuaciones para obtener una solución, se había centrado en algo diferente. ¿Cómo podrían ser todas esas soluciones? ¿Habría muchas y muy diferentes, o serían parecidas? Si se dibujaran las trayectorias de todos los cuerpos involucrados, ¿realizarían órbitas estables, inestables, movimientos periódicos o qué otra cosa?

Dicho de otro modo, Poincaré no se preocupó de estudiar la trayectoria que seguiría cada cuerpo, sino en las propiedades comunes de todas las trayectorias posibles para cada cuerpo. Al mirar el problema “desde lejos”, como un todo, sin centrarse en los detalles, Poincaré llegó mucho más lejos que nadie antes que él, y las otras soluciones parecían juegos de niños comparadas con la suya. En palabras de Weierstrass, Hermite y Mittag-Leffler, la solución constituía “el trabajo original y profundo de un genio matemático cuyo lugar está junto a los grandes geómetras de este siglo”.

Tanto es así que los tres jueces, de forma unánime, le otorgaron el premio, y se publicó su solución. Sólo había un pequeño problema.

La solución de Poincaré estaba mal.

El asunto tiene, además, una ironía deliciosa. No sólo el propio Henri Poincaré, un genio matemático de primera línea, había cometido un error de bulto que invalidaba su solución; además, los tres mayores expertos en análisis de todo el mundo se lo habían tragado como si tal cosa. El trabajo de Poincaré fue enviado a un joven matemático sueco, Lars Edvard Phragmén (algo así como el becario), para que lo adecentara y lo enviara a la imprenta. ¡Y fue el “becario” el que se dio cuenta! Con bastante cautela, Phragmén escribió a Mittag-Leffler para señalar varios puntos en los que no estaba convencido de las conclusiones de Poincaré, y Mittag-Leffler envió las preguntas de Phragmén al propio Poincaré.

En cuatro de los cinco puntos señalados por Phragmén, Poincaré tenía razón y se trataba de algo que Phragmén simplemente no había entendido… pero en el quinto punto, el sueco tenía razón y Poincaré no. Y la razón era la habitual: Poincaré había mirado las cosas a grandes rasgos y no se había fijado mucho en los detalles. En un momento dado, había demostrado un teorema utilizando una serie convergente, ¡pero nunca había demostrado que lo fuera! El cauteloso Phragmén simplemente había sugerido que tal vez fuera útil para el lector tener una demostración de que esas series eran convergentes, pero cuando Poincaré se dispuso a detallar la demostración se dio cuenta de que no tenía por qué ser convergente. Pero claro, el resto de la argumentación de Poincaré se basaba en la convergencia de esa serie, con lo que todo lo que venía después se iba al traste.

En honor a Poincaré, el francés escribió rápidamente a Mittag-Leffler para reconocer su error –otros más arrogantes hubieran luchado con uñas y dientes, o hubieran buscado excusas o alguna otra cosa ruin–. Pero había otro pequeño problema: la solución errónea al problema no sólo había sido ya enviada a la imprenta, sino que ya se había imprimido y se había enviado a los matemáticos que así lo habían solicitado. Al pobre Gösta se le pusieron los pelos de punta: ¡menudo ridículo! Se dedicó a retirar las copias que pudo agarrar, y escribió a muchos matemáticos pidiéndoles que le reenviaran su copia antes de leerla con pretextos un poco absurdos. Mittag-Leffler ni siquiera se atrevió a mencionar el error a Hermite y Weierstrass aunque, desde luego, al final todo el mundo se enteró y el propio Poincaré se dedicó a trabajar en el problema corregido.

Incluso considerando el error, por cierto, la solución de Poincaré seguía siendo tan superior a las otras que se mantuvo el premio. Pero la ironía se completa por el hecho de que, aunque la solución original de nuestra mariposa estaba mal, la corrección nos trajo algo aún más hermoso de lo que hubiera sido una solución correcta al problema de los n cuerpos. Al trabajar en el problema una vez más, Poincaré se dio cuenta de algo extraño: aunque el problema físico era determinístico, es decir, a partir de una situación inicial determinada debía ser posible predecir con precisión arbitrariamente grande lo que sucedería en el futuro, en la práctica no lo era.

La razón era la siguiente: supongamos unos datos iniciales determinados (valores de las masas, posiciones iniciales, etc.), para los que habría una solución al problema de los n cuerpos. Si modificamos los datos iniciales la solución, naturalmente, cambia. Pero ¿qué pasa si modificamos los datos iniciales una cantidad minúscula? Lo lógico sería pensar que la nueva solución sería prácticamente igual que la antigua, modificada un valor minúsculo. Pero, al estudiar el problema, Poincaré se dio cuenta de que no era así: la nueva solución y la antigua divergían en el tiempo de modo que, tras el transcurso de un tiempo determinado, eran tan diferentes como soluciones a datos completamente distintos. Era como si un levísimo toque inicial al sistema produjese un comportamiento absolutamente diferente al cabo del tiempo, un comportamiento caótico.

Al tratar de resolver el problema de los tres cuerpos y fallar, Lagrange había obtenido sus famosos puntos. Al hacer lo mismo y fallar de nuevo, Poincaré había creado lo que posteriormente se convertiría en teoría del caos. Pero la mariposa ya estaba buscando otras flores.

Además de sus responsabilidades como inspector de minas y catedrático, en 1893 Poincaré entró a formar parte del Bureau des Longitudes, la oficina fundada en 1795 y responsable de la estandarización de unidades de medida, sobre todo en lo que se refería a la navegación. En 1897, el Bureau des Longitudes se planteó de nuevo un sueño de un siglo antes: llevar el Sistema Internacional de Unidades a las unidades de tiempo, uno de los pocos lugares en los que no se había implantado realmente. Sí, existía el segundo como unidad, pero ¿y sus múltiplos? En otras magnitudes, como la longitud, se empleaban de manera rutinaria los kilómetros, pero en el tiempo se seguían empleando las unidades ancestrales de minutos, horas y días.

De modo que los miembros de la oficina, entre ellos Poincaré, se dedicaron a estudiar el problema de la medida del tiempo, la sincronización de relojes en distintos lugares del planeta, etc. Como consecuencia, entre muchas otras cosas, Poincaré se dedicó a pensar en la cuestión del tiempo medido por observadores diferentes. Si un reloj se encontraba en el hemisferio occidental de la Tierra y otro reloj en el oriental, de modo que ambos se movieran a gran velocidad el uno respecto al otro, ¿medirían el mismo tiempo o los relojes se irían desfasando uno respecto al otro?

Por entonces, de hecho, se estaban realizando los experimentos de Michelson-Morley en los que la Tierra parecía estar en reposo respecto al éter, salvo que algo en la física que estábamos empleando hasta entonces no fuera correcto, y muchos físicos trataban de encontrar una solución al tremendo dilema. Quien finalmente lo hizo, como bien sabes si eres “viejo del lugar”, fue Albert Einstein, pero sin negar el genio del alemán, la solución era inevitable y seguramente hubiera llegado en poco tiempo incluso sin él.

El holandés Hendrik Antoon Lorentz, por ejemplo, de quien acabamos de hablar hace poco por su trabajo en electromagnetismo, ya introdujo en algunas ecuaciones que trataban de refinar las ecuaciones de Maxwell lo que denominó “tiempo local” que dependía de la velocidad relativa de los observadores, aunque nunca le dio relevancia física, sino que lo trató como una herramienta matemática. Por aquella época era muy común el diálogo epistolar entre científicos, y Lorentz y Poincaré hablaban a menudo de este modo, debatiendo los artículos de uno y otro, corrigiéndose y haciéndose sugerencias. En este caso, como en otros (Einstein y Bohr son otro ejemplo excelente), ambos eran de buen talante y no se enfadaban, ni mucho menos, cuando estaban en desacuerdo.

Como consecuencia, Poincaré estaba muy al tanto del trabajo de Lorentz, y llevó más allá las ideas del holandés: según Poincaré, el “tiempo local” de Lorentz apuntaba a algo profundo en nuestro concepto de tiempo y simultaneidad. En 1898, siete años antes del annus mirabilis de Einstein, el francés publicó La mesure du temps (La medida del tiempo), donde se planteaba cómo definir exactamente qué es, cómo medirlo y qué queremos decir cuando hablamos de que dos sucesos son simultáneos o no lo son. ¿Te suena?

La conclusión de Poincaré es bien simple: no tiene sentido hablar de simultaneidad o tiempo entre dos sucesos utilizando nuestra intuición. Es más, no podemos estar seguros de que cualquier definición sea la “buena”, de modo que debemos olvidarnos de reglas aplicadas al tiempo que sean “ciertas”. La definición de simultaneidad que debemos emplear es la que nos permita formular leyes físicas de manera eficaz. En sus propias palabras,

En conclusión: no tenemos una intuición directa de la simultaneidad ni de la igualdad entre dos períodos de tiempo. Si creemos tener esta intuición se trata de una ilusión. La reemplazamos con la ayuda de ciertas reglas que aplicamos casi siempre sin siquiera pensar en ellas.

Pero ¿cuál es la naturaleza de estas reglas? No existe una regla general ni rigurosa; utilizamos una multitud de pequeñas reglas aplicables a cada caso en concreto.

Estas reglas no nos son impuestas y podemos divertirnos inventando otras; pero no podríamos descartarlas sin complicar enormemente la formulación de las leyes de la física, la mecánica y la astronomía.

Por lo tanto elegimos estas reglas, no porque sean ciertas, sino por que son las más convenientes, y podríamos resumirlas del siguiente modo: “La simultaneidad de dos sucesos o el orden en el que se han producido, la igualdad entre dos períodos de tiempo, deben ser definidos de modo que la formulación de las leyes naturales sea lo más simple posible. En otras palabras, todas estas definiciones son sólo el fruto de un oportunismo inconsciente.

Sin embargo, aunque parezca paradójico, Poincaré era un defensor de la idea del éter, el sistema de referencia absoluto, y creía que un reloj en reposo respecto al éter mostraría el tiempo absoluto y cualquier reloj en movimiento respecto al éter mostraría el tiempo local — otra cosa es que, para formular nuestras leyes físicas, nos interese utilizar uno o el otro. De hecho, en 1889 el propio Poincaré sopesó la idea de que tal vez el éter fuera algo indetectable y por tanto una entelequia física… pero al mismo tiempo siguió considerándolo como una entelequia útil, con lo que continuó utilizándolo en sus argumentos. Dos ideas algo contradictorias, pero es que no es fácil ponerse en la piel de los físicos de finales del XIX: es muy, muy difícil abandonar la última “referencia absoluta”, el éter, y quedar sin rumbo ni ancla ni nada a donde agarrarse.

Ahí es donde Einstein le dio sopas con honda a Poincaré: ambos publicaron conclusiones bastante similares en 1905, a pesar de que, a diferencia de Lorentz-Poincaré, no había relación entre ellos ni estaban al tanto del trabajo uno del otro. Poincaré tenía ideas revolucionarias y muy interesantes, como la extrapolación como realidad física del tiempo local de Lorentz, pero fue Einstein quien rechazó toda referencia absoluta y trabajó “hacia atrás”, partiendo del carácter absoluto de la velocidad de la luz. Einstein también llegó más lejos en sus conclusiones, demostrando entre otras cosas la equivalencia masa-energía; finalmente, la simplicidad de sus postulados y argumentos deja a cualquier otro físico de la época en pañales y, además, después desarrolló una teoría más general que llega tan lejos respecto a las ideas de Poincaré que es difícil siquiera compararlas.

Pero creo que estarás conmigo, si has leído sobre relatividad y ahora este artículo, en que la teoría especial de la relatividad era cuestión de tiempo, y no demasiado tiempo: Lorentz y Poincaré (además de otros, como FitzGerald) habían ya alcanzado conceptos como tiempo local, contracción de la longitud, relatividad de la simultaneidad… es imposible tratar de conciliar las ecuaciones de Maxwell con los experimentos de Michelson-Morley y el principio de relatividad de Galileo sin llegar a conclusiones parecidas. De no haber habido un Einstein, probablemente algún discípulo o lector de Poincaré y Lorentz hubiera elaborado una teoría muy similar, pues sólo faltaba el paso de abandonar la referencia absoluta, tan difícil de olvidar.

Poincaré en su despacho cerca del final de su vida.

El resto de su vida, hasta su muerte en 1912, nuestra mariposa siguió revoloteando, dejando que su prodigiosa creatividad nos regalara conceptos nuevos constantemente, sobre todo en Matemáticas. El nombre de este francés cejudo está por todas partes: la métrica de Poincaré, el teorema de Poincaré-Bendixson, el teorema de la dualidad de Poincaré, el teorema de Poincaré-Hopf, la serie de Hilbert-Poincaré, el método de Lindstedt-Poincaré, el teorema de la recurrencia de Poincaré, la desigualdad de Poincaré… ¿hace falta que siga?

No quiero, sin embargo, terminar este repaso a su genio sin dejar otro ejemplo que me deja patidifuso intentando asimilar el instinto matemático y la capacidad de abstracción de este personaje. En 1893, mientras básicamente creaba la topología, Poincaré propone una conjetura (que no es la famosa conjetura de Poincaré, de la que hablaremos en un momento) a la que llega por intuición pero que es incapaz de demostrar, y que hoy conocemos como teorema de la dualidad de Poincaré. La conjetura (pues no era teorema entonces, ya que este individuo llegó a ella sin demostrarla, así, al buen tuntún), expresada en términos modernos, dice los siguiente: si se tiene una variedad de n dimensiones que sea cerrada y orientable, el k-ésimo grupo de cohomología de esa variedad es isomorfo al (n-k)-ésimo grupo de cohomología de la variedad para cualquier número entero k.

Si Cthulhu viera eso, se le caían los tentáculos.

Finalmente, resulta irónico el hecho de que, con tantas cosas en Matemáticas que llevan su nombre, la más conocida por el común de los mortales es, en cierto sentido, un error. Se trata de la famosa conjetura de Poincaré, a la que llegaremos en un momento, pero antes, paciencia.

Ya se sabía hacía mucho tiempo que cualquier superficie cerrada y sin agujeros es, dicho fatal, una “esfera deforme”: es posible coger esa superficie cerrada y sin agujeros y deformarla hasta conseguir una esfera o al revés. Los matemáticos, que son mucho más finos que esto y no hablan de esferas deformes, dicen que una variedad de dos dimensiones cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a una esfera.

Otra manera de verlo que no involucra deformar superficies es la siguiente: si tienes una superficie cerrada y sin agujeros, es posible tomar un lazo atado sobre sí mismo sobre la superficie e ir cerrándolo hasta colapsarlo a un punto. Aquí tienes un dibujo con una esfera:

Salix alba/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

Es decir, que una esfera es homeomorfa a una esfera, lo cual es de perogrullo. Pero imagina que fuera un ovoide, o un globo en forma de jirafa hecho de una sola pieza sin agujeros, o un cubo: siempre podrías ir cerrando el lazo y colapsarlo a un punto. Sin embargo, como ejemplo de una superficie cerrada que no es homeomorfa a una esfera (porque tiene agujeros), tenemos el toroide, es decir, el donut. Como ves, ninguno de los dos “lazos” puede colapsarse a un punto:

Fropuff/CC 3.0 Attribution-Sharealike License.

Como digo, esto del homeomorfismo entre superficies cerradas sin agujeros y la esfera ya era bien conocido. Bien, Poincaré se pregunta si esto también será cierto en el caso de una variedad de tres dimensiones en vez de dos, es decir, un volumen cerrado. ¿Es un volumen cerrado y sin agujeros homeomorfo a un volumen esférico? Evidentemente, él no lo expresó en estos términos tan vulgares, pero bueno. El caso es que el bueno de Henri no supo contestar, ni realizó realmente conjetura alguna, sino simplemente una pregunta.

Otros después de él siguieron intentando contestar, y con el tiempo la afirmación se empezó a conocer como conjetura de Poincaré, a pesar de que él nunca sostuvo que fuera cierta:

Toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a una esfera.

Pero claro, esto no es tan intuitivo como antes. En el caso anterior la variedad era como la cáscara de una naranja que encierra una naranja de tres dimensiones, pero ahora es una cáscara de tres dimensiones cerrada que encierra a una naranja de cuatro dimensiones. Curiosamente, los matemáticos lograron demostrar que esta afirmación es cierta para dimensiones mayores que tres, pero no para tres dimensiones, hasta hace relativamente poco: entre 2002 y 2003, el matemático ruso Grigori Yakovlevich Perelman publicó una demostración de la conjetura. Pero no es esto lo que me interesa: es el hecho de que la intuición de Poincaré lo llevaba a plantear cuestiones tan tremendas que no sólo él no podía responder sino que nos han llevado, en ocasiones, un siglo conseguir resolver.

A cambio de estos quebraderos de cabeza, Henri nos proporcionó maravillas como la topología o la teoría del caos que cambiaron nuestra manera de ver el mundo. Pero hablando de la teoría del caos…

Para saber más (esp/ing cuando es posible):

• Henri Poincaré / Henri Poincaré
• Problema de los tres cuerpos / Three-body problem, como siempre,
• Conjetura de Poincaré / Poincaré Conjecture

1. Pero no sé si fue quien definió por primera vez las formas automórficas o no… ¿matemáticos, alguien sabe algo?

Una vez desgranadas, mal que bien, las cuatro ecuaciones, quiero complementarlas con unos pequeños anexos sin los que me parece que la cosa se queda un poco coja. En primer lugar, como habrás visto si has seguido la serie hasta ahora –y si no es así, ¿qué haces leyendo un anexo, alma de cántaro?–, las cuatro ecuaciones establecen cuáles son las fuentes y las propiedades de los campos eléctrico y magnético. Como hemos visto, el campo electromagnético tiene cuatro fuentes fundamentales: las cargas eléctricas, las corrientes eléctricas –es decir, las cargas en movimiento–, las variaciones en el campo eléctrico y las variaciones en el campo magnético.

Pero eso es sólo la mitad de la historia: hemos estudiado los campos eléctrico y magnético como consecuencias, pero la razón por la cual nos pusimos a estudiarlos en primer lugar es porque notamos sus efectos a nuestro alrededor: ¿qué consecuencias tienen esos dos campos sobre la materia? Como recordarás, cuando hablamos sobre la ley de Gauss para el campo eléctrico dijimos que en cierto sentido era una reformulación más moderna de una ley anterior, la ley de Coulomb que describía cómo las cargas del mismo signo se repelen y las de signos contrarios se atraen.

La ley de Gauss, sin embargo, no decía absolutamente nada de cargas que se repelen o se atraen, sino que simplemente establecía la creación del campo eléctrico a causa de la existencia de cargas. En tiempos de Coulomb, la interacción entre cargas se estudiaba de una manera directa, como algo así:

Sin embargo, la formulación de Maxwell del electromagnetismo es más abstracta y tiene algo así como dos pasos. Como hemos visto, la materia cargada crea campos — en el caso de la ley de Gauss, las cargas crean un campo eléctrico a su alrededor. Podríamos representar la ley de Gauss así:

A su vez, ese campo afecta a la materia cargada:

Y es éste segundo “paso”, la influencia de los campos sobre la materia cargada –es decir, la fuerza ejercida por los campos sobre las cargas– el que no aparece en ninguna de las ecuaciones de Maxwell y al que nos vamos a dedicar brevemente hoy. Como puedes ver, el efecto final de unas cargas sobre otras es el mismo que en la versión de Coulomb: el campo aquí no es más que un intermediario de la interacción, que tiene el mismo efecto que antes sobre la segunda carga. Sin embargo, como hemos visto a lo largo de la serie, ambos campos interaccionan entre sí y producen efectos a veces sorprendentes –y a ellos dedicaremos el segundo anexo, por cierto–.

Afortunadamente, a diferencia de la generación de campos a partir de la materia, el efecto de los campos sobre ella es más simple y fue resumido en una sola ley física por un viejo amigo de El Tamiz, Hendrink Antoon Lorentz. Este simpático y genial holandés fue el ganador del Premio Nobel de Física de 1902 por su hipótesis de que la radiación electromagnética era creada por minúsculas partículas cargadas en la materia, pero hoy vuelve a ser el héroe de nuestra historia.

Hendrink Antoon Lorentz (1853-1928) (dominio público).

Sin embargo, como suele pasar en ciencia, el resultado no es la labor de un sólo héroe, sino de una larga cadena de ellos. Como ya hemos visto, Charles-Augustin de Coulomb había establecido ya una ley matemática que describía la atracción y repulsión entre cargas –debida, en términos más modernos, al campo eléctrico–, y André-Marie Ampère había llegado a una ley similar que describía la atracción y repulsión entre corrientes eléctricas –en términos post-Maxwell debida al campo magnético–. De modo que conocíamos ya, de manera más simple, los efectos de los campos sobre la materia cargada, pero nos hacía falta reformular estas leyes en términos post-Maxwell, es decir, en términos explícitos del campo eléctrico y magnético. De ahí que hiciera falta algo más después de Coulomb y Ampère.

El siguiente protagonista es otro viejo conocido, J. J. Thomson, galardonado con el Premio Nobel de Física de 1906 por su descubrimiento del electrón. El británico trató de encontrar una ley matemática que describiera la fuerza que sufren las cargas debida al campo magnético B y estuvo a punto de lograrlo a la perfección. De hecho, la expresión obtenida por Thomson en 1881 es la correcta excepto por un factor de 1/2 debido a algunos errores de cálculo.

Puede parecer un espanto obtener una expresión que predice una fuerza magnética que es la mitad de la real, pero el logro de Thomson es inmenso: aunque el valor numérico no sea el bueno, el comportamiento de la materia respecto al campo estaba perfectamente descrito de forma cualitativa. La expresión de la fuerza magnética que obtuvo Thomson a partir de los datos experimentales era ésta, en función de la carga, la velocidad y el campo magnético:

Sí, ese 1/2 sobra, pero veamos qué significa cualitativamente esta “ley de Thomson” para la fuerza magnética, ya que hay una operación ahí que todavía no hemos visto específicamente en esta mini-serie. En primer lugar, la fuerza debida al campo magnético es un producto de varios factores, lo cual tiene una consecuencia inmediata: no puede existir una fuerza magnética si cualquiera de los factores es nulo.

Dicho de otro modo, para que algo sufra una fuerza magnética ese algo debe:

• Tener carga eléctrica q, luego un cuerpo neutro no sufre fuerzas magnéticas.

• Estar en algún sitio en el que exista un campo magnético B, luego sin campo magnético no hay fuerza magnética, algo de perogrullo.

• Estar moviéndose con una velocidad v, luego un cuerpo en reposo no sufre una fuerza magnética.

De estas tres condiciones la tercera me parece la menos evidente y la más interesante. De acuerdo con Thomson –y con todos los experimentos realizados, claro, pues su fórmula era una ley, es decir, una observación empírica puesta por escrito–, aunque tengamos una carga eléctrica tremenda inmersa en un campo magnético de tres pares de narices, si la carga está quieta, no sufrirá absolutamente ninguna fuerza magnética. ¡Ni se entera de que hay un campo!

Thomson en el Cavendish Physical Laboratory de Cambridge (dominio público).

Si te fijas, esto tiene una bella simetría con la ley de Ampère-Maxwell que describía las fuentes del campo magnético. Como espero que recuerdes o te suspendería si fueras mi alumno, en aquella ley vimos que la fuente primaria del campo magnético –es decir, aparte del campo eléctrico variable– lo constituían las corrientes eléctricas, es decir, las cargas en movimiento.

Es decir, para que exista un campo magnético no basta con que haya cargas: debe haber cargas moviéndose. Pero ahora, de acuerdo con Thomson, vemos que para que una carga eléctrica sufra los efectos de un campo magnético no basta con que haya un campo y una carga: debe haber un campo y una carga moviéndose. Sólo las cargas en movimiento crean B y sólo las cargas en movimiento sufren B. Esto tiene una importantísima consecuencia si piensas en el hecho de que todo el movimiento es relativo, y de ella hablaremos en el tercer anexo.

Sin embargo, nos queda una cosa más por analizar: ese no es un producto cualquiera, sino un producto vectorial entre la velocidad y el campo, representado por ese signo de multiplicación a la antigua usanza. Aunque explicar en profundidad el significado de este operador matemático es algo que no puedo hacer aquí, sí puedo darte una idea de alguna de sus propiedades ya que, aunque “escondido”, ha hecho su aparición en esta mini-serie siempre que lo hizo el rotacional. Si no, fíjate en la ley de Faraday:

Ese producto del operador nabla por el campo eléctrico no es otra cosa que un producto vectorial. Aunque hoy no estamos multiplicando nabla sino simplemente la velocidad por el campo magnético, la propiedad fundamental es la misma en ambos casos: el resultado es siempre perpendicular a los dos vectores involucrados. En este caso, la consecuencia más interesante de que lo que hemos llamado “ley de Thomson” –pongo comillas porque nadie la llama así que yo sepa– tenga un producto vectorial es la siguiente: la fuerza magnética siempre es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad de las cargas.

Una vez más, si te fijas, existe una simetría con la generación del campo por la ley de Ampère-Maxwell: el campo magnético era siempre perpendicular a las corrientes eléctricas y los cables (¿recuerdas la foto del cable con las limaduras de hierro alrededor?). Del mismo modo que sucede eso, al interaccionar campo con cargas vuelve a pasar lo mismo: la fuerza que aparece sobre las cargas es perpendicular al campo.

Sin embargo, más interesante aún es la otra perpendicularidad, aunque a veces una primera mirada a la ecuación la pasa por alto: la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad. ¿Qué significa esto? Que si, por ejemplo, la carga va hacia la derecha, la fuerza magnética nunca jamás irá hacia la derecha ni hacia la izquierda. De hecho, nunca irá en ninguna dirección que no sea perpendicular a la dirección en la que se mueve la carga: nunca la empujará lo más mínimo “hacia delante” en su movimiento, y nunca la empujará “hacia atrás” en su movimiento. Sí podría ir, en nuestro ejemplo, hacia arriba, o hacia abajo, o en cualquier otra dirección perpendicular a la línea horizontal. Si suponemos que la partícula viaja hacia la derecha y la fuerza va, por ejemplo, hacia arriba, la situación sería algo así:

Pero claro, en el mismo instante en el que la fuerza se llevase nuestra partícula hacia arriba, la partícula ya no estaría viajando hacia la derecha, sino en diagonal hacia la derecha y un poquitín hacia arriba… luego la fuerza magnética también cambiaría de dirección y ya no iría hacia arriba, sino “hacia arriba y un poquitín hacia la izquierda”, pues de acuerdo con la “ley de Thomson” debe ser perpendicular a la velocidad:

Y lo mismo vuelve a pasar todo el tiempo, por supuesto, ya que ahora la carga curva su movimiento aún más, con lo que también lo hace la fuerza:

Como puedes ver, puesto que la dirección de la fuerza va cambiando según lo hace la velocidad, nuestra partícula terminaría realizando una circunferencia. Si hubiera empezado moviéndose en otra dirección, tal vez hubiera seguido una especie de “muelle” avanzando en una dirección pero girando en otra, pero siempre hubiera aparecido algún movimiento circular por la propia naturaleza de la “fuerza de Thomson”. En la realidad muchas partículas subatómicas pueden frenarse o acelerar por otras razones, por ejemplo, si no están en el vacío sino dentro de un gas en el que chocan con otras partículas y se frenan, con lo que muchas veces, en vez de circunferencias, vemos espirales. Seguro que alguna vez has visto alguna foto de una cámara de niebla y en ella aparecen cosas como ésta:

Imagen cortesía del CERN.

Se trata de los rastros de las partículas producidas en la desintegración de un kaón –una partícula inestable de la que hemos hablado hace bastante tiempo–. Lo que me interesa hoy no son los kaones, sino que comprendas la razón de que siempre aparezcan esas espirales, y lo que significan: que en esa cámara de niebla hay un campo magnético y que la fuerza originada por ese campo sobre las partículas cargadas que se mueven en él a gran velocidad produce movimientos circulares — o, en este caso, espirales, dado que las partículas cambian su rapidez por otras razones.

Esta perpendicularidad significa además que un campo magnético nunca jamás puede hacer que una partícula se mueva más deprisa o más despacio que antes. Piénsalo: para que empujase la carga a moverse más rápido que antes, debería empujarla hacia delante, al menos un poco… pero eso no puede pasar, porque la fuerza es perpendicular siempre a la dirección de movimiento. Y para frenarla lo más mínimo, tendría que tirar de ella hacia atrás, ¡pero eso tampoco puede pasar! El campo magnético sólo puede hacer que las partículas “giren”, modifiquen la dirección en la que se mueven, pero nunca puede modificar un ápice lo rápido que van.

Puede que estés arqueando las cejas y pensando algo como: “Vamos a ver, Pedro, cuando pongo dos imanes cerca el uno del otro, completamente parados, empiezan a moverse cada vez más deprisa, ¡ya lo creo que sufren una fuerza hacia delante!” Ah, sí, claro… pero tus pobres ojos humanos no están viendo lo que pasa realmente. No puedo dedicarle suficiente tiempo aquí para explicarlo en profundidad, pero es una confusión suficientemente común –y razonable– como para otorgarle al menos un párrafo.

Las partículas que componen los imanes no estaban paradas, ¡ni mucho menos! Los electrones estaban moviéndose alrededor de sus núcleos a una velocidad tremenda. Lo único que hace el campo magnético del otro imán es curvar el movimiento de muchos electrones al unísono, de modo que todos intenten moverse hacia el otro imán… y, debido a la atracción de Coulomb, se lleven a sus núcleos consigo, haciendo que el imán se mueva como un todo. Dicho de otro modo, la fuerza magnética no hace que las partículas se muevan más deprisa, pero sí que muchas partículas que tenían movimientos dispares “se pongan de acuerdo” y tiren juntas del objeto macroscópico en una dirección determinada. Pero, como no vemos partículas subatómicas, pensamos ingenuamente que los imanes empezaron parados y luego empezaron a moverse.

El caso es que Thomson estableció el comportamiento cualitativo de las cargas en presencia de un campo magnético y sólo metió la pata en ese maldito 1/2. El responsable de corregirlo no fue otro que Oliver Heaviside, el siguiente héroe de hoy, quien reescribió y reorganizó las muchas ecuaciones de Maxwell como las cuatro que conocemos hoy. Heaviside obtuvo la expresión correcta en 1889:

Una vez cuantificada la influencia del campo magnético, para completar la ley que describía la influencia del campo electromagnético sobre la materia sólo faltaba, por tanto, incorporar el campo eléctrico a esa ley; en otras palabras, hacía falta introducir ahí la ley de Coulomb reescrita en términos de los campos de Maxwell. Aquí es donde, por fin, hace su aparición el héroe final de hoy, Lorentz, que en 1892 publicó la expresión completa de la fuerza electromagnética sobre la materia, que incluye el efecto de los dos campos, eléctrico y magnético:

Como sucedía en las cuatro ecuaciones de Maxwell, aquí el campo eléctrico también es más simple y sus efectos más intuitivos. Como puedes ver, en el término de E no hay velocidad que valga, ni productos vectoriales, ni perpendicularidades ni pamplinas. Esto tiene sus consecuencias, por supuesto.

En primer lugar, la fuerza que sufre una carga sometida únicamente a un campo eléctrico será la siguiente:

Punto pelota. Para que una carga sufra una fuerza eléctrica sólo hacen falta dos cosas: una carga y un campo. No hace falta que la carga se mueva; una vez más, simetría con las ecuaciones de Maxwell, ya que la ley de Gauss establecía que las cargas eléctricas producen a su alrededor campos eléctricos, sin necesidad de moverse, y ahora pasa lo mismo pero al revés: las cargas eléctricas sufren la acción de los campos eléctricos sin necesidad de moverse.

Albert Einstein y Hendrik Antoon Lorentz, fotografiados por Ehrenfest a la puerta de casa del último en 1921 (dominio público).

La segunda diferencia con la parte establecida por Thomson y Heaviside es que aquí no hay nada perpendicular: si el campo eléctrico va en una dirección determinada, la carga sufrirá una fuerza en ese sentido o el opuesto. Es posible, por ejemplo, tener una partícula que va hacia la derecha y que el campo vaya hacia la derecha y la fuerza también: esa partícula, como consecuencia, se moverá cada vez más rápido. Los campos eléctricos sí hacen que las partículas vayan más rápido o más despacio, a diferencia de los magnéticos.

A pesar de que existen otras fuerzas fundamentales sin las que nuestro conocimiento del Universo sería incompleto, como la gravedad o las fuerzas nucleares, la fuerza de Lorentz –o, mejor dicho, la fuerza de Coulomb-Faraday-Ampére-Thomson-Heaviside-Maxwell-Lorentz-etcétera, porque siempre somos injustos con los nombres de las cosas– tiene una importancia difícil de expresar con palabras. Combinada con las cuatro ecuaciones de Maxwell, hizo que la última parte del siglo XIX fuera una revolución en nuestro conocimiento de la materia: además de los fenómenos eléctricos y magnéticos más evidentes, las interacciones electromagnéticas determinan las reacciones químicas, el contacto entre los cuerpos… sin este conocimiento hubiéramos sido incapaces de conocer la estructura del átomo y el comportamiento de las cosas a nuestro alrededor a escala microscópica.

De ahí este primer anexo, más extenso de lo que había planeado: porque una mesa construida sólo con las ecuaciones de Maxwell estaría coja. Hace falta esta “quinta pata”, la fuerza de Lorentz, para comprender lo enorme de su relevancia y su papel como fundamento de la Física del cambio de siglo, más aún por los cambios que originaría esta teoría electromagnética a principios del XX. Pero eso es otra historia, y tendrá que esperar a otra ocasión.

Como puedes ver, tras la creación de campos por parte de la materia, la ley de Lorentz establece el segundo paso de la relación materia-campos, es decir, la influencia de los campos sobre la materia. Pero ¿qué hay de la influencia de los campos unos sobre otros? Ahí es donde James Clerk Maxwell revolucionó la Física y dejó al mundo boquiabierto, pero de ello hablaremos en el segundo anexo a esta mini-serie.

Empecemos el nuevo año ejercitando las neuronas, que falta les hace para quemar tantas calorías: ¡nada mejor que un desafío para consumir recursos y ponerse de nuevo en forma! Tras el infierno que fue el frontón chiripitipiti, hoy nos dedicaremos a un desafío bastante más simple, aunque como siempre hay que pelearse con algún obstáculo o esto no tendría la menor gracia.

Si no conoces nuestros Desafíos, por cierto, puedes leer la descripción general aquí; eso sí, si no te gusta coger un papel y un lápiz y luchar contra un problema hasta maldecir mi nombre, mejor haces otra cosa más útil.

Antes de plantear el desafío, los datos pertinentes al envío de soluciones:

• Podéis enviar la solución a desafios@eltamiz.com hasta el domingo 8 de enero inclusive.

• No importa cuándo se envíe la solución; lo importante no es la rapidez, sino la creatividad y la claridad en las explicaciones.

• Se puede trabajar en grupo siempre que se mencionen los nombres de todos los miembros del equipo en la solución.

• Es infinitamente mejor dar una solución aproximada, por burda que sea, que no dar ninguna. Si nadie obtiene la solución perfecta, quien más se aproxime será el ganador (si explica bien las cosas, claro).

• Es posible utilizar programas de ordenador siempre que los hagas tú y los envíes como parte de la solución para que otros puedan verlos.

Dicho esto, aquí tenéis el desafío:

Trineo lutrino

Los lutrinos arturianos, viejos conocidos de El Tamiz, son famosos en toda la Galaxia por su lascivia, su afectuosidad y por ser absolutamente adorables a la par que desasosegadores. Estas juguetonas criaturas gustan de trotar, saltar y divertirse con diversas aficiones durante los breves períodos en los que no están apareándose.

Un juego bastante común, debido a que el planeta lutrino sufre copiosas nevadas en invierno, es el de deslizarse sobre la nieve pendiente abajo. En una ocasión, sin embargo, varios lutrinos estaban jugando en la base de una pendiente nevada y uno de ellos decidió lanzarse pendiente arriba para subir en vez de bajar.

La criatura se propulsó desde la base de la pendiente, deslizándose sobre su tripa peluda, subiendo mientras se iba frenando hasta detenerse y luego bajar deslizándose otra vez hasta volver al punto de partida, ante su propia sorpresa y la de sus compañeros, que esperaban que subiera sin parar hasta llegar a la cima –los lutrinos son adorables, pero no muy inteligentes–. Al verlo caer otra vez, varios de los otros lutrinos empezaron a hacer lo mismo entre risas, mientras el resto se dedicaba a actividades de otra índole.

Aquí tienes los datos concretos de uno de los lanzamientos de los lutrinos de este estilo:

• La pendiente nevada tiene una inclinación de 30º.

• El valor del coeficiente de rozamiento nieve-tripa de lutrino es desconocido.

• El lutrino sólo se impulsa inicialmente pendiente arriba, una vez en movimiento no vuelve a realizar acción alguna hasta regresar al punto de partida.

• La velocidad inicial del lutrino es de 10 m/s.

• La masa del lutrino es irrelevante.

• La aceleración de la gravedad en el planeta lutrino es exactamente 10 m/s².

• El lutrino vuelve al punto de partida, tras subir y bajar, en un tiempo total de 3,61 segundos.

• Puede considerarse un único coeficiente de rozamiento, sin distinguir estático de dinámico (si no sabes de lo que hablo es que no tienes que preocuparte de ello, es sólo para los más detallistas).

Y la pregunta, evidentemente, es la siguiente: conocidos todos estos datos, ¿puedes dar, con la mayor precisión posible, el valor del coeficiente de rozamiento entre la nieve y la tripa lutrina?

Como siempre, dejo los comentarios cerrados en esta entrada para que ningún listillo dé la solución antes de tiempo; si alguien tiene alguna duda, puede preguntarla por e-mail y, si hubiera alguna ambigüedad en el planteamiento del problema, actualizo la entrada y lo anuncio en un comentario.

¡Que ustedes piensen bien!

Estábamos equivocados. Pero vamos por partes.

Más o menos al mismo tiempo, en el propio CERN se realizaban experimentos de choque de partículas subatómicas a altas energías para, entre otras cosas, tratar de determinar la posible existencia del bosón de Higgs, la única partícula del Modelo Estándar que aún no hemos visto. Seguramente has leído alguna noticia al respecto. Detectar con seguridad un bosón de Higgs sería una noticia de gran importancia, aunque no tan importante como la existencia de partículas más rápidas que la luz, por supuesto.

De modo que aquí tienes la noticia menos importante: científicos del CERN han detectado el bosón de Higgs en tres ocasiones, con la suficiente precisión y seguridad como para confirmar su existencia sin ningún género de dudas. El Modelo Estándar queda ahora completo empíricamente… pero es que esto es peccata minuta comparado con lo que viene ahora, y la razón de que mencione los neutrinos “superlumínicos” al iniciar esta entrada. Eso sí, el resto requiere de una explicación algo densa, pero creo que la importancia de la noticia merece que nos paremos en ella para poder comprender su alcance.

Las tres detecciones del bosón de Higgs en el CERN han sucedido con tres partículas diferentes: un protón, un tauón y un neutrino. En todos los casos se produjo algo similar: la partícula en cuestión se convirtió, de manera espontánea, en un bosón de Higgs, para luego, en cuestión de nanosegundos, volver a convertirse en la partícula original.

Dado que no hay nada que estas tres partículas tengan en común salvo su masa, y que pensamos que el bosón de Higgs es la partícula responsable de la masa a través del campo de Higgs, los científicos del CERN piensan que este fenómeno se produce de manera regular en cualquier partícula con masa: todas las partículas elementales de masa no nula se convierten de vez en cuando en bosones de Higgs para luego revertir a su estado inicial.

¿Por qué entonces no nos damos cuenta de este efecto tan sorprendente? ¿No deberíamos ver partículas convertirse en bosones de Higgs todo el tiempo a nuestro alrededor?, puedes estar preguntándote, y con razón. La respuesta, de acuerdo con los experimentadores del CERN, es bien sencilla: sí, está sucediendo todo el tiempo –está sucediendo en las partículas que componen tu cuerpo mientras lees este artículo–, pero el tiempo que dura la transición (el tiempo de “fase Higgs”, como lo denominan) es tan corto que es imposible percibirlo.

De hecho, la única razón de que en el LHC hayamos detectado esta transformación es que las partículas adquieren tal energía y, por tanto, se mueven a velocidades tan gigantescas, que durante la brevísima “fase Higgs” dejan un rastro de la suficiente longitud como para ser detectado. En la vida cotidiana, las partículas a nuestro alrededor recorren distancias menores que el núcleo de un átomo durante el tiempo en el que se han transformado en bosones de Higgs, con lo que nos es imposible darnos cuenta.

Pero esto no es lo más sorprendente; cuando los científicos trazaron la trayectoria recorrida por las partículas durante su “fase Higgs”, se encontraron con que no era la esperada. Durante ese tiempo, todas las variables del movimiento de la partícula se invertían, para luego volver a revertir a sus valores originales tras la transformación en la partícula original. Aquí puedes ver un diagrama ejemplo en el caso de un protón:

A todos los efectos, durante la fase Higgs la partícula retrocede en el tiempo. También retrocede en el espacio a lo largo de su trayectoria, por supuesto, pero en todos los casos los experimentadores del CERN han encontrado que el retraso espacial no supera al temporal, de modo que, al transformarse de nuevo en la partícula original y seguir la trayectoria “normal” otra vez, la partícula lo hace un tiempo infinitesimal antes de lo que debería.

Este desfase temporal depende básicamente de la relación entre la masa de la partícula y la del bosón de Higgs: partículas más pesadas, como el protón, sufren un desfase temporal menor, mientras que las más ligeras, como el neutrino –e imagino que ya sabes a dónde voy a ir a parar– sufren un desfase temporal mayor. Desde luego, en todos los casos se trata de un valor minúsculo, tan pequeño que al medir la velocidad de cualquier partícula la diferencia con la velocidad esperada es casi inapreciable.

Pero en el caso de los neutrinos, el efecto sí puede medirse en algunas ocasiones: por un lado, la pequeña masa del neutrino hace que durante su “fase Higgs” se mueva hacia atrás en el tiempo bastante más –relativamente hablando, claro– de lo que retrocede espacialmente en su trayectoria, ya que el bosón de Higgs es bastante más pesado que el neutrino original. Por otro, los neutrinos se mueven tan próximos a la velocidad de la luz que un aumento de velocidad aparente, por ínfimo que sea, puede hacerlos superar la velocidad de la luz… y eso es precisamente lo que sucedió al detectarlos en Gran Sasso hace unos meses.

Al final, no eran errores de cálculo, ni el ignorar la relatividad general, ni la precisión de los GPS: a lo largo de su viaje entre el CERN y Gran Sasso, los neutrinos “díscolos” se estaban convirtiendo, en determinados puntos de su trayectoria, en bosones de Higgs durante cortísimos tiempos. Y estos brevísimos períodos en fase Higgs eran los responsables de que los neutrinos llegasen a Gran Sasso un poco antes de lo que deberían — aunque, desde luego, los neutrinos no “deberían” comportarse de ningún modo; son nuestras teorías las que deben adaptarse a la realidad y no al revés.

Como ves, al final casi todo está relacionado: ¿quién nos hubiera dicho que la búsqueda del Higgs resolvería el enigma de los neutrinos superlumínicos? Pero naturalmente, como pasa tantas veces, la respuesta a un enigma nos trae nuevas preguntas, algunas de ellas inquietantes.

Al principio puede parecer que la importancia práctica de este descubrimiento es nula: si esto sucede durante tiempos tan cortos y su efecto es tan minúsculo que no puede apreciarse –y, de no haber sido así, nos hubiéramos dado cuenta hace mucho tiempo–, ¿qué más da que las partículas realicen de vez en cuando este “viene y va” en el tiempo? ¿qué importan unos pocos nanosegundos?

Sin embargo, la importancia puede ser enorme. La clave de la cuestión está en el principio de incertidumbre de Heisenberg. En cualquier momento de su existencia, una partícula podría tener una posición ligerísimamente diferente, o una velocidad distinta — y comportarse así de un modo u otro, de una manera que no podemos predecir.

Pero esto significa que una partícula cualquiera, durante su breve fase de Higgs, retrocede un tiempo determinado y vuelve así a una situación anterior. En otras palabras, el instante de conversión de bosón de Higgs a partícula original sucede múltiples veces para la partícula: una vez cuando va “hacia delante” en el tiempo, como partícula original, y otra vez cuando se convierte en partícula original a partir de la fase de Higgs. La partícula existe en ese momento más de una vez. Naturalmente, a efectos del resto del Universo, la única vez que importa es la segunda, ya que la primera vez la partícula retrocede como bosón de Higgs hasta el instante anterior.

Lo esencial de esto es que la partícula no tiene por qué hacer lo mismo la segunda vez que la primera, por el principio de indeterminación. Tal vez la primera vez se hubiera desintegrado en otras partículas, pero tras la fase Higgs no lo hace. Tal vez iba un poco más hacia la derecha, pero la segunda vez tras la fase Higgs no lo hace… y nunca sabremos lo que hubiera sucedido la primera vez, porque es “borrada” por la fase Higgs cuando las cosas sueceden de nuevo.

En palabras de Mikka Eilinen, uno de los responsables de la detección del bosón de Higgs y la hipótesis de la “fase Higgs”:

Es como si durante la fase Higgs la partícula “rebobinara” su tiempo, como si fuera una película, para luego seguir moviéndose hacia delante en el tiempo. Pero lo que sucedió antes del “rebobinado” se borra cuando el suceso se produce de nuevo, con lo que la película final es la que resulta del segundo suceso.

Es más: ¿cómo sabemos que la fase Higgs sólo se produce una vez? Si la partícula fuera hacia delante en el tiempo, luego hacia atrás durante un tiempo minúsculo, luego hacia delante, luego hacia atrás, y así un millón de veces, lo único que quedaría, indeleble, sería lo que sucediera en el último paso hacia delante en el tiempo. Todo lo anterior no importaría en absoluto.

Esto significa que, de poder manipular de algún modo la fase Higgs –aunque esto es sólo una especulación, por supuesto– sería posible alcanzar estados futuros “planeados”. Como dice el propio Eilinen,

[...] sería posible dar ese brevísimo “rebobinado” una y otra vez hasta que se produjese la situación deseada. Significaría, desde luego, una modificación minúscula respecto a lo que hubiera sucedido sin la fase Higgs, pero al hacerlo con un número suficientemente grande de partículas, por ejemplo, todas las del Universo con masa, y un gran número de veces a lo largo del tiempo, sería posible dirigir los sucesos hacia el fin que se deseara.

Resulta, de hecho, muy sospechoso que absolutamente todas las partículas con masa se comporten de este modo. Es como si el Universo hubiera sido diseñado así, para poder ser manipulado “rebobinando” los sucesos una y otra vez hasta producir el resultado deseado; es como si algo –o alguien– dirigiese lo que pasa en el Universo como un titiritero moviendo los hilos… sólo que no hay hilos: las marionetas se mueven al azar una y otra vez, hasta que realizan las acciones que desea el titiritero de manera aparentemente aleatoria. Y las marionetas, desde luego, no tienen noción de que están siendo manipuladas de este modo, pues no hay manipulación aparente.

Todo esto es, claro está, una especulación con poco fundamento, y seguramente te suena a ciencia-ficción barata. Pero de ser cierto –que probablemente no lo sea, insisto–… de ser cierto, debemos ser conscientes de ello. Debemos saberlo, cuanta más gente mejor, aunque no podamos hacer nada sobre ello, aunque sigamos siendo marionetas controladas sin control. Por otro lado, de ser cierto, ese algo –o alguien– probablemente no dejaría que lo supiéramos, de modo que rebobinaría una y otra vez los acontecimientos de manera que no se descubriera la verdad, o que quienes intentamos publ

Este artículo fue publicado el día 28 de Diciembre de 2011, Día de los Santos Inocentes. Todo lo que has leído es mentira, pero si te ha hecho sonreír, ha merecido la pena.

Nuestra exploración del Sistema Solar continúa. A lo largo de nuestro viaje desde el Sol hacia las regiones más exteriores del sistema hemos estudiado cuerpos celestes, como Venus o Europa, y también conceptos más abstractos, como el Período de Intenso Bombardeo Tardío o los posibles sistemas de propulsión interplanetaria; éste será más bien de los segundos.

En los últimos artículos de la serie hemos conocido con bastante detalle el sistema planetario formado por Júpiter y sus anillos, lunas interiores, lunas galileanas y, en el último artículo de la serie, lunas exteriores. Estamos ya casi listos para alejarnos aún más del Sol y alcanzar Saturno, pero nos queda por conocer un grupo de cuerpos muchas veces olvidados, como héroes de una guerra pasada y muy lejana: los asteroides troyanos. Aunque no forman estrictamente parte del sistema joviano, su presencia sigue estando determinada por la influencia gravitatoria del gigante Zeus, y se trata además de cuerpos muy interesantes porque su descubrimiento es justo al revés de lo común.

Lo más normal ha sido, a lo largo de la historia, que se observe un nuevo cuerpo –o un conjunto de cuerpos– en el Sistema Solar, a veces en lugares sorprendentes o con características extrañas. A continuación, buscamos una explicación para la existencia de esos cuerpos, a veces incluso descubriendo nueva ciencia en el proceso. Sin embargo, aquí sucedió justamente lo contrario: un genio teórico llegó a la conclusión de que podríamos encontrar ciertos cuerpos en determinados lugares y, cuando miramos allí, no encontramos absolutamente nada, pero entonces… Ah, pero me estoy adelantando a los acontecimientos. Vamos por partes.

Alrededor del año 1770, el matemático y astrónomo italo-francés Giuseppe Lodovico Lagrangia, más conocido por su nombre “afrancesado” de Joseph-Louis Lagrange (a la derecha), se encontraba absorto en la resolución de un problema de una enorme dificultad: el problema de los tres cuerpos, es decir, el reto de poder predecir el movimiento de un sistema formado por tres masas en el espacio sometidas a la acción de la gravedad.

El problema equivalente con dos cuerpos había sido resuelto por el padre de la dinámica y la gravitación, Sir Isaac Newton: dos cuerpos sometidos únicamente a la interacción gravitatoria realizan órbitas alrededor del centro de masa de ambos cuerpos. Conocida la posición y la velocidad de ambos en un momento determinado, es posible saber exactamente qué haran en el futuro con una precisión absoluta. Por ejemplo, el sistema Sol-Júpiter (si ignoramos la acción de todos los demás cuerpos) se comporta de una manera fácilmente predecible.

Sin embargo, si se añade un tercer cuerpo, la cosa se convierte en un infierno: el cuerpo A afecta al movimiento de B, pero al cambiar la posición de B, se afecta a la de C, que a su vez modifica la de A y B, con lo que entonces A se mueve, y entonces… bueno, puedes imaginarte el resto. El problema es de una dificultad endiablada, y a pesar de que Lagrange era un auténtico genio, no consiguió resolverlo completamente. De hecho, a finales del siglo XIX, el rey Óscar II de Suecia estableció un premio para el primero en conseguir resolver el problema de los n cuerpos (la generalización de tres cuerpos a un número arbitrario de ellos) o, en su defecto, a explicaciones incompletas que supusieran avances de importancia en el conocimiento científico. El ganador del premio aparecerá en breve aquí mismo, por cierto, mostrando una vez más como todo está relacionado de una manera u otra.

El caso es que, a pesar de que Joseph-Louis Lagrange no pudo resolver el problema de los tres cuerpos, al pelearse con él consiguió cosas enormes, como desarrollar una formulación alternativa de la mecánica newtoniana, la formulación lagrangiana de la mecánica clásica, cuya elegancia y eficacia son apabullantes. Pero en lo que a nosotros respecta en este artículo, lo realmente importante no es eso; en un momento dado, Lagrange se dio cuenta de que no podía resolver el problema de los tres cuerpos con sus interacciones gravitatorias mutuas. Pero, como buen científico, se planteó una posibilidad alternativa: tal vez no podía resolverlo exactamente, pero ¿no sería posible realizar alguna aproximación que lo convirtiese en algo más comestible y que fuera útil en determinadas circunstancias? (o, como suelen decir los físicos, “supongamos que la vaca es una esfera…”).

De manera que Lagrange se planteó lo siguiente: supongamos que, de los tres cuerpos, dos (A y B) son muchísimo más grandes que el tercero (C). Podríamos entonces considerar que A y B se afectan mutuamente y a su vez afectan a C, pero que la posición de C es irrelevante para A y B, ya que la masa de C es tan pequeña que los otros dos ni se enteran de su atracción gravitatoria. Sería entonces una situación parecida al problema de los dos cuerpos –ya resuelto por Newton– pero con un tercer invitado que sufre la acción de los dos cuerpos.

Claro, esto no es el problema original, pero sería muy útil en muchos casos del mundo real (y seguimos utilizando las soluciones de Lagrange a este problema modificado hoy en día constantemente). Por ejemplo, si pensamos en el sistema Sol-Tierra-WMAP formado por nuestra estrella, el planeta Tierra y el satélite WMAP que lanzamos en 2001, el Sol y la Tierra tienen masas tan gigantescas comparadas con la de la pequeña sonda que podemos ignorar la influencia del pequeño satélite artificial sobre cualquiera de los otros dos cuerpos.

El caso es que Lagrange resolvió esta versión alternativa, y obtuvo algunas conclusiones muy interesantes. Por ejemplo, existían determinados puntos en los que el objeto C más pequeño podía mantenerse en una posición fija relativa a los otros dos cuerpos, ya que la fuerza total sobre él debida a los tirones gravitatorios de los dos cuerpos más grandes era exactamente la necesaria para moverse a la vez que ellos. Creo que un caso concreto y un dibujo pueden ayudarte a ver esto con relativa facilidad.

Imagina el sistema Sol-Tierra, y supongamos que la Tierra realiza una órbita más o menos circular alrededor del Sol. Un objeto más cercano al Sol que la Tierra giraría alrededor de la estrella más deprisa que nuestro planeta, con lo que poco a poco se iría adelantando a la órbita de la Tierra. Pero, si lo pusiéramos exactamente en la línea Tierra-Sol y lo suficientemente cerca de la Tierra, el tirón gravitatorio de la Tierra “hacia fuera” compensaría en parte el del Sol. Sería, en cierto sentido, como si el Sol tuviera una masa algo más pequeña, con lo que la fuerza neta fuese menor y el objeto tardase un poco más en orbitar alrededor de la estrella.

Es posible elegir el sitio para que ese efecto haga que el “retraso” en la órbita sea exactamente el necesario para que el objeto tarde en dar una vuelta al Sol lo mismo que la Tierra, de modo que el objeto girase acompañándolo en su trayectoria alrededor del Sol:

Primer punto de Lagrange. Se han representado las atracciones gravitatorias del Sol y la Tierra. Nada está a escala.

Ese punto se denomina primer punto de Lagrange o L₁. Un objeto allí situado que empiece con la misma velocidad orbital que la Tierra se moverá a la vez que el planeta alrededor del Sol, lo que significa que, si lo miramos desde la Tierra, siempre estará exactamente en el mismo sitio, en la dirección del Sol y a la misma distancia de nuestro planeta todo el tiempo. Por cierto, este punto de Lagrange nos es muy útil porque al poner allí un satélite artificial mirando hacia el Sol, nunca jamás se verá tapado por la Tierra, con lo que puede mirar a la estrella todo el tiempo. El satélite SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) se encuentra precisamente ahí.

Sin embargo, si has comprendido este efecto de compensación, llegarás a la misma conclusión de Joseph-Louis Lagrange: hay otro punto al otro lado de la Tierra en el que sucede algo parecido. Un objeto en órbita alrededor del Sol más alejado que la Tierra tendrá un período orbital más largo, con lo que al cabo del tiempo irá quedando “retrasado” respecto a la Tierra, como le sucede a Marte, por ejemplo. Pero si lo ponemos suficientemente cerca de la Tierra a lo largo de la línea Tierra-Sol, entonces ambos tirones gravitatorios irán “hacia dentro”, con lo que la situación es parecida a la que sería si el Sol tuviera un poco más de masa. El objeto girará entonces un poco más deprisa alrededor de la estrella: si lo ponemos en un punto determinado, tendrá exactamente el mismo período orbital que la Tierra y nunca se moverá respecto a ella:

Segundo punto de Lagrange.

Se trata del segundo punto de Lagrange o L₂. En el caso del Sol y la Tierra, L₂ es también muy útil para nosotros por las razones contrarias a L₁: un objeto situado en L₂ nunca jamás verá el Sol. Siempre será “de noche” para él, pues nuestro planeta siempre estará entre el Sol y ese objeto; al estar bastante cerca de la Tierra, el tamaño aparente del planeta es lo suficientemente grande como para encontrarse en una especie de eclipse solar permanente. Por eso, allí colocamos objetos como la sonda WMAP que hemos mencionado antes o el futuro telescopio espacial James Webb (el que reemplazará al Hubble, que no está en este punto sino en órbita alrededor de la Tierra, por cierto). De este modo, sus ojos tecnológicos pueden mirar siempre las estrellas sin que el Sol los ciegue.

¡Pero hay más! Un objeto situado al otro lado del Sol haría algo similar. En este caso, si suponemos que la Tierra orbita alrededor del centro del Sol y que éste se encuentra inmóvil, el punto en cuestión estará al otro lado del Sol y un poco más lejos que la Tierra cuando el planeta pasa por allí. Al tener en cuenta que la Tierra y el Sol orbitan alrededor del centro de masas de ambos, que no es exactamente el centro del Sol, resulta que este tercer punto está un poco más cerca del Sol al otro lado que la Tierra a este lado, pero eso nos da igual ahora mismo, lo importante es que está al otro lado:

Tercer punto de Lagrange.

Este tercer punto de Lagrange o L₃ no es tan útil como otros, principalmente porque no es demasiado estable en la realidad: el efecto de otros planetas, como Venus, es suficientemente grande como para que esta aproximación de tres cuerpos ignorando el resto del Sistema Solar no sea demasiado precisa. En general, de hecho, es difícil mantener un cuerpo en cualquiera de estos tres puntos de Lagrange, ya que se trata siempre de equilibrios inestables — una perturbación pequeña puede mandar al cuerpo a freír espárragos según se separa del punto de Lagrange de que se trate. ¡Pero es que todavía hay más puntos de este tipo!

Un objeto que esté orbitando a la misma distancia del Sol que la Tierra pero “por delante” o “por detrás” de ella tendría, en principio, el mismo período orbital que el planeta, con lo que se mantendría allí si no le afectara más que la atracción del Sol como le sucede a nuestro planeta… pero es que el planeta también tira del objeto. Por eso, aunque empiece a la misma distancia y con el mismo período orbital que la Tierra, nuestro planeta modificará la órbita y sacará a ese objeto de la órbita terrestre, ya sea acercándolo al Sol o alejándolo de él, dependiendo de dónde esté.

Por ejemplo, el cuerpo de la figura empieza orbitando alrededor del Sol un poco detrás de la Tierra, pero si te fijas en las dos fuerzas que actúan sobre él, en poco tiempo se acercará más al Sol que la Tierra, con lo que su órbita se modificará y ya no viajará junto a la Tierra. La fuerza total que sufre nuestro cuerpo ya no se dirige hacia el centro de giro, sino “hacia delante” en el movimiento del objeto porque la Tierra tira de él en el sentido de su movimiento, alterando su velocidad:

Aunque no voy a mostrarte la figura contraria, dependiendo de dónde esté el objeto es posible también que la suma de ambas fuerzas, en vez de dirigirse “hacia delante” respecto al centro de rotación, lo haga “hacia atrás”, frenando el objeto y sacándolo también de su órbita. De modo que orbitar por delante o por detrás de la Tierra a la misma distancia del Sol es muy difícil… excepto en dos casos en particular.

Si un objeto se encuentra exactamente a la misma distancia de la Tierra que del Sol y sobre la órbita de la Tierra, la suma de ambas fuerzas se dirigirá exactamente hacia el centro de masa del sistema, es decir, el centro de giro (que no es exactamente el centro del Sol, sino un poco más cerca de la Tierra que ese punto), con lo que sí podrá mantenerse orbitando a lo largo de la órbita terrestre a la vez que la Tierra.

Aunque una explicación rigurosa sería mucho más larga y difícil, la razón de que esto sea así es la siguiente, dicho mal y pronto: si sólo lo atrajese el cuerpo grande (en este caso, el Sol), nuestro pequeño cuerpo sufriría una fuerza dirigida hacia el centro de ese cuerpo. Sin embargo, al añadir el cuerpo B (la Tierra), la fuerza total sobre nuestro cuerpo se desvía un poquitín hacia la Tierra — lo justo para que la fuerza total se dirija, no hacia el centro del Sol, sino hacia el centro de masa Sol-Tierra, ligeramente desplazado hacia la Tierra.

La razón de que la fuerza se dirija justo hacia ahí es que, puesto que nuestro cuerpo está a la misma distancia del Sol y la Tierra, la proporción entre las dos fuerzas que sufrirá será la misma proporción que la de las dos masas más grandes entre sí. Pero las distancias respectivas del Sol y la Tierra al centro de masas están también en proporción a sus masas, con lo que la fuerza total se dirige exactamente hacia el centro de masas y el objeto orbita alrededor de él.

Por lo tanto, el cuerpo pequeño acaba realizando un movimiento circular idéntico al de la Tierra y con el mismo período orbital, con lo que siempre girará alrededor del Sol “adelantado” respecto a la Tierra la misma distancia; al mirarlo desde nuestro planeta siempre lo encontraríamos en el mismo lugar. Para encontrar ese punto no tenemos más que dibujar un triángulo equilátero cuyos vértices sean el centro del Sol, el centro de la Tierra y el centro de nuestro objeto, de modo que el objeto esté sobre la órbita terrestre y a la misma distancia del Sol que de la Tierra:

Cuarto punto de Lagrange.

Se trata del cuarto punto de Lagrange o L₄. Puesto que el triángulo es equilátero, cada uno de sus tres ángulos es de 60º, con lo que L₄ siempre estará orbitando 60º “por delante” de la Tierra. Naturalmente, existe otro punto que cumple exactamente las mismas características –misma distancia punto-Sol que punto-Tierra y sobre la órbita terrestre–, pero al otro lado, es decir, “por detrás” de donde se encuentra nuestro planeta, y ese punto no es otro que el quinto y último punto de Lagrange, L₅:

Quinto punto de Lagrange.

Los puntos L₄ y L₅ se denominan a veces puntos triangulares de Lagrange por razones obvias, o puntos troyanos por razones que veremos en unos párrafos. Aquí tienes los cinco puntos de Lagrange juntos en todo su esplendor:

Los cinco puntos de Lagrange (¡nada está a escala!).

En la realidad, naturalmente, hay desviaciones de este comportamiento ideal; no sólo existe la influencia de otros cuerpos además de los tres que estamos estudiando, sino que además las órbitas no son circulares sino elípticas, con lo que las cosas son ligeramente más complicadas. Eso sí, los conceptos básicos se mantienen, con lo que si has entendido a grandes rasgos esta explicación, puedes comprender lo que vendría después.

Lo que hace especiales a L₄ y L₅ es que se trata de puntos de equilibrio estable: un objeto que empiece en uno de ellos y sufra una pequeña perturbación no se alejará indefinidamente de ese punto, sino que realizará una especie de órbita alrededor del punto de Lagrange, ya que al separarlo de él el desequilibrio se compensa a sí mismo y lo devuelve a la región cercana a ese punto.

Por tanto, la conclusión de Joseph-Louis fue que sería posible encontrar pequeños cuerpos celestes en las órbitas de cuerpos más grandes, ya fuera adelantados 60º a la posición del cuerpo mayor o retrasados 60º respecto a él. Sin embargo, esto no sería igualmente fácil para todos los cuerpos celestes: para empezar, los puntos de Lagrange tienen sentido cuando la masa del cuerpo más pequeño es mucho menor que las de los otros dos. Además, la influencia de cuerpos ajenos al sistema de tres cuerpos será tanto menor cuanto más grandes sean los dos cuerpos mayores.

¿Dónde sería lógico entonces encontrar objetos en los puntos de Lagrange al mirar el Sistema Solar? En este caso, la masa más grande es el Sol, pero las masas B y C pueden variar, con lo que deberíamos tener en cuenta los siguientes factores:

• Cuanto mayor sea la masa intermedia B, menor será la influencia de otros cuerpos del Sistema Solar además del Sol y B, luego habría que buscar en las órbitas de planetas grandes.

• Ya que el tercer cuerpo debe ser muy pequeño comparado con el segundo, cuanto mayor sea B más grande puede ser C y seguir manteniéndose la aproximación de Lagrange luego, una vez más, habría que buscar en las órbitas de planetas masivos.

• Puesto que L₁, L₂ y L₃ no son puntos de equilibrio estable pero L₄ y L₅ sí lo son, habría que observar las inmediaciones de los dos puntos triangulares.

No hace falta pensar durante mucho tiempo para decidir hacia dónde apuntar los telescopios, ¿verdad? Tras la predicción de Lagrange, numerosos astrónomos dirigieron su mirada a las regiones 60º por delante y 60º por detrás de los planetas gigantes conocidos por entonces, especialmente el mayor de todos, Júpiter.

Y no vieron absolutamente nada.

Según los telescopios se iban haciendo más y más potentes, los astrónomos siguieron echando vistazos a las inmediaciones de L₄ y L₅ de la órbita joviana: eran conscientes de que tal vez Lagrange tuviera toda la razón pero que los cuerpos allí situados fueran demasiado pequeños y estuvieran demasiado lejos como para haberlos visto antes.

Y siguieron sin ver absolutamente nada durante más de un siglo; el pobre Lagrange, desde luego, nunca vio su hipótesis confirmada. Sin embargo, el 22 de febrero de 1906 el astrónomo alemán Maximilian Wolf descubrió, ¡por fin!, un asteroide en L₄, al que denominó Aquiles por el héroe griego de la Ilíada –hoy en día recibe el nombre de 588 Aquiles por ser el cuerpo número 588 de pequeño tamaño descubierto por el ser humano–.

Pero claro, esto no significaba nada: al fin y al cabo, hay muchos objetos de pequeño tamaño por todas partes en el Sistema Solar. ¿Y si se trataba simplemente de una coincidencia? Pero los astrónomos del XIX tenían razón: lo único que había evitado descubrir todos los cuerpos “escondidos” en L₄ y L₅ de Júpiter había sido la limitación en los telescopios de la época. El descubrimiento de Wolf no había sido una casualidad, sino un signo de que los telescopios de principios del siglo XX habían superado el límite necesario.

En octubre de 1906, unos meses después de la observación de Wolf, otro astrónomo alemán, August Kopf, descubrió otro asteroide en la órbita joviana, pero no en L₄ como Aquiles, sino en L₅, al que llamó Patroclo, otro de los griegos de la Guerra de Troya. En febrero de 1907, el propio Kopff descubrió otro asteroide en L₄, Héctor (en este caso un troyano, uno de los hijos de Príamo), y en poco tiempo se fueron descubriendo más: al principio en pequeño número, luego a docenas y luego a cientos.

Hoy en día sabemos que existen dos auténticos enjambres de asteroides alrededor de L₄ y L₅. Cada año se descubren muchos nuevos, de modo que es difícil decir exactamente cuántos hay, pero pensamos que alrededor de cada uno de los dos puntos triangulares de Lagrange se arremolinan unos 500 000 asteroides de tamaño superior a 1 km y unos 100 000 más grandes de 2 km. En total, un millón de asteroides de 1 km o más y varios millones más pequeños. Lagrange estaría orgulloso.

Para continuar la tradición establecida por Wolf y Kopff, se fue nombrando a todos los asteroides descubiertos en L₄ y L₅ haciendo referencia a personajes de la Guerra de Troya narrada por Homero en la Ilíada. En conjunto se los denomina, por lo tanto, asteroides troyanos. Sin embargo, puesto que posteriormente se han descubierto asteroides cerca de los puntos triangulares de otros planetas del Sistema Solar (incluyendo la Tierra, cuyo primer troyano se descubrió en 2010, aunque es un minúsculo asteroide de unos 300 metros de largo), a veces se especifica un poco más diciendo asteroides troyanos de Júpiter.

Sin embargo, hay una distinción más. Puesto que los asteroides en L₄ y los de L₅, aunque comparten órbita, nunca jamás se encuentran, pues un grupo está adelantado 60º a Júpiter y el otro retrasado 60º, como si fueran “enemigos”, a los asteroides de L₄ se los denominó el “campamento griego” y a los de L₅, el “campamento troyano”.

Así, a lo largo de los años hemos ido dando nombres de héroes griegos de la Ilíada a los asteroides de L₄ (Aquiles, Agamenón, Patroclo, etc.), y nombres de héroes troyanos a los de L₅ (Eneas, Príamo, Antenor, etc.). Sin embargo, puesto que esta tradición de separarlos en dos campamentos no existía al principio, hay dos excepciones a ella: Héctor está en L₄ pero es troyano, y Patroclo está en L₅ pero es griego. Salvo estos dos “infiltrados”, los demás pertenecen al bando correspondiente.

Aquí tienes una imagen en la que se han representado las posiciones de muchos de los asteroides troyanos de Júpiter:

Asteroides troyanos de Júpiter (dominio público).

Pero hay una animación que me parece mucho más clarificadora y fascinante. En ella se ven las suficientes cosas interesantes que quiero explicarla antes de que te quedes embobado mirándola. Aparte de los planetas interiores (Mercurio, Venus, la Tierra y Marte) y el gigante Júpiter, se muestran dos grupos de asteroides; no aparece el Cinturón Principal porque haría la imagen muy confusa.

En verde podrás ver los campamentos griego y troyano, pero no estáticos, sino moviéndose al son de Júpiter en su órbita, como bien había predicho el genial Joseph-Louis Lagrange. Además, en rojo puede verse una familia de asteroides que mencionamos al hablar del Cinturón Principal, las Hildas. En aquel artículo mostramos esta gráfica de familias de asteroides con la relación distancia al Sol-inclinación sobre la eclíptica:

Gráfica distancia-inclinación. Las Hildas están en torno a 4 AU y los troyanos en torno a 5,2 AU, la órbita de Jùpiter (Piotr Deuar/CC 3.0 Attribution-Sharealike License)

Como dijimos entonces, las Hildas son una familia peculiar: se encuentran realizando órbitas “arriesgadas”, siempre en peligro de caer hacia Júpiter según pasan cerca. Como verás en la animación, las Hildas realizan una órbita resonante con la de Júpiter: dan tres vueltas al Sol por cada dos del gigante. En cada una de estas vueltas realizan una visita al campamento griego, otra al troyano y otra al punto opuesto a la posición de Júpiter respecto al Sol, siempre sin quedarse en ninguno de ellos puesto que se mueven demasiado rápido (los troyanos son más tranquilos y permanecen en posiciones fijas relativas a Júpiter, claro).

¿Cómo es posible tal casualidad, y que justo tengan la posición y velocidad adecuadas?, te puedes estar preguntando. La respuesta, naturalmente, es que no es casualidad: todos los asteroides con órbitas similares pero sin la velocidad o la distancia al Sol adecuadas han sucumbido a la atracción de Zeus, han terminado en uno de los dos “campamentos” o han salido despedidos a otras regiones del Sistema Solar. Las Hildas son las afortunadas que tenían los parámetros orbitales adecuados para permanecer haciendo algo tan bello, al menos durante unos millones de años.

Pero lo mejor es que deje de contarte rollos y te permita disfrutar de la animación con los troyanos y las Hildas:

Animación de las Hildas y los satélites troyanos de Júpiter (Petr Scheirich, reproducida con permiso explícito del autor).

Lo que no puedo mostrarte son fotos impresionantes de ninguno de los troyanos, puesto que su distancia a la Tierra y su pequeño tamaño lo hacen imposible salvo que enviemos alguna misión específica cerca de uno de ellos, y nunca hemos hecho eso. El más grande de todos es Héctor: tiene forma de cilindro de 200 km de diámetro en la base y unos 370 km de largo, y una masa de unos 1,4·10¹⁹ kg. Sin embargo, la mayor parte de ellos tienen unos pocos kilómetros de tamaño y masas mucho menores.

624 Héctor (Kevin Heider/CC 3.0 Attribution-Sharealike License).

Al realizar el análisis espectroscópico de los asteroides troyanos para tratar de determinar su naturaleza y composición, nos dimos cuenta de que no se parecen demasiado a la inmensa mayoría de los asteroides del Cinturón Principal. Prácticamente todos los troyanos son asteroides de tipo D: de un color rojizo oscuro, con un albedo muy bajo, compuestos de silicatos y carbonatos y con algo de hielo de agua. De hecho, en general se parecen bastante más a los asteroides del Sistema Solar exterior –al que no hemos llegado aún, pero llegaremos algún día– que a los objetos más interiores.

Por lo tanto, una de las hipótesis del origen de los troyanos es precisamente ésa: que provienen de las regiones más externas, de los confines helados y oscuros del Sistema Solar mucho más allá de Júpiter. Naturalmente, esta hipótesis debe explicar por qué estos objetos han acabado tan cerca del Sol –relativamente hablando, claro– si provienen de lugares tan lejanos. Pero en esta misma serie hemos explicado un modelo de la juventud del Sistema Solar en el que pasaba justamente eso, y si lo recuerdas aún me harías inmensamente feliz.

Una de las posibles explicaciones del origen del Período de Intenso Bombardeo Tardío que mencionamos entonces postulaba que los objetos exteriores podrían haber “tirado” de Júpiter y Saturno hacia fuera, alejándolos del Sol y provocando una resonancia 1:2 entre ellos. Esa resonancia, de ser cierta esta hipótesis, lanzó multitud de objetos en diferentes direcciones: algunos de los asteroides del Cinturón Principal hacia el interior del Sistema, como vimos en aquel artículo, y tal vez otros más externos, como objetos procedentes del Cinturón de Kuiper, hacia regiones más cercanas como la órbita de Júpiter.

Indudablemente, muchos de esos objetos acabaron impactando contra algo, o en órbitas muy elípticas o irregulares, pero si realmente sucedió esa migración masiva, multitud de asteroides tendrían las características orbitales necesarias para permanecer en las inmediaciones de L₄ y L₅, o con esas órbitas peligrosas pero relativamente estables como las de las Hildas.

Otra posible explicación es que los troyanos sean los restos de planetesimales que no llegaron a agregarse a la masa de Júpiter: cuando el gigante creció, la mayor parte de los planetesimales cercanos fueron absorbidos por su gravedad creciente, pero algunos pueden haber escapado por la “fortuna” de encontrarse cerca de los puntos triangulares, con lo que orbitaban al son de Júpiter y no se acercaban a él. El problema de esta hipótesis es que los modelos asociados predicen un número mucho menor de troyanos de los que hay, y también la presencia de un número considerable de asteroides troyanos de Saturno, algo que no se ha encontrado.

Sea cual sea su origen, puedes imaginar la escena: un enjambre de asteroides de tamaños muy diversos, en muchos casos meros fragmentos minúsculos de roca oscura; en otros, cuerpos más grandes, compuestos de trozos de roca y polvo sujetos únicamente por el hielo, sin el que se desmoronarían como un muñeco de nieve sucia, todos orbitando el Sol cada doce años y, además, realizando pequeñas órbitas alrededor de L₄ y L₅: soldados de una guerra pasada que siguen realizando una patrulla perenne e inútil. ¡Ay, que me pongo cursi!

No existen misiones planeadas a los troyanos de Júpiter –al menos, que yo conozca, por supuesto–. Sin embargo, a largo plazo puede ser interesante tenerlos en cuenta; por un lado, están en una región intermedia del Sistema Solar, un poco más allá de 5 UA del Sol. Por otro, se trata de un lugar mucho más pacífico y seguro que las inmediaciones de Júpiter. Como seguro que recuerdas de las múltiples entradas dedicadas al gigante, sus alrededores son terriblemente peligrosos. Además, aunque la mayor parte de estos asteroides no sean demasiado grandes, muchos de ellos tienen enormes cantidades de hielo de agua: nuestras estimaciones de la densidad de 617 Patroclo, menor que la del agua, sugieren que contiene una fracción considerable de hielo.

Una base “de paso” en los troyanos podría servir de siguiente parada en un viaje a las regiones exteriores tras detenerse en otra base similar en el Cinturón Principal. Y, tras esta parada, podríamos seguir trepando lentamente por la pared del pozo gravitatorio del Sol y alejarnos más y más, hasta alcanzar la siguiente estación: Saturno.

Para saber más (esp/ing cuando procede):

• Puntos de Lagrange/Lagrangian point
• Asteroides troyanos/Jupiter trojans