Sin embargo, no puedo creerla seriamente, porque la teoría es inconsistente con el principio de que la Física debe representar una realidad en el espacio y el tiempo sin acción fantasmal a distancia…

Albert Einstein en una carta a Max Born, 1947.

Hace ya un año que hicieron su aparición los cuantejos en El Tamiz. Se trataba del momento en el que introducíamos en la serie Cuántica sin fórmulas el concepto de entrelazamiento cuántico, y desde entonces la serie se ha dedicado, fundamentalmente, a explorar las consecuencias prácticas y teóricas del concepto de entrelazamiento, dañando irreversiblemente las mentes que la han ido siguiendo desde entonces. Hoy continuamos con ello, de una forma aún más teórica que antes; intentaremos comprender juntos la demostración y enunciado del Teorema de Bell, cuyas consecuencias filosóficas hubieran hecho temblar a Einstein — no olvides la cita de arriba según avancemos en el artículo–. Es considerado por algunos como uno de los más revolucionarios del último siglo por lo que significa, combinado con los experimentos, acerca del Universo que nos rodea.

Pero, antes de bucear juntos en la cuántica, los avisos de rigor (si llevas mucho tiempo con nosotros, mejor saltas hasta el párrafo “En el último artículo…” para no leer lo que, con unas palabras u otras, has leído muchas veces ya):

En primer lugar, esta serie es, de lejos, la más abstracta y difícil de comprender de El Tamiz. Algunos artículos, como éste, prácticamente requieren coger un lápiz y un papel y hacer algunas anotaciones según los lees para no liarte, y a menudo es necesario leerlos varias veces para ir asimilando las cosas; en parte esto se debe a que describen conceptos complejos, y en parte a que muchas veces se trata de cosas completamente ajenas a nuestra intuición. En resumen, que hace falta cierto esfuerzo para sacar algo en claro de ellos, y gran parte del trabajo para comprender las ideas tras estos pobres artículos debe ser tuyo. Si te sirve de consuelo, imagina el esfuerzo que me supone a mí escribirlos –éste en particular, tres veces antes de quedarme sólo parcialmente satisfecho con el resultado–.

En segundo lugar, lo que vas a leer es un hatajo de simplificaciones y trampas abyectas para hacer comprensible al lego algo que es muy difícil de entender incluso para nosotros los físicos, así que si buscas rigor y explicaciones completas, mejor lo haces en otra parte. En mi opinión, como sabéis los viejos del lugar, es mucho mejor para el lego recibir una explicación conceptual asequible, aunque sea mediante analogías con sus correspondientes “agujeros”, que simplemente recibir un “esto es muy complicado, no lo entenderías” –que tiene la ventaja para nosotros de servir de escape cuando nosotros tampoco lo entendemos de verdad, con lo que no podemos explicarlo con palabras sencillas–.

Finalmente, si las palabras cuantejo zanahoriófilo, entrelazamiento o superposición te suenan raras, es que no has llegado hasta aquí con el resto de nosotros. Mi recomendación es que empieces la serie por el principio, o al menos desde que introdujimos el concepto de estado cuántico, o este artículo te va a resultar aún más raro de lo que es por sí mismo. ¿Que tienes que leer mucho antes de volver aquí? Pues sí… como he dicho antes, gran parte del esfuerzo para sacar algo en claro de esto debe ser tuyo.

En el último artículo, como espero que recuerdes, nos dedicamos a estudiar el experimento del detector de bombas de Elitzur-Vaidman. Allí nos preguntábamos acerca de dos conceptos puestos en duda por muchas predicciones de la cuántica y esenciales en la concepción clásica del Universo, y que se ponían de manifiesto en el experimento mental de esos dos físicos.

Por un lado, el realismo: la idea de que las cosas son como son y tienen unas propiedades determinadas, independientemente de que las midamos o no. Para entendernos, siempre que ante una paradoja cuántica te preguntas, “Sí, pero ¿dónde está el electrón/qué velocidad tiene/cuál es su espín/cómo son las cosas… de verdad?”, estás apelando, consciente o inconscientemente, al realismo, algo que está enterrado en nuestra intuición de una manera muy difícil de desterrar.

Por otro lado, el localismo, es decir, la idea de que los sucesos se producen en un lugar determinado y sus consecuencias viajan por el resto del Universo pasando por todos los puntos intermedios. Es más fácil comprender la idea de localismo expresándola a la Einstein, a saber: no existen “acciones fantasmales a distancia” que conecten, de forma instantánea, puntos diferentes del Universo. Lo que yo hago en un lugar no puede tener consecuencias inmediatas en otros lugares muy lejanos. Como el realismo, se ha tratado tradicionalmente de una idea implícitamente asumida por la Ciencia, aunque la cuántica en muchos casos la ponga en duda.

Sin embargo, a veces aquí hemos hablado de cómo cambiar el estado de una partícula modificaba instantáneamente el estado de una partícula entrelazada con ella. Ya dijimos entonces que esto puede interpretarse de dos maneras: si la mecánica cuántica es una teoría completa, el estado es la partícula, de modo que si cambia el estado es que ha cambiado la partícula, y el realismo no se sostiene. Por el contrario, es posible que el estado no sea toda la información sobre la partícula, en cuyo caso es posible que cambie el estado sin que cambie la partícula.

Tanto Einstein como otros científicos, a quienes llamaré real-localistas, rechazaban de plano una Física que abandonase cualquiera de esos dos conceptos. El problema era, naturalmente, que los experimentos parecían avalar la mecánica cuántica, ya que sus predicciones se cumplían extraordinariamente bien. Para los real-localistas el problema no era que el Universo fuese así de raro –en su opinión, no lo era–, sino simplemente que la propia teoría cuántica estaba incompleta, algo que podemos ver claramente con un ejemplo sencillo de los que hemos trabajado antes en la serie si lo explicamos desde el punto de vista de un real-localista.

Si yo produzco un par de cuantejillos entrelazados, de modo que si al medir el estado de uno de ellos resulta ser zanahoriófilo puedo estar seguro de que el otro es zanahoriófobo (y, antes de medir ninguno, ambos tienen un 50% de probabilidad de estar en cualquiera de los dos estados), un real-localista lo explicaría así:

Lo que sucede es que se han generado dos cuantejos con características opuestas desde el principio. Uno de ellos es zanahoriófilo, y siempre lo ha sido desde su creación, aunque yo no lo mida. El otro es zanhoriófobo desde el principio. Cuando mido uno de los dos, puesto que no sé cuál es cuál, naturalmente hay un 50% de probabilidad de que resulte ser, por ejemplo, zanahoriófobo. Pero el cuantejo no ha cambiado, lo que ha cambiado es mi conocimiento sobre él. Y el otro cuantejo no cambia instantáneamente cuando mido éste, ¡qué idea más peregrina! No, lo que pasa es que, si yo tengo el zanahoriófobo, el otro debe ser necesariamente su contrapartida, un cuantejo zanahoriófilo, como siempre fue, aunque yo no lo supiera. La zanahoriofilia y la zanahoriofobia son características reales de los cuantejos, y no se transmiten fantasmalmente a distancia.

¿Cómo es posible entonces que nunca podamos ir más allá de simples probabilidades en la cuántica? Para el real-localista, el problema es la propia cuántica. Hacía falta una teoría más completa, que tuviese en cuenta “variables ocultas” que la cuántica no consideraba — entonces, las probabilidades se desvanecerían y podríamos saber cómo son las cosas de verdad. Es como si yo tuviera una teoría acerca de que, tras un día lluvioso, hay un 60% de probabilidad de que llueva otra vez, sin tener en cuenta nada más. ¡Menuda meteorología! Si estudiase las variables que no tengo en cuenta (temperatura, velocidad del viento, humedad relativa, etc.) y estableciese modelos correctos, ese 60% se convertiría en algo muchísimo más preciso y determinado — la indeterminación no estaba en el tiempo meteorológico, sino en mi conocimiento limitado anteriormente.

Podría parecer que no se puede ir más allá en la discusión. ¿Cómo demostrar que la cuántica sí es una teoría completa? ¿Cómo demostrar que el realismo, o el localismo, no se cumplen en el Universo? El argumento “ah, pero la teoría cuántica no es completa” es difícil de rebatir con experimentos de ningún tipo… porque nunca es posible estar seguro de cuándo una teoría científica es completa. Aquí es cuando entra en escena el físico norirlandés John Stewart Bell (a la derecha de pie frente a la pizarra), que consigue con una elegancia fuera de lo común lo que parecía imposible: predecir resultados experimentales que deben cumplirse, sí o sí, para un Universo real-localista, sin la menor hipótesis acerca de la mecánica cuántica.

Antes de zambullirnos en la demostración del Teorema en cuestión, quiero tratar de hacerte ver la enorme originalidad de enfoque de Bell: otros habían intentado antes demostrar, a partir de las propiedades de la mecánica cuántica, resultados experimentales determinados. Pero eso no resolvía el problema: sí, la mecánica cuántica predecía esos resultados, pero tal vez habría otra teoría más completa que no sólo predijese los mismos resultados en esos experimentos, sino que además tuviera en cuenta variables ocultas o cosas que se hubiesen escapado a la cuántica, y lo explicase todo sin romper el localismo ni el realismo. Un callejón sin salida para discutir sobre esos dos aspectos.

Pero Bell hace exactamente lo contrario. Partamos de la hipótesis de que la realidad existe y es local, dice Bell, ¡justo el mismo punto de partida que el de Einstein y los real-localistas! ¿Qué consecuencias experimentales tiene eso? Naturalmente, muchas, pero John Bell consigue razonar meticulosamente sobre una en concreto: existe un límite en un determinado resultado experimental que no puede sobrepasarse si la realidad es local. Cualquier experimento que esté dentro de esos límites es compatible con una realidad local y no demuestra nada… pero si un solo experimento se sale de esos límites, no es posible explicarlo con absolutamente ninguna teoría real-localista. Fíjate que Bell no sostiene que la cuántica sea verdad, sino que su Teorema se centra en el localismo y el realismo, y consigue romper el nudo gordiano como debe hacerlo la Ciencia, estableciendo condiciones que pueden comprobarse de manera empírica. Después volveremos a hacer énfasis en esto.

De modo que ponte el gorro de pensar, audaz y estimado lector, y razonemos juntos de un modo similar a como lo hizo Bell en 1964 en su “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox” –a la que enlazaremos al final para los valientes– en la que establece su famoso Teorema. Naturalmente, Bell era una persona respetable y seria, y nunca jamás hubiera utilizado cuantejos, apio ni zanahorias en su razonamiento… peor para él, que se quede con sus aburridos electrones, fotones, espín y estados de polarización. Nuestro argumento es conceptualmente equivalente al suyo, pero con todas las salvedades que puedas imaginar: si ves agujeros en este razonamiento, los agujeros están en mis pobres analogías, no en el impecable artículo de Bell.

Como verás, el razonamiento completo es bastante lógico y, francamente, no hay sorpresas ni momentos extraños… lo extraño no es la conclusión del razonamiento, como veremos al finalizar, sino otra cosa diferente.

¡Vamos con ello!

En nuestro razonamiento, partiremos de dos hipótesis que harían feliz a Einstein –y muchas veces, para qué vamos a engañarnos, al resto de nosotros–, y olvidemos por un momento la maldita mecánica cuántica y sus conceptos incomprensibles:

1. Las propiedades de un sistema físico existen independientemente de cualquier medición — existe una realidad “de verdad”.

2. Los cambios en un sistema físico no pueden propagarse instantáneamente a otros lugares del Universo — esa realidad es “local”.

Imaginemos pues que tenemos una máquina que produce cuantejos. Los cuantejos producidos pueden ser de tres tipos: zanahoriófilos, apiófilos y manzanófilos, según adoren una de esas tres comidas (zanahoria, apio o manzana). Un cuantejo tiene gusto por uno de los tres alimentos y sólo uno, de modo que si es zanahoriófilo es necesariamente apiófobo y manzanófobo, y del mismo modo con las otras viandas. Naturalmente, nunca podemos estar seguros de a cuál de los tres tipos pertenece la adorable criatura hasta que le presentamos algún alimento, e incluso entonces es posible que no sepamos cuál es: si le presentamos una zanahoria y la rechaza, por ejemplo, no sabremos si es apiófilo o manzanófilo, simplemente habremos descartado el hecho de que pueda ser zanahoriófilo.

Eso sí, dado que la realidad existe, los cuantejos son de un tipo determinado desde que nacen, nada de esa palabrería cuántica de que “está en un estado superpuesto de zanahoriófilo, apiófilo y manzanófilo hasta que colapsamos la función de onda al medirla”. Nada cambia el tipo de cuantejo una vez éste ha nacido como es. En este artículo, para entendernos gráficamente, representaremos por tanto a los cuantejos con uno de estos tres dibujos, dependiendo de a qué grupo pertenezca en cada caso:

Cuantejos zanahoriófilo, apiófilo y manzanófilo.

(Todas las ilustraciones de este artículo, por cierto, son obra de Geli, afortunadamente para vosotros).

Nuestra máquina tiene otra peculiaridad: produce los cuantejos como pares de gemelos idénticos. Ambos son zanahoriófilos, ambos apiófilos o ambos manzanófilos. Esto significa que si yo estoy en un lugar y tú en otro, y yo enseño a mi cuantejillo una manzana y se la zampa feliz y contento, puedo estar seguro de que el tuyo también es manzanófilo, no porque haya habido una conexión instantánea entre ellos ni nada parecido, sino porque simplemente he comprobado que mi cuantejo siempre fue manzanófilo, luego el tuyo también lo ha sido siempre. ¡En esta casa se respeta el localismo!

Además, esta máquina produce los pares completamente al azar: un tercio de las veces produce cuantejos zanahoriófilos, un tercio apiófilos y un tercio manzanófilos. Cómo hace esto es indiferente, y no requiere en absoluto de probabilidades cuánticas; podemos tener dentro un operario con un dado de seis caras que lo lance cada vez y produzca el par de cuantejos correspondiente: 1-2 significa zanahoriófilos, 3-4 apiófilos y 5-6 manzanófobos. O podemos tener un ordenador que genere al azar el tipo de cuantejos, da exactamente lo mismo mientras desde fuera no podamos saber de qué tipo se han producido y los tres casos sean equiprobables.

Máquina productora de pares de cuantejos.

Finalmente, supongamos que tú y yo tenemos sendos detectores de cuantejos a una gran distancia entre ellos, simplemente para eliminar cualquier posible interacción que no pudiéramos detectar. Estos detectores son máquinas muy simples: a elección de quien las maneja, pueden presentar al cuantejo que llega una zanahoria, un apio o una manzana. Si el cuantejo se lanza, ávido y feliz, a por la comida, se enciende una luz verde en la máquina. Si el cuantejo pone cara de asco y rechaza, despectivo, el alimento, se enciende una luz roja. Nuestras máquinas tienen una palanca con la que podemos seleccionar cuál de los tres alimentos habrá esperando al cuantejo cuando llegue. Por ejemplo, en este caso la luz se pondrá verde, pues estamos ofreciendo apio a un cuantejo apiófilo (aunque no sabemos que lo es hasta entonces, claro):

Máquina detectora de tipos de cuantejos.

Supongamos que tú y yo ponemos las palancas de nuestros detectores en la misma posición, da igual cuál, y que la máquina que produce cuantejos nos lanza un millón de pares aleatorios de las adorables criaturas. ¿Qué probabilidad habrá de que las luces de nuestras dos máquinas coincidan cada vez?

Naturalmente, la probabilidad es del 100%. Si los cuantejos son, por ejemplo, zanahoriófilos, y ambos ponemos la palanca en “zanahoria”, tanto tu máquina como la mía encenderán la luz verde. Si ponemos la palanca en “apio” o “manzana”, tanto tu luz como la mía serán rojas. Si la máquina produce un millón de cuantejos al azar y nuestros detectores tienen la palanca en la misma posición el uno que el otro, el millón de veces coincidirán nuestras luces: a veces serán verdes cuando acertemos, otras serán rojas, pero siempre del mismo color la tuya que la mía. Y, aunque no sea demasiado importante para nuestro experimento, nuestras luces serán verdes 1/3 de las veces (cuando acertemos con la comida), y rojas los 2/3 restantes (cuando no acertemos con la comida).

Espero que, hasta aquí, todo esté claro. Ahora, compliquemos la cosa un poquito, que te toca pensar a ti.

Imagina que tanto tú como yo nos agenciamos un dado, y hacemos lo mismo que el operario de la máquina productora de cuantejos. Para cada cuantejo que vaya a llegar a mi detector, si me sale 1-2, pondré la palanca en posición “zanahoria”, si es 3-4 en “apio” y si es 5-6 en “manzana”. La probabilidad de que acierte con la comida, desde luego, sigue siendo de 1/3 para cada cuantejo, y si me llegan 9 millones de cuantejos, se encenderá la luz verde unos tres millones de veces. Pero ésa no es la cuestión, sino hacernos la misma pregunta de antes: ¿cuántas veces de los nueve millones coincidirán nuestras luces?

Podría decírtelo directamente, pero creo que la comprensión es mucho mejor si haces la cuenta tú mismo. Si tú seleccionas cada vez una palanca al azar, y yo hago lo mismo, y recibimos nueve millones de pares de cuantejos aleatorios, ¿cuántas veces coincidirán nuestras luces? Seguramente te hará falta un lápiz y un papel para hacer alguna pequeña tabla en la que mostrar las posibles combinaciones de “posición de palanca” en tu máquina y la mía. Antes de seguir leyendo, piensa sobre ello.

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Básicamente, existen nueve posibles combinaciones de posiciones de palanca entre tú y yo, todas igualmente probables: tú zanahoria-yo zanahoria, tú zanahoria-yo apio, etc. Puedes verlas todas en la siguiente tabla:

Supongamos que recibimos un par de cuantejos zanahoriófilos (lo que hemos representado en la tabla, para no olvidarlo al rellenarla, en la esquina superior izquierda). ¿En cuántas de las nueve posibles combinaciones coinciden nuestras luces? Si ambos ponemos las palancas igual, naturalmente obtenemos los dos el mismo resultado. Pero hay veces en las cuáles también obtenemos el mismo resultado de luz roja incluso aunque no tengamos las palancas igual: puesto que al cuantejillo le gustan las zanahorias, si tú tienes la palanca en “apio” y yo en “manzana”, tanto tu luz como la mía serán rojas. Si antes de ver la tabla no sabías por dónde empezar, piensa en cuáles de los nueve casos coinciden nuestras luces, y luego sigue leyendo. Puedo parecer pesado, pero no es lo mismo verlo hecho que haberlo trabajado tú mismo.

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Aquí tienes la tabla rellena para un par de cuantejos zanahoriófilos, con las casillas en las que coincidimos resaltadas con “tic” verde:

Pero ¿qué sucedería con las probabilidades para un par de cuantejos apiófilos, o manzanófilos? Pues exactamente lo mismo: siempre hay tres de las nueve opciones en las que coincidimos seguro (cuando hacemos lo mismo con la palanca el uno que el otro), y otras dos en las que también coincidimos aunque las palancas no estén igual (cuando no acertamos ninguno pero con alimentos diferentes). El resultado es, por tanto, siempre el mismo. Si cuentas las casillas en las que coincidimos en la tabla de arriba, verás el número mágico: cinco de cada nueve veces (5/9 de las veces) coincidirán nuestras luces.

Sería posible, naturalmente, que nuestro operario hiciese trampa o tuviese un dado defectuoso, de modo que no lanzase pares cuantejos con 1/3 de probabilidad cada uno, sino que unos tipos fueran más probables que otros… pero eso no modificaría en absoluto el 5/9. También sería posible que el operario, en vez de producir cuantejos zanahoriófilos, apiófilos o manzanófilos produjese cuantejos “aberrantes”: por ejemplo, cuantejos que siempre se comen cualquier alimento que se les pone delante, o que nunca comen ninguno. Pero, si hiciese eso, entonces coincidiríamos siempre: por ejemplo, si los cuantejos aceptan cualquier comida, tanto tu luz como la mía serán verdes siempre, y lo mismo si los cuantejos rechazan cualquier comida.

El operario podría incluso hacer que los cuantejos fueran aún más complejos: podría lanzar cuantejos zanahorio-apiófilos, que aceptasen esas dos verduras pero no las manzanas, o manzano-zanahoriófilos, o cualquier combinación que en vez de aceptar una y rechazar dos viandas, aceptase dos y rechazase una. Pero eso tampoco podría hacer jamás que coincidiésemos menos de 5/9 de las veces. De hecho, si tú y yo nos mantenemos firmes en nuestra aleatoriedad al poner la palanca en nuestros detectores, y el operario lanza pares de cuantejos idénticos que son de los tipos normales o los aberrantes, todos mezclados, podemos estar seguros de una cosa, la conclusión final de nuestro teorema absolutamente lógico y razonable:

Nuestras luces coincidirán, al menos, 5/9 de las veces.

Fíjate que digo “al menos” para protegernos de la posibilidad de cuantejos aberrantes. Puede que sean 5/9, o un poquito más, pero seguro, segurísimo, que no van a ser menos, ya que cualquier desviación de la aleatoriedad del operario sólo puede mantener o aumentar la proporción de coincidencia entre nosotros — si lo hacemos suficientes veces, claro; es posible que lo hiciéramos nueve veces y salieran dos coincidencias y siete desacuerdos, pero sobre nueve millones de veces, seguro que se aproxima mucho a 5/9. Y en todo esto no hemos hablado en absoluto de cuántica, pero hemos establecido un límite claro que es imposible atravesar. Ésa es la maravilla y la genialidad de John Stewart Bell: que obtuvo una desigualdad inquebrantable y relativamente sencilla de comprobar experimentalmente. Y esa desigualdad es el resultado de un razonamiento que, espero, te habrá parecido lógico, sensato e inevitable.

Sin embargo, la conclusión de arriba es una mentira como un piano de cola.

Porque, una vez tenemos una afirmación como ésa, no hay más que preparar experimentos de este tipo y comprobar cuántas veces coinciden nuestras luces. Desgraciadamente, nuestra tecnología aún no ha logrado producir cuantejillos zanahoriófilos, con lo que los experimentos para comprobar que se cumple la desigualdad de Bell (que coincidimos 5/9 o más de las veces) se han realizado con miríadas de pares de partículas entrelazadas, como electrones y fotones, y se emplean propiedades como el espín o el estado de polarización. Mucho más prosaico, pero igualmente válido. Y, cuando se hace el experimento análogo al que hemos hecho nosotros arriba con cuantejos, ¿sabes cuántas veces coinciden nuestras luces?

La mitad.

En otras palabras, 4,5/9 de las veces, no 5/9. Puede parecer que los números se parecen mucho, y que el 50% y el 55,555…% son tan similares que la diferencia puede ser simplemente un error, y que la desigualdad de Bell no se cumple por la falta de precisión. Pero, si sabes de probabilidad, eres consciente de que, para un número enorme de pruebas –y en muchos experimentos diferentes, no sólo en uno– un 5% de diferencia es una enormidad. Dicho de otro modo, la conclusión empírica, escribiéndola como hemos hecho arriba es que

Nuestras luces pueden coincidir menos de 5/9 de las veces.

Y eso es imposible.

O, mejor dicho: es imposible si nuestro razonamiento anterior era válido. Puesto que ese 4,5/9 se ha comprobado experimentalmente, nuestro razonamiento anterior no puede ser válido. Ahora bien, un razonamiento puede no ser válido porque hay un error en el proceso seguido, o porque alguna de las premisas de que partía era falsa. Puesto que nuestro razonamiento es sólido, la conclusión es impepinable: al menos una de nuestras premisas es falsa.

Dicho de otro modo: o bien no existe una realidad objetiva, o bien la realidad no es local, o ninguna de las dos cosas. Y esto no tiene absolutamente nada que ver con la mecánica cuántica, pues es aplicable independientemente de cuánto avance la cuántica y cuántas cosas tenga en cuenta. Si las partículas tienen propiedades intrínsecas que no son establecidas al medirlas sino inherentes a las cosas, y no existe manera de que esas propiedades cambien instantáneamente cuando suceden cosas en otro lugar, no es posible que nuestras luces coincidan la mitad de las veces… pero sí lo hacen.

De modo que el Teorema de Bell establece un límite experimental que ninguna teoría real-localista puede rebasar. Ese límite se rebasa experimentalmente, luego ninguna teoría real-localista puede explicar esos experimentos. Eso es, básicamente, el avance revolucionario que estableció el bueno de John. De haber estado vivo, Einstein indudablemente hubiera sufrido al ver los resultados experimentales que desmontaban las hipótesis del teorema.

Por si cabe duda, el teorema en sí no dice que las premisas sean falsas, sino que si son verdaderas, la desigualdad debe cumplirse. Podríamos enunciarlo, en los términos de este artículo, así:

Si existe una realidad local, nuestras luces coincidirán al menos 5/9 de las veces.

Los experimentos violan esa desigualdad, de modo que nuestra conclusión puede ser entonces que no hay una realidad local, pero el teorema es independiente de los resultados de los experimentos, simplemente establece el marco teórico que deben o no cumplir para satisfacer las premisas o no. Siento ser repetitivo, pero no quiero confusiones respecto a qué es el Teorema de Bell y qué son los intentos empíricos de extraer conclusiones a partir de él, ya que mi intención en este artículo es precisamente que tengas una idea aproximada del razonamiento y el enunciado del Teorema.

Hay otra cosa que tampoco dice el Teorema de Bell, aunque a veces se oiga por ahí. No dice que si se incumple la desigualdad “la cuántica tiene razón”. Es perfectamente posible que haya una teoría más completa, mejor, más precisa que la cuántica, y que la mecánica cuántica que tenemos resulte patética e hilarante para nuestros nietos: pero, lo que quiera que sea que la reemplace, no puede ser una teoría real-localista. En otras palabras: la cuántica es rara, y tal vez esté equivocada, pero no es rara por estar equivocada; cualquier teoría que la reemplace también sera rara, porque el Universo lo es.

Tampoco es posible concluir que el Universo no es real ni tampoco local: recuerda que hemos demostrado que al menos una de las dos premisas es falsa, no que ambas son falsas. Es perfectamente compatible con esta combinación de razonamiento y experimentos un Universo real en el que hay transferencia instantánea de propiedades físicas. También lo es un Universo sin esa transferencia instantánea, pero en el que la realidad se define al medirla. Desde luego, también es posible que ni una cosa ni la otra existan; con lo que quiero que te quedes es con que tal vez las cosas sean raras por un lado, raras por otro o raras por todos los lados, pero raras son.

Eso sí, aunque esto no demuestre nada y sea ajeno al Teorema en sí, la cuántica se comporta de manera ejemplar en estos experimentos. Porque, si se aplica el formalismo cuántico a los experimentos que hemos descrito arriba, la cuántica predice una coincidencia que viola la desigualdad, es decir, una coincidencia menor de 5/9. Y no sólo eso: la probabilidad de coincidencia de acuerdo con la cuántica es exactamente 4,5/9… justo lo que hemos obtenido en los experimentos. No voy a justificar ese resultado aquí, porque los experimentos involucran polarizaciones con ángulos de 45 y 90º, y el 1/2 resulta del coseno de 45º al cuadrado, y es un follón, y no quiero que te quedes con la idea de que la cuántica explica nada: ¡la cuestión no es ésa!

No faltan quienes cuestionan la conclusión a la que hemos llegado; por lo que sé, muy pocos lo hacen atacando el Teorema de Bell –aunque los hay–, cuya conclusión es muy generalmente aceptada. Lo que los proponentes del real-localismo sostienen es que los experimentos con los que obtenemos ese 4,5/9 no son válidos, sino que tienen errores de precisión o de concepto que podrían explicar la diferencia con la predicción de 5/9. Sin embargo, es mucho más numeroso el grupo que opina que tanto la teoría como la práctica son bastante sólidas, y que debemos abandonar la idea de un Universo de realidad local, al menos por uno de los dos lados; por ejemplo, la mayor parte de los defensores de la idea de que la cuántica no tiene aún en cuenta todas las variables (es decir, hay “variables ocultas”) piensan que las variables ocultas explican que nos parezca que no hay una realidad objetiva… pero sí aceptan, en su inmensa mayoría, que eso significa necesariamente que debe haber transmisión instantánea de algunas de estas variables entre sistemas físicos.

Y, sin más, mi salud mental perjudicada irreversiblemente por la elaboración de este artículo, lo mismo que, seguramente, la tuya por leerlo, me retiro a la mazmorra de nuevo. Pero no sin preguntarte, lunático lector de este ladrillo: aunque no tengas manera de demostrar tu afirmación, ¿por qué opción te inclinas tú? ¿real pero no local, local pero no real, o ninguna de las dos cosas? ¿o tal vez estás en el equipo de Einstein y crees que existe una realidad local, y que seguimos fallando en algo?

Para saber más:

• John Stewart Bell, “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox” (1964)

• Teorema de Bell / Bell’s Theorem

• Loopholes in Bell test experiments

• Bell’s Theorem (David Harrison)

• Bell’s Theorem (Gary Felder)

Aunque la entrada de hoy no es tan terrorífica como algunas anteriores en esta serie, es de las “puntillosas”. Requiere que explique –mal y pronto, como siempre– algunas cosas no relacionadas directamente con la cuántica pero necesarias para entender el experimento, y hay detalles varios a los que hay que seguirles la pista. No nos engañemos: por mucho que lo haya intentado, este artículo es bastante petardo, estoy seguro de que contraviene la Convención de Ginebra y sólo cuando finalmente lleguemos a la parte “cuántica” tendrá más interés. Si te sirve de aliciente, al final sí llegaremos a conclusiones de las que hacen arquear la ceja. Al menos, he tratado de ilustrar cada paso y detalle para que sólo te tires de los pelos lo necesario durante el planteamiento inicial.

Si recuerdas el teletransporte cuántico, una de sus claves era obtener información sin “medir” algo, de modo que no lo modificásemos. Hoy iremos mucho más lejos en este aspecto; mi intención es que no te sorprendan los argumentos, sino que te parezcan lógicos dentro de lo posible, mientras que a la vez la conclusión te haga maravillarte, como me sucedió a mí la primera vez que oí hablar del experimento de hoy. Hablaremos del detector de bombas de Elitzur–Vaidman y, dicho mal y pronto, conoceremos de la existencia y naturaleza de algo sin mirarlo.

Aunque posteriormente se ha realizado el experimento en la realidad, originalmente se trata de un experimento mental, similar a otros de los que hemos hablado en la serie, como el del gato de Schrödinger. Fue propuesto por primera vez en 1993 por los físicos Avshalom Elitzur y Lev Vaidman, y voy a intentar explicarlo de la manera más clara posible, paso a paso y haciendo énfasis en las cosas relacionadas con otros aspectos de la cuántica que hemos visto ya. Como tantas otras veces, te pido paciencia si al principio parece que no llegamos a ningún sitio, pero si no dejamos algunas cosas claras primero –aunque no sean el núcleo del experimento–, mal vamos a llegar a conclusiones lógicas, y no quiero partir de la base de que sepas óptica y lo que es un interferómetro, por ejemplo.

Avshalom Elitzur (izquierda) y Lev Vaidman (derecha) (imagen compuesta, originales de Tzahy Lerner y Yairm, CC 3.0 Attribution-Sharealike License).

Imagina, estimado y paciente lector de El Tamiz, que en una habitación subterránea, en total oscuridad –en un momento verás por qué– tenemos un conjunto de bombas de características muy peculiares. En primer lugar, hay dos tipos de bombas: las bombas falsas son inofensivas (no pueden estallar), y permiten el paso de la luz sin obstáculos, es decir, son transparentes. Las bombas reales, sin embargo, son extraordinariamente inestables: sólo hace falta que incida sobre ellas la más mínima cantidad de luz para que la absorban y exploten (un simple fotón basta para hacerlas reventar). Y, naturalmente (porque, si no, ¿qué gracia tendría todo esto?) ambos tipos de bombas son absolutamente indistinguibles entre sí hasta el momento de la explosión –o falta de ella–.

Es evidente que determinar si una bomba pertenece a uno u otro grupo es muy fácil: no hay más que exponerla a la luz. Si no explota es una bomba falsa, y si estalla es una bomba real. El problema con este sistema, claro, es que nunca podemos conseguir una bomba real, lista para explotar, sin hacer que estalle antes… porque la única manera de saber que es real es haciéndola estallar primero. Con lo que, con este sistema, acabamos con bombas falsas por un lado, y restos de bombas reales ya estalladas por el otro, algo muy poco eficaz porque, por razones que son irrelevantes para el experimento, supongamos que las bombas reales tienen un enorme valor. ¿Sería posible tener en la mano lo que sabemos que es, con absoluta seguridad, una bomba real… pero sin hacer que explotase?

A primera vista, esto parece imposible, ya que lo único que distingue unas bombas y otras es que unas explotan al recibir luz y otras no. De hecho, si la mecánica cuántica fuera un sueño y la newtoniana –e incluso la relativista– rigieran el Universo, nuestro dilema no tendría una solución satisfactoria. Sólo tenemos certeza si la bomba es falsa, o si la bomba ya explotó. La única solución válida sería la que obtuviera información sobre la reacción a la luz de una bomba… sin que le llegase un solo fotón de luz. Y Elitzur y Vaidman dieron con la clave de cómo hacerlo, empleando el concepto de la dualidad onda-corpúsculo.

Imagina que construimos el siguiente sistema –que es, básicamente, un interferómetro de Mach-Zehnder, pero parto de la base de que nunca has oído hablar de uno, así que no te preocupes si no lo conoces–. En primer lugar, disponemos de una fuente de luz, en este caso un láser de gran precisión con el que podemos emitir fotones uno a uno. Naturalmente, debemos ser cuidadosos con él, porque si un fotón emitido por el láser choca con cualquier bomba, y esa bomba resulta ser real, explota y la perdemos. Ya hemos descartado, desde luego, la solución trivial: apuntar con el láser a cada bomba en la habitación oscura, ya que entonces tenemos total seguridad de qué bomba pertenece a cada grupo… pero nos hemos quedado sin bombas reales. Primero, el láser (como siempre, disculpad los dibujos, pero uno tiene sus limitaciones):

A continuación del láser, ponemos un dispositivo un tanto peculiar, aunque muy empleado en interferometría: una superficie semiespejada. Suena raro, pero no es más que una lámina de vidrio, con uno de sus dos lados pintados con una capa muy fina de aluminio. La capa de aluminio tiene el grosor adecuado para que la mitad de la luz que recibe sea transmitida, y la mitad reflejada (o, en términos de partículas, de que un fotón que llega tenga un 50% de ser reflejado y un 50% de atravesarla). De esta manera es muy fácil dividir un haz de luz en dos perpendiculares con la mitad de intensidad cada uno, simplemente poniendo el espejo de la siguiente manera:

En el dibujo he representado el aluminio en celeste y el vidrio en gris. Como ves, al llegar a la lámina, la mitad de la luz es reflejada y sale hacia arriba en el dibujo, y la mitad atraviesa el aluminio, entra en el vidrio refractándose, y sale por el otro lado en la misma dirección que el rayo original –aunque, por supuesto, no con la misma intensidad–. La construcción de la lámina semiespejada es cuidadosa, de modo que ambos rayos salgan perpendiculares el uno al otro, como en mi pobre dibujo.

Eso sí, algo más cambia en la onda luminosa o esto no tendría ninguna gracia. Aunque los detalles de esto se escapan al objetivo del artículo de hoy (que no es precisamente sobre óptica, aunque parezca lo contrario), permite que explique mal y pronto lo que nos afecta a nosotros sobre la reflexión y refracción de la luz en este semiespejo. Al reflejarse en la lámina de aluminio desde el aire, la onda luminosa “se da la vuelta”. Esto puede sonar a chino, pero básicamente quiere decir que, si la onda luminosa fuera como la onda que viaja por una cuerda, cada cresta de la ola se convierte en un valle, y cada valle en una cresta, como si fuera el “negativo” de la onda original (si sabes de ondas, la onda reflejada tiene un desfase de π respecto a la original):

Uno de los aspectos curiosos de esta “inversión” de la onda al reflejarse es que sólo sucede cuando lo que hay al otro lado del aluminio es un medio con un índice de refracción mayor que el inicial. Es decir: si la onda va por el aire y se encuentra con el aluminio y a continuación el vidrio, al reflejarse se “da la vuelta”… pero si viene por el vidrio y se encuentra con el aluminio y detrás el aire, entonces la reflexión no altera en absoluto la forma de la onda. Como digo, curioso, pero estas cosas de óptica llevarían una serie en sí mismas (¡y seguramente algún día la reciban!), así que sigamos con lo que nos interesa ahora mismo.

La razón de que no te hayas dado cuenta de esto nunca, por cierto, es que a nuestro ojo le trae sin cuidado si la cresta está desplazada o no respecto a ninguna “posición original”. Sin embargo, si por alguna razón la onda original y la onda “invertida” se encuentran de nuevo, lo que sucede es lo mismo que sucedería en una cuerda en la que produjéramos esas dos ondas a la vez: cada punto sufre el mismo “tirón” hacia arriba y hacia abajo, con lo que no se mueve en absoluto. Este “sumar una onda y la onda invertida” se conoce como interferencia destructiva, y en el caso de la luz tu ojo sí podría detectarla, porque al cancelarse ambas ondas se produciría oscuridad:

Sin embargo, si sumamos una onda con otra idéntica a ella en vez de “dada la vuelta”, ambas contribuciones se suman y se produce una onda que es la suma de ambas, en lo que se llama interferencia constructiva:

Es posible, por lo tanto, dividir un haz luminoso en dos, y luego volver a juntar las dos “mitades”… y obtener un haz como el original (si conseguimos producir una interferencia constructiva), o simplemente oscuridad (si producimos una interferencia destructiva). Es importante además, para entender el resto del experimento mental, que comprendas una cosa: invertir una onda dos veces significa dejarla como estaba. Si reflejamos un haz de luz en una superficie de aluminio, se “da la vuelta”, pero si luego la reflejamos en una segunda superficie, se “da la vuelta otra vez”… ¡con lo que se queda como al principio!

Lo que nos importa a nosotros ahora mismo, por si toda esta explicación te ha dejado los pelos de punta, es que la onda que sale hacia arriba, al haberse reflejado, se ha “invertido”. En el dibujo, ya que no voy a ponerme a dibujar onditas dadas la vuelta o no, pongamos un “INV” en el haz de luz reflejado para representar ese hecho:

Ahora bien, ¿le pasa algo similar a la otra parte de la onda original, la que atraviesa el aluminio y se refracta a través del vidrio? La respuesta es que sí, aunque en este caso, al atravesar el vidrio la onda es alterada de maneras más complicadas, de modo que no está justo “dada la vuelta”, sino desplazada en un factor que depende de la naturaleza del material, el grosor, etc. Las buenas noticias son que, en este caso, nos da exactamente igual lo que le pase a esa parte de la onda original, porque, como verás luego, siempre va a suceder lo mismo con lo que no hace falta conocer el detalle. Llamemos a la modificación de la onda original “VID” en los dibujos, ya que es la alteración producida al atravesar el vidrio, y listo:

Sigamos entonces con la construcción de nuestro aparatejo. Arriba ponemos un espejo normal y corriente, para reflejar el rayo superior. En este caso no se trata de una superficie semiespejada, sino de un espejo de verdad, que refleja el rayo completamente. Eso sí, ¡recuerda!: ya que se trata de una reflexión, la onda se “da la vuelta”, es decir, se invierte de nuevo, lo que significa que se queda otra vez exactamente igual que al principio, pues ha sufrido dos inversiones (INV + INV es lo mismo que no hacer nada):

Y pongamos otro espejo normal idéntico que desvíe el rayo inferior, de modo que se dirija hacia arriba. Una vez más, la reflexión produce “inversión”, pero en este caso no podemos cancelarla con otra igual, porque esta onda no ha sufrido una inversión, sino una modificación arbitraria, de modo que llevemos la cuenta de las dos modificaciones:

¡Ya casi lo tenemos, ánimo! Pongamos ahora una segunda lámina semiespejada igual que la primera, de modo que esté justo donde se encuentran los dos haces luminosos, de la siguiente manera:

Pensemos ahora juntos lo que le sucede a cada uno de los dos haces que llegan a la segunda lámina semiespejada. El rayo inferior se dividirá de nuevo en dos: la mitad se reflejará en el aluminio y saldrá hacia la derecha, con lo que sufrirá una segunda “inversión”. La modificación total de ese haz habrá sido VID + INV + INV, es decir, VID (porque INV + INV es dejarla como antes). La mitad que atraviese la lámina hacia arriba sufrirá una vez más la modificación debida al vidrio, es decir, VID, con lo que su modificación total será VID + INV + VID, es decir, INV + 2VID. Dibujemos esto antes de pensar en lo que le pasa al haz superior:

El haz superior, como el otro, también se dividirá en dos mitades. Una de ellas atravesará la lámina y saldrá hacia la derecha. Al atravesar la lámina, su modificación será la correspondiente VID, con lo que su modificación total es simplemente VID. La otra mitad atravesará el vidrio, se reflejará en la lámina de aluminio y volverá a atravesar el vidrio para salir hacia arriba. Sin embargo, dado que la reflexión en el aluminio se produce en este caso no desde el aire, sino desde el vidrio, como hemos dicho antes, no hay inversión de la onda, y la reflexión la deja igual que antes. En lo que a nosotros respecta, esa onda atraviesa el vidrio (modificación VID), se refleja en el aluminio desde el vidrio (no hay modificación) y luego atraviesa de nuevo el vidrio hasta salir por arriba (modificación VID).

Por lo tanto, la modificación total de este haz que sale hacia arriba es 2VID. Representemos ambos haces resultantes de la división del haz superior, con sus respectivas modificaciones (los dibujo junto a los otros, aunque realmente se superpongan, para que puedas distinguir unos de otros):

¡Por fin! Ya podemos ver qué diablos sucede al final. Aprovecho, por cierto, para felicitarte por tu tesón y paciencia si aún estás leyendo esto –no se lo confieses a amigos y familiares–. Si te fijas en el dibujo y tu cerebro aún funciona, verás que la situación no es igual a la derecha y arriba. A la derecha, ambos haces han sufrido la misma modificación total, con lo que son absolutamente idénticos y sufren una interferencia constructiva, de modo que por ahí sale bastante luz de nuestra construcción infernal.

Sin embargo, observa lo que sucede arriba: tanto un haz como el otro han sufrido la misma modificación debida al vidrio (2VID), pero uno está invertido respecto al otro. Por lo tanto, ahí arriba la interferencia es destructiva, y no hay absolutamente nada de luz. Si pusiéramos una pantalla en cada una de las dos “salidas” de nuestra construcción, la de la derecha brillaría, mientras que la de arriba permanecería oscura:

Todo esto viene perfectamente descrito por la física clásica, y hasta ahora no hemos utilizado la cuántica en absoluto. ¡Hasta ahora! Para empezar a introducirla repasando conceptos de hace tiempo, y antes siquiera de que nuestras misteriosas bombas entren en escena, mi recomendación es que releas –si no te acuerdas bien– el artículo sobre la dualidad onda-corpúsculo. Si te acuerdas de los heisenbérgicos miopes y el resto de barbaridades que allí se escribieron, piensa conmigo: ¿qué sucedería si nuestro láser emite un único fotón? ¿cuál de los caminos seguirá?

En este aspecto, este experimento se parece mucho al de la doble rendija de Young, y allí ya preguntamos, cuando lo realizábamos mentalmente con un único electrón: ¿por cuál de las dos rendijas viaja el electrón? Y la respuesta, ahora, es la misma de entonces, claro: nuestro único fotón recorre los dos caminos, pues se está comportando como onda. Si eres novato en la serie, o no tienes los conceptos frescos, puede que alces las manos y preguntes: “Pero, si uno de los dos caminos de salida brilla y el otro no por las interferencias, ¿con quién diablos interfiere ese fotón, si es el único?” Y la respuesta tiene que ser la misma que dimos en el artículo de la doble rendija: el fotón interfiere consigo mismo. Recuerda que la onda no está “compuesta por fotones que oscilan”, nuestro fotón es la onda.

El hecho de que haya un solo fotón no hace que se comporte únicamente como partícula y no como onda; lo que determina un comportamiento u otro, como sucedía con los heisenbérgicos, es qué tipo de experimento realizamos. Recuerda la doble rendija, que tal vez sea un experimento más intuitivo para resaltar este hecho: cuando permitimos que el fotón pase por los dos caminos, se produce la interferencia, y la luz se comporta como onda. Pero, si en algún momento introducimos un elemento que nos diga por cuál de los dos caminos ha pasado, entonces deja de producirse la interferencia y la luz se comporta como un fotón de naturaleza corpuscular. Y, aunque repita lo que dije entonces, no es posible diseñar un experimento en el que ambas naturalezas se muestren a la vez. Disculpa si ya tenías esto claro, pero es totalmente esencial para entender el detector diseñado por Elitzur y Vaidman.

Lo que quiero que tengamos muy clarito es lo siguiente: cuando ponemos en marcha nuestro láser en el interferómetro que hemos construido, y el láser dispare un único fotón, la lámina de la derecha se iluminará y la de arriba no, porque da igual que haya un fotón o cinco millones, el comportamiento es ondulatorio. Será, por supuesto, un brillo brevísimo, pero detectable. Hasta aquí, ningún problema. Pero veamos qué sucede si ponemos una bomba en el escenario, porque para eso llevamos aquí todo este tiempo construyendo el interferómetro.

Supongamos que introducimos una bomba en el aparato, de la siguiente manera:

Lo que suceda entonces cuando nuestro láser emita un fotón, naturalmente, depende de si la bomba es real o falsa, aunque eso no lo sabemos al introducir la bomba en escena, claro. Veamos qué pasa si la bomba es de las falsas, con lo que deja pasar la luz sin absorberla y, por supuesto, sin explotar.

Lo que sucedería entonces es lo mismo que sucedía cuando no había bomba. Puesto que nuestra bomba “de pega” no altera la luz que le llega, la onda puede seguir viajando por los dos caminos –superior e inferior– sin problemas, interfiriendo consigo misma al llegar a las salidas, y produciendo el mismo efecto. De modo que, si la bomba es de pega, seguiríamos viendo exactamente lo mismo que cuando no la había, es decir, un destello de luz en la pantalla de la derecha y nada de nada en la de arriba:

Si te fijas, en este caso la luz sigue comportándose de forma ondulatoria, y nos es imposible saber por cuál de los dos caminos ha recorrido el interferómetro. De hecho, la respuesta a esa pregunta es “ambos”. Y, aunque ahora seguiremos con el otro caso, recuerda que no es lo mismo decir “si la bomba es falsa, necesariamente brilla la pantalla de la derecha” que “si brilla la pantalla de la derecha, necesariamente la bomba es falsa”. Antes de sacar conclusiones así tenemos que ver si, de ser la bomba verdadera, esa pantalla no brilla. De modo que pensemos en qué sucederá si la bomba es verdadera.

En ese caso, si el fotón emitido por el láser llega a la bomba, ésta lo absorberá y explotará. Es decir: ahora estamos poniendo un “detector de fotones” en uno de los dos caminos. Es como si, en la doble rendija de Young, pusiéramos un detector en una de las rendijas pero no en la otra. Ahora ya no da igual qué camino recorre el fotón, y se pone de manifiesto la naturaleza corpuscular de la luz: tenemos que pensar en el fotón como partícula, y en probabilidades en vez de interferencias.

El fotón sale del láser, y se encuentra con la primera superficie semiespejada. Allí debe elegir un camino al azar; tendrá un 50% de probabilidad de salir por arriba, y otro de salir hacia la derecha. Supongamos primero que sale por arriba, con lo que rebota en el espejo de arriba y se encuentra con la bomba. ¡BOOOM! Fin del experimento:

En este caso no brilla ninguna de las dos pantallas, claro. Y hemos “detectado” el tipo de bomba con total seguridad… pero, claro, no hemos conseguido nada digno de mención, porque la bomba ha estallado y lo mismo hubiéramos conseguido simplemente exponiéndola a la luz. ¡Pero ésta es sólo una de las posibilidades para el fotón! Sigamos. La otra posibilidad es que el fotón hubiera salido por el camino de la derecha, en cuyo caso rebotará en el espejo de la esquina inferior derecha y saldrá hacia arriba, hasta encontrarse con la siguiente superficie semiespejada. Allí tiene dos opciones, ambas con un 50% de probabilidad: o bien rebota en el aluminio y sale hacia la derecha, o bien atraviesa la lámina y sale hacia arriba. La primera opción resulta en esto:

Observa que lo que observaríamos es exactamente lo mismo que cuando la bomba era falsa. Con lo que, como ya avisé entonces, el hecho de que la pantalla de la derecha brille no quiere decir que la bomba sea falsa necesariamente: puede que la bomba sea falsa, o puede que la bomba fuera verdadera y que el fotón siguiera el camino marcado en esta figura, algo que sucederá un 25% de las veces (50% elige el camino de la derecha en la primera lámina, 50% de esas veces elige el camino de la derecha otra vez en la segunda lámina). Así que, si la lámina de la derecha brilla, ¡ojo! la bomba puede ser verdadera o falsa, no lo sabemos.

Finalmente, la otra mitad de las veces el fotón saldrá hacia arriba atravesando la lámina, con lo que veremos esto:

Sí, ahora sí, hemos llegado a la meta, y espero convencerte de la maravilla que hemos conseguido. Si la bomba es verdadera, ya hemos visto que un 50% de las veces estallará, un 25% de las veces no estallará y brillará la pantalla de la derecha… y un 25% de las veces no estallará y brillará la pantalla de arriba. Pero, si la bomba era falsa, la pantalla de arriba no brillaba jamás, pues se producía la interferencia destructiva en ella, y sólo brillaba la de la derecha.

De modo que, si brilla la pantalla de arriba, tenemos una bomba verdadera e intacta en el detector. Ya sé que el sistema no detecta todas las bombas verdaderas, y que nunca estamos seguros de que las falsas lo sean. Pero hemos detectado la bomba verdadera sin que el fotón la toque jamás. Si en la pila de bombas hubiera, por ejemplo, 20 bombas verdaderas, acabaríamos con 5 bombas verdaderas sin explotar en la mano.

Perdona si insisto, pero es que es algo tan apabullante que no lo puedo evitar: hemos detectado la naturaleza de la bomba verdadera sin “mirarla”. ¡Un brindis por Elitzur y Vaidman, señores! Menudo ingenio, y menudo experimento mental. Este tipo de medición suele denominarse “medición sin interacción”, aunque el nombre es algo confuso. Lo fascinante del asunto es que pensábamos que la única manera que hay de saber si una bomba verdadera era hacer incidir un fotón sobre ella… pero no hemos hecho incidir ningún fotón sobre ella, y sin embargo sabemos que es verdadera con absoluta certeza.

Esto ya ha sucedido antes en la serie: la naturaleza “borrosa” del Universo hace que de algunas cosas de las que, de acuerdo con la mecánica clásica, deberíamos estar completamente seguros, ya no podamos estarlo… pero, al mismo tiempo, obtenemos certezas que antes nunca jamás podríamos obtener. Qué irónica es la vida a veces.

Sólo un año después del planteamiento teórico de Vaidman y Elitzur, un grupo de físicos (Anton Zeilinger, Paul Kwiat, Harald Weinfurter y Thomas Herzog) construyó un “detector de bombas” que utilizaba este concepto –aunque, por supuesto, no detectaba la presencia de bombas sino de espejos… y el experimento funcionó: detectó la presencia de los espejos sin que le llegase luz alguna (si quieres leer una descripción detallada del experimento, el enlace está al final del artículo). Dicho de otro modo, esto no es una elucubración de seres perturbados, sino que ha sido comprobado experimentalmente.

Lo que nos lleva al “elefante en la habitación”: ¿cómo rayos se come que pueda medirse algo sin interaccionar con él? Si el fotón que llega a la pantalla de arriba en nuestro caso no ha interaccionado de ningún modo con la bomba, ¿por qué se comporta de manera diferente cuando la bomba está ahí?

Las preguntas más filosóficas, si nos paramos a hacérnoslas, se multiplican. ¿Es posible que la bomba y el fotón que nunca la toca sino que llega a la pantalla de arriba sí estén interaccionando de alguna manera? Pero, si nuestro interferómetro no tuviera unos pocos centímetros de tamaño sino que fuese del tamaño del Sistema Solar, de modo que el fotón nunca estuviera a menos de cien millones de kilómetros de la bomba, ¿cómo puede alterar el fotón su comportamiento dependiendo de si hay bomba o no? Si aceptamos que es posible esa alteración a distancias arbitrarias y de manera instantánea, estamos desterrando la concepción de localidad, algo que ya hemos mencionado alguna vez en esta serie.

Otra pregunta es, ¿tiene sentido hablar de la naturaleza de una bomba con la que nunca hemos interaccionado? ¿No habíamos quedado, desde Heisenberg, en que si no lo “vemos” no tiene sentido hablar de ello? Renegar de la naturaleza de la bomba independientemente de nuestra medición es descartar la idea de realismo –la idea de que existe una realidad independiente de su observación–, algo de lo que también hemos hablado varias veces en El Tamiz. Tanto una cosa como la otra, como ya sabes si eres “habitual”, incomodaban seriamente a Einstein, y nunca cejó en su empeño de defender localidad y realismo.

Cuando Elitzur y Vaidman propusieron su experimento, estas preguntas llevaban muchos años planteadas y un físico en particular, el genial John Stewart Bell, elaboró uno de los teoremas más importantes de la cuántica tratando de responderlas. De ello hablaremos en el próximo artículo de la serie, cuando le hinquemos el diente al Teorema de Bell. Que Dios nos ampare, a vosotros y a mí.

Para saber más (todos en inglés, lo siento pero es lo que hay):

• Elitzur-Vaidman bomb-tester. No existe artículo correspondiente en español –o yo he sido incapaz de encontrarlo–, si algún wikipedista tiene la entereza suficiente para atacar el problema, ¡adelante!
• Quantum Mechanical Interaction-Free Measurements, de Elitzur y Vaidman
• Interaction-free measurements, de Paul Kwiat
• Locality and Quantum Mechanics
• Experimental Realization of “interaction-free” measurements, de Zeilinger, Kwiat, Weinfurter y Herzog

Tal vez estás leyendo este artículo, pero ¿estás seguro de ello? No deberías estarlo, ya que tras los meses de rigor entre artículo y artículo, hoy volvemos al nebuloso mundo de Cuántica sin fórmulas. Continuamos el bloque dedicado a los estados cuánticos en general y, en concreto, a las aplicaciones prácticas del entrelazamiento cuántico. En el último artículo de la serie hablamos acerca de una de ellas, la criptografía cuántica, mediante la cual utilizamos las borrosas propiedades del Universo para transmitir información sin que nadie se entere de lo que nos decimos.

Soy consciente de que algunos anheláis artículos más filosóficos que aquél, y tarde o temprano vendrán, pero a quienes así pensáis tengo que pediros paciencia: no tendría sentido hablar de estados y entrelazamiento sin hacerlo sobre criptografía, teletransporte, qubits o computación cuántica, si queremos dar una idea más o menos amplia sobre la mecánica cuántica actual, con lo que los alternaremos. De modo que hoy seguiremos con un asunto muy relacionado con el anterior, aunque mucho me temo que a algunos os decepcione porque los medios de comunicación suelen darle unos aires que no se corresponden con la realidad, y el propio nombre puede ser engañoso: el teletransporte cuántico.

Como digo, tanto el nombre como las descripciones que a veces se oyen por ahí –no quiero hablar sobre el nivel general de las secciones de ciencia de muchos medios o empezaría a soltar espumarajos por la boca– conducen mucho a confusión. Antes de que entremos en una descripción más detallada de lo que es el teletransporte cuántico, quiero que quede claro lo que no es: no es ni un transporte de materia ni un proceso instantáneo. ¿Ya estás decepcionado? Si no es así todavía, veamos algunas razones más para estarlo, y luego hablemos de cómo conseguir el teletransporte cuántico de manera descriptiva e inmundamente simplista –si eres físico como yo, aléjate de este artículo ahora mismo o luego vendrá el rechinar de dientes, ¡avisado estás!–.

Va a ser que no.

Cuando decimos la palabra “teletransporte”, lo que viene a la cabeza –por lo menos a la mía– es el transporte instantáneo de materia a través del espacio. Evidentemente, siempre podemos transportar materia a lugares lejanos, simplemente moviéndola, pero eso requiere tiempo y nadie lo llamaría “teletransporte”. Si hay una barrera física entre ambos lugares, por ejemplo, ya no podríamos transportarnos. De igual modo, si queremos transportar algo entre dos lugares que están a una distancia gigantesca, hacerlo mediante el movimiento requiere de un tiempo muy largo, mientras que el teletransporte –entendido, como digo, de manera intuitiva– significaría que podemos realizar el tránsito instantáneamente. Y, siguiendo este criterio, ese “teletransporte” es imposible de acuerdo con la mecánica clásica, con la relativista y la cuántica, todas por igual.

Pero imagina esta otra situación, que podríamos llamar pseudoteletransporte clásico, y que podría tener lugar si el mundo no fuera “borroso”, sino que la mecánica clásica fuera la que describe el Universo de forma completa; no es un “teletransporte verdadero”, pero no está nada mal. Supongamos que tú, estimado y valiente lector, estás tan a gusto leyendo este artículo frente a tu ordenador en vez de hacer algo más útil con tu vida, y yo consigo, de alguna manera, conocer con una exactitud absoluta la posición y velocidad de todas y cada una de las partículas fundamentales que componen tu cuerpo.

Si así fuera, y luego yo transmitiera toda esa información hasta otro lugar diferente, por ejemplo, la Estación Espacial Internacional, y allí dispusiera de los suficientes átomos de distintos elementos como para reconstruir un cuerpo humano, podría utilizar esa información que he obtenido, disponer los átomos en la estación de modo que todos y cada uno de ellos tuvieran exactamente las mismas posiciones relativas, velocidades, energías, etc., con lo que tendríamos una copia exacta e indistinguible de ti en la Estación.

A continuación, yo podría destruir tu cuerpo en tu habitación frente a tu ordenador, para que no tuviéramos la incómoda situación de que hubiera dos copias de ti, y entonces el único “tú” que existiría sería el que está en la Estación Espacial Internacional, sin que tu cuerpo se haya movido en ningún momento desde tu habitación hasta la estación. Naturalmente, existe un problema filosófico muy profundo ahí: el que está en la Estación Espacial Internacional ¿eres realmente tú? Si la configuración y estructura exacta de tus huesos, músculos, sistema nervioso con cada una de las neuronas, recuerdos, etc., son indistinguibles del original, ¿eres “tú”? Esto lleva a cuestiones mucho más profundas aún, como la propia pregunta de qué significa “tú”, en las que no vamos a entrar ahora, porque no es el objetivo de este artículo.

La cuestión es que, de este modo, habríamos logrado una suerte de “pseudoteletransporte”. Por un lado, los átomos de tu cuerpo no se han movido de su sitio, ni instantáneamente ni de ninguna otra manera. De hecho, para evitar situaciones incómodas he reducido tu cuerpo original a cenizas; además, he necesitado tener ya, en el lugar de destino, un conjunto de átomos de muchos elementos listo para recibir la información de tu cuerpo y convertirse en tu “nuevo cuerpo”. Por otro lado, el proceso no es instantáneo en absoluto: he necesitado transmitir la información desde la habitación de tu casa hasta la Estación Espacial, por ejemplo utilizando ondas de radio, y luego recibir la información allí y disponer la materia que tengo para reformar tu cuerpo de la manera adecuada. De ahí que no sea un teletransporte “de verdad”, aunque todo depende, claro está, de cómo definamos el término.

Como ves, este pseudoteletransporte es teóricamente perfectamente plausible de acuerdo con la mecánica clásica… e irrealizable en la práctica por razones obvias. Para empezar, ¿puedes imaginar la cantidad de información que requeriría transmitirse para conocer con exactitud todas las variables que definen cada una de las partículas que forman tu cuerpo? Y, aunque enlace otra vez con los aspectos filosóficos del asunto, ¿estarías dispuesto a someterte al proceso, y sentirías que quien aparecería al otro lado en la Estación eres tú mismo?

Pero este “pseudoteletransporte” mediante la transferencia de la información completa sobre un sistema físico para reconstruirlo en otro lugar no sólo es imposible en la práctica: es imposible debido a la naturaleza cuántica del Universo. No es posible conocer todas las variables de un sistema con exactitud o, lo que es lo mismo, no es posible conocer el estado de un sistema sin alterarlo. De hecho, espero que cuando hayas leído más arriba lo de “conocer con una exactitud absoluta la posición y la velocidad” hayas lanzado un gruñido de desdén; “¿Con exactitud ambas cosas a la vez? ¡Menudo atrevimiento!”, habrás pensado, y con razón. De modo que ¿cómo conseguir ese pseudoteletransporte en un mundo cuántico?

Los primeros en definir teóricamente un proceso por el cual conseguirlo fueron C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres y W. K. Wootters, en 1993, en “Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels”, publicado en 1993. No esperes que te explique con detalle el sistema de Crépeau y compañía, pero sí al menos una descripción que te dé una idea de dónde está la clave de todo el asunto. La primera vez que conseguimos llevar el sistema de estos científicos a la práctica “teletransportando” fotones fue, por cierto, cuatro años más tarde: en 1997 se publicó en Nature “Experimental Quantum Teleportation”, de D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter y A. Zeilinger. Eso sí, no esperes cohetes: como veremos luego, no hemos logrado aún nada que se parezca, ni de lejos, a lo que consigue Scotty en cada episodio de Star Trek.

La clave del sistema de Brassard y sus colegas es, como tal vez hayas sospechado ya, el entrelazamiento cuántico del que llevamos hablando unos cuantos artículos de la serie. Mediante el entrelazamiento es posible transmitir, de manera indirecta, el estado de una parte de un sistema sin alterarlo, midiendo por el contrario otra parte del sistema que esté entrelazada con él, como hicimos en el caso de la criptografía cuántica del último artículo.

Supongamos el caso de un sistema físico más sencillo que el de tu cuerpo; de hecho, supongamos un caso muy, muy sencillo, el de un sistema físico con dos autoestados, como un electrón que puede tener el espín hacia arriba o hacia abajo, un fotón que puede estar polarizado horizontal o verticalmente o, ya que ésos son ejemplos mundanos y aburridos, el de un cuantejo que puede resultar ser zanahoriófilo o zanahoriófobo cuando le muestras una zanahoria, e intentemos teletransportarlo en el Universo cuántico. Tal vez, como en artículos anteriores, pueda hacerte falta papel y lápiz, porque la cosa va a volverse liosa (si no fuera así, me estaría quedando en la superficie que suele leerse por ahí, con lo que este artículo no aportaría nada). Eso sí, mi explicación, como suele suceder, es bastante pobre, y mira que lo intento aclarar… de modo que, de antemano, disculpas por los líos en los que voy a meterte.

No voy a insultar tu inteligencia repitiendo todas las propiedades de los cuantejos que explicamos en el artículo de criptografía. Supongamos que tu cuantejo está en un estado cualquiera que es una superposición de los dos estados propios, , donde y tienen que ver, como hemos visto en la serie, con la probabilidad de que al mostrarle esa verdura el cuantejillo se lance a por ella o se ponga a llorar.

Sí, mucho me temo que los cuantejos han vuelto.

Antes de nada –porque si no entiendes esto, nada de lo que viene después tiene sentido–, veamos por qué no puedes hacer lo mismo que si el mundo no fuera cuántico; ¿por qué no puedes simplemente mostrarle una zanahoria al cuantejo, ver si es zanahoriófilo o zanahoriófobo, llamar por radio a la Estación Espacial y comunicárselo y punto final? Si te haces esa pregunta, permite primero que te dé un pescozón, porque eso significa que no has asimilado la serie hasta ahora. Si le enseñas una zanahoria a tu cuantejo, claro que su estado va a colapsarse a o … Pero si eso es lo que comunicas a la Estación Espacial y ellos preparan un cuantejo idéntico al que tienes tú después de mostrarle la zanahoria, lo que tienen no es idéntico al cuantejo original.

Para entender esto, en el resto del artículo supondremos un estado concreto para tu cuantejillo –un estado que tú y yo, por supuesto, desconocemos si no realizamos ninguna medición sobre el cuantejo enseñándole una zanahoria–, de modo que no haya unas y abstractas. Imaginemos pues que tu cuantejo está en el estado , es decir, es bastante más probable que al enseñarle la zanahoria se muestre zanahoriófobo que zanahoriófilo. Si esto te suena muy raro, te recomiendo que releas el artículo sobre superposiciones cuánticas, por cierto.

¿Ves cómo enseñarle una zanahoria al cuantejo y luego comunicar el resultado a la Estación no resuelve el problema? Esto es lo que sucedería:

1. Tú tienes .
2. Enseñas una zanahoria al cuantejo, y éste se pone a llorar, luego su estado se ha colapsado a .
3. Llamas por radio a la Estación Espacial Internacional, y les comunicas que el estado del cuantejo es .
4. Ellos de algún modo preparan a su cuantejo para que también lo sea, con lo que tienen un cuantejo en el estado .

¡No hemos teletransportado el cuantejo original! Hemos obtenido una cosa diferente, pues el proceso ha modificado el cuantejo inicial. De hecho, como puedes ver, este pseudoteletransporte funcionaría sólo para cuantejos que están en uno de los autoestados, porque entonces la información a transmitir es trivial y se trata de un caso casi idéntico al clásico.

Pero, si el cuantejo está en un estado que no es trivial y que no conocemos, como por ejemplo , ¿cómo teletransportar ese cuantejillo a otro lugar como la Estación sin modificar su estado, de modo que al otro lado tengamos un cuantejo indistinguible de ése sin llevarlo físicamente hasta la Estación?

Lo primero que nos hace falta, además de tu cuantejo (el original que queremos pseudoteletransportar), es otro par de cuantejos más. Porque la clave de la cuestión es utilizar el entrelazamiento cuántico para convertir el cuantejo de la Estación en una copia indistinguible del tuyo — a efectos prácticos, en tu mismo cuantejo.

De modo que, en primer lugar, producimos un par de cuantejillos entrelazados como explicamos al hablar de criptografía, de modo que estén siempre en estados opuestos. Tú te quedas en tu casa con uno de ellos, al que llamaremos Orejitas, y yo me voy a la Estación con el otro cuantejo, Canela. Y unos días después intentamos realizar nuestro experimento con un cuantejo más, Chispas. Nuestro objetivo es que Chispas acabe en la Estación Espacial conmigo, o un cuantejo indistinguible de Chispas, claro.

Situación inicial (Orejitas y Canela están entrelazados).

Y, aunque sea repetitivo, recuerda: si realizas una medición sobre Chispas, entonces dejará de ser Chispas como era antes y habremos fastidiado todo el asunto, porque lo que me mandarías sería sólo parte de la información sobre Chispas, de manera que yo sería incapaz de recrear a Chispas tal y como era. Pero esto merece una pausa, porque es una de las dos claves de todo el asunto (y me disculpo de nuevo si lo estás entendiendo tan bien que estas pausas te resultan aburridas).

La razón de que el teletransporte no pueda funcionar a la manera clásica es que lo que quiera que queremos transportar –Chispas, un fotón, un átomo de sodio– no es completamente cognoscible. Si medimos absolutamente algunas de sus propiedades, por el principio de incertidumbre de Heisenberg perdemos otras, con lo que no es posible convertir el sistema en información a la antigua usanza, transferir esa información y luego reconstruir el sistema en el punto de destino con la información transmitida.

En términos de Chispas, nuestro simple cuantejillo tiene una “personalidad” en lo que a las zanahorias se refiere, una personalidad que nos es imposible conocer completamente: . La única manera de conocer parte de su personalidad es mostrarle una zanahoria –medir–, pero entonces sólo tenemos una parte de la información sobre él, y la otra parte se ha perdido y nunca podremos recuperarla de nuevo.

Nuestro sistema, que es el del teletransporte cuántico, salvará ese obstáculo haciendo uso del entrelazamiento, mediante el cual hay una conexión íntima entre Orejitas y Canela, una conexión que transmite el estado de uno al otro de manera instantánea y sin que haya necesidad de que lo conozcamos nosotros. Lo que haríamos sería lo siguiente:

1. Entrelazamos a Chispas con Orejitas. Para ello, en el caso de los cuantejos, metemos a ambos en una misma caja durante cierto tiempo, y en el caso de sistemas físicos reales… bueno, depende. Estos experimentos suelen hacerse con fotones, que pueden llevarse junto con otros fotones a través de láminas semiespejadas y “combinarse” para formar estados entrelazados diversos. El caso es que, en los absurdos términos de nuestra analogía, ahora Orejitas y Chispas son amigos.

2. Medimos el estado conjunto de Chispas y Orejitas, mostrándoles una zanahoria. Una vez hemos hecho esto, no hay vuelta atrás: Chispas ya no es el que era antes, hemos colapsado el estado Chispas + Orejitas y sólo hemos obtenido parte de la información que queremos transmitir. Si no hubiéramos hecho nada más, nuestro experimento sería un fracaso, porque la parte de la información sobre Chispas que no hemos obtenido se habría perdido. Para seguir con nuestra analogía, ya que conocemos algo sobre Chispas pero no todo, imaginemos que ahora sabemos que Chispas tenía mayor probabilidad de ser zanahoriófobo que de ser zanahoriófilo, es decir, sabemos que ni .

3. Aquí es donde está lo genial del sistema desarrollado por Bennet, Jozsa, Wootters y compañía. Al entrelazar a Chispas con Orejitas, éste contiene parte de la información de Chispas, y por tanto la misma información –o más bien la opuesta– está en Canela, en la Estación Espacial. Aunque se escapa con mucho al nivel de este artículo, de modo que tendrás que creerme, la parte de la información original que se queda en Orejitas y, a través de él, en Canela, es justo la información que no hemos obtenido al hacer la medición.

Es decir, ahora Canela “se parece” a Chispas, pero puede no ser exactamente igual que él. En términos de nuestro ejemplo, supongamos que tras la medición Canela puede acabar en uno de estos dos estados: o . Supongamos que hay un 50% de probabilidades de que Canela haya quedado en uno u otro estado, con lo que es incluso posible que ya sea exactamente igual que Chispas, o tal vez no. Y recuerda también que nosotros no conocemos el estado de Canela ni esos números, ya que no lo hemos “medido”.

1. Tenemos, por tanto, el estado original de Chispas “partido” en dos pedazos: por un lado, información que conocemos nosotros explícitamente, al haber mostrado la zanahoria a Chispas + Orejitas, a saber, que Chispas es más zanahoriófobo que zanahoriófilo. Por otro lado, información contenida en Canela, un cuantejo sobre el que no hemos realizado medición ni modificación alguna todavía, que es el hecho de que Canela está en uno de los dos estados que he escrito un poco más arriba. De modo que, para que yo pueda disponer de toda la información, implícita y explícita, hace falta que me envíes un mensaje con lo que has visto al enseñar la zanahoria a Chispas + Orejitas, por ejemplo, mediante una llamada de radio. Tú me llamas a la Estación y me dices, “Pedro, he enseñado zanahorias a los cuantejillos y mi conclusión es que Chispas es más zanahoriófobo que zanahoriófilo”.

2. Finalmente, utilizando la información que me has enviado, yo modifico a Canela. Por ejemplo, lo “entreno” para que si su probabilidad de ser zanahoriófilo era menor que la de ser zanahoriófobo se quede como estaba, pero si era al revés intercambie los coeficientes de zanahoriófilo y zanahoriófobo. En la realidad, claro está, hablamos de cosas como fotones, de modo que puede hacerse pasar el fotón por un sistema físico que asegure, por ejemplo, que la componente horizontal de la polarización del fotón sea mayor que la vertical si no era así.

Observa que mi entrenamiento de Canela consiste básicamente en “decirle”: si ya eres más zanahoriófobo que zanahoriófilo, quédate como estás. Si es al revés, intercambia ambas probabilidades, pero no estoy enseñando ninguna zanahoria a Canela. No he medido nada sobre él, luego no se ha colapsado ni a ni a .

Supongamos que, en nuestro caso particular el estado de Canela era . Tras el entrenamiento, el cuantejillo habrá comprendido que debe intercambiar ambos coeficientes, pues quiero que sea más zanahoriófobo que zanahoriófilo al igual que Chispas, de modo que se modifica hasta convertirse en … es decir, en Chispas.

La situación final (los dibujos de Chispas y Orejitas sólo tratan de mostrar que ya han sido medidos).

Si los ojos aún no te dan vueltas, recapitulemos lo que hemos conseguido: hemos logrado tener en la Estación a un cuantejillo exactamente idéntico a Chispas. Recuerda que, si la cuántica es una teoría completa, cuando el estado de dos sistemas es el mismo estado no es sólo que tengamos la misma información de ambos, sino que ambos sistemas son idénticos en sí mismos, es decir, quien está en la Estación ya no es “Canela” sino “Chispas”, porque todo lo que hace a Chispas ser Chispas, sin excepción, está en él. A cambio, nuestro Chispas original ya no es Chispas — su estado se ha colapsado a otra cosa. Hemos “pseudoteletransportado” a Chispas.

Observa que todas las limitaciones del pseudoteletransporte clásico siguen presentes aquí: hace falta un cuantejo en el destino antes de “transportar” nada, y hace falta transmitir información a la manera clásica –en nuestro caso, cuando me llamas por radio– para completar el proceso, ya que la información transmitida por el entrelazamiento entre Orejitas y Canela es sólo una parte del total. De modo que no estamos cerca, ni mucho menos, de transportarte a ti u objetos similarmente complejos: la cantidad de información necesaria, como en el caso anterior, es increíblemente grande.

Otra limitación, en este caso una que no existía de igual modo en el método clásico, es el hecho de que, como verás, hemos tenido dos cuantejos entrelazados en tu casa y la Estación. Pero, en la práctica, mantener el entrelazamiento sin que se produzcan interacciones con el entorno que acaben con ella es muy difícil, sobre todo si es durante un tiempo o distancias largas.

Diagrama del teletransporte cuántico de fotones bajo el Danubio.

Hasta ahora hemos logrado “teletransportar” de este modo fotones y unos pocos átomos, pero cuanto más complejo es el sistema a transportar, menor distancia hemos conseguido. Con fotones, en 2004 se logró el teletransporte cuántico bajo el río Danubio y una distancia de unos 600 metros, utilizando una fibra óptica para transmitir los fotones entrelazados –si alguien conoce un experimento más reciente de mayor distancia, decídmelo y actualizamos el artículo–; con átomos, tan sólo de unas cuantas micras. De manera que hacerlo con algo tan sumamente complejo como, qué se yo, una taza de café está todavía muy lejos, y lograrlo distancias que merezcan la pena, todavía más: porque, si vas a utilizar una tecnología compleja y carísima para “transportarte” unos cuantos cientos de metros, mejor te montas en el autobús.

En el próximo artículo atacaremos un asunto un poco más filosófico apoyándonos en éste; observa que hoy, en cierto sentido, hemos obtenido información de algo sin medirlo, a través del entrelazamiento entre Orejitas y Canela. En la siguiente entrada de la serie exploraremos más en detalle cómo utilizar esta peculiaridad del entrelazamiento para saber cuándo algo está ahí sin mirarlo, algo que parece justo lo contrario de lo que sugiere la mecánica cuántica (que suele involucrar no poder ver cosas que están ahí aunque las miremos), hablando sobre el detector de bombas de Elitzur-Vaidman.

Si no has saltado a este último párrafo sino que te has leído el ladrillo entero, me quito el sombrero. Eso sí, no lo comentes con las personas de tu entorno o puedes encontrarte aislado socialmente en menos que canta un gallo. Y, si ves un cuantejo por ahí, busca ayuda inmediatamente.

Puedes encontrar este artículo y otros como él en el número de abril de 2010 de nuestra revista electrónica, disponible a través de Lulu:

Para saber más (esp/ing cuando proceda):

• Teleportación cuántica (sic) / Quantum teleportation
• Quantum teleportation (IBM)
• Quantum teleportation across the river Danube
• Quantum teleportation with atoms (Nature)
• Scientists demonstrate quantum teleportation with atoms (Los Alamos National Laboratory)

¡Sí, por fin llega otro artículo de Cuántica sin fórmulas! Ya sé que es una de vuestras series favoritas, y que hace mucho tiempo del último artículo, pero tened en cuenta un par de cosas: por una parte, hay muchas series abiertas, y al ritmo de un artículo semanal, no podemos avanzar más rápido. Por otra parte, podría intercalar más artículos de esta serie que de otras, pero redactar cada uno de ellos me cuesta muchísimo más que los de cualquier otra serie — no hay comparación. Siempre acabo reescribiendo éstos entre dos y cuatro veces, porque es muy difícil expresar lo que quiero decir sin que sea algo insulso y sin profundidad, o un rollo insufrible (y ni aun así lo consigo siempre). Mi mente ya está lo suficientemente dañada como para acabar de destruirla con excesos; de ahí que os pida paciencia.

Cuantejo zanahoriófilo y cuantejo zanahoriófobo. Sí, dile adiós a la cordura.

Hablando de daños mentales, los avisos pertinentes antes de cualquier artículo de esta serie: si la acabas de conocer, te recomiendo encarecidamente que empieces desde el principio. Incluso si eres de la vieja guardia, yo me releería las últimas entradas de la serie, especialmente desde los estados cuánticos hacia delante, salvo que tengas la memoria fresca. En cualquier caso, suele tratarse de artículos más densos que la media en El Tamiz, y es común que haya que leerlos un par de veces para poder entenderlos de verdad. Éste en particular va a requerir probablemente que saques lápiz y papel para seguir los detalles, y es especialmente largo y farragoso, ¡avisado estás! Si lo lees demasiado rápido, probablemente acabes confundido y sin aprender nada nuevo; es mejor que vayas poco a poco y releas lo que no queda claro, y si tienes que tomar notas, pues eso.

De modo que, si estás listo y tu mente clara –poco tardará en dejar de estarlo–, sumerjámonos una vez más en el mundo cthulhoide de las superposiciones cuánticas y los autoestados. En el artículo de hoy trataré de poner de manifiesto cómo todo lo que has aprendido hasta ahora no es una sarta de elucubraciones sin la menor relación con el mundo real, sino que puede utilizarse (y de hecho se utiliza) en aplicaciones prácticas… que serían imposibles si esta serie no fuera más que ciencia-ficción.

En el anterior artículo de la serie hablamos acerca del Verschränkung, el entrelazamiento cuántico. Conocimos entonces a los adorables –y a veces mortales– cuantejos, criaturas de naturaleza cuántica sobre los que realizamos algunas observaciones un tanto surrealistas. Como espero que recuerdes, acabamos aquel artículo haciendo énfasis en que, a pesar de que el entrelazamiento supone una unión entre sistemas físicos (como dos cuantejos) que no está sometida a límites de velocidad ni se ve entorpecida por barrera física alguna, eso no significa que podamos utilizarlo para transmitir información de manera instantánea: no podemos usar un par de cuantejillos para informarnos el uno al otro, por ejemplo, de si queremos ir al cine o no instantáneamente. Pero eso no quiere decir que la naturaleza cuántica del Universo no pueda ser utilizada para transmitir información de formas insospechadas y utilísimas; simplemente significa que hay matices que debemos tener en cuenta. Hoy hablaremos precisamente de eso: de cómo comunicarnos de una forma que, si la cuántica no fuera real, sería imposible. Hablaremos sobre criptografía cuántica.

Aunque no vamos a hablar en profundidad del concepto general de criptografía, estoy seguro de que conoces el concepto básico. Sin embargo, para que puedas comprender la utilidad de la cuántica en criptografía necesito explicar muy brevemente algunas de las limitaciones de los sistemas tradicionales, o no sería posible ver por qué la criptografía cuántica supone una mejora sobre ellos. De modo que, como tantas veces hago, tengo que pedirte paciencia antes de que empiecen a aparecer adorables cuantejillos. Hablemos muy, muy brevemente sobre criptografía. Voy a encerrar mi pobre explicación de la criptografía tradicional entre un par de líneas horizontales, para que si sabes de ella no tengas que volver a leerlo y puedas saltar directamente al lado cuántico de las cosas.

El principio de incertidumbre no se aplica a Chuck Norris. ¿Algún problema?

Imagina que, por azares del destino, es posible que Chuck Norris venga a visitarme mañana a mi casa, y que tú, ínclito lector de El Tamiz, eres un fan incondicional (lo cual no es mucho suponer porque, ¿quién no lo es?). Pero Chuck tiene muchos y muy peligrosos enemigos, así que es esencial que nadie se entere de si va a venir o no excepto tú, con lo que no puedo simplemente llamarte esta noche para decírtelo… ¿y si alguien ha pinchado la línea telefónica?

La manera más típica de resolver el problema es que la información que debo enviarte (que es muy sencilla, básicamente “sí” o “no”) esté encriptada o cifrada, es decir, que sea un mensaje en clave. Podríamos habernos visto esta mañana, por ejemplo, y haber acordado la siguiente clave: si esta noche te llamo y te digo que “la rana croa”, es que Chuck no viene. Si, por el contrario, te digo que “la rana salta”, es que Chuck viene a verme. Incluso si alguien tiene acceso de algún modo a nuestra conversación telefónica, no puede saber si Chuck viene mañana o no: el único con la información necesaria para descifrar el mensaje (el único con la clave) eres tú, con lo que nuestro problema está resuelto. Hemos utilizado una clave privada.

Podríamos incluso enviarnos mensajes mucho más complejos que “Chuck viene” o “Chuck no viene”, porque podríamos asociar “la rana salta” a un 1 binario, y “la rana croa” a un 0 binario. Cualquier mensaje puede ser reducido a ceros y unos –empleando el morse, caracteres ASCII o cualquier otro sistema similar–, con lo que nuestra clave de la rana es mucho más versátil de lo que pudiera parecer en un principio. Naturalmente, nuestra clave es algo tan primitivo que, si la usásemos para hablar todos los días, tarde o temprano alguien conseguiría descifrarla simplemente detectando estructuras o repeticiones en los mensajes; pero estoy seguro de que comprendes que, complicando la clave lo suficiente, podría llegar a ser muy difícil descifrarla.

La limitación fundamental de este sistema de clave privada debería ser obvia: requiere que nos pongamos de acuerdo en una clave privada que nadie más puede saber. Salvo que nos veamos en persona, seguros de que absolutamente nadie más nos está escuchando, ¿cómo diablos te comunico la clave? No hay manera de que pueda transmitirte la clave por teléfono, porque si lo hago abiertamente, alguien podría estar escuchando, y si lo hago con un mensaje cifrado, ¿cómo te paso la clave? Tampoco puedo enviarte una carta, ni mandar un mensajero.

Esta limitación ha sido superada por sistemas más modernos de clave pública. En ellos, no compartimos la misma clave, sino que tú tienes una y yo otra, pero con un detalle ingeniosísimo que los hace utilísimos y que sería imposible sin una propiedad curiosa de muchos procesos matemáticos, como la descomposición en factores primos.

En estos sistemas, cada uno de los dos tenemos una clave propia que no comunicamos absolutamente a nadie — no, ni siquiera el uno al otro. A continuación, generamos a partir de esta clave privada una segunda clave, la clave pública, utilizando un algoritmo matemático prefijado. El quid de la cuestión está aquí: en matemáticas, existen algunos procesos que son triviales en un sentido pero horriblemente complicados en el contrario, y el algoritmo que empleemos debe ser uno de esos procesos. Así, yo puedo producir una clave pública a partir de mi clave privada sin complicación alguna, pero si alguien tiene mi clave pública, es dificilísimo que consiga obtener mi clave privada.

La cuestión está en que para cifrar un mensaje hace falta simplemente la clave pública: una vez así cifrado, la única manera de volver a descifrarlo es utilizando también la clave privada. Es decir, a diferencia del sistema anterior, ahora hay una asimetría entre ambos procesos (una asimetría que aparece por esa dificultad diferente en algunos algoritmos matemáticos en uno y otro sentido): cifrar un mensaje es sencillo, descifrarlo es complicadísimo. Puedo incluso publicar mi clave en el periódico, para que todo el mundo la vea… y todo el mundo podría enviarme mensajes cifrados, pero sólo yo podría leerlos. Es como si pudieras dar a todo el mundo una llave para meter cartas en tu buzón, pero sólo tú tuvieras una segunda llave con la que sacar cartas del buzón.

De modo que supongamos que quiero enviarte un mensaje acerca de los planes de Chuck para la próxima semana. Lo primero que hago es llamarte por teléfono, para darte mi clave pública y que tú hagas lo mismo, y no nos importa que alguien pueda estar escuchando, porque no pueden obtener nuestras claves privadas a partir de la pública sin cálculos matemáticos absurdamente complejos. A continuación, utilizo tu clave pública para encriptar el mensaje que te voy a mandar (no uso mi clave absolutamente para nada). Una vez que lo hago, nadie puede descifrar ese mensaje sin tener además la clave privada… de hecho, como yo no la tengo, una vez he encriptado el mensaje para ti ¡ni siquiera yo puedo descifrarlo! Por supuesto, no me hace falta, porque tengo el mensaje original sin cifrar, pero bueno.

Finalmente, te envío el mensaje así cifrado con tu clave pública. Incluso si alguien detecta el mensaje, como no tienen tu clave privada, no pueden descifrarlo: sólo tú, cuando lo recibes y utilizas tu clave privada, puedes saber que la semana que viene Chuck ha decidido ir al zoo a ver a los osos panda. Podrías a continuación contestar a mi mensaje, cifrarlo con mi clave pública, y sólo yo sería capaz de descifrarlo. Y hemos conseguido esto sin disponer en ningún momento de un canal de comunicación a prueba de escuchas, y sin vernos en persona — una maravilla que, desgraciadamente, mis pobres palabras no describen en toda su ingeniosidad, pero que espero que sirva para nuestro propósito, que no es más que introducir la cuántica como mejora de todo el sistema.

Porque el sistema, como cualquier sistema criptográfico, no es perfecto. Fíjate que he dicho que el algoritmo matemático es muy sencillo en un sentido y muy difícil en el otro… pero “muy difícil” no es “imposible”. Alguien con la suficiente capacidad de cálculo siempre puede, con tiempo, obtener inevitablemente mi clave privada a partir de la pública. Lo único que nos protege en este caso es que, si la clave es larga y el algoritmo complejo, pueden hacer falta años para descifrarla salvo que alguien tenga capacidades de cálculo absolutamente sobrehumanas, como el propio Chuck.

Pero todo este lío de la clave privada y la pública podría resolverse empleando nuestro primer sistema de clave privada, mucho más sencillo, simplemente si consiguiéramos una cosa: ponernos de acuerdo en la clave privada sin que nadie más pueda saberla, incluso sin vernos en persona. Y es aquí donde entra en juego la mecánica cuántica, los estados, las superposiciones y todo lo demás que hemos venido estudiando últimamente.

Aunque luego mencione cómo se realizan estos procesos de criptografía cuántica utilizando fotones y polarización, vamos a empezar empleando nuestros adorables cuantejillos. Pero, para ello, tenemos que ser más cuidadosos en su descripción que en el artículo anterior, porque algunos de los aspectos más sutiles de la mecánica cuántica son clave en el asunto de la encriptación, con lo que no podemos utilizar el mismo tipo de cuantejos que utilizamos al hablar del entrelazamiento.

La clave para entender por qué la criptografía cuántica es útil es recordar, como ya dijimos en los múltiples artículos sobre el principio de indeterminación, que al realizar una observación sobre un sistema lo modificamos irremediablemente. Cuando detectamos un fotón, por ejemplo, es porque ese fotón ha impactado contra algún detector… con lo que ese fotón ya no existe.

De modo que los cuantejos que usaremos hoy en nuestra comunicación se comportan del siguiente modo: antes de que nadie realice cualquier medición sobre ellos, son de un color especial, inconfundible y cuántico — el color octarino. Pero, en cuanto un observador interacciona con el cuantejillo, éste se vuelve de un vulgar color gris como cualquier conejo normal y se echa a dormir. Una analogía más exacta sería decir que, cuando interaccionas con un cuantejo, éste muere y desaparece… pero no tengo estómago para hacer eso, ¡son tan monos! De modo que los cuantejos simplemente cambian de color y se dan una larga siesta. Los dibujos, por cierto, son todos de Geli y no míos, afortunadamente para vosotros.

Puesto que, además, vamos a tener que mandarnos cuantejos el uno al otro unas cuantas veces, sería recomendable no emplear las variedades angelical y diabólica, porque tarde o temprano podría haber un accidente. Supongamos que existen cuatro tipos de cuantejos diferentes (para el primer ejemplo que utilizaré nos bastarían dos, pero luego nos harán falta los otros, de modo que creo que es mejor que los definamos todos ahora), todos ellos absolutamente adorables. ¡Ojo! Es importante que entiendas bien los próximos párrafos en los que los definimos, o el resto del artículo te va a resultar un galimatías, de modo que lee con calma.

A algunos cuantejos les encantan las zanahorias más que cualquier otra cosa. Dales una zanahoria y son el ser más feliz del Universo. Estos amantes de las zanahorias tienen su opuesto en los cuantejos que las odian a muerte: si les acercas una zanahoria les has arruinado el día y pueden llegar incluso a llorar del disgusto. Llamemos a la primera subespecie zanahoriófilos, y a los segundos zanahoriófobos.

También hay otras dos subespecies de cuantejos que tienen apetencias opuestas por el apio. Los cuantejos apiófilos se zampan esta verdura en cuanto se la enseñas, pero los apiófobos reaccionan de manera extrema y opuesta a ellos, rechazando el apio con gran disgusto.

Las cuatro subespecies de cuantejos, tras enseñarles las verduras correspondientes.

Todos estos cuantejillos son tan predecibles en lo que respecta a la verdura que les importa como impredecibles respecto al resto de verduras. Si le enseñas un apio a un cuantejo zanahoriófilo, por ejemplo, es igualmente probable que se lance a por el apio y lo devore con fruición que lo rechace y se ponga a llorar. No hay manera de saber cuál va a ser su reacción hasta que le enseñas el apio; y lo mismo sucede, por poner otro ejemplo, si le enseñas una zanahoria a un cuantejo apiófobo. Tal vez se disguste y la rechace, o tal vez –con igual probabilidad– sonría y se coma la zanahoria con gran placer.

Dicho en términos de nuestra serie, un cuantejo zanahoriófilo es, expresado en términos de apio, una superposición de estados igualmente probables: . Al enseñarle el apio, el cuantejillo se colapsa a uno de los dos autoestados, pero no hemos obtenido información sobre lo que realmente lo definía (si le gustaba la zanahoria o no), porque no hemos realizado la pregunta correcta.

Y, en cualquiera de los casos, antes de enseñar una zanahoria a un cuantejo (es decir, antes de realizar una observación sobre él para determinar su tipo) el cuantejo es de un psicodélico color octarino, pero tras realizar la medición, el cuantejo se vuelve gris y se pone a dormir a pierna suelta. De modo que, por un lado, es evidente cuándo un cuantejillo se ha enfrentado a una verdura, y una vez eso ha sucedido, el cuantejo no sirve para nada en lo que a verduras se refiere, porque se ha ido a dormir.

Supongamos también, como en el artículo anterior, que es posible producir pares de cuantejos entrelazados: uno zanahoriófilo junto a uno zanahoriófobo, o uno apiófilo junto a uno apiófobo. ¿Cómo podríamos comunicarnos la clave privada utilizando cuantejillos sin que nadie pueda enterarse de ella y sin vernos en persona? Si comprendiste el artículo anterior, estoy convencido de que puedes idear un sistema que funcione perfectamente. Si quieres pensarlo, hazlo un momento antes de seguir leyendo.

Vamos a emplear los cuantejos para describir los dos sistemas fundamentales de criptografía cuántica, el protocolo BB84 y el protocolo E91, así nombrados por las iniciales de sus diseñadores y el año de su creación. Sin embargo, aunque el primero es anterior históricamente al segundo, vamos a estudiarlos al revés, simplemente porque el E91 es conceptualmente más fácil de entender a partir de nuestro artículo anterior, mientras que el BB84 es más retorcido. De hecho, estoy bastante seguro de que el sistema en el que has pensado tú solo es básicamente el protocolo E91.

Una manera muy sencilla de poner nuestra clave en común de forma segura es que yo produzca un par de cuantejos entrelazados, uno amante de las zanahorias y otro que las odie. Yo me quedo con uno de los dos (da igual cuál), y tú te llevas el otro en una caja a tu casa. Tanto tu cuantejo como el mío son de color octarino, porque nadie ha interaccionado con ellos aún: nadie les ha enseñado una zanahoria ni apio.

Esa tarde, le enseño a mi adorable cuantejillo una zanahoria, y pueden pasar dos cosas: o bien se abalanza sobre ella y se pone a comer vorazmente, o bien muestra cara de disgusto y la rechaza. Supongamos, para seguir con nuestro ejemplo concreto, que mi cuantejo pone cara triste y se niega a comer la zanahoria. Al mismo tiempo, su color cambia y deja de ser octarino, para ser gris, puesto que he interaccionado con él, y se pone a dormir y a soñar con zanahorias. Y también al mismo tiempo yo puedo estar absolutamente seguro de que el cuantejo que te has llevado es un cuantejo zanahoriófilo, lo contrario del mío.

Ojo: es esencial que entiendas una cosa. Yo no he presentado ninguna verdura a tu cuantejo: nadie lo ha hecho aún. Por lo tanto, aunque mi cuantejillo es ahora gris, el tuyo sigue siendo octarino, y lo será hasta que vea alguna verdura. Como he dicho antes, si los cuantejos fueran fotones, al realizar la medición sobre el mío éste dejaría de existir, pero el tuyo seguiría existiendo. Este cambio en la observación es fundamental para entender la utilidad de nuestro sistema de comunicación más tarde, porque puedo saber con exactitud el tipo de tu cuantejo sin modificarlo en modo alguno.

De modo que, esa noche, puedo llamarte por teléfono y decirte lo siguiente: “Si tu cuantejo es zanahoriófilo, nuestra clave es 1. Si es zanahoriófobo, nuestra clave es 0″. Y tú puedes colgar, enseñar una zanahoria a tu cuantejillo y saber cuál es la clave, sin que yo te la haya dicho por teléfono, con lo que si alguien está escuchando la conversación no tiene ni idea de cuál es la clave. Esto debería haber resultado claro, como digo, si entendiste el anterior artículo, de modo que vayamos más allá.

Antes de nada, también debería ser fácil ver cómo enviarnos una clave más larga: bastaría con que no te llevaras un cuantejo en una caja, sino una serie de cajas ordenadas del 1 en adelante, y que luego hiciéramos lo mismo de antes pero más veces. Así tendríamos una serie de ceros y unos que constituirían nuestra clave de comunicación. Pero ¿y si no podemos reunirnos en ningún momento? Porque, si podemos hacerlo, no nos hacen falta cuantejos: nos decimos la clave de palabra y punto. Pero entonces no hemos ganado nada respecto al sistema tradicional de clave privada.

Supongamos, por tanto, que tú vives en una ciudad y yo en otra, y que podemos enviarnos paquetes por una empresa de mensajería. Nuestro problema, claro está, es que no sabemos qué puede pasar a los paquetes que enviamos por el camino, o si alguien va a registrarlos o no. El mensajero puede estar a sueldo de los enemigos de Chuck –que son muchos y peligrosos– y, entonces, ¿cómo te envío la clave privada utilizando cuantejillos sin que nadie pueda verla? Piensa un momento antes de seguir, porque tal vez tengas la respuesta si agudizas el ingenio.

La clave es, claro está, el hecho de que la medición del sistema lo modifica, y es imposible ignorar que ha sido modificado. Podemos utilizar el sistema de antes: te voy enviando cuantejos en cajas, uno detrás de otro, a través de la empresa de mensajería. Si el mensajero es de fiar no hay problema, y todo funciona exactamente como antes. Si el mensajero es un espía, la única manera que tiene de descifrar la clave es ir abriendo las cajas y enseñando una zanahoria a cada cuantejillo. Incluso aunque luego los vuelva a meter en sus cajas y te los entregue, cuando llegue la hora de que tú hagas la prueba enseñándoles una zanahoria… ¡los cuantejos no serán octarinos, porque alguien ya les ha enseñado una verdura! De modo que, esa noche, antes de que nos pongamos de acuerdo como antes, tú me avisarás de que nuestra comunicación ha sido interceptada por un espía y que no vale.

De este modo, el principio de incertidumbre se confabula con nosotros, no para que podamos evitar la intercepción del mensaje, sino para que podamos saber que se ha producido la intercepción antes de poner en común la información secreta. Lo único que tenemos que hacer entonces es cambiar de empresa de mensajería al día siguiente y volver a empezar, y así hasta que alguna vez recibas cuantejos octarinos, pongamos la clave en común y todos nuestros problemas estén resueltos.

Como ves, el sistema funciona empleando dos fenómenos cuánticos: el entrelazamiento, por el que estoy seguro de cómo es tu cuantejo si conozco el mío, y el principio de indeterminación, por el que podemos saber si alguien ha interaccionado con tu cuantejo, puesto que inevitablemente lo modifica. Chuck Norris está a salvo.

Este sistema de encriptación, en la realidad, se realiza con pares de fotones entrelazados con polarizaciones determinadas, y se denomina protocolo E91; fue desarrollado en 1991 por Artur Ekert. Estoy convencido, en cualquier caso, de que si Ekert hubiera podido emplear cuantejillos zanahoriófilos y zanahoriófobos en su sistema de encriptación, los hubiera elegido antes que simples fotones.

Es posible, sin embargo, que ya hayas descubierto el punto débil de nuestro plan si nuestros enemigos son lo suficientemente inteligentes… y tienen sus propias fuentes de cuantejos. El mensajero puede abrir una caja y enseñar una zanahoria al cuantejo número 1. Si resulta que es zanahoriófobo, el mensajero se apunta este dato. No puede seguir enviando el cuantejo a tu casa, porque ha dejado de ser octarino para ser gris… pero puede preparar un nuevo cuantejo zanahoriófobo, meterlo en la caja y enviártelo. ¿Cómo puede hacer eso? Por ejemplo, creando un par de cuantejos zanahoriófilo-zanahoriófobo y enseñando una zanahoria a uno de ellos. Si resulta ser zanahoriófilo, mete al otro en la caja y te lo envía: es, con total seguridad, zanahoriófobo, y sigue siendo octarino porque nadie le ha enseñado una verdura. Si ese par de cuantejos no funciona porque el que él detecta es el zanahoriófobo, crea otros hasta que haya suerte y obtenga el resultado que necesita.

Sí, el problema es que si este intermediario es listo, puede enviarte sus propios cuantejos y quedarse con los míos, de modo que ambos pensemos que todo ha ido bien y esa noche nos pongamos de acuerdo en la clave… y, si nuestra línea telefónica está pinchada, la hayamos delatado al enemigo. Por cierto, esta pega no se produce en la realidad con el protocolo E91 porque, en el caso de los fotones entrelazados, existen maneras de detectar el hecho de que los fotones que recibes ya no están entrelazados con nada, con lo que sabrías que el mensajero es un enemigo de Chuck. Pero la potencia tremenda de la cuántica basta para que, incluso si este sistema no funcionase por esa razón, pudiéramos emplear otro que no fuera vulnerable de ese modo.

Ese otro sistema es el protocolo BB84, desarrollado en 1984 por Charles Bennett y Gilles Brassard, y no utiliza en absoluto cuantejos entrelazados. Como he dicho antes, es más enrevesado que el de Ekert, de modo que vayamos paso a paso, con un ejemplo muy concreto, para que puedas comprender en qué se basa este protocolo, primero sin mensajero espía y luego con él.

En primer lugar, preparo unos cuantos cuantejos al azar de las cuatro subespecies posibles: zanahoriófilos, zanahoriófobos, apiófilos y apiófobos. Puedo hacer esto de diversas maneras, por ejemplo creando pares de cuantejos entrelazados y determinando uno de ellos (mostrándole la verdura correspondiente), y luego metiendo el otro cuantejo del par en la caja, todavía octarino. Como digo, utilicemos un ejemplo concreto: preparo cinco cuantejillos de los cuatro tipos al azar, que resultan ser (1) zanahoriófilo, (2) apiófobo, (3) apiófobo, (4) zanahoriófobo y (5) apiófilo. En la realidad lo haríamos con un número mucho mayor, pero bueno. En el dibujo muestro la verdura al lado del cuantejillo, pero eso no quiere decir que haya una verdura cerca, sino simplemente de qué tipo de cuantejo se trata:

Mensaje preparado por mí.

A continuación, te envío los cuantejos en cajas numeradas del 1 al 5. Por ahora, como he dicho, imaginemos que el mensajero no es un espía y que recibes los cuantejos como te los mando — luego veremos qué sucede si es un espía, y cómo podemos saber que lo es. De modo que recibes en tu casa cinco cajas numeradas, abres la primera caja y te encuentras, claro está, con un adorable cuantejillo octarino.

Aquí está la clave de la diferencia con el protocolo E91: ¿qué haces, le enseñas una zanahoria o le enseñas un apio? Tienes que elegir una verdura, y una vez que lo hagas el cuantejo se volverá gris, se irá a dormir y no servirá para nada más. Si eliges la verdura que se corresponde con esa subespecie de cuantejo, el animal hará lo que corresponde a su subespecie, pero si eliges la verdura incorrecta, el cuantejo actuará al azar, comiendo o rechazando la verdura con igual probabilidad. Y no tienes manera de saber qué subespecie es… de modo que le enseñas la verdura que te dé la gana.

Supongamos que enseñas al cuantejillo una zanahoria. Como el cuantejillo (1) es zanahoriófilo, se lanza a por la zanahoria, la devora, se vuelve gris y se va a dormir. Tú, desde luego, no tienes manera de saber si esto ha sucedido porque es un cuantejo zanahoriófilo, o porque es de una de las dos subespecies de cuantejo sensibles al apio que ha reaccionado al azar, pero puedes apuntar lo que ha sucedido [(1) zanahoria: se la ha comido].

Con el segundo cuantejo haces lo mismo: le enseñas una zanahoria. Pero el cuantejo (2) es apiófobo, con lo que su reacción a la zanahoria es aleatoria. Imaginemos, por ejemplo, que se abalanza sobre ella feliz y contento y se la come, se vuelve gris y se va a dormir. Una vez más, no sabes cuál es su subespecie, pero apuntas el resultado: [(2) zanahoria: se la ha comido]. Y lo mismo haces con los demás; supongamos que los resultados que obtienes son [(3) apio: lo ha rechazado], [(4) apio: se lo ha comido], [(5) apio: se lo ha comido].

Recapitulemos lo que ha sucedido hasta ahora; aquí tienes los cuantejos que he mandado yo, lo que le has enseñado a cada uno y el resultado en cada caso:

Una vez más, tú sabes sin duda lo que has enseñado a cada cuantejo y la reacción del cuantejo, pero no de qué tipo de cuantejo se trata. Pero por fin llegamos al final del proceso — el momento en el que hablamos por la noche por teléfono, sabiendo que la línea telefónica puede estar pinchada, con lo que tenemos que ser cuidadosos con la información que compartimos.

“Al primer cuantejo le enseñé una zanahoria”, me dices tú.

“Buena elección”, respondo yo. “Entonces no tienes duda de qué tipo de cuantejo se trata”

Y tú apuntas en tu libreta: Cuantejo (1): zanahoriófilo.

¿Ves lo maravilloso del sistema de Bennet y Brassard? Tú no me has dicho en ningún momento qué resultado has obtenido, simplemente qué experimento has realizado. Si alguien está escuchando la conversación, sabrá que el primer cuantejo es zanahoriófilo o zanahoriófobo, pero no cuál de los dos.

A continuación, me dices: “Al segundo cuantejo también le enseñé una zanahoria”. Yo sé, claro está, que el segundo cuantejo era apiófobo, de modo que no tengo manera de saber cómo reaccionó ante la zanahoria, pero es que me da exactamente igual.

“No, este no sirve para nada”, respondo. “Es la verdura equivocada”. Con lo que el segundo cuantejillo no nos ha servido para nada.

“Al tercero le enseñé un apio”, sigues tú. Y yo, naturalmente, respondo: “Buena elección”, con lo que tú, sabiendo que ese cuantejo rechazó el apio, escribes en tu libreta: Cuantejo (3): apiófobo.

“Al cuarto le enseñé también un apio”, continúas. Pero yo respondo “No, no vale para nada”, porque sé que el cuantejo (4) era zanahoriófobo. Así que tú no apuntas nada.

“Al quinto y último le mostré, una vez más, un apio”, sigues tú. Y yo respondo “Bien hecho, entonces éste nos sirve”… y tú apuntas, sabiendo que se comió el apio: Cuantejo (5): apiófilo.

Y entonces, como último paso, quedamos en la siguiente clave: los cuantejos -filos (zanahoriófilos o apiófilos) son “unos”, y los -fobos (zanahoriófobos o apiófobos) son “ceros”. Ambos sabemos, entonces, que la clave, compuesta de tres dígitos, correspondientes con los tres cuantejos que nos han valido, es 101. Y nadie que esté escuchando nuestra conversación tiene manera alguna de saberlo. ¿No es apabullante?

Aquí tienes el resultado final. Observa cómo sólo utilizamos, para nuestra clave, los cuantejos en los que acertaste en la elección de verdura, e ignoramos aquéllos en los que utilizamos verduras diferentes:

Ah, pero ¿y si el mensajero que te envió los cuantejos hizo lo mismo que en el ejemplo anterior, reemplazando mis cuantejos por otros idénticos tras enseñarles una verdura para saber cuáles son? Aquí es donde se pone de manifiesto la verdadera genialidad de este sistema criptográfico.

Sigamos con el mismo ejemplo de arriba y los mismos cuantejos, y supongamos que tú realizas exactamente las mismas elecciones que antes. El mensajero es esta vez un espía de los enemigos de Chuck Norris, abre la caja número 1, y se encuentra con un adorable cuantejillo octarino. Pero él, igual que tú, no sabe qué verdura debe enseñarle… tiene que elegir una al azar. Supongamos que le muestra, por ejemplo, una zanahoria. El cuantejillo (1), que es zanahoriófilo, se la come con fruición, se vuelve gris y se echa a dormir, con lo que al espía ya no le sirve. Pero el espía, que no es tonto, prepara un cuantejo zanahoriófilo y octarino, lo mete en la caja y te la envía.

Cuando tú abres la caja, sucede exactamente lo mismo que en el ejemplo de arriba: le enseñas una zanahoria, se la come, etc. En este caso, todo ha sucedido en tu casa igual que sucedió cuando no había espía, y no tienes manera de saber que alguien ha interceptado nuestro cuantejo. Pero –y ésta es la clave del asunto– esto sólo ha sucedido porque el espía ha acertado en la elección al azar de la verdura.

Lo que haga el espía con los cuantejillos (2) y (4) es irrelevante, porque cuando me digas la verdura que has escogido en cada caso te diré que no nos sirve e ignoraremos esos cuantejos, que no pasarán a formar parte de nuestra clave privada, pero para seguir con nuestro ejemplo, imaginemos que acierta en ambos casos en la elección de la verdura, con lo que te envía cuantejos idénticos a los míos. Lo importante es qué sucede en los cuantejos que sí vamos a acabar utilizando, el (3) y el (5).

Supongamos que al cuantejo (3) el espía le muestra una zanahoria. Aquí el espía ha cometido un error con la verdura (algo que sucederá un 50% de las veces, claro). El cuantejo (3) era apiófobo, con lo que reaccionará al azar ante la zanahoria — supongamos que se la come. Entonces, el espía prepara un cuantejo octarino zanahoriófilo, ¡algo diferente de lo que envié yo!

Esto no significa que, necesariamente, detectemos el problema. Cuando ese cuantejo “falsificado” te llegue, tú harás lo mismo de antes: le presentarás un apio. Pero el cuantejo falso es zanahoriófilo, con lo que un 50% de las veces se comerá el apio que le ofreces, y el otro 50% de las veces lo rechazará. Si lo rechaza, entonces habrá sucedido exactamente lo mismo que cuando no había espía y no podremos saber que algo malo ha sucedido, pero si se lo come, el espía se habrá delatado. Supongamos que el espía tiene suerte y el cuantejillo rechaza, muy triste, el apio que le ofreces. Apuntarás en tu libreta exactamente el mismo dato de antes, cuando no había espía.

Finalmente, supongamos que al quinto cuantejo el mensajero espía le ofrece una zanahoria (una vez más, un error, pues el cuantejo es apiófilo). El cuantejillo rechaza la zanahoria, con lo que el espía te envía un cuantejo octarino zanahoriófobo… y cuando tú lo recibes, le presentas un apio. Pero esta vez el espía tiene mala suerte: el cuantejo falso, zanahoriófobo, se pone a llorar y no se come el apio, con lo que apuntas [(5) apio: lo ha rechazado]. En este caso algo ha cambiado respecto al caso en el que no había espía, y esto será el talón de Aquiles de la estrategia del espía, como veremos en un momento.

Aquí tienes la recapitulación de lo que ha sucedido, con la interferencia del espía encuadrada en amarillo. He marcado en rojo el dígito de la clave que no coincide con el que obtuviste antes de la aparición del espía:

Nuestra conversación telefónica sería exactamente igual que antes y, si no hacemos nada que no hiciéramos entonces, no habría manera de detectar al espía. Como verás, el único caso en el que algo ha cambiado en tus observaciones a causa de la interferencia del espía es el quinto cuantejo (en el caso anterior se comió el apio, como debe ser, pero esta vez lo ha rechazado)… pero eso no es algo que nos digamos por teléfono. Tú seguirás diciendo que le mostraste un apio, y yo responderé “Excelente, buena elección”. Sin embargo, yo consideraré ese dígito de la clave un 1 (pues el cuantejo (5) era apiófilo), mientras que tú considerarás que es un 0 (puesto que tu cuantejo, que era falso, no se comió el apio). Mi clave es 101, como antes, pero tú crees que es 100, debido a la injerencia del maldito enemigo de Chuck. El último dígito, como está marcado arriba, no coincide en nuestras claves.

Pero existen maneras sencillas de que nos demos cuenta, simplemente teniendo un poco de cuidado. La más sencilla de todas es ésta: una vez acaba nuestra conversación telefónica y antes de enviar información secreta te envío un mensaje cifrado de prueba, como por ejemplo: “¿Hay algún espía escuchando esto?”

Pero yo encripto el mensaje con la clave “101″… y tú tratas de descifrarlo con una clave incorrecta. En vez de obtener el mensaje correcto, recibirás un sinsentido parcial o total, por ejemplo “¿Hsy slgún espís escuchsndo esto?” Automáticamente sabrás que alguien ha interferido el mensaje, me llamas por teléfono, me dices que la clave no vale y empezamos todo el proceso otra vez, con una empresa de mensajería más de fiar.

Naturalmente, puedes pensar que es posible que el espía tenga suerte todas las veces. Al fin y al cabo, para que nos demos cuenta de que un cuantejo fue interceptado, tiene que tener mala suerte al elegir la verdura (50% de las veces), y además yo tengo que elegir la verdura correcta (un 50% de las veces), con lo que, en media, sólo uno de cada cuatro cuantejos será susceptible de ser revelado como uno falso. Y en nuestro ejemplo así ha sido, más o menos: un error detectable en cinco cuantejos.

Pero la solución es muy fácil: no usamos cinco cuantejos, usamos cien. Por mucha suerte que tenga el individuo, la probabilidad de que absolutamente ninguno de los cuantejos que modifica sean detectados es de un 75% por cuantejo, es decir, para cien cuantejos, 0,75¹⁰⁰ en este caso. Sí, ¡elevado a cien! ¿Quieres más seguridad que eso?

La segunda manera, un poco más elaborada, es que no empleemos todos los cuantejos en los que coinciden nuestras verduras para la clave, sino que sacrifiquemos unos cuantos para comparar resultados. Si, por ejemplo, usamos un total de 1000 cuantejos, de los cuales nos resultan útiles 500, podemos dejar 100 de ellos como prueba, y emplear los otros 400 (que siguen siendo secretos) como clave. De los 100 que compartimos abiertamente, si no hay espía, coincidirán todos –con lo cual los hemos descartado simplemente para estar seguros, pero podemos usar el resto con confianza–, mientras que si hay espía, unos 25 de esos 100 no coincidirán entre sí, con lo que sabremos que hay un espía y tendremos que volver a empezar. En cuanto alguno de los dígitos que compartamos sea “rojo”, como en el dibujo de arriba, sabemos que los enemigos de Chuck están al acecho.

Como ves, el protocolo BB84 no hace uso del entrelazamiento como el E91, pero sí del principio de incertidumbre — con él, podemos estar seguros con una probabilidad aplastante, si usamos los suficientes cuantejos, de que nadie ha interferido la comunicación de nuestra clave. Y, como siempre, no se trata de un sistema absolutamente seguro, porque existe la posibilidad –por baja que sea– de que alguien haya tenido suerte al interceptar cuantejos. Pero ningún sistema criptográfico es seguro al 100%, y éste les da sopas con honda a todos los tradicionales.

Vamos con los aspectos más teóricos de todo el asunto, tanto la relación con artículos anteriores (para que veas que sí has aprendido bastante, aunque hayas sufrido) como lo que se hace en la realidad, porque la base es la misma que con los cuantejos.

En primer lugar, la clave de los cuantejos zanahoriófilos, apiófobos y demás es que hemos usado estados cuánticos incompatibles entre sí: se trata de autoestados de las variables “amor por las zanahorias” y “amor por el apio”. En el caso de los sistemas reales de criptografía cuántica, como he dicho al principio, se utilizan fotones. En el caso de los fotones se emplean autoestados de la polarización, por ejemplo, polarización vertical u horizontal (equivalente a zanahoriófilo y zanahoriófobo), y polarización sudeste-noroeste o sudoeste-nordeste (equivalente a apiófilo y apiófobo). Dos pares de estados perpendiculares entre sí, de modo que si realizas la prueba “incorrecta” (apio para un cuantejo al que le importan las zanahorias o al revés, polarización vertical-horizontal para un fotón polarizado sudoeste-nordeste, etc.) existe un 50% de probabilidad de un resultado u otro, ya que se trata de una superposición de estados.

En segundo lugar, las limitaciones reales hacen que estos sistemas –como cualquier sistema criptográfico, por otro lado– no sean perfectos. Si tú y yo nos comunicamos la clave enviando fotones polarizados a través de un cable de fibra óptica, es casi imposible que absolutamente todos los fotones que te envío te lleguen bien, incluso si no hay espía. Por lo tanto, si seguimos un criterio tan radical como el del ejemplo de arriba (si un solo resultado es imposible, suponemos que hay un espía), nunca nos pondríamos de acuerdo en la clave, pues siempre va a llegarte una señal con algo de ruido, aunque no haya espía. Pero, si aceptamos cierto nivel de inconsistencia en los resultados, ¿en qué punto sabemos si hay un espía, y cómo de seguros estamos?

Además, en la realidad es casi imposible enviar fotones uno a uno: suelen enviarse cortos “chorros” de fotones en el mismo estado de polarización, y es imposible saber cuántos van a salir en cada uno exactamente. Alguien puede detectar un solo fotón del chorro –disminuyendo muy ligeramente la intensidad del chorro, pero dejando varios fotones en él–, y así realizar una observación sobre él sin que ni tú ni yo seamos capaces de saber que alguien ha interceptado nuestra comunicación.

Pero, como digo, ningún sistema criptográfico es irrompible. Con una calidad de la señal muy buena y muy pocos fotones por cada pulso, es posible conseguir niveles de seguridad muy altos. De hecho, como he dicho al principio, esto nos viene muy bien en la serie para mostrar la “cuántica en la realidad”. Estas cosas no son elucubraciones de un puñado de científicos locos, sino que la criptografía cuántica se emplea en la realidad y existen incluso empresas que venden sistemas comerciales de encriptación por estos protocolos.

En 2006 se envió una clave empleando pares de fotones entrelazados –es decir, el protocolo E91 de Ekert– a través del aire entre las islas de La Palma y Tenerife, a lo largo de nada más y nada menos que 144 kilómetros. El mismo año se realizó un experimento empleando el protocolo BB84 de Bennet y Brassard, a través de un cable de fibra óptica de 148,7 km. Y se han empleado comunicaciones con criptografía cuántica para enviar datos electorales en Suiza, datos bancarios en Austria, etc. No es barato, pero ya está funcionando — y no sería posible sin la cuántica.

Cerberis, sistema de criptografía cuántica de id Quantique.

Finalmente, una de las limitaciones inherentes a los sistemas como el de la imagen es que no vale cualquier cable de fibra óptica. En las conexiones “normales”, la señal se amplifica en varios puntos de la conexión, ya que se atenúa según avanza por el cable. Pero en el caso de la comunicación encriptada como hemos descrito, la amplificación no puede producirse, porque sería detectada en el otro extremo como un “espía”. Con lo que no se han logrado comunicaciones a enormes distancias (aunque 148 km no está nada mal), y no vale utilizar los cables de fibra óptica normales: los fotones del mensaje encriptado, al no estar amplificados, serían engullidos por todo el resto de comunicaciones normales –amplificadas–. Pero, aun así, las posibilidades prácticas de estos sistemas tienen un enorme potencial. La cuántica no sólo es real, sino que es útil.

Con esto tampoco estoy diciendo que la salud mental de alguien que trabaja con cuantejos apiófobos sea encomiable. Pero tengo que preguntarte, estimado lector, ¿qué dice esto de la salud mental de alguien que lleva leyendo sobre cuantejos el tiempo que tú llevas haciéndolo? Pues eso. En la próxima entrada de la serie hablaremos sobre algo relacionado con esto, el teletransporte cuántico.

Puedes encontrar este artículo y otros como él en el número de noviembre de 2009 de nuestra revista electrónica, disponible a través de Lulu:

Para saber más:

• Criptografía cuántica / Quantum cryptography
• Quantum cryptography: Privacy through Uncertainty

Cuantejo. Puede parecer adorable, pero ¡ojo!, no todo es lo que parece.

Ni qué decir tiene que, si no llevas con nosotros desde el principio de la serie, es muy recomendable que empieces por el primer artículo o esto te va a parecer aún más raro de lo que ya es. Además, un par de avisos adicionales: en primer lugar, como siempre en esta serie, voy a realizar simplificaciones terribles que sólo merecen que maldigas mi nombre, especialmente si eres físico como yo. Emplearé, además, ejemplos estúpidos y absurdos, para obtener conclusiones aberrantes. En resumen, no se me ocurre ninguna razón para que sigas leyendo este artículo, de modo que ¡allá tú si lo haces!

Dicho esto, Schrödinger introduce el término de entrelazamiento al hablar del sistema gato-isótopo, ya que –como espero que recuerdes del experimento mental– si se ha producido una desintegración, el gato habrá muerto, mientras que si no se ha producido, el gato estará vivo. Existe una “conexión íntima” a nivel físico entre el gato y el isótopo. Sin embargo, permite que ilustre el concepto de entrelazamiento cuántico con un ejemplo diferente, antes de hacerlo con casos algo más realistas.

Imagina, querido y paciente lector de El Tamiz, que existe una extrañísima especie de conejos, los cuantejos, que tienen ciertas características muy peculiares. Existen dos tipos de cuantejos: los cuantejos angelicales y los cuantejos diabólicos. Y esos nombres describen las dos variantes de cuantejo perfectamente bien — los cuantejos angelicales son adorables, pacíficos y afectuosos. No hay nada que les guste más que recibir abrazos. Sin embargo, los cuantejos diabólicos son criaturas sanguinarias y ferocísimas — intenta acariciar a uno de ellos y seguro que acabas sin dedo y, probablemente, sin sangre en las venas.

Las dos variantes de cuantejos están perfectamente equilibradas: los cuantejos siempre nacen a pares, un cuantejo angelical y otro diabólico. Y, al nacer, ambos son absolutamente indistinguibles, tanto por su apariencia como por su comportamiento. Es durante la primera noche después de nacer cuando, de pronto, muestran su naturaleza angelical o demoníaca de forma inequívoca. A partir de ahí, no cabe duda de a qué variante pertenece el cuantejo en cuestión — un 50% de las veces, para desgracia de quien esté cerca.

Imagina ahora que nace un par de cuantejitos pequeños y monísimos, y un amigo común nos regala uno a ti y otro a mí. Ambos han nacido juntos, lo que significa que llegará un momento, esta misma noche, en el que uno de los dos cuantejitos se mostrará como un cuantejo angelical, y el otro como diabólico. Sin embargo, nuestro amigo común nos ha dado los cuantejitos metidos en sendas cajas (con agujeros, por supuesto, y suficiente agua y comida para que puedan sobrevivir sin problemas), con lo que no podemos verlos y no hay nada exterior que los afecte de ningún modo.

De manera que tú te vas a tu casa con tu cuantejito, y yo me voy a mi casa con el mío, ambos metidos en las cajas, y nos prometemos mutuamente que no abriremos las cajas hasta la mañana siguiente, después de que la verdadera naturaleza de los dos cuantejos ya sea evidente. Pero, antes de seguir con el ejemplo, con lo que tenemos hasta ahora podemos empezar a discutir sobre algunas propiedades de las teorías físicas y, sobre todo, de la cuántica.

Si recuerdas las entradas sobre estados cuánticos, y son autoestados del observable tipo de cuantejo. Cuando nos vamos a nuestras respectivas casas, el estado de mi cuantejo es , ya que no hay absolutamente nada que me indique de qué tipo es, pero sé que, de los dos, uno es el diabólico y el otro el angelical, con lo que existe la misma probabilidad de que mi cuantejo resulte ser el uno o el otro. Espero que, para empezar, este ejemplo te haya servido para refrescar los conceptos de estado y autoestado; ahora, vayamos más allá.

Si la teoría cuántica es completa, eso quiere decir que conozco absolutamente todas las variables que definen a mi cuantejo, con lo que el estado de mi cuantejo y el cuantejo en sí son, a todos los efectos, indistinguibles. Ya hablamos de esto al definir los estados cuánticos (lo hicimos entonces con un dado), pero creo que este concepto se entiende mejor negando su definición: si la teoría cuántica es incompleta, entonces existen variables que definen mi cuantejo, que pueden ser conocidas, pero que mi teoría no contempla. Por ejemplo, si todos los cuantejos nacen con un gen que determina si son angelicales o diabólicos, pero ese gen no afecta al comportamiento ni la apariencia del cuantejo hasta la primera noche, y mi teoría no contempla los genes, entonces mi teoría es incompleta. No es que la variante del cuantejo no esté determinada, es que yo no la conozco porque mi teoría falla.

Esto tiene la suficiente importancia como para que lo repita: si la teoría es completa y conozco el estado del cuantejo, si cambia el estado es que ha cambiado el cuantejo o al revés. Pero si la teoría no es completa existe una desconexión entre la información que tengo del cuantejo y el cuantejo en sí. Es posible que mi información cambie sin que lo haga el cuantejo, o viceversa, porque haya variables que cambien sin que yo me dé cuenta porque la teoría no las contemple.

Las variables de ese tipo se denominan variables ocultas, y algunos físicos, como Einstein, consideraban que su existencia explicaría la aparente aleatoriedad de la cuántica — no es que las cosas no estuvieran definidas, sino que no estábamos teniendo en cuenta las cosas que las definían. (Por si te lo estás preguntando, no, no hemos encontrado ninguna de esas variables hasta ahora, y mira que lo hemos intentado).

Pero supongamos, para seguir con el ejemplo, que la teoría cuántica sí es completa, y que la naturaleza de mi cuantejo no está determinada en absoluto cuando me lo llevo a casa, como tampoco lo está la del tuyo, por supuesto. Lo que sí está claro es que no es posible conocer la variante de mi cuantejo sin conocer la del tuyo y viceversa: ambos nacieron a la vez, con lo que uno de ellos es necesariamente angelical y el otro diabólico. En cierto sentido, no tiene sentido describir a nuestros cuantejitos separadamente, porque sus estados cuánticos están íntimamente unidos: nuestros cuantejitos están entrelazados.

Dicho de otro modo, si mi cuantejito es el cuantejito A y el tuyo el B, lo que tiene de verdad sentido es describir el estado de los dos cuantejitos juntos como algo así: . Ese símbolo , en lo que a nosotros respecta en esta serie, simplemente significa “combinado con”, ya que las dos posibles combinaciones son que mi cuantejito sea angelical y el tuyo diabólico o al revés. Lo usaremos en otros artículos de la serie pero creo que, sin entrar en disquisiciones matemáticas, es bastante evidente lo que significa.

Cuantejo diabólico en acción (vídeo al final del artículo).

Imagina que, de madrugada, decido romper mi promesa y abro la caja de mi cuantejito para ver si es afectuoso y adorable o una máquina de muerte y destrucción. Supongamos que, en el momento en el que abro la caja, el pequeño animalito salta hacia mi yugular con las fauces abiertas, sediento de sangre. No tiene sentido que diga que el estado de mi cuantejo es . Lo que sí tiene sentido que diga es que el estado de los dos cuantejos entrelazados es . Si has entendido esto, has comprendido lo que es el entrelazamiento cuántico y creo que, cuando lleguemos a algunas de sus posibles aplicaciones, no tendrás ningún problema en comprenderlas tampoco… pero la cosa no acaba aquí.

Hay una parte intuitiva de esto, y otra que hace que nuestra intuición rechine los dientes, de modo que vamos primero con la parte fácilmente asimilable. Al determinar que mi cuantejo es diabólico, estoy absolutamente seguro de que, cuando tú abras tu caja, tu cuantejo saltará a tus brazos, afectuoso y adorable, deseoso de cariño. Esto es inevitable dado el entrelazamiento de los cuantejos: si sé la variante de uno, sé la variante del otro sin lugar a dudas.

Si la variante de los cuantejos estuviera determinada por alguna variable oculta, entonces todo sería así de sencillo: mi cuantejo siempre fue diabólico desde el principio, y el tuyo adorable. Nada ha cambiado en ninguno de los dos cuantejos al abrir mi caja, simplemente lo ha hecho la información que yo tengo de ellos. Pero, ¿y si la teoría cuántica es una teoría completa y el estado del cuantejo contiene absolutamente toda la información que es posible obtener sobre el cuantejo? Supongamos que es así, y verás cómo obtenemos consecuencias muy raras: tan raras que a Einstein le parecían aún más aberrantes que la aleatoriedad de la cuántica, e hicieron que el insigne físico rechazase este concepto de entrelazamiento con garras y dientes.

Si los estados contienen toda la información, antes de que yo abra mi caja y mi cuantejito salte a morderme el cuello, no es que no sepamos si tu cuantejo es angelical o no; es que tu cuantejo no es ni una cosa ni la otra. Porque, si lo fuera pero no lo supiéramos, entonces habría algo que no estamos teniendo en cuenta en la teoría, luego no sería completa… pero hemos partido de la base de que lo es. Si la teoría cuántica es completa y el estado de tu cuantejo cambia, es que tu cuantejo cambia. Si el estado cambiase de a sin que lo hiciese el cuantejo, es que el estado inicial no contenía toda la información del sistema, algo absurdo porque es nuestra premisa. Si esto te parece un galimatías y no lo tienes claro, ¡vuelve a leer los dos últimos párrafos antes de seguir!

¿Preparado?

Esto quiere decir que, en el momento en el que yo abro la caja y mi cuantejito salta de ella con ojos inyectados en sangre, de manera absolutamente instantánea, tu cuantejito ha cambiado y, de ser un cuantejito “indeterminado” se ha convertido en un cuantejito angelical. La conexión entre nuestros cuantejos es así de íntima: no hay nada en el Universo que pueda hacer que, al alterar el estado de mi cuantejo, el tuyo no cambie también. Esa interacción, a diferencia de la fuerza eléctrica o la gravitatoria, no disminuye con la distancia, no puede ser detenida por barreras físicas de ningún tipo, no puede ser detectada en su “transmisión” porque no hay ninguna transmisión mensurable en el espacio entre los dos cuantejos. Lo que sea que va de mi cuantejo al tuyo (aunque ésta no es, en mi opinión, una buena descripción, porque no hay movimiento ni transmisión de nada, hay un cambio simultáneo) es intangible, imparable e inmediato.

En palabras de Einstein, se trata de una spukhafte Fernwirkung, una acción fantasmal a distancia. Esto es algo que repugnaba al genial físico profundamente; tanto que, de ser la teoría cuántica una teoría completa, él mismo “preferiría ser zapatero, o incluso empleado de una casa de apuestas, antes que físico”. Ya hemos hablado antes en El Tamiz acerca de su argumento, elaborado junto con Podolsky y Rosen, al mencionar las discusiones entre Einstein y Bohr hace ya más de dos años (!).

La razón de esta repugnancia puede no resultar evidente al principio, pero se debe a la siguiente razón: si la cuántica es una teoría completa, la realidad no es local. Hasta este momento, se había considerado que un cambio en cualquier componente del Universo sólo producía un cambio en su inmediata vecindad, que luego podía ir propagándose (como mucho, a la velocidad de la luz) hasta alcanzar puntos alejados de él según pasaba el tiempo. Por ejemplo, si tú tienes un objeto y yo otro, y tu objeto cambia, ese cambio no afectará a mi objeto hasta que haya pasado un tiempo determinado (tanto más grande cuanto más alejados estén los objetos).

Por lo tanto, de acuerdo con la teoría clásica, si yo quiero estudiar mi objeto durante un tiempo corto, puedo ignorar los cambios que tú puedas realizar sobre el tuyo, porque no llegarán a afectar al mío. Pero, si la teoría cuántica es completa, como en el caso de los cuantejos de arriba, un cambio en uno de ellos puede producir cambios en otros de manera instantánea, por muy alejados que estén de él, sin que haya una mediación de cambios intermedios a través del espacio que los separa. Esa realidad no es local: no puedo describir una parte del Universo sin describirlo todo, porque los cambios se producen “en todo a la vez”, en vez de producirse en un punto y propagarse a otros. En palabras de Einstein,

La siguiente idea caracteriza la independencia relativa de los objetos A y B alejados en el espacio: la influencia externa sobre A no tiene influencia directa sobre B; esto se conoce como Principio de Acción Local [...]. Si este axioma se rechazase completamente, la idea de la existencia de sistemas cuasi-aislados, y por lo tanto la postulación de leyes que pueden comprobarse empíricamente en el sentido comúnmente aceptado, sería imposible.

Si has entendido esto con los cuantejos, pasemos a describir brevemente cómo se lleva a cabo esto en la realidad. Desde luego, lo de los cuantejitos es un ejemplo tonto cuyo objetivo es simplemente hacer esto más accesible: un cuantejo macroscópico no presentará fácilmente características cuánticas, pero bueno.

Una de las maneras más comunes de lograr el entrelazamiento es el uso de láseres y cristales. Ciertos cristales tienen la curiosa propiedad, cuando reciben luz (dicho “en cuántico”, fotones) de que a veces un fotón es absorbido por el cristal y a continuación se emiten dos en su lugar, en un proceso llamado conversión paramétrica a la baja. Desde luego, la energía total suma de los dos fotones es la del fotón original, pero existe otra propiedad más curiosa, debida a la conservación del momento lineal — los dos fotones que salen están polarizados perpendicularmente el uno respecto del otro. No sé lo que conoces sobre la polarización, y no tengo espacio aquí para explicarla, pero dicho mal y pronto, si la onda electromagnética que transporta el primer fotón oscila verticalmente, entonces seguro que la del otro lo hará horizontalmente, y para cualquier otra dirección de oscilación, ambas serán perpendiculares la una a la otra.

Fíjate en cómo esto es bastante parecido al caso de los cuantejos: los dos fotones aparecen al mismo tiempo, y son indistinguibles el uno del otro hasta que se realice una observación sobre ellos. Dado que los dos fotones pueden alejarse el uno del otro, es posible que yo, como observador, sólo me fije en uno de ellos, y que nunca jamás tenga acceso al otro. Pero lo que es seguro es que, si mido la dirección de polarización de mi fotón y veo esto:

Entonces el estado de mi fotón ha cambiado, como también lo ha hecho, de forma instantánea, el otro fotón que nunca he visto; y puedo estar seguro de que, cuando alguien lo mida, observará esto:

En entradas posteriores hablaremos de diversos experimentos que utilizan el entrelazamiento, y verás cómo casi siempre se usan variaciones de esta idea, porque es relativamente fácil de reproducir el proceso y los dos fotones producidos están siempre entrelazados. Eso sí, es muy difícil mantener ese entrelazamiento, y ahí sí que la cosa es diferente de la de los cuantejillos, que se mantenían entrelazados sin que tuviéramos que preocuparnos por ellos. Ya hablaremos de los aspectos prácticos en el futuro.

Como siempre en esta serie, prefiero dedicar cada artículo a un concepto determinado porque ya son lo suficientemente turbios como para, encima, mezclar unos con otros. Sin embargo, no puedo terminar sin dejar de mencionar una falsa concepción relacionada con el entrelazamiento que se oye con relativa frecuencia, sobre todo al hablar de un concepto que trataremos más adelante en la serie, el teletransporte cuántico. Esa falsa concepción es la idea de que lo que acabo de describir, de ser la cuántica una teoría completa, permite una transferencia instantánea de información entre dos observadores. Esto es falso, y tal vez ya tengas claro por qué es así si has comprendido muy bien el entrelazamiento; por si no es así, sigamos con el ejemplo de los cuantejos para hablar de esto.

Sigamos partiendo de la hipótesis de que la cuántica es una teoría completa y que, cuando yo abro la caja y mi cuantejo se abalanza sobre mí, algo cambia en el tuyo de manera instantánea. La pregunta aquí es, ¿cómo puedo utilizar esa instantaneidad para enviarte un mensaje burlándome de los límites de la velocidad de la luz? Por ejemplo, supongamos que, cuando nos separamos, cada uno con su cuantejo, estábamos pensando en ir al cine al día siguiente, pero yo no estaba seguro de querer ir o no.

Yo estoy en mi casa, con la caja de mi cuantejito cerrada, y decido que no tengo nada importante que hacer al día siguiente y que sí quiero ir al cine. Puedo llamarte por teléfono para decírtelo, desde luego, pero ¿existe alguna manera de utilizar mi cuantejo y el cambio instantáneo en el estado del tuyo para que pueda darte ese mensaje sin utilizar nada más? ¿qué código preestablecido podemos utilizar para eso, que no requiera que yo sepa de antemano, mientras estamos juntos, cuál va a ser mi elección?

Si piensas durante un rato verás, espero, que… simplemente, no puedo. Yo abro mi caja, mi cuantejito resulta ser diabólico y se abalanza sobre mí, y entonces sé que el tuyo es necesariamente angelical, pero no hay manera de que pueda utilizar ningún código para enviarte el mensaje de que, si sobrevivo a esta bestia infernal que trata de devorarme, sí me gustaría ir al cine contigo mañana. La única manera que tengo de emplear el entrelazamiento es utilizar un canal clásico de información (por ejemplo, llamarte por teléfono) para complementar el hecho de que sé que tu cuantejo es angelical.

Desde luego, puedes estar preguntándote, “Entonces, ¿para qué diablos sirve todo esto? ¡Si me vas a llamar por teléfono de todos modos para decirme si vienes al cine, ¿de qué sirven los cuantejos?” Y la respuesta es interesante, pero tendrá que esperar a posteriores entradas. Como pista, desde luego que no sirve de nada si simplemente quiero que sepas que quiero ir al cine contigo. Sirve de mucho si quiero que nadie más que tú, incluso si está escuchando nuestra conversación telefónica, pueda saber si quiero ir al cine o no. Tiempo al tiempo.

Para desintoxicarte tras tanta abstracción, nada mejor que ver un cuantejo diabólico en acción, si es que tienes agallas para verlo (cortesía de los inefables Monty Python):

En la próxima entrega de la serie hablaremos acerca de la criptografía cuántica.

Para saber más:

• Entrelazamiento cuántico / Quantum entanglement
• Parametric down-conversion

Tras una pausa más larga de lo que hubiera deseado, hoy seguimos buceando en las brumosas aguas de la mecánica cuántica, en la serie Cuántica sin fórmulas. Es muy difícil entender este artículo sin tener claros los tres últimos de la serie, de modo que una recomendación: si eres un tamicero añejo, relee esas tres entradas (estados cuánticos, eigenestados y superposiciones cuánticas), pues hace bastante tiempo y tal vez no las recuerdes demasiado bien; si eres un recién llegado, creo que sería aún mejor que empezases la serie por el principio o te va a parecer aún más inaccesible de lo que ya es de por sí.

Afortunadamente, este artículo es menos denso que los tres que lo precedieron, y no introduce conceptos nuevos, con lo que no hace falta que recomiende aspirinas para leerlo. De hecho, como alguna otra entrada de la serie, funciona bien como baremo: si no te pierdes al leerlo es que has entendido las últimas entradas de la serie. ¡Ojo! Te prevengo contra el peligro contrario: si el experimento te parece una estupidez con una solución obvia es que no has entendido la serie hasta ahora.

Es mucho más profundo de lo que parece, y tantos físicos insignes no han estado discutiendo (y aún siguen) sobre él durante décadas porque sean unos imbéciles de mente obtusa. Es un experimento mental en el que se mira, cual espejo, toda interpretación que se precie de la mecánica cuántica. Empezaremos a hablar del gato de Schrödinger. Esta primera entrada será una introducción al problema, que atacaremos desde distintas interpretaciones y nos llevará a lugares bastante raros de la cuántica. Pero paciencia, como siempre.

Cuando definimos lo que es un estado cuántico dentro de la teoría, recordarás que lo hicimos de una manera bastante cautelosa. Permite que me cite a mí mismo para discutir el asunto en este artículo:

Un estado cuántico es un objeto matemático que contiene la información de que disponemos sobre un sistema físico; idealmente, si la cuántica es una teoría completa y conocemos el sistema perfectamente, un estado cuántico contiene toda la información acerca del sistema.

La primera frase es una definición, y no hay mucho que discutir ahí. De hecho, los estados cuánticos son herramientas matemáticas, como las formulaciones de Heisenberg y Schrödinger, que permiten realizar predicciones científicas de una precisión tan extraordinaria que, desde muy pronto, prácticamente nadie cuestionaba unos ni otras. Pero la segunda frase tiene un condicional como una catedral, como no puede ser de otra manera si queremos ser rigurosos — si la teoría cuántica, por ejemplo, no es una teoría completa, un estado cuántico es algo con un valor muy relativo, mientras que si es una teoría completa y conozco el estado cuántico completo de un sistema, conozco el sistema todo lo bien que puede ser conocido.

Por ejemplo –un poco tonto, como casi todos los que pongo, pero qué se le va a hacer–: imagina que tú tienes una moneda, y te vas al interior de una habitación. Mientras estás allí, colocas la moneda sobre una mesa como te parece, y sales de la habitación. Si me informas de que has colocado la moneda sobre la mesa, pero no de si la moneda muestra cara o cruz, para mí el estado de la moneda será , ya que no hay nada que me haga suponer que una posibilidad es más probable que la otra. Por cierto, si lo que acabo de decir te ha sonado a chino es que no has seguido mi consejo y releído los artículos anteriores.

Pero, como comprenderás, en ese caso estamos dando una definición suave o blanda del concepto de estado de la moneda. Tú sabes perfectamente qué lado muestra la moneda. Yo no, pero no porque no esté definido en sí mismo, ni porque sea imposible conocerlo, sino porque no tengo toda la información que es posible tener sobre la moneda. En el caso de la moneda hay una diferencia muy intuitiva entre el “estado real” de la moneda y el “estado de información” que representa mi conocimiento sobre la moneda, ya que no tengo más que preguntarte (por ejemplo) para cambiar mi conocimiento sobre la moneda sin cambiarla a ella. Son conceptos claramente separados.

En el caso de un electrón, un fotón o un átomo, es mucho más difícil saber si lo que conozco sobre ellos es todo lo que se puede conocer o no lo es. Por eso en esos casos es muy complicado saber si lo que conozco es el “estado de información” o el “estado real” de lo que estoy estudiando. Las ecuaciones de la cuántica no distinguen entre ambos, pero eso no quiere decir que muchos físicos se conformaran con eso. Crearon interpretaciones de las ecuaciones y las predicciones que éstas realizaban.

Algunos de ellos, como Heisenberg y Bohr, desarrollaron la Interpretación de Copenhague, de la que ya hemos hablado en la serie con anterioridad, ya que ha sido durante décadas –y sigue siendo, aunque seamos conscientes de sus limitaciones– la interpretación más extendida de la cuántica. Esta interpretación se basa en varios principios, y varía bastante según a quién le preguntes. Sin embargo, aquí tienes los cuatro princpios esenciales expuestos por Bohr y Heisenberg; el primero debería ya ponerte las orejas alerta. La negrita es mía:

1. Un sistema está completamente definido por una función de onda, que representa el conocimiento del sistema por parte de un observador.

2. (Principio de indeterminación) No es posible conocer los valores de todos los observables del sistema al mismo tiempo; sí lo es establecer leyes probabilísticas sobre ellos.

3. (Principio de complementariedad) Las cosas tienen una naturaleza dual, y se comportan como partículas o como ondas, pero no como ambas a la vez.

4. (Principio de correspondencia) La descripción cuántica de sistemas macroscópicos tiende a la descripción clásica de esos sistemas, según la probabilidad tiende hacia la estadística en un número muy grande de medidas.

Como puedes ver, el primer principio de la Interpretación de Copenhague invalida el estado de la moneda como estado cuántico del sistema. Ese estado representa información, pero no toda la información que se puede tener sobre el sistema. Es información, pero no un estado cuántico, pues no todo conjunto de información sobre un sistema es un estado cuántico, sólo los que contienen toda la información del sistema lo son. Entender esta diferencia es esencial para comprender la diferencia entre esta interpretación y otras, y por qué el problema del gato no es una estupidez.

Por el contrario, si conozco la posición y el momento de una partícula con la máxima precisión posible (que no es infinita para ambos, como ya sabes), y escribo esa información sobre la partícula como objeto matemático, eso sí es un estado cuántico de acuerdo con la Interpretación de Copenhague, porque conocido ese objeto matemático se conoce el sistema tan bien como es posible conocerlo. Siento ser repetitivo, pero este concepto es fundamental.

Ese primer principio produjo un intensísimo escozor mental a muchos físicos, ya que supone la verdadera ruptura con las ideas anteriores de realidad objetiva, como hemos mencionado ya anteriormente en El Tamiz. No es que un estado cuántico sea probabilístico porque no hayamos obtenido toda la información del sistema: el estado cuántico es toda la información del sistema. En resumen: Dios sí juega a los dados. Esto era inaceptable para muchos, entre ellos Einstein y Schrödinger, que trataron de encontrar agujeros en la interpretación de Copenhague y de proponer otras alternativas.

Es importante que entiendas, antes de que discutamos otras interpretaciones alternativas de la mecánica cuántica, que divagar es fácil, pero no siempre es ciencia. Una interpretación es científicamente relevante, entre otras cosas, si es falsable. Yo podría decir, por ejemplo, que es imposible conocer a la vez la posición y la velocidad de un electrón porque, cuando intento medir una, un demonio invisible (que nunca jamás podríamos ver de ningún modo porque no está en nuestro Universo, pero es capaz de afectarlo imperceptiblemente) le da un golpe al electrón y lo mueve o altera su velocidad. Y eso puede ser interesante o divertido, pero no es ciencia.

Einstein discutió durante bastante tiempo con Bohr y sus partidarios, y ya hemos dedicado un artículo a esos debates. Allí hablamos de la paradoja EPR, que Einstein publicó junto con Podolsky y Rosen en 1935. El mismo año, en parte como reflexión ante esa paradoja, Erwin Schrödinger propuso otro experimento mental que trataba de mostrar lo absurdo de llevar la interpretación de Copenhague a sus últimas consecuencias: la paradoja del gato de Schrödinger.

El artículo de Schrödinger, en la revista alemana Die Naturwissenschaften (Las Ciencias Naturales), es bastante largo, y trata de desmontar las ideas de Bohr y compañía de diversas maneras. En lo que se refiere al gato, la parte más memorable del artículo, Schrödinger intenta mostrar cómo es fácil suponer que un estado cuántico representa absolutamente la información completa de un sistema cuando hablamos, por ejemplo, del espín de un electrón, o de la probabilidad de que una partícula sufra el efecto túnel, pero no cuando hablamos de cosas macroscópicas.

Sin más preámbulos, aquí tienes una traducción del párrafo en cuestión:

Pueden incluso plantearse casos bastante absurdos. Un gato está encerrado en una cámara de acero, junto con el siguiente aparato (que debe ser protegido frente a una posible injerencia por parte del gato): en un contador Geiger hay una minúscula cantidad de una sustancia radioactiva, tan pequeña que tal vez, en el transcurso de una hora, uno de los átomos se desintegre, pero también, con igual probabilidad, ninguno lo haga; si sucede, el tubo del contador Geiger se descarga y, a través de un relé, libera un martillo que rompe un pequeño frasco de acido cianhídrico. Si se deja este sistema aislado durante una hora, podríamos decir entonces que el gato seguirá vivo si ningún átomo se ha desintegrado. La función de onda de este sistema expresaría esto incluyendo el gato vivo y el gato muerto (perdón por la expresión) mezclados o esparcidos a partes iguales.

Es decir, como hay un 50% de probabilidades de que se haya desintegrado algún núcleo y un 50% de que no, hay un 50% de probabilidades de que el gato esté vivo y un 50% de que esté muerto, y no estaré seguro de cuál de las dos posibilidades es real hasta que abra la caja. De acuerdo con la notación de Dirac que expliqué en los artículos anteriores, podemos describir el estado del gato antes de abrir la caja así: . Pero ¿qué quiere decir eso exactamente? Es una cosa hablar de estados del núcleo que se desintegra o no, y una muy distinta de algo, como un gato, que es cercano a nuestra experiencia. ¡O el gato está vivo, o está muerto! ¿O no?

El experimento mental de Schrödinger plantea preguntas fundamentales sobre el concepto de estado y de realidad, de observación y localidad, como veremos luego; preguntas que toda interpretación de la mecánica cuántica que se precie debe responder. De hecho, una manera relativamente sencilla de presentar una interpretación determinada de la cuántica es responder a la pregunta, ¿Cómo se describe el caso del gato de Schrödinger con esta interpretación?.

Por ejemplo, supón que eres un partidario de Einstein, y piensas que la naturaleza probabilística de la cuántica no se debe a propiedades inherentes a la materia, sino a que no conocemos todas las variables del sistema. ¿Cómo explicarías entonces el caso del gato de Schrödinger? Básicamente así: el gato está en todo momento vivo o muerto. Si digo que el gato está , estoy diciendo más sobre mi propia información sobre el problema que sobre el propio gato. Mi información es incompleta; desconozco si se ha desintegrado un núcleo o no porque estoy tratando el problema de manera probabilística debido a mi conocimiento parcial sobre el comportamiento de los átomos. Si tuviera en cuenta todas las variables del problema, el estado del gato siempre sería o .

El gato según Einstein: o está vivo o está muerto, independiendemente de que lo miremos o no. Crédito: Wikipedia/FDL.

Por lo tanto, cuando abro la caja no sucede nada especial: el gato es el mismo de antes. El estado del gato cambia simplemente porque lo hace mi información sobre él, y entonces lo conozco perfectamente. Dicho mal y pronto, según Einstein el gato no está borroso, es que nosotros tenemos unas gafas mal ajustadas, tenemos que buscar unas mejores.

Heisenberg, por el contrario, frunciría las cejas ante la explicación de Einstein. Lo que sucede, según la versión más “dura” de la Interpretación de Copenhague, es que el estado es toda la información que es posible obtener sobre el gato. A efectos prácticos, para un científico que se enfrenta al problema, es el gato. La indeterminación sobre su estado no se debe al hecho de que no conozcamos bien el comportamiento de los átomos y sus desintegraciones: se debe al hecho de que una partícula en un pozo de potencial finito puede escapar de él en cualquier momento y no es posible asegurar cuándo lo hará, ni siquiera si lo hará, sólo realizar predicciones probabilísticas.

El gato según Heisenberg: Hasta que lo miramos, el gato está . Crédito: Wikipedia/FDL.

Cuando abro la caja, la función de onda se colapsa y mido uno de los autoestados del gato. Es decir, según Heisenberg el gato está borroso y se hace nítido al abrir la caja. No tiene sentido preguntarse sobre si “realmente” estaba vivo o muerto antes de ese momento, ya que no hemos medido el observable.

Tanto la interpretación de Einstein como la de Heisenberg tienen problemas serios, y hablaremos de ellos (y de otras interpretaciones alternativas, como los Universos paralelos y otras aún más raras) más adelante, pero la importancia del experimento mental de Schrödinger es cómo diferencia las distintas interpretaciones a un nivel que es fácil de entender, ya que se refiere a algo que podemos imaginar fácilmente e incluso experimentar en cierto sentido. Es algo mucho más cercano que un núcleo atómico o un fotón.

En él se ponen de manifiesto algunas lagunas enormes de la Interpretación de Copenhague, como el propio hecho de la medida: ¿qué es “medir” en este experimento? ¿Abrir la caja? ¿Cómo modifica al gato el que yo abra la caja, cuando la desintegración se ha producido (o no) en el pasado? ¿Qué es lo relevante, el hecho de que yo conozca el resultado o el proceso físico de la medida? ¿Por qué se trata cuánticamente al gato y la caja, pero no a mí ni al proceso de medida?, etc.

Además, el hecho de que el gato sea un ser vivo plantea preguntas adicionales: ¿cuál es el estado del gato para el propio gato? ¿es el mismo que para mí, que estoy fuera de la caja? Si abro la caja y el gato sigue vivo, debe tener recuerdos de lo que sucedió antes; ¿se recuerda a sí mismo siempre vivo, o como una superposición de vivo y muerto? Es más, si una persona diferente de mí abre la caja, ¿qué le sucede al estado del gato? Si en vez de un gato meto en la caja a una persona que puede relatar con posterioridad lo que ha sucedido, ¿qué contaría?

En resumen, el experimento del gato muestra la clave de las diferencias entre unas interpretaciones y otras: ¿es el estado cuántico una entidad con existencia propia, es sólo una abstracción de mi conocimiento incompleto, o no tiene sentido hacerse esa pregunta?

Afortunadamente, las interpretaciones de la cuántica (las interpretaciones científicas, debería decir, porque hay mucho charlatán por ahí) realizan predicciones que pueden comprobarse empíricamente, y algunas son predicciones incompatibles con otras interpretaciones. Es posible diseñar experimentos que demuestren que una u otra característica de una interpretación concreta es falsa o verdadera, aunque algunos de estos experimentos no se hayan realizado aún por problemas prácticos (otros sí lo han hecho, y hablaremos de ellos en el futuro).

El experimento mental del gato es importante además porque, en él, Schrödinger hace mención de un término que hoy en día utilizamos hasta la saciedad y tiene implicaciones muy serias, según la interpretación que le demos. Este término es Verschränkung, que podemos traducir como entrelazamiento o, más específicamente (para no confundir), entrelazamiento cuántico. Existe, en el caso del gato y la muestra de material radioactivo, una conexión íntima entre sus estados cuánticos — están entrelazados. A este concepto dedicaremos la siguiente entrega de la serie, dentro de unos días.

Para saber más:

• Schrödinger’s cat
• Artículo de Schrödinger (traducción al inglés, no he logrado encontrarlo libre en alemán)

Por tercera semana consecutiva seguimos enzarzados en la serie Cuántica sin fórmulas, tratando de desentrañar los secretos de los estados cuánticos. Hace dos semanas hablamos acerca del concepto de estado cuántico, y la semana pasada lo hicimos sobre un tipo de estados especiales: los eigenestados, estados propios o autoestados de un observable determinado. Como espero que recuerdes, una de las propiedades fundamentales de los autoestados era que se trataba de lo que llamamos “estados incompatibles”. Como dije entonces, esta propiedad proporciona a los autoestados una enorme potencia para describir cualquier otro estado cuántico del sistema (al menos, en lo que se refiere al observable al que describen). Hoy nos centraremos precisamente en esto, y trataremos de escribir cualquier estado de nuestra “moneda cuántica” en función de sus estados propios utilizando, por supuesto, la elegante notación bra-ket de Dirac. Hablaremos sobre las superposiciones cuánticas, utilizando las mismas simplificaciones abyectas de los artículos anteriores.

La cara de Cthulhu tras enfrentarse a los espacios de Hilbert. Crédito: Wikipedia/FDL.

Para empezar, debemos profundizar algo más en el concepto de “estados incompatibles”, puesto que si no conoces cálculo vectorial –y no parto de la base de que lo conozcas– no es sencillo entender las implicaciones del hecho de que, por ejemplo, . Naturalmente, de lo que sí parto es de que entiendes la expresión que acabo de escribir; si no es así, mejor retrocedes a los artículos anteriores.

Los dos eigenestados de la moneda, y , establecen las dos únicas posibilidades que pueden medirse del observable lado de la moneda; cualquier otro estado se “colapsa” a uno de estos dos estados una vez que observamos la moneda. Es más: cualquier estado anterior, como vimos en las entradas anteriores, viene a ser una medida de la probabilidad de que, al observar la moneda, su estado sea o .

Es como si cualquier estado pudiera ser “completamente “, “completamente “, o una combinación de los dos: “casi completamente y un poquito “, “prácticamente pero un poco “, “medio y medio “, etc. Es decir, puede pensarse en los estados de la moneda como superposiciones de los dos autoestados. Esto es posible, precisamente, por la “estúpida propiedad” que mencionamos en el artículo anterior: la incompatibilidad de los dos estados o, matemáticamente, por la perpendicularidad entre los dos autoestados .

Una manera bastante visual de representar las posibilidades del estado de la moneda es utilizar coordenadas espaciales: esto requiere cierta imaginación y que te abstraigas, pues no son coordenadas espaciales del espacio euclidiano. Imagina que dibujamos dos ejes: voy a llamar al eje horizontal “eje cara” y al eje vertical “eje cruz”. Ambos ejes van de 0 a 1 (porque, si sabes algo de cuántica, como hicimos en la entrada anterior suponemos que los estados están normalizados y ese 1 significa “100%”), con lo que al final, tenemos un cuadrado de lado 1 como éste, en el que el origen –el punto – está en la esquina inferior izquierda:

Mi intención es ahora convencerte de que podemos representar cualquier estado posible de la moneda en ese cuadrado. Empecemos por los dos más evidentes: el estado está puramente sobre el “eje cara” horizontal, y no tiene absolutamente nada de “cruz”, con lo que sus coordenadas en nuestro cuadrado serían , y en el dibujo se encuentra aquí:

Lo mismo sucede con el otro autoestado, : en este caso, por supuesto, sucede al contrario. No tiene nada de “horizontal” (cara) y es completamente “vertical” (cruz), de modo que sus coordenadas en nuestro cuadrado son :

Cualquier otro estado de la moneda puede dibujarse como un punto dentro del cuadrado, pero ¡ojo!, es fundamental que entiendas este breve párrafo para comprender realmente la naturaleza de nuestra representación de estados en función de y : todos los estados posibles son puntos dentro del cuadrado, pero no todos los puntos del cuadrado son estados posibles.

Por ejemplo, fíjate en el punto :

¡Es imposible que ese punto se corresponda con un estado de nuestra moneda! Significaría que ese estado es un 100% y un 100% a la vez, ¡absurdo! Como recordarás, en el artículo anterior definimos como el “grado de compatibilidad” de un estado con otro, y dijimos que su valor máximo era 1, cuando ambos estados eran el mismo. Aunque no voy a entrar en cálculo vectorial aquí, esa condición, en nuestro cuadrado, se traduce al hecho de que la distancia de cualquier estado al origen debe ser exactamente 1. Esto garantiza, entre otras cosas, que la probabilidad de observar “cara” o “cruz” al mirar la moneda sea siempre del 100% en total.

Puedes mirarlo de este modo: cualquier estado que no esté a una distancia 1 del origen no puede ser un estado real, porque al sumar las probabilidades de obtener “cara” y de obtener “cruz” al medir el valor del lado de la moneda, obtendríamos un valor de menos del 100% (en cuyo caso la moneda puede estar en algún estado que no es ni al observarla y, entonces, hay algún autoestado que no habíamos considerado) o mayor del 100% (y entonces a veces es posible que la moneda esté al mismo tiempo en y , lo cual significa que esos estados no son autoestados). En cualquiera de los dos casos habríamos metido la pata: o faltan autoestados en un caso, o no son autoestados en el otro.

¿Ves ahora qué puntos de nuestro cuadrado sí se corresponden con estados posibles de la moneda? Si sabes geometría, probablemente ya lo ves: los puntos del interior del cuadrado que están a una distancia de 1 del origen, es decir, un cuarto de circunferencia. Pero hay una forma muy fácil de verlo, incluso si no estás muy puesto en geometría. Puesto que cualquier estado real de la moneda está a una distancia de 1 del origen (es decir, de la esquina inferior izquierda de nuestro cuadrado), imagina que tenemos una barra de longitud 1, y que ponemos un extremo justo en la esquina inferior izquierda: el otro extremo se encuentra siempre a una distancia 1 de ese punto, con lo que cualquier estado real de la moneda está sobre el otro extremo de la barra — si ahora movemos la barra (siempre con un extremo sobre el origen), el extremo opuesto “pinta” todos los posibles estados de la moneda, es decir, todos los puntos del cuadrado que distan 1 del origen:

Pensemos un momento en las consecuencias de lo que acabamos de hacer, que es bastante más profundo de lo que puede parecer en un principio:

En primer lugar, fíjate en ese trozo de circunferencia que acabamos de dibujar, y que representa gráficamente todos los estados posibles de la moneda. Como dijimos en la entrada anterior, hay infinitos estados, puesto que esa línea contiene infinitos puntos. Dos de ellos son especiales: los que se encuentran justo sobre los ejes, es decir, y , que se corresponden con y . Permite que los escriba de una manera un tanto estúpida pero que –espero– pronto sea reveladora: , y .

Cualquier otro estado posible de la moneda puede expresarse como un punto de ese cuadrado. Pero fíjate en lo que esto significa: las coordenadas e del punto nos indican cuánto de y cuánto de tiene. Es decir, el punto representa un estado que podemos escribir como :

En nuestras coordenadas del cuadrado, ¿cómo escribiríamos el estado del que hablamos hace dos artículos? Si lo recuerdas, se trataba del estado de la moneda cuando Dirac había agitado la caja una vez y nadie había mirado aún dentro de ella. Es posible que tu primer impulso sea decir que , pero fíjate en nuestro cuadrado: el punto que representa ese estado, es decir, el punto no está a una distancia 1 del origen, está en el interior de la circunferencia, no sobre su borde.

No voy a entrar aquí en fórmulas matemáticas, pero gráficamente creo que es fácil ver que el punto que tiene “lo mismo de cara que de cruz” es el punto que se encuentra justo en el medio de nuestro arco de circunferencia, y sus coordenadas se pueden calcular utilizando el Teorema de Pitágoras (sumando el cuadrado de los dos catetos, es decir, las dos coordenadas e , debe obtenerse la hipotenusa, es decir, 1). Sólo hay un punto que tenga lo mismo de cara que de cruz y diste 1 del origen:

Las coordenadas de ese punto, por si te interesan, son , y el estado sí puede escribirse como . Por supuesto, cualquier otro estado también puede escribirse como una combinación “ponderada” de los autoestados.

En segundo lugar, piensa en lo que acabamos de hacer: hemos representado todos los estados posibles de la moneda en un “sistema de coordenadas” que acabamos de inventar, en el que hemos empleado los dos estados propios como dimensiones. Hemos creado, por lo tanto, un espacio conceptual de dos dimensiones, dentro del cual se encuentran localizados (conceptualmente, claro) absolutamente todos los posibles estados de la moneda. No sé a ti, pero a mí esto me parece algo apabullante: los infinitos estados, constreñidos a una línea imaginaria (el arco de circunferencia) en un espacio conceptual cuyas dimensiones son los propios eigenestados del sistema.

No es necesario, por lo tanto, realizar complejos cálculos para determinar todos los posibles estados de la moneda: sólo hace falta calcular dos estados. Para cualquier otro estado sólo tenemos que calcular dos números: sus coordenadas en nuestro espacio bidimensional cara-cruz. Sí, a veces puede ser peliagudo calcular esos dos números, pero no me negarás que es una tarea menos imponente que enfrentarse a los infinitos estados posibles “a pelo”.

Pero es que hay mucho más: ten en cuenta que, hasta ahora, hemos trabajado con nuestra moneda, el sistema más simple que he podido imaginar. Creo que estamos listos para ir más allá. Imagina que tenemos un sistema algo más complejo que la moneda, aunque no mucho más: un dado de seis caras. En este caso voy a describir el sistema, los autoestados y todo lo demás bastante más rápido que en el caso de la moneda, porque parto de la base de que tienes el sistema de la moneda superado.

Simplificando todo lo necesario, nuestro sistema –el dado– tiene un observable, el lado que muestra al mirarlo. Al lanzar el dado, éste puede mostrar seis posibles valores del observable lado, es decir, puede mostrar 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Estos seis valores se corresponden, por supuesto, con los seis autoestados del sistema, que son los seis estados en los que puede encontrarse el dado una vez que lo hemos lanzado. Llamemos a estos seis autoestados como sus valores asociados, para que sea evidente cuál es cuál: , , , , y .

¿Cómo representar todos los demás estados del dado que no son autoestados? Pues, una vez más, utilizando los autoestados como las dimensiones de nuestro espacio conceptual. En este caso, y se trata de un simple y vulgar dado, ya aparecen cosas bien abstractas: no se trata ahora de un espacio de dos dimensiones, como en el caso de la moneda, ni de tres dimensiones como el que vemos con los ojos cuando miramos al mundo… se trata de un espacio de seis dimensiones, las correspondientes a los seis estados propios del dado.

Como comprenderás, en este caso no puedo utilizar dibujos para ayudarte a verlo, porque Geli todavía no ha aprendido a dibujar en 6D, pero sí podemos intentar imaginar –hasta donde es posible– a qué equivale la cosa. En el caso de la moneda teníamos dos dimensiones y dos coordenadas, ahora tenemos seis. En este espacio imaginario, cualquier estado del dado podría escribirse como un punto , donde esas letras son las coordenadas del punto en el espacio. Todos los estados posibles del dado son puntos de ese tipo pero, una vez más, no todos los puntos posibles son estados del dado. No hace falta dibujar nada para ver esto: por ejemplo, creo que estarás de acuerdo conmigo en que el punto no es un estado posible, está “fuera de la circunferencia”.

Pero, claro, ahora no hay una circunferencia: estamos hablando de seis dimensiones. Imagina –para que sea más fácil de ver– que hubiéramos aumentado las dimensiones, pero no hasta seis, sino hasta algo más asequible: tres dimensiones, algo que sí podemos visualizar. En ese caso, la condición que pusimos (los puntos posibles son aquéllos que están a una distancia 1 del origen) se traduciría, no en los puntos del cuadrado que disten 1 del origen, es decir, un cuarto de circunferencia, sino en los puntos de un cubo de tres dimensiones que disten 1 del origen, es decir… una esfera. Si tienes visión espacial, espero que no tengas problema para ver eso — el conjunto de puntos del espacio que distan 1 de un punto determinado constituye una esfera en tres dimensiones.

En seis dimensiones, por supuesto, no aparece una esfera, pero la condición sigue siendo la misma: es el conjunto de puntos que están a una distancia 1 del origen. La generalización del concepto de “esfera” a un espacio de n dimensiones recibe el nombre de hiperesfera o n-esfera, y es lo que se obtiene en este caso. Sé que suena un poco a ciencia-ficción, pero los infinitos estados posibles del dado constituyen una hiperesfera en el espacio de seis dimensiones formado por los autoestados.

Sistema de descripción hiperesférica hexadimensional, vulg. “dado”. Crédito: Wikipedia/FDL .

Por ejemplo, el estado del dado justo antes de lanzarlo (suponiendo que no hacemos trampa y que nada favorece que salga un lado más probablemente que otro) es un estado que tiene lo mismo de todos los autoestados. No, no es de cada uno, porque entonces la distancia no sería 1: recuerda el caso de la circunferencia y cómo las coordenadas del “punto medio” no eran , sino . En este caso sucede lo mismo, y podemos escribir el “punto medio” entre todos los estados como .

En notación bra-ket, si llamamos al estado del dado antes de lanzarlo , podemos decir que . Quitémonos un sombrero n-dimensional ante Paul Dirac y compañía, señores.

Ah, pero la cosa no acaba aquí: si crees que los cuánticos se conforman con trabajar con espacios de seis dimensiones es que los subestimas. Apliquemos nuestra nueva “representación espacial” a un caso aún más complejo, y del que hemos hablado ya en la serie anteriormente: el pozo de potencial infinito. Si te hace falta, no dudes en releer la entrada antes de seguir con este artículo.

Como recordarás, una partícula dentro del pozo infinito no podía tener cualquier energía: sólo podía tener unos valores determinados. El valor más pequeño era el correspondiente al estado fundamental, y según aumentaba el número de nodos de la onda lo hacía también la energía que medíamos al mirar al electrón. ¿Qué quiere decir todo esto en los términos que venimos manejando ahora? En primer lugar, el observable que estamos midiendo en este caso es la energía del electrón, y cuando lo hacemos obtenemos una serie de posibles valores — no todos son posibles, sino sólo los correspondientes a los “escalones” que describimos en aquella entrada.

Es decir, las energías de cada escalón (la del estado con dos nodos, la del de tres, la del de cuatro, etc.) son los autovalores de la energía del sistema. Y los estados del electrón que describimos entonces son los autoestados del sistema. En aquel entonces nos limitamos a cavilar sobre lo que sucedía cuando mirábamos al electrón, pero ahora estamos listos para describir el estado del electrón en cualquier momento, no sólo al medir su energía.

Pero ahora la cosa es todavía más abstracta que en en el caso del dado. Como espero que recuerdes de aquel artículo sobre el pozo infinito, existen infinitos escalones de energía. Es decir, al construir ahora nuestro “espacio conceptual” utilizando los autovalores del electrón como las dimensiones del espacio… hay infinitas dimensiones, una por cada autoestado posible del electrón.

Llamemos, por ejemplo, al estado fundamental del electrón (la onda de dos nodos en los extremos), al siguiente “escalón”, al siguiente, etc. Entonces, cualquier estado posible del electrón –antes o después de mirarlo– puede expresarse como un punto en un espacio de infinitas dimensiones, cuyas coordenadas serán . Sí, dentro del paréntesis hay infinitas coordenadas. Raro, ¿eh?

En nuestra notación de Dirac, cualquier estado del electrón puede escribirse como y así hasta el infinito. Naturalmente, algunos de los estados posibles del electrón no son sumas infinitas, porque tal vez no incluyen a todos los autoestados, sino que muchas de sus coordenadas son cero. Por ejemplo, supongamos que el electrón se encuentra “a medias” entre los estados , y . Entonces, su estado será (recuerda que la distancia debe ser siempre 1, y las raíces correspondientes) .

Pero, por supuesto, otros estados sí pueden involucrar infinitas coordenadas no nulas. Es decir, en general, un estado cuántico se corresponde con un punto cualquiera de una hiperesfera en un espacio de infinitas dimensiones. Podrías pensar que, llegados a este punto, sólo hay dos opciones: asumir la propia demencia y hundirse en un mundo de ilusión y fantasía delirantes, o abandonar cualquier esperanza de estudiar estas cosas. Sin embargo, curiosamente, para cuando la cuántica alcanzó este grado de madurez, las matemáticas ya habían llegado hasta aquí.

Sí, puede resultar extraño, pero alguien había definido ya el concepto de un espacio parecido al euclídeo que podemos ver, pero con infinitas dimensiones, y había desarrollado las matemáticas necesarias para operar con esos espacios. Ese genio –porque no merece otro calificativo– no es otro que David Hilbert, que ya ha aparecido en El Tamiz hace un tiempo (también hablando en aquella ocasión del concepto de infinito). Y estos espacios conceptuales reciben el nombre, en su honor, de espacios de Hilbert.

Puede parecer que no es posible algo más abstracto y difícil de imaginar que el caso del pozo infinito y similares, pero lo hay; no vamos a hablar de ello hoy, porque tiene sutilezas que deberíamos preparar mejor, pero si conoces la diferencia entre un número infinito pero contable y otro incontable (como, por ejemplo, la diferencia entre los números naturales y los números reales) puedes comprender el horror en el que puede convertirse todo esto: en el caso del pozo infinito existen tantos estados como números naturales hay… pero también es posible tener un número infinito e incontable de dimensiones en un espacio de Hilbert. Por ejemplo, recordarás que la energía de un sistema cuántico “encerrado”, como el electrón en el pozo infinito, sólo puede tomar valores escalonados… pero esto no sucede para un sistema libre: un electrón –por decir una partícula concreta– que viaja libre por el espacio puede tener cualquier energía. Entonces, los infinitos autoestados del sistema no son valores discretos, sino cualquier valor real de la energía. Tenemos entonces un espacio ∞-dimensional con tantas coordenadas como existen números reales. Si no puedes imaginarlo, bienvenido al club: ¡cállate y calcula! (al menos a ti, a diferencia de mí, alguien ha intentado explicártelo en términos que pueden comprenderse hasta cierto punto).

Además, lo que acabamos de describir son estados cuánticos puros; también existen, cuando el sistema consta de muchas partículas, por ejemplo, estados cuánticos mixtos en los que la estadística tiene aún más que decir, pero por ahora no nos preocuparemos de ello — simplemente recuerda que, aunque esto sea complicado, aún hay más complicaciones en la formulación cuántica moderna. Pero, por otro lado, si has entendido esto no dejes que el hecho de que existan otras complicaciones te quite la satisfacción de haber comprendido algo realmente complejo. ¡Saborea el momento!

Dentro de unas semanas continuaremos nuestro viaje por las procelosas aguas de la física cuántica aplicando estos conceptos a otros sistemas que ya hemos estudiado antes, pero primero volveremos a otras series más pedestres que tenemos abandonadas, como la del Sistema Solar. Entre otras cosas, la OMS recomienda no leer más de tres entradas seguidas sobre cuántica, “[...] o la mente del lector puede ser empujada más allá de los débiles límites de la cordura de modo que las simples tres dimensiones del espacio euclídeo se difuminen, revelando un Universo en el que los mitos de Cthulhu parecen cuentos de abuela”. Hasta la próxima, en la que hablaremos del gato de Schrödinger.

El crédito de todas las imágenes es de Geli J. Crick, Licencia Creative Commons 2.5-España de Atribución, Sin obras derivadas y No comercial (como atribución basta incluir este mismo mensaje y un enlace a este artículo).

Para saber más:

• Hypersphere

• Espacios de Hilbert