El Tamiz

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Desafíos - Los koalindres colgantes

Hace ya unos tres meses del último desafío, el de la pendiente infinita. Espero que vuestras neuronas se hayan recuperado y tengáis el lápiz y el cerebro afilados, porque hoy vamos con uno nuevo, el último de este curso escolar.

Si no conoces nuestros desafíos, aquí tienes la presentación y la lista de todos los publicados hasta el momento.

Para quienes aprovecháis estos desafíos para refrescar conceptos vistos en el colegio, hoy os hará falta recordar las poleas. El lugar más eficaz seguramente es el artículo de Wikipedia sobre la máquina de Atwood, ya que como veréis es el núcleo del desafío de hoy.

¿Listos? Vamos con él.

Los koalindres colgantes

La fauna de Wotoda II es peculiar: hay criaturas de veneno tan tóxico que sólo pensar en él mata, carroñeros tan voraces que devoran sus propios cadáveres, plantas herbívoras terroríficas… y los koalindres.

El koalindre es un ser parecido al koala, pero con la capacidad de desdoblarse en dimensiones arbitrarias, tanto las espaciales como la temporal. Así, es posible ver hoy a un koalindre al que uno conocerá mañana, o encontrarse a una manada de cuatro koalindres que ocupan doce árboles, tres árboles cada uno.

Muchos zoos de la Galaxia tienen koalindres: es muy barato, ya que uno o dos de ellos pueden llenar una jaula más bien grande, y es baratísimo mantenerlos. Lo que más les gusta a estas criaturas, aparte de los pistachos, es colgarse de ramas, cuerdas y cosas así. Cuantas más ramas, cuerdas y similares hay en la jaula, más copias de sí mismos hacen los koalindres, ya que les encanta jugar y no quieren dejar ningún juguete vacío.

De modo que, en cierta ocasión, un zoo dirigido por un Alienígena Matemático de gran experiencia decidió hacer un experimento: crear un juego de poleas con cuerdas, de modo que hubiese infinitas poleas, y meter un único koalindre en la jaula. La criatura, con total seguridad, crearía copias de sí misma para colgarse de cada polea… pero, dado que había infinitas poleas, habría infinitos koalindres. Una atracción irresistible para el zoo.

Todo funcionó a la perfección. El koalindre se colgó de la primera cuerda, e inmediatamente realizó copias espaciales de sí mismo para colgar de todas las otras cuerdas, ¡infinitas copias idénticas! La situación inicial era la que se muestra en la figura, con los infinitos koalindres colgando uno de cada cuerda, y cada una de una polea hasta la inicial, colgada del techo:

Koalindres colgantes

Inicialmente todo el sistema estaba en reposo pero, naturalmente, no estaba en equilibrio, y se puso a acelerar. Y ahí está la pregunta del desafío, que esta vez es sólo una: ¿qué aceleración tiene el primer koalindre? (el más cercano al techo).

Datos para los pejigueros:

  • Todos los koalindres son copias del mismo, luego son todos absolutamente idénticos, con la misma masa M.

  • No hay absolutamente ningún rozamiento, ni en las cuerdas, ni poleas, ni con el aire, ni nada de nada.

  • Todas las poleas son de masa despreciable, lo mismo que las cuerdas, luego cada cuerda tiene la misma tensión en todos sus puntos.

Dejaré los comentarios de esta entrada abiertos por si alguien tiene alguna duda, pero por favor, no deis pistas ni pongáis soluciones aquí. Tenéis hasta el martes 10 de junio para enviar las soluciones a desafios@eltamiz.com. No importa lo pronto que se envíe una solución, sino que sea correcta, que sea clara y esté bien explicada para que puedan entenderla quienes no han podido llegar a la solución buena.

Como siempre, es posible hacerlo en equipo, es posible utilizar programas de ordenador, mejor aún si los ha hecho uno mismo, y lo importante no es llegar a la solución correcta sino disfrutar peleando hasta el final. ¡A por él!

Desafíos

15 comentarios

De: Venger
2014-06-04 19:30

Glub... otro desafío... qué temor...

Me iré mentalizando poco a poco para resolverlo y deprimirme como siempre cuando vea la solución

De: Pedro
2014-06-05 21:35

He tenido que borrar algún comentario con intentos de solución... por favor, no pongáis soluciones en los comentarios. Dudas sí, soluciones no :P

De: Sergio B
2014-06-06 08:51

A mi me ha liado un poco el articulo de la wikipedia por que creo que cuando dice que aplica la segunda ley de newton, me parece que lo hace un poco peregrinamente, es la segunda vez que lo hace y no veo la necesidad de hacerlo ya que se puede solucionar sin esa parte del razonamiento. Pero vamos, que una vez pasado la confusion estar esta bien. Por si ha alguien le pasa, que no se atasque en eso.

De: Miguel
2014-06-06 11:52

Tengo la duda de si hace falta la gravedad, supongo que si no la das es porque hay que cancelarla de alguna forma...

De: Pedro
2014-06-06 17:51

Miguel, puedes poner la aceleración en función de la gravedad, no hace falta calcularla: es g, 2g, g/2, o lo que sea.

De: Macluskey
2014-06-07 09:31

Mmmm... ¡Infinitas poleas! Guau!

Eso significa un peso infinito colgando del techo.

Pedro: ¿Me podrías enviar la dirección del arquitecto que diseñó ese techo y del albañil que lo construyó? Es que tengo que hacer obra en casa, y seguro que estos lo harían bien... ;)

Saludos

De:
2014-06-07 19:14

Cuidado con el albañil que igual hizo trampa. Si impides moverse a todos los bichitos y cuerdas seguro que el peso es infinito yse cae el techo! Esto me recuerda que cuando estoy muy gordo me peso en el ascensor y cuando arranca peso menos (o al menos eso dice la balanza) :) Va por ahi la cosa? Macluskey eres un capcioso :) Saludos

De:
2014-06-07 19:17

Duda en serio: no tengo claro la relacion entre la tension en la cueda que soporta a una cualquiera de las poleas intermedias y las tensiones en la cuerda que descansa en esa polea. A la polea en si misma no le puedo aplicar la l de newton porque no tiene masa,supongo saludos

De: Mmonchi
2014-06-07 23:46

Macluskey, yo me lo pensaría dos veces antes de contratar una obra a un alienígena matemático. Recuerda la baldosa del Palacio de Nholeghoveck y la factura que presentaron... ;-)

De: guillermo
2014-06-08 19:46

Huy! Antes he puesto un intento de solución, sorry!

Bueno, que gracias por la web!

De: bevender
2014-06-09 10:20

Mmonchi Caro,era caro... Pero el trabajo eta de calidad ;P

De: Cristian
2014-06-09 14:49

En comparación con anteriores, "facilito". Me han encantado los koalas "koantejos".

El truco está en calcular a cuanto dista del radio de Schwarzchild, R(m). [broma], pero un experimento llevado acabo en la luna...

De: Jnrioja
2014-06-10 23:14

Yo tengo una solución, pero no debo ponerla aquí ¿no?

De: bevender
2014-06-11 13:14

Mmonchi Caro,era caro... Pero el trabajo eta de calidad ;P

De: txuripoket
2014-06-14 11:07

hola: enhorabuena pedro por el desafio y por la pagina y toda tu labor didactica. he estado de vacatas y no he podido enviar mi desafio. me he animado a escribir porque lo he planteado un poquito diferente y queria saber si te parecia bien planteado. lo he tenido que escrbir sobre el dibujo de mi hijo (es lo q hay) pero no se como enviarlo.

lo que he hecho ha sido por equilibrio de fuerzas y me han salido un par de ecuaciones:T es tension;A aceleracion;G gravedad; n es el enesimo;M masa; la de la izda: Tn=(An+G)M por la drcha: 2Tn+1-Tn=An(sumatorio de todas las M menos 1(la primera)) pero al ser todas las masas iguales eso es igual a: 2Tn+1-Tn=AnM(n-1) si igualamos las 2 ecuaciones sale q: 2M(An+1+G)-M(An+G)=AnM(n-1) simplificando sale:

2An+1=An*n si aplicamos a n=1

A1=2*A2

y como el sumatorio de todas las aceleraciones es G

A1+A1/2+....+A1/(2 a la n)=G

por lo tanto

A1=G/2

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