El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Desafíos - La pendiente infinita (solución)

Hoy publicamos por fin la solución y los finalistas y ganador del desafío de la pendiente infinita que planteamos hace unas tres semanas. La primera pregunta del desafío era relativamente sencilla: ¿cuál es la expresión del ángulo $\theta$ que forma la dirección de movimiento del objeto con la dirección “cuesta abajo”?

La relativa sencillez se debía, sobre todo, al hecho de que aunque no conocemos esa expresión sí sabemos su valor inicial y su valor al cabo de un tiempo muy largo. Inicialmente se nos indicaba que la dirección era perpendicular a la “cuesta abajo”, luego $\theta(0) = 90 ^{\circ}$, y el ángulo tiende, según pasa el tiempo, a hacerse más y más pequeño, hasta que en el límite de un tiempo infinito alcanza el valor $\theta(\infty) = 0 ^{\circ}$. De modo que, tras obtener una expresión del ángulo en función del tiempo, era posible al menos –aunque no asegurase que la respuesta fuese correcta– comprobar que sus valores para un tiempo nulo y un tiempo muy grande fuesen los correctos.

Muchos de vosotros habéis respondido correctamente a esta pregunta, que era el requisito para recibir la segunda. Sin embargo, algunos habéis explicado el proceso estupendamente bien. Una explicación clarísima es la de uno de los finalistas, José Manuel:

Antes de nada, realizamos un esquema de la situación y hallamos la expresión del ángulo θ. En mi caso he llamado VX a la velocidad en el sentido de la pendiente y VY a su perpendicular en el plano. Recordemos que el objeto tiene una velocidad inicial V0 precisamente en la dirección Y.

Pendiente Jose Manuel 1

$tan \theta = \frac{V_Y}{V_X} \Rightarrow \theta = atan \frac{V_Y}{V_X}$

En el caso ideal en el que no hay rozamiento, ni con la superficie ni con el aire, ambas velocidades pueden analizarse de manera totalmente independiente. ¿Por qué? Echemos un vistazo a las fuerzas que entran en juego:

Pendiente Jose Manuel 1

Como vemos, las únicas fuerzas sobre el cuerpo son la de la gravedad FG (descompuesta en las componentes X y Z) y la fuerza normal N, que es la que ejerce el plano sobre el cuerpo e impide que éste lo atraviese. Sin rozamiento, no existe ninguna fuerza en el eje Y. La normal y la componente de la fuerza de la gravedad se anulan en Z, de modo que la única fuerza resultante es la componente del peso en X. Es algo similar a lo que ocurre cuando se estudia un tiro parabólico: se considera la composición de dos movimientos, uno con velocidad constante y otro perpendicular, uniformemente acelerado.

Hallamos, por tanto, la fuerza resultante en X. Basta con conocer la expresión de la fuerza de la gravedad y hallar su proyección. Siendo m la masa del objeto y g la aceleración de la gravedad:

$F_G = mg \Rightarrow F_X = mg \sin \alpha$

Aplicamos la Segunda Ley de Newton:

$F_x = a_X m \Rightarrow a_x = \frac{F_X}{m}$

Ahora, dado que sólo existe una fuerza constante en esa dirección, estamos ante un movimiento uniformemente acelerado. Como además la velocidad inicial en esta dirección es nula:

$V_X = a_X t$

De manera que:

$V_X = g (\sin \alpha) t$

Como puede verse, la velocidad en X es independiente de la masa. Supongo que Galileo asentiría satisfecho.

La velocidad en el eje Y la conocemos desde el principio. Si, como hemos dicho, no hay fuerzas aplicadas en este eje, el cuerpo se seguirá moviendo en esta dirección con su velocidad inicial (Primera Ley de Newton).

$V_Y = V_0$

Por tanto ya tenemos ambas velocidades. θ queda:

$\theta = atan \frac{V_0}{g(\sin \alpha) t}$

Si quieres leer la solución de José Manuel con calma y con el formato original, que es mejor que el que yo muestro aquí, puedes descargarla aquí: Solución JM.

Quienes contestásteis correctamente a esta pregunta recibísteis la segunda parte, que era así:

Considera la siguiente modificación al problema: la situación es igual que antes, pero ahora hay rozamiento. El coeficiente dinámico de rozamiento con el plano inclinado es mu = tg30º (la tangente de 30º, si no se lee bien). Y la pregunta es – ¿cuál será el valor del ángulo theta al cabo de un tiempo muy, muy largo (puedes considerarlo infinito)?

Aquí es, por cierto, donde dudé entre esta pregunta y otra y al final metí la pata y os dije que teníais la respuesta mal a muchos que la teníais bien… burro que es uno. El caso es que la respuesta a la pregunta era que el ángulo tiende al mismo valor que antes, es decir, cero grados: el objeto termina moviéndose exactamente en la misma dirección que sin rozamiento, en dirección “cuesta abajo”.

Antes de incluir la respuesta de algún finalista, una nota que puede serviros a quienes respondisteis mal: la fuerza de rozamiento se dirige siempre en contra del movimiento. Algunos escribísteis la expresión de la fuerza de rozamiento en la dirección cuesta abajo y no en la perpendicular, y algunos la incluisteis en ambas pero con valor $5m$ en cada una, pero tanto una cosa como la otra está mal.

De hecho el problema con esta segunda pregunta era que, dado que la dirección de movimiento del cuerpo cambia con el tiempo, la dirección de la fuerza de rozamiento también lo hace, de modo que sus componentes X e Y sobre el plano tienen expresiones que varían en el tiempo según la velocidad del objeto gira. El módulo de la fuerza de rozamiento es constante, pero su dirección no.

Observa que en este caso no se pedía, como en la primera pregunta, la expresión de θ en función del tiempo, sino simplemente su valor en el límite de un tiempo infinito. Era posible razonar como hizo el segundo finalista, Bevender:

Si $\mu$ es tg30º, entonces la fuerza de rozamiento es $\mu$Normal= tg 30º cos 30º10 m/s^2masa=5m newtons.

Casualmente el modulo de la fuerza de rozamiento y la fuerza de caída hacia abajo son el mismo(5*masa newtons). [Nota del editor: De casualmente nada, era a propósito, como veréis en la tercera pregunta que se basaba en ésta]. Sin embargo, la dirección es distinta, al menos al principio, pues la fuerza de rozamiento es paralela al movimiento con sentido contrario.

Hallar el vector fuerza de rozamiento en mis coordenadas 2d, equivale a hallar 5*m(cos θ, sen θ), donde θ es el ángulo que forma el movimiento. ¡Incluido el efecto del rozamiento!

Yo no se hacer eso. Pero si veo claro que mientras el cuerpo se mueva en dirección “ no cuesta abajo”, la fuerza de rozamiento seguirá desgastando a la componente OY paralela a la velocidad original v0, mientras que la componente OX seguirá teniendo una aceleración positiva. F.caída +F.rozamiento = (5m-5mcosθ,-5msenθ)

Al menos mientras θ sea estrictamente mayor que cero.

Por pequeño que sea θ, si es mayor que cero, al segundo siguiente será aun menor, y el movimiento se ira volviendo cada vez mas cuesta abajo. Y ahí veo dos opciones:

O no se alcanza el cero, pero por lo dicho en el párrafo anterior el limite es cero. O se alcanza el θ=0, con lo que las fuerzas se compensan y nuestro movimiento se convierte en un movimiento de velocidad uniforme ( aceleración cero).

En cualquier caso, el objeto acabaría deslizandose “cuesta abajo” a velocidad constante ( o eso parecería a cualquiera que mirara suficiente rato).

Finalmente, a quienes respondísteis correctamente a esta pregunta os llegó la tercera:

Efectivamente, tras muy largo tiempo el objeto se mueve completamente “cuesta abajo” y el ángulo es 0. Ahora te digo algo yo (aunque me gustaría que pudieras demostrármelo, si bien no es parte del desafío): tras ese muy largo tiempo la velocidad será constante. Y la pregunta final es: ¿cuál es esa velocidad constante tras largo tiempo?

Esta pregunta era mucho más puñetera que la anterior, porque de intentar obtener una expresión de la velocidad en función del tiempo se obtenía un monstruaco aterrador. Ante ese horror había dos opciones: una era utilizar el análisis numérico (un programa de ordenador hecho en casa, una hoja de cálculo, etc.), y la otra era darse cuenta de algo muy curioso e importante y actuar en consecuencia.

Los dos finalistas cuyas soluciones he mostrado, Bevender y José Manuel, utilizaron aproximaciones numéricas, y ambos obtuvieron la respuesta correcta de ese modo: la velocidad a la que tiende el objeto es la mitad de la velocidad con la que empezó.

Pero hay una demostración analítica elegantísima, que es la que ha obtenido el equipo ganador, formado por Mmonchi y su hija. Como un Max Planck cualquiera, Mmonchi obtuvo numéricamente la misma solución que los finalistas, e imagino que como ellos se sorprendió de la aparente casualidad de que la velocidad final fuera la mitad de la inicial. Pero, como pensaba Planck, hay pocas casualidades en Física.

De modo que Mmonchi volvió a mirar el problema y encontró la demostración elegante que os dejo aquí. La explicación de la solución no es suya, por cierto, sino de su hija, cuyo nombre no me atrevo a poner aquí porque se me ha olvidado pedirle permiso a él. Suerte, por cierto, para su examen –su padre malévolo utilizó el desafío como entrenamiento para ese examen, demostrando así la dureza de su corazón–.

La negrita de énfasis es mía porque esa frase es la que debería hacer “encendido de bombilla” en quienes casi llegasteis a esto:

Pendiente Mmonchi

En la segunda parte tenemos un cuerpo que recibe dos fuerzas paralelas a la superficie del plano. La primera fuerza es correspondiente a la gravedad que actúa en la dirección cuesta abajo. Esta es igual a: m·a·sen30º=5m. La segunda fuerza es correspondiente al rozamiento que actúa en dirección contraria al movimiento (V(t)), que forma un ángulo θ(t) con la pendiente. Vale tg30º·N·cos30º=10m·sen30º, que es igual a 5m.

La fuerza “cuesta abajo” (Fca) es igual a la fuerza en dirección a la velocidad (Fv), por lo cual la aceleración del cuerpo se puede dividir en dos aceleraciones de igual valor. Una en la misma dirección de Vca, y otra en dirección contraria a V.

La velocidad Vca(t) después de un intervalo Δt será igual a Vca(t+Δt)=Vca(t)+aΔt, y la de V(t) será igual a V(t+Δt)=V(t)-aΔt. Estas dos aceleraciones son iguales, por lo cual aΔt=Vca(t+Δt)-Vca(t)=V(t)-V(t+Δt). De ahí llegamos a V(t)+Vca(t)=V(t+Δt)+Vca(t+Δt), que significa que la suma de V y Vca es constante.

Como en el instante inicial V(0)=V0, y Vca(0)=0 también, tenemos que V+Vca=V0.

Sabemos por trigonometría que Vca=Vcosθ. De ahí llegamos a que V+Vca=V+Vcosθ=V(1+cosθ)=V0, y de ahí que V=V0/(1+cosθ).

Queremos saber a qué valor tiende el ángulo θ. Para ello tomo como origen de coordenadas un punto que se desplaza cuesta abajo manteniéndose a la altura del cuerpo. El cuerpo se desplaza por ese eje X con una velocidad inicial (V0), y se va frenando en su movimiento, ya que hay rozamiento. Como no hay nada que haga aumentar su velocidad y va frenando, la velocidad tiende a 0. Después de un tiempo suficientemente grande la velocidad en el eje X será poco apreciable frente a la velocidad cuesta abajo, por lo que el ángulo que formará la velocidad total con la dirección cuesta abajo tenderá a 0.

Por tanto, tras un tiempo muy largo la velocidad será V=V0/(1+cos0)=V0/2.

Podéis leer la explicación completa, que incluye la respuesta a la primera pregunta, aquí.

Espero que os hayáis divertido como bellacos luchando con este desafío, y que recordéis que lo importante no es llegar a la solución correcta sino darle a las células grises. Enhorabuena a los finalistas y los ganadores, ¡y hasta el próximo desafío!

Desafíos

49 comentarios

De: Hotze
2014-02-20 23:05

Felicidades a Mmonchi e hija. La verdad es que con su explicación han conseguido que tenga la sensación de "bombilla encendida" al darme cuenta de lo que había detrás del problema.

Por cierto, el link de su solución no me funciona... ¿Es cosa sólo mía?

De: PEPE
2014-02-21 05:17

Soy muy burro, no conseguí la respuesta correcta. El próximo desafío sera mio, os prometo.

De: PEPE
2014-02-21 05:24

No consigo descargar la solución del señor Mmonchi.

De: Pedro
2014-02-21 07:22

Oops, lo siento, permisos en el servidor... corregido, ya la podéis descargar :)

De: Voro
2014-02-21 09:36

Yo no acababa de entender la explicación, estaba más perdido que un pulpo en un garaje.

Hasta que viendo los dibujos de Pedro me he dado cuenta de que el movimiento inicial era de 90º en perpendicular a la pendiente... PERO EN EL MISMO PLANO!!!

Yo pensando todo el tiempo que era en plano perpendicular! Vamos que se lanzaba el objeto hacia arriba y hacia adelante con 90º perpendicular a la pendiente!!!!

No sé si no estába muy claro o yo no leí bien el enunciado (que suele pasar)

Un saludo!

De: Voro
2014-02-21 09:39

Efectivamente:

"Se toma un objeto de masa m cuya base es tan lisa que no existe rozamiento con el plano. El objeto se lanza con una velocidad inicial v0 perpendicular a la dirección “cuesta abajo”. El objeto va cambiando la dirección de movimiento con el tiempo, ya que la gravedad hace que caiga por la pendiente."

Creo que se puede entender lo que yo decía al principio, que se lanza hacia arriba y adelente. Tambien el movimiento forma 90º con la dirección de la pendiente.

De: Bevender
2014-02-21 17:34

He tenido que leer la solución de Mmonchi e hija, mas de 5 veces para terminar de entenderla. Para mi, el punto magistral, es que crea un sistema de referencia Movil, usando ladireccion de caída como eje x y el vector velocidad como dirección y. A partir de ahí se puede matemátizar eso de que lo que le quitas a la velocidad, se suma a la velocidad de caída... Bueno, eso y el detalle de que la velocidad de caída sigue siendo v*cos de theta

De: Roger Balsach
2014-02-21 23:18

VAAALEEEE!!!! Voro, me pasó lo mismo que a ti, por lo menos ahora se que el problema que he entendido yo lo tengo bien :D (o eso creo, ya que a mi me daba que theta tiende a 300º si mal no recuerdo...). Muy buena :D

De: Clarinetero
2014-02-22 01:17

Enhorabuena a los finalistas y al ganador. Por cierto, yo sigo teniendo problemas para descargar la solución de Mmonchi e hija, da un problema de permisos.

De: Pedro
2014-02-22 08:48

La ambigüedad con la dirección perpendicular ya la apuntó Pisoracae en un comentario al enunciado del desafío: lo siento, pero por más que intenté poner en negrita datos para que esto no pasara, no me di cuenta de éste.

He vuelto a corregir lo de los permisos, que no sé por qué habían vuelto tras cambiarlos... ¡a ver si ahora funciona!

De: Hotze
2014-02-23 17:36

Por si a alguien le interesa, he colgado el programilla que hice para resolver numéricamente el problema. La gracia que tiene es que te muestra la animación del movimiento del cuerpo, y además se puede juguetear con él cambiando las condiciones iniciales.

Se trata de una hoja de cálculo con macros, así que para usarla tendréis que habilitarlos (el Excel te avisa al abrirlo, creo).

http://www.mediafire.com/download/d3k6yleki10x6zu/Pendiente+Infinita.xlsm

De: Mmonchi
2014-02-24 18:30

Me ha gustado mucho este problema, al principio me encabezoné en hallar θ(t) y me atranqué con un lío de integrales tremendo. Después probé a simular la evolución de los parámetros en el tiempo (una hoja de cálculo con gráficos, nada tan sofisticado como lo de Hotze) y ahí vi que, primero, Vfinal=V0/2 y después, V(t)+Vca(t)=Cte.

El siguiente paso fue entender por qué lo que perdía V(t) lo ganaba Vca(t), algo que a priori me parecía absurdo. Después recordé la "coincidencia" de valores de las dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo, la que va en la dirección de Vca(t) (y la hace aumentar) y la que va en dirección contraria a V(t) (y la hace disminuir). Al ser iguales las fuerzas, una velocidad gana lo que pierde la otra.

El resto fue redactarlo, no muy bien, lo reconozco, en el correo que mandé a Pedro, y después convencer a Conchita, mi hija, de que tratar de entenderlo y redactarlo con sus palabras a partir de mis correos le ayudaría con su examen de Física. Espero que así haya sido; habrá que ver la nota...

De: Pedro
2014-02-24 19:41

... y por eso lo puse. Era un desafío en el que sabía que, al menos, haciendo cálculo numérico alguno conseguiríais obtener la solución correcta.

Pero también tenía la esperanza que alguien que la obtuviese tuviera la suficiente curiosidad para preguntarse por qué salía V0/2 (a varios os pasó, creo), y que consiguiera el "encendido de bombilla" final... como también pasó en tu caso :)

Además es uno de esos en los que, si no obtienes la solución, leer la correcta hace que aprendas algo, que es lo que siempre intento con estos desafíos.

De: pascual
2014-02-25 13:37

Aún a riesgo de meter la pata hasta el corbejón, voy a permitirme discrepar de la opinión mayoritaria. De sabios es rectificar, así es que si me lo explicáis bien y me convencéis, rectificaré. En mi opinión, la velocidad con que se moverá el cuerpo en la dirección cuesta abajo es una fracción de la velocidad inicial que no ha de ser necesariamente la mitad de ésta, pues depende del ritmo en que el ángulo theta disminuye desde su valor inicial 90º a su valor final 0º. Es más, si el objeto tarda mucho tiempo en frenarse en la dirección perpendicular a la dirección cuesta abajo, es decir, si theta tarda mucho tiempo en anularse entonces, en mi opinión, la componente de la velocidad del objeto en esta dirección cuesta abajo tiende a cero, luego el objeto terminaría parándose, en lugar de ir pendiente abajo. El hecho de que la resultante de las fuerzas en la dirección cuesta abajo sea cero no implica necesariamente que el movimiento del objeto sea uniforme, también puede ocurrir que esté en reposo.

De: Hotze
2014-02-25 21:33

Pascual, iba a contestarte (muy seguro de mí mismo) explicando por qué creía que no tienes razón... hasta que haciendo unas cuantas pruebas con mi programa de cálculo numérico he visto que no estás en absoluto tan desencaminado.

Lo que es la ciencia.

Voy por pasos. Primero cuento en lo que no estoy de acuerdo y luego en qué sí lo estoy.

1 - Con el caso concreto de este desafío el reposo es imposible. Si se lanza el objeto con una velocidad perpendicular a la pendiente (por no dejar dudas, contenida en el plano) y el coeficiente de rozamiento es igual a la tangente del ángulo de inclinación, el cuerpo acaba moviéndose a velocidad constante. Una explicación poco ortodoxa pero bastante intuitiva puede ser la siguiente: el objeto comienza con velocidad 0 en X y una fuerza cuesta abajo, por tanto empieza a caer. Fx será siempre cuesta abajo o nula, pues la fuerza de rozamiento (debido al valor de su coeficiente) como mucho logrará anular la componente X de la gravedad, pero no superarla... Por tanto, si el objeto ya ha logrado algo de velocidad cuesta abajo y la fuerza en X nunca será cuesta arriba, es imposible que se frene.

2-Sin embargo, si la velocidad inicial no es perpendicular a la pendiente, sino que tiene al menos cierta componente cuesta arriba, la cosa cambia bastante. Entonces sí es posible llegar a parar el cuerpo, incluso aunque al final haya equilibrio de fuerzas -tal y como dices- pues durante su recorrido la velocidad y la fuerza en X apuntan en sentidos contrarios. Un ejercicio divertido puede ser calcular la velocidad mínima cuesta arriba para que el cuerpo acabe en reposo (si te pasas de velocidad, acaba también parado, pero más lejos).

Por cierto, si alguien utiliza el programilla que colgué un par de comentarios más arriba para comprobar esto, que no se llame a engaño: visualizar un estado de reposo absoluto con esta simulación es casi imposible, pero es sólo debido a la precisión numérica del algoritmo (hay que disminuir mucho el tiempo de cada iteración y aumentar el número de iteraciones para conseguir algo que se asemeje).

De: Argus
2014-02-26 10:51

Un desafío magnífico. Si lo hubiera resuelto habría sido ya la leche. Digo magnífico porque me ha hecho aprender y reflexionar gratamente, por ejemplo, que una fórmula monstruosa se puede obviar si aparece algún indicio de conservación. Esto, salvando las distancias, es como la revolución que supuso el concepto de energía en física.

Otro "descubrimiento" para mí, que se me pasó sin pena ni gloria en el instituto, es que el valor del Coeficiente de Rozamiento es la tangente del ángulo que hace que el objeto deslice a velocidad constante cuesta abajo. En este caso, que el CR valga tg30 significa que en una pendiente de 30 grados precisamente una vez existe velocidad cuesta abajo ya no hay quien la pare -por definición-.

Y esto me lleva a comentar la duda de Pascual: Si el objeto se lanza en horizontal, no se para jamás. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en ir totalmente cuesta abajo? Desde mi punto de vista, el objeto NUNCA irá totalmente cuesta abajo, sino que el ángulo tiende a cero en el infinito. Si el CR fuese mayor el objeto se detiene tarde o temprano y el ángulo con el que bajaba justo antes de detenerse nunca será 0 absoluto. Si el CR fuese menor, el objeto acelera indefinidamente. Con CR exactamente tg30 la cuestión no es CUÁNDO el ángulo vale 0 sino si hay una distancia máxima que recorre el objeto en el eje Y. (¿alguien podría aclararlo?)

Aquí es donde echo de menos la solución con todas las fórmulas, para saber, por ejemplo, si la trayectoria es asintótica o parabólica: Si es asintótica no necesitamos una pendiente infinitamente ancha ya que sabremos cuánto avanza el objeto como máximo en el eje Y (eje perpendicular a la pendiente).

Por el contrario, si la trayectoria es parabólica sí necesitaremos una pendiente infinitamente ancha.

Aquí es donde no supe seguir, pues un método numérico tampoco me resolvía la duda. Pensaba que era fundamental saber la naturaleza matemática de la trayectoria para asegurar que el ángulo theta, aunque disminuyendo continuamente, llegaba a 0 efectivamente a una cierta distancia del punto de inicio. Por ahí, quizá esperaba encontrar algún ángulo infinitesimal que no podía ser rebasado o... no sé, algo raro (el "ángulo de Planck" quizá jajaja).

Bueno, un placer, como siempre. Gracias y felicitaciones al (los) ganadores!

De: pascual
2014-02-26 21:16

Sigo dándole vueltas al asunto del desafío de la pendiente infinita: Si no estoy equivocado, el coeficiente de rozamiento estático es siempre mayor que el dinámico, luego el objeto permanecería en reposo sobre el plano si no se impulsa con velocidad inicial v0 en la dirección perpendicular a la dirección cuesta abajo, ya que la componente del peso en dicha dirección no superaría a la fuerza de rozamiento estático. Ahora bien, una vez que se le comunica la velocidad v0 perpendicular a la dirección cuesta abajo aparece la fuerza de rozamiento dinámico en la misma dirección que el movimiento y, en mi opinión, la fuerza de rozamiento estático en la dirección cuesta abajo no tiene porqué desaparecer, así es que quizás el objeto se movería en línea recta perpendicular a la dirección cuesta abajo hasta detenerse por la acción del rozamiento dinámico en la misma. Pero esto es sólo una teoría, quizás descabellada.

De: Sergio B
2014-02-26 23:56

Pascual, a mi me ayuda a verlo recordar que las superficies no son tan lisas como parece. Para ser un poco bestias, imagina que intentas mover una pieza de lego sobre otra infinita. Si la pieza esta quieta, costara horrores moverla, pero una vez se empieza a mover en alguna direccion, da igual cual sea, la resistencia en cualquier otra direccion sera menor y sera la misma, por que moviendose ya no dejaras que se encaje de nuevo, solo iras dandole golpes.

De: Pedro
2014-02-27 07:24

Conectado con lo que dice Sergio (una vez el objeto empieza a moverse en cualquier dirección se "desencaja" de la otra pieza), tal vez te ayude pensar en que la fuerza de rozamiento es un solo vector, que tiene sentido opuesto al vector velocidad. No hay dos rozamientos físicos independientes en las dos direcciones, que son al fin y al cabo ejes arbitrarios.

De: Bevender
2014-02-27 11:32

Que bueno el símil de los legos de Sergio! Yo también pensaba como Argus que el movimiento sería asintótico o parabólico... Pero luego cambie de idea. Al fin y al cabo, si no hay fuerzas involucradas, los cuerpos se mueven con velocidad uniforme y RECTILÍNEA, no? Tengo la sensación de que al ser v0 una cantidad finita se desgastará en algún momento, sin tener un caso en plan Aquiles y la tortuga.

Ha pasado ya una semana y sigo encontrándome papelotes en casa con senos y cosenos :P

De: Hotze
2014-02-27 18:59

Respecto a qué tipo de trayectoria tenemos, he conseguido llegar a alguna conclusión dibujando un par de gráficas:

https://www.mediafire.com/?jzqh403zgeyx1dy

La coordenada Y tiene un límite: ((4/3)*V0^2)/g. Por tanto, la trayectoria no es tipo parábola.

Lo que ya no tengo ni idea es de si este valor máximo de Y (en el que, entiendo, el cuerpo se mueve de forma rectilínea uniforme en dirección cuesta abajo) se alcanza en un tiempo finito o infinito. Si tuviera que apostar dinero diría que es asintótico, pero eso no parece muy científico...

¿Algún voluntario para encontrar la explicación analítica a ese ((4/3)*V0^2)/g? Es un valor demasiado bonito como para no esconder algo detrás.

De: Argus
2014-02-28 10:31

Hozte, no puedo ver las gráficas, por eso igual pregunto una tontería, pero ¿cómo has llegado a esa expresión tan concisa?

Bevender, yo no descarto un caso como la tortuga de Aquiles porque estamos considerando un problema ideal en un punto crítico de equilibrio de fuerzas (nada que se le parezca a ningún caso real). Asumiendo que hablamos de pura matemática en condiciones ideales, supongamos que llega ese momento en el que el ángulo ha llegado al 0 absoluto. Velocidad constante. Ahora hagamos el experimento mental de parar la película e imaginarnos la trayectoria marcha atrás: ¿En qué momento y por qué razón aparecería un cambio de dirección en el objeto?

Veo más aceptable que el ángulo nunca es cero y siempre hay una componente de fuerza perpendicular al movimiento en función de ese ángulo (tan pequeña como el ángulo pero jamás cero). De esa forma la película marcha alante y marcha atrás funciona igual.

De: pascual
2014-02-28 13:01

Sergio, Pedro, me habéis convencido. Veo claro y entiendo que una vez que el objeto está moviéndose, el rozamiento que actúa sobre él es sólo el rozamiento dinámico cuyo módulo es constante e igual a 5m, y lo hace en la misma dirección que su movimiento y en sentido contrario; por eso y por el efecto de la gravedad, comienza a crecer la componente de su velocidad en la dirección cuesta abajo.

En la dirección del lanzamiento, el objeto va frenándose, si bien, conforme disminuye el ángulo theta, la componente en esta dirección de la fuerza de rozamiento también va disminuyendo, mientras que la otra, en la dirección cuesta abajo, va aumentando. El sentido común nos dice que en algún instante la componente de la velocidad en la dirección Y del lanzamiento se anulará, con lo que el ángulo theta también, y el objeto se moverá cuesta abajo con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme), ya que a partir de ese momento la resultante de las fuerzas es cero. Ahora bien, yo insisto en que esta velocidad constante de descenso pendiente abajo no ha de ser necesariamente la mitad de v0, pues depende de la forma en que el ángulo theta ha disminuido desde su valor inicial de 90º hasta su valor final de 0º. En los casos extremos, el objeto va descendiendo muy lentamente o por contrario podría ir muy rápidamente. Las consideraciones matemáticas de este argumento se basan en el análisis de las expresiones de las componentes X e Y de la velocidad del objeto que vienen dadas por integrales con el tiempo como variable independiente. Si a alguien le interesa, podría enviarle a Pedro un pdf para que pusiera el enlace. El problema que veo yo en la "solución" publicada es que considera que la variación de la velocidad del objeto tiene la misma dirección que la de la aceleración debida al rozamiento, y esto no es así. En mi opinión, hay que considerar la velocidad del objeto como suma vectorial de dos velocidades vx, debida a la aceleración de la gravedad y a la componente X del rozamiento, por una parte, y vy, debida a la componente Y del rozamiento y que está en funciónde v0.

En cuanto a la posibilidad de que el objeto no se frene en la dirección del lanzamiento, no la veo viable, pues v0 es finito y la componente de la velocidad en esta dirección, vy, depende de una integral creciente que va minorando el valor de v0, así es que opino que el objeto caería más tarde o más temprano pendiente abajo con velocidad constante, pero en esto puedo estar metiendo la pata hasta el "corVejón".

De: Pedro
2014-02-28 14:20

Acabo de subir el pdf de Pascual aquí para que podáis disfrutar con él :)

De: Hotze
2014-02-28 16:02

Pascual, he leído el PDF con tu respuesta y he visto que no me cuadra. Hace mucho que no integro y estoy bastante oxidado, pero hay un momento en el que consigues integrar la expresión de Vx respecto del tiempo. Sin embargo, me parece que lo has hecho como si theta fuera constante con el tiempo, lo cual no es cierto. Puede ser que me equivoque, porque como digo hace siglos que no hago integrales.

Por otro lado, que la velocidad final acaba siendo V0/2 creo que está bastante "probado" (con métodos numéricos nos sale eso a varios, sin hacer ninguna suposición a priori...). Con tus dudas me haces dudar de si la explicación analítica de Mmonchi es prueba suficiente o no llega a ser una demostración firme, pero de lo que estoy bastante seguro es de que la conclusión es correcta.

Respondiendo a Argus, me extraña que no puedas ver las gráficas. ¿Os pasa a los demás? Puede ser porque las subí en formato png, no lo sé. Si estás interesado en verlas podemos buscar alguna alternativa para hacértelas llegar. De todas maneras son muy fáciles de explicar.

La primera gráfica muestra varias trayectorias del objeto para distintas velocidades iniciales. En ella se ve claramente que, tras una curva inicial bastante cerrada, el objeto tiende a un valor asintótico de coordenada Y. Además, tiende a ese valor de una forma muy acusada, asemejándose casi enseguida a una recta horizontal.

De la información de esta primera gráfica cogí los valores asintóticos correspondientes a cada velocidad y representé la Y máxima vs V0. El resultado es una parábola cuya ecuación es exactamente (pero muy exactamente) 4/3 V0^2. Haciendo análisis dimensional se ve que eso tiene dimensiones de L^2 T^-2, y que se convierte en longitud si se divide por una aceleración. Hice la misma prueba de antes para varios valores de aceleración de la gravedad y vi que la Y máxima era inversamente proporcional a g. De ahí la ecuación (4/3 V0^2) /g. No he hecho pruebas con el ángulo de inclinación ni con el coeficiente de rozamiento, así que para ser rigurosos, diré que ésa es la expresión para alfa=30º y mu=tan(alfa).

De: Pedro
2014-02-28 17:25

Yo veo las gráficas perfectamente...

De: pascual
2014-02-28 19:24

Hotze: He apuntado en el anterior comentario que la "solución" de Mmonchi comete, a mi entender, un error de concepto: trata a la variación de la velocidad del objeto como si tuviera la misma dirección que la de la aceleración debida a la fuerza de rozamiento, y esto no es así, pues la variación de la velocidad del objeto tiene la dirección de la resultante de las dos aceleraciones (la debida al rozamiento y la debida a la gravedad). Es como si estuviera "teniendo en cuenta dos veces" a la fuerza de rozamiento en la dirección cuesta abajo. En cuanto a la integral que aparece en la expresión de vx, no trato a theta como constante sino que aplico el teorema de la media, análogamente a como lo he hecho en la expresión de vy.

De: Hotze
2014-03-01 10:57

Pascual, ya imaginaba que metería la pata con lo de las integrales. XP Me he puesto a repasar el teorema de la media para no volver a salirme del tiesto. Si no he comprendido mal tu razonamiento, propones que la velocidad final se encuentra entre 0 y V0. V0/2 está justo en medio de ese intervalo, luego entiendo que no descartas la solución “oficial” de este problema, aunque pones en duda su explicación ¿estoy en lo cierto? Lo digo por ir teniendo claro qué puntos compartimos antes comentar aquéllos en los que opinamos diferente.

En cuanto a lo que apuntas de la solución de Mmonchi, creo que se trata de un malentendido porque en su explicación “se salta” un paso de un plumazo, con la siguiente frase:

‘La fuerza cuesta abajo (Fca) es igual a la fuerza en dirección a la velocidad (Fv), por lo cual la aceleración del cuerpo se puede dividir en dos aceleraciones de igual valor’

Creo que lo que tú has entendido es que en la dirección X sólo aplicaba la fuerza de la gravedad y que en la dirección de V sólo aplicaba la fuerza de rozamiento, y no es así. En las dos direcciones calcula la resultante de cada una de las fuerzas, pero debido al valor de mu ambas aceleraciones resultan ser iguales. Que resulten ser iguales no quiere decir que sean conceptualmente la misma, sino que debido a los valores numéricos elegidos se da la circunstancia particular de que valen igual, lo que nos permite resolver el problema. Lo desarrollo rápidamente, (donde Mmonchi pone el subíndice “ca” pondré “X”, y para la dirección de V pondré el subíndice “t” de total)

Fx = Fgx-Frx = mg sen30º - mg tan30º cos 30º cos θ = 5m (1-cos θ) Ft = Fr- Fgt = mg tan30º cos 30º - mg sen30º cos θ = 5m (1-cos θ)

Con esto se demuestra que la aceleración en ambas direcciones vale igual. Que estas direcciones no sean perpendiculares no es problema (¿me equivoco? ya me flaquean tanto el cálculo como el álgebra) A cada velocidad le afectarán las proyecciones de todas las fuerzas en su dirección. Otra posible confusión es que entiendas la aceleración en dirección de V como la aceleración total, cuando en realidad es la aceleración tangencial.

Espero haber salvado el escollo que encontrabas a la explicación de Mmonchi. Si he escrito alguna barbaridad no dudéis en decirlo: a estas alturas no creáis que yo mismo estoy muy seguro de mi explicación XD

De: pascual
2014-03-01 21:51

Hotze: lo que afirma Mmonchi es que sobre el objeto se ejercen dos fuerzas de igual valor (5m) y que, por tanto, la aceleración del objeto se puede dividir en dos aceleraciones de igual valor (a=5), una en la dirección cuesta abajo y otra en la dirección de la velocidad del objeto, y en esto estoy totalmente de acuerdo. Ahora bien, a continuación, pretendiendo expresar la variación de la velocidad del objeto debida a cada una de las aceleraciones, escribe: vca(t+\Delta t)-vca(t)=at v(t+\Delta t)-v(t)=-at de donde deduce que vca+v=constante y aquí es donde veo yo el "gazapo". Si bien la primera expresión tiene sentido, pues es posible un tratamiento escalar del asunto ya que los vectores vca(t+\Delta t) y v_ca(t) tienen la misma dirección, la segunda expresión carece de sentido pues los vectores v(t+\Delta t) y v(t) ya no tienen la misma dirección y la diferencia de sus módulos no tiene porqué ser el módulo de su diferencia. ¿Qué sentido tiene, además, que la aceleración en la dirección de la velocidad sea negativa, si se trata de un vector que va cambiando de dirección con el tiempo? Insisto en que es mejor abordar el problema descomponiendo la velocidad en dos ejes fijos y hallar la variación de sus componentes con el tiempo. Concluyendo, considero incorrecto el planteamiento de Mmonchi, pues además afirma que la velocidad del objeto tiende a la mitad de vo, y según el análisis que yo hago puede tender a cualquier valor comprendido entre 0 y vo, en función de cómo se vaya anulando el ángulo \theta. Pero, ¿quién sabe?, yo no soy profesor de Física; espero la opinión de Pedro. Os animo a hacer un tratamiento del problema desde un punto de vista energético: el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento desde que se lanza el objeto hasta el instante en que se anula el ángulo \theta es precisamente la variación de la energía mecánica. La expresión de la velocidad del objeto en ese instante que he obtenido yo es

v=\sqrt{vo^2-10(l-x)}

donde l es la longitud de la trayectoria seguida, x es el espacio recorrido en la dirección cuesta abajo y vo la velocidad de lanzamiento.

De: Pedro
2014-03-02 09:34

Pascual, creo que no has entendido una parte clave de la explicación de Mmonchi.

La expresión V(t+dt) = V(t) - adt no es una expresión vectorial, sino escalar. V(t) y V(t+dt) no representan el vector velocidad sino su módulo. De igual manera, en esa expresión a no es la aceleración del cuerpo, sino la aceleración debida a la fuerza de rozamiento, que hace disminuir el módulo de la velocidad en igual magnitud que se incrementa, en el mismo diferencial de tiempo, la componente de la velocidad en el eje "cuesta abajo".

De: Hotze
2014-03-02 16:00

Pascual, he comprobado tu expresión de la velocidad final y resulta ser cierta. ¿Cómo demonios has llegado a ella? Explícalo, por favor.

De todas maneras, la misma simulación que me dice que tu expresión es cierta también me dice que la velocidad final del objeto es la mitad de la velocidad inicial, así que parece que todos tenemos razón.

Una conclusión interesante de haber comprobado tu ecuación es que la diferencia entre la longitud de la trayectoria y la distancia recorrida cuesta abajo es:

(l-x)=(3/4)*(V0^2/g)

Expresión que parece prima-hermana de una que ya calculé antes: la distancia Y máxima:

Ymax =(4/3)*(V0^2/g)

¿Alguien sabe qué es lo que pasa aquí? Mucho número redondo veo yo...

De: Hotze
2014-03-02 16:21

Una cosa más, que se me ha quedado antes en el tintero: La expresión de Pascual para la velocidad en función de la trayectoria y distancia en X no sólo es cierta para cuando Theta se hace 0, sino que es cierta en todo instante. Así que podemos decir que

V=Raiz(V0^2-g(l-x))

De: pascual
2014-03-02 20:50

Me estoy haciendo un lío entre lo que dice Hotze y lo que decís otros. Lo que yo veo claro es que la aceleración tangencial tiene la misma dirección y sentido que la aceleración debida al rozamiento; si además, como afirman Pedro y Mmonchi, tiene el mismo módulo entonces son el mismo vector y como consecuencia inmediata, puesto que el vector aceleración es la suma vectorial del vector aceleración del rozamiento y del vector aceleración cuesta abajo así como la suma del vector aceleración tangencial y el vector aceleración normal, se tendría que el vector aceleración normal coincidiría con el vector aceleración cuesta abajo debido a la componente de la gravedad en dicha dirección; por tanto, como ésta es constante se deduciría que la aceleración debida al rozamiento (aceleración tangencial según algunos) tendría la dirección constante del lanzamiento del objeto (eje OY) y consecuentemente, también la velocidad del objeto. Se trataría de un movimiento rectilíneo y esto sólo sería posible si hubiera "algún alienígena tirando con fuerza del objeto en la dirección y sentido cuesta arriba y con la misma intensidad que la fuerza cuesta abajo", y que yo sepa este dato no aparecía en el enunciado del problema. En mi opinión, el módulo de la aceleración tangencial, es decir, la variación del módulo de la velocidad del objeto no se debe únicamente a la fuerza de rozamiento, sino que también se debe a la fuerza de la gravedad en dirección cuesta abajo. De hecho, es la resultante entre la aceleración debida al rozamiento y la componente tangencial de la aceleración cuesta abajo; el módulo de la aceleración tangencial no coincide, por tanto, con el módulo de la aceleración cuesta abajo. Los módulos que sí coinciden son el de la aceleración debida al rozamiento y el de la aceleración cuesta abajo. Por tanto, si es

vca(t+dt)-vca(t)=adt

entonces la expresión

v(t+dt)-v(t)=-adt

no es correcta, a mi entender, y de "aquellos polvos estos lodos", como lo de que que V=vo/2 a partir del instante en que el ángulo \theta se anula. Yo creo que no hay verdad en todos los razonamientos. Por cierto, Hotze, ya explicaré en otro comentario y con más detalle cómo he llegado a la expresión de la velocidad mediante consideraciones energéticas.

De: Pedro
2014-03-02 22:06

Hmm...

Lo que yo veo claro es que la aceleración tangencial tiene la misma dirección y sentido que la aceleración debida al rozamiento; si además, como afirman Pedro y Mmonchi, tiene el mismo módulo [...]

No digo eso, ni creo que lo diga Mmonchi (aunque espero que aparezca él e intervenga). La aceleración tangencial tiene dos contribuciones: la del rozamiento, que disminuye el módulo de la velocidad y es constante, y la del peso "cuesta abajo", que aumenta el módulo de la velocidad y no es constante ya que va aumentando según el cuerpo va cambiando su dirección de movimiento. El "v(t+dt) = v(t) -adt" no pretende dar el cambio neto del módulo de la velocidad, sino su cambio debido únicamente al rozamiento.

El ingenio de la solución de Mmonchi estriba en estudiar cada efecto sobre la faceta de la velociad que más fácil ese estudio. Así, la aceleración debida al peso "cuesta abajo", que es igual a 5, incrementa la componente "cuesta abajo" de la velocidad en 5dt durante un diferencial de tiempo dt.

Por otro lado, la aceleración de rozamiento disminuye el módulo de la velociad en -5dt durante el mismo diferencial de tiempo dt. Éste no es el único efecto que sufre el módulo de la velocidad en ese diferencial de tiempo, ya que el efecto del peso "cuesta abajo" del párrafo anterior también afecta al módulo de la velocidad.

En el tiempo dt, el módulo de la velocidad disminuirá -5dt pero también aumentará algo debido a la componente "cuesta abajo" del peso, pero esa segunda contribución nos da exactamente igual en este tratamiento: no estamos intentando parametrizar los cambios netos sobre nada, sino cuantificar los dos efectos del modo más simple posible.

El rozamiento va a hacer disminuir el módulo de la velocidad v en -5dt, y la componente del peso va a hacer aumentar la componente vca en 5dt. Parte de ese aumento podría proyectarse sobre la velocidad para ver cuánto es aceleración tangencial, pero insisto, eso no hace falta en ese tratamiento.

La consecuencia de un efecto sobre el módulo de la velocidad es igual a la del otro sobre vca pero en sentido contrario, luego el efecto neto de ambas es mantener constante la suma de las dos magnitudes: valga lo que valga 5dt, v disminuirá debido al rozamiento lo mismo que vca aumente debido a la gravedad, con lo que v+vca siempre será constante.

¿Qué tal? :)

De: Hotze
2014-03-02 23:02

Pedro, yo había entendido todo de una forma ligeramente distinta. Como ya expliqué antes, pensaba que Mmonchi calculaba todas las fuerzas en cada eje, y si no me equivoqué con las cuentas se llegaba a la misma conclusión

Pascual, normal que te hayamos liado, cada uno estaba explicando una cosa diferente. XP

Ahora veo que la solución de Mmonchi es todavía más simple(en el sentido de no contar con elementos innecesarios, a mí no se me habría ocurrido ni en un millón de años).

De todas maneras, insisto, Vfinal=V0/2 no lo hemos deducido de esta explicación sino que lo habíamos calculado previamente con métodos numéricos (lo digo por tu frase "de aquellos polvos ...")

De: Mmonchi
2014-03-02 23:50

Estoy de acuerdo con Pedro, pero voy a intentar explicarlo con mis palabras.

En el dibujo que tiene representadas las fuerzas con flechas verdes se ve que ambas son iguales en su módulo, pero sus direcciones no son opuestas. Cada una de esas fuerzas provoca una aceleración, por supuesto en la misma dirección de la fuerza. Podría haber sumado ambas fuerzas y obtener una sola, y entonces tendría una aceleración en la dirección de la fuerza resultante. Pero no es necesario: el efecto que produce sobre el movimiento del cuerpo la aceleración total es el mismo que la suma de los efectos que produce cada aceleración por separado.

Normalmente en un problema en el que actúan varias fuerzas simultáneamente sobre un cuerpo se simplifica todo si sumamos las fuerzas y trabajamos solo con la resultante. Sí, pero no es necesario hacerlo así, y eso es lo más bonito de este problema: en este caso es más fácil de resolver si tomamos cada fuerza (y por tanto cada aceleración) por separado, que si las sumamos y trabajamos con la resultante.

Estoy deseando poder dedicarle un rato a las fórmulas de Hotze y Pascual para tratar de entender por qué salen.

De: pascual
2014-03-03 13:40

Vaaleee..., tras la lectura del texto de Mmonchi

"La velocidad vca(t) después de un intervalo dt será igual a vca(t+dt)=v_ca(t)+adt, y la de v(t) será igual a v(t+dt)=v(t)-adt"

yo había entendido que quería decir que la expresión

v(t+dt)=v(t)-adt

representaba el cambio neto del módulo de la velocidad, por eso llegaba a esa conclusión humorística del alienígena tirando para arriba. Pero, si el cambio neto del módulo de la velocidad lo da la aceleración tangencial, es decir,

v(t+dt)=v(t)+a_tdt

o equivalentemente

v(t+dt)=v(t)-adt+acatdt

donde -adt y acatdt representan respectivamente la disminución y aumento del módulo de la velocidad debidos a la aceleración del rozamiento y a la componente tangencial de la aceleración cuesta abajo en un tiempo infinitesimal dt, entonces

v(t+dt) NO es igual a v(t)-adt

y, por tanto, aunque sea

vca(t+dt)=vca(t)+adt

no podemos deducir que sea

v(t+dt)+vca(t+dt)=v(t)+vca(t)=constante

El razonamiento mediante energías se lo he mandado a Pedro en un pdf. Espero no estar poniendo nervioso a nadie, si bien a mí ya me empieza a doler la cabeza pensando en este problema.

De: Pedro
2014-03-03 15:40

El desarrollo de energías de Pascual está colgado aquí para que podáis leerlo.

De: Bevender
2014-03-04 14:39

Pascual, me atrevo a meterme ( aunque no estoy segura de haber entendido todos los comentarios) pq me parece que me paso lo mismo al leer la solución de Mmonchi la primera vez.

Yo veía claro que el cuerpo se movía, con dos fuerzas tirando de el: rozamiento y caída. El vector velocidad( el global, el paralelo al rozamiento) lo descomponía en mi cabeza en dos: la componente vx paralela a la fuerza de caída, y la vy perpendicular a esta. Y así vivía yo en mi sistema de referencia ortogonal... Pero lo que Mmonchi hace ( implícitamente ) es usar un sistema de referencia no ortogonal. Dado un tiempo t, Fija un punto ( el origen de coordenadas O(t)) en la posición del objeto en ese momento t, fija un eje x que es la dirección de caída ( y nuestro eje x de toda la vida) y luego FIJA UN EJE Y EN LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO (que cambiara un segundo mas tarde) Dado un t fijo, calcula v(t+dt) respecto de las coordenadas anteriores.!!! Ahí es donde ve que la componente "vertical" de la velocidad se reduce en la misma cantidad que aumenta la componente "horizontal". Los cálculos que hace con escalares no son mas que el calculo de esas 'componentes.

De: Bevender
2014-03-04 14:52

Argus, ¿Puede un cuerpo en mecánica clásica moverse en una trayectoria curva si el concurso de alguna fuerza? Si admites que se llega a que la suma de las fuerzas llega a 0 en un tiempo finito, tendrías que concluir forzosamente que el objeto cae en linea recta en un tiempo finito.

No entiendo tu argumento del tiempo reversible. Si yo tengo 200 euros y gasto un euro al día, algún día se me acabaran. , supongamos que llega ese momento en el que mis ahorros llegan al 0 absoluto. Ni un duro. Ahora hagamos el experimento mental de parar la película e imaginarnos la historia marcha atrás: ¿En qué momento y por qué razón aparecería un euro en mi cuenta corriente ? A parte de perder una cantidad enorme de belleza, no le veo el problema.

De: pascual
2014-03-04 23:19

He intentado hallar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria "real" del objeto en su caída por el plano de pendiente infinita, con "t" como parámetro temporal, utilizando el principio de acción mínima, es decir, con cálculo variacional, (lagrangiano, ecuación de Euler, etc) y he llegado a la conclusión, si no he metido la pata en los cálculos y en los conceptos físicos, de que hay una distancia máxima en el eje OY, como intuía Argus, y es 2vo^2/g y no 4/3vo^2/g como decía Hotze. Además, tras calcular el valor explícito de la velocidad en función del tiempo, veo que si éste tiende a infinito entonces la velocidad se acerca a vo y no a vo/2 y que el ángulo theta que va formando la velocidad con la dirección cuesta abajo en función del tiempo tiende a 0º. Cuando tenga algo de tiempo le envío a Pedro un pdf que espero que comentéis, pues es probable que esté todo mal. ¡Ah! Bevender, si fijamos dos direcciones de referencia (perpendiculares o no) y un vector tiene la dirección de uno de los ejes, ¿Cuál es la componente del vector en el otro eje? ¿No sería cero?

De: Argus
2014-03-05 14:47

Bevender, yo diría que la suma de fuerzas no llega a cero en un tiempo finito, sino que tiende a 0 en el infinito. Se me ocurrió el ejemplo de la película hacia atrás porque no hay variación de condiciones o agentes externos en todo el recorrido, así que lo que funciona hacia alante debe hacerlo también hacia atrás sin variación de condiciones.

Siguiendo tu ejemplo del euro, si gastas un euro al día no llegas a 0 euros: Llegas a menos infinito. En cualquier momento puedes ir (imaginariamente) hacia alante o hacia atrás en el tiempo y saber cuántos euros te quedan o cuántos debes. Al contrario, este problema es como si gastases 1 euro dividido por 2 elevado al número de días. El primer día gastas 1/2, el segundo gastas 1/4, el tercero 1/8... etc. En cualquier momento echas la película hacia atrás y vuelves a la situación actual sin problema y sin variación de condiciones. El gasto diario tiende a cero pero no puedes admitir que algún día gastarás exactamente cero. Ahí la película hacia atrás ya no funcionaría.

Por ahí iban mis dudas, porque también podría ser que gastes 1 euro dividido por el número de días: el primer día gastas 1, el segundo 1/2, el tercero 1/3... Al final el gasto diario tiende también a cero, pero el gasto total arruinaría a cualquiera :-)

De: Bevender
2014-03-05 15:17

Efectivamente. Llamemos i(t) al vector unitario de la dirección de caída, y j(t) al vector unitario en la dirección que tiene el movimiento en el momento t. Ojalá pudiera ponerles flechitas... el vector v(t)=0i(t)+ modulo de v(t)j(t). Todo vectores El vector vca(t)=modulo de v(t)cos theta(t)i(t)+0*j(t)

Pero el VECTOR v(t+dt) ya no es paralelo ni a i(t), ni a j(t) (por supuesto seria paralelo a j(t+dt) pero ese no pinta nada.

Cuando Mmonchi dice: "La velocidad Vca(t) después de un intervalo Δt será igual a Vca(t+Δt)=Vca(t)+aΔt" Yo entiendo que el vector vca(t+dt)=[modulo de vca(t)+5dt]i(t)+0j(t) Pues recordemos que la aceleración de caída es 5.

Y cuando Mmonchi dice: " la de V(t) será igual a V(t+Δt)=V(t)-aΔt. " Yo entiendo que el vector velocidad V(t+dt)=[0+5dt]* i(t)+[modulo de v(t)- 5dt] *j(t)=v(t)+dt(5,-5) pues esta velocidad esta afectada por la fuerza de caída 5m en la dirección de caída ( que llamo i(t) ) y la fuerza de rozamiento que también es de modulo 5m pero de sentido contrario a j(t) SU COMPONENTE PARALELA AL VECTOR V(t) HA DISMINUIDO EN 5dt. Mmonchi dice:"Estas dos aceleraciones son iguales" (ES DECIR, COMO VECTORES AMBAS TIENEN MODULO 5) "por lo cual aΔt=Vca(t+Δt)-Vca(t)=V(t)-V(t+Δt). De ahí llegamos a V(t)+Vca(t)=V(t+Δt)+Vca(t+Δt), que significa que la suma de V y Vca es constante." LO QUE QUITAS EN LA DIRECCIÓN J(t) LO AÑADES EN LA DIRECCIÓN I(t) "Como en el instante inicial V(0)=V0, y Vca(0)=0 también, tenemos que V+Vca=V0." Y finalmente añade la guinda de que en el t final los vectores v y vca son el mismo y como sus módulos suman V0, pues el modulo de ambos debe ser la mitad

De: Bevender
2014-03-06 14:57

Lo del 5 es una tontería, la aceleración cambia cada segundo, pero espero que lo demás si tenga sentido.

De: Bevender
2014-03-06 15:29

Argus, no se si el Angulo llega a 0 en un tiempo finito o cae hacia el de manera asintotica. Me decanto por la primera opción, porque en todas las simulaciones y cálculos parece que cuanto mas cae hacia abajo el bicho, mas rápido cae. Lo que si veo claro, es que el argumento de la película no me convence. Puse el ejemplo del dinero, pq entendí que al llegar a 0 euros, se alcanza un equilibrio, ya que quien no tiene, no puede gastar.(igual que si llega el Angulo a 0, al no haber movimiento horizontal, ya no se puede seguir desgastando) Otro ejemplo que se me ocurre es un objeto que caiga hacia un punto ¿Que hará una piedra cuando llegue al fondo de un agujero negro? Si un cuerpo se mueve a toda velocidad hacia un estado de equilibrio y lo alcanza, ¿Quien puede decir desde hace cuanto tiempo ha estado en el?

De: Hotze
2014-03-06 18:19

Respecto al asunto del tiempo finito/infinito, yo me decanto por la opción del movimiento asintótico, si bien no estoy del todo seguro.

Ambas opciones son posibles: todo depende de cómo varía Theta respecto a la velocidad en Y. En el estudio de vibraciones existe un parámetro -el coeficiente de amortiguamiento- cuyo valor determina si el sistema alcanza o no su posición de equilibrio en un tiempo finito (pensad en cómo recupera su forma un cojín tras deformarlo, y cómo lo hace un muelle, por ejemplo). Es cierto que este caso no es un sistema oscilante, pero el quid de la cuestión es el mismo: la interrelación entre una velocidad y la fuerza que la frena. En este caso el rozamiento cada vez frena menos en Y, al tiempo que la velocidad en esa dirección se hace más pequeña. Todo depende de qué disminuye más rápido, y para dilucidar la cuestión creo que tendremos que hacer algunos números.

De: Argus
2014-03-07 12:07

Bevender, si cuanto más cae hacia abajo el objeto, más velocidad tiene, estarás de acuerdo en que no puede ser un caso de movimiento rectilíneo en equilibrio en 0 grados con una fuerza de rozamiento hacia arriba y otra igual de la gravedad hacia abajo. Esto no supondría aumento alguno de velocidad :-)

El ejemplo del agujero negro me supera, pero hay otros ejemplos de situaciones en las que no se alcanca el cero, como el cero absoluto de temperatura: Haría falta un cuerpo más frío para alcanzar un equilibrio en cero exactamente. Así que el cero absoluto de temperaturas es más bien un concepto matemático.

El argumento de la película hacia atrás al fin y al cabo no es más que imaginar al objeto dentro de una trayectoria matemática pues está basado en una misma ecuación todo el tiempo. Y la ecuación se puede recorrer hacia alante y hacia atrás sin cambios. Y matemáticamente una asíntota nunca será una línea recta con ángulo 0. Ese es sólo el límite en el infinito.

Si el objeto se deslizase en algún momento con ángulo cero en una trayectoria matemáticamente rectilínea necesitaremos una fuerza exterior para sacarlo de ahí tanto hacia alante como hacia atrás.

De: Venger
2014-03-07 14:14

Me gustaría comentar algo sobre el significado de la respuesta: el hecho de que la velocidad a la que se desliza al final sea la mitad de la velocidad inicial. Eso significa que la velocidad del objeto cayendo termina dependiendo únicamente de la velocidad inicial. De su módulo y ¡de su dirección!.

Por ejemplo, si la velocidad inicial es en dirección "cuesta abajo" (ángulo 0º), el objeto termina cayendo a la misma velocidad uniformemente.

Si la dirección es perpendicular (ángulo 90º), como en el caso éste, la velocidad termina siendo la mitad

Y si la dirección es "hacia arriba" (ángulo 180º), el objeto terminará parándose.

De manera que tenemos un abanico de velocidades finales que van desde 0 a V0 y que depende del ángulo con que lo lancemos (de 0 a 180º).

Pedro, lo podías haber complicado muchísimo más, por ejemplo, preguntando: "¿Con qué ángulo debo lanzar el objeto por el plano inclinado para que su velocidad final sea 1/3 de la velocidad inicial?

Ese problema seguro que no lo resuelve ni Conchita, ja ja ja

Un saludo a todos!

De: pascual
2014-03-07 20:03

¡Por fin! Obsesionado como estaba en que la expresión

v(t+dt)-v(t)=-adt

representaba el cambio neto del módulo de la velocidad, la explicación de Pedro no fue suficiente para darme cuenta de que la expresión

vca(t+dt)-vca(t)=adt

tampoco representaba el cambio neto del módulo de la componente cuesta abajo de la velocidad. Ello motivó que le enviara a Pedro un correo personal con un contraejemplo basado en recipientes con agua, que espero que haya borrado enseguida. Ahora ya veo claro que si expresamos los cambios netos:

v(t+dt)-v(t)=-adt+(a cos theta) dt

vca(t+dt)-vca(t)=adt -(a cos theta )dt

entonces la suma

v+vca

es constante por lo que

v+v(cos theta)=vo

de donde, si theta tiende a 0º entonces v tiende a vo/2.

No obstante, he intentado resolver el problema desde otro punto de vista, para asegurarme. Si escribimos las ecuaciones del movimiento en las direcciones tangencial y normal y utilizamos la relación

v^2/rho=a_n

se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales muy sencillo de resolver con las variables v y theta:

dv/dt=g/2(-1+cos theta)

v^2/rho=g/2(sen theta)

Teniendo en cuenta que

dv/dt=-v/rho dv/dtheta

Tras sustituir rho se llega a la EDO

(1/v)dv/dtheta=(1-cos theta)/sen theta

que es de variables separadas y se integra fácilmente con técnicas que estudiábamos en bachillerato. La expresión del módulo v de la velocidad a la que llego es:

v=vo tg(theta/2)/sen theta

y ahí se comprueba que si theta es 90º entonces v=vo

y si theta tiende a 0º entonces v tiende a v0/2, pero esto es un límite que no se alcanza, así es que el movimiento del objeto no es rectilíneo uniforme sino asintótico, creo yo. El cálculo variacional que proponía en un comentario anterior sólo se refería al caso en que el rozamiento es proporcional a la velocidad y de sentido contrario, y no como en este caso en el que el rozamiento es proporcional al vector unitario tangencial y de sentido contrario a él. Así pues, como prometí, rectifico lo dicho en mis comentarios anteriores que contradigan lo expuesto ahora y aprovecho para felicitar con mucho retraso a Mmonchi y José Manuel.

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