El Tamiz

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Desafíos - La pendiente infinita

Hace ya unos meses desde el último desafío, de modo que espero que vuestras neuronas se hayan recuperado ya. Si no conoces nuestros desafíos, aquí tienes la presentación y la lista de todos los publicados hasta el momento.

El de hoy es un desafío físico, y para poder resolverlo debes conocer el concepto de fuerza de rozamiento entre superficies sólidas. No es algo extremadamente complicado, pero es posible que lo hayas olvidado desde que dejaste el colegio, de modo que aquí tienes un breve refresco: Rozamiento en un plano inclinado. Si no intentas el desafío, que no sea porque no te acuerdas de eso.

¿Listo? Pues vamos con él. Para ayudar a quienes mis estupideces alienígenas confunden, intentaré marcar en negrita datos concretos que no son simplemente tonterías de la historia.

La pendiente infinita

En el planeta Itaivlas III existe una atracción turística muy curiosa: una pendiente metálica infinita. Es un plano metálico pulido, inclinado 30º sobre la horizontal, que no tiene bordes en ninguna dirección. Esto suele sonar raro, especialmente a criaturas procedentes de planetas donde la geometría euclidiana causa algo más que risa; la pregunta más común entre ese tipo de criaturas es, “Si esto es así, ¿cómo se entra y se sale del plano inclinado?”. Ante una pregunta tan ignorante, los itaivlanos no suelen dignarse a contestar.

La inclinación de 30º del plano respecto a la horizontal, por supuesto, significa que en el bolsillo espacio-temporal de esta pendiente infinita hay un”arriba” y un “abajo”. Estas direcciones existen porque en este pequeño sub-universo infinito la aceleración de la gravedad es de 10 m/s2 y tiene la misma dirección en todos los puntos: el “abajo” de esta región. Los itaivlanos suelen hablar, además, de la dirección “cuesta abajo”, que es la que sigue un objeto que cae por la pendiente si se deja en reposo.

El metal del plano está muy bien pulido, y no hay aire alguno sobre él, de modo que los turistas a veces juegan a dejar caer objetos por la pendiente y ver cómo se van alejando más y más hasta perderse en la distancia. De hecho, los itaivlanos venden diferentes objetos –unos con una superficie de apoyo rugosa, otros lisa– para que los turistas se diviertan probando con unos u otros.

Un ejemplo es el siguiente:

Se toma un objeto de masa m cuya base es tan lisa que no existe rozamiento con el plano. El objeto se lanza con una velocidad inicial v0 perpendicular a la dirección “cuesta abajo”. El objeto va cambiando la dirección de movimiento con el tiempo, ya que la gravedad hace que caiga por la pendiente.

Esto significa que, en el instante inicial, el objeto se mueve en una dirección que forma 90º con la dirección “cuesta abajo”, pero poco a poco ese ángulo se va haciendo más pequeño. Naturalmente, cuanto más rápido era el movimiento inicial en perpendicular del objeto, más tarda el ángulo en alcanzar un valor determinado, pero el ángulo con la cuesta abajo tiende a cero cuando el tiempo se hace infinito.

De manera que aquí tienes la pregunta inicial del desafío: calcula el valor del ángulo θ que forma la dirección de movimiento del objeto en función del tiempo. Si lo haces bien podrás comprobar que, haciendo el tiempo infinitamente grande, el ángulo tiende a cero (es decir, el objeto termina moviéndose “cuesta abajo”).

El desafío de hoy tiene una segunda parte, pero sólo si respondes correctamente a la primera recibirás la segunda: envía la expresión que pido a la dirección de siempre y te llegará de vuelta la siguiente pregunta. El límite de tiempo para responder a la última pregunta es el jueves que viene, día 13, de modo que no hay gran prisa para responder, pero tampoco dejes la primera pregunta para el último día porque tal vez no te dé tiempo a seguir luego.

Aunque me repita como un loro: por favor, no contestéis al desafío en comentarios, porque le aguáis la fiesta al resto, y no lo hagáis precipitadamente porque el orden en el que llegan las respuestas no influye, lo que importa es lo bien explicado que está y, por supuesto, que esté bien. También os recuerdo, sobre todo para los que estáis en la carrera, que es perfectamente aceptable hacerlo en grupo siempre que se incluyan los nombres de todos los participantes en el correo para honrarlos como merecen.

¡Que disfrutéis del papel y lápiz!

Desafíos

18 comentarios

De: Bevender
2014-02-11 14:04

Tengo muchas dudas sobre el rozamiento... Así que si algún alma caritativa me ayuda... La fuerza de rozamiento dinámica, dadas las dos superficies tiene modulo constante? O es proporcional a la velocidad?

Y en lo que me he atascado de verdad. El rozamiento tiene la misma dirección que la velocidad. Pero la velocidad se calcula a partir de la velocidad inicial y la aceleración, que proviene de la suma de todas las fuerzas. Pero si no conocemos la direccion delas fuerzas ( la de rozamiento) ni la velocidad... ¿Valdría suponer que la dirección de la velocidad en un momento dado, es la misma con o sin rozamiento? ¿ La fuerza de rozamiento solo ralentiza el movimiento, pero no afecta a su dirección? Lo dudo, el problema no tendría ninguna gracia...

Help

De: manuel
2014-02-11 20:47

Hola Bevender. Si no recuerdo mal la f de rozamiento ente dos superficies es constante pero tiene dos valores: antes de que deslicen entre ellas y cuando deslizan entre ellas. Y es proporcional al coeficiente de rozamiento (hay dos, uno para cada uno de los casos descritos). El rozamiento que es proporcional a la velocidad es el rozamiento que se produce al moverse en un fluído ( o sea algo movíendose en el agua o en el aire). En lo que se refiere al problema esto es indiferente porque el rozamiento es cero. CUidado porque puedo estar casi completamente equivocado! saludos

De: pascual
2014-02-12 11:36

Si he entendido bien la pregunta, NO hay rozamiento entre el plano y el objeto que se lanza con una dirección perpendicular a la dirección "cuesta abajo" ¿no es así?

De: hipolito
2014-02-12 19:45

saludos... primera vez que entro a la pagina, me parece que el materila publicado es bueno...

pero me confunde algo en este desafio, perdonen mi ignorancia, cuando leo pendiente infinita me imagino un plano vertical (hablan de inclinacion de 30°) por lo que leo en el texto creo que lo infinito no es la pendiente sino el plano... aclaren mi duda por favor, Grecias...

De: Bevender
2014-02-12 23:44

Hipólito: es como tu dices, un plano de 30º pero es un plano infinito, creo que para que nadie le diga a Pedro: " y cuando se de con la pared o se caiga por el borde..." Manuel y Pascual: primero, gracias por intentar contestarme. Es verdad que en la primera parte del desafío( la escrita) el rozamiento es nulo. Pero (dada la introducción del articulo) creo que no desvelo gran cosa, si sospecho que en la segunda parte el rozamiento hará su aparición. Complicando todo, por cierto.

Me he leído el enlace a la Wikipedia que hay al principio del articulo, el trozo de las pendientes. Y cada vez veo mas claro que me aprobaron la fisica en COU sin tener ni idea ( que me regalaron la mecánica clásica en tercero de carrera ya lo tenia asumido)

De: Bevender
2014-02-13 00:03

Voy a intentar decir donde estoy...después de leer la wiki Si hubiera rozamiento... Hay 4 fuerzas involucradas: el peso ( con sus dos componentes, la perpendicular al plano y la paralela al plano), la fuerza normal (que es igual a la componente perpendicular del peso, pues el plano no se hunde), la fuerza de rozamiento ( entiendo que dinámico, pues el cuerpo empieza con una velocidad inicial, con lo cual no debería haber una resistencia inicial ¿No?) que se puede calcular si nos dan el coeficiente de rozamiento, y la fuerza de inercia ( que intenta que las cosas se paren + o -, y que no se calcular) Lo único que pone ademas en la wiki, es que si las fuerzas están en equilibrio, entonces la fuerza de inercia + la fuerza de rozamiento igualan a la componente transversal del peso. Esto ultimo que quiere decir? Que si estuvieran en equilibrio la suma de sus fuerzas seria cero y no habría aceleración, y el movimiento seria perpendicular y uniforme por los siglos de los siglos, como fue en un principio? Me suena absurdo... Odio la dinámica

De: Mmonchi
2014-02-13 17:51

"Esto ultimo que quiere decir? Que si estuvieran en equilibrio la suma de sus fuerzas seria cero y no habría aceleración, y el movimiento seria perpendicular y uniforme por los siglos de los siglos, como fue en un principio? Me suena absurdo..."

Bevender, si hay equilibrio la suma de las fuerzas es cero, y no hay aceleración, y el movimiento es uniforme. Piensa en alguien en caída libre, que tras un periodo de aceleración llega a la velocidad terminal. Si no fuera por las diferencias de densidad del aire y, sobre todo, por el inevitable choque con el suelo, caería a la misma velocidad por los siglos de los siglos... ;-)

De: Hotze
2014-02-13 23:55

Bevender: no estoy seguro de qué página de wikipedia has visitado, pero creo que andas confundido con el concepto de inercia. En general, no existe ninguna "fuerza de inercia" que intente detener los objetos que se mueven. Al contrario, precisamente la primera ley de Newton es que un objeto en equilibrio de fuerzas se mantendrá su estado inicial de reposo o movimiento rectilíneo uniforme. Son las otras fuerzas que has nombrado(la normal, la gravedad y el rozamiento) las únicas que entran en juego. Por último, creo que no desvelo gran cosa si te digo que, como bien intuyes, no parece muy lógico que el objeto se mueva por siempre perpendicularmente a la pendiente, ignorando la gravedad. La dinámica clásica no suele ser ir tan en contra de la intuición. ;-)

De: Bevender
2014-02-14 01:00

Gracias Mmonchi. Ahora imagina un cuerpo que se desliza con velocidad constante ( digamos por un tubo horizontal estupendamente lubricado) antes de caer en el plano moviendo hacia la derecha.

Y ahora, supón que el rozamiento en ese plano es tal que la suma de las fuerzas es cero ( no habría aceleración como bien dices, ni deceleración ni cuesta abajo ni hacia ningún lado) según el caso de la wiki.

¿El cuerpo seguiría moviéndose hacia la derecha como si nada le hubiera pasado? El coeficiente de rozamiento es positivo, o sea la superficie raspa. ¿ No debería pararse o ir un poco mas lento?¿ O al menos caer un poco hacia abajo?

De: Antonio E.
2014-02-14 10:24

Explicando el desaguisado de la fuerza de inercia que aparece en Wikipedia: se trata de una fuerza ficticia, que aparece al situar el sistema de referencia en el propio cuerpo que resbala. Por eso se anula si no hay aceleración (sería un sistema inercial) y por eso resulta ser [Fi= - M x a], es decir igual que la resultante de las fuerzas reales pero en sentido contrario.

De: Mmonchi
2014-02-14 12:03

Bevender, si hay un coeficiente de rozamiento, hay una fuerza de rozamiento que se opone al movimiento. Si la suma de las fuerzas es cero y existe la fuerza de rozamiento, debe existir una fuerza igual y de sentido contrario que la equilibre. Pero en este caso cuando se mueve hacia la derecha no existe esa fuerza hacia la derecha que equilibra el rozamiento, luego el cuerpo no está en equilibrío.

No quiero decirte más porque el problema está abierto, pero piensa en la dinámica, no en la estática, y en las aceleraciones.

De: Bevender
2014-02-14 13:17

Gracias hotze: Efectivamente tienes razón, tengo un error de concepto. Lo malo es que no se cual es. A ver si al leer la solución del sábado se me abren los cielos

De: Pisoracae
2014-02-16 02:41

En mi opinión el enunciado no está completo. Existen infinitas direcciones perpendiculares a otra dada. Por alguna razón yo imaginé que la dirección de lanzamiento era también perpendicular al plano, por lo que el enunciado era absurdo. Hoy he vuelto a darle vueltas al tema y se me ha encendido la bombilla al comprender que la dirección de lanzamiento es perpendicular a la dirección cuesta abajo, pero sobre el plano. He conseguido la solución, pero ya es tarde. Espero con ansias el próximo desafío. Gracias por este maravillosa web.

De: Pedro
2014-02-16 11:09

Pisoracae, lo siento, tienes razón, pero pensé que el hecho de que el movimiento era sobre el plano se sobreentendía. Siempre intento que no haya ambigüedad, pero a veces pasan estas cosas...

De: Mmonchi
2014-02-16 14:07

Itaivlas, el nombre del planeta... ¿puede venir de Salviati, el alter ego de Galileo en sus Diálogos?

Pedro, alguna vez deberías desvelar las claves escondidas en los nombre que utilizas en las Desafíos. Permiten muchas más lecturas, más profundas.

De: Pedro
2014-02-16 14:42

Mmonchi, sí, es Salviati... entre otras cosas he estado traduciendo fragmentos de los Discorsi (no sé si sería interesante compartirlos o no), con lo que lo tenía en la mente :)

De: Bevender
2014-02-16 16:24

Hablando de traducciones ... http://m.taringa.net/posts/ciencia-educacion/16147545/Richard-P-Feynman-Lecturas-sobre-Fisica.html Parece que son el volumen 1 y 2 escaneados.

De: Hotze
2014-02-16 17:39

Bevender, no me había fijado en que Pedro puso un enlace a Wikipedia al principio del artículo, y que era a ése al que te referías. Efectivamente, si te vas a la página te habla de una fuerza de inercia que se opone al movimiento del cuerpo. Como ha aclarado Antonio E, se trata de un cambio de sistema de referencia y se puede llegar al resultado correcto con ese método. Sin embargo, considero que la forma de explicarlo en Wikipedia no es la más adecuada y que, como te ha sucedido a ti, puede llevar a confusiones. En la sección de comentarios del artículo http://eltamiz.com/2007/04/27/falacias-en-el-espacio-no-hay-gravedad/ se discute algo parecido acerca de la conveniencia o no de emplear fuerzas de inercia a la hora de estudiar el movimiento de un cuerpo. Yo soy de la opinión de que todo queda mucho más claro si sólo se plantean las fuerzas reales y se echa mano de la segunda ley de Newton para calcular la aceleración.

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