El Tamiz

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[Matemáticas I] Ecuaciones polinómicas

En los primeros dos capítulos de este bloque matemático introductorio tras la presentación hemos hablado sobre variables y expresiones algebraicas y el concepto de ecuación. Hoy ahondaremos en el estudio práctico de las ecuaciones polinómicas y, cuando terminemos, espero que seas capaz de atacar muchas ecuaciones de una incógnita que se te pongan por delante.

Por si acaso lees esto en algún lugar en el que los símbolos LaTeX no se ven bien (si ves símbolos del dólar alrededor de esta $x$, es el caso) y el título no te lleva al artículo en la web, aquí tienes el enlace: http://eltamiz.com/2013/12/26/matematicas-i-ecuaciones-polinomicas/.

Pero antes, como siempre, veamos las soluciones al desafío del final del capítulo anterior.

Solución al desafío 3 - Ecuaciones simples

El desafío nos pedía encontrar las soluciones a varias ecuaciones que no requerían otra cosa que operaciones algebraicas sencillas. Iré poco a poco en cada una para que, si has metido la zarpa, veas dónde y te acostumbres al modo de pensar necesario para llegar al final:

La primera ecuación:

$$-p - 2 = p + 8$$

Sumamos $p$ en ambos miembros:

$$ -p -2 + p = p + 8 + p$$ $$ -2 = 2p + 8$$

Restamos 8 en ambos miembros:

$$ - 2 - 8 = 2p + 8 - 8$$ $$-10 = 2p$$

Finalmente, dividimos ambos miembros entre 2:

$$\frac{-10}{2} = \frac{2p}{2}$$ $$-5 = p$$

Luego la solución era $p = -5$. Para comprobarlo podemos volver a la ecuación original (hazlo y verás que se cumple).

La segunda ecuación:

$$2h - 1 = \frac{h + 1}{2}$$

Multiplicamos por 2 en ambos miembros:

$$2 \cdot (2h-1) = 2\frac{h+1}{2}$$ $$4h - 2 = h+1$$

Restamos $h$ en ambos miembros:

$$4h-2-h = h+1-h$$ $$3h - 2 = 1$$

Sumamos 2 en ambos miembros:

$$3h -2 + 2 = 1+2$$ $$3h = 3$$

Dividimos entre 3 en ambos miembros:

$$\frac{3h}{3} = \frac{3}{3}$$ $$h = 1$$

Luego la solución era $h = 1$, y puedes volver a la ecuación original y sustituir $h = 1$ para ver que se cumple.

La tercera ecuación:

$$y^2 = \frac{y}{4}$$ Dividimos entre $y$ en ambos miembros: $$\frac{y^2}{y} = \frac{y}{4y}$$ $$y = \frac{1}{4}$$

Luego la solución es $y = \frac{1}{4}$… pero hemos eliminado una solución válida al dividir entre la propia variable $y$, la solución $y = 0$. Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones, $y = 0$ y también $y = \frac{1}{4}$, que puedes sustituir para comprobar que se cumple la original.

La cuarta ecuación:

$$6(w-2) = 13w-(w+12)$$

En primer lugar operamos en ambos miembros:

$$6w - 12 = 13w - w - 12$$ $$6w-12 = 12w-12$$

Sumando 12 en ambos miembros,

$$6w - 12 + 12 = 12w - 12+12$$ $$6w = 12w$$

Dividimos ambos miembros entre $w$:

$$\frac{6w}{w} = \frac{12w}{w}$$ $$6 = 12$$

¡Imposible! ¿Quiere esto decir que la ecuación no tiene soluciones? No, porque al dividir entre $w$ hemos eliminado la solución $w = 0$. Por lo tanto debemos incluirla, y ya que no hemos llegado a ninguna otra solución válida, $w = 0$ es la única solución de la ecuación. Algo parecido hubiésemos obtenido si en vez de dividir entre $w$ hubiéramos restado en ambos miembros $6w$:

$$6w - 6w = 12w - 6w$$ $$0 = 6w$$

Dividiendo entre 6,

$$\frac{0}{6} = \frac{6w}{6}$$ $$0 = w$$

La quinta ecuación:

$$\frac{x-1}{4} + x = \frac{x}{6} -4$$

Nos libramos de los denominadores si multiplicamos ambos miembros por 12 (el mínimo común múltiplo de 4 y 6):

$$12\frac{x-1}{4} + 12x = 12\frac{x}{6}-48$$ $$3(x-1) + 12x = 2x - 48$$ $$3x -3 + 12x = 2x - 48$$ $$15x-3 = 2x-48$$

Restamos 2x a ambos miembros:

$$15x-3-2x = 2x-48-2x$$ $$13x -3 = -48$$

Sumamos 3 a ambos:

$$13x-3+3 = -48+3$$ $$13x = -45$$

Dividiendo entre 13 ambos miembros llegamos a la solución:

$$\frac{13x}{13} = \frac{-45}{13}$$ $$x = -\frac{45}{13}$$

Finalmente, la sexta ecuación:

$$\frac{2}{q} - \frac{4}{q} + \frac{q}{q^2} = 0$$

Multiplicamos ambos miembros por $q$:

$$\frac{2q}{q} - \frac{4q}{q} + \frac{q^2}{q^2} = 0q$$ $$2 - 4 + 1 = 0$$ $$-1 = 0$$

Luego en este caso no hay solución alguna (infinito es una solución, pero a este nivel ni siquiera la consideramos), ya que no hemos hecho nada que elimine soluciones numéricas pero llegamos a un imposible independiente del valor de $q$. La ecuación era irresoluble (y el profesor un malvado).

Ecuaciones polinómicas

Ya vimos en el capítulo anterior que hay infinitas ecuaciones posibles, con multitud de variables en ellas. Sin embargo es muy común encontrarse con ecuaciones en las que sólo desconocemos una de ellas, y a menudo es sencillo resolverlas, de modo que creo que merece la pena detenernos un capítulo en ellas para estudiar cómo resolver las más comunes de todas: las ecuaciones polinómicas. Si te estás preguntando por qué dedicamos un capítulo a esto, paciencia que luego hablamos del porqué.

Todas las ecuaciones que te pedí que resolvieras en el desafío del capítulo anterior eran ecuaciones de una sola incógnita y, además, polinómicas. Una ecuación polinómica es aquella en la que las expresiones algebraicas de ambos miembros son polinomios de una variable. Esto puede llevarte –especialmente si hace años que lo estudiaste– a la pregunta evidente de ¿qué diablos es un polinomio?

Un polinomio es una expresión algebraica de una variable (por ejemplo, z) de este tipo:

Donde $a, b, c, d, e…$ son números. Dicho de otro modo, un polinomio es una suma de números multiplicados por potencias de la variable de exponente entero (1, 2, 3…), hasta donde nos dé la gana. Aquí tienes dos ejemplos:

Esto, en cambio, no son polinomios:

El nombre es una mezcolanza de griego y latín: poli (muchos) y nomen (nombre). Creo que el origen en álgebra es a partir de binomio (dos nombres o términos), ya que en matemáticas a partir del XVII se empezó a utilizar nomen en el sentido de término en una expresión. Así, $a + 2$ es un binomio, ya que consta de dos términos, mientras que $b^2 + b - 2$ es un trinomio. Al final se acabó usando polinomio en general, para cualquier número de términos, siempre que éstos fueran potencias enteras de una misma variable.

El grado de un polinomio es el máximo exponente de la variable. En el primero de los dos polinomios válidos de antes el grado es 3 y en el segundo es 5. Aunque suene un poco tonto, $r+2$ es un polinomio de grado 1, y $54$ es un polinomio de grado 0. El grado de una ecuación polinómica es el grado del mayor de los polinomios de ambos miembros.

¿Por qué las ecuaciones polinómicas son suficientemente importantes como para que les dediquemos una entrada? Hay dos razones. En primer lugar son extraordinariamente comunes en muchas situaciones de la vida real; en segundo lugar hay, hasta cierto punto, modos muy sencillos de resolverlas. Esto significa que las recompensas de su estudio son muy grandes comparadas con el esfuerzo que requiere estudiarlas –aunque requiere esfuerzo, desde luego–.

Aquí tienes varios ejemplos de ecuaciones polinómicas:

La primera es de grado 3, la segunda de grado 2, la tercera de grado 1 y la última de grado 9.

Número de soluciones de una ecuación polinómica

Las malas noticias son que no siempre es posible resolver fácilmente las ecuaciones polinómicas: hoy veremos cómo hacerlo hasta cierto grado, y cómo atacar grados mayores. Las buenas noticias son que, al menos, sí es posible saber cuántos valores de la incógnita resuelven la ecuación como mucho.

La forma en la que suele hablarse de esto es como del número de soluciones, un nombre no demasiado afortunado porque ya vimos que solución hay una sola: el conjunto de valores que resuelve la ecuación. Así, la solución de $x^2 = 1$ lo constituyen dos valores de $x$, -1 y 1. Sin embargo muy a menudo se dice que esa ecuación tiene dos soluciones, y todos nos entendemos: quiere decir que la solución es un conjunto de dos valores.

Esto de saber el número de soluciones puede no parecer muy útil –lo que queremos saber son los valores en sí, no cuántos hay–, pero supone una gran ventaja: si sabemos que la ecuación no tiene más de tres soluciones y hemos encontrado ya tres, ¡podemos dejar de buscar, porque la hemos resuelto!

Hay más buenas noticias: es muy fácil saber cuántas soluciones diferentes hay, como máximo, para una ecuación polinómica. Basta con fijarse en el grado de la ecuación.

Dicho mal y pronto, una ecuación polinómica de grado $n$ tiene $n$ soluciones diferentes como mucho. Por ejemplo, una ecuación de tercer grado tiene como mucho tres soluciones distintas, y una de grado 9 no tiene más de nueve soluciones. Esto significa, como podrás imaginar, que cuanto mayor es el grado más difícil es resolver la ecuación. Al fin y al cabo, una de primer grado sólo requiere encontrar un valor de la incógnita que la resuelva, mientras que una de grado doce es una pesadilla de tomo y lomo.

¿Por qué?

No puedo expresar cuánto odio no poder demostrarte por qué lo que acabamos de ver es cierto. No me gusta nada dar dogmas sin demostración. El problema es que la demostración requiere cosas que no hemos visto y que están bastante por encima del nivel que quiero dar en este bloque. La cosa es, además, bastante irónica.

La razón de que se cumpla esta relación entre el grado de la ecuación y el número de soluciones es el teorema fundamental del álgebra [http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_álgebra], que tiene que ver con el número de raíces de un polinomio de coeficientes complejos.

Lo irónico del asunto es que este teorema no es tan fundamental para el álgebra moderna como cuando recibió el nombre y, además, *su demostración no puede hacerse utilizando únicamente el álgebra*. Por eso no lo demostramos aquí y por esa razón este cuadro de texto de disculpa. Si te interesa el asunto puedes visitar el enlace y leer sobre ello. Te prometo que, cuando tengamos suficiente equipaje detrás, lo demostraremos en un bloque superior (siempre que me lo recuerde alguien cuando llegue el momento, claro).

Recorramos los diferentes grados de una ecuación polinómica, por lo tanto, para que tengas herramientas para poder resolverlas una tras otra sin la menor piedad. ¿Preparado? Pues empecemos con las más simples de todas, las de primer grado.

Ecuaciones lineales

El tipo más simple de ecuación polinómica es el que resolvimos casi siempre en el capítulo anterior: la ecuación de grado 1, por ejemplo:

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones lineales, y para resolverlas no hay más que emplear las técnicas comunes que describimos entonces. Se trata del tipo de ecuación que hemos resuelto desde hace más tiempo históricamente hablando, ya que no tienen ningún misterio.

Ecuaciones cuadráticas

El segundo tipo más simple lo constituyen las ecuaciones de grado 2, también llamadas ecuaciones cuadráticas. En ellas, como es lógico, los polinomios de ambos miembros son de segundo grado, como por ejemplo en ésta:

Lo habitual –luego veremos por qué es muy útil– es convertir este tipo de ecuaciones en una igualdad entre un polinomio de segundo grado y 0. Por ejemplo, en la de arriba podemos restar $2+b^2$ a ambos miembros y obtener:

De ahí que la forma en la que se escribe la ecuación cuadrática en forma general suele ser:

Naturalmente supondremos que $a \ne 0$, ya que de otro modo la ecuación ya no sería de segundo sino de primer grado.

Las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse de un modo muy simple, ya que existe una fórmula que proporciona directamente las posibles soluciones de la ecuación –que son, como mucho, dos soluciones diferentes–. El primero en obtener esta fórmula de manera clara y concreta fue un matemático y astrónomo indio, Brahmagupta, alrededor del año 628.

Emulemos a Brahmagupta, por tanto, y demostremos que existe una expresión que nos proporciona directamente las soluciones (aunque nuestra demostración no será la misma que la suya, espero que te quede bien clara). Sé que no hace falta demostrar esta fórmula para utilizarla, pero también creo que siempre es mejor no usar la magia: es conveniente saber la razón de las cosas, aunque no sea algo que utilices constantemente.

Partimos de la ecuación general, $ax^2 + bx + c = 0$. Recuerda que podemos hacer lo que nos dé la gana a ambos miembros de la ecuación mientras que sea una ecuación equivalente –se mantenga el equilibrio entre miembros–.

Así, podemos multiplicar ambos miembros por $4a$:

Sumamos en ambos miembros $b^2 - 4ac$:

La razón de hacer esto es que, si observas el miembro de la izquierda, es un cuadrado perfecto: $(u + v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv$. Fíjate en ese $4a^2x^2 + 4abx + b^2$ y podrás reconocer el primer término al cuadrado ($4a^2x^2$), el segundo al cuadrado ($b^2$) y el doble del producto del primero por el segundo término ($4abx$).

Dicho de otro modo, $4a^2x^2 + 4abx + b^2$ es lo mismo que $(2ax + b)^2$. Así, podemos escribir la ecuación completa como

Hacemos la raíz cuadrada en cada miembro y ya casi hemos terminado:

El signo $\pm$ se debe a que la raíz cuadrada puede ser igualmente positiva que negativa, como hemos dicho antes al hablar de posibles soluciones.

Sólo nos quedan por hacer dos cosas para despejar $x$. En primer lugar restamos $b$ en ambos miembros:

Y para terminar dividimos ambos miembros entre $2a$ para obtener $x$:

Hemos obtenido lo que se denomina fórmula cuadrática, que es probablemente la expresión que te enseñaron en el colegio –y, si tuviste más suerte que yo, incluso te demostraron para no tener que creer en la magia–. Naturalmente, insisto: siempre que te encuentres con una ecuación de segundo grado puedes simplemente utilizar la fórmula de Brahmagupta sin más.

Así, si nos encontramos con

Podemos usar la expresión para resolver la ecuación. En este caso $a = 1$, $b = -2$ y $c = 1$, de modo que

Como siempre, puedes sustituir en la ecuación original para comprobarlo. Puedes ver que en este caso hay un único valor de $k$ que resuelve la ecuación; lo bueno de la fórmula cuadrática es que no tenemos que volvernos locos intentando resolver la ecuación, sino que basta con aplicarla.

Ecuaciones de grado superior

Las cosas se vuelven más arduas cuando el grado de la ecuación es mayor que dos. Es fácil saber cuántas soluciones como máximo puede tener la ecuación, pero salvo en casos bastante fáciles es una pesadilla hallarlas, pues no siempre hay un método analítico general que obtenga las soluciones como en el caso de la ecuación cuadrática. Las buenas noticias son que las ecuaciones lineales y las cuadráticas constituyen un tanto por ciento enorme de las que puedes encontrarte en niveles básicos de Física –que es la razón de que estemos estudiando esto–. Pero ¿qué hacer cuando nos encontramos con horrores del tipo $h^7 - 3h^3 + h^2 - 4 = 6h^5$?

Si estudiaste esto en el colegio, probablemente te explicaron el método de Ruffini-Horner para encontrar soluciones a ecuaciones de grado arbitrariamente alto, y te pasabas el tiempo probando posibles soluciones hasta encontrar las buenas. Sin embargo, en este bloque yo no voy a explicarte ese método (si no sabes de lo que hablo, ni te preocupes del asunto y puedes saltarte el siguiente párrafo).

Tengo dos razones para no hacerlo . La primera es que tardaríamos bastante y no serías más eficaz ni más rápido que con el método que sí voy a explicar. La segunda es que en el colegio –al menos a mí– nunca nos demostraron el porqué ni de las soluciones que probábamos, ni del sistema en sí. Para que yo explicara las razones y demostrase todo aquí me haría falta mucho espacio y tiempo… pero ¿para qué? En su momento tenía sentido usar esos métodos, pero hoy en día no hace demasiada falta. Existen métodos numéricos que permiten obtener las soluciones muy fácilmente si sabes programar un poco, o utilizar herramientas ya programadas.

Sí voy a hablar de un caso particular, una vez más por la relación recompensa-esfuerzo. Si has comprendido cómo resolver ecuaciones cuadráticas, existe otro tipo de ecuaciones de grado superior que no supondrán ningún problema para ti: las ecuaciones de grado 4 que son reducibles, con una pequeña sustitución, a ecuaciones cuadráticas.

Se trata de ecuaciones de grado 4 en las que no existen potencias de exponente impar, por ejemplo $4g^4 -3g^2 = 7$. Aunque nominalmente la ecuación sea de grado cuatro, es posible hacer un simple cambio de variable para convertirlas en algo mucho más simple. Si definimos una nueva variable $x = g^2$, entonces podemos escribir la ecuación anterior como $4x^2 -3x = 7$, que es una simple ecuación cuadrática. Una vez resuelta y con los valores de $x$ en la mano sólo tenemos que volver a la definición $x = g^2$ y calcular los valores posibles de $g$. Un ejemplo será la manera más fácil de verlo, precisamente con la ecuación que acabo de mencionar.

Si resolvemos con la ecuación cuadrática $4x^2 - 3x - 7 = 0$ obtenemos los valores de la solución –te dejo que lo hagas para practicar–, $x = -1$ y $x = \frac{7}{4}$. A continuación podemos ir a la definición y tendremos dos ecuaciones: $-1 = g^2$ y $\frac{7}{4} = g^2$. La primera no tiene soluciones reales, ya que un número real al cuadrado no puede ser negativo, pero la segunda sí: $g =\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Como digo, es raro que en bloques que se basen en éste –es decir, Física preuniversitaria– te encuentres con una ecuación de grado siete. ¿Cuál es el método que te recomiendo, si eso sucede? Muy sencillo: el análisis numérico hecho por un programa de ordenador. Es absurdo, en el año en el que vivimos, ir probando posibles valores de la solución. Es mucho más eficaz aplicar el análisis numérico; idealmente tras entender cómo se programa, pero no es éste el momento ni el lugar. Hasta entonces mi recomendación es bien clara – Wolfram Alpha. Si introduces la ecuación de grado 7 de arriba puedes ver la solución en un momento.

Ecuaciones cúbicas

Aunque aquí no le dediquemos tiempo, al igual que Brahmagupta obtuvo la fórmula general que resuelve de manera analítica las ecuaciones cuadráticas, existe también una fórmula que proporciona las soluciones de la ecuación cúbica, es decir, la ecuación polinómica de grado 3. En un principio obtuvimos fórmulas para casos “fáciles”, como aquellos en los que no hay término al cuadrado, pero finalmente obtuvimos una general.

¿Por qué no hablamos aquí de ella? Porque, una vez más, demostrarla requiere conocimiento que aún no hemos descrito aquí, como por ejemplo el concepto de número complejo. Sin embargo, si tienes interés, puedes leer sobre ella aquí.

Es muy posible, que algún siglo de estos, tras algún bloque de programación orientada a las ciencias, hablemos sobre métodos de análisis numérico y resolvamos ecuaciones como ésa con programas hechos por nosotros mismos, pero por ahora puedes apoyarte en las muletas de Wolfram Alpha para salir de atolladeros de grado catorce. No te avergüences de ello.

Armado con las herramientas que llevamos hasta ahora, en el siguiente capítulo del bloque atacaremos otro problema algebraico muy común en Física: los sistemas de ecuaciones. Pero, antes de eso, recapitulemos.

Ideas clave

Éste ha sido un capítulo más bien práctico, pero espero que te hayan quedado bien claras las ideas fundamentales:

  • Un polinomio es una suma de productos de números por potencias enteras de una variable.

  • Una ecuación polinómica es aquella en la que los dos miembros son polinomios de la misma variable.

  • El grado de una ecuación polinómica es el máximo exponente de la incógnita.

  • Una ecuación polinómica tiene un número máximo de soluciones igual a su grado.

  • Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, y es posible resolverla usando técnicas de despeje elementales.

  • Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2, y es posible resolverla usando la ecuación cuadrática.

  • Las ecuaciones de grado superior, salvo casos especiales, deben ser resueltas usando métodos numéricos.

Antes de seguir…

Hoy voy a dejarte algunas ecuaciones para resolver, ¡sorpresa! Hay un poco de todo: algunas lineales, otras cuadráticas y algunas de grado superior. Como siempre, os pido que no pongáis respuestas en comentarios, ya que podéis aguar la fiesta a los demás. En el siguiente capítulo del bloque daremos las soluciones a cada una.

Obtén las soluciones (si las hay, claro) de las siguientes ecuaciones polinómicas. Si puedes, hazlo tú mismo con papel y lápiz, pero si no, ya sabes. Si eres programador y tienes arrestos y tiempo, puedes incluso hacer algún programilla que vaya probando cosas –sin necesidad de saber métodos numéricos muy avanzados– y seguro que llegas a alguna parte.
  1. $-j + 2j^2 + j^3 = 0$
  2. $4u^2 - u = 2$
  3. $6a^4 - 2 + a^3 +2a^2 -a^3 = 2$
  4. $b^5 - 4b^4 +2b^3 + b^2 - 6b = -2$

Matemáticas

15 comentarios

De: Diego González
2013-12-26 21:19

la solución a la primera ecuación es -5 no 5. Lo teneis bien resuelto pero luego hay una errata. saludos :D

De: Héctor Cornejo Belón
2013-12-27 06:35

DICE Luego la solución era p=5 DEBE DECIR Luego la solución era p=-5

DICE 6w−12+12=12w−12 DEBE DECIR 6w−12+12=12w−12+12

De: Pedro
2013-12-29 09:15

Corregidas ambas, merci :)

De: angel
2014-01-09 02:14

¿Que es un cuadrado perfecto?

De: Pedro
2014-01-10 07:17

Es un número cuya raíz cuadrada es entera.

De: Bevender
2014-01-16 16:33

Solución de una ecuación es un valor que la satisface. Si hay dos valores, hay dos soluciones. Resolver= hallar todas las soluciones. No entiendo la contrariedad, ¿ Porque llamas solución a todo el conjunto de soluciones posibles?

De: Sergio B
2014-01-16 21:34

La cuestion es por que le llamas soluciones cuando solo hay una solucion, que sean varios valores no quita que todos juntos sean la solucion. Por ejemplo, en x al cuadrado igual a 1, 1 no es una solucion, y menos 1 tampoco, la solucion son los dos valores. Pervertimos el lenguaje y llamamamos solucion a los dos valores, pero es importante saber que lo estamos haciendo, para cuando no sea tan obvio.

De: Bevender
2014-01-17 01:18

En realidad, lo que pregunto es si tiene alguna ventaja llamar solución al conjunto de valores que satisfacen la ecuación. Por ahora, solo veo el problema de justificar la expresión " numero de soluciones", lo que no es una gran ventaja. Complicarse? Tg(x)=0, x=0 es una solución. A lo mejor con eso me vale o tengo que mirar entre el resto de los múltiplos de pi a ver que solución me vale. Todas las soluciones forman el conjunto de los múltiplos enteros de pi. Sistemas indeterminados, tienen infinitas soluciones que dependen de un parámetro. Si las dibujamos forman una recta ( o un hiperplano k dimensional cualquiera). Francamente, creo que decir que esa recta es el dibujo de LA solución si es pervertir la idea original.

Pero también creo que Pedro no es ningún tonto, y que si hace esa distinción es porque pedagógicamente le ve alguna ventaja. Salvo que no se lo haya planteado nunca demasiado y sea un vicio inculcado desde la mas tierna facultad de fisica. Que tampoco es un asunto para darle tantas vueltas.

De: Bevender
2014-01-17 01:35

Este articulo me recuerda al culebrón que me contaron en clase con las ecuaciones polinomicas... La cosa empezaba con un grupo de matemáticos pendencieros que se retaban entre ellos en callejones oscuros a hallar las soluciones de ecuaciones de segundo grado y, supongo, otros problemas. El que ganaba se llevaba la bolsa con el oro. De ellosScipione dal Ferro era el mejor. Hay quien decía que sabia resolver hasta las cubicas. Otros dicen que no, que fue su alumno Ferrari ( cuyo escudo todo el mundo sabe es un brioso corcel negro) que llego a resolver hasta la de cuarto grado. Todos los anteriores, tildan al pobre Tartaglia de ladron (ese adorable tartamudo que da nombre, mal que les pese a los fans de Pascal, al triángulo única cosa estéticamente bonita que ha salido del algebra) El caso es que después de que ganara a Ferrari en un duelo de esta manera, demostrando que poseía un mayor dominio ( y posiblemente la formula general) de la cubica, despertó en el medico y también matemático Girolamo Cardano la codicia. Cardano invitó a cenar a Tartaglia y con el vino consiguió sacarle unos versos como pista de la solución. Posteriormente la dedujo y publicó con su firma, para bien del pueblo e indignación de Tartaglia. Resueltas las ecuaciones de grado 3 y 4, la gente se animó a buscar la formula general para hallar todas las soluciones de la quintica. Pasaron dos siglos antes de que matemáticos como Abel o Galois se empeñaran en demostrar que eso era imposible. Y para demostrar eso tuvieron que utilizar conceptos abstractos como "grupo abeliano " o "cuerpo" iniciando lo que ahora conocemos como estructuras algebraicas.

De: Sergio B
2014-01-17 14:19

Por mi experiencia, y al menos en mi trabajo (ingenieria), normalmente los numeros se usan poco, todo son letras hasta el final. Por lo que las ecuaciones tienen una solucion, que normalmente representa infinitos numeros. Para una ecuacion polinomica de segundo grado la solucion es:

x=−(b±√(2b −4ac))/2a

Que es un conjunto infinito de pares de numeros. Para cualquier ecuacion en general llegas a conclusiones como esa y sueles tener una solucion, que en ocasiones son varias formulas, pueden ser distintas formulas para distintos rangos de numeros existen varias posibilidades, y siempre se habla de buscar la solucion de un problema.

Por ejemplo, si yo te digo que busco los puntos que tienen una distancia A, a un punto B. La solucion es un circulo (esfera o lo que sea en la dimension que estas hablando) de radio A y centro B. Hablar de que una de las soluciones es cualquiera de los puntos del circulo y que, por tanto, hay infinitas soluciones, no lo mas correcto. Y con correcto quiero decir practico, me estoy enfrentando a infinitos problemas, para los que puedo encontrar una pregunta general, con infinitos puntos solucion a los que puedo denominar singularmente como circulo. Estas generalizaciones son la base de los principios fisicos. Hasta creo que hablar del circulo solo nos es util en este caso si lo tratamos como una unidad, si vamos a estar pensando en infinidad de puntos, para que preocuparnos por si es un circulo o una recta?

Pero vamos, que puedes decirlo como quieras, al final se va a entender. Solo que tienes que tener claro que decir solo uno de los valores que lo cumple no es dar la solucion, es solo dar una solucion parcial. Por ejemplo 1, es una solucion parcial de raiz de x igual a 1, pero es la solucion exacta de valor absoluto de raiz de x igual a 1. Esas dos ecuaciones son distintas y por lo tanto no pueden tener la misma solucion. Si piensas en una ecuacion quadratica y que su solucion es solo uno de sus valores, hay ecuaciones de primer orden que lo cumplen tambien y tampoco son ecuaciones equivalentes.

De: Bevender
2014-01-18 00:00

Raiz de valor absoluto de x. La que has dicho si es equivalente a la anterior ;P Empiezo a vislumbrar que la razón de fondo es que mas adelante, es mas importante la forma que toma el "conjunto de soluciones" ( no me bajo del burro) que cada solución individual. Es como cuando en clase nos decían: la ecuación 5x+2y=7 es una recta que pasa por el punto... Y bla bla bla Lo que te interesa es la recta, vale. Pero formalmente, estas diciendo una barbaridad: una ecuación no es una recta. Y lo que digo, es que tampoco cuesta tanto decir ( al menos en 2º, 3º y hasta en 4º de la eso) que "al dibujar en el plano el conjunto de soluciones forman una recta" Entiendo que como ingeniero que eres, nunca tuviste ningún problema en entender que no decían en serio que una igualdad entre polinomios era una figura geométrica. Probablemente asumiste la equivalencia entre los dos objetos sin planteartela siquiera. Pero para muchos chavales esto es suficiente para descarrilar. Y es que es un abuso de notación .

Y vale, entiendo que los abusos de notación cuando sirven para hablar menos, tienen su razón de ser: es mas cómodo decir que x=-b+raiz(b^2-.... es "la solución" que decir que es " la formula que te da todas las soluciones". Pero al usar un abuso de notación se parte de la base de que se esta sobreentendiendo el significado real de fondo.

Pero aquí Pedro ha gastado un párrafo entero, para poder decir en el futuro "solución" en vez de "todas las soluciones", y encima calificar de poco afortunada a la expresion intuitiva y tremendamente fiel a la realidad " numero de soluciones"!!! Esto es casi tan malo como quitarle las flechitas a las magnitudes vectoriales.

De: Sergio B
2014-01-18 14:22

Mas bien lo que pasa es que en el momento que te sales de la estatica, cualquier cosa que este cambiando va a seguir trayectorias. Por cierto que la geometria fue antes que la aritmetica, diria yo. Y si sabes de las dos, los normal es que las uses a la vez siempre que puedas (y todas sus colegas tambien). La solucion de la ecuacion es una recta, el conjunto de puntos de la recta se le llaman soluciones tambien, y ahi es donde esta el abuso del lenguaje. Si ves esa ecuacion y consideras que resolverla es encontrar una pareja de valores x e y que la cumplan, primero no estas obteniendo toda la informacion que podrias y segundo estas obteniendo resultados que podrian ser diferentes de los que obtendria cualquier otro, y llamar lenguaje a algo que cualquiera puede interpretar de distinta forma, no tiene ningun sentido.

Pero bueno, que lo mas importante es como quieras entender tu lo que es la ecuacion. Si, como dices tu, la recta es la forma que toma el "conjunto de soluciones", o la ecuacion es la expresion matematica para describir los puntos que componen la recta. Vamos, que si usas el idioma para descrbir algo, o usas algo para ilustrar tu idioma. A los ninos se les ensena a usar matematicas antes de ensenarles lo que son, y yo creo que ese es el problema por el que la gente tiene unos conocimientos matematicos tan cutres. Si te preguntan para que sirven las matematicas y solo puedes contestar que para resolver matematicas, pos normal que los ninos pasen de ellas. Si ensenaran a los ninos matematicas con figuras y dibujos (mas o menos ya se hacev al principio, pero yo creo que deberia seguir mucho mss adelante) mejor irian las cosas.

De: Bevender
2014-01-19 17:35

Gracias a ti, Sergio ya he visto una razón que me convence. Resolver, lo que se dice resolver, se resuelven los problemas. Si tienes un problema aritmético, la solución ( o soluciones) es un numero. Si es un problema geométrico, la solución es un lugar. El álgebra antes de descartes, resolvía problemas numéricos. Pero después de Renee y sus coordenadas pasó a resolver problemas geométricos. Y puesto que si no fue el primero que uso la notación actual (con la x y todo eso) el concepto de ecuación alcanza su mayoría de edad con él. Así que tienes razón, todo depende del foco. Si lo que quieres es hallar las dimensiones de un rectángulo de área 12, limitado a que tienes una cuerda de 10 metros para atarla a una pared, entonces tienes dos soluciones, pues hay dos rectángulos posibles y cualquiera de ellos te saca del apuro. Pero si consideras el problema geométrico equivalente que es ¿ Cual es la intersección de la hipérbola xy=12 y la recta 2x+y=10? LA solución son los dos puntos que salen. Y aunque sean dos puntos a mi tampoco se me ocurriría decir que hay dos soluciones: la solución son los dos a la vez. De nuevo, gracias por tu paciencia. Ah y Pedro, si estas leyendo esto todavía (pobre), recuerda poner el enlace de la serie de fuerzas en http://eltamiz.com/series/ Seria una pena que se perdiese en el tiempo y el espacio...

De: Sergio B
2014-01-20 18:27

De nada hombre, si me he conseguido explicar, ya me alegro, con lo facil que lo hace Pedro.

Yo recuerdo como una de las mejores explicaciones que recibi en matematicas (y que la recuerde ya es bastante y no me importa mucho si es del todo cierta o es una historia inventada por el profesor para que asimilasemos conceptos) la diferencia entre integrales y primitivas. Como unos matematicos buscaban ecuaciones que al derivarlas nos dieran la ecuacion de partida mientras que otros desarrollaban formulas para calcular el area que habia debajo de una ecuacion y al final resulto ser lo mismo. Ese juego matematico de las primitiivas tuvo una aplicacion importantisima en las integrales y la verdad es que desde entonces siempre las he visto con mucho mas carino.

Creo que hay un paso importante en entender que las matematicas son un lenguaje, que siempre dice cosas (en la universidad de cona cuando nos encontrabamos con tocho formulas infumables que no habia dios que se enterase de que decian lo llamabamos ver en Matrix) y cuando no solo entiendes el lenguaje sino lo que dice, pues entiendes muchas cosas, que aqui Pedro tiene la amabilidad de poner en lenguaje normal. Pero bueno, es que lo has explicado bastante bien y me han venido flashbacks.

De: Near
2015-07-11 21:43

Excelente artículo Pedro, otra vez gracias. Sería bueno si fueras mas preciso con las definiciones: como de polinomio, que no solo incluyen monomios de una sola variable, o el rango de valores de un exponente de la parte literal, entre otros. Además de prfundizar mas en sus definiciones, mencionar el nombre de sus partes, algunas restricciones,etc. En todo caso este blog es genial.. me he convertido un su lector empedernido.

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