El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

[Matemáticas I] Variables y expresiones algebraicas

Tras la presentación de ayer, hoy entramos en faena en este bloque introductorio a las Matemáticas en el que pretendemos repasar conceptos esenciales sin los que sería muy difícil avanzar en el conocimiento de la Física. Nuestro primer paso será establecer una base de álgebra elemental, y a ella dedicaremos dos o tres capítulos, ya que es absolutamente fundamental para construir, sobre ella, conceptos más elevados. No te preocupes si no sabes siquiera qué es el álgebra, porque vamos a ir de la mano.

Muchas veces confundimos elemental con inferior, cuando no es así en absoluto: los elementos con los que se construye una estructura son probablemente lo más importante de todo. Entender el álgebra elemental es tan importante para las Matemáticas como entender las letras del alfabeto para aprender un idioma. De hecho yo pensaría en ello de este modo: aprender álgebra es aprender un idioma nuevo. Al principio hace falta pensar con cuidado pero, con el tiempo, la cosa va fluyendo sola.

Antes de empezar –no os preocupéis que no son avisos repetitivos– debe quedar claro algo que no suelo decir: si alguien tiene la más mínima duda que pregunte. Este bloque y el siguiente seguramente se irán construyendo uno sobre otro y cualquier laguna en conceptos básicos puede mandar al garete todo lo demás. De ahí que cada entrada no presente muchos conceptos nuevos, porque quiero estar seguro de que están muy claros antes de seguir avanzando.

Dicho esto, empecemos juntos nuestro camino lento pero seguro y conozcamos al-ŷabr.

Una brevísima introducción histórica

La diferencia entre la aritmética (más antigua) y el álgebra (más moderna) es el grado de abstracción. En aritmética se realizan operaciones con números: $(3+2)^2 = 25$. El álgebra, sin embargo, abstrae las operaciones y las generaliza para que sean ciertas no para un número concreto, sino para cualquier número. Es más difícil que la aritmética precisamente por eso –el conocimiento abstracto suele ser más difícil de asimilar que el concreto– pero también por la misma razón es muchísimo más útil.

Hay desacuerdos sobre el momento y lugar en los que nació el álgebra. De lo que no cabe duda es de que los antiguos griegos fueron los primeros en utilizar letras para representar longitudes en geometría, para generalizar reglas a segmentos de la longitud que fuese en vez de para una longitud concreta. Esto no es sorprendente porque en gran medida las Matemáticas primigenias no eran sino geometría.

De la geometría se pasó a utilizar letras para representar “cualquier número de que se trate” de un modo más abstracto, sin hacer referencia siquiera a segmentos medibles. Este avance se lo debemos a un matemático alejandrino llamado Diofanto; no sabemos exactamente cuándo vivió, aunque parece haber sido entre el año 200 y el 300 de nuestra era. Diofanto publicó un tratado llamado Aritmética en trece libros, en el que utilizaba letras para referirse a valores desconocidos y empleaba un lenguaje matemático de una abstracción inaudita hasta entonces. Por eso hay quien considera a Diofanto el padre del álgebra.

El otro contendiente al título fue un matemático persa, Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, más conocido en castellano como al-Juarismi. Seguro que recuerdas, del artículo inicial sobre la naturaleza de la luz, la Casa de la Sabiduría de Bagdad establecida por la dinastía abásida. Al-Juarismi trabajó precisamente allí en el siglo IX y publicó el libro que hizo nacer de veras el álgebra tal y como la conocemos hoy: al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala, Compendio de cálculo por compleción y equilibrado.

El compendio de al-Juarismi alcanzó un grado de abstracción muy superior al de matemáticos anteriores. En él, el persa explica cómo reducir una ecuación aplicando la misma operación algebraica en ambos miembros (por ejemplo, sumando lo mismo en ambos lados), y esta acción es lo que al-Juarismi llama equilibrado, ŷabr. Por esa razón el equilibrado, al-ŷabr, se convirtió en nuestra álgebra. El nombre no es demasiado bueno para lo que ha llegado a significar, pero este énfasis en el equilibrio de las ecuaciones es algo que repetiremos al hablar de ellas en el siguiente capítulo del bloque.

Álgebras de Diofanto y al-Juarismi
Álgebras de Diofanto y al-Juarismi.

En cualquier caso tras al-Juarismi su al-ŷabr se convirtió en una parte esencial de nuestras Matemáticas. Utilizando el álgebra es posible realizar afirmaciones mucho más generales que las de la aritmética, por ejemplo $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$, ya que no se presupone un valor concreto para $a$ o $b$. La abstracción y formalización hicieron avanzar muchísimo las Matemáticas en los siglos siguientes, especialmente a partir del XVIII.

Variables algebraicas

La presencia de variables es precisamente lo que nos hizo pasar de la aritmética al álgebra. Una variable no es más que un símbolo que representa un valor numérico, pero no un valor concreto sino, en principio, cualquiera. Originalmente –por ejemplo en el texto de al-Juarismi– se utilizaba una palabra para representar cualquier valor, pero con el tiempo fuimos empleando letras sueltas.

En la enseñanza tradicional de las Matemáticas se emplea la letra $x$ más que ninguna otra, sobre todo cuando se quiere poner énfasis en el hecho de que no se conoce el valor de $x$, pero yo intentaré usar muchas letras diferentes porque en mi experiencia usar siempre la misma letra crea problemas. Lo esencial es que usamos $x$, $y$, $t$, $p$ o $n$ como abstracción de un número –en principio, cualquier número–.

¿Por qué x?

La verdad es que no he conseguido saberlo con seguridad. De acuerdo con algunos todo empezó con los textos de álgebra en árabe de los siglos IX y X. En ellos se empleaba la palabra shei (algo) para representar una cantidad indeterminada, es decir, una variable. Al transcribir esta palabra al alfabeto griego se convirtió la letra inicial en $\chi$, pues el griego no tiene equivalente al sonido sh en árabe, y cuando el texto se transcribió luego al alfabeto latino se convirtió en $x$. Así, la $x$ es supuestamente la letra inicial de la palabra algo en árabe… pero es una transcripción terrible, porque la letra griega $\chi$ suena como nuestra $x$.

Otra explicación que he visto es que a menudo se usaba en griego xenos (extraño, desconocido) para representar una variable de valor desconocido, y una vez más nos acabamos quedando con la inicial de la palabra… pero ni para una explicación ni para la otra he encontrado fuentes primarias que lo confirmen. La primera es un tanto pintoresca y atractiva, de modo que me gustaría que fuera verdad, pero no lo sé.


Como digo, en principio una variable puede tener cualquier valor, pero recuerda que aquí no estamos estudiando Matemáticas porque sí, sino para utilizarlas luego en Física. En esa disciplina las variables son casi siempre la representación de magnitudes físicas, de modo que a veces no tiene sentido que tengan determinados valores y, además, es necesario saber cómo representar esos valores y qué significan. De modo que hablemos un momento de este “añadido” a las variables algebraicas, las magnitudes físicas.

Magnitudes físicas

El caso es que en Física la variable $b$ no es completamente abstracta como en Matemáticas: representa algo relacionado con el Universo que nos rodea, es decir, una magnitud física. A veces se trata de algo que podemos ver o sentir, como por ejemplo la longitud de una barra, y otras veces su valor es simplemente una herramienta que nos permite comprender y predecir cuantitativamente cómo se comportan las cosas, como sucede con la temperatura de una habitación.

Existen, por tanto, diferencias entre una variable física y una variable puramente matemática (hablaremos de cada una:

  • Una variable física representa el valor de una magnitud física, como la masa o la temperatura. Por ejemplo, si diseñamos un circuito de carreras circular y usamos $r$ para representar el radio del circuito, la magnitud física es una longitud. Esto tiene un par de consecuencias.

  • El valor de una variable física tiene unidades, las correspondientes a la magnitud que representa. Así, en el ejemplo del circuito el valor de $r$ estará medido en metros (la unidad de longitud), por ejemplo $r = 3~\mathrm{m}$. Una variable matemática en general no tiene por qué tener unidades ni representar nada del mundo real.

  • Una variable física sólo puede tener valores coherentes con la situación real que estudiamos utilizando las Matemáticas. En el ejemplo de antes, $r$ tendrá que ser un número positivo, ya que $r = -4,5~\mathrm{m}$ no tendría sentido físico. Es esencial recordar esto, porque la parte matemática no contiene esa información: el hecho de que $r$ representa algo medible en el mundo es lo que nos permite restringir sus posibles valores.

Al igual que en Matemáticas a menudo se usa $x$ para representar un valor desconocido, en Física suelen utilizarse letras que dan una pista sobre el significado de la variable. Por ejemplo, prácticamente siempre se usa $m$ para representar la masa y $a$ para la aceleración. De hecho hay un estándar internacional ISO que recomienda letras específicas para cada variable y símbolos con cada unidad, pero como puedes imaginar no voy a aburrirte aquí con eso: lidiaremos con ello según salga.

ISO y formato de números

La normativa ISO para los números, que es la que usaré aquí, es un intento de unificar algo que se hace de modo muy diferente en distintas partes del mundo. En algunas partes se utiliza una coma para señalar la separación entre parte entera y decimal y un punto para separar grupos de tres dígitos (miles, millones, etc.), mientras que en otras se hace justo al revés: punto decimal y comas para separar grupos de dígitos.

De modo que el estándar ISO es el siguiente: se usa cualquiera de los dos símbolos (coma o punto) para separar las cifras enteras de decimales, y espacios entre grupos de tres dígitos. Por ejemplo, un radio de mil trescientos metros y veinticinco centímetros podría representarse así: $r = 1\,300,25~\mathrm{m}$. Como da igual coma que punto decimal, yo usaré la coma que es lo que aprendí de niño: gracias al estándar no hay duda de lo que representa.


Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica no es más que un conjunto de variables, números y operaciones entre ellos. Algunas son muy poco interesantes y otras son complicadísimas. Por ejemplo, $0$ es una expresión algebraica, lo mismo que lo es $v^2 + w^3 - \frac{2}{3}y + 72$. Creo que no hace falta que explique mucho sobre los símbolos que he empleado; el único que a veces se escribe de maneras diferentes es el producto ($\times$, $\cdot$ o directamente nada). Yo no suelo usar nunca el símbolo $\times$ para el producto, e intento no poner ningún símbolo cuando no hay ambigüedad (como he hecho en $\frac{2}{3}y$), mientras que cuando puede haberla tiendo a usar $\cdot$, por ejemplo $4 \cdot 3$.

Es aquí donde la abstracción del álgebra se hace evidente, y donde aparece el poder del lenguaje matemático para describir realidades complejas. También es aquí donde debemos “pensar en lenguaje matemático” para traducir situaciones del mundo real a esta forma de expresarnos. Creo que lo mejor es hacerlo con un par de ejemplos concretos –uno de la vida cotidiana y otro físico–. La primera expresión la construiremos nosotros y la otra no.

Supón que deseamos construir una expresión algebraica que nos diga cuánto dinero gana el propietario de un cine sabiendo el coste por proyección de la película, el precio de cada entrada y el número de espectadores que ven la película. ¿Qué debemos hacer para construir la expresión?

  • En primer lugar, asignar variables a lo que estamos cuantificando. Suele ser recomendable usar letras que nos ayuden, al leer la expresión, a recordar qué cosa representa cada una. Por ejemplo, en este caso podemos representar el coste con $C$, el precio de cada entrada con $p$ y el número de espectadores con $n$.

  • En segundo lugar –y esto suele ser lo difícil– escribir el cálculo que deseamos realizar utilizando las variables que hemos escogido. En este caso la expresión nos dice cuánto beneficio neto obtiene el propietario del cine, con lo que será lo que pagan los espectadores menos lo que le cuesta la proyección: $np-C$.

Esta expresión nos dice, por tanto, cuánto ganará cualquier cine sea cual sea el precio de la entrada y el número de espectadores: es una abstracción del cálculo aritmético que realizaríamos con números concretos. Podemos, además, asignar una variable al resultado de la expresión para poder emplearla en otros lugares; en este caso podemos elegir $B$ como el beneficio del cine, de modo que escribiremos $B = np-C$.

Si damos valores a las variables podemos evaluar la expresión en un caso concreto y analizar el resultado. Por ejemplo, si proyectar la película cuesta 500€, asisten 68 espectadores y cada entrada cuesta 7€, basta con hacer $C = 500$, $n = 68$ y $p = 7$ para obtener el valor de la expresión: $B = -24$. ¿Qué quiere decir esto en términos del mundo real? Que el pobre propietario ha perdido 24€ en la proyección – el coste de la película es mayor que lo que pagan los espectadores.

Nuestro segundo ejemplo es una expresión física “de verdad”, que debes creerte porque no voy a justificarla ahora ni es importante lo que significa físicamente. La Ley de Gravitación Universal de Isaac Newton proporciona una expresión algebraica para la fuerza gravitatoria con la que se atraen todos los cuerpos del Universo:

En esta expresión $G$ es una constante física, la constante de gravitación universal, $m_1$ y $m_2$ son las masas de los dos cuerpos y $r$ es la distancia entre sus centros. Una vez más, basta con dar valores a cada una de las variables para obtener un resultado realizando operaciones aritméticas – no las voy a hacer, porque lo importante no es eso sino el hecho de que esta expresión sirve para cualquier par de cuerpos con cualquier valor de sus masas y a cualquier distancia uno del otro.

¡Ojo! Que no te líen los cocientes de productos

He escrito la expresión de arriba así porque es tradicional, pero no olvides que es exactamente lo mismo que esto:

$$\frac{Gm_1 m_2}{r^2}$$

Igual de válido, aunque no se vea nunca, sería lo siguiente:

$$m_1\frac{G m_2}{r^2}$$

¡Es la misma expresión en todos los casos! Normalmente cuando una expresión no es arbitraria sino que se usa mucho y es necesario recordarla –como sucede con los principios físicos– solemos escribirla de un modo lo más memorable y sencillo posible, pero no debe liarte el hecho de que la $G$ no esté en el numerador de la fracción: da lo mismo por las propiedades aritméticas de producto y división.


Esto nos permite pensar sobre el asunto de manera cuantitativa de un modo que no podríamos hacer sin la expresión. Por ejemplo, es evidente que cuanto más lejos están los dos cuerpos, menos se atraen entre sí mediante la gravitación. Pero con la expresión algebraica podemos saber exactamente cuánto menos. Podemos, por ejemplo, preguntarnos lo siguiente: ¿qué sucede si la distancia entre ellos se hace el doble?

Para ello debemos volver a la expresión anterior y traducir al lenguaje matemático nuestra pregunta. Si antes estaban separados $r$, digamos entonces que ahora están separados $2r$. Tenemos ahora que la expresión de su atracción mutua es

Pero ahora podemos emplear propiedades aritméticas: por ejemplo, la potencia de un producto es el producto de las potencias, luego $(2r)^2 = 4r^2$, de modo que la expresión queda

Traduciendo de nuevo al lenguaje cotidiano, al doblar la distancia entre ambos la atracción no se hace la mitad sino cuatro veces menor que antes. Es algo que podríamos haber intuido evaluando la expresión para distintos valores concretos de masa y distancia, pero tener la expresión algebraica general es mucho más poderoso.

Ahora bien, la utilidad suprema de las expresiones no está en usarlas solas, sino en equilibrio unas con otras, es decir, poner en brega al-ŷabr de al-Juarizmi. Es entonces cuando tenemos una ecuación y podemos estudiar el mundo de manera cuantitativa de veras. De las ecuaciones hablaremos en la siguiente entrega del bloque.

Ideas clave

Dado que en el siguiente capítulo del bloque, como verás entonces, usaremos variables y expresiones sin parar, debes tener muy claro lo que son. Aquí tienes las tres ideas, simples pero esenciales, que hemos visto hoy:

  • El álgebra es una generalización de la aritmética en la que aparecen variables además de números concretos.

  • Una variable algebraica es la representación de un valor mediante un símbolo. En principio ese valor puede ser cualquier número.

  • Una variable física representa el valor de una magnitud física, luego ese valor tiene unidades y además puede haber restricciones debido a la realidad que representa.

  • Una expresión algebraica es un conjunto de variables y números con operaciones matemáticas entre ellos.

  • Evaluar una expresión algebraica es dar un valor concreto a cada variable y obtener así un valor concreto para la expresión.

Antes de seguir…

Sí, en este bloque sí: voy a mandarte deberes. No serán muchos, pero sí los suficientes como para que tengas la soltura necesaria con lo que hemos visto para atacar el siguiente artículo con ganas. De hecho no sólo voy a mandarte uno, sino varios. Afortunadamente para ti no tendrás que enfrentarte a mi fuego interior si no haces los deberes, pero te recomiendo que lo hagas para aprovechar de veras el siguiente capítulo.

Desafío 1 - Repaso aritmético

Como he dicho antes, aquí damos por sentado que sabes aritmética básica como, por ejemplo, suma de fracciones. Y yo me pregunto, ¿sabes sumar fracciones? Probablemente sí, y es posible que incluso con soltura. ¿Y dividir fracciones? ¿Y hacer potencias de sumas de fracciones? ¿Y…?

Afortunadamente la ciencia avanza que es una barbaridad y ahora no hace falta que yo te ponga ejercicios de aritmética porque puedes ponértelos tú solo. Existe una página maravillosa, que recomiendo a todo profesor que quiera pasar un buen rato con sus alumnos en clase, en la que puedes ajustar qué es lo que repasas y pasar un tiempo estupendo practicando operaciones aritméticas. Es http://thatquiz.org/es y puedes configurar la dificultad (tipo de números y operaciones), longitud, etc.

Para hacerlo rápido recuerda que puedes usar la tecla tabulador (la flecha sobre las mayúsculas) y enter para introducir datos, en vez de alternar el uso del teclado y el ratón. Puedes empezar con cálculos sencillos y hacerlo despacio para luego, según ganes soltura, intentar batir tu propio récord y hacer muchos correctamente y muy rápido. ¡Disfruta!


Desafío 2 - Construcción de expresiones

Como decíamos antes, es esencial tener cierta soltura en traducir situaciones de la vida real a expresiones algebraicas, de modo que aquí tienes una batería de ejemplos que corregiremos en la siguiente entrega. Para cada uno de los puntos, construye una expresión –cuanto más simple, mejor– que represente:

  • La cantidad de gasolina total que hay en cuatro barriles sabiendo que en cada uno de los cuatro hay diez litros más que en el anterior (el segundo contiene diez litros más que el primero, el tercero diez litros más que el segundo y el cuarto diez litros más que el tercero).
  • La superficie de un campo de hierba cuya anchura es el doble que su longitud.
  • El precio de una llamada sabiendo el número de segundos que dura si la compañía telefónica cobra diez céntimos por el establecimiento de llamada y un céntimo por minuto de duración.
  • La fuerza con que se atraen dos cuerpos de la misma carga eléctrica, sabiendo que esa fuerza es directamente proporcional a la suma de sus cargas e inversamente proporcional al cubo del doble de la distancia que los separa.

Matemáticas

26 comentarios

De: hidrargyro
2013-11-07 19:31

Muy bueno Pedro!! Solo 2 detalles en el apartado "¡Ojo! Que no te líen los cocientes de productos"

En la segunda ecuacion esta repetido m2 y omitiste m1. En el tercer renglon del siguiente parrafo dice fisicss en vez de fisicos.

Saludos, me quedo a la espera del rpoximo bloque!

De: Pedro
2013-11-07 20:34

Gracias, corregidas :)

De: Javier
2013-11-07 20:43

Me encanta! Ojalá me hubiesen enseñado así las matemáticas!

De: Macluskey
2013-11-07 21:44

Comienzan las clases!!! Qué bien!

Una precisión de niño repipi:

Profe, profe: al-Juarismi nació en Jiva, hoy territorio de Uzbekistán. Y además de ser el padre del álgebra moderna, lo es también de la algorítmica. De hecho Al-goritmo viene precisamente de Al-Juarismi...

Lo sé porque, como buen informático y turista, tengo una foto preciosa bajo su estatua a las puertas de las murallas de Jiva, preciosa cuidad, por cierto.

Saludos

De: Juan Carlos
2013-11-07 22:54

Gran artículo introductorio, fácil de digerir:

Ojo a este artículo: http://curistoria.blogspot.com.es/2013/11/por-que-se-usa-x-y-o-z-en-las-ecuaciones.html

Saludos

De: Jesús
2013-11-08 00:16

Maravilloso el artículo, como siempre. Una pincelada pedante para mejorar el estilo del texto: - En mi opinión incurres en... no sé como llamarlo, error desde luego que no, pero sería mejor para el texto no repetir la palabra 'principio' en "... pero no un valor concreto sino –en principio– cualquiera. Al principio, por ejemplo en..."

Saludos y nunca te canses de escribir ;)

De: Cayetana
2013-11-08 01:05

Ha sido amena e interesante, una primera clase que anima a asistir a la siguiente. Hechos los deberes. Gracias Pedro.

De: Rubén Espinosa
2013-11-08 01:41

Gracias por el artículo, apenas empiezo a adentrarme en estos temas y creo que me servirá bastante.

Solo una minucia: en el ejemplo de las ganancias del cine, puso p=6, cuando había establecido que la entrada costaba 7.

De: Pedro
2013-11-08 08:36

Corregidos los errores, gracias :) Por cierto, no he publicado comentarios con las soluciones a los desafíos, porque si no se le chafa a quien no lo haya hecho aún. Eso es para que cada uno se corrija cuando demos las soluciones en la siguiente entrega.

De: Jesús
2013-11-08 08:42

Salió el otro día en Meneame que el motivo de que se usen x, y y z para las ecuaciones fue porque en los inicios de la imprenta había que maquetar las páginas con moldes para cada letra. Como las variables de las ecuaciones se repetían tantas veces, los impresores de la época le pidieron a los matemáticos si no podían utilizar letras algo más rarunas, porque si usaban a, b o c, no tenían suficientes para las ecuaciones y el texto normal. De ahí que se pasasen a x, y y z, que son menos frecuentes en el lenguaje normal y así había suficientes.

De: Sergio B
2013-11-08 11:56

Muy ameno el articulo y creo que clarifica muchas cosas. Aunque son cosas que yo ya sabia, ha sido un repaso interesante y lo mejor es que me ha permitido irme por las nubes pensando en estas cosas.

Tengo un apunte, no es que sea un error, pero es algo que me ha hecho dano como yo lo he entendido, y creo que puede inducir a error, o al menos a mi me ha inducido a error. Cuando dices: "Nuestro segundo ejemplo es una expresión física “de verdad”, que debes creerte porque no voy a justificarla ahora ni es importante lo que significa físicamente", yo creo que el ahora deberia ir al final de la frase o repetirse para que quede claro que no es importante lo que significa fisicamente para este articulo. En fin, que estoy seguro de que a ti te parecera tan importante como a mi, pero al leerla me ha dado esa impresion y ha sido un shock muy grande.

Por cierto, yo creo que la forma de expresar la ley de gravitacion universal no es solo por sencilla, sino que cuando se piensa en un problema de mas de dos cuerpos tiene mas sentido.

A si, no se si llegaremos a ello, pero aunque me parece bien que la algebra se considere una generalizacion de la aritmetica yo diria, y admito que igual soy yo que me flipo y no tiene el menor sentido, que en cierto sentido las variables son entidades propias y no simples incognitas. Quiero decir que me parece que una expresion algebraica indica mucho mas de lo que puedan una serie de expresiones aritmeticas y eso de sustituir numeros no es siempre necesario ni recomendable y haciendo una analogia con la mecanica cuantica me parece que asignar valores es como colapsar la ecuacion algebraica, que esta perdiendo significado al hacerlo. De hecho, lo mejor de la algebra es que te permite desechar consideraciones que habias tenido (encontrar variables que no importan) y cosas asi. Pero en fin, mejor dejo mis mundos de yupi en paz.

@Macluskey, a mi tambien me gusta ser un alumno repipi, yo no sabia que existiera la algoritmia, segun la rae algoritmia es: Ciencia que estudia el cálculo aritmético y algebraico, que o bien viene a decir que los de la rae deberian pedir mas ayuda a los matematicos para hacer algunas definiciones, o bien nos resalta que los algoritmos son parte de cualquiera de esas dos disciplinas, pero de hay a que sea una ciencia, me parece exagera un poco. Por cierto, yo he estado buscando un rato de donde era Al-Juarismi sobre todo por que me sonaba raro eso de Persa y no he conseguido que me quedara claro de donde era, ya que parece haber varias opiniones. Pero en fin hace poco he leido por ahi que resulta que el lugar de la macha resulta estar en leon, segun algun iluminado, asi que con lo facil que es plantear posibilidades, vete tu a saber. De todas formas cualquier ciudad con una escultura a un matematico se merece todo mi respeto, pero tal vez haya mas de una.

De: Argus
2013-11-08 13:04

Haces que hasta una introducción al álgebra resulte amena, interesante y prometedora. ¿Alguien da más? Es increíble...

En el último ejercicio preguntas la fuerza con la que se atraen dos cuerpos de la misma carga eléctrica. Es una errata o es una pregunta con muy mala leche? :-D

De: Jesús Zamora
2013-11-08 13:25

Muy buen artículo, como siempre. Sólo una precisión, la letra griega "chi" no suena como nuestra x, sino más bien como nuestra j (lo que ocurre es que, hasta la edad moderna, el sonido j se escribía en castellano con la letra x - por eso se dice Méjico aunque se escribe México).

De: pietro
2013-11-08 14:52

buenas pedro, antes que nada agradecerte por la valiosa información que compartes con el mundo desinteresadamente desde hace tanto tiempo. me considero uno de tus "lectores silenciosos" desde que conocí el sitio el año pasado buscando información fiable y comprensible sobre el bosón de higgs.

ahora bien, la pregunta, hace un tiempo escuché las historias del islam de diana uribe, y ella cuenta una anécdota en la que presenta al algebra como una materia oculta, para unos propios privilegiados, y que se revela al mundo a través de una pelea de egos entre dos matemáticos de la época. me extraña que no lo hayas comentado, a tal punto que empiezo a cuestionarme sobre la veracidad de dicho episodio. alguna vez escuchaste algo del tema?

De: Xavier Gómez
2013-11-08 17:46

Un estimulante aperitivo para ir abriendo boca! Me ha gustado mucho!

un saludo.

De: Persi
2013-11-08 19:15

Aún no me lo creo!! Gracias por esta nueva serie, Pedro. Todo un lujo poder dar un repaso de todo esto con un profe como tú.

De: Lou
2013-11-08 23:33

Pietro, yo también llegue al Tamiz buscando información sobre el bosón de higgs, y Pedro no me descepciono!

Ya estamos haciendo la tarea, gracias profesor

De: Epicureo
2013-11-10 14:35

Don Pedro, espero que saque esta serie en forma de libro el año que viene. Tengo que hacer algunos regalos...

De: Fernando
2013-11-12 15:49

Yo hace ya mucho que pienso que la algoritmia no es exclusiva ni de las matemáticas ni de la informática... tiene entidad por si misma y su única misión es desmenuzar un proceso en pasos indivisibles (o simples).

Llámalo ciencia, conjunto de técnicas... lo que te apetezca, pero su función sigue siendo la misma y es lo que nos permite hacer una receta para hacer una tortilla de patata...

Saludos

De: a
2013-11-13 16:34

Muy interesante, aunque quizás podrias decir algo sobre la prioridad de las operaciones o te expones a que alguien convierta una expresión como 3-3·x en 0.

De: Oscar Ferro
2013-11-14 21:15

Este comentario era más para el post anterior, en que decías que no ibas a tocar la aritmética porque eso lo tenemos más fresco de la secundaria.

Lo que te quería comentar es que Richard Feynman en sus famosas Lectures, dedica un capítulo entero a la aritmética partiendo de la suma de enteros hasta llegar a los complejos y la ecuación de Euler, en lo que constituye una de las secciones más asombrosas del libro.

Feynman era tan grande que era capaz arrancarte aplausos hasta con algo tan elemental como la aritmética.

De: Miguel
2013-11-25 15:25

Explicación de por qué se usa la x como incognita:

http://www.ted.com/talks/lang/es/terrymoorewhyisxtheunknown.html

De: Fede
2013-11-30 03:54

Muy bueno pero me recuerda dolores de estomago en exámenes. Siempre me gustó el álgebra pero al principio cuando uno no entiende el "juego" no llega asociar eso con la realidad por lo que resultaba muy abstracto. Después cuando uno puede relacionar las partes hasta da placer. En verdad se estudian siglos de matemáticas en poco tiempo y quizás eso confunde al principio.

De: Natanael Bravo
2013-12-26 08:09

Hola quisiera saber si hay algún explorador de Internet para móvil optimizado para esta página, ya que en varios lugares aparece "[Math Processing Error]" saludos (: PD estaría muy bien que tuvieran una aplicación para móvil para facilitar el acceso a los artículos

De: Pedro
2013-12-26 15:50

Natanael, acabo de cambiar alguna configuración a ver si lo ves mejor. Yo he probado con algunos navegadores móviles y lo veo bien, pero ya sé que con otros no se ve el LaTeX correctamente. Ya me contarás ahora...

Respecto a la aplicación móvil, ya lo sé, algún día :)

De: eddys
2014-07-28 03:42

Esta muy bueno ojala sigas haciendo mas de estos ok ,,,,,, buena suerte espero otro bloque Pedro ;)

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