El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Desafíos - El cable colgante (solución)

Qué chasco… el problema del cable colgante ha resultado ser más complicado de lo que pensaba. En total sólo hemos recibido media docena de respuestas y ninguna cumple absolutamente todos los requisitos: ser correcta, estar bien explicada y dejar las cosas bien claras (la que obtiene el resultado fetén no me ha dejado muy contento con su explicación).

Los resultados correctos, por cierto, son que la fuerza que hace el soporte en función del tiempo es $F_S = \frac{3dg^2t^2}{4}$ y que la cuerda se rompe cuando ha caído un tercio de su longitud. Los finalistas sois Argus, Vicente y Jorge, y el ganador es Mmonchi.

De los finalistas, la mayor parte comete algún error al suponer cosas o hacer incrementos en vez de derivadas, pero es tan placentero leerlas que merecen –en un desafío casi desierto– ocupar tal lugar. En este grupo estáis Vicente y Argus. Como siempre, Vicente nos regala con sus páginas manuscritas y escaneadas que son un primor, y Argus con un PDF ilustrado que sería la envidia de Quentin Blake.

Mi solución favorita, para qué voy a andarme por las ramas, es la de Jorge (que podéis leer aquí). Es absolutamente rigurosa y está muy bien explicada –aunque es más larga de lo necesario, luego veremos por qué–. El problema trágico de Jorge es que mete la pata justo al principio en una tontería que hace que donde en su solución hay un 2 debería haber un 4.

Y, cuando se sigue su razonamiento corrigiendo ese error, su resultado final –si no me he equivocado yo al corregir sus fórmulas paso a paso– es exactamente el correcto. ¡Tragedia griega!

Tan trágico es que, aunque no suelo apuntar errores en estos desafíos, voy a hacerlo aquí. Desde el principio Jorge establece que la longitud de cable que está colgando del soporte tras un tiempo t es $\frac{gt^2}{2}$ en vez de la expresión correcta, $\frac{gt^2}{4}$. Al cambiar ese 2 por ese 4 e ir arrastrando el cambio en las operaciones que realiza se obtiene el resultado bueno –al menos, si no me he confundido al revisar sus cálculos con el cambio–. En fin, que lo mire él y nos cuente.

Finalmente, Mmonchi hace un razonamiento menos riguroso y que no entiendo muy bien en un par de sitios, creo que porque lo ha escrito muy deprisa. Pero el caso es que él llega exactamente a los dos resultados correctos, tanto para la fuerza como para el momento en el que se rompe le cable. Me parece tan raro que se pueda llegar a estos valores de chiripa que voy a declararlo ganador del desafío, aunque me duela que no lo haya explicado mejor.

Eso sí, dado que Mmonchi es absolutamente de fiar –ha participado en muchos desafíos y lo conocemos bien– le pediría que mire su solución y las demás y nos confirme, por si las moscas, que no es de chiripa. Si fuera de casualidad y su solución no vale, entonces nombramos ganador a Jorge y listo.

Os dejo, para terminar, con la solución de Mmonchi:


Los datos que nos dan son que tenemos un cable vertical de longitud L y masa M, de modo que su densidad lineal es d=M/L, con el extremo inferior fijo a un soporte y el resto en caída libre. Durante su caída, en un instante T el punto más bajo del cable está en X. Esto significa que la longitud entre el soporte y X está en reposo, mientras que el resto del cable está en caída libre. La velocidad del punto X es V=2√(gX).

[El cálculo de V se hace a partir de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. Como s=a·t²/2, sustituimos en nuestro caso: el espacio recorrido por el punto X es 2X, ya que al principio estaba a X por encima del soporte y al final a X por debajo; la aceleración es g y el tiempo T. Queda 2X=g·T²/2, T=2√(X/g). Como la velocidad es v=a·t, V=g·T=2√(gX)]

Ahora vamos a ver qué ocurre en el instante siguiente, T+∆T. El punto más bajo ha pasado de X a X+∆X. Como dicho punto estaba ∆X por encima de X y ahora está ∆X por debajo, ha recorrido 2∆X en ∆T. Su velocidad es 2∆X/∆T, que sabemos que vale V=2√(gX). Por tanto, ∆T=∆X/√(gX).

El trozo de longitud ∆X tiene una masa de ∆X·M/L. Dicho trozo pasa de una velocidad 2√(gX) a una velocidad 0 en un tiempo ∆T=∆X/√(gX) con una aceleración a=∆V/∆T, generando una fuerza sobre el soporte a través del cable. Aplicando F=m·a, dicha fuerza vale F=∆X·M/L·(2√(gX)-0)/( ∆X/√(gX))=2MgX/L.

Además de la fuerza que ejerce el trozo que se frena bruscamente, que acabamos de calcular, el trozo en reposo de longitud L ejerce una fuerza por su peso que vale Xd·g=MgX/L. La fuerza total sobre el soporte en función de X vale F=2MgX/L + MgX/L=3MgX/L.

Como X=g·T²/4, F en función de T es F=3Mg²T²/4L.

El momento en el que el soporte se rompe es cuando F vale Mg. Igualando tenemos que Mg=3MgX/L, X=L/3, de modo que el soporte se rompió cuando el punto más bajo del cable estaba a una longitud L/3 por debajo del soporte y todavía quedaba 2L/3 por caer.


Espero que, si no os habéis acercado a la respuesta, leer las de los otros os haya servido de inspiración para revisarla y encontrar el error. Por si alguien quiere darle más al tarro, es posible llegar a la conclusión correcta empezando como hace Jorge, es decir, con la definición de fuerza como derivada del momento respecto al tiempo, pero aplicando eso a la cuerda entera como un todo.

Claro, no toda la cuerda se mueve, pero es posible calcular el momento lineal de la cuerda entera (aunque sea a trozos), y no hace falta hacer ecuaciones para un trozo por cada lado. Si nadie da la explicación concisa de este tipo, en unos días la publico yo mismo y listo. No importa demasiado, porque el resultado es el mismo.

¡Hasta el próximo desafío!

Actualización: Jorge me ha pasado la solución concisa, aplicando el segundo principio a todo el cable y además corregido el factor erróneo en su solución original. Creo que disfrutaréis leyéndola: solución concisa.

Desafíos

26 comentarios

De: Rantamplan
2013-10-07 17:38

Pues a mi está vez no me ha pegado el aire, me pareció que calcular la fuerza a la que se rompía el cable era muy complicado.

Así que me lié la manta a la cabeza tirando por energías en lugar de por fuerzas, así que calcule la energía potencial de la cuerda y traté de averiguar cual era la potencia que había que desarrollar para ir deteniendo el fragmento de cuerda que iba cayendo. (EC=1/2mv^2, conociendo g tienes la EC de la cuerda en cada momento).

Esta parte aunque no la llegué a calcular la veía más o menos clara.

Luego quise calcular la potencia que puede desarrollar un objeto que puede ejercer determinada fuerza.

Y allí ya se fue todo a la porra, por que la fuerza que ejerces no se traduce necesariamente en energía y por lo tanto en potencia o trabajo, así que la íbamos liando, encontré una fórmula que dice que Trabajo = Fuerza por desplazamiento.

Que quizás sirva, pero no sabía como aplicarla y tiré la toalla.

Ahora, es probable que esté equivocado pero me parece que si hubiera alguna forma de poder pasar esa fuerza a potencia que puede desarrollar la cosa sería mucho más sencilla.

De: Roger
2013-10-07 19:16

jaja, pues yo igual, estaba convencido de que la respuesta tendria algo que ver con la Energia potencial (mi razonamiento fué que la cuerda tendria una Ep, que se convertiria en Ec al llegar al suelo, y, como se pararia en seco, al no poder perderse la energia, pues deberia haber algo que hiziera un trabajo de fregamiento, que solo podia ser el soporte, al hacer un trabajo, ese necestiaria hacer un fuerza mayor a la de Mg (ya que necesitaria hacer la fuerza para mantener el peso+la fuerza para aturar la Ec) y al no poder, se romperia) no se hasta donde mis conclusiones absurdas pueden tener algo de sentido... lo que no tube ni idea de como pasar esa explicación de letras a los numeros... así que tire la toalla, ademas, segun mi explicación el soporte deberia romperse justo al llegar al suelo... cosa que me pareció demasiado extraño.

De: Pedro
2013-10-07 20:49

Vicente, creo que has dado a enviar el comentario sin poner el texto... me ha aparecido con tu nombre, pero en blanco en el contenido, así que no lo he publicado.

De: Mmonchi
2013-10-07 22:42

La verdad es que no sé cómo explicarlo mejor, me gustaría tener tu facilidad para decir las cosas con claridad, pero no es así. Mi solución es básicamente la misma que la de Argus, aunque él comete (a mi entender) un pequeño error que convierte un 2 en un 4.

Mi planteamiento es que tenemos dos fuerzas sobre el soporte, una estática y otra dinámica; la estática es muy fácil de calcular, es el peso del trozo de cable hasta X, que vale MgX/L; la dinámica, en cambio, es la que me resultó difícil de poner en fórmulas.

A simple vista se aprecia que la fuerza que ejerce el cable al frenarse es debida al trozo de cable que ha pasado de moverse hacia abajo a detenerse bruscamente. El problema está en que ese trozo es muy pequeño, infinitesimal. ¿Puede ejercer una fuerza apreciable ese trozo minúsculo de cable? Sí, porque lo hace en un tiempo que también es muy pequeño, y al dividir dos cosas muy pequeñas entre sí el resultado en este caso deja de serlo.

Llegado a este punto, decidí calcular esa fuerza considerando un trozo de cable de longitud ∆X, que pesa ∆M y pasa de una velocidad V a estar quieto en un tiempo ∆T. La forma de calcularlo es la misma de Argus, salvo un detalle: él considera que el espacio que recorre el punto B es (XB-XA), pero yo pienso que es 2(XB-XA). En el momento en que llega A, B está (XB-XA) encima de A, y cuando llega B está (XB-XA) debajo de B, por tanto ha recorrido 2(XB-XA). Aclaro que lo que él llama (XB-XA) es lo mismo que yo llamo ∆X.

A partir de aquí calculo la fuerza que ejerce ∆X mediante la fórmula F=m·a. La masa es la que corresponde a ∆X·M/L, es decir, m=∆X·M/L. La aceleración es la correspondiente al cambio de velocidad, que pasa de V a 0 en un tiempo ∆T. Como he calculado ∆T y sé que vale ∆T=∆X/√(gX), y la velocidad V es V=2√(gX), la aceleración es a=V/∆T=2√(gX)/(∆X/√(gX))=2gX/∆X. La fuerza, por tanto, es F=m·a=∆X*M/L * 2gX/∆X=2MgX/L.

Lo único que queda ya es sumar la fuerza que ejerce el peso del cable que está quieto, que vale MgX/L, y llegamos a que la fuerza total es 3MgX/L. (En la solución de Argus, el 2 se convertía en 4 y por tanto el 3 de mi solución en 5).

Supongo que hacer esto mismo con derivadas es mucho más elegante, pero me pareció que los conceptos se ven más claros con incrementos finitos que derivando funciones. En última instancia debe ser lo mismo, pues derivar es llevar al límite esos incrementos, aunque en mi caso los principios físicos los entiendo mejor con elementos pequeños pero asequibles.

Espero que con esta explicación se entienda mejor cómo lo he solucionado. De todas formas me ha recordado mis tiempos de estudiante, pues más de una vez he tenido que explicar a un profesor que mi respuesta en el examen era correcta, no por haberme copiado, que era lo que pensaba, sino por haber resuelto el problema de una forma inesperada. Qué tiempos aquellos...

De: Vicente López
2013-10-08 00:37

Pedro, el comentario en blanco fue un error informático mientras leía la solucion al desafio. Un abrazo. VIC

De: Yacon
2013-10-08 08:30

Considero que se están haciendo simplificaciones del estilo 0/0=1 (tiempo de frenado realmente=0), ciuando eso no tiene porqué ser así. Si el cable y el soporte son infinitamente rígidos ¿no se romperá siempre ya que se generan fuerzas infinitas?

De: Argus
2013-10-08 11:29

Exactamente como dice Mmonchi. Estoy de acuerdo en todo, incluyendo que prefiero usar incrementos en lugar de derivadas porque los veo más "amigables".

Por otra parte me queda la duda de qué velocidad tomar para ese incremento, ¿la del punto inicial o la del punto final? ¿Por qué no la media de las dos? Con esta duda probé a escribirlo y vi que la longitud del incremento se me cancelaba en las ecuaciones. Así lo dejé, pero es para mí el punto más delicado del razonamiento.

La solución de Jorge está a otro nivel. Me quito el sombrero. Considerar el cable como un todo y aplicarle la variación de momento es una abstracción que a mí ni se me ocurre. Además es una genialidad considerar la fuerza del soporte sobre el tramo de cable que cae (!) e incluirla en la variación de momento. Ahí me he tenido que parar, pensarlo despacio y sigo sin asimilarlo del todo. No salgo de mi asombro.

Yo ni siquiera di la fuerza en función del tiempo sino en función de la longitud de cable que cuelga. De todas formas es un paso obvio y si lo hago llego al mismo resultado (erróneo) que Jorge. Es curioso, aunque en realidad se trata de un error parecido: El de Jorge por considerar que el tramo de cable que cuelga en reposo es el mismo que el recorrido por el punto más alto (cuando en realidad es la mitad) y yo por considerar que un tramo X de cable recorre una distancia X, cuando en realidad recorre el doble.

Muy agradecido por el desafío. Siempre es un placer.

De: Argus
2013-10-08 12:08

Ah, se me olvidaba, @Rantamplan: También empecé yo haciendo números con energías potencial y cinética y me salían resultados absurdos. Le estuve dando vueltas y llegué a la conclusión de que LA ENERGÍA NO SE CONSERVA. Bueno, se conservará si consideramos el calentamiento del soporte, pero si nos fijamos únicamente en la dinámica, no puede conservarse la energía ya que el cable empieza arriba en reposo y acaba abajo en reposo. El soporte se "come" la energía. Dicho de otro modo, la fuerza del soporte no es conservativa y el balance de energías queda descartado para atacar este problema.

De: Jorge
2013-10-08 16:04

Pedro, tienes razón: reemplazando el 2 por un 4 se llegaba al resultado correcto en mi solución... sniff! pero bueno, este desafío tenía una que otra trampita y con toda mi rigurosidad, que era en parte para no perderme, lamentablemente caí en una de ellas (me faltó la conservación de masa!).

Así que mis merecidas felicitaciones a Mmonchi y los finalistas, cuya forma de resolver el problema con incrementos no sabía que fuera posible y me da otra perspectiva para entenderlo. Por último, para qué decir que se cumplió plenamente el objetivo de esta serie porque lo pasé excelente tratando de resolver este ingenioso problema.

Gracias Pedro y a El Tamiz.

De: Jorge
2013-10-08 19:08

@Argus, muchas gracias por los elogios! La verdad he tratado de batírmelas con unos cuantos desafíos desde que conozco El Tamiz y no había estado ni cerca! Así que estoy contentísimo de haberme acercado bastante y que les haya gustado la forma en que intenté estructurar la solución.

Al principio pensé que nos habíamos equivocado en lo mismo pero después me di cuenta que no era exactamente igual. Todavía estoy tratando de asimilar la forma de resolverlo usando incrementos y también me saco el sombrero por la rapidez cómo asimilaste la forma con derivadas! Aun así es divertido, pero parece que el error conceptualmente, o matemáticamente, no es el mismo ya que tú llegaste a un resultado final de L/5 para el cable caído y yo a 2L/5!

Revisando mi solución, después de todo sí puede ser el mismo, solo que "apliqué" la fórmula con el error más veces... ¿? acabo de verificar y si reemplazo el 2 por un 4 al calcular la longitud al final llego al mismo resultado que tú: L/5!

Después de un buen rato de leer la solución de Argus y las aclaraciones de Mmonchi creo que ya entiendo cómo se hace con incrementos y por qué faltaba el factor 2: el frenazo en cámara lenta al parecer es mucho más detallado y ocurre en dos etapas: por lo que habría que considerar el tramo que recorre el punto A hasta llegar abajo, mientras frena el pedazo anterior (de la misma longitud), y luego el que recorre hacia arriba mientras frena el punto B ¿puede ser?

Lo único que me queda pendiente es cómo hacer la solución más concisa aplicando la definición de fuerza como derivada del momento a todo el cable y no separando por trozos... pero tendrá que esperar para volver al trabajo!

Reitero mis respetos a Mmonchi por su gran oficio, intuición y por llegar al resultado correcto.

Un saludo y gracias nuevamente a Pedro y a El Tamiz.

De: Vincente
2013-10-08 20:18

Pues yo empecé a pensar que al ser el cable tan largo habría alguna diferencia en la aceleración de cada extremo, de forma que el cable sufre un estiramiento, tanto en su tramo fijo, como en el que está cayendo. E incluso podría llegar a romperse antes de empezar a dejarlo caer, o incluso cuando está colgando.

Al introducir la constante de elasticidad en cualquiera de sus variantes, las fórmulas se complican, pues cada eslabón (yo me imaginé una cadena en vez de un cable), además de su movimiento variable se encuentra sometido a las fuerzas de tracción variables a cada uno de sus lados.

Como el enunciado indicaba que no es el cable quien se rompe sino el soporte y que no había que considerar ningún fenómeno no enunciado, pensé que la solución sería más trivial.

Saludos

De: Argus
2013-10-09 08:50

Jorge, lo de elegir incrementos es, por decirlo vagamente, como considerar una cadena con eslabones en lugar de un cable. Me cuesta imaginarme un cable finísimo, ideal, que cae como ningún cable va a caer en la vida y acaba colgado sin rebotar ni tambalearse, como educadísimo. Me imagino un tramo infinitesimal de masa infinitesimal que frena en un tiempo infinitesimal y me empieza a doler la cabeza.

Entonces recurro a modelos como el del chiste ese que dice "Supongamos que la vaca es una esfera": En lugar del cable, digamos Es una cadena con eslabones. Los eslabones que ya cuelgan aportan el esfuerzo estático y el eslabón que recién frena es el que aporta el esfuerzo dinámico.

De: Argus
2013-10-09 09:12

Sigo en este comentario, que el anterior se me envió a medias por error :-)

No he entendido qué quieres decir con el frenazo en dos etapas y un recorrido hacia arriba. Si consideramos el frenazo de un eslabón hay un instante en el que el extremo inferior del eslabón está frenado pero el eslabón está "de pie" y a continuación el eslabón "gira" hasta que acaba colgado y frenado totalmente (sólo que no consideramos que gira, claro). El factor 2 ese viene del hecho de que el extremo superior del eslabón recorre dos veces la distancia del eslabón desde que está "de pie" hasta que está colgando.

Otra cosa que se me ocurrió: ¿Cómo se comportaría un cable ideal con un soporte ideal si todas las fuerzas fueran conservativas? Cada tramo que cae rebotaría siguiendo las leyes de un choque ideal. Después de rebotar tramo a tramo (no sé cómo), arriba y abajo, el cable acabaría de nuevo estirado arriba en reposo. ¿Cómo se comportaría el cable entre ciclo y ciclo?

De:
2013-10-09 17:51

@Vicente, por alguna razón no puedo ver tu solución... en todo caso con respecto a lo de la diferencia de aceleración entre los extremos del cable o entre los extremos de un eslabón, no sé si te refieres a esto, pero yo aproximo ambas a g, ya que la masa del cable y la diferencia de distancia es tan minúscula con respecto a la Tierra que se considera constante. Por lo mismo no podría haber una diferencia de velocidad... al pensarlo un momento creo que la elasticidad sólo entraría en juego si hubiera una tracción o compresión del cable, por ejemplo cuando se empieza a frenar.

@Argus, ya estoy empezando a asimilar la idea de los eslabones y me parece que estamos hablando de lo mismo, es decir, el punto A es el primero que llega abajo, por lo que hay que considerar el tramo en que este frena y llega abajo y después habría que considerar el tramo en el que el punto B frena y llega abajo (mientras el A sube) para tener todo el frenazo del eslabón AB.

De: Pedro
2013-10-09 19:25

Jorge me ha mandado la solución concisa --aplicando el segundo principio a todo el cable--. Creo que la disfrutaréis: solución concisa.

De: Mmonchi
2013-10-09 23:28

Jorge, la solución es excelente y mucho más elegante que la mía. No recordaba que la fuerza es la derivada del momento y la verdad es que así resulta todo más sencillo. Me has hecho recordar conceptos que tenía medio olvidados.

De: Vincente
2013-10-10 11:49

Para quien me ha preguntado el 2013-10-09 17:51.

Con 'diferencia de aceleración' no me refería a la diferencia entre las puntas de un eslabón o elemento infinitesimal, sino entre las puntas de la cadena. Por ser ésta muy larga la gravedad en un extremo es distinta a la del otro. Un sólido rígido compensa internamente estas diferencias de esfuerzos, pero un sólido real se estira o se rompe, incluso cuando no hay movimiento 'por su propio peso'. Y al ser muy largo el cable de nuestro problema, eso podría notarse incluso estando en caída libre.

Existe otro factor que puede influir en que no fuese posible el experimento tal como se ha planteado con un cable muy largo, o en que la solución sea más compleja. En la Tierra las cosas se encuentran girando y mantenerlo vertical significa que aunque la velocidad angular sea la misma en todos los puntos, no lo es la velocidad lineal. Al soltarlo, incluso asumiendo falta de rozamiento con la atmósfera, cada eslabón de la cadena tendería a describir una trayectoria de caída distinta, lo que implicaría su deformación y la pérdida de su absoluta verticalidad.

Son cosas que yo había considerado, pero que el enunciado del problema ya hace suponer que deben obviarse.

Saludos

De: José Meléndez
2013-10-11 12:05

La solución de Vicente es la correcta. La longitud del cable que cuelga es (1/3)gt^2. El factor es (1/3), no (1/4).

No se como habeis dado por invalida la solucion de Vicente, cuando está perfectamente explicada.

Una simple comprobación es calculando el tiempo que tarda la cuerda en caer, que es de t_final = sqrt( 3L/g ). Si sustituis este valor en vuestra formula de la longitud, debe salir la longitud final = L, cosa que no es asi.

La clave es darse cuenta de que cada punto de la cuerda va a una aceleración distinta. No toda la cuerda cae a g, solo su CG "local" en cada instante. No considerar esto supone errar toda la solución.

Si no os queda claro con la solución de Vicnte (que está explicada perfectamente), puedo enviaros alguna explicaión adicional.

De: Argus
2013-10-11 16:10

José, el cable no es elástico y por eso no puede tener diferente aceleración en diferentes puntos. Todo el tramo que cae debe hacerlo a la misma aceleración. ¿Cómo puede el cable tener diferente aceleración en diferentes puntos y a la vez mantener su longitud?

El cable no puede tampoco transmitir esfuerzos de compresión, sino sólo de tracción. Por eso el soporte no puede de ninguna manera frenar el tramo que cae.

Con todo esto deducimos que el tramo que cae lo hace a la misma aceleración en todos sus puntos y en caída libre (aceleración g). El cable entero tardará en caer sqrt(4L/g) que sale de aplicar la caída libre al punto en el extremo superior del cable que recorre en total 2L.

De: José Meléndez
2013-10-15 00:36

Lo que cae con aceleración g es el centro de gravedad "local" de la cuerda, que para cada instante de tiempo va variando de lugar. Si en t=0 tiras una pelota a la misma altura que el CG (esto es, contando como altura = 0 en el soporte, a altura = L/2), la pelota y el CG local de la cuerda deben y de hecho caen a la misma velocidad. Este centro de gravedad local (y la pelota), recorren hasta el instante en el que la cuerda ha caido por completo 3L/2. Por lo tanto, el tiempo no es sqrt(4L/g), sino sqrt(3L/g).

Si con este tiempo calculas mediante 1/2 * a * t^2 , lo a aceleracion del extremo superior (como hizo Vicente), la aceleración es 4/3 g. Es chocante, porque la cuerda ni se acorta, ni se alarga, ni estamos diciendo que cada punto acelere distinto, sino puntos "locales", en instantes de tiempo locales.

Mediante esta analogía de las pelotas:

http://img27.imageshack.us/img27/8175/ctnc.png

se ve perfectamente que la pelota superior A y la G (centro de gravedad local), en el instante final, deben colapsar, por lo que necesariamente la pelota A debe ir mas rápido que la pelota G, es decir, acelerará a mas que g (a 4g/3 oomo se puede obtener).

Yo diría que es así, la verdad no veo fallo en este razonamiento (el mismo de Vicente). Si me equivoco en algo me gustaría que me ayudaseis.

De: Tango Alfa
2013-10-15 09:48

Por mucho que intento no verlo así, me ocurre lo que a Yacon. "Si el cable y el soporte son infinitamente rígidos ¿no se romperá siempre ya que se generan fuerzas infinitas?"

De: Argus
2013-10-15 09:51

José, en el ejemplo con pelotas, la pelota A corresponde al extremo físico del cable mientras que la pelota G no está ligada a ningún punto físico. Como bien dices, G es un punto ficticio que corresponde a los sucesivos centros de gravedad instantáneos y esto es un punto del cable distinto en cada instante.

Por eso la aceleración del cable será la aceleración de A, y no la aceleración de G, ya que G es un punto que se mueve respecto al cable.

La aceleración de A será la de la gravedad por ser un punto físico sobre el que actúa únicamente la fuerza de la gravedad.

La aceleración de G será la aceleración del cable (A) menos la aceleración de secesión de los centros de gravedad instantáneos.

Yo diría que el error está en considerar que el centro de gravedad instantáneo cae con aceleración g.

De: Argus
2013-10-15 12:59

Ups! donde dije secesión quise decir sucesión. jeje.

De: Pedro
2013-10-15 18:55

José,

Das por sentado que el centro de masa del tramo que cae es quien desciende con la aceleración de la gravedad, pero creo que en lo que ves tan perfectamente es donde te equivocas (yo suelo equivocarme siempre justo en lo que tengo más claro).

Además de lo que te dice el resto, creo que tal vez te ayude a ver el error el siguiente ejemplo (diferente del del cable), si tienes la paciencia de currártelo, claro.

Imagina un cable como el del problema que cae verticalmente en el vacío porque ha sido cortado de un soporte. Mientras el cable cae, ¿cuál es la aceleración del extremo superior del cable y cuál la del centro de masa?

Cuando el extremo inferior del cable toca el suelo y parte del cable ya está en el suelo pero un tramo de cable aún está cayendo, ¿cuál es la aceleración del extremo superior y cuál la del centro de masa del tramo que cae?

Es posible que haciendo eso ya te haya convencido, pero si no es así dímelo y te hago más preguntas :)

De: José María
2013-10-18 10:35

Estupenda web a la que he llegado por casualidad. Y he visto el desafío del cable demasiado tarde para participar. No obstante me puse a resolverlo y he dado con una solución parecida a la de Mmonchi pero creo que es más sencilla y fácil de entender. El planteamiento consiste en considerar que la caída del cable es una sucesión de caídas libres de elementos diferenciales de longitud (dx) y masa (d·dx) desde su posición inicial (+x) por encima del soporte hasta su posición final (-x) por debajo del soporte. El elemento (dx) experimenta una pérdida de energía potencial debida a la pérdida de altura (2x), que será: Ep=(d·dx)·g·2x Cuando el elemento (dx) alcanza su posición final en (-x), sobre el soporte actúan dos fuerzas: F1=d·g·x, debida al peso del trozo de cable de longitud (x) que ya cuelga de él, y otra F2, necesaria para "frenar" al elemento diferencial y que al actuar sobre el desplazamiento (dx) produce un trabajo (W=F2·dx) que "absorbe" la energía potencial perdida. La conservación de la energía nos da: W=Ep; F2·dx=(d·dx)·g·2x; simplificando: F2=2·d·g·x La fuerza sobre el soporte, en función del trozo de cable que cuelga es: F(x)=F1+F2; F(x)= 3·d·g·x El elemento diferencial que cae recorre la distancia 2x en el tiempo t; la ecuación del movimiento nos da: 2x=(1/2)·g·t^2; x=(1/4)·g·t^2; sustituyendo en F(x), queda: F(t)=(3/4)·d·g^2·t^2, que es la fuerza sobre el soporte en función del tiempo. Si hacemos F(x)=M·g que es la fuerza máxima que aguanta el soporte, tenemos: 3·d·g·x=d·L·g; 3·x=L; x=(1/3)·L, que es la longitud del cable que colgará del soporte cuando se rompa. Espero que, aun con las limitaciones tipográficas del comentario, se pueda entender.

De: Venger
2014-03-07 10:32

José María, se entiende muy bien.

En la universidad recuerdo haber hecho un problema muy parecido a éste, que resolvíamos con ecuaciones diferenciales. Era de una cadena apoyada parcialmente en una mesa horizontal, pero parte de ella, caía por un plano inclinado.

Preguntaban que qué parte tenía que estar en el plano inclinado para que comenzara a caer y cuál sería su velocidad final.

Imagino que también se podría resolver con incrementos discretos como han hecho aquí, pero desde luego era más elegante con diferenciales

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