El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Desafíos - El cable colgante

¡Sí, ha llegado el momento! Hace ya unos meses desde el último Desafío del curso escolar anterior, y espero que la pausa haya servido para regenerar vuestras maltrechas neuronas. Si no conoces esta serie, su objetivo es plantear problemas que hagan pensar un rato: si es posible, con papel y lápiz y, mejor aún, en compañía. ¿Eres capaz de dar una respuesta, aunque sea aproximada? A la vuelta de la semana solemos publicar las soluciones mejor pensadas y explicadas de todas. Verás que esta entrada no admite comentarios, y es a propósito: para que nadie, por descuido, le agüe la fiesta a los demás revelando alguna pista.

El desafío de hoy es de los que tiene un planteamiento tremendamente simple pero hace falta pensar las cosas con cuidado. Vamos con él.

El cable colgante

“Muuruphutx Xtuhpuruum, Arquitecto Galáctico”.

Así se anunciaba el inefable Muuruphutx Xtuhpuruum, pues ése era precisamente su nombre este ciclo: no era en eso en lo que mentía el anuncio. Este personaje, ladrón intergaláctico, estafador espacial, maestro del engaño y el expolio, buscado en más de una docena de sectores por crímenes de todo tipo –ninguno de sangre, todo hay que decirlo– había decidido que un cambio de cara y de profesión le vendría bien para pasar desapercibido un par de ciclos. Y, dado que nunca había usado su verdadero nombre antes, no estaría fichado por ningún gobierno planetario.

Y, al fin y al cabo, ¿qué dificultad podía haber en la arquitectura? Tras varios eones de civilización, todo estaba hecho: las ideas más rocambolescas estaban pensadas, los diseños más atrevidos habían sido probados… para ser arquitecto –pensaba Muuruphutx– no había más que buscar en los archivos galácticos (privados, pero eso no era un problema para un delincuente de su talla), encontrar un proyecto similar al deseado y copiarlo tras añadir algunos detalles cosméticos.

De ahí su sorpresa cuando escuchó lo que le pedía su cliente: algo tan simple como un cable colgado de un soporte. El cliente, un gobernador galáctico que no aceptaba un no por respuesta –desgraciadamente, pues no había otra cosa que Muuruphutx desease más que decir que no–, tenía una estúpida y absurda idea para su siguiente monumento en la capital: un cable de acero larguísimo, tan largo como un edificio de quinientos pisos, colgado de un soporte a media altura de un gigantesco poste:

Cable colgante 2
El cable colgando del soporte.

Cada mañana, una grúa elevaría el extremo libre del cable hasta lo alto del monumento, mil pisos sobre el suelo, y luego lo soltaría:

Cable colgante 1
El cable elevado a su posición inicial, antes de empezar a caer.

Entonces el cable iría cayendo debido a la gravedad:

Cable colgante 3
El cable en una posición intermedia durante la caída.

Finalmente, el cable quedaría de nuevo extendido verticalmente con su extremo libre colgando justo sobre el suelo:

Cable colgante 2
El cable, de vuelta a la posición de equilibrio.

¿A qué mente estúpida se le ocurriría una idea así? se preguntaba Muuruphutx mientras buscaba en el archivo y comprobaba que, efectivamente, nadie había sido tan imbécil, en siete eones de archivo arquitectónico galáctico, de haber construido algo tan anodino y faraónico a la vez. El problema era que, por más ridícula que fuera la idea y el espectáculo inane del cable cayendo por el aire cada mañana, su cliente era muy firme en su petición, y Xtuhpuruum no podía negarse a riesgo de que el otro decidiese investigar un poco sobre él y sacar su tapadera a la luz.

Las buenas noticias eran que, dado lo simple del problema, incluso Muuruphutx podía diseñar esta tontería sin saber demasiado de casi nada. El cable tenía una longitud L y una masa M, es decir, una densidad por unidad de longitud d = M/L (no es que él necesitase la densidad, pero quedaba estupendamente en el proyecto que presentaría al gobernador). Por lo tanto, el soporte de acero necesitaba poder aguantar el peso del cable: M·g, donde g era la gravedad del planeta en cuestión, Beta Bootes IV.

De modo que Muuruphutx diseñó un soporte capaz de soportar ese peso, adjuntó los datos al proyecto del monumento y, tras enviárselo al gobernador, se olvidó del asunto. Se olvidó, claro está, hasta que recibió el mensaje de indignación (con muchas mayúsculas y múltiples signos de exclamación, signo claro de una mente enferma) del gobernador:

Hemos estrenado el monumento esta mañana, ¡¡¡¡Y EL SOPORTE SE HA DERRUMBADO BASTANTE ANTES DE QUE EL CABLE LLEGARA AL SUELO!!!!!!!!

Muuruphutx tragó saliva. ¿Cómo era posible? El soporte aguantaba lo que pesaba el cable… pero claro, él no había tenido en cuenta todo lo que hace falta tener en cuenta: lo que sucedió era inevitable (y si no te das cuenta del porqué cualitativo en unos minutos no creo que puedas resolver el desafío de hoy).

De modo que aquí tienes las dos preguntas del desafío de hoy:

  • ¿Cuál es la fuerza F que debe hacer el soporte para sostener el cable en función del tiempo mientras el cable cae?

  • ¿Cuánto cable habrá caído y cuánto quedará por caer cuando el soporte se rompa?

Algunos datos para los amantes de los detalles (el planteamiento es simple así que si no tienes dudas no leas los detalles, porque a lo mejor te hacen más mal que bien):

  • La fuerza máxima que puede realizar el soporte antes de romperse es el peso del cable, Mg.

  • La torre vertical es inifinitamente resistente, y no es posible que haya momento de giro ni nada parecido que mueva esa torre. El único punto débil es el soporte del que cuelga el cable, y el límite de ese soporte es la fuerza máxima que puede soportar (digo esto para que nadie empiece a hacer complicaciones de momentos de giro).

  • Inicialmente el cable está completamente en reposo como en la primera figura de arriba, con lo que el extremo libre –superior– está L metros por encima del soporte.

  • Podéis despreciar cualquier movimiento horizontal: supondremos que todo se produce en una sola dimensión, la vertical.

  • También podéis despreciar cosas como elasticidad del cable o del soporte y cosas así. El cable se dobla con toda la facilidad del mundo, pero no se estira ni es ésa la cuestión del problema – como dije al principio, el planteamiento es muy simple.

  • Es conviente, para comparar soluciones, usar las mismas letras que en el texto: M, L, d, g (y t para el tiempo).

Como siempre, no es mejor hacerlo antes sino bien. También como siempre, si hay alguna duda podéis preguntar por correo y, si la duda es por una ambigüedad en el planteamiento, modificaré el texto e intentaré anunciarlo (por ejemplo por Twitter, porque no merece la pena otra entrada para eso). La fecha límite para enviar soluciones es el domingo 6 de octubre.

Y recordad que lo importante no es llegar a la solución correcta: es disfrutar del camino. Al menos, eso es lo que Muuruphutx se repite a sí mismo mientras viaja con un nombre falso –esta vez sí– hacia un lejano sector de la Galaxia con media flota provincial de Bootes pisándole los talones.