El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Alienígenas matemáticos - Los sombreros de los vamisos

Escribo este pequeño adendo al artículo de Alienígenas matemáticos - Entrenamiento civil con un doble objetivo. Por una parte para avisaros de que he actualizado el texto del artículo, ya que no sólo había algún error en la explicación del problema más difícil de todos, el último –entre otras cosas, a medio escribir en mi cabeza se cambiaron “amarillo” y “naranja”–, sino que además la explicación en sí era bastante pobre y confusa. Espero que ahora esté más claro: cuando le echéis un ojo me lo decís.

Por otro lado, entre los problemas alternativos que me habéis propuesto parecidos a los propuestos en el artículo, hay uno que encaja lo suficientemente bien en esta serie como para merecer una mención aparte. Me lo ha apuntado Gregorio Morales de modo que, aunque los adornos sean míos, el núcleo del problema y la solución son suyos. Gracias a Gregorio, quienes disfrutáis de esta absurda serie tenéis un pequeño apéndice al artículo anterior con un problema adicional endiabladamente difícil. Además, Gregorio se ha ofrecido amablemente a resolver dudas y pegas en comentarios, de modo que disfrutemos: la única cosa más divertida que pensar es pensar juntos.

Finalmente, por razones que no vienen al caso este mes está siendo espantoso y no voy a poder publicar un artículo semanal. Esta semana este pequeño adendo es el sustituto del artículo habitual. ¡Lo siento! A veces la vida se entromete.

Los sombreros de los vamisos

En la historia sobre el Banco Estelar de Deneb conocimos a los vamisos de Petrovichi, unas extrañas criaturas de origen probablemente artificial capaces de razonar, memorizar y calcular a una velocidad imposible para cualquier otra criatura de las galaxias conocidas –bueno, cualquier otra criatura con una excepción–. No hay más que ofrecer a uno de estos seres una alcaparra y calculará cosas para ti sin el menor problema, ya que aman esos encurtidos más que cualquier otra cosa en el mundo.

El caso es que, durante la conquista del planeta de los vamisos de Petrovichi, los Alienígenas matemáticos realizaron horrores genocidas que no puedo relatar aquí: los horrores habituales, por otro lado. Entre ellos, ¡sorpresa!, los monstruos hicieron espantosos experimentos matemático-psicológicos con las pobres criaturas, experimentos tanto más interesantes por las extraordinarias capacidades de los vamisos.

El más célebre de estos experimentos se produjo tras una modificación genética de un grupo de vamisos: se introdujo en su código genético ADN de lutrino, lo cual permitió a estos vamisos reproducirse a un ritmo gigantesco. Cuando empezó el experimento, el grupo de vamisos de Petrovichi modificados constaba de infinitos individuos.

Estos infinitos vamisos fueron informados por parte de sus captores de que a la mañana siguiente realizarían el siguiente proceso:

  • Todos los vamisos se pondrían en una fila –de longitud infinita, por supuesto–, mirando en el mismo sentido y con los ojos tapados. El del final de la fila, el número 1, vería a todos los demás vamisos frente a él –pero no su propio sombrero, claro–. El número 2 vería los sombreros de los vamisos 3 en adelante, el número 4 el de los vamisos 5 en adelante, etc.

  • Cada vamiso recibiría entonces un sombrero de color blanco o negro, un papel con su nú y dos bolas, una blanca y otra negra, y se le informaría de su número de posición (por ejemplo, “Eres el vamiso número 236”), siempre contando desde el vamiso 1 que ve a todos los demás.

  • Todos los vamisos abrirían los ojos a la vez, de modo que podrían ver a todos los demás vamisos frente a ellos (pero no su propio sombrero ni los que tienen detrás).

  • Cinco segundos después, todos los vamisos simultáneamente dejarían caer una de las dos bolas, blanca o negra, y se quedarían con la otra.

  • Cada vamiso cuya bola coincidiera con el color de su sombrero sobreviviría, y quienes tuvieran una bola del color contrario a su sombrero morirían.

Entonces, antes de irse a dormir, se permitió a los vamisos de Petrovichi que discutiesen una estrategia óptima que permitiese sobrevivir al mayor número posible de ellos. Tras la discusión nocturna, al día siguiente se realizó el experimento y la sorpresa de los Alienígenas matemáticos fue mayúscula: los vamisos habían planeado una estrategia que no sólo hizo sobrevivir a un número infinito de ellos, sino que sólo murió un número finito de vamisos.

¿Qué estrategia acordaron esa noche? Observa que, además de la diferencia obvia con el problema anterior –el hecho de que hay infinitos vamisos en vez de un número finito de humanos–, en este caso no hay manera de dar información al jugador frente a ti, ya que los vamisos hacen sus apuestas simultáneamente.

Como pista, recuerda que los vamisos pueden memorizar y calcular infinitamente rápido y con una capacidad ilimitada, además de ver infinitos vamisos frente a ellos, lo cual ya tiene mérito. ¿Eres capaz de inventar una estrategia con la que muera sólo un número finito de ellos? Si te sirve de consuelo, yo no: Gregorio tuvo que darme la solución, e incluso al leerla por primera vez no la entendí. Pero, por si acaso, dejo un espacio antes de seguir con el problema, que nunca se sabe cuándo hay un genio entre nosotros.

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Tan pronto como estuvieron solos para su conversación nocturna los vamisos de Petrovichi, ni cortos ni perezosos, empezaron a crear definiciones y teoremas. En vez de pensar en sombreros concretos, lo hicieron acerca del conjunto de todos los sombreros. Al fin y al cabo, una vez todos tuvieran sombrero, el resultado sería una secuencia infinitamente larga de sombreros blancos y negros.

Esa fue su primera definición: una secuencia es una serie concreta de infinitos sombreros, por ejemplo BNBNBNBN… Y la solución es la secuencia correcta de infinitos sombreros.

¿Cuántas posibles secuencias de sombreros podría haber? Evidentemente, infinitas, de las cuales sólo una es la solución. Sin embargo, no todas las secuencias diferentes serían igualmente diferentes. Unas serían más parecidas que otras. Por ejemplo, estas dos secuencias son diferentes: BNBNBNBNBNBN… y NBNBNBNBNBNB… De hecho, en esas dos secuencias absolutamente todos los sombreros son diferentes, pues cuando en una el sombrero n es blanco, en la otra es negro y viceversa. Hay infinitos sombreros diferentes entre ambas.

Otro ejemplo de dos secuencias muy diferentes: supongamos que ambas empiezan igual, digamos que BBBNNB para ambas, pero a partir de ahí absolutamente todos los sombreros son diferentes. Una vez más, ya que las secuencias no acaban nunca, hay infinitos sombreros diferentes entre ambas –aunque en este caso hay un número finito de sombreros que son iguales, BBBNNB–.

Otro ejemplo más: imaginemos dos secuencias en las que los sombreros pares son todos exactamente iguales en ambas, pero los sombreros impares son diferentes. Por ejemplo, BBBBBBB… y NBNBNBNB…. En ellas hay un número infinito de posiciones idénticas y también un número infinito de posiciones diferentes. Pero, para lo que importaba a los vamisos, la clave era esa segunda parte: hay un número infinito de sombreros diferentes.

¿Es posible que haya secuencias en las que sólo un número finito de posiciones tengan sombreros diferentes? Por supuesto que sí: el caso opuesto al de la secuencia inicial idéntica. Si existe un punto a partir del cual todos los sombreros son iguales, la diferencia será entonces la secuencia finita de sombreros hasta ese punto. Por ejemplo, BBBBBNBNBNBNB… y NNNNNNBNBNBNB…. a partir de la posición 6 son secuencias idénticas, pero las cinco primeras posiciones no lo son. Por lo tanto, la diferencia entre ambas es sólo un número finito de posiciones.

De modo que los vamisos realizaron la siguiente definición: dos secuencias son semejantes si se diferencian en un número finito de posiciones, y desemejantes si se diferencian en un número infinito de posiciones.

A continuación dividieron las infinitas secuencias posibles en conjuntos de secuencias semejantes. Hay infinitos conjuntos de este tipo, y cada conjunto tiene un número infinito de secuencias, pero entre sí todas las secuencias semejantes de un conjunto difieren, como es natural, tan sólo en un número finito de elementos.

Aquí viene la clave de la cuestión: para cada conjunto de secuencias semejantes los vamisos eligieron un patrón, una secuencia concreta del conjunto que consideraron representante de todo el conjunto. Daba igual cuál fuese el sistema para elegir patrón, siempre que estuviera claro para todos los vamisos cuál era el patrón de un conjunto determinado.

El teorema correspondiente, la clave de su estrategia, fue éste: un patrón es semejante a todas las secuencias de su conjunto. La demostración es tan tonta que no voy ni a mencionarla. La consecuencia, también perogrullesca, es esencial: un patrón sólo se diferencia de todas las secuencias de su clase en un número finito de sombreros.

¿Por qué era esto importante? Porque, cuando un vamiso determinado –cualquiera que fuese– abriera los ojos, vería infinitos sombreros frente a él y, lo que es más importante, el número de sombreros que no podría ver sería finito. Y esto es verdad para todos ellos, luego todos tienen esa ventaja, el hecho de que a su espalda hay un número finito de sombreros, y frente a ellos un número infinito de sombreros.

Al ver un número infinito de sombreros, todo vamiso puede identificar la secuencia frente a él y, por tanto, el conjunto de secuencias semejantes al que pertenece. Fijémonos, por ejemplo, en el vamiso n. Cuando abre los ojos puede ver la parte de la solución desde n+1 hasta el infinito, pero no puede ver los elementos de la solución 1 hasta n. Ve un número infinito de vamisos y no ve un número finito.

De modo que todos los vamisos acordaron lo siguiente:

Al abrir los ojos y ver los infinitos sombreros frente a ellos –pero no los que tienen detrás– sabrían a qué conjunto de secuencias semejantes pertenecía la secuencia que estaban viendo. Por lo tanto, sabrían cuál es el patrón de esa secuencia, y se ajustarían a ese patrón. Finalmente, una vez decidido el patrón correspondiente al conjunto de secuencias similares a la que veían, elegirían como su sombrero el que correspondiese a su posición en el patrón elegido.

¿Por qué funciona esta estrategia como óptima? Hay que ir poco a poco para entenderlo.

Supongamos que tú, pacientísimo lector, eres informado de que eres el vamiso número 7. Miras frente a ti y ves una secuencia de sombreros infinita, digamos que BBNBBNBBNBBN… desde la posición 8 hasta el infinito.

Siendo un vamiso, en primer lugar identificas el conjunto al que pertenece esta secuencia, y luego recuerdas el patrón acordado para ese conjunto. Digamos que el patrón es NNNNNNNNNNBBNBBNBBNBBN… El patrón y la secuencia real que estás viendo son iguales desde la posición 10 en adelante. De hecho, las posiciones 8 y 9 no son iguales en el patrón (NN) y en la secuencia que ves (BB), pero eso da exactamente igual. No estás intentando encontrar la solución, sino el patrón correspondiente a la secuencia dada incluso aunque sepas seguro que no coincide con ella. Puede que patrón y secuencia visible no sean iguales, pero lo importante es que son semejantes.

Por lo tanto, dado que tu posición es la 7 y que el patrón tiene en la posición 7 un sombrero negro (N), cuando llegue el momento te quedarás en la mano con la bola negra y esperarás tener suerte.

¿Qué hará, en la misma jugada, el vamiso que hay frente a ti en la posición 8? Él ve un sombrero menos que tú, BNBBNBBNBBN…, pero una vez vislumbrados los infinitos sombreros asociará a la secuencia el mismo conjunto y, por lo tanto, el mismo patrón que tú. Dado que en el patrón la posición de su sombrero, la número 8, se corresponde con el negro (N), cuando llegue el momento él también se quedará con la bola negra en la mano.

El pobre vamiso número 8 no puede saberlo, pero está condenado: tú sí puedes ver su sombrero, que es blanco. Pobrecillo… pero es que este sistema no garantiza la supervivencia de ningún vamiso concreto, y tu compañero es una de las víctimas del sistema.

Veamos, no lo que le pasa a un vamiso concreto, sino a todos. Para eso nos hace falta la secuencia completa, es decir, la solución, no sólo lo que veías tú desde la posición 7. Supongamos que la solución es NBBNBBNBBNBBNBBNBBN…. Absolutamente todos los vamisos, independientemente de su posición, identificarán el conjunto de la secuencia que ven y elegirán su patrón –el representante que acordaron la noche anterior– que fue NNNNNNNNNNBBNBBNBBNBBN…

¿Qué le pasa entonces a cada vamiso? Cada uno se queda con la bola correspondiente del patrón. El vamiso 1 se queda con la bola N, y su sombrero es N, luego sobrevive. El vamiso 2 se queda con la bola N y su sombrero es B, luego muere. Lo mismo le pasa al vamiso 3. El vamiso 4 sobrevive pues su sombrero real coincide con el del patrón, pero los vamisos 5 y 6 mueren, porque tienen sombreros B pero el patrón tenía N en esas posiciones. El vamiso 7 (tú) sobrevive, pero el 8 y el 9 mueren ambos por tener sombreros blancos.

Pero quiénes viven y mueren de este conjunto inicial es absolutamente irrelevante –para la solución óptima, claro, no para los pobres vamisos involucrados–. ¿Por qué (y ésta es, otra vez, la clave de la cuestión)? Porque el número de vamisos iniciales hasta que el patrón y la solución coincidan, ya que ambos son semejantes, es finito.

Así, en nuestro ejemplo los vamisos 10 en adelante son ya la secuencia idéntica al patrón, luego absolutamente todos sobrevivirán, y son infinitos. Pero la clave de la cuestión, insisto, no es que ellos sean infinitos: es que la diferencia de sombreros entre el patrón y la solución es finita, porque son soluciones semejantes. Dado que todos los vamisos se ajustan al mismo patrón, sólo un número finito de ellos puede morir: aquellos infortunados de las posiciones en las que se diferencian patrón y solución.

¿Qué sistema deben elegir los vamisos para acordar un patrón de cada conjunto? Ésa es la belleza del sistema: da exactamente igual. Lo que no da igual, porque es lo que garantiza que el número de muertos sea finito, es que todos elijan el mismo patrón.

Como todos los problemas con infinito, va bastante contra la intuición y sospecho que al principio causará dudas y arqueamiento de cejas a casi todos. A mí me costó Dios y ayuda –ayuda de Gregorio– acabar entendiéndolo. De hecho, aunque podría ayudaros en comentarios, creo que será más divertido si planteáis las dudas o pegas que os surjan y Gregorio puede intentar resolverlas. Si no puedo evitarlo intervendré, pero intentaré hacerlo lo menos posible. Que comience la batal… quiero decir, que ustedes lo disfruten.

Alienígenas matemáticos, Matemáticas

210 comentarios

De: elenmor
2013-06-06 19:56:36

No estoy de acuerdo. Esto sería en el caso de que en algún momento la secuencia se repitiese, es decir, fuese periódica, pero nuestros queridos alienígenas matemáticos no nos han dicho que fuese así, ellos ponen los sombreros al azar.

Un ejemplo para que nos entendamos, hablemos de números.

Los número racionales infinitos tienen en algún momento una repetición de sus decimales, es decir, una secuencia como la que hablamos, un patrón, independientemente de lo anterior. A esta secuencia la llamamos periodo. Pero los números irracionales no repiten sus cifras decimales en ningún momento, lo que hace que sea en este caso una sucesión de sombreros que no se repiten.

La conclusión, es que como los números irracionales son infinitamente más grandes que los racionales (ya se ha hablado en este blog del aleph de los conjuntos), apostar a lo que hicieron nuestros amigos vamisos sería el mayor suicidio de todos, sería totalmente improbable conseguir sobrevivir así, porque estamos eligiendo tomar un número al azar de la recta real y que salga racional, imposible.

Lo que deberían haber hecho es cerrar los ojos sacar una bola al azar, que les daría una posibilidad de sobrevivir al 50% frente a un 0% que nos hubiese dado la otra estrategia.


De: salteador
2013-06-06 20:23:33

Estoy de acuerdo en parte con elenmor.
Si la secuencia de sombreros fuese por ejemplo la del dígito decimal correspondiente de PI, módulo 2 (0 negro, 1 blanco), no existiría ningún patrón, y por tanto la estrategia acordada no valdría de nada.
Sin embargo esa estrategia da la misma probabilidad de supervivencia que la elección al azar, un 50%.
Por tanto vale, si tienen suerte de que la secuencia sigue un patrón, se salvarán infinitos (aunque la probabilidad de ello sea un 0% -que no imposible-).


De: Gregorio
2013-06-06 20:48:50

Hola!

Como bien dices, el conjunto de todos los patrones que los vamisos han elegido para su "catálogo" es no-numerable (como los irracionales). Pero si el catálogo lo han construido bien, cualquier secuencia será semejante a una de las del catálogo (lo que ellos llaman "patrón"), que es a lo que se ciñen los vamisos.

Cuando dicen "patrón" no se refieren a un periodo, como en los números racionales. Se refieren a que dado un conjunto de todas las secuencias posibles de sombreros semejantes entre sí, ELIGEN un representante, un patrón al que ceñirse si lo que ven es semejante.

Menuda me ha caído encima! jajajajajaja :D

P.D. Bienvenidos al infinito :P


De: Futurama
2013-06-06 20:55:18

Creo que al ser una serie infinita, y además de solo dos variables se acaban repitiendo patrones que casi coinciden con el original. Lo que no entiendo es que mueran un número finito. Si por ejemplo en la estrategia mueren uno de cada 1000, como son infinitos, morirán infinitos bichetes.¿?


De: Gregorio
2013-06-06 21:17:09

Hola Futurama,

No tiene por qué repetirse un periodo. Piensa por ejemplo en los números irracionales, PI por ejemplo, nunca se repite un periodo.

Intentaré explicar por que sólo muere una cantidad finita de vamisos: la secuencia "patrón" a la que todos los vamisos se ciñen es semejante a la solución, y por tanto solo se diferencia en una cantidad finita de sombreros. Justamente los que se diferencian, una cantidad finita, son los que palman.


De: Gregorio
2013-06-06 21:19:28

Hola salteador,

El catálogo que se han construido los vamisos barre todo el espectro posible, así pues habrá una secuencia que a partir de una posición N es exactamente igual a PI en binario; lo que en la solución Pedro ha llamado semejante. :)


De: elenmor
2013-06-06 21:55:47

Pero de lo que estamos hablando, es que semejante es que a partir de una posición, las secuencias son idénticas. Yo lo entiendo como:
10001011101010101
101010101
Es decir, se vuelven idénticas en algún punto, y después ya lo son. Pero si tenemos un "irracional" nunca repetiría la misma estructura, da igual hasta que posición mirásemos. Y no hay nada que impida que sea lo que elijan los malvados alienígenas


De: Gregorio
2013-06-06 22:35:58

Elenmor, si cogemos PI = 3,14159..... y PO=3,24159... (es decir, igual que PI pero cambiando el primer decimal), las dos secuencias son idénticas a partir del segundo decimal, y es un número irracional. No acabo de entender qué tiene que ver que sea irracional.


De: salteador
2013-06-07 00:16:38

Vale, entonces lo que propones es que los vamisos memorizan infinitas secuencias diferentes de longitud infinita, tales que cualquier secuencia infinita posible, acabe siendo similar a una de esas, a partir de un elemento finito de la secuencia.
Claro que eso implica que no es que memoricen infinitas secuencias, sino más bien "infinito elevado a infinito" secuencias (que vale, sí, es inifinito).

Pero lo que me chirría es, cómo puedes asegurar que a partir de una posición finita, coincidirá el "final" de la secuencia con alguna de las elegidas. Si una de las secuencias elegidas es (BBB... infinitas B) nada te impide que la elegida por los alienígenas sea infinitas N seguidas de infinitas B. Al fin y al cabo, infinito + infinito, también es infinito.

Podrías decirme que la secuencia que describo no puede existir, porque si hay infinitos N, nunca empezaría a haber B, y por tanto esa secuencia es simplemente de infinitas N. Pero te pongo un ejemplo: Una fila de infinitos vamisos en fila india mirando hacia el norte con la B. Y a espaldas del primero de la fila, otros infinitos vamisos enfilados con la N, mirando al sur. Y antes de quitarles la venda, ordenas a estos últimos que se den media vuelta. Ya lo tienes: infinitos N seguidos de infinitos B. Y todos los infinitos N morirían.


De: Julio César
2013-06-07 01:03:24

Solo una duda ¿No llevaría un tiempo "infinito" ponerse de acuerdo? O ¿Porque se puede acordar la estrategia en un tiempo finito?


De: Brigo
2013-06-07 01:24:13

¿Cómo sabes que un patrón es semejante a una serie dada? Efectivamente, para pi cambias los primeros números y ya lo tenemos, pero para un número del que no podemos calcular el siguiente decimal porque no sabemos de donede sale, ¿ realmente existe un semejante calculable más allá de que tengamos un teorema que nos confirme su existencia?


De: elenmor
2013-06-07 01:51:40

Bueno, creo que ya entiendo qué es lo que me chirría, la elección del patrón.

Hablaba de los irracionales porque su secuencia de cifras nunca se repite, para los racionales sí veo sencillo elegir un patrón. Elegir un patrón para los irracionales, que es una secuencia infinita de números, es lo que me cuesta, al fin y al cabo, así sólo tendríamos un patrón posible para cada número irracional. Efectivamente, a este patrón irracional después podemos hacerle lo que queramos, sumarle uno o restarle uno en cualquier posición, de modo que se cumple todo lo que enuncia el problema.

¿Pero cómo eligen nuestros vamisos el patrón? ¿No pueden confundirse ya que nunca ven repetición en lo que observan al mirar hacia el frente?

No sé cómo explicarme exactamente, pero esto de algún modo me recuerda a intentar ordenar el infinito como lo de la lista de Cantor que veíamos en http://eltamiz.com/2011/06/29/infinito-ii/


De: Gregorio
2013-06-07 08:19:57

Intentaré ir en orden:

Efectivamente, esa secuencia que describes no existe, del mismo modo que no existe el número 0,00000000....(infinitos ceros) 000111111111111.. (infinitos unos).

Recuerda que en el enunciado los colocan con un último de la fila y todos los demás están delante de él. Recuerda también que a todos les dan un papelito para saber en qué orden lo han colocado (un detalle made in Pedro, por cierto, jejeje). Si tu secuencia de sombreros existe, ¿qué numerito le han dado al primer B?

A parte de eso, sí, están memorizando un conjunto muuuuy infinito de secuencias infinitas. Por eso esta vez son vamisos y no humanos, porque es una tarea sobrehumana ;)


De: Gregorio
2013-06-07 08:23:52

(uy, el anterior mensaje iba para Salteador)

Ahora: Hola Julio César,

Sí, hay que elegir un representante de infinitos conjuntos. Menos mal que la faena no es para mí, sino para los asombrosos Vamisos. Deben tener ADN cuántico o alguna movida de esas. Yo sigo impresionado por su capacidad de cálculo tanto como por su perfecta visión!


De: Gregorio
2013-06-07 08:26:34

Para Briso,

No, yo no podría saberlo. Pero a un vamiso se le supone visión infinita y capacidad de memoria y cálculo infinita. Supongo que un vamiso podría mirar PI "hasta el final" como han hecho con los sombreros infinitos y compararlo con otro número irracional y llegar a la conclusión de que a partir de la cifra 3453564536 son idénticos. ADN cuántico, supongo :)


De: Gregorio
2013-06-07 08:40:06

Para elenmor,

Sigues "cegado" con los racionales e irracionales. Voy a intentar (y esto va por todos) hacer una descripción "gráfica" de lo que han hecho los vamisos esta noche (lo que les costaría un tiempo infinitamente, o más, tocho de conseguir, pero como son la leche en vinagre, se lo ventilan en una noche).

Imaginad que pillan una secuencia, la primera que pillan, y la meten en un cajón. Después cogen otra, si es semejante a la primera, la meten en el mismo cajón. Y si no, pues en un cajón nuevo, y así con todas (pufffff). En esencia, lo que están haciendo es clasificar todas las secuencias según sean semejantes entre sí. Es decir, 1) las de un mismo cajón son todas semejantes entre sí, 2) las de cajones distintos son siempre desemejantes (o hubieran acabado en el mismo cajón), y 3) tooooodas las secuencias posibles han acabado en un cajón.

Ahora, como parte de su estrategia, abren cada cajón y sacan una secuencia a boleo; de CADA cajón. Así, sin criterio, porque les da igual.

Así, al día siguiente, con ver toda la fila infinita que tienen por delante (y porque el trozo de detrás es finito) sabían a qué cajón debía pertenecer. Y por tanto sabían cuál fue la secuencia que sacaron del cajón (lo que se ha dado en llamar en este problema "patrón", confundiendo a algunos con el periodo de los racionales, pero siendo una palabra que tiene más relación con la varilla de platino e iridio que guardaban en Paría como patrón para el metro).

¿Que cómo pueden comparar dos secuencias infinitas? ¿Que cómo pueden ver infinitos sombreros y memorizarlos? Es algo que se escapa a mis capacidades humanas, si algún me encuentro con un vamiso me parecerá MAGIA toda su tecnología!


De: Yacon
2013-06-07 09:15:22

Yo también ando perdido. Si cualquier vamiso puede ver infinito sombreros, ¿qué importa si sólo ve los de delante o si se puede dar la vuelta y ver todos menos el suyo? Y asumiendo que los puede ver todos menos uno ¿cómo puede saber el suyo? Eso equivaldría a saber si va a salir cara o cruz en una moneda sabiendo las tiradas que han salido con anterioridad. Y eso, aunque se haga infinito veces, es imposible por la definición del juego cara-cruz.


De: Gabriel
2013-06-07 09:33:34

Yo lo que no me explico es como pueden escribirle en un papel su número de posición. Para el primero es fácil, ¿pero para el que está en la posición infinitoº? ¿Y que lápiz usan? ¿uno infinito?
P.D.: Un gran artículo. Felicidades!!


De: Argus
2013-06-07 12:36:19

Estoy tan desconcertado que me voy a poner de parte de los alienígenas matemáticos. Voy a poner los sombreros de forma que me asegure de que mueran infinitos vamisos. Mi estrategia será la siguiente: Tomo los decimales de PI, 14159... y pongo tantos sombreros del mismo color como diga cada decimal, es decir, 1 blanco, 4 negros, 1 blanco, 5 negros, 9 blancos, etc... Mi pregunta es: ¿Esa secuencia tiene un patrón? ¿Tiene PI un patrón? Creo que lo que me produce dudas es el término "patrón", que irremediablemente lo identifico con "periodicidad" o con "secuencia".

Lo verdaderamente asombroso de esto es la demostración de que existan secuencias semejantes. No puedo concebir a partir de qué elemento son idénticas, porque debe existir tal elemento a partir del cual tenemos dos secuencias idénticas. Y esto contradice la existencia del azar, ¿no?


De: Gregorio
2013-06-07 13:03:07

Argus, esa secuencia que dices tiene que estar en uno de los "cajones" de los vamisos (mira mi comment de las 8:40). Por tanto los vamisos se ceñirán al que hayan sacado de ese cajón, que diferirá, por tanto, en una cantidad finita de posiciones. et voilà!

Si no te gusta la palabra patrón, le puedes cambiar el nombre, ¿cuál te gusta más? en matemáticas se usa "representante de la clase de equivalencia". La verdad es que no pensaba que patrón diera lugar a confusión, pero sí que es cierto que evoca a la periodicidad; en este caso no es más que un representante al azar al que se deben ceñir los vamisos.

Y sí, es muy sencillo hacer secuencias semejantes entre sí: coge el número PI y cámbiale 20 o 30 dígitos cualesquiera. Obviamente, el número obtenido no es PI, pero se diferencia solamente en 20 o 30 dígitos. Ambos números son semejantes. Ya está. No es en absoluto asombroso que puedas construir un número semejante a PI :)

Lo que no veo es cómo contradice la existencia del azar.

Lo que sí veo es cómo de fastidiosamente contraintuitivo es el infinito :)


De: Argus
2013-06-07 13:35:21

Agradezco mucho tus aclaraciones, Gregorio. A ver si entiendo: tomemos el número PI y cambiemos una cifra. Tenemos entonces 10 secuencias semejantes que difieren en 1 número. Cambiemos 2 cifras: tenemos entonces 100 secuencias semejantes que difieren en 2 números. En general tenemos 10 elevado a n secuencias semejantes que difieren en n números.

Así que eligiendo una secuencia semejante a la que ven, se salvan n vamisos. En teoría funciona, pero vamos a lo práctico: ¿cuánto vale n? Es por construcción un número finito pero arbitrariamente grande, con lo que estamos de nuevo a las puertas del infinito.


De: Argus
2013-06-07 13:40:48

Corrección: quise decir "mueren" n vamisos (no se salvan).


De: Gregorio
2013-06-07 13:41:00

En efecto, Argus.

En el cajón de las semejantes, hay secuencias que solo difieren en un sombrero, otras en dos sombreros, otras en tres sombreros, otras en cuatro sombreros... de hecho, como bien dices, no hay límite.

Igual mueren 20.000.000 de vamisos, o igual mueren 20.000.000.000.000.000 de vamisos. ¿Pero qué son esos millones de vamisos comparado con la infinidad que se salvan? Demos gracias al ADN de lutrino por ello :)

Lo que sí que está claro es que siempre morirá una cantidad finita de vamisos, lo que no podemos saber es cómo de grande es esa cantidad (desgraciadamente para los vamisos).


De: Gregorio
2013-06-07 13:44:52

Hola Gabriel.

Sí, quizá escribirlo en un papel es poco amable con el medio ambiente. Digamos que se lo dicen. o simplemente los van colocando diciendo "tú, a la fila" y los vamisos van llevando todos la cuenta. Como sabemos, su capacidad de memoria es extraordinaria!!


De: Persi
2013-06-07 13:47:15

Voy a tratar de releerlo varias veces porque no creo haberlo entendido con mi nivel de mates. ¡Odio los infinitos!

Hace tiempo, aquí en el tamiz, leí algo sobre una secuencia infinita de números (puede que de PI) en la cual, dentro de ella podemos encontrar en algún punto cualquier secuencia que se nos pase por la cabeza, por larga y azarosa que sea. Osea que yo me invento una secuencia muuuuuy larga, así como infinita, y la encontraré en algún momento dentro del número PI, siendo las cifras anteriores un número finito. ¿Tiene ésto algo que ver con la estratégia que se plantea?


De: Argus
2013-06-07 14:19:57

Comprendo... Entonces muere un número finito de vamisos pero que no podemos acotar. ¿Podemos decir que mueren menos de 1000? No. ¿Podemos decir que menos de 1000 billones? Tampoco. ¿Podemos decir que mueren menos de n, valga lo que valga n? De nuevo, no. Pues eso es lo que yo pensaba que era infinito...


De: Gregorio
2013-06-07 14:40:20

El conjunto de los números pares es infinito. El conjunto de todos los números menores que "n" es siempre finito, ya que tiene n elementos... por muy grande que sea n.

Me alegro que con este problema estemos adentrándonos en los abismos del infinito :)


De: Gregorio
2013-06-07 14:43:47

Para Persi,

No te puedo decir si eso es algo que salió en El Tamiz, quizá Pedro te pueda ayudar mejor. Lo que sí que te puedo decir es que no tiene nada que ver, así en principio, con el problema de los infinitos vamisos.

Sobre lo de que en PI podemos encontrar cualquier secuencia finita de dígitos, juraría que es algo que aún no se ha podido demostrar, aunque la comunidad matemática "cree" que es cierto.


De: niko54
2013-06-07 14:57:10

A ver.. para utilizar un patron tienen que mirar hacia los infinitos lutrinos y seguir la secuencia acordada de antemano donde a partir de una posición determinada todos los lutrinos coinciden con el patron de tal forma que a partir de esa posicion- que es finita- todos sovreviven. ¿Lo entendí bien?


De: JI
2013-06-07 15:00:12

Ya conocía el problema pero sigo fascinado cada vez que lo leo.
Yo de ser un vaniso y con esa capacidad matemática lo que haría sería dividir cada bola en un número finito de partes y volver a juntarlas para crear cuatro bolas, 2 blancas y 2 negras (cualquier duda preguntarle a Banach y Tarsky que ellos saben como se hace).
Desde luego Gregorio te has metido en un buen fregado :)
Nos vemos,
JI


De: niko54
2013-06-07 15:02:11

Perdon, el patron a seguir no esta acordado de antemano sino mas bien, en funcion de los patrones posibles analizados de antemano se elige viendo los infinitos lutrinos delajte de uno


De: niko54
2013-06-07 15:05:47

Y lo interesante del problema es que no importa en que posicion se encuentre cada lutrino ya que siempre va a tener infinitos lutrinos delante con lo cual siempre va a tener la información suficiente para saber que patron elegir


De: Gregorio
2013-06-07 15:10:05

Correcto, niko54.

De hecho, y dando una extraña vuelta de cerca, si los vamisos tuvieran todos vista cansada y no vieran bien de cerca, y solo vieran lo que tienen a partir de 1000 posiciones en adelante, no cambiaría nada. jejeje


De: Ramiro
2013-06-07 18:01:48

Creo que he llegado a comprender el funcionamiento de los patrones. Mi duda surge sobre lo que apuntaba Argus en su último comentario.
Incluso aunque los vamisos puedan recorrer todas y cada una de las secuencias y clasificarlos en un tiempo finito no tengo muy clara la posibilidad de elegir un patrón.
Se supone que para que la estrategia funcione todas las secuencias semejantes han de tener asignado el mismo patrón. ¿Cierto?
Supongamos que en el primer cajón tenemos BBBBB... También deberían estar NBBBB... NNBBB... y todas aquellas secuencias que comiencen con un número finito n de N y después tengan infinitas B. No importa el patrón que finalmente escojamos, cada vez que metemos una nueva secuencia al cajón cabe la posibilidad de que mueran n vamisos. Y no hay ningún límite finito para este n, será arbitrariamente grande. Mi idea de infinito es precisamente algo que es más grande que cualquier número dado.
Intentaré pensarlo con más clama, mi limitada capacidad como xuglurz no se lleva bien con los infinitos.
PD.: gracias a Pedro por este maravilloso blog y a Gregorio por la idea para esta entrada y por responder con paciencia a cada uno de los comentarios.


De: Miguel
2013-06-07 19:53:52

Entiendo que mueran unos pocos y vivan todos los que ven tan tan lejos como el infinito, y piensan tan tan rápido, y ¿si solo si solo pueden ver 500 posiciones adelante también se salvan?, ¿y si solo pueden ver 45 posiciones adelante también se salvan?


De: Oda
2013-06-07 21:15:42

Bastante interesante el problema, me ha hecho pensar mucho. Gracias Pedro y Gregorio. Eso del infinito es fascinante, no importa por donde lo mires, siempre trae cosas nuevas y muy poco intuitivas...


De: Carlos
2013-06-07 21:55:26

Hay una cosa que me chirría sobre la explicación dada, y diría que es incorrecto. Concretamente:
"el hecho de que a su espalda hay un número finito de sombreros, y frente a ellos un número infinito de sombreros"

Esto sería cierto para números arbitrariamente grandes, pero no para infinito. Igual que infinito + 1 = infinito, un vamiso escogido al azar entre infinitos vamisos en línea tiene infinitos vamisos tanto por delante como por detrás.
Es decir, si la distancia entre dos puntos del universo es infinita, da igual el punto en el que nos encontremos entre los dos, el tiempo que llevará viajar hasta alcanzar el destino seguirá siendo infinito.


De: Miguel
2013-06-07 23:47:51

Dice Gegrorio:
"Correcto, niko54.

De hecho, y dando una extraña vuelta de cerca, si los vamisos tuvieran todos vista cansada y no vieran bien de cerca, y solo vieran lo que tienen a partir de 1000 posiciones en adelante, no cambiaría nada. jejeje"

Y con 50 y con 4 y con uno solo pero y si son ciegos ¿tambíen se salvan infinitos y mueren muchos Gregorio?


De: Miguel
2013-06-08 00:22:32

Ya, si claro no ven los siguientes mil 1000 o los siguientes cien mil pero ven todos los demas a partir del 1001 o cien mil uno, claro claro, perdón estimado Gregorio.


De: Carlitos
2013-06-08 00:47:41

Hola, yo también estoy un poco desconcertado; creo que entiendo el "fondo" del problema y es muy interesante, pero me parece también que no podría ser extrapolable a un caso "real" :). Mi pero es el siguiente:

Los vamisos han memorizado infinitos patrones, pero algunos (supongo que infinitos) son semejantes entre síy a ellos a su vez corresponde otro patrón, etc. Esta diferencia en patrones semejantes se acumula en todos los patrones que escogen los vamisos cada uno en su posición. Es decir, infinitos vamisos escogen infinitos patrones semejantes pero distintos, y con lo cual un número infinito de veces se acumula una muerte finita de vamisos cuando escogen patrón. Supongo que hay patrones que difieren en 1 sólo número, por ejemplo, y que esa diferencia ocurre un número infinito de veces en el experimento.

Si analizásemos el problema a posteriori, probablemente habría un patrón óptimo (o incluso infinitos óptimos), pero los pobres vamisos, por puro azar, no podrían tener la suerte de escogerlo.

Eso he pensado yo, pero vaya. Un abrazo y gracias por el lío :)


De: Carlitos
2013-06-08 01:01:59

Ahora que lo pienso, me imagino al vamiso número X mirando la fila delante de él y sabiendo exactamente cuántos y cuáles congéneres de los que tiene delante van a morir. Pobrecillos... Y el vamiso número Z mirando la fila delante suyo y contento porque van a vivir todos, aunque tal vez él muera... Interesante.


De: Carlitos
2013-06-08 01:08:22

Creo que ya caigo en que ningún patrón es semejante a otro, ni falta q hace. Olviden el comentario 40 ;)


De: Simplificador
2013-06-08 03:05:56

Yo dudo que los vamisos, por extraordinarias que sean sus capacidades mentales, consiguieran acordar esos patrones, ni en una noche ni en infinitas noches. El problema fundamental es que todos los procedimientos que podamos pensar para lograr ese acuerdo (meter en cajones los números, ponerse en fila, decirse esto o aquello, etc) parecen implicar un conjunto a lo sumo numerable de pasos, mientras que el conjunto de los patrones es no numerable.


De: Simplificador
2013-06-08 03:14:21

El mensaje anterior ha quedado algo confuso. Una manera más sencilla de verlo sería ésta:

Para ponerse de acuerdo, los vamisos necesitarían decir en algún momento qué patrones eligen, y decir esos patrones es una acción numerable: hay que decir un patrón en el instante 1, otro en el instante 2, otro en el instante 3... El número de patrones, sin embargo, no es numerable, con lo cual los vamisos jamás podrán completar su tarea.


De: niko54
2013-06-08 04:03:20

interesante comentario Simplificador, me recuerda al concepto de supertarea.. o aceptamos la contradicción o aceptamos el hecho que las supertareas no existen. ambos planteos pueden ser defendibles


De: Yacon
2013-06-08 08:43:25

Ya veo la cuestión. Se parte de que como infinito es igual a infinito, pues tengo todo el espectro cubierto. O sea que si yo tengo en un cajón infinitas bolas, cada una de ellas con un número par distinto escrito en ellas, ya que tengo infinito números quiere decir que tengo cualquier número que alguien pueda decirme. ¿Cualquiera? En este caso el infinito tendría un 50% de probabilidades únicamente.
Con las secuencias estaríamos igual. Cada vamiso tendría claro de entre las infinitas secuencias posible la correcta... a elegir entre dos, la que implica su sombrero blanco y la que lo implica negro. Si de las infinito secuencias posibles descarta infinito a la vista de lo que tiene delante no quiere decir que le quede casualmente una. Infinito no es igual a infinito ni a todo, vamos.


De: Gregorio
2013-06-08 09:09:39

Voy a intentar ir en orden,

Para Carlos:

No hay nadie que tenga infinitos vamisos detrás. Imagínate, por ejemplo, que cada vamiso está colocado en la recta de los números, el primer vamiso encima del número 1, el segundo vamiso encima del número 2, etc. De hecho, como bien ha dicho Pedro, les han ido diciendo su número de orden, así que al que está (en nuestra imaginaria recta de los números) sobre la posición 345675 les ha puesto en su papelito 345675...

Ahora dime, ¿sobre qué número natural está de pie el vamiso que tiene detrás infinitos vamisos? O lo que es lo mismo, ¿cuál es ese número natural que tiene infinitos números naturales detrás de él?


De: Gregorio
2013-06-08 09:12:23

Para Carlitos,

Aunque creo que ya te has dado cuenta, lo recalcaré: el patrón que eligen TODOS los vamisos es exactamente el mismo; y como bien dices, no hay dos patrones semejantes entre sí, ni falta que hace ;)

Pero lo otro que apuntas es muy interesante, habrá vamisos que vean por delante a amigos o incluso familiares con la certeza de que van a morir porque sus sombrero no coincide con el del patrón. ¿Crees que soltarán alguna lagrimilla a la vez que la bola? Menudo dilema!


De: Gregorio
2013-06-08 09:21:10

Para Simplificador,

En efecto, hay una cantidad no numerable de patrones, y la comunicación de dichos patrones entre ellos es una locura. No sé, ¿ADN cuántico? ;) Pero bueno, en el momento que "aceptamos" que hay infinitos vamisos en fila india y que se ven todos, ya entramos en el área de la Ciencia Infinito-Ficción :D

Pero yendo un poco más en serio, ¿tú crees que podrían establecer un "criterio" para escoger ese patrón? Es decir, en vez de sacar un patrón al azar de los "cajones" podrían ponerse y decir algo así como "bueno, nos quedamos con la secuencia más pequeña del cajón, considerando el orden alfabético" o algo así; algún criterio. De este modo ya no se tendrían que comunicar los patrones escogidos, ni ir escogiéndolos porque, de hecho, el mismo día (cuando les quitan la venda) verían la secuencia "por delante" y podrían usar ese criterio (que aún no sabemos si existe) para saber cuál sería el patrón convenido.

De este modo evitamos todas las imposibilidades técnicas de tiempo y espacio, para huir un poquito de la Ciencia Infinito-Ficción.

¿Tú qué opinas? ¿Funcionará el "criterio alfabético" que he dicho antes? Y si no, ¿a alguien se le ocurre un criterio pre-establecido para elegir patrón?


De: Gregorio
2013-06-08 09:22:45

Para niko54,

Una supertarea de las burras burras. Memoria infinito no-numerable, con el cardinal del continuo!


De: Gregorio
2013-06-08 09:28:27

Para Yacon,

Lo siento, no he entendido nada. Seguramente porque los sábados por la mañana no estoy fino. ¿Pero podrías explicar un poco mejor por qué cada vamiso tiene que elegir entre dos secuencias? En la explicación que ha dado Pedro los vamisos no tienen que elegir nada; se ciñen a una única secuencia que preestablecieron la noche anterior.

Pero es muy posible que te lo haya entendido todo mal. Si es así, sorry... después del café seré persona!


De: Carlitos
2013-06-08 09:37:20

Gregorio 49.: ya para ponernos a nivel "cabeza dando vueltas": podría ser un criterio tipo "número más bajo de la suma de los elementos de la serie" para forzar la máquina vamisa. Además de memorizar infinitas series, ahora tienen que sumar los elementos de ellas. En este caso al ser binario, que escojan por ejemplo la serie con mas sombreros blancos.


  1. Los genocidios de los alienígenas matemáticos son legendarios... en cualquier caso poco pueden hacer los vamisos para salvar a algún ser querido. Bueno, infinitos vamisos (los de a partir de X) verán contentos que sobreviven infinitos compatriotas, aunque el número de su propia posición les da una incertidumbre de cuántos morirán.


De: Gregorio
2013-06-08 09:37:21

Desde que Cantor se "inventó" el infinito se montó un pollo que lo flipas :P


De: Gregorio
2013-06-08 09:42:49

Para Carlitos,

Yo soy un vamiso y veo por delante de mí: ...BNBNBNBNBNBNBNBNBNBNBNBN...

Y digo: mmmm, ¿cuál la semejante a esta con más Bs? Pues la que empieza todo con B:

BBBBB.....BBBBBBB(B, este soy soy)NBNBNBNBNBNBNBNB...

El problema: no todos van a coger el mismo patrón, y todo el mundo va a decir B, con lo que morirán los infinitos vamisos que tienen una N.

Es más, ese criterio no nos da en realidad un patrón. Siempre puede coger un semejante con más Bs cambiando una N por una B. ¿Cuántas N cambio? ¿100? ¿1000000? ¿10000000000000000? Todas son semjantes y cada vez con más Bs :(


De: Carlitos
2013-06-08 09:47:47

Ah, pero yo hablaba de escoger patrón cuando revisan cajones, no en directo... ahí creo que no puede haber criterio automático.


De: Carlitos
2013-06-08 09:49:07

En esa línea iba mi comentario "retirado", yo pienso que hay infinitos patrones "semejantes" y por lo tanto a no ser que escojan "el mismo" esa semejanza se convierte en masacre infinita.


De: Gregorio
2013-06-08 09:49:16

Es que es lo mismo...

Del cajón que contiene la secuencia NBNBNBNBNBNBNBNBNBNBN..... (y todas sus semejantes) ¿con cuál te quedas? ¿con la que tiene más Bs? Siempre habrá con más que la que escogiste!


De: Carlitos
2013-06-08 09:53:01

Pero...

Dentro de un cajón, digamos que hay una series que no hay series más semejantes que ellas. (podemos decir eso?)

De ellas, escogemos la que tiene más sombreros blancos (y ahora veo un problema pero es otro); hay infinitas con el mismo número de blancos. Pero cambiando sombreros las haces menos semejantes, intuiría yo, así a bote pronto.


De: Gregorio
2013-06-08 09:53:33

Carlitos dijo:

"En esa línea iba mi comentario “retirado”, yo pienso que hay infinitos patrones “semejantes” y por lo tanto a no ser que escojan “el mismo” esa semejanza se convierte en masacre infinita."

No, no. Patrón es el que han sacado del cajón, el que han preestablecido para ceñirse a él. A cajones distintos, las secuencias no son semejantes, por tanto no habrá ningún patrón preestablecido que sea semejante a otro. Es la única gracia del problema :)


De: Carlitos
2013-06-08 09:56:42

Es que todos estos conjuntos de los que hablamos, no es ya que sean infinitos, es que son no numerables, no? Yo ésto por las mañanas no soy capaz XD...


De: Gregorio
2013-06-08 09:58:30

Así a bote pronto, juraría que en cada cajón hay una cantidad numerable de secuencias. Lo que hay es una cantidad no-numerable de cajones.

Pero vamos, da un poco igual. El infinito es muy tocho, da igual cómo de grande sea :)


De: Carlitos
2013-06-08 10:02:34


  1. Gregorio No me explico bien; atendiendo a un sólo cajón, quiero decir que en él hay un número (infinito?) de series que son óptimas para escoger como patrón, semejantes entre sí, claro. Mi criterio para poder memorizar patrones "individualmente" (abro un cajón y miro las series y ya sé cuál es el patrón que escogen todos) no valdría.

Y tengo fe :) en que no existe un criterio para ver una serie y decir un patrón y que coincida con el que dicen todos.


De: Gregorio
2013-06-08 10:09:09

¿óptimas?

de este cajón que tengo abierto, la serie A es como la serie B salvo en 700 posiciones, ¿cuál es más óptima? ¿óptima para qué?

no hace falta que sea óptima para nada, solo es necesaria quedarse con una. da exactamente igual con cuál nos quedemos. Pero si conseguimos establecer una regla, un criterio, para que todos los vamisos se queden con la misma (suponiéndoles habilidades super-extraordinarias), entonces nos ahorraremos que tengan que sacar una de cada cajón, y memorizarla, con el mogollón de problemas de espacio-tiempo que esto conlleva, jejeje. Pero vamos, es un detallito ;)


De: Carlitos
2013-06-08 10:12:34

Yo creo que no puede ser numerable . Hay infinitas series que tienen 1 número distinto, infinitas que tienen 2 distintos, etc... Y una vez que las intentes ordenar,por ejemplo con ese criterio, podrías asignarle a mayores que las que difieren en 1 número sea el primer número, o el segundo, etc. Yo creo que se pasa de castaño oscuro :)


De: Gregorio
2013-06-08 10:15:14

La verdad es que ahora mismo no sé si es numerable o no, lo que hay en cada cajón (me lo pensaré mejor). Pero tu argumento no sirve:

En los números racionales (los que son de la forma a/b) hay infinitos con un 1 en el denominador, hay infinitos con un 2 en el denominador, hay infinitos con un 3 en el denominador....

Y sin embargo, los racionales son numerables :) el infinito es así de cachondo.


De: Carlitos
2013-06-08 10:38:02

Puedes hacer conjunto potencia de las series de un cajón?


De: Carlitos
2013-06-08 11:20:39

Hay 1 series de números binaria en 1 cajón, (0 seguido de infinitos ceros, por ejemplo). Le cambiamos el primer número, y esa serie resultante ya está también en el cajón, pues difiere de la primera en 1 número. Repetimos el proceso con el número de la segunda posición, la tercera, etc. Cogemos la segunda serie (1 seguido de infinitos ceros) y le aplicamos el mismo proceso. Al final tenemos una unión numerable de conjuntos semejantes en un sólo cajón que contiene todos los números posibles, incluso su propio conjunto potencia no numerable, y todas las series no semejantes. Imposible al cuadrado.

Cosas del axioma de elección, o más de bien de mi pobre cabecita no vamisa, supongo. :)


De: Gregorio
2013-06-08 12:27:26

No te estoy siguiendo, Carlitos. :D

Así en una lectura rápida (tres o cuatro, de hecho, te lo he de confesar) me da la sensación que el proceso que describes no es de los vamisos descrito en la solución; sino otra cosa distinta. Lo que no sé es para qué, ni por qué...

Luego aparece de golpe el conjunto potencia, no se de dónde. Creo que ahí se te ha ido un poco la olla. Quiero recordar que dentro de cada cajón solo hay secuencias, no hay ningún conjunto ni ningún cajón dentro de otro cajón, jejejeje ;)


De: Futurama
2013-06-08 12:39:33

Volviendo al ejemplo de pi, dentro de las series semejantes estará la que difiere en 1 nº, en 2, 3, ..., n números. Por ejemplo que empezara como raiz de 2 hasta un punto en el que siguiera con los nº de pi.

Creo que la clave está en que hay infinitas series con infinitos nº que "mezclen" raiz de 2 con pi, pero cuando se concreta en una de las posibilidades ya no hay infinitas diferencias, siempre hay un "n + 1" a partir del cual sigue con los dígitos de pi. Si no es así es que está en otro "cajón" en el que sí que se cumple.


De: Carlitos
2013-06-08 12:40:20

"De modo que los vamisos realizaron la siguiente definición: dos secuencias son semejantes si se diferencian en un número finito de posiciones, y desemejantes si se diferencian en un número infinito de posiciones.

A continuación dividieron las infinitas secuencias posibles en conjuntos de secuencias semejantes. Hay infinitos conjuntos de este tipo, y cada conjunto tiene un número infinito de secuencias, pero entre sí todas las secuencias semejantes de un conjunto difieren, como es natural, tan sólo en un número finito de elementos.

Aquí viene la clave de la cuestión: para cada conjunto de secuencias semejantes los vamisos eligieron un patrón, una secuencia concreta del conjunto que consideraron representante de todo el conjunto. Daba igual cuál fuese el sistema para elegir patrón, siempre que estuviera claro para todos los vamisos cuál era el patrón de un conjunto determinado."

Es que ahora me ha dado por pensar que para que eso funcione los conjuntos de secuencias semejantes tienen que ser entre sí disjuntos, y no lo son. Por ejemplo, habría secuencias que estarían en varios cajones, de modo que al ver una secuencia no tendrías idea realmente de qué patrón se adecúá, ya que hay varios. Eso lo hemos rechazado porque los conjuntos son desemejantes entre sí, pero arriba intento exponer que eso no es posible. Estamos hablando para intentar que sobrevivan vamisos no de hacer conjuntos con infinitas series de números, sino que necesitaríamos hacerlo con todas las posibles.


De: Carlitos
2013-06-08 12:42:49

Conste que por navaja de Occam la explicación más probable es que se me haya dado la vuelta la cabeza y me esté cayendo en un pozo no numerable.


De: Gregorio
2013-06-08 12:44:56

Futurama,

Muy cierto. Esa es la clave de que funcione la solución!


De: Gregorio
2013-06-08 12:50:14

Carlitos,

Yo me fiaría del bueno de Guillermo de Occam ;)

Contrariamente a la fiebre que te ha dado de golpe, es imposible que una secuencia esté en dos cajones distintos. Los conjuntos de secuencias semejantes son, en efecto, disjuntos. La clave es que si la secuencia A es semejante a la secuencia B, y la secuencia B es semejante a la secuencia C, entonces la secuencia A es semejante a la secuencia C. Es decir, si te encuentras un cajón X con una secuencia semejante a una secuencia de un cajón Y, entonces todas las secuencias del cajón X son semejantes a todas las secuencias del cajón Y, y algo ha ido mal esta noche y todos los calcetines del cajón Y los tendríamos que meter en el cajón X, de donde nunca deberían haber salido ;)


De: Carlitos
2013-06-08 12:55:42

Pero en el comentario 67 que intento construir un conjunto de series semejantes, y acabo construyendo un conjunto con todas las series posibles, incluso las desemejantes, no veo en qué me equivoco.


De: Gregorio
2013-06-08 13:04:27

Ah vale, creo que ya sigo el proceso del comment 67 (diooos, tantos llevamos ya?). Pero ese proceso te lleva siempre a secuencias semejantes a la primera; nunca escapas a una que no sea semejante.

Repitiendo ese proceso al infinito acabas, efectivamente, llenando el cajón con todo lo que le toca.

Te quedarían, efectivamente, un montóooooon de calcetines fuera del cajón. Así que abres un nuevo cajón , metes un calcetín que se te había quedado fuera y repites tu proceso.

Es una manera más farragosa de describir la clasificación de los calcetines, pero desde luego llegas al mismo punto.

En tu comment 67 das un salto vertiginoso para decir, de golpe, que has metido todas las secuencias posibles en el mismo cajón. Es un salto tan grande y tan vertiginoso que es... incorrecto :)


De: Carlitos
2013-06-08 13:04:40

El proceso sería:

0000...
1000
0100
1100
0010

Etcétera, que es como enumerar los números enteros en "binario al revés".
Esto lo hago cambiando finitas primeras cifras, pero en un proceso infinito.
Y tendría (en un conjunto de semejantes) todos las secuencias posibles. Tanto la de infinitos ceros como la de infinitos unos. Y ésto cumpliendo (al menos en principio) un proceso de construcción de semejantes. No sé, pero gracias por el lío, una vez más. Realmente es problema apasionante.


De: Carlitos
2013-06-08 13:07:48

Edito, que se me cambia el formato:

"El proceso sería:

cojo una serie toda con ceros (los puntos suspensivos serían la semejanza)

0000… 1000... 0100... 1100... 0010...

Etcétera, que es como enumerar los números enteros en “binario al revés”. Esto lo hago cambiando finitas primeras cifras, pero en un proceso infinito. Y tendría (en un conjunto de semejantes) todos las secuencias posibles. Tanto la de infinitos ceros como la de infinitos unos (es decir, desemejantes). Y ésto cumpliendo (al menos en principio) un proceso de construcción de semejantes. No sé, pero gracias por el lío, una vez más. Realmente es problema apasionante."


De: Gregorio
2013-06-08 13:08:16

De nada, el infinito es un cachondo. Se lo debemos todo al pobre Cantor ;)

En mi opinión, el problema del hotel infinito abre la puerta del infinito; pero con este problema alguien te da una patada y te metes en el infinito de golpe.

En cualquier caso, dejaré algunas horas para que veas dónde está el fallo en tu comment 76 ;)


De: Carlitos
2013-06-08 13:11:08

Dicho de otro modo; Dado un vamiso cualquiera, siempre hay un vamiso por delante suyo que podría morir. Dado un vamiso X, siempre es posible que muera, él, y todos los que están detrás. Y claro, no veo dónde acaba esta tragedia.


De: Carlitos
2013-06-08 13:12:12

Jajaja ok. Me declaro fan de Cantor desde hoy.


De: Gregorio
2013-06-08 13:18:37

Otro fan de Cantor!! Solo por eso ha merecido la pena!! jajajaja

Después de comer (de que coma yo, vamos) diré donde está el "fallo" de tu comment 76/77. No es que tenga un fallo, el proceso está clarísimo ahora. Solo falla en tu conclusión :)


De: Gregorio
2013-06-08 13:21:39

Ah, por cierto. Ya me he convencido yo solo:

Como dije al principio, ahora ya estoy seguro (en realidad gracias al proceso de Carlitos), en cada cajón hay un número infinito numerable de calcetines.


De: Carlitos
2013-06-08 13:27:03

Por eso te decía lo del conjunto potencia. El conjunto potencia de un cajón es no numerable, eso seguro, pero no estaría dentro del cajón? Buen provecho! :)


De: Gregorio
2013-06-08 15:01:06

Hola a todos.

¿Intrigados por el comentario 76/77 de Carlitos? :P

Efectivamente, Carlitos, con ese proceso barres todos los números enteros en binario. Es decir, toooodas las posibles secuencias FINITAS de unos y ceros, seguidos después de infinitos ceros. O sea, has llenado el cajón de todas las secuencias semejantes a 000000000.....

¡Pues anda que no te faltan cajones por llenar!!


De: hidrargyro
2013-06-08 16:42:45

Una pequeña duda, si tengo las series BBNBBNBNNB y NNNBBNBNNB estarian en el mismo cajon cierto? Ahora si en otro cajon tengo la serie BNBBBNBNNB que en vez de diferir en los primeros 2 digitos con las anteriores lo hace en 3, tendria secuencias que viven en mas de un cajon, con lo cual la eleccion del patron seria subjetiva a cada vamiso y es poco probable que todos elijan el mismo, por lo que el plan dejaria de funcionar.


De: Gregorio
2013-06-08 18:20:35

Hola hidrargyro,

¿cómo siguen esas secuencias? Lo pregunto porque en este problema todas las secuencias se corresponden con las cadenas infinitas de sombreros que pueden tener los vamisos; así que esas cadenas que dices no estarían en ningún cajón porque no son infinitas. Si me dices cómo continúan las series (o, por ejemplo, me dices que a partir de ahí son iguales, o algo) entonces podré analizar lo que dices y resolver tu pequeña duda :)


De: elenmor
2013-06-08 18:32:29

Bueno, creo que me voy convenciendo, pero vamos a darle otra vueltecita a el problema, por si le hemos dado pocas.

Nuestros queridos alienígenas matemáticos colocan los sombreros siguiendo la constante de Chaitin. Citando wikipedia "Esta constante no es computable. Es posible conocer los primeros dígitos, pero a partir de cierto decimal (que depende de la codificación elegida) no es posible obtener más."

Por lo tanto, nuestros vamisos no podrían conocer el patrón. Conclusión, morirían infinitos. Y esto ocurriría para todo número con estas características.


De: elenmor
2013-06-08 18:52:24

¿Podrían tener los números no definibles patrón? ¿Y si los colocan así?

(Y claro, yo tengo un máster que terminar y aquí me tenéis aprendiendo matemáticas y intentando matar infinitos vamisos)


De: Gregorio
2013-06-08 19:51:15

La constante de Chaitlin tiene que estar en un cajón, porque todas las secuencias están en un cajón. El patrón que sacaron de ese cajón es al que se ciñen los vamisos esa fatídica mañana.

¿Que cómo lo hacen? Eso me gustaría saber a mí! Esto es todo tan teórico, tan Ciencia Infinito-Ficción :)


De: Gregorio
2013-06-08 19:52:43

A no ser que alguien encuentre un criterio, una regla, que diga "ei, si vemos esto, nos ceñimos a esto". Pero como decían antes, hay poca fe de que eso exista ;)


De: elenmor
2013-06-08 20:14:18

Pero en el caso que les ordenasen como un número no definible, entonces el hecho que existiese un patrón implicaría que de algún modo podríamos definir el número, cosa que por definición es imposible. A lo que quiero llegar es que creo que hay secuencias que no pueden tener un patrón. Y sin patrón, vamisos muertos.


De: Gregorio
2013-06-08 20:22:10

Como ya aclaramos en un comentario muy anterior, quizá la palabra "patrón" está llegando a confusiones. Por patrón nos estamos refiriendo siempre a esa secuencia que es sacada del cajón (al azar, si quieres) y que será usada de referencia. Mira, quizá podría llamarse mejor "secuencia de referencia".

Es decir, una vez todas las secuencias se han metido un cajón con el criterio "si son semejantes van al mismo cajón", entonces sacan una secuencia de cada cajón, a la que llaman "secuencia de referencia".

No tienen por qué seguir un patrón definido ni nada de eso. Es sólo que se ciñen a una secuencia de referencia en función de lo que ven.

A mí de todas formas lo que más me choca es que puedan ver infinitos sombreros y se queden tan panchos, los vamisos. A partir de ahí, cualquier artificio teórico me parece de lo más razonable xDD


De: Gregorio
2013-06-08 20:31:50

De todas formas, elenmor, entiendo por dónde vas... números que no podemos calcular de ninguna manera con ningún tipo de algoritmo.

En cierta forma, es un caso particular de los números descriptibles (no sé si existe esa palabra, quizá me la esté inventando). Son los números que puedes describir su definición.

Por ejemplo, PI es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su radio. La constante de Chaitin es la probabilidad de que bla bla bla. En general cualquier número que puedas decir "es la solución de la ecuación bla bla bla" o "es el número que se obtiene de hacer tal tal y tal", o incluso "es el menor de todos los números que nosequé nosecuantos...".

Todos, absolutamente todos los números conocidos y por conocer son de este tipo. Se pueden describir con palabras, dar una definición, o dar una fórmula, o una ecuación, o lo que sea.

Lo cachondo es que, por la propia definición de lo que significa "describir", sólo hay una cantidad numerable de números descriptibles. Los matemáticos teorizan sobre conjuntos no numerables (los números reales, sin ir más lejos) pero de la inmensa mayoría de ellos jamás podremos ni hablar (de una cantidad infinitamente más grande de los que sí podemos hablar). Tal es la limitación de nuestro lenguaje, o nuestra matemática.

La constante esa de Chaitin al menos se puede describir, se puede definir. La inmensa mayoría de números no pueden ser nombrados ni de manera indirecta. A mí me asusta este pensamiento, pero es lo que hay :D

En cualquier caso, este problema es teórico-fantástico; es evidente que no se puede hacer en la realidad (para empezar porque no se pueden tener infinitas personas en fila india, y para continuar por la memoria infinita no-numerable), pero ahí está la solución.

Lo que está claro es que dando mucho que hablar, y todo muy interesante!!! :D


De: Simplificador
2013-06-08 20:37:59

Gregorio

Lo he estado pensando un rato y creo que no existe ese criterio de ese tipo, porque eso equivaldría a que existiera alguna forma de ordenar todos los números de un cajón "de menor a mayor" (por decirlo de algún modo). Ahora ando sin tiempo, pero ojalá mañana o pasado pueda dedicarme a ello, porque es realmente interesante.

Un saludo


De: elenmor
2013-06-08 20:40:40

Sí, iba por ahí, es lo malo de la wikipedia, demasiados enlaces... (y creo que en español se dice números definibles, pero tampoco te fíes mucho).

Pero bueno, al menos sin locuras aparte, creo que he entendido el problema, gracias por tus respuestas, que te lo estás currando un montón.


De: Pablo
2013-06-08 22:11:42

Gregorio, creo estar entendiéndolo de a poco, en la medida en que mis neuronas van "asimilando" el infinito. Luego te plantearé mi forma de comprenderlo, para ver si voy por buen camino, pero ahora se me plantea una duda:

¿Por qué esta estrategia es más óptima que si los vamisos simplemente escogieran por cuenta propia si dejar caer la bola blanca o negra?

Entiendo que con este método se salvarán infinitos vamisos y morirán infinitos vamisos (¿o me equivoco?). El términos de pérdida, obviamente esta estrategia no es tan buena, ya que con la que planteaste mueren finitos vamisos y con ésta mueren infinitos. Pero en términos gananciales es exactamente lo mismo (se salvan infinitos vamisos). Dicho de otra forma, ¿qué importa si mueren infinitos vamisos, si infinitos vamisos sobreviven?

Por favor, hazme saber si hay algún error en mi razonamiento. El infinito me hace doler la cabeza. Saludos!


De: Gregorio
2013-06-08 22:27:04

Hola Pablo,

Bueno, el problema pide una estrategia que garantice que sólo morirán una cantidad finita de vamisos.

En efecto, sobrevivirán una cantidad infinita en ambos casos, pero los Alienígenas Matemáticas tienen un corazoncito al fin y al cabo. Para ellos hay una diferencia abismal entre dar sepultura (al peculiar estilo de la cultura vamisa) a una cantidad finita de vamisos muertos que a una cantidad infinita.

Lo cachondo de todo esto es que incluso siguiendo la estrategia que siguieron la probabilidad de morir de cada vamiso es del 50% ¡aunque solamente muera una cantidad finita de vamisos! Y esto es así porque no está acotado el número (aunque finito) de vamisos que va a palmarla...


De: Fran Garcia
2013-06-09 14:21:27

Yo el problema que le veo es que estos señores iban a tardar un tiempo infinito en ponerse de acuerdo en todos los patrones, así que en una noche no les iba a dar tiempo. O eso, o el tiempo es infinitamente divisible, y su velocidad de cálculo también infinita


De: xx32
2013-06-10 07:54:00

¿por que molestarse en decidir que hacer en caso de estar antes de la secuencia? Si vez al infinito una secuencia conocida, estás en el grupo finito de "tal vez ya empezó, tal vez no ha empezado". Eligiendo decir el numero de la secuencia a la que (crees que) perteneces o si no ha empezado algo al azar, peor de los casos muere un número finito de seres "vivos"


De: xx32
2013-06-10 07:56:10

los vamisos no mueren, solo van a calcular el valor de 0 via euler


De: Argus
2013-06-10 09:56:56

El comentario 93 de Gregorio me lleva a replantearme cómo es posible el azar. ¿Cómo hacen los alienígenas matemáticos para poner una secuencia de sombreros blancos y negros al azar? No nos vale ningún algoritmo, pero asumiendo que consiguen una secuencia al azar, ¿sería de todas formas semejante a alguna secuencia basada en alguna ley?

Elijamos la ley que elijamos, por ejemplo, "los impares blancos y los pares negros", o " sólo los primos negros", o "todos blancos excepto los primos que acaben en 7 y en 1"... etc, etc, etc... cualquier ley que se nos ocurra generará secuencias desemejantes entre sí. Puede ser tan complicada que a simple vista parezca azar. La única forma de crear secuencias semejantes es partir de una secuencia basada en una ley cualquiera y modificar "a mano" un número finito de elementos. Estoy en lo cierto?

El reto de los alienígenas es ¿cómo construir una secuencia que no obedezca NINGUNA ley. Y a mí se me ocurre lo siguiente: Los alienígenas también son capaces de clasificar todas las secuencias en cajones así que ponen 100 elementos del cajón 1, 100 elementos del cajón 2, 100 elementos del cajón 3... Los cajones son no numerables así que hay de sobra y da igual cuál sea su orden, del que por cierto carecen. Esto es lo más parecido al azar que se me ocurre. Cualquier secuencia de cualquier cajón será diferente a esta en un número infinito de elementos. ¿Dónde está el fallo de este razonamiento?


De: Alejandro Coria
2013-06-10 15:46:00

El fallo está en que no importa como se crea la secuencia, no importa si es al azar o sigue algún orden específico, cualquier secuencia que puede existir los vamisos ya la pensaron y la pusieron en algún cajón.


De: Argus
2013-06-10 16:42:15

De acuerdo, Alejandro, pero yo diría que hay una notable diferencia cuando se construye una secuencia como la que explico en mi comentario 101. Seguramente estaré equivocado, pero intentaré explicar cómo lo veo: Imaginemos las 3 secuencias siguientes: Los pares negros (BNBNBN...), los primos negros (BNNBNBNBBBN...) y los cuadrados perfectos negros (NBBNBBBBN...). Todas estas secuencias son desemejantes entre sí. Seguro que los vamisos ya pensaron en ellas.

Sin embargo podemos hacer combinaciones de las 3 pegando trozos de todas ellas y creando una secuencia nueva. Si tenemos sólo 3 secuencias como en este ejemplo, los vamisos ya habrían pensado en ellas, seguro, pues habrán calculado al instante todas las posibles combinaciones de todos los posibles trozos de todas ellas.

Ahora bien, el caso es que no tenemos 3, sino un infinito no numerable de posibles secuencias, y esto no hay forma matemática de ordenarlo. No se puede definir matemáticamente cómo vas a cortar los trozos y pegarlos y en qué orden.

Físicamente es fácil elegir un cajón cualquiera, tomar 100 elementos y repetir esto con cualquier cajón que haya a la vista, pero tenemos un problema con el tiempo infinito que sería necesario. Por el contrario, matemáticamente no hay problema con el tiempo necesario pero no hay forma de definir "un cajón cualquiera". No hay orden ahí para definir qué trozo de qué cajón va primero y qué trozo después. Y si no hay forma matemática de definirlo, hemos creado un cajón fuera del alcance de los vamisos.


De: Simplificador
2013-06-10 17:04:45

Gregorio

Quería encontrar una demostración de que no existe ningún criterio que permitiera coincidir a todos los vamisos en la elección de un mismo número, pero no lo he logrado.

En el caso concreto que tú planteas, el del orden alfabético (o cualquier otro orden que implique señalar un número como "el menor" o "el mayor"), la demostración de que no funcionaría es sencilla: basta observar que, para cualquier supuesta serie de B y N que fuera la menor, siempre podríamos crear otra todavía más pequeña por el simple procedimiento de sustituir su primera N por una B (o su primer 1 por un 0, si lo hacemos con números).

Un saludo cordial

Saludos


De: Simplificador
2013-06-10 17:08:44

niko54

interesante comentario Simplificador, me recuerda al concepto de supertarea.. o aceptamos la contradicción o aceptamos el hecho que las supertareas no existen. ambos planteos pueden ser defendibles

En principio, no veo ningún inconveniente a que los vamisos sean capaces de realizar supertareas (su visión de infinitos sombreros ya lo es, de hecho). El problema aquí, sin embargo, es de otro tipo: que, por rápidos que sean, nunca podrían dar el salto de lo numerable a lo numerable.


De: Gregorio
2013-06-10 17:19:57

Hola simplificador,

En efecto, el orden alfabético no funciona, por la razón que tú has dicho. Es un orden, en tanto en cuanto nos permite decir si una secuencia va "antes" o "después" con ese orden. Sin embargo tiene un problema: no todos los subconjuntos tienen un elemento "mínimo" en dicho orden.

Es increíblemente difícil demostrar que no existe dicho criterio. En general no hay un criterio para hacer eso con una cantidad infinita de conjuntos, de hacer eso de "cojo uno de cada elemento y ale". Y sin embargo se venía haciendo en matemáticas casi desde siempre, desde que existe el cálculo y el análisis matemático.

Hubo ciertas corrientes, como en los comentarios en este post, en contra de que se pueda dar ese salto de lo numerable a lo no-numerable, corrientes que no veían claro eso de "cogemos uno de cada conjunto" y monto esta función, o esta serie, o este nuevo conjunto, o lo que fuera. Y sin embargo, la demostración más fundamental de la matemática lo hace continuamente.

En 1904 se estableció como axioma por Zermelo, el Axioma de Elección. Viene a decir que sí, que se puede hacer, que tú das ese salto y "eliges" uno de cada aunque no tengas ningún tipo de criterio.

Aún así seguía habiendo dos corrientes, las que decían que eso no era verdad, y las que decían que eso era verdad.

Gödel demostró que la negación del Axioma de Elección no se podía demostrar. Y en los 60 Cohen demostró que el Axioma de Elección no se podía demostrar. Es decir, no se podía demostrar ni el Axioma ni su negación. Por tanto, que era independiente del resto de Axiomas, y casi que era una cuestión de fe xD

La cuestión de fondo es que sin poder hacer ese salto no se podrían hacer derivadas, ni integrales, ni levantar puentes ni enviar naves a la luna. Ya que ese salto es el que hace posibles la inmensa mayoría de demostraciones en matemáticas.

Hasta donde yo sé, la corriente que negaba el Axioma de Elección se fue diluyendo...


De: Gregorio
2013-06-10 17:29:11

Argus,

Hagas como hagas los trozos, por orden, sin orden, lanzando una moneda, preguntando por la calle en una encuesta, mirando los milisegundos en el asombroso reloj de los Alienígenas Matemáticos (negro si el milisegundo es par, y sombrero blanco si el milisegundo es impar)... hagas como hagas la secuencia, tiene que estar en un cajón, ya que en los cajones han clasificado TODAS las secuencias posibles de Ns y Bs.

Dejando al margen las disquisiciones filosóficas y biológicas (totalmente razonables si no fuera por el carácter nanotecnológico-cuántico del ADN vamiso) de cómo los vamisos son capaces de "ver" la secuencia infinita que tienen por delante, de cómo son capaces de recordar el calcetín que decidieron sacar de ese cajón, y del tiempo alucinantemente infinito (es decir, no numerable) que usaron en comunicarse entre ellos qué secuencia era la elegida de cada cajón... es decir, dejando al margen todo eso (jajajaja, dicho así es que parece guasa) la cuestión es que han clasificado TODAS las posibles secuencias de Ns y Bs según sean semejantes (es decir, difieran en una cantidad finita de posiciones) o no.

Si te montas una secuencia increíblemente caótica (que no es difícil) cuando los vamisos la vean dirán: ah sí, estaba en tal cajón, y la secuencia de referencia que sacamos de aquél cajón era esta. et voilà!


De: Gregorio
2013-06-10 17:32:59

Y aquí dejo otro pensamiento para el que lo quiera coger y calfarse la cabeza (jajajaja).

La cantidad de "leyes" posibles es numerable (así como la cantidad de algoritmos posibles), y la cantidad de secuencias posibles es no-numerable. Así que si cogemos una secuencia al azar (tirando una moneda para cada vamiso, por ejemplo), la probabilidad de que exista una ley, o un algoritmo que la genere, es CERO. ZERO. NOTHING. NIENTE.

Buffff, todo es caos! Qué mareo! :D


De: Rantamplan
2013-06-10 18:43:17

Tengo una duda:

¿Como puedes demostrar que toda secuencia posible pertenece a un conjunto de secuencias semejantes?

¿Por que no es posible que exista una secuencia que difiera en infinitos dígitos de toda otra secuencia y por lo tanto no pertenezca a ningún conjunto de secuencias semejantes?


De: Miguel
2013-06-10 19:06:22

Muchas gracias Carlitos.

"Dado un vamiso cualquiera, siempre hay un vamiso por delante suyo que podría morir"


De: Alejandro Coria
2013-06-10 19:35:59

Rantamplan, si existe una secuencia que no es semejante a ninguna, entonces se hace un nuevo cajón para ella :)


De: Miguel
2013-06-11 00:18:58

Gregorio dices que :
"habrá vamisos que vean por delante a amigos o incluso familiares con la certeza de que van a morir porque sus sombrero no coincide con el del patrón."

¡Porque no habrían de tener un patrón que si salve al inmediato siguiente, si no son miopes.!


De: Argus
2013-06-11 09:29:16

Es fascinante todo esto. Cuánto estoy aprendiendo! Me pregunto cómo se demuestra que "la cantidad de leyes o algoritmos posibles es numerable", o esta otra " por la propia definición de lo que significa “describir”, sólo hay una cantidad numerable de números descriptibles". Así rápidamente se me ocurre que el número de polinomios posibles sería no numerable, pues pueden tener tantos términos como decimales tenga un número real, ¿no?

Otra cosa, Gregorio, dices: "... ya que ese salto (numerable a no numerable) es el que hace posibles la inmensa mayoría de demostraciones en matemáticas." ¿Podrías poner un ejemplo de cómo se hace tan frecuentemente ese "salto a lo no numerable?"


De: Freddy
2013-06-11 13:11:19

Hola Gregorio, ¿me puedes ayudar con este razonamiento?

Dejando un poco de lado a los vamisos: creo que del conjunto de series posibles (un número infinito) existe un subconjunto de patrones, que también es un número infinito (en tu ejemplo, existe un número infinito de cajones). Además cada patrón se relaciona con un número infinito de series (dentro de cada cajón hay infinitas series). ¿Es así?

Esto me llevaría a pensar que el infinito del subconjunto de patrones es "más pequeño" que el conjunto total de series posibles, pero mi intuición me dice que ambos infinitos son del mismo orden (algo así como que ambos son ℵ1 que introdujo Pedro en las excelentes entradas sobre Cantor y el infinito). No sé si puedes comentar algo al respecto...

Lo que sí parece acercarse al infinito es el número de comentarios, felicidades por este post que está despertando un debate tan apasionante!!


De: Argus
2013-06-11 16:23:11

Hola Freddy, me aventuro a contestarte y si me equivoco que se me corrija!

El conjunto de secuencias posibles es ℵ1 (no numerable)

El número de secuencias desemejantes entre sí (número de cajones) es ℵ1 (no numerable)

El número de secuencias en cada cajón es ℵ0 (numerable)

Supongo que se puede hacer un símil con los números reales si pensamos que el conjunto de los reales es no numerable, el subconjunto de los reales entre 0 y 1 es igualmente no numerable y el número de decimales de cada número real es numerable.


De: Miguel
2013-06-11 18:15:20

¿Cual será el número mas grande que tiene aquel vamiso que vea por delante a amigos o incluso familiares con la certeza de que van a morir?


De: Gregorio
2013-06-11 18:19:21

Madre mía, se me han acumulado comentarios a cascoporro! jajaja. De nuevo, voy a intentar ir en orden:

Para Rantamplan:

Como dice Alejandro, si ese fuera el caso, sería la única secuencia de su cajón. Tampoco sería un problema!

Pero de todas formas, no hay ninguna secuencia así: dada una secuencia, le cambias el primer sombrero y ya tienes una que es igual salvo una posición, luego son semejantes. :D


De: Gregorio
2013-06-11 18:23:33

Para Miguel,

Bueno, la única manera de que todos los vamisos digan la misma secuencia es habiendo convenido de antemano (durante la noche) el patrón. Fíjate en la solución que ha dado Pedro, lo hacen así.

Por tanto, en el momento que les ponen los sombreros los vamisos ya saben a qué secuencia de referencia se tienen que ceñir. Todos los que, en un giro fatal de los acontecimientos, tengan un sombrero que no coincide con la secuencia de referencia, la van a palmar. Ya no hay nada que se pueda hacer :'(

Échale un nuevo repaso a la solución de Pedro, y pregunta todo lo que haga falta,,, hasta que no me queden fuerzas! :P


De: supernene
2013-06-11 18:29:04

Gregorio, en una de las respuestas dices que aunque cada vamiso sólo pudiera ver a 1000 por delante, la solución seguiría valiendo.......pero ¿Cómo identificarían el patrón entonces?


De: Gregorio
2013-06-11 18:35:46

Para Argus,

Una ley, o una descripción, o una definición, o como lo quieras llamar, tiene que ser una frase/capítulo/libro entero (o incluso máquina de turing) o lo que sea de palabras y fórmulas y números y letras acabado con un punto final (es decir, finitas).

Codificas cada letra/signo/número con un símbolo, e imagina que te salen 45 signos distintos. Pues bien, todas las frases finitas posibles con 45 signos distintos no es más que todos los números naturales, pero en bas 45. Es decir, infinito numerable :)


De: Gregorio
2013-06-11 18:37:44

Hola Freddy, y Argus.

Técnicamente no es Aleph_1 sino el cardinal de R, c, el continuo. No queda muy claro que c=aleph_1 (pero eso ya es otra historia, igualmente gorda).

Pero en esencia sí:

1) El número total de secuencias es no numerable, c.
2) El número de cajones es no numerable, c.
3) El número de secuencias en cada cajón es numerable, aleph_0.


De: Gregorio
2013-06-11 18:38:30

Pero el símil es muy bueno, Argus :)


De: Gregorio
2013-06-11 18:40:05

Para Miguel,

Desgraciadamente, no tiene máximo. Igual mueren 100, 10000, 100000000 o quizá 1000000000000, o muchos más.

La historia es que eligen la secuencia de referencia a priori, durante la noche. A saber qué saldrá mañana por la mañana en la secuencia de sombreros... ¡maldito seas Azar el ornitorrinco!


De: Gregorio
2013-06-11 18:42:43

Para supernene.

Suponte que el vamiso está en la posición 37, pero como no ve bien de cerca, no empieza a ver hasta la posición 1037. Igualmente ve una cantidad infinita de sombreros, y deja de ver una cantidad finita (1037 exactamente). Sabe, por tanto, en qué cajón está la solución real y recuerda perfectamente (sigo flipando con el ADN de los vamisos, ¡¡pero qué les dan de desayunar??) cuál la secuencia patrón que convinieron la noche pasada :)


De: Simplificador
2013-06-11 19:33:39

Gregorio

Está bien traído el Axioma de Elección. El problema de los vamisos, sin embargo, es que su postura podríamos decir que es desesperadamente constructiva. A ellos no les basta con que exista un criterio: necesitan encontrarlo. Y además necesitan encontrarlo todos. Con ADN cuántico y todo, a mí hay infinitos que empiezan a olerme a fiambre...


De: supernene
2013-06-12 09:50:06

ok, te había interpretado mal, pensaba que sólo podían ver los 1000 vamisos más cercanos, cuando lo que decías es que no podían ver a los 1000 mas cercanos pero sí a los infinitos más alejados....así esta claro.


De: Argus
2013-06-12 11:58:45

Simplificador, lo principal aquí es la existencia de un patrón que difiere en un número finito de elementos de cualquier secuencia dada. Esto ya es la leche y yo tengo para darle vueltas unas cuantas décadas.

El problema añadido de si es posible ponerse de acuerdo en elegir qué patrón es otra historia, pues eso ya supone la necesidad de ordenar un conjunto no numerable, axioma de elección, etc, y estoy de acuerdo contigo en que eso no suena muy bien. El conjunto de los reales no es ordenable, sin embargo dados unos números reales cualesquiera sí podemos ordenarlos: PI es mayor que "e" y "e" es mayor que raíz de 2, etc. ¿Y cuántos números reales podríamos ordenar como máximo? Me temo que infinitos, sí, pero infinitos numerables, nunca no numerables. Y la verdad es que no termino de ver dónde está el límite de lo que se puede ordenar y lo que no, de lo que se puede definir y lo que no. ¿Quién me dice 2 números reales que no se puedan ordenar de mayor a menor?


De: Gregorio
2013-06-12 12:13:03

Argus, ordenar los números reales no es ningún problema. Del mismo modo que ordenar las secuencias de sombreros no es ningún problema; se pueden ordenar alfabéticamente: la B va antes que la N. Así, una secuencia que empiece por B va antes que una secuencia que empiece por N, y en caso de empate se hace exactamente lo mismo que hace cualquier diccionario, se fija en la siguiente letra. De este modo, dadas dos secuencias, está claro cuál va antes que la otra. Y a esto se le llama orden.

Sin embargo, el mero hecho de que tengan un orden no nos interesa para nada. Lo que nos gustaría sería encontrar un orden en el que podamos decir "pues de este cajón me quedo la primaria secuencia, atendiéndonos al orden establecido". Así no haría falta tiempos infinitos ni tiempos nada, se mira la secuencia de sombreros y todos escogen la primera según ese orden dado.

Sin embargo, que un conjunto esté ordenado no implica que tenga un primer elemento. Fijémonos en el caso de los "números reales estrictamente mayores que cero" (con el orden de toda la vida). Es evidente que no hay un primer elemento; no hay un elemento con la cualidad de no tener ninguno más pequeño.

Un orden que cumpla eso (cualquier subconjunto suyo tiene un primer elemento) es llamado en Matemáticas relación de orden buena (siempre me ha hecho gracia lo de buena).

Lo cachondo es que se ha demostrado (Paul Cohen, en los años 60, demostró una parte y Gödel muchos años antes demostró otra parte) que no es posible demostrar que existe tal orden para los números reales (ni, por tanto, para las secuencias de sombreros en los vamisos), pero tampoco es posible demostrar que tal orden no exista!!

Si suena cachondo, es porque lo es :D


De: Argus
2013-06-12 14:58:47

En conclusión, los reales son un conjunto ordenado pero que no cumple la relación de orden buena. ¿Qué es entonces lo que no se puede demostrar ni refutar según Cohen y Godel?


De: Gregorio
2013-06-12 15:04:56

Que se pueda definir para los reales (en general para cualquier conjunto) un orden distinto que sí que sea una relación de orden buena.

Por más que busques/pienses otras ordenaciones distintas no encontrarás jamas una ordenación para los reales que sea buena, como demostró Cohen.

Pero no podrás encontrar una demostración de que no existe una ordenación buena de los reales, como demostró Gödel :)


De: Argus
2013-06-12 15:57:12

Comprendo. Menudo capo el Godel, desde luego su afirmación es del todo inverosímil, y además es anterior a la de Cohen. Increíble. Podría parecer casi obvia la afirmación de Cohen y definitiva, pero ¿cómo es posible la afirmación de Godel? Me cuesta ver que no son contradictorias. Qué capo, de verdad, qué envidia! :-)

Por cierto, supongo que esto mismo aplica a los racionales ¿no? Anda, sorpréndeme... :-D


De: Gregorio
2013-06-12 16:02:37

Pues no, jajajaaja. Para los racionales es muy fácil establecer una buena ordenación. Se me ocurren varias. Por ejemplo:

Dados X = a/b y Y = c/d (sus fracciones irreducibles) decimos que X<Y si b<d, y en caso de que b=d, X<Y si a<b.

Venga, dejo como ejercicio demostrar que es una relación de orden buena. Esta relación de orden buena es divertida en varios niveles. Si me tiráis de la lengua, me lanzo!


De: Simplificador
2013-06-12 17:00:49

Argus

Simplificador, lo principal aquí es la existencia de un patrón que difiere en un número finito de elementos de cualquier secuencia dada.

Infinitos patrones, de hecho.

El problema añadido de si es posible ponerse de acuerdo en elegir qué patrón es otra historia, pues eso ya supone la necesidad de ordenar un conjunto no numerable

Ojo, el número de secuencias semejantes en cada "cajón" es numerable. El que no es numerable es el número total de secuencias.


De: Simplificador
2013-06-12 17:17:11

De todas formas, es sabido que a los vamisos no les importa demasiado morir, porque en su primer minuto de vida ya han tenido todas las experiencias (es decir, todas las colocaciones neuronales) que un cerebro vamiso puede tener. Medio minuto después de haber llegado al mundo, sienten unas palmadas en el culo. Un cuarto de minuto después, unas ganas locas de llorar. Un octavo de minuto después, empieza a serenarse.... 1/28984898208203 después han descubierto el origen del universo, 1/288928392839283918319839 han imaginado una cara idéntica a la mía...

El minuto siguiente, y el resto de su vida, lo dedican a reordenar todas esas infinitas escenas de infinitas maneras distintas, que es algo que a la larga acaba resultando repetitivo, por más que en el momento de su muerte todavía les queden infinitas reordenaciones por probar (de hecho, les queda por probar la mayoría).


De: Simplificador
2013-06-12 19:40:33

No tienen mucho sentido esas fracciones. Los denominadores tendrían que ser potencias de 2, claro. Es que uno empieza a teclear números y se emociona. ..


De: Miguel
2013-06-12 20:13:35

“¿Cuántos lutrinos habrá en la caja verde a las dos horas?”

para hacerlo mas creíble se les pone el número en la espalda, para poder decir a que hora salen de la caja verde, sin advertir que en ese mismo instante ha marcado nueve mas.

Con estos lutrinos se puede decir que no tienen que ponerse de acuerdo, ni cajones, ni nada en el infinito eventualemnete empezarán a coincidir todos los sombreros.


De: Gregorio
2013-06-12 20:17:11

Hola Miguel,

¿puedes elaborar un poquito más esa estrategia para que solo muera una cantidad finita de vamisos? Así tan resumida no he entendido muy bien cómo lo hacen. :D


De: Miguel
2013-06-12 21:01:40

Por ejemplo : Si esribes una secuencia cualquiera de numeros y después revisas el número pi eventualmente van a coincidir, mas lejos mientras mas larga, pero es seguro.


De: Alejandro Coria
2013-06-12 22:24:52

Una secuencia infinita no tiene porque coincidir con infinitos dígitos de pi. Y lo más probable es que no lo haga.


De: Argus
2013-06-13 09:36:41

Ya veo, Gregorio, los racionales pueden cumplir la relación de orden buena porque siempre se puede dejar el infinito para el final :-D Parece esta una técnica común: Si encontramos el cabo del hilo hemos ganado. Si no encontramos el cabo estamos un poco más perdidos.

Con el ejemplo de ordenación que has puesto, en un segmento cualquiera (a,b), el primer racional sería el entero más bajo. Si no hay enteros, sería el medio entero más bajo, etc. Un poco más formal sería: El primer racional es a si a es entero. Si no, el primer racional es E(a)+1/n, donde E(a) es la parte entera de a y n es el menor entero posible que hace que esa suma esté incluida en el intervalo. Más formal no me sale :-D

Simplificador, aunque en cada cajón haya numerables secuencias, los vamisos deben ponerse de acuerdo al estilo: Del cajón X tomamos la secuencia Y. No veo problema en tomar la secuencia Y, pero sí en definir cajón X por las siguientes razones: X no puede ser un número natural porque no va a cubrir el total de cajones. X no puede ser real porque por algún cajón hay que empezar y no se puede encontrar una expresión que defina ese primer cajón. En principio podemos asumir que no hay problema en que cada cajón esté numerado con un real; el problema es ese "ponerse de acuerdo", lo que requiere una instrucción que dar a todos los vamisos, y tal expresión no existe. Bueno, no se puede hallar, aunque no esté demostrado que no exista :-)


De: Rantamplan
2013-06-13 09:48:38

Tengo una duda:

¿cual es la probabilidad de que un vamisino elegido al azar (del que conocemos su posición) sobreviva?.

es que me parece que es un 50% en cualquier caso, lo que genera un cortocircuito a la hora de entender que al final muere un número finito de ellos.

me explico, pensemos en el vamisino Nº1: Ve la secuencia y deduce que el tiene que decir "Blanco", el caso es que el sabe que en el grupo de subsecuencias semejantes existe un número infinito de secuencias que difieren en la primera posición (la suya) y si calcula sus probabilidades de sobrevivir, le da que la mitad de las secuencias semejantes tienen un "blanco" en la posición 1, luego sus probabilidades de elegir mal son las mismas que si lo hiciera al azar.

pero esa misma pregunta se la hace el segundo y llega a la misma conclusión, y el tercero y el cuarto... y cualquier vamisino que se encuentre en una posición numerable.

Pero todos los vamisinos se encuentran en una posición numerable (de hecho les han dado un papel con su número) luego a todos, individualmente les da igual seguir la estrategia que no.

Deberían morir la mitad exacta.

total, que no lo entiendo: me parece que esto en realidad es una paradoja matemática que te puede dar un resultado u otro dependiendo del razonamiento que sigas aunque todos sean lógicos a nivel matemático.


De: Argus
2013-06-13 15:55:24

Uy, no es correcta la forma de hallar el mínimo en mi comentario anterior. De todas formas, es "obvio" que siempre habrá un denominador menor y en caso de empate siempre habrá un numerador menor, y en caso de empate es que estamos hablando del mismo número. ¿Cómo se demuestra "más"?


De: Argus
2013-06-13 17:04:07

Rantamplán, cada vamiso no elige una secuencia al azar, sino que sabe la secuencia tipo. Dicha secuencia tipo la saben calcular todos una vez ven los sombreros y es la misma para todos los vamisos. Una vez ven la secuencia y han elegido todos el mismo patrón, es un hecho que la diferencia entre patrón y secuencia es un número finito de términos. La probabilidad de que muera un vamiso es casos favorables entre casos posibles, es decir finito entre infinito, lo que tiende a 0. La probabilidad de que muera un vamiso concreto es 0.


De: Miguel
2013-06-13 17:38:13

Alejandro, consideras posible que 5 dígitos pueden coincidir dentro del primer millón de decimales de PI, y 6 dentro del primer billón y siete
dentro del primer trillón, y así a dígito por millon de millones.

Pongo PI por ejemplo, pero solo se cuenta con cerca de 30 billones de decimales
que comparado con infinito es nada.

si es posibe lo anterior no importa lo poco probable que sea. se salvan infinitos vamisos y mueren muchos como dice Gregorio pueden morir 100 o 101 o seiscientos mil millones (así nomás parece que pueden morir mas cada vez) pero se salvarán infinitos.


De: Rantamplan
2013-06-13 18:11:09

@Argus

Si, eso lo entiendo, pero permitemé que te de la vuelta al razonamiento:

Supongamos que el vamisino ve la secuencia de sombreros y es capaz de identificar el conjunto de secuencias semejantes.

El vamisino conoce por lo tanto el patrón de la secuencia y sabe que la secuencia patrón y la secuencia de sombreros se diferencia solamente en un número finito de elementos.

Supongamos que el vamisino conoce su posición n y que para su posición el patrón dice "blanco" (luego debe de quedarse con la pelota blanca siguiendo con la estrategia planteada).

Ahora el vamisino en un descuido calcula cual es la probabilidad de sobrevivir.

Para ello coge el conjunto de secuencias semejantes y calcula el número de secuencias de su conjunto que para su posición tienen un blanco y lo divide entre el número de secuencias semejantes que tienen un blanco y las que tienen un negro.

Si no me equivoco los 3 infinitos son de mismo rango y por lo tanto la división da 0.5.

¿Estoy equivocado?

Si estoy en lo cierto entonces todos los vamisinos al hacer el mismo calculo obtendrán la misma respuesta.


De: Alejandro Coria
2013-06-13 19:58:44

Miguel, eso lo entiendo perfectamente, pero solo aplica para secuencias finitas. Pueden ser tan grandes como tu quieras, pero no aplica igual con secuencias infinitas.

Si quieres te digo una secuencia infinita de dígitos que no está en pi ;)


De: Carlitos
2013-06-13 21:26:47

Sólo un poco de spam de felicitación. Casi 150 comentarios! Pedro, imagino que al "derivar la autoría" del problema, muchos de nosotros le buscamos más los tres pies al gato, en lugar de simplemente "respetar lo que dice el jefe". Por mi parte, ojalá este formato se repita.

Gregorio: gracias por tu ciencia y paciencia. Espero que no hayas escarmentado y te apuntes a más líos :) . Pedro: ídem, y gracias por el blog.


De: Argus
2013-06-14 09:03:11

Ahora te entiendo, Rantamplán. Creo que tiene algo que ver con la paradoja del principio antrópico, la del experimento en el que muere uno entre mil, pero cada vez hay 10 veces más participantes que la anterior; Se pone de manifiesto la diferencia entre una probabilidad a priori y una probabilidad a posteriori.

Estoy de acuerdo contigo y yo diría que si los vamisos repiten esto varias veces poniéndose de acuerdo en patrones diferentes cada vez, su probabilidad a priori de morir es 50%, pues no hay un color privilegiado para una posición concreta. Una posición dada, tendría blanco o negro a partes iguales en una muestra aleatoria de posibles patrones. La probabilidad a posteriori, como dije en el comentario anterior sería 0.

Es muy raro esto: La probabilidad a priori es 50%, pero saben que elijan el patron que elijan, su probabilidad de morir va a ser 0. ¿Entonces qué significa "a priori" para ellos? :-D ¿Es otra propiedad antiintuitiva de los infinitos o es que estamos los dos equivocados?

Dando una vuelta de tuerca a los comentarios sobre los amigos y familiares de los vamisos que van a morir, si asumimos que cada grupo de familiares y amigos de cada vamiso es finito, la probabilidad de que un vamiso vea a un amigo o familiar que va a morir sigue siendo 0! Happy days!! :-D

...y me uno a las felicitaciones de Carlitos. Este blog es muy grande. Es enorme.


De: Rantamplan
2013-06-14 09:49:18

@argus.

¡¡ok!!

De todas maneras cuando leí el de que cada vez hay 10 participantes más que le anterior no me convenció XDDDDD (soy muy crítico, ya lo sé) y no creo que sea un caso comparable.

La razón es que el experimento tenía un final, luego no jugábamos con un número infinito de participantes sino con un número indeterminadamente grande, pero finito.Y no solo eso sino que además el experimento se detenía cuando se obtenía el resultado favorable.

Vamos era un experimento que si me lo validas te demuestro que cualquier cosa que tenga "alguna probabilidad de ocurrir" es "tan probable como quieras que sea".

Supongamos que la enfermedad A tiene un 10% de infectar una plantación de plantas. pero yo quiero demostrar que la enfermedad infecta a más de la mitad de las plantas (para vender la cura, probablemente). Hago el experimento con una plantación de un individuo, si la infecta digo que infecta el 100% de las plantas.

Si no, repito el experimento con una plantación de 2 individuos, si la infecta digo que infecta al 66% de las plantas.

Si no repito el experimento con una plantación de 4 individuos, si la infecta... y sino duplico los miembros de la plantación y continuo.

El truco está (lógicamente) en que detengo el experimento cuando a mi me da la gana. la probabilidad de que una planta se infecte sigue siendo del 10%, pero si le preguntas a la planta "¿que probabilidad tienes de infectarte en mi experimento?" es otro tema por que estoy haciendo trampas.


De: Argus
2013-06-14 10:23:29

Cierto que no es un caso comparable, pero me recordó esa diferencia entre probabilidad a priori y a posteriori. En el caso de los vamisos no hace falta que repitan el experimento infinitas veces. Basta con que lo hagan 10 veces y cada noche se pongan de acuerdo en un patrón diferente. Si nos centramos en el vamiso número 237 durante las 10 veces que repiten la prueba, una media de 5 veces tendrá que soltar una bola blanca y otras 5 veces tendrá que soltar una bola negra. ¿Estoy en lo cierto?


De: Rantamplan
2013-06-14 11:22:18

@argus

A tu pregunta: Yo croe que si.

De todas maneras, creo que ya está todo entendido... no me gustan las matemáticas que no responden a la realidad XDDDDDD y claro hablando de infinitos... se hacen preguntas teóricas y se buscan soluciones rebuscadas que en el fondo no representan nada.


De: Persi
2013-06-14 12:51:42

Yo creo que al no ser un vamiso no puedo visualizar que hay en cada cajón. Yo puedo entender que por ejemplo 3 secuencias semejantes difieren en un número finito de términos, pero ¿infinitas secuencias semejantes? ¿No sería una contradicción? El hecho de imaginar infinitas secuencias ¿no destruye el concepto de semejanza al poder diferir el infinitas cifras?

Creo entender la estrategia que seguirían los vamisos y con una visión general de problema se llega a la conclusión de que moriría un número finito. Pero mirando el problema desde el punto de vista de cada vamiso en particular, no hay nada que garantice la supervivencia de uno solo de ellos. La información que tiene cada vamiso no les da ninguna dato acerca del color de su sombrero, se encuentren en la posición que se encuentren, ni siquiera conociendo los sombreros anteriores. ¿Por qué no lo veo tan claro? No me gusta quedarme con esta sensación...


De: Miguel
2013-06-14 16:43:39

Yo si te creo Persi y también le creo a Carlitos cuando dice que:
"Dado un vamiso cualquiera, siempre hay un vamiso por delante suyo que podría morir”
y le creo a Alejandro Coria que dice "solo aplica para secuencias finitas"

Gracias Gregorio y apelando a tu gran resiliencia, te pregunto si conocen todos los sombreros menos el suyo ¿porque no usan el sistema de par e impar?


De: Gregorio
2013-06-14 17:50:20

Para Argus,

Yo creo, así sin pensar demasiado, que la probabilidad (siempre antes de que les pongan los sombreros)

1) de que un vamiso concreto palme es 50%
2) de que alguien vea a alguien por delante que vaya a palmar es 100%

:)


De: Gregorio
2013-06-14 18:04:55

Para Rantamplan,

Es lo que hay, jajajaja. Derivadas e integrales y otras sutilezas, todas están intrincadas con el concepto de infinito. Y todas las demostraciones sobre estas, acaban haciendo uso del Axioma de Elección, que tanto mal de cabeza nos está trayendo.

Pero eso sí, ¡cuánto debate constructivo alrededor del infinito! moooola!


De: Gregorio
2013-06-14 18:19:47

Y voy a aprovechar para poner otro problema muy muy relacionado con este.

La cuestión es que siguieron haciendo experimentos genéticos con los vamisos, y cruzaron a estos con ADN de Montserrat Caballé, de manera que los vamisos tuvieron un chorro de voz es.pec.ta.cu.lar!!

Los Alienígenas Matemáticos volvieron a exponer a los vamisos de Petrovichi a una macabra prueba de supervivencia. La prueba era exactamente igual, con sus sombreros, en la misma fila india infinita... pero esta vez sin bolas negras y blancas.

La diferencia es que esta vez quisieron poner a prueba, al máximo, la capacidad de cálculo de los vamisos (esperando esta vez que sus neuronas cuánticas petaran cual supernova dejando tras de sí una estrella de neutrones de células grises vamisas). ¿Y qué les hicieron hacer esta vez?

Pues bien, ahora les irían pidiendo, uno a uno, que gritaran en voz alta qué color pensaban que tenían en la cabeza. Empezando por el vamiso que los ve a todos (que fue al primero que colocaron en la fila) y seguirían uno a uno, ad infinitum. Por supuesto, gracias al cruce con ADN de la Caballé, tooooodos los vamisos (que no son pocos) que hay delante del que habla oirán perfectamente lo que se dice.

De nuevo, podían poner en común una estrategia para el día de la prueba. Y para total consternación de los Alienígenas Matemáticos, ¡¡se salvaron TODOS!! Bueno, menos el primero, que se sacrificó por la causa.

¿Cómo lo hicieron?


De: Persi
2013-06-14 18:36:22

¿No bastaría con decir el color del que cada uno tiene delante? :)


De: Persi
2013-06-14 18:37:03

Pos no, por supuesto jajaja


De: Gregorio
2013-06-14 18:51:51

Persi, te prometo que me has hecho dudar, jajajajaajaj


De: Persi
2013-06-14 18:53:35

Pero quizá si se podría combinar el método par-impar con el propuesto en esta entrada, de modo que el primero usa la estrategia par-impar con el número finito de sombreros que no coinciden con la secuencia patrón.


De: Miguel
2013-06-14 19:32:41

Gracias Persi, así se salvan TODOS menos uno.

Pero todavía no entiendo la refutación al comentario 76.


De: Gregorio
2013-06-14 19:37:01

Para Persi,

¿Pero qué pasa con los vamisos a partir de que las secuencias coinciden? ¿cómo saben que coinciden con el patrón?


De: Gregorio
2013-06-14 19:38:57

Para Miguel,

La refutación está en el comment 84. Dale una vuelta y pregunta las dudas! :)


De: Persi
2013-06-14 19:54:37

Gregorio,

Pues yo habia pensado que a partir de que un vamiso ve que la secuencia coincide justo a continuación de él, dice el color que le corresponde. Claro, el problema es el primer vamiso que coincide con la secuencia, pero si lleva la cuenta de los par-impar que le anteceden, puede deducir que es el primero de la semejanza. ¿Podría servir?


De: Persi
2013-06-14 20:06:07

Lo que quiero decir es que tú, como primer vamiso que tiene delante coincidencia en la secuencia, escuchaste decir al primer vamiso blanco, por ejemplo. Eso quere decir que hay un número par de sombreros blancos hasta la coincidencia. Cuando llega tu turno, si el número de sombreros blancos ya es par, tu debes ser la primera coincidencia. Si es impar, tu sombrero debe ser blanco, y la primera coincidencia es el vamiso que hay delante de tí.


De: Miguel
2013-06-14 20:17:24

Gregorio, sobre el comentario 76 y la explicación 84

¿En que momento Carlitos debe cambiar de cajón entre 0000..... y 1111....?

y si .....010101010101... es semejante a 0000.... ó a 1111.


De: Gregorio
2013-06-14 20:30:37

Miguel,

No entiendo muy bien tu primera pregunta. Con su proceso, Carlitos, ha encontrado todas las secuencias semejantes a 0000000.... así que ninguna secuencia semejante a 111111111.... está en ese cajón. Debería repetir el mismo proceso con la secuencia 1111111111.... y así tendría todas las secuencias semejantes a la 11111111111... ¿cuándo? pues bien, si no se ha aburrido cuando "acabe" el proceso infinito que ha seguido para llenar el primer cajón, puede hacerlo cuando le apetezca y tenga un rato libre ;)

Y respecto a la segunda pregunta:

1) 0101010101010101010.... no es semejante a 00000000... porque se diferencia en infinitas posiciones (todos esos unos).

2) 0101010101010101010.... no es semejante a 11111111... porque se diferencia en infinitas posiciones (todos esos ceros).


De: Simplificador
2013-06-14 20:35:36

Quizá estoy diciendo lo mismo que Persi, pero no estoy seguro. Mi estrategia sería: el primero dice "Blanco" si lo que ve se diferencia del patrón en un número par de sombreros (entendiendo el 0 como un número par) y dice "Negro" si el número es impar.


De: Gregorio
2013-06-14 20:37:32

Sí, creo que estáis diciendo lo mismo!

Pero alguien que ya está en esa "zona" en la que el patrón coincide con la secuencia real, ¿cómo sabe que está, en efecto, dentro del patrón y dice su sombrero? :D


De: Gregorio
2013-06-14 20:42:13

Bueno, no. La de Persi no estaba bien, porque lo hacía solo con los sombreros blancos. Y creo que así no funciona. ;)

Aún así, alguien que está en la "zona", ¿cómo sabe que ya está en la zona?


De: Simplificador
2013-06-14 20:48:09

No tiene que saber que está dentro del patrón, lo que tiene que saber es el color de su sombrero, y para eso le basta haber llevado la cuenta de los anteriores y compararlos mentalmente con el patrón. Sirva un ejemplo:


  1. Si el primero dijo "Negro" y

  2. si hasta él sólo ha oído un número par de diferencias respecto al patrón y

  3. si delante de él ve que todos coinciden con el patrón,

entonces


  1. Él sabe que su sombrero es el último que se diferencia del patrón.

Y si, por el contrario, el primero hubiera dicho "Blanco", entonces sabría que su sombrero coincide con el patrón.


De: Simplificador
2013-06-14 20:49:10

El último "1" quería ser un "4", claro.


De: Gregorio
2013-06-14 20:51:38

Sí, era solo por explicitar un poco la "demostración" ;)

En efecto, en cuanto ven que delante de ellos coinciden todos y lo que gritó el primero coincide en paridad con lo que han dicho los de detrás, sabe que está en la zona de coincidencia con el patrón.


De: Gregorio
2013-06-14 20:59:45

Y con esto se cierra el círculo enlazando los infinitos vamisos con la técnica de par e impar del post anterior en la serie de los Alienígenas Matemáticos :D

¿A que mola?

Madre mía, cuando lo pienso... se salvan TODOS salvo el primero, que tiene un 50% de sobrevivir... increíble!! Y por cierto, me siento orgulloso de lo rápido que lo habéis sacado. Eso es que vuestra mente se ha pasado al lado oscuro del infinito. El Conde Dooku, digoooo, el Conde Cantor, estaría también muy orgulloso.

Y ahora un bonus como especulación...

1) ¿se puede generalizar a "n" colores de sombreros? Al estilo del post del Entrenamiento Civil.

2) ¿se puede generalizar a una cantidad numerable de sombreros?? No tengo ni idea de su solución, aunque sospecho que tiene solución...

3) ¿se puede generalizar a una cantidad no numerable de sombreros??? Aquí ya ni sospecho ni nada...

Pues eso, ahí lo dejo por si alguien quiere tener pesadillas por las noches, jejeje


De: Simplificador
2013-06-14 21:01:45

Me llena de orgullo y satisfacción. Para alguien que suspendió todos los exámenes de matemáticas que se le pusieron a tiro, esto es lo más parecido a tener una licenciatura en Exactas.


De: Simplificador
2013-06-14 21:03:44

El último problema no lo miro (todavía), que tengo que salir y no pega andar de cañas con cara de Rainman.


De: Persi
2013-06-14 21:16:50

Hay algo que no he entendido de la estrategia anterior. La idea en la zona no coincidente es trasmitir la información al vamiso de delante para que acierte su sombrero. ¿Cómo se transmite simplemente dando como dato la paridad de los sombreros hasta la coincidencia? Haciendo eso solo transmites información los vamisos de la coincidencia ¿no?


De: Gregorio
2013-06-14 21:29:40

Veamos,

Tú estás en la fila, acojonao por cierto, y oyes al primero decir "BLANCO" con lo que sabes que hay una cantidad PAR de diferencias con el patrón. Patrón que tú conoces perfectamente. Delante de ti ves a 96787 vamisos que se diferencian con el patrón, y (aquí viene la gracia, del mismo modo que en el Entrenamiento Civil del post anterior) has oído a 56 vamisos de detrás decir lo contrario del patrón... tu alta capacidad vamisa sabe entonces de la existencia de 96843 diferencias con el patrón (sin contar con el primero, que no cuenta). Oh cielos, si el primero ha dicho blanco es que ha visto una cantidad par de diferencias. Mierda, tú debes de ser UNA de esas diferencias, así que dices lo contrario que el patrón :)


De: Gregorio
2013-06-14 21:35:24

Del mismo modo, suponte que estás en la zona de coincidencia...

Ves, por tanto, a CERO cambios por delante. Y si el primero ha dicho una paridad (por ejemplo, IMPAR) y has oído ya la cantidad justa de cambios (por ejemplo, 8767 vamisos "cambiando su versión"). Tú entonces sabes que tu sombrero coincide con el patrón.

Ese razonamiento lo tienen que hacer todos los de la zona, porque hasta que no han oído a todos los de detrás no saben que están en la zona de coincidencia!


De: Persi
2013-06-14 22:07:30

Estoy deacuerdo en que señalar la paridad de la diferencia con el patrón me indica si estoy en la parte coincidente o no. Pero ese dato no aporta nada al color de mi sombrero, es decir, elegir el contrario al patrón no asegura que acierte, al menos no veo por qué...

De todas formas en llegar a casa me lo repaso, que con el movil no me entero.


De: Miguel
2013-06-14 23:19:01

entonces se salvan todos menos uno, pero sin ponerse de acuerdo no se puede.


De: Miguel
2013-06-15 00:08:01

Les agradezco mucho a todos, se nota que son ustedes muy inteligentes y saben mucho de matemáticas y de filosofia, pero no entra en mi limitada mente los infinitos supervivientes y menos todos supervivientes, ni con cajones, ni con patrones, ni de milagro.


De: Persi
2013-06-15 01:02:37

Veamos si en el estado [viernesnoche] soy capaz de aclararme.

"...tú debes de ser UNA de esas diferencias, así que dices lo contrario que el patrón".

Aquí no entiendo por qué hay que decir lo contrario. La parte finita de la secuencia se caracteriza porque no coincide con esa misma parte de mi patrón, pero no quiere decir que sea totalmente opuesta a mi patrón, es decir puede tener términos comunes (es más, podrían ser todos iguales salvo el término a partir del cual comienza la coincidencia).

Si esa secuencia finita la aislamos y queremos acertar el color de nuestro sombrero, el primer sujeto debe transmitir toda la información posible al resto de jugadores. Tal y como se plantea aquí, o al menos así lo he entendido yo, lo que transmite el primer sujeto es si el número de jugadores que tiene delante es par o impar y con esa información el resto de jugadores no tiene forma de saber el color de su sombrero. Por esa razon en el comentario #165 hice referencia a la paridad de un color de sombreros, porque esa información si te permite deducir tu color cuando no te encuentras en la zona de coincidencia.

Disculpa si te parezco un pesao, de verdad, pero es un problema muy interesante.


De: -Dark-Phantom-
2013-06-15 02:05:04

Persi, el primer jugador dice la paridad de la cantidad de jugadores que no coinciden con el patrón, de ahí que con esa información los demás jugadores sepan si su sombreo es uno de los que coincide o no.


De: Persi
2013-06-15 11:20:07

-Dark-Phantom-,

Pero volvemos a lo que contesté en el comentario #180. Sí, me permite saber si estoy o no en la coincidencia. Si estoy en ella, digo el color que me corresponde. Pero si no lo estoy, ¿digo el contrario al que me corresponde de la secuencia patrón? Eso es lo que no entiendo y expliqué por qué en el comentario anterior.

Gracias por la paciencia conmigo :)


De: Carlitos
2013-06-15 11:56:26

Persi, piensa en 3 puntos: el primero habla sin pensar en su sombrero, sólo dice cuántos vamisos son diferentes al patrón infinito escogido por todos para la secuencia que tiene delante; dice "par (negro, por ej)" o "impar(blanco)". A partir de ahí, cada uno piensa "he oído los colores que han dicho mis compañeros detrás de mi, y han enumerado hasta el momento una cierta paridad de diferencias. El primero nos avisó de cuál es la paridad TOTAL. Cuántas diferencias veo yo? las mismas que han dicho mis compañeros o distintas?" Si ve distintas, el distinto es él (tiene un sombrero que no está en el patrón). Si ve las mismas, su sombrero está en el patrón. De hecho, no tiene ninguna importancia que sepas que ya estás en la "zona de coincidencia" para tu decisión. Es un dato anecdótico que obtienes cuando llevas la cuenta de diferencias y "oyes" que hay un número de diferencias par y ves que no hay diferencias delante de ti, luego el número par con el que llevabas la cuenta es 0.

Si meto la pata, por favor avisen.


De: Carlitos
2013-06-15 12:17:29

He releído mi comentario y es un poco lío.
Mejor un ejemplo: hay 4 diferentes, y el primero es diferente (ve 3). Dice Impar, que supongamos que es blanco. A lo mejor al acierta su color y todo, a lo mejor no. En cualquier caso el segundo, sea diferente o no, ha oído impar, y compara: delante suyo ve si hay impares o pares. Si ve también impares, él no es diferente (dice según patrón). Si ve pares, es diferente (dice contrario a patrón). El siguiente y los sucesivos llevan la cuenta de cuántas diferencias se han dicho con el patrón desde el segundo en adelante, y lo comparan también con la paridad que declaró el primero.


De: Persi
2013-06-15 17:03:40

Muchas gracias carlitos. Así si encuentro sentido a la estrategia. A mi me pareció entender que el primer jugador se referia a la paridad del número de jugadores hasta la coincidencia. Por lo que te he entendido a ti, se refiere a la paridad del número de coincidencias de color con el patrón en la parte no coincidente (joder, la parte contratante de la primera parte será considerada la parte contratante de la primera parte).

Muchas gracias a todos por la paciencia y las aclaraciones.


De: Alejandro Coria
2013-06-15 18:41:12

Hola Persi, soy -Dark-Phantom- comente desde otra pc y no me di cuenta que me puso automáticamente el nick que usaba antes.

Lo que dijo Carlitos es exactamente lo que yo dije, me cito: "el primer jugador dice la paridad de la cantidad de jugadores que no coinciden con el patrón". Con eso no me refería a la cantidad que están no están en la zona de coincidencia sino a los que no coinciden exactamente con el patrón.

Lamento no haber podido expresarme mejor ;) Suerte!

NOTA: gracias a Pedro y Gregorio por este espectacular pasatiempo!


De: Persi
2013-06-15 19:37:02

De verdad Alejandro, será la ultima vez que comente con unas cervezas incorporadas. Tras caer del burro me he dado cuenta de que todos tratabais de transmitirme lo mismo, pero yo estaba interpretando lo que habia entendido en un primer momento. Gracias y me uno a las felicitaciones a Pedro y Gregorio.


De: Gregorio
2013-06-16 14:58:18

Gracias a todos vosotros!! La verdad es que son conceptos complicados, pero aún así muchos habéis seguido el hilo de los debates, y disfrutado!!

Ha sido un placer, señores :D


De: rscosa
2013-06-16 17:37:47

El problema mola mucho pero, claro, si no tienes una mente 'enfermiza' como nosotros entiendo que os cueste entenderlo, je je, yo lo pill'e a la primera. bravoo Gregorio y Miguel por tan excelente problema.


De: Miguel
2013-06-17 19:53:10

por favor les solicito dos respuestas a dos preguntas.


  1. Si el vamiso del final de la fila puede ver a todos los demás vamisos frente a él no necesitan mas que usar par e impar. ¿no?

2.Si se piensa que usan su turno para transmitir de que "patrón se trata" no pueden hacer lo de par e impar, porqué entonces ¿como transmiten lo acordado?.

rscosa también yo lo pille de inmedianto pero luego se me escapó,
yo no plantee el problema y probablemente yo sea el único que no lo entiende cabalmente.


De: Gregorio
2013-06-17 20:05:07

Hola Miguel, voy a intentarlo :)

1) El primer vamiso en hablar ve por delante infinitos sombreros blancos e infinitos sombreros negros, ¿qué debería decir según la estrategia que propones? Espero que veas a lo que me refiero :)

2) No usan su turno para transmitir el patrón. Usan su turno para intentar adivinar qué sombrero tienen en la cabeza. El patrón lo han convenido durante la noche. Su turno lo tienen que usar para adivinar su sombrero, porque si no, estarán abocados al desastre :)


De: Miguel
2013-06-17 21:08:07

Infinitas gracias Gregorio.

Ahora ya no voy a darle mas vueltas al problema, porqué así empeze a dudar.

Me quedo con que mueren todos menos uno.


De: Miguel
2013-06-17 21:09:17

No, no, no, solo muere uno o ninguno y viven todos los infinitos vamisos.


De: Argus
2013-06-18 10:43:01

Muy agradecido, Gregorio. Ha sido un verdadero placer. No quisiera abusar, pero, ¿por qué no deleitarnos con una mini serie profundizando sobre cuestiones de los infinitos, a modo de continuación a los artículos de Pedro? Cuanto más me planteo estas cuestiones sin la presión de los exámenes en un tiempo finito, más las disfruto :-)

Propongo algunos temas: Diferencia entre C y aleph&1: ¿en qué consiste la duda de si son o no son iguales? ¿Por qué no hay (o sí hay) aleph&2, aleph&3,...? ¿Estamos atascados en aleph&1 igual que hace unas décadas estábamos atascados en el infinito sin distinciones? ¿Hay nuevas tendencias para abordar todo esto? ¿Qué es lo más endemoniadamente difícil o sorprendente que te has encontrado?

En fin, he disfrutado tanto esta semana que me he quedado ahora con el mono... :-D


De: Pedro
2013-06-18 15:40:33

Argus: "Pedid y se os dará" ;) Incitando a un matemático a que hable de infinito... os vais a enterar cuando se ponga.


De: Javier
2013-06-19 10:43:20

No me acaba de convencer. El número de sombreros diferentes entre tu secuencia y el patrón que has memorizado es finito por definición pero por probabilidad tiende a infinito.

No sé, creo que es intentar buscar la diferencia entre 5 y 4.9' periódico, vale que 5 es entero por definición y 4.9' no, pero en la práctica son el mismo número.


De: Gregorio
2013-06-19 10:58:38

Hola Javier,

En efecto, decir "finito" no es gran cosa, ya que puede ser "infinitamente grande". Pero aún así siempre es más pequeño que una cantidad infinita de cadáveres vamisos :D

Y el 4.999.. es un número entero ;-) en la práctica son el mismo número porque en la teoría también, jejeje

¡¡Y con este comment llegamos a los 200!! Maaaadre mía!


De: Francesc
2013-06-19 15:44:42

Antes que nada, reconocer que "sólo" he leído los primeros 60 comentarios, así que existe la posibilidad de que lo que voy a decir ya se haya dicho y contestado adecuadamente.

1.- La estrategia que había elegido yo es que cada vamiso le pasara al de delante la bola correcta, pero los alienígenas matemáticos no se lo tomarían muy bien
2.- En cuanto a la supertarea, no basta (en los primeros comentarios se decía, supongo que lo habréis corregido luego) que los vamisos vean los siguientes n gorros, tienen que verlos TODOS o no reconocerán un patrón. Así que los vamisos tienen infinita capacidad de cálculo en tiempo finito, infinita capacidad de recibir y procesar información a través de los ojos, pueden distinguir distancias por debajo de la longitud de planck y captan fotones que todavía no les han llegado a los ojos. Además no caben en el universo (finito) y si los consigues meter, forman un cuerpo de masa infinita (y sobreviven para tirar una pelotita que caerá con aceleración infinita). Aceptamos barco...
3.- Habeís definido una relación, que debería ser de equivalencia:
"Dos secuencias están relacionadas si tienen un número finito de elementos distintos"
Caso de estar bien definida, genera infinitas (no numerables) clases de equivalencia

Vamos a usar la propiedad transitiva (si dos secuencias están relacionadas con una tercera, están relacionadas entre ellas)
Consideremos la secuencia bbbb... como representante de una clase, y nos preguntamos si A(k):=nnnn (k veces) nnnbbbb.... pertence a dicha clase. La respuesta es obvia: pertence. Como A(k) pertence, A(k+1) también lo hace (sólo se diferencia en un elemento) y por inducción, A(n) pertence a la clase de equivalencia para todo n€ N
Evidentemente, entonces existe una aplicación biyectiva entre {A(n)} y N por lo que tienen el mismo cardinal (aleph 0). Puesto que cada elemento de este conjunto se distingue en 1 elemento de los otros conjuntos, y hay infinitos elementos, ¿deberían contener infinitos elementos distintos? ¿Infinitos gorros negros? ¿La clase de equivalencia bbbbb... y nnnn... sería la misma?


De: Francesc
2013-06-19 15:48:52

Por otro lado, si medimos el resultado del juego por los aciertos, y no por los fallos, matar a todos los vamisos pares y matar a un número finito de vamisos da el mismo resultado: sobreviven un número infinito de vamisos, ni más ni menos.
P.D: se busca exterminador de plagas al que le apasionen los retos


De: Gregorio
2013-06-19 16:12:43

Hola Francesc,

Yo tampoco me acuerdo de lo que se ha contestado ya, así que vamos bien ;)

1.- Pero entonces el 7º vamiso ¿qué dice? ¿lo que le ha dicho el 6º vamiso o el sombrero que le ve al 8º vamiso? Espero que así veas el fallo de tu estrategia, jejeje

2.- Sí, los vamisos con ADN cuántico de lutrino son así de bestias :D

3.- Sí, la relación es de equivalencia. Es bastante sencillo demostrarlo. Luego demuestras que para todo k nnnnnnn(k veces)nnbbbbbbbbb.... es semejante a bbbbbbbbbbbbbb... pero no hace falta que te vayas por las ramas con la inducción: son semejantes por la propia definición de semejanza; son semejantes porque solo se diferencian "k" posiciones, un número finito.

Pero en la clase de equivalencia de la secuencia bbbbbbbbbbbb.... no hay ninguna secuencia con infinitos sombreros negros, ya que si es semejante a bbbbbbbb... entonces solo se diferencia en una cantidad finita de posiciones; es decir, solo tendrán una cantidad finita de sombreros negros. Quizá la confusión venga de que el hecho de que no tenga límite no significa que sea infinito.

Por ejemplo, ¿hay algún número natural que tenga infinitas cifras? No! Y sin embargo la cantidad de cifras que puede tener un número natural no tiene límite.

Resumiendo,,,, no, la clase de equivalencia de bbbbbb... y nnnnnn... no es la misma porque no son semejantes.

P.D. Lee el comentario 156 para ver una segunda parte a este problema, ¡muy interesante!


De: Francesc
2013-06-19 17:21:49

Es muy interesante todo el problema, creo que habéis montado una bonita paradoja.

El #156 te lo responden muy pronto (no debería haber seguido leyendo) pero una vez identificado el patrón -si es identificable- el primero dice blanco/negro según par/impar hasta que realmente secuencia y patrón coinciden. El segundo suponemos que identifica que el patrón empieza en el mismo punto así que sabe cuántos debería haber y cuantos ha contado el anterior... etc.

El 7º vamiso no dice nada, le ha pasado la bola correcta del 8º al 8º, ha tirado la otra bola y se queda con su bola correcta que le ha dado el 6º. Al primero le ha desaparecido una bola, eso sí. Y un número infinito de vamisos van a tener la bola en la mano del mismo color que la bola del suelo lo cual puede levantar sospechas.

Ahora al lío: entiendo el infinito -sí, "entiendo" es el primer error- como "siempre hay alguno más". Así es como lo definimos a partir de los naturales, y demostramos que hay más reales que naturales viendo que si los relacionamos, siempre "nos sobran". El infinito es un concepto matemático que suele traernos bastnates quebraderos de cabeza.
Mi punto bajo otra perspectiva era, ¿puedes decirme un vamiso (n) a partir del cual es seguro que la secuencia coincide con el patrón? No, siempre puede haber otra secuencia en la misma clase de equivalencia que mate al vamiso n. Para todo n € N. Entonces, ¿no pueden morir infinitos vamisos? No, porque si murieran infinitos vamisos, la secuencia no correspondería al patrón. Y ahí es dónde me chirría: ¿existe el patrón? ¿Está bien definido? ¿Es válido el axioma de elección? ;-)

Me ha gustado el ejemplo -muy acertado- de los naturales, tienes razón. De hecho mi cabeza sigue diciendo "no puede ser" pero soy incapaz de encontrar ninguna pega.


De: Gregorio
2013-06-19 17:26:35

Ah! le pasa la bola, físicamente! jajajaja, ¡qué buena esa! En efecto, los Alienígenas Matemáticos empezarían los fusilamientos sumarios! ;)

Y sí, si te chirría el infinito, entonces es que vas por buen camino (parafraseando a Bohr con licencia poética)


De: AntonioE
2013-06-19 17:39:21

Fabuloso.
Puestos a pedir' sería fantástico un artículo sobre el axioma de elección, por qué surge, qué soluciona , ...
No se, pero eso de dar por sentado que podemos escoger inequívocamente un elemento de entre infinitos me parece un poco "trampa"
Me quitaria el sombrero, si no fuese a ser inmediatamente ejecutadoal hacerlo...


De: Francesc
2013-06-19 18:45:42

Uf, me ha quedado larguísimo.

Ahora me pongo del lado de los buenos. Resulta que los alienígenas matemáticos no les dejan reunirse a ellos, sino que lo tiene que resolver un humano que estaba haciendo turismo por allí.
Eso sí, los vamisos le tranquilizan: vas a tener un montón de tecnología que hemos desarrollado para ayudarte.

Así que el humano se encuentra con que:
- El método me gusta, debería clasificar todas las secuencias posibles en cajitas, y de esas cajitas elegir una. Luego les paso el diccionario a los vamisos y listo! Sólo morirán un número finito.
1.- Esta secuencia va aquí? Estaría toda la vida para comprobar si termina igual... le voy a pasar 2 al ordenador vamiso y que me diga si son semejantes
- Eran distintas, así que ya tengo los representantes de dos clases. Cogemos una tercera del saco de las no comprobadas, ahora el ordenador tiene que cotejarla con las otras dos... eventualmente tenemos una tercera clase

2.- Uf, el ordenador cada vez tarda más en sacar la clase siguiente. Menos mal que me han puesto en una burbuja temporal y tengo tiempo infinito. Por otro lado, si tarda más será porque está acabando y casi todas están clasificadas, no? A ver cómo va...
- Barra de windows. 0% completado. Oh oh. Pero si llevamos un montón! Cuántas quedan? Infinitas

3.- Mensaje de los vamisos: no te preocupes, en una clara violación de tus derechos hemos hecho infinitas copias de ti y cada una tiene un ordenador vamiso.
- Genial, esto significa que llevo infinitos 0%. Lo cual es una indeterminación (hasta ahí sí llegan las matemáticas humanas). En un tiempo infinito estaremos procesando NxN secuencias, lo cual es... N. Y el conjunto de secuencias posibles tiene el cardinal de R...

4.- Además, no es por nada, pero ¿como sabéis que no estamos mirando las mismas secuencias?
Vamiso: las hemos pasado por una máquina que las ha separado en infinitos conjuntos
- Y cómo ha elegido los subconjuntos de secuencias?
No sé, lo programó otro vamiso que ya no trabaja para nosotros. Imagínate que hemos dividido la recta real en infinitos trocitos (cada trozo entre dos naturales consecutivos), cada subgrupo se lo hemos dado a una copia tuya.
- Ehm... entonces cada una de mis copias tiene infinitas (no numerables) secuencias que analizar, ¿en qué me ahorra trabajo esto?? ¿No habéis estado haciendo el primo? El problema es equivalente al inicial

5.- Nop. Por mucho que hagáis clones de mis clones de mis clones de mis clones... (NxNxNxN) no vais a llegar a que cada uno mire un conjunto numerable, ¿no tenemos otras opciones?
- Vamiso: Bueno... tenemos un superordenador con infinitos procesadores, vamos a enchufar la máquina de copiar y hará una copia por cada subconjunto de procesadores (partes de N), y cada elemento resultado hará un clon tuyo. Así podemos asignar cada una de las infinitas (no numerables) clases de equivalencia a cada una de tus copias.
-Esas clases de equivalencia que todavía no he clasificado?
-Vamiso: ¿pero qué has estado haciendo?

6.- Quiero saber cuántas clases llevo y cuantas me faltan. Llevo k y me faltan infinitas...le doy a actualizar... llevo k' y me faltan infinitas...
- Espera espera, que me faltan infinitas ya lo sé, pero cómo lo sabes tú?
- Ordenador: considero todas las posibilidades y resto las que hemos hecho ya
- Ya, ¿cómo consideras todas las posibilidades?
- ...pantallazo azul...

6.- En fin, he encontrado infinitas (otra vez, no numerables) clases de equivalencia y, aunque el ordenador dice que no están todas las secuencias en su caja, calcula que ya no le faltan más (como lo calcula supera mis conocimientos matemáticos). De hecho le faltan por clasificar infinitas(no numerables) secuencias, y como el método de clasificar es comparar con alguno de los miembros que ya están... bueno... pues está comparando reales con reales uno a uno... voy a tomarme un café mientras tanto...

7.- Y por fin, axioma de elección. Tengo R (me he cansado de escribir lo de no numerable) cajitas, cada una con N elementos (si? no estoy seguro pero creo que cada clase de equivalencia sería un irracional+ todos los racionales). ¿Con cuál me quedo? El axioma de elección dice que se puede escoger uno, pero no dice cuál ni cómo. De hecho, de la wiki inglesa:
"For example, while the axiom of choice implies that there is a well-ordering of the real numbers, there are models of set theory with the axiom of choice in which no well-ordering of the reals is definable"
Así que... sé que existe una manera de elegir el representante pero... no sé si la puedo encontrar.

Bah, no os preocupéis, los alienígenas no pueden matar a infinitos vamisos a la vez así que me voy a tomar unas vacaciones y cuando solucionéis el problema vuelvo para salvar a los infinitos- K vamisos que queden


De: Alejandro Coria
2013-06-19 20:03:03

Francesc, escribiste dos veces el número 6.... para todo lo demás espero los comentarios de otros más capacitados que yo ;)


De: cavaliery
2013-06-20 15:48:53

Con la estrategia numero 1, del comentario 201, no se salvarían un numero impar de vamisos (vamos, infinitos mueren e infinitos se salvan)??


De: Nelson
2016-02-11 01:03

No soy un entendido del tema, pero lo que indican de la secuencia de números decimales de PI no es completamente cierta. Por ejemplo si la base de PI no fuese decimal sino, hexadecimal, pudiese generar un patrón más complicado de determinar, pero, y esto es mi punto, si cambiamos a una base binaria, como la de los sombreros, sería más probable generar una secuencia. Además lo que intenta decir es que se asume que dentro de los patrones infinitamente repetidos, es probable que algunos no coincidan, por similar situación ocurrida con el sujeto 8. Por lo que estadísticamente, creo sería superior a un 50%. No obstante sigue siendo un número infinito de víctimas.

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