El Tamiz

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Desafíos - Las colinas antarianas (solución)

Hace un par de semanas publicamos el desafío de las colinas antarianas, en el que os proponíamos un problema puramente físico con segunda parte más difícil, que sólo sería revelada si nos mandábais la solución correcta al primer problema. Tras recibir muchas respuestas correctas a la primera pregunta y bastantes incorrectas a la segunda, os dimos una pista (que no hace falta leer si no lo hiciste antes porque hablaremos de ello aquí), ya que incluso los más avezados estábais cometiendo un error muy sutil y me parecía una pena dar por perdido el desafío y explicarlo yo.

Aunque iremos poco a poco, para que lo tengáis claro, soluciones, finalistas y ganador. La solución a la primera pregunta era 48,2°, la solución a la segunda 42,9°. Los finalistas son Vicente López y Vicente Martín y el ganador es Santiago. ¡Vamos con las respuestas!

Antes de nada, hablemos sobre la solución a la primera parte (un clásico en muchos cursos de Física). Se nos preguntaba por el ángulo θ con la vertical en la que el esquiador abandonaría la colina. Obtener la solución (unos 48,19°) requiere hacer unos cuantos cálculos de aceleración y conservación de la energía, pero os dejo con la explicación de Carlos, ya que puede aclarárselo a quienes sepan menos Física porque lo detalla bastante:

Esquiador, explicación Carlos 1

Esquiador, explicación Carlos 2

Esquiador, explicación Carlos 3

La segunda parte, sin embargo, era mucho más difícil. Me atrevería a decir que es deliciosamente difícil, porque la diferencia de planteamiento parece muy pequeña, pero tiene consecuencias importantísimas sobre el problema y pone en primer plano errores comunes y nos hace darnos cuenta de que a veces damos por sentado cosas que no siempre son del mismo modo. Por todo esto, hablemos poco a poco de esta segunda parte –pero, si no llegaste a resolverla aunque fuese mal, te recomiendo que te detengas después de leer la pregunta e intentes luchar con ella, porque la manera de aprender es ver tus errores después de haberlos cometido–.

Algunas de las colinas antarianas son realmente peculiares porque no están sujetas al suelo. Se deslizan sobre el suelo helado sin absolutamente nada de fricción. Por lo tanto, cuando alguien se desliza sobre una de ellas como en la primera pregunta, nota cómo la colina inicialmente inmóvil empieza a moverse hacia atrás bajo sus pies además de su propio movimiento hacia delante.

La segunda pregunta es la misma que la primera: ¿cuándo dejará el esquiador el contacto con la colina? Pero ahora la colina es de las móviles. Para hacer las cosas más fáciles, supondremos que la masa de la colina es exactamente la misma que la del esquiador (por ejemplo, m).

Insisto, ¡no sigas leyendo si no has peleado con la segunda parte o no aprenderás demasiado!

Antes de empezar a desmontar algunos errores comunes en esta solución, un breve comentario: era muy difícil obtener la solución buena, engañosamente difícil dado lo simple del enunciado. De modo que, si has metido la pata, no te desmoralices: aprende del error y sabrás hoy más física que ayer.

Me he divertido mucho, como siempre, leyendo vuestras soluciones, que han sido muchísimas (no las he contado pero creo que llegan casi a cien a la primera pregunta y unas veinte a la segunda). Entiendo que puede resultar frustrante dedicar mucho tiempo a luchar con un problema y que luego esté mal, pero mi objetivo no es que un gran número de vosotros puedan llegar a la solución correcta. Algunos de los problemas con los que más he disfrutado y que mejor recuerdo son los que no pude resolver, y seguro que a vosotros os ha pasado lo mismo: son esos problemas en los que, mientras sigues luchando, se convierten en unas pequeñas y patéticas Termópilas personales.

En fin, dicho esto vamos con la base del planteamiento y algunos errores comunes en esta segunda parte. Una disculpa anticipada: hablaré de los errores más comunes, no de todos. En algunas de vuestras soluciones ni siquiera he sido capaz de encontrar el error –aunque sé que lo hay– y en un caso particular la solución errónea es tan magnífica que la voy a colgar aquí a ver si alguien consigue descubrir dónde está su error.

La movilidad de la colina añade un par de factores extra al problema. Para empezar, hace falta saber cómo se afectan entre sí esquiador y colina, ya que ésta se desplazará como consecuencia del esquiador. Esto significa que a la conservación de la energía de la primera pregunta hay que añadir la conservación de la cantidad de movimiento.

Y aquí ha estado el primero de los errores comunes: en suponer que la cantidad de movimiento del sistema esquiador-colina se conserva. La cantidad de movimiento no se conserva, porque el principio de conservación –del que hablamos aquí como consecuencia del de acción-reacción– requiere que no existan fuerzas exteriores sobre el sistema, y aquí sí hay una: la gravedad. En el caso de la colina hay que añadir además la normal del suelo sobre ella, que cancela la gravitatoria, pero en el caso del esquiador esto no sucede.

Lo que sí es cierto, y era necesario utilizar, es que la cantidad de movimiento horizontal se conserva, ya que no existen fuerzas exteriores horizontales sobre el sistema esquiador-colina. Y esto significa, dado que la masa del esquiador y la colina son iguales, que sus velocidades horizontales respecto al suelo son iguales y de sentidos contrarios. Si has cometido este primer error, seguramente has deducido que las velocidades de esquiador y colina son iguales, y no que sus velocidades horizontales son iguales: ahí el fallo.

El segundo error más común es haber utilizado sin más la condición que Carlos explica en el caso del primer problema: la relación ac = v2/r como límite a partir del cual la fuerza centrípeta no mantiene al esquiador en contacto con la colina. Antes podíamos hacerlo sin problemas, porque la colina estaba quieta, ¡pero ahora no lo está! Esta condición sigue valiendo, por supuesto, pero respecto a la colina.

Este error es común porque la dificultad de la segunda pregunta estriba precisamente en eso: en que hay ecuaciones que usamos sin pensar demasiado en ellas pero que parten de supuestos que ahora no se cumplen, ya que podemos estar mezclando el sistema de referencia del suelo y el de la colina.

Finalmente, el error común más sutil de los tres es el que mencioné en la pista: el ángulo que forma la velocidad del esquiador con la horizontal es igual a θ sólo en el sistema de referencia de la colina. No es posible usar sin más las relaciones vx = vcosθ y vy = vsenθ en el sistema de referencia del suelo, ¡porque el ángulo es diferente, ya que vx es diferente que en el sistema de la colina!

Dicho todo esto, hay varias maneras de resolver el problema. Las dos que me parecen más intuitivas son las siguientes (ambas dan el mismo resultado):

  • Aplicar la condición de la aceleración centrípeta de la primera pregunta pero referida a la velocidad relativa a la colina.

  • Deducir la expresión de la velocidad horizontal del esquiador respecto al suelo en función de θ y encontrar su valor máximo, ya que nunca puede disminuir mientras se desliza.

Yo resolví el problema originalmente usando el segundo método (como ha hecho uno de los finalistas de hoy aunque, como veremos, sin una explicación razonable), pero el ganador ha utilizado el primero. Dado que nadie ha usado el segundo explicándolo, lo haré yo mismo, pero antes vamos con la primera manera de resolverlo que es, seguramente, la más elegante.

El ganador del desafío de hoy, Santiago, ha logrado la solución del siguiente modo (incluyo aclaraciones y notas mías):


En primer lugar, Santiago nos muestra la notación que va a emplear en el resto del problema:

t0: inicio

t1: momento en el que sale volando el esquiador

Vcol: en t1, velocidad colina, sólo tiene componente horizontal

Vesq: en t1, vel. esquiador respecto a sistema referencia exterior, con componentes horiz y vert

V’esq: en t1, vel. esquiador respecto al sistema referencia colina, con componentes horiz y vert

(0) En general: V2 = Vx2 + Vy2

Como puede verse, por ahora todo lo que se define es en el sistema de referencia del suelo. Primera conservación (energía):

Teorema conservación energía al sistema colina+esquiador, Energia[t0] = Energía[t1] (sale volando el esquiador)

E[t0] = mgR

E[t1] = mgRcosθ + 1/2mV2esq + 1/2mV2col

mgR = mgRcosθ + 1/2mV2esq + 1/2mV2col

2mgR(1-cosθ) = mV2esq + mV2col

(1) => 2gR(1-cosθ) = V2esq + V2col

Esta relación (1) aún está completamente en el sistema de referencia del suelo, y aún no ha relacionado las velocidades de colina y esquiador. Creo que bastantes de vosotros habéis llegado a ella y seguro que os resulta familiar.

Segunda conservación (cantidad de movimiento), en la que Santiago tiene cuidado de no incluir py, que no se conserva:

Conservación momento lineal en la horizontal del sistema colina+esquiador (en la horizontal NO se ejerce ninguna fuerza exterior al sistema en su conjunto), en la vertical sí

p[t0] = 0

p[t1] = mVcol + mVxesq

(2) => Vcol = - Vxesq

Es decir, como habéis obtenido varios: la velocidad hacia la derecha del esquiador es la misma que la de la colina hacia la izquierda, ya que ambos tienen la misma masa. Esto nos permite librarnos, en la ecuación de conservación de la energía, de la velocidad de la colina:

Sustituimos (2) en (1) y aplicamos (0)

2gR(1-cosθ) = Vx2 + Vy2 + Vx2

(3) => 2gR(1-cosθ) = 2Vx2 + Vy2

Llegamos por fin al quid de la cuestión. Si quieres entender este problema presta mucha atención al siguiente desarrollo, pues es el que por fin relaciona las velocidades del esquiador en ambos sistemas de referencia. Por si acaso la explicación de Santiago es demasiado rápida, hago una pausa aquí:

En el sistema del suelo el esquiador tiene velocidades Vx y Vy. En el sistema de la colina tiene velocidades V’x y V’y. Dado que la colina no se mueve verticalmente respecto al suelo, las velocidades verticales son iguales: V’y = Vy.

Como se ve en (2), la colina se mueve respecto al suelo con velocidad horizontal -Vx, con lo que en el sistema de la colina el esquiador se mueve a la derecha con velocidad V’x = Vx - (-Vx), es decir, V’x = 2Vx.

Dicho con palabras, en el sistema de la colina el esquiador avanza hacia la derecha al doble de velocidad horizontal que respecto al suelo. También puedes pensarlo al revés: el esquiador se mueve respecto al suelo a la mitad de velocidad que respecto a la colina.

Sistema referencia colina: (V’x = 2Vx ; V’y = Vy ) y la velocidad es tangente en t1:

(3 bis) tgθ = Vy / 2Vx

Aquí supongo que veréis el error quienes habéis hecho tgθ = Vy/Vx. Eso sería cierto si la colina no se moviera, pero como se mueve, la relación real es tgθ = V’y/V’x, de donde se obtiene (3 bis).

A partir de aquí es donde la solución de Santiago y la mía divergen, ya que él utiliza la condición de aceleración centrípeta y yo no. Pongo esta nota aquí para volver a este (3 bis) luego y explicar la solución alternativa. Santiago ahora emplea la ecuación de la pregunta original respecto a la aceleración centrípeta –la que Carlos explicó en la primera pregunta en (4)–, es decir,

V’esq2 = gRcosθ = V’x2 + V’y2 = 4Vx2 + Vy2

Es aquí donde, espero, veáis el error quienes habéis hecho lo mismo pero con V en vez de V’. A continuación Santiago simplemente sustituye absolutamente todo en función del ángulo θ, que es lo que se pedía, para llegar a una ecuación de tercer grado:

(4) => gRcosθ = 4Vx2 + Vy2

(5) cosθ = 2Vx / sqr(gRcosθ)

(6) senθ = Vy / sqr(gRcosθ)

Despejando Vx , Vy de (5) , (6) y sustituyendo en (3) se obtiene la ecuación de tercer grado:

(7) cos3θ - 6cosθ + 4 = 0

x3 - 6x + 4 = 0 ; siendo x = cosθ ; sólo valen las soluciones de x tal que abs(x)<= 1 para que el ángulo sea número real.

Salen tres soluciones:

2 > 1

-1 - sqr(3) < -1

-1 + sqr(3) < 1

Sólo la última es válida (para solución números reales) por lo que:

(8) θ = arccos[-1 + sqr(3)] = 0.749468 rad = 42.9414029 grados

Enhorabuena no sólo por llegar a la solución correcta, sino además por hacerlo de un modo tan elegante (desde luego, más que el mío). Es usted muy merecido ganador del desafío, Don Santiago.

Volvamos ahora a (3 bis) para seguir con la solución alternativa, que no utiliza para nada la aceleración centrípeta. En (3 bis) podemos despejar Vy en función de Vx, para tener todo en función de la velocidad horizontal del esquiador:

(9) Vy = 2Vxtgθ

Pero en (3) teníamos una ecuación, la de conservación de la energía, en la que las variables eran θ, Vx y Vy. Si ponemos Vy de (9) ya sólo quedan como incógnitas Vx y θ:

(10) 2gr(1-cosθ) = 2Vx2 + 4Vx2tg2θ

Si despejamos Vx2 en función de θ obtenemos esta expresión:

(11) Vx2 = gr(1-cosθ)/(1+2tg2θ)

Esta función aumenta según lo hace θ hasta que alcanza un máximo y luego disminuye otra vez. Pero eso es imposible. No existe ninguna fuerza horizontal que pueda disminuir la velocidad Vx del esquiador, luego ese máximo es el último punto en el que la expresión tiene sentido físico: el punto en el que el esquiador deja el contacto con la colina.

El máximo puede verse aproximadamente al dibujar la gráfica:

Gráfica colinas

Puede hallarse derivando la función e igualando a cero (y admitiendo sólo valores de θ entre 0 y π/2, claro), o si eres aún más perezoso, usando el inefable Wolframalpha: enlace al canto. De cualquiera de las dos maneras se obtiene el mismo resultado: θ = 0,75969 radianes, es decir, unos 42,95°.

Sin embargo, insisto en que esta solución es bastante menos elegante que la de Santiago aunque llegue al mismo sitio. Lo que me parece bien curioso –qué bonita es la Física– es que incluso sin utilizar la condición de aceleración centrípeta el resultado sigue siendo el mismo…

Como finalistas creo que es de rigor elegir a dos tocayos mutuos. Vicente Martín llegó al resultado correcto, e incluso a la misma ecuación (11) a la que llego yo arriba, pero su explicación era insuficiente –o yo no supe entenderla–. Sería una coincidencia enorme que llegase a esa ecuación por casualidad, así que estoy bastante seguro de que entendió el problema y pudo resolverlo a través de un camino casi idéntico al mío. Aquí tenéis la solución de Vicente Martín.

El segundo finalista es Vicente López. Este Vicente no obtuvo el resultado correcto –nadie lo hizo más que Santiago y el otro Vicente–, pero cuando leáis su solución creo que estaréis de acuerdo conmigo. La manera de expresarlo, los dibujos y diagramas, la descripción matemática de la trayectoria del esquiador en ambos sistemas de referencia… ha sido un placer leer su explicación. Siete folios, pero no se hacen largos: es usted un maestro.

Vicente nos envió su solución corregida fuera de plazo, y podéis leerla aquí. Aunque es larga y densa, merece la pena ser leída con calma.

Espero que hayáis disfrutado peleando en estas Termópilas y que, si es posible, incluso hayáis aprendido algo nuevo en el proceso. Enhorabuena a los Vicentes y Santiago, a todos los participantes por vuestras soluciones deliciosas y ¡hasta el próximo desafío!

Desafíos, Física

9 comentarios

De: Juan Fernando
2013-05-19 17:00:25

Excelente desafío, me entretuve mucho tratando de resolverlo. Después de la pista ofrecida pude llegar a (3 bis) pero quede atorado ahí :s

Hay un paso de la solución de Santiago que me deja inquieto: él utiliza la condición V’esq² = gRcosθ que resulta de emplear las leyes de Newton respecto a la colina. ¿Esto no está mal porque la colina es un sistema de referencial no inercial? Pensé seguir esa línea de razonamiento pero la descarté.

Saludos


De: Pedro
2013-05-19 17:39:24

Juan, puedes ver que no está mal porque obtiene la misma solución que sin usar esa ecuación, pero también razonando como sigue: en el momento en el que el esquiador abandona la colina ésta no sufre aceleración, pues ya no hay interacción entre ellos (la modificación respecto a esta expresión tiende a cero según el esquiador se acerca a este punto). Pero que te des cuenta de eso dice bastante de ti :)


De: Vicente López
2013-05-19 23:42:06

Buenas tardes:
Acabo de revisar los cálculos de mi resolución del problema y he encontrado el fallo. Más que un "gazapo" como comenta Pedro, se trata de un error, muy sutil, a la hora de calcular el radio de giro de la curva que describe el esquiador en su descenso.
Si se me permite, os enviaré la resolución del problema corregida. El método que elegí, sin duda, tiene una componente matemática más fuerte que los otros, pero lógicamente alcanza el mismo resultado.
Un saludo para todos, y en especial mi agradecimiento para Pedro por proponer tan excelente problema.
VIC.


De: Pedro
2013-05-20 07:08:55

Vicente, sí, por favor, mándalo y lo cuelgo, porque será una delicia leerlo en su forma correcta :)


De: Pedro
2013-05-21 20:54:36

Acabo de subir la versión actualizada de la solución de Vicente López, que ahora sí obtiene el resultado correcto. Merece la pena ser leída con calma :)


De: Luis
2013-05-23 14:11:28

No soy físico, y con este problema me acabó de dar cuenta de lo oxidado que estoy respecto a la física elemental. Pedro ¿Tienes alguna serie de las que haces, que sea ideal para aprender los fundamentos de la física que se ha aplicado a este problema? Teniendo en cuenta que me cuesta recordar incluso los fundamentos más básicos. Un saludo y enhorabuena por la calidad de tus artículos. Te sigo desde hace tiempo y siempre es un gusto leer física de tu puño y letra.


De: Scarbrow
2013-06-03 18:31:10

A lo mejor es por haber actualizado el artículo, pero en la primera parte hablas de un resultado que tenía un error que no fuiste capaz de encontrar. ¿Supongo que era la primera versión de la solución de Vicente?


De: Pedro
2013-06-03 18:56:14

Sí, la solución actualizada ya está bien :)


De: Venger
2014-03-07 10:25

Madre mía, planteé bien las ecuaciones, pero luego en su resolución naufragué.

Me ha encantado la solución de Pedro para la primera pregunta. Es superingeniosa, de "idea feliz", desde luego.

Y es cierto, es bonito ver como con dos caminos tan distintos, se ha llegado a la misma solución. Increíble.

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