El Tamiz

Si no eres parte de la solución eres parte del precipitado

Alienígenas matemáticos - Juego antrópico

Dado que hace bastantes meses desde el último artículo de Alienígenas matemáticos, es posible que algunos nuevos lectores no conozcáis esta absurda serie. Para que os hagáis una idea, ese último artículo se llamaba Los conejitos zweldreordanos, tenía dos partes larguísimas y ponía en grave riesgo la cordura de cualquier insensato que lo leyera. De hecho, fue el último artículo que muchos leyeron, y no me refiero al último aquí, sino a lo último que leyeron. Punto.

De modo que mi recomendación –y dice mucho sobre mi honestidad que te avise aquí, al principio– es muy clara: no leas este artículo. Como todos los de esta serie es pedante, rebuscado, verborreico e inane, además de hacer uso de un humor negro, desagradable, tentaculado y baboso. Ver Sálvame Deluxe ((No. No preguntes lo que es si no lo sabes. Es mejor así.)) es más provechoso para tu psique que seguir leyendo. Para que ni siquiera tengas que ver el texto que viene a continuación, aquí tienes un retrato de Nyarlathotep.

Nyarlathotep

Visión artística de Nyarlathotep, de Dominique Signoret (CC Attribution-Sharealike 3.0 License).

Imagino que ya estamos solos (sí, ya sabía que te quedarías, lo cual dice mucho de mí y poco de ti). El caso es que vas a leer algo parecido a los artículos de esta serie dedicados al principio antrópico: ¿Por qué el otro carril siempre va más rápido?, ¿No es mucha casualidad que haya vida en el Universo? y ¿Cuántos corredores hay en la carrera? Como entonces, y a diferencia de otros artículos de esta misma serie, no pretendo enseñar nada concreto. Se trata simplemente de una paradoja probabilística que me ha hecho disfrutar bastante cuando la leí, de modo que quiero compartirla con vosotros… como siempre, por supuesto, a través del prisma baboso de los alienígenas matemáticos.

Deja que te plantee la siguiente situación hipotética. Insisto, es hipotética: no estoy sugiriendo aquí que tenga, por razones que no puedo divulgar, una certeza absoluta sobre una conquista inevitable del planeta Tierra por una especie de alienígenas casi todopoderosos y que nos consideren a ti y a mí como menos que ratones de laboratorio. No, esto no es más que una invención, y puedes seguir con tu patética vida de manera normal sin el menor temor por el hecho de que va a terminarse muy, muy pronto. Hipotéticamente, claro.


Dicho esto imagina, querido lector, que la Tierra ha sido conquistada por los terroríficos Alienígenas matemáticos, y que has sido capturado por ellos y drogado hasta quedar inconsciente. Cuando despiertas, ¡sorpresa!, estás en una celda metálica inundada por un ligero olor a amoníaco.

Junto a ti se yergue uno de los monstruosos Alienígenas matemáticos, y sus múltiples ojos pulsantes y vidriosos están fijos en ti. Su leve sonrisa sardónica revela hilera tras hilera de puntiagudos dientes amarillentos, a la vez que gotas de baba maloliente y corrosiva sisean al caer sobre el suelo.

“Ah, por fin despiertas, xuglurz ((Si a estas alturas no entiendes esta palabra es que eres, realmente, un auténtico xuglurz. Empieza la serie desde el principio.))… justo a tiempo”, te dice el monstruo con voz húmeda. “Es tu turno para jugar”.

“¿Para jugar?”, preguntas, aún aturdido por las drogas. “¿Jugar a qué?”

La pregunta hace que la sonrisa de la criatura se haga más amplia, dando a su cara un aire casi de felicidad obscena.

“Al juego antrópico”, responde. “Voy a explicarte las reglas, sub-criatura”. Sus ojos parpadean con entusiasmo y sus tentáculos se agitan con delectación: es evidente que todo esto ha sido ensayado antes, o realizado con otros seres humanos antes que tú. Sabes lo suficiente sobre estas criaturas para estar seguro de que, cuando explican cosas a un humano, nunca mienten: hacerlo sería humillante para ellos. Así que puedes estar seguro de que todo lo que te dice es cierto.

“El juego tiene un maestro de ceremonias, que es el Ínclito Mortsobkcin”, continúa. “Y se juega en una serie de turnos. En el primer turno hay un jugador, que es, por supuesto, humano. El jugador entra en la sala de juegos, en la que está el maestro de ceremonias con una bolsa. La bolsa contiene mil bolas. Además, el maestro de ceremonias tiene un pequeño DPT”.

“¿DPT?”, preguntas, confuso, provocando una pequeña risita gorgoteante.

“Dispositivo Portátil de Terminación”, responde, y su piel cambia de color a un tono de placer al ver cómo palideces. “Sí, es un juego en el que perder es… definitivo”.

“¿Y qué debe hacer el humano para no perder?”, dices.

“No hay nada que hacer… no es un juego de habilidad”, contesta el monstruo. “Cuando el humano entra en la habitación, el maestro de ceremonias saca una bola de la bolsa. De las mil bolas que hay, 999 son blancas, y una bola es negra. Si la bola extraída es blanca, el humano puede salir de la habitación y es libre: puede volver a casa y nunca más será molestado por nosotros”.

“Y si sale la bola negra…“, dices, aunque naturalmente sabes la respuesta.

“Si sale la bola negra, algo que sólo sucederá con un 0,1% de probabilidad, el humano… pierde el juego”, responde el monstruo. “Si el humano pierde, el juego se ha terminado. Pero si el humano gana, entonces empieza el segundo turno, una vez que el maestro de ceremonias ha devuelto la bola que sacó a la bolsa, de modo que tenga otra vez mil. En el segundo turno, una vez que el humano ha abandonado la habitación, entran en ella nueve humanos”.

“El Ínclito Mortsobkcin saca entonces una vez más una bola de la bolsa, que será blanca –con mucha probabilidad– o negra –con muy poca probabilidad–. Si la bola es blanca, los nueve humanos ganan y son libres de marcharse… pero si la bola es negra, los nueve humanos pierden, de modo que el maestro de ceremonias utiliza el DPT y el juego termina en el segundo turno.”

“E imagino”, interrumpes con cierta insolencia, “que si sale una bola blanca el juego no termina, sino que empieza el tercer turno”.

“Efectivamente”, responde la criatura sepiácea.

“¿Quiere eso decir que el juego no termina hasta que los humanos pierden?”, preguntas, aunque una vez más la respuesta es obvia (nunca está de más reforzar los estereotipos sobre los humanos).

“¡Desde luego!”, exclama el enorme ser, casi saboreando tu estupidez. “Al Ínclito Morstobkcin le encanta utilizar el DTP… si no terminase usándolo tarde o temprano, su furia sería enorme. Siempre habrá un turno en el que, antes o después, saque la bola negra y los humanos pierdan. Pero recuerda, xuglurz: no todos los humanos que juegan pierden. Los que participaron en turnos anteriores y ganaron porque salió la bola blanca han salido libres. Sólo el último turno pierde el juego… pero siempre hay, tarde o temprano, un último turno, de modo que el maestro de ceremonias siempre acaba usando el DTP”.

El silencio invade la pequeña celda, sólo interrumpido por el goteo y siseo regular de las babas del monstruo sobre el suelo y por los múltiples gorgoteos, silbidos y ruidos más siniestros aún que emite la respiración de la criatura –o tal vez su digestión, o algún otro proceso biológico desagradable y ajeno a la compresión humana–. Finalmente, el monstruo habla de nuevo.

“Seguro que tú, pequeño xuglurz, que pareces más inteligente que la media, puedes decirme cuántos humanos participan en el tercer turno, tras 1 en el primero y 9 en el segundo….”, te dice casi con dulzura.

“90”, respondes, y sus tentáculos sufren un leve temblor de éxtasis, “vuestro absurdo sentido de la elegancia matemática lo hace evidente. El número total de humanos que ha participado en el juego es así, en cada turno, diez veces más que en el anterior turno. 1 humano, luego 1+9 = 10 humanos, luego 1+9+90 = 100 humanos. En el cuarto turno, si es que lo hay, participarán 900 humanos, para que el total sea 1+9+90+900 = 1000 humanos.”

“Sí, sí…“, afirma el ser mientras algunos de sus ojos se abren y otros se cierran con excitación. “¿No es elegante? Eres perceptivo para ser un primate. Bien, ¿estás listo para jugar? ¡Es tu turno! No deberías estar demasiado preocupado… al fin y al cabo, es casi seguro que sobrevivirás.”

Al pensarlo un momento, te das cuenta de que tiene razón: cuando salgas a la habitación, independientemente del turno en el que te haya tocado jugar –eso lo sabrás únicamente cuando llegues allí y veas cuántos humanos hay contigo–, el Ínclito Morstobkcin sacará una bola. Es prácticamente seguro que la bola será blanca y podrás irte a casa, con un 99,9% de probabilidad. Sólo hay un 0,1% (una bola negra entre mil) de que seas víctima del DTP, lo que quiera que haga.

“Ah, por cierto…“, continúa el Alienígena matemático. “Ahora mismo voy a llamar a tu madre, xuglurz… tenemos su teléfono, por supuesto. Voy a contarle las reglas del juego, y a decirle que eres uno de los participantes. Hacemos exactamente lo mismo con todas las madres: es muy divertido. Puedes ir saliendo a la habitación mientras hablo con ella.”

Y una puerta deslizante se abre en una pared, revelando una habitación: la sala del juego. Mientras sales por la puerta, oyes tras de ti la voz gorgoteante del monstruo explicando a tu madre lo mismo que te ha explicado a ti. ¡Tu pobre madre, consciente de que es posible que no sobrevivas al juego! Tu pobre madre, que es tan inteligente como tú y es capaz de llegar a las mismas conclusiones que tú…

Sin embargo, tu madre no debería estar demasiado preocupada… al fin y al cabo sólo hay un 0,1% de probabilidad de que no sobrevivas. No, tu madre se preocupará, pero no excesivamente.

Pero, poco a poco, otra idea empieza a rondarte la cabeza. Imaginemos que el juego se terminase en el turno 4 porque ahí sea donde sale la bola negra. Habrían participado 1 humano (vivo), 9 humanos (vivos), 90 humanos (vivos) y 900 humanos (muertos). Los Alienígenas habrían llamado, por tanto, a 1000 madres humanas. Tal vez esas madres, razonando como has hecho tú, habrían llegado a la conclusión de que no deberían preocuparse demasiado.

Y de esas 1000 madres, 900 habrían perdido a sus hijos. El 90% de ellas… luego, si como madre recibes la llamada de teléfono, ¡sí que deberías preocuparte, porque el 90% de quienes reciben esa llamada perderán a su hijo!

Todo está producido, naturalmente, por el hecho de que en cada turno participan diez veces más humanos que en el anterior… pero la probabilidad de que salga la bola negra en cada uno es tan sólo del 0,1%, luego ¡no debería haber por qué preocuparse!


Se trata, como puedes ver, de una paradoja probabilística (recuerda que una paradoja no tiene por qué ser falsa, existen paradojas verídicas que simplemente rechinan al principio). Por una parte resulta evidente una cosa, y por otra resulta evidente la contraria. ¿Debería estar preocupada tu madre? ¿Deberías estarlo tú?

Por lo que parece, la primera versión de esta paradoja se publicó en 1999 en Synthese, An International Journal for Epistemology, Methodology and Philosophy of Science, en un artículo titulado “The Shooting Room Paradox and Conditionalizing on Measurably Challenged Sets”. Naturalmente, la versión de los autores del artículo era mucho menos pedante, más concisa y más cuerda que la que acabas de leer. Puedes leer una versión abreviada también aquí, que es donde yo conocí la paradoja.

No es, por cierto, una tontería, aunque es posible que al principio te lo parezca: la cosa es bastante sutil. Si el 90% de las madres que reciben la llamada pierden a sus hijos y tu madre, por tanto, se preocupa, mientras que al mismo tiempo tú, que sabes que al salir a la habitación tienes un 99,9% de probabilidad de salir con vida, no te preocupas, es que tu madre y tú sacáis conclusiones muy distintas de la situación, ergo no tenéis la misma información. Pero ¿qué información tiene uno que no tenga el otro entonces?

Se trata, además, de algo relacionado con el principio antrópico y, especialmente, con la paradoja del día del juicio final que han aparecido aquí antes. Estoy convencido de que vuestros comentarios serán mucho más interesantes que el propio artículo, y el objetivo era exactamente ése: hacer pensar, azuzar una discusión inteligente y cuestionar ideas previas sobre las interpretaciones frecuentista y bayesiana de la probabilidad.

De manera que lo dejo en vuestras manos, ya que esto no es un desafío y no hay una segunda parte con la “respuesta” –ni siquiera sé si la hay–… las únicas respuestas que encontraréis aquí serán las vuestras.

¿Qué sabe tu madre que no sabes tú, o viceversa? ¿Qué información adicional falta en uno u otro caso? ¿Cómo explicas la divergencia de probabilidades, 90% o 0,1%?

Pero, antes de dejaros abierto el foro de discusión, ¡casi me olvido de terminar la historia!


Tan abstraído estás en tus pensamientos sobre la probabilidad que predice tu madre y la que predices tú que ni siquiera te fijas en cuántos humanos salen contigo a la habitación por otras puertas.

No ves tampoco al Ínclito Morstobkcin presidiendo el evento, su piel mucosa recorrida por oleadas de colores arcoirisados, sus glándulas emitiendo un olor almizclado y alcalino.

No ves su tentáculo –tembloroso por el placer mórbido– introducirse en la bolsa de bolas.

Sí ves, al salir por fin de tu trance intelectual, el tentáculo emergiendo de la bolsa con una bola agarrada: una bola negra.

Ves al Ínclito Morstobkcin sacudirse gelatinosamente al ver la bola negra, y alargar otro tentáculo tembloroso hasta el DTP.

Y ya no ves nada más.

Alienígenas matemáticos, Matemáticas

152 comentarios

De: Hernan Eche
2013-01-23 19:43:21

Entendí mal?

La probabilidad depende de cuantos entraron, se requiere que salga muchas veces la blanca para sobrevivir.

ProbabilidadSobrevivir= (0.999)^n

n= numero de turnos.

Conforme aumenta n, la probabilidad de sobrevivir tiende a cero.

No entiendo por qué la persona no se preocupa, si no conoce n, debe preocuparse!


De: Pedro
2013-01-23 19:49:09

Hernan, una persona sólo juega en un turno. En ese turno se saca una bola de 1000: si la bola es negra, la persona muere. Si es blanca, la persona se va a su casa y nunca vuelve a jugar.


De: Hernan Eche
2013-01-23 20:04:07

El turno sólo puede existir si los anteriores bolas fueron blancas, vos dijiste, el juego termina con la bola negra.

Por lo tanto es obligatorio que las anteriores sean blancas, eso es entonces una probabilidad condicional.

Al entrar uno sabe que las anteriores fueron blancas.

Entonces puede hacerse más simple la pregunta, para encontrar la paradoja.

¿Qué probabilidad hay que al tirar una moneda salga 100 veces "cara" seguidas?

Alguien calcula P100=(0.5)^100

Y si uno entra a esa (improbable) habitación justo Antes de la tirada 100 y le preguntan,

¿ Qué probabilidad hay que salga "cara", vamos por la tirada 100, y vienen saliendo todas iguales, aquél señor calculó P100 y va contando desde la primera ?

Uno puede tener en cuenta todo el juego y responder P=(0.5)^100 porque Sabe que las anteriores salieron "cara", y eso es una situación improbable, o puede desechar esa información y responder P=0.5 , considero que si uno sabe la información no debería ignorarla. Creo que esa es en esencia la pregunta. En el caso del juego de extraterrestres uno No sabe qué turno le toca, por lo tanto, puede preocuparse o no, depende de lo pesimista que sea, pero definitivamente no puede suponer que la probabilidad de morir Pmorir=0.001, eso asume que es el primer turno. En realidad creo que lo más sincero que puede saber es Pmorir>0.001.


De: xx32
2013-01-23 20:07:05

alguien tiene que perder, siempre alguien tendra que perder, y a la hora del DTP, pierde el 90% de los humanos, como si la posibilidad de ganar fuese irrelevante si perdiste.
se puede considerar a cada grupo de personas como un grupo, cada grupo tiene el 0,1% de probabilidades de DTP.
es mas probable que si se selecciona a alguien estará en el grupo mas grande despues de que un grupo perdiera.
un juego similar sería usar un humano en cada ronda, y cuando salga una bola negra, aplicar DTP a un grupo de gente 9 veces mayor.
el punto es, tu probabilidad de perder es 0,1%, pero cuando pierdas, siempre será en el grupo que tenia mas gente, son las reglas.


De: kike
2013-01-23 20:12:25

El juego tiene sentido con una población terrícola infinita, puesto que estamos en una serie geométrica. A la larga saldrá la bola negra, y por tanto, el 90% de las madres perderán a sus hijos...

... SALVO que tras 11 bolas extraídas la humanidad presente en la sala asciende a 9.000.000 millones (más que toda la población actual), y la probabilidad de que haya salido la bola negra sólo es del 1,1% :)


De: Hernan Eche
2013-01-23 20:15:37

Hay dos problemas mezclados, el primero ya lo dije es desconocer el turno, y creer que desconociendo el turno puede suponerse que es el primero, después la probabilidad calculada de personas no importa a la probabilidad de morir de la persona que entra, importa al numero de madres afectadas, uno sólo puede morir una vez.


De: kike
2013-01-23 20:21:36

Perdón, en mi comentario quería decir que, tras 11 turnos, la sala debería reunir 9.000 millones de humanos (más que toda la población real de terricolas), y no 9 billones. Con una probabilidad acumulada del 1,1% de que haya salido la bola negra.


De: Jesús
2013-01-23 20:45:19

Curiosa paradoja, sí señor... Pero yo lo veo de la siguiente manera (espero saber explicarme):
- En todos los grupos hay la misma probabilidad de sacar la bola negra. No concibo un contador de veces fabricado de "éter luminífero" (xD) en el que cuando esté llegando a 1000 la probabilidad de sacar la bola negra sea cada vez mayor y mayor... Que alguien me corrija, pero... ¿No sería probable que la bola negra no saliera nunca? Y cuando digo nunca, es nunca... Sé que la probabilidad sería infinitamente pequeña, pero ahí estaría, ¿no?


  • Si la bola negra sale en el primer turno, ¿qué pasa? xD El 100% de las madres pierden a sus hijos...


  • Por último, que me perdonen las madres, si consideramos a cada grupo como una unidad y metemos a sus madres en un saco, la paradoja deja de serlo, a mi modo de ver: imaginemos que la bola negra sale en el turno 10, por tanto, el porcentaje de sacos de madres que han perdido a sus hijos es del 10%, y sería inferior si hubieran pasado más turnos. El hecho de que si vaciamos todos los sacos de madres en un mismo punto y el número de madres que han perdido a sus hijos respecto del total sea del 90% es, cómo decirlo, un daño colateral, y no deja de ser curioso...


Saludos!!


De: Jesús
2013-01-23 20:48:36

kike, entonces, la probabilidad acumulada después de 1000 turnos es del 100%?


De: Juan Carlos
2013-01-23 21:43:37

uff.... los alienígenas y sus "juegos".

Para que siempre haya un momento que salga la bola negra, se puede hacer una variante al juego, ya no colocando de regresola bola blanca una vez que haya salido. Así se limita a máximo 999 veces, obviando el hecho que el número de humanos es finitos.

Saludos


De: kike
2013-01-23 22:00:43

Ya empezamos con mis habituales problemas de combinatoria... Jesús, ¿cual sería la probabilidad de sacar una bola negra en 11 turnos?


De: Igna
2013-01-23 22:43:58

El problema es que el protagonista de la historia está enfocando la situación de forma aislada. Su grupo tiene un 0,1% de probabilidades de morir y eso es cierto (y solo vagamente preocupante) mientras que su madre está enfocando el problema como parte del conjunto de todas las madres de todos los grupos... creo que es lo mismo que ha dicho Jesús, aunque él lo ha explicado algo más claro.

¿Qué es más correcto? Ni idea. Las dos opciones son matemáticamente lógicas, pero yo creo que en mi optimismo (probablemente fruto de mi escasa inteligencia de xuglurz), lo enfocaría como el protagonista.

Por otro lado... ¿Es ético querer ganar a ese juego? Los Alienígenas Matemáticos son unos cabrones pero nosotros no nos quedamos cortos si queremos ganar a sabiendas de que eso significa que, como mínimo y en el mejor de los casos, van a palmar diez veces más personas (o cien, o mil, según cuántos turnos pasen desde que ganamos).
A lo mejor la siguiente en participar es nuestra madre y podemos enfocar el problema desde el otro lado... (y que conste que yo soy uno de esos cabronazos que querría ver la bola blanca, aunque me pese... un poco)


De: crp0x90
2013-01-23 23:44:01

Hernan, diría que estás siendo víctima de la Falacia del Jugador. http://es.wikipedia.org/wiki/Falacia_del_jugador
Los resultados anteriores no afectan al actual, dado que la bola que se saca se devuelve cada vez a la bolsa.

Saludos,
Crp


De: octavio
2013-01-24 01:18:27

Las probablilidades de que salga la bola negra son pequeñas,pero las probabilidades de encontrarse en el último turno son enormes,y esto es lo que importa.Sin embargo lo mas probable es que todos los humanos hayan jugado antes de que salga la bola negra,por no hablar de la factura del teléfono ,que hara que a los alienigenas se les quiten las ganas de jugar.


De: Alienígenas matemáticos
2013-01-24 01:39:55

[...] "CRITEO-300x250", 300, 250); 1 meneos   Alienígenas matemáticos eltamiz.com/2013/01/23/alienigenas-matematicos-juego-antr...  por buaaabogado hace [...]


De: rene
2013-01-24 04:08:02

Hola
La paradoja existe porque en la presentación se expande el "Universo" (número de jugadores) en cada iteración.
La formulación del problema comienza por responder ¿Quienes son los jugadores?
Los que juegan son TODOS los humanos que están esperando su turno, no solo los que entran a la habitación.
Tenemos, una vez el juego termina:
Grupo 1) Los jugadores que entraron a la habitación
1.1) y salieron libres
1.2) y murieron
Grupo 2) Los jugadores que esperaban su turno pero el juego terminó.

No se puede descontar el grupo 2 y considerar jugadores sólo al grupo 1 porque si el primer jugador saca la bola negra, morirá, y es absurdo decir que "murió el 100% y todas las madres deberían preocuparse".

El único modo de garantizar que algún humano morirá es disponiendo de un conjunto infinito de humanos.
Si el juego se ejecuta solo una vez, la probabilidad de que termine al cabo de una cantidad finita de pasos es 1. En este caso muere efectivamente el 90% del grupo 1 (los que entran a la habitación). Pero ellos representan el 0% del total de jugadores. Así que no, esas infinitas madres no tiene individualmente motivos para preocuparse, la probabilidad de que muera su hijo es 0.

Si el juego exige que TODOS los humanos participen (Esto es, cuando ejecutan el primer grupo se continua con el siguiente o se comienza otra vez con un jugador tomado de entre ellos) en ese caso morirá el 90% de esos infinitos humanos y sus madres deberían preocuparse y ellos también.

Si el número inicial de jugadores es finito entonces el único modo de garantizar que salga la bola negra es no dejandole libre sino haciendo que vuelva a entrar una y otra vez en la habitación.
Saludos


De: Kjiel
2013-01-24 05:11:19

Creo que simplemente existe un 0,1% de posibilidad de que cada grupo de personas que juegan, mueran; quedándonos con un 90% de bajas siempre que ese 0,1% se haga realidad (excepto si te toca en la primera jugada).


De: Santiago
2013-01-24 07:19:24

Muere el 90% de los participantes, creo que esta claro. La probabilidad de sacar la bola no tiene importancia, porque un grupo siempre va a morir... y lo más probable es que te encuentres en ese grupo, ya que es más probable que te halles en el grupo del 90% que el del 10%.

Creo que el problema es preocuparse por la probabilidad de sacar la bola, esa probabilidad solo tendría importancia si hubiera alguna forma de que el 90% de los participantes no se muriera.


De: Felipe
2013-01-24 10:17:34

Tal como yo lo veo, el punto de vista de las madres es el correcto. El 90% de las personas que tienen una charla con el alienígena muere, así que si estás teniendo una charla con el alienígena tu probabilidad de morir es del 90%.
El problema es como encajamos entonces que la probabilidad de sacar bola negra sea del 0,1%. Bueno, tal como yo lo veo, la probabilidad de sacar bola negra no es del 0,1% en este caso.
¿Qué significa que la probabilidad de sacar bola negra sea del 0,1%? Significa que, si vemos a un tipo sacar 100 000 veces una bola del saco, esperamos que 100 de ellas sean negras y el resto blancas. Pero ese no es el caso. Si vemos a Mortsobkcin 100 000 veces sacar bola del saco, no podrá ser negra más de una. A mí esto, al pensarlo, no me quedaba nada claro, pero a ver otra manera:
Supongamos que un tipo reparte 100 papeletas de las que una tiene premio. Si tienes una papeleta en la mano, tienes un 1% de probabilidad de que te haya tocado el premio.
Pero supongamos que le tipo reparte papeletas solo hasta que entrega la que tiene premio, porque sabe cuál es, y se detiene. Ya no sigue repartiendo. Entonces, si tienes una papeleta en la mano, tu probabilidad de tener premio (antes de ver si el tipo sigue repartiendo o no) es superior al 1%, porque esperamos que se repartan menos de 100 papeletas.
Más que una selección del observador, lo veo como una "selección de las reglas".
No se cómo lo hacen, pero las madres siempre tienen razón.


De: Kako
2013-01-24 11:23:37

¿Qué sabe tu madre que no sabes tú, o viceversa?
Creo que la unica diferencia entre la información que tienes tú y no la tiene tu madre es que tú sabes en qué turno estás , contando el número de gente que tienes contigo en el momento de sacar la bola.

¿Qué información adicional falta en uno u otro caso?
Para saber la probabilidad de que la palmes, tenemos dos probabilidades excluyentes, por un lado la probabilidad de sacar una bola negra es clara (0.1). por otro la probabilidad de que te encuentres entre la gente que se la juega en un turno dado (turno n) depende de la población total (población N), pero la población total la desconocemos.

¿Cómo explicas la divergencia de probabilidades, 90% o 0,1%?

La probabilidad total sería en producto de ambas.

P = P(Bola negra)·P(Estar en el grupo)=0.1·[(9·10^(n-2))/(N-10^(n-2))]

donde he supuesto que para el turno n=1, P(estar en el grupo) es practicamente cero.

Por tanto, para una población grande la probabilidad de palmarla en los primeros turnos es baja y sube a medida que n aumenta.

Por otro lado ¿que pasa si no sale ninguna bola negra antes de que se acabe la población que pasa por la prueba?¿existe por tanto una manera de que se salve todo el mundo?


De: Argus
2013-01-24 11:25:48

Sí, Felipe, es verdad que las madres siempre tienen razón, pero también es verdad que se preocupan más de la cuenta :-D

Si una madre recibe la llamada, la probabilidad de que muera su hijo es de 1 entre 1000. Y punto. La mía seguiría haciendo la cena como si tal cosa. Por situaciones más arriesgadas hemos pasado todos, conscientemente o no, pero claro, de los que tuvieron mala suerte no hay aquí ninguno comentando.

Estoy con rene, que a priori, el número de participantes es infinito. Sin embargo con este planteamiento, la probabilidad de morir es 0, cosa que tampoco veo clara.

Si elegimos un número finito de participantes, que si se salvan no repiten el juego, entonces dejamos una posibilidad de que no muera nadie. No he hecho todavía la demostración rigurosa y os animo a calcularla, pero diría que si este juego se repitiese con diferentes grupos del mismo número finito de participantes, tendría de media un 0,1% de muertos; exactamente como la probabilidad de sacar la bola negra.


De: Antonio E.
2013-01-24 12:25:47

La probabilidad de que se saque la bola negra en 11 turnos o menos es de 1,09% -> 1 - (0.999^11) = 0.0109451647

Me han gustado las acometidas de rene y de Santiago (que además da la razón a las madres, que suelen tenerla :D).

El dilema de la ética del juego, planteado por Igna, me ha recordado el chiste aquel de las canoas hechas con piel. :D

Personalmente, pienso, despues de que rene me haya encendido la chispa, que la paradoja no viene del principio antrópico sino de jugar con el infinito.

En el artículo del teorema de los monos escritores en Wikipedia he encontrado una referencia a la ley Cero-Uno de Kolmogórov que dice que dada una serie infinita de sucesos independientes, un suceso relacionado con la serie debe tener una probabilidad de 0 o 1. del artículo en inglés sobre esta ley probabilística: "In many situations, it can be easy to apply Kolmogorov's zero–one law to show that some event has probability 0 or 1, but surprisingly hard to determine which of these two extreme values is the correct one".
Creo que es lo que pasa aquí cuando intuitivamente pensamos que en algún momento tiene que salir la bola negra, aunque ¿pudiera ser que no saliera nunca?

PD: Creo que haré caso a mi madre cuando me decía aquello de "¡niño, no juegues con el infinito que te va a estallar la cabeza!"


De: Carlo
2013-01-24 12:36:54

Un punto interesante es: ¿cuantos humanos mueren de media jugando este juego? Primero tenemos que ver cuál es la probabilidad de que el juego termine en la ronda n. La probabilidad de que termine en la ronda 1 es 0.1% (0.001). La de que termine en la ronda 2 implica que la primera no terminó (0.999) y la segunda sí (0.001), por tanto la probabilidad de terminar en la ronda 2 es 0.000999. La probabilidad de terminar en la tercera implica no terminar en la primera ni en la segunda (1-0.001-0.000999=0.998001) y si terminar en la tercera (0.001), es decir, 0.00998001. ¿Hay alguna forma de calcular esto? Pues si, si te fijas en lugar de en la probabilidad de terminar, en la de no terminar, que es muy simple: la probabilidad de no terminar en la ronda n es 0.999^n, y la de terminar por tanto en la ronda n es (para n mayor que 1) 0.999^(n-1)·.001. Ahora bien, para conocer el número más probable de humanos que mueren, tenemos que multiplicar la probabilidad de que mueran por el número de humanos que mueren. ¿Cuantos humanos juegan en cada ronda? Pues salvo en la primera, juegan 10^(n-1)-1 (que da la serie 0,9,99,999...). Entonces la media de humanos que mueren es 0.001·1 (la probabilidad de que muera el primero, mas el número de humanos que juegan en esa ronda) mas el sumatorio de 2 a infinito de 0.999^(n-1)·.001·(10^(n-1)-1). Y si calculas esta serie... pues da un tocho horrible, pero que mi querido derive aproxima a infinito. No sé si me confundí en algún sitio o que si jugaran esto en todos los planetas del universo que han conquistado habría una hecatombe universal, puesto que casi todos morirían. Qué raro, siendo nuestros amados alienígenas matemáticos.


De: Carlo
2013-01-24 12:39:59

Ah, claro: antes de saber en qué ronda juegas, tu probabilidad en realidad de sobrevivir es pequeña: lo más probable es que estés en el grupo mayor, que es el que pierde ;)


De: komoloco
2013-01-24 14:30:51

Oh. La paradoja es muy divertida. Algunos habláis de probabilidad condicional pero nada de eso, creo yo. La probabilidad de sacar una bola negra siempre es, independientemente de los resultados anteriores, una entre mil y el jugador morirá siguiendo esta probabilidad.

El problema viene cuando hacemos el análisis de números grandes. Entonces la probabilidad cambia. Pero esto es lo mismo que si analizamos la lotería. Si compramos un número, la probabilidad de que nos toque es de una entre cien mil. Si compramos 90.000 números, la probabilidad de que nos toque es del 90%.

Esto parece una obviedad, de hecho no sólo lo parece, es que lo es. Pero es, creo yo, el análisis que una madre hace y que, sin embargo, no hace el jugador individual.

Excelente juego. Gracias por traerlo aquí.


De: josejuan
2013-01-24 14:53:18

No hay paradoja, como ya han apuntado anteriormente, sencillamente se están comparando experimentos diferentes con poblaciones y probabilidades diferentes, no tiene nada que ver una cosa con la otra:

A. Si somos un humano de entre TODA la población, la probabilidad de morir al participar en tan entretenido juego, es del 90% (salvando particularidades y cálculos concretos, porque no es esa la probabilidad real).

B. Si somos un humano que está en la sala, seamos uno o miles de millones, la probabilidad de morir es del 0,1%.

Veámoslo de éste otro modo, lancemos a priori todos los dados de mil caras hasta que salga el 1; supongamos que ha habido que lanzarlo N veces. En tal caso tendremos grupos enumerados de 1 personas, 9 personas, 90 personas, ... y 0,9eN personas. Entonces, si la población universal son M humanos, la probabilidad de ser elegido aleatoriamente en el fatídico grupo de las 0,9eN personas es de 0,9eN/M.

Por tanto, la relación que REALMENTE nos aporta una información global (y objetiva) sobre las probabilidades de vivir o morir es el valor 0,9eN/M, que será mucho o poco, dependiendo del valor de M lógicamente.


De: kakoplay
2013-01-24 14:54:50

El tema de que "el 90% de las madres perderán a sus hijos", tiene sentido en es aspecto en que el 90% de las madres cuyos hijos han entrado en la sala de juegos los perderán, pero no el 90% de las madres de la población. Digamos que tenemos una población 1000 habitantes y el juego termina en la segunda ronda, entonces realmente mueren 9 hijos de un total de 1000. luego el 90% es sobre los que entran en la sala no sobre el total de la población.


De: Argus
2013-01-24 18:13:02

Carlo, ¿cuántos humanos juegan en cada ronda? Hasta la ronda n han jugado en total 10^(n-1) humanos (1, 10, 100, etc). O sea, que el grupo n está formado por todos los que han jugado hasta la ronda n menos todos los que han jugado hasta la ronda (n-1), es decir: 10^(n-1) - 10^(n-2). Ten en cuenta que la sucesión es 1, 9, 90, 900... y no 1, 9, 99, 999, etc.

Yo también creía que la paradoja estaba más relacionada con el infinito que con el principio antrópico, pero acabo de tener encendido de bombilla con el principio antrópico gracias al siguiente ejemplo: El mismo problema, con una población total de 1000 habitantes pero jugando a cara o cruz (viven o mueren). ¿Qué probabilidades hay de morir? ¿Un 50% (cara o cruz) o un 90% (tal como lo verían las madres)? Veamos cuántos mueren:

La mitad de las veces (cruz) morirá 1 en el primer turno. Un cuarto de las veces (cara-cruz) morirán 9. Un octavo de las veces (cara-cara-cruz) morirán 90 y un 16avo de las veces (cara-cara-cara-cruz) morirán 900. El 16avo de las veces restantes no morirá nadie (4 caras).

Entonces, si jugáramos 16 partidas, tendríamos en promedio que en 8 de ellas (la mitad) muere 1 humano. En 4 de ellas (la cuarta parte) mueren 9. En 2 de ellas mueren 90. En 1 mueren 900, y en otra de ellas no muere nadie. Esto da una esperanza de 70,25 muertos por partida (esperanza matemática, se entiende :-D).

Como la población total es de 1000 individuos, este juego supondría la muerte, en promedio, del 7% más o menos. Así que ni el 50% ni el 90%. ¿Entonces...?

La paradoja está en que los valores de 50% y 90% se calculan, no sobre el total de 1000, sino sobre el número de individuos que HAN PARTICIPADO EN EL JUEGO y suponiendo que el juego ha terminado con muertos. En este caso ambas proposiciones son ciertas: De los que han jugado, el 90% ha muerto. De los que han jugado, todos tenían una probabilidad del 50% de sobrevivir.


De: Miguel
2013-01-24 19:32:30

¿si el grupo donde estoy es muy numeroso, porqué estoy yo presenciando la insaculación?


De: Antonio E.
2013-01-24 20:49:56

@Miguel tú debes de ser opositor, porque esa palabra no la dice en serio otra persona :D

Argus, me temo que la población infinita es necesaria para la paradoja. Un indicio es que el artículo resumido que enlaza Pedro (http://www.futilitycloset.com/2013/01/11/the-shooting-room/) presenta la paradoja utilizando una tirada de dados (2D6) donde la ejecución se produce con un seis doble(un trintaiseisavo de probabilidad cada tirada, en lugar de una milésima).
Además en tu ejemplo de población finita no se cumple siempre lo de que el 90 % de las madres que reciben la llamada tendrán un hijo muerto, ya que si salen cuatro caras, habrán llamado a 1000 madres y ninguna tendrá un hijo muerto y eso no es así: Si los aliens han llamado a 1000 madres, como mínimo tienen que morir 900 hijos. Si han llamado a 100.000, morirán al menos 90.000. Si llaman a n, morirán 0.9n como mínimo. solo en el infinito la desigualdad [muertos >= 0.9n] se corrige, pero a cambio, deja de tener sentido.¿ No os recuerda a la paradoja de la lámpara de Thomson?

PD: en definitiva, si no hay un número infinito de hijos no puede asegurarse que suceda lo que sucede para que aparezca la paradoja, de la misma manera que no puedes asegurar que en alguna tirada vaya a salir una cruz si el número de tiradas es finito. Por muy baja que sea la posibilidad de sacar 1 000 000 de caras seguidas, puede calcularse y es distinta de cero. Vamos, que si no hay infinito no hay galleta. :D


De: supernene
2013-01-24 20:52:50

para poder hacer ese juego, puesto que no sabes en que turno saldrá la bola negra, necesitarías una cantidad infinita de humanos, por lo que la probabilidad de que un humano en particular muera es infinitesimal.
podrá morir el 90% de quienes entraron en la sala de juegos, pero sobrevivirán los infinitos humanos que no llegaron a entrar.
es decir, la probabilidad de morir, antes de entrar en la sala es de un infinitesimo, y una vez se ha entrado en la sala es de 0.1%


De: xx32
2013-01-25 06:31:18

todos los grupos tienen la misma probabilidad de ser "terminados" y convertirse en el grupo mayor, que es 0,1 %. La cuestion es, que despues del experimento, el 90% de las personas siempre estaran en el grupo mayor, por regla.

Antes del experimento tu probabilidad de morir es de un 0,1%. Despues del experimento, tu probabilidad de estar muerto es de un 90 %. Creo que el detalle se encuentra en que si le dicen a tu madre que SE ESTÁ REALIZANDO el experimento, debería aliviarse porque no ha terminado. Ahora, si llaman a tu mamá DESPUES ...


De: Argus
2013-01-25 11:16:06

Antonio E., estoy de acuerdo, la población infinita es necesaria para la paradoja. Los 1000 sujetos es una forma de empezar. Luego si vamos ampliando el número, vemos que la probabilidad de morir va disminuyendo y tiende a 0 cuando la población tiende a infinito.

Elijamos el número de individuos que elijamos, no hay paradoja. Incluso con infinitos individuos no hay paradoja; la probabilidad de morir es 0. La paradoja se produce en el momento que nos quedamos únicamente con el grupo de personas que han pasado por el experimento y queremos aplicar las reglas de la probabilidad en ese grupo. Entonces es cuando empieza a fallar todo y sigo sin entender cómo funciona.

Me sigue fascinando la paradoja. Como dice xx32, parece diferente si llaman a tu madre antes o después del experimento.


De: Rantamplan
2013-01-25 15:17:28

No he leído los comentarios, pero la verdad es que ni siquiera me ha saltado la "chispa" de la paradoja, me parece lógico.

Asumamos por un momento que no hay miles de madres, sino una sola madre que ha tenido todos los hijos (un poco fogosa, supongo).

el caso es que viéndolo así se ve fácil que el problema es que tú estás considerando las posibilidades de ganar una partida del juego mientras que ella está contemplando el coste de la partida.

es lo mismo que jugar a la lotería, supongamos que la lotería tiene una probabilidad de 1/1000 de tocarte y si te toca te llevas el 90% de lo recolectado por todos los jugadores mientras que el 10% restante se van en temas administrativos organizativos etc:

¿cual es la probabilidad de que te toque la lotería? 1/1000.

¿cual es la ganancia si te toca? el 90% del total.

En el caso de los alienígenas la madre es "el jugador" y los humanos son "el dinero" y es un poco más sádico por que hay pérdidas y no ganancias, pero para el caso es lo mismo.

Dicho de otra forma para concretar: el juego alienígena es una lotería, la madre juega con una probabilidad de perder del 0.001% (pero eso ella no lo ve) y con unas pérdidas de media del 90% de lo apostado si el juego tiende a infinitas partidas.

Ahora tengo una modificación para el juego:

Supongamos que el alienígena matemático le dice a la madre:

"si quieres ne lugar de meter en cada ronda es decir 9 veces los que hayamos metido en la anterior, meteremos uno más. o sea, si la vez anterior metimos 1, en la siguiente habrá 10, si en la anterior metimos 100, en la siguiente habrá 1001.

A cambio trucaremos el juego de tal maneras que la bola negra saldrá justo en el momento en el porcentaje de humanos muertos respecto a al total de humanos que hayan jugado sea mínimo... ¿que te parece? ¿hay trato? slurp glurp gluf...".

¿que responderíais?


De: Antonio E.
2013-01-25 15:44:02

Argus no se porqué dices eso de que la probabilidad de morir es cero siempre: la posibilidad de morir es 1/1000 en cada ronda, y si puede haber un número infinito de rondas, por haber un número infinito de individuos, la posibilidad de morir es del 90%. Se me ocurre que la paradoja puede estar relacionado con que estamos haciendo subconjuntos finitos de un conjunto infinito.
También pensé en lo del momento del suministro de información a la madre, pero no son casos distintos, porque en la paradoja original de la "shooting room", se les avisa a las madres después: (Su hijo ha participado en un experimento... aunque claro no se le dice si ha sacado el seis doble). Lo que sí se me ocurre es que la paradoja puede venir de querer establecer probabilidades a priori de un proceso que puede tener infinitas iteraciones.
Es como ayer, cuando vino un mono a pedirme financiación para publicar "una obra de su autoría" que luego resultaron ser las obras completas de Shakespeare. Malditos monos plagiadores. Ya le dije al doctor que los odio. Al menos hoy me toca pastilla roja. :D


De: Argus
2013-01-25 16:59:36

Antonio E., la probabilidad de 1/1000 es para el que ya juega. Si contemplamos a priori el total de la población (infinitos), la probabilidad de morir es 0, pues también es 0 la probabilidad de jugar.

La parte de la probabilidad con la población total la tengo clara, pero sigo dando vueltas tratando de entender la parte de la probabilidad restringida a los que jugaron: Lo que tenemos es que turno tras turno, siempre el 90% de los participantes totales se enfrentan a un 1/1000 de probabilidad de morir. ¿Qué probabildad hay de que mueran? Respuesta: 1/1000 para todos. ¿Cuántos habrán muerto al final? El 90% siempre. Parece como si con este sistema burláramos lo que la probabilidad nos indica. Sigo sin saber qué debe esperar realmente una madre si la llaman.

A mí me recuerda a la estrategia de apostar doble cada vez en un juego de doble o nada: apuestas1, si pierdes apuestas 2, si pierdes apuestas 4, si pierdes apuestas 8... así hasta que ganas y recuperas todo lo perdido + 1!


De: Rantamplan
2013-01-25 17:51:34

ahora si que me he leído todos los comentarios.

Sigo sin ver donde está el problema, os voy a dar una vuelta al problema que me parece que todos veremos a la primera:

Suponed que jugáis a la lotería en un país con hiperinflacción. Los precios se multiplican x10 cada semana que pasa lo que quiere decir que cada sorteo de lotería cuesta 10 veces más que el anterior.

el juego de lotería es un poco tonto pero es así:

Una persona solo puede jugar un boleto que tiene 1/1000 de probabilidades de ganar.

En caso de victoria te devuelven el dinero ( o sea que no ganas nada) y estás obligado a jugar la semana que viene.

En caso de pérdida pierdes el dinero, cuando pierdes el dinero no puedes volver a jugar en tu vida.

La primera semana el boleto cuesta 1€, y de ahí en adelante el boleto va multiplicando x10 su coste por problemas de inflacción.

Veis que, salvando el hecho de que jugar a esta lotería es estúpido, la realidad es que no hay paradoja ninguna, es todo muy normal.

El juego es el mismo de arriba pero seguro que este no os rechina tanto a la hora de entenderlo.

Si le preguntas al que juega te perderá el 90% del dinero que juegue a lo largo de su vida. Si le preguntas a cada moneda te dirá que ella individualmente tiene un 0.001% de probabilidades de cambiar de mano, pero que cuando lo haga automáticamente cambiaran de mano un montón de monedas en función de la ronda, por que la probabilidad de cambiar de mano está ligada para muchas monedas (no tiras una vez por cada moneda sino que todas juegan a la vez por que es el precio del boleto).

Son preguntas diferentes: una pregunta es "¿cual es mi probabilidad de perder?" y otra pregunta es "en caso de perder ¿cuanto me cuesta?".

pero pasa exactamente igual con todos los billetes de lotería normales:

En al lotería nacional te cuesta 6 euros comprar un décimo ordinario y tienes una probabilidad entre 100.000 de ganar.

¿probabilidad de ganar? 1/100.000.

¿coste de perder? 6 euros cada semana (cada vez que juege)

Ahora os lo escribo como lo estáis planteando vosotros:

¿probabilidades de que un euro cambie de mano? 1/100.000

¿coste de perder? 6 € por el número de rondas que haya jugado.

Si cuando gane me dan el 90% del dinero que haya jugado en toda mi vida y me aseguran que tarde o temprano ganaré, ¿cual es mi probabilidad (o mi certeza) de perder cada euro que juegue: un 90%.

Y os preguntáis: ¿como es posible que no coincidan? hombre, es que lo raro sería que coincidieran, os estáis preguntando cosas diferentes! Solo coincidirán cuando las reglas del juego sean:

Si cuando gane me dan 1/100.000 del dinero que haya jugado en toda mi vida y me aseguran que tarde o temprano ganaré, ¿cual es mi probabilidad (o mi certeza) de perder cada euro que juegue: 1/100.000


De: Rantamplan
2013-01-25 17:57:21

*errata.

donde dice: ¿cual es mi probabilidad (o mi certeza) de perder cada euro que juegue:

Debería decir: ¿cual es mi probabilidad (o mi certeza) de conservar cada euro que juegue:


De: Argus
2013-01-25 18:22:08

De acuerdo, Rantamplan, veo la diferencia entre la probabilidad y el coste final. Ahora dime: Si una madre recibe la llamada ¿qué crees que debería pensar? A) Mi hijo está muerto con un 90% de probabilidad o B) Mi hijo está muerto con un 0,1% de probabilidad?


De: Mmonchi
2013-01-25 18:50:39

Me parece muy interesante la paradoja: la probabilidad de morir es del 0,1% y muere el 90%. Sin embargo ambos hechos son ciertos, y para entenderlo he planteado un experimento similar:

Vamos a jugar a cara o cruz. La primera vez apostamos 1,5€ (los 50 céntimos son para que los números sean exactos, no tiene mayor importancia); si no ganamos, la segunda vez apostamos 3€ y a partir de ahí, si no ganamos vamos apostando el triple cada vez, 9€, 27€, 81€, así hasta que ganemos. En el momento de ganar habremos obtenido como beneficio el doble de lo que habíamos perdido antes (salvo que ganemos en la primera tirada, claro). Es decir, de los euros jugados, han ganado el doble de los que han perdido. Estoy individualizando los euros para ver qué le pasa a cada uno: si gano en la segunda, pierden 1,5 y ganan 3; si es en la tercera, pierden 4,5 y ganan 9. Da igual en qué momento gane, los euros que “ganan” son el doble de los que “pierden”.

La probabilidad de perder en una tirada cualquiera es de 1/2. Sin embargo la probabilidad de que un euro “pierda” es de 1/3. Es la misma paradoja, aunque con valores menos extremos.

Yo entiendo que la solución de la paradoja está en que el 90% de muertos no es una probabilidad, sino un dato. Si llaman a una madre, la probabilidad de que muera su hijo es del 0,1%, y esa es la probabilidad real. Que al final el 90% de las madres llamadas pierda a sus hijos no debe preocuparle, pues la probabilidad de que el suyo muera solo es del 0,1%.

¡Que se preocupen las demás! ;-)


De: Rantamplan
2013-01-25 19:11:43

Argus,

La respuesta es la A, la madre esta percibiendo el coste de la partida no las probabilidades de ganar una determinada tirada.

La razón es que aunque la probabilidad de que la tirada de como resultado "has perdido" el coste de perder la tirada es muy elevado.

Mi consejo es abstraete de madres e hijos y piensa en lotería y dinero.

Voy a redactar una frase que se que no es correcta pero que croe que vale para ayudar a comprenderlo.

Si juegan 1000 personas en la tirada perdida no pierdes un 100% de "tu hijo" pierdes un "100.000%" de tu hijo.

Otra forma de entender el problema (volviendo al juego alienígena es esta: " en lugar de sacar una bola de entre 1000 voy a tirar un dado de 1000 caras. si me sale la cara "1000" mato un 90% de los humanos que hayan jugado al juego, si me sale cualquier otro número repito".

pues que pasa? que al final mato un 90% si o si, da igual cuantos humanos haya.

¿como es posible si las probabilidades de matar son solo una entre 1000? ¿que más da si voy a estar tirando hasta que te mate? y a ti lo que te importa no es las probabilidades de una tirada en concreto a ti lo que te importa es el coste de perder...


De: Rantamplan
2013-01-25 19:13:43

Pero vamos insisto en que la pregunta que me haces es como preguntarme:

¿cual es la probabilidad de ganar la lotería? 1/100.000

Ok, ¿y como es que el coste de jugara la lotería no es 1/100.000?

pues por que el boleto cuesta 6€...


De: Rantamplan
2013-01-25 19:19:02

Otra forma de verlo que igual también aclara (aunque vuelve a ser lo mismo dicho de otra forma).

Cuando la tirada es "los humanos pierden" el evento "madre pierde a su hijo" se da en un número de madres igual a 10 elevado al número de ronda.

Volvemos a lo mismo, el coste de perder la tirada no es "una madre pierde un hijo" sino "10 a la N madres pierden un hijo".


De: supernene
2013-01-25 19:27:27

...pero si le dices a una madre: " ..su hijo ha participado en un experimento para el que hemos utilizado, pongamos, 10000 humanos, y de ellos han sobrevivido 1000 y han muerto 9000..."......yo creo que es como para preocuparse...


De: AntonioE
2013-01-25 19:32:47

Anda es verdad,se parece al "truco" de la martingala en los casinos, también requiere un capital infinito para que funcione. ¡lo que me faltaba!,ahora me atormentarán la mente monos crupiers del espacio exterior :D

Rantamplan, Antes de perder toda mi CORdura, también pensé que 90% y 0,1% eran respuestas a preguntas distintas, pero luego me convencí de que ambas representan simultáneamente la probabilidad de que un jugador muera, haya una o infinitas madres: Ej, Si hay una madre: "Señora, N de sus hijos ha participado en un juego en el que el 90% de los que juegan mueren".Por otro lado, en tu transformación del juego a la lotería me lío porque creo que debería ser al contrario: si gana, no le obligan a seguir jugando(1/1000) y si pierde(999/1000) le obligan a poner la diferencia con el precio del boleto de la semana siguiente.
PD a lo mejor con gemelos chulucitos y una moneda


De: Mmonchi
2013-01-25 19:35:35

supernene, a la madre lo que le preocupa es la probabilidad de que su hijo muera, y esa es 1/1000. El hecho de que haya un 90% de muertos es irrelevante, la probabilidad de morir de cada uno de ellos era del 0,1%.

Aunque, por supuesto, una madre se preocupa siempre, incluso con probabilidades mucho menores al 0,1%...


De: Mmonchi
2013-01-25 19:40:50

AntonioE, el 90% no es la probabilidad de que un jugador muera sino el porcentaje de los que han muerto, que no tiene nada que ver.

Imagínate que un Alienígena presciente sabe que la bola negra va a salir la séptima vez. Toma a 1.111.111 humanos, que son los que va a necesitar, y uno de esos eres tú. Entonces sí, tu probabilidad de morir será del 90%, porque no sabes en qué grupo te van a meter.

Pero ese no es el caso, por eso el 90% no es una probabilidad sino un dato.


De: supernene
2013-01-25 19:42:13

monchi, la madre no sabe si su hijo ha muerto, solo sabe que ha participado en el experimento y que el 90% de los participantes están muertos....luego la probabilidad de que su hijo este muerto es de un 90%....eso es incuestionable.


De: Mmonchi
2013-01-25 20:43:38

No, supernene, hay un matiz y es importante. No han muerto el 90% de los que han participado, sino que va a morir el 90% de los que participen. En el primer caso la probabilidad de que su hijo haya muerto es del 90%, en el segundo la probabilidad de que muera es la que corresponde a su momento del juego, el 0,1%.


De: Argus
2013-01-25 21:51:19

Yo pensaba como Mmonchi, que la probabilidad de que muera es del 1 por 1000 sin discusión, pero lo dudo cada vez más. La madre en cuestión, una vez llamada, forma parte de un grupo de madres de las que un 90% han perdido a su hijo en un juego que, aunque improbable, podía resultar fatal.

Es como si fuesen madres de hijos que tienen una enfermedad improbable, pero que una vez contraída causa la muerte al 90%.


De: Mmonchi
2013-01-25 22:24:19

Quizás se entienda mejor con este ejemplo:

Llegas a un puerto en el que hay 1000 barcos para cruzar al otro lado del mar. Uno de ellos se va a hundir y van a morir todos los que viajen en él, mientras que el resto llegará sin problema. Pero te dicen que en ese barco irá el 90% de las personas que crucen, aunque tú desde fuera no sabes cuantas personas lleva cada uno. Te montas en un barco cualquiera. ¿Cúal es tu probabilidad de morir? ¿El 90%, porque ese es el porcentaje de muertos que va a haber? ¿O el 0,1% ya que ese es el de barcos que se hundirán?

Para mí está claro que es el 0,1%, el 90% de muertos es un dato anecdótico que no tiene nada que ver con que tú te salves o no.


De: xx32
2013-01-25 22:24:45

si llaman a la madre antes del juego, su hijo esta vivo y tiene un 0,1% de probabilidad de morir. Si la llaman despues del juego, su hijo tiene un 90% de probabilidad de estar muerto. Lo que ocurre (creo) es que el hijo tiene un 0,1% de probabilidad de estar en el ultimo grupo cuando juegue, pero alguien elejido al azar, una vez completado el juego, tiene un 90% de probabilidad de haber estado en el ultimo grupo.


De: Argus
2013-01-25 22:54:33

Muy bueno el ejemplo de los barcos. Ahora, imagina que sólo hay 2 barcos, uno con una persona y otro con 9 que se hunde. Tú en cuál dirías que estás? Ahora imagina 3 barcos, uno con 1 persona, otro con 9 y el tercero que se hunde con 90. Tu en cuál apostarías que estás? Así se puede seguir hasta 1000, y en todos los casos, lo más probable es que estés en el que se hunde.

Y lo mismo te digo esto como que si los 1000 barcos están ya preparados para zarpar y sólo faltas tú por subir y tienes que elegir uno, entonces tus probabilidades son del 1 por 1000. Esto conecta con lo que propone xx32 del antes y el después.


De: komoloco
2013-01-26 00:52:51

El simil Mmonchi de los barcos me parece excelente y es una solución acotada al problema pero no estoy de acuerdo con sus conclusiones.

Si las premisas son esas, cualquiera que entre en cualquiera de los barcos tiene un 90% de posibilidades de entrar en el que se va a hundir que, dicho sea de paso, tiene un 100% de posibilidades de hacerlo.

Elegir el barco o que lo elijan por ti no tiene mayor relevancia puesto que nadie sabe qué barco es el chungo. Por alguna extraña circunstancia el 90% de los pasajeros eligen el barco malo o se lo eligen, insisto, da igual. Y estos la palman fijo. La elección y el destino de cada uno de los barcos es un hecho absolutamente aislado del resto.


De: Igna
2013-01-26 02:51:45

Leyendo algunas respuestas me ha surgido una pregunta que puede que sea algo estúpida...
Para que se produzca la paradoja la cantidad de humanos tiene que ser infinita, ya que en otro caso las reglas del juego podrían no cumplirse (podría salvarse todo el mundo o podrías tener que repetir partida), por lo que sobrevivirán al juego un 10% de los participantes mas todos los no participantes de una población total de infinitos humanos (10% de infinito + infinito) mientras que morirán únicamente un 90% de los participantes (x) que no pueden ser infinitos ya que el juego, probabilísticamente, no puede prolongarse por siempre...
Entonces, como humano de la población total al que dicen que se va a empezar a jugar a ese juego, ¿tienes 0,9 x/infinito (es decir, 0) posibilidades de morir?
Y si todo el mundo tiene esas posibilidades de morir ¿Entonces quién leches muere?

PD: Antonio E. ¡No conozco el chiste de las canoas!


De: Igna
2013-01-26 02:52:53

Perdón, quería decir que se salvarán 10% de x + infinito...


De: Carlos
2013-01-26 17:33:50

Creo que nadie ha pensado en esta posibilidad, pero... el hecho de que la madre sea capaz de recibir la llamada significa que lo más probable es que estemos en uno de los primeros estadios del juego, ya que de lo contrario a) la madre ya sabría de qué va el asunto al haber participado ella misma en el juego o b) ella misma estaría en esta misma ronda de juego... es algo así como el principio antrópico del principio antrópico, no? :P


De: Brazpit
2013-01-27 21:42:15

Y si la cantidad de humanos es infinita, qué hacen tantas personas juntas sin echarse encima de los alienígenas y trincharles los tentáculos cual pulpo a feira? ;-) Interesantísimos todos los razonamientos expuestos. Enhorabuena a todos!


De: -Dark-Phantom-
2013-01-28 05:47:49

En mi opinión, las probabilidades de morir son del 0,1%. Estas son las que deberían tener en cuenta cada participante y cada madre.

La explicación es la siguiente, en tu ronda (sea cual sea) no te tiene que importar las rondas anteriores, porque no afectan a la bola que salga, como tampoco la cantidad de personas que te acompañan en esta.
Pero tampoco te tienen que importar las rondas siguientes, ya que después de ésta, o estas muerto y el juego termina, o vives y no participas nunca más.
La confusión viene del 90%, que no es la probabilidad de morir sino un mero dato. No se puede usar para saber las probabilidades de morir, porque para calcularlo se tienen que tener en cuenta las reglas del juego que determinan la cantidad de personas de cada ronda (cosa que dijimos, no afecta a tu futuro), como también todas las rondas posibles (que tampoco te afectan).

En definitiva, el experimento solo te afecta con un solo dato, la bola que sale, y por lo tanto tienes 0,1% de probabilidades de morir. Es como si redujéramos el experimento a esa sola ronda, con una cantidad de personas arbitraria, sin importancia, en donde se saca una bola y ésta determina tu futuro. De esta forma está claro cuales son tus probabilidades, como también para tu madre. El hecho de agregar el resto de las rondas, y de que lo que pase en ésta, va a determinar el futuro del juego, no tiene ninguna importancia.


De: Vindio
2013-01-28 10:39:13

Los humanos que esperan tienen una posibilidad de morir del 90%, pero si tienen la suerte de ser seleccionados para entrar en la sala (lo que le ocurrirá a muy pocos en comparación con los que se quedan fuera) la probabilidad de morir baja hasta un 1%.
Las madres pueden respirar tranquilas si su hijo está en la sala (aunque a algún grupo le tocará la bola negra) y tienen serios motivos de preocupación en caso contrario.


De: Rantamplan
2013-01-28 11:35:21

el ejemplo de los barcos me ha gustado pero no es correcto, planteado bien se ve que tus probabilidades de morir son el 90%.

¿por que? por que cuando tu ves los 1000 barcos no puedes elegir libremente en que barco meterte por que hay 1 (el que se va a hundir) en el que tienen que ir el 90% de los pasajeros totales.

Es como si hay un ferri y 999 barcas de remos.

y a ti te dicen: "elije el que quieras" pero ya no cabes en ninguna barca y tienes que ir en el ferry.

En el caso de los alienígenas es lo mismo, tu no puedes elegir tu ronda.


De: yo
2013-01-28 11:53:46

... yo creo haber entendido que a las madres las LLAMAN ANTES de sacar la bola. Eso significa que cuando las llaman cuando TODOS los participantes están VIVOS, los de la ronda [n-1] y los de esta ronda [n]. Por lo tanto, para la madre, el juego es inocuo y no tiene por qué preocuparse.


De: Daniel López
2013-01-28 14:13:52

Mi madre les echaría un broncón que se les iban a acabar las ganas de jueguecitos y seguiría viendo el Sálvame Deluxe. Estos alienígenas no conocen a mi madre.
PD: Genial Pedro y geniales todos los comentaristas :-)


De: Argus
2013-01-28 14:17:14

De acuerdo con que el ejemplo de los barcos no es correcto si puedes elegir en qué barco vas. Ahí me colé yo.

Veámoslo desde otro ángulo: Sólo juega una persona por turno; Saca una bola del saco de 1000, y si es blanca se salva. Esto se repite cada día con una persona cada vez. Ahora bien, el día que alguien saque la bola negra se hace lo siguiente: Se cuentan cuántos sacaron antes la bola blanca, se multiplica por 9 y el resultado es la gente inocente a la que matan, sin haber jugado siquiera, incluido el que sacó la bola negra. Cada jugador tenía un 1/1000 de morir, pero el que sacó la bola negra provocó que murieran muchos otros inocentes.

Si te dicen que tu hijo está relacionado con esto, bien porque jugó o bien porque es uno de los inocentes que murieron, lo más razonable es pensar que está muerto con un 90% de probabilidad.


De: Miguel
2013-01-28 20:27:25

Me gusta lo de la madre que tiene 1000 hijos y ella sabe que va a quedar sin el 90% de elllos, pero si a mi me traen para verificar la sacada de la bola, se que somos pocos y tengo muchas probabilidades de vivir, ¿pero porque estos alienigenas han de drogar a los humanos, si saca bola blanca me meten de nuevo al siguiente grupo?, de manera que muere el 100%, pobre madre.


De: juanjo.sama
2013-01-30 08:23:26

Hola pedro, es curioso como voy a plantear este dilema:
Todo se basa en la sensación de la persona. Y sea matemática o no, la usamos.
ejemplo:
En vez de trabjar con %, trabajare con cifras.
Si te dicen: de estas 10 personas 1 se salvara, los demas moriréis.
Todos tiemblan porque "Tienen la sensación" que es muy dificil.
Dicho esto:
Si en vez de 10 hay 1000 y dicen:
De estas 1000 personas se salvarán 100, los demas moriréis.
Alucinantemente (aun siendo la misma probabilidad), todos estaríamos mas aliviados; Si, los números dicen que no deberías...
Pero es que "Tienes la sensación" que entre 100 es mas fácil que tú seas uno de ellos.
En resumen. El resultado el mismo, pero la inquietud cambia gracias a factories como la ilusión, la esperanza, la ignorancia, etc.
A la madre le dan % y el hijo conoce numeros, de ahi su divergencia de preocupación.

un gran abrazooooo XD
juanjo.sama

Post Data: Al evaluar un parámetro no matématico llamado inquietud, en él actuan sentimientos humanos ademas de la matemática


De: juanjo.sama
2013-01-30 08:48:04

Otro ejemplo de que la matemática no es lo único que puede influir en la inquietud:
anuncio de prensa: De las 10 millones de vacunas puestas ayer a la poblacion el 90% estan envenenadas y causarán la muerte.
Otro Diario:
De las 10 millones de vacunas envenenadas puestas ayer, habia 1 millón que estaban bien y no causarán muerte alguna.

Los que leen el primer diario se temen lo peor, que van a morir con un 90 % de posibilidad.
Pero los que leen el otro diario, se quedan esperanzados que ellos pueden ser uno de ese millón que no muere.


De: juanjo.sama
2013-01-30 09:20:16

XD - otra cosa curiosa que nos lleva a lo mismo.
a 100 personas, se os da la opción de que hay 100 bolas (un de ellas negra) y se mete dentro de nuevo todas las bolas en cada turno. La bola negra mueres, la bola blanca vives.
- hay dos opciones:
- 1 sacar 1 bola para todos y lo que surja.
- 2 sacar la bola uno a uno y a cada cual su suerte.
Flipantemente la probabilidad es exactamente la misma. Pero muchos diréis cuantas mas bolas saque mas posibilidad que saque la negra. Y es cierto, pero que seas tu el que muera de una manera o de otra tiene la misma posibilidad.
Tambien otros dirán si saca solo una, nos la jugamos solo a una bola. Pero desfortunadamente para nosotros cualquiera de los casos nos la jugamos a una bola.

Es decir, el grupo, el contexto, la valentía, la esperanza, nos aportan datos que la matemática no llega.

Un gran abrazo a todos... n.n


De: Sergio B
2013-01-31 00:37:08

@juanjo.sama, me parece que lo que comentas, tiene que ver con la estadistica. Usando otra herramienta para comer humanos, supongamos que tiran un dado y si sale par quebac humano, si participan 6 humanos se podria tener en cuenta las probabilidades de que muera 1, 2,3,4,5 o los 6, y si quisiesemos dar una valor estadistico con un 100% se diria que van a morir 3 +-3 humanos para poder decir 3+-2 humanos, igual nos quedariamos solo en un 50%, si juegan 6000 humanos, estadisticamente con una distribucion normal y esas cosas (no las calculo, ojo, solo las ilustro) se podria decir que con un 90% de probabilidad que moriran 3000 +-20 humanos, para un 99% quiza aun estariamos en 3000 +-200 humanos, para llegar al 100% tendriamos que llegar a 3000+-3000, pero encontrar una posibilidad alta sin riesgo de desastre es mas facil cuanto mas gente juegue.

Como reflexion, existe la posibilidad de que todas las moleculas de una piedra (si estan mas haya del hierro) se desintegren a la vez produciendo una explosion que arrase una ciudad/pais/planeta. De hecho considerando un tiempo infinito eso ocurrira, obviamente, infinitas veces (si es planeta igual solo pase una vez). Pero probablemente podramos decir con un 99 coma muchos 9 % que eso no ocurrira en el tiempo que va a existir la tierra, asi que no es como para preocuparse.


De: Gerard Falcó
2013-02-02 11:51:01

El fallo está en que los alienígenas no saben, a priori, cuánta gente va a tener que jugar al juego, y por lo tanto no pueden llamar a todas sus madres.
Por ejemplo, en el caso de que acabe acabe en el turno 4... ¿ya lo sabían de antemano, y llamaron solamente a 1000 madres?


De: Juan Carlos
2013-02-03 10:46:54

La paradoja surge por una errónea interpretación de la probabilidad por parte de las madres. Al aumentar 10 veces el número de participantes por cada vez que se saca una bola blanca, es verdad que si saliese la bola negra en algún turno distinto al primero, el 90% de las madres se enfrentarían a la muerte de sus hijos. Sin embargo, la preocupación de la madre no depende de cuantas madres tendrán que enfrentar la muerte de su hijo si saliese la bola negra, sino en la probabilidad de que salga la bola negra y, por lo tanto, su hijo muera. Esta probabilidad será invariablemente de 0.1% y, por ello, la madre no tendría motivos para tener una preocupación mayor que la de su hijo, sea cual sea el número de veces que se haya realizado el juego.


De: Simplificador
2013-02-03 13:23:16

Juan Carlos,

La paradoja surge porque la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de morir en este juego?" puede plantearse de dos maneras distintas, contradictorias entre sí:


  1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar la única bola negra de un saco con mil bolas? Un 0,1%.


  2. ¿Cuál es la probabilidad de morir en juego donde siempre muere el 90% de los participante? Un 90%.



De: kurodo77
2013-02-05 19:01:07

Pudiendo hacer el grupo de humanos tan grande como se quiera, la probabilidad de estar en el último grupo siempre es del 90% así que mama tiene razón. No importa cual sea la probabilidad de que salga la bola negra si igual lo más probable es que yo este en el último grupo en el que sale la bola negra si o si.


De: Simplificador
2013-02-06 01:51:42

Kurodo77,

La probabilidad de formar parte del último turno es siempre del 90%, en efecto, puesto que en ese turno se concentra necesariamente el 90% de los participantes. Ahora bien, ¿cuál es la probabilidad de que tu turno, este turno al que ahora te enfrentas, sea el último? Pues un 0,1%, que es la probabilidad de que salga la bola negra.


De: kurodo77
2013-02-06 02:57:21

No simplificador: el hecho es que si yo estoy en el juego es probable al 90% que este en el último turno(no sabemos cual será, pero eso no importa). Y en ese último turno no importan cuales sean las probabilidades de salida de la bola negra ya que son del 100%.

Mejor dicho: no sabemos cual es el último turno. Pero si sabemos con seguridad que si es el último turno el 90% de los participantes van a estar en ese turno y morirán. En ese último turno(sea cual sea) con seguridad sale la bola negra(al 100%), y lo más probable es que yo este en el 90% de personas que mueren en ese último turno(así no sepamos cual es).

Mama tiene razón.....


De: Simplificador
2013-02-06 08:21:42

Kurodo:

Ha llegado tu turno. La probabilidad de que ese turno sea el último es la probabilidad de que salga la bola negra. ¿Cuál es esa probabilidad?


De: juanjo.sama
2013-02-06 09:22:46

Los ultimos comentarios confunden el 90% del total de la población con el 90% de los participantes. No por existir ya tienes el 90% de posibilidades de morir. Segun leo la historia, cuando sale la bola negra se acaba el juego. Eso si, el 90% de los participantes son DTP-ados.
Si hay 100 trillones de personas y la bola sale en la cuarta jugada, ha habido un 0,000001% de posibilidad de haber estado en esa jugada.. (numeros aproximados).

Como bien dije antes, la sensación no es un dato matemático ni estadístico como me comenta Sergio B. es algo humano ajeno a la matematica; Para seguir tu ejemplo... cito textual:
**
Como reflexion, existe la posibilidad de que todas las moleculas de una piedra (si estan mas ayá del hierro) se desintegren a la vez produciendo una explosion que arrase una ciudad/pais/planeta. De hecho, considerando un tiempo infinito eso ocurrira, obviamente, infinitas veces (si es planeta igual solo pase una vez). Pero probablemente podramos decir con un 99 coma muchos 9 % que eso no ocurrira en el tiempo que va a existir la tierra, asi que no es como para preocuparse.
**
Tu lo has dicho, no te preocupa porque hablas en terminos de %, pero si te dijese que los atomos de ese mineral ya tienen muchos millones de millones de años y que puede que en este siglo ocurra , a que las cifras empiezan a preocuparte, puede que ocurra en este siglo o dentro de mil millones de años, pero lo que quiero decir es que:
la preocupación aumenta inversamente proporcional a la informacion que se tiene. Nunca habeis oido eso de que a lo que hay que temer es a lo desconocido, pues esta paradoja no es mas que eso, el hijo tiene mas datos y está mas tranquilo, a la madre solo le dan un porcentaje elevadisimo y nada mas.


De: Argus
2013-02-06 10:59:19

Simplificador:

Si ha llegado mi turno, ya estoy metido en un juego en el que mueren el 90%.


De: Persi
2013-02-06 13:09:01

El juego acaba cuando sale la bola negra, por lo tanto la bola negra acabará saliendo, independientemente de las probabilidades que tenga de salir. 1 juego = 1 bola negra = 1 último turno, el cual tengo un 90% de probabilidades de pertenecer. Llega un punto en el que el 0,1% de salir la bola negra, parece irrelevante.


De: Persi
2013-02-06 13:33:24

Perdón por el doble post.
La cosa sería muy diferente si el juego acabase en un número de rondas determinadas o cuando no quedasen más humanos, de manera que nuestras posibilidades de morir serían del 0,1%. Pero estando ya predeterminado que con un 100% de seguridad saldrá la bola negra, lo que nos interesa es saber que probabilidades tenemos de pertenecer a cada turno y eso depende del número de humanos que los componen.


De: Simplificador
2013-02-06 18:42:35

Argus,

En el juego estás metido desde que te capturan los alienígenas. Y lo que yo pregunto es que, si ha llegado tu turno, ¿cuál es la probabilidad de que ese turno sea el último? O, lo que es lo mismo: ¿cuál es la probabilidad de que salga en ese turno la bola negra?


De: Simplificador
2013-02-06 18:48:02

Persi:

"Llega un punto en el que el 0,1% de salir la bola negra, parece irrelevante".

Hombre, irrelevante tampoco parece. Yo al menos, personalmente, prefiero jugar con mil bolas que con tres. Y si pueden ser un millón, mejor.


De: Simplificador
2013-02-06 18:54:17

juanjo.sama,

Para evitar esa posible confusión de la que hablas, bastaría suponer que los alienígenas tienen infinitos humanos preparados para entrar al juego.

Todas esas cuestiones kahnemanianas sobre los efectos marco son muy interesantes, pero yo no creo que tengan mucho que ver con la paradoja.


De: Simplificador
2013-02-06 19:09:54

Para apreciar la paradoja en toda su crudeza, podemos plantearnos lo siguiente:

Un humano lanza una moneda al aire. ¿Es un 50% su probabilidad de sacar cara si lo hace en su casa y de un 90% si lo hace en el contexto del juego alienígena?


De: Persi
2013-02-06 20:52:41

Simplificador:

En realidad, haya tres bolas o un millón, sólo varía el número de turnos, y por tanto el número de miembros en cada turno. En cualquier caso, será más probable pertenecer al último.

Es indiscutible que cada turno hay un 0,1% de que salga la negra, pero tambien lo es que tienes un 90% de probabilidades de morir. El hecho de que salga una bola negra durante el juego (0,1%) no implica que mueres, lo que lo hace es el grupo en el que te encuentras cuando sale esa bola. Imagina que el alienígena, para evitar problemas de quedarse corto o pasarse con el número de humanos, primero saca las bolas hasta que sale la negra y luego calcula los participantes que necesita para realizar el juego. Estás entre los jugadores. ¿Que probabilidades tienes de sobrevivir?


De: Simplificador
2013-02-07 09:28:16

Persi:

La respuesta es clara: tu probabilidad de sobrevivir es un 10% (a no ser, claro, que la bola haya salido en el primer turno, en cuyo caso la probabilidad es 0).

Y ahora imaginemos una versión ligeramente distinta:


De: kurodo77
2013-02-07 22:10:33

El 0.1% es irrelevante para la totalidad de los turnos(no para un turno en particular) aunque no sepamos cuantos turnos hay . En realidad la posibilidad de que salga la bola negra durante el juego es del 100%(porque el bicho este juega hasta que sale la bola negra)......

Ahora: en el juego mueren el 90% de los participantes(aquí no hay que pensar en la población fuera del juego sino en los que juegan nada más). Una vez me dicen que estoy dentro del juego lo más probable es que esté en el último turno.


De: Simplificador
2013-02-08 09:25:29

Kurodo: "El 0.1% es irrelevante para la totalidad de los turnos(no para un turno en particular)".

El problema es que no jugamos en la totalidad de los turnos, sino en uno en particular, y ahí se produce la paradoja: el alienígena introduce su tentáculo en el saco de las mil bolas para sacar una; ¿es de un 90% la probabilidad de que sea la negra?


De: Simplificador
2013-02-08 09:35:46

Mi mensaje de ayer quedó cortado cuando iba a proponer una variación del juego. Sospecho que tampoco sería una gran pérdida, pero ya que la tengo ya pensada, voy a compartirla.

La variación es muy sencilla. Imaginemos que los alienígenas organizan este juego todos los días, desde hace cientos de años. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola negra salga en tu turno?


De: Argus
2013-02-11 12:34:54

Persi:

Chapeau por tu comentario 84: " ...[el alienígena] primero saca las bolas hasta que sale la negra y luego calcula los participantes que necesita para realizar el juego. Estás entre los jugadores. ¿Que probabilidades tienes de sobrevivir? ". Esto es lo que se dice un encendido de bombilla antrópico. Para mí es la explicación definitiva. Brutal! :-D


De: David Cano
2013-02-12 00:18:29

Yo estaría razonablemente tranquilo. En el momento en que me convoquen para jugar, lo más probable (99,9% de probabilidades) es que acabe muriendo un montón de gente que TODAVÍA no ha sido convocada para jugar. Para cualquier turno, sea cual sea, lo más probable es que falten varios cientos de turnos antes de la hecatombe. O, dicho de otra forma, sea cual sea mi turno, la esperanza estadística de muertos es muy superior al número de participantes de mi turno.


De: David Cano
2013-02-12 00:33:32

Con respecto a mi madre, hay dos situaciones muy diferentes.


  1. Si le dicen que yo he sido convocado para jugar, debería estar (moderadamente) tranquila. Todavía no ha muerto nadie, y sólo hay un 0,1% de probabilidades de que su hijo muera.


  2. Pero si le dicen que el juego ya ha acabado, y yo he participado en él, debería preocuparse, porque en ese caso la degollina ya no es un riesgo, es un hecho, y hay un 90% de probabilidades de que yo esté muerto.



De: Manuel
2013-02-12 10:07:55

Simplificador, yo no veo que cambie nada por repetir el juego todos los días. Alguna pista?


De: Simplificador
2013-02-12 21:11:37

Manuel:

Mi versión no supone ningún cambio, es sólo otra manera de plantear el problema para mostrar -así lo espero- que el número de bolas tiene su importancia. La idea , algo más desarrollada, sería la siguiente:

Imagina que estás en el segundo turno y que los alienígenas te proponen un trato: si adivinas de que color será la bola, vivirás; si fallas, morirás. ¿Qué deberías hacer?

Si aplicas la "lógica antrópica", la solución es clara: deberías apostar que la bola será negra, con una probabilidad del 90% de acertar. De hecho,y como bien sabemos, si todos los participantes hicieran como tú, el resultado sería que el 90% se salvaría. Adelante pues.

Sin embargo, un pensamiento puede hacerte dudar en el último momento. Piensas que, en los cientos de años que se lleva celebrando el siniestro sorteo, todos los miembros del segundo turno que te han precedido habrán hecho esos mismos cálculos que tú estás haciendo... y se habrán equivocado unas 999 veces de cada mil.


De: oscar
2013-02-13 02:35:42

La serie de números no la habría adivinado!


De: Simplificador
2013-02-13 08:34:56

¿Qué serie de números?


De: Santiago Santana
2013-02-14 09:04:12

Simplificador, te equivocas. La probabilidad de que me llamen a mi para escoger la bola depende del número de jugadores. Por otro lado, la bola escogida en cada turno es irrelevante, al final de todos los turnos morirán el 90% de los participantes obviamente es más probable que me encuentre en ese grupo que en los grupos que sobrevivieron.

Dices que si todos los participantes escogieran la negra se salvarían según la lógica antrópica el 90% ¿Estás seguro de haber leído bien las reglas del juego? Si hubiera forma de salvar al 90% de los participantes, entonces estaríamos hablando de otro juego distinto.


De: Simplificador
2013-02-14 18:03:41

Santiago Santana:

Simplificador, te equivocas. La probabilidad de que me llamen a mi para escoger la bola depende del número de jugadores

Dudo que me equivoque, porque no me he ocupado de esta cuestión en ningún momento. Yo no he hablado de la probabilidad de participar en el juego, sino de la probabilidad de que te salga la negra cuando ya estás participando.

al final de todos los turnos morirán el 90% de los participantes obviamente es más probable que me encuentre en ese grupo que en los grupos que sobrevivieron

Obviamente. Y la probabilidad de que salga en tu turno la única bola negra de una bolsa de mil es de un 0,1%. Obviamente también. Por eso tiene sentido hablar de paradoja, porque hay dos obviedades que parecen estar en contradicción.

Si hubiera forma de salvar al 90% de los participantes, entonces estaríamos hablando de otro juego distinto.

Es que estoy hablando de otro juego distinto. Esto fue lo que dije: "Imagina que estás en el segundo turno y que los alienígenas te proponen un trato: si adivinas de que color será la bola, vivirás; si fallas, morirás".

Hay, por tanto, una posibilidad de que se salve un 90%: que todos apuesten que la bola negra saldrá en su turno (es decir, que todos apuesten que su turno será el último).


De: Simplificador
2013-02-14 18:18:21

La variación que he propuesto, por tanto, difiere sólo en dos detalles de la original: el sorteo se celebra todos los días desde hace años (con concursantes nuevos cada día, por supuesto) y se salvan todos los concursantes que adivinen el color de su bola.

Lo esencial, sin embargo, sigue siendo idéntico: el sorteo termina cuando aparece la bola negra y cada turno es diez veces mayor que el precedente.


De: jujo sama
2013-02-15 05:39:01

La CUESTION es que estais comparando dos datos incomparables ... es como decir tengo 5 peras y me quitas 2 manzanas, que me queda? .. no se puede. Dicho esto:
el 0,1 % se refiere a la probabilidad de bolas malas entre bolas buenas.
PERO, El 90% es sobre algo aun no definido, y que se definirá cuando acabe el juego.

Son dos cosas completamente diferentes que no se pueden ni sumar, ni operar, ni comparar, ni nada. La una no depende de la otra. Aunque hubiese un 5% de salir la bola negra, el 90% de muertes seguiria intacto, puesto que atiende a otros parámetros que no tienen que ver con la salida o no de la bola, sino con el funcionamiento del juego. No hay tal paradoja puesto que la paradoja plantea la diferenciacion de estos valores, cuando ya he demostrado que son incomparables. Ambos tienen la misma informacion: 0,1% de bola negra y 90% de participantes muertos. Son 2 datos en el que el primero te dice la probabilidad de salvarte y el segundo te Dirá la cantidad exacta de gente que murió, cuando acabe el juego, ¡¡no antes!!.


De: jujo sama
2013-02-15 06:04:04

Es más, con un ejemplo se verá mejor. Pongamos un límite de 1000 millones de humanos. Y van entrando segun las normas y llamando a sus madres igual. Planteando este limite, podemos ver que habrá como mucho 10 rondas, con un 0,1% de salir la negra hace un total de 1% de morir, puesto que, se saca una bola 10 veces de entre 1000. Las madres saben que un 90% de las que han sido llamadas pueden perder al hijo... PERO, ¿con que probabilidad pueden perder al hijo?, con el 1% anteriormente calculado.
Para que el 90% puedan morir con un 100% de probabilidad tendria que haber un 1 seguido de 100 ceros de humanos. ¡¡Un 1 y 100 ceros!!
Lo que define los que van a morir no es el 0,1% de salir la bola negra, sino el número de humanos que participan...


De: Argus
2013-02-15 11:47:59

Cuantos más argumentos leo, más me convenzo de que el "antes" o el "después" de salir la bola negra es una cuestión más importante de lo que pensaba. Como dice Simplificador, si me toca jugar y tengo que apostar qué bola saldrá, no me guiaré por el principio antrópico y apostaré que sale blanca. Si me dicen que formo parte del juego y que la bola negra ya ha salido, apostaré a que a mí me tocó negra.

Qué curioso! En este juego el pasado es negro y el futuro es blanco :-D


De: Argus
2013-02-15 11:51:08

Cuantos más argumentos leo, más me convenzo de que el “antes” o el “después” de salir la bola negra es una cuestión más importante de lo que pensaba. Como dice Simplificador, si me toca jugar y tengo que apostar qué bola saldrá, no me guiaré por el principio antrópico y apostaré que sale blanca. Si me dicen que formo parte del juego y que la bola negra ya ha salido, apostaré a que a mí me tocó negra.

Qué curioso! En este juego el pasado es negro y el futuro es blanco


De: J
2013-02-15 12:09:17

Argus,

¿y si ya han sacado la bola pero no te dicen cuál es? Es obvio que la información que tú tienes es distinta, pero ¿la probabilidad de morir también? No puede serlo, ¿no?, pero creo que tu argumento hace pensar que sí lo es. La pregunta no es mía, solo es otra forma de decir cosas que ya han dicho otros.

En fin, cuanto más lo leo, más obvio que parece que la única conclusión obvia es que quien ve una respuesta obvia, es obvio que no ha entendido el juego. O al menos, así me lo parece, obviamente. ;-)


De: Argus
2013-02-15 16:05:50

Esto, obviamente, no es nada obvio :-D

Si ya han sacado la bola pero no me dicen cuál es, estoy metido de lleno en la paradoja. Creo que no puedo saber mi probabilidad de morir, pues están mezcladas e indeterminadas ambas probabilidades; la de antes de sacar la bola (0.01%) y la de después de haber salido la bola negra (90%).


De: Felipe
2013-02-21 11:16:00

¡Esto es una estafa piramidal!

Me he acordado de este artículo cuando mi madre me contó que le ofrecieron ayer meterse en una pirámide multinivel, y me preguntó mi opinión.

La situación es parecida. En la pirámide pierden dinero los que están en el último nivel, o los dos últimos. Y ganan los de "arriba". ¿Qué probabilidad tengo de estar en el último nivel, aquel en el que se agota el "negocio"?


De: Espinus
2013-02-22 03:35:00

Entonces?? al final es que el 0,1% y el 90% son cosas distintas que no se pueden comparar? No hay respuesta oficial a la paradoja?

1) podríamos pensar que el alienígena te introduce con un 90% de probabilidad en el turno que él, con precognición, sabe que saldrá la bola negra? Eligiendo así tu muerte

2) podríamos pensar que el alienígena te introduce en un turno cualquiera, y te dice: tranquilo, sólo tienes el 0,1% de probabilidad de morir. De esta manera el alienígena elige tu supervivencia, te escoge para que estés en el pequeño saco de los supervivientes.

Que narices está haciendo el alien? Me revienta la cabeza!!!


De: Espinus
2013-02-22 04:12:47

La verdad, no sé si tendrá mucha relación, pero esta historia me ha recordado a un fractal. Cada vez que pasa un turno es como si ampliásemos la escala x10. Tienes muchas posibilidades de salir con vida, pero entonces se ampliará la escala x10, y podría morir el 90% de población de la siguiente escala. Como en un fractal, no sabemos a que nivel de la escala nos encontramos, sólo sé que hay un 99,9% de salvarme, y pasar a un nivel superior del fractal, y así el 90% de población verá como sale la bola negra en una escala superior del fractal.
La verdad que está claro que la probabilidad no tiene memoria ni del pasado ni del futuro, que tengo un 99,9% de vivir, pero seguro con un 90% de probabilidad que estoy entre los que ven la bola negra salir!


De: jujo sama
2013-02-24 09:26:05

Espinus, no hay paradoja porque es como comparar peras con manzanas; Una cosa es el porcentaje de la bola negra y otra el porcentaje que resulta de las reglas del juego. Puede llevar a confusión, y creer por tanto que existe una paradoja, el hecho de que ambos son porcentajes... Pero es lo único que tienen en común, que ambos son porcentajes!!. Eso lleva al cerebro humano a pensar que se pueden discutir, comparar o evaluar entre ambos, pero creeme, son cosas distintas.
La solución de esta supuesta paradoja es que no es paradóico que cosas distintas no sean iguales. XD


De: Simplificador
2013-02-24 12:23:53

Jujo Sama, supongamos que ha sido usted seleccionado para participar en el segundo turno del sorteo. ¿Cuál es la probabilidad de que le salga a usted la bola negra?


De: Persi
2013-02-24 20:18:21

Antes no lo hice, pero debo felicitar a Pedro por mostrar esta paradoja, la cual no se me va de la cabeza desde que se publicó y además acertó con los comentarios.

Me surge una duda en cuanto al antes y al después de salir la bola negra, ya que si lo analizas como un juego terminado, tienes una infrmación diferente que analizandolo desde el punto de vista de una ronda en particular.
Supongamos que en cada ronda participa un solo jugador. Cada jugador tendrá una probabilidad entre mil de morir. Pero supongamos que el juego acaba en la octava ronda: los 8 jugadores que han participado tenían las mismas probabilidades de pertenecer a cualquier turno, de manera que ¿ Sería correcto decir que para ese juego, una vez que ha terminado, han tenido 1 probabilidad entre 8 de morir? A mi me parece una afirmación tan correcta como la otra, pero solo puedes hacerla una vez que el juego termina.

No deja de parecerme curiosísima.


De: jujo sama
2013-02-25 15:02:44

Para Simplificador:
la probabililidad de que te salga la bola negra en ese caso es de : 0,0999000999000999000999000999001 %


De: Argus
2013-02-25 15:07:26

Yo creo que sí, Persi. Si te dicen que el juego ha acabado y ha habido 8 rondas y tú eres uno de ellos, tu probabilidad de haber sacado la bola negra es 1/8.

Es como si te dicen que han nacido quintillizos y que tú eres uno de ellos. Tu probabilidad de haber nacido el primero de los cinco es 1/5, que no tiene nada que ver con la ínfima probabilidad en general de ser el primero de 5 quintillizos.


De: Simplificador
2013-02-25 21:04:33

Jujo, perdone: ¿qué cálculos ha hecho usted para llegar a ese número?


De: jujo sama
2013-03-01 13:48:52

Ese número sale del numero de tu ronda, ejemplo:
No existe la misma probabilidad de que te salga la bola negra si estas en la ronda 10 que si estas en la ronda 1000. Porque en la ronda 10 tienes 9 rondas previas en las que puede salir la bola negra y concluir el juego sin que te llegue a ti, y en el caso de que te preseleccionaran para la ronda 1000 tienes 999 posibilidades de eso mismo... o sea practicamente casi imposible que llegue a tu turno.
En una formula para calcular como influye tu ronda en la probabilidad es la siguiente:
1 dividido entre (1000 bolas + el numero de turnos previos al tuyo).
Esto es que en el turno 1 la posibilidad es 1/1000
pero, en el turno 2 la posibilidad es 1/1001 y asi sucesivamente en la ronda 1000 la posibilidad de que te salga la bola negra es 1/1999, o sea tus 1000 bolas mas las 999 posibilidades de que no llegue nunca tu turno porque sale la bola negra antes.


De: Simplificador
2013-03-02 18:56:37

Muchas gracias, Jujo. Me ha quedado clarísimo.

Un saludo


De: Argus
2013-03-04 17:26:40

Jujo sama, no estoy de acuerdo con el cálculo explicado en el comentario 114. La probabilidad de que te toque la negra en el turno 2 es igual a la probabilidad de que salga blanca en el turno 1 por la probabilidad de que salga negra en el turno 2, esto es, (999/1000 ) x (1/1000), lo que da exactamente 0.0999%

En general, la probabilidad de llegar al turno n es (999/1000)^(n-1). Entonces, por ejemplo, llegaríamos al turno 1000 un 36,8% de las veces, que es algo no tan difícil.


De: jujo sama
2013-03-04 20:31:40

Creo que tienes razón.


De: Nelson Hereveri
2013-04-05 00:18:50

No creo que sea una paradoja, ya que son dos conjuntos diferentes. El primero de participantes, que es una función exponencial en relación a los turnos y la segunda es lineal con respecto a la selección de bolas blancas o (una) negra.

A mi parecer no hay paradoja.


De: Venger
2013-10-07 11:16

Me encantaría ser catedrático de probabilidad en alguna facultad de matemáticas para poder hacer un comentario acertado.

Como lamentablemente no lo soy, os cuento una chorrada verídica que sí es oportuna y que leí en un libro de casos clínicos curiosos. Una vez en una consulta médica fue un señor mayor que tenía que hacerse una operación complicada y el doctor le dijo: - No se preocupe, esta operación sale mal uno de cada cien mil casos. A lo que el venerable paciente le respondió: -¿A sí? y dígame, ¿por qué número van?...

De: Venger
2013-10-09 09:12

Queridos amigos, ya lo he pensado con un poco más de detenimiento y he llegado a conclusiones:

No hay paradoja y la probabilidad de morir si participas en el juego es del 90%

Demostración:

Estamos hablando de un suceso probabilístico con una fuerte coacción. Esa coacción es que el turno en el que sale la bola negra es en el que más personas mueren. Esa coacción es la que desvirtúa y anula la probabilidad del 0,1% de sacar la bola negra.

Para eso, establezco una premisa que pienso que es verdadera y si es falsa, se desmonta mi argumento, corregidme en ese caso. La premisa es: la probabilidad de sacar una bola negra si repito el ejercicio 1000 veces es del 100%. Con lo que estamos seguros que antes de 1000 turnos, habremos obtenido la negra. Aunque la bola obtenida la vuelva a meter en el saco para el siguiente turno, claro.

Pues bien. Con esto, lo que hago es refutar el hecho de que la población tenga que ser infinita para que exista la paradoja. No. Eso sí, la población debe ser como mínimo de 10 elevado a 1000 (un número asombrosamente grande, mucho más incluso que el número de electrones que hay en el Universo).

Entonces sí que aseguramos que en algún ejercicio se sacará la negra. Y en ese ejercicio, morirá el 90% de los participantes, puesto que el juego se acaba. Otra cosa distinta sería si el juego continuara, pero no es el caso y sería otro juego con otra probabilidad diferente y que debe ser contado en otra ocasión.

Ya Pedro lo confirma sutilmente con el resultado del juego, ya que el protagonista saca la negra. Claro, es que es lo más probable.

El ejemplo de los barcos de Mmonchi me ayudó a entenderlo. Efectivamente es como si hubiese 1000 barcos para cruzar al otro lado del mar. Bueno no. 1000 no. N. Siendo N el número de ejercicios que se hacen hasta que se saca la negra. Pongamos que sale en el ejercicio 800. En el primer barco va 1 persona, en el 2º 9, en el 3º 90, … y así hasta el barco 800 que van 9•10^798. Y hay un barco que sabemos que se hunde. ¿Qué probabilidad hay de que el barco en el que voy yo se hunda? Pues el 1,25%, sí. Pero ahora viene la gran coacción. Resulta que el barco que se hunde no es cualquiera, sino que es el barco número 800, es decir, el que lleva al 90%. Pues está claro. Si el 90% de la población va en ese barco, ¿qué probabilidad tengo yo de pertenecer a ese barco? Pues el 90%. Es decir, la probabilidad de que se hunda un barco cualquiera no existe, puesto que se va a hundir uno en concreto. El último.

¿Se entiende mi argumento? ¿Es correcto?

Ah y también estoy de acuerdo en que esto es igual que las estafas piramidales. Éstas van por niveles, que corresponderían a los ejercicios que he llamado yo. Siempre los que están por los primeros niveles, ganan dinero y sólo lo pierden los que están en los últimos niveles, es decir, los últimos que han entrado en la estafa. Y además éstos son los más numerosos, con los que la mayoría pierden dinero y sólo unos poquitos lo ganan. La probabilidad de perder dinero en una estafa piramidal es muy alta.

Me ha encantado esta entrada

De: Argus
2013-10-09 14:17

Sí, Venger, en teoría y con los datos en la mano, si participas en el juego hay un 90% de probabilidad de morir, es decir, de haber sacado la bola negra. Entonces sabiendo esto, si te llamaran para jugar tú apostarías a que la bola que te va a salir es la negra ¿no? Hmmmm... di la verdad ¿estarías un 90% seguro de que te va a tocar la negra?

Pues ahí está la paradoja...

De: Venger
2013-10-09 18:49

Pues ya me has hundido en la miseria, Argus. Creía que lo tenía bien claro, pero no me atrevo a apostar a que saliese la negra. No sé, me lo pensaré y dentro de un par de días te contesto. Gracias por el comentario

De: Mmonchi
2013-10-10 00:01

Hola, sigo pensando que la probabilidad de morir es del 0,1%. Si a tu madre le dicen «Tu hijo va a jugar.» puede quedarse relativamente tranquila, pues tienes una probabilidad entre mil de morir. En cambio, si le dicen «Tu hijo ya ha jugado y el juego ha terminado.» debe preocuparse, pues hay una probabilidad del 90% de que hayas muerto. Pero son dos cosas diferentes, la probabilidad de un suceso futuro y la de un suceso pasado.

Si el problema se planteara con un número de jugadores en cada ronda desconocido, Xn, de modo que en la primera ronda juegan X1, en la segunda X2, y en la enésima Xn, pensaríamos que la probabilidad de que les toque a los jugadores de la ronda n es independiente del valor de Xn, ¿verdad? La probabilidad sería la misma, 1/1000, tanto si Xn=1, Xn=2n, Xn=9*10^(n-1) o Xn es un número elegido al azar. El valor de Xn no influye en la probabilidad de que salga una bola negra de una bolsa en la que hay además 999 bolas blancas, no tiene nada que ver.

Pero hay un hecho, al final mueren el 90% de los participantes. Sí, ¿y qué? Ese dato nos permite preocuparnos por alguien que sabemos que ha jugado en una partida ya terminada, pues su probabilidad de haber sobrevivido es del 10%. Pero, repito, es un problema diferente.

Venger, si repites el ejercicio mil veces la probabilidad de sacar la bola negra es del 63,23% (1-0,999^1000). Recuerda que cada vez que sale la bola blanca la vuelves a meter, así que la probabilidad en cada turno es la misma, 1/1000. Es como si tiraras un dado y dijeras «La probabilidad de sacar un 6 en seis tiradas es del 100%». Resulta fácil comprobar que no es así, en seis tiradas puedes obtener un 6, o ninguno, o dos, o incluso seis. La probabilidad de que saques un 6 en seis tiradas es alta, concretamente el 66,51%, pero no es el 100%.

De: Venger
2013-10-10 14:17

Mmonchi, ¿cómo sacas el dato de 66,51% cuando tiro un dado 6 veces?

De: Sergio B
2013-10-10 17:07

Creo que esta paradoja no se publico inicialmente en ese articulo que mencionas, si le hechas un ojo a un abstracto del articulo, parece ser una solucion para la paradoja, que, segun dicen en el articulo, fue desarrolada por John Leslie en conexion con su ADJF. Y por cierto, igual no creo que todo el articulo sea asi, pero el principio es digno de alienigenas matematicos. No se como lo resolveran ellos, por que eso de distribucion de probabilidades estandard contable y aditiva, se escapa de mi conocimiento.

Yo creo que la paradoja viene de que si piensas que probablemente no vas a morir es que tu no estas usando el principio antropico y si tu madre se preocupa es que ella si. No creo que halla mucha diferencia entre tu hijo va a jugar o tu hijo a jugado y el juego ha terminado. Como tu hijo tiene un 90% de probabilidades de jugar la ultima ronda, si tu hijo va a jugar muy probablemente el juego va a terminar. Es decir, si fuera a cara o cruz, si solo hubieran 5 bolas blancas o 35, no cambiaria nada.

Es decir si consideramos dos posibilidades, sale la bola blanca (A) y sale la bola negra (B) apartir de la segunda ronda ambas tienen el mismo resultado, mueren el 90% de los participantes (C). Sea cuales sean las proabilidades de A y B, siempre sera C. En fin que pr (A) y pr (B) no cambian absolutamente nada. Si anadieramos otra regla, te preguntan de que color va a ser la bola para saber si usar el DTP contigo, si aciertas vives. Si todos los participantes dicen negra, cuantos sobreviven? De verdad confiarias en tu intuicion y dirias blanca? Bueno, por que siempre va mas rapido el otro carril?

De: Mmonchi
2013-10-10 18:00

Venger, la probabililidad de que NO salga un 6 en una tirada es 1-1/6, es decir, 5/6. La probabilidad de que NO salga un 6 en n tiradas es (5/6)^n, que se va haciendo menor cuantas más tiradas haces. La probabilidad de que SÍ salga un 6 en n tiradas es la complementaria, 1-(5/6)^n. Para seis tiradas 1-(5/6)^6=0,6651=66,51%.

De: Mmonchi
2013-10-10 18:06

Sergio B, según tu razonamiento la probabilidad de morir es del 90% independientemente de las bolas que haya. Es decir, si hay un millón de bolas blancas y una negra la probabilidad de que mueras del 90%, y si hay un millón de bolas negras y una blanca la probabilidad de que mueras también es del 90%. Teniendo en cuenta que lo que decide si mueres o no es que salga una bola negra o una blanca, resulta sorprendente que el número de bolas de cada color no influya en nada.

De: Sergio B
2013-10-10 18:51

Mmonchi, a partir de la segunda ronda, asi es. Lo que decide si mueres o no, no es el color de la bola que salga, es si estas o no en la ultima ronda.

A mi tambien se me hace sorprendente, pero me pasa con bastante de estas cosas que se deducen con lo del principio antropico.

Fijate en lo del argumento del dia del juicio final e intenta relacionarlo con esto, de que relacion de bolas blancas contra negras estariamos hablando? (La verdad es que cuando lei que esta paradoja se desarrollo al mismo tiempo que ese argumento, la verdad es que tiene sentido que esten muy relacionadas) http://eltamiz.com/2007/04/23/%C2%BFva-a-extinguirse-pronto-la-raza-humana/

De: Venger
2013-10-10 19:12

Muchas gracias Mmonchi por tu corrección, estaba equivocado.

Y ya por curiosidad: 66,51% es la probabilidad de que salga un seis en seis tiradas, ¿no?.

Pero ¿y la probabilidad de que salga algún 6 en esas seis tiradas?¿es la misma? Yo creo que no

Déjame intentarlo yo: sería la suma de las probabilidades de que salga un seis y dos seises y tres seises... hasta seis seises? Es decir: pr(6)+pr(2·6)+...+pr(6·6). Que sería mayor que 66,51%

De: Mmonchi
2013-10-10 20:42

No, Venger, me he explicado mal. 66,51% es la probabilidad de que salga ALGÚN 6, que es la opuesta a la de que no salga NINGÚN 6.

La probabilidad de que salga solo un 6 es la de que salga un 6 en una tirada (1/6) por la de que salga un número que no sea 6 en cinco tiradas ((5/6)^5) por el número de formas de obtener ese resultado (6), es decir, (1/6)(5/6)^56=40,19%.

La de que salgan dos 6 es (1/6)^2(5/6)^415=20,09%.

La de que salgan tres 6 es (1/6)^3(5/6)^320=5,36%.

La de que salgan cuatro 6 es (1/6)^4(5/6)^215=0,80%.

La de que salgan cinco 6 es (1/6)^5(5/6)6=0,06%.

La de que salgan seis 6 es (1/6)^6*1=0,0021%.

Al sumar los seis porcentajes obtenemos el 66,51% del principio. Como este proceso es largo y complicado, lo que se hace es calcular la probabilidad opuesta, la de que no haya ningún 6, y de ahí la de que haya algún 6 se obtiene restándosela a 1.

De: Mmonchi
2013-10-10 20:53

Sergio B, estoy de acuerdo con esto: "Lo que decide si mueres o no, no es el color de la bola que salga, es si estas o no en la ultima ronda.". Para calcular el valor de la probabilidad de que estés en la última ronda vamos a usar la fórmula básica de la probabilidad: casos favorables divididos entre casos posibles.

El número de casos favorables lo conocemos: 1. Es decir, en una partida solo hay una última ronda.

El número de casos posibles debemos estimarlo. A priori no tenemos forma de saberlo, la bola negra puede salir en la primera ronda o en la ronda número un millón. Lo que sí podemos calcular es el número promedio de rondas que tendrá una partida, así que aplicamos el concepto de esperanza matemática y obtenemos ese número de rondas promedio. Y, como no podía ser de otra forma, ese número promedio es 1000.

Ahora aplicamos la fórmula de casos favorables divididos entre casos posibles y obtenemos la probabilidad de estar en la última ronda, 1/1000=0,1%. No es casualidad que coincida con la probabilidad de sacar la negra, claro.

Así que la probabilidad de que estés en la última ronda es de 0,1%.

De: Mmonchi
2013-10-10 21:01

Sergio B, te planteo el siguiente problema: El alieníegena matemático te ofrece elegir el juego entre dos posibilidades:

A) En la bolsa hay una bola negra y 999 blancas, y el número de jugadores es 1, 99, 9900, 999000, vamos, como el juego de antes pero aumentando el número de jugadores diez veces más rápido.

B) En la bolsa hay una bola blanca y 999 negras, y el número de jugadores es 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, es decir, en la última ronda muere el 50% de los jugadores.

En el juego A) muere el 99% de los jugadores pero la probabilidad de que te salga la bola negra es del 0,1%; en el juego B) muere el 50% de los jugadores pero la probabilidad de que te salga la bola negra es del 99,9%.

¿Qué juego eliges?

De: Persi
2013-10-10 21:55

Disculpa Mmonchi, para que la probabilidad de pertenecer a la última ronda fuese de un 0,1% ¿No debería participar el mismo número de jugadores por ronda?

De: Sergio B
2013-10-10 22:07

Ummm, yo creo que cuando calculas las probabilidades de estar en la ultima ronda no lo haces bien, no tienes las mismas posibilidades de estar en todas las rondas. A mas rondas, menor es la probabilidad de estar en todas las anteriores a la ultima. La probabilidad de que estes en la ultima siempre es el 90 %, no importa cuantas rondas halla.

Respecto a los dos juegos, aplicando la logica eligiria el segundo, siempre que me garantizasen que va a haber mas de una ronda. Se ve claramente, lo mas probable es que si te garantizan que van a haber mas de una ronda, solo haya dos, tienes la mitad de posibilidades de estar en la primera, eso es mucho mejor!

De: Mmonchi
2013-10-10 22:31

Persi, yo creo que no. Estoy planteando el problema ANTES de que el alienígena matemático saque la bola, y en ese momento la probabilidad de que mi ronda sea la última es 1/1000.

Otro problema diferente es que DESPUÉS de acabar la partida, tú que sabes que he jugado, calcules la probabilidad de que estuviera en la última ronda, y es del 90%.

Pero para mí no hay contradicción: la probabilidad calculada antes y la calculada después son diferentes porque son cosas distintas.

Creo que así se puede ver mejor, con un ejemplo que ya he puesto: un alienígena matemático presciente sabe que la bola saldrá en el séptimo turno, así que toma un millón de personas y las distribuye en siete grupos de 1, 9, 90, 900, 9000, 90000 y 900000. (Da igual que sea en el séptimo turno o en el milésimo, pero así salen números más manejables.) En ese caso tu probabilidad de morir es del 90%. Pero este caso es completamente distinto, ya no hay azar, desde el principio está determinado el tamaño del grupo de humanos que participa. La diferencia es que en el problema original tú no formas parte de un grupo del que va a morir el 90% porque el grupo no está definido. El grupo es variable, no se va a definir hasta que no salga la bola negra, y mientras tanto la única probabilidad que existe es la de que mueras o no en ese turno, que es la de que sea el último turno: 1/1000.

Yo creo que ahí está la clave de la paradoja: en considerar que formas parte de un grupo que todavía no existe, su número no está definido, y usar ese valor para calcular una probabilidad.

De: Sergio B
2013-10-11 10:08

Mmonchi, no entiendo bien como aplicas las probabilidades. Sabras que al tirar un dado, si lo tiramos 6 veces y salen 6 seises, la probabilidad de que salieran seis seises sigue siendo un 0,0021%, no importa en absoluto lo que haya salido. Antes y despues de que haya ocurrido no importa en absoluto.

Si seguimos el argumento de tu alienigena matematico presciente, podemos analizar la probabilidad de que descubra que van a ser siete rondas, bastante bajas, ocho, doscientas, cien mil, la probabilidad de que sea un numero finito en cambio, es del 100%. Como bien dices, da igual que turno sea, pero podemos estar al 100% seguros de que el alienigena presciente predecira un numero. Por lo tanto, no necesitamos ningun alienigena presciente para saber que efectivamente la partida va a terminar y nuestra probabilidad de morir es del 90%. Eso lo sabemos antes de jugar y despues tambien, si seguimos vivos. No sabemos el tamano del grupo, pero sabemos que esta definido.

Piensa en los dados, si yo te digo que ganas si sale algun seis y que lo voy a tirar seis veces, tu probabilidad de ganar es el 66,51%. Si te digo que voy a tirar el dado 200 veces? tu probabilidad de ganar aumenta o disminulle? Si digo que lo voy a tirar hasta que ganes, sin especificar cuantas veces tendre que tirar el dado para eso, tu probabilidad de ganar baja a 1/6 o se convierte en un 100%? Si yo te preguntase si apuestas a que ganas o a que pierdes, que apostarias?

De: Argus
2013-10-11 15:23

Tanto tiempo después de esta entrada y yo sigo dándole vueltas pero no comento por no hacerlo repetitivo. Ahora que veo el juego alternativo que propone Mmonchi, le contesto que elijo la opción A siempre y me animo a devolverle la pregunta:

Imaginemos 2 versiones del juego: versión A con 999 bolas blancas y una negra y versión B con 999 bolas negras y una blanca. La versión A acaba cuando sale la negra y muere el 90%. La versión B acaba cuando sale la blanca y sobrevive el 90%. A los individuos no los matan inmediatamente sino que los marcan con un punto rojo y los matan después de una fiesta de despedida para todos los que jugaron.

Yo estoy de acuerdo con Mmonchi que prefiero jugar la versión A, con 999 bolas blancas. Sin embargo envidiaré a los que jugaron la versión B, pues nos veremos en la fiesta de despedida y observaré que sólo uno de cada 10 que jugó la versión B están marcados, mientras que de los que jugamos la versión A estamos marcados casi todos. Dicho de otro modo: Si veo a alguien marcado para morir casi seguro jugó la versión A y si veo a alguien no marcado que sobrevivirá, casi seguro que jugó la versión B. Si no conociese la dinámica del juego, seguro que elegiría la versión B a juzgar por los resultados. Entonces resulta que mi elección para preferir versión A o versión B depende de si conozco los detalles del juego independientemente de los resultados. Pues qué raro es eso.

Bueno, perdón por darle más vueltas, pero realmente cada día tengo una opinión distinta sobre esto. Me parece una paradoja fantástica.

De: Mmonchi
2013-10-11 16:10

Sergio B, tú estás suponiendo que sabes que vas a jugar. Es decir, antes de empezar el juego supones un conocimiento, que vas a participar en un juego de esas características. Si reúnes a todos los que van a jugar puedes afirmar que el 90% de ellos van a morir, y como estás entre ellos, tu probabilidad de morir es del 90%.

Solo hay un pero: que ese no es el juego. Tú no sabes que vas a jugar hasta que te ves frente a la bolsa con 999 bolas blancas y una negra. Nadie sabe cuantas rondas va a durar el juego, ni el alienígena matemático (que no es presciente). Así que no puede reunir a todos los jugadores antes de empezar la partida, porque no sabe cuántos necesitará. Si reúne infinitos jugadores la probabilidad de que uno de ellos muera es cero porque solo jugará un número finito. Si estás jugando la probabilidad de que mueras tú (no un jugador del total de jugadores, sino tú frente a la bolsa) es la de que salga la bola negra, 1/1000. Y si ya ha terminado, la probabilidad de que uno de los jugadores que ha participado esté muerto es del 90%. Así que tenemos tres posibilidades y las tres son correctas: 0%, 0,1% y 90%. Pero cada una es correcta si se admiten las premisas.

Es decir, la probabilidad de que uno de los jugadores QUE YA HA JUGADO esté muerto SI LA PARTIDA HA TERMINADO es del 90%.

Pero la probabilidad de que SI ESTÁS JUGANDO y en este momento tiene que salir tu bola porque AHORA MISMO ES TU TURNO es del 0,1%.

Cada probabilidad está condicionada a que se den unas determinadas condiciones, que son diferentes, y por eso varía el resultado.

A tu pregunta: es evidente que si juego todas las rondas hasta que salga un 6, ganaré, pero ese no es el juego.

Y te pregunto: en el juego de antes, el de las opciones A o B, si sabes que no estás en la primera ronda, ¿qué eliges? ¿La opción A, con una bola negra y 999 blancas o la B, con 999 negras y una blanca? ¿La A, con un 99% de muertos al terminar el juego o la B, con un 50%? Según tu razonamiento deberías elegir la B, pero, si te ves ante la bolsa, ¿elegirías la A o la B?

De: Sergio B
2013-10-11 20:25

Mmonchi, en realidad, el alienigena te ha explicado exactamente en que tipo de juego estas participando. No sabes en que ronda estas y como, que tu sepas, eres uno de los participantes, tienes unas enormes posibilidades de participar en la ultima ronda. Tu sabes que vas jugar antes de enfrentarte a la bolsa, te lo acaban de decir.

No existen diferentes premisas, sino no seria ninguna paradoja (la probailidad de que te salga un seis es distinta en 1 tirada que en 6 que en infinitas, no es nada misterioso). Tu solo sabes lo que te ha dicho el alienigena: 1 estas jugando al juego 2 el 90 % de los que juegan mueren 3 el efecto que activa tu muerte tiene un 0,1% de probabilidades de ocurrir. Creo que estas confundiendo probabilidades con hechos. Cuando termine la partida, nadie tiene probabilidad de morir, o esta muerto o no. No va a terminar la partida y van a elegir al 90% de los que participaron para morir, los que fueron elegidos para participar en esa ultima ronda antes de que saliera la bola, son los que estan muertos. Estas dandole importancia al activador cuando resulta que no es lo importante. Pero ten en cuenta que no puedes anadir informacion, no hay antes ni despues, siempre tienes que pensar en el mismo momento con la misma informacion, sino no tiene sentido hablar de paradojas.

Si eres uno de los infinitos tu probabilidad de ser elegido es 0%, pero no importa en absoluto, por que has sido elegido, has tenido mucha mala suerte. No creo que tenga nada que ver con el juego.

Si te preguntan si va a salir blanca o negra y si aciertas vives. Si todo el mundo dice negra, se habra salvado el 90%, si la mitad dice negra y la otra mitad dice blanca se salva el 50%, si todo el mundo dice blanca, se salva el 10%.

Elegiria la B, hasta que saquen la bola, es la mejor opcion, pues los que eligan la B sobreviran muchos mas. Despues de que saquen la bola, estare vivo o muerto, no eligire nada.

Perdona que no me centre en un unico argumento intento afrontar el problema desde varios angulos a ver si de esa forma se te enciende la bombilla o se me enciende a mi. Vamos con otra reflexion.

Si miramos aqui http://eltamiz.com/2007/04/21/%C2%BFcuantos-corredores-hay-en-la-carrera/ en el caso de los corredores, quieres decirme que si el alienigena matematico no te ha dicho si van dando los numeros segun van eligiendo corredores si reparten los numeros una vez que ya han elegido el numero de corredores o puedes decidir que elegir?

Es decir que si existe un AM presciente, en algun lugar del universo, que mientras se esta comiendo alguna inocente criatura presiente el numero de rondas que se van a jugar y por lo tanto, el numero de participantes es fijo, pero no se lo dice a nadie, por puro sadismo, tus probabilidades de morir pasan del 0,1% al 90%, aunque no cambie tu informacion?

De: Mmonchi
2013-10-13 12:46

Sergio B, creo que la paradoja está en que hacemos que hechos futuros cambien la probabilidad del pasado. El alienígena dice que va a morir el 90% de los humanos, pero ese es un hecho futuro. ¿Y si el alienígena cambiara de opinión? ¿Y si decidiera que para que no se le acaben los humanos en cada ronda, a partir de la séptima solo participe un millón de humanos cada vez? ¿Y si para ir más rápido empezara a coger el doble de humanos en lugar de diez veces más? ¿Y si un incomprensible cataclismo cósmico acabara con ellos, impidiéndoles acabar la partida? ¿Cómo afectaría cada una de estas posibilidades a la probabilidad de que mueras?

Según lo veo yo, en nada. Tus probabilidades de morir serían siempre las mismas, 0,1%, independientemente de lo que depare el futuro. Supongo que tú me dirás que la probabilidad es del 90% si el alienígena ha dicho la verdad y cualquier otro valor en caso contrario, pero yo no entiendo que un hecho futuro (un cambio de opinión del alienígena, un número limitado de humanos, el cataclismo cósmico) pueda afectar a una probabilidad actual. Iría contra el principio de causalidad.

Imagina este otro problema: los alienígenas deciden jugar a este juego un número N determinado de rondas, tan alto como quieras. Al acabar el número de muertos será al menos el 90%, si salió la bola negra por última vez en la última ronda; al menos el 9%, si salió la bola negra por última vez en la penúltima ronda; al menos el 0,9%, si salió la bola negra por última vez en la antepenúltima ronda; y así sucesivamente.

¿La probabilidad de morir de cada uno de los humanos dependerá de en qué turno salió la bola negra por última vez? Yo creo que no, que es del 0,1%, la de que salga la bola negra en su turno.

De: Sergio B
2013-10-13 17:06

Mmonchi, la probabilidad por definicion habla del futuro. Analizar lo que pasa en el presente es estadistica. Por ejemplo se puede decir que la altura media es 1,80, con la desviacion tipico que sea y la funcion estadistica que mejor se ajuste, podemos decir que un nino al nacer tiene una probabilidad de tener cierta altura, en cierto rango. Si no tenemos mas informacion, claro. Pero si hemos visto que la altura aumenta cada ano una media, podemos corregir ese valor y asignar una probabilidad distinta. Siempre estamos usamos la informacion que tenemos para predecir el futuro. Que eso funcione es sorprendente, pero es un hecho.

Siempre que asignas un probabilidad condicionada, estas considerando hechos futuros. Si calculas la probabilidad de que salga un seis en seis tiradas, estas asumiendo que vas a a ser capaz de tirar el dado seis veces. Y si cae un asteroide despues de la segunda? Necesitas un alienigena presciente para que te diga que efectivamente vas a tirar el dado seis veces? No es necesario, esa prediccion del futuro es parte de la informacion, sino se cumple, efectivamente tus probabilidades fallaran, pero eso pasa con toda la informacion que tengas en cuenta, tu puedes estar considerando que el dado no esta trucado y estarlo efectivamente al igual que la bolsa puede tener mil bolas negras, no es parte de tu informacion y no puede afectar a tu calculo. En fin, que no veo por que es tan importante para ti algunas cosas del futuro que puedan cambiar y no otras, como por ejemplo, en el futuro el alienigena va a sacar una bola de la bolsa, puede matarte si quiere sin sacar ninguna bola. Si no consideramos ninguna infromacion del futuro, por definicion no podemos dar ninguna probabilidad de nada en absoluto.

Sigamos tu juego con N, asignemos un valor relativamente sencillo, 2. Participaran 10 jugadores, hay solo tres casos posibles, BB, BN o N con unas probabilidades del 99,8001%, 0,0999% y 0.1% en las otras dos. En el primer caso, tus probabiidades de morir son 0, en el segundo son un 90% y en el ultimo un 10%, mutiplicado por las probabilidades de que ocurra cada caso no da tu probabilidad de morir en el juego con dos rondas es del 0,09991%. Como puedes ver, el analisis es el mismo que tu hicistes con los dados, y tu probabilidad de morir no es el 0,1%. Ahora si consideramos N desconocida y, como nos dijo el alienigena va a terminar la partida en N. solo existe una posible partida BBB.......BBN y sea cual sea el valor de N el resultado va a ser el mismo. Excepto, claro esta, que existe el caso N=1, en el que mueren el 100% y eso haria aumentar algo el 90%, pero se puede despreciar.

De: Mmonchi
2013-10-16 13:12

Segio B, creo que con este ejemplo se entenderá mejor:

PARADOJA DE LAS MONEDAS

Vamos a realizar un experimento con monedas. Consideramos que la probabilidad de obtener cara (C) es la misma que la de obtener cruz (X), es decir, 1/2 o un 50% en cada caso.

El experimento consiste en ir lanzando monedas hasta que salga una cara, y en ese momento termina. Por ejemplo, si la primera moneda sale cara el resultado es C y ahí acaba; si la primera sale cruz y la segunda cara el resultado será XC. Los resultados posibles son C, XC, XXC, XXXC y, en general, con n monedas XX...n-1...XXC, habiendo obtenido n-1 cruces en las primeras tiradas y una cara en la última.

La probabilidad de obtener cada resultado es fácil de calcular: la de obtener C es 1/2, la de XC es 1/4, la de XXC es 1/8, y en general la de obtener XX...n-1...XXC es 1/2^n.

Una vez terminado el experimento tenemos sobre la mesa un grupo de monedas, de la que una es cara y el resto son cruces. ¿Cuál es la probabilidad de que si tomo una moneda al azar sea la cara? Si n=1, es decir, si solo hay una moneda y es cara, la probabilidad es 1, el 100%. Si n=2, con dos monedas y una cara, es 1/2. Para n monedas, con n-1 cruces y una cara, la probabilidad de elegir la cara es 1/n.

La pregunta es, por tanto, que si lanzo monedas hasta que una salga cara y después elijo al azar una de las monedas lanzadas, ¿qué probabilidad hay de que sea cara?

Para calcularlo usamos los resultados anteriores. Multiplicamos la probabilidad de obtener cada resultado (C, XC, XXC, etc.) por la probabilidad de obtener cara en cada caso (1, 1/2, 1/3, etc.) y las sumamos: P(C)x1+P(XC)x1/2+P(XXC)x1/3+...+P(XX...n-1..XXC)x1/n+...=1/2x1+1/4x1/2+1/8x1/3+...+1/2^nx1/n+...

Tenemos que sumar la sucesión de término general 1/2^nx1/n desde n=1 hasta infinito. La serie es convergente y el valor de su suma es 0,6931=ln(2).

Es decir, la probabilidad de que al terminar el experimento una moneda que se ha lanzado muestre cara es del 69,31%.

¿Qué ocurre aquí? ¿La probabilidad de obtener cara es del 50% o del 69,31%? Según se ha definido, es del 50%, pero el resultado real es que obtenemos un 69,31% de caras. ¿Dónde está el error? ¿Cuál es la explicación de la paradoja?

Esta paradoja en el fondo es la misma que la de los alienígenas matemáticos, y la explicación también es la misma en los dos casos, pero con las monedas creo que puede entenderse mejor. Si tiro un número indeterminado de monedas puedo obtener cualquier resultado, los voy a agrupar en el siguiente conjunto, que llamaré conjunto de todos los resultados posibles al lanzar monedas: U=C,X,CC,CX,XC,XX,CCC,CCX,CXC,...} Ahora voy a dividir el conjunto en dos subconjuntos, el primero formado por los resultados válidos de mi experimento V={C,XC,XXC,XXXC,...} y el segundo por todos los demás, W={X,CC,CX,XX,CCC,CCX,CXC,...}. Es evidente que U es la unión de V y W.

Si lanzo un número cualquiera de monedas el resultado estará en U. La probabilidad de que tras obtener ese resultado una de las monedas sea cara es del 50%. El resultado además estará en V o en W. Si está en V, la probabilidad de que tras obtener ese resultado la moneda sea cara es del 69,31%; si está en W, en cambio, la probabilidad de que tras obtener ese resultado una moneda elegida al azar sea cara será menor que el 50%.

La respuesta a la paradoja es que los resultados están sesgados. Hemos elegido los resultados posibles del experimento de modo que los elementos que los componen tengan un sesgo, en el caso de las monedas que haya más caras que cruces y en el de los alienígenas que haya un 90% de muertos. Pero la probabilidad de que un experimento individual tenga un resultado, en el caso de la moneda que salga cara y en el caso de la bola que salga negra, tendrá el que marca la estadística, respectivamente 1/2 y 1/1000.

Para crear el problema hay que conseguir, primero, un conjunto de resultados que presente un sesgo, y segundo, un experimento que solo ofrezca resultados de dicho conjunto. Una vez hecho eso, la paradoja está servida.

De: SergioB
2013-10-17 13:02

Mmonchi, obviamente los resultados estan sesgados, eso es lo que ocurre al tener mas informacion. Cuando dices:

"Según se ha definido, es del 50%, pero el resultado real es que obtenemos un 69,31% de caras"

Lo correcto seria decir:

"Según se ha definido "INICIALMENTE", es del 50%, pero el resultado real es que obtenemos un 69,31% de caras."

Si yo te digo voy a coger a hombres y mujeres de un cierto pueblo y los voy a meter en un camion. Para elegir si escojo a un hombre o a un mujer tirare una moneda al aire, si es cara cogere un hombre, si es cruz cogere una mujer. Puedes decir que la probabilidad de que sea una mujer lo que yo elija en cada ronda es del 50%.

Ahora anado nueva informacion, el numero de hombres y mujeres es finito, y cuando se acaben los de un genero (ya los tenga a todos en el camion), independientemente de que salga en la moneda cogere a uno del genero que quede. Inicialmente, la probabilidad de elegir una mujer en cada ronda era del 50%, ahora dependera del numero de hombres y mujeres que haya asi como de cuanta gente vaya yo a meter en el camion.

Ahora si anado mas informacion aun, que en el pueblo que hago la prueba solo hay mujeres. Inicialmente, la probabilidad de elegir una mujer en cada turno era del 50%, con la nueva informacion, la probabilidad de elegir una mujer es del 100% y ademas ha pasado a ser independiente de la moneda.

Si miramos aqui, http://eltamiz.com/2007/04/21/%C2%BFcuantos-corredores-hay-en-la-carrera/ en la situacion 1, cuando pedro dice "propias y retorcidas razones", significa que pueden haberlo hecho a cara o cruz, o sacando una bola blanca entre 999 negras, y que eso no afecta en nada a tu respuesta?

En fin, que te han dicho claramente que estas en V, ni en U ni en W. Por que decides ignorarlo y responder como si estuvieras en U, es algo a lo que te obliga tu intuicion, pero no tiene por que ser lo acertado. Creo que a lo mejor la cuestion es que no te das cuenta de que estas en U.

En todo experimento hay una serie de informacion que no se dice pero se tiene en cuenta. Que estas diciendo si dices que la probabilidad de que en un experimento individual salga cara es del 50%? Decir que la probabilidad es del 50%, es por que efectivamente estamos considerando cual sera el resultado al realizar muchas tiradas. No solemos dar esa informacion, por que lo damos por supuesto, pero si cambiamos esa informacion, las probabilidades efectivamente cambian. La paradoja se forma por que hemos arraigado que las probabilidades son una propiedad, cuando no lo son en absoluto. No hay ninguna ley del universo en contra de que al tirar una moneda te salga cara tal cantidad de veces seguidas que antes de sacar una cruz se acabe el universo.

Esto tambien pasa con la medicion, si mides algo con un calibre, descubriras que no obtienes siempre el mismo resultado y no me refiero simplemente al error de medicion (que tambien), sino a mas factores, correctamente no se puede decir que nada midad nada sin anadir cierta incertidumbre. Si quisieramos ser estrictos, antes de decir nada de la moneda, deberiamos efectivamente tirarla miles de veces y ver exactamente cual es la probabilidad y con que margen, encontraras que monedas hechas con toda la precision posible no estaran nunca exactamente en el 50%, pero hechas con bastante buena fe estaran sumamente proximas a ese valor, asi que se elude decirlo, pero esta ahi.

De: Gustavo
2013-10-18 00:50

En cuanto al jugador: Si la bola que sacan para ver si viven o mueren se devuelve a la bolsa, entonces cada turno es independiente del anterior. Esto es, que da igual el turno en el que se encuentren, siempre habrá un probabilidad del 0,1% de sacar la bola negra.

En cuanto a las madres: No es cierto que el 90% de las madres reciben la llamada del fallecimiento de su hijo. Esto sólo es cierto si sacan la bola negra, es decir un 0,1%. Es decir que en un 0,1% de los casos un 90% de madres reciben la llamada que su hijo esta muerto, mientras que en un 99,9% de los casos el 100% de las madres reciben la llamada que su hijo esta vivo.

Aquí han contado lo que les ha dado la gana, como en el 99% de estos problemas de alienigenas. Cuando digo a "contar" me refiero a el número de objetos (ya sean casos posibles, casos totales, etc...), y como la probabilidad se basa en las relaciones de todas estas cosas que se cuentan, es normal que a cuentas distintas de resultados distintos aplicando las mismas fórmulas. Todos los trucos de estos juegos esta en que "cuentan" diferente.

De: Mmonchi
2013-10-20 19:02

Sergio B, en esta frase está la clave: “Según se ha definido, es del 50%, pero el resultado real es que obtenemos un 69,31% de caras.” Evidentemente hay un error, porque el 50% no está mal, no puede estar mal, ya que es un dato. Si aceptamos que tras definir que la probabilidad de que salga cara es del 50% resulta que la probabilidad es del 69,31%, podemos rehacer los cálculos con el nuevo dato, y obtendremos que ahora la probabilidad es de 82,79%; y si los hacemos con este dato, la probabilidad de obtener cara es 90,85%; y, sucesivamente, será de 95,82%, 97,60%, 98,79%, 99,39% hasta llegar a que la probabilidad de obtener cara es del 100%, lo cual es absurdo.

Obviamente el resultado real no es obtener un 69,31% de probabilidades ni ninguno de los otros valores, el real es obtener un 50% de las caras porque así se ha definido. Por tanto, el resultado de obtener un 69,31% es incorrecto porque contradice un dato inicial, y no puedes obtener que un dato inicial tiene un valor diferente al final salvo que se haya calculado mal. Así que vamos a calcular bien ese dato contradictorio con las premisas iniciales. Podríamos hacerlo con las monedas, pero lo voy a hacer con los alienígenas matemáticos. En ese caso el resultado incorrecto, el que contradice las premisas iniciales, es el de que hay un 90% de muertos, así que vamos a calcularlo bien.

Vamos a llamar M al número máximo de veces que se juega, es decir, las veces que se saca la bola. Este número está indefinido, así que lo que vamos a hacer es irle dando valores hasta hacerlo tender a infinito.

Empezamos viendo qué pasa cuando M=1. Los resultados posibles son {N,B}, siendo N el suceso sacar una bola negra y B sacarla blanca. La probabilidad de sacar una bola negra, por definición, es (1/1000), y la de sacarla blanca es (999/1000). Si sale la bola negra hay 0 vivos y 1 muerto, si sale la bola blanca hay 1 vivo y 0 muertos. El número esperado de vivos es 0x(1/1000)+1x(999/1000)=0,999 y el de muertos es 1x(1/1000)+0x(999/1000)=0,001. La probabilidad de estar muerto es 0,001/(0,001+0,999)=0,001=0,1%.

Ahora vemos qué pasa con M=2. Los resultados posibles son {N,BN,BB}. La probabilidad de sacar N es (1/1000), la de sacar BN es (999/1000)x(1/1000) y la de sacar BB (999/1000)^2. Si sale N hay 0 vivos y 1 muerto, si sale BN 1 vivo y 9 muertos y si sale BB hay 10 vivos y 0 muertos. El número esperado de vivos es 0x(1/1000)+1x(999/1000)x(1/1000)+10x(999/1000)^2=9,981009 y el de muertos es 1x(1/1000)+9x(999/1000)x(1/1000)+0x(999/1000)^2=0,009991. La probabilidad de estar muerto es 0,009991/(0,009991+9,981009)=0,001=0,1%.

Seguimos con M=3. Los resultados posibles son {N,BN,BBN,BBB}. La probabilidad de sacar N es (1/1000), la de sacar BN es (999/1000)x(1/1000), la de sacar BBN es (999/1000)^2x(1/1000) y la de sacar BBB es (999/1000)^3. Si sale N hay 0 vivos y 1 muerto, si sale BN 1 vivo y 9 muertos, si sale BBN hay 10 vivos y 90 muertos y si sale BBB hay 100 vivos y 0 muertos. El número esperado de vivos es 0x(1/1000)+1x(999/1000)x(1/1000)+10x(999/1000)^2x(1/1000)+100x(999/1000)^3=99,71127891 y el de muertos es 1x(1/1000)+9x(999/1000)x(1/1000)+90x(999/1000)^2x(1/1000)+0x(999/1000)^3=0,09981109. La probabilidad de estar muerto es 0,09981109/(0,09981109+99,71127891)=0,001=0,1%.

Hemos visto como la probabilidad de estar muerto para M=1, M=2 y M=3 es la esperada, 0,1%. ¿Qué pasa si tomamos un valor cualquiera de M? Vamos a hacerlo. Los resultados posibles son {N,BN,BBN,BBBN,…,BB..M-1..BBN,BB..M..BB}, donde BB..M-1..BBN representa M-1 bolas blancas seguidas de una negra y BB..M..BB representa M bolas blancas. La probabilidad de sacar BB..k..BBN, con k bolas blancas, es (999/1000)^kx(1/1000) y la de sacar BB..M..BB es (999/1000)^M. Si sale BB..k..BBN hay 10^k vivos y 9x10^k muertos, excepto con k=0 en cuyo caso hay 0 vivos y 1 muerto y si sale BB..M..BB hay 10^M vivos y 0 muertos. Sumando los términos, el número esperado de muertos es (1/1000)+9x(1/1000)x(999/1000)/(10x(999/1000)-1)x((10x(999/1000))^M-1) y el de vivos (999/1000)+9x(1/1000)x(999/1000)/(10x(999/1000)-1)x((10x(999/1000))^M-1). La probabilidad de estar muerto es el resultado de dividir el número esperado de muertos entre la suma del número esperado de muertos y el de vivos y eso da exactamente 0,001, el 0,1%.

Así que sabemos que para cualquier valor de M la probabilidad de estar muerto es del 0,1%. El problema es que M no tiene ningún valor definido, puede ser tan grande como sea necesario. Bien, pues calculamos la probabilidad cuando M tiende a infinito. En la fórmula anterior, la que nos daba la probabilidad de estar muerto en función de M, calculamos el valor límite cuando M tiende a infinito y obtendremos dicha probabilidad cuando el número máximo de rondas sea infinito. Y de nuevo obtenemos el mismo valor, la probabilidad de morir cuando el número de rondas tiende a infinito es del 0,1%.

Así que todo el problema estaba en un error de cálculo. La probabilidad de obtener una secuencia BB…BB no vale 0 sino que tiende a 0, podríamos decir (perdona la barbaridad) que vale 1/∞. Pero en ese caso el número de humanos que se salvan es ∞. El error estaba en decir que ∞/∞ vale 0, cuando en realidad es un valor indeterminado que solo se puede calcular haciendo límites. Cuando se hace rigurosamente, como he hecho antes, el resultado coincide con el inicial. La probabilidad de morir bien calculada es 0,1% y coincide exactamente con la de sacar la bola blanca, 1/1000 por lo que no hay ninguna paradoja.

De: Sergio B
2013-10-22 16:47

Perdon por el tocho en general, pero es que esto esta interesante.

Mmonchi, voy a intentar explicarlo mas claro.”Según se ha definido, es del 50%, pero el resultado real es que obtenemos un 69,31% de caras.” y tu dices, que evidentemente ahi un error, cuando evidentemente no lo hay. La probabilidad de que salga cara es del 50% siempre que consideres que vas a tirar la moneda una infinidad de veces, como ya he comente antes, considerando que estas en U. Si decimos que la probabilidad de que salga cara es del 50% y alguien te pide una demostracion, que harias? Obviamente, tirarla una vez no vale, si la tiras una vez, saldra cara o cruz, tendrias que tirarla una infinidad de veces. Si cambias eso, definiendo un juego distinto la probabilidad de que salga cara cambia, eso no quiere decir que cambie la moneda. El 69,31% no es un nuevo dato, puesto que no es el dato de la probailidad en una infinidad de tiradas, ese sigue siendo el 50%. Tu reduccion al absurdo no tiene mucho sentido al basarse en informacion erronea, que los resultados finales alteran las condiciones iniciales.

Te vuelvo a citar por que ahora me parece mejor ejemplo:

Si miramos aqui, http://eltamiz.com/2007/04/21/%C2%BFcuantos-corredores-hay-en-la-carrera/ en la situacion 1, cuando pedro dice "propias y retorcidas razones", significa que pueden haberlo hecho a cara o cruz, o sacando una bola blanca entre 990 negras, siendo que si saca negra coge 990 mujeres y que si saca blanca 990 hombres. Si fuese asi, si a ti te han selecciondo y eres un hombre, cual de los dos grupos es cual y con que probabilidad estas seguro?

Me parece que hay algo que falla en tu analisis, estas eludiendo algo importante en tu analisis, segun las reglas del juego, el caso BB....M.....BB no es un caso valido, debido a que el juego continua hasta que acabe. Es decir, que para cumplir las reglas, si M=2, solo son validos los casos N y BN, por que el caso BB, por definicion, no es una partida posible (tampoco lo es NB, por cierto).

A mi me parece que el analisis que haces no aporta ninguna informacion. Hagamoslo con un poquito mas de profundidad. Llamemos k al numero de ronda, llamemos al numero de muertos en la ronda k, B(k) y al numero de vivos A(k) cuando estamos en una partida que termina en N, por como definimos el juego, A(k)=A(k-1)+B(k-1), B(k) consideremos que puede ser cualquier cosa. Si llamamos X a la probabilidad de que salga una bola blanca, la probabilidad de que una ronda k termine en negra es X^(k-1)*(X-1) la probabilidad de que una ronda termine en B es X^(k).

Muertos totales= B(1)(1-X)+B(2)X(1-X)....+B(k)X^(k-1)(1-X)=(1-X)(B(1)+B(2)X+B(3)X^2...+B(k)*X^(k-1))

Vivos totales= A(1)(1-X)+A(2)X(1-X)....+A(k)X^(k-1)(1-X)+(A(k)+(B(k))X^K

Muertos totales + vivos totales, por facilidad, empecemos por los ultimos terminos:

A(k)X^(k-1)(1-X)+(A(k)+(B(k))X^K+B(k)X^(k-1)(1-X)= (A(k)+B(k))X^k-1

recordando lo que era A(k), esto nos da: ( A(k-1)+B(k-1))X^k-1+B(k)X^k-1

el primer termino es como el que teniamos antes al final, solo que en k-1, asi que podemos hacer lo mismo con los ultimos dos terminos y asi hasta al final, quedandonos solo el sumatorio de B(k)X^(k-1), (B(1)+B(2)X+B(3)X^2...+B(k)X^(k-1)), que es el mismo termino que en muertos totales multiplica a (1-X). Por lo tanto, no hay ningun infinito por ningun lado, ya que el resultado es independiente de k.

Por lo tanto, B(k) puede ser cualquier cosa segun este analisis, que es lo mismo que decir que no es tenido en cuenta. Lo unico que exige este razonamiento es que A(k)=A(k-1)+B(k-1), es decir, que nadie juegue dos veces. El resto de la informacion, la distribucion de B(k) y el hecho de que la partida termine, se ignora por completo.

Y en realidad, el postulado mas importante no es la distribucion de B(k), es el hecho de que la partida termine, cada vez que consideras un M estas asumiendo una partida que no ha terminado tambien en tu analisis, lo que no es correcto.

Supon que fuera dos bolas blanca y una negra, con el mismo ratio de participantes por partida y en lugar de jugador eres el representante de la huminadad. Si se va a jugar una y otra vez, hasta que toda la humanidad haya jugado, se juega hasta que salga la negra y se empieza de nuevo con un humano hasta que todos hayan jugado, y te dan a elegir, si matan humanos en todas las rondas que salga la bola blanca o en las que salga la bola negra, que elegirias? Si tu vas a jugar, como ser humano (que tambien juega), que probabilidades tendrias de morir? Crees que las probabilidades de morir de cada ser humano variarian entre antes de que decidas y mientras esten haciendo la criba? En caso afirmativo, que ha cambiado para que eso sea asi?

De: Mmonchi
2013-10-23 01:01

La verdad es que está muy interesante el análisis que estamos haciendo.

Lo de que la probabilidad es un 50% lo doy como un hecho. ¿Cómo he llegado a él? Da igual. Puedo haber tirado la moneda un millón de veces o puedo haber hecho un análisis dinámico del movimiento de la moneda y su forma de caer, la realidad es que puedo afirmar que la probabilidad de obtener cara es del 50%. Como baso todos los cálculos en ese dato, no puedo obtener otro diferente. Es como si empiezo diciendo que hay 999 bolas blancas y 1 negra y no cambio las bolas pero llego a la conclusión de que hay 17 blancas y 12 negras. Los cálculos deben estar mal hechos, pues no puedo llegar a una conclusión que contradiga las condiciones iniciales.

Para llegar al 69,31% no he considerado una tirada, sino probabilidades, que son la media de hacer infinitas tiradas. Cuando digo «La probabilidad de obtener cada resultado es fácil de calcular: la de obtener C es 1/2, la de XC es 1/4, la de XXC es 1/8, y en general la de obtener XX...n-1...XXC es 1/2^n.» lo que estoy diciendo es que si hago infinitas tiradas, 1/2 de las veces obtendré C, 1/4 XC, 1/8 XXC y así sucesivamente. Así que la probabilidad de obtener cara debe ser la que se ha definido, 50%, y el hecho de que al calcular la probabilidad se obtenga un resultado diferente es una contradicción.

En el ejemplo de los corredores no hay ninguna paradoja, yo diría que hay 990 hombres con una probabilidad de acertar del 99%. Y eso es independiente del método de elección de los alienígenas, pues solo me baso en el dato que conozco. Si todos siguen ese criterio acertarán el 99%, esté o no esté yo entre ellos.

Fíjate que yo no digo en mi análisis que el caso BB...M...BB sea un resultado válido. He analizado el problema mediante casos parciales: qué ocurre en la primera ronda, en las dos primeras rondas, en las tres primeras rondas, en las M primeras rondas. Son parciales porque el juego no termina en M rondas, siempre se pueden dar más. Lo que hago es analizar qué ocurre hasta esa ronda, y está claro que hasta la tercera ronda los resultados que se pueden dar son {N,BN,BBN,BBB}. La partida no se limita a esos, pues si se da el caso BBB se va a seguir jugando. En teoría podría seguirse así hasta el infinito. Yo lo que hago es analizar el caso general hasta la ronda M y a continuación hago tender M a infinito. No veo que hay de malo en ello.

Pero vamos a hacerlo a tu manera.

Tomo los resultados finales de tus cálculos:

Muertos totales=(1-X)(B(1)+B(2)X+B(3)X^2...+B(k)*X^(k-1))

Muertos totales + vivos totales=(B(1)+B(2)X+B(3)X^2...+B(k)X^(k-1))

La probabilidad de estar muerto es (Muertos totales)/(Muertos totales + vivos totales) y si sustituimos en la fórmula los valores que has calculado, la probabilidad de estar muerto es (1-X). Como X es la probabilidad de sacar un bola blanca, 0,999, la probabilidad de estar muerto es 0,001. ¡Totalmente de acuerdo!

A continuación dices: «Por lo tanto, B(k) puede ser cualquier cosa segun este analisis, que es lo mismo que decir que no es tenido en cuenta. Lo unico que exige este razonamiento es que A(k)=A(k-1)+B(k-1), es decir, que nadie juegue dos veces. El resto de la informacion, la distribucion de B(k) y el hecho de que la partida termine, se ignora por completo.» y vuelvo a estar de acuerdo con todo. B(k) puede ser cualquier cosa, y realmente es así, tu probabilidad de morir no depende de si los alienígenas toman diez veces más humanos cada vez, o el doble, o mil veces más. Solo depende del valor de X, de la probabilidad de sacar la bola negra.

Respecto a la última pregunta, si no te he entendido mal quieres saber qué elegiría, si que matasen a los humanos si sale la bola blanca o si sale la negra, con dos bolas blancas y una negra, tanto si soy un jugador como si soy un representante de la humanidad. En el caso de ser un jugador elegiría que me matasen si sale la bola negra. Según tu análisis (y el mío) la probabilidad de morir X es la de salir la bola blanca, 1/3, mientras que si eligiera la negra X valdría 2/3. Mucho mejor una probabilidad de 1/3 que una de 2/3. Pero si fuera el representante de la humanidad elegiría que los matasen si sale la bola blanca. El número promedio de partidas en ese caso es 1,5, en el otro es 3. Teniendo en cuenta que en cada turno el número de jugadores se multiplica por 10, cuanto antes se acabe menos morirán. Para verlo de forma numérica, si dividimos el número esperado de muertos si mueren al salir la blanca entre el número esperado de muertos si mueren al salir la negra, el resultado es 0,3, 2,3, 15,7, 104,6, 697,1, 4647,8, en función de la ronda en la que mueren. Es decir, si no mueren en la primera ronda (sería lo mejor porque solo habría un muerto) el número de muertos en el segundo caso es sensiblemente mayor.

Tu problema es muy interesante porque ejemplifica que hay casos en los que el interés individual no coincide con el del grupo.

De: Sergio B
2013-10-31 12:55

Mmonchi, precisamente el hecho de que haya casos en los que el interes individual no coincide con el del grupo es lo que se supone ejemplifica la paradoja de este articulo.

Por cierto, yo no hacia un nuevo analisis, solamente ponia de una forma mas sencilla de entender para mi (a mi me ensenaron mates con letras, no puedo evitarlo) para poder obtener las consecuencias de tu analisis.

La cuestion es que hay dos datos de informacion, la distribucion de B(k) y el hecho de que la partida acabe, que como comento no son tenidos en cuenta en el analisis. Como afectan esos hechos a la probabilidad y su aplicacion universal al calculo de probabilidades clasico es algo que me parece que no esta del todo establecido, ya que no se pueden encontrar unas reglas generales de aplicacion, segun he leido.

La probabilidad clasica se basa en casos positivos entre casos probables, teniendo en cuenta que estamos realizando un muestreo aleatorio. Cuando entramos en problemas en los que el muestreo deja de ser aleatorio (es sesgado como comentastes) la cuestion es si es valido nuestro calculo de probabilidades tipico. Tu puedes argumentar que la probabilidad de que salga la bola negra no depende de nada mas, pero eso seria si estuvieras realizando un muestreo aleatorio (wikipedia def.), lo que no es el caso.

La paradoja esta en que, en este caso, estamos hablando de probabilidades? No. La probabilidad de un suceso depende del muestreo? No, por que la probabilidad solo esta definida para un muestreo aleatorio. Si nos encontramos en estos casos, obtenemos resultados paradojicos por que no estamos calculando probabilidades como solemos, pero es algo cercano que nuestra intuicion intenta meter directamente en nuestra definicion de probabilidades y ahi es cuando empiezan a chirriar nuestas tuercas en el cerebro.

Las probabilidades "clasicas" de morir son del 0,1%, las probabilidades "antropicas" de morir son del 90%. Estamos en un caso en que los experimentos sean aleatorios? No, por definicion del experimento el 90% de los participantes estaran cuando salga la bola negra, no es para nada aleatorio. Por lo tanto el analisis clasico no aplica en este problema. Llevandolo al extremo, si tiro una moneda y solo considero casos validos que salga cara, cual es la probabilidad de que salga cara en un caso valido? La gracia del analisis antropico es que hay casos en los que parece poder aplicarse pero no es correcto hacerlo, por eso es probable que no este tan claro en nuestra mente.

Aqui hay un buen analisis y mas casos interesantes de este tipo: http://www.anthropic-principle.com/preprints/cau/paradoxes.html

De: pascual
2014-01-30 13:11

En primer lugar me gustaría corregir el habitual error de expresión en que se confunde porcentaje con probabilidad. Es impropio afirmar que el suceso de que salga la bola negra tiene un 0,1% de probabilidad. Lo correcto es decir que su probabilidad es 0,001, o bien, que el suceso salir bola negra ocurre en el 0,1% de las extracciones. En mi opinión, ni siquiera considerando una población infinita numerable de humanos, puede haber garantía o certeza de que el trágico "juego" termine, es decir, los incautos alienígenas muy bien podrían pasarse la vida entera esperando a poder usar el DPT para aniquilar humanos mientras ven cómo se van liberando éstos. Y la razón radica en que, elegido un humano al azar, la probabilidad de que éste quede libre es 0,999. Estoy, por tanto, de acuerdo con Dark-Phantom (28-1-2013). El punto de vista de que si el humano elegido resulta aniquilado entonces habría muerto el 90% de los humanos es absurdo, ya que dicho porcentaje sólo tiene en cuenta a los humanos que, contra su voluntad, fueron obligados a "jugar" y no tiene en cuenta a la población infinita de humanos, que aún resta por "jugar". El pánico y la preocupación de las madres de los humanos son, por tanto, totalmente infundados. Si la población de humanos es finita, entonces, el número de turnos de "juego" es necesariamente finito, bien porque en algún turno sale la bola negra y se procede a la aniquilación de humanos o bien porque habiendo salido bola blanca en los turnos anteriores el número de humanos necesarios para completar el siguiente turno es menor o igual que el número de humanos restantes, que aún no han participado en el "juego". Es en este caso donde se percibe la aparente paradoja. Elegido un humano al azar, la probabilidad de que éste quede libre es también 0,999. Lo que va aumentando es la probabilidad de que sea elegido en un turno cada vez mayor. Suponiendo el peor de los casos, es decir, el inevitable último turno, la probabilidad de que salga la bola negra sigue siendo 0,001. Si sale negra, entonces es cierto que se procedería a aniquilar al 90% de humanos, pero si sale blanca, suceso cuya probabilidad es 0,999, se habría librado el 100% de humanos. En el caso contrario, si sale la bola negra en el primer turno, aunque es muy improbable (0,001) sólo se habría aniquilado a un humano y el resto quedaría libre, y si la población de humanos es grande el porcentaje de humanos liberados sería elevado. Así pues, el porcentaje de humanos aniquilados está en función del turno en que termina el "juego", y no se puede utilizar para hallar la probabilidad de ser aniquilado un humano elegido al azar, la cuál es muy baja, 0,001. Quien quiera salir de dudas, que haga un diagrama de árbol para una población, por ejemplo, de 100 humanos y verá cómo a lo sumo hay 3 turnos. La probabilidad de que un humano muera es la suma de la probabilidad de morir en el primer turno más la la probabilidad de morir en el segundo turno más la probabilidad de morir en el tercer turno, es decir, 0,001. El argumento es generalizable a una población de humanos finita. En definitiva, a título individual, la probabilidad de morir es muy pequeña, 0,001, y a nivel de población, el porcentaje de humanos aniquilados depende del turno en que acaba el juego, y como lo más probable es que acabe en el último turno, y en éste la probabilidad de que salga bola blanca es 0,999, resulta que lo más probable es que se libre el 100% de humanos.

De: Sergio B
2014-01-31 09:28

Yo no entiendo bien tu razonamiento, si hay, digamos, 10 elevedo a la 5000000 humanos, la probabilidad de ser elegido para participar en el juego, es 0 aproximadamente, por que la bola negra salga antes de que se eliga a un porcentage importante de humanos, es cercana al 100% (y sino es asi, aumenta el numero de humanos hasta que haga falta). Claro que todo el razonamiento habla unicamente de los humanos que han sido elegidos para jugar, cuyas madres son las que reciben una llamada telefonica, y si la poblacion es bastante grande, los que hayan sido elegidos para jugar tendran un mal porcentaje de muertos, los que no hayan sido elegidos...que tendran que ver con el juego?

Los porcentajes, se untilizan en probabilidad igual que en estadistica, tambien se utiliza en variaciones (por ejemplo si alguien se compra algo rebajado un 50%), aunque no viene al tema y supongo que se usara en mas cosas. Cada vez que veas un porcentaje, no significa que sea un dato estadistico.

De: pascual
2014-02-11 20:29

Quiero corregir parte de una frase de mi comentario anterior (2014-01-30 13:11) y es que donde dice:

[...] el número de humanos necesarios para completar el siguiente turno es menor o igual que el número de humanos restantes, que aún no han participado en el "juego". [...]

ha de decir:

[...] el número de humanos necesarios para completar el siguiente turno es MAYOR que el número de humanos restantes, que aún no han participado en el "juego". [...]

Aprovecho este comentario para profundizar en el análisis probabilístico del asunto, aunque reconozco que se me hace difícil escribir sobre esto sin fórmulas, por lo que pido disculpas por la extensión.

El cálculo de la probabilidad de que un humano quede libre está en función de si le han llamado o no para “jugar” y de si la población de humanos es finita o infinita numerable. Doy por hecho que convenimos en que no procede una población de humanos infinita no numerable.

Por fijar ideas, denotemos por Bi al suceso “en el turno i sale bola blanca”, Ni al suceso “en el turno i sale bola negra”, Ei al suceso “el humano es llamado para jugar en el turno i”, Li al suceso “el humano NO es llamado para jugar en el turno i” y Mi al suceso "morir en el turno i" donde i = 1,2,3,...

Analicemos los casos:

(1) SI UN HUMANO ES LLAMADO PARA "JUGAR" entonces, tanto él como su madre, a quien le han avisado de que su hijo ha sido elegido para participar en el “juego antrópico”, pueden estar muy tranquilos ya que la probabilidad de que el humano quede libre es muy grande, pues es 0,999; en efecto, si le han llamado para participar, o bien está en el primer turno, en cuyo caso la probabilidad de librarse es claramente 0,999, o bien está en el turno n (mayor o igual que 2), lo que implica que con anterioridad la bola blanca ha salido (n−1) veces consecutivas (no importa si n es elevado o no); así la probabilidad de que el humano quede libre es la probabilidad de que salga la bola blanca en el turno n SABIENDO QUE en las (n−1) ocasiones anteriores también ha salido blanca, es decir, es una probabilidad condicionada: P[Bn/B1B2...B(n-1)]=P[B1B2....Bn/B1B2...B(n-1)]= 0,999^n/0,999^(n-1)=0,999

En matemáticas, a este tipo de probabilidad se le llama verosimilitud.

En cuanto el humano entra en la sala de ceremonias, inmediatamente puede saber el valor de n, es decir, puede saber en qué turno está. Basta con que cuente el número de humanos que hay en la sala, incluyéndose él. Si está solo, es que está en el primer turno y la probabilidad de quedar libre es, como se sabe ,0,999. Si el número de humanos en la sala es 9·10^(k−1), k mayor o igual que 1, entonces n=k+1. También sabe que ya se han librado 10^(k−1) humanos, suponiendo que k es mayor o igual que 1, y que si desgraciada e improbablemente saliera la bola negra en su turno, entonces sería aniquilado el 90% de los humanos que han participado en el “juego”, pero no, en general, el 90% del total de los humanos, pues este porcentaje está en función de la población total de humanos. Resumiendo:

1a) Si un humano es llamado para “jugar”, y éste se sabe miembro de una población infinita, puede estar tranquilo y, de paso, tranquilizar telepáticamente a su madre, pues ha de ser consciente de que la probabilidad de quedar libre es muy alta (0,999) y de que en el improbabilísimo caso de morir (0,001), el porcentaje de humanos muertos, él entre ellos, sería el 90% de los que han “jugado” pero, al fin y al cabo, un porcentaje insignificante respecto de la población total de humanos, que es infinita, por muy alto que sea el turno en el que le haya tocado “jugar”.

1b) Si un humano es llamado para “jugar”, y éste se sabe miembro de una población finita, digamos de 10^p humanos, ha de ser consciente de que la probabilidad de quedar libre es muy alta (0,999) y de que si muere, lo cuál es muy improbable (0,001), el porcentaje de humanos muertos, él entre ellos, está en función del turno en que se encuentra, es decir, un porcentaje de humanos muertos igual a 1/10^(p-2)% si está en el primer turno o 9·10^(k−1)/10^(p-2)% si está en el turno k+1, con k entre 1 y p ambos inclusive.

En el peor de los casos, es decir, si k=p, sabrá que se halla en el último turno (n=k+1=p+1) y que dicho porcentaje es el 90% de la población total, pues habrían “jugado” todos los humanos, pero como contrapartida, si se libra, lo cuál es muy pero que muy probable (0,999) se habría librado el 100% de todos los humanos.

(2) SI A UN HUMANO NO LE HAN LLAMADO PARA "JUGAR", pero, tanto él como su madre, intuyen que los alienígenas han decidido comenzar el “juego”, y si suponemos que la población total de humanos es 10^p, p mayor o igual que 1, entonces, según puede apreciarse en un diagrama de árbol que no incluyo pero que es fácil reproducir, la probabilidad de morir en el primer turno es P(M1)=P(E1N1)=1/10^p·0,001 la probabilidad de morir en el segundo turno es P(M2)=P(L1B1E2N2)=9/10^p·0,999·0,001 y, en general, la probabilidad de morir en el turno i, con i entre 2 y p+1 ambos inclusive, es P(Mi)=P(L1B1L2B2···L(i−1)B(i−1)EiNi)= 9·10^(i−2)/10^p·0,999^(i−1)·0,001 Así pues, la probabilidad de morir es muy baja: P(M1)+...+P[M(p+1)]= 1/10^p·0,001+0,009/8,99·[(9,99^(p+1)-9,99)/10^(p+1)] tanto menor cuanto mayor sea la población de humanos. De hecho, si la población es infinita, haciendo tender p a infinito, resulta que la probabilidad de morir tiende a 0.

Es cierto que la probabilidad de ser elegido para "jugar" es elevada, tanto mayor cuanto menor sea la población de humanos; en efecto, la probabilidad de ser elegido para "jugar" en el primer turno es P(E1)=1/10^p, la probabilidad de ser elegido para "jugar" en el segundo turno es P(E2)= P(L1B1E2)=9/10^p·0,999 y, en general, la probabilidad de ser elegido para "jugar" en el turno i con i entre 2 y p+1 ambos inclusive es P(Ei)=P(L1B1L2B2···L(i−1)B(i−1)Ei)= 9·10^(i−2)/10^p·0,999^(i-1) y así, la probabilidad de ser elegido para jugar es P(E1)+....+P[E(p+1)]= 1/10^p+9/8,99·[(9,99^(p+1)-9,99)/10^(p+1)]

Sin embargo, si la población es infinita, haciendo tender p a infinito, se observa que la probabilidad de ser elegido para "jugar" tiende a 0. En el caso de que la población de humanos sea finita, como ya he comentado, es muy probable que el humano sea elegido para "jugar", tanto más probable cuanto menor sea la población de humanos; no obstante, ya hemos matizado que en el caso de ser elegido para jugar (1), la probabilidad de que se libre es muy elevada: 0,999.

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