El Tamiz

Si no eres parte de la solución eres parte del precipitado

Desafíos - Péndulo estelar (solución)

Al proponer el desafío del péndulo estelar de la semana pasada imaginé que tendría una respuesta muy escasa, porque no es algo tan asequible como lo que solemos proponer en los desafíos. Por lo tanto, me ha sorprendido el número de vosotros que le ha hincado el diente, al menos a la primera parte. Para quienes no pudisteis ir más allá, el desafío completo constaba de tres partes: la que publicamos y otras dos de dificultad creciente.

La segunda parte era sólo un poco más difícil que la primera, pero la tercera era realmente endemoniada, y aun así seis de vosotros habéis logrado una respuesta razonable hasta el final. Son los finalistas (Jesús, Karlos, Mariano, Isi Villanueva y Carlos) y el ganador, Mmonchi. Me lo he pasado “teta”, como siempre, leyendo vuestras respuestas, y espero que si te has peleado con este desafío te resulten tan sabrosas como a mí según las vayas leyendo, ya que mostraré unas cuantas.

La primera pregunta del desafío (la “pública”) era la siguiente:

  • Demuestra que, si d«D, la estrella pequeña realiza un movimiento armónico simple. Tendrás que despreciar algún término en algún momento para poder demostrarlo, y dejo a tu criterio cuándo y cómo hacerlo.

Teniendo claros los conceptos básicos que se mencionaban al principio del desafío no era terriblemente complicado hacerlo –naturalmente sí lo era si este conocimiento estaba oxidado–. Básicamente era necesario demostrar que la fuerza que sufre la pequeña estrella es proporcional a su desplazamiento de la posición de equilibrio y dirigida hacia esa posición de equilibrio.

En este caso esto se reducía a descomponer las dos fuerzas que sufre la estrella (una hacia cada una de las dos más grandes) y comprobar que sus componentes verticales son idénticas pero de sentidos contrarios y, finalmente, sumar las componentes horizontales. El movimiento, por cierto, era inestable, ya que cualquier perturbación en la “vertical” mandaba todo a freír espárragos, como bien habéis deducido varios de vosotros.

Es difícil elegir respuestas de entre las que habéis enviado, ya que muchas son estupendas; os dejo dos. La primera es la de Nyarlathotep, que podríamos decir es “clásica” y se ciñe a lo que acabo de explicar arriba. Dado que él ha usado LaTeX para escribir la solución y al pegarla aquí perdería el formato, es mejor leer directamente su PDF: Nyarlathotep1.pdf.

También merece la pena leer la solución a esta primera parte de Isi Villanueva, que hace uso de coordenadas polares para simplificar (y llega, por supuesto, al mismo resultado que el resto). Además, Isi calcula posición, velocidad y aceleración en función del tiempo y hace un cálculo interesante: ¿qué pasaría si las grandes estrellas tuvieran la masa del Sol, la distancia D fuera la distancia media Tierra-Sol y la distancia pequeña d fuese la distancia media Tierra-Luna? Pues que la oscilación duraría unos 258 días… pero mejor que lo explique él: Isi1.pdf.

A partir de aquí llegamos a las preguntas que no estaban publicadas. La segunda parte del desafío –a la que habéis llegado también un buen número de participantes– preguntaba lo siguiente:

_El regente deseaba una estructura más compleja, de modo que propuso al ingeniero una configuración diferente. En vez de dos grandes estrellas fijas habría cuatro, en los vértices de un cuadrado, como se muestra en la figura adjunta.

Péndulo estelar 2

Sin embargo, el ingeniero le explicó que eso era imposible, ya que la pequeña masa no oscilaría armónicamente alrededor del centro como antes. Como alternativa, el ingeniero propuso al regente modificar la masa de las grandes estrellas de modo que las cuatro no tuvieran la misma masa M, sino que algunas tuvieran una masa diferente.

La segunda parte del desafío consiste en:

a) Demostrar que el ingeniero tenía razón al descartar la alternativa propuesta por el regente.

b) Encontrar una combinación de masas de las estrellas fijas en las esquinas del cuadrado que sí resulte en un movimiento armónico simple por parte de la pequeña estrella._

Para responer a la pregunta (a) no hacía falta más que hacer algo parecido a la respuesta de la primera parte del desafío, pero incluyendo las dos masas “extra”; al hacerlo se obtenía una fuera que, lejos de ir hacia el punto de equilibrio, se llevaba la pequeña estrella lejos de ese punto hacia la estrella más cercana. Es decir, que no era un movimiento oscilatorio de ningún tipo.

Una vez hecho eso era necesario modificar las masas en la ecuación genérica, de modo que las masas “laterales” fueran más pequeñas que las “verticales” y que, de ese modo, la fuerza hacia el punto de equilibrio no sólo venciese a la otra sino que además la fuerza neta resultase ser, como es necesario, proporcional a la separación de la posición de equilibrio.

Mariano

Una vez más, un gran número de vosotros habéis dado excelentes explicaciones a esta segunda parte. En este caso os muestro la de Mariano, ya que de vez en cuando es delicioso leer cálculos y razonamientos escritos a mano (cuando son limpios y claros, desde luego): Mariano.pdf.

Finalmente, a quienes llegasteis hasta aquí os envié la tercera parte del desafío, que era una canallada infame:

Cuando el ingeniero recibió un mensaje del regente a la caída de la noche, ya imaginaba lo que se iba a encontrar. El regente apreciaba mucho la elegancia del diseño de cuatro masas grandes, pero ¿no podrían ser ocho? Seguro que el ingeniero podía encontrar una relación de masas que produjese un movimiento armónico como antes, ¿o es que era imposible?

Péndulo estelar 3

La imagen adjunta era justo lo que el ingeniero se temía: ocho masas grandes equidistantes del centro y entre sí, formando una especie de circunferencia. Y lo peor de todo es que al final del mensaje había una postdata:

P. S. No hay nada que impida seguir añadiendo grandes estrellas, ¿no? ¿Y si ponemos una miríada de ellas formando una circunferencia? ¿Qué masas deberían tener?

_De manera que ahí tienes las dos últimas preguntas del desafío:

a) Si son ocho masas grandes, ¿qué proporciones de valores pueden producir lo que desea el regente, si es que existe alguna manera?

b) Si son n masas grandes (y n es un número muy grande), ¿qué proporciones deben tener las masas entonces, si es que es posible producir siempre un movimiento armónico simple?

Finalmente, si crees que la última propuesta del regente sigue sin ser lo suficientemente sofisticada, tienes libertad de proponer una estructura de estrellas alternativa, siempre que produzca un movimiento armónico simple y puedas demostrarlo._

Como digo, una canallada. Era una pesadilla salvo que pudieras darte cuenta de una cosa: dada la simetría del problema era posible siempre tener las masas de las grandes estrellas en grupos de cuatro (dos por arriba y dos por abajo) con la excepción de las dos centrales, y calcular así la fuerza creada por esos grupos de cuatro estrellas en un rectángulo. Eso lo hizo el ganador de hoy, al que llegaremos en un momento… pero la tercera parte tenía mala leche, hay que reconocerlo.

Así y con todo, seis de vosotros conseguisteis llegar a una respuesta. Algunos tienen errores o no demuestran alguna cosa con demasiado rigor, pero ha sido delicioso leer las cinco soluciones. Por lo tanto, cuatro de ellos son los finalistas de hoy y os dejo sus soluciones completas en PDF: Isi Villanueva.pdf, Mariano.pdf, Karlos.pdf, Jesús.pdf y Carlos.pdf. ¡Enhorabuena a los cinco!

Si no tienes tiempo ni ganas de leerlos todos, no deberías perderte al menos el de Karlos, que además de deducir cosas usando el potencial gravitatorio, lleva al límite lo de “n es un número muy grande” y lo hace con una distribución de masa continua en función del ángulo, como un anillo digno del mejor Larry Niven. Una delicia, en serio.

Aunque, como siempre, es difícil elegir un ganador, en este caso la explicación que me ha enamorado ha sido la de Mmonchi, que ha conseguido dividir el problema de N masas como una suma de rectángulos formados por cuatro masas, y el ángulo entre una masa y otra es una función del número de masas… podría intentar explicarlo yo, pero mejor lo hace él mismo: Mmonchi.pdf. ¡Enhorabuena! Encima, Mmonchi también fue el ganador del último desafío… ya está bien, ¿no?

Si os gustan este tipo de cosas, espero que lo hayáis disfrutado; si no, no os preocupéis, porque el siguiente desafío no requerirá de “conocimiento especializado”, y sigo recomendando echar una lectura a algunas de las soluciones finalistas o la ganadora, porque siempre está bien aprender cosas nuevas. Y, sin más, ¡hasta el próximo desafío!

Desafíos

6 comentarios

De: Jesús
2012-12-11 12:02:36

Uau, me enorgullece haber quedado finalista, echando un ojo a las demás soluciones, la mía es con diferencia la más llana y poco desarrollada, sobretodo al final, cuando ya soñaba con estrellas y regentes más feos que Cthulhu comiendo limones...
Por cierto Pedro, grande, por el pequeño homenaje a Niven ;)
Saludos!


De: Mmonchi
2012-12-11 16:50:46

Gracias por elegir la mía, Pedro, aunque las demás eran muy buenas y bastante más legibles. (Prometo aprender a usar el editor de fórmulas de Word ;-) ). Me ha gustado este formato, aunque me he visto un poco agobiado por el tiempo: este puente me miraban raro cuando garabateaba triángulos de fuerzas en un papel...

Eso sí, amenazo con seguir participando. :-)


De: Juan Carlos
2012-12-11 17:27:58

Uff!... esto si ha sido demasiado para mi patética y desnutrida mente.

Felicitaciones a los ganadores

Un saludo


De: Pedro
2012-12-11 18:30:48

Mmonchi, sólo tengo una palabra: LaTeX ;)


De: Juan
2012-12-19 22:19:01

Algo me dice que los Nevindivadianos de Aquila habrían optado por distribuir adecuádamente las estrellas (tantas como quisieran y todas de igual masa) en una circunferencia y hacer que la pendulo-estrella oscilase en la dirección perpendicular al plano que contiene dicha circunferencia, pasando por el centro de esta. Cuestión de estética y simplicidad. Pero sin duda han de tener los conocimientos necesarios para desarrollar diseños como los aquí planteados. En todo caso queda demostrado que siempre podrán pedir ayuda a los tecnológicamente más modestos habitantes de nuestro planeta.
¡Un placer ver lo que se cuece en esta web!


De: Vender
2014-03-06 20:30

Madre mía si sir Isaac levantara la cabeza... Ya solo faltaría que alguien repitiera estos cálculos con las ecuaciones de la teoría de la relatividad general...

Escribe un comentario

Todos los comentarios deben ser aprobados por un moderador antes de ser publicados. Si quieres puedes usar markdown. Todos los campos son opcionales excepto el cuerpo del comentario, claro:

Nombre:
E-mail: (privado, para que aparezca tu gravatar)
Sitio web:

« Desafíos - Péndulo estelar Conoce tus elementos - El galio »