El Tamiz

Si no eres parte de la solución eres parte del precipitado

Los conejitos zweldreordanos (II)

En la primera parte de este artículo dedicado a hacer surgir el caos de un sistema aparentemente simple para luego estudiarlo con algo de detalle conocimos las peripecias de Florencia, Maldibento y su rancho experimental de conejos zweldreordanos. Es posible que todo esto te suene delirante: la razón es que lo es. Me gustaría decir que si empiezas el artículo por el principio la cosa estará más clara, pero el caso es que seguramente no lo esté.

Nos habíamos quedado en un momento clave de la historia: cuando, al aumentar la temperatura y con ella el factor reproductivo de los conejillos, el estado final del sistema se bifurcaba a dos y luego a cuatro estados finales.

Si aumentas r, verás que a partir de 3,54 las oscilaciones vuelven a bifurcarse y hay 8, y después 16, y después 32, etc. Con el aumento de temperatura, el “reloj oscilante” de los conejos se iba volviendo más y más complejo, con un ciclo más y más largo. Y en todos los casos ese ciclo es independiente de $x_0$ pero dependiente de $r$:

Mapa de bifurcación

Sin embargo, las bifurcaciones no duran siempre lo mismo en términos de r. Entre $r = 0$ y $r = 3$ tuvimos un solo valor de población final, entre 3 y 3,45 dos, entre 3,45 y 3,54 cuatro, pero cada vez la bifurcación se produce antes. De hecho, pronto las bifurcaciones se producen tan deprisa que un cambio minúsculo de r produce muchísimas más, y los intervalos se hacen tan cortos que convergen a cero: llega un momento en el que las bifurcaciones se hacen prácticamente infinitas.

¿Te suena esto de algo? Un estado final único, al aumentar el valor de r, se bifurca en dos; cada uno de esos en otros dos, cada uno de esos en otros dos, y así hacia el infinito… ¡es un fractal! Si recuerdas el artículo correspondiente en esta misma serie, de una manera muy similar construimos nuestro fractal allí. Para mí, ver esta bifurcación hasta un fractal fue lo que hizo encenderse la bombilla del caos en mi cabeza.

Observa lo que sucede al mirar el mapa de bifurcación más allá de 3,57 (te recomiendo que mires también la versión a máxima resolución porque es una gozada):

Mapa de bifurcación

Versión a 3390x2375 px (Jordan Pierce / Dominio Público).

A partir de ese momento, alrededor de $r = 3,57$, la población ya no oscila entre un número razonable de valores, sino un número que, estrictamente hablando, se hace infinito. Pero claro, oscilar entre un número infinito de valores es no oscilar, pues ninguno se repite. Esto ya es algo que me parece sorprendente, pero hay algo más, y aquí llegamos a la clave de la cuestión y el auténtico cambio respecto a los casos anteriores, un cambio tan radical e importante que voy a ponerlo en su propio párrafo y en negrita.

Cualquier cambio, por minúsculo que sea, en las condiciones iniciales, produce una gráfica absolutamente distinta de la anterior.

Aquí tienes la correspondiente a $r = 3,695$, $n = 200$ y $x = 0,81$:

Conejos y caos

Y aquí tienes lo mismo, pero cambiando x a 0,82, sólo una centésima más allá:

Conejos y caos

Puedes comparar las dos en esta imagen en la que se ven juntas (0,81 arriba y 0,82 abajo):

Conejos y caos

Esto es cuando miramos las cosas a largo plazo, por supuesto; si haces lo mismo con pocas generaciones, por ejemplo n = 10, verás que las dos gráficas son muy parecidas entre sí. La sensibilidad a las condiciones iniciales “amplifica” las diferencias hasta que ambas se hacen tan distintas que no parece haber la menor relación entre ellas.

Esto significaba que Florencia podía predecir más o menos lo que iba a suceder durante unos días, pero más allá le era imposible, porque aunque intentaba contar cuántos conejillos había en la estación, eran tantos que era imposible hacerlo con total exactitud. Pero una diferencia de uno o dos conejos iniciales suponía que, en una semana, era imposible saber cuántos habría en el valle con lo que, en la práctica, el comportamiento de los conejos era una locura.

Por ejemplo, en la octava generación tenemos que, en el primer caso, $x8 = 0,8644$ y en el segundo caso, $x8 = 0,8755$. Son distintos, pero no mucho: ambas gráficas aún no han divergido de verdad. Pero mira el caso $n = 150$: en el primer caso $x{150} = 0,5397$, y en el segundo caso, $x{150} = 0,7126$. ¡Nada que ver! ¿Ves la similitud con la gráfica de Lorenz en el caso del tiempo meteorológico? Pero bueno, volvamos a nuestra historia…

Tras un par de semanas, Florencia oyó las pesadas pezuñas de su jefe frente a su puerta; era un momento que había estado temiendo varios días, pues había estado evitando a Maldibento desde que había comprendido su incapacidad para dar una predicción fiable. ¿Qué diría su jefe al enterarse? Cuando la puerta se abrió y la enorme figura bovina entró en su despacho, la lemurina tragó saliva.

“Hace muuuUUUuucho tiempo que espero resultados”, dijo Maldibento sin un mísero “buenos días”. La elevadísima temperatura de la estación estaba haciendo estragos en él: su pelaje estaba empapado y pegajoso, y sus ojos rojizos lloriqueaban debido al sudor que entraba en ellos. “¿Cuántos conejos habrá en un mes?”

“Bien, bueno… el número de conejos estará entre 0% y 100%, básicamente”, respondió la lemurina tragando saliva de nuevo. “Me es imposible decirle exactamente el número, ya que cada día es algo completamente diferente, y hay infinitos estados finales que…“

“¿Me esta usted diciendo que estoy pagándole un generoso sueldo, que estoy pagando miles de créditos diarios para alimentar a esas repugnantes criaturas y no puedo decir a mis futuros inversores CUÁNTAS PIELES PODRÁN OBTENER CADA DÍA?”, bramó el Bovinoide, ignorante de un hecho crucial: que el más gentil de los corazones puede ser el más despiadado cuando está en peligro el objeto de su afecto.

Fue entonces cuando Florencia, a pesar de su enorme ingenuidad, comprendió los planes de su jefe.

Fue entonces cuando Florencia, a pesar de su enorme bondad, no mencionó de nuevo el urgente aviso de su mentor Irneh Eracniop, el mayor experto galáctico en conejos zweldreordanos, sobre el otro efecto de la temperatura sobre los conejillos además de la reproducción.

Fue entonces cuando Florencia respondió, con una voz calmada y gélida que debería haber supuesto una advertencia para el burdo Maldibento:

“No, no, por supuesto que no… Lo único necesario es que me eche usted una mano con un detalle y podré darle un número para sus inversores.”

“¡Desde luego!”, respondió el otro, sus ojillos bovinos brillantes de lágrimas, sudor y avaricia.

“Necesito que cuente usted cuántos conejos hay”, dijo la lemurina. Y Maldibento, sin preguntarse por qué iba ella a pedirle algo así, cegado por la codicia, asintió con entusiasmo.

“MuuUUUUuuuy bien, pero más le vale darme un resultado satisfactorio después de esto, o está despedida”, mugió, y tras abrir la puerta del recinto de los conejitos, entró de dos zancadas.

Fue entonces cuando Florencia cerró la puerta tras de él y desactivó todos los sistemas de monitorización del interior del recinto, de modo que los sonidos del interior no fueran recibidos por los técnicos a través de los micrófonos instalados dentro.

Fue entonces cuando comprobó que, efectivamente, el aumento de temperatura por encima de $r = 3,57$, además del ritmo reproductivo, también modificaba los hábitos alimenticios de los adorables conejillos zweldreordanos.


Por si te lo estás preguntando, sí, Florencia logró una beca cuantiosa y de larga duración gracias a sus conclusiones, publicadas en “Hábitos alimenticios de Leporidus zweldreordis”, que le otorgó además varios premios. Con ella acondicionó la estación de investigación de Maldibento y todo podría haber sido muy bonito, pero la brújula moral de Florencia había sido destrozada por su terrible acto y poco a poco se fue volviendo más y más despiadada, con lo que… pero eso es otra historia, y tendrá que ser contada en otra ocasión.

Lo importante es que nos hemos topado, ahora sí, ante un sistema caótico, y al haber llegado hasta él poco a poco y con un ejemplo concreto y relativamente simple, creo que las características de los sistemas caóticos que mencionamos en el artículo general deberían serte fáciles de asimilar. Vamos poco a poco y expresémoslas de una manera algo más rigurosa de lo que hicimos allí.

En primer lugar, la más evidente: la sensibilidad a las condiciones iniciales.

Como hemos visto aquí, cuando el sistema es caótico (más allá de $r = 3,57$), si cambiamos la población inicial aunque sea de manera ligerísima, al principio las predicciones se parecen, pero finalmente divergen de manera exagerada. ¿En qué se diferencia la sensibilidad de los datos anteriores de la de un sistema no caótico como $x_{n+1} = {x_n}^2$? Es esencial entender esta “diferencia cualitativa de sensibilidad” para comprender la siguiente característica del caos.

En un sistema no caótico, la diferencia entre las predicciones de datos iniciales distintos es tanto más grande cuanto más diferentes son los datos. Por ejemplo, si en un sistema no caótico comparamos x = 0,1 con x = 0,11, las soluciones serán distintas, pero más parecidas entre sí que comparando x = 0,1 con x = 0,8. Sin embargo, en un sistema caótico cualquier diferencia, a largo plazo, produce predicciones absolutamente distintas entre sí. Da igual el valor de la diferencia inicial, es suficiente para llevar a algo completamete distinto.

También puedes mirarlo al revés: imagina que te enseño las dos gráficas comparadas de más arriba (las de x = 0,81 y x = 0,82), pero sin decirte a qué condiciones iniciales corresponden, y te pregunto si crees que son las producidas con condiciones iniciales muy similares o muy diferentes. ¿Podrías decírmelo? No. Puedes probarlo tú mismo – si comparas x = 0,81 con x = 0,23, los resultados no son más diferentes a largo plazo que los de los valores anteriores, aunque aquéllos son mucho más próximos. Esto significa que, en un sistema caótico, es imposible saber de dónde ha venido el sistema en el pasado si no conocemos su estado con absoluta precisión.

Si comprendes esta diferencia en la “calidad” de la sensibilidad a los datos iniciales, estás listo para comprender la segunda característica de los sistemas caóticos. Se trata de algo más sutil y que suena bastante abstracto ((Y, si nos ponemos rigurosos, lo es, pero yo no voy a serlo, y que me perdonen los matemáticos de la sala)), pero si has asimilado el caso de los conejos no debería presentar menor problema por raro que suene el nombre: la transitividad topológica.

Dicho muy mal y muy pronto, un sistema es topológicamente transitivo si las cosas se embarullan, se mezclan y se hacen imposibles de desenredar después, como las gráficas de arriba de 0,81 y 0,82. Dicho un poco menos mal y bastante menos pronto, un sistema es topológicamente transitivo si podemos conseguir lo siguiente (que ejemplificaré con el caso de los conejos para que sea un poco menos abstracto):

Sin decirme cuál, tú te inventas un estado del sistema, al que llamaremos “meta”. En el caso de los conejos, por ejemplo, el estado del sistema viene definido por el valor de x, así que te inventas uno, digamos que x = 0,184586. Naturalmente, lo que viene después debe funcionar para cualquier valor de meta que te inventes.

Sin decirte cuál, yo me invento un estado del sistema, al que llamaremos “salida”. En nuestro ejemplo, yo me invento el valor x = 0,981425. Una vez más, el resto debe funcionar para cualquier valor que me invente yo.

Finalmente, nos inventamos un valor que llamaremos “margen”, tan pequeño como queramos (pero no 0, porque se trata de un sistema determinista que se comporta igual ante condiciones exactamente iguales), que será algo así como nuestro margen de tolerancia. Digamos que acordamos un margen de 0,0000000001. Somos así de exigentes, aunque podríamos serlo incluso más.

Ahora viene lo bueno. Un respiro y a pensar juntos, porque la frase tiene chicha y es posible que tengas que reflexionar sobre ella, pero te prometo que habrá un “encendido de bombilla” tarde o temprano:

El sistema es topológicamente transitivo si, partiendo de la salida como dato inicial (más o menos el margen), es absolutamente seguro que tarde o temprano alcanzaremos la meta (más o menos el margen).

En nuestro ejemplo, esto quiere decir que si partimos de 0,981425 más o menos 0,0000000001 (es decir, entre 0,9814249999 y 0,9814250001), tarde o temprano habrá un momento en el que tendremos 0,184586 conejos, más o menos 0,0000000001 (es decir, entre 0,1845859999 y 0,1845860001). Pero esto mismo es verdad para cualquier salida, cualquier meta y cualquier margen. Podríamos haber inventado un margen de 0,000…1, con el número de ceros que nos hubiera dado la gana.

Es decir: desde cualquier dato inicial de x, tarde o temprano vamos a alcanzar todos los valores posibles de x, dentro de un margen arbitrariamente pequeño. Ésta es la segunda diferencia fundamental, por ejemplo, con $x_{n+1} = {x_n}^2$. Como hay un rango limitado de valores posibles de x, y x no termina con ningún valor fijo, al cabo del tiempo va barriendo prácticamente todos los otros valores – tan “prácticamente” que, en cualquier caso real, barre todos los valores posibles.

Un paréntesis: digo “prácticamente” porque, como ves en el mapa de bifurcación, no son realmente todos. Por eso necesitamos un margen, por pequeño que sea – porque la dimensión del conjunto de estados finales no es 1, sino algo menor (pero no 0); recuerda que es un fractal, y ésa es parte de la clave de la cuestión. Pero al asunto de la dimensión fractal del atractor volveremos en un rato, así de importante es.

Otra manera de verlo es la siguiente: tú tienes un valor inicial de x y yo tengo otro. Da igual cuáles sean, al cabo de cierto tiempo nuestras gráficas producirán un valor prácticamente común (dentro de un margen arbitrariamente pequeño, es decir, acercándose tanto como podamos imaginar aunque estrictamente no lleguen a “tocarse”). Esto es cierto para cualquier valor inicial de x, lo cual significa que todos los estados, incialmente diferentes, acaban mezclándose. Es como si tuviéramos tinta de un color tú y otro color yo, y alguien removiera un vaso con las dos tintas inicialmente separadas: al cabo de cierto tiempo, cualquier partícula de mi tinta y cualquier partícula de la tuya habrán pasado arbitrariamente cerca de todos los puntos del vaso, con lo que ambas tintas se han mezclado.

En el caso de Florencia y los conejillos zweldreordanos, el carácter caótico del sistema significa que, partiendo de cualquier número de conejos más o menos un margen minúsculo, tarde o temprano se alcanzarán todos los otros valores (y el mismo del que se partió), salvo por un margen tan pequeño como se pueda imaginar. Como ves, en esto es completamente distinto del caso $x_{n+1} = x^2$: en aquel caso, los valores iniciales diferentes se separaban cada vez más, pero en el caso de un sistema caótico se separan, pero luego se juntan, luego se cruzan, luego se separan, etc., con lo que todo acaba “enmadejado”.

En el caso de sistemas con más de una variable como el nuestro, como vimos en el artículo general, a veces se representa el estado del sistema como un punto en un sistema de coordenadas, donde cada coordenada es una variable. Así, la posición del punto representa el estado del sistema, y el punto se va moviendo según cambian las variables que lo definen. En el caso de nuestros conejitos, claro, el estado es un punto en una sola dimensión, que se mueve arriba y abajo a lo largo de un segmento entre 0 (sin conejos) y 1 (máximo de conejos), el eje vertical en las gráficas que hemos usado. En el caso de un sistema de dos variables, el punto sería un punto que se mueve sobre una superficie; si hay tres variables, un punto que se mueve en el espacio tridimensional, etc. (aunque para más dimensiones, claro, esta visualización ya no es tan útil).

Puesto que podemos imaginar, de manera abstracta, el estado del sistema como un punto que se mueve, suele hablarse de órbitas, es decir, de las trayectorias que realiza el punto según pasa el tiempo. El caso es que, en términos de órbitas, la transitividad topológica dice al go como esto: cualquier par de órbitas del sistema, por más diferentes que sean al principio, pasarán, en algún momento, a una distancia arbitrariamente corta la una de la otra. Disculpa si soy pesado, pero quiero asegurarme de que comprendes esta segunda característica, porque es, en mi opinión, la que realmente hace “asimilar” el caos.

La tercera característica, después de la sensibilidad a las condiciones iniciales y la transitividad topológica, tiene también un nombre rimbombante, pero creo que a estas alturas (¿todavía estás aquí? ¡enhorabuena, pero no se lo digas a tus amigos!) no tendrás problema en comprenderla.

En mi ignorancia, creo que esta característica final es la que diferencia a los sistemas caóticos de los sistemas puramente aleatorios: en el caos hay, al fin y al cabo, orden, puesto que nuestra población de conejos no es fruto del mero azar. Sí, podríamos haber hecho simplemente que x tuviese, en cada generación, un valor aleatorio entre 0 y 1, pero eso no sería un sistema caótico. Y creo –que me corrijan los matemáticos entre el público si me equivoco– que esto está garantizado por la tercera característica que suele asignarse a los sistemas caóticos; digo “suele asignarse” porque ni siquiera todos los matemáticos se ponen de acuerdo en esto.

Esa tercera propiedad es el hecho de que un sistema caótico debe tener órbitas periódicas densas. Sí, ya, ya, muy abstracto, pero tampoco es para tanto si no nos ponemos rigurosos. Y no, no vamos a ponernos rigurosos.

Ya hemos dicho lo que representa una órbita: el “movimiento” en el espacio definido por las variables del sistema del estado del propio sistema. Bien, entender lo que es una órbita periódica no tiene mayor misterio – es una órbita que, al cabo de un tiempo, pasa otra vez por el mismo punto, es decir, las cosas se repiten. En el caso de un planeta que realizase un movimiento circular alrededor del Sol, su órbita sería una representación de la órbita física que realiza en el espacio, mientras que en una representación abstracta de variables en ejes, la “órbita” es conceptual.

No todos los sistemas tienen órbitas periódicas, desde luego. Un ejemplo que sí las tiene: nuestros conejitos. Por ejemplo, cuando hicimos r = 3,5 vimos que el sistema, inevitablemente, terminaba oscilando entre cuatro valores, es decir, se repetía una y otra vez (con un período de cuatro generaciones de conejos):

Conejos y caos

Ese sistema, desde luego, no es caótico, como bien sabes a estas alturas: no cumple la primera condición ni tampoco la segunda. Simplemente lo recuerdo para que veas un sistema con órbitas periódicas, aunque en una dimensión esas órbitas periódicas sean la oscilación entre dos puntos.

Bien, la tercera propiedad exige la existencia de órbitas periódicas densas, es decir, un número infinito de órbitas periódicas arbitrariamente cercanas unas a otras. Esto significa que deben existir órbitas periódicas muy cerca de otras órbitas periódicas, es decir, algo así como “grupos” de órbitas periódicas infinitamente cercanas, de modo que sea posible pasar de una a otra con una perturbación minúscula del sistema.

Órbitas periódicas densas

Órbitas periódicas densas.

¿Cuáles son las consecuencias de esta tercera exigencia? En primer lugar, que deben existir órbitas periódicas. Deben existir valores iniciales del sistema que produzcan algo que se repite una y otra vez – ¡lo contrario de lo que intuitivamente significa el caos! Como decía antes, el caos tiene orden o sería simplemente azar, y no lo es.

El mejor ejemplo es, una vez más, el de nuestros conejitos. Ya vimos que $r = 3,5$ producía órbitas periódicas, mientras que en la región caótica ($r > 3,57$) la cosa parecía casi aleatoria… pero no lo es, o no sería caos. Forencia sufrió una gran sorpresa cuando, en lo más caluroso del verano zweldreordano, con los conejos reproduciéndose con su máximo factor reproductivo, $r = 4$, lo cual debiera haber significado absoluto azar, su ecuación predijo una órbita periódica.

Esa órbita se produce cuando, en algún momento, la población de conejos es $x = \frac{5-\sqrt5}{8}$ o bien $x = \frac{5+\sqrt5}{8}$ (es decir, más o menos 0,345491502813 ó 0,904508497187), ya que se trata de una órbita que oscila entre ambos estados. Desgraciadamente, la precisión de nuestro programita javascript no es absoluta, con lo que los números irracionales nos fastidian, y la gráfica no es perfecta, pero nos viene estupendamente representar esto, aunque sea con un número finito de decimales.

Prueba con $r = 4$, $x = 0,904508497187$ y $n = 30$ y espero que te lleves la misma sorpresa que Florencia:

Conejos y caos

Sin embargo –y aquí viene la segunda razón por la que me gusta este ejemplo–, aunque lo parezca, esta órbita no es realmente periódica, porque no estamos usando exactamente los valores “buenos” de x, debido a la imprecisión en los valores de la raíz de arriba. Así, estamos en una especie de órbita inestable, de la que poco a poco nos vamos saliendo hasta terminar, una vez más, en el caos absoluto. En la gráfica de arriba no se ve, pero si aumentas el número de generaciones a $n = 200$, verás el abandono final de nuestra órbita:

Conejos y caos

Como puedes ver, la tercera condición exige que haya órbitas densas, lo cual significa que una perturbación minúscula desde una órbita periódica puede llevar a otra, pero esto no es una seguridad: en nuestro caso, una pequeña perturbación ha llevado al sistema a alejarse completamente de la órbita inicial.

Aunque no es una necesidad para que un sistema sea caótico, otra propiedad fascinante de este tipo de sistemas es la existencia de atractores extraños, que mencionamos en el artículo general pero en los que aquí profundizaremos algo más. Aquí es donde el fractal que formamos con las bifurcaciones de bifurcaciones con los conejos hace su aparición de nuevo.

Para un sistema que evoluciona en el tiempo –como la población de los conejillos zweldreordanos–, un atractor es una parte de los estados posibles del sistema que cumple una propiedad bastante intuitiva: si un estado está dentro del atractor (o muy cerca de él), permanece dentro del atractor. Es como una región de la que, una vez entras, no vuelves a salir.

Por ejemplo, en los primeros ejemplos que pusimos de los conejillos durante el invierno teníamos atractores muy simples. En el caso de $r = 0,5$, donde se producía la extinción, el atractor no era más que $x = 0$. Cuando la población oscilaba entre dos valores, el atractor era el conjunto de esos dos valores, etc.

Si se tiene un sistema definido por más variables, y el sistema no evoluciona a “generaciones” discretas, como los conejos, entonces los atractores, además de puntos, pueden ser líneas, superficies o incluso volúmenes de los que las órbitas del sistema no salen. Insisto en que cualquier sistema que evoluciona en el tiempo puede tener atractores – éstos no son una propiedad del caos. Lo sorprendente no es tanto la existencia de atractores en sistemas caóticos –que también, porque, como hemos visto, sorprende encontrar orden dentro del caos–, sino la naturaleza de esos atractores.

Observa el caso del atractor de Lorenz que mostramos en el artículo general:

La forma exacta del atractor es imposible de determinar, más allá del hecho de que es algo parecido a un “ocho deforme”. Pero los matemáticos y los físicos se dieron cuenta desde el principio de que muchos sistemas caóticos tenían atractores, y se dedicaron a ver qué forma exacta tenían esos atractores. Algunos eran puntos, otros líneas, otros superficies… y otros no tenían una dimensión entera. Nuestros conejillos, por cierto, son un sistema de este tipo.

Dicho de otro modo, muchos sistemas caóticos tienen atractores fractales. Los primeros en dar nombre a estos atractores tan extraños fueron David Ruelle y Floris Takens cuando estaban estudiando el flujo turbulento; el nombre que les dieron, ¡sorpresa!, fue el de atractores extraños.

Ya hemos hablado de fractales en esta misma serie, cuando vimos el copo de nieve de Koch, cuya dimensión fractal era alrededor de 1,26, es decir, era una curva tan “doblada” que era casi una superficie. Bien, los científicos se encontraron con que algunos atractores en sistemas caóticos eran de este tipo.

¡Nosotros mismos hemos producido un atractor extraño, aunque no te hayas dado cuenta! La población de conejitos, para $r=3,57$ (el “umbral del caos”), tiene un atractor de dimensión 0,538. Como ves, es un conjunto de infinitos puntos que están “tan cerca” unos de otros que no tienen dimensión 0 (la de un punto o un conjunto discreto de puntos), pero tampoco llegan a ser una recta de dimensión 1. Desgraciadamente, no es posible ver nada bello al mirar ese atractor, que se denomina atractor de Feigenbaum, pues es simplemente el conjunto de casi todos los puntos del segmento 0-1, pero luego te muestro algunos bellísimos.

El mapa de Hénon es un muy buen ejemplo de atractor extraño, aunque siga sin ser bello. Se trata de un sistema descrito por dos ecuaciones muy simples, y el estado viene definido por dos variables. Al igual que nuestro mapa logístico de los conejos, se trata de un sistema que evoluciona a pasos discretos, como nuestras generaciones:

$x_{n+1} = y_n + 1 - a\cdot {x_n}^2$

$y_{n+1} = b\cdot x_n$

Dependiendo de los factores $a$ y $b$, como nos pasaba a nosotros con $r$, el mapa de Hénon puede presentar comportamientos muy diferentes. Desgraciadamente, no sé hacer un programa que represente algo así, pero puedo mostrarte la forma aproximada del atractor que, como digo, es “algo más que una curva”, puesto que su dimensión es alrededor de 1,26 como la de Koch:

Atractor de Hénon

Atractor de Hénon (a=1,4 y b=0,3). Dominio público.

Simplemente por placer, aquí tienes el mapa de bifurcación del mapa de Hénon, bastante más complejo que el nuestro. Observa la región en la que hay órbitas periódicas, entre las otras regiones “locas” en las que las ramificaciones proliferan:

Mapa de bifurcación de Hénon

Mapa de bifurcación de Hénon (versión a 3150x2200 px). (Jordan Pierce/Dominio público).

Ahora bien, aquí tienes uno que sí es bellísimo: el atractor de Rössler, que aparece en un sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas, y tiene una dimensión de 2,01 (es algo “muy ligeramente más” que una superficie):

Atractor de Rössler

Atractor de Rössler (Wofl/Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 License).

Finalmente, no puedo dejar de mencionar el atractor de uno de los padres del caos, el propio Edward Lorenz. En el llamado sistema de Lorenz, otro de tres ecuaciones con tres incógnitas –el que hemos mostrado en el vídeo antes– se forma este bellísimo atractor extraño, el atractor de Lorenz, de dimensión fractal muy ligeramente superior a la del de Rössler (2,06), el “ocho extraño” que decíamos antes:

Atractor de Lorenz

Atractor de Lorenz (Wofl/Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 License).

¿No son de una belleza tremenda? Pero, si has asimilado la existencia de algo tan raro como los atractores extraños, vuelve a pensar en nuestro ejemplo de los conejillos y su transición al caos en términos de fractales (si leíste el artículo de fractales en esta misma serie, claro), y tal vez tu comprensión sea mayor que antes:

Al principio, teníamos un atractor (extinción o población estable de conejos). Luego tuvimos 2 (tic-tac), luego 4 (tic-tac-toc-clac), luego 16, luego 32 y, en esa “cascada de bifurcaciones”, tuvimos infinitos fractales. ¡Esa cascada de bifurcaciones era casi exactamente lo mismo que hicimos con los triángulos en el copo de nieve de Koch! Allí había un triángulo del que salían otros, de los que salían otros, y así hasta el infinito; aquí teníamos un estado final –un atractor–, del que salían dos, de los que salían dos, y así hasta el infinito.

Además, ahí puedes ver también como la dimensión fractal del atractor extraño que obtuvimos indica la cara ordenada del caos: si el sistema de los conejos no se hubiera convertido en caótico sino en aleatorio, ¿cuál hubiera sido la dimensión del atractor?

Hubiera sido 1. El atractor hubiera sido el segmento entero entre 0 y 1.

Sin embargo, en el mapa de bifurcación puedes ver que no se cubre el segmento entero. Nuestro atractor pasa arbitrariamente cerca de todos los puntos del segmento (0,1), pero no es el propio segmento, sino un subconjunto del segmento que, aunque tiene infinitos puntos, no cubre todos los puntos del segmento. Por eso nuestro atractor –o, mejor dicho, el de Feigenbaum– tiene dimensión 0,538.

La naturaleza de los sistemas caóticos y los fractales han resultado estar, por tanto, entrelazadas. Y aún estamos descubriendo cosas sobre ellos. Una vez más, no se trata de una curiosidad matemática –aunque, incluso si lo fuera, sería algo fascinante y bellísimo–, sino algo de utilidad constante al estudiar sistemas del mundo real.

El atractor de Lorenz surge en sistemas climáticos, el de Rössler aparece al estudiar el equilibrio de reacciones químicas, el de Tamari (que no he mostrado aquí) al estudiar macroeconomía, el propio nombre de atractor extraño proviene del estudio de la turbulencia, el de Feigenbaum lo hemos obtenido al estudiar poblaciones… sí, los sistemas caóticos están por todas partes.

Espero que, aunque te haya supuesto esfuerzo, hayas disfrutado el viaje y te haya merecido la pena. Y que, aunque te siga pareciendo algo raro –porque, seamos sinceros, lo es–, el caos ya no tenga tanto misterio para ti; que hayas comprendido las características que lo diferencian tanto de los sistemas predecibles como de los aleatorios, y que no sea al menos un extraño ((Salvo en sus atractores, por supuesto. Menuda chispa tengo hoy.)).

Me despido con otro atractor extraño y un enlace a la galería de la que proviene, para que puedas ver otros aún más bellos:

Atractor de Poisson-Saturne

Atractor Poisson-Saturne (Nicolas Desprez/Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 License). Más imágenes en la galería de Chaoscope.

Alienígenas matemáticos, Matemáticas

7 comentarios

De: Luis
2012-04-26 10:47:26

Una pequeña errata, Pedro. Donde pone "El caso es que, en términos de órbitas, la transitividad topológica dice al go como esto: ", sobra un espacio en "al go".

Saluditos!


De: Brigo
2012-04-26 16:06:10

Recuperando el viejo sabor de introducirse en lo desconocido tan típico de las primeras series de El Tamiz! :-)


De: Persi
2012-04-26 20:44:17

Por encima de r=3,57 se convierten en cuantejos diabólicos... Voy a tener que releermelo un par de veces que ando un tanto espeso.

Buen trabajo!


De: Argus
2012-04-27 09:18:52

Agradezco mucho estas vueltas de tuerca, que como dice Brigo, te conducen a zonas desconocidas con ese sabor inconfundible de El Tamiz.

Una segunda parte con mucha más miga que la primera, como debe ser, llevándole la contraria al mundo entero que nos tiene acostumbrados a las segundas partes como relleno.

Estoy asimilando todavía toda la información y tratando de ver por qué justo ese 3,57 conduce a algo cualitativamente distinto. Estoy haciendo una gráfica que quizá me gustaría compartir en adelante. ¿Cómo puedo hacer para adjuntar un documento pdf o jpg en un comentario?


De: Chapu
2012-04-27 10:07:42

Dos entradas con muuuucha enjundia. Supongo que la serie seguirá.

Muy bueno, profe.


De: Pedro
2012-04-27 14:22:49

Argus, creo que no se puede, pero puedes poner un enlace si la cuelgas en alguna parte, o enviarme un correo y lo cuelgo yo por aquí.


De: Basurion
2012-08-16 15:20:17

Excelente artículo, muchísimas gracias, me ayudo (junto con otras lecturas independientes) a comprender de forma muy amena y explicativa este fenómeno de enorme interés y belleza incomparables, que despierta desde lo mas profundo de mí un enorme deseo por seguir leyendo y comprendiendo mas de este fascinante tema.
Permite dar una interfaz muy agradable entre lo divulgativo hasta lo científico y permitir introducirse mas fácilmente en la rigurosidad del asunto.

Sencillamente EXCELENTE. Muchas gracias.


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« Enviado abril de 2012 Transbiblio.org »