El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Las ecuaciones de Maxwell - La ecuación de onda electromagnética

En el primer anexo a la miniserie sobre las ecuaciones de Maxwell hablamos acerca de la fuerza de Lorentz, la contrapartida en cierto sentido a las ecuaciones del buen James: el efecto de los campos sobre la materia en vez de al revés. Esa quinta ley enlaza las ecuaciones de Maxwell con la materia que vemos y espero que, tras leer sobre ella, valores aún más las cuatro de Maxwell. Sin embargo, como recordarás de las cuatro ecuaciones, incluso en ausencia de cargas eléctricas era posible que aparecieran los campos eléctrico y magnético a consecuencia uno del otro –si no lo recuerdas no te preocupes porque lo recordaré en un momento con más detalle–.

Maxwell podría haber considerado este hecho como una simple curiosidad de los campos eléctrico y magnético, pero reflexionando sobre ello se dio cuenta de dos cosas: por un lado, que ambos campos estaban entrelazados de un modo que los convertía en un auténtico campo electromagnético; por otro, de que las ecuaciones que regían su comportamiento y que el propio Maxwell había obtenido predecían que la interacción entre ambos campos generaría ondas en el espacio. Manipulando sus ecuaciones, el escocés obtuvo el tesoro de la entrada de hoy: la ecuación de onda electromagnética.

James Clerk Maxwell

James Clerk Maxwell (1831-1879) (dominio público).

A diferencia del primer anexo, el de hoy tiene un único héroe: el propio James Clerk, que obtuvo uno de las predicciones teóricas más sorprendentes realizadas hasta entonces utilizando simplemente un papel, un lápiz y su cerebro. Mi objetivo hoy, por lo tanto, es intentar explicar cómo es posible predecir la existencia de ondas electromagnéticas a partir de las cuatro ecuaciones de Maxwell, y luego hablar sobre algunas de las consecuencias de este hecho. ¿Conseguiré hacerlo sin extenderme más de la cuenta? No, seguramente no.

Antes de empezar, por cierto, un par de avisos: en primer lugar, con el cálculo vectorial adecuado y la versión moderna de las ecuaciones (es decir, las ecuaciones à la Heaviside, porque el cálculo original de Maxwell es más engorroso) es posible obtener una ecuación de onda en un abrir y cerrar de ojos. Sin embargo, para ello hace falta conocer bien operadores como el rotacional o el laplaciano, saber reconocer una ecuación de onda y, en resumen, saber la suficiente Física como para no tener que estar leyendo esto. Además, a menudo se realizan esas manipulaciones matemáticas sin ahondar en el significado físico de lo que se está haciendo, con lo que tampoco se aprende tanto haciendo las operaciones sin más. De modo que no lo haremos así; realmente haremos algo parecido, pero con palabras y no tanto ecuaciones.

Eso sí, para poder hacerlo hay una contrapartida: voy a realizar simplificaciones que harían al gentil Maxwell mascullar obscenidades, y al bueno de Heaviside sollozar como un niño al que han quitado a su perrito. Si es necesario voy a trampear y obviar pegas que harán rechinar los dientes a quienes sabéis de esto – ¡ja! Si seguís leyendo, merecéis todo lo que os pase.

Finalmente, a pesar de que razonaremos con palabras y no espero que sepas más matemáticas que las que se aprenden en el colegio, este anexo es denso y requiere esfuerzo; realizaremos razonamientos lógicos –o eso espero–, e iremos poco a poco, pero es posible que este artículo requiera una segunda lectura antes de que lo asimiles del todo. Avisados estáis.

Dicho todo esto, partamos de nuestras ya familiares cuatro ecuaciones de Maxwell, que deberían empezar a parecerte como los muebles de la casa de tus padres:

$\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

$\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0$

$\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$

$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$

Los términos de la derecha, como espero que recuerdes, son las fuentes de los campos eléctrico y magnético, y había básicamente dos tipos de fuentes, que alguna vez en estos artículos hemos llamado primarias y secundarias: las cargas eléctricas –por sí mismas o en movimiento– eran las causas primarias de los campos, y las variaciones en el tiempo de los propios campos eran las secundarias. De no ser por esas fuentes secundarias, los campos eléctrico y magnético serían muy aburridos, ya que sólo podrían existir alrededor de las cargas eléctricas.

Sin embargo, podemos eliminar toda la materia de las ecuaciones: ni átomos, ni protones, ni electrones, ni nada; en términos de nuestras ecuaciones, podemos suponer que no hay ni ρ ni J. Incluso así, suponiendo que estamos en el vacío, las cuatro ecuaciones siguen estando ahí, más concisas, pero no nulas:

$\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0$

$\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0$

$\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$

$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$

Si te fijas, al eliminar las cargas las ecuaciones del campo eléctrico y el magnético se parecen mucho más que antes: uno estaba afectado por las cargas en sí mismas mientras que el otro estaba afectado por las cargas en movimiento, pero al eliminar todas las cargas, esa diferencia desaparece. De hecho, las dos primeras ecuaciones sí tienen la apariencia que cabría esperar en ausencia de cargas: no hay fuentes de los campos. Pero, como ya dijimos al hablar de las dos últimas, la variación en cualquiera de los dos campos produce un rotacional del otro campo incluso en ausencia de cargas y corrientes. Es en estas dos ecuaciones en las que vamos a fijarnos hoy.

El propio Maxwell hizo algo así, y le dio mucho que pensar el hecho de que, incluso eliminando las cargas y las corrientes, siguiera habiendo términos a la derecha de las ecuaciones. ¿Qué quería esto decir sobre cada campo? El problema para intentar desentrañar el misterio es que, como puedes ver, en cada una de las dos ecuaciones de abajo aparece un campo en función del otro. Para obtener conclusiones sobre alguno de los dos campos, lo ideal sería encontrar una ecuación que describiera sólo ese campo –por ejemplo el magnético–, de modo que tuviéramos información sobre él que no dependiera explícitamente del otro. Eso es precisamente lo que Maxwell se propuso hacer manipulando sus ecuaciones – es decir, pensando sobre el problema de una manera formal.

Nosotros haremos lo propio pero a nuestro estilo, claro; por suerte, Maxwell y Heaviside no van a ver esto.

Empecemos con un ejemplo concreto. Supongamos que, en un punto cualquiera del vacío, existe un campo magnético que está cambiando en el tiempo, por ejemplo, aumentando hacia la derecha cada vez más deprisa; evidentemente, para que esto pase algo tiene que haber creado ese campo magnético, y de eso hablaremos más adelante, pero por ahora eso no nos importa, mientras lo que quiera que haya creado el campo esté lejos de aquí para no perturbar nuestras bellas ecuaciones sin cargas; digamos que alguien está agitando un protón a un kilómetro de distancia, por ejemplo.

Lo importante es que tenemos un campo magnético dirigido hacia la derecha que es cada vez más grande y aumenta cada vez más rápido: hace falta que cambie en el tiempo, recuerda, o no conseguiremos un campo eléctrico como consecuencia. De acuerdo con la tercera ecuación de arriba, la ley de Faraday, alrededor del punto en cuestión aparecerá un campo eléctrico cuyo rotacional va en contra del campo magnético, de modo que el campo eléctrico será perpendicular a él y estará “girando” como un tornillo que se mueve hacia la izquierda, como ya indicamos al hablar de la ley de Faraday, de modo que permite que no me detenga mucho en esto:

Ley de Faraday

Sí quiero hacer énfasis en algo que no era muy importante cuando hablamos sobre esto la primera vez, pero hoy es fundamental: el hecho de que el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético, no en el mismo sentido. En términos de las ecuaciones, simplemente quiero que tengas bien presente ese pedazo de signo negativo en la ley de Faraday, que es el responsable de que las dos flechas de la ecuación de arriba vayan en sentidos contrarios. Porque, como veremos, los campos eléctrico y magnético no se comportan igual respecto a esto, y ese diferente comportamiento es una de las razones de que estés leyendo estas líneas.

Además, puesto que hemos dicho que nuestro campo magnético no sólo está aumentando, sino que lo hace cada vez más rápido, el rotacional del campo eléctrico no sólo aparecerá “de la nada”, sino que será cada vez más grande. En fin, el caso es que con nuestro ejemplo hasta ahora hemos simplemente repasado la ley de Faraday. Pero, como hizo Maxwell, tenemos que ir más allá y enlazar esta ley con la siguiente, la de Ampère-Maxwell.

Recuerda que antes no existía campo eléctrico alguno: ha aparecido a consecuencia del campo magnético variable que nos hemos inventado. Ahora, sin embargo, sí hay un campo magnético con un rotacional que es cada vez mayor. Si antes no había campo eléctrico y ahora sí es que tenemos un campo eléctrico variable en el tiempo. Pero ya vimos, al hablar de la ley de Ampère-Maxwell, que un campo eléctrico que cambia en el tiempo origina inevitablemente un campo magnético a su alrededor que es perpendicular a su variación en el tiempo:

$\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$

¡Pero aquí ya había un campo magnético! ¿Ahora tenemos dos? No, claro que no: tenemos un campo magnético total que es la suma del campo magnético adicional añadido al que ya existía. Lo esencial para comprender esto, el quid de la cuestión, es ver qué relación guardan el campo magnético “original” y el campo magnético “secundario”. Hay dos cosas importantísimas que hace falta entender aquí.

En primer lugar, con la ley de Faraday hemos obtenido un campo eléctrico perpendicular al campo magnético original; pero ahora, con la de Ampère-Maxwell, obtenemos un campo magnético perpendicular a ese campo eléctrico. ¡Por lo tanto, el campo magnético secundario debe ser de nuevo paralelo al campo magnético original! Dicho con otras palabras, en la ley de Faraday giramos B 90º para obtener la dirección de E, pero ahora en la de Ampére-Maxwell, que también tiene un rotacional, giramos E 90º para obtener la dirección de B, de modo que estamos como al principio.

Esto es lo suficientemente importante como para que lo exprese de una tercera manera, por si a alguien le ayuda a verlo: el campo magnético secundario es perpendicular a la perpendicular al campo magnético original, luego debe ser paralelo a él. Es como si hubiéramos hecho el “rotacional del rotacional” y nos hubiéramos quedado como estábamos antes… o casi.

Porque aquí viene la segunda cosa importantísima de la que hablaba: antes dijimos que algo esencial en la ley de Faraday es que había un signo menos a la derecha de la ecuación, es decir, que el rotacional del campo eléctrico no iba en el sentido de la variación del campo magnético, sino en contra. Pero en la ley de Ampére-Maxwell no hay ningún signo menos, y esa diferencia es de una importancia capital, tanta que voy a poner un signo más en la segunda aunque no haga falta:

$\nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}$

$\nabla \times \boldsymbol{B} = +\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}$

Aquí tienes las imágenes que mostramos en ambas leyes, en las que puedes ver la diferencia de comportamiento entre ambos campos:

Leyes de Faraday y Ampere-Maxwell

De modo que antes hablé mal: dije que habíamos hecho “el rotacional del rotacional”, pero en el primer caso no hicimos eso, sino “menos el rotacional”, con lo que lo que hicimos realmente al combinar ambas ecuaciones, partiendo del campo magnético original para obtener el secundario, fue “menos el rotacional del rotacional”. Por lo tanto, el campo magnético secundario vuelve a ser paralelo al campo original, pero va en sentido contrario.

Es decir, el campo magnético original aumentaba con el tiempo, y como consecuencia produjo un campo eléctrico que antes no existía; la aparición de ese campo eléctrico, a su vez, indujo la aparición de un nuevo campo magnético que se dirige justo en contra del campo magnético original. Por lo tanto, el campo magnético total ya no aumenta tan rápido como antes pues, por pequeño que sea este nuevo campo magnético secundario, compensará parte del campo principal, ya que va en sentido contrario a él.

Si hubiéramos hecho este “menos rotacional del rotacional” como Dios manda, hubiéramos obtenido la ecuación que resulta de combinar ambas para librarnos del campo eléctrico y fijarnos sólo en el magnético, que es algo así:

$\nabla^2 \boldsymbol{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2}$

Ese operador nabla al cuadrado se llama laplaciano, en honor al francés Pierre-Simon de Laplace, viejo conocido nuestro, y tiene que ver con este “rotacional del rotacional”, pero aquí no voy a meterme en el berenjenal de explicar cálculo vectorial, así que dejémoslo así: me basta con que hayas comprendido la explicación cualitativa con palabras, si es que no te has dormido por el camino. No quería, sin embargo, dejar de poner la ecuación, para que veas que el razonamiento que hemos hecho nos permite obtener una ecuación nueva en la que sólo aparece el campo magnético, justo el objetivo de Maxwell.

Pero la cosa no acaba aquí.

Según el campo magnético original va perdiendo ímpetu, pasa algo curioso: el campo magnético aumenta cada vez más despacio, frenado poco a poco por el aumento constante del campo eléctrico. ¡Pero las ecuaciones de Maxwell no han dejado de estar ahí tras el primer tramo de nuestro razonamiento! Ahora empezará a suceder justo lo contrario.

El campo magnético neto empezará a disminuir, y cuando el campo magnético secundario supere al original, se invertirá el sentido del campo magnético total. El campo eléctrico ha ido aumentando cada vez más rápido y, como consecuencia de la ley de Ampére-Maxwell, también lo está haciendo el rotacional del campo magnético perpendicular a él; pero este campo magnético secundario producirá entonces un campo eléctrico perpendicular a él, pues el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético. Estamos haciendo “el rotacional de menos el rotacional”, pero llegamos a la misma conclusión inevitable de antes: el campo eléctrico inducido ahora será justo de sentido contrario al campo eléctrico anterior.

Matemáticamente, el resultado es idéntico a la ecuación que obtuvimos antes para el campo magnético, una vez más con el laplaciano:

$\nabla^2 \boldsymbol{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}$

Dicho en términos energéticos, una vez el campo eléctrico empieza a crecer a costa de “robar” parte de la energía con la que crecía el otro, disminuyendo así su ritmo de crecimiento, es él el que induce la aparición de un campo magnético cada vez mayor y, como consecuencia, pierde energía a su vez para “alimentar” al otro, de modo que crece menos de lo que debería porque están creciendo ambos a la vez. Pero este campo magnético no va en el sentido del campo original, sino que va en contra de él (en nuestro ejemplo, hacia la izquierda). Naturalmente, a continuación pasará lo mismo: el campo magnético originará uno eléctrico que irá en contra del anterior, y éste uno magnético que irá en contra del anterior, y así constantemente.

¿Qué le está sucediendo entonces a cada uno de los dos campos, sin fijarnos en el otro? Nuestro campo magnético empezó yendo hacia la derecha y era cada vez más grande. Sin embargo, pronto empezó a perder ímpetu, luego fue decreciendo y finalmente se dio la vuelta para empezar a ser cada vez más grande hacia la izquierda. Pero, ¡ah!, este campo invertido enseguida empezó a perder ímpetu también, pues creaba un campo en sentido contrario, para luego decrecer y luego revertir al campo original. Lo que está sucediendo es que el campo magnético crece, para de crecer, decrece, se invierte, crece, para de crecer… el campo magnético está oscilando.

Naturalmente, lo mismo le está pasando al campo eléctrico: crece, deja de crecer, decrece, se invierte, etc. Sólo hay dos diferencias entre ambos, y estoy convencido de que, si has soportado todo este rollo hasta aquí, las tienes muy claras: en primer lugar, ambos campos oscilantes son perpendiculares entre sí. En segundo lugar, ambos campos crecen y decrecen a la vez, ya que el aumento de uno produce el aumento del otro, pero ese segundo aumento “roba” parte de la energía que seguiría aumentando el primero, con lo que ambos van perdiendo ímpetu y finalmente dejan de crecer para disminuir de nuevo y, finalmente, invertirse.

Sin embargo, hay otro efecto más que no podemos olvidar: esto no se detiene en el punto en el que estamos mirando. El rotacional del campo eléctrico indica que aparece un campo alrededor del punto original, no sólo allí. Por lo tanto, el campo eléctrico que estamos induciendo no sólo aparecerá en este punto, sino en otros cercanos. Y ese campo eléctrico, al variar en el tiempo, producirá otro magnético alrededor de él, pero una vez más, no sólo en ese punto, sino en otros cercanos. De modo que esta especie de reacción en cadena que hemos creado con nuestro campo magnético original se va propagando por el espacio, no se queda donde la iniciamos.

De hecho, si piensas en términos energéticos, esto significa que la energía del campo magnético original se va desperdigando, pues parte de ella pasa al campo eléctrico de los puntos próximos al original, y parte de ésa a los puntos próximos al nuevo punto en forma de campo magnético… si no hiciéramos nada más, en el punto original la oscilación de los campos eléctrico y magnético se iría desvaneciendo poco a poco según los campos inducidos en puntos próximos se fueran llevando esa energía cual sanguijuelas electromagnéticas. La única manera de mantener la oscilación inicial es si quienquiera que estuviera creando el campo magnético sigue haciéndolo, proporcionándonos “energía extra” con la que mantener la oscilación.

Hagamos entonces, como hizo Maxwell, una reflexión sobre lo que está sucediendo aquí realmente. Tenemos algo que oscila en un vaivén constante, y la energía de esa oscilación se propaga a otros puntos cercanos, en los que aparece una oscilación similar, y así una y otra vez. Hay un transporte de energía oscilante a través del espacio.

Se trata de una onda.

Ojalá pudiera haber visto la cara de Maxwell cuando se dio cuenta. A él no le hizo falta pensar en la propagación de la energía oscilante de unos puntos a otros, desde luego, sino simplemente obtener cualquiera de las dos ecuaciones con el laplaciano que hemos visto antes. La razón es que esas ecuaciones, si has estudiado mecánica ondulatoria, gritan “¡Onda, ondaaaaaa!” como unas descosidas. Aquí tienes la ecuación de una onda cualquiera en el espacio en la que oscila lo que quiera que sea que está oscilando, que represento con la letra A:

$\nabla^2 \boldsymbol{A} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2}$

Compárala con la que hemos obtenido, por ejemplo, para el campo eléctrico, e imagina que eres Maxwell:

$\nabla^2 \boldsymbol{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}$

Más claro el agua, ¿no?

Desde luego, si hay algo oscilando en forma de onda, la primera pregunta inmediata es “¿Qué demonios está oscilando aquí, si no hay materia por ninguna parte?”; una respuesta posterior a Maxwell podría ser que lo que está oscilando es el propio campo electromagnético. En la época de Maxwell, sin embargo, se pensaba que lo que estaba oscilando realmente era el éter luminífero, una sustancia redundantemente etérea que llenaba todo el espacio y cuyas perturbaciones eran las oscilaciones del campo eléctrico y el magnético. Pero, en lo que a nosotros respecta hoy, lo importante es la existencia de una onda de los campos eléctrico y magnético oscilantes que se alimentan mutuamente: una onda electromagnética.

Pero ésa no es la única pregunta, y estoy convencido de que Maxwell se hizo la segunda muy rápidamente y la contestó también bastante deprisa. es muy fácil producir campos eléctricos y magnéticos variables. Basta con cambiar la intensidad de corriente en un cable o agitar un imán. Si los campos magnéticos y eléctricos variables son tan comunes y fáciles de producir, ¿dónde están estas “ondas electromagnéticas” que deberían estar por todas partes?

Afortunadamente para Maxwell, esta pregunta se respondió casi a sí misma cuando el escocés determinó una cosa más sobre la oscilación del campo electromagnético. Si te fijas en la ecuación de onda general que hemos puesto arriba en la que oscila algo llamado A, la única diferencia con las ecuaciones de las ondas electromagnéticas es que en una aparece $\frac{1}{v^2}$ y en la otra $\mu_0\epsilon_0$; y esa $v$ no es más que la velocidad de propagación de la onda.

De modo que el producto $\mu_0\epsilon_0$ determina la velocidad de las ondas electromagnéticas, con lo que Maxwell podría calcular esa velocidad como $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$. Una vez más, afortunadamente para él, los valores de las dos constantes, eléctrica y magnética, habían sido obtenidos ya con una precisión razonable por varios científicos experimentales antes que él (dimos sus valores respectivos en las entradas correspondientes de esta mini-serie), con lo que James sólo tuvo que calcular la raíz cuadrada de su producto.

Al hacerlo, Maxwell obtuvo el resultado: unos 300 000 kilómetros por segundo.

Curiosamente, no fue el primero en obtener ese número a partir de las constantes electromagnéticas. Antes que él lo habían hecho los alemanes Wilhelm Eduard Weber y Rudolph Kohlsrauch en 1855, que se habían dado cuenta –sin saber nada sobre ondas electromagnéticas ni nada parecido– de que $\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$ tenía unidades de longitud partido por distancia, es decir, de velocidad, y habían calculado que ese valor era de 3,1·108 m/s. Sin embargo, ni Weber ni Kohlrausch le dieron mayor importancia a la coincidencia de este valor con la velocidad de la luz, que el francés Hippolyte Fizeau había determinado unos pocos años antes como 3,14·108 m/s (incorrecto, pero recuerda la época de la que estamos hablando). Desde luego, Weber y Kohlsrauch ni se plantearon que la luz tuviera que ver con esas unidades de velocidad obtenidas a partir de constantes eléctricas.

Pero, para llegar allí, Maxwell había partido de algo muy distinto: de la ecuación de una onda. Las oscilaciones electromagnéticas producían una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s, y la luz era una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s. El escocés llegó a la conclusión de que eso no podía ser una coincidencia: efectivamente, las ondas electromagnéticas sí estaban por todas partes, y sí que las veíamos, ¡literalmente! En palabras del propio Maxwell, que he citado otras veces pero no puedo resistirme a hacerlo aquí,

Esta coincidencia de resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son efectos de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.

En 1864, con un título absolutamente clarificador, Maxwell publicó Electromagnetic Theory of Light (Teoría electromagnética de la luz). Allí, el escocés detallaba su derivación de las ecuaciones de onda electromagnética y el cálculo de su velocidad de propagación. Nada volvería a ser lo mismo.

Naturalmente, hubo quien pensó que sí se trataba de una coincidencia y que Maxwell no sabía de lo que estaba hablando, pero al genio teórico de James Clerk se sumó el genio experimental del alemán Heinrich Rudolph Hertz, que en una serie de experimentos entre 1885 y 1889 demostró sin ningún género de dudas que la hipótesis electromagnética de la luz de Maxwell era cierta, y este segundo episodio, el experimental, fue objeto de un artículo entero que, si no has leído, complementaría bastante bien el que vas a terminar ahora.

Finalmente, no quiero olvidar algo que mencionamos al empezar nuestro ejemplo y que es importante: ¿quién estaba generando el campo magnético original del ejemplo? Dicho de otro modo, una vez aparece un campo magnético o un campo eléctrico variable, aparece una onda electromagnética de manera inevitable pero, ¿quién produce ese campo original?

Si recuerdas las cuatro ecuaciones de Maxwell, puedes contestar tú mismo a esa pregunta: las cargas eléctricas. Eso sí, no vale cualquier carga eléctrica, porque no queremos simplemente un campo eléctrico o uno magnético – hacen falta cargas eléctricas que hagan aumentar el campo magnético (o uno eléctrico, que lo mismo da) cada vez más deprisa. Podríamos lograr esto, por ejemplo, con una carga eléctrica que se acercase hacia el punto que estábamos estudiando cada vez más deprisa: con una carga eléctrica acelerada. Lo mismo daría, por supuesto, que el campo fuera disminuyendo cada vez más deprisa porque la carga se estuviera alejando cada vez más rápido, o que hubiera cualquier otro cambio en el campo eléctrico o magnético que fuera cada vez más o menos brusco.

Son las cargas eléctricas aceleradas, por lo tanto, quienes crean la perturbación original y de las que proviene la energía necesaria para ponerla en marcha, y son las cuatro ecuaciones de Maxwell las que determinan esa perturbación original a partir de las densidades de carga y corriente; y, una vez puesto en marcha el proceso, son las cuatro ecuaciones sin carga ni corrientes las que describen cómo se propaga la perturbación por el espacio a la velocidad de la luz – es decir, de las ondas electromagnéticas de James Clerk Maxwell.

Esto llevó a un auténtico problema en la física de finales del XIX, por supuesto: los electrones en los átomos son cargas eléctricas aceleradas, ya que están girando constantemente alrededor del núcleo. Las ecuaciones de Maxwell, por lo tanto, predicen con una exactitud y minuciosidad tremendas las características de la onda electromagnética emitida por esos electrones constantemente. Esa onda electromagnética se iría llevando la energía del electrón, que iría cayendo más y más hacia el núcleo hasta pegarse un mamporrazo contra él… pero claro, eso no sucede o no existirían los átomos estables que existen. La respuesta a este dilema fue una revolución como pocas en la historia de la Física: la cuántica.

Sin embargo, había otro problema aún más evidente: como hemos dicho, Maxwell obtuvo una velocidad de propagación para las ondas electromagnéticas de unos 300 000 km/s. Ahora bien, ¿300 000 km/s respecto a qué? Lo mismo pasa con la fuerza de Lorentz que estudiamos en el anexo anterior, en la que aparece la velocidad de una partícula cargada que sufre un campo magnético… ¿velocidad respecto a qué? Puedes imaginarte la respuesta según el escocés: respecto al éter. Al fin y al cabo, en su teoría electromagnética el éter era el medio que oscilaba, el éter era el medio que transmitía las fuerzas eléctricas y magnéticas… el éter era algo así como el océano en el que notábamos las olas y los movimientos de otros objetos inmersos en él.

Esto suponía un enorme problema expeirmental, y a él dedicaremos el tercer y último anexo a esta miniserie, ya que supuso, una vez más, una revolución como pocas, comparable sólo a la propia cuántica: la relatividad.

Ciencia, Física

33 comentarios

De: Gilbert Martinez
2012-01-30 13:33:03

¡Excelente artículo! Muy didáctico pese a la dificultad del tema!
Gracias


De: Luis
2012-01-30 14:37:51

Maravilloso, maravilloso, como siempre. Da gusto, de verdad.


De: Venger
2012-01-30 19:43:28

Ja, no me lo creo. Seré el segundo comentario:

ERRATA: Creo que donde dice: "Ahora, sin embargo, sí hay un campo magnético con un rotacional que es cada vez mayor" creo que debería decir: "Ahora, sin embargo, sí hay un campo ELÉCTRICO con un rotacional que es cada vez mayor"

Tampoco entiendo muy bien cuando dices que lo perpendicular de lo perpendicular vuelve a ser paralelo. Eso es en un plano, pero en el espacio, puede ser perpendicular a algo perpendicular y no ser paralelo

Por último, al final tampoco me queda del todo claro si lo que produce un campo magnético es una carga con velocidad constante o acelerada. Pero a lo mejor es porque como dices, es muy denso y hay que leerlo 2 veces.

En cualquier caso, enhorabuena. Esto sí que es meter goles!


De: Fernandog
2012-01-30 21:26:23

He estudiado esto el último semestre, y quiero tener un hijo tuyo.


De: David
2012-01-31 01:45:04

OFF TOPIC

Hola. Solo pasaba para aconsejaros un blog que se parece a este en la manera de despertar la curiosidad, la forma clara de explicar las cosas, la pasión con la que se escribe (y que delata la que tienen los autores por su tema) y la accesibilidad y utilidad social de los contenidos.

Habla de matemáticas y se dirige a un publico infantil (lo que no impide que yo me haya enterado de algunas cosas y haya refrescado otras). Me gusta mucho el estilo y he pensado que podría interesaros echar un vistazo y ser útil para los críos de los que tengáis hijos pequeños.

Os pongo uno de los posts que me llamaron la atención (en amazings):

http://amazings.es/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/

Su blog es este:

http://seispalabras-clara.blogspot.com/

Saludos.


De: Yanero Solitario
2012-01-31 05:07:45

¡Magistral! Me ha la explicación, me formo para lo del hijo también. Felicidades, gran articulo.


De: Las ecuaciones de Maxwell – La ecuación de onda electromagnética
2012-01-31 05:11:12

[...] "CRITEO-300x250", 300, 250); 1 meneos Las ecuaciones de Maxwell – La ecuación de onda electromagnética eltamiz.com/2012/01/30/las-ecuaciones-de-maxwell-la-ecuac...  por Pancar hace [...]


De: Nikolai
2012-01-31 13:56:07

Maravilloso, me encanta como explicas estas cosas.
Me hubiera gustado que pusieras una explicación del Laplaciano del estilo de la divergencia y el rotacional :') que seguro hubiera sido grandiosa. Es que yo si confieso que cuando aprendí esto solo los tome como asuntos matemáticos sin vislumbrar claramente el asunto físico básico (que pena me da confesarlo)
Gracias Pedro, sin palabras me quedo.


De: jdamian
2012-02-01 10:10:02

Posible errata: "tenía unidades de longitud partido por distancia, es decir, de velocidad"... realmente debe decir longitud partido por tiempo.
La distancia (entre dos puntos) equivale a la longitud del segmento de recta que los une, es decir, mas o menos, longitud=distancia (en términos euclideos)


De: carl
2012-02-02 21:05:15

hola, después de leer la serie hasta aquí tengo un par de dudas que no consigo aclarar:
1-una carga eléctrica, un electrón por ejemplo, SIEMPRE produce un campo eléctrico esté o no en movimiento no?(es decir, una corriente también forma un campo eléctrico)
2-si esto es así entonces es posible que exista un campo eléctrico sin que se haya uno magnético (carga puntual quieta), pero no al contrario, siempre que haya un campo magnético tiene que haber uno eléctrico porque, o bien es la variación de este el que forma el magnético o es una carga en movimiento, que también formaría el campo eléctrico. Correcto?
gracias (un blog muy entretenido por cierto)


De: paola
2012-02-03 04:20:24

hola, bueno q puedo decir estoy maravillada con todos los articulos que e leido y no nadamas de esta serie, es divertida y muy comprensible tan comprensible q una tipa como yo de 13 años esta obsecionada con estos escritos, créanme les estoy muy agradecida por q gracias a ustedes mi sueño de comprender estas cosas se esta cumpliendo y de nuevo gracias ....... espero que algun dia hagan una serie les las fuerzas fundamentales =)


De: Angel
2012-02-03 16:20:59

carl:
1.- Sí, eso es, una carga electrica en reposo produce un campo electrico (es esencialmente lo que nos dice la primera ecuación de Maxwell).
2.- Basícamente sí, si tienes un campo magnético por algún lugar tienen que aparecer cargas electricas aceleradas (aunque puede no ser obvio, como en los imanes). Además hay una pequeña sutileza cuantica en esto, que es la relación del espin con el momento magnético, pero mejor no meternos ahora en estos lios...


De: IdeoFunk
2012-02-06 00:58:21

OFF TOPIC
Pedro, llegue hasta aquí siguiendo la pista del Boson de Higgs, pero me di cuenta de que mejor empezaba con las partículas por el principio. Entonces comprendí que mejor empezaba leyendo la serie de cuántica para entender la de partículas, pero como vi que había una sobre relatividad general, decidí leerla para abrir boca, pues estaba mas familiarizado con esta teoría. Leí estas series y alguna mas completa, para darme cuenta de que quería leer todas y cada una de las entradas por orden, incluso releyendo las que pertenecían a estas series. Algo mas de un año después, afirmo con orgullo que por fin me he puesto al día.
Pedro, muchísimas gracias por este viaje que tanto he disfrutado, y sigue igual, maestro!


De: chamaeleo
2012-02-06 14:58:19

Muy buena esta serie. Se entiende muy bien, pero dice tantas cosas y tiene tanta profundidad en tan poco espacio, que es para leerlo con calma. Cuando termine la serie, trataré de releerlo despacito y con calma, porque siempre me quedan dudas por aclarar, pero el paso más difícil para mí siempre ha sido tratar de identificar qué dudas son.

De momento, he conseguido identificar dos dudas que no tengo claras.
1) El planteado por Venger, cómo es posible que en el espacio la perpendicular de la perpendicular sea paralelo. Supongo que tiene que ver con que un campo magnético viene definido por un plano, y un plano en un espacio tridimensional podría ser equiparable a una línea en un espacio plano. Pero sigo sin verlo claro, ya que la dirección del campo magnético (perpendicular al plano que define al campo magnético) sigue siendo una línea, un vector, que puede girar sobre varios ejes.

2) La propagación de las ondas electromagnéticas, según has explicado, parece producirse en todas las direcciones del espacio. Esto provocaría que la intensidad de la onda disminuyese con el cuadrado de la distancia, cosa que sucede con muchas fuentes de luz. Pero, ¿cómo reduce una linterna el haz de luces para evitar que éstas se propagan por todo el espacio y alumbren sólo en una zona delimitada? Aunque en la linterna haya piezas opacas y reflectantes alrededor, una vez que la onda electromagnética ha escapado de la linterna, ¿qué le impide esparcirse por todo el espacio? Por no hablar del LASER.


De: Alberto V. Miranda
2012-02-06 16:13:25

Acabo de descubrir vuestra página por un comentario en nuestra revista (donde ya os hemos enlazado) y la verdad es que me quedado encantado con la calidad y el rigor de los artículos. Espero que, no el próximo (que supongo dedicaréis a Michelson-Morley), sino el siguiente artículo de esta serie esté dedicada al campo magnético como artefacto relativista, una apreciación que no se suele recalcar en las facultades.

Por supuesto, os invito a pasar por nuestra revista, http://astropuerto.com


De: Alberto V. Miranda
2012-02-06 16:17:12

Chamaeleo, es que la luz efectivamente se esparce en todas direcciones!!! el hecho de que la veas más o menos colimada es siempre debido al uso de sistemas reflectantes, incluso en el caso del láser.

Te planteo una cuestión relacionada también muy interesante: si un fotón es una partícula, ¿cómo es que al chocar con un espejo (que a nivel atómico es cualquier cosa menos liso) sigue la ley de reflexión?

La respuesta es que afirmar que un fotón es sólo una partícula es falsa. En realidad, podemos considerarlo una onda y además suele venir en haces.

Por eso, la respuesta a la pregunta que planteo es el Principio de Huygens: los fotones, al chocar contra los átomos de la superficie de un espejo, generan una onda que se esparce en todas direcciones. Cuando estas ondas se acoplan a la de otros fotones compañeros, el frente de onda resultante sí obedece claramente la ley de reflexión.


De: josecb
2012-02-07 00:25:49

Bravo, eh aquí un ejemplo de por qué decir esto ocurre "porque sí" solo consigue que no entiendas algo durante años.

Tenía claro de sobra que una variación en el campo magnético provocaba una variación en el eléctrico y de ello se derivaba una onda electromagnética pero hasta ahora me lo sabía de memoria pero no entendía el por qué. Lo has dejado superclaro.

Por otro lado, después de varios artículos pareciéndome que las ecuaciones de Maxwell decían obviedades acabo de quedar maravillado, y es que no tenía ni claro por un lado que relación tenían con las ondas electromagnéticas y por otro como se deriva de ella directamente la relatividad (¿velocidad respecto a qué? respecto a nada, igual para todos los observadores) e indirectamente la cuántica ya que sino no se sostendría la física clásica que no contemplaba órbitas cuantizadas.


De: chamaeleo
2012-02-07 13:24:05

Alberto V. Miranda, gracias por la respuesta. El pensar la luz como una onda me aclara, pero sigo teniendo la duda de que, aunque se genere una "cresta" de mayor intensidad en una dirección, seguiría habiendo ondas alrededor de esa cresta, pero éstas no las vemos. Si miro una linterna de perfil, no soy capaz de apreciar la bombilla o la fuente de luz, tengo que mirarla justo de frente. A veces si apreciamos el haz de luces desde cualquier dirección, pero porque hay polvo o partículas en la atmósfera que reflejan esa luz.

Por ahora sólo se me ocurre que las ondas esparcidas alrededor se anulen unas a otras, y sólo quede la cresta principal en una dirección. Pero sigo sin verlo claro.

Con respecto al fotón, entrando ya en el mundo cuántico, puedo ""a duras penas entender"" que, cuando no interacciona con nada, funciona como onda; y cuando interacciona con algo, se percibe como partícula. Lo que me deja al borde de la locura es cuando intento aclararme cómo puede interaccionar con el espejo y comportarse como onda, si justo en el momento de la interacción con el electrón del átomo del espejo debió de mostrarse como partícula.

O cuando nada interacciona con nada, se comportan como ondas. Pero cuando interacciona con algo, en ese instante se muestran como partículas, pero... ¿con qué interaccionan, si al principio todo son ondas? ¿2 ondas pueden interaccionar entre ellas para mostrarse eventualmente como partículas? Claro, y la probabilidad de que eso ocurra viene definido por la propia onda... ufff, creo que ya me he vuelto loco.


De: Alberto V. Miranda
2012-02-07 17:01:47

Chamaleo, lo que dices "Por ahora sólo se me ocurre que las ondas esparcidas alrededor se anulen unas a otras" es básicamente correcto.

Ten en cuenta que Newton dedujo que la luz estaba hecha de partículas porque viajaban en línea recta, al contrario de lo que había dicho su casi coetáneo Huygens. Y la historia científica de la naturaleza de la luz ha dado varios bandazos desde entonces. Desde Maxwell, que la recuperó como onda, hasta Einstein, que reclamó de nuevo su naturaleza corpuscular al estudiar el efecto fotoeléctrico.

La cuestión, y esto es realmente lo complicado, es que algunos fenómenos se explican por partículas y otros por ondas. Pero eso no significa que un electrón o un fotón SEA una onda o una partícula, o una mezcla. No conocemos la ESENCIA de lo que son las partículas/ondas, sólo su MANIFESTACIÓN, que puede ser de un tipo u otro.

Aun así, ten en cuenta que la dualidad onda-partícula es en realidad un misterio hasta para los propios físicos.

Escribí este artículo hace unas semanas. Va de otra cosa, pero trata algunas de estas cuestiones y a lo mejor te ilumina: http://astropuerto.com/?p=504


De: J
2012-02-07 21:50:05

Hoy ha salido este cómic en Abstruse Goose. Seguro que nuestros contertulios lo aprecian en lo que vale.

http://abstrusegoose.com/434


De: Venger
2012-02-10 12:40:45

@chamaleo y @Alberto V. Miranda:

Según Pedro, el fotón es una "ondícula" (sic)


De: Joselo
2013-01-29 18:59:17

Oigan, yo no se como visualizar la perpendicularidad de los campos solo con el rotacional, algun consejo???? osea porque entiendo que el rotacional "representa" la direccion hacia donde debe girar algo que se encuentre sobre el campo, pero no hallo qué nos dice esto sobre las lineas de flujo del campo.


De: Joselo
2013-01-29 19:00:22

para cualquiera de los dos, ya sea electrico o magnetico.
Es decir, si me dan el rotacional, hacia donde van las lineas de flujo de un campo electrico y de un magnetico??


De: Sergio B
2013-01-31 01:17:37

@Joselo Piensa en un tornillo, cuando lo giras puedes asignar un vector velocidad a cada punto de la circunferencia del tornillo que ira dando vueltas, que estara relacionada con la velocidad vertical que tendra el tornillo, en nuestro caso la velocidad vertical seria el rotacional y los vectores velocidad de la circunferencia serian las lineas de campo.

Espero que te sirva, pero cuidado con la analogia del tornillo, por que si piensas en considerar tornillos de distintos diametros para ver como es el campo completo los tornillos van cambiando el paso, que es lo que sube el tornillo por vuelta, de forma que a menor diametro mas vueltas necesitarias para subir lo mismo, asi que al reducir el diametro nuestro tornillo deberia de dar mas vueltas para mantener la misma velocidad de ascension, tantas mas como para que las velocidades en la circunferencia del tornillo vayan siendo mayores, de la misma forma que un patinador gira mas rapido al levantar los brazos. Esa relacion de cuanto mas rapido gira la dan las constantes magneticas en nuestro caso.


De: jose antonio
2013-04-17 10:57:21

excelente articulo, si tenemos profesores como tu enseñando a los niños españoles, tenemos futuro como pais.
muchas gracias por tus articulos.


De: RSM
2013-08-06 16:19:36

Este es un artículo muy bueno, muy didáctico. es bárbaro cuando se logra explicar algo tan complejo de una forma tana amena


De: @JhonyG
2014-03-05 15:11

Excelente artículo. Manejó un tema tan denso y complicado como los campos electromagnéticos de forma sencilla, práctica, con clase y estilo. En hora buena.

De: Alberto
2014-08-23 18:31

Muy bien explicado, gracias. Sin embargo a mi tampoco me queda muy claro como ver la dirección de los campos, no comprendo lo de la perpendicularidad. Además he visto que la representación gráfica de una onda electromagnética se hace con dos ondas perpendiculares cuyos nodos coinciden ¿en ese tipo de gráfico cómo serían las líneas del campo?

Un saludo,

De: Jesus
2014-08-27 16:41

Muchas gracias por los artículos. Tengo una pregunta; según parece, el campo eléctrico y el magnético están generados "solo" por cargas eléctricas y "solo" afectan a cargas eléctricas, entonces, ¿por que se sigue hablando de dos tipos de campo diferentes (eléctrico y magnético)?, ¿no se trata, en realidad, de un único campo aunque, históricamente, hayan sido dos?.

De: J
2014-08-27 18:05

Jesus,

de hecho es así. Fíjate en que el título del artículo no es "la ecuación de las ondas eleéctrica y magnética" sino "la ecuación de [la] onda electromagnética". Solo se estudian de forma separada cuando o bien el nivel es muy bajo (física de primaria) o solo existe o interesa uno de los efectos (por ejemplo, una brújula).

De: Jesus
2014-08-27 20:18

Gracias J por tu respuesta.

Entonces, ¿es posible manipular las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de la fuerza de Lorentz de forma que no aparezca el campo magnético?.

Salu2.

De: Francisco Salgado
2016-08-17 00:05

Como he visto que hay dudas de cómo se desplaza la onda electromagnética y nadie lo ha contestado (aunque aparece dicho en la serie) primero, el campo perpendicular del perpendicular es paralelo poque la rotacional de produce en el mismo eje. A consecuencia de ello el campo electromagnético “baila" en un solo plano que es perpendicular al vector de desplazamiento. Es decir: la onda electromagnética es una onda transversal, q diferencia del sonido que es longitudinal ( vibra en el vector de desplazamiento)

De: Elías
2016-10-21 14:52

La verdad, una maravilla!

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