El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Desafíos - El hombre más fuerte de Mildivia (solución)

La semana pasada planteamos el desafío del Hombre más fuerte de Mildivia, en el que os preguntábamos por el ángulo óptimo con el que la arrogante pero aguda Laurika había conseguido vencer a todos los fortachones del pueblo en el concurso de lanzamiento de ladrillos sobre el lago helado. Hemos recibido, como siempre, respuestas excelentes y muy bien explicadas, algunas de ellas con gráficas aclaratorias estupendas.

El objetivo de este desafío era hacer “disfrutar doble” a la mayoría, aunque ya me diréis si ha merecido la pena o si, por el contrario, os resulta frustrante; me explico. Si se resuelve el problema como se haría en Bachillerato la mayor parte de las veces, se obtiene un resultado aproximado de unos 19,3º, que es el que habéis obtenido prácticamente todos vosotros. De ahí que en el enunciado hiciese énfasis en la importancia de obtener al menos una estimación, cuyo mérito es muy grande comparado con no tener ni idea del resultado, aunque no sea exacto: haber llegado a los 19º, aunque no sea el resultado fetén, está muy bien. Porque no, no es el resultado fetén aunque esté bastante currado.

Lo que pone de manifiesto el valor de una estimación es que, como bien habéis demostrado los decimonónicos (los que llegáis a unos 19º), con ese ángulo de lanzamiento Laurika gana la competición. Es decir, que si hubiérais competido contra los hombres más fuertes de Mildivia con un 90% de velocidad inicial respecto a ellos, hubiérais ganado el primer premio y se hubieran quedado todos patidifusos. Digo esto porque, si eres decimonónico, no te dé rabia no haber afinado más, ya que eso es precisamente lo que pretendía – engatusarte con un problema que se ve bastante claro desde el principio para que te pelearas con él, y luego enseñarte algo “extra” cuando leyeras la solución completa. Mua… muah… muahaHAH…¡¡¡MUAHAHAHAH!!! ((“Múltiples signos de exclamación – el signo seguro de una mente enferma”, Terry Pratchett.))

¿Qué no has tenido en cuenta si has llegado a 19,3º? De eso hablaremos en un momento, impaciente; antes, los finalistas decimonónicos.

Es difícil elegir soluciones, ya que hay muchas muy bien razonadas. He intentado mostraros dos para quienes no conseguísteis llegar a esos 19,3º, de las que me parecen más claras y didácticas; son las de los dos finalistas del desafío de hoy, la de Julen [mildivia-julen.pdf] y la de David [mildivia-david.pdf]. Creo que si no entiendes la base del problema con una, lo entenderás con la otra – y, si no es así, no dudes en preguntar en comentarios, que los propios participantes te aclararán las dudas que puedas tener.

Es importante, por cierto, entender bien las soluciones de David, Julen y similares antes de intentar entender la más afinada porque no es radicalmente distinta: simplemente añade un factor más a las de ellos, un factor que puede ser muy importante y del que no se suele hablar mucho: el impacto contra el hielo. Si has obtenido esos 19,3º y disfrutado con ello, mi objetivo ahora es que disfrutemos yendo un poco más allá juntos y obteniendo el resultado fetén, que no es otro que 11,3º. Me basaré en las respuestas de David y Julen, de modo que no las cierres si tienes los PDFs abiertos.

Ese resultado, por cierto, sólo lo ha enviado uno de vosotros, Oldman, pero lo cierto es que no entiendo bien su razonamiento. El pobre Oldman estaba de vacaciones durante el desafío, y me envió “fuera de concurso” la respuesta sin explicación, simplemente para que quedase constancia. Sin embargo, como fue el único en dar el resultado correcto, le pedí por favor que intentara explicarlo para quienes no hubiesen llegado a él; su respuesta fue mucho más corta que otras veces y creo que no tan completa como hubiera sido precisamente por estar de vacances, de modo que permitid que lo explique a mi manera en vez de poner la de Oldman ahora (al final enlazo a ella).

Antes de empezar con la explicación, un par de avisos: si te ha costado comprender las de Julen y David, no te preocupes por lo que sigue porque es un troncho de aquí te espero con integrales, impulso mecánico y demás, y sólo tiene sentido como ampliación de un conocimiento bien establecido. No vas a entenderla si no has comprendido bien las soluciones anteriores. ¿Que lo entiendes? Genial, porque has aprendido algo nuevo. ¿Que no? No pasa nada. ¡Adelante, valientes!

El problema con los 19,3º es que existe una suposición más falsa que Judas en el proceso: que la velocidad inicial al empezar el deslizamiento horizontal sobre el hielo es $v_{0}\cos\alpha$, es decir, la misma que tiene el ladrillo inmediatamente antes de impactar contra el suelo. El impacto contra el suelo no es algo despreciable en absoluto, sino de gran importancia en el problema, y pega un buen frenazo al ladrillo en horizontal. Veamos si puedo explicar con claridad por qué esto es así antes de poner fórmulas.

Justo antes de impactar contra el suelo, el ladrillo se mueve hacia la derecha con velocidad $v{0}\cos\alpha$ y hacia abajo con velocidad $v{0}\sin\alpha$. Sin embargo, durante el impacto contra el suelo la velocidad vertical del ladrillo se hace nula en muy poco tiempo, ya que el suelo ejerce la fuerza necesaria sobre él para ello. Esa fuerza ejercida por el suelo, como bien explican los decimonónicos, es la fuerza normal, que no tiene por qué ser igual al peso. De hecho, es posible entender por qué durante el impacto tiene que ser mayor que el peso y es, en la realidad, mucho mayor que el peso del objeto.

Cuando la fuerza normal es igual en módulo al peso, la aceleración vertical del objeto es nula: de ahí que, efectivamente, cuando el ladrillo se desliza horizontalmente sobre el suelo, la fuerza normal vale lo mismo que el peso, ambas se cancelan y a otra cosa, mariposa. Pero durante el impacto, la aceleración vertical del objeto no es nula, sino que se dirige hacia arriba, con lo que la fuerza normal durante el impacto no es igual a mg, sino mayor.

Disculpa que sea pesado, pero aquí tienes otra manera de librarte de esa idea maligna de “la fuerza normal en un plano horizontal es igual al peso”. Supongamos que te dejas caer desde un décimo piso. Lo que te duele y probablemente te mata, claro está, es el golpe con el suelo; dicho de otro modo, te mata la fuerza que ejerce el suelo sobre ti, es decir, la fuerza normal. Si la fuerza normal fuese igual a tu peso, por ejemplo, 700 N, no te mataría – no, la fuerza normal durante un impacto es muchísimo mayor que el peso, y gracias a ella el objeto no atraviesa el suelo.

¿Cómo calcular la fuerza normal durante el impacto? Aquí vienen las buenas noticias: no nos hace falta. Lo que nos interesa es el impulso que el suelo proporciona al ladrillo, es decir, la variación de su cantidad de movimiento. Justo antes del impacto, la velocidad vertical del ladrillo es $-v{0}\sin\alpha$, y después del impacto, ya que el movimiento es horizontal, es 0. De modo que la variación de la cantidad de movimiento del ladrillo es $m v{0}\sin\alpha$.

Por lo tanto, el impulso que realiza la fuerza normal sobre el ladrillo es necesariamente igual a la variación de la cantidad de movimiento:

$\Delta p{y} (= m v{0}\sin\alpha) = \int N\, dt$

Evidentemente, cuanto menor sea la duración del impacto, mayor será la fuerza normal media durante él, y viceversa. Pero el efecto total debe ser, necesariamente, la variación de la cantidad de movimiento del ladrillo. Aunque no sea de interés en la resolución de este problema, por cierto, esto es lo que hace que, si la superficie es muy blandita –ejerce una fuerza normal pequeña–, la deceleración es menos brusca y dura más, mientras que si es una superficie muy dura, el impacto es muy corto pero la fuerza muy grande y te hace más daño. Pero eso es otra historia, que tendrá que esperar a otra ocasión.

Pero claro, la fuerza de rozamiento con la superficie, como bien han explicado Julen y David, es

$F_{r} = \mu N$

Lo que significa que, durante el impacto, el ladrillo se frena horizontalmente. Ya hemos dicho que, justo antes, su velocidad horizontal es $v_{0}\cos\alpha$, pero ahora sufre un impulso que modifica su cantidad de movimiento horizontal:

$\Delta p{x} = -\int F{r}\, dt$

Sustituyendo la fuerza de rozamiento por $\mu N$,

$\Delta p_{x} = -\int \mu N\, dt$

Sacando el coeficiente de rozamiento de la integral obtenemos una integral que debería resultarte familiar, de un par de pasos atrás:

$\Delta p_{x} = -\mu \int N\, dt$

Efectivamente, sabemos que $\int N\, dt = m v_{0}\sin\alpha$, con lo que tenemos que

$\Delta p{x} = -\mu m v{0}\sin\alpha$

Es decir, que la variación de la velocidad horizontal del ladrillo durante el impacto es

$\Delta v{x} = -\mu v{0}\sin\alpha$

Es decir, durante el impacto, el ladrillo se frena horizontalmente; la razón, como ves en la fórmula, es que durante ese impacto, por breve que sea, la fuerza normal es bastante grande –de hecho, como hemos visto, tanto mayor cuanto más breve sea el impacto–, y con ella la fuerza de rozamiento. Como consecuencia, esa velocidad horizontal inicial de $v_{0}\cos\alpha$ se ha reducido hasta valer, justo tras el impacto,

$v{0}\cos\alpha - \mu v{0}\sin\alpha$

O, sacando factor común,

$v_{0} (\cos\alpha - \mu \sin\alpha)$

Y ese segundo término es la corrección al valor de velocidad inicial del movimiento de deslizamiento sobre el suelo que habéis utilizado los decimonónicos. Si os fijáis, no es ni mucho menos despreciable salvo que el coeficiente de rozamiento lo sea, y es tanto mayor cuanto mayor es el rozamiento y cuanto más en vertical impacta el ladrillo contra el suelo. De hecho, si te fijas, para cualquier valor de μ existe un ángulo por encima del cual el ladrillo se queda “clavado” durante el impacto y no se desliza nada. Una vez más, no es algo pedido en el desafío, pero estamos jugando, así que disfrutemos con ello. ¿Cuándo se frenará completamente el ladrillo durante el impacto? Si la velocidad de la fórmula de arriba se hace nula:

$0 = v_{0} (\cos\alpha - \mu \sin\alpha)$

Es decir, si

$\cos\alpha = \mu \sin\alpha$

Luego

$\tan\alpha = \frac{1}{\mu}$

Cualquier ángulo mayor que ése significará una “clavada” ( y eso, por cierto, significa que hay un μ determinado para el que lo mejor es hacer lo que sugería Shivillikas, es decir, lanzar con 45º; ¿puedes determinar cuál es ese coeficiente de rozamiento?). En cualquier caso, el espacio total recorrido en horizontal, teniendo en cuenta esta corrección, mientras que antes era (tomado de la solución de David, que es la que tengo delante):

$S = \frac{2 v{0}^2 \cos\alpha \sin\alpha}{g} + \frac{v{0}^2 \cos{\alpha}^2}{2 \mu g}$

Ahora se convierte en algo parecido, pero no igual:

$S = \frac{2 v{0}^2 \cos\alpha \sin\alpha}{g} + \frac{v{0}^2 (\cos{\alpha} - \mu \sin\alpha)^2}{2 \mu g}$

No os creáis que voy a seguir resolviendo, sinvergüenzas… al derivar respecto de α e igualar a cero, del mismo modo que hacían los decimonónicos pero con el término “corregido”, se obtiene la condición que queremos. Aquí está, por cierto, lo que me parece la ironía tremenda de este problema… sin tener en cuenta el impacto, Julen obtenía la siguiente expresión analítica para α:

$\tan 2\alpha = 4 \mu$

Mientras que la expresión equivalente pero corregida, curiosamente, a pesar de tener en cuenta algo más complejo, resulta ser algo mucho más simple (deriva y calcula si quieres obtenerla, descastado):

$\tan\alpha = \mu$

Curioso, ¿verdad? Por lo tanto, el valor correcto de α no es otro que

$\alpha = \arctan0,2$

Es decir, que α = 11,3º. Redoble de platillos y un abrazo si has llegado hasta aquí conmigo. Yo también te quiero.

Como he dicho al principio, Oldman llega hasta este valor exacto pero de una manera que no entiendo. Aquí os la dejo, para que podáis leerla vosotros mismos: [mildivia-oldman.doc]. Salvo que él me diga que su razonamiento no tiene nada que ver con esto y que la diferencia no se debe a la falta de tiempo (¡porque ya es casualidad que le salga lo mismo!), creo que se merece ser el ganador de este desafío.

Espero, como decía antes, que hayáis disfrutado dos veces. ¿No es un placer pensar? Descansad las neuronas y ¡hasta el próximo desafío!

Desafíos

23 comentarios

De: Pedro
2011-02-14 18:05:39

He tenido que usar LaTeX para las fórmulas, y ha sido un poco infernal porque aún no tengo la suficiente práctica. Si en alguna se me ha escapado algún símbolo o veis algo raro, decídmelo y lo intento corregir :)


De: Juan Carlos Giler
2011-02-14 18:32:46

Pedro: "la de Julen y la de David " son los mismos archivos!


De: Pedro
2011-02-14 18:36:43

¡Maldición! Me di cuenta antes de publicarlo y pensaba que lo había cambiado, pero no... cosas del copia-pega. Gracias, Juan Carlos :)


De: J
2011-02-14 19:46:31

Pedro: si no te manejas bien con el LaTeX, Word u OpenOffice te permiten usar el editor de ecuaciones a base de clicks (insertar->objeto->ecuación o algo así). Luego capturas la imagen (recomiendo encarecidamente probar Bayden MezerTools, se saca con W+s, click, click y ya tienes en un fichero una captura de un cachito de tu pantalla) y listo.

Por cierto: increíble. Me hubiera quedado en el 19º...


De: blax
2011-02-14 20:06:36

Hace ya muchos años que dejé la física y las matemáticas.. Pero a mí no acaba de cuadrarme ni la 3.1 ni la 3.2 en la solución de oldman. Acabamos derivando constantes... Tampoco acabo de ver el igualar Fi a Fr. En el tramo AB el movimiento es (des)acelerado, por lo que la suma de fuerzas no puede ser cero.

MIs máximos respetos, Oldman, no critico la solución, simplemente mi pobre neurona ya no está para muchos excesos y además yo era más de cosas cuánticas :)

Pedro, gracias por hacerme ejercitar el cerebro :)


De: Pedro
2011-02-14 20:30:09

J, sí, pero el caso es que LaTeX me gusta. El problema es que cuando pongo algo mal, Wordpress simplemente me dice "formula does not parse" y hala, allá te las apañes para encontrar el fallo :P


De: Macluskey
2011-02-14 22:08:33

No estaba yo la semana pasada en condiciones de contestar a nada... pero a mí esto me recuerda mucho al curling, esa especie de superpetanca tan cursi en la que lanzan una piedra tremenda deslizándose por el hielo y los compañeros barren el hielo para que la piedra avance más.

He hecho unos breves cálculos (sí, vale, no doy pa más) y me sale que si Laurika simplemente lanzara el ladrillo deslizándose por el hielo (es decir, que sólo haya movimiento uniformemente desacelerado, sin parábola ni impacto), y lo lanza con una fuerza del 0,9 de la de los lanzadores, entonces alcanzaría una distancia exactamente igual a la que alcanzan los hombres en la solución decimonónica de los 45º: [V cuadrado partido por 2.mu.g] (qué chapuza de fórmula, por dios, espero que se entienda), o sea, [2,25.Vcero cuadrado partido por g], siendo Vcero la de los hombres (Laurika lanzaría con 0,9.Vcero). Igualito que los hombres.

Pero como así no hay impacto, no hay desaceleración debida al trompazo ladrillo-hielo, y por lo tanto no hay pérdida de velocidad, por lo que simplemente lanzando el ladrillo ya les ganaría.

¡Y siempre podría inventar el curling, poner a alguien a barrer enérgicamente y ganar unos centímetros más!!!

Ya sabéis que los informáticos viejos buscamos siempre soluciones simples... (BRRR, ¡Integrales!! :=( ...aunque no estoy nada seguro de haber hecho bien los cálculos, que, eso sí, tienen "buena pinta").

Saludos!


De: J
2011-02-14 23:23:11

Espera... ¿es que Wordpress entiende las fórmulas directamente en LaTeX? ¿En El Cedazo también? ¿Y en los comentarios? Esto último ya sería la leche...


De: Pedro
2011-02-14 23:38:37

Mac, ¡no te metas con el curling, que me lo paso teta viéndolo! :P

J, hay un plugin (que creo que también instalé en El Cedazo, porque cruzki lo ha utilizado en algún artículo. Basta con poner el código LaTeX entre dobles símbolos de dólar. En comentarios imagino que no funciona, pero nunca lo he intentado... ahí voy: $$\frac{numerador}{denominador}$$

Ah... funciona en comentarios, pero sólo tras editar el comentario, porque parece que convierte la "barra p'atrás" en código html raro. Lo he corregido para que salga, pero sospecho que en un comentario sin editar --y los usuarios normales no pueden editarlos-- no podrías poner nada con \. Todo es probar :)


De: Kleiser
2011-02-14 23:53:46

Vaya yo habia llegado a la solución analítica de 19,3º pero es verdad que al hacerlo tambien me di cuenta de que hacer la suposición de que el momento lineal en el eje X se mantenía constante era un poco....fantosioso. Muy interesante la forma en que has calculado esta variación del momento lineal y también muy curioso el hecho de que aparezca una fórmula tan sencilla.

Si se combinaran las ecuaciones de Julen y David creo que se obtendria la respuesta perfecta, del primero la presentación y claridad y del segundo la rigurosidad matematica, que también es importante.

Enhorabuena a los premiados (aunque solo sea una simple mención).


De: Macluskey
2011-02-15 00:48:37

Pedro: Que no, que no me meto con el curling... de hecho es el único deporte de invierno que puedo estar viendo una hora sin dormirme...

Lo que yo digo es que simplemente lanzando el ladrillo en plan curling se consiguen mejores resultados que lanzándolo al aire, desde luego mejor que con 45º, parece que también con 19º... y ya no sé si con 11º... ¡y sin hacer casi números! (y, menos, integrales)

Si es que los del curling son unos tíos listos, de hecho esa tal Laurika era jugadora de curling, seguro...y es tan fascinante cuando barren el hielo delante de la piedra... ;)


De: J
2011-02-15 09:47:27

Que bueno. Acabo de empezar a usarlo en El Cedazo. Prueba http://rinconmatematico.com/latexrender/


De: Kenrae
2011-02-15 09:50:42

¡¡Mi cita favorita de Terry Pratchett!!

Puestos a ser tiquismiquis ( ;) ) ¿no deberíamos tener en cuenta que después del impacto el ladrillo vuelve a elevarse durante un tiempo, lo que significa que vuelve a ser un tiro parabólico más pequeño?


De: Elias
2011-02-15 12:46:59

Lanzando el ladrillo con "efecto" es decir, girando sobre su eje horizontal, hacia delante, el impacto lo propulsaria utilizando la fuerza del choque.

No me imagino los calculos que harian falta, pero imagino que alcanzaria mas distancia que si el ladrillo aterriza sobre el hielo sin ningun efecto.


De: Pedro
2011-02-15 19:13:48

Mac, no, acabo de calcularlo y el "sistema curling" no es mejor que los 11º... ¡salvo que Laurika tenga amigos barriendo el hielo y disminuyendo μ, claro! ;)


De: Oldman
2011-02-16 05:06:31

Pedro: Confirmo la salvedad que indicas en tu penúltimo párrafo. Mi razonamiento (más bien intuición..??) no es (era) exactamente el tuyo, así que me autodespojo de los laureles sin más prolegómenos aunque, eso sí, señalando que en mi situación de movilidad (entre los Andes y el Pacífico) durante mis vacances-trigeneracionales la disponibilidad de tiempo y de conexión a la red son muy esporádicas. Esto no es un pretexto sino handicap (transitorio). Por eso quería estar “fuera de concurso”...pero por tratar de mal-explicarme me encuentro ahora “fuera de juego”. Y por el mismo motivo he tardado en reaccionar.

Y ya que paso a ser un “simple” comentarista aquí van los míos: (antes: Me gustaría sembrar las parrafadas de simpáticos smiles pero si no me los ponen a huevo, como en el formulario para el “Foro”, pues nada, a palo seco, pero dad por seguro mi respeto, aprecio y confianza tamicera para cada uno.)

Blax: Posiblemente mi base de física y mates tiene más capas de polvo, pero sigo repasando, actualizando y aprendiendo por libre y de vosotros. Gracias por tu lectura,

Aclaro: A)En los punto 3.1 y 3.2 no se derivan constantes pues el ángulo alfa que se busca es una variable f(t). La distancia OA=X1 alcanzada por la trayectoria parabólica o, lo que es equivalente el tiempo t para recorrerla, dependen del ángulo de lanzamiento(=de impacto); y viceversa alfa depende de X1 y de t. B) En cuanto a la explicación y cálculo que les sigue está claro que no son correctos. Fue un intento apresurado de justificar lo que intuyo. Por eso me retiro, aunque sigo buscando otro camino...Veré más adelante.

Macluskey: Tu curling sin escoba tiene un pequeño error de cálculo. Si no me equivoco, el coeficiente que resulta para alfa=0 es 2,025 y no 2,25, pues el factor aplicable a Laurika es 0,9x0,9=0,81 en vez de solo 0,9. Así después de aplicarles el impactante frenazo de Pedro le ganas a los forzudos, que era de lo que se trataba, con el mínimo esfuerzo para Laurika y para ti, pero te quedas corto con los decimonónicos (coef. 2,057) y con los del 11,31º cuyo coeficiente llega a 2,1032.

Pedro. Lo siento, me liaste y ahora me vengo (de vengarse, no de venirse que todavía no).
Esta noche, hora de Madrid, me he hecho un Excel con tus fórmulas, en función de alfa, resultando los siguientes coeficientes de Vo^2/g: para los forzudos 45º=1,755 y para Laurika con distintos ángulos: 21,88º=2,0250(como los 0º del curling); 19,33º=2,0570; 11,31º=2,1032; y desde 11º hasta 10,8º= 2,1033.

La distancia máxima (prop.al coef.máximo) se obtiene con 10,94º en lugar de 11,31º, con error de 0,37º mayor que los 0,1º que admite el enunciado. ¡cielos, que horror!!. Y como la solución fetén es 11,31º, de eso estoy casi seguro, algo anómalo hay en alguna parte...¿O?

Menudo ladrillo. Perdonad por lo pesao. Saludos.


De: Pedro
2011-02-16 08:26:26

Oldman, no sé dónde está tu error al evaluar las fórmulas, pero acabo de meter ambos ángulos y la distancia de 11,31º es mayor. Además, no me salen los coeficientes como a ti. Si quieres mándame el excel y miro a ver si encuentro el fallo.

Respecto a tu solución, qué demonios... ¡bastante mérito tiene, en las condiciones en que te encontrabas, llegar al resultado bueno, fuera como fuera! :)


De: Macluskey
2011-02-16 11:38:02

@oldman: Tienes razón, claro. Como Vcero está elevada al cuadrado, y Laurika lanza con 0,9Vcero, pues (0,9Vcero) cuadrado da 0,81 por Vcero cuadrado... pero eso mismo aplica también a los decimonónicos y a los del trompazo contra el hielo, ¿no?

Pero que me lo creo, vamos. O sea, que o Laurika pone a barredores a disminuir el μ, o no hay nada que hacer... Porca miseria!!

Saludos


De: Oldman
2011-02-16 20:06:03

OK.Pedro. Se me resbaló una coma. Los coef. correctos sería: para los forzudos 45º=1,80 y para Laurika con distintos ángulos: 22,62º=2,0250(como los 0º del curling); 19,33º=2,0650; 11,31º=2,1060 que es el máximo.


De: Argus
2011-02-17 11:05:06

Muy interesante la resolucion del impacto y el calculo del frenazo al tocar el hielo.

Pero no me puedo quedar tranquilo con eso de que "anda que curioso, sale una formula mas facil!". Donde esta el truco? Es una casualidad? Algo me dice que no...


De: rscosa
2011-02-17 12:47:07

Eso del latex mola, yo lo uso muchisimo y es divertido y fascinante como se generan las formulas usando dicho programa, gracias Donald Knuth :), $\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1=\log e$.

Saludos


De: Anónimo
2011-02-17 16:16:47

¡Qué desafío tan maravilloso! En mi opinión, el mejor hasta la fecha. Parecía tan inofensivo... hasta que llegó el secretito del impacto. ¡Sublime! :D


De: Venger
2014-03-05 20:54

Estaba yo muy orgulloso y ufano. Era el primer desafío al que llegaba a una solución yo solito (en los anteriores ni siquiera llegaba a solución alguna). Pero claro, a la solución de tg2alfa=4mu.

Después, leo lo de la variación del impulso con el golpe en el hielo y... depresión total.

Pero eso sí, me he reído mucho con vuestras referencias al Curling. Los próximos juegos de invierno prometo verlo

¡El próximo desafío seguro que lo saco!

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