El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Desafíos - Encuentro estelar (solución)

Tras la semana de rigor, ya tenemos las soluciones al desafío del Encuentro estelar que os planteamos el sábado pasado. Por los correos recibidos, parece que habéis disfrutado bastante con él, ¡estupendo! Eso sí, antes de ir a las respuestas finalistas y ganadora, una disculpa.

Mi intención era plantear una primera pregunta relativamente fácil, una segunda más difícil y una tercera aún más difícil. Sin embargo, metí la pata al hacer de la primera pregunta el caso de una galaxia de 10x10 sistemas, porque resolver ése requería prácticamente resolver la segunda pregunta… hacer el 10x10 a mano es horrible. De modo que tenía que haber hecho de la primera pregunta un caso 4x4 o algo así, para dar un primer paso resoluble sin llegar a la fórmula genérica. Con lo que, en la práctica, se trataba de un desafío de dos preguntas y ninguna de ellas era tan fácil como me hubiera gustado, ¡lo siento!

Los finalistas han sido César, Javier y Alberto, y el ganador ha sido Felipe. Pero, antes de ir con las soluciones correctas, una aclaración sobre una incorrecta pero que ha sido bastante común.

Es cierto que los dos escuadrones van a encontrarse en la diagonal del cuadrado, en la que hay –en el caso 10x10– diez posibles sistemas de encuentro. De ahí no es correcto deducir que, ya que las naves pasan por un sistema de diez posibles, la probabilidad es 1/10 de encontrarse. Eso sería cierto si los diez sistemas fueran equiprobables, pero no lo son. Si se hacen las cosas paso a paso, como veremos en un momento en alguna solución correcta, se hace evidente que es mucho más probable el paso y el encuentro en los sistemas cerca del centro de la diagonal, y muy improbable cerca del extremo, simplemente porque hay muchas maneras de alcanzar el centro y pocas de alcanzar un extremo, al moverse aleatoriamente.

Mejor que yo lo explica uno de los finalistas, César. No os perdáis el dibujo, en el que pueden verse los posibles sistemas a los que puede haber llegado la nave en cada salto, junto con su probabilidad. Creo que viendo esto se abrirán los ojos de quien respondió 1/10:


Comenzaré calculando directamente el caso de NxN sistemas, el caso N=10 solo será un caso particular. Utilizaré conceptos matemáticos de nivel medio como sumatorios, factoriales o combinatoria, las explicaré muy por encima.

Para empezar, nos centraremos en la nave roja, nos olvidamos por ahora de la azul. Nuestro objetivo es calcular las probabilidades en cada punto del mapa y en cada instante. Es bien simple:

  • En el primer movimiento (día 3), la nave tiene solo dos posibilidades, serán por tanto un 50% (1/2) de probabilidad para cada sistema que la nave se encuentre allí.

  • En el segundo movimiento, (día 6), la nave se puede mover a tres sistemas (ver dibujo), sin embargo, la probabilidad no es la misma para los tres sistemas. Explicándolo de una manera un poco burda, el primer 50% de probabilidad (del día 3) del primer sistema se reparte por igual (25%, 1/ 4 ) entre sus dos inferiores, al igual que el otro. De ahí que el primer y tercer sistema del día 6 solo tenga un 25% (solo ha intervenido el sistema del día 3 superior en cada caso). Mientras que el segundo sistema del día 6 tiene un 50% de probabilidades al venirle de cada uno de los dos sistemas superiores un 25%.

  • El día 9 es igual, fijarse en el dibujo para una mejor compresión.

César 1

He dibujado el sistema en forma de “pirámide”, enseguida se verá su utilidad. Primero nos fijamos en cada línea horizontal verde, cada una corresponde a un día determinado, la nave por tanto ira bajando hacia abajo con el transcurso de los días. Obviamente, si sumamos los porcentajes de cada línea obtenemos 1 (100%) de probabilidad.

Ahora pondremos nuestra atención en los denominadores (números de debajo de las fracciones). Se mantiene constante en cada fila pero conforme vamos bajando, este se multiplica por dos, por tanto tiene un crecimiento de la forma 2n donde “n” representa el número de la fila empezando desde 0.

En el caso del numerador (número de arriba de la fracción) parece más complicado encontrarle una regla, sin embargo nos encontramos ante el mismísimo “triángulo de Tartaglia/Pascal”. Para aquellos que aún no lo conozcan se forma de la siguiente manera:

César 2

Empezamos escribiendo un uno arriba del todo y en las dos diagonales en sentido descendente a ambos lados del 1. Ahora empezamos a escribir en la primera casilla vacía la suma de los dos números superiores (1+1). Una vez acabada esa fila, pasamos a la siguiente, serán (1+2) siendo “1” y “2” los dos números superiores y así sucesivamente.

Esta construcción matemática tiene muchos usos, como por ejemplo para calcular el desarrollo de (a+b)n (binomio de Newton) de forma rápida o para combinatoria. Recomiendo para aquellos que no lo conozcan una lectura más detalla de él en Wikipedia o en cualquier otro sitio.

Cada número del triángulo se puede calcular mediante:

César fórmula 1

Donde “n” representa a cada fila, y “p” a cada diagonal (ver primer dibujo). Para más información sobre esta fórmula buscar sobre: “coeficientes binominales”.

En estas condiciones, ya somos capaces de dar una fórmula matemática para la probabilidad en tanto por 1 en cada sistema solar. Esta es:

César fórmula 2

Después de todos estos preliminares pasaremos a resolver el problema.

  • Las dos naves coincidirán (o pueden coincidir) en una horizontal (líneas verdes), llegando las dos a la misma vez a dicho sistema.

  • Si la probabilidad de que la primera nave se encuentre en una determinada posición es x1 y la de la segunda nave en el mismo punto es x2 la probabilidad de que coincidan ambos sucesos es: “X1·X2”

  • Por lo tanto, la posibilidad de que se encuentren ambas naves es la suma (sumatorio) de las posibilidades de encuentro en toda esa línea.

  • Como ambas posibilidades son iguales, tendremos:

Posibilidad total =

César fórmula 3

(El sumatorio continua hasta “P - a = 0 “)

Por ejemplo, si tomamos el problema primero de un casillero 10x10, tendremos un n=9 (al existir n=0), existirán 10 términos en el sumatorio cada uno correspondiente a la probabilidad de encontrarse en cada punto posible.


Puedes leerla entera aquí: Solución de César. Como veis, él alcanza la solución general para un cuadrado de NxN, aunque no responde a la pregunta concreta de la probabilidad en el caso N=10. Sí lo han hecho, llegando a fórmulas muy parecidas, otros participantes en el desafío, como Oldman, Fernando, Tamara, Javier, etc. Si realizas los cálculos en la fórmula de arriba verás que resulta ser de aproximadamente 18,5%.

Sin embargo, hay una fórmula general más elegante que los sumatorios a los que habéis llegado casi todos… pero para llegar a ella hace falta plantearse los casos favorables de un modo ligeramente diferente. Así lo ha hecho el ganador del desafío, Felipe, que responde además a las tres preguntas. Creo que, para entender la solución de Felipe (que no incluye imágenes, con lo que requiere de mayor abstracción) hace falta haber entendido antes el razonamiento de César y similares.

La clave de la “mejora” respecto a las soluciones sumadas –aunque Felipe la menciona en su texto, creo que es bueno hacer énfasis en esto– es “viajar hacia delante en el tiempo” para una flota hasta el punto de encuentro, y “hacia atrás en el tiempo” en el caso de la otra flota, para llegar al cálculo de los casos favorables de un modo más sencillo que el sumatorio. El resultado numérico resulta ser el mismo que el de la solución “tipo César”, pero como veréis, la fórmula es más concisa y, en mi opinión, elegante. Dejo que lo explique el propio Felipe, y de paso que responda a la tercera pregunta:


Problema 1

Para llegar a la capital enemiga por el camino más corto cada flota tendrá que realizar 18 tránsitos. Los posibles encuentros, si ocurren, serán en la diagonal a mitad de camino, cuando ambasflotas hayan realizado 9 tránsitos.

Para cada tránsito que las flotas realizan en su camino hacia la diagonal, tienen dos posibles caminos que pueden seguir con la misma probabilidad. En el dibujo uno de los caminos es horizontal y el otro vertical.

Como cada uno de los caminos tiene la misma probabilidad, para calcular la probabilidad de un encuentro bastará con contar todos los caminos posibles que pueden seguir las flotas, y de estos aquellos que son favorables para un encuentro entre las flotas. La probabilidad del encuentro será el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Empezaré por contar los casos posibles. Como los caminos que sigue la flota escarlata es independiente del de la azul, el número de casos posibles es el número de caminos que puede seguir la flota escarlata en 9 tránsitos multiplicado por el número de caminos que puede seguir la flota azul en otros 9 tránsitos.

Para llegar a la mitad del camino, la flota escarlata realiza 9 tránsitos y en cada tránsito tiene dos posibilidades, el camino horizontal y el vertical, es decir, que en cada tránsito se multiplica por dos el número de posibilidades. El número de caminos que puede seguir la flota escarlata después de hacer 9 tránsitos es de 29. Lo mismo para la flota azul.

Multiplicando:

Casos posibles = 218.

Vamos ahora a por los casos favorables. Hay varios trucos que nos facilitarán la cuenta.

Primero sigamos a la flota roja hata el punto de encuentro, y desde allí sigamos, hacia atrás en el tiempo, el camino que ha seguido la flota azul desde su capital. El resultado es un camino que nos lleva desde una capital hasta la otra con 18 tránsitos en total. Recíprocamente cualquier camino que lleve desde una capital a otra nos da un camino para la flota escarlata y otro para la flota azul en el que las dos flotas se encuentran. Así que para contar los casos favorables nos basta con contar todos los caminos diferentes que llevan de una capital a la otra.

Segundo, un camino que lleva de una capital a la otra tiene 9 tránsitos horizontales y 9 verticales.

Tercero, fijémonos en los tránsitos horizontales. Podemos numerarlos por el número de tránsito al que corresponden, en total 9 números diferentes que van del 1 al 18. Recíprocamente cualquier combinación de 9 números diferentes del 1 al 18 nos da un camino entre las capitales. Basta con que los números correspondan a los tránsitos horizontales y el resto de los tránsitos sean verticales.

Para contar todas las comibnaciones de 9 números diferentes que van del 1 al 18 utilizamos combinaciones sin repetición de 18 elementos tomados de 9 en 9, C(18; 9).

Felipe fórmula 1

Ahora divido los casos favorables entre los casos posibles y obtendré la probabilidad de encuentro, esto es

Felipe fórmula 2

o bien un 18,55% de probabilidad.

Problema 2

El método de cálculo es generalizable a cualquier tamaño de galaxia. Para una galaxia N X N el número de tránsitos hasta la diagonal es N - 1 y el número de tránsitos hasta la capital enemiga 2N - 2). Por lo demás se repite el mismo cálculo de probabilidad.

Felipe fórmula 3

Problema 3

A partir de aquí las expresiones matemáticas que me salen empiezan a ser más largas y desagradables. Habrá alguna solución más simple?

Voy a empezar por el caso 10x10 para explicar el método antes de embarrarme con fórmulas más generales. Las dos capitales están separadas por una distancia de 18 tránsitos. Sabemos que la flota escarlata vuela 3 veces más rápido que la azul, de modo que en el día 12 la flota escarlata ha hecho 12 tránsitos y la flota azul 4. Todavía están a dos tránsitos de distancia. En el día 13 la flota escarlata ha hecho un nuevo tránsito y la azul se ha puesto en camino para realizar un quinto tránsito, pero todavía no se han podido cruzar porque estarán a dos tercios de tránsito de distancia. En el día 14 es el que tienen la oportunidad de encontrarse en pleno tránsito o pasar de largo si han elegido un camino diferente. Para la flota escarlata será el transito número 14 y para la azul el número 5.

El cálculo de la probabilidad será similar, un conteo de casos favorables y de casos posibles. Los casos favorables son los más fáciles porque no va a cambiar prácticamente nada respecto del problema 1. En los casos en los que hay encuentro, podemos seguir a la flota escarlata hasta el planeta o el tránsito en el que haya un encuentro y luego seguir hacia atrás en el tiempo a la flota azul hasta su base. Nuevamente tenemos una correspondencia uno a uno entre caminos en los que se da un encuentro entre las flotas y caminos que lleven de una base a otra. Podemos repetir la misma fórmula del problema 1.

Felipe fórmula 1

Pasando ahora a los casos posibles, podemos multiplicar nuevamente el número de caminos diferentes que puede seguir la flota azul en 5 tránsitos por el número de caminos diferentes que puede seguir la flota escarlata en 14 tránsitos.

El cálculo del número de caminos que puede seguir la flota azul es igual de fácil que en el problema 1. En todos los tránsitos hay dos posibles caminos, el horizontal y el vertical. En total 25 caminos.

Para la flota escarlata la cosa cambia. Ahora hay 14 transiciones, pero no siempre hay dos caminos para elegir. A veces solo hay uno disponible. Si miramos cuántos trayectos horizontales puede seguir la flota, encontramos que cualquier número entre 5 y 9. Veamos por ejemplo como calcular cuantos caminos posibles hay con 5 trayectos horizontales y 9 verticales. En ese caso tomando los números de transición que corresponden a los trayectos horizontales tenemos 5 números del 1 al 14. Si calculamos todas las combinaciones de estos números tendremos C(14; 5). Pero además habrá que sumar los casos en los que hay 6, 7, 8 y 9 trayectos horizontales. El número total de caminos que puede tomar la flota escarlata es

Felipe fórmula 4

Multiplicando por el número de caminos que podía coger la flota azul ya tenemos el total de casos posibles.

Felipe fórmula 5

Y la probabilidad del encuentro

Felipe fórmula 6

Para la galaxia más general, de tamaño N X N, el método de cálculo es el mismo pero con expresiones algo más complicadas.

Primero tengo que calcular el número de tránsitos TA que realiza la flota azul y el número de tránsitos TS que lleva a cabo la flota escarlata. Para eso utilizaré una función techo(x) que aplicada a un número real positivo, devuelve el propio x si es entero o el entero inmediatamente superior si no lo es.

Felipe fórmula 7

Los factores 1 y 3 son las velocidades relativas de las dos flotas y el denominador 4 es la suma de las dos velocidades.

El cálculo sigue la misma línea que el del caso 10 x 10.

Casos favorables = C(2N - 2;N - 1);

Número de caminos posibles de la flota azul = 2TA;

Número de caminos posibles de la flota escarlata:

Felipe fórmula 8

y la probabilidad de que haya un encuentro:

Felipe fórmula 9


Podéis leer la solución en PDF, con un formato probablemente más agradable, aquí: Solución de Felipe. Creo que, aunque sus resultados son elegantes, la explicación podría ser más clara; como seguro que algunos de los que llegásteis al sumatorio podéis entender su mejora respecto a él, si otros tienen dudas podréis ayudarlos en comentarios –como también podrá hacerlo, seguramente, el propio Felipe–.

Finalmente, no puedo dejar de compartir con vosotros un par de soluciones más que, aunque no alcanzan los resultados de Felipe, son muy interesantes u originales. La de Javier es inefable, mejor que te la explique, la lees tú. La de Alberto tiene una representación gráfica muy interesante, y merece la pena echarle un ojo para disfrutar con cosas como ésta:

Alberto

Como siempre, los finalistas y el ganador podéis contar con el número de octubre de la revista, para que podáis tener vuestras soluciones “en público”. Prometo que en el próximo desafío las preguntas estarán más escalonadas en dificultad, si es que hay más de una… como siempre, ha sido un placer maltratar vuestras decadentes neuronas. ¡Hasta el próximo desafío!

Desafíos

78 comentarios

De: J
2010-10-10 12:10:46

Si bien la solución de Javier no es didacticamente la mejor... es grandiosa. No sé si el almirante apreciará su humor o lo fusilará por ello, pero bueno.

“Si te preguntan en clase de matemáticas y no tienes ni idea de la respuesta, responde con i o 0 (si hay números complejos de por medio), pi o pi/2 (si es trigonometría) y 1 o 0 (si es estadística).”

En clase teníamos el mismo chiste y lo hacíamos en el café, en el comedor,... un día un profesor nuevo planteó una serie en la pizarra, la sumó y ¡daba pi/2! La carcajada fue espontánea y descomunal, y hubo que explicárle el chiste al profesor para que no nos expulsara a todos.


De: Pedro
2010-10-10 12:40:58

Mi momento de carcajada en la solución de Javier (claro, sólo tiene gracia si sabes la solución buena) es: "Yo: (Pensamiento: Di lo primero que se te ocurra… yo que se 0.18547058)" :)

Pero tanto la suya, como las otras publicadas (y muchas no publicadas también) merecen ser leídas sin duda.


De: Rodrigo
2010-10-10 13:26:23

No estoy de acuerdo con la pregunta 3. Si las naves se juntan entre el 4 y 5, el triangulo de pascal es [1 4 6 4 1]/16 y [1 5 10 10 5 1]/32. El primero tiene 2 caminos para cada posicion quedando [1 1 4 4 6 6 4 4 1 1]/32 para el segundo solo se repiten las internas quedando [1 5 5 10 10 10 10 5 5 1]/62. Multiplicando y sumando queda una probabilidad de 0.127


De: Alb
2010-10-10 17:15:07

Hay 98 casillas libres.(100 - 2 ciudades) La probabilidad de que coincidan la dos dos naves en la misma casilla despues de un salto es de 1/98
Como hay 18 saltos tenemos: 18/98 = 18,4%

El razonamiento es erroneo y disparatado..... pero el resultado es casi correcto.


De: Brigo
2010-10-10 17:17:17

Al Javier este habría que darle algún tipo de premio aunque fuese fuera de concurso. De paso que resuelve el problema me alegra el día! :-)


De: oldman
2010-10-10 18:29:41

Muy bien encontradas, por César + Felipe y seguramente otros, las dichosas formulitas que traté de deducir durante varios días...Quizás hace “bastantes” años cuando las tenía frescas, pero siguen siendo las mismas (salvo la de f.techo). Menos mal queterminé recurriendo a la ordinaria herramienta Excel para llegar al resultado correcto. En mis tiempos usábamos calculadoras mecánicas de palanquitas y manivela que daban tantos decimales como le han salido a J-Javier.
Este inciso es preámbulo para una pregunta al dueño del cotarro y a los ilustres docentes y currantes que por aquí os paseais:
La utilización de fórmulas matemáticas más o menos complicadas me parece acertada en la enseñanza para formar la lógica con deducciones simplificadoras, pero las fórmulas no dejan de ser herramientas por lo que en la práctica, hoy día ¿no es más importante saber hacer pequeños programas o utilizar funciones preprogramadas para llegar a soluciones con el Pc de forma rápida y suficientemente? (no tanto como Albi, arriba...) ¿por donde andan los tiros ahora? ¿sigue siendo negocio la venta de memo-recetas matemáticas?


De: oldman
2010-10-10 18:39:35

Que no se me quede en el tintero: Pedro, enhorabuena por la rapidísma ( y correcta...)información sobre el resultado. Me pensaba echar una siesta cuando apareció la última de El Tamiz y ya se me ha pasado la hora. Feliz puente.


De: Mer
2010-10-11 10:53:11

La solución de Javier es tremenda!!! De acuerdo con Brigo y el premio!! Y en desacuerdo con Alb, no estás teniendo en cuenta para nada el tema del tiempo! Para n=10 resulta que sale parecido, pero por ejemplo, para n=2, por ponerlo facilito, según tu solución, como hay 4-2 casillas libres, es decir, 2, y 2 saltos, 2/2=1, es decir, que se encuentran en todos los casos!! Y evidentemente, no es así, si utilizas la fórmula o simplemente la lógica, verás que la posibilidad real es del 50%.
En la solución a la tercera pregunta de Felipe no entiendo por qué la flota escarlata no tiene siempre 2 posibles caminos e elegir en sus tránsitos. Iluminación, por favor!!!
Feliz puente!


De: Alb
2010-10-11 13:09:07

Mer,.... por supuesto que es errona. ¿ Acaso lo dudabas?.

Por cierto... parece que nadie mas se ha dado cuenta de que la probabilidad de choque no varia con la velocidad de las naves.

Da igual que las naves vayan mas rapido o mas lento... tienen las mismas probabilidades de chocarse.(bueno, casi casi)


De: Argus
2010-10-11 21:45:15

Quizá es sólo mi ignorancia, pero tengo algunas objeciones a las soluciones enviadas, y me gustaría lo aclaráramos:

Para naves con igual velocidad no veo problemas. Se encuentran en la diagonal media y hasta aquí todo bien. Las soluciones incorrectas, ojo, siempre según mis cálculos, estarían en el caso de que una de las naves es más rápida y por tanto el encuentro se produce a un lado o a otro de la diagonal media.

1.- La similitud de este problema con el triángulo de Pascal es aceptable sólo para la primera mitad del recorrido, hasta la diagonal media. Las probabilidades de que una nave se encuentre en un determinado planeta al otro lado de esa diagonal ya no siguen la misma fórmula.

2.- La solución ganadora, la de Felipe, toma en cuenta esta diferencia, ya que considera que la nave que ha rebasado esta diagonal, en los planetas más externos, sólo tiene una posibilidad de avance y no dos.

Ahora bien, Felipe, cuentas que los tránsitos restantes tras el encuentro son 14. Esto sería válido si el encuentro se hubiese producido en un planeta, tras 4 tránsitos, y contabilizáramos los 14 restantes. El encuentro se ha producido, sin embargo, en un tránsito, y no creo que podamos aplicar el mismo razonamiento. Por lo que he podido ver hasta ahora, la función de la probabilidad de encuentro es discontinua en los planetas.

Os propongo abrir una hoja excel, y rellenar las probabilidades en un cuadro 10x10, con una sencilla iteración de fórmulas. Ojo con los valores al otro lado de la diagonal media, pues no siguen la misma cadencia. Pongo un ejemplo: La diagonal 14 tiene los valores 131/618, 68/371, 115/649, 68/371, 131/618. Esto tiene poco que ver con los de su diagonal simétrica, la 4, que tiene los valores 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16.

Si las velocidades fueran tales que el encuentro se produce en uno de estos planetas (diagonal 4 para un escuadrón y diagonal 14 para el otro), la probabilidad de encontrarse se calcularía mediante la suma de productos de estos valores, no mediante suma de cuadrados de la diagonal 4. Es decir, no mediante suma de cuadrados de la expresión del triángulo de Pascal.

Concretando para la cuestión 3, con un sistema 10x10 y relación de velociades 1 a 3, la probabilidad de encuentro que me sale a mí es 6/61, es decir, 9,84% redondeando, en tránsito entre las diagonales 13 y 14.

En cuanto a lo que apuntaba sobre la discontinuidad de la probabilidad de encuentro, os pongo unos breves ejemplos:

Suponiendo que las velocidades son las adecuadas para que el encuentro se produzca en cada una de las diagonales siguientes, tenemos:

1.- Probabilidad de encuentro en la diagonal 14 es 119/605 = 19,67%
2.- Probabilidad de encuentro en la diagonal 13 es 55/292 = 18,84%
3.- Probabilidad de encuentro en el tránsito entre diagonal 13 y 14, como hemos visto es 6/61 = 9,84%.

Os agradezco desde ya vuestros comentarios, y si es que estoy en un error, me lo hagáis ver, porque no paro de darle vueltas, y no veo la forma de salir de aquí yo solo.


De: oldman
2010-10-11 22:03:21

Alb,....Si las naves tienen la misma velocidad es cierto que la probabilidad de encuentro es independiente de la velocidad, pero si tienen distinta velocidad, como en el caso 3, naturalmente que depende de la relación de velocidades de cada escuadrón pues la zona de posible encuentro es una línea paralela a la diagonal más o menos alejada de ésta en función de dicha relación de velocidades. Si es 2 estaremos en un caso intermedio entre los del desafío, más cerca de la diagonal que en el caso 3, por lo que habrá más posibles puntos de encuentro y más probabilidades. Puedes ver que en la fórmula final que saca Felipe emplea unas funciones TE y TA-techo- que dependen de las velocidades.


De: Niko54
2010-10-12 03:48:46

Grande Javier!, que me han hecho reír los diálogos con el "Almirante escarlata":
...
Yo: ¿Cómo vais a repartir el correo de forma fiable si los saltos son aleatorios?

AE: No hagas preguntas tontas. XD
...

Ademas la línea de pensamiento es sencilla de seguir:
"Pero no, mejor que ir probando, me dejaré llevar por mi instinto:
Algo me dice que un numero cualquiera del triangulito viene representado por Cy,x=Y!/(X!(Y-X)!) donde y es la fila y x la columna empezando a contar desde el 0. "

La verdad que me como el sombrero =P


De: Scarbrow
2010-10-12 14:16:29

Olé por las preguntitas del Alberto! Vamos, a ver si vamos a conocer, en el siglo próximo, las famosas "conjeturas espaciales de Alberto en El Tamiz".

Y en cuando a Javier, me quedo sin palabras. PGGPBB!! ROTFLMAO


De: Alb
2010-10-12 14:19:42

Oldman.

Cuanto mayor sea la diferencia entre las velocidad, el encuentro se producirá mas lejos de la diagonal intermedia.
En mi solucion he calculado la probabilidad de encuentro en las 2n-1 diagonales. Como puedes ver en la grafica. La probabilidad es practicamente constante y aumenta drasticamente en los extremos (diagonal15)

Si no es constante del todo, es debido al "efecto borde", cuando una nave llega a un extremo solo tiene un posible camino.

El efecto borde solo tiene un efecto significativo en las 4 diagonales de los extremos, en el resto de diagonales es completamente despreciable.

En mi solución, he puesto la grafica en la


De: Alb
2010-10-12 14:37:09

Scarbrow.
Veo que has entendio el meollo de la cuestión
¿Se podrian explicar un campo de fuerza N dimensiones a partir de movimientos aleatorios en N+1 dimensiones?

Es una idea interesante, pero no creo que sea original. Apostaria a que estas conjeturas tienen mas de un siglo y simplemente estoy "descubriendo la polvora".

Argus, Si quieres te envio la hoja excel con los datos con los que he realizado los calculos.

Yo he considerado un sistema discreto, en el que las naves solo se cruzan en las diagonales.
Si el cruce tiene lugar entre dos diagonales... entonces la probabilidad de encuentro se reduce a la mitad(hay el doble de caminos que planetas )


De: McDiufa
2010-10-12 16:27:50

Jo!... No me dió tiempo y eso que lo tenía casi hecho... :-(

Gracias Pedro, por aclarar que te pasate un pelín... Mi ego ya estaba por los suelos por que tuve que usar la calculadora para el primer problema....

Además no me acordaba de la fórmula que solucionaba el triángulo de Pascal (bueno, ni siquiera sabía que ese era su triángulo), no obstante esa simetría me hacía sospechar que algo raro había por ahí.... y como que mi coco empezó a echar humo deduciéndo factoriales sumatorios y demás... vaya tela! Todavía veo enes por todos lados...

Desde luego las respuestas han sido brillantes... Enhorabuena a ganador y finalistas... Y gracias Pedro por mantener activas nuestras neuronas...


De: Argus
2010-10-12 17:17:57

Alb,

Te agradecería muchísimo si me haces llegar la hoja excel con tus cálculos. Me interesa sobre todo ver qué probabilidades has considerado de que una nave se encuentre en cada uno de los planetas. A partir de ahí, las probabilidades de encuentro son un cálculo sencillo.

Así quisiera ver cuál es la solución a la pregunta 3. El único resultado numérico que he visto es el de Felipe, 11,30%, pero yo diría que no es correcto.

Mi mail es agusabusARROBAyahoo.com.

Muchas gracias!!!


De: Pedro
2010-10-12 17:59:01

(Sólo intervengo para decir que sería más útil que todo el mundo pudiera tener acceso al cálculo -- si me la mandas también a mí, la cuelgo en la página y pongo un enlace en un comentario).


De: oldman
2010-10-13 00:25:06

Distraído por los juegos de magia de Felipe con sus fórmulas en el caso 3 no llegué a pinchar en la inefable solución de Javier. Por fin lo hice y...está clarísimo.

Me uno a las loas de Brigo, Mer, Niko54 y Scarbrow..

Ya que hoy es el día universal de la Jota por antonomasia le envío a J el sabroso y bien jotero premio virtual –no engorda- de un jamón 5J para que lo disfrute en algún encuentro-botellón entre los veloces escarlatas y los cojitrancos azules.

Pero antes habrá que aclarales qué probabilidades hay porque Argus, que tiene cien ojos, tiene razón...como voy a tratar de demostrar en el comentario que sigue...con su ayuda, la de J y del sentido común.


De: oldman
2010-10-13 00:26:27

Argus. Tienes razón conceptualmente. La solución que da Felipe no es correcta por los motivos que indicas,pero no coincido con tus cifras.

Pero antes de hacer números, el sentido común:

Para 10x10 y velocidades iguales (caso 1) todos estamos de acuerdo en que la probabilidad de encuentro es del 18,547058% (dijo Jota). Si siguiendo los consjos del Consultor Galáctico aumentamos la velocidad VE de su escuadrón patrón respecto a la de VA del azúl, el frente de encuentros posibles pasará de ser la diagonal a ser una línea paralela a ella que estará más cerca de la capital Azul cuanto mayor sea la proporción VE/VA.

Esta línea va acortándos=MENOS planetas=MAS probabilidades de encontrarse en ellos, hasta el punto de que cuando VA=0 es 100% la probabilidad de encontrarse en la capital Azul.

O sea que para VE=VA es 18,55% (ok, dijimos todos), y a medida de que VE va en aumento las probs.encuentro van aumentando (no lo dijimos nadie para VE=3VA!! Incluso a Felipe le salió sólo 11,33%...) hasta llegar al 100% en A. Pero hay unas discontinuidades enormes entre el caso de encuentro sobre un planeta, o el hacerlo cruzándos en un tránsito.

Y para pasar a cifras, ver el siguiente anexo que espero cuelgue Pedro cuando pueda.


De: J
2010-10-13 07:12:26

Cuidado, que en esta plaza ya hay una J, y no es Javier. A ver si vamos a darle el mérito a quien no lo tiene...


De: Pedro
2010-10-13 07:24:02

Acabo de colgar el documento de oldman para que vuesas mercedes lo disfruten: http://eltamiz.com/images/2010/October/oldman.doc


De: Javier
2010-10-13 10:15:35

Saludos!!

Me alegro de que mi escrito os haya alegrado el día! la verdad es que cuando lo escribí yo mismo me estaba partiendo de risa con lo absurdo de la situación y cuando acabe (con tol cristo de sumatorios) pensé: "esto no hay alienigena matemático que lo entienda!".

Pero bueno, ya estaba hecho...

Mis partes favoritas son las que implican cuestiones físicas, la de "...se produzca algún efecto cuántico en el universo por el cual el universo se reorganice espontáneamente en un número indeterminado de galaxias..."

"... ya sabes, estas cosas que pueden pasar de improviso y que hay que tener en cuenta en toda invasión."

No por nada sinó por que son mas absurdas todavía si cabe.


De: Javier
2010-10-13 11:12:52

Tras analizar con un poco de cuidado lo que dice Oldman he llegao ala conclusión.

De que mi respuesta no es correcta para Vs diferentes.

Yo he supuesto que le triangulo se "encoje" de la misma forma que "se agranda", pero no es cierto, a medida que avanzas "de la mita pa alante" las probabilidades de caer en los laterales son progresivamente mayores, es decir, mientras que antes solo había un camino posible para haber llegado allí, al pasar de la mitad del camino las opciones se disparan.

(Prueba con galaxia de 5x5 hecho a pedalin):

(01)(05)(15)(35)(70)=70
(01)(04)(10)(20)(35)=70
(01)(03)(06)(10)(15)=50
(01)(02)(03)(04)(05)=30
(01)(01)(01)(01)(01)=16
|| || || || ||
1 2 4 8 16

Notesé como una vez pasada la diagonal el número de caminos posible (y aquellos que acaban en cada galaxia) no se puede simplificar de forma que el triangulo de ida sea simétrico al triangulo de vuelta.

De hecho la fórmula para calcular el número de caminos totales pasado la mitad se complica bastante, viene a ser:

Para (N-1)2x(N-1)

A falta de errores tontos sería algo así como: SUM(x=(Iteración,2x(N-1)-Iteración) del triangulito en su fila correspondiente con la iteración en cuestión.

Es decir: Hay que quedarse con la parte central del triangulo a medida que vas avanzando por el.

No se si em he explicado o no pero es que le didactismo no es lo mio :P.

Dicho de otra forma: Espero que mi resultado fuera lo suficientemente gracioso o incomprensible como para no pasar a formar parte del menú de la flota escarlata :P.


De: Javier
2010-10-13 11:16:51

me caguen, no me ha puesto bien la galaxia de 5x5, voya volverlo a intentar:

(01)(05)(15)(35)(70)
(01)(04)(10)(20)(35)
(10)(03)(06)(10)(10)
(01)(02)(03)(04)(05)
(01)(01)(01)(01)(01)

ME faltaría por poner las sumas de las diagonales, como sabemos hasta la mitad son el número de saltos elevado al cuadrado.

Pero a partir de ahi, el número de caminos es: 30, 50, 70, 70

A ver si esta vez se ve bien.


De: Alb
2010-10-13 15:24:10

Hola a todos

He colgado la hoja con google docs, asi se puede abrir directamente online

hoja de calculo

La pega es que google no permite graficos de superficies.(ni tampoco openoffice)

Los calculos estan hechos para N=10, pero es facil aplicarlo a cualquier numero.


De: oldman
2010-10-13 16:34:26

Javier. Lo primero aclarar que el jamón virtual era para tí y no para J, que fue el primero que comentó en forma que me indujo a error. Pero es fácil de arreglar: corta (con cuchillo jamonero) y pegar (al pladar) y listo. Lo segundo, que mis loas fueron por tus dotes literarias para el cuento...
En cuanto a las cuentas probabilísticas veo que los últimos ladrillos son de Alb, Javier y mío.

Alb, me temo que no pueda comprobar tu hoja no excel pues no conozco la función “binomdist()”...lo siento.

Además no puedo captar el fondo ni la forma de cada uno porque tengo la impresora escachuflada y sin tenerlos en papel me resulta dífícil analizar, anotar y aclarar...aparte de limitaciones personales.

Veo que de un momento a otro va a caer sobre la “solución” otro artículo de peso y vamos a empezar a desaparecer bajo las capas sedimentarias del blog. Así que sería mejor gritar, con minúscula, ¿hay alguien ahí que nos de la solución del caso 3?


De: Alb
2010-10-13 17:30:40

La funcion "binomdist", no es otra que la distribucion binomial

Como puedes comprobar, cuando P=0,5 , la funcion binomial corresponde a la formula dada por cesar http://eltamiz.com/images/2010/October/cesar-formula-2.png

Pero como los calculos les hace el ordenador... resulta mas facil no simplificar y usar la formula general. Ademas asi se puede jugar a variar, ¿Que ocurre si las naves tienen mayor tendencia a ir hacia un lado determinado?


De: Pedro
2010-10-13 17:55:04

Nuevo documento de oldman sobre la solución 3 colgado, que reemplaza al anterior :)


De: Argus
2010-10-13 18:30:29

Alb,

Gracias por la hoja. Veo que estamos en la misma página. Las probabilidades de encuentro en cada uno de los planetas coinciden con las que he considerado yo.

Para la pregunta 3, es cierto que la probabilidad de encuentro en el tránsito será del orden de la mitad del valor en las diagonales colindantes. ¿Tendrías el valor numérico? Yo insisto en mi 9,83% . ¿Alguien podría confirmar?

Oldman,

Gracias igualmente por tu explicación. Creo, sin embargo, que debe de haber algún error numérico. La probabilidad de encuentro de la pregunta 3 no puede rondar el 40%.

En cuanto al ejemplo que pones de encuentro en la diagonal 12 (diagonal 6, según se mire). Las probabilidades de que un escuadrón se encuentre en cada uno de los planetas de la diagonal 12 son, según tú:

220/3938, 495/3938, 792/3938, 924/3938, 792/3938, 495/3938, 220/3938

Creo que hay un error en los planetas de los extremos. El numerador debe ser 299, mientras que el denominador común será 4096 (2 elevado a 12).

Muy agradecido por vuestras aportaciones.

Yo no envié ninguna solución, pues me tuve que conformar con los cálculos numéricos concretos. No tuve éxito con la generalización a NxN. Fue un problema fascinante, que igual Pascal resolvió en una mañana, pero a mí 5 días no me bastaron. Además veía venir las complicaciones de la segunda mitad del cuadro y desistí.

¿Hay alguna fórmula general para las probabilidades de cualquier punto x,y en un cuadro NxN?


De: Argus
2010-10-13 21:32:47

Oldman,

He estado revisando tus razonamientos para resolver la cuestión 3, pues me extrañaba mucho que te dieran valores alrededor del 40%. Sólo un pequeño apunte para desarrollar los cálculos:

La probabilidad de que cada nave pase por un tránsito T, es la mitad de la probabilidad de estar en el planeta inmediato anterior (de cada planeta salen 2 tránsitos):

P(T) = P(planeta)/2

Y la probabilidad de encuentro será el producto de esta expresión para cada nave:

P(encuentro) = P(planetaA)*P(planetaB)/4

siendo planetaA y planetaB los inmediatos anteriores para cada una de las naves.

La suma de estos productos para todos los tránsitos de una diagonal nos da el resultado, teniendo siempre en cuenta los planetas exteriores de los que sólo parte un tránsito y no dos.


De: oldman
2010-10-13 23:05:57

Argus.

Me parece que tienes razón en tu comentario nº31, pero antes de recalcular dime porqué consideras en tu comentario nº30 que los valores extremos de la serie de diagonal 12 deben ser 299 en lugar de 220. Gracias.


De: Argus
2010-10-14 10:21:24

Oldman,

Te describo el proceso que he seguido yo, y creo correcto, pero si alguien encuentra un fallo en el planteamiento, por favor que me corrija.

Empecemos por la diagonal media. Hasta aquí es válido el triángulo de Pascal. Los dos valores inferiores de dicha diagonal son:

1/512 y 9/512

Ahora calculemos el valor de la diagonal siguiente situado tras estos dos planetas. No sé si me explico: Estos dos planetas están en las posiciones (10,1) y (9,2) respectivamente. Ahora vamos a calcular la posición (10,2).

Si una nave está en (10,1), obligatoriamente pasará a (10,2). No hay otro camino posible. A esto le sumamos la probabilidad de que estando en (9,2) continúe por (10,2). En ese caso, hay dos caminos posibles y la probabilidad se divide por 2.

P(10,2) = P(10,1) + P(9,2)/2
P(10,2) = 1/512 + 9/1024 = 11/1024

(Según la fórmula de Pascal, a la posición 10,2 correspondería 10/1024)

La columna 9 tiene los valores del triángulo de Pascal, mientras que la columna 10 se calcularía de la forma que acabo de describir. Continuando de la misma manera hasta la diagonal 12 llegamos al valor 299/4096.

Ni qué decir tiene que yo no he calculado nada: Todo esto lo hace excel con sólo ponerle una fórmula al principio y arrastrar a las casillas superiores. Coincido contigo en que lo de hallar una fórmula siempre será interesante (para muchos fascinante, entre los que me incluyo) para ejercitar las neuronas, pero a nivel práctico el programa más elemental deja en evidencia al recetario de fórmulas más sofisticado :)


De: Felipe
2010-10-14 18:00:58

Argus,

tienes razón, mi respuesta al problema 3 es incorrecta, y el valor que das tu es el correcto para el caso 10x10.

Como bien dices, mi fallo es que no estaba teniendo en cuenta que cuando solo hay un tránsito posible, por ejemplo de (10,1) a (10,2) la probabilidad de ese trayecto es el doble que cuando hay dos tránsitos posibles.

Después de hacer la cuenta en una hoja excel me sale lo mismo que a ti 25781 / 262144 = 9,8347 %.


De: oldman
2010-10-14 20:36:00

Argus,

Gracias por tus aclaraciones, pero...pido, me tomaré..., "Tiempo" para darte mi opinión. Saludos.


De: MAROCAN
2010-10-16 11:02:30

Me incorporo tarde a estos comentarios, pero observo que todos estamos de acuerdo en que la probabilidad de encuentro en los dominios estelares de la “diagonal principal” (n=9) es 18,55%. Esta lógicamente debe ser la mas baja de las probabilidades de encuentro en todas las diagonales paralelas a la “principal” ya que al haber más dominios, es donde existe la máxima dispersión para el encuentro de las flotas. La probabilidad de encuentro en la base de la flota azul (o escarlata) sería 1. No comprendo que puedan salir probabilidades inferiores al 18,55 % en cualquiera de las diagonales paralelas a la que he llamado "principal" puesto que parece lógico que deban estar entre ambas: 0,1855<p<1 .


De: oldman
2010-10-16 21:52:07

Argus.
He revisado y recalculado todo, teniendo en cuenta tus comentarios sobre cruce en tránsitos laterales o interiores, y para probl.3,caso 10x10, me resulta 10,52%.

Creo que un motivo de la diferencia con el 9,83% que os sale a tí y a Felipe es que estáis cifrando el total de caso posibles, para la "diagonal" n (>9) en 2^n. Esto seía válido hasta n=9 con diagonal igual a base de triang.Pascal, pero después no pues la "diagonal" no incluye puntos de lo que sería el triángulo.

Te estoy enviando por mail mis comentarios y cáculos completos para que lo revises y compares. Espero te lleguen.


De: oldman
2010-10-16 23:23:07

Marocan.

La distancia de la base Azul a la que se encuentren depende de la relación Veloc.E/Veloc.A>1.

Si esta relación es tal (p.ej. VE=2VA) que el posible encuentro se produzca exactamente en un planeta ( si Diag.principal=D9, para el ej. será en D12) la probabilidad va aumentando en cada “diagonal” (en ej. 19,29%) de acuerdo con lo que indicas. Si es en D13 prob.20,43%, y en D14 prob.22,61%.

Pero si la relación hace que el posible encuentro se produzca en un tránsito entre planetas o diagonales, como señaló Argus antes, en cada planeta se abren dos posibilidades de tránsito en ambos sentidos que hacen disminuir en ¼ la probabilidad entre dos planetas, salvo entre los planetas más extremos que la disminuyen en ½.

Así para el problema 3 (caso de VE=3VA) la línea de encuentros está entre D13 y D14 y la probabilidad es de 10,52%, según mis cálculos, Se ve que el encuentro en el tránsito entre dos diagonales presenta una discontinuidad a la baja en comparación con los 20,43 y 22,61% de arriba, debido a la apertura de posibilidades.


De: MAROCAN
2010-10-17 14:44:47

Oldman
Entiendo que lo que está pasando es que no hay un criterio común respecto al punto de encuentro de las flotas en caso de velocidades diferentes. En mi opinión tal y como entiendo del enunciado los encuentros sólo pueden darse en los dominios es decir en las “diagonales” (la principal y las menores según sean las velocidades) y en este caso sólo se daría en las D4 para la flota azul y D14 para la escarlata. Como los cuantos de física que no son divisibles opino que no es correcto considerar probabilidades en los infinitos (y además no numerables) puntos que existen en el intervalo (0,1) de una recta. En todos estos infinitos puntos (entre las D14 – D15 para la escarlata) la probabilidad sería la misma. De modo semejante ocurriría entre cualquier par de diagonales contiguas de todos los dominios.
Ya puestos las probabilidades (en % ) que a mí me salen en las "diagonales" desde la 9 a la 18 son: 18,54 / 18,55 / 18,56 / 18,61 / 18,83 / 19,67 / 22,32 / 29,91 / 0,5 / 1.


De: Argus
2010-10-17 20:58:02

Oldman,

No he recibido nada todavía por email, pero creo que sé cómo lo estás calculando, y me he quedado boquiabierto.

Voy a intentar explicarlo para un cuadro 5x5 y así simplificamos un poco:

Para el planeta (5,2) tú calculas los caminos posibles y salen 5. Para el resto de planetas en esa diagonal los caminos posibles son 10, 10 y 5. Sumándolo todo da 30, por lo que la probabilidad del planeta (5,2) es 5/30.

Para el planeta (5,2), yo lo calculo a partir de los planetas (5,1) y (4,2), tal como lo expliqué en el comentario 32. El resultado calculándolo así es P(5,1) + P(4,2)/2 = 1/16 + 4/32 = 6/32.

A simple vista no veo fallo en ningún planteamiento, pero evidentemente 5/30 no es 6/32.

Lo dicho, boquiabierto.

Debo decir que, en principio, me parece más robusto tu planteamiento, pero no termino de encontrarle el fallo al mío.

Ahora soy yo el que te pide un poco de tiempo :) Voy a darle unas vueltas más...


De: oldman
2010-10-17 21:41:42

Argus

Ayer te envié un email a la dirección que le distes a Alb en coment.nº 17 y hoy me ha llegado devuelto. Quizás que no es "agusabus" ni "argusabus".Mejor me das la buena...

...y Marocan

En todo caso estoy en la n+1 revisión y espero tener tiempo mañana para contaros un posible o probable "nuevo" y buen (?) resultado mañana lunes 18.


De: Argus
2010-10-17 23:27:55

La buena es agusabus de yahoo, como puse en el comentario. No me ha llegado nada, ni siquiera en spam.

Si estoy en lo cierto, en cuanto a cómo has hecho los cálculos, he encontrado un inconveniente: Por una parte es válido contar probabilidad de cada planeta como caminos posibles entre caminos totales, pero hay un problema en este caso: No todos los caminos son equiprobables.

Espero tu email, en cualquier caso. Reenvíamelo, por favor, si puedes, y confirmo que es agusabus de yahoo.com.


De: MAROCAN
2010-10-18 19:37:03

LLegué tarde a este ejercio, pero el domingo 17-10-2010 lo he "resuelto" siempre considerando que los encuentros se producen en los dominios de cualquier "diagonal", principal o menores (dependiendo de las velocidades relativas de cada flota) y lo he generalizado a NxN dominios. Creo que pierde todo su encanto considerar encuentros entre dominios, es más ni le veo sentido.
Si alguien desea ver esta nueva resolución del ejercicio ya me lo hará saber, comprendo que ya es poco tarde y observo que sólo dos personas están trabajando y comentando dicho ejercicio.


De: Argus
2010-10-18 20:45:12

Marocan, ¿lo has generalizado a NxN dominios? ¿hallaste una fórmula que calcula cualquier posibilidad de encuentro en un planeta en un sistema NxN?

Me muero de curiosidad. Envíamelo, por favor, o mejor lo envías a Pedro y que lo linke para todos. Mi dirección la tienes en el comentario 17.

Sólo no entiendo por qué dices que no tiene sentido plantear encuentros entre dominios y que pierde su encanto. Yo creo que esto sucedería en la mayoría de los casos, y el cálculo todavía encierra alguna sorpresa que otra.


De: MAROCAN
2010-10-19 14:03:56

Argus
si encontré la generalización de la fórmula a NxN. Me reitero en que no tiene sentido plantear encuentros entre dominios y que además pierde su encanto. Si observas la resolución del ejercicio, lo entenderás.
Por cierto desconozco la dirección de envio para que lo vea Pedro. Indicármela por fa.
Te enviaré ahora mismo la resolución a tu dirección (agusabusARROBAyahoo. com)


De: Pedro
2010-10-20 07:24:22

Acabo de subir el documento que me ha enviado Marocan: http://eltamiz.com/images/2010/October/marocan.doc


De: Felipe
2010-10-20 14:26:42

Marocan, creo que cometes el mismo error que cometí yo. Para calcular la probabilidad estás haciendo un simple contaje de caminos como si todos los caminos tuviesen la misma probabilidad, pero no es así. Por ejemplo cuando la flota escarlata ha pasado del tránsito 9 y se encuentra en alguno de los planetas que limitan la galaxia, no tiene más remedio que seguir por el límite de la galaxia, así que sigue tránsitos obligados (probabilidad 100%), mientras que si va por el interior de la galaxia sigue teniendo dos trayectos posibles (probabilidad 50% para cada uno).


De: MAROCAN
2010-10-20 16:34:42

Felipe,
Un camino, es un camino de principio a fin, pase por donde pase, no me replanteo en cada tránsito si va por aquí o por allá, este otro camino también estará contabilizado en el conjunto de caminos posibles.
No es posible hacer replanteos en cada tránsito, imagínate un sistema de cuatro planetas situado en los extremos de una U (bueno con la base de la U recta y no curva) ¿cuál seria la probabilidad de ir de un planeta en uno de los ángulos rectos a otro que está en los extremos de la U?. Respuesta ½ , correcto puesto que hay dos caminos, aunque exista un 100% de probabilidad en el último salto, ya está incluida en que es un camino.
Observo que también ha habido polémica en la posibilidad de encontrarse las dos flotas entre dos dominios, lo cual para mí no tiene ningún sentido.


De: Pedro
2010-10-20 17:12:41

Actualizado el archivo de marocan con más explicaciones: http://eltamiz.com/images/2010/October/marocan.doc


De: MAROCAN
2010-10-20 17:58:50

Pedro, has colocado otra vez el mismo.


De: Pedro
2010-10-20 18:14:21

Ooops... ahora sí está bien, lo siento :)


De: Argus
2010-10-20 19:25:12

Creo que está todo dicho.

Un error común ha sido pensar que la probabilidad de encuentro en la diagonal media, por haber 10 planetas, debe ser 1/10.

El otro error, muy parecido, es calcular las probabilidades de que una nave se encuentre en un planeta como caminos posibles entre caminos totales.

Convendría repasar los últimos comentarios de Felipe y la hoja excel de Alb en su comentario 26, junto con todas las veces que unos y otros hemos repetido lo mismo pero con diferentes palabras: "Caminos posibles entre caminos totales es un error de planteamiento para hallar la probabilidad de que una nave se encuentre en un planeta determinado".


De: oldman
2010-10-20 23:18:23

Argus. Felipe, Alb, Marocan...

Es un error decir "Creo que está todo dicho". El que Felipe tenga sus dudas y que, según tu, unos u otros repitan lo mismo con diferentes palabras pero, añado, sin ninguna demostración matemática clara, no aporta ninguna solución correcta.

Mi opinión, según comprobación fundamentada y calculada, algo distinta a la que te envié y que le he pedido a Pedro colgar, es que la solución de Felipe premiada es correcta. Mi aporte es simple y "ortodoxo".

Aparte de tu opinión que ya conocemos reiteradamente , le ruego a Felipe y a Marocan que aporten la suya. A ver si ya vamos concretando...


De: Pedro
2010-10-21 07:20:15

Acabo de colgar los dos archivos de Oldman: http://eltamiz.com/images/2010/October/oldman-e.doc y http://eltamiz.com/images/2010/October/oldman-e-calc.xls .

No me gustar participar demasiado, porque no quiero cortar la discusión y los argumentos, pero no me puedo callar en esto: no es un error considerar todos los caminos como equiprobables... porque lo son. Cualquier salto, en el borde de la galaxia o en el centro, tiene dos posibles destinos y hay un 1/2 para cada uno. Si se "pinta" sobre los planetas un camino de un lugar a otro (sea el del borde o sea cualquier otro, porque da lo mismo), hay un 1/2 de probabilidad en cada salto de que la flota se desvíe del camino, sea cual sea ese camino.

Lo que no es equiprobable es el paso por cada planeta, porque algunos planetas son atravesados por muchos caminos, y otros (como los del borde) no. Si alguien no está convencido de esto (por ejemplo, Argus), podemos elegir un origen y un destino en la retícula, para hacerlo con un caso concreto, y reto a quien se trate a que señale dos caminos diferentes entre esos dos puntos de modo que la probabilidad de seguir uno y otro sea diferente :)


De: Argus
2010-10-21 14:43:08

Esto se pone interesantísimo. Acepto el reto.

Elijo como punto de partida el inferior izquierdo (posición 1,1)

Elijo como punto de destino la posición 10,3

Mantengo que si calculamos la probabilidad de este punto como caminos posibles entre caminos totales cometeremos un error. Estoy hablando de la probabilidad de una sola nave de pasar por esa posición, no de la probabilidad de encuentro con otra nave.

¿Alguien se atreve a dar una cifra? :)


De: Argus
2010-10-21 16:26:32

Pedro,

Acabo de enviarte los cálculos tal como lo he planteado. Lo envié al correo de desafíos. Te agradezco si puedes ponerle un link.

Como avance, la probabilidad de la posición 10,3 es según esto 67/2048.

De los 55 caminos posibles, hay 1 de ellos con probabilidad 1/512. Otros 9 tienen probabilidad 1/1024 cada uno, y los restantes 45 caminos tienen probabilidad 1/2048 cada uno.

Quedo expectante a vuestros comentarios y consideraciones.


De: Pedro
2010-10-21 17:17:44

Argus, acabo de leerlo y tienes toda la razón en que las probabilidades no son iguales para todos, soy un burro. ¡Cómo me molesta meter la pata! Lo dejo aquí por si alguien puede demostrar a Argus que el burro es él, pero mucho me temo que no: http://eltamiz.com/images/2010/October/encuentro-argus.xls


De: oldman
2010-10-21 18:01:50

Como soy un burro viejo voy más despacio que Pedro. Ahora que el "cerebro" se pone así, no digo ni que no ni que sí. Más bien pido T...de tila y de tiempo.

Ave Argus, morituri te salutan. Elegiré cuidadosamente mis últimas palabras.


De: Argus
2010-10-21 18:57:01

Bueno, pero que quede claro que a burro no me gana nadie.

Ahora he tenido suerte y llevaba razón, pero cuando no la llevo soy igual de pesao.

Oldman, no me saludes como a César, porque soy más bien Bruto :)

Para futuros desafíos tenedlo en cuenta y tomadme con calma :)

He disfrutado mucho, con esta entrada y con todas las de este blog. Gracias, Pedro, por hacerlo posible.


De: MAROCAN
2010-10-22 07:46:24

Replanteo del problema:

Estamos en la esquina del universo donde se halla la flota Escarlata. ¿Puedo contar todos los caminos que desde este punto y con 14 tránsitos van a parar dentro de la diagonal 14 al dominio 141? Sea (si puede hacerse): n(141).
¿Puedo hacer lo mismo con los otros dominios de esta diagonal? Sean (si puede hacerse): n(142), n(143), n(144), n(145).
Tengo todos los caminos () dispuestos en un repartidor de caminos en la sala de guerra de la flota Escarlata.
(
) Para mí camino no es un tránsito, es un conjunto dado de tránsitos que van desde un origen a un final, sin replanteos intermedios.
Ahora me pregunto: si escojo uno al azar (o de manera absolutamente aleatoria, como dice el enunciado), ¿puedo saber la probabilidad de que me aparezca este camino en el dominio 141?.

Si puede hacerse este ha sido mi modo de abordar este ejercicio. Si no… me retiro de esta contienda.


De: oldman
2010-10-22 13:10:15

Me uno a las recientes preguntas de Marocan.

Dije “morituri”(plural, o sea algunos de la contienda), me tomé un reconfortante té verde, que es lo mío, y sigo sin estar convencido del todo...aunque abierto a cualquier cosa congruente con el enunciado.


De: javier
2010-10-22 13:45:27

por si alguien todavía tiene dudas:

Desde un punto de vista conceptual, la clave está en que hasta la mitad del trayecto los caminos posibles se van multiplicando x2 en cada salto.

Osea (y hasta la mitad del camino) si hay 9 saltos, entonces el número de caminos posibles hasta la mitad son 512.

Pero a partir de ahi, ya no multiplicamos por 2 en cada salto por que lso costados solo tienen un camino posible, eso hace que:

las proabilidaes acumuladas de todos los caminos que caerían "fuera de la galaxia" recaigan sobre la galaxia que se encuentra en el borde.

Dicho de otra forma, una forma facil de calcular las probabilidades de caer en la linde de la galaxia es:

Sum x=0,(n-(N-1))/n^2 del triangulito de marras.

donde (N-1) es el número de saltos para llegar a la mitad y n el número de saltos efectuados hasta el momento

Si n-(N-1) es menor de cero quiere decir que no hemos llegado a la mitad del camino todavia y por lo tanto sigue todo la norma general.

A partir de ahi, la galaxia "linde" tendrá probabilidades acumuladas.

El resto de las galaxías puede calcularse con este método como hasta ahora sin modificar nada, osea el "número del triangulito"/n^2

NOTA: Esta forma de ver el problema tiene el mismo sentido conceptual que asumir que las galaxias lindes SI tienen 2 caminos pero que ambos ellos acaban en la misma galaxia destino (por algún efecto cuántico adverso probablemente).

Y la ventaja de que todavía es sencillo encontrar una formulación matemática que le de sentido sin necesidad de probar manualmente y manteniendo las potencias de 2 en el denominador que es una cosa muy cómoda.


De: javier
2010-10-22 13:52:08

Se me olvido decir:

Cito:
"Osea (y hasta la mitad del camino) si hay 9 saltos, entonces el número de caminos posibles hasta la mitad son 512."

Y añado:

Esto es facil de ver en l salto decimo, donde si cuentas los caminos ves que no hay 1024 caminos, sinó únicamente 1022 ¿donde están los 2 caminos que faltan? son los 2 que faltan de las dos galaxias laterales que no aportaron 2 caminos cada una como el resto de sus hermanas sinó solamente 1.


De: MAROCAN
2010-10-23 08:51:45

Para verlo más claro: supongamos que nuestra galaxia de 10x10 está inmersa en un universo MxM (con M muuuy grande) con la misma disposición geométrica tipo reticular. Pregunta: ¿variaría en algo la resolució del problema tal y como está planteado? Respuesta: NO


De: Felipe
2010-10-23 15:05:22

Marocan, sí que cambia la respuesta, porque en un universo más grande la flota se desparramaría por la galaxia en vez de verse obligada a converger hacia la base enemiga.


De: MAROCAN
2010-10-23 20:03:46

El enunciado del ejercicio nos dice que no podemos retroceder, siempre acercándonos hacia la base enemiga, por lo tanto tenemos un universo mucho mas grande pero el escenario permanece igual ya que con esta condición todos los posibles caminos no pueden salirse del area 10x10. Por lo tanto mantengo que nada varía.


De: MAROCAN
2010-10-24 09:20:46

Y también … un espero y deseo: “que TODOS contribuyamos a mantener la salud de éste nuestro frágil planeta y no nos comportemos como las flotas A y E con lo cual la probabilidad de autodestrucción sería 1”.


De: Felipe
2010-10-24 10:14:36

Argus ha explicado mejor que yo la cuestión en el problema 3.

Marocan, si numeras la galaxia con coordenadas horizontales y verticales del 1 al 10 donde la base escarlata es el planeta (1,1) y la azul la (10,10), mira la probabilidad de que la flota escarlata llegue al planeta limítrofe (2,10). Al planeta (2,10) se puede llegar desde el (1,10) y desde el (2,9). La probabilidad de visita del (1,10) es 1/512 y la del (2,9) 9/512. Desde el planeta (2,9) hay dos tránsitos, cada uno con 50% de probabilidad, así para calcular la probabilidad del planeta (2,10), el tránsito desde el planeta (2,9) contribuye con 9/1024. Sin embargo desde el planeta (1,10) solo hay un tránsito posible, así que desde el planeta (1,10) no hay más remedio que ir al (2,10). La contribución del tránsito desde el planeta (1,10) es 1/512. La probabilidad de visita del planeta (2,10) es la suma de las dos contribuciones esto es 11/1024.

Si lo calculas por caminos, hay 1 camino que lleva al (1,10), 9 caminos que llevan al (2,9) y sumando hay 10 caminos que llevan al (2,10).

¡El contaje de caminos no sirve para calcular la probabilidad de que la flota escarlata visite el planeta (2,10)!

Le he enviado a Pedro un documento con el cálculo detallado del problema 3 para el caso 10 x 10 y para el caso N x N.


De: Pedro
2010-10-24 11:16:43

Colgado: http://eltamiz.com/images/2010/October/felipe-2.pdf


De: oldman
2010-10-24 22:42:15

Revisando las soluciones premiadas y todo lo dicho me da la impresión de que hay dos interpretaciones del enunciado planteado en relación con la llegada a un planeta:

1ª.-Una se basa en que todos los caminos deben ser diferentes, se calcula el nº de éstos que llegan a cada planeta destino como “casos favorables” y se divide por la suma de los que llegan a una misma diagonal como “casos posibles”, para tener la probabilidad de llegar a ese planeta por caminos diferentes.

El nº de caminos diferentes para llegar a un planeta destino se calcula, en nuestro caso, sumando el nº de caminos de los planetas inmediatamente anteriores [C=( C1+C2 )] que conducen a él, salvo si es un planeta-borde que situado hasta la diagonal principal inclusive en cuyo caso será igual al del anterior.

2ª.La otra, en vez de contar caminos, se basa en calcular desde el principio la probabilidad de que una flota llegue a un planeta destino.

En nuestro caso esta probabilidad es la semi-suma de las probabilidades de pasar por los dos planetas inmediatamente anteriores [P=( P1+P2 )/2] , salvo para los planetas-borde que están más allá de la diagonal principal cuya probabilidad se calculará cambiando a P=( 2P1b+P2 )/2= P1b+P2 /2 siendo P1b la del planeta-borde inmediatamente anterior.

Aplicando ambas interpretaciones al problema 3 para determinar la probabilidad de encuentro en los tránsitos Tr14 de Escarlata y Tr5 de Azul (=entre diagonales D13 de Esc.y D4 de Azul):

-para la interpretación 1ª el resultado es 11,30%, como la solución premiada de Felipe,

-y para la 2ª es 9,83%, como ha obtenido Felipe en coment.68 y 69 después de las observaciones de Argus iniciadas en coment.10.

Pero ¿cual sería la interpretación conforme con el enunciado del desafío?, tal como ha preguntado Marocan. ¿Se invalida el “sistema de contaje de caminos, como afirma ahora Felipe?.

Dentro del plazo para soluciones el “tribunal” seleccionó las tres mejores soluciones de Felipe, Alberto y Javier, con la 1ª interpretación.

En el enunciado se dice que la flota “elegirá únicamente de entre aquellos caminos que lo acercan” y además que “elegirá uno de los caminos de manera absolutamente aleatoria”. No se habla de trayectos sino de caminos que pueden haberse pintado o señalizado de forma previa a la salida de la flota. O incluso representados por bolas numeradas agrupadas en bolsas para ser tiradas a suerte según la diagonal.

Tampoco se habla de que en cada cruce de los distintos camino la flota improvisará aleatoriamente la dirección a seguir. Más claro agua...Marocan tiene razón y la1ª interpretación es la más acorde con el enunciado.

La interpretación 2ª, puesta en evidencia por Argus, es una posible e interesante variante del desafío que se podría haber plantado de forma explícita hablando de trayectorias y de rumbos aleatorios al final de cada tránsito respetando la codician de acercamiento. Pero esto nadie lo captó dentro del plazo porque no se trataba de tal situación.

Ha sido un poco largo...pero después de todo lo que hemos trabajado y reflexionado merecía la pena que todos quedemos contentos. A ver si en el próximo desafío afinamos más y si hay dudas las aclaremos a tiempo.


De: Felipe
2010-10-25 08:57:00

Oldman, no creo que nadie esté calculando de un modo estricto utilizando tu interpretación, o por lo menos no creo que esté bien definida.

Te pongo un ejemplo. Vamos a suponer que la flota escarlata ha hecho un tránsito y está en el planeta (1,2). Desde aquí puede ir en el siguiente tránsito a los planetas (1,3) y (2,2). Si entiendo tu interpretación, corrígeme si me equivoco, el enunciado diría que desde aquí la flota escarlata elige aleatoriamente entre todos los caminos que le llevan a la base azul. Pues bien, desde (1,2) hay 11440 caminos que llevan a la base azul pasando por (1,3) y 12870 caminos que llevan a la base azul pasando por (2,2). Eso supondría que habría que calcular probabilidades de visita a (1,3) del tipo 1144/2431, y nadie lo está haciendo así.

En su lugar todo el mundo está calculando que la probabilidad de visita de (1,3) es ¼ y la de visita de (2,2) es 2/4, que es compatible con la interpretación de que en cada tránsito se elige el trayecto inmediato con probabilidad 50% si hay dos trayectos y con probabilidad 100% si solo hay uno. De hecho es la única interpretación que veo yo compatible con lo que está calculando todo el mundo para el problema 1.


De: MAROCAN
2010-10-25 09:32:21

¿Qué está pasando? ¿Falla la definición de probabilidad que nos habían enseñado?. ¿No son igualmente probables todos los caminos que existen?.¿Existen más caminos que los calculados también según la matemática clásica?. No encuentro una explicación satisfactoria puesto que sólo propongo la aplicación a este caso, de la definición clásica de probabilidad que se puede ver en todos los libros.


De: MAROCAN
2010-10-25 11:04:11

La definición de probabilidad como el cociente entre: Número de casos favorables /Número de casos posibles es conocida como regla de Laplace y tiene dos inconvenientes:
1º) Todos los casos deben ser igualmente probables.
2º) Sólo puede aplicarse cuando el número total de casos es finito.
En este caso y bajo mi modesta opinión se puede aplicar dicha definición.
Por lo que yo me retiro de una discusión que observo que requiere “modificar” los conceptos considerados por mí como fundamentales de la Matemática.


De: oldman
2010-10-25 13:02:53

Felipe,

Te corrijo porque te equivocas al atribuirme la burrada que pones en tu coment.71. Y es tan gorda que hasta “casi” me parece mal

En el punto 2º de mi coment.70 digo “salvo para los planetas-borde que están más allá de la diagonal principal cuya probabilidad se calculará... ”. Nada que ver con tu ejemplo digno de ser borrado.

No le dedico más tiempo a desfacer entuertos de tu interpretación errónea sobre mi interpretación de las enésimas interpretaciones de otros...

Parece que no pasaste de mi malinterpretado párrafo pues lo esencial de mi coment.70 está en el antepenúltimo párrafo: “la1ª interpretación es la más acorde con el enunciado”, según argumento.

Y repito mi final “A ver si en el próximo desafío afinamos más y si hay dudas las aclaremos a tiempo”. Y con esto me retiro ya de éste.

Marocan,

Tienes razón. Lo que he llamado 2ª interpretación, no acorde con el enunciado, la he comentado para salvar los muebles de los opinantes pero su método de cálculo se sale de la definición de probabilidad de ocurrencia de un suceso final y habría que rehacerlo de forma ortodoxa. Pero no le vamos a dedicar más tiempo a una interpretación incorrecta.

Esperemos que sea hasta el próximo desafío.


De: Felipe
2010-10-25 13:32:56

Fíjate que la burrada que digo yo

"Si entiendo tu interpretación, corrígeme si me equivoco, el enunciado diría que desde aquí la flota escarlata elige aleatoriamente entre todos los caminos que le llevan a la base azul"

es muy parecido a lo que dices tu

"En el enunciado se dice que la flota “elegirá únicamente de entre aquellos caminos que lo acercan” y además que “elegirá uno de los caminos de manera absolutamente aleatoria”

Siento si he malinterpretado tus palabras, pero ya no sé como entender tu interpretación.


De: oldman
2010-10-25 13:52:20

Lo siento y perdona Felipe, ya no hablo más del asunto (lo que no quiere decir que tengas razón)


De: Pedro
2010-10-25 14:39:51

Recordad que no hay flota escarlata, no hay flota azul, no hay batalla estelar... esto sólo sirve para una cosa: pasarlo bien pensando y discurriendo juntos. En el momento en el que no sea así, a otra cosa, mariposa :)


De: Venger
2014-03-04 20:40

Yo he llegado a la demostración de la solución de esta discusión, pero el margen de la hoja es demasiado pequeño y no me cabe... ja ja ja

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