En el último artículo de la espantosa serie sobre los malévolos Alienígenas matemáticos, dedicado al problema de los dos niños, jugamos un rato con la probabilidad. Hoy, para cambiar de tercio, sufriremos juntos con un problema lógico viejo pero interesante, alterado –como siempre– para adecuarse a las características mórbidas y repugnantes de esta serie absurda.
Antes de que sigas leyendo, un aviso: es mejor que no lo hagas. Si no conoces esta serie, es muy probable que el artículo no te guste; puede que sea por su pedantería extrema, su insulso humor negro, su extensión para no llegar a ninguna conclusión útil… dicho lisa y llanamente, la lectura de este texto es ortogonal a cualquier uso práctico del período temporal que requiere. Avisado estás.
El problema lógico de hoy es antiguo, y no he conseguido encontrar su origen último (si alguien lo conoce, que me lo diga y lo incluyo en el artículo). Lo he visto en varias versiones diferentes, algunas más divertidas que otras; mi favorita es la del ínclito autor del webcomic xkcd, y dejaré un enlace a su exposición y explicación al final. Como hay tantas variantes, no conozco el nombre “oficial” del problema, que aquí relataremos como una de las tiernas historias narradas a los pequeños alienígenas matemáticos antes de dormir –algunos de ellos, para siempre– por parte de sus babosos padres. La historia de hoy relata la caída del carcelero más temido del virreinato de Proción, el terrible Larnermaundol.
La caída de Larnermaundol
No siempre que un Alienígena matemático comete un crimen es asesinado y devorado por sus congéneres. Los errores sí que son recompensados, con una certeza casi absoluta, con una muerte normalmente rápida y nutritiva, pero no necesariamente los crímenes. Si el delito es lo suficientemente sangriento, abyecto y retorcido, y las motivaciones que han llevado a él son la ambición, la avaricia o la pura crueldad, a veces el criminal es sentenciado a prisión en vez de a muerte. Al fin y al cabo, se trata de condiciones atenuantes, si bien no eximentes.
Varios planetas-penitenciaría existen a lo largo y ancho de la Galaxia para albergar a estos criminales; aunque son todos diferentes unos de otros, tienen algo en común: que las condenas no son por un tiempo preciso, y siempre hay una manera, pública y conocida, de ganar la libertad. A veces es una simple pregunta que hay que responder correctamente, otras es un camino lleno de trampas lógicas que hace falta recorrer… pero, en todos los casos, un reo que sea capaz de resolver el problema consigue la libertad sin cargos. Naturalmente, esto también significa que, para los menos inteligentes, las condenas son a cadena perpetua.
Uno de los planetas-penitenciaría más conocidos es el de Loobe, en el virreinato de Proción. Y es tan conocido precisamente porque en él tuvo lugar la peculiar historia que acabó con la carrera –y la vida– del Carcelero Mayor de Loobe, el vil Larnermaundol, una criatura cuya inteligencia, aunque elevadísima comparada con la de un vulgar ser humano, no era tan grande como sus otras virtudes –su codicia, su sed de sangre y su sadismo sin control–. Pero, antes de hablar de Larnermaundol, hagámoslo un momento sobre Loobe y sus reglas.
En el tiempo en que transcurre nuestra historia, en Loobe había exactamente 100 prisioneros, la capacidad máxima de la prisión por simple seguridad, ya que todos los presos eran Alienígenas matemáticos. No sólo eso: todos ellos criminales con una capacidad de raciocinio enorme incluso para ser miembros de su especie, sus brillantísimos y malévolos cerebros capaces de extraer conclusiones lógicas a partir de datos conocidos con una precisión y rapidez extraordinarias… y todos ellos atrapados en el infierno de Loobe, un planeta cuyas temperaturas extremas, aridez y terribles depredadores son famosos en todo el Brazo Interior.
Cada prisionero había sido tatuado en la base de la nuca con uno de dos símbolos: Φ o Π. Cada Alienígena podía ver el símbolo que tenía cada uno de sus compañeros de planeta-cárcel tatuado en la nuca, pero no el suyo propio. Para evitar que unos pudieran dar a otros esa información, una regla de Loobe era la del silencio: ningún reo podía comunicarse con ningún otro, bajo pena de muerte instantánea. Miríadas de sondas robóticas en miniatura seguían a cada Alienígena, para evitar que se dijesen nada unos a otros ni mediante palabra, ni mediante gestos ni ningún otro sistema. El resultado era que cada monstruo conocía el símbolo de todos y cada uno de sus 99 compañeros, pero no el suyo… y esa información era muy importante, ¡de ahí la importancia de que cada preso no la conociera!
Y es que sólo había una manera de escapar de Loobe, y esa manera tenía mucho que ver con los tatuajes. Cada semana, una corbeta visitaba la órbita de Loobe, y un pequeño transporte salía de ella y se posaba sobre el planeta. Para salir de Loobe en el transporte y obtener la libertad, sólo hacía falta responder a una pregunta correctamente: ¿cuál de los dos símbolos tienes tatuado? Sólo había dos respuestas correctas: Φ o Π, y si el reo proporcionaba una respuesta incorrecta, era ejecutado inmediatamente por su estupidez. Incluso si la respuesta era correcta, era necesario dar además un razonamiento lógico de que era necesariamente la respuesta correcta — no valía simplemente arriesgarse y responder al azar.
A pesar de la enorme inteligencia de los prisioneros, la falta de datos había hecho que ninguno, durante los años de existencia de Loobe, hubiera podido escapar del planeta. ¡Ni uno solo! De modo que el Carcelero Mayor era un ser extraordinariamente feliz en general, y especialmente el día en el que comienza nuestra historia: su prisión, de la que estaba orgullosísimo, recibía la visita oficial del Virrey de Proción, el tiránico Torblednam Tioneb. El Carcelero Mayor estaba decidido a impresionar a su Vileza Tioneb, una figura de un peso político y físico descomunales, devorador de naciones enteras y tirano galáctico.
Tras una visita por algunas de las instalaciones, que el gran Torblednam Tioneb sufrió con una expresión de leve aburrimiento, Larnermaundol lo acompañó a la plaza central, donde el Carcelero había reunido a los 100 prisioneros de Loobe.
“Aquí tiene a la escoria que aquí albergamos, su Malignidad”, gorgoteó Larnermaundol con tono obsequioso y acariciador. “Como puede ver, estamos a máxima capacidad.”
A su lado, Torblednam Tioneb, una montaña de carne trémula y levemente fosforescente, asintió con displicencia. “¿Cuál es el sistema de liberación?”, preguntó con una voz tan grave que las entrañas de Larnermaundol vibraron acompasadamente. ¡Por fin! Ahora podría explicar a su Vileza el ingenioso sistema de los tatuajes y la pregunta que tanto sufrimiento y razonamiento lógico infructuoso había infligido a sus prisioneros.
El Carcelero Mayor rugió, esparciendo babas sobre el estrado y abriendo y cerrando sus docenas de ojos: “¡Criaturas inmundas! ¡Media vuelta!” Y los cien prisioneros, que sabían bien que no debían nunca desafiar las órdenes de Larnermaundol, se dieron la vuelta todos a una, mostrando sus espaldas a las autoridades y revelando sus tatuajes: 27 estaban marcados con Φ y 73 con Π.
“Como puede ver su Bajeza en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes: Φ y Π. Cada semana, una corbeta llega a Loobe y entonces…”, y el Carcelero relató al Virrey todo el sistema que hemos mencionado antes. Y, cuando hubo terminado, ufano y solícito, preguntó: “¿Qué opina su Malignidad?”, con voz arrulladora y sólo ligeramente temblorosa.
“Un sistema excelente…”, respondió Torblednam Tioneb lentamente, “… hasta el estúpido error que acaba usted de cometer, ex-Carcelero Mayor.” La viscosa piel del antes ufano Larnermaundol se oscureció hasta ser casi púrpura mientras su gigantesca boca se abría y cerraba espasmódicamente.
“¿Có… cómo?”, preguntó entrecortadamente el Carcelero Mayor (o más bien, por lo que parecía, ex-Carcelero Mayor). Por el rabillo de algunos de sus ojos, desconsolado, vio cómo todos y cada uno de los cien prisioneros sonreían maliciosamente: se habían dado cuenta de algo importante, pero ¿de qué?
La boca del Virrey se curvó hacia abajo, abriéndose además levemente para revelar múltiples hileras de dientes afilados como cuchillas y rezumantes de babas. “Como puede ver en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes”, repitió con voz socarrona, mofándose de Larnermaundol. “¿Cómo ha podido ser tan estúpido? ¡Guardias! Llévense de aquí a esta estulta criatura. Su mera presencia me irrita…”
De modo que ése fue el fin de la carrera del hasta entonces temido Larnermaundol. Eso sí, antes de ser ejecutado lentamente por su estupidez, el Virrey lo obligó a permanecer en Loobe hasta que las consecuencias de su error se hicieron evidentes: el vaciado total y absoluto de la prisión, un tiempo después, cuando eventualmente todos y cada uno de los prisioneros fueron capaces de responder correcta y razonadamente a la pregunta crucial de qué tatuaje había en su nuca y cómo podían saberlo lógicamente.
(Pero, antes de seguir con la historia, estimado lector, ¿puedes razonar como uno de los prisioneros y lograr escapar de Loobe? ¿Cuándo escaparán los prisioneros marcados con Φ, cuándo los marcados con Π, y cuál será su respuesta razonada a la pregunta del millón? Piénsalo antes de seguir leyendo más abajo. No se trata de un problema con truco, ni los prisioneros hacen trampa: es posible deducir lógicamente la respuesta correcta, a partir de las condiciones de Loobe y la afirmación del Carcelero Mayor. Otra cosa es que sea fácil o intuitivo).
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La respuesta correcta la conoció Larnermaundol exactamente 27 semanas después, cuando 27 prisioneros se presentaron haciendo cola a la entrada del transporte, ante el nuevo Carcelero Mayor (un antiguo subordinado del propio Larnermaundol), un par de guardias y el antiguo Carcelero, amarrado ahora con múltiples grilletes a la pared de la sala; Larnermaundol estaba presente aquí sólo por la crueldad del Virrey, que había ordenado su presencia para comprender su propia estupidez.
El primer prisionero en cola sonrió al entrar en la sala. Las puertas se cerraron tras él, de modo que los demás no oyesen su respuesta.
“¿Y bien?”, preguntó el nuevo Carcelero Mayor gorgoteando. “¿Cuál es tu tatuaje, y cómo lo sabes? Si no respondes razonada y correctamente… digamos que cenaré bien.”
El preso soltó una pequeña y húmeda risita. No disfrutaba tanto desde la matanza de una especie entera, por la que había sido condenado años atrás.
“Mi tatuaje es Φ”, respondió mirando a su interlocutor. Uno de los guardias se dirigió a su espalda y comprobó que así era, y asintió a su superior. Entonces, el reo dirigió su mirada de múltiples y vidriosos ojos a Larnermaundol.
“La razón de que lo sepa es el patético comentario del antiguo Carcelero Mayor, por supuesto”, continuó. “Todo fue muy sencillo, y así es como razoné, utilizando la inducción.”
“El Carcelero dijo al Virrey que podía ver tanto el símbolo Φ como el Π en nuestras nucas. Eso significaba que al menos uno de nosotros tenía cada uno de los dos símbolos — algo que yo ya sabía, naturalmente, pues podía ver a mis compañeros, pero el hecho de que lo dijera él, frente a todos mis compañeros, cambió las cosas radicalmente.” Los ojos de Larnermanudol miraban al prisionero, aún sin comprender, mientras éste seguía con su explicación.
“Supongamos el caso más sencillo en el que esa afirmación podría haberse producido: si en Loobe hubiese únicamente dos prisioneros, uno con Φ y otro con Π. Si yo fuese uno de los dos prisioneros, sabría el símbolo de mi compañero pero no el mío propio. Como ambos símbolos están presentes, el mío necesariamente tendría que ser el contrario que el suyo para que la afirmación tuviera sentido, y la primera semana, cuando llegase el transporte, hubiera escapado de la prisión.”
“Esto hubiera sido cierto también si hubiera 100 prisioneros, y cuando yo mirase a todos mis compañeros, todos ellos tuvieran el mismo símbolo, por ejemplo Π. Ante la afirmación irresponsable del Carcelero Mayor, yo sabría que mi símbolo necesariamente sería el contrario, de modo que ambos estuvieran presentes. La primera semana hubiera escapado de la prisión. Y lo mismo hubiera hecho cualquiera de mis compañeros en la misma situación, por supuesto, pues todos ellos son de una inteligencia extraordinaria, igual que yo.”
“De modo que, en mi cabeza, enuncié ese teorema, el Teorema de 1 Prisionero: si en Loobe sólo un prisionero tiene uno de los dos símbolos, ese prisionero podrá salir la primera semana tras la afirmación del Carcelero Mayor, ya que sabe automáticamente cuál es su símbolo.”
“Pero ¿qué hubiera sucedido si, de los 100 presos, dos de ellos tuvieran Φ y todos los demás Π? La cosa se complica un poco”, continuó la bestia. “Si yo fuera uno de esos dos, sin saber cuál es mi tatuaje, al mirar a mi alrededor observaría que sólo un preso tiene Φ. De modo que, a partir de lo que veo, habría dos posibilidades: que yo tuviera Π, de modo que ese prisionero fuera el único con Φ, o que yo también tuviera Φ, de modo que fuésemos dos Φ.”
“Lo único que tendría que hacer es esperar una semana. Si yo tenía Π, ese prisionero es el único con Φ, luego esa misma semana saldrá de la prisión tras contestar correctamente, como ha establecido el Teorema de 1 Prisionero. Si, por el contrario, la primera semana ha pasado y el prisionero con Φ no ha salido, es que no podía estar seguro de su propio símbolo, ya que yo también tenía el mismo tatuaje. De modo que en ese caso estaría seguro de que tengo Φ, con lo que la segunda semana podría escapar de Loobe, lo mismo que mi compañero Φ, que habría razonado de igual modo.”
“Así que, en mi cabeza, enuncié el Teorema de 2 Prisioneros: si en Loobe sólo dos prisioneros tienen uno de los dos símbolos, esos dos prisioneros saldrán de la prisión la segunda semana tras la afirmación del Carcelero Mayor.”
“Aunque llegado este punto, unos segundos después de que el ex-Carcelero Mayor formulase su estúpida afirmación, yo ya sabía cuál era el proceso de espera que debía seguir, continuaré con un paso más para que las mentes menos aventajadas puedan acabar de comprender”, sibiló el monstruo mientras miraba condescendientemente a Larnermaundol, a pesar de que éste ya había entendido la clave de la cuestión y se había vuelto de un intenso color chocolate, sus ojos llenos de furia.
“Supongamos que tres prisioneros tuvieran uno de los dos símbolos, una vez más Φ para simplificar, y los otros 97 tuvieran Π. Entonces, si yo fuera uno de ellos, vería a dos presos con Φ. Habría entonces dos posibilidades: que sólo hubiera dos Φ –los dos que veo– si yo no era uno de ellos, o que hubiera tres Φ si yo también lo fuese –algo que yo no conocería aún, por supuesto–.”
“Sólo tendría entonces que esperar. Si, pasadas dos semanas, los dos prisioneros no habían salido de Loobe, es que yo también era Φ, pues en caso contrario, de acuerdo con el Teorema de 2 Prisioneros, habrían podido responder correctamente tras mirarse el uno al otro. Así que los tres hubiéramos salido a la tercera semana, razonando de este modo.”
“Podríamos expresar esto como el Teorema de 3 Prisioneros: si en Loobe sólo tres prisioneros tienen uno de los dos símbolos, esos dos prisioneros saldrán de la prisión la tercera semana tras la afirmación del Carcelero Mayor.”
“Es más, si se ha entendido esto, y sin necesidad de que me alargue más, si a mi alrededor veo N prisioneros con un tatuaje concreto, puede que en total haya N prisioneros con ese tatuaje, o que haya N+1, si yo también lo tengo. Pero no tengo más que esperar N semanas: si los N prisioneros salen entonces de Loobe, es que yo no tenía ese tatuaje, y en caso contrario, los N+1 saldremos a las N+1 semanas tras la afirmación del Carcelero Mayor.”
“El teorema general es entonces el Teorema de N Prisioneros: si en Loobe sólo N prisioneros tienen uno de los dos símbolos, esos N prisioneros saldrán de la prisión la N-ésima semana tras la afirmación del Carcelero Mayor.”
“Naturalmente, esto significa que los 26 presos en la cola detrás de mí han razonado de igual manera, y todos ellos tienen Φ tatuado en la espalda y podrán salir libres tras razonar igual que yo. Y esto también significa que todos los restantes, una vez hayamos salido nosotros de Loobe, sabrán que todos ellos son necesariamente presos Π, y la semana que viene todos ellos harán cola aquí mismo y saldrán de la prisión, dejando Loobe absolutamente vacío.”
El silencio en la habitación era casi absoluto: sólo la respiración rasgada de Larnermaundol lo rompía.
“Y todo gracias a usted, Carcelero Mayor… o, disculpe, ex-Carcelero Mayor. ¡Gracias por mi libertad!”
La respuesta, naturalmente, era correcta, y el nuevo Carcelero Mayor asintió gravemente, dejando pasar al reo liberado, que se dirigió hacia la escotilla del transporte, mientras oleadas de color recorrían su cuerpo.
“Pero… pero… ¿qué hace tan especial lo que dije?”, le interrumpió Larnermaundol con voz agitada. “Todos vosotros ya sabíais lo que dije: que había Φ y Π entre vosotros, podíais verlo todos los días… ¿por qué mi afirmación lo cambió todo? ¿por qué no salísteis 27 semanas tras entrar en Loobe?”
El reo liberado se detuvo y miró a su ex-Carcelero con lo que, de no haberse tratado de un Alienígena matemático, tal vez hubiera podido ser interpretado como lástima.
“¿Aún no lo sabe? ¡Conocimiento común, señor mío, conocimiento común1!”, exclamó el ex-prisionero, y a continuación entró en el transporte.
Y Larnermaundol bajó la cabeza, babeando suavemente sobre el suelo. Su caída y humillación eran completas. Sin embargo, la cosa no acabó ahí: el segundo prisionero, para ganar su libertad, tuvo que responder razonadamente de manera idéntica al primero, exponiendo sus argumentos ante los allí presentes, incluido el propio Larnermaundol. Y lo mismo hizo el tercero, y el cuarto… todos ellos recordando –algunos con sorna, otros con desprecio, otros con odio– la estupidez de Larnermaundol y su afirmación.
Con cada relato del razonamiento, el ex-Carcelero se fue volviendo más y más oscuro y engrosándose, sus ojos casi saliéndose de las órbitas. Y, cuando el prisionero 23 acabó de exponer su respuesta, Larnermaundol lanzó un pequeño ruido y, consumido por la furia y la humillación, expiró discretamente. En ese momento, el Virrey Torblednam Tioneb salió de detrás de unos cortinajes y miró al cadáver de su víctima con curiosidad.
“Interesante”, afirmó con voz grave y ronroneante. “Hubiera jurado que aguantaría al menos hasta el 25.”
Como sabéis, sigo de vacaciones y no estoy conectado casi todo el tiempo como sucede normalmente. Estoy seguro de que, dado lo retorcido del razonamiento –que no es mío ni es nuevo, por cierto, yo sólo lo he envuelto en una historia repulsiva y absurda–, no convencerá a todo el mundo; además, he dejado algo intencionadamente sin explicar, pero también sé que algunos de vosotros lo cazaréis al vuelo. De modo que, dentro de lo posible, intentaré no contestar a todas las pegas y preguntas en los comentarios, sino que confío en que quienes lo hayáis entendido podáis echar una mano refutando pegas y aclarando dudas. ¡Eso no quiere decir que yo no participe! Pero me quita un peso de encima si no me conecto en un día entero, así que gracias de antemano.
Para saber más (todos en inglés):
- Dejo la interesante explicación de este detalle a los avezados lectores de El Tamiz en los comentarios. [↩]
The Alienígenas matemáticos – La caída del Carcelero Mayor de Loobe by Pedro Gómez-Esteban, unless otherwise expressly stated, is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
{ 122 } Comentarios
un solo tonto* y hasta ahí llega el plan …………………. *entiendase tonto en relación a la especie
Wow…definitivamente una de las entradas de la serie que mas me gusto y me hizo pensar….felicitaciones! Sobre la razon de la afirmacion…intuitivamente lo primero que pense es que no aportaba informacion nueva porque todos ya conocian que habian varios prisioneros con cada simbolo. Por otro lado, mi explicacion es que, matematicamente, la afirmacion del (ex) carcelero brinda el punto base del razonamiento inductivo. Toda demostracion inductiva necesita cumplirse para un valor inicial, asumirse para n y demostrarse para n+1. A lo largo de la entrada se explica la demostracion de n y n+1, pero el caso base se da con la afirmacion del (ex) carcelero, la cual brinda la informacion necesaria para cuando solo haya un prisionero con el simbolo redondo….y este paso es necesario para que todos apliquen el razonamiento y extrañamente el razonamiento no funciona sin esta condicion :S…..aunque la intuicion me sigue diciendo que no tiene sentido xD! Por otro lado tal vez la afirmacion solo establecio un punto a partir del cual los prisioneros podian ponerse de acuerdo implicitamente sobre a partir de cuando comenzaban a contar sus semanas
PD. Extraño el grompf, grompf, grompf….:/
Los presos no podían comunicarse entre sí (ni verbalmente ni de otro modo), y por eso no podían ponerse de acuerdo en el “día 0″.
De todos modos, Larnermaundol, una vez conocido el algoritmo, solo tenía que aplicarlo para salir al día siguiente…
Es parecido al problema de los 3 filósofos en fila con tres sombreros blanco/negro.
Excelente, me encanta esta serie.
La parte que he disfrutado especialmente ha sido:
“¿Aún no lo sabe? ¡Conocimiento común, señor mío, conocimiento común1!”,
El hecho de que lo dijera él, frente a todos mis compañeros, cambió las cosas radicalmente, ya que ahora sí pueden apoyar su deducción en un conocimiento igual por parte de todos ellos, sin caer en una simple hipótesis que los habría arrojado a las borboteantes fauces del carcelero.
Una delicia de lectura.
Bueno, creo que aparte de conocimiento común, también hace falta confianza en que los demás van a hacer exactamente el mismo razonamiento inductivo que tú, porque a la que uno o dos fallen, el invento no funciona.
De lo cual, no sé si por inducción, deducción o reducción, se infiere que si los presos fueran una muestra aleatoria de seres humanos, de la prisión de Loobe no se escapaba ni el tato. Je je je…
Ahora en serio, el artículo me ha hecho pensar a base de bien. Bendito sea, si es que creo que hasta he soñado que estaba en Loobe. Lo que pasa es que con la inteligencia de la que hacen gala los alienígenas babosos, me resulta difícil creer que no llegaran al convencimiento no sólo de que únicamente existen dos símbolos, sino al convencimiento, también, de que todos sus compañeros también se han dado cuenta, sin necesidad de la revelación de Larnermaundol (o como se escriba). Supongo que es lo que dicen los apañeros, que lo difícil era establecer la “hora H” a partir de la cual contar.
¿Para cuándo un dibujito de uno de estos alienígenas, para saber a qué nos enfrentamos caso de que lleguen a la Tierra?
Ja la verdad es que yo creo que el error lo comete el virrey Torblednam Tioneb, porque al hacer tanto escandalo hizo que los reos “sonrieran maliciosamente” y ese es el punto en el que se ponen deacuerdo, la informacion que brindo el carcelero ya la tenian, solo faltaba establecer el momento de inicio del plan, piensen por un momento, si el virrey no hacia lo que hizo, los reos se hubieran puesto de acuerdo?
Quizas me este precipitando… ya que no he dado con la solución ni la he leido.
Pero… creo que la pregunta “¿cuál de los DOS símbolos tienes tatuado? “Seria incorrecta, Les esta diciendo a los presos que solo hay dos simbolos.
Vale…. me precipite.
Intereantísimo el problema y el concepto de Conocimiento Común. Leyendo en otro sitios, veo que este tema está relacionado con las teorías de juegos y los equilibrios de Nash.
Se me antoja que quizá un ejemplo de conocimiento común haya sido la caída en picado del mercado inmobiliario cuando todo el mundo ha tenido la certeza de que el valor real de los inmuebles era muy inferior al del mercado produciéndose un aislamiento total del, hasta ese momento, preciado y codiciado bien.
La rubia despampanante se queda sola…
Yo creo que la clave está en: “Como puede ver, su Babosidad, estamos a máxima capacidad.”. Puesto que los prisioneros sabían que sólo podían tener uno y sólo uno de dos símbolos, lo único que les faltaba era conocer cuántos eran en total para poder empezar a descontar semanas, pues todo el resto de información ya lo tenían.
Claro que igual me equivoco, je, je. Es lo que pasa por no ser ni alienígena ni matemático… En tal caso, prefiero ser deglutido con salsa roquefort, si es posible.
Creo que la clave es saber que están a máxima capacidad, con lo cual no van a entrar mas presos y fastidiar la cuenta. De ese modo ya pueden empezar a contar semanas y hacer feliz a Benoît Mandelbrot con su experimento de aguante.
La estrategia a seguir está clara, pero antes de emprenderla, la clave está en aclarar dos puntos:
1) Tú debes saber que ellos lo saben (la estrategia).
2) Tú debes saber que ellos saben que tú lo sabes.
Aunque tratándose de los Alienígenas Matemáticos, me pregunto qué les impediría deducir estos dos puntos sin la intervención de Larnermaundol.
Por cierto, Pedro, gracias por aclararnos uno de los puntos débiles de los Alienígenas: No sabía que eran mortales a la humillación por estupidez (estupidez desde el punto de vista de los Alienígenas).
a mi me parece que el punto está en que cada alienígena sabía los símbolos de todos los compañeros menos el suyo, lo que significa que NO SABÍAN CUANTOS SÍMBOLOS HABÍAN, hasta que………
Pero como podria yo (y el resto) presentarnos a la semana 26, cuando ninguno conoe su tatuaje? Dependo del otro y el otro depende de mi…
¿Soy el único que se imagina a los alienígenas matemáticos como a los ilícidos (también llamados devoramentes) de Reinos Olvidados? (que también destacan por su inteligencia y crueldad xd)
Me recuerda a un acertijo que vi en una página hace tiempo. Creo que es una variación de lo mismo. Lo dejo aquí por si a alguien le interesa:
En una extraña isla , solo hay hierba y plantas y sus unicos habitantes son 100 leones y 1 oveja. Los leones son especiales , claro:
1) Son totalmente logicos , inteligentes y perfectamente conscientes de sus circunstancias. 2) Pueden sobrevivir comiendo solo hierba ( de la que hay una cantidad infinita en la isla). 3) Por supuesto, prefieren comer una oveja. 4) Sus unicas opciones para comer son : hierba u oveja. 5) Si un leon se come a una oveja , se convierte el mismo en oveja
6) Un leon prefiere comer hierba toda su vida antes que ser comido por otro leon ( tras convertirse en oveja)
Asume lo siguiente:
1) Siempre habrá un leon que llegue primero a comerse la oveja , no hay disputas ni peleas ni comparten o llegan a la vez a la oveja . El problema no es ése. El problema es si un leon se come la oveja y si despues será comido por otro leon o no. 2) La oveja no puede escapar una vez el leon decide ir a por ella. 3) No asumas nada mas que no se haya dicho.
Las preguntas son:
¿Se comerá algun leon a la oveja?
Si es que sí , seguirá el proceso? Cuando parará?
Enhorabuena, Pedro, la entrada que más me ha gustado de esta estupenda serie Alienígenas. El brillante comentario de Macluskey en el que el carcelero aporta información a los prisioneros sobre su número definitivo en un momento determinado me parece genial. No se me había ocurrido, pensé que la clave de todo el asunto estaba en que el alcaide nunca sería tan estúpido para aportar nueva información que no conocieran ya los presos. Si, como supongo que sucede en una prisión normal, los reos van llegando en tiempos diferentes según son condenados, éstos aunque adquieren el conocimiento común sobre el tipo de marcas que existen el la prisión en cuanto ven 2 diferentes, no pueden estar seguros sobre el momento en que lo han adquirido los demás. Por eso no pueden ponerse de acuerdo en el instante de iniciar el proceso de liberación descrito. Si todos llegaron al mismo tiempo y sabían su número definitivo, no podrían haber permanecido en prisión más de 50 semanas. En el ejemplo sobre conocimiento común que hay en Wikipedia, parece que se trata de una isla en la que vive desde tiempos inmemoriales una población cuyo número no cambia nunca. El instante de sincronización lo da un Gurú externo que, aunque no les aporta nueva información, inicia el instante a partir del cual nadie tiene dudas de cuándo comenzó a existir un conocimiento común. Los isleños, son lógicos, pero humanos. Sin embargo, con los alienígenas nunca podremos estar seguros sobre si existirá otro método de liberación diferente e igual o más ingenioso que ellos fuesen capaces de descubrir. En ese caso habría que demostrar además que éste el único método de liberación que elegiría cualquier ser totalmente lógico.:)
La idea del conocimiento común, consiste en que si existe un dato A, todos conocen A y todos saben que todos conocen A, y todos saben que todos saben que todos conocen A, etcétera.
En este caso, todos los alienígenas saben que existen dos tipos de símbolos. Pero no saben si todos tienen este mismo conocimiento.
Supongamos que existen dos alienígenas (X e Y) con el símbolo Φ y los 98 restantes son Π. X sabe que hay al menos uno con Φ, porque ve a Y Y sabe que hay al menos uno con Φ, porque ve a X
Pero ninguno de los dos puede asegurar que el otro tiene este conocimiento: X no conoce su propio símbolo, así que no sabe si Y está viendo Φ o Π al mirarle. Si X supone que él es Π, desde su punto de vista, Y sería el único Φ. En este caso X no sabe si Y sabe que existen dos tipos de símbolos. Lo mismo le pasa a Y: no sabe si X sabe que hay dos tipos de símbolos.
Si me seguís hasta aquí, seguimos:
Vayamos a un caso algo más complejo, existen tres alienígenas (X, Y y Z) con el símbolo Φ, los 97 restantes son Π.
Pongámonos en el punto de vista de X. Él sabe que Y puede ver como mínimo a Z (que es Φ) y al resto de bichos (que son Π). Por lo tanto X sabe que Y sabe que hay dos tipos de símbolos. Y por supuesto X sabe que Z también lo sabe, porque ve como mínimo a Y.
Pero aquí empieza el verdadero barullo:
X no sabe si Y sabe que Z sabe que hay dos tipos de símbolos. Me explico:
X puede suponer que él es Π y que por tanto sólo hay dos bichos que son Φ (Y y Z). En esta situación, Y sólo vería a un bicho con el símbolo Φ (que sería Z) y por lo tanto Y no sabría si Z sabe que hay dos tipos de símbolos.
Repito: X no sabe si Y sabe que Z sabe que hay dos tipos de símbolos.
Esto mismo podría expandirse hasta el caso de 27 bichos con el símbolo Φ.
Por eso cuando el carcelero afirma delante de todos que hay dos tipos de símbolos, se consigue el conocimiento común: Todos saben que todos saben que todos saben…que existen dos tipos de símbolos.
¿Me explico?
Me he lo ha pasado genial leyendo, aunque imaginaba por dónde iban los tiros porque conocía un acertijo con una solución similar:
En un convento de clausura se desata una enfermedad cuyo único síntoma es un punto rojo en la frente. Los monjes no se pueden comunicar entre sí de ninguna forma, y no hay nada en que se puedan ver reflejados. Sólo una vez al día todos juntos coinciden en el comedor.
El abad en una de las comidas, les pide a todos los infectados que por favor se marchen para que no haya más contagios, pero que ni él ni nadie puede indicar quienes son.
El día siguiente trancurren con normalidad, pero al tercero no todos los monjes aparecen para comer. ¿Cuántos y porqué?
Añado: Desde que habla el abad y se marchan los monjes ninguno se contagia o se cura de la enfermedad. Y se da por hecho que hay al menos un infectado, aunque no está de más pensar que pasaría si no hubiese ninguno…
Muy bueno, aunque si uno fallaba en el razonamiento lógico todos los demás prisioneros serían devorados, cosa que Pedro aclaró en la historia diciendo que los prisioneros de Loobe tenían una capacidad de raciocinio superior incluso para su propia especie
La historia es de lógica aplastante. Lo que más me “rechinea” es que la frase de Larnermaundol: ““Como puede ver su Bajeza en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes: Φ o Π” haya mas información que la que ya sabían los presos: que en su cabeza había tatuado uno de los símbolos Φ o Π, cuando consideramos un {número de presos Φ} >1. Que lo dijera Larnermaundol arranca el proceso inductivo para el caso de un solo preso con tatuaje Φ, que en este caso único no podía saber dicho preso por sus propios medios que tenía tatuado un Φ o un Π. Un buen entretenimiento para esas horas del caluroso verano.
Analizando mas la situación reo que entendi el concepto, pero ahora la duda que me surge, si yo tengo tatuado Ø, entoces cuento 26 compañeros con Ø, por lo que ellos tambien cuentan 26 Ø, a diferenci del resto que cuenta 27 Ø.
Ahora bien, de igual forma algunos tambien podriams contar 73 # (si tenemos tatuado. Ø) y otros contarina 72 # (si tienen tatuado. #).
Por tanto, su inteligencia haria que por sentido comun elijan esperar la menor cantidad de semanas.
Pero que pasaria si la relacion fuese de 50 y 50? Todos los 100 coincidirian en el mismo dia? (Si yo soy Ø contaria 4C Ø y si fuese # tambien contaria 49 #).
@Kalyra: Tu razonamiento es correcto, sólo que el enunciado del problema no es como tú piensas.
Cito: “Para salir de Loobe en el transporte y obtener la libertad, sólo hacía falta responder a una pregunta correctamente: ¿cuál de los dos símbolos tienes tatuado? Sólo había dos respuestas correctas: Φ o Π, y si el reo proporcionaba una respuesta incorrecta, era ejecutado inmediatamente por su estupidez.“
Fíjate la pregunta clave para salir: “¿Cuál de los dos símbolos tienes tatuado?“. Es decir, los prisioneros sí saben que hay dos y sólo dos tipos de símbolo. Por tanto, lo único que necesitan es un “día D” para empezar a contar. Y eso es lo que les proporciona el estúpido carcelero cuando dice que “Estamos a plena capacidad“. Hay los prisioneros que hay, y ya no va a haber más. Eso es suficiente para que comience el razonamiento inductivo: Todos saben por fin los que son, y todos saben que los demás saben que son los que son, etc…
Vamos, es mi opinión… pero si no, ya sabes… ¡Salsa de Roquefort al gusto, por favor! Al menos, que el alienígena que me coma luego huela mal…
Si el sentido comun es el menos comun de los sentidos, la inteligencia comun …. El carcelero podria estar tranquilo en una carcel comun, o en un instituto
Macluskey, tal vez estés en lo cierto y yo haya entendido mal. De todas formas el problema al que yo me refería no es que no sepan que sólo existen dos tipos de símbolos. Puede suceder que, existiendo dos tipos de símbolos posibles, todos tengan el mismo símbolo dibujado. La clave está, a mi parecer, en la frase “Como puede ver su Bajeza en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes: Φ y Π”.
Al expresar abiertamente que “pueden verse los dos símbolos”, queda claro que como mínimo hay un símbolo de cada tipo. A partir de ese momento todos saben que todos saben que como mínimo existe un Φ y un Π entre ellos.
Sea como sea quería felicitar a Pedro por entretenernos con estos pasatiempos.
¡Saludos a todos!
Me respondo…si la relacion es 50-50, el mismo dia en que todos se presenten, sera la semana 50, y por lo tanto nadie se habra presentado en la 49, por lo que todos sabrian que la relacion es 50-50, por lo que mi tatuaje pertenece al grupo que sume 49.
Por otro lado, entiendo que el dato fundamental como sa ha dicho, es el dia para iniciar el conteo, porque aun no sabiendo si existen los dos simbolos tatuados, en el caso de que todos fueran iguales, todos se presentarian tambien en el mismo dia, pero en la segunda semana , y por lo tanto mi tatuaje seria igual al del resto, ya que nadie se hubiese presentado en la primera.
@Kalyra, yo creo que tu razonamiento es correcto, y que posiblemente Pedro no debió escribir “¿Cuál de los dos símbolos tienes tatuado?” sino “¿Qué símbolo tienes tatuado?”. Pienso esto porque Pedro señala que la calve del asunto es el “conocimiento común” y no la elección de un “Día D”.
Lo que ocurre a mi entender es que la hipótesis de que no sepan que hay dos símbolos es innecesaria. Me explico: pueden saber todos que efectivamente hay dos símbolos. Pero eso no significa que un alienígena en particular sepa que los otros saben que hay dos símbolos. Es decir, el carcelero les da la información que hace falta, ahora ya saben que todos saben y es cuestión de esperar….. Pero me surge la pregunta: ¿todos ellos saben que todos son lógicos perfectos? De no ser así hay una hipótesis injustificada…… El problema también lo he visto planteado como “la isla de los lógicos perfectos” y claro: ahí todos sabían que todos eran lógicos perfectos…
Estoy leyendo algunos comentarios y opino que el principio de “conocimiento común” aquí se aplica solamente para iniciar el proceso inductivo, es decir 1 preso Φ y 99 presos Π. En este caso el preso Φ no tiene manera de saber que él es Φ si no sabe que existen Φ’s y Π’s. Para cualquier otro valor de presos Φ > 1 (p.e. 27 Φ’s y 73 Π’s) ya saben todos que hay Φ’s y Π’s, pero se aplica astutamente el proceso inductivo que se apoya en la validez de Φ = 1, Φ =2. . . Φ = 26 es decir en la validez del proceso para los casos anteriores al valor de Φ considerado (en general n=1, n= 2, . . . n= N, n= N+1). Este procedimiento, si se cumple, es válido para cualquier valor de Φ y Π con Φ + Π = N, por lo que el número de presos puede ser cualquier número natural.
Y añado. No me gustaría estar en el lugar de los presos de dicha cárcel puesto que aún con todo el “conocimiento común” que se aplique y aunque sea correcta la base teórica contada, la implementación práctica del algoritmo no está clara, puesto que no se puede empezar con el supuesto del caso Φ =1, cuando estamos en un caso Φ >>1. Espero que el “profesor” ponga orden en la clase.
A mi me parece que el argumento de que el carcelero dió un dia “D” no es completamente cierto, dado que siendo tan inteligentes los prisioneros pudieron implementar una estrategia para crear el día “D”, como: Un alienígena busca un lugar único y especial en el planeta, se va a ese lugar todos los días a la misma hora y espera a que tarde o temprano alguien note su plan o se le ocurra, entonces serán más y más hasta que el día que lleguen 100, ese sea el día “D”; o cualquier otra……………..
Fallo monumental, también afirma que hay 23 con un símbolo y 73 con otro, que pasa, ¿que eso no lo escuchan?
Creo que la clave para esto funcione, es que se traslado a esa carcel a los 100 prisioneros a la vez (y se les tatua a todos el mismo dia), y nadie sale ni entra desde entonces hasta que consiguen salir. Ya que de otro modo, cada dia habria un numero diferente de presos y no podrian hacer todo el razonamiento para salir.
Ah, y otra cosa importante es que YA les han dicho que hay dos tipos de tatuajes. Por lo tanto en el caso Φ =1, si te dicen que hay dos simbolos, y todos los demas tienen el mismo, tu tienes el otro por narices.
Tunder no parece necesaria la hipótesis de que todos sean tatuados el mismo dia(¿porque?), lo que si es importante es que todos sepan que ese es el máximo de capacidad de la cárcel que se supone con la hipótesis de que todos ven los tatuajes de todos(pero también esta el detalle de que todos sepan que todos ven los tatuajes de todos)……
Creo que los presos ya saben que sólo hay dos tipos de símbolos. No es este el dato clave. En cuanto al día de partida, comprendo que sin hablar es difícil ponerse de acuerdo, pero aún así, es un problema secundario.
Están en la cárcel y tienen todos los datos menos uno:
Según mi lectura del problema, lo que no saben es cada cuánto tiempo viene la nave a preguntar.
Tras la visita y las explicaciones del carcelero, ya saben todos que la nave viene CADA SEMANA. Con este dato tienen que contar tantas SEMANAS como símbolos iguales vean en la nuca de los demás, de acuerdo con el razonamiento expuesto.
Sin este dato, no saben si contar 27 días, 27 meses o 27 segundos. Seguro que con la inteligencia de estos bichos, ya sabían que había que contar hasta 27. Lo que no sabían es QUÉ.
“Creo que los presos ya saben que sólo hay dos tipos de símbolos. No es este el dato clave. En cuanto al día de partida, comprendo que sin hablar es difícil ponerse de acuerdo, pero aún así, es un problema secundario.”
Yo creo que solo están esas opciones porque lo de que tarda semanas en llegar la nave les da igual, simplemente cuentan las veces que viene. Además Pedro ya ha remarcado que lo importante del problema es la frase: “Como puede ver su Bajeza en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes: Φ y Π”.
Para resolver el problema es necesario que hable Larnermaundol, bien en el caso de que Φ sea mucho mayor que 1 para poner un día a partir del cual contar o bien si Φ=1 para que este sepa que tiene ese símbolo.
Teniendo en cuenta que el problema se remarca como de “Conocimiento común”, parece que la cuestión debe ser el momento en que todos saben que hay al menos un prisionero con cada símbolo, dando inicio al proceso inductivo. Sin esa afirmación, no se puede establecer que “todos” serían capaces de establecer la cadena lógica, puesto que en el caso de que sólo hubiese un alienígena con el símbolo minoritario, éste sería incapaz de conseguir la información de si su símbolo es diferente del de los demás, invalidando todo el razonamiento. El momento clave es cuando “todos” saben que los demás saben que saben… etc, que es la definición de “conocimiento común”.
Lo que a mí me intriga es si hay alguna lógica por la cual el Carcelero Mayor debería haber esperado al prisionero 25 para morir.
He interpretado que los presos no ven venir la nave, pero claro, esto es sólo una interpretación.
Los datos que oyen de la conversación son: La existencia de dos símbolos (entiendo que esto ya lo saben). Que la nave viene cada semana (si no ven venir la nave, esto es clave), y que la cárcel está al completo.
Creo que el dato de que la cárcel está al completo no es tampoco definitivo. Basta observar que semana tras semana no hay nuevas incorporaciones y salen igual las cuentas.
El momento de empezar a contar semanas es quizá la única alternativa que me hace dudar. Suponiendo que ven venir la nave, sólo deben ponerse de acuerdo para que todos sepan que todos han empezado a contar. Alguna comunicación debe haber entre ellos para dar “el pistoletazo de salida”. Si no pueden comunicarse en absoluto, deben interpretar que “algo” es el principio de la cuenta: Puede ser la visita del Virrey, como también puede ser un eclipse de sol, pero no los comentarios hechos por el carcelero.
Pedro ha remarcado la frase “Como puede ver, en sus nucas hay dos tipos de tatuajes”… para despistar.
Creo que os estáis liando demasiado con cuál es el dato clave.
Tal y como se recalca en el texto la frase clave es:
La boca del Virrey se curvó hacia abajo, abriéndose además levemente para revelar múltiples hileras de dientes afilados como cuchillas y rezumantes de babas. “Como puede ver en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes”, repitió con voz socarrona, mofándose de Larnermaundol.
Pero os confundís al pensar que lo importante de esa frase es “hay dos tipos de tatuajes”. No, no, no. Lo importante es “Como puede ver”. Es decir, tras esta frase queda claro que además de haber dos opciones a tatuar, cada opción se da como mínimo en un preso.
Al decir esto ante todos, todos saben que todos saben que como mínimo hay un tatuaje de cada tipo.
Este problema existe en muchas variantes y lo interesante, aparte del razonamiento a seguir para descifrar cuál es el símbolo de cada uno, es el concepto de conocimiento común.
Sin ir más lejos, en el link que puso Pedro a wikipedia, viene otra versión de este tipo de problemas y la explicación.
Aún así puedo estar equivocada y estaría bien que Pedro diera una explicación final.
¡Espero haber servido de ayuda!
Saludos
Me parece que todo lo que se especula sobre la carcel llena, que la nave viene cada semana y que existen 2 simbolos es correcto desde un punto de vista del sentido común, pero del punto de vista matemático creo que la clave está en afirmar la existencia de 2 simbolos descartando que un tercer símbolo esté en mi nuca y sea yo el único portador. Logicamente sigo especulando, je, espero que pronto pedro nos alumbre.
Como hace el primer prisionero para escapar? El razonamiento teórico es excelente para el prisionero N, pero el primero? como sabe que simbolo tiene tatuado en su nuca?
Juan Jose: Tal vez no entendiste bien el teorema 1, fijate que el carcelero dijo que se podian ver 2 simbolos en la nuca de los reclusos, es decir que necesariamente hay al menos una nuca con un simbolo y otro nuca con el otro, si tu ves que los demas 99 reclusos tienen el mismo simbolo, puedes concluir sin temor a equivocarte que tu tienes el otro, la clave esta en que el carcelero dijo que se podian ver los dos simbolos.
Mi interpretación: 1- Los prisioneros saben previamente que hay dos símbolos porque la pregunta de liberación hace mención a ello. Supongo que conocen el sistema de liberación o no tendría sentido que el carcelero lo explicase estando ellos presentes. 2-Cada uno de los prisioneros sabe de antemano que ambos símbolos están presentes (hay en el peor de los casos 26 símbolos del que se repite menos desde el punto de vista de un prisionero). Por lo tanto, lo único que proporciona el carcelero es una referencia externa común para el tiempo. A partir de ahí, cada prisionero sabe que tiene que esperar 27 o 28 semanas para salir. Sin saber si entraron simultáneamente o si todos los que estaban dentro dispusieron de la información al mismo tiempo (con lo que hubiesen podido efectuar el razonamiento a partir de la fecha de información, independientemente de que llegasen más reclusos), lo único que necesitaban era ese ’0′ en el origen de tiempos.
La pregunta de Juan José no es trivial, puesto que no estamos en el caso 1 Φ y 99 Π, si no que estamos en el caso de que los presos vean una de estas dos posibilidades: 72 Π y 27 Φ (caso de que sea un preso Π el que se cuestione su tatuaje) o bien 73 Π y 26 Φ (caso de que sea un preso Φ el que se lo pregunte). Esta pregunta se la hacen todos los presos. A continuación este preso se “retira” del problema , a la espera de que los demás reiteren la cuestión, hasta que a la 25 ava semana quedasen 1Φ y 73 Π, con lo que empezarían a abandonar la prisión a la semana siguiente. Ello significa que cada preso que se “retirara” a la espera de lo que hicieran los demás debería ser un preso Φ en todos los casos, lo cual es muy improbable matemáticamente . Conclusión: aunque es verdad que el proceso inductivo propuesto, se cumple empezando en los casos con 1 Φ y 99 Π, 2 Φ y 98 Π, . . . 27 Φ y 73 Π, que siempre se sustenta en la actuación del preso anterior para tomar una decisión, no veo algoritmo lógico capaz de implementarse, apoyándose en el “proceso inductivo” y el principio de “conocimiento común” (ni en ningún otro procedimiento) que resuelva este problema.
En mi opinión, el desencadenador es saber que sólo existen dos símbolos ya que, aunque la pregunta para poder salir era cuál de los dos símbolos tienes tatuado, esta información no era común, sólo la sabía el que intentaba salir y, para bien o para mal, no volvía para poder compartir dicha información.
En cualquier caso, ha sido una gran historia y espero con impaciencia más de éstas…
Un saludo
Marocan, no entiendo muy bien lo que quieres plantear, pero estas equivocado donde dices que a la 25ava semana quedan 1/73 presos,ten en cuenta que no se van yendo de a uno, sino que se van los 26 Φ DE UNA SOLA VEZ, y esto sucede porque si no se ha ido ninguno hasta la semana 25, la unica conclusion logica posible es que haya 26 presos con el simbolo Φ lo que significa que si yo soy capaz de contar a 25 presos con ese simbolo, se que yo soy el numero 26. Como todos los presos vimos lo mismo, los 26 presos con el simbolo Φ nos vamos JUNTOS en la semana 26. Ahora, cambia el 26 por 2 y fijate en el teorema 2, de echo cambialo por n y si tienes ganas continua planteando teoremas hasta n y podras ver que siempre que ewsten deacurdo en el momento cero, vana poder salir
@Andrés ¿Cuál es la respuesta del acertijo que comentaste?
Suponiendo que los alienígenas son capaces de pensar más de una vez por semana, la solución al problema no se sostiene. El Teorema 2 falla en eso. Si sólo hay dos prisioneros (yo uno de ellos) con el símbolo Φ y el primer día veo que el otro Φ duda para escapar, se que es porque yo tengo el otro Φ, con lo que el primer día puedo salir, al igual que él (porque me habrá visto dudar en primera instancia). En el caso de tres Φ, lo mismo. No es necesario pasar una semana cada vez, a no ser que previamente se hubieran puesto de acuerdo para hacerlo así e ir coordinados, aunque ello no es posible por definición. O sea que al faltar esta coordinación nunca podrían tener la certeza de qué símbolo tienen. Vaya, ahora que releo el texto veo que es un poco caos. Espero que haya al menos un alienígena suficientemente capacitado como para entenderlo.
Nemo, en referencia al acertijo de Andrés, se me ha ocurrido una idea: - Si quedase un sólo león, se comería la oveja. - Si quedasen dos leones, ninguno se la comería (significaría quedar en una situación 1-1, por lo que sería devorado al instante). - Si quedasen tres leones, los tres irían como locos a por la oveja ya que saben que en la situación 2-1 ninguno de los otros dos se lo comería.
Basándome en esta idea, supongo que la situación final de la isla sería dos leones y una tranquila oveja.
(Que Andrés me corrija si me he equivocado).
Un saludo,
boolean: La pregunta es si algún león se come la oveja.
“- Si quedase un sólo león, se comería la oveja. – Si quedasen dos leones, ninguno se la comería (significaría quedar en una situación 1-1, por lo que sería devorado al instante). – Si quedasen tres leones, los tres irían como locos a por la oveja ya que saben que en la situación 2-1 ninguno de los otros dos se lo comería.”
Hasta ahí el razonamiento es correcto, pero la conclusión: “… la situación final de la isla sería dos leones y una tranquila oveja” es erronea.
Si quieres te digo la respuesta , pero estás tan cerca…
Esa es la situacion final, pero y la inicial? Yo creo que ningún león “empezaría” a comer, pues podría ser devorado inmediatamente.
Continúo con el de los leones:
Si quedasen tres leones, uno de ellos se comería a la oveja porque sabría que luego, quedando dos leones, ninguno se atrevería a comerse la oveja.
Si quedasen cuatro leones, ninguno se comería a la oveja porque sabría que cuando quedasen tres, uno de ellos se lo comería por el razonamiento anterior.
Si quedasen cinco leones, uno de ellos se comería a la oveja porque sabría que luego, cuando quedasen cuatro…
Es decir, con un número par de leones hay una situación de equilibrio y ninguno se come a la oveja, porque lo que los 100 leones comerán hierba toda su vida.
Como ya han comentado varios, la clave está en que hasta el comentario del carcelero todos saben que hay dos símbolos, pero no todos saben que todos saben que todos saben (etc)… que hay dos símbolos.
Como ya ha hecho Kalyra, pongamos un ejemplo, pero esta vez de arriba hacia abajo:
Supongamos que hay 100 individuos, de los cuales 95 tienen Φ y 4 individuos (A, B, C y D) tienen π.
A sabe que hay dos símbolos porque puede ver π en B, C y D A sabe que B sabe que hay 2 símbolos, porque: A sabe que B puede ver π en C y D (no puede asegurar que puede ver π en A, porque no sabe lo que tiene)
A sabe que B sabe que C sabe que hay 2 símbolos, porque: A sabe que B sabe que C puede ver π en D (A no puede asegurar que C ve π en A y no puede asegurar que B puede asegurar que C ve π en B)
A no puede asegurar que B sabe que C sabe que D sabe que hay 2 símbolos, porque: A puede suponer que A es Φ. A puede suponer que A es Φ y suponer que B supone que es Φ A puede suponer que A es Φ y suponer que B supone que es Φ y suponer que B supone que C supone que es Φ. Desde el punto de vista de C, visto a través del punto de vista de B, visto a través del punto de vista de A, D no tendría ningún π que mirar, luego podría no saber que hay dos símbolo porque no hay visto ningún π.
Es decir, A puede pensar que B puede pensar que C puede pensar que D puede pensar que no hay ningún π…
Desde el momento en que el carcelero dice que se puede ver que hay dos simbolos, todos saben todo (lo que saben y lo que los demás saben que saben, hasta el grado de profundidad infinito)
@Shevek: No, lo siento, pero la definición del problema no es como tú dices. Los prisioneros SÍ saben de antemano y todo el tiempo que hay dos y sólo dos símbolos. Fijaos en el enunciado de la pregunta que deben contestar para salir, y que tiene que ser la misma para todo el mundo: Copipego del texto de Pedro (que puso en negrita para que no nos despistáramos): ¿cuál de los dos símbolos tienes tatuado?.
Según se cuenta en el texto (y además por pura lógica) los prisioneros tienen que saber la forma de salir de la prisión de antemano. Es decir, al ingresar en la prisión se les dará el uniforme, el horario de comidas, y se le dirán las normas de la prisión: No comunicarse con otros, no pegar al carcelero… y cuál es la pregunta a resolver para salir. Si no supieran este dato, la cosa no tendría sentido… ¿se iban a presentar a superar una prueba de la que no tenían ni idea de cuál era, sabiendo que si fallaban serían la cena de sus carceleros…? Luego sí saben la pregunta, todos la saben y saben que implica que sólo hay dos símbolos. Esa no es la cuestión. (creo).
En mi opinión la clave está en que el carcelero da a los presos la palanca con que Arquímedes quería mover el mundo: El día 0, el día en que todos pueden empezar a contar. ¿Por qué? Porque ahora saben que están a plena capacidad, y no va a venir un nuevo preso que no sepa que… ¡los demás están contando!
En este punto, y tras tanto onanismo mental, yo echo en falta que el Gran Jefe intervenga en la amable discusión, ahora que desgraciadamente para él sus vacaciones han terminado, y nos ponga a cada uno en nuestro lugar. Y repito: ¡Me pido salsa de roquefort!!
Saludos
Mac, me resisto a entrar en escena, porque lo más útil de todo este juego no es que la gente llegue a la conclusión correcta, sino que razonen, si es posible juntos, y que haya un debate inteligente… algo que está sucediendo muy bien
Eso sí, creo que no has interpretado correctamente el comentario de Shevek –o él no ha sido suficientemente claro, no lo sé–. Me explico.
En el cuento se explica que todas las prisiones tienen una manera de salir y, aunque no se dice explícitamente, creo que se entiende que los prisioneros conocen la manera de salir, tanto por el planteamiento del sistema como por el comportamiento de los prisioneros, que saben de antemano qué pregunta les van a hacer. De modo que la clave no es que sepan que existen dos tipos de tatuajes — eso ya lo saben, es parte del problema que deben resolver.
Lo que dice Shevek, y dijo Kalyra antes que él, es algo diferente: no es que haya dos símbolos posibles, es que los dos símbolos están presentes, tatuados sobre algún alienígena. Es decir, que al menos uno tiene pi y al menos uno tiene phi. Tanto Kalyra como Shevek dicen algo muy profundo que merece la pena leer un par de veces… y hasta ahí puedo decir
Bueno, vamos por partes.
He echado de menos en los comentarios esta vez intentar descubrir los nombres de los matemáticos en que se basan los nombres de los bichos. Dos los tengo claros, Boole y Euler, pero Torblednam Tioneb, ¿quien narices es?
Por otro lado, vamos con el acertijo. Coincido con Shevek, en que la clave es saber que hay dos símbolos, pero creo que la explicación no es del todo acertada, a ver si lo explico de un forma un poco más simple.
En primer lugar, que la prisión esté llena es irrelevante, por lo menos para los prisioneros que están en ese momento. ¿Por qué? Porque a los bichos les basta con fijarse sólo en sus compañeros que ya estaban y aplicar el mismo método que nos muestra Pedro, ignorando lo que hagan los nuevos. Lo único que tienen que hacer, a mayores, es sumar los símbolos de los nuevos a los de ellos. Si tan listos son, supongo que podrán reconocer a los nuevos de los viejos, ¿no?
Bien, sigamos. Entonces nos queda la afirmación de que hay dos símbolos en ese momento. Ahí está la clave. En el establecimiento, con toda seguridad, de que hay dos símbolos.
Antes de esa afirmación, sólo saben que PUEDE haber dos símbolos, no que los haya. Imaginemos cuando inauguran la prisión, sólo hay uno, la pregunta puede ser la misma, pero solo habrá un símbolo. O en el caso de que esté llena, tener todos el mismo. No se dice en ningún lado que tiene que haber los dos símbolos (hasta que el carcelero abre la bocaza), si no que hay dos opciones a tatuar.
Supongamos que un preso sólo ve en los demás símbolos pi. Le da igual llevar un día o mil años. Sabe que todos los demás tienen pi, pero, ¿y él? No puede saber que lleva él, porque nadie le ha dicho que tiene que haber pi y phi a narices, sólo que puede. Pero cuando sabe que están los dos símbolos, ya puede salir y decir la respuesta correcta. Lo mismo es aplicable cuando hay más de un pi.
Obviamente, a una mala, después de mil años y suponiendo que lo que le tatúen a cada bicho cuando entra tiene un probabilidad del 50-50, siempre puede tirarse a la piscina con que lleva un phi, con un margen de error inversamente proporcional a su paciencia XDD
Lo malo sería para los nuevos, creo que, sin pensarlo mucho, no tendrían opción a salir con garantías. Eso podría dar para otra pensada, pero es muy tarde y bastante tengo con intentar razonar esto
Un saludo.
Pero, señores… Seguro que soy yo que soy torpe (que sí). Pero veamos:
Pedro: “…no es que haya dos símbolos posibles, es que los dos símbolos están presentes, tatuados sobre algún alienígena…”.
Battosay: “Antes de esa afirmación, sólo saben que PUEDE haber dos símbolos, no que los haya…”.
En realidad son el mismo argumento… sólo que, lo siento, no es válido.
Sólo sería válido si hay uno y sólo uno con uno de los dos símbolos. Como hay veintipico con un símbolo y setentaytantos con el otro símbolo, es evidente hasta para mí que Sí que hay al menos un símbolo de cada. ¡Veintiséis, en el caso que menos!. O sea, que por ahí, no. Todos los prisioneros saben que hay dos símbolos posibles, porque se lo han dicho a su llegada a la cárcel, y saben que ambos están representados, porque tienen ojos y lo ven… no hay razonamiento lógico que hacer para llegar a esta conclusión: Está en el enunciado.
Luego:
Predicado 1: Los prisioneros saben que hay dos y sólo dos símbolos posibles.
Predicado 2: Los prisioneros saben que ambos símbolos están presentes, porque lo ven, simplemente porque lo ven.
¿Qué les impide comenzar la inducción? Que nadie sabe cuándo empezar a hacerla. Sólo eso. Todo el resto de la información necesaria la tienen:
a) Todos saben que sólo hay dos símbolos (se lo han dicho en el recibimiento a la cárcel, y no tiene el menor sentido que se cambie la pregunta en ningún momento, luego es la misma desde el principio, y todos conocen las reglas, y todos saben que todos conocen las reglas, etc).
b) Todos saben que hay al menos uno (¡al menos 26!) con cada símbolo, porque lo ven (se supone que no son ciegos, porque entonces tampoco podrían hacer ningún tipo de razonamiento, al estar prohibida la comunicación). Y como ninguno es ciego, todos saben que todos ven al menos 26 (o 27, tanto da) prisioneros de cada símbolo.
Insisto (perdón por ponerme pesado): ¿Qué les impide empezar a contar semanas? Que no pueden ponerse de acuerdo en el momento exacto en que hacerlo. ¿Qué nueva información vital da el carcelero que no conozcan? Estamos a plena capacidad. ¡Ahora pueden empezar a contar todos con total seguridad que en la semana diez no va a aparecer un nuevo prisionero que no sabría que están contando, ni por dónde… ¿Qué hacemos entonces? Parar, seguir… no sé. Igual pueden de todos modos seguir contando, no lo he pensado.
Pero vamos, que lo que los dos símbolos, en esta caso concreto, no es cierto… me parece. Sí lo es en el caso de los filósofos de ojos azules y grises, pues nadie las ha dicho que sólo hay dos colores, así que los podría tener negros o verde botella. No aquí.
Mmmm. ¿¿Quizá en el enunciado sobre el “dos” de la pregunta??? Entonces estaría de acuerdo.
Precisa discusión. Me rejuvenece… Tenía la lógica un poco oxidada, pero sólo se trata de resucitar el cálculo proposicional de la Carrera (que para algo fue la asignatura que más me gustó de todas).
Saludos a todos. Y gracias por vuestros comentarios.
…… patada a seguir…….
Macluskey, yo pensaba igual que tú en un principio pero llegó un momento en el que leí la frase adecuada y de repente se me encendió la bombillita. ¡Y qué satisfacción! jajaja
Seguramente esto sería más sencillo de explicar y de entender haciendo un dibujo
Es evidente que todos saben que ambos símbolos están tatuados, porque lo ven. El problema es que tú te quedas en que cada uno sabe eso. Hay que ir un paso más allá. No me basta con saber esto para seguir mi plan. Necesito saber si los demás también lo saben. Porque si no tenemos todos el mismo conocimiento y uno no ha hecho la misma deducción que yo…¡me falla todo el plan!
Necesito SABER que los demás tienen mi mismo conocimiento y además que los demás sean conscientes de que yo SÉ que ellos tienen ese conocimiento. Esto me asegurará que todos haremos las mismas deducciones y actuaremos de acuerdo al mismo plan. Y esta situación no se da hasta que el carcelero dice en voz alta que los dos símbolos están tatuados en sus nucas.
Te invito a releer mi primer comentario detenidamente (muy detenidamente y haciéndote tu propio croquis mientras lo lees) o el comentario de shevek, que viene a decir lo mismo (más claro que yo). Repito, leélo detenidamente y desmenuza cada frase porque es algo enrevesado y además yo no me explico especialmente bien :s
¡Estoy encantada de encontrar gente con la que debatir estas cosas!
¡Suerte!
Ay, por cierto…si te fijas en el enunciado, el virrey no llama la atención al carcelero tras decir la frase “Estamos a plena capacidad”. Ni los alienígenas sonríen maliciosamente al oír esto. Es después de la siguiente explicación cuando el virrey le hace ver que ha cometido un error y los demás sonríen.
Creo que en el enunciado está bien indicado que el error se comete al afirmar que “pueden verse ambos símbolos tatuados”. Fíjate en que el virrey no sólo le llama la atención tras ese párrafo, sino que además repite la frase al carcelero con tono burlón.
No creo que el problema sea el número de presos en un momento dado. Como último recurso, si el número de presos varía durante el proceso, siempre se podría empezar a contar desde cero, ¿no?
Está claro como comentáis, que una de las claves es que descubren que los dos símbolos están presentes. En caso contrario, por ejemplo, 100 con Φ y 0 con Π no habría manera de que lo supieran. Todos se preguntarían si serían los únicos que llevaban el otro símbolo.
Alguien comenta que dice la cantidad de cada símbolo. Es incorrecto. [...]se dieron la vuelta todos a una, mostrando sus espaldas a las autoridades y revelando sus tatuajes: 27 estaban marcados con Φ y 73 con Π.[...]
A partir de ese momento, perfilan su estrategia: a) El que vea 26 presos con la marca Φ esperará a la semana 27 y sabrá que su símbolo es Φ sin no hay ningún tipo de movimiento (en su nuca está el símbolo Φ y no lo sabe). b) El que vea 27 presos con la marca Φ esperará a la semana 28 y sabrá que su símbolo es Φ sin no hay ningún tipo de movimiento (en su nuca está el símbolo Π y no lo sabe).
Entonces llega la semana 27 y los presos con la estrategia a) se van a la entrada del transporte. Los presos con la estrategia b) ven como se han ido los 27 presos y esperan a la siguiente semana, la 28, para ir al transporte sabiendo que son del grupo Π.
Si hubiera 50 Φ y 50 Π la cosa estaría jodida para los presos.
¡Qué discusión más apasionante y, neurológicamente, qué beneficiosa!… Bueno, voy a intentar resumir de forma ordenada lo que sabemos.
Predicados contenidos o deducidos del enunciado.
P01: Las normas generales de la prisión no han cambiado en nigún momento.
P02: A los prisioneros se les comunican las normas generales de la prisión a su llegada.
P03: La forma de ser liberado forma parte de las normas generales.
P04: P01xP03==> P04: La forma de ser liberado de la prisión no ha cambiado en ningún momento.
P05: P02xP04==> P05: Todos los prisioneros conocen la forma de ser liberado.
P06: La pregunta, que todo preso conoce, para obtener la liberación es “¿cuál de los dos símbolos tenéis tatuado?. Ergo los presos saben que el número máximo de símbolos presentes es dos. Por tanto, Max(s)=2.
P07: P05xP06==> P07: Todos los presos saben que [Max(s)=2] = 1 (es cierto).
¿Hasta aquí bien? Prosigo.
P08: No hay ciegos entre los prisioneros. Cierto: esto no se dice explícitamente en el enunciado, pero si admitimos que pueden haber ciegos entonces todo el resto del enunciado y de la solución carecen de sentido, pues ese ciego no podría saber que hay cierto número de presos con Pi tatuado y no podría contar, etc. Si me decís que admitís que podría haber ciegos, entonces los prisioneros no podrían escapar nunca, al ser imposible realizar la inducción. Admitamos pues que no hay ciegos.
¿Aceptado? Si no, no tengo nada más que decir. Si sí, prosigo.
P09: Cualquier prisionero que no sea ciego puede ver que hay cierto número mayor de cero de PHI’s y cierto número mayor de cero de PI’s tatuados en las nucas de los demás prisioneros. Concretamente se dice en el enunciado que hay 27 PI y 73 PHI (o al revés, igual da), por lo que cada preso puede ver multitud de otros presos con cada uno de los símbolos, al no ser ciegos, claro.
P10: P09==> P10: Hay al menos dos símbolos diferentes efectivamente tatuados entre los presos. O sea, Min(s)=2.
P11: P08xP10==> P11: Todos los presos saben que [Min(s)=2] = 1 (es cierto).
P12: P07+P11==> P12: Todos los prisioneros saben que Min(s)=2 y que Max(s)=2. O sea, [Min(s)=2.and.Max(s)=2] = 1 (es cierto).
¿Algún problema hasta aquí? Sigo.
Ahora quedaría saber si todos los prisioneros saben que los demás saben que yo sé que el otro sabe que los demás saben y blah blah blah. Si cada preso hace individualmente el razonamiento anterior y llega a la conclusión de que P12=1 (o sea, P12 es cierto), y además todos ellos son lógicos perfectos, deben darse cuenta que todos y cada uno de los lógicamente perfectos presos han debido hacer el mismo razonamiento, y concluir que P12=1.
Lo mismo en español: Todos los presos saben que hay dos y sólo dos símbolos presentes en sus nucas, y todos los prisioneros saben que el razonamiento para llegar a esta conclusión está al alcance de todos ellos, y como son lógicos perfectos, todos lo han hecho.
O sea: Todos saben que P12=1, y todos saben que los demás saben que P12=1. Si no lo saben sería porque no son lógicos perfectos y todo el montaje se viene abajo nuevamente.
Igual algunos no estáis de acuerdo con este razonamiento. A mí me sale inevitable: es pura álgebra de Boole.
Sigamos, pues.
¿Cuál es la información que el estúpido carcelero da a los presos respecto al número de tatuajes, y que muchos de vosotros consideráis la información clave? Dice:
“Su Bajeza puede comprobar que hay dos tipos de tatuajes en sus nucas…”. Vamos a ver exactamente qué información les ha proporcionado:
C1: Al confirmar que sólo hay dos tipos de tatuajes, les ha confirmado que Max(s)=2. C1 es, pues, Max(s)=2.
C2: Al confirmar que efectivamente están representados los dos tipos de tatuajes, les ha confirmado que Min(s)=2. C2 es, pues, Min(s)=2
C3: La información suministrada por el carcelero es, pues, ni más ni menos que ésta: P3: C1xC2, o sea, C1.and.C2, o sea, [Max(s)=2.and.Min(s)=2] = 1 (es cierto).
¿De acuerdo? Veamos pues cuál es la información nueva que el carcelero ha suministrado a los presos. Será, naturalmente, la diferencia entre la nueva información (C3) y la que ya poseían (P12). Hagamos esa diferencia:
C13 – P12 == {[Min(s)=2.and.Max(s)=2] = 1} – {[Min(s)=2.and.Max(s)=2] = 1} Hacemos la diferencia y sale…. 0. Cero. Nada. Nuevamente, es pura álgebra de Boole.
No hay nueva información. El carcelero sólo ha proporcionado información redundante a los presos.
Sigo pensando que este caso no es el mismo que el de los lógicos de los ojos grises y los ojos verdes… aquí los lógicos sí saben que sólo hay dos tipos de ojos… perdón, de tatuajes, porque se lo han dicho al legar a la isla… mmm, cárcel. A todos ellos. Y todos lo saben.
Es más, cuanto más pienso en el asunto, más me parece que cuando su Vileza el Virrey fue a inspecionar la cárcel, debería estar vacía. No veo impedimento alguno para que los presos comiencen a razonar inductivamente y descontar semanas en el mismo momento que hubiera al menos dos presos con cada tipo de símbolo (lo que les daría a todos ellos la información clave de que Min(s)=2, pues todos podrían ver al menos a un preso con cada símbolo). Únicamente cada vez que viniera un nuevo inquilino habría que volver a empezar la cuenta, lo que es un poco tedioso, pero bueno.
En fin. Reconozco que tengo el Cálculo Proposicional algo olvidado. Espero vuestro despelleje de mis pobres argumentos… ¡Y perdón por el tostón!!!
¡Saludos!
Macluskey, el problema de tu razonamiento es asumir que como cada uno individualmente ha llegado a P12, todos saben que todos saben que los demás han llegado a P12.
¿Por qué puede haber diferencias entre lo que deduce cada uno por separado y lo que piensa que han deducido los demás? Porque cada uno sabe lo que ha visto, pero no sabe lo que han visto los demás (es decir, no pueden asegurar que todos sepan que todos hayan llegado a P09).
Con un ejemplo sencillo: Tú, como observador externo, sabes que hay 27 pi’s, mientras que cada uno de ellos realmente solo sabe que hay 26 pi’s (el pi restante lo tienen tatuado en la nuca y no pueden asegurarlo).
Cada uno de ellos, pongamos un individuo llamado A, podría pensar: “Vale, si yo tengo un phi, entonces realmente hay 26 pi’s, por lo que cada uno de mis compañeros solo verá 25 pi’s”
A tiene un compañero llamado B, por lo que A podría pensar: “Vale yo sé que hay 26 pi’s, porque yo soy phi, pero B, que solo ve 26 pi’s, puede pensar que él mismo es phi, y que por tanto hay 25 pi’s, y el resto de presos solo ven 24″.
Realmente B no va a pensar eso, porque está viendo que A es pi, y no phi, pero A NO LO SABE, porque NO SABE TODO LO QUE B VE, por lo que el razonamiento de A es válido, DESDE EL PUNTO DE VISTA DE A.
Si continuas el razonamiento hasta el nivel 26 (o reduces el número de pi’s disponibles) llegarás a la conclusión de que es posible que algún individuo piense que algún individuo piense que algún individuo piense, etc’c… QUE NO HAY PI’S.
Lo cual solo se soluciona cuando el carcelero pone en común para todos, que al menos hay un pi, momento en el cual todos saben que hay un pi(cosa que ya sabían) y que todos saben que todos saben que todos saben (así, hasta nivel 26) que hay 1 pi.
Un saludo.
PD: Este debate está siendo muy divertido, gracias a todos. ^_^
@Shevek: Tienes razón… Pero no la tienes. Me explico.
En mi razonamiento (es pura álgebra de predicados) no necesito saber si son 25 o 26… me basta saber que Min(s)=2. Y basta para ello con ver a un único preso con cada símbolo, lo que necesariamente ocurre en cuanto haya al menos dos presos con cada símbolo. El hecho de que haya 26 o 27 o 25 o 73 con un símbolo determinado es fútil. Basta con ver al menos a uno. Y todos ven al menos a uno con cada símbolo, luego P11 (que Min(s)=2 es cierto) lo saben todos… salvo que sean ciegos, claro.
Vayamos ahora a la clave de tu razonamiento: “…el problema de tu razonamiento es asumir que como cada uno individualmente ha llegado a P12, todos saben que todos saben que los demás han llegado a P12…”. No estoy de acuerdo que eso sea un problema, es más, es una consecuencia directa del enunciado.
Veamos: La clave del acertijo consiste en que todos los presos son lógicos perfectos, ¿cierto?. Sólo así son capaces de razonar inductivamente de la forma que magistralmente habéis expresado muchos, empezando por Pedro y acabando por ti, Shevek. Y entonces… ¿me estás diciendo que los presos son lógicos perfectos para darse cuenta del complicado algoritmo inductivo, pero que no lo son para llegar a P12 (sólo necesita lógica de primer orden)?
Hagamos esta vez un bonito silogismo aristotélico (nada de aburrido cálculo proposicional):
Universal positivo: Todos los lógicos perfectos llegan a P12 sí o sí.
Particular positivo: Todos los presos son lógicos perfectos.
Consecuencia: (Particular positivo): Todos los presos son capaces de llegar a P12.
Si hay algún preso A que piensa que hay algún otro preso B que no es capaz de hacer razonamientos que le permitan llegar a P12, entonces ese A está asumiendo que B no es un lógico perfecto… y entonces… digo yo…
¿Cómo va ese preso A a pensar que alguien como B, que es tan torpe que no es capaz de hacer un razonamiento tan sencillo como para que el inculto dinosaurio del Macluskey lo haya hecho, y por tanto llegar a P12… va a ser capaz de razonar inductivamente de forma tan complicada como para confiar en que razonará lo mismo que el preso A, que es un lógico perfecto?
Yo no veo otra alternativa, pero… estoy ansioso por oírlas.
…. patada a seguir ….
Saludos
Hola Macluskey,
Hace ya algunos días que leí la proposición de Kalyra, también explicada por Shevek, y desde entonces me he devanado bastante los sesos, porque es muy profunda la afirmación que hace.
A ver, el problema no está en que A dude de que B y cualquiera de los otros 99 no sean lógicos perfectos. Saben que todos son lógicos perfectos y que tienen capacidades casi infinitas de cálculo (son listos incluso para ser Alienígenas matemáticos, con eso ya está todo dicho). Así que por ahí no van los problemas.
A sabe que tanto B, como C, como (…), como Z, como AA, tienen los datos suficientes para hacer el algoritmo, porque ven 26 tatuajes como mínimo.
A también puede saber que B tiene la certeza de que tanto C, como (…), como AA tienen los datos suficientes para hacer el algoritmo, porque ven 25 tatuajes como mínimo.
A también puede saber que B tiene la certeza de que C tiene la certeza de que tanto D, como (…), como AA tienen los datos suficientes para hacer el algoritmo, porque ven 24 tatuajes como mínimo.
(…) 24 iteraciones más tarde (…)
Sin embargo, A no tiene la total certeza de que B tenga la certeza de que C tenga la certeza de que (…) de que Z tenga la certeza de que AA tenga la certeza de que dispone de los datos suficientes, porque ven 0 tatuajes como mínimo.
Por muy superior que sea una inteligencia, si no tienes los datos suficientes, no puedes resolver el problema. No se puede resolver un sistema de 2 ecuaciones de 3 incógnitas.
Si, yo también arqueé la ceja cuando leí la afirmación, y me costó mucho entenderla, y he tratado de refutarla porque no me llega a la cabeza que habiendo al menos 27 muestras de cada tatuaje, pueda haber alguien que en una cierta suposición dude que pueda haber 2 tipos distintos de tatuajes o no.
Si hay alguna forma de desmoronar esta proposición, creo que en lugar de centrarse en demostrar que los alienígenas piensan que todos los alienígenas ven los 2 tatuajes, más bien habría que tratar de demostrar que no existe posibilidad de que ningún alienígena no vea los 2 tatuajes, e iniciar el proceso de cualquier modo. Pero ya digo que me he devanado los sesos a base de bien, y no encuentro ninguna forma lógica de compensar esa falta de información.
Unai: “Si hubiera 50 Φ y 50 Π la cosa estaría jodida para los presos.” Esa cuestión ya lo planteó y resolvió Gabriel en #23. No estarían jodidos, porque cada alienígena vería 49 símbolos de un signo y 50 del otro. Todos, los 100, coincidirían en la semana 50, y la respuesta sería que tu símbolo es el que coincide con los otros 49 (no puede ser el símbolo que coincide con los otros 50, porque en ese caso significa que hay 51 símbolos de un tipo y 49 del otro, y el grupo de los de 49 se habrían largado la semana anterior).
@chamaleo: Gracias por tu comentario. Cito de él: “Si hay alguna forma de desmoronar esta proposición, creo que en lugar de centrarse en demostrar que los alienígenas piensan que todos los alienígenas ven los 2 tatuajes, más bien habría que tratar de demostrar que no existe posibilidad de que ningún alienígena no vea los 2 tatuajes, e iniciar el proceso de cualquier modo…”.
En mi comentario 63 ya traté ese tema, que es clave, en el predicado “P08: No hay ciegos entre los presos”. Si aceptamos que puede haber ciegos, entonces mi razonamiento no funciona… ni tampoco el original.
La única forma de comenzar el razonamiento inductivo (al llegar al teorema de dos prisioneros), es estar seguro de que todos los demás ven. Porque si hubiera la posibilidad de que hubiera ciegos entre los presos, entonces el teorema 2 no se cumpliría, pues se basa en que, si Yo (que no soy ciego) veo un solo símbolo PI, y ese tipo PI no se ha ido en la primera semana, entonces yo soy PI. Pero, claro, si ese tipo es ciego… Al garete con el teorema 2. ¿De acuerdo?
O sea, si hay ciegos no hay cáscaras. Luego no hay ciegos.
En una palabra, tienes razón en que la clave está en demostrar que todos pueden estar seguros de que todos ven al menos dos símbolos (y que por consiguiente todos saben que Min(s)=2).
Yo lo he demostrado.
Por otra parte, haces un razonamiento inductivo regresivo que es innecesario. Si todos saben que Min(s)=2 (que lo están viendo porque no son ciegos, vaya), y todos saben que todos tienen la misma información… (sí, porque no hay ciegos) no hay que hacer inducción de nada: Basta la lógica de primer grado.
… patada a seguir ….
Saludos a todos
PD: Rejuvenezco por momentos… yo creo que estoy a punto de reingresar en la década de los cuarenta… Gracias a todos.
podemos considerar que desde que fué publicado el artículo han surgido 2 tendencias: 1: Teoría del tiempo 0, que dice que el carcelero les dió un instante para contar. 2: Teoría del conocimiento faltante, que dice que el carcelero les dió un dato que les faltaba, sin ser este dato el tiempo 0.
Si aceptamos lo escrito anteriormente por Macluskey* y el hecho de que el error del carcelero se encuentra contenido en las palabras “Como puede ver en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes”, se podria descartar la teoría del conocimiento faltante, y si aceptamos comentarios previos que consideran a los alienígenas suficientemente inteligentes como para poder empezar la cuenta (y que todos sepan que se empezó a contar y que todos sepan que todos saben que se empezó a contar) se podría descartar la teoría del tiempo 0, con lo que queda una pregunta: ¿por qué seguía habiendo prisioneros en Loobe hasta que llegó el virrey?
*muchas personas tambien escribieron su opinion y deducciónes, pero creo que su comentario (mas o menos el 63) es el más descriptivo.
Uf…a ver, publiqué un comentario bastante largo, en un principio no dio ningún error pero no lo he visto publicado por ningún lado. Cuando he intentado publicarlo de nuevo me ha salido un mensaje informándome de que el comentario era duplicado.
:s no sé cómo hacerlo!
Jajaja, a ver si explicando de nuevo desde un caso más pequeño…
Hay seis prisioneros: A, B, C, D, E y F A, B y C tienen phi D, E y F tienen pi
Cojamos el punto de vista de uno de los phi. A, por ejemplo. Repito, imagina que tú eres A, este es sólo el punto de vista de A, las deducciones que sacaría A con el conocimiento que tiene.
1. A ve 2 phi y 3 pi ==> A sabe que como mínimo están los dos símbolos tatuados.
2. A no sabe si él mismo es pi o phi, así que:
2.1. A puede suponer que él mismo es phi ==> En ese caso B vería dos phi (A y C) y tres pi (D, E y F)
2.2. A puede suponer que él mismo es pi ==> En ese caso B vería un phi (C) y cuatro pi (A, D, E y F)
En el peor de los casos que puede suponer A (que es 2.2) B vería como mínimo un phi y cuatro pi. Por lo tanto A sabe que B sabe que están los dos tipos de símbolos tatuados.
3. A también sabe que B no sabe qué es él mismo. Así que A sabe que B hará las mismas suposiciones que ha hecho él. A se vuelve a poner en cada una de las dos suposiciones que ha hecho antes. Sabe que en cualquiera de los dos casos B SABE que están los dos símbolos tatuados. Pero…ahora A se pregunta a sí mismo ¿Sabe B lo que sabe C? Vamos a ver…
Dentro de cada uno de los dos casos que suponía A, él imagina las suposiciones que hará B. Es decir:
3.1. A supone que él mismo es phi
3.1.1. B supone que él mismo es phi (ojo, A se pone en el caso de ser phi y que B suponga esto) En este caso, A sabe que B deduciría que: C vería dos phi (A y B) y tres pi (D, E y F) Si esto fuera así, A podría afirmar con toda certeza que B sabe que C ve los dos símbolos tatuados.
3.1.2. B supone que él mismo es pi (A se pone en el caso de ser phi y que B suponga esto) En este caso, A sabe que B deduciría que: C vería un phi (A) y cuatro pi (B, D, E y F) Si esto fuera así, A podría afirmar con toda certeza que B sabe que C ve los dos símbolos tatuados.
3.2. A supone que él mismo es pi
3.2.1. B supone que él mismo es phi (ojo, A se pone en el caso de que él mismo es pi y B suponga esto) En este caso, A sabe que B deduciría que: C vería un phi (B) y cuatro pi (A, D, E y F). Pero desde el punto de vista de A, B no podría afirmar esto con seguridad porque en realidad B no está seguro de si realmente es un pi o un phi.
3.2.2. B supone que él mismo es pi (A se pone en el caso de ser pi y que B suponga esto) En este caso, A supone que B deduciría que: C vería 5 pi (A, B, D, E y F) y ningún phi. En estas dos suposiciones, A NO podría afirmar de forma segura que B esté seguro de que C ve los dos símbolos tatuados.
Y este es el problema.
En los dos casos del 3.1 A sabría que B sabe que C ve los dos símbolos tatuados. Pero no en los casos del 3.2. Es necesario que tanto en 3.1 como en 3.2 se cumpla que “A sabe que B sabe que C ve los dos símbolos tatuados” para que A pueda afirmarlo sin duda alguna.
Resumiendo:
PRIMER NIVEL DEL CONOCIMIENTO:
- A ve a B y a C (y al resto) ==> sabe que están los dos símbolos tatuados.
- B ve a A y a C (y al resto) ==> sabe que están los dos símbolos tatuados.
- C ve a A y a B (y al resto) ==> sabe que están los dos símbolos tatuados.
SEGUNDO NIVEL DEL CONOCIMIENTO:
- A sabe que B ve, como mínimo, a C y al resto ==> A sabe que B sabe que están los dos símbolos tatuados.
- A sabe que C ve, como mínimo, a B y al resto ==> A sabe que C sabe que están los dos símbolos tatuados.
- B sabe que A ve, como mínimo, a C y al resto ==> B sabe que A sabe que están los dos símbolos tatuados.
- B sabe que C ve, como mínimo, a A y al resto ==> B sabe que C sabe que están los dos símbolos tatuados.
TERCER NIVEL DEL CONOCIMIENTO:
- A NO sabe si B sabe que C ve como mínimo a A. Porque A no sabe qué es él mismo!
Desde el punto de vista de A: Si él fuera un pi, C sólo vería un phi, que sería B. Y por tanto B no podría estar seguro de si C ve un phi porque B no sabría seguro que él mismo lo es. Por lo tanto A no sabe si B sabe que C sabe que están los dos símbolos tatuados.
Repito: Si A supone que él mismo es pi, podría pensar que B también supusiera que lo es.
Si A supone que es pi y que B supone que también es pi, entonces, en ese caso, desde el punto de vista de A, B no podría afirmar que C ve dos símbolos distintos tatuados.
Es decir: Como A no sabe qué es él mismo y B tampoco sabe qué es él mismo, A no sabe si B sabe que C puede ver ambos símbolos tatuados.
¡Y esto seguiría aumentando hasta N presos!
@Kalyra, el blog había marcado tu comentario como spam, supongo que por tener tanto html. Lo he aprobado y lo he adecentado, porque también se había cargado parte del formato… lo siento
Jajajaja, vale! Muchas gracias Pedro!!
@Kalyra: Creo que el aspecto inductivo del problema os está confundiendo. En mi opinión, ese razonamiento inductivo progresivo está fuera de lugar.
Veamos: La clave está en que cada preso esté seguro de que el resto de los presos ve al menos un símbolo de cada.
Analicemos tu caso (muy ilustrativo). A, B, C con PHI. D, E, F con PI.
Pongámonos en el caso del preso A (que es PHI pero no lo sabe).
A sabe que Min(s)=2 (él ve dos presos con PHI y tres con PI). ¿Pero… qué SABE A que ven sus compañeros, basándose en lo que él mismo ve?
B verá: un PHI (que es C), tres PI’s (D,E,F) y a él mismo… cuyo tatuaje es irrelevante para que B sepa que Min(s)=2. Luego B sabe que Min(s)=2.
C verá… en realidad lo mismo que B, intercambiando B por C. Luego C sabe también que Min(s)=2.
D verá 2 PHI’s (A y B) y dos PI’s (E y F), y a él mismo, cuyo tatuaje es irrelevante para que B sepa que Min(s)=2 (da igual que la cuenta sea PHI=2, PI=3, que PHI=3, PI=2; en ambos casos ve AMBOS tipos de tatuaje). Luego D sabe también que Min(s)=2.
Los casos de E y F son idénticos a los de C, intercambiándolos… Luego E y F saben que Min(s)=2.
Ésta es la lista de predicados de conocimiento de A:
A sabe que Min(s)=2.
A sabe que B sabe que Min(s)=2.
A sabe que C sabe que Min(s)=2.
A sabe que D sabe que Min(s)=2.
A sabe que E sabe que Min(s)=2.
A sabe que F sabe que Min(s)=2.
Luego A sabe que Min(s)=2 y sabe que todos saben que Min(s)=2. Fíjate: TODOS sabe que Min(s)=2. No hay más vueltas que dar: en términos de silogismo, es un Universal positivo. Una tautología.
Luego que [Min(s)=2 es cierto] YA ES conocimiento común. Y si es conocimiento común… Yastá. No hay nada más que razonar, ni inducir.
En mi comentario 63 expliqué todo esto en términos de álgebra de predicados. El resultado es que todos saben que Min(s)=2 (y que todos saben que todos saben que Min(s)=2). Como, según el enunciado, todos saben que Max(s)=2 (y todos saben que todos saben que Max(s)=2) a no ser que la pregunta de salida haya cambiado con el tiempo, y sea distinta para cada preso, con lo que adiós al acertijo).
xxx32 tiene razón, ya lo decía yo antes (también en el comentario 63): Cuando se produjera la visita del Virrey, la cárcel debía estar vacía…
Es más. ¡Al tal Larnermaundol o como se llame habría que habérsele comido nada más implantar el método de salida!!! Para eso, podría haber dejado la puerta abierta…
Saludos a todos.
Mac
Mmm… me he hecho un lío con las letras de los presos en el razonamiento para averiguar lo que D vería… lo correcto sería:
“D verá 2 PHI’s (B y C) y dos PI’s (E y F), y a él mismo A, cuyo tatuaje es irrelevante para que D sepa que Min(s)=2 (da igual que la cuenta sea PHI=2, PI=3, que PHI=3, PI=2; en ambos casos ve AMBOS tipos de tatuaje). Luego D sabe también que Min(s)=2.”
Lo siento. La edad…
Macluskey es que yo veo que tú te quedas en aquello a lo que yo me referí con “Segundo nivel de conocimiento”. Es decir: A sabe que B sabe, A sabe que C sabe, etc… En resumidas cuentas: Todos saben que cada uno de los otros han visto los dos tatuajes.
Pero en este caso hay que profundizar hasta N, siendo N el número de presos con un determinado símbolo.
En el ejemplo que yo usaba, N=3
1er nivel: A ha visto ambos símbolos 2º nivel: A sabe que B ha visto ambos símbolos 3er nivel: A sabe que B sabe que C ha visto ambos símbolos.
Es el tercer punto el que no puede asegurarse a ciencia cierta. B sabe que C ha visto ambos símbolos porque sabe que como mínimo ha visto a A. Pero A no puede tener seguro si B sabe esto, porque A no sabe qué es él mismo. No sabe qué ha podido ver C en él. Si A fuera PI entonces B no podría estar seguro de que C ve ambos símbolos. Como A es PHI entonces B sí que lo está, pero esto A no lo sabe!
No sé cómo explicarme mejor…! :s
@Kalyra: Yo tampoco sé explicarme mejor. Sigo sin entender para qué sirve el tercer nivel que citas, y el cuarto y el quinto de conocimiento en el punto inicial. Una vez que cada preso ha constatado independientemente que Min(s)=2, y que ha constatado que todos los demás saben también que Min(s)=2… no hay nada más que hacer. Es conocimiento común.
Una vez todos los presos saben que Min(s)=2 y que Max(s)=2 y que están seguros que los demás saben lo mismo… ya no hay nada que hacer. Salir de la prisión.
Me parece.
Yo creo que es más sencillo que todo lo que estais planteando. Lo de que diga que todos tienen un símbolo u otro es para que se cumpla en todos los casos (por ejemplo para Φ=1) pero en el ejemplo que ha puesto Pedro realmente solo necesitaban un punto de partida.
Es por ello que todos salen la misma semana, porque han utilizado esa visita como t=0. De hecho no hay otra manera de salir.
Saludos
Macluskey, el n-esimo nivel de conocimiento (por encima de n= 2) que indica Kalyra sirve para poder aplicar el procedimiento de salida cuando hay n (con n < 2) prisioneros que tienen pi en sus nucas.
Veámoslo con un ejemplo con 3 individuos A, B y C que tienen pi tatuado (y 97 individuos que tienen phi).
Según hemos desarrollado en comentarios previos, el individuo A sabe lo siguiente:
De P0, P1 y P2, A puede deducir que:
De P3 y P4 puede deducir:
P7: C sabe que hay al menos 1 pi y 1 phi.
P8: B sabe que C sabe que al menos hay 0 pi’s y 1 phi.
También según hemos desarrollado en comentarios previos, el individuo A no sabe (o no puede asegurar) lo siguiente:
NP0: A tiene un símbolo pi.
NP1: B sabe que tiene un símbolo pi.
Como no puede asegurar NP0, tampoco puede asegurar:
Como no puede asegurar NP3 y NP4, tampoco puede asegurar:
Bien, DESDE EL PUNTO DE VISTA DE A, cuando venga la primera lanzadera y C no se marche en ella, B puede pensar alguna de las 4 explicaciones siguientes:
E1.1: C no se ha ido porque ha visto un pi en mi nuca y un phi en la de A y está esperando a la segunda lanzadera -> A tiene un phi en la nuca y B tiene un pi en la nuca -> B y C se irán en la segunda lanzadera diciendo que tienen pi.
E1.2: C no se ha ido porque ha visto un phi en mi nuca y un pi en la de A y está esperando a la segunda lanzadera -> A tiene un pi en la nuca y B tiene un phi en la nuca -> A y C se irán en la segunda lanzadera diciendo que tienen pi.
E1.3: C no se ha ido porque ha visto un pi en mi nuca y en la de A y está esperando al menos a la tercera lanzadera -> A y B tienen un pi en la nuca -> A, B y C se irán en la tercera lanzadera diciendo que son pi.
E1.4: C no se ha ido porque, aunque ha visto un phi en mi nuca y en la de A, no sabe si tiene pi o phi, dado que no sabe que al menos hay 1 pi -> A y B tienen un phi en la nuca -> C debería irse en la primera lanzadera, pero no se va porque no tiene datos y no quiere arriesgarse, por lo que no es aplicable el algoritmo de escapada.
A sabe que E1.2 y E1.4 son falsas (B no tiene phi en la nuca), pero no puede asegurar que B tenga datos para refutar cualquiera de las dos (porque A no sabe si él mismo tiene pi o phi), luego, DESDE EL PUNTO DE VISTA DE A, es posible que B deduzca (o por lo menos, contemple como posible) E1.4 y que, por tanto, C no tenga datos para aplicar el algoritmo de escapada.
De esta manera, cuando B no se vaya en la segunda lanzadera A tendrá 2 posibles explicaciones:
E2.1: B ha visto un pi en A y en C y está esperando a la tercera lanzadera -> A tiene un pi en la nuca -> A, B y C se irán en la tercera lanzadera diciendo que son pi’s.
E2.2: B ha visto un phi en A y un pi en C, pero como no está seguro del motivo por el que C no se fue en la primera lanzadera, no puede deducir si tiene pi o phi en la nuca, por lo que no puede aplicar el algoritmo de escapada.
Y por tanto, cuando llegue la tercera lanzadera, al no poder estar seguro de por qué no cogió B la segunda lanzadera, A no podrá deducir si tiene pi o phi, y por tanto no podrá aplicar el algoritmo de escapada.
Como verás, aunque A, B y C tienen conocimiento de nivel 1 (A, B y C saben que hay al menos 1 pi y 1 phi), y conocimiento de nivel 2 (A sabe que B y C saben que hay al menos 1 pi y 1 phi, y viceversa), al no haber conocimiento de nivel 3 (A no puede asegurar que B sabe que C sabe que hay al menos 1 pi y 1 phi, y viceversa), no pueden explicar correctamente el comportamiento de los otros dos individuos (o por lo menos no pueden asegurar ninguna de las explicaciones posibles), por lo que no pueden aplicar el algoritmo de escapada, que se basa en que todos pueden explicar correctamente las acciones de los demás.
Un saludo
PD: Por supuesto, el ejemplo anterior sería muy fácilmente ampliable a 4 individuos que tuvieran pi en sus nucas puesto que, si añadimos un individuo (llamémosle Z) al razonamiento, Z tendrá que intentar explicar el comportamiento del resto de individuos, y en particular de A.
Dado que Z no sabe si tiene pi o phi en su nuca, tendrá que contemplar la posibilidad de tener phi, en cuyo caso el comportamiento de A será exactamente el descrito en mi ejemplo anterior.
De esta manera, Z tendrá que contemplar al menos una posibilidad de que el resto de individuos considere que no tienen suficientes datos para aplicar el algoritmo, por lo que él tendrá que considerar que tampoco los tiene, y no podrá aplicarlo.
PPD: Vaya ladrillo, siento la longitud de la explicación, pero no sabía hacerlo con menos palabras… ^_^U
@Shevek: Pero… si no estoy diciendo eso. Estoy de acuerdo en que el procedimiento de salida es ése. Siento la paliza que te has metido… aunque ahora el artículo es mucho más claro.
La controversia está en decidir cuál es exactamente la frase del carcelero que desencadena el razonamiento recursivo (o inductivo retrógrado)..
Hay una corriente que opina que la clave está en “Como puede ver su Vileza, hay dos símbolos tatuados”… y otros, como yo mismo, que pensamos que esa frase no aporta conocimiento alguno a la caterva de presos, sino que la frase es “Estamos a plena capacidad”, lo que da por fin un t=0 para poder empezar a descontar semanas.
Lo que yo he tratado de demostrar (no sé con qué éxito) es que el hecho de que hubiera dos símbolos tatuados (lo que yo he definido como {[Min(s)=2]=1}, o sea, que es “true”, o sea, cierto (que hay al menos dos símbolos tatuados), era ya conocimiento común de los presos, y que para eso no hay que establecer ninguna inducción, y que la frase del carcelero sobre que hay dos símbolos es, por tanto, irrelevante, por obvia. Como al conatales cuál es la pregunta de salida ya se les dice que Max(s)=2, pues eso, que todos saben que hay dos y sólo dos símbolos y que, además, todos saben que los demás lo saben.
Únicamente se necesita un t=0 para que todos se pongan de acuerdo en comenzar el razonamiento inductivo que tan magníficamente has explicado en tu comentario. Y ese tiempo cero lo da al asegurar que “Estamos completos”. No habrá más presos que se incorporen la próxima semana e ignoren que… ¡el resto están contando semanas! Ésa es la cosa que estamos debatiendo (bueno, eso creo…).
Gracias por tratar de desasnarme, y Saludos.
Mac
Shevek, eso es lo que yo quería decir! xD
Pero Macluskey, no creo que sea necesario esperar hasta que la cárcel esté a máxima capacidad para empezar a razonar. Si ya existe el conocimiento común da igual si la cárcel está a máxima capacidad o no. Yo empezaría a contar y si tengo la mala suerte de que entra un nuevo preso, empiezo desde cero para ir a la vez que él.
Aparte de esto, como ya dije, creo que en el enunciado se dan pistas sobre por dónde van los tiros y está muy marcada la frase donde se dice que se ven ambos símbolos.
Por otro lado, aunque todos sepan que ambos símbolos están tatuados, yo creo que no se puede llegar al nivel de conocimiento que explica Shevek de la manera que tú explicas. No hay ciegos entre los prisioneros, no, pero ningún prisionero ve qué tiene en su nuca. Y esto, a mi entender, les impide saber qué deducen los demás, tal y como ilustra Shevek e intentaba explicar yo también. Faltándome ese dato yo analizo y llego a la conclusión de que los demás pueden llegar a X conclusiones posibles. Una de esas conclusiones posibles es que A no sepa que B sabe que C sabe que…blablabla Si tuviera la mala suerte de que esta es la conclusión a la que han llegado los demás y yo me decantara por desecharla, me arriesgo a deducir mal el símbolo que tengo tatuado.
Precisamente la frase “se pueden ver ambos símbolos tatuados” me permite descartar esta posibilidad. A ya sí sabe que B sabe que C sabe que….blablabla. Porque lo ha dicho el carcelero delante de todos!
Joer, si es que me voy un fin de semana y el debate se mueve más deprisa que los neurotransmisores del cerebro de los alienígenas… ;-P
Bueno, para aclarar términos, realmente lo que yo estoy diciendo es que si el Carcelero no dice explícitamente que en las nucas de los presos están presentes los dos símbolos, no se puede considerar como conocimiento común.
Para ser más claro, hasta que el Carcelero no dice:
“Como puede ver su Bajeza en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes: pi y phi”
No se puede considerar como conocimiento común la siguiente proposición:
P0: “En las nucas de los presos hay al menos 1 pi y 1 phi”.
Entendiendo como conocimiento común, para el caso de 3 individuos A, B y C, que se cumplen al menos la conjunción de las 3 siguientes proposiciones:
P1: A, B y C saben P0.
P2: Para todo par (X,Y) donde X e Y pertenecen a {A, B, C} X sabe que Y sabe P0.
P3: Para toda tupla (X,Y,Z) donde X, Y y Z pertenecen a {A,B,C} X sabe que Y sabe que Z sabe P0.
Y además, considero que el hecho de que P0 sea conocimiento común (con la definición previa), es condición necesaria para que los alienígenas puedan escaparse de la cárcel con la reglas definidas para Loobe por el Carcelero Mayor.
La demostración de que el conocimiento común de P0 (según la definición previa de conocimiento común) es necesario se puede ver en mi comentario anterior, donde se observa que para un conjunto de 3 individuos no se puede aplicar el algoritmo de escapada si el Carcelero Mayor no convierte P0 en conocimiento común (con la definición previa), puesto que existiría un caso en el que los alienígenas dudarían del conocimiento del resto y no podrían deducir su propio símbolo.
Probablemente, el comentario del Carcelero también sirvió para marcar un t=0 donde empezar a aplicar el algoritmo, pero tengo la intuición de que no es necesario.
Meditaré sobre ello (grompf, grompf)…
Esto me recuerda a un dilema que conozco sobre la imposibilidad del conocimiento común:
Imaginemos dos países A y B, que deben ponerse de acuerdo para atacar a un tercer país enemigo. Si cualquiera de esos países A o B ataca por separado, pierde. La única opción es atacar a la vez. El problema es que la única comunicación entre esos dos países es un mensajero a caballo que debe atravesar el país enemigo y puede ser raptado.
País A envía al mensajero con una carta: “Atacamos el domingo que viene”. A no sabe si B ha recibido el mensaje pues el mensajero pudo ser apresado. B debe confirmar que lo ha recibido y manda al mensajero de vuelta: “vale, el domingo”. Ahora tanto A como B saben que se va a atacar el domingo, pero B no sabe que A ha recibido la confirmación. Es decir, B no sabe que A sabe que B sabe.
No me voy a extender con n pasos, pero se llega fácilmente a que podrían enviarse 20 mensajeros con éxito, aunque desde un punto de vista de lógica pura, seguirían sin estar seguros.
Volviendo a lo de la cárcel, entiendo el proceso lógico que tan bien plantean Kalyra y Shevek, pero en cierto modo también estoy con Mcluskey: ¿Se puede ser tan lógico y tan inteligente como para no darse cuenta de que todos saben que hay dos símbolos presentes en esa cárcel?
A veces tengo la sensación de que un poco menos de inteligencia sería infinitamente más útil
@Shevek, Kalyra: Perdonad mi momentánea desaparición… falta de tiempo.
A ver si consigo entender vuestro razonamiento:
Demostráis que habiendo como hay 27 presos con el tatuaje PI, aparentemente A no puede saber que B sabe que C sabe que D sabe… que Z sabe que hay dos y sólo dos símbolos. Y usáis un elegante razonamiento por el que lo demostráis para tres presos, luego añadís otro más y luego otro más… y siempre llegáis a la conclusión de que hay un caso, extraño, recóndito, pero existe una concatenación de casos en que es posible que A piense que B piense que C piense … que Z piense que el número de PI’s tatuados es 0.
¿Lo he entendido bien?
Si no lo he entendido… renuncio. Me retiro a mis cuarteles de invierno a leer Mortadelos y Filemones, dado que mi mente no debe estar para lecturas más elevadas…
Pero, si sí lo he entendido… Pues no estoy de acuerdo. Nada de acuerdo. Porque por muy elegante razonamiento que sea, digo yo que…
¿Cómo es posible que cualquier preso pueda pensar que hay algún preso que pueda pensar que hay cero PI’s…? ¡¡¡cuando hay 27!!!
El error que yo veo es someter a inducción algo que no debe ser inducido: no hay nada que inducir. O sea, según lo veo yo:
A ve que hay dos símbolos. Hasta ahí, OK.
Ahora A se pone en la piel de todos y cada uno de los presos restantes… y llegará a la conclusión de que todos y cada uno de los presos restantes ven más de un símbolo (25 como mínimo). Hasta aquí OK, supongo.
Luego A sabe que todos saben que hay dos símbolos. Pero ¿sabrán los restantes presos lo mismo? Para resolver el dilema no hay que inducir nada… A se pone en la piel de todos y cada uno de los restantes presos para hacer el mismo razonamiento, y este razonamiento no lo hace sucesivamente, en serie, como diríamos en Álgebra de Circuitos (o sea, con una inducción), sino consecutivamente, uno tras otro desde cero, en paralelo, vaya.
Y llega a la inevitable conclusión de que da igual que sea B, o C o Z… Todos sabrán que todos saben que hay como mínimo dos símbolos independientemente del símbolo que A tenga tatuado. Todos los presos, vistos individualmente desde el punto de vista de A saben, pues, que todos los presos saben que hay dos símbolos tatuados.
En fin. Fin de la Historia.
Todos saben que hay dos símbolos, y todos saben que todos saben que hay dos símbolos. ¿Qué más hay que averiguar? Nada. Yastá. Conocimiento común, como la hora del rancho, o que está prohibido comunicarse.
Hasta aquí llego. Mi mente vieja y oxidada no da más de sí. Iré preparando la salsa de roquefort…
Saludos
Estoy contigo, Macluskey. No hay nada que inducir. Soy de la opinión que en este problema es suficiente con el segundo nivel de conocimiento. No hay por qué seguir induciendo nada.
El razonamiento inductivo que despúes de 27 pasos genera dudas a los 27 presos PI, también valdría para los 73 presos FI, que dudarían después de 73 pasos. O sea, que en realidad nadie podría asegurar absolutamente nada. Y esto es un absurdo. Desde mi humilde opinión.
Yo pido la salsa de guindilla… y que se jodan.
@Argus: ¡¡La de guindilla!!! Ésa sí que es buena, igual hasta les da gases!
Precisamente la historia que cuenta Argus sobre los dos ejércitos ilustra bastante bien el problema:
Mientras cada uno de los dos ejércitos no conozca la información que tiene el otro, no podrá estar seguro de que van a atacar los dos a la vez.
Evidentemente, pasados n mensajes (o llegados a n nivel de conocimiento, en el caso de los alienígenas) , la probabilidad de que el conocimiento no sea realmente común es mucho más baja, pero nunca llega a 0.
Esto también se reproduce cuando le envías un sms a alguien para quedar a una hora, y no sabes si le habrá llegado (o lo habrá leído), y aunque te conteste, no podrás estar seguro de que él sepa que el mensaje te ha llegado (o lo has leído).
A efectos prácticos te arriesgas y vas a la cita (o en el caso del ejército, pasados n mensajes de confirmación, decides atacar confiando en que el otro ejército ataque).
Pero esto no es posible en el caso de los alienígenas, puesto que a ellos no les está permitido arriesgarse, dado que el razonamiento tiene que ser lógicamente impecable y no estar basado en las probabilidades (como pone el propio enunciado).
Y por muy chocante que parezca, ya hemos visto que, CON LOS DATOS QUE POSEE CADA PRESO, existe una posibilidad lógica de que no todos los presos sepan lo que están pensando los demás a un nivel suficiente como para asegurar que todos están aplicando el algoritmo de escapada.
El razonamiento de que “A se pone en la piel de todos y cada uno de los restantes presos para hacer el mismo razonamiento” no vale, porque al no saber lo que A tiene él mismo en la nuca, no puede saber lo que ven los demás presos y no se puede poner en su piel.
A tiene que pensar en las dos posibilidades que genera su propio tatuaje (que tenga un phi y que tenga un pi) y pensar que los demás también piensan en las posibilidades que genera su propio (y desconocido) tatuaje.
Y al desarrollar el árbol de posibilidades para n individuos, siempre existe una variante lógica en la que A piensa que B piensa que C… piensa que hay 0 pi’s y 100 phi’s, y que, con los datos que tiene cada uno de ellos, no es posible refutar (por lo que hacen falta las palabras del carcelero).
Y la verdad es que no creo que me pueda explicar mejor, así que si no os he convencido tendré que elegir la salsa de mostaza y miel, y esperar ser al menos un poco indigesto…
A mí me parece que la salsa de mostaza y miel está bien rica.
Shevek, de acuerdo contigo, pero hay una diferencia fundamental entre este problema y el de los ejércitos. Es algo que ya apuntaba Mcluskey: En el caso de los ejércitos, la información se produce en serie. Cada mensaje y cada confirmación se producen uno detrás de otro.
En el caso de los presos, esta información se recibe en paralelo. Todos ven a todos. No es que uno le pregunte a otro que le diga qué tatuaje cree que tiene un tercero. No va en serie, sino en paralelo.
Por eso entiendo que la inducción aquí está fuera de lugar.
para que cada alienígena pueda suponer en qué piensan los demás basta que suponga que independientemente de su tatuaje los demás verán al menos 2 símbolos, y que los demás independientemente de su símbolo verán cada uno de los dos símbolos, y esto es posible porque cada alienígena puede suponer que la variación de lo que ven todos los demás es de solo 1 símbolo a lo que ve ese alienígena. Cualquier otro razonamiento a niveles superiores es irrelevante en el problema, ya que el alienígena sabe los símbolos de los demás, sabe que los demás saben los símbolos de los demás INCLUYENDOLO A EL, y sabe que eso es todo lo que necesita saber (y por tanto sabe que los demás razonaron eso mismo y llegaron a la misma conclusión)
En fin, señores… No sé quién tiene razón.
Por si acaso, sugiero una salsa a base de mostaza, miel, roquefort, guindilla y quizá un poco de ácido sulfúrico… Con suerte éste último no lo detectan y les hace un agujero en alguno de sus doce estómagos…
¡Un debate placentero como pocos!
Saludos
Y todo amigablemente, con razonamientos sesudos y sin descalificar a nadie… sniff… ¿qué habéis hecho con Internet?
¡Es cierto! ¡Deberíamos romper algo! jajaja
Yo también he estado entretenida a base de bien! Estoy encantada.
¡Un placer!
Rayos!!!! Tiene razón Pedro. Esto no puede quedar así.
Solucionémoslo…. A ver……..
¡Todos los que no penséis como yo no tenéis ni idea!!! Hala.
Por cierto: Esta frase la tengo registrada y todo aquél que la use debe pagarme 1$. Alguna Ventaja tendría ser tan viejales….
Pedro: ¿Así está mejor?
Señores… ¿qué puedo decir?
Ha sido un placer, espero que la próxima entrega de los alienígenas matemáticos sea tan divertida como esta.
Y mientras tanto… os espero huyendo de los zombies en El Desafío… ;-P
Un saludo
PD: tengorazóntengorazóntengorazóntengorazóntengorazóntengorazóntengorazón… ytúnolatienes…mmmh…cabezón…
(¿Así mejor?
)
Hoy me he levantado de parte de Shevek y Kalyra. Mi lógica es así, lo siento! Desde luego que insultaría a alguien, no penséis que soy raro, pero es que aún no sé a quién
Estaba de parte de Macluskey y xx32, pero entonces pensé lo siguiente:
Imaginad que estamos todos en esa cárcel, antes de la visita del Virrey, y que podemos hacer una estrategia y comunicarnos siempre y cuando no hablemos ni demos una sóla pista en cuestión de tatuajes.
Con Kalyra y Shevek no podemos contar, pues están convencidos de que hay dudas razonables sobre el conocimiento común. ¡Qué cabezones ¿eh?! ¡Pero si hay 27! ¡burros! jajaja.
Así que somos Macluskey, xx32 y yo. Nos reunimos y pensamos cómo hacer un subgrupo dentro de la cárcel para empezar a contar semanas entre nosotros y salvarnos pasando del resto de “cabezones”.
Pensamos, como ya hemos apuntado en otros comentarios, que si yo veo al menos dos tatuajes de cada, es suficiente para asegurar que todos ven al menos uno (me pongo en la piel de los demás), y por tanto estamos preparados para escapar. REGLA MÁXIMA DEL GRUPO: Cada uno debe ver al menos dos tatuajes de cada.
Así llegamos a la conclusión de que ese subgrupo debe tener al menos 6 miembros. ¿Estamos de acuerdo que con menos no es posible? Esto es importante.
Hemos recorrido toda la cárcel y repartido panfletos para ganar adeptos. Kalyra y Shevek siguen en sus trece. ¡Qué se le va a hacer! Están condenados. Ellos se lo buscan.
Se han presentado 3 presos afines a nuestra teoría y ya somos 6. Yo veo 2 pi y 3 fi. Ya está! Hemos ganado! Todos vemos al menos un pi y un fi! Empecemos a contar semanas! NO! Un momento! Quizá son los únicos 2 pi que hay. En ese caso, cada uno de ellos, vería un solo pi y dudaría. Hemos quedado en que debemos estar seguros de que cada uno ve al menos 2. No olvidemos esto, es la Regla Máxima de nuestro grupo!
Nos reunimos de nuevo, un tanto contrariados, sí, pues acabamos de ver que el número mínimo necesario es 8. Bueno, un fallico lo tiene cualquiera. Volvemos a repartir panfletos, esta vez mucho más convincentes. Ganamos 2 adeptos más. Ya somos 8!! Kalyra y Shevek se deben estar muriendo de envidia por nuestro éxito, jajaja.
Yo veo 3 pi y 4 fi. ¡Ya está! Hemos ganado! ¿Seguro? NO!! Alguno de los pi puede estar viendo 2 pi, y está en el mismo caso que estaba yo antes.
Nos volvemos a reunir, un poco contrariados y algo jodidos, sí. El número mínimo del grupo debe ser 10 presos.
Seguimos así, haciendo panfletos y panfletos, cada vez más convincentes. Vamos ganando adeptos. Nos damos cuenta de que necesitamos más y más. Volvemos a hacer panfletos. Ya casi lo hemos conseguido! Ya somos 98!
…y llega el día en el que tenemos que entregarle los panfletos a Kalyra y Shevek.
@Argus: Pues nada, nada, invitamos a Kalyra y Shevek, por qué no, y entonces seremos… ¿quizá diez?
Entonces yo veo 4 PI y 5 FI. Los PI son A, B, C, D. Y me pongo en la piel de D. La regla máxima del Grupo es ver al menos a dos de cada. El motivo es que, siendo dos, estamos seguros que al menos uno ve al otro, ¿no?. Porque lo importante es que veas al menos uno, ¿no?. En cuanto veamos uno, ya sabemos que Min(s)=2, y vale. Sigamos tu razonamiento.
D ve 3 PI’s. Y puede pensar que C sólo ve 2, ciertamente… Pero es que ¡D (el que razona) no puede pensar que C pensará que B sólo ve a uno, que es A, y por tanto A podrá no ver a ninguno!
El motivo es claro: D sabe que B verá al menos a dos PI’s, porque uno es A… y el otro es C ¡Lo está viendo él mismo, que sabe que tanto A como B como C son PI’s!.
Como has ido añadiendo presos uno tras otro, los vas descontando de tu razonamiento… pero es que eso no lo puedes hacer, porque ¡los presos no se volatilizan! Siguen ahí. Con su hermoso PI en la nuca.
En mi modestísima e indocumentada opinión, ése es el fallo de vuestro razonamiento: vais avanzando por el árbol de conocimiento, eliminando de la ecuación a los presos que vais tratando… pero es que los presos siguen ahí, y los demás los ven como ellos ven a los demás.
No sé si al basarme en tu propio razonamiento te habré hecho entrar en razón, so inútil… (huy, casi no me acuerdo de insultar, tú
).
A Shevek y a Kalyra seguro que no les convenzo… Miles de palabras y no lo he conseguido, no lo voy a hacer ahora.
Más saludos (y yo que pensaba que habíamos cerrado la discusión…)
Macluskey, siguiendo tu ejemplo:
10 presos. Yo veo 4 pi y 5 fi. Los pi son A, B, C, D. Me pongo en el peor caso: Yo soy fi, con lo que D vería sólo 3 pi (A, B, C).
En ese caso, D se pondría en el peor caso también, igual que yo: podrá pensar que C ve sólo 2 pi). Si C ve 2 pi (y esto es perfectamente posible que lo piense D), C no empezará a contar semanas, pues dudará de que empiecen A y B.
Y si D piensa que C puede no empezar a contar semanas, D no empezará a contar. Y yo, lógicamente, tampoco. Si sólo empiezas a contar tú, ve eligiendo la salsa
No basta con 10 presos. Ahora necesitamos al menos 12, pero invita tú a dos más, que a mí me da risa.
La discusión acaba cuando me razones hasta las últimas consecuencias el número mínimo de presos que debemos reclutar para escaparnos.
Y que conste que igual te digo esto, como que me parece de una tozudez infinita el dudar de que en esa cárcel hay dos signos.
Aquí pasa algo muy raro.
¡Y tan raro!! No, si ya lo dijo Pedro: “la lectura de este texto es ortogonal a cualquier uso práctico del período temporal que requiere“.
De todos modos… en el final veo un atisbo de entendimiento. Sí, Sí. Me parece que en realidad estamos diciendo lo mismo. ¿Que no? Verás:
Yo no digo que puedan a empezar a contar semanas en cualquier momento. Lo he dudado, sí, pero no tengo ninguna certeza (bueno, certeza, certeza… no la tengo ni del color de los calcetines que llevo normalmente. Y eso que siempre son negros…). O sea, admito y me creo que no puedan empezar a contar semanas en cualquier momento.
Concedido.
No admito (je, je, a saber cómo será de verdad la cosa) que el que haya dos tipos de signos tatuados no sea conocimiento común (y voy preparando esa mostaza y miel que comentaban antes, ya no recuerdo quién, que debe estar rica).
Por tanto, la discusión estuvo en cierto momento en discernir cuál era la clave que el estúpido carcelero dio a sus huéspedes (ya he insultado a alguien
, por ahora puedo estar tranquilo) para poder empezar a contar semanas. Una corriente de opinión decía que la clave era “Hay dos tatuajes”, y otra, abanderada por mí y por otros, que la clave era “Estamos a tope”.
Y así están las cosas 100 comentarios más allá. Desde luego, divertido ha sido un rato. Yo, hasta he usado una neurona que pensaba que había fallecido en la Guerra de Cuba…
Saludos
Estaba reflexionando sobre este interesante problema cuando se me ocurrió una solución lateral al problema del carcelero de Loobe, que como buen Alienígena Matemático, debería ser lo bastante cruel para usar trucos sucios:
Añadid al problema el siguiente postulado: “En todo momento, al menos uno de los presos en el planeta es un infiltrado”
Y vemos como, se coja por donde se coja, el razonamiento inductivo se rompe, al no poder garantizar todos que el prisionero nº x no vaya a actuar fuera de turno, “adivinando” el signo que ya sabe (las entrevistas de liberación no son públicas) o simplemente, absteniéndose de abandonar el planeta en su turno.
Sí, es un truco sucio. Pero no veo a los Alienígenas por encima de usar trucos sucios, por mucho que estropee el conjunto.
Felicidades a todos por el nivel de comentarios y perdón por la chorrada, pero me hizo gracia cuando se me ocurrió el cómo una pequeña modificación en las reglas puede afectar tanto al resultado.
Pero vamos a ver, en la carcel hay 27 de uno y 73 del otro, que demonios os hace pensar que hay gente que no sabe que hay simbolos de los 2 tipos?
Si todo el mundo por lo menos puede ver a 26 de uno y 72 del otro? Desde luego el que el Alcaide diga que hay 2 tipos de simbolos no es para nada su error ya que es algo que saben todos los presos.
El unico dato nuevo es el momento de inicio de la cuenta, y coincido con algunos que hay dicho que eso es mas culpa del Virrey que con sus comentarios asegura a todos los presos que el resto ya esta empezando a contar las semanas desde ese momento.
De todos modos poco conocemos de como entraron a la prision los presos pero yo creo que desde mucho antes de la visita o de saber que la carcel estaba llena la entrada de cualquier preso nuevo podria ser un buen momento para el inicio de la cuenta de dias entre los que ya se conocen en ese momento.
¿todo este tiempo hemos estado discutiendo sobre el hecho de que unos alienígenas crueles y muy lógicos amantes de la matemática escaparan de un planeta prisión respondiendo una pregunta sobre un dibujo en la espalda? Siendo otra persona dudaría de nuestra cordura……………pero ¿quien es en verdad cuerdo?
A ver, yo estoy, y sin que sirva de precedente, con Macluskey. Creo que lo que todo el mundo ha obviado, es el de ponerse en la piel de los condenados. Te meten en la cárcel y hay vario pi y varios phi, ¿cual tienes tu?, no puedes saberlo. Pero si os meten a todos a la vez, la estrategia de esta cárcel tendría futuro, porque puedes empezar a contar de 0 en ese mismo momento.
Nunca había visto un ejemplo en el que se mostrase la lógica tan distante de la evidencia. Es paradójico.
Es evidente que hay dos signos y todos pueden verlo. Si no lo ven son idiotas. Si no se salvan, están mal de la cabeza.
La lógica nos dice lo contrario: Si hubiese un sólo signo pi, todos podrían verlo, pero su portador no vería ninguno. 99 presos sabrían que hay 2 signos. El preso restante (el único que tiene el pi en la nuca) no. Por tanto nadie puede empezar a contar.
Si hubiese 2 signos pi, 98 presos sabrían que hay 2 signos y que todos lo ven. Los 2 presos portadores del pi, verían un sólo pi, por lo que estarían en la misma situación que estaban los 99 del párrafo anterior: Verían un pi cada uno, y no pueden empezar a contar. Si esos 2 no pueden empezar a contar, el resto tampoco.
Si hubiese 3 signos pi, 97 presos pueden verlos, pero cada uno de esos pi verían 2 signos pi, y estarían en la misma situación que los 98 del párrafo anterior. Nadie puede empezar a contar.
Si hubiese 4 signos pi, cada uno de ellos vería 3, y estarían en la misma situación que los 97 presos del párrafo anterior. No pueden empezar a contar.
¿Cómo empezar a contar con todas las garantías lógicas?
¿Cómo no empezar a contar ante la evidencia?
¿Qué le pasa a la lógica? ¿Se quedó anticuada de repente, o qué?
¿Por qué antes no habían podido escapar? Creo que cada uno tenía un símbolo en la nuca, pero no sabían para qué les sería útil ese símbolo o si uno tendría alguno de los símbolos que veía en los demás. Cuando el carcelero reveló que habían solo dos tipos, y que sabiendo el suyo propio saldrían en libertad, recién se preocuparon en averiguar la cantidad y el símbolo propio.
Yo creo que la clave para haber salido de prisión antes de la metedura de pata de Larnermaundol estaría en que cada preso se hiciera la pregunta: “¿Qué vería un observador exterior?” y por otro lado saber que los demás presos también se harán la misma pregunta y obtendrán la misma respuesta. El observador exterior es lo que falta en la cadena de razonamiento que impide a los presos tomar la decisión de salir, y es lo nuevo que aparece con las palabras de Larnermaundol, ¿no?
Es buenísimo esto. Qué manera de echarle tiempo pensando…
Hola, buenas noches, antes que nada, quiero felicitar a Pedro por esta excelente página.
Y ahora, aún a riesgo de ser engullido por uno de esos baboso alienígenas matemáticos, me permitiré hacer una observación:
Creo que el razonamiento expuesto en los teoremas es perfectamente aplicable para cuando son 2 prisioneros, pues ambos pueden actuar y no dependen mas que de lo que haga el otro, es decir, si no se sale a la 1a. oportunidad, significa que yo, poniendome en el lugar de uno de ellos, tengo el mismo tatuaje que él.
Pero en el caso de una cantidad mayor de prisioneros, se asume que el razonamiento se hará progresivamente es decir, siendo los prisoneros marcados como A, B, C, y así sucesivamente, el teorema de “n” prisioneros, da por hecho que el razonamiento lo hace primero el prisionero A, luego el B, luego el C, hasta llegar al último, pero esto no es así.
Cada uno hace un razonamiento igual y en el cual TODOS se quedarán esperando a que el 1ero. se salga, la pregunta es, ¿quién será el primero?, todos estarán esperando lo mismo, y todos a su ves pueden ser el primero o el último.
En el ejemplo de las personas con los 3 sombreros blancos o negros, es perfectamente válido, pues cada uno, escucha el razonamiento del anterior y de ahí hace sus deducciones, pero en este caso creo que simplemente, como dije antes, todos hacen el mismo razonamiento individual y todos estarán esperando que el primero se salga, ¿quien será el 1ero. ?
Mis conocimientos no son tan amplios como la mayoría de la gente que escribe, aquí, ya que la gran mayoría de los comentarios, ne han dejado perplejo, por lo que es muy probable que me equivoque, sólo les agradecería si me señalaran mi error de la manera mas “simple” posible.
Gracias y saludos.
De antemano debo decir que del tiempo que tengo siguiendo “El Tamiz” es la primera vez que escribo algo.
Esto es un verdadero aliciente para el intelecto, la discusion se ha extendido de manera realmente agradable, sin embargo entre tantos: “la frase clave es…” ó “el error fue”… y uno que otro “Yo creo”… desviaron muchos la atencion del comentario No. 18 y primero de Kalyra que basa su respuesta en el comentario final que le hace el preso al ex-carcelero: “CONOCIMIENTO COMUN”… la base del asunto es que El ex carcelero Hizo de CONOCIMIENTO COMUN el hecho de que se encontraban los dos tatuajes presentes, dicho en palabras del preso.. “al menos uno de nosotros tenía cada uno de los dos símbolos…” Al soltar esto frente a “TODOS”, todos sabian que todos sabian que todos sabian etc etc etc… lo que implica esta Afirmacion Kalyra lo ha dejado muy claro en su explicacion, os invito a que la lean y lean y lean =) Bien, igual y ya hasta dejaron de discutir esto, pero yo lo acabo de leer y me ha fascinado.
Saludos a todos!!!
Creo que la clave es que sean lógicos perfectos, si solo fueran inteligentes y un pelin lógicos claro, habrían salido mucho antes de la cárcel, porque podrían estar seguros de que todos ven dos tipos de símbolos, aunque claro para crear una cárcel con esas reglas has de ser un lógico perfecto,;) este acertijo me parece una magnifica parábola.
Bueno, y después de todo esto … ¿Pedro, nos aclaras algo? :-/
Brigo, pero Kalyra lo ha aclarado, en mi opinión, estupendamente bien… como dije en algún comentario anterior, hace falta leer su explicación un par de veces porque es bastante más profunda de lo que parece. Más discusión sobre la pregunta de “¿por qué hace falta que nadie diga nada si todos ven ya que hay dos tipos de tatuajes?”, aquí: http://forums.xkcd.com/viewtopic.php?f=3&t=8880
, y sobre la solución en general, aquí: http://forums.xkcd.com/viewtopic.php?t=3
Arggg! Lo entendí!! Me he tenido que hacer un dibujo…
Si me permitís, y sin ánimo de menospreciar todos los argumentos matemáticos, hay un aspecto que nadie ha señalado y me parece importante y aun más lógico que el teorema de N prisioneros. Lo llamaré “Teorema de Iván o mira p’abajo, tontolaba”.
Extraigo del enunciado las partes relevantes:
“¡Criaturas inmundas! ¡Media vuelta!” Y los cien prisioneros, que sabían bien que no debían nunca desafiar las órdenes de Larnermaundol, se dieron la vuelta todos a una, mostrando sus espaldas a las autoridades y revelando sus tatuajes: 27 estaban marcados con Φ y 73 con Π. [•••] “¿Có… cómo?”, preguntó entrecortadamente el Carcelero Mayor (o más bien, por lo que parecía, ex-Carcelero Mayor). Por el rabillo de algunos de sus ojos, desconsolado, vio cómo todos y cada uno de los cien prisioneros sonreían maliciosamente: se habían dado cuenta de algo importante, pero ¿de qué? (•••) La boca del Virrey se curvó hacia abajo, abriéndose además levemente para revelar múltiples hileras de dientes afilados como cuchillas y rezumantes de babas. “Como puede ver en sus nucas, hay dos tipos de tatuajes”, repitió con voz socarrona, mofándose de Larnermaundol. (•••) El reo liberado se detuvo y miró a su ex-Carcelero con lo que, de no haberse tratado de un Alienígena matemático, tal vez hubiera podido ser interpretado como lástima. “¿Aún no lo sabe? ¡Conocimiento común, señor mío, conocimiento común1!”, exclamó el ex-prisionero, y a continuación entró en el transporte. Y Larnermaundol bajó la cabeza, babeando suavemente sobre el suelo.”
Vamos por partes:
PRIMEROS PRESUPUESTOS: a) los prisioneros se han dado la vuelta, mostrando su nuca. b) los prisioneros no desafían nunca al carcelero, así que en la escena no se vuelven a dar la vuelta, pues no se lo han ordenado. c) Con el rabillo de algun ojo, el carcelero ve como los prisioneros sonríen.
CONCLUSIÓN 1: ‘ABC) Los alienígenas tienen la boca en la espalda.
SEGUNDOS PRESUPUESTO: d) Al dirigirse el virrey al carcelero, abre su boca REVELANDO múltiples hileras de dientes. e) Al dirigirse el prisionero al carcelero, le MIRA.
CONCLUSIÓN 2: ‘DE) Al hablar con sus congéneres, o al menos con excarceleros, los alienígenas dirigen hacia él la boca (Virrey) y los ojos (Ex-preso, como el café).
TERCER PRESUPUESTO: f) El carcelero baja la cabeza por humillación y babea en el suelo.
CONCLUSIÓN 3: ‘F) Babea en el suelo, no en la espalda o en otro sitio, así que la boca está mirando abajo y nada impide a la baba llegar al suelo. Ergo el ex-carcelero, tras solo 27 semanas como prisionero, ya ha adelgazado lo suficiente para no tener papada, por lo que es presumible que ningún preso tiene papada (normal, en un planeta tan inhóspito como Loobe). ‘’F) La anatomía de los alienígenas les permite enfocar la cabeza hacia abajo.. CONCLUSIÓN FINAL: Los alienígenas tienen la boca en la espalda, tienen los ojos en el mismo sentido que la boca, pueden dirigir su conjunto boca-ojos hacia abajo y no tienen papada que obstaculice su visión. Los alienígenas deberían ser menos matemáticos, no hacer tantas ecuaciones y molestarse en mirar qué símbolo llevan tatuado!
Y ahora es cuando todos vosotros podéis darme collejas en mi símbolo.
Cachis, al publicar el comentario se me ha comido varios saltos de líneas y resulta un poco conuso. Perdón!
Si se me permite, yo creo que las opiniones de Kalyra y Mac son ambas muy buenas y válidas, una en un marco teórico y la otra en un marco práctico. Creo que como dice Kalyra, un prisionero puede razonar con total lógica que puede haber otro prisionero que llegue a tener dudas razonables, eso es muy cierto. Y al hacerlo, él alberga dudas a su vez. Sin embargo, si él desecha toda suposición ulterior, y tiene la esperanza de que los demás lo hagan, al menos en éste caso práctico, cada vez que uno de los prisioneros se plantee individualmente el problema todos ellos llegarán a la misma conclusión: hay prisioneros con ambos símbolos. Por decirlo de otra manera; si sentados en el comedor, miro al prisionero a mi izquierda, sin duda afirmo que él puede mirar a su izquierda y así sucesivamente hasta que “alguien” duda que sólo haya un símbolo, pero si miro a ese “alguien” que podría ser cualquiera, veo que es un prisionero como yo que está mirando a los demás y que está iniciando el mismo proceso que yo, y que piensa “yo no dudo, pero podría haber alguien que sí”. Y entonces me mira a mí, y a mis 10 compañeros de símbolo pi a mi derecha, y a mis 10 phi a la izquierda. Miro a otro, y el anterior TOMA SU LUGAR en los de visible símbolo. Todos ven a todos. Ya no dudo de nadie.
Primero que nada, felicidades por la entrada. Muy interesante y entretenida, como toda la serie.
Siguiendo la lógica que se da por correcta en los sitios donde se aborda este problema (y que es la misma que explica aquí Kalyra) es muy claro que independientemente de la cantidad de presos y la distribución de símbolos, siempre llegaremos a un punto en que no podemos saber con certeza que A sabe que B sabe que C, etc., pero por otro lado, razonando la explicación de Mac, no le encuentro error. La única respuesta que ha recibido es que aplicando el otro razonamiento (de Kalyra) no es posible saber con seguridad si los dos símbolos están presentes. Pero ¿en qué falla el planteamiento de Mac? ¿Por qué sería incorrecto aplicarlo?
Porque supongamos que tenemos una serie de problemas cuyo método de solución (método A) es sumamente complejo. Pero alguien descubre un método B mucho más sencillo pero que es menos elegante y además sólo puede aplicarse a un pequeño subconjunto de problemas en los que se cumplan ciertas condiciones especiales (vamos, un “método chapuza”). ¿Cúal método se debe aplicar? Indudablemente el método A sería el más correcto, porque es general, pero si se nos presenta un problema que puede resolverse mediante el método B, ¿por qué estaría mal hacerlo así?
Yo opino más buen como Escapista. Los dos razonamientos me parecen válidos. Quizás la diferencia sería que aunque con el razonamiento de Mac no se necesita la confirmación de que los dos símbolos están presentes, con el de Kalyra sí es necesaria. Por lo tanto, si no estamos seguros de cómo razonan los demás prisioneros, la apuesta segura sería esperar a tener el dato de los dos símbolos y sólo entonces poner en marcha el plan.
@Ivan: No había leído tu comentario hasta hoy (no se puede estar en todo…), pero es… es… DEFINITIVO.
Mucha matemática y mucha gaita, pero son todos unos vagos, hombre…
Muy bueno, me he reído un montón. Enhorabuena!!
Primero gracias por las respuestas, y por el acertijo que las provoca. Luego, perdón por contestar tan tarde (llevo mucho retraso con El Tamiz y El Cedazo, y no me quiero perder ninguno).
Yo no conseguí resolverlo (y eso que ya conocía otra variante, con una reina que decide hacer una prueba parecida a 3 candidatas a esposa de su hijo el príncipe), pero leyendo los comentarios se me ha encendido la bombilla (o eso creo).
Mi razonamiento, que creo que responde a la pregunta de ramon7 («¿por qué es incorrecto el razonamiento de Mac?») es el siguiente: el conocimiento común debe ser común no sólo para los prisioneros físicos, sino también para los prisioneros lógicos.
Y un prisionero lógico es el constructo mental que cada prisionero (físico o lógico) hace para razonar de la siguiente forma: si me quito yo de en medio ¿qué pensaría otro compañero?, pues que si me quito yo de en medio ¿que pensaría otro compañero?, pues que si me quito yo de en medio ¿que pensaría otro compañero?, etc…
Es decir, un razonamiento recursivo cuya condición de escape es: 2 prisioneros y el desliz del carcelero.
En cuanto esos 2 prisioneros lógicos conozcan el desliz del carcelero, todos los prisioneros lógicos y físicos pueden escapar con un 110% de probabilidades de éxito (el 10% extra es el recochineo
).
Voy a plantear el siguiente giro de acontecimientos que creo que lo aclara: el prisionero A decide que no quiere escapar, porque en la cárcel tiene comida y techo gratis y además se ha hecho amigote de los guardias con los que se monta unas timbas de póquer que hacen leyenda. Entonces se pone una bufanda para que sus compañeros no vean su tatuaje. Un tiempo después, el prisionero B decide lo mismo. Un tiempo después, el prisionero C decide lo mismo… entonces, cuando sólo quedan 2 que sólo pueden verse sus respectivos tatuajes, llega el virrey y el carcelero abre su bocaza.
Gracias de nuevo, y un saludo a todos.
PD: La historia de las candidatas para el príncipe es esta charla que dieron en Google sobre póquer: http://www.youtube.com/watch?v=icGaDA0hLMk#t=12m10s (enlazo al momento en que comienza la historia, aunque está en inglés, sin subtítulos, sorry).
La afirmación del carcelero es importante (además de lo que ya mencionaron) porque, hasta el momento, además del conocimiento común, nadie dice que no hubiera sido posible un hipotético TERCER SÍMBOLO. Un preso puede ver solo dos tipos de símobolos, pero, ¿cómo sabe que él mismo no tiene un tercer símbolo marcado en su nuca?
El carcelero, al decir que sólo había dos, destruye esta posibilidad.
acabo de leerlo, y tras pensarlo creo que parte de una premisa erronea
el razonamiento es correcto, no tengo ninguna duda, pero lo que no me cuadra es:
en la carcel hay 27 y 73 y en esa situacion Y SOLO ESA el carcelero dice que puede ver los dos simbolos en sus nucas
entonces, en el razonamiento, se supone que pasaria si hubiese 99 y 1, 99 y 2, pero no tenemos datos de esas situaciones, porque ni el carcelero (ni la historia) dice nada sobre ellas
resumiendo, que se da por hecho que la situacion 100 y 0 es imposible, y no lo es
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