El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Alienígenas matemáticos - La paradoja de Ross-Littlewood

Es la hora: el momento en el que El Tamiz abandona la insulsa geometría riemanniana de nuestro Universo para adentrarse en delirantes experimentos mentales de la mano de los Alienígenas matemáticos. En la última entrada de esta espeluznante serie conocimos la historia del derrocamiento del presidente Lémur, Mirrec Liwennmla, por parte del malévolo Eluyyndu, haciendo uso de la paradoja de Simpson. Hoy ejercitaremos las células grises con otra paradoja matemática, en este caso relacionada con la idea del inifinito y las supertareas –un concepto que ya exploramos al hablar de la lámpara de Thomson–.

Si eres relativamente nuevo por aquí, permite que te dé un aviso: los artículos de esta serie son delirantes, absurdos y a menudo dicen lo contrario de lo que quieren decir. Están repletos de pedantería, sinsentidos, no llegan a conclusiones útiles y el humor negro hace de ellos una experiencia desagradable. Mi recomendación sincera es que no los leas; dicho llanamente, su lectura es ortogonal a cualquier uso práctico del período temporal que requiere.

John Edensor Littlewood

Tras el aviso de rigor, hoy hablaremos acerca de una paradoja planteada por primera vez en 1953 por el genial matemático británico John Edensor Littlewood (a la derecha, a quien pido mil disculpas por este artículo, dondequiera que esté), y analizada posteriormente por muchos otros, entre ellos Sheldon Ross en 1988; de ahí que suela conocérsela como paradoja de Ross-Littlewood. Como en el caso de tantas otras paradojas matemáticas, Littlewood planteó la suya utilizando urnas y bolas numeradas, pero ¿qué gracia tiene eso? Aquí plantearemos la paradoja a la manera habitual en esta casa.

De entre las ℵ0 conquistas de los tiránicos Alienígenas matemáticos, una de las más provechosas en todos los sentidos había sido la de los lutrinos arturianos. De hecho, llamarlo “conquista” es una exageración: los lutrinos son una especie de una gentileza difícil de imaginar, y no opusieron la menor resistencia a la llegada de las babosas espaciales. Cuando el primer Alienígena matemático puso el pie –o el tentáculo– sobre la superficie del planeta lutrino en Arturo, y fue visto por varias de las criaturas aborígenes, los pequeños, peludos y adorables lutrinos se abrazaron tiernamente a los tentáculos inferiores del monstruo, dándole su amor incondicional. Su actitud desconcertó de tal manera al alienígena que tardó varios segundos en comenzar la masacre.

Tan adorables e inofensivos son los lutrinos que, aunque los Alienígenas matemáticos masacraron a unos cuantos miles durante la toma del poder en su planeta, lo hicieron más que nada por mantener su reputación, sin el menor entusiasmo. A esto ayudó el hecho de que los lutrinos son tan monos y adorables como repugnante es su sabor, con lo que poca motivación tenían los babosos monstruos para acabar con ellos. Sin embargo, la conquista fue provechosa porque los lutrinos, como casi todas las especies de la galaxia –excepción hecha de los estultos e inútiles humanos–, tienen una capacidad especial y única. Entender cómo funciona esta peculiar característica de los adorables lutrinos es esencial para razonar sobre la paradoja de hoy, de modo que detengámonos un poco y recapitulemos lo que los xenobiólogos de la galaxia han determinado respecto a los lutrinos.

Estas peludas y monísimas criaturas, además de su entrañable carácter, gozan de una libido sin parangón en el Universo conocido. Si en un lugar determinado hay machos y hembras lutrinos, en poco tiempo el sitio se llena a rebosar de los insaciables seres; estas ansias reproductivas se combinan, por supuesto, con un embarazo y un crecimiento vertiginosos, con lo que los lutrinos deben estar siempre separados los machos de las hembras o contenidos en campos bioestacionarios que evitan la reproducción, o se convierten en una plaga –una plaga adorable, pero plaga al fin y al cabo– en menos que canta un gallo.

Lo realmente peculiar del ritmo reproductivo de los lutrinos es que se va duplicando con cada generación en un lugar determinado. Si en un lugar hay diez lutrinos (machos y hembras mezclados), en una hora habrá otros diez nuevos lutrinos, que siempre serán cinco machos y cinco hembras. Pero, una vez que han empezado a procrear, los lutrinos se lanzan y ya no pueden parar, incestuosa y desordenadamente participan todos. La siguiente generación será una vez más de diez lutrinos, pero sólo tardará media hora en aparecer. La siguiente generación de diez lutrinos sólo tardará quince minutos, etc. Si no se para el asunto separando absolutamente todos los machos de todas las hembras, este ritmo es perfectamente predecible y cada generación de diez lutrinos tardará exactamente la mitad que la anterior en aparecer.

Como consecuencia, por supuesto, la población lutrina a la llegada de los Alienígenas matemáticos era infinita, algo que no cambió tras las escasas bajas producidas durante el proceso. Los tentaculados tiranos del Universo se encontraron, por lo tanto, con una cantidad infinita de criaturas libidinosas que no tenían la menor utilidad culinaria ni militar; para cualquier otra especie galáctica, el carácter adorable de los lutrinos hubiera sido valioso en sí mismo, y los hubieran abrazado sin parar y utilizado como mascotas, ¡son tan monos!, pero los Alienígenas simplemente se veían levemente irritados ante la monería y mimos de los lutrinos. Además, tantos abrazos por parte de criaturas que copulan con tal fruición hacía que los Alienígenas se sintieran francamente incómodos.

Lutrino

Lutrino recién nacido.

Pero los ingeniosos y cthulhoides conquistadores pronto encontraron un uso práctico para los lutrinos y su insaciable libido: los experimentos matemáticos, especialmente los que involucraban el concepto de infinito. Podían usarse lutrinos para realizar cualquier experimento, siempre que uno fuera cuidadoso de no mezclar machos y hembras, y siempre había lutrinos adicionales para emplear en los experimentos, por muchos que se utilizasen. De modo que casi todos los laboratorios Alienígenas tenían lutrineras, en las que una cantidad infinita de las criaturas estaba disponible en todo momento gracias a su peculiar y lujuriosa capacidad. Además, dado lo afable del carácter de estas criaturas, era posible entrenarlas para realizar tareas simples –no muy complejas, ya que no se trata de seres demasiado inteligentes–.

Una vez descrita esta entrañable especie, si aún estás leyendo esto –¿qué haces aún leyendo esto, insensato?–, vayamos al experimento multipartito que nos interesa. Imagina, delirante lector, como en otras ocasiones en esta serie, que los malévolos y babosos Alienígenas matemáticos han conquistado la Tierra, y que te encuentras en una habitación con uno de los detestables seres.

“Bienvenido, xuglurz ((El término más similar a “humano” en la lengua alienígena. Estrictamente es una onomatopeya que significa “el ruido que hace el tercer estómago al digerir carne tierna”.))”, te dice el monstruo con voz gorgoteante y húmeda, mientras varios de sus ojos vidriosos se fijan en ti. “Has sido elegido para realizar un pequeño experimento que demuestre tu capacidad intelectual” –en este punto, un ruido burbujeante resuena en la habitación y la criatura se estremece de risa–. “Observa estas dos cajas”.

En efecto, en la habitación hay dos cajas, una verde y otra roja. La caja roja está completamente vacía, y la verde contiene diez lutrinos con números pintados sobre su lomo. Los lutrinos numerados del 1 al 5 son hembras, y los del 6 al 10 son machos. Las criaturas están abrazándose unas a otras de un modo que es adorable y algo desasosegador al mismo tiempo. Tú conoces a estas alturas el comportamiento de los lutrinos, con lo que no te es difícil predecir lo que va a suceder en poco tiempo. En tan sólo una hora habrá otros diez lutrinos en la caja, y luego…

Dadas las reglas de reproducción de los lutrinos, ¿cuánto tiempo pasará hasta que haya infinitas criaturas en la caja? La caja es, por cierto, hiperdimensional, con lo que puede contener un número infinito de lutrinos sin romperse ni que éstos puedan escapar. Afortunadamente para ti, xuglurz, has leído ya el artículo de la lámpara de Thomson, de modo que ya conoces la respuesta, pero piensa –o relee el artículo– antes de seguir leyendo.

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Cuando haya pasado una hora habrá 20 lutrinos, cuando haya pasado media hora más habrá 30 lutrinos, cuando hayan pasado 15 minutos más habrá 40 lutrinos, etc. La respuesta a esta primera pregunta es, por tanto, la suma infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…. horas. Es decir, que cuando hayan pasado dos horas, la caja contendrá infinitos lutrinos.

El Alienígena matemático sonríe mientras te observa razonar. “Desde luego, dentro de dos horas la caja contendría infinitos lutrinos, dados sus desagradables hábitos reproductivos, ése no es el experimento, es una obviedad… pero estos lutrinos, además, han sido entrenados. Observa lo que sucede ahora, bípedo implume.”. Y dicho esto, la criatura se queda simplemente mirando la caja con aproximadamente la mitad de sus ojos amarillos, y a ti con la otra mitad. Los segundos se convierten en minutos, y pronto ha pasado una hora.

A la hora, efectivamente, el número de lutrinos ha aumentado en diez, y veinte adorables bolitas de pelo se mueven en la caja. Al mirar de cerca, observas que los diez lutrinos originales –los que tienen números del 1 al 10 pintados en el lomo– sostienen un rotulador cada uno en las pequeñas patitas, y rápidamente marcan a los siguientes diez lutrinos con ellos: el lutrino número 1 marca uno con el número 11, el 2 a otro con el 12, y así hasta el lutrino número 10, que marca al último lutrino recién nacido con el número 20. Finalmente hay veinte lutrinos marcados con los números del 1 al 20, y los diez lutrinos originales entregan sus rotuladores a los recién llegados.

“Con este entrenamiento”, barbuta el alienígena, “no sólo podemos obtener un número infinito de lutrinos en un par de horas dentro de la caja, sino que además están todos numerados. En media hora, los diez lutrinos nuevos marcarán a los diez que habrán nacido entonces y les pasarán los rotuladores, y así hasta el infinito… muah, hah, ¡HAH HAHHAHAHABLGORRBG!”, ríe el alienígena, desparramando baba ácida por todas partes y haciendo que los lutrinos lo miren, algo asustados. “Pero lo interesante viene ahora, la clave del experimento”, continúa el monstruo.

Y entonces ves cómo el lutrino número 1, tras pasar su rotulador al número 11, salta fuera de la caja verde por una pequeña puertecilla y entra en la caja roja, que estaba inicialmente vacía. De modo que, tras esta primera generación lutrina, la caja verde contiene 19 lutrinos numerados del 2 al 20, y la caja roja contiene un único lutrino, marcado con el número 1.

“Sí, delicioso y tierno xuglurz”, te dice el aberrante ser, agitando sus tentáculos con un placer mórbido. “Ahora la cosa se complica, ¿verdad? En esta caja roja hay un campo bioestacionario que evita que los lutrinos se reproduzcan. De ese modo nos aseguramos de que no aparezcan lutrinos nuevos en la caja roja salvo que entren desde la verde. Observa el proceso.”

Cuando ha pasado tan sólo media hora más, al mirar la caja verde te das cuenta de que han aparecido diez nuevos lutrinos, que son marcados por la generación anterior con los números 21 al 30 e, inmediatamente, el lutrino marcado con el número 2 salta desde la caja verde con determinación y entra dentro de la caja roja, donde su compañero esperaba con cara triste. Los dos lutrinos hembra se abrazan afectuosamente, como si no se hubieran visto en meses. De modo que ahora la caja verde contiene lutrinos de números 3 al 30, y la caja roja los lutrinos de números 1 y 2.

“Como ves, a pesar de ser criaturas estúpidas, lujuriosas y llenas de amor, los lutrinos son exepcionalmente disciplinados en cuanto al entrenamiento se refiere”, te indica la palpitante criatura. “En quince minutos habrá otros diez lutrinos nuevos en la caja verde, marcados del 31 al 40, y el lutrino número 3 habrá salido de la caja verde y entrado en la roja.”

Dicho esto, el alienígena se estremece de placer una vez más, mientras su tonalidad cambia en oleadas lascivas de sensualidad intelectual. “Aquí está el primer enigma, el primer dilema, lo que te convertirá en mi cena si fallas en la respuesta”, gorgotea el monstruo, y con la palabra “cena” su boca derrama cubos enteros de saliva verdosa y maloliente. “Pero se trata aún de una pregunta de fácil respuesta incluso para ti.”

“Pon en marcha tus patéticas células grises, xuglurz, y responde a la siguiente pregunta”, te dice la criatura. “¿Cuántos lutrinos habrá en la caja roja cuando hayan pasado dos horas?”

De modo que, querido xuglurz, razona un momento antes de seguir leyendo, aunque –como dice el monstruo– la respuesta debería ser fácil.

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Imagino que la pregunta no te habrá resultado difícil de responder. En la caja roja habrá infinitos lutrinos a las dos horas, ya que se añade uno por cada paso, y en dos horas se han producido infinitos pasos, de modo que habrá infinitos lutrinos en la caja (que no se pueden reproducir mientras estén en ella, por supuesto).

Supongo además que, si has leído la serie hasta ahora, ni siquiera estás viendo aún dónde diablos está la paradoja de Ross-Littlewood; estas primeras preguntas son para servir de base a la paradoja, que llegará pronto… paciencia.

Al oír tu respuesta, el tirano ultradimensional sonríe, revelando docenas de hileras de dientes afilados y recubiertos de babas. “En efecto”, responde con un ronroneo. “En la caja roja habrá infinitos lutrinos. Incluso tu despreciable mente ha sido capaz de resolver este simple enigma. Pero contesta ahora a la segunda pregunta… si fallas, tus huesos crujirán en la cena bajo mis mandíbulas”, continúa la criatura, mientras sus ojos saltones se clavan en ti con cierto anhelo. “¿Cuántos lutrinos habrá en la caja verde a las dos horas?”

Esta pregunta es bastante más difícil de contestar que la anterior, y de hecho constituye la paradoja de Ross-Littlewood en sí misma. Piensa unos minutos sobre qué respuesta darías al alienígena –pero no mucho tiempo, pues la paciencia no es una de sus virtudes–, y sigue leyendo.

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En este caso, como en algún otro, no puedo darte una respuesta “correcta”, porque dependiendo de a qué matemático preguntes, te dirá una cosa u otra, y como cualquier supertarea, el experimento no puede realizarse en la práctica pues es físicamente imposible. Lo que sí quiero hacer es razonar contigo para que veas, al menos, que la respuesta no es evidente. Dependiendo de cuál haya sido tu respuesta (si es que has dado una concreta, en vez de sostener que no hay una respuesta correcta o que el problema es absurdo, claro), lee la sección correspondiente.

Si tu respuesta ha sido que la caja verde estará vacía a las dos horas, el contra-argumento es sencillo, y es el que probablemente han utilizado quienes piensan lo contrario (que la caja verde tiene infinitos lutrinos): si en cada paso hay diez lutrinos nuevos y uno abandona la caja verde, en cada paso la caja verde gana 9 lutrinos de forma neta. Por lo tanto, en el paso n habrá 9n lutrinos en la caja verde, y cuando se hayan producido infinitos pasos, la caja verde contendrá infinitos lutrinos. Espero que veas que la respuesta de que la caja verde está vacía no es, en absoluto, evidente, ni quienes sostienen lo contrario unos burros.

Si tu respuesta ha sido que la caja verde contiene infinitos lutrinos a las dos horas, es probable que pienses además que no hay paradoja alguna, ya que la respuesta es muy fácil (al menos, eso me pasó a mí al principio). Antes de tratar de convencerte de que la respuesta no es evidente con argumentos, permite que invoque, aunque esté feo, el principio de autoridad: tanto Ross como Littlewood llegaron a la misma conclusión el uno que el otro, y esa conclusión fue que la caja verde está vacía a las dos horas. Eso no quiere decir nada, pues ambos pueden estar equivocados, pero otra cosa es que estén equivocados en algo absolutamente estúpido. Tanto el uno como el otro son gente sabia e inteligente, de modo que ¿qué es más probable? ¿que el problema sea una estupidez y Ross y Littlewood unos descerebrados, o que el problema sea más complejo de lo que te puede parecer al principio y haya que pensarlo más despacio, como hicieron ellos, incluso aunque no lleguemos a su misma conclusión? Pues eso, pensemos juntos.

Imagino que tu razonamiento habrá sido parecido al contra-argumento que he dado arriba contra la idea de que la caja verde está vacía a las dos horas; fue el de Geli cuando le conté la paradoja, y el mío propio también. Pero hay grietas en esa argumentación.

La primera es la caja roja: la caja roja contiene, en eso creo que estaremos de acuerdo, infinitos lutrinos a las dos horas, pues en cada paso hay un lutrino más que antes y hay infinitos pasos; pero vayamos un poco más allá. ¿Qué números tienen los lutrinos de la caja roja al final?

Ya vimos que el lutrino 1 está tras el primer paso, el lutrino 2 tras el segundo paso, el lutrino 3 tras el tercer paso… tras infinitos pasos, en la caja roja estarán absolutamente todos los números del 1 al infinito. De modo que ¿qué números quedan en la caja verde entonces?

Otra manera de ver esto es la siguiente; si sostienes que la caja verde contiene infinitos lutrinos, retozando unos con otros con abrazos afectuosos (y lujuriosos), y cada uno de esos lutrinos tiene un número en la espalda… ¿cuál es el número más pequeño de lutrino en la caja verde?

Finalmente, el argumento de Littlewood, que es de gran elegancia. Para cualquier número de lutrino, es posible determinar en qué momento sale de la caja verde y entra en la roja. El lutrino 1, una hora antes del final; el lutrino 2, media hora antes del final; el lutrino 3, un cuarto de hora antes del final; el lutrino n, 1/2(n-1) horas antes del final. Para cualquier lutrino que tú sostengas que está en la caja verde puedo no sólo demostrarte que no está en ella, sino en qué instante exacto saltó de la caja verde a la roja.

Por tanto, Littlewood y Ross concluyeron ambos que la caja verde estaría vacía, puesto que absolutamente todos los lutrinos la abandonan en un momento determinado antes de las dos horas. Dado que el número de lutrinos en la caja verde aumenta constantemente durante las dos horas, por supuesto, esta línea de argumentación supone que el número de lutrinos en la caja verde es una función continua… excepto en el punto t = 2 horas, en el que hay una discontinuidad y el número de lutrinos desciende bruscamente hasta cero. En ese instante, todos los lutrinos están en la caja roja.

Sin embargo, otros matemáticos posteriores no han estado de acuerdo con Ross y Littlewood, y sostienen que tanto la caja verde como la roja contienen infinitos lutrinos, y que los de la caja verde tienen pintados números infinitamente grandes en la espalda, de modo que no tiene sentido tratar de dar un número de dorsal “más pequeño”.

El quid de la cuestión está, por supuesto, en que el concepto de infinito es algo que nuestras patéticas mentes xuglurz no pueden aprehender, simplemente se nos escapa, y de ahí que sea una fuente inagotable de paradojas como ésta, y que todavía los matemáticos sigan discutiendo al respecto, y los legos como tú y yo disfrutando con ello… y más aún los Alienígenas matemáticos, para quienes el infinito no tiene misterios, aunque lo utilicen para su propio deleite sádico.

Porque, cuando das tu respuesta –haya sido la que haya sido–, el monstruo galáctico sonríe y cubre las dos cajas con sendas mantas opacas, y mira un reloj de extraña forma en la pared. “Esperemos las dos horas, entonces”, te dice con una voz peligrosamente suave, mientras un olor a amoníaco inunda la habitación. Sus ojos se cierran y el ser se pierde en sus propias cavilaciones para pasar el tiempo, mientras tú observas el reloj y las mantas.

Y, a las dos horas, la criatura abre sus docenas de ojos amarillos como una cascada, y sonríe de nuevo haciendo que los tiburones parezcan casi tiernos en su sonrisa. “Retira las mantas pues”, te invita con voz sibilante.

Y revelas la caja roja, en la que infinitos lutrinos te miran con ternura, entrelazados en abrazos afectuosos.

Y revelas la caja verde, y las enormes mandíbulas del Alienígena matemático se cierran sobre ti.

En la próxima entrega de la serie, el problema de los dos niños.

Puedes encontrar este artículo y otros como él en el número de marzo de 2010 de nuestra revista electrónica, disponible a través de Lulu:

Para saber más:

Alienígenas matemáticos, Matemáticas

89 comentarios

De: chemist
2010-03-11 15:05:40

Fantástico como siempre. La paradoja del infinito que más me ha gustado. ¡Qué bueno que hayan vuelto los Alienígenas Matemáticos!


De: Bartran
2010-03-11 15:50:11

Que alegría!! Admito que aún no he podido leer la entrada, pero esta serie fue la que me unió irremediablemente a este fantástico lugar.

Voy a hacer un tremendo esfuerzo y aguardar hasta disponer de unos minutos de solaz para paladear este nuevo regalo.

Gracias Pedro!!!


De: crp
2010-03-11 15:51:54

Gran final


De: Miguelon
2010-03-11 16:27:15

Muy bueno el artículo, ya echábamos de menos a los alienígenas matemáticos.
Yo creo que el concepto de infinito es simplemente un concepto matemático, pero que no tiene aplicación en el mundo real, que se sepa hasta ahora y si no me equivoco, no hay nada en el universo que sea infinito, ni el número de electrones, ni el tiempo, ni el espacio ni nada, quizás solo nuestra paciencia al ver que en el períodico solo hablan de fútbol


De: kemero
2010-03-11 16:32:57

Estas paradojas están buenísimas...

Para mí el problema de estas paradojas es pasar lo matemático, que es abstracto, a la vida real (que obviedad!).

Tal vez nuestro conocimiento de la matemática nos ha servido hasta ahora como lo hizo y hace la mecánica Newtoniana, pero y si al llegar a los infinitos (como la velocidad de la luz en física) necesitáramos de otra matemática??... quién será el próximo Albert Einstein? ^^


De: Bartran
2010-03-11 16:59:05

Ahora sí he podido disfrutarlo.

El concepto de infinito es realmente intrigante, y hasta cierto punto inquietante.

Yo me quedo con la opción de que la caja inicial se queda vaca justo a las 2 horas, no porque tenga más peso o lógica, si no porque me parece más elegante ese pensamiento, y fue con el que coincidí.´

Sin embargo aquello que más me ha hecho pensar y disfrutar ha sido:

"Supone que el número de lutrinos en la caja verde es una función continua… excepto en el punto t = 2 horas, en el que hay una discontinuidad y el número de lutrinos desciende bruscamente hasta cero."

Y es por ello mismo que el concepto de infinito se nos escapa a los humanos, a modo de simil, es como si trataramos de comprender porque si un objeto lleva una trayectoria recta sin obstaculos, ni fuerzas externas, al cabo de 50 metros, se vuelve azul y salta en el aire 4 veces para luego continuar si movimiento inicial.

Es algo tan completamente inusual, y que no tiene relación con ninguna vivencia, ni experiencia, que simplemente se vuelve inimaginable o incomprensible.

Algo así puede suceder igualmente con la teoría de la relatividad y su verdadera comprensión.

Un saludo a todos, y hasta el próximo banquete, del que esperemos que sobreviva el pobre humano.


De: Emilio
2010-03-11 19:57:19

Fascinantes, estos lutrinos... aunque habría que puntualizar que las camadas recién nacidas se aparean con sus padres para dar lugar a la siguiente camada, y no (como podría creerse) que los 10 lutrinos originales son padres de los infinitos lutrinos hermanos que aparecen en las 2 primeras horas. Puede dar lugar a confusión, pues en mi caso pensé que cuando las 5 lutrinos hembra originales pasaron a la caja roja, ningún lutrino de los jóvenes se reproducirían antes de pasadas las 2 horas.

Evidentemente el alienígena disfrutó devorándome cuando levanté la manta de la caja verde.


De: Pedro
2010-03-11 20:16:57

Emilio, al hablar de "generaciones" pensé que se entendería que no eran los 10 originales los que producían a todos los demás sino que procreaban todos, pero ahora edito la regla ligeramente para mencionar que todos participan, por si alguien más tiene la misma confusión.


De: Furgencio
2010-03-11 20:23:06

Al margen de la paradoja matemático, a nivel físico ¿tendría algo que ver el tiempo de Planck?

Por lo que tenía entendido no tiene sentido físico hablar de tiempos más pequeños que esta constante. Por lo tanto llegará un momento en que el crecimiento será constante, por lo tanto a las 2 horas no habrán crecido hasta el infinito, en ninguna de las cajas.
Seguramente no es así, pero por preguntar...


De: Andrés
2010-03-11 21:10:00

Con esta paradoja pasa lo mismo que con la lámpara de Thomson. No se puede extender un modelo matemático hasta el infinito, y pretenderlo aplicar al mundo real. Porque salen cosas raras.

Dentro de los conjuntos con infinitos elementos, no todos tienen el mismo cardinal (hay infinitos más grandes que otros). Pero en el ejemplo de los lutrinos, hay que señalar que se está aludiendo a infinito numerable ℵ0. Que tienen todo el mismo cardinal.

Por otro lado hay que señalar, que en conjunto con infinitos elementos, se puede escoger un subconjunto con los mismos elementos que el total. Que es lo que está pasando en este ejemplo.

Así que, aunque en la caja azul hay nueve veces más lutrinos que en la roja. Realmente hay los mismos.

Lo que no me cuadra es que esta paradoja se formulara en 1953, ya que en esas fechas las matemáticas estaban muy avanzadas. Esta paradoja es similar a la de Aquiles y la tortuga, que fue formulada sobre el 450 a. C.


De: Rodion Romanov
2010-03-12 00:52:05

Me encantó la entrada.

Puse la función en una hojita de cálculo (herramienta perfecta para analizar infinitos, sí, lo se) y me da 1 hora. No dos.

Me explican de donde salieron las dos horas?


De: xx32
2010-03-12 01:21:23

pues, creo que lo que pasa es que ambas cajas quedarían llenas, porque a las dos horas, habrian infinitos lutrinos y en otro tiempo 0 infinitos, con lo que quedarían infinitos lutrinos saliendo al mismo tiempo de la caja verde a la roja, mientras ya habrían infinitos en la caja verde, y como no existe el número infinito, nunca podría llegar el último a la caja roja.
P.d: acabo de quemar mis propias neuronas


De: Niko54
2010-03-12 04:34:47

Genial artículo, me ha hecho pensar bastante.. Mi primera respuesta fue que en ambas cajas hay infinitos lutrinos, y la sigo creyendo.. Aunque también es cierto que se puede "identificar" el momento en el que el lutrino n-esimo sale de la caja, hay que tener en cuenta que el "n" es un numero entero finito , mientras que "infinito" es sólo un símbolo que indica una cantidad muy grande.. Y como tal no puede ser tratado "como un número".. Aparte lo que dice #10, es cierto..
Mm aún así "habría que hacer números", establecer como una serie la cantidad de lutrinos en función del tiempo, y luego realizar el limite cuando t tiende a 2 hs.. tanto para la caja verde como para la roja..¿Estoy en lo cierto?.. Saludos..


De: José Luis Ferreira
2010-03-12 06:34:33

Si me permitís, varío un poco la historia. En lugar de salir primero el número 1, luego el 2 y así sucesivamente, ¿qué tal si sale primero el número 10, luego el 20 y así sucesivamente?

La historia es la misma, se reproducen con la misma frecuencia y salen de una caja a otra exactamente los mismos. Ahora está claro que en cada caja habrá infinitos. En una están todos los múltiplos de 10 y en la otra todos los demás.

¡Pero lo único que ha cambiado ha sido el número que llevaba pintado cada un@!


De: lluisteixido
2010-03-12 08:17:30

A Rodion Romanov.

Ten en cuenta que la suma es 1 + 1/2 + 1/4+....

Sólo sumando los dos primeros términos ya tenemos un número mayor que 1. ¿Puede ser que te hayas olvidado sumar el primer término?


De: Nodens
2010-03-12 09:40:04

Hablando desde lo que creo que es una cierta ignorancia matemática.

¿Realmente hay tanta discrepancia con esta paradoja? Yo pensaba que simplemente hay infinito en las dos cajas siendo el de la verde de mayor magnitud (concretamente 19 veces mayor).


De: chamaeleo
2010-03-12 11:00:52

Soy de la opinión de que ambas cajas están llenas de infinitos lutrinos, ya que para cuando el lutrino número infinito llegue a la caja roja, habrá nueve infinitos en la caja verde; por otro lado, el infinito no se puede tratar como un número natural, tiene propiedades "extrañas": por ejemplo, cero multiplicado por infinito puede dar un número distinto de cero; o infinito menos infinito puede dar cualquier cosa. Desde luego, el contraargumento de Littlewood me parece muy consistente, pero creo que sólo es válido para un número arbitrariamente alto, pero no para el infinito (pero eso es sólo una opinión).

En cualquier caso, da igual, porque al final siempre me pasa lo mismo: acabo engullido (una vez más) de la forma más asquerosa y dolorosa posible por uno de esos monstruos alienígenas. ¡Qué majos! ;-)

Por cierto, muy monos y cachondos los lutrinos esos, muahahaha.


De: Sergio
2010-03-12 12:07:08

Genialmente estremecedor, como siempre.

A la última pregunta, mi respuesta ha sido infinitos, y una vez he acabado de leer, he buscado la relación entre las dos cajas y he llegado a la conclusión de que la verde(t1) = verde(t0) + 10 - 1, que es la constante que se sigue en todo el patrón, por lo tanto la caja verde no depende de lo que haya en la roja, sino de si misma. Esa sería mi respuesta en caso de que el tiempo fuera infinito.

Supongo que nos empeñamos en pensar que el tiempo es infinito porque no podemos demostrar que es finito, pero al final, la flecha llega a la manzana y Aquiles gana a la tortuga, o sea que todo apunta a que al final hay una barrera que se rompe y entramos en la hora 3. ¿Dónde está ese punto?. Imagino que los lutrinos se reproducirían a la velocidad de la luz a partir de ese punto, y no se si el momento en que alcanzan la velocidad de la luz (o sea la primera reproducción a esa velocidad) entra dentro de la hora 2 o de la hora 3, pero finalmente mi respuesta sería la de arriba verde(t=final) = verde(t=anterior) + 10 - 1.

Ñamf Gromf.... :D


De: Naeros
2010-03-12 13:01:46

Me ha encantado, como siempre :D
Y los comentarios muy buenos!
Pero lo que de verdad me ha ganado ha sido esto:

(...)su lectura es ortogonal a cualquier uso práctico del período temporal que requiere.

De: Macluskey
2010-03-12 17:21:00

Mmmm. Menuda paradoja. Para resolverla es necesario acudir a un informático, no a un matemático, que sólo verá la conexión de modo ortogonal...

Así que mi implacable lógica de informático viejo y gruñón me hace pensar que:

1) ¿Qué ocurrió en el instante infinitesimal inmediatamente anterior a la llegada de la hora 2? (Ya sabemos, porque nos lo contó lucas en su serie sobre el tiempo en elcedazo, que la paradoja de Zenón es una falacia, es decir, el tiempo no se acaba en la hora 2, sino que llega, pasa... y continúa después). Pues en la última división antes de llegar a la re-finitiva, aparecieron diez lutrincillos en la caja verde y salió un lutrino a la caja roja. O sea, al menos habrá nueve lutrinos en la caja verde, nunca cero.

2) Qué pasará en el instante infinitesimal inmediatamente posterior a la llegada de la hora 2? Si la caja verde tiene cero lutrinos, ya no aparecerán más lutrinos nunca más, lo que no tiene sentido para mí. ¿Qué tiene la hora 2,000....0 que no tenga la hora 2,000....1? A mí, desde luego, mis ignorantes programas me seguirían generando lutrinos y más lutrinos, y tan campantes...

Claro que la informática ha cambiado mucho desde mis heroicos tiempos, así que... ¡Salsa barbacoa, por favor!!!

Un gran artículo, Gran Jefe!


De: Luisantonios
2010-03-12 18:01:26

Pues como siempre la genialidad se manifiesta en ésta entrada, y yo me he divertido de lo lindo aun cuando el concepto de infinito no quepa en mis neuronas, pero no me importa, para esa tarea están ustedes, que son capaces de manejar lo alucinante con una facilidad que envidio y admiro al mismo tiempo, muchas gracias por hacer que algunas de mis neuronas hagan un intento de sinapsis al leerlos con tanta fruición.


De: Nusesabe
2010-03-12 20:29:53

Pues yo sigo creyendo que en la caja verde hay bichos de esos porque el problema que yo veo aquí es que se trata desde fuera, es decir, no hay que mirar el conjunto, si no localmente, y si localemente en cada reproducción sale uno y se queda el resto, es imposible que se vacie, aunque salgan infinitos siempre habra infinitos en ambos lugares, y no se puede decidir a las 2 horas cual es el número mas pequeño porque el problema esta planteado para que nunca se lleguen a las dos horas, es decir, que cuanto mas nos acercamos a las dos horas, mas hay, sin embargo nunca se llega a las 2 horas, por eso se dice que al llegar a las dos horas habria infinitos, pero es que al llegar a las 2 horas el ritmo de reproduccion es de infinitos por unidad de tiempo,

Vamos que aunque pararamos el tiempo, seguirian reproduciéndose.


De: jreguart
2010-03-12 20:50:43

Vamos, vamos,... creo que esto es todo un ingenioso y divertido juego de manos con truco.
Yo me afilio a lo que apunta Mcluskey, será porque somos casi de la misma camada de lutrinos (yo de la del 48).
Como a Aquiles, creo, que nunca le llegaba la flecha, porque en cada momento el arma asesina siempre debía recorrer al menos la mitad de lo que le quedaba de distancia hasta Aquiles... y así hasta el infinito, quedándole siempre una última mitad de recorrido que completar y por tanto no hiriendo nunca a Aquiles.
Así con los lutrinos, nunca se llega a la hora DOS, porque en la serie 1+1/2+1/4+... siempre hay un 1/n que nos separa de ella (de la hora 2) y por tanto nunca hay infinitos lutrinos procreando ni infinitos lutrinos jubilados, idea que choca con la únidad conceptual de infinito (¿qué es eso de dos infinitos a la vez? Esto es panteísmo puro).
Lo que realmente hay es mogollón (mogollón=número muy gordo) de lutrinos procreando y mogollón de jubilados. La suma de ambos mogollones tiende a infinito pero nunca lo alcanza (como debe ser un buen infinito).
Lo que si es cierto es que a Aquiles le hirió una flecha, y que en el experimento de los lutrinos el reloj de la Puerta del Sol no sólo dio las dos sino que incluso llegó a las uvas de fin de año ¿entonces qué pasa? Que cuando "t" tiende a "2" el tráfico lutrínico es de tal envergadura que me atrevería a pedirle a un matemático-físico quántico que lo estudiara en los ratos libres: cuanto más nos fijamos en los lutrinos en las proximidades de su hora DOS menos sabemos de ellos, con más rapidez varía su estado y más se nos escapa de su conocimiento (¡quién se atreve a ponerles una matrícula!), a la vez podrían ser reproductores o jubilados .
Alguién ya ha comentado el tiempo de Planck y yo pido que me den el estado quántico del invento.
Por otro lado sería interesante el analizarlo también desde el punto de vista de los agujeros negros, ya que más pequeños son los quarks y los electrones que los lutrinos, y mira la que forman cuando se juntan y la masa tiende a algo muy gordo, algo así como un mogollón: que colapsan en un agujero negro. Mi tesis es que en la hora dos se ha creado uno de ellos con los lutrinos, que se ocultan tras el horizonte de eventos.
Luego hay otra consideración que me alarma ¿por qué los lutrinos jubilados están condenados a no procrear? Lo digo más que nada por mi edad.
Bueno, aparte de coñas marineras (y perdonadme por ellas), el artículo me ha entretenido un montón, desde el fondo hasta el estilo jocoso, que me ha permitido alargarlo un poco en mi comentario.
Espero el siguiente Pedro... y el nuevo de quántica, y el nuevo de las partículas, y el nuevo del sistem solar, y una serie que me explique los procelosos entresijos de la química de la que no se nada, y y y y... "y"nsaciable que soy. Muchas gracias por tu incansable labor de desasnarnos y encender lucecitas en nuestras obtusas entelequias.


De: Macluskey
2010-03-13 00:41:55

El comentario de jreguart me ha recordado inevitablemente a Rcihard Feynman en "¿Está Vd de broma, Mr. Feynman?", cuando estaba en Princeton y se dedicaba a unirse a grupos de otras especialidades que no fueran la suya...

Comenta que cuando se unía a los corros de matemáticos siempre salían a relucir los infinitos con proposiciones, paradojas y teoremas como éste de hoy. Él se quedaba escuchando y al final siempre decía algo como "Señores, por más que su cinta métrica se doble una y otra vez, llegará un momento en que su longitud será igual a la de Planck, y NADA puede ser más pequeño que eso, connlo que no se puede doblar más... así que, lo siento, pero su problema de infinitos es una tontería..."

Y se marchaba tan ricamente, dejando a personajes como Gödel y compañía con un palmo de narices... ¡qué tío, el tal Feynman!


De: luis ( españa)
2010-03-13 02:11:29

muy entretenida la paradoja, me ha gustado mucho, pero quizas un poco influenciado por los examenes en su dia del carnet de conducir, en donde te decia por h y por b que lo importante no es la foto, sino lo que pone en el enunciado, me veo obligado a opinar y discrepar un poquillo.

en primer lugar, no se, me parece que la idea inicial exponia que para que se cumpliese que, cada nueva mitad de fraccion de tiempo, surgiese una nueva generacion de 10 lutrinos, estos habian de permanecer en la caja, y esto no se cumple en este caso, lo que de por si seria un nuevo elemento variable que tuviera que ser tenido en cuenta.

pero dado que se requiere el salto de estos a la caja roja para poder tener paradoja, la aceptaremos y proseguimos...

en mi opinion, hay dos opciones.
si aceptamos que existan las multitareas, entendidas como procesos infinitos en tiempo finito, y le demos validez a la paradoja. tendriamos que decir que en la caja roja existen infinitos lutrinos, si.
pero en la caja verde para que la multitarea fuese posible, han de existir un numero 9 por infnito( de la caja roja). debido a que con cada nueva generacion, suponia que hubiese 9 nuevos lutrinos en la verde y solo uno mas para la caja roja.

y la otra opcion, mas sensata, es que estas multitareas sean imposibles. yo me decanto por esta.

en cuanto al concepto en si del numero infinito, muy tenido aqui en cuenta, decir que no acabamos de concebir el infinito numerico( en este caso, pues hay otros como el espacio mismo) porque al no albergar un fin, no es medible en su extension, unicamente podemos abordarlo apartir de formulas o funciones.
precisamente por eso ross-littlewood se aventuraban a decir que en la verde no habria ninguno al termino de las 2 horas, ya que podian incluso aseverar el momento exacto en el que cada leutrino salia para colarse en la caja roja.

sin embargo su error reside en considerar el infinito como finito, ya que el numero infinito de la caja roja, es nueva veces inferior en numero, o deberiamos decir aumenta 9 veces mas lento que el infinito de la caja verde. por lo que podremos calcular cada instante de ese infinito en el que sucesivamente salta cada leutrino, pero la proporcion o el crecimiento de ambos infinitos es distinto. imposibilitando el mismo calculo, ya que jamas alcanzaria el infinito mayor, el de la caja verde.

y no me convence por elegante que pueda resultar, el decir que en el instante 2 segundos, automaticamente todos los leutrinos de la caja verde se evaporan por las buenas, porque se sale del planteamiento en si, y si al decir esto se pretende pensar que todos los leutrinos, es decir infinito por 9 de la caja verde, saltan porque si a la caja roja, se me antoja de un absurdo infumable.

asi que cuando todo apunta en una direccion, y la cuestion mas sencilla es la mas probable, mejor guiarnos por Ockham, y tendriamos que decir que las multitareas son imposibles, al igual que las "maquinas de movimiento perpetuo" al menos, por el momento!


De: CuriOso
2010-03-13 02:20:42

Pues a mí lo que me preocupa no es la paradoja. Eso es lo de menos. Lo realmente preocupante es que para rotular al infinitésimo lutrino, van a necesitar tal cantidad de papel, que se podrán limpiar los infinitos traseros de todos elllos a la vez.


De: José Luis Ferreira
2010-03-13 07:08:40

Parece que mi comentario anterior no ha provocado reacciones. Yo esperaba que dejara claro que la operación de la que se habla en la entrada no está definida. Me explico.

Obviamente, en la realidad finita no podemos hacer el experimento. Pero no es eso. Se trata de ver si tenemos un modelo matemático coherente en el que definir lo que aparentemente se define en la entrada. Digo aparentemente, porque hasta que no esté definida formalmente, la historia de la entrada no tiene por qué corresponder a algo bien definido.

Recordemos que el "infinito" no es un número real. Lo usamos para indicar, por ejemplo, cuando una serie puede ser tan grande como queramos, sin mostrar una cota superior. Decimos que tiende a infinito. Pero eso no hace de este concepto un número. No podemos sumar un número a infinito, puesto que no se respetarían las propiedades de la suma (si sumamos 1+infinito y 2+infinito, con las propiedades de la suma tendríamos que decir que 1=2).

Otra de las cosas que no podemos hacer con "infinito" (con series que tienden a "infinito") es tomar límites. La serie

1-1+1-1+1-1...

no tiene límite. Simplemente no está definido, es una operación que no se puede hacer, o, en otras palabras, que no hay manera de asignarle un resultado en un sistema formal coherente.

De la misma manera, la historia de la entrada nos pide hacer la operación

10-1+10-1+10-1+10....

pero esta operación no está definida. Su resultado ni es infinito ni es nada, es simplemente un sinsentido, por más que, en principio, parezca coherente. Pues no lo es, no hay sistema formal (coherente con el resto de las matemáticas) que le asigne un resultado.

La historia que se nos cuenta (mirar la caja al cabo de dos horas y encontrar "algo o nada") es imposible, pero no porque físicamente sea imposible llevar a cabo el experimento, sino porque es imposible definirla formalmente. Mejor dicho, la serie sí se puede definir, pero es una serie que no define un número (su límite).


De: Pedro
2010-03-13 09:44:05

Naeros, ;)

Macluskey,

Claro, Feynman se las daba de listo porque estaba tratando con matemáticos humanos. Si hubiera sido con un alienígena matemático la conversación hubiera sido más bien:

"Señores, por más que su cinta métrica se doble una y otra vez, llegará un momento en que su longitud será igual a la de Planck, y NADAAAAAAAAAAArrRRGGGH", Grompf, grompf, grompf....


De: CuriOso
2010-03-13 11:36:23

Buenas.

He estado pensado mientras dormía, que al alienígena no le vale eso de "el infinito es un número muy grande". No estamos tratando con un alienígena físico, ni ingeniero, sino con el peligroso alienígena matemático, que al igual que G. Cantor, no se conforma con semejante respuesta.

El argumento de "en la verde hay 9 veces infinitos que en la roja" está admitiendo que el infinito de los pares es la mitad de grande que el conjunto de los naturales. Pero Cantor demostró, de forma muy ingeniosa, que ambos infinitos son iguales: Emparejó uno a uno todos los pares con los números naturales:
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
...

De esta forma se ve que por más que aumentemos la lista hasta n, siempre encontraremos un par 2n, y por tanto ambos infinitos son iguales (el aleph 0... cómo cuernos lo habéis puesto ¿admite LaTeX el blog?)

Así que de la misma forma, se pueden emparejar los lutrinos de la caja roja con su grupo de origen de la verde. Son el mismo infinito.

La duda es si está llena o vacía... Mi primera respuesta fue que había infinitos (inf.), aunque como Pedro puso "es dificil" barajé la posibilidad de que estuviese vacía. Es igual. Aquí, desde el tercer estómago del alien, se ve más claro.

En el instante de las 2 horas, aparecen inf. lutrinos, pero también se mudan inf. lutrinos. La cuestión es que ya no estamos tratando con lutrinos individuales, sino con aleph 0 lutrinos

P.D. Sí, sí... ha tenido que ser durmiendo, porque anoche al acabar de leerlo no se me había ocurrido toda esta parrafada :P


De: Dexter
2010-03-13 11:51:09

Me encantó


De: Pedro
2010-03-13 11:55:58

CuriOso,

He estado pensado mientras dormía

!!!

¿admite LaTeX el blog?

En los artículos sí, en los comentarios no, pero puedes usar html: & alefsym; (sin el espacio, claro).


De: Macluskey
2010-03-13 12:58:05

AAAaaahhhh!

Pobre Feynman, tanto Premio Nobel para acabar en las mandíbulas de un tentacular ser de otra galaxia...

@Jose Luis Ferreira: Sí que me leí tu comentario y me pareció muy acertado, igual que el siguiente. Yo es que a lo del infinito como que le tengo un poco de antipatía... cada vez que un programa se me metía en un bucle infinito (muuuchas veces), me ponia de los nervios, así que no me gustan nada.

Pero dicho eso, la serie 10-1+10-1+10-1... efectivamente no tiene un resultado definido. Pero supongo que admite una simplificación, de la forma: (10-1)+(10-1)+(10-1)... que supongo que puede quedar como 9+9+9+9+9+9+... Y eso no sé dónde termina pero me da a mí que es una serie infinitamente creciente, así que que de pronto se haga cero me parece muuuuuuy raro.

Pero... Hasta aquí llego. Yo sólo soy un humilde informático que sabe un poco de mucho, y mucho, de nada... Así que me voy con Feynman al cuarto estómago del alienígena (es que en el tercero está CuriOso y ya no queda sitio :) ).


De: Cristóbal Camarero
2010-03-13 14:44:39

Por supuesto que se puede formalizar matemáticamente.

El conjunto de los lutrinos en la caja verde después de x>=0 horas le podemos poner como:
V_x={ n in N : 2^(2-n/10) >= 2-x > 2^(1-n) }
que está definido y es finito para todo x.

Ahora podemos definir f(x)=|V_x| y tenemos
f(x)=0 para todo x>=2
aunque su límite en dos por la izquierda es infinito.


De: Angel
2010-03-13 15:31:18

Como dice Jose Luis, a la hora de pensar en estas paradojas alienígenas hay que olvidarse del Mundo físico con sus escalas de Planck, etc, etc. Estamos en el mundo ideal de las matématicas con todas sus consecuencias, donde un subconjunto infinito de los números naturales puede tener el mismo "tamaño" que el conjunto completo, por más atiintuitivo que nos resulte, pero así funcionan los infinitos en matemáticas. Un mundo extraño, terrorífico, donde al menor descuido acabas en el estomago de un ser viscoso con tentáculos :-)

Por cierto, creo que Jose Luis en el comentario 14 da un argumento perfecto para pensar que en ambas cajas acaba habiendo infinitos leutrinos.


De: Alberto g
2010-03-13 18:01:45

Hola

Muy buen artículo, tan entretenido como siempre!

Pedro quiero añadir mi granito de arena al blog comentándote un par de gazapillos. Minucias, pero así queda al gusto de los maniáticos lectores habituales :)


  • En el párrafo 7: " Pero, una vez que han empeado a procrear ..." falta la z de empezado.


  • En un párrafo casi al final: "Ya vimos que el lutrino 1 está tras el primer paso, el lutrino 2 tras el segundo paso, el lutrino 3 tras el tercer paso… tras infinitos pasos, en la caja roja estarán absolutamente todos los números del 1 al infinito. De modo que ¿qué números quedan en la caja roja entonces?"


Si no lo he entendido mal, la pregunta debería ser "De modo que ¿qué números quedan en la caja verde entonces?", no en la roja, ¿no?

Saludos


De: José Luis Ferreira
2010-03-13 18:33:52

Macluskey:

Según qué cosas queramos hacer con las secuencias, es posible definir su límite de otra manera, pero dejando claro que solo vale para esas aplicaciones. Por ejemplo, en economía, podemos hablar de un individuo que recibe cada año los pagos 10, -1, 10, -1, 10, -1,... y que el individuo vive infinitamente. ¿Qué pago recibirá en total? Mala pregunta, no está definido, pero podemos preguntar ¿Qué pago recibe en media cada año? Eso está mejor, y podemos decir que es (10-1)/2, así que para esa aplicación, la definición de límite como límite de las medias puede servir. Pero solo para esa aplicación.

Angel:

Mi argumento es que uno puede "argumentar" que habrá infinitos, pero también que habrá "siete" o cualquier cantidad que se quiera. La razón es que es argumento está mal hecho porque la operación de la historia no está definida. La razón de la paradoja es que nos parecía que sí lo estaba, y eso es difícil quitárselo de la cabeza.


De: CuriOso
2010-03-13 20:56:31



CuriOso,



He estado pensado mientras dormía

!!!

XD Qué va, hombre, estoy de coña
&alefsym Gracias

Macluskey, qué no, que aún queda sitio aquí, que no tengo el cabezón tan grande :P

Por cierto, me he estado mirando el enlace de la wiki y parece que me he dejado algo antes. Dice que nunca se llega a las 2h con lo que preguntar qué pasa entonces no tiene sentido. Sería un problema mal formado, que es lo que está diciendo José Luis, entiendo.


De: CuriOso
2010-03-13 20:59:27

leches, me he dejado el ; ℵ gracias :mrgreen:


De: maeghith
2010-03-14 00:00:15

Que alcancen infinito en 2h no significa que dejen de crecer pasado ese tiempo y el planteamiento de que "Para cualquier número de lutrino, es posible determinar en qué momento sale de la caja verde y entra en la roja." incluiría los lutrinos que han dejado la caja en "T > 2h".

El caso es que si para cada número de lutrino podemos decir en qué momento ha pasado a la otra caja, por el mismo planteamiento de que cada generación son 10 lutrinos (creo que en realidad incluso esto daría igual), también podemos decir cuales otros 9 quedan aun por cambiarse en ese instante, ¿no?.

Es decir si el lutrino L[a] cambia de caja en un instante "T < 2h" arbitrario, y tenemos una máquina que nos permite congelar el tiempo en ese mismo instante, ¿no quedarán, al menos, los otros 9 lutrinos de su misma generación en la caja de origen?.

Entonces si avanzamos el tiempo justo el instante necesario para que cambie de caja 1 sólo lutrino cada vez, el resultado es que las 2h no llegarían nunca, pues el tiempo entre que un lutrino cambia de caja y el siguiente sería cada vez más pequeño.

Un momento…, si las 2h no llegan nunca… el alienígena no puede dar el experimento por concluido y entonces no nos puede devorar, ¿no?… ¡claro!, seguro que él ha usado la máquina para congelar el tiempo y sabe la respuesta correcta, por eso ha tapado las cajas.

PD:

Por tanto, Littlewood y Ross concluyeron ambos que la caja verde, puesto que absolutamente todos los lutrinos la abandonan en un momento determinado antes de las dos horas

Digo yo, que después de "verde" faltaría "está vacía".


De: matematicus
2010-03-14 06:37:14

oye pedro una pregunta, ya busqué en internet por todas partes y no hay nada y como me dejaron de tarea y tu eres muy culto seguro sabes,jejeje ¿a quién se le atribuye el término ciencia?


De: Pedro
2010-03-14 08:56:46

Alberto/maeghith, ¡gracias, erratas corregidas! :)


De: José Luis Ferreira
2010-03-14 09:01:02

Cristóbal:

Puedes formalizar la historia para cualquier momento finito, pero no puedes formalizar la tarea de encontrar el límite en el infinito, porque tal cosa no está definida, como se ve en la descripción de la serie.

Pensemos en la siguiente pregunta: ¿Qué pasa si el rayo rompelotodo golpea a la torre indestructible? El problema no está en que cada una de esas cosas sea físicamente imposible. Tampoco siquiera que "rompelotodo" e "indestructible" habría que definirlo mejor (partiendo de un conjunto universal bien definido de cosas que se pueden romper o de cosas que pueden destruir). El problema es que no se puede definir lógicamente la historia en que se tienen ambas cosas, a pesar de que en el lenguaje natural aparentemente no habíamos tenido ningún problema.


De: Pedro
2010-03-14 11:55:51

matematicus, no tengo la menor idea, lo siento... la próxima vez, si es algo ajeno al artículo y no te importa, mejor me envías un correo :)


De: dnl
2010-03-15 07:22:13

Bueno eso si el tiempo no es cuantico, por que si lo fuese no habría infinitos en ninguna caja para empezar. :P
El problema con las paradojas sobre el infinito a mi parecer no es que sean demasiado complejas, si no que más bien no tienen sentido. No mientras no conozcamos algo que sea verdaderamente infinito en el universo, hasta ahora no hay nada, solo es una palabra, para describir la naturaleza de nuestro sistema de numeración que fue pensado para no tener limites, pues si los tuviera basados en limitaciones reales del universo, entonces si que sería algo complejo. Aun así no hay espacio ni materia en el universo para escribir un numero infinitamente grandes. Por lo cual ni siquiera la numeración abstracta que hemos inventado es infinita. De ahí que sea necesario inventarse sin símbolo llamado infinito.


De: RDC
2010-03-15 13:38:06

Muy divertido la paradoja. Sin embargo, me parece que aquí, en realidad hay un problema de enunciado y por tanto de definición de términos. POr ejemplo, aquí la noción de tiempo no está definida y da lugar a un montón de ambivalencias, puesto que deja que cada cual la tome como le interese; tal y como hace Littlewood.

Bien mirado, nos encontramos con la famosa paradoja de aquiles de Zenon; y una de sus conclusiones dice: si hay infinitos pasos para ir de un puto A a otro B jamás se puede alcanzar el punto b por definición de infinito. O sea, si existiera algo que realmente pudiera reproducirse en infinitos pasos nunca podrián pasar 2h.

Esto nos trae otro problema: el inifnito no parece ser un número, al menos no es un número natural como el 1 o el 2, puesto que no es finito, aunque lo representemos con un símbolo. El infinito es una conjetura matemática o si se quiere, es un número irracional. Esto significa que no tiene un valor natural concreto y determinado. Si tratamos el infinto como un número natural, tal y como parece que hacen Ross y Littlewood entras en una paradoja porqué parece que el problema diga: en la caja verde hay 10 individuos y en la roja 10 más, pero en total solo habría que haber 10 entre las dos cajas... ¡y en la verde habría que haber 9 veces más que en la roja!

En fin, el problema es que el enunciado está mal definido, hecho que da pie a las ambivalencias. De todas formas, creo que las interpretaciones de Ross y Litllewood son bastante tergiversadas, para empezar, por suponer que un proceso con infinitos pasos puede tardar un tiempo finito (esto, ya de por sí, es una paradoja) y luego por tratar el infinto como un número finito, o sea, natural.

Saludos.


De: Jerbbil
2010-03-16 11:47:50

Buenos días.

Desde mi profunda ignorancia, y teniendo en cuenta que la ignorancia es osada, mi opinión es que se están mezclando churras con merinas.

Vereis, creo que hay cosas de la pregunta que sólo pueden pasar en el mundo físico, y otras en el mundo matemático, y que se mezclan, y por eso dan lugar a la paradoja.

A ver si consigo explicarme. Matemáticamente hablando, y si he entendido algo -que puede que no- es imposible la llegada del momento "hora 2", porque antes de llegar a él hay que pasar por un rosario infinito de momentos intermedios. O sea, que la llegada del momento "hora 2" es algo físico.

Por otra parte, físicamente es imposible que los lutrinos terminen reproduciéndose a velocidades cercanas a la de la luz y escribiendo dorsales de cuatrocientos dígitos o más en las espaldas de sus pobres descendientes en cuestión de fracciones de segundo. O sea, que la reproducción lutrínica es un concepto matemático.

Sin embargo, en la preguntita de marras se nos pregunta qué pasa con un crecimiento que sólo puede darse en el mundo matemático si éste sucede en el tiempo del mundo físico. Y creo que mezclar ambos mundos no tiene mucho sentido. O semos, o no semos :). O los lutrinos nunca llegan al instante "hora 2" porque matemáticamente es imposible, o no se reproducen tan rápido y llegan a la "hora 2" con una saludable aunque limitada (éso sí, ternísima) camada de lutrinitos.

Ah, y quiero un lutrino. Esterilizado, pero quiero uno :)

Abrazotes.


De: Angel
2010-03-16 14:00:04

Matemáticamente es posible llegar a la hora dos, ya que las matemáticas ni se despeinan cuando hay que sumar infinitos términos, siempre que la serie sea convergente, y ésta lo es. Vamos, en matématicas continuamente se utilizan estas cosas (definición de limite, convergencia, derivada, teoría de numeros transfinitos, etc, etc) y no surgen problemas. Las matemáticas no tienen problemas con el infinito, somos nosotros y nuestra limitada mente ;-)


De: Jerbbil
2010-03-16 15:27:53

Hola Ángel,

Muchas gracias por la respuesta. Tenía entendido que una suma de este tipo (1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16...) "tendía" a tomar cierto valor, en este caso 2, pero que en realidad nunca llegaba a ser 2, ya sumes cien o infinitos términos. De ahí que para este caso concreto en el que la suma se refiere a horas, haya indicado que el instante "por fin pasaron dos horas" es matemáticamente imposible. Y, por lo tanto, inútil preguntarse qué pasa con el número de lutrinos y su localización en ese instante. Sin embargo, cronómetro en mano, podemos medir que ahora son las diez y dentro de dos horas serán las doce y aquí paz, y después, pues más paz todavía.

Tendré que revisar mis ya de por sí escasos conocimientos, porque si además de escasos son inexactos, apaga y vámonos ;).

Saludetes.


De: Mazinger
2010-03-16 16:32:45

Estos alienígenas matemáticos van a acabar conmigo... Un esfuerzo mental más como el de esta tarde y adiós Mazinger.

En fin, pues yo había llegado a la conclusión de que habría infinitos lutrinos en cada caja, siendo el infinito de la caja verde 9 veces más gordo que el de la caja roja. :-) El argumento de estos dos insignes matemáticos es impecable y abrumadoramente fino, pero no lo encuentro superior, lógicamente hablando, al de que por cada lutrino que sale quedan 9 más dentro. El infinito es en sí mismo un concepto paradójico...

A ver si los bichos repulsivos estos nos hablan algún día de los números transfinitos.


De: Angel
2010-03-16 19:59:06

Jerbbil: cuando sumas un número finito de términos, la suma se acerca a dos, pero nunca valdrá dos. Solo cuando sumas todos los términos, un número infinito de ellos, la suma vale dos.

Mazinger: me temo que no... si hay infinitos leutrinos en las dos cajas, los dos infinitos son iguales. Por contraintuitivo que nos resulte, en este caso no hay un infinito mayor que otro. Es similar a lo que sucede con los números naturales y los enteros. Si los enteros son todos los naturales mas el cero y todos los negativos, por "lógica" tiene que haber más enteros que naturales. Bueno, pues resulta que no. el tamaño de N y Z es el mismo, ya que puedes crear una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos. ¡Cuanto daño hizo Cantor a nuestras mentes! ;-)


De: josejuan
2010-03-16 22:28:17

Igual digo una tontería pero este tipo de "divisiones" de tiempo suponen que el tiempo se puede dividir de forma indefinida hasta el infinito, pero, me pregunto, no es más lógico pensar que al igual que la materia y la energía tienen limites en la unidad mas pequeña en la que se pueden dividir, ¿No sería igual de lógico pensar que el tiempo tampoco se puede dividir indefinidamente?, es decir, ¿No debería existir una unidad mínima de tiempo que es físicamente imposible dividir en unidades más pequeñas?.


De: gus
2010-03-16 22:34:16

Muy acertadas las consideraciones de José Luis Ferreira. Me quedo con ellas, de todo lo que he leído.
Por otra parte, me resisto a aceptar que "el problema no tiene sentido". No me gusta eso. Claro que tiene sentido, porque podemos imaginarlo. Otra cosa es que se nos fundan las neuronas al cabo de 1h 59m 59s.
En mi opinión, el quid de la cuestión está en que una misma operación con infinitos, ofrece resultados diferentes dependiendo de cómo se plantee. Tendremos que considerar esta propiedad tan antiintuitiva.
Tal como plantea la paradoja Pedro, es cierto que cualquier número de bicho por el que preguntes va a estar en la caja roja después de las 2 horas, y no seremos capaces de encontrar ningún bicho numerado en la caja verde.
Según el ejemplo que indicaba José Luis (comentario #14), habrá infinitos bichos en las dos cajas.
Si procedemos de otra forma, por ejemplo, haciendo que el primer bicho en saltar a la caja roja sea el número 6, después el 7, después el 8, etc... a las 2 horas, cualquier número por el que preguntes estará en la caja roja, excepto los 5 primeros, que estarán en la verde.

Por tanto, en la caja verde, quedará un número de ellos que dependerá del proceso seguido.

El proceso, al igual que la paradoja de la lámpara de Thomson, no es realizable, pero no por ello deja de ser lógico.

Sólo me queda una duda: Si llevamos a cabo el experimento tal como lo plantea aquí Pedro, y llegamos a la conclusión de que la caja verde está vacía a las 2 horas... ¿Quién sostiene los 10 rotuladores?


De: mboni
2010-03-17 02:02:17

Hola a todos!
Creo que José Luis Ferreira la ha clavado. Me he quedado de piedra al ver que el resultado dependía de los números que iban a la caja roja, si por ejemplo van el 1,3,5,7... ya no se llega a la conclusión de que todos acaban en la caja roja de manera que se llega a la conclusión de que hay infinitos en ambas.
Sólo se llega a la conclusión de que acaban todos en la roja cuando salen el 1,2,3... me parece tan extraño esto porque además el 1 bien podría ser el 8 por ejemplo solo que aleatoreamente se le ha nombrado 1 y no 8. es muy muy extraño.

Obviando esto que he escrito y siguiendo el planteamiento planteado aquí (valga la redundancia) si que en un principio me parecía correcta la solución de infinito en ambas pero luego he visto que también era valido el "ceraco" en la verde.

Creo que Pedro ha dejado claro que esto no se puede dar en la realidad y que es solo una hipótesis. Por cierto aprovecho para felicitarte por el blog y de paso darte las gracias por hacerme disfrutar tanto.

Respecto al ultimo comentario de Gus, yo creo que como en el caso de la lámpara de Thomson no se sabría quien (similar al estado de la lámpara después del tiempo, no se sabe si es encendido o apagado). Quizás se pueda decir que los rotuladores los llevan (pasadas las dos horas) los lutrinos infinito, infinito,infinito...y infinito (hasta 10).


De: mboni
2010-03-17 10:54:37

por cierto, ¿a nadie les recuerda los lutrinos a los petisos carambanales de Superlopez?


De: Fortuna
2010-03-17 14:47:48

Sin ser yo matemático creo que el tiempo es un concepto físico que no debe ser empleado en matemáticas porque confunde. En primer lugar, el tiempo T=2 horas, no puede alcanzarse con la serie de naturales, {1,1+/2,1+1/2+1/4,...} esa suma (el último término) siempre es menor que 2 sea cual sea el número de términos.

Podemos replantear el problema, indicando que tenemos dos sucesiones de conjuntos que asigna a cada natural los conjuntos Rojo(n)={1,2,3,...n} y Verde(n)={n+1,n+2,...10n}.
Cada uno de los conjuntos límite R y V es una correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales.
N R
1 1
2 2
3 3
4 5
...
...
...

Pero el problema viene a tratar de indicar qué elementos son los del conjunto V.

N V
1 &alefsym+1
2 &alefsym+2
3 &alefsym+3
4 &alefsym+4
...
...
...

Al parecer, los elementos de V, a pesar de tener el mismo cardinal de N, no está compuesto por naturales, sino por transfinitos. Ello sería un problema porque podría estar en contradicción del principio de inducción, ya que si n es natural, n+1 es natural y n+2...10n también. Por tanto, esos &alefsym+n son también naturales. He argumentado por reducción al absurdo, si suponemos que el principio de inducción es válido. De hecho el conjunto N está definido por inducción, por tanto, la hipótesis falsa es que esos número no son naturales.

Luego los dos conjuntos son, en mi opinión, infinitos. (por supuesto, dado que no soy matemático, puede haber error en mi exposición).


De: Fortuna
2010-03-17 14:51:32

Donde dice N R 1 1 2 2 3 3 debería haber saltos de línea, en la previsialización se veía bien.

Significa 1->1, 2->2, 3->3,...

y

1-> &alefsym+1, 2-> &alefsym+2, 3-> &alefsym+3, 4-> &alefsym+4


De: RDC
2010-03-17 20:22:28

Me acabo de leer lo que comenta José Luís Ferreira en el comentario 27. Veo que se parece en algo con lo que yo he puesto en el 45. Pero no es lo mismo.

El sr. Ferreira dice que el enunciado no es coherente; hecho que no me parece acertado. Creo más bien que el enunciado genera ambivalencias por estar definido de forma deficiente. Si no fuera coherente nadie habría sacado ninguna conclusión al respecto y el caso es que tenemos varias de posibles.

Creo que somos muchos que tenemos claro que lo del tiempo=2h nos suena absurdo, ya que un proceso con infinitos pasos jamás puede alcanzar un estado definitivo ¡Esto es por definición de infinito! Ante lo infinito podemos apelar a los limites, es cierto ¡Pero el valor que te da un límite al infinito no es el valor real del infinito! El infinito, por definición, no tiene valor -Y de aquí su importancia.

En todo caso, me parece que el enunciado de esta paradoja resulta más claro si simplemente decimos que los animalistos estos se reproducen indefinidamente de 10 en 10 y cada vez que lo hacen, uno va a la caja roja y 9 a la verde. Y luego nos preguntamos ¿cuantos animalitos habrá en cada caja en infinitas reproducciones?

Si estudiamos lo que sucede en cada caja en cada momento de reproducción tenemos una sucesión muy bien determinada; esta tiende, tanto para un caso como el otro, al infinito ¡El mismo infinito!

Esto puede generar cierta duda si se peinsa que el infinito es un número natural, o sea, si se peinsa que en infinitos momentos de reproducción habrá el msimo número de animalitos en una caja que en otra. Lo que te está diciendo realmente la ecuación es que no hay forma de saber cuantos animalitos hay en las cajas en infinitas reproducciones. Pues el infinito no nos enseña un valor sino que nos dice que desconocemos cualquier valor que eso puede tener. O sea, después de de infinitas reproducciones no podemos saber cuantos animalitos hay en una caja ni en otra.

Sin saber cuantos habrá exactamente en uno y otra caja, al menos podemos suponer que en la caja verde hay 9 veces más animalitos que en la roja. De aquí surje la idea de que existen infinitos más grandes que otros.


De: gus
2010-03-17 20:27:27

Mi primera respuesta a la paradoja fue que habría infinitos lutrinos en ambas cajas. Ahora me decanto más claramente por lo opuesto: En la caja verde no quedan lutrinos. Me parece más sólido y más lógico.

Pensando en quién tiene los rotuladores llego a la siguiente consideración que os comparto y agradezco vuestras opiniones.

Es claro que el trasiego de rotuladores y cambios de caja de los lutrinos se produce a un ritmo cada vez más rápido. Los tiempos de permanencia de los lutrinos en la caja verde tienden a cero conforme nos acercamos a las dos horas.

El comportamiento es asintótico: Una cantidad cada vez mayor de lutrinos, permanecen en la caja verde un tiempo cada vez más breve: Podemos elegir intervalos de tiempo arbitrariamente pequeños, que cumplen que todos los lutrinos existentes en ese instante en la caja verde, han pasado a la caja roja en el instante siguiente.

Con lo que concluyo: Decidme qué intervalo de tiempo t en la caja verde es el mínimo suficiente para considerar que un lutrino ha estado allí, y sabremos los últimos 10 lutrinos que tuvieron los rotuladores en la mano, inmediatamente antes de saltar a la caja roja.


De: José Luis Ferreira
2010-03-17 22:40:38

Gracias por los capotes. Querría aclarar algo más lo de la indefinición o incoherencia.

La suma de dos números es una operación bien definida en la aritmética. Las propiedades de la suma, asociativa sobre todo, permite sumar muchos números seguidos, pero no nos permiten sumar infinitos números. La suma de infinitos números es una operación distinta que ha de definirse.

Para las series convergentes es posible dar una definición satisfactoria y consecuente con la definición de suma de toda la vida (la de dos números). Con series divergentes esto no es posible (no se cumplirá la propiedad asociativa).

Así que lo único que podemos hacer es, o bien definir arbitrariamente la operación suma de una serie divergente (p.e,. en 1-1+1-1+1-... podemos decir que es 1, 0, 1/2, ó un estado cuántico entre 1 y 0 ó lo que se nos ocurra), o bien decir que tal operación no está definida.

En el primer caso he llamado suma a la operación, pero no es la misma operación suma de los números reales y sería, por otra parte, salirnos del ámbito de la paradoja, que se refiere a dar un resultado suma, según entendemos que es la suma de números reales. En el segundo caso es en el que decimos que no es posible definir esa tarea.


De: RDC
2010-03-17 23:34:59

Se me había olvidado decir que me ha hecho mucha gracia lo que ha dicho Gus en el anterior comentario: si en la caja verde no quedan lutrinos ¿quien lleva los rotuladores? Sin embargo no comporto la conclusión de sus último comentario. No creo que sea, éste, un problema de tiempo. Además, si hubiera un instante final y último no habría paradoja. La paradoja se da precisamente porqué el último instante, que supuestamente es al pasar 2h, es un instante completamente indefinido.

Con José Luis estoy de acuerdo en lo general; a saber: nos encontramos ante series indefinidas. Por tanto, los argumentos de Ross y Litllewood son falacias al tratar el infinito como un número natural o real, cuando lo que nos indica es un valor indeterminado.

En otras palabras, cuando pedro dice que pasados infintos pasos en la caja roja habran los lutrinos que vayan marcados del 1 al infinito, es una falacia, puesto que el infinito no se puede marcar ¡El infinito no es un valor final y definitivo!

Lo cierto es que paremos la serie en el momento que la paremos en la caja verde habrá 9 veces más lutrinos que en la roja. Y esto será siempre así. Sin embargo, si lo extrapolamos al infinito no sabemso cuantos habrán ni en la roja ni en la verde.


De: RDC
2010-03-18 00:14:31

Ah, otra cosa más.

Lo que proponen Ross y Litllewood, ¿acaso no consiste en decir que infinito - infinito = 0?


De: Antonio
2010-03-19 17:22:16

Partiendo de un razonamiento no-cierto "en la caja roja estarán absolutamente todos los números del 1 al infinito" se puede demostrar cualquier cosa. Por eso mismo puedo decir "en una caja tengo una máquina de movimiento contínuo, por lo que (oh, paradoja) me cargo las leyes de la termodinámica".
No se puede tener lo que no se puede tener.


De: Pedro
2010-03-19 18:24:31

Antonio, ah, no, en el mundo de los alienígenas matemáticos sí se puede tener lo que no se puede tener ;)


De: RDC
2010-03-19 19:15:46

Pedro... ¿en el mundo de los alienígenas matemáticos se puede tener una calculadora que restando infinito menos infinito me de 0? O sea, ¿si quito infinitos lutrinos de la caja verde despues de que éstos hayan procreado infinitos lutrinos, acaso me queda que en la caja verde no hay ningún lutrino? Creo que, como decía José Luís, esta operación no está definida, pero como las nociones del enunciado son ambivalentes Ross y Littlewood las han tergiversado a conveniencia para demostrar lo que les interesa.

De todas formas, igual el planteamiento de Ross y littlewood pueda ser útil para alguna cosa.

Saludos


De: Pedro
2010-03-19 21:27:24

Pedro… ¿en el mundo de los alienígenas matemáticos se puede tener una calculadora que restando infinito menos infinito me de 0?

¡Por supuesto! Aunque, naturalmente, un alienígena matemático nunca se humillaría utilizando una, ni le haría falta (una inteligencia capaz de resolver sudokus de números transfinitos puede permitirse ser orgullosa). Incluso en nuestro mundo, infinito menos infinito puede ser cero sin el menor problema, dependiendo de los infinitos, claro :)

(Por cierto, no creo que ni Ross ni Littlewood trataran de tergiversar nada para demostrar lo que les interesaba... porque creo que lo que les interesaba era obtener la respuesta correcta, si es que había una, independientemente de cuál fuera ésta).


De: RDC
2010-03-19 23:39:33

Buena esa Pedro jajaja

a) Quizás infinito menos infinito pueda ser cero (suponiendo, si me interesa, aceptar la existencia de infinitos superiores a otros y pasando de interpretarlo de otra forma), pero no me parece que esta operación pueda ser cero cuando atiendo a lo que plantean R y L. Me parece que ellos me dicen: 10 X infinito - 1 X infinito = 0 . Y aquí el infinito es el mismo para lso dos términos de la resta, puesto que representa el nº de veces que se reproducen los lutrinos.

b) Una respuesta es corrrecta o incorrecta, no de por sí, sino según lo que nos interese. Somos nosotros quienes establecemos los criterios de validación a nuestro gusto, o sea, según cómo lo veamos. Hay mucha psicología destrás de todo esto...

Saludos.


De: gus
2010-03-20 11:12:20

Desde luego, dividiendo el problema en dos partes, todo se simplifica: Empezamos con 10, en una hora son 20, en hora y media son 30, etc. No tendríamos problema en admitir que a las 2 horas, hay un infinito numerable de elementos, y sin ningún conflicto con supertareas, ni definición del problema, ni continuidad.

Después, abordamos las restas: Quitamos el número 1, en una hora quitamos el 2, en hora y media el 3, etc. A las 2 horas no queda ninguno. Seguimos sin rastro de problemas con continuidad, ni definición, ni supertareas.

La paradoja nos surge cuando intentamos hacer las dos cosas al mismo tiempo. Es cierto que los infinitos se pueden comportar de forma extrana, pero nosotros también somos un poco raros, eh?


De: Alberto
2010-03-20 15:27:45

La cuestión es que se tratan de infinitos distintos, por lo que en una caja habrá de 1 a infinito1 lutrinos y en la otra de infinito1+1 hasta infinito2 lutrinos.


De: RDC
2010-03-21 12:23:49

Hola Alberto,

¿Por qué dices que la cuestión es que se tratan de infinitos distintos? ¿No depende, esto, de como nos lo miremos?

Por ejemplo, 'reescribamos' el problema de la siguiente forma:
Se producen infinitas reproducciones, por tanto, tenemos un proceso con infinitos pasos. Este infinito es único y lo que nos indica que el proceso jamás termina. Tenemos, además, que la caja verde gana 10 veces infinitos lutrinos, pero pierde una vez infinitos lutrinos. Supongo que de aquí se puede sacar la conclusión que estamos hablando de dos infinitos distintos, como bien expones. Pero esto no es cierto, almenos si acatamos las leyes de operaciones entre infinitos que dicen: un numero natural multiplicado por infinito es infinito, independientemente del nº natural que sea. 100multiplicado por infinito y 2 multiplicado infinito dan, por igual, infinito.

Con todo, apuesto por afirmar que la caja verde sigue la siguiente sucesión; a saber: Sumatorio cuando x tiende a infinito de 10x-x. Esto es claramente un límite. Directamente este límite, al infinito, me da: 10·infinito-1·infinito, que es igual que decir, por las leyes de operación entre infinitos (se pueden ver en el wikipedia en el apartado de infinito) infinito-infinito. El resultado de esta resta entre infinitos es indeterminado. Pero este límite se puede solucionar al ver que x(10-1)=9x; con lo cual, límite al infinito de 9x es infinito.

En conclusión, se puede decir que en la caja verde habrán infinitos lutrinos al pasar dos horas. Y no es necesario apelar a superinfinitos ni nada de todo eso. Es más, diría incluso que eso resultaría incorrecto en la medida que no atendería a las leyes de operación con infinitos.

Pero en fin, esto es tal y como yo lo veo.

Saludos


De: Epicuro
2010-03-22 00:00:16

¡Esto es genial! Me ha encantado este post.

Creo que la solución es más simple de lo que está diciéndose en los comentarios. Esta paradoja, como la del hotel de Hilbert, se reduce a esto: "infinito" no es un número, aunque los números son infinitos. Cualquier razonamiento que trate al infinito como si fuera un número más es erróneo.

Por eso, escribir que en la caja roja están todos los números "del uno al infinito" es falso. Y si eliminamos este error, la paradoja se resuelve (sin dejar de ser paradójica).

A las dos horas habrá, sí, infinitos bichos en la caja roja, cada uno con un número en el lomo, pero ninguno de ellos llevará escrito el número INFINITO. Habrá números infinitamente grandes, pero siempre será posible escribir números todavía mayores (suponiendo que los rotuladores tienen la punta infinitamente fina). Que serán los que llevan los infinitos bichos que hay en la caja verde.

Que se nos quede para siempre: INFINITO NO ES UN NÚMERO NATURAL...

Saludos.


De: AlienígenaMatemático
2010-03-23 02:38:34

¡Vaya! tan sólo 11 días y esta página ya es el resultado 10 de Google para esta paradoja, por eso estoy aquí :)

Quería comentar que yo no creo que sea ni un resultado ni en el otro, yo concluyo que:

A las 2 horas en la caja roja hay infinitos, y en la caja verde hay nueve.

¿La razón? Pues porque ambas supertareas pasan al mismo tiempo, este resultado me parece el más satisfactorio (despues de haber leido todas las otras entradas en google, incluyendo los links al final del articulo); lo que pasa en los últimos instantes del segundo 59 del último minuto de la segunda hora:

Hay casi infinitos lutrinos en la caja verde, pero aún son contables, estos lutrinos se pueden odenar de forma:

n, n+1, n+2 ... Omega (ε)

(n es en que tiene el menor número)

La clave es este último omega lutrino, que por definición será el último en abandonar la caja de los lutrinos qué hay aquí. No importa cuantos ultimos instantes se sigan en el tiempo, los lutrinos aún no serán infinitos y podran ser ordenados así. Pues, cuando el tiempo se acaba todos estos lutrinos tienen 10 bebes más y saltan a la caja roja (ya que cualquier número finito de ellos se puede restrear en el tiempo y saber cuando fue que saltaron).

Ya que las super tareas pasan al mismo tiempo, uno de los diez nacidos es movido también a la caja roja, y llega el primer instante de la hora 2, cuando nos asomamos a la caja y vemos que los lutrinos restantes son:

ε+2, ε+3, ε+4, ε+5, ε+6, ε+7, ε+8, ε+9 y ε+10

Y entonces me los como a casi todos XD

Cuantos hay en la caja dependera de cuantos lutrinos nacen cada vez (x) y cuantos son movidos a la caja roja (y) y será x-y.

Ahora los nuevos lutrinos serán libres de producir otros diez lutrinitos en una hora.

La verdad es que a mi tambien me comió el Alienígena matemático por el que me hago pasar, pero con todas estas cosas extrañas respecto a números infinitos creo que está es otra posibilidad lógica (mencionada por Macluskey en el mensaje 20) ya que todo es un embrollo hasta que diferenciamos al último lutrino que sale de la generación actual, y sabemos que nunca puede haber menos de 9 lutrinos en la caja verde por que nacen más de los que salen.

De hecho, ahora que lo veo bien, no hay razón aparente para que haya infinitos lutrinos en la caja roja, solo que podemos seguir y seguir añadiendo últimos instantes infinitos al tiempo hasta decidir cuando dan las 2:00, y hacer al número de lutrinos en la caja roja infinitamente grande.

¡Qué divertido fue el articulo! Jamás me hubiera planteado el problema con tanta cachondes y degeneración. Gracias. :D

PD - Esta solución funciona porque no está definido qué pasa en el "momento cero", así que se puede definir que "todos los lutrinos de la caja que son <ε, ε y ε+1, saltan".


De: RDC
2010-03-23 09:48:30

Ei, alienigena... muy buena esa. aunque no estoy muy convencido de tus argumentos ;)

A mi entender, con lo que cuentas nos encontramos, de nuevo, con una cuestión que muchos colegas de post han estado discutiendo: sobre si esta serie, al infinito, llega jamás a las 2h. Si se considera que en algún momento se llega a las 2h, entonces se considera que el infinito es un número natural, muy grande y desconocido, pero es un numero determinado y por ello se pueden plantear soluciones como la que presentas. O como la que presentan Ross y Littlewood.

Si consideramos que una serie infinita como esta jamás puede alcanzar las dos horas por no ser el infinito un número natural, como dice Eipucuro por ejemplo, entonces hay que tratar la serie como un límite al infinito.

Yo apuesto por la idea que el infnito es, literalmente, infinito, o sea, no es un número final determinado, sino que indica no finalización. Por tanto, al infinito jamás encontramos el último número de la serie. Por eso ya he comentado que me parece que en la caja verde habrán 9x lutrinos, siendo x cada una de las reproducciones. Ej: cuando hayan pasado 100 reproducciones habrá 900 lutrinos; cuando hayan pasado 1000 reproducciones habrá 9000 lutrinos; cuando hayan pasado 10.000 reproducciones habrà 90.000 lutrinos, y así hasta el infinito. Y en el infinito, simplemente desconocemos cuantos lutrinos habrá, porque el infinito no es un valor definido.

Y he aquí la paradoja: como que el infinito no es un valor definido, entonces cuando se dice que en la caja roja habrà infinitos lutrinos, esto no indica que en la caja verde no haya ninguno, ni 9; pues el infinito no es un número NATURAL. En la caja roja y en la verde pueden haber, por igual, infinitos lutrinos. de la misma forma que infinito por 2 es igual a infinito por 5.000.
Saludos.


De: AlienígenaMatemático
2010-03-23 22:23:31

No, si infinito por 2 fuera igual que infinito por 5.000, querría decir que 2 es igual que 5000, o que cualquier número es igual a otro. Simplemente infinito no se puede multiplicar por otro número, así pues, el número de lutrinos de la caja verde no puede ser x9 los de la caja roja (infinito) pues sería equivalente a decir que 1=9.

Me gusta mi solución por que da unas respuestas satisfactorias a estas preguntas:

¿Cuál es el número del lutrino que tiene el número menor en la caja verde?

ε+2

(ε es un número infinitamente grande, podría decirse, un uno con infinitos ceros a la derecha (y acabando en 0), así que este lutrino de la caja verde tendría un uno seguido de infinitos ceros, pero acabando en 2. Y no es que el infinito acabe en dos, sino que empezando desde cualquier extremo del principio o el final no se podría llegar al otro lado, pero se sabe que empieza en uno y acaba en 2, así como se puede saber que la secuencia infinita pi empieza con 3.14159... y se puede saber cualquiera de sus cifras arbitrariamente).

¿Cuáles son los números de los últimos dos lutrinos que entraron en la caja roja?

ε y ε+1.

Aquí hay una continuidad (entre el último instante de la segunda hora y el principio de la tercera se sabe que pasa), si trataramos de responder a estas preguntas con la idea de que hay infinitos lutrinos en ambas cajas, el lutrino de la caja verde con el número más bajo sería ε+infinito, pero como eso es igual a ε+infinito+1, ¡todos los lutrinos de la caja verde tendrían el mismo número! Por lo que no se tiene idea de cuál fue el último lutrino en abordar la caja roja, ni que números tienen.

Y para los que creen que la verde está vacía, ¡parece que se les olvido hacer la última supertarea! (de meter 10 y sacar uno).

PD - No estoy tratando de argumentar que esta es LA respuesta de la paradoja (aún no se sabe cual fue el antepenúltimo lutrino en entrar a la roja, pues calcular ε-1 requiere definir infinito-1), solo que esta es una posible respuesta válida.


De: gus
2010-03-24 18:21:15

Alienígena, ten en cuenta que en cada paso entran 10 lutrinos y sale uno, pero el que sale no es de los 10 que acaban de entrar, sino de los que entraron en varios instantes anteriores.

Por otra parte, no me convence que epsilon+1 sea siquiera un número. El conjunto de los naturales es infinito, pero cada natural es finito. No hay naturales de la forma "Uno seguido de infinitos ceros más dos".

No tengo una respuesta a la paradoja, pero si preguntamos por cualquier número natural, ojo, natural, nada de epsilons, llegaremos a la conclusión de que sea cual sea ese número, está en la caja roja, y sabremos además en qué momento entró. Esto me parece incuestionable y casi definitivo.

Pienso que la verde está vacía, y no se me ha olvidado hacer la última operación en la que meto 10 y saco 1. Simplemente no existe la última operación.


De: AlienígenaMatemático
2010-03-25 01:32:12

Si no existe la útima operación, entonces ¿en que momento saltó el último lutrino a la caja roja? si éste nunca saltó, ¿cómo es que está vacía?

Decir que está vacía es como decir que la hora 2:00 nunca llega, sin embargo, no hay nada en el problema que impida que el tiempo continúe.

Por lo tanto, esta respuesta me parece por lo menos tan insatisfactria como la mía.

Dí como ejempo el digito pi que es infinitamente largo, imaginarse a un lutrino con todos los digitos de pi tatuado en la espalda es tan válido como imaginarse a infinitos lutrinos saliendo de la caja verde de un jalón, o imaginarselo con un número más grande que los últimos lutrinos de la caja roja.

PD - ¡Aunque debo admitir el gran error de mi propuesta al haberle llamado omega a epsilon!


De: RDC
2010-03-25 09:29:44

Gus:
Dices "No tengo una respuesta a la paradoja, pero si preguntamos por cualquier número natural, ojo, natural, nada de epsilons, llegaremos a la conclusión de que sea cual sea ese número, está en la caja roja, y sabremos además en qué momento entró. Esto me parece incuestionable y casi definitivo." Bien, este es el argumento de R-L. Pero piénsalo al revés:

Por cada lutrino que encuentres en la caja roja piensa que, como mínimo, hay nueve más en la verde.

El problema aquí es, como ya le he comentado al alienigena, que cualquier operación entre un nº natural y el infinito da infinito. Es decir, infinto más 10 es igual a infinito más 5000. Esto es lo que nos produce confusión y contradicción.

El alienígena, sin embargo, dice que esto no puede ser; que infinito más 10 y infinito más 5000 no pueden dar lo mismo. Bueno, esta discusión no se puede solventar; su solución es arbitraria; sin embargo, tomar por decisión que cualquier operación entre inifnito y un nº natural me da infinito me permite hacer muchas cosas interesantes. Es como el problema de los infinitesimales; su poder reside en que el infinitesimal es un concepto contradictorio.

Saludos


De: Alfa
2010-03-26 23:34:49

El numero de esos bichos en la caja verde seria: 2^n-n siendo n la generacion de estos bichos y en la caja roja seria n. El numero n seria n=-log2(2-t)/log2(1/2) siendo t el tiempo transcurrido tomando como unidad de medida de tiempo la hora, aplicando esto a la formula nos da: -log2(2-t)+(2-t) y llevando t al limite 2 nos da que el numero de luterinos es -log2(0) o sea, infinitos luterinos en la caja verde.


De: maeghith
2010-03-27 06:29:16

si infinito por 2 fuera igual que infinito por 5.000, querría decir que 2 es igual que 5000, o que cualquier número es igual a otro

No tiene por qué y no sería la primera vez que tenemos un resultado parecido con un "número" que no es infinito. Por ejemplo:

 20 = 50000 

y aun así

 2 ≠ 5000. 

Sucede lo mismo con indeterminado

 2*indeterminado = indeterminado

Aceptar que infinito se comporta como indeterminado[1] y que además, estos 2 se comportan igual en suma que en multiplicación tampoco me parece tan descabellado, es decir.

 2+∞ = 2*∞ 

Y aquí digestión y después gloria.

Se me está ocurriendo que en la paradoja intenta plantearse algo que no tiene sentido plantearse. Es decir, describe un algoritmo donde lo importante son los pasos del mismo, pero donde los estados inicial y final son irrelevantes[2]. Entonces, siguiendo los pasos de acuerdo a las reglas propuestas solo podemos determinar ciertos datos de algunos de los componentes del sistema, a saber: dado el nº de lutrino, podemos saber el momento de nacimiento y/o el de trasvase, y dado un tiempo podemos saber cual fue el último lutrino que trasvasamos. Pero como ya digo, el estado inicial es irrelevante por arbitrario, y el final es irrelevante por que queda fuera de nuestro alcance, dentro como estamos del estómago del alien.

--

[1] Intuyo que a los que saben matemáticas no les gusta que identifique infinito con indeterminado, pero me gustaría saber por qué. En este ejemplo veo bastante esclarecedor equipararlos, al menos en cuanto al sentido de las palabras y las frases que forman.

[2] Que el estado final es irrelevante se puede intuir por el resultado paradójico, y que el punto de partida es irrelevante es más claro si en lugar de cantidades, usamos desplazamientos respecto a un origen (yo lo veo más claro, pero me faltan matemáticas para explicarlo).


De: RAZTEZ
2010-06-01 00:48:33

JEJE que buen lime-mental, cuando la reproducción se vuelve instantánea, la salida también lo es, el comportamiento del sistema indica que siempre hay más bichos en el cajón verde que en el rojo pero cuando la salida se vuelve instantánea todos los bichos tienen que estar fuera porque si no dentro quedarían bichos que no tienen la capacidad de salir... los cuales no existen


De: Josecb
2010-08-10 17:30:41

Mm, en mi opinión o realmente es una paradoja y ninguna contestación es válida o hay infinitos en ambas cajas. La contestación de que la verde está vacía no me convence.

Se puede decir que en la roja al final habrán infinitos números por lo tanto no pueden quedar en la verde, el problema es que más sólido todavía que decir esto es decir que por cada 1 que entra en la roja se duplica el número de la verde. Además esta función no tiende a 0, sino a infinito por lo que prácticamente se invalida la paradoja.

Por último, que hayan infinitos números en la roja no invalida la opción de que hayan infinitos en la verde (por lo ya comentado de que hay infinitos mayores que otros).

Si me tengo que quedar con una respuesta sería con que la verde tiene infinitos lutrinos, aunque seguramente esté equivocado.

Saludos


De: Josecb
2010-08-10 17:33:00

Añado, aunque ya se intuye en mi post anterior pero no lo dejo explícito, que si vemos como avanza el experimento en la caja verde siempre debe haber más lutrinos que en la roja, por lo que si en la roja hay infinitos en la verde hay más que infinito (o más correcto, un infinito mayor).

Saludos


De: dacscaro
2010-08-15 22:58:22

Para mi las dos respuestas son plausibles. Me explico: depende de la lógica que tome como modelo. En matemáticas en lógica de primer orden tomando los axiomas de Peano como base se puede demostrar que puedo agregar la lista de designadores tales que k!=1, k!=2,..... k!=n, y la teoria axiomática no pierde consistencia lógica( de tal forma que hay un un número k que no es ninguno de los que conocemos por naturales). A las teorías aritméticas que plantean esto se les llama ariméticas no estándar.... De tal forma que es perfectamente plausible hablar de que hay infinitos lutrinos en la caja ¿y cual es el primero? El k!=1, k!=2, ....k!=n+1,..... ¿Y cuantos hay? Pues 9k.... En lógica de segundo orden los axiomas de Peano son categóricos: es decir la respuesta de Littlewood es completamente correcta porque los axiomas determinan univocamente el modelo.... pero resulta que la lógica de segundo orden no es completa semánticamente(y por lo tanto con ella no se puede definir la matemática) .... o sea que.... Cada quien elija que le gusta más.....


De: maltes
2010-09-19 01:02:44

Aquí hay trampa, según las reglas de este juego nunca pasan dos horas, si se crean infinitos y adorables bichos, es solo porque el tiempo es dividido en infinitas porciones, con lo cual nunca pasaran las dos horas y no tiene sentido preguntar cuantas criaturas adorablemente molestas habrá a las dos horas, el infinito es así de juguetón.


De: LuisAngel
2012-04-16 06:30:29

Fascinante!! he estado leyendo articulo tras articulo de "Alienigenas Matematicos" y cada vez me sorprenden mas las historias que escribes, y lo que se puede llegar a parender de las paradojas, aunque yo solo sea alimento para alienigenas :(


De: Nuño Valencia
2012-07-16 18:39:41

Si te soy sincero solo leo estas cosas porque tengo miedo que un dia me pille un bicho de esos de 12 hileras de dientes y babeando, me haga una pregunta de estas y acabe con 4 quesos y salsa de tomate.

Buen articulo.


De: Francesc
2012-11-30 11:38:15

Otros han insinuado lo mismo anteriormente... los lutrinos, al no ser matemáticos, no se han dado cuenta que infinitamente cerca de las 2 horas se han quedado sin números naturales


De: Melkor
2013-01-06 10:09:41

Estaba releyendo esta serie y me he dado cuenta de una cosa. Aunque ciertamente puede que haya infinitos lutrinos, como la superficie de éstos es finita, tiempo ha que se quedaron sin espacio para poder escribirse los números en ellos. Otro gallo cantaría si le hubieran pedido ayuda a los cthulhucitos.
Enorme, Pedro. Haces que hasta a gente de letras puras (véase mi caso) se interese (y se entere sin perderse por el camino) por este tipo de temas. (Supongo que hablo para nadie, porque en un artículo con tantos años no creo que se ponga a ver los comentarios xDDD)


De: Pedro
2013-01-06 12:02:13

Melkor, hay quienes estamos suscritos a la RSS de comentarios así que los leemos todos, independientemente de lo antiguo que sea el artículo :)


De: Gustavo
2013-10-22 19:41

Como siempre hay truco. Tanto Ross y Littlewood se basan en cosiderar lo grande que son los infinitos de ambas cajas. Ellos creen infinito es lo más grande, y decir infinito+1, o 2*infinito, o infinito^2, es lo mismo que infinito, en ese caso tenemos la solución que la caja verde esta vacía. Pero aún así diré que eso esta mal, lo único que tratan de hacer es restar al infinito de la caja verde el de la caja roja, y como suponen que son igual de grandes queda 0. Pero hasta dónde yo sé de matemáticas de siempre: infinito menos infinito es una indeterminación. No sé porque dicen que es 0 y la caja esta vacía. Con todo se podrá decir que es Indeterminado, o no tiene solución, pero yo no lo creo.

El kit no es saber que infinito es más grande, o cuanto da la resta, sino saber que el infinito de la caja verde crece 9 veces más rápido que el de la caja roja.

A Ross le diré que yo puedo tomar un conjunto de infitos números, y dividirlo en dos subconjuntos también de infinitos números, que es básicamente lo que tenemos aquí. Sabemos que entre las dos cajas hay infinitos lutrinos, lo único que hacemos es dividirlos en dos cajas, con un sistema de ordenamiento arbitrario. Luego no sé que número tendrá el lutrino más pequeño de la caja verde, ni los números que quedan aquí, pero sé en todo caso que existen, que hay un número menor, y que el resto están numerados.

El argumento de littlewood que se demuestra que cada bicho no esta en la caja verde y me dice en que momento pasó a la caja roja, si leemos el enunciado, ese mismo lutrino para que pase a la caja roja, significa que hay 10 más en la verde. Así por cada lutrino que se demuestre que paso a la caja roja, el enunciado nos dice que hay 10 nuevos en la caja verde, así si le pregunto por el lutrino nº1000, y me dice en que momento paso a la caja roja, el enunciado nos dice que en ese momento en la caja verde hay 9x999+10 lutrinos, basta con preguntarle por el último lutrino para decirle cuantos nos quedan en la verde.

Quedan infinitos en ambas cajas.

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