El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Alienígenas matemáticos - La paradoja de los cthulhucitos

Sé que la mayor parte de vosotros, como yo, les tenéis un cariño especial a los malévolos, retorcidos, inmisericordes, voraces, en definitiva, entrañables alienígenas matemáticos. Hace ya algún tiempo que no les dedicamos una entrada (la última fue sobre la paradoja del Gran Hotel de Hilbert), de modo que volvamos a explorar paradojas matemáticas con ellos.

En la entrada de hoy hablaremos acerca de una paradoja geométrica. Aunque nunca la he leído en ningún sitio, es tan simple que estoy seguro de que está por ahí y tiene nombre – si alguno de los matemáticos que leéis El Tamiz la conocéis con un nombre específico, decídmelo y le doy el crédito a su autor original. Hasta entonces, y sin el menor rubor, le asigno el nombre provisional de paradoja de los cthulhucitos. De hecho creo que, aunque me informéis de su nombre oficial, aquí seguirá siendo siempre la paradoja de los cthulhucitos… ¡son tan monos!

Como digo, se trata de algo sencillo y nada espectacular, de modo que espero que no os decepcione comparada con otras entradas de la serie. Se trata sin embargo, o al menos eso creo, de una introducción bastante asequible a un asunto que atacaremos más a fondo en esta misma serie – los fractales. En cualquier caso, hoy conoceremos las andanzas de otro de los héroes alienígenas, además de los que ya hemos mencionado en la serie: el ingeniero Terdlanbomitnbeo y sus inimitables cthulhucitos.

Por cierto, sé que las ilustraciones son más bien ramplonas, pero Geli no ha tenido tiempo de ayudarme con esta entrada y he tenido que hacerlas yo; como no tengo el talento ni la paciencia de ella, hay lo que hay. Si sirven para ayudar a comprender la entrada, con eso me conformo.


Terdlanbomitnbeo era un héroe de guerra alienígena, y leyendas y anécdotas sobre sus hazañas eran a menudo recitadas a los pequeños alienígenas matemáticos cada noche antes de dormir (algunos de ellos, para siempre). Las virtudes de Terdlanbomitnbeo eran múltiples: su inteligencia era aceradísima, su eficiencia sin parangón, su crueldad infinita. Pero, por encima de todo, se trataba de un verdadero ejemplo para los jóvenes alienígenas por su codicia legendaria – Terdlanbomitnbeo tenía riquezas inmensas, un número infinito e incontable de esclavos de diversos sistemas planetarios y propiedades de dimensión espacial mayor que tres, pero siempre quería más y más.

Sin embargo, tras unas cuantas campañas de conquista espacial, Terdlanbomitnbeo se había retirado como Contraalmirante y había iniciado un negocio de construcción, ya que algunas de sus aptitudes eran perfectas para ese campo. Combinando sus conocimientos técnicos, su extrema inteligencia (elevada incluso para los estándares de los alienígenas matemáticos, que expresan la de los humanos utilizando notación científica y exponentes negativos) y su avaricia sin igual le daban una ventaja enorme sobre los miembros de otras razas que competían con él. Además, Terdlanbomitnbeo disponía de algo de lo que los demás carecían: los cthulhucitos.

Naturalmente, ése no era el nombre que las criaturas se daban a sí mismas. Se trataba de una raza conquistada por Terdlanbomitnbeo en sus días como Capitán, y justo antes desintegrar su planeta, el horrendo cefalópodo les había dado dos opciones: o convertirse en sus esclavos o ser destruidos junto con su hogar. Los gentiles y pacíficos seres habían accedido a convertirse en los esclavos de Terdlanbomitnbeo, que así había aumentado sus propiedades y dominios con una nueva raza de cualidades extraordinarias.

Y es que las criaturas eran muy curiosas: en primer lugar, se trataba de seres tentaculados como él mismo, pero de un tamaño muy pequeño y un temperamento amable y cordial. Terdlanbomitnbeo, estudioso de la literatura de numerosos pueblos conquistados, les dio inmediatamente el nombre de cthulhucitos por su parecido con cierta figura literaria de la Tierra que le recordaba mucho a su tía abuela (también de amable temperamento, algo inusual entre los alienígenas, y suculento sabor). Pero, además de ser tan monos, los cthulhucitos tenían una capacidad muy extraña: eran capaces de reducir su tamaño a la mitad y de volver a su estado normal a voluntad.

Puede que esto no te resulte demasiado impresionante, pero no sólo eran capaces de hacerlo una vez: cualquiera que fuera su tamaño en un momento determinado, podían reducir su tamaño a la mitad del actual. También podían volver a su tamaño normal cuando la reducción hubiera dejado de ser útil. De hecho, los cthulhucitos habían tratado de escapar de la flota de Terdlanbomitnbeo reduciéndose hasta escalas subatómicas, pero éste había alterado la curvatura espacio-temporal del sistema y… pero eso es otra historia, y la dejaremos para otro momento.

El caso es que esta capacidad de los monísimos cthulhucitos de reducir su tamaño le era utilísima a Terdlanbomitnbeo como ingeniero: donde otros requerían herramientas de precisión, el empleaba a las minúsculas, mutables y adorables criaturas. Donde la nanotecnología era un coste demasiado grande, una voz de Terdlanbomitnbeo y sus pequeños cthulhucitos, ¡PLOP, PLOp, PLop, Plop, plop…! disminuían su tamaño geométricamente hasta alcanzar el necesario para realizar el trabajo. Pero uno de los casos más famosos en los que intervinieron los cthulhucitos de Terdlanbomitnbeo fue en la construcción del cable de Ordos-II.

Las autoridades de ese planeta necesitaban construir un cable colgante de una resistencia gigantesca para llevar mercancías entre dos ciudades, Yzilgxurz y Grizzulxy, que estaban separadas 1 000 km. Pocos ingenieros eran capaces de una obra así, y todos sabían que Terdlanbomitnbeo era el mejor de ellos, de modo que el Consejo de Ordos-II se puso en contacto con él para hacerle una oferta: le pagarían 500Ŧ (una cantidad enorme de la moneda local) por cada metro de cable construido, ¡un total de 500 000 000 de Ŧ! Tal era la cuantía de la suma que el codicioso Terdlanbomitnbeo aceptó. Los consejeros de Ordos-II le mostraron el mapa en el que aparecían las dos ciudades separadas 1 000 km:

Fractales 1

Inmediatamente, Terdlanbomitnbeo dio un par de instrucciones a sus diminutos, obedientes y, sobre todo, monísimos cthulhucitos, que se distribuyeron por el terreno llevando átomos de diversos metales en las manos. En unas horas, las eficacísimas criaturas habían construido el cable. Terdlanbomitnbeo informó de ello a los Ordosianos, que sonrieron satisfechos.

“Bien, aquí está la suma acordada, 500Ŧ por cada metro de cable”, dijeron, a lo que Terdlanbomitnbeo asintió mientras sonreía. La inexperiencia de los Ordosianos con los alienígenas matemáticos (que aún no se habían dignado conquistar su planeta) hizo que no se dieran cuenta de varios detalles: el primero, la sonrisa que revelaba varias hileras de dientes casi tan afilados como la mente de su dueño; el segundo, el color de la piel de Terdlanbomitnbeo, que tenía el tono anaranjado de la avaricia; finalmente, el levísimo sonido de varios de sus estómagos al ronronear de gusto ante la maniobra que tenía preparada.

Pero, como digo, todo esto se escapó a los consejeros de Ordos-II, que continuaron diciendo con tranquilidad, “Puesto que éste tiene una longitud de 1 000 km, es un total de quinientos millones de Ŧ, que transferiremos a su cuenta hoy mismo. Ha sido un placer trabajar con usted, Terdlanbomitnbeo. ¡Y mira que nos dijeron que era endiabladamente codicioso!”

“Muy amable por el cumplido”, respondió con voz resbalosa y gorgoteante Terdlanbomitnbeo, mientras duchaba a su contertulio con su ácida baba. “Sin embargo, hay un detalle que no encaja. El cable no tiene 1000 km de longitud, sino 1 414 km. No me deben ustedes quinientos millones de Ŧ, sino setecientos siete millones.” Los Ordosianos se miraron unos a otros con confusión mientras Terdlanbomitnbeo continuaba. “De hecho, el cable tiene algo más de largo, pero no he querido complicar las cosas y he redondeado hacia abajo. Tómense algo a mi salud.”

Fue entonces y no antes –algo que revela una vez más la inexperiencia de los Ordosianos– que éstos miraron sus imágenes vía satélite del terreno entre las dos ciudades y, para su sorpresa, se encontraron con esto:

Fractales 2

Los ingenuos consejeros Ordosianos se rieron con buen humor: “¡No, no!”, le dijeron a Terdlanbomitnbeo, sonriendo. “Ha habido un error: en vez de construir el cable en línea recta entre las dos ciudades como acordamos, ha construido usted un cable que va primero de Oeste a Este y luego, tras girar 90º, va de Sur a Norte hasta llegar a Yzilgxurz. ¡Claro que mide más! Puesto que entre las ciudades hay 1 000 km, al ir de una ciudad a la otra de ese modo se recorre esa distancia por la raíz de dos, es decir, unos 1 414 km. Pero ¿cómo ha podido usted cometer semejante error? ¡Si es un ingeniero de renombre! Le mostraremos en verde, superpuesto con el paisaje, el diseño correcto, el más corto entre las dos ciudades:”

Fractales 3

“Ah, no saben cuánto lo lamento… un error lo tiene cualquiera”, respondió el malévolo Terdlanbomitnbeo mientras sonreía burlonamente; pero sus ojos, vidriosos y supurantes, no sonreían. “No se preocupen”, continuó con su rasposa voz. “Me pondré en contacto con mis _cthulhucitos_ y resolverán el problema inmediatamente.”

Dicho y hecho: Terdlanbomitnbeo ladró una orden a sus menguantes y adorables criaturas y éstas se pusieron a trabajar para modificar el cable. Los Ordosianos no entendían el lenguaje que utilizaba el alienígena matemático ni la orden que había dado, pero tras el primer malentendido decidieron observar el resultado a través del satélite antes de hablar de nuevo con Terdlanbomitnbeo. Esta vez no se rieron: no podía tratarse de una confusión. La sepia espacial estaba haciendo una estúpida broma a su costa, y una broma de una enorme torpeza. ¿Pero es que creía que eran tontos? La imagen del satélite mostraba un panorama decepcionante:

Fractales 5

Inmediatamente se dirigieron al ingeniero, que los esperaba sonriendo, un pequeño charco de babas a sus pies. “¿Es esto una broma?”, le preguntaron. “¡El cable sigue estando mal! ¡Sigue midiendo lo mismo que antes! ¿Nos está tomando el pelo? ¡Tiene que ir en diagonal!”

“Bueno, tal vez no sea perfecto”, gorgoteó Terdlanbomitnbeo, “pero no me negarán que se parece más que el anterior al recorrido en diagonal que ustedes sugieren. De hecho, la distancia máxima entre su diseño y mi cable se ha reducido a la mitad.”.

“Pues claro”, respondieron los consejeros, que empezaban a enfadarse. ¡Pero esa patética “mejora” no es suficiente! Debemos recordarle, ingeniero, que el contrato que ambos hemos firmado y que consta ante las autoridades galácticas del sector indica muy claramente que “El cable constuido no debe desviarse en ningún punto más de un metro del plano sugerido por Ordos II”. ¿Ha olvidado usted esto?”

El brillo maléfico en los ojos de Terdlanbomitnbeo hizo ya darse cuenta a varios de los consejeros de que las cosas iban realmente mal, aunque todavía no supieran por qué. “Yo no olvido. Jamás.”, respondió el horrible ser con voz acariciadora y venenosa. “Aunque la distancia máxima entre su diseño diagonal y mi cable ha disminuido respecto al intento anterior, no les negaré que todavía es mucho mayor que un metro. Sin embargo, ¡observen!”, exclamó el alienígena, y dio una nueva orden a sus cthulhucitos, que se apresuraron a obedecer, reorganizando los átomos metálicos del cable en una nueva forma geométrica.

Terdlanbomitnbeo señaló a la pantalla del satélite y los consejeros vieron, horrorizados, el nuevo cable entre las dos ciudades. Los más inteligentes entre ellos se habían dado ya cuenta de su error al contratar al monstruo espacial, aunque los menos espabilados todavía miraban sin comprender:

Fractales 6

“Como pueden observar, criaturas infragalácticas”, les espetó Terdlanbomitnbeo, “el cable todavía no se ajusta a sus expectativas, pero la distancia de desviación máxima entre su diseño y mi cable ha disminuido de nuevo. De hecho, es ahora la mitad que era en el paso anterior, y en aquél la mitad que en el primero.

“Pero… pero…“, interpuso uno de los consejeros más atrevidos. “Al tener tantas esquinas, ¡su cable sigue midiendo exactamente lo mismo que el primero que construyó!”

“En efecto”, respondió Terdlanbomitnbeo mientras su sonrisa se abría tanto que los extremos casi se tocaban por detrás de su cara (o lo que podría considerarse la cara de un ser tan repugnante). “La longitud de mi cable es la misma que al principio, pero la desviación máxima entre su diagonal y mi cable se ha reducido varias veces. Ah, pero lo mejor de todo es que no tengo por qué parar aquí, ¿verdad?, preguntó con sorna, sus tentáculos agitándose de placer ante las expresiones de consternación de los Ordosianos.

“No, no tengo por qué terminar aquí. Basta un cálculo tan simple que me parecería humillante mencionarlo para saber cuántas veces más tengo que ordenar a mis cthulhucitos que repitan lo que han hecho ahora hasta que la distancia de mi cable al diseño diagonal sea menor que un metro”, continuó el monstruo. “Pero no voy a parar ahí, ya que tengo una reputación que mantener. ¡Hagamos las cosas bien!”

Dicho esto, Terdlanbomitnbeo ordenó a sus cthulhucitos que volvieran a duplicar el número de giros del cable mil veces. Las criaturas tuvieron que disminuir su tamaño a proporciones inimaginables, pero obededieron sin rechistar, ya que –además de monísimas y adorables– eran muy serviciales con su terrible amo.

“La distancia entre nuestros dos cables es ahora muchísimo más pequeña que la longitud de Planck”, anunció Terdlanbomitnbeo. “De hecho, mis cthulhucitos han tenido que violar algunas leyes físicas para doblar tanto el cable, pero no voy a aburrirles con los detalles. Su cable, señores, es absolutamente indistinguible del diseño que me propusieron en todos los aspectos. ¡Ah, no! Hay una cosa que los diferencia, un pequeño detalle que no se mencionaba en el contrato: la longitud de mi cable sigue siendo exactamente la misma que al principio. Me deben ustedes setecientos siete millones de Ŧ. Los espero en mi cuenta mañana.”

Y con esto y una orden seca de Terdlanbomitnbeo, ¡plop, ploP, plOP, pLOP, PLOP! los cthulhucitos volvieron a su tamaño normal y ambos –señor tentaculoso y esclavos diminutos– se dirigieron a su nave para abandonar el planeta. Una vez más, la indescriptible avaricia y malévola inteligencia del monstruso espacial habían triunfado, y sus arcas acumularían todavía más riquezas que antes.


Terminada la historia, un par de comentarios sobre los aspectos geométricos. En primer lugar, para ayudarte a comprender los fractales de los que hablaremos en el futuro, imagina que el cable de Terdlanbomitnbeo siguiera aproximándose más y más hacia la diagonal. Como puedes ver, con mil simples iteraciones la distancia entre ellos es mucho más pequeña que cualquier cosa medible en el Universo, pero la longitud total sigue siendo la del principio.

Imagina ahora una línea como esa pero con infinitas iteraciones: la distancia entre cualquiera de sus puntos y la diagonal sería cero, pero no se trata de la misma línea, porque ambas no tienen la misma longitud. Lo que ves es una línea quebrada infinitas veces, una línea que no se ajusta a la geometría euclidiana. Si entiendes esto y la paradoja deja de serlo para ti, creo que los fractales no tendrán secretos para ti.

Por cierto, aunque la “línea de los cthulhucitos” es una línea realmente extraña, no se trata de un fractal, aunque comparte algunas de sus características. La definición formal de fractal de Benoît Mandelbrot (que es bastante abstracta) requiere que su dimensión de Hausdorff-Besicovitch sea mayor que su dimensión topológica, algo que no sucede en este caso. Pero hablaremos de esto y otras cosas en entradas posteriores: por ahora pretendo que la idea de una curva infinitamente “quebrada” y autosimilar que no se ajusta a la geometría euclidiana sea aceptada, en lo posible, por tu intuición, y no se me ocurre un mejor ejemplo que éste.

Un par de pequeños retos:

  1. ¿Eres capaz de calcular cuántas veces haría falta repetir la iteración de Terdlanbomitnbeo para que su cable cumpliera estrictamente el requisito del contrato, es decir, que la distancia máxima entre los dos cables –teórico y real– fuera de un metro? Se acepta un valor aproximado. Y no, no es muy difícil ni tiene truco.

  2. ¿Eres capaz de hacer un programita que acepte como argumento un número y dibuje la “línea de los cthulhucitos” con ese número de iteraciones? Javier, un “habitual” de El Tamiz, ya ha hecho uno sencillo y muy chulo. Para jugar con él puedes ir a http://eltamiz.com/files/cthulhucitos-javier.html.

Sin más, como dije al principio, espero que esto no os haya resultado demasiado simple y que hayáis disfrutado elucubrando sobre geometría cthulhoide. Yo, como siempre con esta serie, he disfrutado escribiéndolo como un auténtico enano. El siguiente artículo de la serie estará dedicado a la paradoja de Newcomb.

[

Alienígenas matemáticos, Matemáticas

55 comentarios

De: meneame.net
2008-12-16 20:00:20

Alienígenas matemáticos - La paradoja de los cthulhucitos...

En la entrada de hoy hablaremos acerca de una paradoja geométrica. Aunque nunca la he leído en ningún sitio, es tan simple que estoy seguro de que está por ahí y no tiene nombre. Hasta entonces, y sin el menor rubor, le asigno el nombre provisional de ...


De: Jiuck
2008-12-16 21:02:23

Respondiendo a la primera pregunta, tenemos que si dividimos el triángulo entre dos sucesivamente hasta que la diferencia es de un metro 1000/(2^n)=1, desaciendo al ecuación, 1000=2^n => lg(base 2) 1000=n, con lo que el resultado es que n=9,965784285. iteraciones.

Creo que es así como se resuelve ^^. Al menos lo he intentado. Por cierto, si lo hubiera explicado con dibujitos hubiera quedado mejor peeero.... no hay tiempo.

¡¡Gracias por otro artículo más de nuestros extraterrestres favoritos!!


De: cenarfuera
2008-12-16 21:04:17

mis calculos han sido los siguientes:

Si cada vez va dividiendo entre 2 los recorridos, empezando desde 1000, sera 1000000/2^n =1.
1000000 es, 1000km pasado a metro.
2 es el numero al que se ve reducido cada vez que mejoras, osease 2.
n son las veces que se haran las divisiones
1 es el resultado final, 1 m.
si ahcemos logaritmos en vase 2 despues de pasar 2^n al otro lado multiplicando obtenemos:
log(2)1000000=log(2)2^n. Un logaritmo en base a algo multiplicado por ese mismo algo es uno.
por tanto :
log(2)1000000=n,
y de aqui obtenemos: 19.931568569324174
el calculo ya no se como se hacia, he buscado una calculadora de logaritmos. Si alguien me explicase como se puede hacer con una casio tipica de institulo lo agradeceria.


De: kkab
2008-12-16 21:25:41

Son divertidas estas historias, jeje.

A lo mejor te puede valer con esto:
<?php
$n = (isset($_GET['n'])) ? (int)$_GET['n'] + 1 : 1;
$lado = 500;
$imagen = imagecreatetruecolor($lado + 1, $lado + 1);
$blanco = imagecolorallocate($imagen, 255, 255, 255);
$verde = imagecolorallocate($imagen, 0, 255, 0);
$azul = imagecolorallocate($imagen, 0, 0, 255);
imagefill($imagen, 0, 0, $blanco);
imageline($imagen, 0, $lado, $lado, 0, $green);
$tramo = $lado / $n;
for ($i = 0; $i


De: jmpep
2008-12-16 21:42:17

Al primer reto:

Si la distancia inicial es de 1000 km, la distancia original de la linea a la diagonal del cuadrado es 1 414 / 2 (la mitad de una diagonal, es decir, distancia_rectasqrt2(2). En la segunda iteración, 1 414 / 22, la siguiente 1 414 / 222. Por lo que tenemos que:

distanciaentreambas = distanciarecta*sqrt(2)/(2^(iteración)). Despejando:
i = ln
2(distanciarecta*sqrt(2)/distanciaentre_ambas)

donde ln_2 = logaritmo en base 2. Amos, que en este caso: 9,96782, como decía Jiuk. Como no creo que los cthulhucitos puedan hacer iteraciones fraccionarias, 10.

De todas formas cómo se complica la vida Terdlanbomitnbeo. Si quería cobrar 1 414 sólo tenía que decir que él utiliza la distancia de Manhattan :P


De: Haplo
2008-12-16 21:54:30

Ah genial, yo ya extrañaba a estos adorables monstruos intergalácticos, y después de varias de sus aventuras no me queda sino preguntarme: En algún momento de la historia universal, los grandísimos y renombrados inventores Trurl y Claupacio, ¿se habrán enfrentado a tan malevolos, pero inteligentes, octopodos?


De: Batou
2008-12-16 22:07:24

Supongo que hay truco, porque al igual que "cenarfuera" la formula es sencilla: x=log2(b), donde b es la distancia entre los dos puntos y dado que logb(x)=log10(x)/log10(b), se trata de un cociente de dos logaritmos. El resultado redondeado es de 20.


De: guannais
2008-12-16 22:28:49

cenarfuera, el logaritmo en cualquier base B de un número N se puede calcular como:

log(N) / log(B) ,

donde no importa la base del logaritmo "log", siempre que sea la misma en el numerador y en el denominador.


De: Brigo
2008-12-16 22:56:34

@Jiuk: No son 1000 metros, son 1000 kilómetros. La respuesta se parece más a la de cenarfuera

@cenarfuera: ¿Para qué quieres una calculadora con lo bien que te desenvuelves sin ella? por otro lado ¿para qué quieres una calculadora teniendo al tio Google? http://www.google.cl/search?hl=es&q=log(1000000)/log(2) :-)


De: Lucia
2008-12-16 23:39:03

¡A ver si vuelve kkab y nos pone el resto de su script en php, que parece que se ha cortado a la mitad del 'for'!
Como analfabeta en php que soy he intentado completarlo pero no me sale... ¿alguien que hable el lenguaje en la sala y nos complete el script?


De: Nadie
2008-12-17 01:09:55

Para que el límite fuera un fractal, debería tener longitud infinita.
Lo que tu muestras es una secuencia de lineas quebradas, pero el límite es la (aburrida) diagonal.
Compáralo con un dragón de Sierpinsky, cuya longitud va creciendo a cada iteración hasta ser infinita. Tu línea debería retorcerse más para ser un fractal.

La paradoja es que una sucesión de funciones converge hacia otra que tiene diferente longitud. Observa que -en cambio- las integrales (área bajo la curva) de la sucesión sí convergen a la del límite.


De: Kent Mentolado
2008-12-17 01:18:23

@cenarfuera

En mi caso tambien tenía (y tengo... mas de 10 años sin cambiarle las pilas y sólida como una piedra) una Casio, creo recordar que el modelo fx-80. Además de hasta 7 memorias (la normal y 6 independientes) que permitian, con un poco de imaginacion, servir como chuletas a la horas de los exám... esto... con 7 memorias muy útiles :)

Si no recuerdo mal, habia una tecla marcada como 'logx'. Para calcularlo, pulsabas shift, logx,la base, =, el numero en cuestión e = otra vez.


De: gluturens
2008-12-17 01:25:15

Es un magnífico inicio para después hablar de la "Alfombra de Sierpinski" o de la "Esponja de Merger" y de ahí, a los fractales.


De: Sabiondo
2008-12-17 01:34:42

Tomando como punto de partida el cable con dos lados y contando la primera "doblez" cuando se forman cuatro lados, serian: 8,965784285 "dobleces" :P


De: Miquel
2008-12-17 01:41:17

Supongo que estoy cometiendo un error enorme. Son las 00:30 y debería irme a dormir, pero no le encuentro solución al problema, así que algo estaré haciendo mal. He realizado una tabla de excel donde calculo las sumas de los catetos y las sumas de las hipotenusas de cada división y luego los multiplico por el número de iteraciones, y nunca se iguala una suma con la otra.
Os paso mis resultados en formato CSV (separados por comas) para que lo importeis a una tabla excel

,,,"Arrel 2","a"
,,,"1,41","0,71"

"Distancia iteracion","distancia de los dos catetos de la iteracion","iteraciones","distancia total","distancia total catetos"
"1,00000000","1,41421356",0,1,"1,41"
"0,50000000","0,70710678",1,1,"1,41"
"0,25000000","0,35355339",2,1,"1,41"
"0,12500000","0,17677670",3,1,"1,41"
"0,06250000","0,08838835",4,1,"1,41"
"0,03125000","0,04419417",5,1,"1,41"
"0,01562500","0,02209709",6,1,"1,41"
"0,00781250","0,01104854",7,1,"1,41"
"0,00390625","0,00552427",8,1,"1,41"
"0,00195313","0,00276214",9,1,"1,41"
"0,00097656","0,00138107",10,1,"1,41"
"0,00048828","0,00069053",11,1,"1,41"
"0,00024414","0,00034527",12,1,"1,41"
"0,00012207","0,00017263",13,1,"1,41"
"0,00006104","0,00008632",14,1,"1,41"
"0,00003052","0,00004316",15,1,"1,41"
"0,00001526","0,00002158",16,1,"1,41"
"0,00000763","0,00001079",17,1,"1,41"
"0,00000381","0,00000539",18,1,"1,41"
"0,00000191","0,00000270",19,1,"1,41"
"0,00000095","0,00000135",20,1,"1,41"
"0,00000048","0,00000067",21,1,"1,41"
"0,00000024","0,00000034",22,1,"1,41"
"0,00000012","0,00000017",23,1,"1,41"
"0,00000006","0,00000008",24,1,"1,41"


De: chuso
2008-12-17 03:28:37

Impresionante! He disfrutado leyendo esta historia como hacía tiempo no disfrutaba. Me he zampado ya todos vuestros artículos de la serie de alienígenas matemáticos :)

En serio, FELICIDADES.

Respecto a si es un fractal o no... No sé mucho de matemáticas (Y menos aun de dimensiones topológicas jeje), y hasta ahora no tenía muy claro qué era un fractal, pero yo diría que no lo es. Si no he entendido mal por la definición que has dado, el borde de un fractal debe tener por definición una longitud infinita, y en cambio la longitud del cable siempre será finita, luego no lo es. ¿Puede ser? Si he dicho alguna burrada espero me disculpen los alienígenas antropófagos :D


De: Nuwanda
2008-12-17 03:35:43

Exelente articulo, y me anoto este fenomeno a la lista de las geometrias no eucildeanas :)
Siempre que escribes estos articulos de alienigenas, me imagino a un azotamentes de D&D no se si los has basado en ellos pero encajan perfectamente, con los tentaculos y todo.
Y mi calculadora lamentablemente tiene para logaritmo en base "10" y en base "e", pero hay algunas casio que tienen para modificarle la base.

saludos


De: acertijosypasatiempo
2008-12-17 04:44:02

Me parece muy interesante el blog. Os doy la enhorabuena como blogger y como matemático.
Hay un trabajo muy interesante en divulgamat que me parece un buen resumen sobre curvas fractales, aunque, como ya se ha dicho, este ejemplo no se ajusta a la definición de fractal; el enlace es: divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/PaseoFitxategiak/PG97-98-aguirre.pdf
Hasta pronto


De: Pedro
2008-12-17 08:51:15

Gracias a los matemáticos por resolver mi duda, acabo de modificar el artículo para reflejarlo y quitar mi pregunta :) También he añadido el script de kkab para Lucia (y otros posibles curiosos), pero recordad que todo lo bueno que tiene es suyo, y las partes chapuzas o que no funcionen son mías ;)


De: Jiuck
2008-12-17 08:51:45

Ciertamente me había equivocado en los cálculos, y lo había calculado en quilómetros.... Un groso error... El cálculo correcto, como bien dice 'cenarfuera', es 19 y pico. 20 redondeando.

Aghhhh qué rabia no haberme fijado en las unidades... xD


De: jota
2008-12-17 09:26:58

geeenial el articulo... me acabo de partir la cabeza con tus fractales lovecraftianos.

Un saludo!


De: dirana
2008-12-17 13:04:44

En cierto modo, la paradoja que tú propones es asimilable a la de "Aquiles y la tortuga", de Zenón:
http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n

Pero la tuya es mucho más entretenida de leer...


De: Uno q no lo entiende
2008-12-17 15:31:43

No lo entiendo, por que la “línea de los cthulhucitos” no se ajusta a la geometría euclidiana?

Por favor, que alguien me lo explique.


De: pixelame.net
2008-12-17 22:55:40

Matemáticas y luego fractales...

[leido en meneame]En este artículo el autor nos cuenta una paradoja geométrica a través de la historia del ingeniero Terdlanbomitnbeo y sus cthulhucitos. No tienen desperdicio sus alienígenas matemáticos eltamiz.com/category/matematicas/alienigenas/ y ...


De: Belerofot_
2008-12-18 00:49:52

Me encantan estas entradas!


De: Tunder
2008-12-18 00:52:34

No se ajusta porque si lo vieras muy de cerca verias que tiene un monton de esquinas, si le han echo mil iteraciones tendra esas esquinas muy muy pequeñas, pero tendra muchisimas esquinas (mas de 10^300 esquinas) , haciendo cuentas siempre tendra la distancia que tenian los dos lados al sumarse. Si tiene infinitas iteraciones estas esquinas seran infinitamente pequeñas (por lo que no se notaran), pero seran infinitas esquinas.

Si te sirve de algo piensa que la linea no es tan gorda como la ves, es infinitamente delgada, y si la vieras bien verias que es como una escalera de infinitos pero infinitesimales escalones.


De: xx32
2008-12-18 01:53:35

por fin otro artículo de los alienigenas, lo había esperado mucho y por cierto, ¿por qué Terdlanbomitnbeo no hacía el cable más largo, teniendo infinitos sirvientes e igual codicia y así construirse un hiperchalet pentadimensional en lzurgyxiz


De: otroJuan
2008-12-18 02:54:54

@cenarfuera: Si no recuerdo mal mi estancia en el instituto se puede transformar de la siguiente manera
Log2(10)=log(10)/log(2)
Es decir el logaritmo en mase 10 del número dividido entre el logaritmo en base 10 de la base del logaritmo que quieras calcular(En este caso 2)


De: Uno q no lo entiende
2008-12-18 10:46:04

@Tunder

Gracias, ya lo entiendo, creo que solo me faltaba un empujoncillo.


De: NabLa
2008-12-18 13:46:19

Esta paradoja siempre me da por culo cada vez que tengo que conducir distancias largas y me amarga el hecho de que la carretera no sea recta... claro que las curvas tampoco son todas de 90 grados...


De: perroverde_uruguay
2008-12-18 19:59:35

1.000.000..??


De: Apoxia
2008-12-19 08:14:37

En mi opinión te excedes un poquito con las florituras gramaticales, describiendo a los alienígenas y tal, y haces el texto un pelín pesado. Por otro lado una buena forma de memorizar es imaginar algo inusual, como estos alienígenas, asi q quizá lo hagas por eso. Por lo demas me ha gustado, hace pensar mucho esta paradoja. Si el espacio está cuantizado la linea recta no existe : /


De: Pedro
2008-12-19 08:37:48

Apoxia,

¡Las florituras son exageradas intencionadamente, por supuesto! No pretenden tanto que te imagines a los alienígenas como ser una caricatura de las descripciones de ese estilo (Lovecraft, por ejemplo). Siento que te parezca que hacen el texto pesado; me temo que en las próximas entradas de la serie seguirán ahí, estos artículos no serían lo mismo sin la descripción de los gorgoteantes, babosos, sepiáceos seres ;)


De: Karshan
2008-12-19 18:23:31

Sin los comaleónicos alienígenas, esta serie no sería lo mismo :D


De: Dubitador
2008-12-21 15:54:19

Tal y como estan descritos los cthulhucitos, me temo que usarlos meramente para hacer mas o menos pingües negocios es de una miopia supina. Con unos sirvientes asi te haces el dueño del universo en un plis plas.

Lo de lograr cobrar 414 metros de cable de mas es una pijadita en comparacion con la performance que se obliga a realizar a los cthulhucitos. De hecho esos simpaticos y amables personajes, merced a sus cualidades tales como la capacidad de crear estructuras moviendo atomos discretos podrian generar dinero autentico a voluntad.


De: Haplo
2008-12-22 20:09:51

Apoxia: todo el chiste de estas entradas está en los pulpos espaciales y sus tentaculares aventuras. El texto resultaría realmente pesado sin ellos poniéndonos pruebas en cada "esquina".


De: Ibol
2008-12-23 05:01:44

Pues la codicia de Terdlanbomitnbeo no me parece tan legendaria, teniendo en cuenta que podia haber usado el mismo método para pedir una suma de dinero tan grande como él hubiese querido.


De: Iñigo
2009-01-22 04:11:15

Afirmar que la distancia D de los vertices en el proceso iterativo es exactamente cero es mucho afirmar, de echo no existe ningun n perteneciente a N para el cual D sea cero, lo cual es elocuente por si mismo.
1/n=0 -> 0xn=1. En aritmetica elemental 0xn=0


De: Pedro
2009-01-22 07:38:12

@ Iñigo,

Desde luego, si n es un número natural, es imposible que la distancia sea cero, y en el artículo no digo en ningún sitio que la distancia se anule para un número finito de iteraciones; de modo que no entiendo tu pega.


De: Iñigo
2009-01-23 02:05:13

Disculpa Pedro. ¿Bueno y entonces donde esta la paradoja?. Supongo que ya lo sabras, pero no es que no se haga cero para ningun numero finito sino que no se hace cero para ningun N natural, sea este finito afinitio, muy finito o infinito. Y la iteracion esta definida en el dominio de los naturales.


De: Pedro
2009-01-23 07:41:31

@ Iñigo,


¿Bueno y entonces donde esta la paradoja?.


En que hay dos líneas que empiezan y terminan en el mismo sitio y la distancia entre ellas se hace arbitrariamente pequeña, pero tienen longitudes diferentes. Si no te parece paradójico, evidentemente para ti no hay paradoja :)


Supongo que ya lo sabras, pero no es que no se haga cero para ningun numero finito sino que no se hace cero para ningun N natural, sea este finito afinitio, muy finito o infinito.


No entiendo a qué te refieres con un número natural infinito, pero bueno; el caso es que no se dice en ningún sitio que la distancia sea cero para un N natural. De hecho, se menciona el infinito -- que no pertenece a los naturales.


Y la iteracion esta definida en el dominio de los naturales.


No puedo poner LaTeX aquí, de modo que tengo que decirlo con palabras, pero: cuando N tiende a infinito, la distancia entre ambas líneas tiende a cero. Sigo sin entender tu pega, lo siento.


De: Iñigo
2009-01-23 14:28:52

Ok, tiende a 0 no te lo niego, no es esa la idea que queria trasmitir. Simplemente lo comento de una forma ludica y sin la intencion de que sea ninguna pega, es que cero no es un valor que pueda alcanzar esa iteracion, sencillamente porque cero no es imagen de ningun valor del origen.


De: U92
2009-05-08 23:55:29

cthulhucitos vasado en cthulu de Lovercraft?


De: Miller.Cus
2009-05-19 07:25:56

Hola! Hace menos de una semana descubrí El Tamiz (estaba buscando una imagen del sodio en estado puro, no recuerdo porqué), y me ha encantado lo que he leído. Es la primera vez que comento, porque tengo una duda sobre algo que quise conjeturar y creo que es posible:

Ya has dicho que una línea con un número infinito de iteraciones la distancia entre cualquiera de sus puntos y la diagonal es cero, pero claro, no se trata de la misma línea. Mi cuestión es la siguiente (a ver si logro explicarme): Si la línea "en zig zag infinito" (la más larga) se acomoda en forma de ángulo recto (digamos, sobre los catetos de igual longitud de un triángulo), y volvemos a aplicar sobre ella la primera interación, la segunda... hasta DE NUEVO aplicar infinitas iteraciones (aunque dicha línea ya tenía infinitas iteraciones antes de doblarla por la mitad en un ángulo recto), también tendría una distancia con ésta nueva diagonal (más pequeña que la primera) de cero en cualquiera de sus puntos.

Ahora, si es posible repetir este proceso un infinito número de veces, puedo concluir que cualquier recta y una línea de longitud infinita pueden tener distancia cero entre cualquier par de puntos... con la duda añadida: Esta línea infinita "sobrepuesta" a la recta "diagonal" sería en realidad "finita", limitada por los puntos de la recta (debido a tantos dobleces)? Esto me suena absurdo pero quisiera saber la respuesta, o por lo menos tu opinión.

Vaya, me he extendido!! Muchas gracias de antemano y espero despejar mis dudas.
Mariana.


De: Pedro
2009-05-20 16:34:06

Miller.Cus, la verdad es que no te he entendido muy bien. Tal vez algún otro pueda contestarte mejor que yo :)


De: Miller.Cus
2009-07-08 07:12:55

Bien, ha pasado mucho tiempo pero trataré de explicarme mejor, a ver si mi pregunta tiene pies y cabeza.

Supongamos que tengo un cordel de 10 cm de longitud. Lo coloco en un ángulo recto (como en los dibujos), donde cada lado mide 5 cm. Ahora, empiezo a aplicarle una iteración tras otra, hasta el infinito. Al final, mi hipotenusa medirá, naturalmente, unos 7.071 cm, ya que los catetos del triángulo medían 5 cm cada uno (5^2 + 5^2 = 50, raiz cuadrada de 50 = 7.071 aprox). Pero en realidad el cordel mide 10 cm aún.

Ahora, supongamos que agarro mi cordel que "parece medir" 7.071 cm (ya con sus infinitas iteraciones que acabo de realizar) y lo coloco en un ángulo recto donde cada lado mide la mitad de esta longitud, es decir unos 3.5 cm aproximadamente. Ahora, empiezo a aplicarle una iteración tras otra de nuevo, pero resulta que el triángulo rectángulo es más pequeño que el primero (porque los catetos miden 3.5 cm ahora, y no 5 cm). Si llego a aplicarle infinitas iteraciones, mi cordel ahora "parecerá medir" unos 4.95 cm, aproximadamente (la nueva hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos de 3.5 cm cada uno).

Ya me explico a donde quiero llegar? Mi cordel cada vez "parece medir" menos, sin embargo, sigue midiendo (en teoría) 10 cm. Es más, si aplicara n iteraciones de esta manera, seguiría midiendo menos y menos cada vez.

Mi pregunta es: cualquier linea de una longitud "en apariencia finita", es posible considerarla de una longitud real infinita, en la cual se han hecho muchísimas iteraciones, una tras otra, como ya lo expliqué?

Y la otra pregunta es, si la anterior pregunta es verdadera: si tengo una línea de 20 cm y otra de 5 cm, entonces ambas se pueden considerar líneas infinitas. Sin embargo, ambas entre sí "parecen" de diferentes tamaños. Eso quiere decir que la línea infinita con infinitas iteraciones que forma la línea de longitud aparente de 20 cm es mayor a la línea infinita con infinitas iteraciones que forma la línea de longitud aparente de 5 cm?

No sé, pero eso de hablar de una longitud infinita mayor a otra longitud infinita me parece surreal. Gracias de antemano, y espero que me haya explicado!!!


De: EnSuiza
2010-09-01 15:13:22

Soy consciente de que este post, magnífico como el resto de los de la serie es de 2008, pero después de descubrir que soy un cthulhucito se lo tenía que contar a alguien.
Nunca nadie me había contado esta paradoja y a mí también me gustaría descubrir quién fue el primero en descubrirla. La cuestión es que hace unos años trabajaba y vivía en las afueras de un 'pueblo' de Madrid. No me gustó mucho el sitio poqu era el típico con muchas casas, pocas aceras y nula oferta de ocio. el caso es que la principal ventaja de vivir allí era poder ir andando al trabajo. Parte del recorrido de 30 minutos discurría por un polígono industrial de trazado rectilíneo, es decir las calles eran todas paralelas o perpendiculares entre sí. Yo llegaba al entramado por la esquina inferior derecha y tenía que ir a la esquina superior izquierda. Pronto me dí cuenta que podía recorrer el camino que fuera (primero todo hacia arriba y luego todo a la derecha o alternar distintos tramos arriba-derecha-arriba-dercha) pero siempre me iba a tocar caminar lo mismo, sólo podía ahorrar algo de tiempo si recorría en diagonal alguno de los solares que aún no estaban construídos, que eran pocos. En fin,ahora veo claramente que fui un cthulhucito durante meses.


De: casis gaali
2010-09-21 20:29:32

Se necesitan exactamente 19 iteraciones para que la distancia sea de menos de un metro:

log 500.000/log 2 = 18.93156857...


De:
2010-10-01 17:57:13

Me considero asiduo a El Tamiz desde hace dos semanas (que lo descubrí).
Ya me he leido varias series y estaba devorando esta de paradójas y desventuras intergalácticas, con gran ansia. Me ha sorprendido que sólo casis gaali pensase que no hay que calcular sobre los 1000Km. Creo que lo más lógico es hacer una iteración menos de las necesarias y hacer el primer y último tramo menor. Entonces, en vez de hacer que los vértices de los giros "toquen" la diagonal, hacer que las esquinas equidisten de esta diagonal.
No me sale mejor una explicación gráfica que esto:

       /   |
__/__|
| /
| /
/

/|
/_|

Con lo cual, no se necesitaría un "doblez" menos????


De: dso
2010-12-01 21:03:39

Buenas. el artículo tiene ya su tiempo, pero me he encontrado con esta imagen y me he acordado de él...

http://furulando.com/wp-content/uploads/pi4.png

dso, que gracias al artículo ha reconocido la paradoja. no la ha sabido explicar con detalle, pero al menos la ha reconocido!


De: Dani
2011-11-24 02:05:29

Gran artículo !

Una erratilla: Párrafo 10,3a línea, el. Creo que es él.

Siento ser tan escueto pero escribo desde un móvil y es bastante incomodo !


De: epsilonmajorquezero
2012-05-23 16:20:23

Acabo de leerme el artículo y he recordado una vez que estubimos hace un par de años en la facultad (FME- UPC) viendo que es lo que fallaba ya que nos lo mostraron como una supuesta demostración de que 2 = raiz(2).

Estábamos haciendo una pausa del estudio de la asignatura de Análisis Real y la conclusión a la que llegamos es que para calcular la longitud cuando pasas al límite tienes algo como sum(lim(longitud_i)) que no sabemos calcular pero intentamos pasarlo a lim(sum(longitud_i)) que si es conocido porque es la longitud inicial.

El problema es que, si no recuerdo mal, solo podias permutar el limite con el sumatorio en el caso que la serie fuera equicontínua y en este caso no lo era.


De: Cuantor
2012-06-03 11:20:38

Pedro,

Sobre el nombre real de la paradoja, yo la he visto llamar en varios sitios "Paradoja de la diagonal escalonada".

Por cierto, y ya que estamos: ¿esto podría parecerse en algo a las dimensiones compactadas de las teorías de cuerdas?

Un saludo y felicitaciones por estas entradas y por el blog entero. Estoy enganchadísimo.


De: JMurdock
2012-08-23 09:39:33

A mi esos cthulhucitos se me hace haberlos vistos en un film de Alex Proyas. Uno que Uds seguramente conocen.


De: Pedro
2012-08-23 10:23:31

JMurdock, pues no... ¿en serio? ¿alguien puede estar tan mal del tarro como para eso? ¿tienes algún enlace, un título o algo? :)


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