El Tamiz : Cuántica sin fórmulas - Estados y valores propios

{ 2008 11 18 }

Cuántica sin fórmulas - Estados y valores propios

Hace unos días hablamos acerca del concepto de estado cuántico, dentro de la serie Cuántica sin fórmulas. Hoy continuaremos empapándonos de la “cuántica moderna” elaborando un poco más las ideas esbozadas entonces pero, una vez más, sin alargar demasiado el artículo de modo que haya una idea central que –espero– quede clara sin liarla con otras.

Como recordarás de aquel artículo, utilizamos el ejemplo de una moneda dentro de una caja. Si entendiste las ideas que se definieron entonces y los razonamientos que realizamos juntos, sabes que antes de abrir la caja la moneda puede tener infinitos estados posibles. Sin embargo, terminamos aquel artículo diciendo que existen algunos estados “especiales”: después de abrir la caja y mirar la moneda, ésta sólo puede mostrar una de dos posibilidades, cara o cruz. Hoy hablaremos acerca de estos “estados especiales”.

A lo largo de la entrada de hoy voy a utilizar expresiones sin rigor y simplificar conceptos de forma abyecta. Los posibles efectos secundarios a físicos y matemáticos incluyen sudoración inguinal, irritación en las meninges e hipotermia talámica; El Tamiz no se hace responsable de ninguno de ellos — si empiezas a notar cualquiera de esos síntomas, mejor lees otra cosa.

En primer lugar, definamos lo que suele llamarse un observable. Como hemos dicho en anteriores ocasiones (al hablar de la función de onda en particular y, recientemente, de los estados cuánticos en general), un estado cuántico contiene la información sobre un sistema. Ese sistema es algo que podemos observar, es decir, que contiene determinadas variables que se pueden medir de alguna manera; el estado cuántico nos permite predecir la probabilidad de medir unos valores u otros de esas variables.

Bien, cada una de esas variables que podemos medir se denomina observable. Un estado cuántico sin observables sería un objeto matemático sin relación con la realidad: recuerda que, aunque utilicemos conceptos abstractos, el fin último de la física cuántica es predecir el comportamiento de sistemas físicos del Universo real. Si nuestro estado cuántico no permite predecir ninguna medición de nada, entonces puede ser divertido hablar sobre él, pero no es física. Como mínimo, un sistema debe poseer al menos un observable (aunque prácticamente todos tienen muchos observables).

En nuestro ejemplo de la moneda, al ser tan simple como pude hacerlo, el sistema tiene un único observable, la “cara” que muestra la moneda. Desgraciadamente, la palabra “cara” en este contexto es ambigua, porque la moneda puede mostrar cara o cruz al mirarla, de modo que espero que estés de acuerdo conmigo en darle otro nombre a la magnitud observable: digamos que es el lado de la moneda. Nuestro observable lado, al medirlo, puede tener dos valores, cara y cruz.

Observar la moneda significa por lo tanto, en nuestro argot de estados cuánticos, medir el valor del único observable, el lado de la moneda. En el caso de un sistema físico real, como podría ser un electrón dentro de un pozo infinito, puede haber varios observables, como la posición del electrón, su energía, su momento lineal, etc., y podemos medir uno de ellos o varios a la vez (muchas veces, como ya vimos, con límites en la precisión de unos u otros de acuerdo con el principio de indeterminación).

Si comprendiste el significado de un estado cuántico debería resultarte evidente que, en el momento de observar la moneda, el estado cuántico cambia. De hecho, en el caso de la moneda, una vez que la observamos ésta sólo puede encontrarse en uno de estos dos estados, $\left | cara \right \rangle$ o $\left | cruz \right \rangle$ , que se corresponden con los dos posibles valores del único observable del sistema, el lado que muestra la moneda. Sin embargo, antes de mirar la moneda el estado podía haber sido otro de muchos, como dijimos en la entrada anterior.

Es esencial entonces que comprendas que, en el mundo real, existen dos razones por las que el estado cuántico cambia al observar el sistema; quiero hacer énfasis en esto porque, en nuestro ejemplo de la moneda, sólo se pone de manifiesto la primera razón, pero en la realidad entran en juego las dos:

En primer lugar, puesto que el estado representa la información que tenemos del sistema, al observar el sistema la información de que disponemos cambia, con lo que el estado también lo hace.
En segundo lugar –aunque esto no suceda en la moneda– la observación del sistema requiere necesariamente una interacción con él, lo que inevitablemente lo modifica de alguna manera.

La segunda razón es la que, como ya mencionamos al hablar del principio de indeterminación, suele llamarse efecto del observador y es muy comúnmente mostrada como la causa del principio de indeterminación; recuerda que esto no es cierto, y que además del efecto del observador el principio de indeterminación se debe a la naturaleza dual de la materia, que hace que muchas variables del sistema aparezcan “a pares”, como la posición y el momento lineal, que no pueden medirse con precisión simultáneamente.

Evidentemente, en el caso de la moneda esto no sucede porque hemos simplificado tanto las cosas que sólo existe un observable: podemos medirlo con precisión absoluta (es decir, conocer exactamente si el valor del lado es cara o es cruz) sin afectar a ningún otro observable… porque no existe ningún otro. Simplemente quiero recordarte el principio de indeterminación para que este ejemplo no te haga olvidar que el proceso de observación tiene sus límites en los sistemas reales.

La cuestión es que existen casos en los que el estado antes y después de mirar la moneda es el mismo. Por ejemplo, imagina que nuestro admirado Paul Dirac se lleva la caja con la moneda y nos dice que va a coger la moneda con la mano y la va a colocar cuidadosamente dentro de la caja de modo que muestre cruz. Luego cierra la caja y nos la entrega.

Ya sé que en el mundo real tendríamos que tener en cuenta que Paul Dirac puede mentirnos, pero en nuestro “mundo simplista de la moneda” no: ¡es Paul Dirac, y siempre dice la verdad! De modo que, en este caso especial, el estado de la moneda antes de mirarla es $\left | cruz \right \rangle$ , y si abrimos la caja y miramos la moneda, veremos ¡oh, sorpresa! que muestra cruz: su estado sigue siendo entonces $\left | cruz \right \rangle$ . En este caso particular (al igual que hubiera sucedido si supiéramos que la moneda mostraba cara) el estado no cambia durante la observación.

Es más: ni siquiera nos hace falta una observación, ya que nosotros (o, en este caso, Dirac) hemos preparado el sistema de modo que el observable tenga, seguro, uno de los valores que podemos medir. Pero lo importante de todo esto es que sólo podemos lograrlo en dos situaciones fijas: cuando la moneda está en los estados $\left | cara \right \rangle$ o $\left | cruz \right \rangle$ , que se corresponden con los dos valores posibles del observable lado. Estos dos estados son, por lo tanto, especiales — no cambian al medir el observable asociado a ellos y se corresponden con valores concretos del observable (en este caso, cara y cruz).

En el argot cuántico estos valores del observable se denominan autovalores, valores propios o eigenvalores (por el alemán de “propio”), y los estados correspondientes se llaman autoestados, estados propios o eigenestados. Como se leen por ahí unos nombres u otros, intentaré alternarlos durante los artículos para que se te queden en la cabeza las tres versiones.

Recapitulemos, pues (lo siento si soy repetitivo, pero es importante que esto quede muy claro): de los infinitos estados que puede tener nuestra moneda antes de la observación, existen dos que son especiales, los dos estados propios de la moneda, $\left | cara \right \rangle$ y $\left | cruz \right \rangle$ . Cuando la moneda está en uno de estos estados (lo cual requiere que hayamos preparado las cosas cuidadosamente para que así sea), al observarla su estado no cambia, y el valor que medimos del observable lado es cara o es cruz, los dos autovalores del sistema, correspondientes a los dos autoestados anteriores.

Pero, además del hecho de que se corresponden con los valores posibles de un observable, los estados propios tienen otra propiedad muy importante, aunque sea una consecuencia de la primera. Esta segunda propiedad parece una solemne estupidez al principio, pero nos será muy útil para hablar, en la siguiente entrega de la serie, de todos los estados de la moneda que no son autoestados.

Esta segunda “estúpida propiedad”, dicho mal y pronto, es la siguiente: los autoestados son completamente incompatibles entre sí tras una medición. Sé que esto suena raro al principio, pero deja que explique a lo que me refiero con “incompatibles”.

Imagina dos estados cualesquiera de la moneda que no sean los dos eigenestados (uno de ellos puede serlo, pero no los dos). Por ejemplo, pensemos en dos estados que manejamos en el artículo anterior, $\left | cara \right \rangle$ y $\left | agitada \right \rangle$ . Supón que tú tienes una moneda en una caja, y yo tengo otra. Tu moneda es $\left | cara \right \rangle$ , la mía es $\left | agitada \right \rangle$ . Sin mirar dentro de las cajas, te pregunto: ¿es posible que, tras mirar las monedas, ambas estén en el mismo estado?

Si has entendido algo de estos dos artículos, tu respuesta debería ser un rotundo “Sí”. Cuando miremos las monedas, la tuya va a estar sin duda alguna en el estado propio en el que estaba, $\left | cara \right \rangle$ . No sabemos en cuál de los dos autoestados va a estar la mía, pero es posible que también sea $\left | cara \right \rangle$ , con lo que los estados iniciales de nuestras dos monedas no eran incompatibles.

Supongamos que tu moneda es $\left | agitada \right \rangle$ y la mía sigue el proceso que describimos en el artículo anterior — Dirac se lleva la caja, la agita y, si muestra cruz, vuelve a agitarla de nuevo; llamemos al estado de mi moneda $\left | agitada/cara \right \rangle$ , simplemente para mostrar que se favorece el que al final salga “cara”.

Ambos estados son una vez más, de acuerdo con nuestra particular definición de “compatible” estados compatibles: es perfectamente posible que, al mirar nuestras dos monedas, las dos muestren el mismo estado (que puede ser, en este caso, tanto $\left | cara \right \rangle$ como $\left | cruz \right \rangle$ ).

Sin embargo, los eigenestados no pueden ser jamás compatibles. Si tu moneda está en $\left | cara \right \rangle$ y la mía en $\left | cruz \right \rangle$ , es absoluta y totalmente imposible (y fíjate en lo extremo de esta afirmación en física cuántica) que se encuentren en el mismo estado cuando las miremos. Y esta tontería proporciona a los autoestados una potencia tremebunda para describir estados que no lo son — aunque de eso hablaremos en la entrada próxima.

En la notación de Dirac existe una forma poderosa, simple y elegante (como no podría ser de otro modo, viniendo de Dirac) de expresar este concepto de compatibilidad. Si has estudiado cálculo vectorial en algún momento, no deberías tener ningún problema en comprender el concepto. La compatibilidad entre dos estados $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ puede expresarse simplemente como $\left \langle a | b \right \rangle$ , y su valor determina lo compatibles (o incompatibles) que son ambos estados.

En primer lugar, observa que hemos “cambiado de lado” los paréntesis de $\left | a \right \rangle$ ; a efectos de esta simplista serie, nos da igual escribir un estado con el paréntesis a un lado o a otro, pero los estados escritos como hemos hecho hasta ahora se denominan kets (que podríamos traducir como tesis) y los estados escritos “al revés” se denominan bras (algo así como paren). Sé que esto suena algo triste, pero cuando escribes los dos estados juntos de ese modo, como $\left \langle a | b \right \rangle$ , escribes un bra-ket (parecido a un bracket en inglés), o un paren-tesis… al completar el “paréntesis” de los símbolos $\left \langle \right \rangle$ . Como digo, sé que no es tan ingenioso como pretende ser, pero así son las cosas.

En segundo lugar, aunque $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ son dos estados cuánticos, el bra-ket $\left \langle a | b \right \rangle$ es un número. Y el valor de ese número nos indica si $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ son completamente incompatibles, si son más o menos compatibles o si se trata del mismo estado cuántico. Veamos cada caso con cuidado, porque utilizaremos esto en la próxima entrada sin ningún rubor.

Si $\left \langle a | b \right \rangle = 0$ eso quiere decir que los estados son incompatibles. De modo que, si quieres dártelas de intelectual, en vez de decir “una moneda no puede mostrar cara y cruz a la vez” podrías decir simplemente “ $\left \langle cara | cruz \right \rangle = 0$ “.

Si $\left \langle a | b \right \rangle = 1$ eso quiere decir que los dos estados son realmente el mismo estado. Puedes pensar en ese 1 como “100% de compatibilidad, es decir, son la misma cosa”, mientras que el 0 anterior es “0% de compatibilidad, no tienen nada que ver”. Aunque parezca raro, es posible tener dos estados que parecen diferentes pero que, si miras con cuidado, resultan ser el mismo. La manera más fácil de verlo es comprobando la compatibilidad de ambos estados — si es 1, es que se trata realmente del mismo estado. Por cierto, si eres físico y te muerdes las uñas, sí, supongo que los estados están normalizados y tampoco voy a meterme en números complejos.

Finalmente, es posible que $\left \langle a | b \right \rangle$ no sea 0 ni 1. En general (por razones que ni vienen al caso ni nos interesan ahora mismo) se trata de un número complejo, pero cuanto mayor sea su módulo, es decir, más parecido a 1 –ya que 1 es el máximo de compatibilidad–, más parecidos son los dos estados, y cuando más similar a 0 sea, más incompatibles son los dos estados.

Si no conoces cálculo vectorial, sáltate este párrafo; si lo has estudiado en algún momento, puede ayudarte a entender lo anterior:

Como veremos en la próxima entrada, los estados cuánticos pueden expresarse como vectores unitarios, y el bra-ket $\left \langle a | b \right \rangle$ es el producto escalar o producto interno de ambos. Al igual que en los vectores de toda la vida, si el producto escalar es nulo, los vectores son perpendiculares (en nuestra jerga de hoy, “incompatibles”); si el producto es 1 es que tienen la misma dirección y sentido, es decir, son el mismo vector (pues suponemos que ambos son unitarios), y en cualquier otro caso no son ni una cosa ni la otra, pero cuanto más parecido a 1 sea el producto escalar, más pequeño es el ángulo que forman los dos vectores.

Por ejemplo, supón que tu moneda está en $\left | cara \right \rangle$ . Dirac se lleva mi caja y la agita; mira la moneda y, si muestra cara, la deja como está, pero si es cruz, agita la caja de nuevo; a continuación mira la moneda y, si es cara, la deja como está, pero si es cruz agita la caja… y realiza ese proceso cien veces, de modo que la probabilidad de que mi moneda, cuando la miremos, muestre cara es casi del 100%. Llamemos al estado de mi moneda $\left | agitada/cara/cien/veces \right \rangle$ .

Sin entrar en cálculos matemáticos, creo que puedes ver que el producto de nuestros dos estados, $\left \langle cara | agitada/cara/cien/veces \right \rangle$ , aunque no es 1 (porque tu estado y el mío no son iguales, ya que existe la posibilidad de que mi moneda muestre cruz cuando la miremos aunque sea una probabilidad muy pequeña), es casi, casi, casi 1: supongamos que su módulo es 0,99.

Como puedes ver, el valor de $\left \langle a | b \right \rangle$ es de gran utilidad para comprobar cuánto tienen que ver los dos estados entre sí; y, en términos de esta notación, si $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ son dos autoestados del sistema, podemos estar completamente seguros de que $\left \langle a | b \right \rangle = 0$ .

En términos de andar por casa, los autoestados son completamente incompatibles — en términos vectoriales (y esto tendrá gran importancia en el próximo artículo) los autoestados son siempre perpendiculares entre sí.

Pero ¿qué hay de todos los demás estados que no son autoestados? ¿Cómo podemos calcular $\left \langle agitada | agitada/cara/cien/veces \right \rangle$ ? ¿Es que vamos a tener que inventarnos nombrecitos para todos los infinitos estados posibles del sistema, como $\left | agitada/pero/un/poquito \right \rangle$ , $\left | agitada/cara/cincuenta/veces \right \rangle$ o $\left | agitada/cruz/luego/cara \right \rangle$ ? En la próxima entrada de la serie veremos cómo la “estúpida propiedad” de los autoestados, el hecho de ser incompatibles, nos hace las cosas muy fáciles para describir cualquier otro estado del sistema. Hablaremos de superposiciones cuánticas.

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El texto de Cuántica sin fórmulas - Estados y valores propios , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.

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Publicado por Pedro el Tuesday, November 18, 2008, a las 05:20, y clasificado en Ciencia, Cuántica sin fórmulas, Física. Sigue los comentarios de esta entrada con su RSS de comentarios. Puedes escribir un comentario o trackback desde tu blog.

{ 24 } Comentarios

kemero | 18/11/2008 at 07:54 | Permalink

Felicitaciones Pedro! seguís en racha! después de leer el artículo no tengo nada para preguntarte Esta claro como el agua! aunque me intriga a donde ira a parar esto.
Xoca | 19/11/2008 at 12:06 | Permalink

Gracias por este articulo pedro sigue asi con la serie
Mazinger | 19/11/2008 at 12:49 | Permalink

Dos artículos seguidos sobre Cuántica… ¡No se puede pedir más! Dicen que no hay dos sin tres. Veremos…

|artículo de cuántica/sí/agitar/segundo artículo de cuántica/agitar>

¿Cual será el valor del observable “Categoría” del próximo artículo? Lástima que tenga tan poca influencia en el diseño de este experimento, de lo contrario os puedo asegurar que prepararía el sistema para obligar a que el siguiente resultado del observable fuese |tercer artículo seguido de cuántica>.

¿O acaso si tengo influencia (aunque mínima)?

|primer artículo de cuántica/sí/agitar/segundo artículo de cuántica/sí/mazinger pone un post/agitar>

Habrá que esperar para observar el resultado a que Pedro publique el próximo artículo, pero, si los efectos cuánticos fuesen apreciables en nuestro macromundo, intuyo que la probabilidad de un tercer artículo seguido de cuántica sería ahora algo mayor que hace un rato.

Creo que me estoy dando demasiada importancia… Me voy a dormir que son casi las 12 de la noche.

|zzzzzzzzzzzzzzz…>
Daniel | 19/11/2008 at 01:41 | Permalink

¿Qué ramas de la matemática hay que manejar para entender la cuántica y la relatividad especial “con fórmulas”?
Brigo | 19/11/2008 at 03:16 | Permalink

Felicitaciones por el artículo. Otra vez. Me ha alegrado comprobar que mis conocimientos de cálculo vectorial valen para algo tras tantos años.
Dicanri | 19/11/2008 at 06:08 | Permalink

Que grande, dejas todo absolutamente claro. Quiero tener un profe como tú!
Sergio | 19/11/2008 at 11:26 | Permalink

Bravo Pedro!!

Es alucinante cómo dándole vueltas a un tema se consiguen sacar más y más cosas cuando parecía que ya no había más de qué hablar… y lo que me espera, supongo. Igual que kemero estoy muy intrigado y me pregunto cosas como por ejemplo: Si el observador es distinto (muy distinto quiero decir) ¿el ejemplo de la moneda podría llegar a cambiar?. Se que es complicar las cosas un poco, pero el hecho de ser como somos, con dos ojos y capacidad para ver uno de los dos lados de la moneda, influye en el resultado. Me refiero a que si hubiera un ser que tuviera tres ojos y viera en cuatro dimensiones, igual = 1 para él…
Sergio | 19/11/2008 at 11:28 | Permalink

En el comentario anterior quería decir: ” = 1″ para él, pero no me ha “pintado” el bra-ket
Sergio | 19/11/2008 at 11:29 | Permalink

Vale, lo pondré así: (cara|cruz)….
Karlo | 19/11/2008 at 01:03 | Permalink

=1

Me ha encantado
Karlo | 19/11/2008 at 01:04 | Permalink

Igual que a sergio, no me dibujo el bra-ket, jajaja. Así que yo tambien lo pongo con paréntesis:

(Artículo bueno| Este artículo)=1
Nikolai | 19/11/2008 at 02:22 | Permalink

Excelente articulo, creo que me dará una trombosis, hace un tiempo ya que no leía el tamiz por motivos de viaje y al volver me he tenido que leer sin detenerme todo lo que tenia atrasado. Deberías poner una advertencia La de las aspirinas llego demasiado tarde.

Espero con ansias el tercero creo que ya me habré recuperado.
Cruzki | 19/11/2008 at 08:24 | Permalink

@Daniel

La relatividad especial se entiende relativamente bien con un curso de ecuaciones diferenciales y un poco de geometría diferencial. Si sabes ecuaciones en derivadas parciales ya debería ser pan comido toda la relatividad.

Para la cuantica tengo mis dudas porque tengo que reconocer que nunca la he entendido del todo. Los matematicos que conozco que hacen algo en esos campos suelen ser un huevo de analisis funcional (de hecho la notacion que esta usando pedro es la notacion ESTANDAR en cualquier libro de analisis funcional) Aparte de eso, tienes que saber analisis complejo y teoria de la medida… vamos muchas matematicas no triviales.
GEB | 20/11/2008 at 11:10 | Permalink

Buenas,

Si tengo un estado propio |a) dices que cuando es observado, lo que se ve, su valor propio, también es |a), pero ¿si la observación interactúa con él, esto no modificaría su estado? Entonces tras la observación su estado sería diferente al estado propio antes de la observación, al contrario de lo que entiendo que dices en el artículo. no se si se me entiende…

Magnífica serie, enhorabuena.
Pedro | 20/11/2008 at 12:00 | Permalink

@ GEB,

La observación del sistema modifica, en general, el estado del sistema. Sólo en el caso de medir un observable cuando el sistema está ya en un autoestado del observable, esto no sucede, de ahí –entre otras cosas– que los estados propios sean “especiales”.
macaco | 20/11/2008 at 05:32 | Permalink

Es impresionante lo fácil que pudo haber sido y no fue en mis clases de universidad.

He empezado a detestar a mi antiguo profe de cuántica.
Belerofot | 20/11/2008 at 09:07 | Permalink

Genial.
Cinquetto | 21/11/2008 at 12:32 | Permalink

Me gustan tus disclaimers!
herumel | 21/11/2008 at 03:03 | Permalink

Coherencia Cuantica.

http://es.wikipedia.org/wiki/CondensadodeBose-Einstein

Mi pregunta es ¿Tiene este estado algo que ver con la Supersimetría?

Si forzamos los autoestados podemos conseguir siempre sacar |infinitamente cara…|infinitamente cara}
Kalinesti | 22/11/2008 at 05:08 | Permalink

Excelente la nota, como siempre el tamiz aclara las cosas, un abrazo e invito a visitar mi blog que intenta poner algo de claridad com el tamiz. arteyciencias.blogspot.com
Mazinger | 22/11/2008 at 07:50 | Permalink

Hola a todos.

He estado releyendo este artículo y el anterior. En el anterior Pedro dice algo que me parece clave para aceptar que un estado cuántico puede presentar valores distintos (de hecho infinitos según parece) a sus autovalores:

“…en los sistemas en los que realmente se notan los efectos cuánticos, a diferencia de nuestra moneda, no tenemos forma de saber qué es “realmente” lo que pasa en el sistema independientemente de su estado. El estado es lo único que tenemos, de modo que hablar de lo que “pasa realmente” puede ser interesante, pero completamente ajeno al dominio de la cuántica.”

Pienso que esta es una idea fundamental. En el mundo macroscópico podemos decir “si observamos la moneda encontraremos que siempre presenta cara o cruz”, y además podemos añadir sin temor a equivocarnos “y antes de observarla su estado también era el mismo que cuando la observamos, cara o cruz”. Podemos tocar la moneda, manejarla en tanto objeto real y tangible. Disponemos, por supuesto de la información sobre ella (el estado cuántico), pero además disponemos de la propia moneda (objeto real).

Sin embargo de un electrón solo disponemos de su estado cuántico. ¿Qué es un electrón en realidad? Esta pregunta no tiene respuesta. No podemos sostener al electrón en nuestra mano como podemos sostener la moneda, no podemos “ver” directamente su estructura como podemos “ver” la de la moneda. Podemos decir de la moneda que realmente es un objeto aproximadamente circular compuesto de cobre (por ejemplo), pero no podemos describir el electrón en los mismos términos.

Creo entonces haber entendido una de las principales ideas de la Cuántica. Hablando sobre el Principio de Incertidumbre, hasta hace poco siempre había tendido a pensar que “realmente ” una partícula tiene una posición y una velocidad bien determinadas en todo instante, pero nosotros no lo podemos saber porque nuestro método de cálculo no es lo suficientemente bueno. Así pues, yo siempre imaginaba que el Principio de Incertidumbre se debía a:
1. Al intentar medir la posición de una partícula con precisión interferimos en su velocidad, pues la sonda que usamos (un fotón por ejemplo) es del mismo orden de “tamaño” que la partícula que queremos medir, y por tanto el “impacto” del fotón afecta a la velocidad de la partícula, que es distinta después de medir su posición. Lo que Pedro ha llamado “efecto del observador”. Esta explicación del Principio de Incertidumbre parecía dar a entender que la partícula SÍ tenía una posición y velocidad bien determinada, pero que el experimento altera una magnitud al intentar medir otra. Es decir, la incertidumbre no es connatural a las partículas sino que la introduce el intento de medir sus propiedades.
2. La descripción de una partícula en términos de la Onda de Schrodinger tiene en cuenta la naturaleza dual de las partículas (ondulatoria y corpuscular) y muestra que es imposible determinar al mismo tiempo posición y velocidad si describimos las partículas en términos de onda. En este caso SÍ se aprecia que la incertidumbre es connatural a las partículas. Ante ello me defendía imaginando que nuestros modelos para describir las partículas no son lo suficientemente avanzados, y que un supuesto modelo más complejo y aún no descubierto podría resolver el problema de la incertidumbre.
En ambos casos asumía que las propiedades de las partículas están perfectamente determinadas en cada momento y que la incertidumbre se debía, bien a las limitaciones de nuestros experimentos, bien a la imperfección de nuestros modelos matemáticos.

Hasta ahora siempre me había parado aquí. Ayer pasé un buen rato pensando sobre los dos motivos en los que me escudaba para suponer que “en realidad” posición y velocidad siempre se pueden determinar sin limitación, y que la incertidumbre podría soslayarse. Estas han sido mis conclusiones respecto a cada una de ellas.
1. No disponemos de sondas más pequeñas con las que medir la posición o velocidad de una partícula, PORQUE NO LAS HAY. Si quiero medir la posición de una partícula tengo que lanzarle un fotón y esperar que “rebote” para luego calcular esa posición, y claro eso afectará a su velocidad. Pero NO HAY OTRO MODO DE HACERLO. Especular con sondas más pequeñas que las que existen para medir (¿fotoncitos?, ¿microfotones?…) es un ejercicio de ciencia-ficción que no nos lleva a ninguna parte. Conclusión: no es posible reducir el efecto del observador, la contribución de este efecto a la incertidumbre persiste y persistirá.
2. Una supuesta teoría cuántica sin incertidumbre tendría que explicar el motivo por el que en la práctica no es posible llevar a cabo mediciones simultáneas sobre la velocidad y posición de una partícula. Parece que LOS EXPERIMENTOS MUESTRAN EMPECINADAMENTE QUE EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EXISTE. Si esto es así, ¿porqué me resulta más fácil de aceptar una supuesta teoría sin incertidumbre que explique la incertidumbre que en la práctica se verifica, que aceptar la propia incertidumbre en sí? En un caso y en otro, en la práctica existiría la misma incertidumbre.
Y ahora la reflexión final a partir de la frase de Pedro que destacaba al principio del artículo. Si de una partícula sólo tengo el modelo que la describe (su estado cuántico) y no tengo modo (al contrario que con la moneda) de sostenerla en mi mano y “ver lo que la partícula realmente es”, ¿cómo es posible sostener que una partícula dispone de posición y velocidad bien determinados en todo momento pero que no podemos saberlo, si a todas luces es una proposición completamente inverificable?

No se puede sostener. Si no puedo “ver” la partícula como “veo” la moneda no puedo comparar el modelo y la realidad. No puedo decir “la partícula tiene siempre sólo estos estados aunque el modelo diga que pueden presentarse infinitos de ellos”.

Me trago los infinitos estados.
Pedro | 22/11/2008 at 07:59 | Permalink

@ Mazinger,

Me trago los infinitos estados.

Pues yo me quito el sombrero

Como añadido a tu reflexión, cuando nuestro cerebro nos dice que vemos la moneda macroscópica “como realmente es”, se trata de una ilusión: no hay un “como realmente es”, en ese caso simplemente las fluctuaciones en el estado de la moneda son tan pequeñas –o nuestros sentidos tan burdos– que no las vemos, de modo que nos pensamos que no hay estados, sólo moneda.
Mazinger | 24/11/2008 at 10:05 | Permalink

Gracias Pedro por tu añadido a mi reflexión, que definitivamente me sitúa, creo, en la buena senda para interiorizar la Cuántica.

Es fantástica la sensación que se disfruta cuando uno alcanza algo que ha perseguido con ahínco durante meses. Puedo decir que, con tus artículos sobre cuántica, estoy disfrutando del viaje, que más que otra cosa es lo que pretendo cuando leo sobre divulgación científica.

En mis comentarios suelo ser parco en alabanzas a tu labor, más que nada porque prefiero contribuir con mis dudas y mis reflexiones, pese a que puedan ser equivocadas o desatinadas.

Quiero ahora dedicar este post a felicitarte por tu trabajo y agradecerte muy especialmente que nos estés mostrando la Cuántica Moderna. Para mi la Cuántica empezaba en el Efecto Fotoeléctrico y terminaba en el Efecto del Observador (que para mí no explicaba de forma satisfactoria el Principio de Incertidumbre -ahora sé porqué-).

Veo que hay mucho más de lo que hablar y presiento que mis dudas, que ahora se centran en las limitaciones y alcance de la incertidumbre más que en su comprensión fundamental, serán aclaradas en futuros artículos. Me reservo estas dudas, por ahora, para no ser demasiado pesado y para exponerlas en un contexto más adecuado que el tema de este artículo.

Expondré más tarde, si tengo tiempo para ello, un par de reflexiones más que creo me han ayudado a entender mejor las bases de la Cuántica, y que acaso puedan contribuir a que otros lo hagan.

Felicidades. Sigue pilotando esta nave del modo que lo haces.
Isaac | 26/11/2008 at 12:02 | Permalink

Soy un cuasi-físico que me faltan por aprobar Mecanica cuantica pero la fisica cuantica la tengo superada. Para responder un poco de las mátematicas que te hacen falta para calcular todo esto rigurozamente. Basicamente la notación de dirac para poder operar con ella de una forma mas facil y sobre todo para dimensiones grandes es pasarlo a la forma matricial es decir un elemento de esa matriz. Para el ejemplo de la modeda trendiamos una matriz de 2×2; de esta forma:

La matriz tendria esa forma; dominar mucho cambios de base en resumen teniendo un buen conociemnto de algebra tienes las matematicas suficientes para entender un poco.

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Cuántica sin fórmulas - Superposiciones cuánticas | Astro Web | 25/11/2008 at 03:58 | Permalink

[...] de estado cuántico, y la semana pasada lo hicimos sobre un tipo de estados especiales: los eigenestados, estados propios o autoestados de un observable determinado. Como espero que recuerdes, una de las [...]

El Tamiz

Cuántica sin fórmulas - Estados y valores propios

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