El Tamiz

Si no eres parte de la solución eres parte del precipitado

Cuántica sin fórmulas - El pozo de potencial infinito

En la última entrega tripartita de la serie Cuántica sin fórmulas hablamos acerca de la ecuación de onda de Schrödinger: su elaboración, el significado de la función de onda y su relación con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Ni qué decir tiene que te recomiendo que leas aquellos artículos antes de seguir con éste, pues me baso en conceptos explicados allí y vamos a aplicar cosas generales mencionadas en ellos a problemas concretos. Mejor aún, si no conocías esta serie hasta ahora, es que empieces por el primer artículo y poco a poco avances hasta éste – la cuántica ya es puñetera por sí misma, como para encima no empezar desde el principio.

Como recordarás, la mecánica ondulatoria de Schrödinger tuvo mejor aceptación general que la matricial de Heisenberg por su mayor facilidad de visualización. Esta característica es especialmente útil para nosotros en esta serie – sería casi imposible analizar casos concretos mediante la formulación de matrices sin utilizar fórmulas, pero las ondas son fáciles de representar gráficamente y, tras haber leído la entrega anterior de la serie, deberías ser capaz de interpretar los resultados gráficos para comprender lo que significan físicamente (veremos si es así o no).

Este artículo, como todos los de esta serie, es denso y abstracto. Aunque he dejado las neuronas tratando de hacerlo lo más accesible que puedo, requiere un mayor esfuerzo que otros de El Tamiz, y es posible que tengas que darle una pasada, dejarlo estar y volver a él al cabo de un tiempo. No te desanimes si al principio te resulta difícil (si te parece simplemente infumable, lo siento).

El objetivo hoy es doble: por un lado, vamos a descubrir cosas nuevas sobre el comportamiento del mundo a nuestro alrededor; sin embargo, me parece más importante aún otra cosa. Soy consciente de que aprender de cuántica a veces desmoraliza, y parece que piensas y lees mucho y al final te quedas tan confundido como al principio. Mi objetivo en esta entrada es demostrarte –si has leído el resto de la serie, claro– que sabes más de lo que piensas. Hoy vamos a poner en acción lo que hemos aprendido sobre el principio de incertibumbre, las hipótesis de Planck y de Broglie, la interpretación de la función de onda, etc., para aplicar todo eso a un caso concreto. Estudiaremos el pozo de potencial infinito.

Para empezar, vamos a trabajar en una sola dimensión para no liar las cosas, como hicieron muchos físicos de la época – sí, no es realista, pero pueden obtenerse muchísimas conclusiones trabajando en una dimensión que son aplicables al mundo tridimensional, y es mucho más fácil ver las cosas en movimientos en una dimensión. De modo que supongamos que tenemos una partícula (da igual la que sea, pero imaginemos que se trata de un electrón) que puede moverse –en principio libremente– a lo largo de una recta infinitamente larga.

Naturalmente, si no existe nada más que ese electrón la cosa no tiene gracia: la ecuación de Schrödinger resulta útil para saber qué le sucede a ese electrón en situaciones determinadas. De modo que el primer caso que quiero que estudiemos juntos es el de un electrón que se encuentra encerrado en una determinada región del espacio: a ambos lados de esa región existen fuerzas tremendas que no le permiten ir más allá, como si fueran las paredes de una caja infinitamente resistente, o un pozo infinitamente profundo. De este modo estamos absoluta y totalmente seguros de que –por definición– el electrón va a estar en esa región del espacio. Esta simple condición (que estamos seguros de que el electrón está en esa región de la recta) tiene consecuencias inmediatas (y estoy seguro de que algunas puedes adelantarlas tú mismo).

En términos de energías, esta situación puede representarse de la siguiente manera – en el eje x se encuentra la recta sobre la que se mueve el electrón, que puede hacerlo a derecha o izquierda; en el eje y representamos la energía que debe tener el electrón para llegar a cada punto. Si el electrón se encuentra confinado en una región de la que es absoluta y totalmente imposible salir, eso es lo mismo que decir que fuera de esa región la energía requerida es infinita. Mi explicación es algo pobre pero si observas el dibujo creo que entenderás lo que quiero decir (todas las ilustraciones estáticas de hoy están hechas por Geli, afortunadamente para vosotros, que no tenéis que sufrir mis dibujos en papel):

Pozo de potencial infinito

En los libros de física en los que se describe este problema suele hablarse del potencial en vez de la energía potencial, pero ambos son proporcionales y no quiero meterme en disquisiciones entre uno y otra, de modo que –aunque sea algo heterodoxo– dibujaré siempre la energía necesaria para estar en un punto en el eje y, y no el potencial (pero seguiré refiriéndome al pozo como un pozo de potencial de vez en cuando, porque así lo llama todo el mundo). Como puedes ver en el dibujo de arriba, para abandonar la región central el electrón necesitaría una energía infinita.

¿Cómo se resuelve este problema utilizando la física clásica? Fácilmente, no hay más que emplear la mecánica newtoniana: el electrón tendrá una velocidad inicial determinada, nula o no. Si es nula, se quedará para siempre en el punto en el que empezó; si no es nula, se moverá hacia una pared, rebotará en ella, se dirigirá hacia la otra pared, rebotará en ella, y así infinitamente. Si va muy rápido rebotará muchas veces por segundo, si va despacio rebotará cada mucho tiempo (y si no se mueve, evidentemente, no rebotará nunca). Pero ¿qué resultado se obtiene empleando la ecuación de Schrödinger?

Al resolver la ecuación de Schrödinger para este “pozo infinitamente profundo”, el resultado es como siempre la función de onda del electrón confinado en él. Esta función de onda tiene varias peculiaridades que son consecuencia de las condiciones que hemos establecido y de la naturaleza cuántica de la materia, y es una versión distinta de la visión clásica: no hay un electrón como una canica que rebota entre pared y pared, sino una onda que se refleja entre pared y pared. Y una onda que se refleja entre dos lugares fijos es necesariamente un tipo de onda especial: una onda estacionaria.

Por si no estás familiarizado con las ondas estacionarias, el ejemplo más intuitivo es el de la cuerda de una guitarra. Cuando la tocas, se produce una onda que llega a un extremo que está fijo (pues la cuerda está atada a un punto determinado), se refleja y llega al otro extremo, se refleja y vuelve, y así sucesivamente. Puesto que va y viene por la cuerda, la onda interfiere consigo misma y produce algo así:

Onda estacionaria

Por cierto, esta animación te permite ver cómo oscila la onda, pero en el resto de ilustraciones del artículo no vamos a mostrar animaciones, de modo que tendrás que imaginarte cómo oscilaría la onda en cada caso (entre los puntos más alto y más bajo de la onda dibujada en cada lugar).

En el caso del electrón pasa algo parecido a la cuerda de guitarra: puesto que es una onda que “rebota” (se refleja) de un lado a otro entre ambas “paredes”, produce una onda estacionaria de materia. Como digo, esto no es demasiado sorprendente por sí mismo, puesto que hemos forzado que sea así al impedir al electrón abandonar este tramo de recta entre las “paredes”.

Lo extraño empieza a aparecer cuando nos fijamos en las propiedades de las ondas estacionarias. Para empezar, una onda estacionaria entre dos puntos determinados no puede tener cualquier longitud de onda. En el ejemplo de la cuerda de guitarra, o del electrón en este pozo infinito, los extremos de la onda (en los extremos de la cuerda de guitarra, o en las “paredes” del pozo) están fijos con amplitud nula. Como consecuencia, una onda estacionaria de longitud de onda exactamente igual que la longitud del pozo –o la cuerda– cabe perfectamente. Aquí puedes ver un dibujo en el que se muestra la amplitud de la onda en cada punto:

Pozo 2

Una onda estacionaria el doble de larga que la anterior también cabe bien:

Estado fundamental

Pero ahora llegamos a una de las claves de este problema, y la consecuencia inevitable de la naturaleza ondulatoria del electrón dentro del pozo: cualquier onda más larga que la del dibujo no cabe dentro del pozo. Uno de sus extremos no estaría fijo con amplitud nula.

Ésa es la razón de que dos cuerdas de longitudes diferentes, si tienen la misma tensión, suenen con notas diferentes: la más larga permite ondas más largas (sonidos más graves), mientras que la más corta sólo permite que existan ondas estacionarias más cortas (sonidos más agudos). En el caso de las cuerdas la cosa se complica cuando se tiene en cuenta la tensión de la cuerda (a mayor tensión mayor velocidad de propagación y mayor frecuencia, aunque la longitud de onda se mantenga constante), pero espero que el ejemplo de las cuerdas de guitarra te ayude a entender el del electrón.

Observa de nuevo la onda del dibujo de arriba, que es la onda estacionaria más larga que puede existir en ese pozo de potencial (y que suele llamarse “estado fundamental”). Traduzcamos eso utilizando la hipótesis de de Broglie: es lo mismo decir que no puede haber longitudes de onda más largas que decir que no puede haber velocidades más lentas. Esa longitud de onda, que depende de la longitud del pozo, nos da la mínima velocidad que puede tener un electrón que está dentro del pozo.

Podemos llegar a esta conclusión también a través del principio de indeterminación de Heisenberg: estamos absolutamente seguros de que el electrón se encuentra dentro de esa región del espacio, luego no podemos saber con demasiada exactitud su velocidad. El electrón se mueve dentro del pozo a derecha o izquierda, pero la onda obtenida por Schrödinger, al ser estacionaria, es la suma de las dos. No nos dice hacia dónde se mueve el electrón en un momento determinado, a izquierda o derecha. De modo que si la velocidad predicha por la función de onda fuera arbitrariamente pequeña (y tuviera un valor v), estaríamos seguros de que el electrón tiene una velocidad nula con un margen de error de ±v arbitrariamente pequeño, lo cual incumpliría el principio de incertidumbre. No podemos a la vez encerrar al electrón y pararlo.

De hecho, pensemos en lo que sucede si hacemos el pozo más y más estrecho: la onda del estado fundamental se haría más y más corta, con lo que la velocidad mínima del electrón se haría más y más grande. Lo mismo sucedería, pero al revés, si hacemos el pozo más ancho – permitiríamos velocidades menores y por lo tanto una mayor precisión límite en el conocimiento de la velocidad del estado fundamental, pero al mismo tiempo sabríamos peor dónde se encuentra el electrón, que puede estar en cualquier parte del pozo.

De modo que puedes ver cómo este simple estado fundamental es contrario a la física clásica: una de las soluciones clásicas del problema (que el electrón esté quieto en un sitio y punto final) no es posible de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. El electrón no puede estar quieto. De hecho, si hablamos en términos de energías, el electrón debe tener una energía mínima, que depende de la anchura del pozo – la energía del estado fundamental. Por mucho que intentásemos extraer energía del electrón, no podríamos quitarle esa energía mínima.

Y esa energía mínima es proporcional a la frecuencia de la onda (que depende de la longitud de la onda) – esa energía mínima es la de la hipótesis de Planck. Es el tamaño del “escalón de energía” del que hablamos en aquel artículo. Pero la relación entre la hipótesis de Planck y este pozo de potencial no acaba aquí, como veremos en unos párrafos.

Estado fundamental

Pero sigamos analizando el dibujo del estado fundamental, que vuelvo a reproducir para que no tengas que andar arriba y abajo para verlo. Como recordarás de la función de onda, la amplitud de la onda (la separación de la horizontal en ese dibujo) nos indica la probabilidad de encontrar el electrón en un lugar o en otro. Cuando el electrón se mueve lo más lento que es posible –está en el estado fundamental– es muy probable que lo encontremos cerca del centro del pozo, y poco probable que lo encontremos cerca de un extremo, aunque puede estar en principio en cualquier punto del pozo. Todo esto es, creo, bastante intuitivo.

Hemos hablado del estado fundamental, que es el de la onda más larga que cabe dentro del pozo, pero ¿qué hay de ondas más cortas? Existen infinitas ondas estacionarias que pueden existir dentro de este pozo. La siguiente más larga después de la del estado fundamental la hemos mostrado arriba, pero quiero volver a mostrártela para analizarla:

Pozo 2

Varias conclusiones sobre esto. Para empezar, la longitud de esta onda es la mitad que la de la anterior – no existe ninguna onda intermedia entre ambas que tenga sus extremos fijos en los lados del pozo. Lo mismo sucede por lo tanto con la energía: no es posible que el electrón tenga una energía intermedia entre la del estado fundamental y éste. Ese escalón de energía es justo la misma energía que tenía el estado fundamental, y cumple por lo tanto una vez más la hipótesis de Planck.

Además, esta solución de la ecuación –que es la de un electrón que se mueve más rápido que el anterior– tiene una peculiaridad muy curiosa. Como puedes ver, existe la misma probabilidad de encontrar el electrón en la parte izquierda del pozo que en la derecha, lo cual es lógico… pero es absolutamente imposible encontrar este electrón en el punto medio del pozo. ¿No es raro? En física clásica, un electrón con una velocidad determinada pasa por todos los puntos del pozo dos veces en su recorrido completo del pozo, y pasa el mismo tiempo en cualquier región del pozo… pero en cuántica no. La ecuación predice dónde encontraremos el electrón en el momento de mirarlo, y la conclusión –clara pero extraña– es que nunca jamás lo encontraremos en el punto medio.

De hecho, lo que nos indica la amplitud de esa onda es que lo más probable es que encontremos el electrón en el punto medio de una de las dos mitades. ¿Por qué? ¿Cómo es posible que la solución elija esos puntos como especiales? Es posible que seas capaz de responder tú mismo, pero si no puedes no te preocupes – como he dicho antes en la serie, descartar todo el “equipaje mental” de la física clásica es difícil.

La razón es que el electrón es una onda que interfiere consigo misma. Al ser una onda estacionaria, resultado de la interferencia del “electrón que va hacia la derecha” con el “electrón que va hacia la izquierda”, en algunos puntos se produce una interferencia destructiva – la onda del “electrón que va hacia la derecha” está en su punto más alto por encima de la horizontal, mientras que la del “electrón que va hacia la izquierda” está en su punto más bajo por debajo de la horitontal… ¡y la suma es nula en ese punto!

Puede que estés pensando algo así: ¿Me estás diciendo, estimado pero lunático Pedro, que el electrón que va interfiere consigo mismo a través del tiempo? ¿Pero qué clase de mundo es éste?

Mi respuesta a las dos preguntas no puede ser otra que ésta: , y Un mundo muy raro. Hablaremos más sobre la interferencia de un electrón consigo mismo en otros lugares y momentos en un artículo posterior de la serie, pero el resultado de Schrödinger no deja lugar a dudas – la onda que viene interfiere con la que vuelve de modo que hay lugares en los que el electrón no se encuentra nunca cuando lo miras. El electrón interfiere consigo mismo.

Por cierto, aunque sea una cuestión de pura terminología, ese punto en el que la amplitud de la onda es nula se denomina un nodo. Si vuelves a mirar la primera onda estacionaria dibujada, la que está animada y se ve oscilar, puedes ver que tiene cinco nodos (dos en los extremos y tres entre ellos). Si te fijas en la onda del estado fundamental, tiene dos nodos (en los extremos). La onda que hemos analizado ahora tiene tres nodos (dos en los extremos y uno justo en el centro del pozo).

Cada una de estas ondas estacionarias que “caben” dentro del pozo con sus extremos fijos se denomina un modo normal de vibración. Como he dicho, hay infinitos puesto que el límite se encuentra en una longitud de onda máxima –la del estado fundamental–, pero puede haber ondas infinitamente cortas dentro, con tropecientos nodos. Sólo voy a analizar el siguiente y extraer conclusiones generales. Después del de tres nodos, el modo siguiente es el de cuatro nodos:

Pozo 3

Como puedes ver, es un electrón más rápido aún que los anteriores, con más energía (un “escalón” más que el anterior), y tiene una vez más lugares en los que nunca lo encontraremos debido a su interferencia consigo mismo. También puedes ver que hay varios lugares en los que la probabilidad de encontrarlo es máxima: en el estado fundamental había un lugar así (el centro del pozo) con una probabilidad muchísimo mayor que en cualquier otro sitio, en el siguiente modo normal había dos (los centros de las dos mitades) pero la diferencia de probabilidad era algo menor, y aquí hay tres (el centro del pozo y un lugar de cada mitad), pero la diferencia es aún menor.

De modo que, si seguimos añadiendo nodos y “acelerando” el electrón, tendríamos muchísimos puntos de probabilidad máxima que se la repartirían muy bien, y sería mucho más difícil predecir dónde va a estar el electrón. También habría muchísimos nodos en los que no podríamos encontrarlo jamás, lo cual es bastante extraño – la cosa se vuelve muy borrosa según el electrón va más y más rápido.

Puede parecer que esto no tiene que ver con la vida real porque es un sistema unidimensional y además establecemos una condición arbitraria – que el electrón no puede escapar de esa región. Es cierto que ambas cosas son abstracciones, pero podemos establecer similitudes con algunos sistemas reales y veremos cómo varias de las cosas que hemos mencionado a lo largo de la serie (además de lo que hemos dicho ya en este artículo) se corroboran una vez más, y algunas incluso se justifican.

Imagina que el “pozo” no es en una dimensión sino en tres, y que el responsable de esa energía es el núcleo del átomo, que atrae al electrón de modo que no puede escapar de él. En la realidad esa energía necesaria para escapar no es infinita (y hablaremos de pozos finitos en el próximo artículo de la serie), pero podemos ya ver por qué algunas cosas son como son.

Si recuerdas el modelo de Bohr para el átomo, decía que los electrones en el átomo sólo pueden tener unas energías determinadas. Esas energías son exactamente las energías de los modos normales de nuestro pozo – no puede haber electrones estables dentro del átomo con energías intermedias. Un electrón puede pasar de un modo normal a otro (por ejemplo, del de tres nodos al de dos) y emitir un fotón cuya energía es la diferencia entre ambos “escalones energéticos”. Todo encaja, incluso aunque esto sea una aproximación idealizada.

Pero es que hay más: imagina que no se trata de un electrón, sino de un átomo en el interior de un cristal. Una vez más, las fuerzas que mantienen al átomo del cristal en la región en la que se encuentra no son infinitamente intensas como en nuestro pozo, pero es una abstracción útil para pensar en el problema. Imagina el átomo vibrando dentro del cristal debido a su temperatura (cuanto más caliente, más rápido vibra). En vez de hablar de temperatura, podríamos hablar de “modo normal” y el número de nodos que tiene. Si está muy caliente podría tener diez, un poco más frío cinco, más frío tres, dos…

Pero la mínima energía de oscilación del átomo en el cristal es la del estado fundamental con sus dos nodos. Ni por radiación ni por ningún otro método podré conseguir que el átomo vibre más lentamente que en el estado fundamental – es imposible quitarle toda la energía de vibración al átomo, porque siempre tiene una “energía residual”. Esa energía se denomina energía del punto cero –del alemán Nullpunktenergie, propuesto por Einstein y Stern–, y es una consecuencia inevitable de la naturaleza ondulatoria de la materia.

Espero que, después de todo este rollo, tu moral haya subido unos cuantos enteros y veas que todos los artículos anteriores, aunque simples comparados con un libro de texto “de verdad” sobre cuántica, sí te proporcionan un conocimiento básico del comportamiento de la materia y te permiten analizar sistemas físicos para extraer conclusiones sobre ellos, algunas de ellas muy raras.

En el siguiente artículo de la serie estudiaremos un pozo de potencial parecido a éste pero algo más complejo, y con conclusiones también extrañas – un pozo finito.

Para saber más:

Ciencia, Cuántica sin fórmulas, Física

65 comentarios

De: meneame.net
2008-05-15 18:12:49

El pozo de potencial infinito (Cuántica sin fórmulas)...

[c&p] Mi objetivo en esta entrada es demostrarte –si has leído el resto de la serie, claro– que sabes más de lo que piensas. Hoy vamos a poner en acción lo que hemos aprendido sobre el principio de incertibumbre, las hipótesis de Planck y de Brogli...


De: Morghost
2008-05-15 20:01:48

Recuerdo que entender esto mismo en clase durante la carrera era misión imposible. Aquí está explicado de forma amena y clarita. Me encanta


De: ango
2008-05-15 23:57:17

Entonces, cada vez que el electrón aumenta la frecuencia existen más y más nodos, por lo tanto será más y más difícil encontrarlo en algún punto del eje x. ¿Existe algún límite? Es decir, ¿Puede llegar un momento en el cual no podamos encontrarlo? Si no podemos encontrarlo, no podemos volver a quitarle energía. ¿Se esfuma?

Saludos.


De: Dubitador
2008-05-15 23:59:52

Es curioso. El gif animado de la onda estacionaria, tras mirarlo durantre unos instantes, puede convertirse en una ilusion optica segun la cual vemos una especie de cigüeñal ondulado que puede rotar tanto en un sentido como en otro o bien que oscila de lado.
Ya digo, es solo una curiosidad.


De: Brigo
2008-05-16 01:58:19

ango, Diría que no, que entre dos nodos, como entre dos puntos del espacio o entre dos números reales, hay infinitos nodos, o espacio o números reales. Visualmente estoy diciendo que siempre podrías hacer zoom a la onda del dibujo y ver las zonas internodales todo lo grandes que quieras.

Claro que sabiendo que el espacio puede estar cuantizado ... uno ya no sabe que pensar :-)


De: profesormarciano
2008-05-16 02:08:37

Se me ponen los pelillos de punta cada vez que leo El Tamiz (y no es metáfora). Es apasionante.


De: kevin9410
2008-05-16 05:51:06

Pedro, antes que nada, felicitarte por tu trabajo en hacernos entender (o por lo menos, hacernos tener una idea) la mecanica cuantica. Una consulta, si la probabilidad de que el electron pase por los nodos es nula, y ademas el electron "pasa" por las dos zonas, ¿el electron se mueve a traves del tiempo? yo creo que el genera un agujero del gusano para poder acerlo, pero no se mucho de eso, quisiera que me aclares las ideas


De: Pedro
2008-05-16 06:54:26

ango,

Es cierto que cada vez hay más nodos, pero también hay cada vez más puntos de máxima probabilidad y, como dice Brigo, bastaría con hacer "zoom" para ver unos y otros. No tengo ni idea de lo que pasaría si llegases a topar con la cuantización del espacio -- mi primer impulso es decir que no podría irse más allá del punto en el que cada nodo definiese el espacio entre dos cuantos, y el electrón pasara de cuanto a cuanto... y tiro porque me toca :P

kevin,

Me temo que lo que es aclararte las ideas no lo voy a hacer mucho, porque la cosa es así de rara. Cuando miras dónde está el electrón en el caso que dices, lo verás a un lado o a otro del centro, pero nunca lo encontrarás justo en el punto medio. La ecuación no va más allá, y el resto son nuestras interpretaciones. Algunos piensan que sí pasa y que la ecuación dice que no vemos cuándo eso sucede. Otros, que "salta" y no pasa por ese punto. Otros, que pasa por ese punto en otros Universos y por eso no podemos verlo, etc.


De: Guepard
2008-05-16 08:29:15

mmm... Si existie izquierda y derecha y arriba y abajo no estamos hablando de DOS dimensiones? Si fuera una dimensión digo yo que sería imposible que la onda "subiera y bajara". Es una dimensión si se refiere al movimiento del electrón, pero es claramente 2 para que pueda haber onda XD.


De: Macluskey
2008-05-16 09:46:44

Muy buen artículo, como siempre. A los que nunca hemos estudiado nada de cuántica (en mis tiempos eso no se daba en la Carrera, en la de Informática, que es la mía), nos resulta apasionante.

Una cuestión, Pedro: Comentas en un par de ocasiones que una onda estacionaria puede llegar a tener infinitos nodos. Yo creo que eso es en física clásica; en cuántica no puede llegar a tener infinitos nodos. Si llegara a tener infinitos nodos, no seríamos capaces de encontrar nunca a la partícula; y su energía sería infinita, con lo que de hecho escaparía del pozo.

Supongo que la solución es que el longitud mínima entre nodos será la longitud de Planck, por lo que el número máximo de nodos será la longitud del pozo dividida por dicha longitud de Planck. Eso será diez elevado a ni-se-sabe, pero no a infinito.

Como me suspendas en ésta, no me va a quedar más remedio que volver a leerme toda la serie desde el principio...

Saludos,


De: Mazinger
2008-05-16 11:52:16

Me uno a Macluskey, tanto en la felicitación por el artículo como en la duda planteada.

Una onda estacionaria de infinitos nodos puede representarse geométricamente como una recta, lo cual ejemplifica a la perfección la incertidumbre cuántica: determinación absoluta de la velocidad a la que se mueve (de hecho infinita, pues la longitud de onda sería nula) a cambio de no tener ni idea del lugar que ocupa la partícula en dicha recta (la probabilidad de encontrarla sería nula en cualquier punto de la recta).

La objeción de Macluskey es muy interesante, pues pone de manifiesto dos cosas:


  • De acuerdo a la teoría de la relatividad no es posible que una partícula sea acelerada más allá de c.

  • ¿El espacio está cuantizado?

Para conocer el número máximo de nodos posibles para la onda podría considerarse que el límite superior para la velocidad de la partícula es c (a efectos prácticos, realmente jamás alcanzaría dicha velocidad), transformar este dato en longitud de onda y operar con ella para saber cuántos nodos salen.

Sería interesante igualmente comprobar si esta velocidad máxima c determina de algún modo que alguna propiedad de la onda tienda a la Constante de Plank, como parece sugerir Mackuskey.

La cuantización del espacio es una idea muy sugerente. En alguna ocasión en esta web he apuntado que esto resolvería la paradoja de Zenón, según la cual el movimiento no es posible debido a que para ir de A a B es preciso pasar por los infinitos puntos del espacio entre ambos.

Pese a que desde el punto de vista matemático efectivamente hay infinitos puntos entre A y B (se puede dividir el espacio entre A y B en tantas porciones como se desee arbitrariamente pequeñas), la Física Cuántica parece sugerir un límite a estas divisiones en torno a la Constante de Plank (digo sugerir, pues que yo sepa esto no está demostrado y es simplemente una divagación). Puesto que ya no se pasarían por infinitos estados o puntos, el movimiento sería posible (como por otra parte los sentidos nos confirman cada día).

En cualquier caso comparto la opinión de Mackuskey.


De: Mazinger
2008-05-16 12:22:19

Releyendo mi último comentario me ha surgido una reflexión que quisiera compartir con vosotros.

Decía que una onda estacionaria con infinitos nodos puede describirse como una recta (constituyendo ésta un caso límite), y que en base a ello podíamos concluir que la velocidad de la partícula era infinita mientras que su posición era infinitamente imprecisa.

No estoy seguro ahora de esta interpretación que tan alegremente he hecho. ¿No significará esta recta que sencillamente hemos perdido toda posibilidad de obtener información?

Decía que en esta recta (ecuación de onda de infinitos nodos) la longitud de onda es nula, asumiéndose también que su amplitud es nula (lo que implica que la velocidad de la partícula sería infinita).

Pero caígo en la cuenta ahora que esto también equivale a decir que la longitud de onda es infinita y que la onda tiene 0 nodos. ¡Lo que equivale justo a lo contrario: la partícula tendría velocidad 0 (cosa que en virtud de la velocidad residual a la que se alude en el artículo no es posible)!

¡Los extremos se tocan: el infinito y el cero son caras de la misma moneda!

En cualquier caso esta aparente contradicción lógica me reafirma en la opinión de que no pueden estar permitidos infinitos nodos en una onda estacionaria.


De: Bendem
2008-05-16 14:51:41

Una vez más, bravo!!

Y me quedo a la espera impaciente del próximo capítulo.

Sobre lo que el que electrón pueda llegar a ser una onda con infinitos nodos, con nuestros conocimientos físicos actuales esto es irrelevante porque estaría más alla de los límites de Plank.


De: joel
2008-05-16 14:55:16

Esta vez tengo que darte las gracias Pedro.

Si bien es cierto que TODOS los lectores de eltamiz estamos entusiasmados y agradecidos con tu trabajo, este artículo ha cumplido su propósito.

Yo ya estaba sintíendome un ignorante por no tener ni idea de ondas. Incluso estaba pensando sugerir que hicieras una miniserie de ondas para aquellos que estamos perdidos.

Pero al acabar de leer el artículo me siento contento y que algo sí que he entendido. Quizás dentro de 2 ó 3 artículos no piense lo mismo :-p

Gracias :-)


De: Miguel Ángel
2008-05-16 16:12:32

Que decir que no se haya dicho ya sobre este fenomenal artículo :)

Recuerdo que cuando en química de COU nos explicaron los distintos orbitales atómicos me quedé con curiosidad por saber porqué tenían esas formas y que tenía que rayos tenía que ver dicha forma con la energía del electrón. A la vista del artículo supongo que debe ser obviamente la versión "3D" de un pozo de energía finita.

Gracias Pedro, es una alegría que te aclaren dudas planteadas años atrás, sobre todo cuando se pone tanto cuidado en la explicación.


De: Pedro
2008-05-16 17:35:41

Chicos,

Gracias por los elogios, de verdad que hacen que merezca la pena la paliza ;)

Respecto a la onda con infinitos nodos, Bendem lo ha dicho muy bien:


Sobre lo que el que electrón pueda llegar a ser una onda con infinitos nodos, con nuestros conocimientos físicos actuales esto es irrelevante porque estaría más alla de los límites de Plank.


Cuando el electrón se aproximase muchísimo a la velocidad de la luz su longitud de onda tendería a longitud de Planck, y no podrían llegarse a tener más nodos que los que hubiera entonces (que dependerían del tamaño del pozo). Serían una barbaridad de nodos, pero no infinitos.

Una cosa -- de acuerdo con la TRE, es también irrelevante si el espacio está cuantizado o no respecto al número de nodos -- un número de nodos mayor que el que he dicho arriba requeriría una velocidad del electrón mayor que c, lo cual es imposible.

Otra cosa es que esa longitud represente realmente el tamaño de la cuantización del espacio ("huele" a que sí, ¿verdad?).

@ Guepard,

No hay "arriba y abajo" -- la amplitud de la onda es una medida de la probabilidad de encontrar el electrón en un punto, no hay nada que suba ni baje. Y el eje vertical de energías es eso, la energía requerida para alcanzar cada punto del eje x. El movimiento es exclusivamente de izquierda a derecha.


De: vik
2008-05-16 18:57:43

La explicacion es perfecta, muchisimas gracias


De: cruzki
2008-05-16 19:33:03

Y yo que juraría que había posteado en este hilo hablando de la cuantización del espacio...

Bueno, supongo que repetiré la pregunta. Si hay punto de probabilidad cero (o sea puntos donde es imposible que este la partícula) ¿Cómo puede un electrón pasar de una región a otra? ¿La trayectoria no es una curva? ¿Puede teletransportarse el electrón? Si el espacio esta cuantizado, entonces me podría responder a mi mismo (en cierto sentido nos teletransportaríamos :P )

De todas formas, ahora que lo pienso, si la amplitud de la onda define la función de probabilidad de la posición del electro, al ser una función de probabilidad continua (supongo) la probabilidad de que el electrón se encuentre en un punto es SIEMPRE cero (esas integrales :P ).El asunto es que alrededor de esa región la probabilidades sea minúscula, o "nula" (supongo que habría que cogerlo con un sentido matemático estricto, o sea, tan pequeña como uno quiera). Pero claro, cualquier punto, cogiendo una región suficientemente pequeña, también puede tener probabilidad "nula". No se si se me ha entendido.

Buff, la cuantica y los espacios continuos no se llevan nada bien me parece. Si el universo fuera discreto seguiría siendo "raro" de cojones, pero más "natural".


De: Pedro
2008-05-16 20:05:49

@ cruzki


¿La trayectoria no es una curva?


La trayectoria no es :P El electrón lo ves en un sitio o en otro. La pregunta "por dónde pasó mientras yo no lo miraba" no tiene sentido. Ya sé que suena muy zen y parece una salida fácil, pero tenía que decirlo ;)

Estoy contigo, la cuántica tiene mucho más sentido si el espacio está cuantizado, aunque eso haga otras cosas aún más raras.


De: cruzki
2008-05-16 23:25:18

Ahora viene la pregunta chachi: ¿es demostrable que una dimensión está cuantizada?


De: luqq
2008-05-17 12:31:12

Amo del calabozo: Soy "fan" tuyo desde hace poco tiempo y voy leyendo los artículos del blog poco a poco... y ya no aguanto más, tengo que FELICITARTE por tu capacidad didáctica y de simplificación. No puedo menos que quitarme infinitos sombreros. ¡O-lé!


De: Pedro
2008-05-17 13:13:13

@ cruzki,

¿Qué te parece abrir un hilo en el foro para discutir cómo podría diseñarse un experimento que pudiera discernirlo? :)

@ luqq,


No puedo menos que quitarme infinitos sombreros.


Pero si el tiempo está cuantizado, nunca podrías hacerlo aunque fueras capaz de quitártelos arbitrariamente rápido... ¡NOooOOooOOOOO!

No, en serio -- espero que sigas disfrutando de los artículos :)


De:
2008-05-17 18:30:54

Una de las ideas expresadas más arriba ha disparado mi atención: ¡si la velocidad de una partícula se aproxima a c (velocidad de la luz), la longitud de onda de la onda estacionaria que la describe tiende a h (Constante de Planck)!

¿Esto es así? ¿Es un hecho comprobado?

Este hecho a mí al menos me parece muy importante, pues implica una conexión muy clara entre dos constantes de la naturaleza tan aparentemente distintas como son c y h. Una pregunta muy inquietante entre los físicos es "¿porqué demonios las constantes universales tienen el valor que tienen? Precisamente un problema inherente a las teorías físicas actuales es que son incapaces de explicar el motivo por el que esos valores son los que son y no otros.

En virtud de esta relación cabría concluir que c (límite para la velocidad en el Universo), está determinada por h (límite inferior para el intercambio de energía posible en el tiempo). Si h fuese mayor c sería menor y si h fuese menor c sería mayor. Vale, ahora habría que explicar porqué h tiene el valor que tiene, pero nos habríamos quitado a c de la lista.

Claro que, por otro lado, se podría ver el asunto también desde la perspectiva de c: h tiene el valor que tiene debido a que c tiene el que tiene. Parece por tanto que todo lo más que se puede decir es que ambas están relacionadas, sin poder precisar cual de ellas está determinada por la otra.


De: Pedro
2008-05-17 19:15:21

Anonymous,


Una de las ideas expresadas más arriba ha disparado mi atención: ¡si la velocidad de una partícula se aproxima a c (velocidad de la luz), la longitud de onda de la onda estacionaria que la describe tiende a h (Constante de Planck)!
¿Esto es así? ¿Es un hecho comprobado?


Estooo -- pues no, es que yo soy un poco estúpido a veces. Si la velocidad del electrón es la de la luz, la longitud de onda es nula. Lo siento, y te explico el porqué de mi confusión:

Cuando se planteó la pregunta, lo hice al revés: ¿qué velocidad debe tener el electrón para que su longitud de onda asociada sea la de Planck? Si lo haces, verás que sale la velocidad de la luz con un error tan minúsculo que mi calculadora científica lo hace cero.

El problema es que haciéndolo al revés (la velocidad del electrón es exactamente la de la luz) la longitud de onda no es la de Planck, sino que es nula.

Eso sí, también tengo buenas noticias para ti -- lo que te parecía interesante es, mi estulticia aparte, cierto. Las constantes están indudablemente relacionadas, y la longitud de Planck depende de h, de c y de G... además del número pi, lo cual también es muy interesante.

Disculpas por mi incapacidad mental :)


De: Brigo
2008-05-17 23:04:53

Anonymous sobre tu pregunta
“¿porqué demonios las constantes universales tienen el valor que tienen?" te aconsejaría una interesante lectura (como no podia ser de otra manera) de Pedro sobre el tema:
“efectos de selección del observador”
http://eltamiz.com/2007/04/19/¿por-que-el-otro-carril-siempre-va-mas-rapido/


De: Mazinger
2008-05-19 09:46:02

Una pequeña observación de un humilde "detractor de la cuántica". Nunca me ha parecido correcto mantener una actitud conformista en Ciencia. Es muy común en Mecánica Cuántica hablar, casi con desprecio, acerca de la irrelevancia o inoportunidad de formular ciertas cuestiones, como "¿qué hay debajo de la falda de la Constante de Planck?".

Entiendo que por eso Bendem, que señala esta irrelevancia, matiza inmediatamente (y prudentemente) después "con nuestros conocimientos físicos actuales". La Mecánica Cuántica es la teoría actual que mejor describe el micromundo, por lo que debe aceptarse y desarrollarse al máximo para extraer hasta la última de sus consecuencias.

Sin embargo aceptarla no significa dejarse condicionar por las posibles limitaciones de su formulación. La Cuántica, más que ninguna otra teoría en la historia de la Física, abrió un debate profundo sobre la naturaleza de la realidad.

No sé si la realidad es exactamente como la Cuántica la describe, todo lo más que me atrevo a decir es que se comporta como si lo fuese. Pero tiendo a pensar que el problema es que no hemos encontrado una formulación matemática más apropiada para describir la extraordinaria complejidad del Universo, y por eso hemos acabado siendo un poco esclavos de la estadística.

Heisemberg decía "calla y calcula". Pues lo siento, no comparto su opinión, al menos en lo de callar. Desde que somos niños nos dejamos seducir por la curiosidad de comprobar qué hay más allá de los límites que se nos imponen. Pienso que esta es la semilla del correcto comportamiento científico.

La Cuántica aporta luz a muchas cuestiones físicas a cambio de mantener apagadas las velas en otras. Y esto es lo que me huele mal y me hace pensar que aquí hay gato encerrado (no el de Schrodinger). No podemos mirar por debajo de una cierta longitud, no podemos conocer con precisión ciertos valores...

"A la luz de nuestros conocimientos físicos actuales..." no es posible, vale, no se puede negar, las cosas son así. ¡Pero intentemos levantarle la falda a la Constante de Planck en la primera ocasión que podamos!


De: David
2008-05-19 19:22:15

Mazinger, a mí me parece simplemente que las preguntas que nos hacemos son erróneas. Casi como preguntarse "¿por qué 1=2?". No hay una respuesta. Simplemente la pregunta está mal. Introduce una premisa errónea. Sí, las preguntas no solo preguntan sin más, también introducen cantidad de premisas casi sin darnos cuenta, algunas debidas a la construcción de nuestro lenguaje.
La mente busca patrones y discierne objetos (entidades sin relación aparente, independientes) desde que nacemos. Por eso sorprende descubrir que cosas como la velocidad y la posición, que creíamos 2 cosas distintas, son un único concepto (llamémosle "velosición" :P).
Lo mismo con las partículas/ondas u "ondículas". O materia y energía (¿"matergía"?). Tal vez ya sea hora de abandonar conceptos como que las "cosas" se "mueven" y empezar a hablar de "propiedades" que "existen" en tal o cual punto del espacio/tiempo (¿espaciempo?¿tiempacio? :-D).


De: Angel
2008-05-21 06:10:39

Buenas ... impresionante articulo que, como no, me ha hecho añadir unas cuantas preguntas a la pila de dudas en mi Cerebro xD,

una que viene de articulos anteriores y que no me deja dormir >:B, ¿porque las ondas tienen esa forma?, ¿que les hace curvarse de arriba a abajo y de nuevo arriba hasta el infinito (hasta que algo las absorve vamos ^_^)?

Y otra duda que me ha surgido leyendo una respuesta de Pedro, si una onda que se mueve a la velocidad de la luz tiene una longitud de onda nula, ¿"La luz en si" es una onda sin longitud de onda? es decir ¿Es una linea recta? ...


De: Pedro
2008-05-21 06:46:33

@ Angel,


Y otra duda que me ha surgido leyendo una respuesta de Pedro, si una onda que se mueve a la velocidad de la luz tiene una longitud de onda nula, ¿”La luz en si” es una onda sin longitud de onda? es decir ¿Es una linea recta?


Lo que tiene longitud de onda nula si se mueve a la velocidad de la luz es una onda asociada a una partícula con masa -- las reglas son diferentes para la luz, que tiene una longitud de onda no nula aunque se mueva a esa velocidad.


De: Kent Mentolado
2008-05-21 16:04:01

Me lo acaban de contar:

"¿Por qué Heisenberg murió virgen? Porque cuando encontraba el momento, no encontraba la posición, y cuando encontraba la posición, no encontraba el momento."


De: Furre
2008-05-23 16:07:49

Buenos días, una pequeña duda: ¿se cree que el tiempo está cuantizado?
¡Muchas gracias!


De: Pedro
2008-05-23 17:09:30

@ Furre,

Algunos así lo creen (aunque otros no). La cosa no está clara y probablemente tardaremos en saberlo: http://en.wikipedia.org/wiki/Chronon


De: david
2008-05-25 00:23:29

fantastico el articulo. enhorabuena, lo he entendido perfectamente y me encanta adquirir estos conocimientos tan profundos de forma tan amena y clara. muchisimas gracias pedro.


De: Belerofot
2008-05-26 00:22:59

Genial artículo, como siempre.


De: heru
2008-06-09 16:24:28

Felicidades por esta coleccion de articulos, y sobretodo el esfuerzo pedagogico que plasma, es muy de agradecer.

Hoy pupuleando por la red me encontre noticias que se repiten periodicamente sobre "entrelazados cuanticos para transmitir información".
Nunca he conseguido entender minimamente la question (maditos periodistas!!), asi que te invito (jejeje ) que escribas sobre ello si te parece interesante el tema.

Las dudas obvias son:
- Al igual que parejas de particula/anti-particula mantienen cierta correlacion hasta 'colapsarse' por la 'observacion', esta 'nube de probabilidades' puede extenderse a sistemas mas grandes como el gato de schrondiger ?
- Si jugamos con el spin de un par particula/antiparticula podemos 'colapsarlo' obligandole a tomar un valor determinado ? ( eso permetiria la transmision """"instantania"""" de informacion ).
- Si creamos dos dispositivos separados a años luz de distancia con 'entes' entrelazados para usar una supuesta transmision instantanea de informacion, estos entrelazamientos no se agotarian por su uso?
- question de fondo que denota mi falta de comprension: si puñetas determina la disticion de un sistema colapsado de uno que no, esta tiene tela xD.

saludos.


De: Pedro
2008-06-09 20:52:41

@ heru,

Hablaremos del asunto específico que mencionas en la serie (está planeado desde el principio), pero todavía nos falta bastante para llegar ahí... para entender cómo funciona hay que entender más cosas primero, y todo se andará :)

Ah, y gracias por los ánimos -- esta serie requiere de un esfuerzo bastante grande, y mucho tiempo, de modo que se agradece que se aprecie :)


De: juampe
2008-07-05 17:08:16

Gracias por acercarnos conceptualmente a lo que a mucha gente le cuesta explicar.
Me he iniciado en esta serie de artículos después de seguir la serie de las maravillosas y sorprendentes partículas,
con el objetivo de comprender aplicaciones de mecánica cuántica. qbits, puertas lógicas cuánticas, entanglement etc.
Me has ayudado mucho en camino conceptual, además de agradable compañía :D. Saludos


De: Anónimo
2008-10-01 17:58:10


Cuando miras dónde está el electrón en el caso que dices, lo verás a un lado o a otro del centro, pero nunca lo encontrarás justo en el punto medio. La ecuación no va más allá, y el resto son nuestras interpretaciones. Algunos piensan que sí pasa y que la ecuación dice que no vemos cuándo eso sucede. Otros, que “salta” y no pasa por ese punto. Otros, que pasa por ese punto en otros Universos y por eso no podemos verlo, etc.

¿podríamos empezar a dejar de pensar en el electrón como partícula, y así olvidar la paradoja de que no pasa por determinados nodos?. De hecho, sólo se comporta como partícula cuando es observado, no?.
Vivimos en mundo de ilusiones...


De: Nuwanda
2008-11-13 04:03:20

Felicitaciones por esta entrada y el grandioso trabajo que estas haciendo, tranformas cosas tan complejas y conflictivas con la logica como lo es la cuantica, a cosas sencillas que se deducen por la misma logica.

Queria aportar un enlace de wikipedia donde muestran las ondas estacionarias (como la animacion de arriba) y de fondo muestra las ondas que van de derecha a izquierda y viceversa, basicamente es lo mismo pero se ve un poco mas claro donde se anulan ambas ondas para producir los nodos y donde se suman para producir la maxima amplitud.
http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_(f%C3%ADsica)


De: Cuántica sin fórmulas - Estados y valores propios | Astro Web
2008-11-19 15:46:25

[...] de la moneda. En el caso de un sistema físico real, como podría ser un electrón dentro de un pozo infinito, puede haber varios observables, como la posición del electrón, su energía, su momento lineal, [...]


De: iñaki
2008-12-24 03:06:04

Gracias por acercarnos a este maravilloso / y extraño mundo de la cuantica. He leido varias veces los articulos, me resultan bastante mas asequibles que otras explicaciones que he recibido. Seguire "rumiando" sobre este tema.


De: Ricardo
2009-01-30 19:30:01

Siento decirtelo y espero que no te lo tomes a mal, y si es asi, lo siento en el alma, pero, cada vez te odio mas por haberme descubierto la fisica cuantica ;). Yo era muy feliz en mi ignorancia :D.

Y ademas de eso, es que estoy enganchado, no he terminado de leerme todos los articulos, voy poco a poco, y tampoco creo que lo termine de comprender todo o practicamente nada de los conceptos que das, los tendre que volver a leer. Pero cada vez me gusta mas.

Muchas gracias por hacerme pensar


De: Alberto
2009-02-28 22:17:22

Por tanto la materia (que es ondulatoria) siempre tiene un estado mínimo de energia, que no se le puede 'quitar', es imposible que exista el 0 absoluto?


De: Kenrae
2009-03-12 14:05:01

¿Estamos formados por píxels? :D


De: Ernesto
2009-04-27 17:11:53

Hay güero, en realidad me cansé con este artículo, sin embargo, como bien lo dijiste mi querido Pedro, Sí se le entendió


De: alexis
2009-08-15 00:41:58

k enteresante es eso sobro todo lo de la desaparicion de el electron
si lo pudieramos entender y y macroestructurarlo podriamos crear puertas dimenciom¿nales no?? weno gracias por todo Pedro sigue asi suerte


De: Nando
2009-09-29 13:09:54

Dos detalles:
Al hablar de la energia minima de vibracion de un atomo en un cristal: ¿no se confirma/relaciona desde la cuántica este hecho con la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto??(tercer principio de la termo,no?)
Por otro lado: he oido muchas veces que la cuantica y la relatividad no "casan" ¿todo el debate acerca de "c" y "h", la velocidad de la luz-cuantizacion del espacio no indican lo contrario, que debe existir una relacion entre la cuantica y la relatividad?


De: Patriot
2010-03-02 22:21:29

acerca de los comentarios acerca de la relación entre pi, c, h,... no se vale decir que Todo es Relativo?


De: Ever
2010-05-05 16:18:49

Tengo una pregunta Pedro, ¿cuando uno modela a la partícula como onda estacionaria, ese gráfico de onda estacionaria me esta mostrando por asi decirlo la cuantización de unos estados energeticos cierto?

¿Por qué habla usted en el caso de n=2 (tres nodos) de que en el centro no habría posibilidad de encontrar al electrón?

¿No se esta confundiendo allí la gráfica de la onda estacionaria con la de densidad de probabilidad?

Gracias por su respuesta y por estos artículos tan considerados con los que intentamos aprender esta disciplina.


De: Pedro
2010-05-05 17:31:43

Ever,

¿Por qué habla usted en el caso de n=2 (tres nodos) de que en el centro no habría posibilidad de encontrar al electrón?

Porque no es posible encontrarlo allí :)

¿No se esta confundiendo allí la gráfica de la onda estacionaria con la de densidad de probabilidad?

Antes de nada, si te planteas esa pregunta es que sabes bastante más que el público para quien está escrito este artículo, pero bueno. En el artículo no se habla de la distinción entre ambas porque, en mi opinión, añade una capa de complejidad que el lector neófito no necesita ni le aporta nada que le permita entender el quid de la cuestión.

En cualquier caso, en los puntos en los que la onda es nula la densidad de probabilidad también lo es, como sabes por la definición de la densidad de probabilidad (si psi(x)=0, necesariamente |psi(x)|^2=0). De modo que en el centro del pozo y el caso n=2, ambas son nulas, y de ahí que los nodos en el pozo infinito sean los lugares en los que nunca es posible encontrar la partícula.


De: k
2010-12-28 18:26:32

Hola,Pedro.
Antes de nada darte mi más sincera enhorabuena por tu magnífico trabajo. Leyendo los comentarios me he encontrado con esto:
“Anonymous,

Una de las ideas expresadas más arriba ha disparado mi atención: ¡si la velocidad de una partícula se aproxima a c (velocidad de la luz), la longitud de onda de la onda estacionaria que la describe tiende a h (Constante de Planck)! ¿Esto es así? ¿Es un hecho comprobado?

Estooo — pues no, es que yo soy un poco estúpido a veces. Si la velocidad del electrón es la de la luz, la longitud de onda es nula. Lo siento, y te explico el porqué de mi confusión:

Cuando se planteó la pregunta, lo hice al revés: ¿qué velocidad debe tener el electrón para que su longitud de onda asociada sea la de Planck? Si lo haces, verás que sale la velocidad de la luz con un error tan minúsculo que mi calculadora científica lo hace cero.

El problema es que haciéndolo al revés (la velocidad del electrón es exactamente la de la luz) la longitud de onda no es la de Planck, sino que es nula.”

No veo cual es el problema,ya que para acelerar el "electrón-onda-partícula" hasta c se necesitaría (hipotéticamente) una energía infinita,que sería la requerida para salir de esa región unidimensional acotada por las barreras potenciales.Es decir,la longitud de onda es nula porque la probabilidad de encontrar en esa región a dicho "electrón-onda-partícula" sería nula,ya que habría "alcanzado" esa barrera potencial para "desplazarse" por el eje x.

La cuestión es que a medida que la velocidad del electrón se aproxime a c la longitud de onda asociada se aproxime a la de Planck

Seguramente sea que no he entendido correctamente lo que querías decir.

Un saludo,y gracias por tu tiempo


De: k
2010-12-28 21:41:12

Por favor,que nadie tenga en cuenta esta frase en mi comentario anterior:
"La cuestión es que a medida que la velocidad del electrón se aproxime a c la longitud de onda asociada se aproxime a la de Planck".Jajajaja (las ansias del directo)

Perdón por mi soberana estupidez


De: Octavio
2011-02-26 19:03:43

Espectacular, clarisimo! te amo pedro!! jaja


De: Regonn
2012-01-02 19:29:18

Enhorabuena por el blog q es brillante!
Una duda... me falta entender qué significa que "el electrón interfiere consigo mismo a través del tiempo"

Me puedo imaginar ondas que se anulan, pero un electron solo, que no pueda estar en el centro, no solo no es intuitivo, sino que parece irreal. Se puede pasar de A a C sin pasar por B??


De: dani
2012-07-25 00:16:57

muy bueno el articulo, estoy en 3° de ESO y lo estoy entendiendo a la perfección.


De: Adrián
2012-08-15 09:52:20

Pedro Pedro Pedro, realmente me es difícil encontrar palabras para demostrarte el placer que me da leer tus artículos y felicitarte por tu tiempo, dedicación (que me imagino que no debe ser nada fácil y de seguro me quedo corto) y sobre todo por la magnífica forma de explicar que tienes, haciendo de un tema complejo como es la cuántica algo ameno, accesible y repito placentero.

Igualmente me es inevitable retorcer las cosas hasta que me surgen dudas, cuando dices:

"Como recordarás de la función de onda, la amplitud de la onda nos indica la probabilidad de encontrar el electrón en un lugar o en otro"

Al ver que la función de probabilidad aumenta y luego disminuye me doy cuenta que estás hablando de la función densidad, pero al afirmar que la función densidad indica la probabilidad, estas en cierta manera asegurando que el espacio es una distribución discreta (un espacio cuantizado) debido a que la función densidad indica probabilidad solo si la distribución es discreta y no cuando es continua (un espacio continuo) en donde la probabilidad se puede “ver” únicamente en intervalos y con la función distribución.

De todos modos también me parece claro que el fragmento que cité no es más que una simplificación, porque entrar en funciones, distribuciones e integrales no es el objetivo del artículo así que mi pregunta en si va por el lado de ¿de qué manera se maneja la probabilidad en cuántica sin entrar en el tema de si el espacio está cuantizado o no? ¿o es que simplemente como la concepción actual de espacio es algo continuo lo tratan como una distribución continua?

Lo siguiente es una pequeña aclaración también referente a probabilidad, cuando dices:

“Como puedes ver, existe la misma probabilidad de encontrar el electrón en la parte izquierda del pozo que en la derecha, lo cual es lógico… pero es absolutamente imposible encontrar este electrón en el punto medio del pozo.”

El hecho de que un suceso sea improbable y con improbable no me refiero a una probabilidad baja sino a una probabilidad 0, no significa que el suceso sea imposible. Esto lo digo meramente del punto de vista probabilístico pero si lo veo del lado físico, el nodo viene dado por una interferencia destructiva así que podría decir que en ese punto la onda no existe y por lo tanto el electrón en esa posición no existe… se me pelean los conocimientos.

Y la última duda que más bien es ponerme a hilar fino es cuando dices:

“De modo que puedes ver cómo este simple estado fundamental es contrario a la física clásica: una de las soluciones clásicas del problema (que el electrón esté quieto en un sitio y punto final) no es posible de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. El electrón no puede estar quieto.”

Después de leer tu serie de relatividad cada vez que escucho que algo está quieto, en mi mente salta una alarma que dice ¿quieto con respecto a que?, porque de todos modos puedes mover esa “caja” con la misma velocidad (habría que meter dirección, sentido, espin y todas esas cosas supongo) con el que se mueve esa partícula encerrada ¿no?

Bueno, ya no me queda más que agradecerte nuevamente por tu esfuerzo de difundir todos estos conocimientos y recordarte que hay mucha gente que lo aprecia.

Un abrazo Pedro, y perdón por el comentario tan largo :)


De: Adrián
2012-08-15 22:42:50

Pido disculpas por el error catastrófico de decir que "la concepción actual de espacio es algo continuo" pobre Planck se debe estar retorciendo en la tumba


De: Alejandro
2013-04-11 20:53:43

Este post si que exprime neuronas....
Felicitaciones por el Blog!


De: Desidiactivo
2013-06-13 18:01:28

Esta vez, sólo avisarte de una pequeña errata, para cuando saques el libro ;)

"está en su punto más bajo por debajo de la horitontal…" (horizontal).


De: carlos vidal
2014-01-04 12:27

Lamento que en mis ya seis años que llevo moviéndome por la red y en varios foros de Astrofísica, no se me hubiera ocurrido entrar en eltamiz. La forma tan didáctica empleada por Pedro, me resulta asombrosa. Soy un Ingeniero de 1953 que jamás ejercí la profesión y en mi jubilación quise ver los adelantos habidos en mis 60 años de ausencia de en temas de física cuántica (que no estudié en su época incipiente). Leí varios de los artículos presentados, que me dejaron pasmado ante la simplicidad narrativa, nada ususal con la que otros físicos me eleccionaron. Tanto es así que no me perderé ninguno de los que ya aparecen y no leí todavía, como lo que vaya apareciendo de nuevo. Mi felicitación a tan magnífico profesor.

De: Nahuel
2014-01-07 02:01

¿quiere decir esto que una onda estacionaria con infinitos nodos nos diría que hay infinitas posibilidades de encontrar y no encontrar el electrón en alguna y ninguna parte de la recta (siendo tenuemente mayor la probabilidad de no encontrarlo -ya que intuyo que el número de máximos es igual al de nodos menos uno)?

Si no estoy completa y disparatadamente equivocado, esto ¿qué quiere decir?

Pd.: me das muchas ganas de estudiar física.

De: Alejandro
2014-05-22 16:43

Hola. Felicitaciones a Pedro como siempre por su capacidad didáctica, y corrijo una pregunta mal planteada anteriormente. Pero antes de eso una observación: No veo tan "anti-intuitivo" que un electrón interfiera consigo mismo. Realmente, ¿no podría verse a las partículas, cuando se comportan más "como partículas", como estados vibratorios "condensados" (ondas no estacionarias), "apretados" en una región del espacio; y cuando se comportan más como ondas, verlos más como ondas estacionarias? Creo que uno, para hacerse alguna imagen de estas cosas, siempre debe registrar que estamos hablando de cosas que están en el límite de lo divisible y de lo perceptible, y en lapsos de tiempo ínfimos casi instantáneos, y no caer en analogías con objetos macroscópicos. Una partícula subatómica no puede ser una especie de "cuerpo" parecido a los cuerpos macroscópicos, con límites nítidos y diferentes apariencias,¡es más chica que una onda de luz! Tampoco es entonces exactamente una "ola" como en la superficie de un estanque. Si sólo caben dos ondas en el "pozo", la "ola" no puede desplazarse muy lejos por intervalos intermedios, ni tiene tiempo de hacerlo ya que todo el recorrido es casi instantáneo: Está vibrando increíblemente rápido en la única posición posible, y claramente no puede más que "interferir consigo misma". Tal vez, cuando a este estado vibratorio se lo "ve" más como partícula es porque la colisión o interferencia de otra partícula (u "onda condensada en una región del espacio", si quieren) Genera otra condensación de la vibración en ese punto. En definitiva, la materia de todo lo que existe es "algo" (¿un espacio de Hilbert?) que "vibra" de diferentes maneras perceptibles, un conjunto de "micro-estados" vibratorios. No veo dificultad en hacerse una imagen aproximada del tema, aunque claro, puede ser que se deba a que estoy entendiendo todo mal... pero en todo caso me resulta mucho más claro verlo así... Otra cuestión muy distinta es el por qué de la existencia de formas macroscópicas complejas como los seres vivos, pero eso no es tema ya exclusivo de la física...

Ahora sí, va la pregunta de lo que no entendí: Tengo una confusión de cómo aplicar esto al átomo, por la representación habitual de un átomo como un pequeño sistema solar. En el átomo, las "paredes" del pozo, si no entiendo mal, son los límites más allá de los cuales el electrón no se aleja, por la atracción que ejerce sobre él el núcleo. A mayor velocidad, más lejos del centro están esos límites, y al mismo tiempo, más "nodos" forma el electrón, o sea, aparecen distintos "orbitales" (cada orbital sería una de las "ondas" entre los nodos). Con esto creo entender que la imagen de diferentes orbitales como distintas capas sucesivas dentro de las que están confinados los electrones "dando vueltas" (aunque esas "capas" adopten formas muy raras), no es una imagen correcta, ya que los nodos, según la velocidad del electrón, se forman en diferentes lugares del mismo espacio, y todos los electrones pasan por el centro... pero a la vez los electrones no se interfieren entre ellos, ¿no?, porque no pueden tener "el mismo estado cuántico? (no me queda claro por qué no se interfieren, su simplemente "es una propiedad" del electrón que no sabemos por qué difiere en eso de otras partículas, o si se explica por su dinámica en su interacción con el núcleo atómico). Con lo cual, entonces, supongo que lo que tenemos es una "nube" de electrones que vibra en determinadas frecuencias, en "espacios" complejos, y que esas mismas vibraciones y sus frecuencias explican por qué un átomo se enlaza de cierta manera con otro... claro que es mucho más fácil graficar esto con bolitas, órbitas concéntricas y "paredes" de cajas. En fin, me resulta mucho más fácil imaginar ondas o vibraciones y me ayuda a entender mejor, pero no sé, ¿lo entendí bien?

De: Francesc ruscalleda
2014-08-17 17:29

En la relectura sosegada del escrito -que por cierto es buenísimo- parece que haya un error en este parrafo sobre la onda de tres nodos:

"Varias conclusiones sobre esto. Para empezar, la longitud de esta onda es la mitad que la de la anterior – no existe ninguna onda intermedia entre ambas que tenga sus extremos fijos en los lados del pozo. Lo mismo sucede por lo tanto con la energía: no es posible que el electrón tenga una energía intermedia entre la del estado fundamental y éste. Ese escalón de energía es justo la misma energía que tenía el estado fundamental, y cumple por lo tanto una vez más la hipótesis de Planck."

¿No serà que la energia debe ser un múltiplo (dos escalones), pero no la misma que en el estado fundamental, puesto que la longitud de onda és distinta?

De: flyrusca
2014-08-18 10:09

Creo que no hay error: efectivamente el nuevo escalon tiene la misma energia que tenia el estado fundamental, y el total debe ser dos escalones.

De: Roger Balsach
2014-08-18 23:11

Hola Francesc, tal y como ha dicho flyrusca y por lo que yo he entendido de este párrafo y del artículo; no hay ningún error, debemos diferenciar entre la energía del nuevo escalón de la energía total del electrón (o cualquier otra partícula), lo que dice pedro es que el segundo escalón tendrá la misma energía que el primero (por ejemplo, digarmos que el primero tenía un numero cualquiera... por ejemplo 6,626·10^(-34)J, luego el segundo escalón tendrá esta misma energía (6,626·10^(-34)J), pero evidentemente, la energía total será de 2*la energía del escalón (luego: 1,325·10^(-33)J) tal como has dicho tú.

Espero que esto te sirva Roger ;)

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