El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

Vídeos - Diversión con una cinta de Möbius

La topología y yo tenemos una relación tormentosa: yo la amo, pero ella me desprecia. Me fascina con sus encantos, pero luego no me deja entenderla en profundidad… qué se le va a hacer. Al menos, siempre puedo disfrutar con cosas como la de hoy (que nos tuvo ayer a Geli y a mí jugando como niños con papel y tijeras).

Cinta de Möbius hecha con papel y cinta adhesiva. Crédito: David Benbennick (GPL).

Probablemente conoces la famosa cinta de Möbius (también escrito Moebius, y a veces se refiere a ella como “banda” en vez de “cinta”). Escher realizó varias ilustraciones fascinantes basadas en ella. Básicamente es una tira “retorcida” de modo que tiene una sola cara y un solo borde. Esto hace que tenga propiedades topológicas curiosísimas, pero el objetivo de este breve artículo no es profundizar en el conocimiento de este curioso objeto matemático, sino mostrarte lo divertido que puede ser jugar con él. ¿Infantil? Indudablemente.

No me refiero simplemente a fabricar una cinta de Möbius, sino a comprobar experimentalmente algunas de sus interesantes propiedades. De modo que, si quieres conocer cómo aprovechar las propiedades de las bandas de Möbius para jugar, o para mostrar a un niño que las matemáticas no son sólo sumar y restar, utilizando simplemente un papel, cinta adhesiva, un rotulador y unas tijeras, sigue leyendo.

Evidentemente, lo primero es fabricar una cinta de Möbius, pero eso es muy fácil: simplemente recorta un rectángulo de papel (de la longitud de un folio y las proporciones de la de la foto, por ejemplo). Las dimensiones no son demasiado importantes, pero no lo hagas demasiado fino o no podrás realizar algunos de los pasos posteriores con facilidad. Pega los extremos del rectángulo con cinta adhesiva pero, en vez de hacerlo como si fuera un anillo normal (con una superficie “de fuera” y otra “de dentro”), gira uno de ellos 180° de modo que no haya “fuera” ni “dentro”. Sé que esta explicación es algo patética, pero el inicio del vídeo muestra cómo fabricar una banda de Möbius mucho mejor que mis palabras.

Una vez tengas la cinta fabricada, realicemos algunos “experimentos” con ella para comprobar sus propiedades. Los primeros experimentos son inmediatos ( interesantes, pero no demasiado sorprendentes si conoces estas cintas), pero los últimos, en mi opinión, son sorprendentes y muy divertidos. Parecen casi trucos de magia.

Hay veces que la gente no asimila el hecho de que la superficie es única, no hay dos opuestas. Demostrarlo, una vez fabricada la cinta, es muy fácil: simplemente coge un rotulador y pinta una línea a lo largo de la mitad de la cinta. Al cabo de un tiempo encontrarás que llegas al mismo lugar en el que empezaste, y toda la cinta tiene la línea dibujada. Por cierto, la longitud de la línea que has dibujado es el doble de la circunferencia de la cinta. Este “experimento” es aún más revelador si no lo haces tú delante de la persona a la que quieres mostrar la cinta, sino que lo hace ella misma.

Lo mismo sucede con el borde de la cinta: nuestra intuición cree que hay dos bordes del papel. Pero si recorres el borde con el dedo (dejando otro dedo fijo donde empezaste), al cabo del tiempo llegas a tocar el mismo dedo en el punto en el que empezaste: no hay “borde de arriba” y “borde de abajo”.

Pero es posible hacer cosas más espectaculares con una de estas cintas. Si has llegado hasta aquí, coge las tijeras y corta la cinta a lo largo por la mitad, siguiendo la línea que has dibujado con el rotulador. Te recomiendo que lo hagas antes de leer lo que sucede o ver el vídeo, simplemente para no tener ideas preconcebidas.

¿No es genial? Lo “lógico” (entrecomillado, por supuesto) sería pensar que acabas con dos cintas delgadas, ¡pero terminas con una sola, el doble de larga y con la mitad de anchura que la inicial! Además, si te fijas en las “vueltas” que tiene, no es una cinta de Möbius.

Pero hay más: para el siguiente experimento tendrás que fabricar una nueva cinta de Möbius. Cuando lo hayas hecho, realiza el experimento anterior (de cortar la cinta) pero en vez de hacerlo por la mitad, hazlo a un tercio de la anchura (dejando un tercio a un lado y dos tercios al otro lado), una vez más a todo lo largo de la cinta. No hace falta que dibujes la línea primero con el rotulador, pero si lo haces verás que la línea tiene el triple de longitud que la cinta inicial. En cualquier caso, cuando realices el corte y acabes donde empezaste, ocurrirá algo que a mí me dejó con la boca abierta. (Una vez más, si no entiendes lo que quiero decir, mira el vídeo hasta este punto).

¡Acabas con dos cintas separadas, pero una dentro de la otra! Parece un truco de magia, ¿verdad? Observa las “vueltas” de cada una de ellas: una es muy pequeña y es una verdadera cinta de Möbius, pero la más grande tiene demasiadas vueltas.

Puedes realizar otros experimentos (como cortarla a lo largo pero con un cuarto de anchura, o el complicado que se muestra al final del vídeo), pero creo que con éstos ya puedes disfrutar como un niño, o hacer disfrutar a uno. Lo de las “matemáticas de sumar y restar” no es ninguna broma: si puedes mostrar a un niño la belleza de las matemáticas con cosas como ésta, le estarás haciendo un gran favor.

Finalmente el vídeo, por si alguna cosa no ha quedado clara. Es muy rápido pero se ve perfectamente cómo realizar cada uno de estos “experimentos”:

Ciencia, Matemáticas, Videos

14 comentarios

De: joel
2007-12-04 16:08:53


coge las tijeras y corta la cinta a lo largo por la mitad



terminas con una sola, el doble de larga y con la mitad de anchura que la inicial! Además, si te fijas en las “vueltas” que tiene, no es una cinta de Möbius.


El resultado no es una cinta de Mobius?

Que es? Es una cinta normal?

A mi me sale una cinta cruzada dos veces y no soy capaz de ponerla del normal.


De: Pedro
2007-12-04 17:33:48

joel,

Efectivamente, el resultado tiene dos vueltas y no se puede poner normal, pero estrictamente no es una cinta de Möbius. No sé si tiene nombre, tal vez algún matemático nos lo pueda decir :)


De: Huang-Lû
2007-12-05 00:56:23

Hola.

@joel. La cinta que resulta, como bien ha dicho Pedro, no es una cinta de Möbius, sino una cinta normal. Si, he dicho normal, porque en matemáticas, dar una vuelta de 0º (ésto sería una cinta sin vuelta alguna) es lo mismo que dar una vuelta de 360º, al final te quedas igual, asi pues, una cinta con dos vueltas (girar 360º uno de sus extremos) es lo mismo que una con cero vueltas.

@Pedro. Me ha encantado el artículo sobre la cinta de Möbius, por ello te recomiendo una película sobre ésta y la fascinación que causa en el mundo de las matemátcas. El film en cuestión se llama "Moebius" (raro, ¿eh?) y es de origen Argentino.

Un saludo


De: Nikolai
2007-12-05 04:03:53

Que se divierte uno como enano...
ya quisiera yo haber visto esto de chico
Gracias Pedro que ha sido fantástico!!!


De: manolito
2007-12-09 16:18:00

¿Qué pensaría Moebius si levantara la cabeza? ¿se sorprendería de lo fácil que resulta explicar esos complejos y abstractos cálculos matemáticos?

PD: El vídeo es tan bueno que te lo voy a "tomar prestado" jeje.


De: Naeros
2008-06-12 09:11:09

Erhm... como ya hizo Luis (si no recuerdo mal) en anteriores entradas, el vídeo ya no está disponible ^^U


De: lluisteixido
2008-06-12 09:51:13

Si, estaba cogiendo complejo de "cazavideos" jeje

Ahora ya me siento un poco mas acompañado ;)


De: Pedro
2008-06-12 15:30:27

Gracias, chicos -- he encontrado otro enlace del mismo vídeo, de modo que está arreglado :)

Y hacen falta cazavídeos, así que no cejéis :P


De: Naeros
2008-06-12 17:20:38

Gracias por volver a subirlo, me ha encantado :D


De: Aspective
2008-06-26 11:47:03

Gracias Pedro. Llevo un tiempo apasionándome con tus comentarios. Es una web muy muy interesante. Muchos sde los contenidos los trasladado inmediatamente a mis hijos y mi imagen ante ellos va mejorando: casi les parezco un sabio y no aburrido.
Para este fin de semana les voy a dotar de folios y tijeras y a repetir los experimentos. Les va a aencantar. Y si me lo permites, también te copio el vídeo. Gracias


De: Pedro
2008-06-26 16:37:49

@ Aspective,

No sabes lo que me alegro de lo que cuentas... ¡es tan importante interesar a los niños por las matemáticas y el aprender! Espero que disfrutes -- en lo primero que pensé al escribir este artículo es en que lo quiero usar con niños de alguna manera, para que vean que las matemáticas son tela marinera.


De: Nuwanda
2008-07-25 03:51:14

exelente, muy interesante, tienes que hacer otro articulo con la botella de Klein!
Salu2


De: Ana
2009-06-18 01:10:38

Llego a este espacio después de casi un año de vuestro último comentario. Estaba buscando datos sobre este tema para mostrar a mi hija el concepto de manera gráfica. Con asombro me entero que hay una película argentina al respecto, lo desconocía y ya me puse a buscarla (soy argentina) Con respecto a aplicarla al trabajo con niños, les cuento que soy maestra de primaria y en mi escuela este año se desarrolla un proyecto de lectura usando los numerosos y fascinantes libros del Itsvanch (autor y dibujante argentino) quien en pocos meses más visitará mi ciudad. Uno de sus libros está basado en el concepto de la cinta de Moebius y consta de cinco tiras que los niños arman para conocer la historia que ellas relatan. Están fascinados con el "descubrimiento" Desde todo punto de vista, la matemática es apasionante y se puede aplicar a los más variados contenidos.
Gracias Pedro por el video.


De: Banda de Möbius | Albert Gascón
2012-05-31 16:06:46

[...] información y visto en : El Tamiz, [...]


Escribe un comentario

Todos los comentarios deben ser aprobados por un moderador antes de ser publicados. Si quieres puedes usar markdown. Todos los campos son opcionales excepto el cuerpo del comentario, claro:

Nombre:
E-mail: (privado, para que aparezca tu gravatar)
Sitio web:

« Falacias - La selva amazónica es el pulmón del planeta El Tamiz en Noviembre »