Es de rigor para la entrada de hoy un agradecimiento especial a Alberto (que suele comentar como Proyecto#194), quien me habló sobre la paradoja de la que voy a hablar hoy, y que me ha parecido (como espero que os pase a vosotros) verdaderamente fascinante: ¡gracias, Alberto!
La paradoja en cuestión fue propuesta por el filósofo James Thomson en 1954, y se denomina la paradoja de la lámpara de Thomson. Hay versiones alternativas por ahí, y aquí, por supuesto, vamos a dar una versión ligeramente alterada: como sabéis los veteranos, me encantan los experimentos mentales, y muy especialmente, por razones morbosas, los que involucran alienígenas malvados y la posibilidad de morir, de modo que la lámpara de Thomson de El Tamiz va a tener ambos. Por cierto, no existe consenso sobre la solución de la paradoja, de modo que el objetivo de este artículo no es “enseñarte” nada, sino simplemente que pensemos juntos - es el viaje el que merece la pena, no el destino, de modo que no te sientas decepcionado si, al final, no llegamos a ninguna parte.
Thomson propuso un experimento mental que consiste en lo que en filosofía se conoce como una supertarea, una tarea que involucra infinitos pasos pero que tiene lugar en un tiempo finito. Algo así, en computación, sería una máquina capaz de realizar infinitas operaciones en un tiempo finito, algo imposible. Pero antes de entrar en la supertarea de Thomson, un breve paréntesis histórico para tener cierto contexto.
Probablemente has oído hablar de las paradojas de Zenón de Elea, como la de Aquiles y la tortuga o la de la flecha. No vamos a entrar en ellas aquí, pero todas ellas giran alrededor del mismo concepto, el de que el movimiento es imposible puesto que ir de un lugar a otro requiere infinitos pasos intermedios (hay que recorrer la mitad del camino, para lo que hay que recorrer la mitad de la mitad del camino, para lo que…). Dicho en términos filosóficos más modernos, el argumento de Zenón sería algo así:
- El movimiento es una supertarea, pues involucra infinitos pasos intermedios.
- Las supertareas son imposibles.
- Por lo tanto, el movimiento es imposible, es una ilusión.
Sin embargo, hoy en día nadie pone en cuestión que el movimiento es posible, de modo que los filósofos posteriores han tomado una de estas dos posiciones:
- El movimiento no es una supertarea, o bien
- Las supertareas no son imposibles.
James Thomson pertenece al primer grupo: en su opinión, el movimiento no es una supertarea, es decir, no involucra infinitos pasos intermedios. Por lo tanto, Thomson trató de poner de manifiesto, con una paradoja similar a la de Zenón pero con una diferencia fundamental, que las supertareas son imposibles (otros filósofos, por supuesto, pertenecen al segundo grupo y piensan que las supertareas son lógicamente posibles).
Los que sostienen que las supertareas son posibles demuestran matemáticamente que la serie de tiempos que se tardaría en las paradojas de Zenón, aunque tiene términos infinitos, es convergente y tiene un valor finito. Pero a Thomson esa demostración no le vale, de modo que plantea una paradoja algo diferente que no es resoluble simplemente sumando la serie.
Aquí tienes la paradoja de la lámpara de Thomson, versión de El Tamiz (en la versión original no muere nadie ni hay alienígenas, está simplemente la lámpara):
Una raza muy avanzada de alienígenas malvados ha conquistado la Tierra y esclavizado a los humanos, y se dedican a realizar retorcidos y crudelísimos experimentos matemáticos y filosóficos con ellos. Tú, querido lector, has sido capturado por las infectas criaturas, y estás en una habitación con una de ellas. En la habitación hay una mesa con una lámpara.
El alienígena te dice: “Terrícola, esta lámpara de tecnología más avanzada que cualquier cosa que tu patética mente pueda imaginar funciona de la siguiente manera: va a encenderse, y permanecerá encendida durante un segundo. A continuación se apagará, y permanecerá apagada durante medio segundo. A continuación se encenderá, y permanecerá encendida durante un cuarto de segundo. A continuación se apagará, y permanecerá apagada durante un octavo de segundo… y así hasta el infinito. Y la lámpara sólo puede estar en uno de esos dos estados: apagada o encendida. No hay estados intermedios”.
“Tengo dos preguntas para ti”, continúa la babosa criatura, con un brillo malévolo en los ojos. “Si consigues responder a las dos correctamente, te dejaremos vivir. Si no, serás un apetitoso canapé”. (Al decir esto, el monstruo se relame con una lengua púrpura y húmeda). “La primera pregunta es, ¿cuánto tiempo durará el proceso completo? Y la segunda pregunta es, cuando acabe el proceso, ¿se encontrará la lámpara encendida o apagada? ¡Responde, aperiti… quiero decir, humano!”
Piensa qué contestarías durante unos minutos - la primera pregunta, si sabes matemáticas, no debería ser demasiado difícil, pero la segunda -que es el núcleo de la paradoja de Thomson- se las trae. Cuando hayas dedicado cierto tiempo a pensarlo, sigue leyendo.
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Bien, la respuesta a la primera pregunta, matemáticamente hablando, no es demasiado difícil. Si cada paso “encendido”, “apagado”, “encendido”, etc., dura la mitad del anterior, lo que el alienígena te está preguntando es básicamente cuál es el valor de la suma de infinitos términos (es decir, la serie)
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Esa serie es convergente (es una serie geométrica de término general 1/2n), y su valor es exactamente 2. De modo que tu respuesta a la primera pregunta debería ser que el proceso completo dura un total de dos segundos. Hasta aquí, se trata de algo parecido a las paradojas de Zenón, pero recuerda que Thomson opina que las supertareas no son posibles, es decir, que la suma matemática que acabamos de hacer no tiene ningún sentido. De acuerdo con él, ese proceso lleva a una contradicción, que es la segunda pregunta.
¿Cómo acaba la lámpara, encendida o apagada? El problema es que la lámpara se enciende y apaga cada vez más deprisa (de hecho, el doble de rápido cada vez), de modo que, cuando el proceso completo ha acabado -y el proceso completo acaba, porque requiere de un tiempo finito- el tiempo que permanece encendida o apagada es cero.
Dicho de otra manera: la primera pregunta simplemente requiere saber cuál es el valor de la suma anterior, pero la segunda pregunta requiere saber cuál fue el último término sumado, y no hay un último término, pues son infinitos -aunque sean infinitamente pequeños-.
De acuerdo con Thomson, la segunda pregunta es el equivalente de decir que el primer término de la suma es impar (encendido), el segundo par (apagado), el tercero impar (encendido), el cuarto par (apagado)….¿y el último término es par, o impar?. Es algo así como preguntar si el infinito es par o impar, lo cual, según Thomson, no tiene sentido: la lámpara, lógicamente, no puede estar ni encendida ni apagada. Pero, si el proceso dura exactamente dos segundos, la lámpara debe acabar encendida o apagada cuando han pasado los dos segundos. ¡Es una contradicción, un absurdo! La conclusión de Thomson es, pues, que el propio concepto de la supertarea no tiene sentido, es imposible.
Otra manera de razonar (también de Thomson): cuando han pasado los dos segundos, la lámpara no puede estar apagada, pues el tiempo que tarda hasta encenderse otra vez es cero. Pero no puede estar encendida, pues el tiempo que tarda hasta apagarse es cero. Luego la lámpara no puede estar ni apagada ni encendida, pero debe acabar o bien apagada o encendida, pues son los dos únicos estados posibles. Absurdo.
Thomson también dio otra versión alternativa, que muestra una vez más cómo el concepto de infinito (e infinitesimal) no es comprensible para nosotros. Imagina que la lámpara está en un estado 1 (encendida) o 0 (apagada). La pregunta “¿acaba la lámpara encendida o apagada?” es equivalente a preguntar cuánto vale la suma de esta serie:
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 …
Si te fijas, los valores consecutivos de la serie sumando un término, dos, tres, etc., son:
1, 0, 1, 0, 1, 0 …
Esa serie, denominada serie de Grandi, es divergente de acuerdo con la matemática moderna (aunque, curiosamente, en épocas pasadas no estaba tan claro, y existe una demostración que le da el valor de 1/2). Pero ¿qué quiere decir “es divergente” en términos de la lámpara? ¿que no acaba ni encendida ni apagada? ¿que acaba encendida y apagada a la vez? ¿pero qué demonios…?
Hay varios argumentos para tratar de rebatir la contradicción. El primero de ellos es físico: hay gente que sostiene que cualquier forma real que pudiéramos construir de la lámpara de Thomson requeriría, tarde o temprano, que algo rompiese la velocidad de la luz, de modo que no podría ocurrir que se construyera dicha máquina (¡pero no subestimes a nuestros malvados y avanzados alienígenas!). Algunos, sin embargo, han propuesto experimentos que utilizasen a un observador cayendo en un agujero negro que mirase una lámpara que se enciende y apaga cada segundo fuera del agujero: para el que cae, la lámpara seguiría una sucesión de estados similar a la de Thomson.
Otros afirman que la suma total está definida (es de 2 segundos), pero el último término no: habría que realizar el experimento físicamente, y tal vez la lámpara acabase encendida, o bien apagada, en distintas pruebas del experimento. Sin embargo, una vez más, esto entra en el aspecto físico del asunto: ¿cómo resolver la contradicción lógica?
El argumento de Thomson, naturalmente, es que es imposible resolver el problema de la lámpara sin caer en una contradicción lógica, lo cual, según él, demuestra la imposibilidad de las supertareas. Hay gente que piensa que argumentos como el suyo demuestran que nuestras matemáticas son imperfectas, y que el momento en el que decimos “la suma de los infinitos términos es igual a 2″ estamos dando un salto injustificable, y que el infinito no debería ser parte de las matemáticas. Otros sostienen, como hemos dicho, que como experimento mental no tiene solución pero si se realizase físicamente sí la tendría.
Incluso se ha llegado a introducir la mecánica cuántica en el asunto, de modo que tal vez el estado de la lámpara al final del proceso no está determinado hasta que es observado, momento en el que su función de onda se colapsa y medimos si está encendida o apagada, sin que la pregunta tenga sentido antes de la observación.
Pero bueno, ¿qué deberías haber contestado al alienígena para sobrevivir? En lo que a la respuesta formal a la paradoja se refiere, la verdad, no lo sé: como he dicho, hay opiniones diversas de gente que sabe muchas más matemáticas y filosofía que yo, y no se ponen de acuerdo. El objetivo del artículo no es llegar a una conclusión sino hacerte pensar.
Sin embargo, aunque te parezca un truco, apliquemos el razonamiento lógico, no a la paradoja, sino a la situación concreta del alienígena. La conclusión más probable es que el alienígena está mintiendo, y su lámpara no puede hacer lo que dice que hace. Independientemente de la posibilidad física, si su lámpara puede realizar una supertarea físicamente, eso quiere decir que la raza alienígena tiene, en la práctica, ordenadores capaces de realizar infinitas operaciones en un tiempo finito, es decir, una capacidad de computación infinita, lo cual implica, necesariamente, que conocen absolutamente todos los secretos del Universo, y no tendría sentido que hicieran este experimento, pues ya saben lo que vas a decir y por qué.
De modo que la respuesta debería ser algo así como “Estás mintiendo y tu lámpara no hace lo que dices que hace”. A lo que el alienígena, naturalmente, respondería algo como “Grompf, grompf, grompf” (el sonido de tus huesos al ser triturados por sus poderosas mandíbulas). Pero esto, al fin y al cabo, no era el objetivo del artículo: si te ha hecho pensar y plantearte cosas que antes no te habías planteado, bienvenido sea.
Hablaremos de otros conceptos interesantes de supertareas, y el concepto de infinito, en posteriores artículos - aunque no sea una serie propiamente dicha, al menos por ahora. ¡Espero que hayáis disfrutado este artículo, aunque sea muy diferente a la mayoría de los de El Tamiz y, una vez más, gracias, Alberto!
Para saber más (en inglés): Supertareas, Lámpara de Thomson.
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El texto de La lámpara de Thomson , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
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{ 42 } Comentarios
La visión del ingeniero de teleco (por favor, no me lapidéis).
Para calcular la serie… ¿calcular? No, basta con sumar los primeros términos de la misma hasta que el siguiente en la serie sea una décima parte del primero, así a ojo… esto es, cuando te salga 1,99… y por supuesto un buen ingeniero redondearía a 2 sin dudarlo.
Sobre la intensidad de la lámpara, bueno, si está un tiempo encendida, luego la mitad apagada, luego la mitad encendida… a fin de cuentas la mitad del tiempo estará encendida y la otra apagada… luego el resultado será una luz de mitad de intensidad que la de cuanto está encendida, al menos esto te diría un buen ingeniero de mi ramo, dado que cuando llegue a una determinada frecuencia tu ojo será incapaz de distinguir los apagados de los encendidos…
En resúmen: “Unos dos segundos, así a ojímetro, y la luz siempre encendida a mitad de potencia”.
Esa es la visión simplista del ingeniero.
Ale, paté de humano para alinígenas.
Muy buen artículo.
Es mucho más fácil, la luz termina apagada, ¡has fundido la bombilla!
inigoml,
Serías un canapé delicioso. Quiero decir, esto me recuerda al chiste del ingeniero, el físico y el matemático:
Se plantea el siguiente problema a un ingeniero, un físico y un matemático: ¿cuál es el valor de la aceleración de la gravedad? Para determinarlo cuentan con una habitación en la que hay un péndulo, un metro y un cronómetro.
El ingeniero entra en la habitación, y sale a los cinco minutos.
“El valor es de unos 9,81 m/s2“, dice.
El físico entra en la habitación, y sale a las dos horas.
“Bueno, el valor es de 9,80922753 m/s2. Con los instrumentos que me han dado, no puedo alcanzar mayor precisión”, dice.
El matemático entra en la habitación, y sale diecisiete horas después con unas marcadas ojeras.
“Miren, no sé cuál es el valor de la gravedad”, dice. “Pero dicho valor existe, y es finito”.
Nunca habia oido esta paradoja, la verdad, da mucho en que pensar. Me ha encantado.
Tal vez, el tiempo, no sea continuo…. (aunque parezca absurdo), pero quien sabe, antes se decía que la energia, tambien era continua, y resulta que es discreta (y eso que antes tambien parecía absurdo), como aprendimos hace unos dias, en cuantica sin formulas.
Nunca dejaremos de aprender…
Aún a riesgo de parecer un retrasado mental, dada la enjundia de lo que aqui se expone y del nivel del personal, la solución más aproximada que se me ocurre es que la lámpara puede acabar encencida o apagada aleatoriamente, es decir, ley de probabilidad, de 100 veces que se repita el experimento, 50 veces la lámpara debería acabar apagada y encendida en las otras 50. Dado que solo dos estados son posibles, es bastante más probable que la mecánica cuántica tenga la respuesta. Si bien, un dispositivo que se apaga y se enciende infinito número de veces en dos segundos viola las leyes de la física, pues un momento dado la velocidad, es decir, el tiempo que transcurre entre encendido y apagado fuera tan corto que se supere la velocidad de la luz. En todo caso, para los cerebrines lo dejo, que alguien calcule en que momento de la serie se supera la velocidad de la luz, el valor de la serie será tan próximo a 2 segundos que determinará el fin del experimento y de la ecuación resultante que dé el término de la serie en que se detiene el experimiento es distinto de infinito y muy próximo a dos segundos de duración. En todo caso, aplicando la relatividad, cuando las velocidades de encendido y apagado se aproximen a la velocidad de la luz lo que se modifica es el tiempo ¿o no? en fin, como para hacer echar humo a la cabeza de cualquiera. Por cierto, el sucedido de matemático, físico e ingeniero es buenísimo. Eres un crack y el Blog estupendo.
Por culpa de este post mi rendimiento laboral es nulo.
Buenas es la primera vez que comento en este blog pero hace tiempo lo leo y aprovechando la oportunidad os felicito.
Según lo entiendo yo, faltaría definir si el tiempo entre el encendido y el apagado es 0.
Primer supuesto: Si es 0.
1- habrá un momento en el que la conmutación entre Encendido y Apagado sea mas rápida que la propia velocidad de la luz. Cuando esto suceda la lampara permanecerá constantemente apagada dado que no le da tiempo a la luz a “salir”.
2 - cuando lo anterior suceda se puede decir que la lampara ha dejado de cambiar de estado y que por lo tanto el proceso a finalizado.
3- si suponemos lo anterior, el proceso no es infinito pues tiene un limite calculable y por lo tanto se puede conocer el estado final y el tiempo seria menor de 2 pero muyyyy cercano
Segundo supuesto: Si el tiempo de conmutación no es 0:
a) Sin aplicar lo dicho en el Primer supuesto. Si entre el encendido y el apagado pasa un tiempo constante el tiempo que tardaría en pasar la sucesión seria infinito y por lo tanto no se podría saber el valor
b) Si aplicamos lo dicho en el primer supuesto, dado que el numero de conmutaciones es finito, habríamos de sumarle el tiempo de las conmutaciones al resultado
He dejado muchas cosas en el aire y he intentado resumir al máximo porque no tengo mucho tiempo (he de continuar trabajado). Espero haber sabido expresar bien mi opinión.
La lampara esta, conceptualmente podria existir pero como ya dice el artículo, la pregunta de en que estado acaba la lampara es tan absurda como preguntar si el numero infinito es par o impar. Pero fisicamente tendría que tener algún límite. No se si 10^(-44) segundos es el perido mas corto que se puede medir, pero si supiesemos ese límite, las respestas a las 2 preguntas serian sencillas: llamemosle ‘m’ al minimo periodo de tiempo que se pueda conseguir,
Duracióndelproceso=2-m segundos Estado_final=entero( (logaritmo(m)/logaritmo(2)) % 2 )
[1 encendido, 0 apagado, % es la funcion resto, modulo o como la quieras llamar]
.
De hecho, Otanion, en un universo cuántico el tiempo no es continuo. Las fracciones de tiempo de la paradoja no pueden ser más pequeñas que el tiempo de Planck, que es el tiempo que tarda un fotón en cruzar la longitud de Planck. En un universo cuántico no existe nada más pequeño que la longitud de Planck.
Ahora habría que calcular si esa fracción antes de llegar al tiempo de Planck es par o impar, y por ahí habría seguido yo, blablabla, dandole la paliza al extraterrestre hasta que le dieran ganas de vomitar y me dejara para otro día.
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Estoy con otanion. ¿Porque suponemos que el tiempo es continuo? Al principio fue la materia la que se creia continuo y se descubrio el atomo, luego fue la energia, en un futuro quien sabe!
Muuuchos comentarios y poco tiempo para responder.
otanion, Daniel, sois unos cracks, pues sin saberlo porque os lo hayan explicado, habéis intuído algo muy profundo - que, como dice El Judas, el tiempo está cuantizado. Es una de las posibles soluciones físicas (no lógicas) a la paradoja.
Muy buenos todos los comentarios - veo que el artículo ha cumplido su cometido de haceros “darle al tarro”. Habrá otras paradojas de este estilo más adelante, si seguimos hablando del infinito.
Yo me decanto por la mecánica cuántica. ¿Esta cuantificado también el tiempo mínimo? En ese caso el estado de la lámpara sería función de ese valor mínimo incrementable. En el caso de la tortuga, y si no he entendido mal la introducción a la cuántica, la seríe acaba en el mínimo espacio que se puede incrementar la posición de un objeto.
Perdón, tenía que haber leido antes los comentarios anteriores.
Claro que si! El tiempo esta cuantizado! Imaginaros (esto ya son elucubraciones propias…igual merezco que me coma el extraterrestre) que hay una particulo encargada de una especie de interacción temporal es decir que sea como el campo de Higgs famoso que trata de explicar la masa! Un “campo de densidad temporal” esta suposicion (o burrada) encaja a la perfeccion con la dilatacion temporal de la teoria de la Relatividad y tambien se podria buscar un nexo con la Física de Partículas y por tanto con la mecánica cuántica…si existe una particula encargada de que por otras particulas “pase” el tiempo como seria esta particula? tendria masa? (personalmente creo q no) le afectarian las propiedades cuanticas? es decir seria una onda al mismo tiempo que una particula? y que expresaria la funcion de onda de dicha onda? pero es una pradoja enorme por que, por las “particulas temporales” pasaria el tiempo?…
Bueno podria dar todos los argumentos en contra a esta (quiza absurda) suposicion…pero ya me e desviado bastante del tema del articulo…El cual me a parecido buenisimo como este blog en general…
La lámpara acabará encendida porque el proceso empieza “apagada y luego se enciende” luego si el proceso acaba a los dos segundos estará encendida porque el proceso es apagado->encendido luego no volvería a apagarse porque ha terminado, es decir en vez de imaginar dos estados (apgado y encendido) imaginemos que es un proceso, al igual que un programa dentro de un bucle de ordenador que realizara apagado->encendido cuando el programa dejara de ejecutarse la primera funcion “apagar” no la llevaría a termino.
La lámpara acaba encendida.
Muy buenas a todos. Veo que el tema ha dado mucho de sí. He de decir que la conversación con Pedro salió después de tomarnos unos mojitos :-). Para los que quieran más, la paradoja la saqué de un libro de Martin Gardner “Paradojas que hacen pensar”, aunque aviso que solo hay un par de paradojas interesantes en todo el libro (el resto son bastantes triviales, aunque curiosas sin duda), que por cierto ha editado RBA en su colección de “Desafios Matemáticos” (solo me compré el primer libro, lo reconozco
).
La verdad, poco más que añadir, salvo que quizá yo me suma a la corriente del tiempo “cuantificado”, lo que haría que el número de “pasos” en 2 segundos sea finito, y por tanto el estado final sea conceptualmente posible. De hecho creo que el infinito es un concepto de las matematicas para que todo cuadre!!!
Saludos a los telecos que leen el blog! (y al resto por supuesto también) ;-P
se podria quedar encendida, ya que al encenderse y apagarse tan rapidamente, sólo veriamos la luz, ya que el estar apagada es ausencia de luz y no lo ves, no?, destellos tan seguidos que parecen contínuos… vaya rayada…
Matemático dedicado a la investigación en puras por más de ocho años ya… Bueno, hago como el que investiga. Para compensar mi inutilidad, doy clases de aplicadas a otras carreras.
Y cada año que pasa me convenzo más de que lo “infinito” es lo que utiliza el ser humano para SIMPLIFICAR los cálculos, porque lo “finito” es demasiado complicado de manejar.
Por si se hiciera una encuesta: yo también pensé en la cuantización del tiempo conforme iba leyendo este bonito artículo.
Saludos
Hola a todos, aquí la opinión de otro teleco…
Pues aunque la solución no me parece en absoluto trivial, tengo una idea más o menos clara de ella (o de la falta de ésta).
Para Proyecto#194, mi novia me está comprando la serie de libros “Desafíos Matemáticos”, y como matemática recreativa la serie de libros está bastante bien, aunque deja un sabor algo amargo el hecho de que no se profundice más en muchos temas (pero hay un montón de ejercicios de lógica que tendrían buena cabida dentro de El Tamiz).
Bueno, pues aquí va mi deducción (i)lógica:
El problema puede enfocarse desde varias vertientes, pero desde el punto de vista físico, se reduce a “cuando la lámpara no pueda cambiar de estado más rápido porque hay un límite físico que lo impida, se quedará en un estado u otro” (solución rápida y mala).
Ahora bien, dentro de la física tenemos 2 puntos de vista: El tiempo es continuo vs el tiempo está cuantizado.
Si el tiempo es continuo, el planteamiento del problema es absurdo, ya que se plantea como analítica una función discontinua (y para que una función sea analítica debe de ser no sólo continua sino además derivable, y esta no cumple ninguna de las dos premisas). De ahí, obtenemos absurdos como que para la transición “instantánea” del estado encendido/apagado es necesaria energía infinita (esto, tan dificil de intuir, se ve si transformas la función desde el dominio del tiempo al de frecuencia). Por lo tanto, o bien el tiempo está cuantizado, o el problema es absurdo en un tiempo continuo.
Si el tiempo está cuantizado parece que se encuentra una solución, resolviendo el absurdo, pero sólo es una ilusión de nuestra intuición, porque ahora el problema se vuelve más absurdo todavía.
Primero porque la hipótesis de que el tiempo está cuantizado contradice el enunciado en el que la duración de cada intervalo se divide progresivamente ad infinitum, pero si el tiempo está cuantizado, esto no es posible.
Segundo, porque a menos que la duración del primer intervalo sea una potencia binaria del intervalo de “muestreo”, en algunos o probablemente en todos será imposible determinar que para tiempo T la lámpara cambia instantáneamente de estado (si no se puede encontrar un valor racional que mida la tasa entre este primer intervalo y el intervalo de muestreo). Si cuantizamos el tiempo, podemos decir, para N muestras la lámpara permanece encendida y desde N a 3N/2, la lámpara permanece apagada, pero no podemos medir un tiempo cuantizado con magnitudes “continuas” (hablamos de segundos), por lo que desde este punto de vista el planteamiento del problema sigue siendo absurdo y podremos darle la solución que queramos en función de qué fracción de tiempo “lineal” hacemos corresponder a cada intervalo de muestra y su margen (error de muestreo, incertidumbre de Heisenberg… llamadlo como queráis).
Así que mi punto de vista es que desde la vertiente de la física, el problema es un absurdo, y para que pudiera solucionarse habría que reformular el problema, dependiendo qué opción nos guste más. Si decidimos que el tiempo es continuo, entonces la función de encendido-apagado de la lámpara debe ser continua, y si el tiempo es discontinuo, entonces la función de la lámpara no sólo debe ser discontinua sino que además debe ser cuantizable de manera exacta (aunque la misma función para tiempo continuo sería continua).
Ahora entramos en el terreno estrictamente matemático…
En este caso nos encontramos con una función interesante ya que presenta un número infinito de singularidades de salto y una singularidad esencial en t=2.
Lo que Thompson sugiere con respecto a la “inutilidad” del infinito porque no podemos saber si el infinito es par o impar ya que es un absurdo, lo entiendo como que no debemos pensar en el infinito porque no disponemos de herramientas algebraicas para determinar su valor.
Pero precisamente por esto mismo se definió el concepto de “limite” porque sin este concepto la lámpara de Thompson es un absurdo sin más. Y un límite no es nunca un número, sea infinito o no, sino una tendencia del comportamiento de una función (de hecho una función puede “tender” a un límite, y el valor que representa ese límite, si existe, puede no pertenecer al dominio de la función).
Pues en el caso de la lámpara, para los puntos donde se encuentran las singularidades, el límite simplemente no existe, así que no se le puede dar ningún valor. Podemos acercarnos a 1 segundos cada vez más en intervalos más cortos (la paradoja de zenon) y la lámpara no se encendería, aunque en el valor t=1 la lámpara está encendida. En ese punto la función es discontinua, no tiene límite, por lo que dependiendo desde donde nos acerquemos, la lámpara estará encendida o apagada. Pero bueno, el tiempo pasa y se va acercando peligrosamente a 2. ¿qué ocurre aquí? Por más que nos acercamos a las vecindades de 2, no conseguimos encontrar una tendencia (unas veces la lámpara está encendida, y otras veces está apagada), de manera que en t=2, no es que la lámpara no esté ni encendida ni apagada, sino que no se puede determinar si está encendida o apagada porque no podemos determinar la tendencia a estar en un estado o en otro.
Ahora voy a deshacer una de las condiciones del programa para eliminar las discontinuidades de salto. Suponiendo que no podemos evaluar continuamente la función sin tomar muestras de los valores, necesariamente tenemos que cuantizarla, por lo que convenimos convertir esa función “de naturaleza discontinua en un dominio discreto” en una función continua en el dominio continuo. Sin pérdida de generalidad, podemos desplazar el eje temporal para hacer que el instante final sea 0 segundos en lugar de 2, por lo que podríamos representar la función que toma valores oscilantes entre -1 y 1 incrementándose la frecuencia de estos valores al aproximarnos desde t=-2 a t=0 (en el valor -1 la lámpara emite una intensidad 0 de luz, y en 1 emite el máximo).
Esta función tendría esta forma: F(t)=cos(A*2^(-1/t)+B), donde A representa un parámetro de escala que determina la “longitud” del primer segmento t=[-2,-1], y B es la “posición” o fase que determina el valor inicial para t=-2. Sin pérdida de generalidad podemos prescindir del parámetro de escala y de la fase para simplificar nuestra función y obtenemos G(t)=cos(2^(-1/t))=cos(1/2^(1/t)).
Esta función oscilante va doblando su frecuencia conforme t se acerca a 0, aunque no sabemos que puede pasar porque en t=0 la función no está definida. Este comportamiento es más interesante de lo cabría esperar, porque hay un grupo de funciones matemáticas que se comportan así. Los sistemas dinámicos (que son las ecuaciones del caos). En un sistema dinámico se tiene un estado en el que la función es estable. Pasado un punto la función oscila y en intervalos cada vez más pequeños esa oscilación se duplica una y otra vez su frecuencia (Se la conoce como la ruta del “doble” hacia el infinito), pero se llega a un punto donde la función ya deja de oscilar y tiene un comportamiento caótico. En este punto es posible cualquier valor aunque sean unos más probables que otros.
Los sistemas caóticos son definidos por ecuaciones en diferencias (que son ecuaciones definidas para tiempos discretos), por lo que si la lámpara se enciende y se apaga controlada por un sistema dinámico (por ejemplo un oscilador que va aumentando su frecuencia conmutando estados “metaestables”), en t=2 podría suceder que el sistema fuese caótico, y en este régimen la lámpara puede estar tanto encendida como apagada. Mejor dicho, si se repitiera muchas veces el experimento, unas veces la lámpara estaría apagada, y otras veces, encendida.
Pero esto choca de frente con nuestra concepción de universo como algo “determinista” y mecánico, y probablemente la concepción del universo de los alienígenas sea distinta a la nuestra por lo que su lógica no tendría nuestro equivalente, y por lo tanto, el hecho en sí de que los alienígenas plantearan este problema conociendo esta incompatibilidad sería un absurdo (a menos que tengan hambre y sepan que cualquier respuesta limitada por la lógica humana les conduce a un deseado almuerzo). Y si desconocen el hecho de que el problema es un absurdo dada la lógica humana, no dejaría de ser en sí absurdo el problema, solo que en este caso, tanto el humano como los alienígenas se estarían equivocando al pensar que existe una respuesta coincidente.
PD: ¿Alguien conoce a algún psiquiatra que no cobre mucho por horas?
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Como que no? Algunos de los lectores son muy listos y/o saben mucho, pero otros hemos consultado eltamiz
“El Tamiz : ¿Existe un límite superior de temperatura?” http://eltamiz.com/2007/04/14/%C2%BFexiste-un-limite-superior-de-temperatura/
joel,
Sí, debería haber sugerido al menos ésa y la de la paradoja de Monty Hall… qué mierda de plugin. Tengo que ver si hay una versión nueva.
Dj_Mystic , me has dejado anodadado! ¿Seguro que hemos estudiado la misma carrera :-)? A mi todo eso me queda ya muy olvidado! Aunque el enfoque del caos es diferente e interesante, a pesar que yo me considero determinista. Entonces, ¿recomiendas la colección?
Dj_Mystic, despues de toda la parrafada, una “pequeña dudilla”:
Suponiendo que el tiempo este cuantizado, la lampara acabará en algún estado previsible/calculable o no?
Evidentemente, la respuesta a la primera pregunta es que el proceso durara hasta que la lampara se rompa con tanto encendido y apagado.
La segunda pregunta, también se contesta fácilmente; cuando acabe el proceso la lampara se encontrará rota. Ni encendida ni apagada.
Saludos.
XDDDDDDDD
Para mí, lo que confunde (ya desde tiempo de Zenón), es la dicotomía entre “logíca” (o razón) y “hechos físicos”. La paradoja se resolverá o no, en el plano de la razón, pero nunca desde el plano empírico, o mejor dicho, resolverlo en un plano NO lo resuelve en el otro… De hecho, cuando Zenón de Elea explicaba su paradoja del movimiento, hay un famoso personaje (no recuerdo el nombre ahora) que corría a su alrededor dando por demostrado que el movimiento SÍ existía. Zenón lo miraba condescendientemente: su “demostración” apuntaba a que el movimiento no tiene lógica, no es “razonable”, es abusurdo en el plano de la razón o las ideas. Empíricamente, el movimiento existe y no hay nada que demostrar. Teóricamente, ¿cómo lo explicamos siendo tan “irrazonable”? En definitiva, creo que problemas como estos nos llevan a plantearnos seriamente hasta dónde la “Razón” es una medida apropiada para comprender el mundo. Es sabido que son muchísimas las cuestiones que quedan más que lejos de ser explicadas por medio de la razón; y no es un problema menor, pues allí corren a refugiarse quienes hacen pseudo-ciencia… Como dije al principio (en otros términos), la especie humana tiene pendiente resolver esta trascendente disociación entre “razón y hechos”. Por otro lado, alguien apuntó alguna vez que este tipo de paradojas siempre conllevan una trampa en su planteamiento, pues suponen dos planos diferentes, y de allí su apariencia de contradicción. Bueno, sólo quice aportar algo distinto. Muy buen artículo Pedro. Un abrazo. Juan.
EXCELENTE !!!!!.
Me encantó el artículo. por favor mas de este material.
Gracias…
antes simplista que incomprensible…
ummm
Para Proyecto#194: Pues a mí la colección me está resultando entretenida pero he disfrutado más con libros de otros géneros. Para mí el baremo estaría en que sí que vale la pena comprarlos por 10 euros cada uno, pero si costaran 20 euros/libro no los compraría.
Para joel: El problema aquí es que tenemos límites ante nuestra comprensión del universo. En el problema de los 3 cuerpos , pasado un tiempo es imposible saber de antemano las posiciones de estos tan sólo conociendo una “aproximación tan buena como quieras que sea” de las posiciones iniciales.
Voy a tratar de exponer con un ejemplo el por qué la cuantización puede suponer un serio problema a la hora de determinar el estado de la lámpara al final…
Supongamos que nuestro universo tiene un tiempo cuantizado, pero para que se vea mejor el ejemplo, suponemos que cada “paso” consta de un periodo de T=0,4s. En el instante t0=0, la lámpara permanece apagada. En el siguiente instante, t1=0,4s la lámpara sigue apagada. ¿Cómo estará en t2=0,8s? ¿y en t3=1,2s? sabemos que la lámpara se enciende en 1 segundo, pero t=1s no existe en nuestro universo porque no podemos contar fracciones de un tiempo cuantizado. Sin embargo tanto t2 como t3 tienen la misma distancia temporal teórica hasta 1 segundo por lo que tanto t2 como t3 tendrían ambos un 50% de probabilidad de presentar el estado de lámpara encendida. Si sólo cuantizáramos el tiempo hasta t=1.2s, si la lámpara se enciende en t2 el proceso podría acabar diferente a si se encendiera en t3. Ahora seguimos cuantizando el tiempo disminuyendo el paso por 2 cada vez… Sucesivamente nos encontramos puntos en los que la lámpara tendrá cierta posibilidad de estar encendida o apagada. Repitiendo el proceso una y otra vez nos encontramos que los casos se van duplicando, al principio 2, 4, 8, 16, 32… Y aquí tenemos otra vez el camino del doble hacia el infinito.
Y esto sólo desde el punto de vista matemático. Desde el punto de vista físico, encontraríamos un límite en el que las posibilidades no serían infinitas, por lo que estudiando cada una de ellas podríamos encontrar todas las respuestas. Peeeroooo, si estamos considerando el punto de vista físico, no podemos “menospreciar” el hecho de que nos movemos dentro de un marco en el que no conocemos todas las variables de forma determinista. Lo único que podemos hacer es “modelar” la realidad con cierto grado de aproximación pero si el sistema se vuelve caótico, da igual lo buena que sea la aproximación, al final el resultado será imprevisible.
Por ejemplo, en una cuantización uniforme de T=0.4s, sabiendo el estado de t4=1.6s, sabríamos el estado de t5=2s, porque por definición a los 2 segundos el sistema se ha parado y refleja el estado anterior. El problema es que este modelo no sirve en la física para afrontar este problema porque desde diferentes posiciones se sugiere que el tiempo aunque cuantizado, no es uniforme (si el tiempo fuera continuo diríamos que no es lineal…) Cuando un sistema no es lineal es cuando puede empezar a aparecer el “caos”. Por ejemplo, desde el macrouniverso relativista el tiempo no es lineal sino que depende de la velocidad (aceleración) de los objetos con respecto a la velocidad de la luz. En este estado, el “paso” de muestreo temporal varía y por lo tanto también el resultado final a pesar de que el tiempo esté cuantizado. Para poder crear un “modelo” más acorde con la realidad, no sólo tendríamos que medir la cuantización del tiempo, sino que tendríamos que medir la variación de los pasos en función de dónde estamos, a qué velocidad/aceleración estamos sometidos, y tener en cuenta TODOS los objetos con masa para saber cómo se deforma el espacio/tiempo por su presencia.
Y desde el picouniverso cuántico las cosas se ponen peor, ya que desde la cuántica, el tiempo no sólo no es uniforme sino que además en sus vecindades puede no ser causal, es decir, estrictamente creciente (y si no lo vemos muy intuitivo, habría que hacer un viaje a la undécima dimensión, si es que algún día la podemos encontrar). En este aspecto, es posible que el instante t=2.0000000000000000000000000000000000000000001 pudiera ocurrir antes que t=1.99999999999999999999999999999999999999999999, aunque desde nuestro lugar ambos se solaparan, así que ¿cómo determinamos una relación causa-efecto en una escala tan pequeña como la queramos representar, si más allá de una cierta escala ésta deja de ser causal?
En otro universo quizá sí lo podríamos saber de manera determinista si encontramos el “modelo perfecto”, pero nosotros, o encontramos la teoría del todo, o como esta no exista, nos será imposible encontrar una solución determinista.
Para Juan: Tu comentario me sugiere que estamos dentro de Matrix (no importa si podemos razonar las reglas o no, las cosas suceden porque las reglas están ahí).
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Como veo que el tema interesa os diré que, si no me he equivocado en el cálculo, el proceso de encendido y apagado se acaba antes de entrar en el tiempo de Planck tras 144 pasos, 72 encendidos y 72 apagados. La lámpara acabaría apagada en un universo cuántico al alcanzar un fracción de segundo de 1 partido de 2 elevado a 143.
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Totalmente de acuerdo con ElJudas.
Ya era hora que alguien diera la respuesta.
Yo he llegado al mismo resultado pero se han adelantado
Me parece que tengo un nuevo baremo para las Supertareas filosóficas: Una tarea es Supertarea si y solo si no puede ser resuelta en un tiempo finito por los comentarista de El Tamiz
Vaya con el nivel que hay aquí… gracias a todos por hacerme pensar un rato.
Al final, tendremos que aplaudir al JJ Benitez. En caballo de troya, dice, que al final, el tiempo esta cuantificado, y que se descubre la forma de poder controlarlo. Juas…
Gracias por tu aporte Dj_Mystic (y por haber leído mi comentario, jaja). Es cierto lo que decís. Es que el hombre contemporáneo está interiormente disociado (esto no es invento mío), y esa situación se refleja (no podría ser de otro modo) en cada una de sus manifestaciones, por ejemplo, en su modo de comprender las cosas, incluídos el universo y el pensamiento. El día que como especie podamos responder o “superar” estas paradojas, de seguro habremos superado muchas otras cosas, mucho más trascendentes (¿y habremos salido de la matrix?). Te mando un abrazo.
[sin(1/x), x->0]<>0?, que tiempos….
Evidentemente (a nivel cuántico) si realizamos una observación, fijaremos un resultado… el problema viene cuando empezamos a tomar muestras… y estadísticamente nos da que está encendida en un 50% de las veces.
De todos modos, yo me plantearía el decirle con toda la jeta del mundo al alien que termina encendida; el tampoco nos puede demostrar lo contrario…
PD: “Grompf, grompf, grompf”!!
manolito,
Un razonamiento de gran agudeza — tu cerebro sería, probablemente, un canapé delicioso para el alienígena.
cerca del límite de los 2 segundos, la velocidad de conmutación será tal que entre un encendido y un apagado los electrones no tendrán tiempo de adquirir la energía suficiente para emitir el fotón que hace que digamos que la lámpara está encendida, así que acabará apagada. Y si no, bon apetit, alienígena.
completamente de acuerdo con jordix y con inigoml aunque su post este muy arriba, aunque ellos no tocaron mucho la mecanica cuantica, pero no estoy familiarizada con ella por el momento, cuando tenga tiempo me fijare los articulos que has publicado pedro.
con respecto a la primera, el 2 seria una asintota. y con respecto a la segunda tambien estoy de acuerdo con inigoml, si el tiempo de conmutacion es 0, o “n”. ademas que tendrian que tener un material que soporte tal trato! el tugsteno no creo que sirva XD.
reponderia infinito y apagado. y me salpimentaria para el alienijena XD.
gracias Alberto y Pedro por este enigma, y este fantastico sitio!
Mis más sinceras felicitaciones por tu trabajo, Pedro. Encontré El Tamiz por casualidad buceando en Internet y considero que ha sido un gran hallazgo. He estado leyendo con interés esta paradoja y los comentarios que los lectores han puesto sobre ella. Veo que al final todos van por derroteros cuánticos. Alguien ha apuntado que el tiempo está cuantizado. Quizás esto apunte que el espacio también lo está. Al fin y al cabo el tiempo y el espacio, según la Relatividad, forman una especie de entramado inseparable. Si el espacio está cuantizado no es preciso pasar por infinitos estados o posiciones para llegar de un origen a un destino. Así, la paradoja de Zenón (madre de esta otra que nos ocupa) quedaría resuelta sin tener que considerar que el movimiento es ilusión. Me da por pensar que la clave para unir la Relatividad con la Cuántica estriba en hablar de “discreto espacio-tiempo” en vez de “continuo espacio-tiempo”. Supongo que la cuantización del espacio, o tratar el espacio de un modo cuántico (por decirlo así considerar partículas de espacio o de pura geometría) es la clave para unir ambas disciplinas. De nuevo felicidades por tu trabajo y por facilitar a neófitos en la materia como yo participar con sus comentarios (seguramente poco acertados).
Me suda el cerebro. Solo pediría que no me pusieran demasiada mostaza
Daniel,
A los alienígenas matemáticos les gusta especialmente la salsa barbacoa cuando se trata de humanos.
P.S. GROMPF, GROMPF.
Me he salvado!. Estoy en el 3º segundo, y he dejado a los alienígenas en su espacio-tiempo local apagando y encendiendo la lámara como locos !.
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