Había empezado a planear cómo atacar una serie sobre las “cuatro fuerzas”, las interacciones fundamentales del Universo, una petición de curzki en este comentario; pensar en eso me llevó a darme cuenta de que debería empezar una serie básica sobre la cuántica antes, para poder hablar con algo de base sobre las partículas virtuales. He empezado a escribir el primer artículo de la serie, pero al hacerlo (junto con el preparar la introducción al libro de Relatividad Especial) me ha llevado a pensar en nuestra intuición y cómo el fiarse de ella es peligroso… y el resultado de tanto rumiar ha sido esta entrada que estás leyendo.
Algo que repito unas cuantas veces al hablar de relatividad, y que tendré que repetir unas cuantas más cuando hablemos de física cuántica, es que hay que saber cuándo no fiarse de la intuición (y tanto la cuántica como la relatividad son dos ejemplos de cuándo no hay que fiarse de ella). Sin embargo, es muy difícil no fiarse de ella: hay cosas que nos parecen “de sentido común”, “evidentes” y “obvias” cuando no lo son, pero contradecir esos mensajes de nuestro propio cerebro es complicado. De hecho, requiere una cierta disciplina y práctica.
De manera que hoy vamos a dedicarnos a practicar la anti-intuición… pero no con la física, sino con las matemáticas. Hay bastantes problemas y paradojas matemáticos que son ejemplos excelentes de lo que quiero decir: algo que es real, y perfectamente lógico, nos parece imposible. Sin embargo, cuando pensamos sobre el asunto sin escuchar la vocecilla de la intuición, nos damos cuenta de que estábamos equivocados.
De estos problemas, uno de los más conocidos (y es posible que ya lo conozcas, en cuyo caso no tiene sentido que sigas leyendo) es el de los “tres prisioneros”, propuesto por el genial Martin Gardner en 1959 en su columna de Juegos Matemáticos del Scientific American (publicada en español como Investigación y Ciencia). Se han formulado versiones posteriores (como la de Monty Hall, de puertas con cabras y un coche), y la versión que voy a proponer aquí es una modificación de la segunda (que por cierto apareció el año pasado en la serie Numb3rs). La razón de que escriba esta versión ligeramente modificada es simplemente que me encantan los juegos de probabilidad en los que aparecen alienígenas malvados.
De modo que te pido que analicemos la siguiente situación juntos:
Una raza de alienígenas avanzados y abyectos ha conquistado la Tierra para realizar horribles experimentos matemáticos con los humanos. Te capturan tras dejarte inconsciente y, cuando te despiertas, te encuentras en una celda. Junto a ti hay un alienígena de aspecto lovecraftiano que te mira con diversión, y enfrente de ti hay tres botones.
El alienígena te informa de que, de los tres botones, uno abre una puerta al exterior, y si lo pulsas te dejarán ir en libertad. Si presionas cualquiera de los otros dos botones, un rayo desintegrador acabará con tu miserable vida (al decir esto último, el alienígena lanza una risa gorgoteante y se estremece de placer). Naturalmente, no sabes cuál de los tres botones conduce a la libertad.
¿Cuál presionarías? La respuesta que te da la intuición, supongo, es que da lo mismo: todos los botones son equivalentes. En este caso, la intuición acierta: ésa es la respuesta correcta. Sigamos con la historia:
Cuando te dispones a presionar uno de los botones elegido al azar, el alienígena te detiene.
“¿Estás seguro de que quieres presionar ese botón, humano?”, te dice con su voz rasposa. A continuación, la criatura elige uno de los otros dos botones que no has elegido y lo presiona con un tentáculo. Inmediatamente, un rayo desintegrador golpea el suelo donde habrías estado tú si lo hubieras tocado. El alienígena lanza una estentórea y babeante carcajada, y te pregunta: “¿Estás seguro de que no quieres cambiar de botón?”
Y aquí, querido lector, es cuando llegamos al punto clave de la historia. ¿Deberías mantener tu elección inicial, o cambiar de botón? Piénsalo un momento antes de continuar leyendo.
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La intuición de la mayor parte de la gente (y la mía también) indica que da lo mismo cambiar de opción que mantener la elección inicial. ¿Qué más da lo que haya hecho el alienígena? Sin embargo, esa intuición es absolutamente errónea: la elección inteligente es cambiar de botón ipso facto, puesto que eso hace el doble de probable que sobrevivas. Ahora, por supuesto, mi tarea es tratar de convencerte de que es así.
El problema es que nuestra intuición, al ver el problema, piensa que hay dos posibilidades una vez que el alienígena te muestra un botón “desintegrador”: que el tuyo sea el bueno (en cuyo caso es mejor no cambiar de elección), o que lo sea el botón restante (en cuyo caso es mejor cambiar), de modo que la intuición cree que da igual una cosa que la otra.
Pero no hay dos posibilidades: hay tres. ¡La razón es que no es igual de probable que hayas elegido inicialmente el botón “salvador” que un botón “desintegrador”!
Es algo parecido a lo siguiente: supón que alguien te dice que, en tu elección inicial, la probabilidad de haber elegido el botón bueno es del 50% porque hay dos posibilidades: que hayas elegido el botón bueno, o que hayas elegido uno malo. Supongo que le explicarías que no hay dos posibilidades, hay tres: que hayas elegido el bueno, que hayas elegido el primer botón malo, o que hayas elegido el segundo botón malo.
Cuando el alienígena te indica uno de los botones “desintegradores” y te pregunta si quieres cambiar de opción, las tres posibles situaciones (sí, sí - tres, no dos) son las siguientes:
- Habías elegido el botón correcto. Los otros dos botones son “desintegradores”.
- Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro.
- Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.
Fíjate que, en el primer caso, es seguro que el botón que aún no ha sido revelado es un botón “desintegrador”. En esa situación es mejor no cambiar. Esto sucede un 33% de las veces.
En el segundo caso, es seguro que el botón que aún no ha sido revelado es el botón salvador (porque tú tienes uno “desintegrador”, y el alienígena ha revelado el otro “desintegrador”). En este caso, es mejor cambiar, y esto ocurre un 33% de las veces.
En el tercer caso, una vez más, es seguro que el botón que no ha sido revelado es el “bueno”, y en este caso es mejor cambiar. Esto ocurre un 33% de las veces.
De modo que, como puedes ver, si cambias de opción te salvas un 66% de las veces, mientras que si mantienes tu opción inicial (con lo que no utilizas la información que te da el alienígena cuando pulsa el botón “desintegrador”) mantienes tu probabilidad inicial del 33%. Conclusión: ¡cambia de botón!
Puedes mirarlo de otra manera: al cambiar de botón, estás “apostando” que tu elección inicial era un botón “desintegrador”, mientras que al no cambiar estás apostando que tu elección inicial era el botón “salvador”….pero es mucho más probable que la elección inicial fuera un botón desintegrador. Ahí está la clave del problema.
Imagina que no hay dos botones, sino mil. Eliges uno de ellos, y el alienígena se pone a presionar botones uno detrás de otro, de entre los que no has elegido. Caen rayos desintegradores sin parar… hasta que el alienígena deja un botón sin presionar de los 999 que no has pulsado. ¿Deberías mantener tu elección original, o elegir ese botón que el alienígena ha dejado sin presionar?
¿Te parece más lógica la solución correcta ahora? Si habías elegido el botón correcto, entonces el alienígena está dejando libre un botón desintegrador…pero eso es muy improbable, porque elegiste un botón al azar de entre mil. Sin embargo, si habías elegido un botón desintegrador, el alienígena no tiene opción: el botón que ha dejado libre es el botón correcto… ¡y esto ocurre en 999 de 1000 ocasiones, en todas en las que fallaste al principio!
Es posible que aún no estés de acuerdo conmigo (la intuición es testaruda). Por si te consuela, cuando se publicó esta paradoja en Estados Unidos en 1990 en la revista Parade, recibieron miles de cartas de lectores indignados que pensaban que la solución era absurda… entre ellos, muchos matemáticos (los cuales, todo hay que decirlo, posteriormente pidieron disculpas cuando se dieron cuenta de su error). Hay muy poca gente que, en una primera lectura del problema, no se rebele contra la solución correcta, de modo que si te pasa, es totalmente normal.
Eso sí: te aseguro que la opción correcta es cambiar de botón, y es muy fácil de comprobar en la práctica. En primer lugar, puedes hacerlo con un amigo:
Coged tres cartas, una de las cuáles debe ser diferente (la que representa el botón “salvador”): por ejemplo, dos reyes y un as. A continuación tu amigo (que ve las tres cartas) te ofrece que elijas una. Cuando lo hagas, pero aún sin verla, que tu amigo revele un rey de una de las otras dos cartas y te pregunte si mantienes tu elección inicial o cambias. Si lo haces unas cuantas veces, verás que es mucho más probable acertar si cambias de opción.
Pero también hay multitud de simuladores del problema en la red (claro, tienes que fiarte de que no están “amañados”). La mayor parte no usan alienígenas y botones desintegradores (qué aburridos), sino puertas, coches y cabras (el coche es el equivalente del botón “salvador”), porque ésa es la formulación de la Paradoja de Monty Hall original, pero bueno. Puedes probar ambas estrategias (cambiar o no) y ver los resultados de todo el mundo que ha jugado en este enlace.
En cualquier caso, ¿qué tiene que ver esto con la relatividad o la cuántica? Principalmente esto: cuando tu intuición te dice que algo es falso, pero el razonamiento lógico y las pruebas experimentales te dicen que es cierto, fíate de la lógica y los experimentos, no de la intuición. Nuestra intuición es una herramienta útil, pero no tanto como nuestro razonamiento lógico.
Además, si una raza de horribles alienígenas obsesionados con las matemáticas invade la Tierra, estamos preparados.
Para saber más: Problema de Monty Hall, Monty Hall Problem (más completo), Grand Illusions.
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El texto de La paradoja de Monty Hall , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
{ 27 } Comentarios
Depués de jugar un rato con el enlace, me he dado cuenta justo de lo que aqui se explica (estaba aún un poco exceptico). Si mi estrategia es rechazar siempre mi apuesta en realidad lo que estoy haciendo es apostar que el botón es uno de los otros dos, no el mio, es decir, tengo un 66% de probabilidades de acertar. Pura matemática… claro…
Interesante y claramente mi intuición me ha jugado una mala pasada xD
Ahora que estamos preparados contra alienígenas matemáticos tendríamos que prepararnos contra alienígenas indignados por no poder ver el último capítulo de su serie de abogados preferida xD
¡Bien! ¡Otra persona que se salvaría si los alienígenas matemáticos nos invaden!
Madre mía… estoy viendo una nueva camiseta con el alienígena y los tres botones. Ay, si tuviera talento artístico…
JAJAJA… muy interesante la camisa… que curioso parece que falle la primera ves en el juego en el enlace al cambiar luego sucedería una curiosidad .. escogiendo “cambiar” dos veces seguidas y luego “quedar” (habiendo ganado) es decir si cambiaba dos veces y ganaba, la siguiente era mantenerme, no falle en 10 intentos seguidos cosa que me dice algo sobre el algoritmo programado en el juego
Pues cuesta hacerse a la idea. A mí el razonamiento que me vale es este: al hacer la primera elección, el 67% de las veces elegiré un botón desintegrador. Cuando el alienígena me muestre el otro, ya sé dónde está el botón salvador (el 67% de las veces).
Pero como el alienígena conozca el juego, me da que sólo me va a mostrar el botón desintegrador si escojo el salvador
¡No, no! Estos alienígenas son crueles pero tienen su propio sentido del honor: retorcido, siniestro, pero estricto. Al final, aparte del 33% de afortunados ignorantes que eligieran quedarse con su elección, los que sobreviviríamos seríamos los que conocemos la respuesta correcta.
Bueno, dos de cada tres de los que conocemos la respuesta correcta. gulp
Muy curioso…tienes razón en que este tipo de ejercicios ademas de divertidos pueden ser un buen entrenamiento para digerir el paradigma de la relatividad y la mecánica cuántica… me apunto esta para cuando me ponga cabezota conmigo mismo… Otra cosa, acabo de descubrir tu blog mediante mobuzz…muy bueno en serio…ya tienes un suscriptor mas
Me ha sorprendido gratamente esta paradoja, y tengo que reconocer que he caído de cuatro pastas. Nunca hubiera imaginado hacertar más del 50% de las veces.
Como me resultaba increible acertar el coche hasta un 67% de las veces, repití y repití el juego hasta que me convencí.
Sin embargo, una vez recuperado de la sorpresa, me surgió una pregunta: Qué pasaría si los alienígenas, en lugar de proponernos una única jugada, nos propusieran cien, y nos exigieran para darnos la libertad, que acertásemos más de un 70% de las veces. ¿Es posible mejorar ese 67% de aciertos?
Y se me ha ocurrido que rizando el rizo del razonamiento, tal vez sí sería posible (aunque también es posible que esté metiendo la pata hasta el fondo, pero como se trata únicamente de un juego de pensar, no puedo perder nada, y sí ganar un rato de diversión).
Me explico. De tu explicación (Pedro) sobre la paradoja de Monty Hall, se desprende que en la primera elección, es mejor escoger una cabra (que tienes un 67% de posibilidades de acertar) para después, cuando te hayan enseñado donde está la otra, cambiar tu carta y acertar el coche.
Esto es evidentemente imposible, pero a partir de la segunda jugada, las posibilidades de que el coche caiga dos veces en la misma casilla, me parecen de un 33%, o sea, que habría un 67% de posibilidades de que hubiese una cabra.
O sea, que si cada nueva jugada escojo como primera opción, la que la jugada anterior me mostró el coche, al 67% por ciento de posibilidades de que en esta casilla haya una cabra, habría que anadir un 67% sobre el 33% restante, de que en la casilla donde antes nos salió el coche, éste no se repita, y que por lo tanto, salga una cabra. Esto me daría un resultado teórico de un 89% de posibilidades de encontrar una cabra.
Con lo que tendría un 89% de posibilidades de que entre las otras dos posibilidades restantes estuviese el coche. Y cuando el alienígena me mostrase la otra cabra, de entre dichas dos posibilidades, dicho 89% quedaría reducido únicamente a la carta restante.
La verdad es que no he obtenido un resultado tan espectacular, pero de 53 intentos, obtuve 40 aciertos y sólo 13 errores. Esto es un 75% de aciertos y un 25% de errores.
Y ahora llega mi pregunta. ¿Es todo esto que he explicado una consecuencia directa de todos los estupefacientes que me meto, o hay algo de lógica en el razonamiento?
Un abrazo a tod@s.
aneolf,
El problema con tu razonamiento es que supones que lo que sale en una “tirada” afecta a la siguiente, y no es así: son probabilidades no condicionadas. Que una vez salga la cabra no afecta para nada a la probabilidad de que salga en la siguiente.
De modo que no es posible mejorar el 67%. Eso sí, tienes razón en que, siguiendo este sistema, es mejor para ti escoger una cabra en la elección inicial - por eso el sistema funciona, porque es más probable que eso pase.
Hola, para los aficionados a este tipo de matematicas “recreativas” hace poco me compre un libro muy entretenido: “como cortar un pastel” de Ian Stewart. Explica un monton de juegos matematicos muy interesantes, como por ejemplo como dividir un pastel de manera que todos los que reciban un trozo esten de acuerdo con el trozo que han dividido.
Un saludo
Pedro, eres un verdadero genio explicando las cosas, gracias. ¿podrías hacer un master para profesores de universidad? te forrarías.
Ferran,
¡Ian Stewart moooola! Cualquier cosa escrita por Martin Gardner también es genial.
Fernando,
Desde luego, ningún problema. ¿Cuánto vas a pagarme? Porque dudo que cualquier universidad vaya a hacerlo
No sé si todavía estará disponible, pero yo me hice este domingo pasado con un ejemplar de Martin Gardner de “¡Ajá! Paradojas que hacen pensar”, por 4 euros, de una de esas colecciones por entregas que comienzan todos los septiembres.
Otra paradoja que me encanta es la del vino contaminado con agua… Para los que no la sepan, imaginamos dos vasos, uno con agua y otro con vino. Con un cuentagotas cogemos una gota de vino y la vertemos en el de agua. Agitamos el vaso de agua para que se mezcle todo bien. Ahora cogemos el mismo cuentagotas y cogemos una gota de la mezcla agua-vino, y la vertemos dentro del vino. La pregunta es… ¿Cual de los dos vasos está más contaminado? es decir ¿El de agua tiene mezclada más cantidad de vino que cantidad de agua mezclada en del de vino? ¿o es al revés?
Para la paradoja de Monty Hall aquí teneis mi versión: El juego del Trilero
Buenas. No se si hay alguien aun en el otro lado… pero una aclaración.
Decías que partíamos de 3 casos posibles:
¿No podría ser que partieramos de 4 casos posibles?:
Entonces, no continuaría al 50%?
Ay, me duele la cabeza
Me he liado un poco con los números de la lista (¬¬’) pero espero que se me entienda, vamos…
Lluís,
Sí, pero no equivalentes. El problema de hacerlo como has hecho tú es que supones 4 casos equiprobables, pero no lo son. Fíjate que, de tus 4 casos, en 2 (1 y 2) has elegido el botón correcto inicialmente, y en 2 (3 y 4) has elegido inicialmente el botón equivocado.
Es decir, con tus cuatro casos hay un 50% de que hayas elegido inicialmente el botón correcto. ¡Pero si de los tres botones sólo uno es correcto! Por supuesto que llegas entonces a un 50% al final, pero es porque has supuesto que esos cuatro casos son igualmente probables.
Si quieres poner cuatro casos, puedes hacerlo, pero teniendo en cuenta que unos “cuelgan” de otros:
Has elegido el botón correcto (33,3%), con subposibilidades: 1a. El alienígena te enseña el primer botón incorrecto (16,6%). 1b. El alienígena te enseña el segundo botón incorrecto (16,6%).
Has elegido el primer botón equivocado y el alienígena te muestra el otro (33,3%).
Has elegido el segundo botón equivocado y el alienígena te muestra el otro (33,3%).
Si, pero tal y como yo lo entiendo, el 33% de posibilidades de haber elegido el botón correcto lo calculamos cuando no tenemos información adicional. (Casos posibles = 3)
Si el alienígena nos da información extra (joer, que frase más rara fuera de contexto
) las probabilidades entiendo que aumentan (hasta el 50 %) ya que contamos con nueva información, y el alienígena nos está aumentando los casos posibles (4, en éste caso).
Vamos, si me hubiera mostrado el correcto, el alienígena me hubiera influído bajando el 33% inicial a un 0% final. Entiendo que en el otro caso lo hace aumentar…
Tal y como yo lo veo, hasta se podría considerar que los botones equivocados son equivalentes y tenemos dos casos posibles.
Había (utilizo el pasado, porque ahora se cosas que antes no sabía) elegido el boton correcto y el alien me muestra uno equivocado (da igual cual)
Había elegido uno de los dos equivocados y el alien me muestra el otro restante.
¿Tiene algun sentido lo que digo? Es que no acabo de ver dónde está el fallo de mi razonamiento. Aunque tambien me costó ver que la combinación 1-2-3-4-5-6 tenía la misma probabilidad de salir que la 10-21-32-45-47–49 en la primitiva, así que supongo que me falta por entender algo, digo yo…….:)
Lluís,
No sé si esto te va a convencer si no lo hizo la primera vez, pero bueno: supones que el hecho de tener dos casos posibles supone que cada uno tiene una probabilidad del 50%.
La fórmula de “casos favorables divididos por casos posibles” sólo funciona cuando todos los casos son equiprobables, y aquí no lo son.
Es decir: “había elegido un botón bueno o había elegido uno equivocado” son tus dos casos posibles, y por tanto supones un 50% para cada uno…¿por qué?
Dicho de otra manera: mañana pueden pasar dos cosas. Que te mate un meteorito o que no te mate. ¿Quiere eso decir que hay un 50% de posibilidades de que mañana mueras por un meteorito?
Se puede dividir un número posible de sucesos de manera arbitraria para obtener probabilidades de ese tipo con cualquier cosa, pero siempre involucra mezclar probabilidades no equivalentes.
mmmm, me lo pienso con calma, que lo necesito
Gracias por la respuesta y la paciencia
PD: y aprovecho para felicitarte por tu blog. Siempre he creído que hay gente con un don para enseñar. Para saber extraer lo importante en cada momento del aprendizaje, y saber esquematizar bien el contenido. Mis años de frustración en la universidad, las excusas tipo “en la universidad las cosas son diferentes y te tienes que buscar la vida” y encontrarme profesores que realmente rebatían estos argumentos me han convencido de éso. En fin, mejor cierro el grifo ya del peloteo, pero sinceramente, felicidades
Ahora lo he entendido perfectamente cuando me he releído tu explicación de los 1000 botones…
Si es que cuando uno es duro de mollera…
Curioso, yo lo veo muy claro en el caso de los 1000 botones.
Si solo hay uno bueno y elijo uno al hazar, es casi seguro que será el malo (99.9% de probalilidad). Si yo tengo uno de los malos casi seguro y el alienígena me desvela los otros 998 botones malos, me está indicando donde está el correcto con un 99.9% de probalilidad.
Y podemos imaginar que hoy 1.000.000 botones… o más y el razonamiento es el mismo.
Aprovecho para agradecer a Pedro sus respuestas a preguntas que le formulé en otros lugares de su portal.
Jo… he jugado 12 veces cambiado de boton y solo he acertado 4!!!
Creo que soy la excepcion que confirma la regla, o simplemente gafe.
Por eso no juego a la lotería…
En el juego de el coche y las cabras, efectivamente lo correcto es cambiar de puerta. Esto es así porque el presentador siempre abre una puerta que tiene una cabra. Notese que dice siempre abre una puera con cabra. Sin embargo, cuando se hace la historia de los marcianos (alienigenas) para que sea correcto cambiar de botón debe suponerse que siempre el alienigena va a puchar un boton con descarga yq eu no este engañandonos. Si no es así, cambiar de botón no tiene sentido. Imaginemos que lo que realmente quiere el marciano es que puchemos un botón que nos aniquile y como sabe que conocemos la paradoja de Monty H. y además sabe que el botón que elegimos de inicio es el boton salvador, (es decir, el 33% resulto a nuestro favor en esta ocasión) nos engaña puchando un boton cn descarga con la única finalidad de que cambiemos de elección. Así que mi estimado autor de este cuento, te invito a que corrigas tu historia de marcianos y hagas explicito el supuesto además de que también se suponga que el marciano no nos esta engañando. Saludos
He llegado al blog buscando una aclaración sobre los coches/cabras que hablan en la película de 21 blackjack. Muchas felicidades por el blog, me parece muy bueno.
Por otro lado, y aunque igual ya nadie lee estos comentarios (el art. tiene un año), sigo sin converceme de la explicación de la paradoja: que pasaría si hay dos observadores/concursantes y eligen cajas diferentes, los dos tendrían que cambiar la elección para tener más posibilidades de acertar?!? buffff… que dolor de cabeza!
@ Samuel,
Gracias mil — los comentarios nuevos aparecen en la “cola de comentarios”, sean del artículo que sean, así que no hay problema. Gracias por las felicidades
Efectivamente, ambos concursantes deben cambiar la elección para tener más probabilidades de acertar. Esto puede significar, por supuesto, que uno de ellos tuviera la caja acertada al principio y luego fallase, pero si hacen mil pruebas y uno de los concursantes nunca cambia de caja y el otro lo hace siempre, ganaría el doble de veces el que sigue la estrategia de cambiar.
Ah, pero si la explicación no te convence lo tienes fácil (eso es lo bueno de esta paradoja en particular): se puede comprobar de forma muy sencilla con tres cartas y un amigo que te ayude. Prueba las dos estrategias y verás qué diferencia
Gracias por la respuesta, y perdón por la testarudez. La verdad es que tengo la estad/prob bastante olvidada, así que quizás cambio hipótesis de inicio o al incluir dos observadores se aplica de manera diferente.. .
Lo que quiero decir es que si haces 1000 experimentos, en cada uno los dos observadores eligen cajas diferentes y además cambian de caja siempre , ganarían ambos el 667 de las veces, lo que no puede ser , o no??? perdón por mi insistencia! Por cierto buenisimas las paradojas de los alienigenas y el ADJF
@ Samuel,
El problema es que tu ejemplo ya no es una probabilidad independiente: si uno elige la caja “A” y eso significa que, automáticamente, el otro no puede elegirla, la cosa cambia muchísimo: quiere decir que si uno gana, el otro debe perder, con lo que la probabilidad no tiene nada que ver con el problema inicial.
Si ambos cambian siempre de caja pero lo que elige el uno no determina lo que elige el otro (de modo que pueden elegir la misma caja o no, como deseen), entonces sigue saliendo un 66,7% de ganar para los dos, como dice la paradoja original.
Ahora mismo estoy escribiendo un artículo de estos alienígenas, que será el próximo en ser publicado (sucederá la semana que viene), así que si te gustan este tipo de entradas, ya sabes. También puedes leer todos los artículos de los alienígenas (no son muchos por ahora) en la categoría: http://eltamiz.com/category/matematicas/alienigenas/
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