El Tamiz

Ignora lo accesorio, atesora lo esencial

La paradoja de Monty Hall

Había empezado a planear cómo atacar una serie sobre las “cuatro fuerzas”, las interacciones fundamentales del Universo, una petición de curzki en este comentario; pensar en eso me llevó a darme cuenta de que debería empezar una serie básica sobre la cuántica antes, para poder hablar con algo de base sobre las partículas virtuales. He empezado a escribir el primer artículo de la serie, pero al hacerlo (junto con el preparar la introducción al libro de Relatividad Especial) me ha llevado a pensar en nuestra intuición y cómo el fiarse de ella es peligroso… y el resultado de tanto rumiar ha sido esta entrada que estás leyendo.

Algo que repito unas cuantas veces al hablar de relatividad, y que tendré que repetir unas cuantas más cuando hablemos de física cuántica, es que hay que saber cuándo no fiarse de la intuición (y tanto la cuántica como la relatividad son dos ejemplos de cuándo no hay que fiarse de ella). Sin embargo, es muy difícil no fiarse de ella: hay cosas que nos parecen “de sentido común”, “evidentes” y “obvias” cuando no lo son, pero contradecir esos mensajes de nuestro propio cerebro es complicado. De hecho, requiere una cierta disciplina y práctica.

De manera que hoy vamos a dedicarnos a practicar la anti-intuición… pero no con la física, sino con las matemáticas. Hay bastantes problemas y paradojas matemáticos que son ejemplos excelentes de lo que quiero decir: algo que es real, y perfectamente lógico, nos parece imposible. Sin embargo, cuando pensamos sobre el asunto sin escuchar la vocecilla de la intuición, nos damos cuenta de que estábamos equivocados.

De estos problemas, uno de los más conocidos (y es posible que ya lo conozcas, en cuyo caso no tiene sentido que sigas leyendo) es el de los “tres prisioneros”, propuesto por el genial Martin Gardner en 1959 en su columna de Juegos Matemáticos del Scientific American (publicada en español como Investigación y Ciencia). Se han formulado versiones posteriores (como la de Monty Hall, de puertas con cabras y un coche), y la versión que voy a proponer aquí es una modificación de la segunda (que por cierto apareció el año pasado en la serie Numb3rs). La razón de que escriba esta versión ligeramente modificada es simplemente que me encantan los juegos de probabilidad en los que aparecen alienígenas malvados.

De modo que te pido que analicemos la siguiente situación juntos:

_Una raza de alienígenas avanzados y abyectos ha conquistado la Tierra para realizar horribles experimentos matemáticos con los humanos. Te capturan tras dejarte inconsciente y, cuando te despiertas, te encuentras en una celda. Junto a ti hay un alienígena de aspecto lovecraftiano que te mira con diversión, y enfrente de ti hay tres botones.

El alienígena te informa de que, de los tres botones, uno abre una puerta al exterior, y si lo pulsas te dejarán ir en libertad. Si presionas cualquiera de los otros dos botones, un rayo desintegrador acabará con tu miserable vida (al decir esto último, el alienígena lanza una risa gorgoteante y se estremece de placer). Naturalmente, no sabes cuál de los tres botones conduce a la libertad._

¿Cuál presionarías? La respuesta que te da la intuición, supongo, es que da lo mismo: todos los botones son equivalentes. En este caso, la intuición acierta: ésa es la respuesta correcta. Sigamos con la historia:

_Cuando te dispones a presionar uno de los botones elegido al azar, el alienígena te detiene.

“¿Estás seguro de que quieres presionar ese botón, humano?”, te dice con su voz rasposa. A continuación, la criatura elige uno de los otros dos botones que no has elegido y lo presiona con un tentáculo. Inmediatamente, un rayo desintegrador golpea el suelo donde habrías estado tú si lo hubieras tocado. El alienígena lanza una estentórea y babeante carcajada, y te pregunta: “¿Estás seguro de que no quieres cambiar de botón?”_

Y aquí, querido lector, es cuando llegamos al punto clave de la historia. ¿Deberías mantener tu elección inicial, o cambiar de botón? Piénsalo un momento antes de continuar leyendo.

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La intuición de la mayor parte de la gente (y la mía también) indica que da lo mismo cambiar de opción que mantener la elección inicial. ¿Qué más da lo que haya hecho el alienígena? Sin embargo, esa intuición es absolutamente errónea:** la elección inteligente es cambiar de botón ipso facto**, puesto que eso hace el doble de probable que sobrevivas. Ahora, por supuesto, mi tarea es tratar de convencerte de que es así.

El problema es que nuestra intuición, al ver el problema, piensa que hay dos posibilidades una vez que el alienígena te muestra un botón “desintegrador”: que el tuyo sea el bueno (en cuyo caso es mejor no cambiar de elección), o que lo sea el botón restante (en cuyo caso es mejor cambiar), de modo que la intuición cree que da igual una cosa que la otra.

Pero no hay dos posibilidades: hay tres. ¡La razón es que no es igual de probable que hayas elegido inicialmente el botón “salvador” que un botón “desintegrador”!

Es algo parecido a lo siguiente: supón que alguien te dice que, en tu elección inicial, la probabilidad de haber elegido el botón bueno es del 50% porque hay dos posibilidades: que hayas elegido el botón bueno, o que hayas elegido uno malo. Supongo que le explicarías que no hay dos posibilidades, hay tres: que hayas elegido el bueno, que hayas elegido el primer botón malo, o que hayas elegido el segundo botón malo.

Cuando el alienígena te indica uno de los botones “desintegradores” y te pregunta si quieres cambiar de opción, las tres posibles situaciones (sí, sí - tres, no dos) son las siguientes:

  1. Habías elegido el botón correcto. Los otros dos botones son “desintegradores”.
  2. Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro.
  3. Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.

Fíjate que, en el primer caso, es seguro que el botón que aún no ha sido revelado es un botón “desintegrador”. En esa situación es mejor no cambiar. Esto sucede un 33% de las veces.

En el segundo caso, es seguro que el botón que aún no ha sido revelado es el botón salvador (porque tú tienes uno “desintegrador”, y el alienígena ha revelado el otro “desintegrador”). En este caso, es mejor cambiar, y esto ocurre un 33% de las veces.

En el tercer caso, una vez más, es seguro que el botón que no ha sido revelado es el “bueno”, y en este caso es mejor cambiar. Esto ocurre un 33% de las veces.

De modo que, como puedes ver, si cambias de opción te salvas un 66% de las veces, mientras que si mantienes tu opción inicial (con lo que no utilizas la información que te da el alienígena cuando pulsa el botón “desintegrador”) mantienes tu probabilidad inicial del 33%. Conclusión: ¡cambia de botón!

Puedes mirarlo de otra manera: al cambiar de botón, estás “apostando” que tu elección inicial era un botón “desintegrador”, mientras que al no cambiar estás apostando que tu elección inicial era el botón “salvador”….pero es mucho más probable que la elección inicial fuera un botón desintegrador. Ahí está la clave del problema.

Imagina que no hay dos botones, sino mil. Eliges uno de ellos, y el alienígena se pone a presionar botones uno detrás de otro, de entre los que no has elegido. Caen rayos desintegradores sin parar… hasta que el alienígena deja un botón sin presionar de los 999 que no has pulsado. ¿Deberías mantener tu elección original, o elegir ese botón que el alienígena ha dejado sin presionar?

¿Te parece más lógica la solución correcta ahora? Si habías elegido el botón correcto, entonces el alienígena está dejando libre un botón desintegrador…pero eso es muy improbable, porque elegiste un botón al azar de entre mil. Sin embargo, si habías elegido un botón desintegrador, el alienígena no tiene opción: el botón que ha dejado libre es el botón correcto… ¡y esto ocurre en 999 de 1000 ocasiones, en todas en las que fallaste al principio!

Es posible que aún no estés de acuerdo conmigo (la intuición es testaruda). Por si te consuela, cuando se publicó esta paradoja en Estados Unidos en 1990 en la revista Parade, recibieron miles de cartas de lectores indignados que pensaban que la solución era absurda… entre ellos, muchos matemáticos (los cuales, todo hay que decirlo, posteriormente pidieron disculpas cuando se dieron cuenta de su error). Hay muy poca gente que, en una primera lectura del problema, no se rebele contra la solución correcta, de modo que si te pasa, es totalmente normal.

Eso sí: te aseguro que la opción correcta es cambiar de botón, y es muy fácil de comprobar en la práctica. En primer lugar, puedes hacerlo con un amigo:

Coged tres cartas, una de las cuáles debe ser diferente (la que representa el botón “salvador”): por ejemplo, dos reyes y un as. A continuación tu amigo (que ve las tres cartas) te ofrece que elijas una. Cuando lo hagas, pero aún sin verla, que tu amigo revele un rey de una de las otras dos cartas y te pregunte si mantienes tu elección inicial o cambias. Si lo haces unas cuantas veces, verás que es mucho más probable acertar si cambias de opción.

Pero también hay multitud de simuladores del problema en la red (claro, tienes que fiarte de que no están “amañados”). La mayor parte no usan alienígenas y botones desintegradores (qué aburridos), sino puertas, coches y cabras (el coche es el equivalente del botón “salvador”), porque ésa es la formulación de la Paradoja de Monty Hall original, pero bueno. Puedes probar ambas estrategias (cambiar o no) y ver los resultados de todo el mundo que ha jugado en este enlace.

En cualquier caso, ¿qué tiene que ver esto con la relatividad o la cuántica? Principalmente esto: cuando tu intuición te dice que algo es falso, pero el razonamiento lógico y las pruebas experimentales te dicen que es cierto, fíate de la lógica y los experimentos, no de la intuición. Nuestra intuición es una herramienta útil, pero no tanto como nuestro razonamiento lógico.

Además, si una raza de horribles alienígenas obsesionados con las matemáticas invade la Tierra, estamos preparados.

Bocados de Inglés

Para saber más: Problema de Monty Hall, Monty Hall Problem (más completo), Grand Illusions.

Alienígenas matemáticos

75 comentarios

De: jnadie
2007-08-31 15:53:23

Depués de jugar un rato con el enlace, me he dado cuenta justo de lo que aqui se explica (estaba aún un poco exceptico). Si mi estrategia es rechazar siempre mi apuesta en realidad lo que estoy haciendo es apostar que el botón es uno de los otros dos, no el mio, es decir, tengo un 66% de probabilidades de acertar. Pura matemática... claro...

De: Khudsa
2007-08-31 15:59:48

Interesante y claramente mi intuición me ha jugado una mala pasada xDAhora que estamos preparados contra alienígenas matemáticos tendríamos que prepararnos contra alienígenas indignados por no poder ver el último capítulo de su serie de abogados preferida xD

De: Pedro
2007-08-31 16:00:48

¡Bien! ¡Otra persona que se salvaría si los alienígenas matemáticos nos invaden! :)Madre mía... estoy viendo una nueva camiseta con el alienígena y los tres botones. Ay, si tuviera talento artístico...

De: Nikolai
2007-08-31 17:24:52

JAJAJA... muy interesante la camisa...
que curioso parece que falle la primera ves en el juego en el enlace al cambiar luego sucedería una curiosidad .. escogiendo "cambiar" dos veces seguidas y luego "quedar" (habiendo ganado) es decir si cambiaba dos veces y ganaba, la siguiente era mantenerme, no falle en 10 intentos seguidos cosa que me dice algo sobre el algoritmo programado en el juego ;)

De: Moko
2007-09-01 09:55:56

Pues cuesta hacerse a la idea. A mí el razonamiento que me vale es este: al hacer la primera elección, el 67% de las veces elegiré un botón desintegrador. Cuando el alienígena me muestre el otro, ya sé dónde está el botón salvador (el 67% de las veces).Pero como el alienígena conozca el juego, me da que sólo me va a mostrar el botón desintegrador si escojo el salvador :-)

De: Pedro
2007-09-01 10:09:24

¡No, no! Estos alienígenas son crueles pero tienen su propio sentido del honor: retorcido, siniestro, pero estricto. Al final, aparte del 33% de afortunados ignorantes que eligieran quedarse con su elección, los que sobreviviríamos seríamos los que conocemos la respuesta correcta.Bueno, dos de cada tres de los que conocemos la respuesta correcta. *gulp*

De: Pedro Pina
2007-09-02 08:45:54

Muy curioso...tienes razón en que este tipo de ejercicios ademas de divertidos pueden ser un buen entrenamiento para digerir el paradigma de la relatividad y la mecánica cuántica... me apunto esta para cuando me ponga cabezota conmigo mismo...
Otra cosa, acabo de descubrir tu blog mediante mobuzz...muy bueno en serio...ya tienes un suscriptor mas

De: aneolf
2007-09-03 08:30:58

Me ha sorprendido gratamente esta paradoja, y tengo que reconocer que he caído de cuatro pastas. Nunca hubiera imaginado hacertar más del 50% de las veces.Como me resultaba increible acertar el coche hasta un 67% de las veces, repití y repití el juego hasta que me convencí.Sin embargo, una vez recuperado de la sorpresa, me surgió una pregunta: Qué pasaría si los alienígenas, en lugar de proponernos una única jugada, nos propusieran cien, y nos exigieran para darnos la libertad, que acertásemos más de un 70% de las veces. ¿Es posible mejorar ese 67% de aciertos?Y se me ha ocurrido que rizando el rizo del razonamiento, tal vez sí sería posible (aunque también es posible que esté metiendo la pata hasta el fondo, pero como se trata únicamente de un juego de pensar, no puedo perder nada, y sí ganar un rato de diversión).Me explico. De tu explicación (Pedro) sobre la paradoja de Monty Hall, se desprende que en la primera elección, es mejor escoger una cabra (que tienes un 67% de posibilidades de acertar) para después, cuando te hayan enseñado donde está la otra, cambiar tu carta y acertar el coche.Esto es evidentemente imposible, pero a partir de la segunda jugada, las posibilidades de que el coche caiga dos veces en la misma casilla, me parecen de un 33%, o sea, que habría un 67% de posibilidades de que hubiese una cabra.O sea, que si cada nueva jugada escojo como primera opción, la que la jugada anterior me mostró el coche, al 67% por ciento de posibilidades de que en esta casilla haya una cabra, habría que anadir un 67% sobre el 33% restante, de que en la casilla donde antes nos salió el coche, éste no se repita, y que por lo tanto, salga una cabra. Esto me daría un resultado teórico de un 89% de posibilidades de encontrar una cabra.Con lo que tendría un 89% de posibilidades de que entre las otras dos posibilidades restantes estuviese el coche. Y cuando el alienígena me mostrase la otra cabra, de entre dichas dos posibilidades, dicho 89% quedaría reducido únicamente a la carta restante.La verdad es que no he obtenido un resultado tan espectacular, pero de 53 intentos, obtuve 40 aciertos y sólo 13 errores. Esto es un 75% de aciertos y un 25% de errores.Y ahora llega mi pregunta. ¿Es todo esto que he explicado una consecuencia directa de todos los estupefacientes que me meto, o hay algo de lógica en el razonamiento?Un abrazo a tod@s.

De: Pedro
2007-09-03 08:52:54

aneolf,El problema con tu razonamiento es que supones que lo que sale en una "tirada" afecta a la siguiente, y no es así: son probabilidades no condicionadas. Que una vez salga la cabra no afecta para nada a la probabilidad de que salga en la siguiente.De modo que no es posible mejorar el 67%. Eso sí, tienes razón en que, siguiendo este sistema, es mejor para ti escoger una cabra en la elección inicial - por eso el sistema funciona, porque es más probable que eso pase.

De: Ferran Ferri
2007-09-03 11:45:06

Hola, para los aficionados a este tipo de matematicas "recreativas" hace poco me compre un libro muy entretenido: "como cortar un pastel" de Ian Stewart. Explica un monton de juegos matematicos muy interesantes, como por ejemplo como dividir un pastel de manera que todos los que reciban un trozo esten de acuerdo con el trozo que han dividido.Un saludo

De: Fernando
2007-09-05 00:45:49

Pedro, eres un verdadero genio explicando las cosas, gracias.
¿podrías hacer un master para profesores de universidad? te forrarías.


De: Pedro
2007-09-05 06:52:01

Ferran,

¡Ian Stewart moooola! Cualquier cosa escrita por Martin Gardner también es genial.

Fernando,

Desde luego, ningún problema. ¿Cuánto vas a pagarme? Porque dudo que cualquier universidad vaya a hacerlo :P


De: Dj Mystic
2007-09-12 15:59:53

No sé si todavía estará disponible, pero yo me hice este domingo pasado con un ejemplar de Martin Gardner de "¡Ajá! Paradojas que hacen pensar", por 4 euros, de una de esas colecciones por entregas que comienzan todos los septiembres.

Otra paradoja que me encanta es la del vino contaminado con agua... Para los que no la sepan, imaginamos dos vasos, uno con agua y otro con vino. Con un cuentagotas cogemos una gota de vino y la vertemos en el de agua. Agitamos el vaso de agua para que se mezcle todo bien. Ahora cogemos el mismo cuentagotas y cogemos una gota de la mezcla agua-vino, y la vertemos dentro del vino. La pregunta es... ¿Cual de los dos vasos está más contaminado? es decir ¿El de agua tiene mezclada más cantidad de vino que cantidad de agua mezclada en del de vino? ¿o es al revés?

Para la paradoja de Monty Hall aquí teneis mi versión:
El juego del Trilero


De: Lluís
2008-01-18 13:06:14

Buenas. No se si hay alguien aun en el otro lado... pero una aclaración.

Decías que partíamos de 3 casos posibles:


  1. Habías elegido el botón correcto. Los otros dos botones son “desintegradores”.

  2. Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro.

  3. Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.

¿No podría ser que partieramos de 4 casos posibles?:


  1. Habías elegido el botón correcto. El alinenígena te muestra el boton “desintegrador” A.

  2. Habías elegido el botón correcto. El alinenígena te muestra el boton “desintegrador” B.

    1. Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro.


  3. Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.

Entonces, no continuaría al 50%?

Ay, me duele la cabeza


De: Lluís
2008-01-18 13:09:21

Me he liado un poco con los números de la lista (¬¬') pero espero que se me entienda, vamos...


De: Pedro
2008-01-18 17:49:51

Lluís,


¿No podría ser que partieramos de 4 casos posibles?


Sí, pero no equivalentes. El problema de hacerlo como has hecho tú es que supones 4 casos equiprobables, pero no lo son. Fíjate que, de tus 4 casos, en 2 (1 y 2) has elegido el botón correcto inicialmente, y en 2 (3 y 4) has elegido inicialmente el botón equivocado.

Es decir, con tus cuatro casos hay un 50% de que hayas elegido inicialmente el botón correcto. ¡Pero si de los tres botones sólo uno es correcto! Por supuesto que llegas entonces a un 50% al final, pero es porque has supuesto que esos cuatro casos son igualmente probables.

Si quieres poner cuatro casos, puedes hacerlo, pero teniendo en cuenta que unos "cuelgan" de otros:


  1. Has elegido el botón correcto (33,3%), con subposibilidades:
    1a. El alienígena te enseña el primer botón incorrecto (16,6%).
    1b. El alienígena te enseña el segundo botón incorrecto (16,6%).


  2. Has elegido el primer botón equivocado y el alienígena te muestra el otro (33,3%).


  3. Has elegido el segundo botón equivocado y el alienígena te muestra el otro (33,3%).



De: Lluís
2008-01-19 13:07:28

Si, pero tal y como yo lo entiendo, el 33% de posibilidades de haber elegido el botón correcto lo calculamos cuando no tenemos información adicional. (Casos posibles = 3)

Si el alienígena nos da información extra (joer, que frase más rara fuera de contexto :) ) las probabilidades entiendo que aumentan (hasta el 50 %) ya que contamos con nueva información, y el alienígena nos está aumentando los casos posibles (4, en éste caso).

Vamos, si me hubiera mostrado el correcto, el alienígena me hubiera influído bajando el 33% inicial a un 0% final. Entiendo que en el otro caso lo hace aumentar...

Tal y como yo lo veo, hasta se podría considerar que los botones equivocados son equivalentes y tenemos dos casos posibles.


  1. Había (utilizo el pasado, porque ahora se cosas que antes no sabía) elegido el boton correcto y el alien me muestra uno equivocado (da igual cual)


  2. Había elegido uno de los dos equivocados y el alien me muestra el otro restante.


¿Tiene algun sentido lo que digo? Es que no acabo de ver dónde está el fallo de mi razonamiento. Aunque tambien me costó ver que la combinación 1-2-3-4-5-6 tenía la misma probabilidad de salir que la 10-21-32-45-47--49 en la primitiva, así que supongo que me falta por entender algo, digo yo.......:)


De: Pedro
2008-01-19 15:26:11

Lluís,

No sé si esto te va a convencer si no lo hizo la primera vez, pero bueno: supones que el hecho de tener dos casos posibles supone que cada uno tiene una probabilidad del 50%.

La fórmula de "casos favorables divididos por casos posibles" sólo funciona cuando todos los casos son equiprobables, y aquí no lo son.

Es decir: "había elegido un botón bueno o había elegido uno equivocado" son tus dos casos posibles, y por tanto supones un 50% para cada uno...¿por qué?

Dicho de otra manera: mañana pueden pasar dos cosas. Que te mate un meteorito o que no te mate. ¿Quiere eso decir que hay un 50% de posibilidades de que mañana mueras por un meteorito?

Se puede dividir un número posible de sucesos de manera arbitraria para obtener probabilidades de ese tipo con cualquier cosa, pero siempre involucra mezclar probabilidades no equivalentes.


De: Lluís
2008-01-21 08:10:08

mmmm, me lo pienso con calma, que lo necesito

Gracias por la respuesta y la paciencia

PD: y aprovecho para felicitarte por tu blog. Siempre he creído que hay gente con un don para enseñar. Para saber extraer lo importante en cada momento del aprendizaje, y saber esquematizar bien el contenido. Mis años de frustración en la universidad, las excusas tipo "en la universidad las cosas son diferentes y te tienes que buscar la vida" y encontrarme profesores que realmente rebatían estos argumentos me han convencido de éso. En fin, mejor cierro el grifo ya del peloteo, pero sinceramente, felicidades


De: Lluís
2008-01-21 14:47:09

Ahora lo he entendido perfectamente cuando me he releído tu explicación de los 1000 botones...

Si es que cuando uno es duro de mollera...


De: Pablo
2008-03-15 12:36:27

Curioso, yo lo veo muy claro en el caso de los 1000 botones.

Si solo hay uno bueno y elijo uno al hazar, es casi seguro que será el malo (99.9% de probalilidad). Si yo tengo uno de los malos casi seguro y el alienígena me desvela los otros 998 botones malos, me está indicando donde está el correcto con un 99.9% de probalilidad.

Y podemos imaginar que hoy 1.000.000 botones... o más y el razonamiento es el mismo.

Aprovecho para agradecer a Pedro sus respuestas a preguntas que le formulé en otros lugares de su portal. :)


De: Monica
2008-06-20 10:17:38

Jo... he jugado 12 veces cambiado de boton y solo he acertado 4!!!

Creo que soy la excepcion que confirma la regla, o simplemente gafe.

Por eso no juego a la lotería... :)


De: Gabriel
2008-07-13 08:14:19

En el juego de el coche y las cabras, efectivamente lo correcto es cambiar de puerta. Esto es así porque el presentador siempre abre una puerta que tiene una cabra. Notese que dice siempre abre una puera con cabra.
Sin embargo, cuando se hace la historia de los marcianos (alienigenas) para que sea correcto cambiar de botón debe suponerse que siempre el alienigena va a puchar un boton con descarga yq eu no este engañandonos. Si no es así, cambiar de botón no tiene sentido. Imaginemos que lo que realmente quiere el marciano es que puchemos un botón que nos aniquile y como sabe que conocemos la paradoja de Monty H. y además sabe que el botón que elegimos de inicio es el boton salvador, (es decir, el 33% resulto a nuestro favor en esta ocasión) nos engaña puchando un boton cn descarga con la única finalidad de que cambiemos de elección.
Así que mi estimado autor de este cuento, te invito a que corrigas tu historia de marcianos y hagas explicito el supuesto además de que también se suponga que el marciano no nos esta engañando.
Saludos


De: Samuel
2008-08-29 13:51:25

He llegado al blog buscando una aclaración sobre los coches/cabras que hablan en la película de 21 blackjack. Muchas felicidades por el blog, me parece muy bueno.

Por otro lado, y aunque igual ya nadie lee estos comentarios (el art. tiene un año), sigo sin converceme de la explicación de la paradoja: que pasaría si hay dos observadores/concursantes y eligen cajas diferentes, los dos tendrían que cambiar la elección para tener más posibilidades de acertar?!? buffff... que dolor de cabeza!


De: Pedro
2008-08-29 14:00:56

@ Samuel,

Gracias mil -- los comentarios nuevos aparecen en la "cola de comentarios", sean del artículo que sean, así que no hay problema. Gracias por las felicidades :)

Efectivamente, ambos concursantes deben cambiar la elección para tener más probabilidades de acertar. Esto puede significar, por supuesto, que uno de ellos tuviera la caja acertada al principio y luego fallase, pero si hacen mil pruebas y uno de los concursantes nunca cambia de caja y el otro lo hace siempre, ganaría el doble de veces el que sigue la estrategia de cambiar.

Ah, pero si la explicación no te convence lo tienes fácil (eso es lo bueno de esta paradoja en particular): se puede comprobar de forma muy sencilla con tres cartas y un amigo que te ayude. Prueba las dos estrategias y verás qué diferencia :)


De: Samuel
2008-08-29 14:20:42

Gracias por la respuesta, y perdón por la testarudez.
La verdad es que tengo la estad/prob bastante olvidada, así que quizás cambio hipótesis de inicio o al incluir dos observadores se aplica de manera diferente.. .

Lo que quiero decir es que si haces 1000 experimentos, en cada uno los dos observadores eligen cajas diferentes y además cambian de caja siempre , ganarían ambos el 667 de las veces, lo que no
puede ser , o no???
perdón por mi insistencia!
Por cierto buenisimas las paradojas de los alienigenas y el ADJF


De: Pedro
2008-08-29 15:48:12

@ Samuel,

El problema es que tu ejemplo ya no es una probabilidad independiente: si uno elige la caja "A" y eso significa que, automáticamente, el otro no puede elegirla, la cosa cambia muchísimo: quiere decir que si uno gana, el otro debe perder, con lo que la probabilidad no tiene nada que ver con el problema inicial.

Si ambos cambian siempre de caja pero lo que elige el uno no determina lo que elige el otro (de modo que pueden elegir la misma caja o no, como deseen), entonces sigue saliendo un 66,7% de ganar para los dos, como dice la paradoja original.

Ahora mismo estoy escribiendo un artículo de estos alienígenas, que será el próximo en ser publicado (sucederá la semana que viene), así que si te gustan este tipo de entradas, ya sabes. También puedes leer todos los artículos de los alienígenas (no son muchos por ahora) en la categoría: http://eltamiz.com/category/matematicas/alienigenas/


De: perroverde_uruguay
2008-10-05 02:08:43

yo pense en cambiar el boton... pero para el que había apretado el alienigena.. ya que ahora sabía donde caía ese rayo y podia pararme a un lado....

Aunque creo que se hubiera enojado... saludos


De: Jotaerre
2008-11-15 01:50:43

Buenas noches Pedro,
Enhorabuena lo primero, por la página y por las series en general.
Es evidente el caso y la necesidad de cambiar de botón, pero....
Estadisticamente cambiar de elección significa hacer los sucesos independientes, es decir
para que la probabilidad sea del 50% sobre las 2 opciones finales tiene que haber una nueva elección, o decisión, independiente de la anterior, que permita aplicar la formulación estadistica.
Esto no significa tanto cambiar de boton, como volver a elegir, volver a elegir es incrementar tus posibilidades de sobrevivir y quedarte con tu elección significa un 17% más de probabilidades de morir fulminado.
Si el ejemplo lo realizases con dinerito pal bolso, a lo mejor alguno se coscaba antes de que para juntar 100 euros (1 euro detras de 1 de las puertas y detras de las otras 2 un billete de burger king) en 200 decisiones, es imprescindible cambiar (volver a elegir) mientras que si no cambias la decisión, al final te quedaras con menos de 70 euros.
Un saludo.


De: juanjose75
2008-12-17 20:05:45

Me intriga todas las ramificaciones y como lleva a pensar tanto un problema tan "simple". Además origina muchas paradojas en cuanto al pensamiento, por ejemplo: Estoy con los ojos vendados, los oidos tapados y tengo mis dedos a punto de apretar el botón elegido por mí. El alienígena me transmite por el pensamiento que ha elegido un boton y ha resultado que es un botón que desintegra (debo confiar en él y se que es malvado pero nunca miente) entonces luego me pregunta por el pensamiento si quiero cambiar de elección ......
Un observador externo, otro alienígena, pero de otra raza (que si son buenos) observa y ve que en realidad el alienígena malvado no ha elegido nada, es mas ni siquiera hay tercer botón, solo son 2 botones. Entonces lo que es a mi parado a punto de presionar un botón.....

Paradoja: 1.- En mi mente si sigo la conclusión de la paradoja entonces tengo que cambiar de elección y un 66,7 & de las veces me salvaré.
2.- Pero lo que observa el alienígena externo bueno es que hay 2 botones y uno me salva y el otro no, o sea me salvaría un 50 % de las veces.

Me he mareado. No refuto la paradoja de Monty Hall, pero como hace pensar...... como sería la explicación? existe la relatividad entonces en la estadística? en las probabilidades? es increíble que la probabilidad pueda depender del observador, pero mirando este ejemplo ...... Bueno Gracias por leer mi comentario. Y si alguno propone alguna explicación. Gracias. Saludos a todos.


De: Javier
2009-07-03 22:13:05

No se si estoy en lo cierto y si no lo estoy pido mil disculpas, pero este "juego" (llamemoslo asó por no dar con una palabra mas adecuada) me suena a una escena de la película 21 blackjack, y en su momento me llevo bastante darme cuenta del fundamento de esto, pero gracias a este articulo se comprende mucho mejor... una gran página sin lugar a duda.... un gran descubrimiento, ninguno de los articulos tiene desperdicio


De: María
2009-09-19 15:09:43

Mencantó esta paradoja!

Salud!


De: Roberto
2009-11-06 21:08:36

Discrepo en la decisión:
Si en el enunciado inicial te dice que de inicio sabes que el alienigena sí o sí, con tu elección inicial va a pulsar un botón, entonces 100% de acuerdo, la probabilidad asciende al 66%.
Sin embargo, la decisión del alienigena de pulsar un botón parece venir marcada por tu decisión inicial, y, ¿qué le lleva a tener que pulsar un botón? querer darte la oportunidad de cambiar, pero ¿para que te va a dar la oportunidad de ganar si ya has perdido?.

Aquí entran aspectos intuitivos: quiere jugar conmigo o no. En este caso mi decisión sería INTUITIVA, a sabiendas de la lógica matemática, ya que nunca sabré si al pulsar el botón quiso jugar conmigo o darse una segunda oportunidad de ganar él


De: Diego
2010-01-05 06:32:03

Me encanto esta paradoja, se muestra claramente que aveces no hay que hacer caso a la intuicion, o a la primera idea que se le viene uno a la mente. Aveces es dificil ver la cosas que hay detras de un problema


De: Gonzalo
2010-01-19 12:21:49

Paradoja falsa. Supone probabilidad condicionada cuando no lo es.

Caso 1: Acierto en la elección. El marciano indica cualquiera de los otros dos botones.

Caso 2: Fallo en la elección. El marciano indica el otro botón de fallo.

Probabilidad de ambos casos = 1

Situación siguiente (probabilidad simple) tengo dos botones para elegir y solo uno acierta. Por tanto, probabilidad 0.5 (50%).

El error de esta paradoja es considerar sucesos condicionados cuando no lo son.


De: Pedro
2010-01-19 17:07:08

Gonzalo, creo que no has entendido el quid de la cuestión (la diferencia de información en uno u otro caso), pero no voy a repetirme aquí, pues es lo único que haría. Sin embargo, hay una manera muy fácil de ver que lo que dices es falso: que lo pruebes con un amigo y tres cartas ocultas (una de las cuales es "el premio") y sigas ambas estrategias, a ver si obtienes un 50% en las dos :)


De: Javier
2010-09-17 11:21:34

El razonamiento matemático es perfecto ye stoy deacuerdo contigo.

Ahora.... Si yo se que la raza alienigena es de una crueldad inigualable y se divierte viendo a humanos desintegrarse... no cambio de boton nid e coña :P, seguro que si mi boton fuera desintegrador me hubiera dejado pulsarlo :P.


De: Darknesshell
2010-10-26 21:28:49

Buenas.

El razonamiento matemático es correcto, pero como muchos ejercicios matemáticos caen en el error de no usar todos los factores o no usar aquellos que, existiendo, no pueden reducir a un número o lo dejan fuera simplemente por algún otro motivo.

Por ejemplo en este caso se obvia el factor del extraterrestre: ¿Quiere o no que el humano sea destruido? Un factor ausente en el planteamiento.


De: Pedro
2010-10-27 07:43:27

Por ejemplo en este caso se obvia el factor del extraterrestre: ¿Quiere o no que el humano sea destruido? Un factor ausente en el planteamiento.

Darknesshell, debes de ser nuevo en esta serie de artículos. Tienes suerte, al menos, de que yo sólo sea un cronista y no uno de los Alienígenas o estaría abriendo la botella de tabasco ante tu osadía. Respecto a la pregunta:

¿Quiere o no un científico humano que la rata en el laberinto pulse el botón que la electrocuta, en vez del que le proporciona comida? Y si dicho científico humano va a cenar rata esa noche si es que hay alguna rata muerta cerca, ¿afecta eso a la respuesta a la pregunta anterior?

Afortunadamente para nosotros, los Alienígenas matemáticos nunca mienten ni hacen trampas en sus experimentos probabilísticos y psicológicos: una cosa es que les guste el xuglurz, y otra muy distinta que no tengan sentido del honor. También ayuda, por supuesto, el hecho de que incluso siendo honestos suficientes experimentos les proporcionan, estadísticamente, jugosas cenas sin necesidad de trampear :)


De: Jose
2010-11-07 13:23:12

Leí por primera vez sobre esta paradoja en el conocido libro de Adrián Paenza, y siento decir que ya por entonces no me convenció, y ahora menos todavía.

Creo que todo el planteamiento flaquea en que incluye el resultado de la primera elección dentro del cálculo de probabilidades de la segunda, lo cual es falso al no haber causa-efecto entre ellas. En la expresión "cambia" o "no cambia" está implícita la primera elección, cuando lo que estamos calculando es la probabilidad sólo de la segunda (que al fin y al cabo es la única que vale).
La primera elección no es más que una maniobra de distracción. Lo mismo hubiera dado que el prisionero no hubiera elegido nada en primer lugar o hubiera olvidado lo que eligió, la solución REAL está en la segunda elección, de la que tiene un 50% de probabilidad.
Si tomamos los resultados de la página web en el momento que escribo esto:
* 219 no cambiaron y de ellos 76 ganaron.
* 206 cambiaron y de ellos 136 ganaron.
En un primer momento parece que es mejor cambiar, pero la falacia está en la forma en que están contabilizados los resultados, que está sesgada por la primera e irrelevante elección. La realidad es que:
* 425 jugaron y de ellos 212 ganaron.
Y esto significa que la probabilidad real del juego es del 50%.


De: Dosyogoro
2010-11-08 07:35:35

Yo pensé que era mejor cambiar pero por razones psicológicas. Pensé que era una prueba de confianza ente el alienigena y yo. Pensé que si quisiera verme muerto ya me habría matado. Y lo mejor estaba probando mi grado de "confiabilidad" en los demás. Aquí pensé que el alienigena,te invita a cambiar de opción, como diciendo ¿te fías de mí? ¿Porque he hecho que puedas cambiar mostrándote una mala opción? Pues para que cambies y elijas una buena, haciendo un juicio de si eres una persona confiada o no, en base a razonamientos psicológicos.

En base a la explicación, lleva razón Pedro.

Pero vamos, todavía hay gente que piensa que es igual de fácil fallar los 15 partidos en una quiniela que hacertarlos todos. Es muchísimo más fácil fallar los 15 resultados que acertar 6 en la quiniela.

Tus posibilidades de acierto son 1/3, con lo cual es más probable que falles. Con lo que es más probable que la respuesta correcta estuviera en los dos que has desechado 2/3. Si cambio ahora de decisión, sigue siendo más probable que la respuesta correcta este en los otros dos resultados. Si ahora descartan uno de ellos, sigue siendo más probable que en los otros dos, de los cuales uno ya no cuenta, sea más correcta que mi decisión.


De: Josué
2010-12-29 05:00:13

Jose,

No es incorrecto lo que se describe en el artículo. Creo que es muy abstracto de entender pero el autor lo clava con el ejemplo de los 1000 botones, de los cuales 999 contienen una muerte segura y grotesca. No tienes más que repasar ese ejemplo tantas veces como sea necesario para entender donde reside el "truco". Siguiendo con tu forma de razonar el problema, pero en este caso bajo la premisa de los 1000 botones, una vez que los alienígenas nos muestran los 998 botones "malos", seguirías afirmando entonces que la probabilidad de que INICIALMENTE hayas escogido el botón que te salva la vida es del 50%? por mucho que al final sólo haya dos posibilidades?

es evidente que no es así. El ejemplo, aunque es extremo, sirve precisamente para poner en evidencia que la probabilidad inicial que tenias ANTES que los marcianos mostrasen uno de los rayos desintegradores no cambia en absoluto después que estos te hayan dado información adicional. Porque en el fondo, te están dando "contra información" o información del botón restante. No de tu primera elección.

Saludos y ehorabuena por esta magnífica página


De: Incordio
2011-01-12 16:13:39

No estoy de acuerdo del todo con la resolución de la paradoja de Monty Hall o al problema del alieniga malvado salvo que en el planteamiento del problema se deje muy claro desde el inicio que va a haber una segunda oportunidad después de que se haya descartado una de las opciones.

Me explico. Un presentador de programas televisivos que no esté interesado en dar coches, o un alienigena malvado que tenga interés en matar humanos podría muy bien después de tu primera elección darla por definitiva sin darte opción al cambio, en caso de que tu elección haya sido la incorrecta. Puede ocurrir que solo en el caso de que haya sido la correcta (coche o salvación) descarte una de las otras y te dé la opción de cambiar de opinión. En ese caso, si tú cambias tu opción te quedas con cabra o desintegración.

Conclusión: si sabes con seguridad que se te va a ofrecer la posibilidad de cambio de opción, yo cambiaría (2/3 de coche o salvarme), pero si las reglas no están claras y no confío en las buenas intenciones del que me ofrece el cambio, ya que pienso que solo me lo ofrece si me voy a llevar el coche o me salvo, nunca lo cambiaría ya que mis posibilidades pasarían del 100% (ya que si no no me lo ofrecería) al 0%.


De: Hugo
2011-05-18 22:13:46

Me encantó la paradoja, al principio me resistí a creerla pero despuśe me di cuenta que era totalmente cierta. Voy a seguir leyendo esta serie que es muy interesante.

Saludos!


De: Alberto
2011-06-29 12:12:53

Pedro por favor repasa el artículo! Probablemente sea un comentario que llega muy tarde, pero espero que lo leas en la cola de comentarios:

La primera vez que leí el artículo estaba en contra de tu afirmación, pero ahora sólo a medias.

El motivo es que según lo cuentas, cuando vas a pulsar el botón el alienígena te demuestra que uno de los otros es botón malo. Pero no especificas que, independientemente de lo que hubieras elegido, el alienígena te habría mostrado otro malo.

Ahora entiendo que quieres decir que los alienígenas SIEMPRE te vn a enseñar uno malo depués de tu primera decisión. Si no especificas eso, no hay información para que se cumpla ese 66% de probabilidad ya que podrías pensar que existe la posibilidad de que el alienígena no diga nada. Volveríamos al 50% que tenemos todos en la cabeza. Si puedes especfificarlo te quedaría un artículo "chapeau", de lo contrario induces a error en el ingenio de los lectores.

No sé como agradecerte lo mucho que nos aportas con todos los artículos. Genial trabajo!


De: Pepe Lujambio
2011-08-03 02:32:33

Alberto, aunque Pedro no haya especificado explícitamente la condición que indicas, esta sí es premisa de la paradoja, es decir, el alienígena siempre va a mostrar un botón "malo". De hecho no tendría sentido que hiciera lo contrario (mostar el botón bueno), ya que el juego mortal terminaría ahí. Coincido con varios en que la mejor forma de entenderlo es imaginando 1000 botones en lugar de dos; el planteamiento entonces sería que el alienígena muestra (siempre) 998 botones malos y al final se tienen dos opciones. Si te quedas con la opción original querría decir que apuestas que inicialmente acertaste, lo cual tendría 0.1% de probabilidad. Si cambias de botón quiere decir que crees que en tu elección original erraste, lo cual tiene 99.9 % de probabilidad.

Por otro lado Pedro, quiero felicitarte de pie por este blog. Si bien no hago comentarios a menudo, sigo cada una de tus publicaciones desde hace un par de semanas que descubrí este sitio. De hecho leí este artículo porque estoy a punto de empezar con la serie de cuántica sin fórmulas, después de quedar maravillado con la relatividad sin fórmulas. Casualmente hace un par de día motivado por la película de 21 Black Jack estaba buscando por la red una explicación a esta paradoja (ya que la explicación de "cambio de variable" de la peli me parece realmente mala) y encontré esta completa explicación: http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html#0, donde se da desde la demostración intuitiva, que si bien tiene el mismo fundamento que la tuya me gusta más cómo lo explicas tú, hsta la demostración matemática por teoría de conjuntos.

Enhorabuena por esta magífica labor de divulgación que haces y saludos desde Querétaro, México.


De: Pepe Lujambio
2011-08-03 02:38:20

Jeje, debí haber escrito "desde la demostración anti-intuitiva".


De: Alberto
2011-08-09 14:14:06

Bueno Pepe, por una parte estoy completamente de acuerdo en la solución al problema, y el ejemplo que puso Pedro de elegir entre 1000 botones es completamente aclaratorio.

Por otro lado, y esta es la pega que pongo al texto, cuando en el texto se lee:

“¿Estás seguro de que quieres presionar ese botón, humano?”, te dice con su voz rasposa. A continuación, la criatura elige uno de los otros dos botones que no has elegido y lo presiona con un tentáculo. Inmediatamente, un rayo desintegrador golpea el suelo donde habrías estado tú si lo hubieras tocado. El alienígena lanza una estentórea y babeante carcajada, y te pregunta: “¿Estás seguro de que no quieres cambiar de botón?”

Todavía no nos ha informado de que, eligiera el botón que eligiera, nos iba a mostrar otro malo. Con lo que no estamos seguro de si nos lo muestra por gusto o morbo, o si sigue unas “reglas” aceptadas de antemano. Básicamente, puede ser que el monstruo sólo nos indique otro botón malo si hemos elegido el correcto. Para joder, básicamente. Y la intención del alienígena afecta a la probabilidad.
Por eso la importancia de plantear las reglas y condiciones antes de hacer pensar a la gente, para no “inducir” el error de la gente.

Pedro, con estos dos comentarios quiero aprovechar para decirte que desde que he descubierto El Tamiz (y he leído decenas de artículos aquí ya) ha cambiado mucho mi forma de mirar el mundo y estoy aprendiendo una barbaridad. Enhorabuena por ofrecernos un sitio como éste. De verdad.
No sé como agradecerte por casos concretos como “Relatividad sin Fórmulas” o la serie de “Electricidad I”
De todo corazón: Muchísimas gracias .


De: Andoni
2011-09-13 18:59:26

Pues yo desde que he descubierto este blog estoy súper enganchado. He leído la entrega de la relatividad especial y sólo puedo dar las gracias a Pedro por su claridad y humor a la hora de exponer las ideas (a pesar de todo voy a tener que releerla para asentar bien algunos conceptos); hace que aprender cosas de "frikis" resulte realmente ameno.
Bueno, al hilo, realmente he estado dándole vueltas a la cabeza con la dichosa paradoja y mi intuición (:P) me dice que la probabilidad que tengo de salvarme cambiando de botón es la misma que no cambiando si se cumple que el alienígena tampoco sabe qué es lo que esconde cada botón. Es decir, imaginemos que el alienígena pulsa cualquiera de los dos botones que nosotros no hemos elegido sin saber si el que pulsa abrirá la puerta o pegará el rayo. Si el botón que elige abre la puerta, ya sabemos que cambiemos o no de botón, nos convertiremos en churrasco asado, pero, ¿y si al apretar el botón lo que cae es un rayo y el alienígena viendo esto nos ofrece un cambio de botón? ¿Seguiríamos teniendo una probabilidad del 66% de salvarnos eligiendo el cambio o por el contrario la probabilidad sería del 50%? ¿Cómo sabemos si el alienígena sabe o no sabe qué oculta cada botón? ¿Deberíamos de conocer con claridad este dato en el enunciado de la paradoja? Nosotros sólo vemos que el alienígena pulsa un botón y se dispara un rayo.
Eso sí, en ningún momento estamos dudando de la honradez de los alienígenas y sabemos de sobra que no obran con mala fe.


De: Antonio E.
2011-09-14 11:00:28

@Andoni: Lo que no tienes que dudar ni por un momento es que los alienígenas estos ni son honrados ni tienen buena fe. XD

Si el alienígena no supiese cual boton es cual y aún así intentase hacer la jugada de presionar un botón podrían pasar dos cosas:
- que le de al botón que nos libera, con lo que estropea el experimento. (1/3 de las veces)
- que le de a uno de los botones mortales, con lo que estamos en la misma situación que si le hubiese dado a sabiendas, o sea, se ha echado un farol y le ha salido bien (2/3 de las veces).

En definitiva: Si no estropea el experimento la "paradoja" sigue intacta.


De: Antonio E.
2011-09-14 12:26:15

Bueno pues después de analizar la situación me desdigo:

1/3 de las veces habré elegido el botón bueno:

En ese caso el experimento no se estropea y el farol le sale bien al torturador elija el botón que elija.(pero si cambio de boton muero irremediablemente)

1/3 de las veces habré elegido el botón asesino A:

De estas un 50% de las ocasiones el torturador apretará uno de los dos botones que quedan al azar y será el bueno, estropeando el experimento. El otro 50 % de las ocasiones el farol o bluff tendrá éxito, apretando el botón B y continuando el experimento (aparentemente, pero si cambio de botón sobrevivo).

1/3 de las veces habré elegido el botón asesino B:

De estas un 50% de las ocasiones el torturador apretará uno de los dos botones que quedan al azar y será el bueno, estropeando el experimento. El otro 50 % de las ocasiones el farol o bluff tendrá éxito, apretando el botón A y continuando el experimento como si nada(aparentemente, porque si cambio de botón sobrevivo).

En resumen: 1/3 de las ocasiones se fastidiará el experimento. 1/3 de las ocasiones si cambio muero y 1/3 de las ocasiones si cambio sobrevivo. Por lo tanto en estas circunstancias cambiar de botón no es estadísticamente mejor que no hacerlo. ¡La releche!

PD: No conocemos las consecuencias de que se fastidie el experimento.

PPD Si no se fastidia tampoco podemos saber si ha sido por suerte o a sabiendas, lo que implica que cambiar es también lo mejor que podemos hacer, por si resulta que el torturador sí sabía lo que hacía.


De: Andoni
2011-09-14 18:34:20

@Antonio E.: XD, me quedo entonces con el PPD, niños, si alguna vez os abduce un alien, ¡cambiad de botón aunque sea por si las moscas! ;)


De: J
2011-09-14 19:04:56

Antonio E.: creo que tu razonamiento es erróneo, y por lo tanto la paradoja sigue a salvo. Lo que estás calculando es la probabilidad de que ocurran A y B. Pero lo que debes calcular es la probabilidad de A sabiendo que B ya ha ocurrido.

Es decir, no es que no sepamos si el alienígema va a pulsar el botón bueno o el malo, al 50%. Es que sabemos que ha pulsado el malo. Si eso ha sido al azar o ha sido por conocimiento o por maldad o por ciencia infusa o...por lo que sea: realmente no nos importa. Ya ha ocurrido. Uno de los malos ha sido pulsado.

O dicho de otra forma, el caso que tú dice "De estas un 50% de las ocasiones el torturador apretará uno de los dos botones que quedan al azar y será el bueno, estropeando el experimento" no puede ocurrir... porque ya ha apretado el botón y ya sabemos que es uno de los malos.


De: Andoni
2011-09-16 10:51:03

@J: Pues yo discrepo :). La única manera que hay para que el botón que pulse el alienígena nunca sea el que estropee el experimento es que el alienígena sepa cuál es cada botón, y en ese caso siempre tendremos el doble de probabilidades de salvarnos si escogemos el cambio porque partimos de una premisa distinta. En cambio si el alienígena no conoce esta información, como bien ha explicado Antonio, 1/3 de las veces se fastidiará el experimento y 2/3 de las veces no, siendo igual de probable en este caso salvarnos cambiando o no de botón puesto que tanto el alienígena como nosotros tendremos la misma probabilidad de elegir el botón que nos libre (33%) o el rayo (66%). El tema es que si el alienígena elige la puerta que nos libre, se fastidia el experimento, pero a pesar de todo sigue siendo una probabilidad REAL de que esto ocurra. No tiene sentido en mi opinión decir que el experimento nunca se fastidia (100% de probabilidades de que el alienígena nunca pulse el rayo) eligiendo el botón al azar, es decir, para que esto ocurra, entiendo que el alienígena tiene que tener la información. En este caso, el alienígena no estaría actuando al azar y cambiarían las normas del juego. La conclusión en mi opinión es que la probabilidad de salvarnos cambiando de botón no es la misma sabiendo que el alienígena ha pulsado el botón al azar o no. Es decir, si estamos en la situación en la que el alienígena pulsa el botón y cae el rayo y nos ofrece el cambio debería de darnos igual cambiar de botón sabiendo que el alienígena ha elegido el botón también al azar mientras que si sabemos que su elección no ha sido aleatoria, tendríamos el doble de probabilidad de salvarnos aceptando el cambio. De todas formas, como bien decía Antonio, mejor cambiar, porque tenemos más que ganar que perder. Un saludo y perdón si resulto demasiado repetitivo ;).


De: J
2011-09-16 11:49:59

Andoni: confieso que la probabilidad condicional es difícil y se me atraganta. Pero no me has convencido. Y la prueba te la das tú mismo... fíjate en que dices:

"...1/3 de las veces se fastidiará el experimento..."

¿Por qué utilizas el futuro? No "se fastidiará". No es una hipótesis. Es pasado. No existe posibilidad alguna de que se fastidie en el futuro, porque no es futuro. Ya ha ocurrido, es pasado. No se fastidió. No contemples la posibilidad de que se fastidie en el futuro, porque no es un posibilidad futura, es algo que ya ha ocurrido.

Otro ejemplo: "... si el alienígena elige la puerta que nos libre, se fastidia el experimento..."... ¿cómo que "si elige..."? ¡Si ya ha elegido! No contemples la posibilidad futura de que elija esa o elija otra, porque no es algo que quizá pueda ocurrir o quizá no: es algo que ya ha ocurrido. El porqué no nos importa.

Dicho de otro modo, la pregunta no es "va a abrir una puerta, y a lo mejor se fastidia el experimento. Decide", sino "ya ha abierto una puerta, y el experimento no se ha fastidiado. Decide".


De: Andoni
2011-09-16 17:21:30

@J: ¡Vaya manera de rebanarnos el cerebro! XD. A ver, voy a intentar contestarte ordenadamente a tus preguntas. Bien, a la primera de tus preguntas te contesto diciendo que yo pienso que hay dos maneras de llegar a la situación presente que tú comentas; en una de ellas el alienígena pulsa el botón del rayo a sabiendas que lo es y en la otra está eligiendo al azar como tú. Sólo digo que en este último caso, el alienígena tendría 1/3 de probabilidades de que se fastidiara el experimento y 2/3 de que no se fastidiara. El problema nos dice que el alienígena aprieta el botón y se dispara un rayo, pero no nos dice si ha sido de potra o no. Yo entiendo que si fue de potra y creo que la clave está aquí, “él tiene las mismas probabilidades de acertar cuál es el botón que te libra que tú”. El alienígena al final tiene que apostar por cuál es el botón que te libra para no pulsarlo, por lo tanto tiene que elegir uno, al igual que tú, la diferencia es que tú lo eliges para pulsarlo y él no. No sé, espero que así me haya explicado mejor. ¡Un saludo y buen fin de semana alienígena! :)


De: alberto
2011-09-19 12:35:43

J y Andoni, creo que con la explicación de J, de que es tiempo pasado, de que el alienígena ya ha decidido y ha mostrado un botón malo, me ha convencido del todo.

Independientemente (y al contrario de como yo decía) de si el alinígena quiere que te mueras o sabe los botones, los supuestos son inmutables. Ya han pasado y eso significa que:


  • Tú has elegido un botón entre 3 opciones.


  • El alinígena te ha mostrado uno malo.


Qué posibilidades hay de que el que hayas elegido entre 3 sea el bueno? Un 33%,así que... ¿Cambia de botón cojones!

Me acabo de convencer y retiro lo protestado ahacia Pedro ;). Por cierto J, la estoy terminando tu serie de "Teoría de Juegos " Y es MUY MUY buena! Enhorabuena!


De: Antonio E.
2011-09-21 10:07:09

Bueno. Estaba a punto de convencerme de que la paradoja sigue intacta cuando, al hace el examen mental de las posibilidades, no lo tengo tan claro. Partimos de que las posibilidades en la paradoja original son (transcribo del artículo):


  1. Habías elegido el botón correcto. Los otros dos botones son “desintegradores”.


  2. Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro.


  3. Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.


Y estas 3 posibilidades son EQUIPROBABLES porque solo dependen de mi elección inicial, esto es,cada una es consecuencia de una elección equiprobable.

Y en la paradoja versión Extraterrestre a ciegas cuyo farol le ha salido, tenemos las mismas posibilidades:

Habías elegido el botón correcto. Los otros dos botones son “desintegradores”.(el alienígena no puede fastidiar el experimento)

Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro (porque es un hecho que el alienígena no ha estropeado el experimento)

Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero (porque el alienígena no ha estropeado el experimento).

Pero me parece a mí que ahora las posibilidades NO SON EQUIPROBABLES: es mas probable estar en la 1ª opción que en la segunda o en la tercera, porque las dos últimas dependen no solo de mi elección inicial, si no también de la elección del extraterrestre.

Se me ocurre un ejemplo distinto:

Ana y Berto participan en una rifa donde se reparten 100 boletos y existe un primer premio de 50 yuanes y dos segundos premios de 25 yuanes por el método de extraer los numeros premiados de un bombo, además cuando se extrae una bola premiada, se introduce una bola en blanco para que se mantenga el número (100) de bolas del bombo (por lo que, al extraerse primero el primer premio , uno o los dos segundos pueden quedar desiertos ). Ana y Berto deciden poner sus boletos en común y acaban ganando 50 euros (lo que es un hecho). ¿Cómo es más posible que lo hayan logrado: ganando el primer premio con uno de los boletos o los dos segundos premios con cada uno? La respuesta es obvia pero si aún así analizamos las posibilidades vemos los parecidos con lo anterior:
1 Ana ganó el 1er premio y Berto no ganó ninguno
2 Berto ganó el primer premio y Ana no ganó nada
3.Ana ganó un segundo premio y Berto el otro segundo premio
4.Berto ganó un segundo premio y ANA el otro segundo.

Las posibilidades son aquí claramente no equiprobables. No creo que merezca la pena ahondar más.

En definitiva y volviendo al caso del extraterrestre ignorante que elige al azar de la paradoja, no es cierto que las posibilidades de haber elegido el botón bueno sean de un 33%, sino que serán más altas, porque el extraterrestre en este caso no puede fastidiar el experimento, como sabemos que no ha hecho, mientras que en las otras dos posibilidades se ha dado la coincidencia de haber elegido ese botón inicial A o B y que el extraterrestre, a su vez, no lo ha fastidiado apretando el botón bueno, como sabemos que no ha hecho. Mantengo mi conclusión el comentario 51.

PD: Por supuesto coincido con @alberto en la valoración de la serie de J.


De: Antonio E.
2011-09-21 14:33:44

Continúo intentando explicarlo. Otra forma de verlo es utilizar esta premisa de "extraterrestre eligiendo a ciegas" con el escenario de 1000 botones señalado en el artículo : si el extraterrestre va a ciegas y aún así llegamos a un escenario de 2 botones, que es más probable: que yo haya elegido el botón bueno a la primera (y que el extraterrestre llegue a esta última posibilidad elija lo que elija) o que el botón bueno esté por elegir y el bicho haya escogido uno malo en 998 elecciones, cada una con más posibilidades de pifiar el experimento que la anterior?:

analicemos la situación con 10 botones


  1. en caso de yo elegir inicialmente el botón bueno (lo que sucede con una probabilidad de 1/10) las posibilidades de llegar a la situación que nos plantea el problema son del 100%... y si cambio muero


  2. en caso de yo elegir uno malo(lo que sucede con una probabilidad de 9/10), las posibilidades de llegar a esa situación son (1 / 2) * (2 / 3) * (3 / 4) * (4 / 5) * (5 / 6) * (6 / 7) * (7 / 8) * (8 / 9) = 0.111111111= 1/9, y si cambio, vivo.
    La primera posibilidad sucede 1/101=1/10 (una de cada diez ocasiones)
    La segunda posibilidad sucede 9/10
    1/9= 1/10 (una de cada diez veces)
    La posibilidad de que el extraterrestre hubiese estropeado el experimento hubiera sido de 8/10, pero podemos descartar esta opción porque sabemos que no ha ocurrido, por lo que podrían haber ocurrido las posiblidades anteriores ¡con igual probabilidad!


PD: en el post anterior mezclé, sin querer, euros con yuanes.


De: JaviD
2011-09-21 17:45:51

Es muy interesante... cuantas más vueltas le doy, más alucino.

Pongamos que hago mi elección de botón pero todavía no se la he dicho al alienígena. Pongamos que tengo un amigo escondido detrás de un armario y que antes de que me de tiempo a abrir la boca salta y decide probar suerte jugándose el cuello por uno de los tres botones al azar. No tiene ni idea de que yo YA he hecho mi elección pero da la casualidad que escoge otro distinto y...

ZASCA!!!

Un rayo le fulmina a nivel molecular (lo del nivel molecular es fundamental): se convierte en un subproducto galáctico indetectable... El alienígena, sorprendido por la escalofriante escena, se ríe a tentáculo suelto y vuelve a ofrecernos la posibilidad de hacer una elección.

Han cambiado en algo las cosas? Mi amigo ha pulsado un botón al azar sin saber cuál era mi elección... Es esta situación distinta a la del relato inicial?

Inicialmente pensaba que sí, que ahora seguiría teniendo las mismas probabilidades de éxito en el botón que escogí por primera vez que en el que ha quedado... quizás 50% en ambos. Pero a la probabilidad le da igual si el que pulsó fue mi amigo, mi suegro, un extraterrestre o Bob Esponja y le da igual si sabía o no mi elección de antemano...

La probabilidad de acertar con mi primera elección (aunque fuera mental) era del 33%. Por tanto la probabilidad de acertar habiendo tenido la oportunidad de pulsar los otros dos botones era del 66%. Si mi amigo pulsó uno de esos dos botones que yo descarte... con el botón restante optaré a mi 66% de esperanza de victoria y con el inicial (dado que partí de 3 posibles elecciones, seguiré teniendo un 33%). Es pura probabilidad: efectivamente puede que finalmente no acierte con el botón correcto pero SOLO SI CAMBIO doblaré mis opciones. Es decir, si repito el experimento un número representativo de veces, acabaré victorioso si CAMBIO.

Dios! Suerte que a mi mujer no le hicieron escoger marido tras una invasión de apestados alienígenas matemáticos...


De: Sergio B
2011-09-22 09:36:31

@Antonio E. ¿Donde ves que el alienigena participe en la probabilidad? El alienigena elije siempre un botón desintegrador, sabe cuales son, y le es totalmente irrelevante uno que otro, puede liarte el hecho de que haya que hablar de dos botones desintegradores, pero hablamos de tus probabilidades, mas adecuadamente de tus probabilidades de sobrevivir, si pones que hay un rayo rojo y otro azul, obviamente son dos posibilidades, pero la posibilidad de ser desintegrado, se cumple con cualquiera de los dos, no hay que confundir que puedes haber elegido uno y otro, con el hecho de que te fulminen los dos. En tu ejemplo, si no hay dos segundos, hay un primer premio de 100 euros, un segundo de 50 y un perrito piloto y un tercero de 50 sin perrito, ¿cual es la probabilidad de que ganen 100 euros?, ¿notas que hay dos casos mas de los que considerabas antes, pero que te tiene que dar igual por que el perrito piloto te da bastante igual?


De: Antonio E.
2011-09-22 10:10:54

El problema paradójico/antiintuitivo parte de una serie de premisas: que el presentador-torturador conoce las puertas-botones y siempre y en todo caso abre-pulsa al azar una de las puertas-botones con una cabra-rayo de la muerte despues de la elección inicial del jugador, al que siempre se le permite a continuación cambiar o no hacerlo. Son unas condiciones muy particulares como para que el cambiar alguna de ellas no vaya a afectar el problema...

En efecto, si cambian las condiciones, cambia el problema.
En este artículo de la Wikipedia en inglés tenenos una tabla:

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#Other_host_behaviors

En el caso del extraterrestre ignorante, estamos en el tercer supuesto "Ignorant Monty o Monty Fall", descrito por Granberg and Brown y Rosenthal, que señalan, en esas condiciones, una probabilidad de 50% de acertar si se cambia.

El análisis del caso del amigo mártir expuesto por JaviD queda como ejercicio, pero, al faltar la premisa de conocimiento previo, creo que también resultará el 50 % de acierto.

PD: ¡Hacía tiempo que no enlazaba! XD


De: Antonio E.
2011-09-22 11:29:14

@Sergio B.
Ttú te estás refiriendo al problema original, en el que la posibilidades de ganar aumentan si cambiamos la elección. Pero ahora estábamos discutiendo sobre una variante: que el extraterrestre o presentador ("host" en inglés) se tropiece (Monty Fall) o no sepa cual botón hace qué (Ignorant Monty) y accione un botón completamente al azar de los que no hemos elegido, resultando que descarta una mala opción.

Respecto al ejemplo de la rifa, reconozco que me quedó algo confuso, pero la pregunta no es la posibilidad de que hayan ganado 50 , sino la posibilidad, dado que han ganado 50, de que hayan ganado un solo premio de 50 o los dos de 25.

Las fuentes de Wikipedia enlazan a un artículo del Dr Rosenthal con mejores analogías que la mía. En inglés, aunque bastante entendible, a mi parecer.

http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf,


De: Antonio E.
2011-09-22 11:31:49

Disculpad, el enlace anterior tiene una coma detrás que lo estropea

http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf


De: Andoni
2011-09-22 20:27:08

@Antonio E.: Creo que no se puede explicar más claro de lo que lo has hecho en el post 59. Por cierto, me apunto el enlace de la Wiki que has puesto, que tiene muy buena pinta! ;)


De: Adrian
2012-10-01 21:03:52

No se si se ha dicho o si es erroneo. Pero si se explicase de manera que fueran 3 colores diferentes y solo uno te salvase, todo el mundo lo entenderia facilmente.

saludos y me encanta la web!!


De: fernando
2012-10-10 21:59:54

Sigo sin creerlo . ¿Acaso no estan razonando como los que tienen métodos para ganarle a la ruleta?. Cuando se les discute a estos métodos se suele decir que "los dados no tienen memoria". O sea si salió rojo 3 veces, la mayoría de los jugadores cree que esta aumentando la probabilidad de salir negro, sin embargo la probabilidad sigue siendo de 50%. Una vez que el alienigena "despejó" una de las opciones, los otros dos tienen 50 y 50. El aunque el comentario de jnadie me hace dudar un poco pero sigo sin entenderlo.... ¿lo que esta diciendo jnadie no refiere a la jugada "anterior"?, ¿es válido? (o sea, la segunda elección ¿no sería una especie de segunda tirada?.
Como sea es interesante. Me gustaría simularlo con cartas pero tengo una duda:
Como reacciona el alienigena si el humano eligió de movida el boton bueno (!!claro ahí están las probabilidades que se ganan, no lo entiendo de todo pero algo de eso ay)


De: ferando
2012-10-10 22:13:13

Hice una pregunta tonta en el comentario anterior. Disculpen. Sigo sin entender. La segunda elección, ¿no es el equivalente a una segunda jugada en la ruleta?. En ese caso hay 50% por el tema de que las ruletas no tienen memoria.


De: ferando
2012-10-10 23:26:50

Ya entendí, carajo.
Si hay 3 botones AByC donde A es el bueno y B y C son los malos. Con el algoritmo de "cambiar de jugada" tengo que:

Si elegí A (el bueno) el alienigena me muestra B o C, yo al cambiar de jugada PIERDO (este es el único caso en que pierdo)
Si elegí B, el alienigena forzosamente me muestra C, de modo que yo cambio a A GANO
Si elegí C, el alienigena forzosamente me muestra B, de modo que yo cambio a A GANO.
Dos situaciones en las que gano y una en la que pierdo.
No es una nueva tirada porque las cartas no cambiaron. Es una especie de tirada en dos turnos. Muy loco.


De: Persi
2012-10-11 00:06:39

Fernando, creo que se ve bastante claro en el ejemplo en el que hay muchos botones desintegradores: hay que tener mucha suerte para elegir el botón correcto a la primera, sinembargo si se descartan casi todas las opciones incorrectas (en el ejemplo, al parecer el alienigena conoce los resultados, y descarta opciones perjudiciales) y te dan a elegir otra vez, sabiendo que tu primera elección era muy poco probable, lo más lógico sería cambiarla.


De: fernando
2012-10-11 05:55:29

si, si... ya lo entendí:
Si hay 3 botones A,B y C donde A es el unico bueno se da lo siguiente con el algoritmo de cambiar de boton:
Si elegí A , el alienigena me muestra B o C, es el unico caso en que PIERDO.
Pero si elegi B, el alienigena me muestra C, por lo tanto cambio a A, entonces GANO
y si elegí C, el alienigena me muestra B, de modo que paso a A y GANO.
En dos escenarios gano y en uno pierdo.
La clave es que, como se discute en comentarios de arriba, el alienigena nunca me muestra el "botón bueno" o el que yo ya elegi, con lo cual cambian las posibilidades. Si el alienigena eligiera al azar (y por lo tanto pudiera elegir el boton bueno, o el que yo ya elegi), la probabilidad volveria a ser 50 y 50


De: H25E
2015-10-15 16:45

Pedro,

Si nos dan un número de lotería a ti y a mi y a 99.998 personas más del "00.000" al "99.999" y en un momento dado me dicen que ninguno de "los otros" tiene el boleto premiado, según esta paradoja yo debería intercambiar el boleto contigo porque sería mucho, muchísimo, mas probable que fuese ganador que el que yo tengo inicialmente. Ya que tomando la premisa inicial de que mi boleto lo mas probable es que sea falso, el tuyo debería ser el premiado.

No obstante, paradójicamente, tu en esta situación también intentarais intercambiarlo conmigo... Yo intentaría engañarte para intercambiarnos el billete y así ganar la lotería y que sorpresa la mía cuando viese tu total predisposición... En esta situación hay algo que no encaja no? Como debo entender esto.

De: Sebastian
2016-03-02 05:08

Buenas, tengo una duda. Por qué al evaluar las opciones evaluas las siguientes: 1- Habías elegido el botón correcto. Los otros dos botones son “desintegradores”. 2 - Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro. 3 - Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.

cuando para mi en realidad hay 4 opciones, que son

1 - Habías elegido el botón correcto. El boton que el alienigena apreto fue el primer desintegrador. 2 - Habías elegido el botón correcto. El botón que el alienígena apretó fue el segundo desintegrador. 3 - Habías elegido uno de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el otro. 4 - Habías elegido el segundo de los botones “desintegradores”, y el alienígena te muestra el primero.

Si tenemos en cuenta estas opciones nos conviene cambiar en 2, y nos conviene quedarnos en 2. Osea que tendríamos que nos conviene cambiar o quedarnos en un 50% de las veces.

No logro entender esto, si puedes ayudarme te lo agradecería.

Saludos,

De: Eduardo Castillo
2016-04-06 21:36

Sebastian, según tú análisis desde un principio tienes 50% de probabilidades de escoger el correcto, lo cual obviamente no es cierto.

No hace falta pensar mucho, independiente de lo que haga el alienígena tú solo tienes 3 opciones.

De: Rolando
2016-04-18 08:11

Muy interesante, que bien que lo entendí antes de terminar de leer el articulo, mi mente siempre ha sido muy matemática, pero la verdad no le doy el ejercicio que debería. Lo que ahora comprendo mejor es que las personas instintivamente apostamos a ganador, osea nos fijamos mas en las probabilidades de éxito, pero a veces para ganar y tomar mejores decisiones mas bien tenemos que ver las probabilidades de fracaso, creo que es la esencia de esta paradoja.

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