Iniciamos la serie de Relatividad sin fórmulas en esta entrada. No voy a recordar todas las demás porque, francamente, si llegado a este punto no las has leído, deberías hacer click en el enlace y empezar desde el principio. No tiene sentido que empecemos a discutir aparentes paradojas que se deducen de la Teoría de la Relatividad Especial si no estamos en la misma onda respecto a la teoría.
Vamos a dedicar un par de entradas a dos paradojas muy conocidas, una relativamente sencilla y otra más compleja. Espero que veas que las “paradojas relativistas” lo son por parecer absurdas, pero no son realmente absurdas: parece que hay algo que no encaja, pero todo tiene perfecto sentido si se mira con cuidado. El problema es, como siempre, que nuestra intuición se ha desarrollado en un mundo de cosas que se mueven despacio, de modo que lo que nos parece “evidente” es evidente si las cosas no van muy rápido.
La primera paradoja que discutiremos es la llamada del palo y el granero, de la escalera y el granero, del corredor y con otros nombres, todas ellas básicamente la misma “paradoja”. Por supuesto, nosotros utilizaremos a Alberto y Ana para describir la situación. Veremos si, en primer lugar, ves la paradoja, y si en segundo lugar puedo convencerte de que, realmente, todo encaja.
1. La paradoja del palo y el granero
Supongamos que Alberto y Ana, nuestros observadores relativistas, están en una granja en la que hay un granero de base cuadrada de diez metros de lado. El granero tiene dos puertas, una en una pared y otra en la pared opuesta. Ana se encuentra en reposo junto al granero, que tiene una puerta abierta y la otra cerrada.
Aparece Alberto, que lleva en las manos un palo de diez metros de longitud y corre hacia la puerta abierta del granero a una velocidad de, por ejemplo, 240.000 km/s. ¡Alberto es un pedazo de atleta! Veamos que es lo que observa cada uno de ellos con dibujos. Lo que ve Ana, que está en reposo respecto al granero y ve a Alberto moverse, es que el granero tiene diez metros de largo (normal), y que Alberto lleva en las manos un palo más corto de diez metros, debido a la contracción de la longitud. Pongamos que, en el sistema de referencia de Ana, el palo mide seis metros. Ella vería esto:
Pero Alberto, por supuesto, no ve lo mismo. Su palo, cuando lo mira, mide diez metros, pues está en reposo respecto a él. Es el granero el que es más corto…al estar moviéndose hacia Alberto a 240.000 km/s, de puerta a puerta Alberto no ve 10 metros, sino que ve 6 metros (la misma contracción de longitud que Ana ve en el palo). Esto es lo que ve él:
Pero Ana, que no se cree la Teoría de la Relatividad Especial, opina que la contracción de la longitud es una ilusión óptica. De modo que decide comprobarla: va a encerrar a Alberto en el granero, para ver si realmente cabe dentro. Puesto que lo que ella ve es que el palo mide seis metros y el granero diez, no debería haber ningún problema.
Ana instala un automatismo en las puertas que hace lo siguiente: en cuanto el extremo de atrás del palo de Alberto entre en el granero, la puerta trasera se cerrará (de modo que, en ese instante, ambas puertas están cerradas con Alberto dentro), e inmediatamente la puerta de salida se abrirá, dando tiempo de que el extremo anterior del palo salga del granero sin problemas (el texto es un poco difícil de leer pero sólo repite lo que estamos diciendo fuera de la imagen):
De esta manera, Ana comprobará que, efectivamente, el palo es más pequeño que el granero y cabe dentro, sin que el experimento altere la velocidad de Alberto: el palo pasa por ambas puertas sin encontrar obstáculos.
Pero, ¿qué vería Alberto? La paradoja consiste en lo siguiente: si en el sistema de referencia de Alberto el palo mide 10 metros y el granero 6, cuando las puertas estén cerradas, es imposible que el palo quepa en el granero. En el sistema de referencia de Alberto, debería pegarse un morrazo con la puerta de salida, porque como la parte de atrás del palo no habrá superado la puerta de entrada cuando la parte de delante llegue a la puerta de salida, esta segunda puerta estará cerrada. ¿Cómo es esto posible?
Antes de leer la explicación, piensa un par de minutos. Si has entendido esta serie hasta ahora, no espero que tengas la solución exacta, pero ya deberías oler más o menos por dónde van los tiros. Una vez lo hayas pensado un rato, sigue leyendo.
2. La explicación relativista
Si has entendido los anteriores artículos de la serie, aunque no sepas exactamente qué está pasando, probablemente te hueles que tiene que ver con el tiempo: para empezar, lo que Ana ve simultáneo Alberto puede no verlo a la vez. Si has pensado algo así, enhorabuena, porque entiendes el fundamento de la solución.
En efecto, Ana ve las dos puertas cerradas en un instante de tiempo, porque el granero está en reposo respecto a ella. Pero puesto que Alberto se mueve respecto al granero, el tiempo no pasa igual para él. Si recuerdas la entrada de relatividad de la simultaneidad, entiendes de qué manera.
En el sistema de referencia de Alberto, los sucesos de la pared de delante del granero se producen antes que en el de Ana, porque un rayo de luz que sale de ese lugar va hacia Alberto y Alberto hacia él. Pero, por el contrario, un suceso en la pared por la que Alberto entra en el granero está “retrasado”, porque un rayo de luz que salga de esa pared del granero tiene que perseguir a Alberto, que se aleja de la pared.
De modo que Alberto ve las cosas pasar antes de tiempo en la puerta de salida, y después de tiempo en la puerta de entrada. No vamos a entrar en exactamente cuánto tiempo hay de diferencia, pero fíjate en lo rara que es la conclusión: si Ana ve las dos puertas cerradas al mismo tiempo, y la segunda puerta abrirse inmediatamente después de que se cierre la primera, Alberto verá la puerta de salida abrirse antes de que se cierre la primera. Es decir: Alberto nunca ve las dos puertas cerradas.
Esto es lo que ve Alberto, teniendo en cuenta la relatividad:
De manera que, en su sistema de referencia, todo tiene sentido. Sí, su palo es más largo que el granero, pero no hay problema, porque antes de que el extremo anterior del palo alcance la puerta de salida, ésta se ha abierto. Y cuando la puerta de entrada se cierra, el extremo posterior del palo ya ha superado la puerta hace un tiempo.
Es extraño, pero si recuerdas la entrada sobre la relatividad de la simultaneidad verás que es exactamente lo mismo. ¿Quién tiene razón? Los dos. Desde luego, Ana ha comprobado que la contracción de la longitud no es una ilusión óptica: en un momento determinado, Alberto está completamente dentro del granero y corriendo a casi la velocidad de la luz, sin tocar ninguna pared.
En la próxima entrada, una paradoja aún más rara: la de los gemelos.
El texto de Relatividad sin fórmulas – Paradoja del corredor , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
Puedes suscribirte a El Tamiz a través del correo electrónico o añadiendo nuestra RSS a tu agregador de noticias. ¡Bienvenido!
{ 25 } Comentarios
EXCELENTE!
JEJEJE, mas claro que el agua
Pues yo tengo una duda ¿que pasa con la causalidad?
Si la puerta de salida se abre porque se cierra la de entrada (supongo que la de salida solo se abre cuando se cierra la de entrada). ¿En el sistema de Alberto desaparace la relación causa-efecto?
Muy buena y clara la explicación. Gracias
Acabo de corregir un error, avisado por Germán – yo decía que las paradojas relativistas realmente no son paradojas, porque tienen sentido, pero resulta que una paradoja puede tener sentido – simplemente tiene que parecer no tenerlo. He corregido ese par de frases.
¡Gracias, Germán!
Para Fran: yo creo que no, simplemente el tiempo de reacción desde que se cierra la entrada hasta que se cierra la salida es distinto para Ana y Alberto. Puede que me esté equivocando pero es lo que a mí me parece. Saludos y muchas gracias Pedro por un blog tan bueno
Oops…gracias a Emilio he visto el comentario de Fran, que se me había escapado.
Fran,
No, el artículo supone que Ana cierra la puerta y abre la otra en un tiempo fijo, no abre la segunda como consecuencia de cerrar la primera. Si así fuera, en primer lugar no podría hacerlo “inmediatamente después”, porque la información de que la primera puerta se ha cerrado debería viajar hasta la segunda puerta. La paradoja del corredor es más simple que eso, pero podemos tenerlo en cuenta:
Si fuera así (es decir, se cierra la primera puerta y como consecuencia se manda una señal para abrir la segunda), la segunda puerta tardaría (en el sistema de referencia de Ana) 0.0000333 segundos en abrirse (10 metros / c), mientras que el extremo delantero del palo de Alberto llegaría a la segunda puerta en 0.000017 segundos (4 metros / 0.8 c).
Es decir, Alberto se pegaría un trompazo con la puerta de salida, porque no da tiempo a que la causa se propague hasta esa puerta, en ninguno de los dos sistemas de referencia. La causalidad se mantiene.
¡Espero que esto te haya resuelto la duda! Si no es así, la atacaremos de nuevo en las entradas al final de la serie de “resolución de dudas”.
Sí, me ha resuelto la duda.
En términos de causa-efecto hay que considerar que la información de la causa llega al lugar donde se produce efecto como máximo a la velocidad de la luz y por tanto no existe simultaneidad y el tiempo diferido es distinto en cada sistema.
Increible, lejos lo mas interesante, desde mi punto de vista, claro esta. Muy buenas las explicaciones, los monos y la pagina…….excelente………
Hola Pedro, habia leido sobre esta paradoja en otro blog, amentablemente no recuerdo en cual XD. El asunto es que ocupaban la causa efecto como señalas en los comentarios y la solucion era que en los dos sistemas de referencia Alberto choca contra la puerta. ¿ Se podria decir que hay dos paradojas similares pero con una leve diferencia? o ¿Alguien interpreto diferente logrando otra solucion?
Jaime,
Ambas paradojas son equivalentes, la diferencia es muy pequeña. La forma más usual (al menos, en mi experiencia) es la versión en la que el palo (o la escalera) atraviesa el granero sin problemas, pero la otra es igual de paradójica y se explica igual.
Hasta aquí e entendido que el universo se comporta como un abogado……..(de los que aparecen en las cortes)…………,porque, por mas casos que hagas, siempre encuentra un pretexto que los resuelve, y cuando lo revisas (al pretexto), te das cuenta de que no hay forma de contradecirlo
Hola, no creo que nadie se moleste en entrar aquí de nuevo a esas alturas, pero estoy entendiendo por lo que leo que si el mecanismo que abre la puerta trasera se activa al cabo de un segundo de que entre todo el palo (para Ana) entonces para Alberto será de medio por ejemplo. Por tanto si este tiempo para Ana es 0 entonces para Alberto se podría considerar -0,5 por ejemplo, y que por eso el palo podrá pasar también para Alberto. Es correcto esto?
@ boni,
No te creas, estos artículos tienen un tráfico considerable aunque sean antiguos…
En el artículo, la puerta trasera se abre (en el sistema de referencia de Ana) en el instante en el que el extremo del palo entra en el granero, no un segundo después, pero por lo demás lo que dices (inventando los números, claro) es correcto. Si yo te entiendo a ti, entonces creo que lo has entendido
Hola,
Excelente que expliques de forma tan simple algo tan complejo. Es igual como Dr. Paul Dobranski explica la psicología: elegante.
Mi pregunta es precisamente sobre cuán complejo es realmente el tema.
Leía una biografía de Stephen Hawking, quien se puso a estudiar de muy joven la relatividad, “un área difícil para alguien con poca base matmática” decía la bio, y eso que Hawking había estudiado física.
Pregunta: qué elementos, areas, etc. de la matemática hay que saber para entender la relatividad “con fórmulas”.
Me gustaría entender este tema así algún día, porque pienso que cambiaría mi forma de ver las cosas, pese a que mis conocimientos y destrezas de matemática son escasos.
debes saber: trigonometria, arigmetica, algebra, calculo diferencial e integral. Derivadas parciales.
“…Si fuera así (es decir, se cierra la primera puerta y como consecuencia se manda una señal para abrir la segunda), la segunda puerta tardaría (en el sistema de referencia de Ana) 0.0000333 segundos en abrirse (10 metros / c), mientras que el extremo delantero del palo de Alberto llegaría a la segunda puerta en 0.000017 segundos (4 metros / 0.8 c). Es decir, Alberto se pegaría un trompazo con la puerta de salida, porque no da tiempo a que la causa se propague hasta esa puerta, en ninguno de los dos sistemas de referencia. La causalidad se mantiene.”
¿Se podría mantener la longitud del palo y aumentar la del granero hasta que la puerta de salida si se abra como causa de que la puerta trasera se ha cerrado?, es decir, como la luz viaja mas rápido que el corredor, si aumentamos la distancia del granero la luz terminará por adelantar a este, y por tanto puede ser la causa de que la puerta de delante se abra. ¿Si esto es posible se mantendría la casualidad para Alberto? Como el palo para Alberto es mas largo que para Ana y el granero mas pequeño que para Ana, ¿seguiría siendo el granero lo suficientemente mas largo que el palo para Alberto para que se cumpla también la casualidad? ¿por mucho que se ajuste para Ana? (casi en el mismo instante en el que la luz llegue a la puerta de salida, la puerta se abre casi instantáneamente y el palo empieza a salir casi en ese mismo momento).
…
es que cuesta creerlo 
Imponente, recién estoy aprendiendo sobre relatividad y me parece re loco todo esto!
Creo que entiendo la relatividad de la simultaneidad (RS), y por tanto, que es la madre del cordero en esta paradoja. Lo que pasa es que no me termina de convencer, la veo como un comodín que parece no tener límite para explicar todas estas cosas. Es por eso que me interesa la causalidad en esta paradoja. Parece que puede poner límites a la RS. Igual lo que planteo no aporta nada nuevo, pero a mi me parece que la explicación que se da en estos comentarios incorporando la causalidad (con las proporciones de medidas de palo y granero) no aportan nada, y es por eso que planteaba esta versión del experimento. Es decir, ¿es posible plantear el experimento de manera que para Ana Alberto no se la pegue contra la puerta si esta se abre como causa de que se cierre la primera? Y si es posible, ¿realmente resulta trivial que Alberto no se la pegara?
No se, igual no aporto nada nuevo, pero si me explicais porque os estaría muy agradecido.
Un saludo
Vale ya lo veo.
En el SR de Ana la señal que abre la puerte tiene que recorrer una distancia mayor que la longitud del palo, ya que el palo se mueve, y como lo hace tan rápido esta distancia es bastante grande (el granero debería ser del triple aprox.). Si embargo en el SR de Alberto el palo no se mueve, por lo que la señal solo necesita recorrer la distancia del palo. Aqui es el granero el que se mueve, y la puerta a abrir se acerca a la señal, con lo que la distancia del extremo del palo a la puerta puede ser menor que la longitud del palo.
Si la luz tarda un tiempo t en recorrer la distancia del palo, y llamamos x a la distancia que recorre el granero a 240.000 Km/s en ese mismo tiempo t, entonces bastaría que el granero midiera x+10 (es evidente que x<10) en SR de Alberto para que las cosas cuadraran. Que supongo que es lo que sucede.
Un saludo
En primer lugar: SI, és possible que la puerta trasera se abra COMO EFECTO DE LA SEÑAL enviada por la delantera y Alberto no choque (visto por Anna). Solo necesitamos que el granero sea suficientmente largo como para que la luz que viene de la puerta delantera avance el palo de Alberto antes de que este llegue a la puerta trasera.
Pero eso NO DESTRUYE la causalidad. Por qué? Qué es lo que ve Alberto? Alberto entra con el palo en el granero, pero ANTES DE QUE HAYA ENTRADO POR COMPLETO, él ve que una SEÑAL DE LA PUERTA DELANTERA se transmite hasta la trasera. La señal viaja muy ràpido y llega a la puerta trasera incluso ANTES de que él haya entrado por completo!!!
En otras palabras, para Anna, la señal de la puerta delantera se emite en el instante en que el palo de Alberto está COMPLETAMENTE dentro del granero. Pero para Alberto esta señal se emite ANTES de que su palo hya entrado del todo.
Más resumido: las SEÑALES DE LA CAUSA se emiten en tiempos diferentes para Anna y ALberto EXACTAMENTE para respetar el EFECTO!!!
Si no lo véis claro decídmelo!
Hay otra visión todavía más interesante sobre la paradoja, chicos, que os hará flipar en colores al pensarlo.
Imaginad que NO HAY PUERTA DE SALIDA. En vez de ello hay LA CABEZA DE PAQUIRRÍN, esperando ser EMPALADA por el palo de Alberto.
¿Qué ve Anna?
Anna ve que Alberto ENTRA en el granero. La punta del palo, al cabo de poco, rebienta la cabeza de PAQUIRRÍN. Pero como no se abre ninguna puerta, Alberto y su palo frenan en seco. Al frenar en seco, su velocidad es cero (segun Anna). Por lo tanto YA NO HAY CONTRACCIÓN DE LONGITUD y… EL PALO SE HA AGRANDADO HASTA SUS 10 METROS!!!
ANNA VE AGRANDARSE EL PALO DE GOLPE !!! INCREIBLE NO ?!!!
Qué ve Alberto?
Alberto ve el granero más corto, como se cuenta en el texto. Pero cuando su palo rebienta la cabeza de Paquirrín… DE REPENTE EL GRANERO SE ALARGA HASTA SUS 10m !!!
ALBERTO VE AGRANDARSE EL GRANERO DE GOLPE !!!
Imaginaroslo: Alberto, justo antes de rebentar a Paquirrín con la punta del palo en el fondo del granero, ni siquiera se encuentra DENTRO del granero, porque el granero lo ve mas corto que el palo. Alberto ve la entrada del granero DELANTE suyo. Cuando rebienta a Paquirrín i frena, la entrada del granero se acerca a toda hostia hacia él!!!
ES COMO CIENCIA FICCIÓN!!!
Si estás analizando el ejemplo que planteé, creo que no lo has leido bien, sino perdona.
La señal de la puerta delantera se envia cuando esta se cierra, sino se cierra no hay señal. Tal como lo planteas es igual que sin tener en cuenta la causalidad, o al menos yo lo entiendo asi.
En cualquier caso mi interés por plantear el ejemplo teniendo en cuenta la causalidad, era mas bien por imaginar la situación sin usar números. Cuando me puse a calcular cuanto debía medir el granero (por la cuenta la vieja, igual ni está bien sacado) me di cuenta que era un pedazo granero comparado con el palo, y claro pensé bueno con lo grande que es, aunque Alberto lo vea mas pequeño y su palo mas largo supongo que seguirá siendo lo sufientemente grande para que las cosas cuadren. Y como no me manejo con las transformaciones de la RE, pues hice una estimación (también por la cuenta de la vieja). Para mí lo interesante, amen de cualquier aclaración que se considere conveniente, es conocer, las medidas de lo que ve uno y otro. O simplemente que alguien confirme que en este caso, el tema no es tanto de la relatividad de simultaneidad, sino de distancias. Pues si no es así si sería interesante que alguien cuente como es.
Si es justamente lo que has hecho tu, y las cosas son como dices. Pues la verdad es que no lo entiendo.
Respecto al siguiente comentario, la verdad es que lo que planteas es bastante flipante como dices, pero supongo que si se tienen en cuenta aceleraciones, eso ya son temas de RG.
¿aqui esta el efecto dopler?
Hawkman, es como tú lo ves. De hecho es muy interesante lo que planteas, y sí, basta hacer unos números para ver que el granero sale unas 3 veces mayor. Como lo ve Ana la luz avanza a 60.000 km/s por el palo de Alberto, a c/5 y tiene que recorrer 6 m de palo, es decir lo hace en 30/c segundos, que son 30 metros. Muy interesante sísí, nada intuitivo. MUY bueno el artículo, gracias de nuevo
Escribe un comentario