La que me sacó canas fue la tercera, pues no me pareció tan simple de determinar, porque habría que imaginarse a todos los corredores respondiendo primero con una opción y luego con la otra para saber cuantos fallarían y cuantos acertarían. Se demora uno más para sacar esa conclusión pues a la final uno siempre va a estar dentro del grupo de corredores, pero saber a “simple vista” cuál es más acertada, sería un genio que asimile todos los datos muy rapido. Pero al menos al final la entendí y con justa razón.

La cuestión está, pues, no en las posibilidades que hay de que me encierren (es un hecho), si no de que mi número sea el 7.

No todo el mundo es capaz de ver eso, enhorabuena

Es decir, yo empleé el método “de la cola del supermercado” (si me permite bautizarla así): “si yo estoy en una cola, hay más posibilidades de que ésta sea la más numerosa”, o a la inversa: “tengo más posibilidades de estar en la cola más numerosa (tanto más cuánto más numerosa sea)”. En este caso concreto, pues: “si estoy encerrado en una celda, hay más posibilidades de que haya salido cara (y hayan encerrado a 1000 personas y no a 10) - es decir, entre todas las personas, tengo más posibilidades de que me encierren si encierran a 1000 personas que a 10. Hasta aquí parece lógico.

Sin embargo, el número de celda hace decantar el argumento hasta su opuesto, como bien explica.

La cuestión está, pues, no en las posibilidades que hay de que me encierren (es un hecho), si no de que mi número sea el 7.

Espero poder responder a tu argumento sin utilizar el lenguaje matemático, pues no lo uso en el artículo y así es más comprensible para la mayor parte de los lectores — no hay problema en que tú lo uses, simplemente es para que sepas por qué no lo hago.

Si entiendo tu argumentación, en lenguaje llano lo que dices es más o menos esto: Si sabes que has sido elegido con el número 7, parece al principio que es más probable que haya salido cara (pues tienes un número pequeño), pero no estás teniendo en cuenta que es más probable que hayas sido elegido si han sido elegidas 1000 personas que si han sido abducidas sólo 10. Al final, se compensa una cosa (tu número pequeño) con la otra (la mayor probabilidad de ser elegido si han elegido a muchos) y las probabilidades de cara y cruz con esa información siguen siendo 1/2 cada una.

Salvo que mi soñolienta mente se confunda, tu argumento no tiene ningún fallo, luego debo cambiar mi ejemplo. El problema está en que, aunque no se dice explícitamente, se sobreentiende que los humanos abducidos han sido elegidos al azar de entre toda la especie humana, yo incluido, con lo que debo usar esa información (que soy un observador abducido, independientemente de mi número de celda), y con esa información adicional las probabilidades son, en efecto, 1/2 cada una. Desgraciadamente, creo recordar que yo no pretendía dar esa impresión, sino que yo había sido elegido antes que nadie de forma individual, pero no lo digo en ningún sitio e incluso yo mismo, al leer el artículo unos meses después de escribirlo, llego a la misma conclusión que Juan Carlos — que soy un abducido aleatorio de entre 10 o 1000 abducidos.

Lo cual es interesante, pero no sirve para nada a lo que pretendo con los ejemplos de este artículo, y eso me da mucha rabia. Veamos qué os parece esta versión mejorada del ejemplo, para que mi número de celda sí cuente. Es sólo un cambio al principio, pero debería hacerlo muy diferente:

Los alienígenas me han abducido, al azar, de entre toda la especie humana, a mí individualmente, para realizar un experimento probabilístico. Yo soy informado de este hecho para empezar.

A continuación los alienígenas, sin enseñármela, tiran una moneda. Si sale cara abducirán a 9 otros humanos. Si sale cruz, abducirán a 999 humanos. A continuación nos “barajan”, y nos ponen en celdas aleatorias. Cuando despierto, mi celda es la número 7. ¿Ha salido cara, o ha salido cruz?

En este caso, el hecho de ser un observador no cuenta, pues desde antes de empezar el experimento sé que soy el observador; lo único por determinar es cuántos otros hay. ¿Problemas, inconsistencias? Si os parece bien –espero que si otros además de Juan Carlos estáis siguiendo esto, opinéis si veis algún fallo– modifico la descripción del experimento en el artículo para añadir ese detalle importante.

Voy a exponer un primer punto en mi argumentación: bajo la hipótesis de haber sido elegido, no son equiprobables los sucesos “ha salido cara” y “ha salido cruz”, precisamente por efecto de ser un observador.

Usando una interpretación frecuentista de la probabilidad, supongamos que los alienígenas repiten este experimento varias veces, y preguntan a todos los cautivos sin enseñarles su número de celda si creen que ha salido cara o cruz. Si me lo preguntaran a mí y ser devorado o no por esos alienígenas dependiera de que acertara la respuesta, mi apuesta sería que “ha salido cruz”. Si todos siguieran mi estrategia, cuando saliera cara morirían 10 de los 10 abducidos, pero cuando saliera cruz sobrevivirían 1000 de los 1000. Como en promedio sale cara la mitad de las veces que uno no es observador y sale cruz la otra mitad, el resultado es que sobrevivirían (acertarían) 1000 de cada 1010, o sea, P(cruz|elegido) = 100/101.. Naturalmente, P(cara|elegido) = 1/101, porque son sucesos complementarios excluida la eventualidad de que la moneda caiga de canto

¿Y toda esta parrafada para qué? Supongamos ahora que se da el experimento original: nos muestran nuestro número de celda (el 7) y nos interrogan sobre nuestra creencia en si ha salido cara o cruz. Tu razonamiento creo que usa las siguientes premisas: (1) Soy un elegido. (2) La probabilidad de cara es 1/2. (3) P(7|cara) = 1/10 [sabiendo que he sido elegido] (4) P(7|cruz y soy elegido) = 1/1000 [sabiendo que he sido elegido]

P(cara|7) = P(cara)P(7|cara) / [P(cara)P(7|cara) + P(cruz)P(7|cruz)] = 1/10 / [1/10 + 1/1000] = 100/101.

Sin embargo, ahí veo un fallo: si usas probabilidades condicionadas a saber que has sido elegido para calcular P(7|cara) y P(7|cruz) en lugar de estimarlas como 1/N, con N = población de la Tierra, también deberías usar P(cara) = 1/101 para la probabilidad de cara, usando igualmente la información de que has sido elegido. Lo correcto sería, si llamamos P1(A) = P(A|elegido) [es decir, P1 es la probabilidad condicionada a ser elegido]: P1(cara|7) = P1(cara)P1(7|cara) / [P1(cara)P1(7|cara) + P1(cruz)P1(7|cruz)] = 1/101 x 1/10 / [1/101 x 1/10 + 100/101 x 1/1000] = 1/2.

Es decir, tanto si usamos probabilidades condicionadas al conocimiento de que hemos sido elegidos (como hemos hecho ahora mismo), como si usamos probabilidades a priori (como hice en el primer párrafo del comentario anterior) llegamos a que P(cara) = 1/2. Lo que no se debe hacer es usar probabilidades condicionadas para el hecho de que me toque la celda 7, y probabilidades “a priori” (1/2) para el hecho de que salga cara o cruz en la moneda.

Espero que esta vez sí esté correcto el razonamiento. Si no, ya que esta vez no puedo culpar al sueño, lo achacaré a que acabo de llegar del trabajo y estoy cansado

Tal vez esté pasando por alto algo en tu razonamiento, pero tú dices:

[...] porque aunque es cierto que UNA VEZ ELEGIDO sí es más probable que si soy el 7 es porque sea uno de los 10 primeros [...]

Y en el ejemplo del artículo:

El alienígena te permite ver el número de tu celda (determinado también al azar), y es la celda #7.

De modo que tú sabes que has sido elegido. No tengo ningún problema en modificar el artículo para que sea más explícito en ese aspecto y no queden dudas pero, si es así, ¿estamos de acuerdo en el resto?

Creo que el argumento del artículo no es correcto, porque aunque es cierto que UNA VEZ ELEGIDO sí es más probable que si soy el 7 es porque sea uno de los 10 primeros, no uno de los 1000, lo cierto es que es mucho más alta la probabilidad de ser elegido cuando sale cruz.

Creo que el error está en usar un “falso teorema” de Bayes (o de la probabilidad total, del que Bayes es consecuencia) con todas las probabilidades condicionadas. Es cierto que: P(A) = P(B)P(A|B) + P(no B)P(A|no B) [donde en vez de la familia B y no B se puede tomar cualquier familia exhaustiva numerable de sucesos, no sólo 2, y escribir el sumatorio P(A) = sumatorio P(Bk)P(A|Bk)]. Lo que NO es cierto (aunque a veces pueda parecer intuitivo) es que P(A|B) = P(A|C)P(C|B) + P(A|no C)P(no C|B), que es la manera de llegar al resultado de que cara es más probable que cruz en el ejemplo 2. Usando ese “resultado” u otros parecidos, llegaríamos por ejemplo a que: P(cara|7) = P(cara)P(7|cara y elegido) / [P(cara)P(7|cara y elegido) + P(cruz)P(7|cruz y elegido)] = 1/20 / (1/20 + 1/2000) = 100/101 Pero también podríamos llegar, de forma igualmente “legítima”, al siguiente resultado (también falso a mi juicio) P(cara|7) = P(cara|elegido) P(elegido|7) + P(cara|no elegido) P(no elegido|7). Obviamente, P(elegido|7) = 1, pues el nº 7 siempre es abducido (los 9 primeros lo son salga cara o salga cruz). P(cara|elegido) = P(cara) P(elegido|cara) / [P(cara)P(elegido|cara) + P(cruz)P(elegido|cruz)] = 1/2*10/N / [1/2 * 10/N + 1/2 * 1000/N] = 1/101.

De hecho, si este experimento se repitiera de manera indefinida, el nº 7 estaría la mitad de las veces con otros 9 compañeros de celda (las veces que hubiera salido cara) y la otra mitad con 999 compañeros (las veces que saliera cruz), y no le saldría más a cuenta apostar por una cosa que por otra.