El Tamiz

Si no eres parte de la solución eres parte del precipitado

¿Cuántos corredores hay en la carrera?

En esta tercera entrega dedicada a los “efectos de selección del observador”, que iniciamos hablando de los principios generales para luego centrarnos en la aparente coincidencia de los valores de las constantes fundamentales del Universo que nos ha producido como especie consciente, vamos a hablar de los efectos que tiene saber en qué orden te encuentras de entre todos los observadores cuando observas algo.

Sé que me repito, pero una vez más: el objetivo de estar serie no es convencerte de nada sino hacerte pensar. En todos los artículos hablamos de probabilidades, no certezas, basadas en premisas que pueden ser totalmente falsas. Además, puede resultarte terriblemente aburrido u obvio. Estás avisado.

Antes de lanzarnos, en la siguiente entrega, a hablar del _Argumento del Día del Juicio Final _(que voy a abreviar ADJF) simplemente quiero asegurarme de que estamos en la misma onda, querido lector. Para ello, voy a plantearte tres situaciones diferentes. En cada una de ellas, trata de aplicar los conceptos de esta serie para hacer tus predicciones - si quieres comprobar las respuestas, están al final de las tres preguntas, pero piensa antes de leerlas.

No pretendo poner “ejercicios” y esto no es un examen: pero creo que, al resolver los dilemas, estarás aprendiendo nuevas aplicaciones de los conceptos anteriores y casi, casi, te habrás iniciado tú solo en el ADJF. Además, si te pareces a mí, te resultarán divertidos.

**Situación #1: **

Debido a una catástrofe, la Tierra es destruída. Afortunadamente, una raza alienígena avanzada salva a un grupo de humanos: mil personas han sobrevivido y tú eres una de ellas.

Los alienígenas te informan de que han salvado a dos grupos de humanos: uno de hombres y otro de mujeres. Uno de los dos grupos tiene 990 personas, y el otro grupo 10 personas. Los alienígenas no te dicen si hay 990 mujeres y 10 hombres, o 990 hombres y 10 mujeres: han elegido una de las dos opciones al azar por sus propias y retorcidas razones. ¿Cuál de los dos grupos es cuál, y con qué probabilidad estás seguro de ello?

**Situación #2: **

Una raza alienígena avanzada (sí, me gustan las razas alienígenas avanzadas; ¿tienes algún problema?) realiza un extraño experimento con humanos. Construyen 1000 celdas idénticas, numeradas del #1 al #1000. En la celdas #1 al #10 se introduce una persona dormida en cada una. A continuación, los alienígenas lanzan una moneda al aire: si sale cara, no hacen nada más (las celdas #11 al #1000 estarán vacías). Si sale cruz, introducen una persona dormida en cada una de las celdas restantes (de modo que todas están llenas).

Tú te despiertas y eres informado de toda la información del párrafo anterior por un alienígena, pero no sabes si la moneda salió cara o cruz, ni cuánta gente hay en las celdas. El alienígena te permite ver el número de tu celda (determinado también al azar), y es la celda #7. Entonces te pide que realices una apuesta:_ ¿salió cara o salió cruz?_

Situación #3:

Los alienígenas, decididos a realizar más experimentos absurdos con humanos, organizan una carrera. Tú eres uno de los participantes, por supuesto: los alienígenas te dan tu pegatina con el número de corredor (determinado al azar de entre todos los corredores) y te dicen que corras. No te dicen cuántos corredores hay en la carrera. De hecho, al darte tu pegatina, el alienígena te hace la siguiente pregunta: Debes apostar por una de estas dos posibilidades: que el número total de corredores es menor que 10 veces tu número de corredor, o que es mayor que 10 veces tu número de corredor. ¿Cuál de las dos eliges?

**Respuestas a los tres dilemas: **

Si has leído y meditado los anteriores artículos de la serie, espero que no hayas tenido ningún problema para obtener las respuestas correctas - de hecho, tal vez te hayan parecido aburridas por fáciles. ¡Los alienígenas estarán decepcionados si es así!

En la primera situación, por supuesto, la respuesta correcta es que el grupo de 990 personas es el de tu sexo (cuál exactamente depende de tu sexo). Y la probabilidad es de un 99%, puesto que 99 de cada 100 personas será del mismo sexo que tú. Quiero poner de manifiesto aquí que no puedes estar seguro de tener razón: simplemente apuestas. Si tienes que elegir cuál de las dos opciones es la más probable, esta respuesta es la estrategia con mayor probabilidad de acertar.

De hecho, y esto es importante para después: si cada una de las 1000 personas del experimento sigue la misma estrategia, 10 de ellas estarán equivocadas siempre. La cuestión es que las otras 990 acertarán, de modo que, si hay que apostar, la elección está clara, pero nadie te asegura que vayas a acertar.

En el segundo dilema, la respuesta correcta es **que la moneda probablemente salió cara y las celdas #11 a #1000 están vacías. **Para obtener la probabilidad exacta de que tengas razón hay que aplicar el teorema de Bayes de probabilidad condicionada, pero dicho mal y pronto:

Tú estás en la celda 7, elegida al azar. La probabilidad de que esto ocurra si hay personas en las celdas 1-10 es del 10%, mientras que la probabilidad de que esto ocurra si hay personas en todas las celdas es del 0.1%. Por lo tanto, es más probable que sólo haya personas en las celdas 1-10. Acabamos de utilizar la información de cuál es tu orden de entre todos los observadores para hacer una predicción.

En el tercer dilema - en mi opinión, el más interesante - la elección correcta es que hay menos de 10 veces el número de mi pegatina. De hecho, puedo incluso decir con qué probabilidad aproximada.

Puesto que mi número ha sido elegido al azar de entre todos los números, hay un 50% de probabilidad de que esté en la primera mitad y un 50% de que esté en la segunda mitad. Hay un 90% de probabilidad de que esté en el primer 90%, etc. De modo que hay un 10% de que esté en el 10% superior, un 1% de que esté en el 1% superior, etc.

Por lo tanto, puedo afirmar con un 90% de certeza que no hay más de 10 veces mi número de pegatina en el conjunto de corredores. Y puedo afirmar esto simplemente mirando mi número de pegatina. ¿No es esto fascinante?

Pero supongamos que, entre los corredores, como probablemente entre los lectores de El Tamiz, algunos no están de acuerdo con esta estrategia: opinan que no hay manera de saber cuántos corredores hay en total simplemente mirando mi pegatina, de modo que eligen una u otra opción tirando una moneda al aire.

Y supongamos que los alienígenas, divertidos, informan a cada corredor de que, si acierta en la apuesta, podrá seguir viviendo, pero si falla será ejecutado.

Si, por ejemplo, el número total de corredores es de mil, si todos siguen la estrategia de tirar una moneda, la mitad aciertan y la mitad fallan en su respuesta: un éxito del 50%, evidentemente. 500 sobrevivirían y 500 morirían.

Pero ¿qué ocurre si los 1000 corredores siguen la estrategia descrita en este artículo? El corredor número 1 diría: _tengo un 90% de certeza de que no hay más de 10 corredores, de modo que apuesto que no hay más de 10. _Y, desde luego, habría metido la pata, pues hay 1000 corredores.** **Lo mismo le ocurre al corredor 2, y al 3, y al 4, etc. Todos ellos son ejecutados uno tras otro.

Ah, pero el corredor 100 diría: apuesto que no hay más de 1000 corredores, _y habría acertado. _Lo mismo que el corredor 101, 102, 103….todos los demás habrían acertado. De hecho, sólo fallarían en su estimación los 100 primeros: un 90% de éxito. Una vez más, **la estrategia falla seguro en un número de casos, pero ese número es mucho menor que el número de aciertos. **900 corredores habrían sobrevivido en este caso, y sólo 100 habrían muerto.

Es posible que estos argumentos aún no te hayan convencido. Parte de la razón es que, por supuesto, estamos jugando con probabilidades. Mi pregunta entonces es la siguiente: supón que estás en este experimento. El alienígena te da la pegatina 27 y te pregunta: ¿crees que hay más de 270 corredores, o menos de 270 corredores? Si aciertas, podrás vivir, pero si fallas serás ejecutado. _¿Cuál de las dos elegirías? ¿Tirarías una moneda? _Sé sincero.

En la siguiente entrega aplicaremos estos argumentos a una pregunta que nos toca de cerca: _¿Va a extinguirse pronto la raza humana? _Si aún no se te ha derretido el cerebro ni te has dormido, creo que te resultará muy interesante - a mí, desde luego, me lo parece.

Ahora que lo pienso..., Alienígenas matemáticos, Filosofía

30 comentarios

De: Proyecto#194
2007-04-21 20:44:23

Hola de nuevo a todos. La verdad es que estos artículos que no son estrictamente informativos me parecen muy interesantes y dados a la participación. Animo a todos los que lo leeis a que lo hagáis sin temor al ridículo, como voy a hacer yo ahora.He de reconocer que he tenido que leer los ejercicios varias veces, y que sólo he sabido contestar bien al primero. Para los otros dos he tenido que mirar la solución (no sabía por dónde cogerlos). El tercero lo he entendido y lo comparto, pero con el resultado del segundo me he tenido que pelear con lapiz y papel y recurrir a la Wikipedia para recordar (o aprender, no estoy seguro) el Teorema de Bayes, y después de garabatear un rato me he convencido.
Y sin duda apostaría a que hay menos de 270 corredores (aunque cruzando los dedos, eso sí).Sin embargo y aunque es matemáticamente correcto, me queda el mismo regustillo que cuándo alguien te dice que te compres un decimo de loteria que no empiece por cero... porque tiene más probabilidades de salir (90% si consideremas 100.000 números)...En cualquier caso, quiero más!!! ;-)

De: Miguel Nadal
2007-04-22 06:24:25

Supongo que en algún momento nos hablarás de teoría de juegos y de cómo uno toma decisiones por la manera en que percibe las probabilidades y los riesgos, ¿verdad? Me parece la continuación evidente de la pregunta sobre cuál opción elegiría uno, con su vida amenazada. No puedo esperar el momento...

De: Pedro
2007-04-22 07:56:57

Gracias por los comentarios - me alegro de que os haya gustado.Un par de cosas - en el caso de la lotería, lo que dices es como afirmar:

"Si tienes que elegir un número del dado antes de tirarlo, no elijas el 1, porque hay 5/6 de probabilidad de que no salga".

"En la lotería, no elijas un número que empiece por 3, porque hay un 90% de probabilidad de que aciertes."

No aumenta tus posibilidades de ganar en absoluto, porque da igual cuál opción elijas son igual de probables. No creo que sea equivalente al caso del artículo - por cierto, lo que sí podrías hacer es, viendo el número de tu boleto de lotería (si es al azar), estimar el máximo de números que participan si no lo conoces.Miguel - algún día hablaremos más de teoría de juegos, pero esta serie va a acabarse en el próximo artículo, porque no quiero dedicar tantos seguidos a un tema. Pero estará en la cola para un futuro no muy lejano - es un tema fascinante, ¿verdad? Cuando llegue el momento, haré un enlace desde esta serie para que puedan leerse juntos.¡Gracias a los dos por el interés!

De: Juan Carlos
2008-01-03 22:24:49

No comparto la interpretación del segundo ejemplo de que sea más probable que haya salido cara.
Ahí va mi interpretación del segundo ejemplo (se admiten correcciones, naturalmente, puede que no haya considerado algún punto de vista):
Un experimento equivalente al propuesto es el siguiente: supongamos que a cada uno de los habitantes de la Tierra le asignan aleatoriamente de manera biunívoca un número, del 1 al N (N = población de la Tierra, aprox. 7000 millones). Tras ello, y de manera independiente, se tira una moneda. Si sale cara, los alienígenas abducen a las personas numeradas del 1 al 10, y si sale cruz abducen a las personas numeradas del 1 al 5000.
Usando el teorema de Bayes (si denotamos 7 al suceso "me toca el nº 7", cara al suceso "sale cara" y cruz al suceso "sale cruz"), con la notación habitual, es decir, P (A|B) = "probabilidad de A condicionada por B", tenemos que:
P (cara|7) = P(cara)P(7|cara) / [P(cara)P(7|cara) + P(cruz)P(7|cruz)].
P(7|cara) = P(7|cruz) = P(7) = 1/N (recordemos que hemos hecho la asignación de números independiente del lanzamiento de la moneda).
P(cara) = P(cruz) = 1/2.
Sustituyendo, sale P(cara|7) = 1/2.

Creo que el argumento del artículo no es correcto, porque aunque es cierto que UNA VEZ ELEGIDO sí es más probable que si soy el 7 es porque sea uno de los 10 primeros, no uno de los 1000, lo cierto es que es mucho más alta la probabilidad de ser elegido cuando sale cruz.

Creo que el error está en usar un "falso teorema" de Bayes (o de la probabilidad total, del que Bayes es consecuencia) con todas las probabilidades condicionadas.
Es cierto que: P(A) = P(B)P(A|B) + P(no B)P(A|no B) [donde en vez de la familia B y no B se puede tomar cualquier familia exhaustiva numerable de sucesos, no sólo 2, y escribir el sumatorio P(A) = sumatorio P(Bk)P(A|Bk)].
Lo que NO es cierto (aunque a veces pueda parecer intuitivo) es que P(A|B) = P(A|C)P(C|B) + P(A|no C)P(no C|B), que es la manera de llegar al resultado de que cara es más probable que cruz en el ejemplo 2.
Usando ese "resultado" u otros parecidos, llegaríamos por ejemplo a que:
P(cara|7) = P(cara)P(7|cara y elegido) / [P(cara)P(7|cara y elegido) + P(cruz)P(7|cruz y elegido)] = 1/20 / (1/20 + 1/2000) = 100/101
Pero también podríamos llegar, de forma igualmente "legítima", al siguiente resultado (también falso a mi juicio)
P(cara|7) = P(cara|elegido) P(elegido|7) + P(cara|no elegido) P(no elegido|7).
Obviamente, P(elegido|7) = 1, pues el nº 7 siempre es abducido (los 9 primeros lo son salga cara o salga cruz).
P(cara|elegido) = P(cara) P(elegido|cara) / [P(cara)P(elegido|cara) + P(cruz)P(elegido|cruz)] = 1/2*10/N / [1/2 * 10/N + 1/2 * 1000/N] = 1/101.

De hecho, si este experimento se repitiera de manera indefinida, el nº 7 estaría la mitad de las veces con otros 9 compañeros de celda (las veces que hubiera salido cara) y la otra mitad con 999 compañeros (las veces que saliera cruz), y no le saldría más a cuenta apostar por una cosa que por otra.


De: Pedro
2008-01-04 10:18:12

Juan Carlos,

Tal vez esté pasando por alto algo en tu razonamiento, pero tú dices:


[...] porque aunque es cierto que UNA VEZ ELEGIDO sí es más probable que si soy el 7 es porque sea uno de los 10 primeros [...]


Y en el ejemplo del artículo:


El alienígena te permite ver el número de tu celda (determinado también al azar), y es la celda #7.


De modo que tú sabes que has sido elegido. No tengo ningún problema en modificar el artículo para que sea más explícito en ese aspecto y no queden dudas pero, si es así, ¿estamos de acuerdo en el resto?


De: Juan Carlos
2008-01-04 16:53:13

Anoche estaba un poco adormilado ya, y es cierto que cometí algunos errores, pero intentaré explicarme mejor hoy. ¡Vivan las segundas oportunidades!

Voy a exponer un primer punto en mi argumentación: bajo la hipótesis de haber sido elegido, no son equiprobables los sucesos "ha salido cara" y "ha salido cruz", precisamente por efecto de ser un observador.

Usando una interpretación frecuentista de la probabilidad, supongamos que los alienígenas repiten este experimento varias veces, y preguntan a todos los cautivos sin enseñarles su número de celda si creen que ha salido cara o cruz. Si me lo preguntaran a mí y ser devorado o no por esos alienígenas dependiera de que acertara la respuesta, mi apuesta sería que "ha salido cruz".
Si todos siguieran mi estrategia, cuando saliera cara morirían 10 de los 10 abducidos, pero cuando saliera cruz sobrevivirían 1000 de los 1000. Como en promedio sale cara la mitad de las veces que uno no es observador y sale cruz la otra mitad, el resultado es que sobrevivirían (acertarían) 1000 de cada 1010, o sea, P(cruz|elegido) = 100/101.. Naturalmente, P(cara|elegido) = 1/101, porque son sucesos complementarios excluida la eventualidad de que la moneda caiga de canto :-)

¿Y toda esta parrafada para qué? Supongamos ahora que se da el experimento original: nos muestran nuestro número de celda (el 7) y nos interrogan sobre nuestra creencia en si ha salido cara o cruz.
Tu razonamiento creo que usa las siguientes premisas:
(1) Soy un elegido.
(2) La probabilidad de cara es 1/2.
(3) P(7|cara) = 1/10 [sabiendo que he sido elegido]
(4) P(7|cruz y soy elegido) = 1/1000 [sabiendo que he sido elegido]

P(cara|7) = P(cara)P(7|cara) / [P(cara)P(7|cara) + P(cruz)P(7|cruz)] = 1/10 / [1/10 + 1/1000] = 100/101.

Sin embargo, ahí veo un fallo: si usas probabilidades condicionadas a saber que has sido elegido para calcular P(7|cara) y P(7|cruz) en lugar de estimarlas como 1/N, con N = población de la Tierra, también deberías usar P(cara) = 1/101 para la probabilidad de cara, usando igualmente la información de que has sido elegido. Lo correcto sería, si llamamos P1(A) = P(A|elegido) [es decir, P1 es la probabilidad condicionada a ser elegido]:
P1(cara|7) = P1(cara)P1(7|cara) / [P1(cara)P1(7|cara) + P1(cruz)P1(7|cruz)] = 1/101 x 1/10 / [1/101 x 1/10 + 100/101 x 1/1000] = 1/2.

Es decir, tanto si usamos probabilidades condicionadas al conocimiento de que hemos sido elegidos (como hemos hecho ahora mismo), como si usamos probabilidades a priori (como hice en el primer párrafo del comentario anterior) llegamos a que P(cara) = 1/2.
Lo que no se debe hacer es usar probabilidades condicionadas para el hecho de que me toque la celda 7, y probabilidades "a priori" (1/2) para el hecho de que salga cara o cruz en la moneda.

Espero que esta vez sí esté correcto el razonamiento. Si no, ya que esta vez no puedo culpar al sueño, lo achacaré a que acabo de llegar del trabajo y estoy cansado ;-)


De: Pedro
2008-01-05 11:41:40

Juan Carlos,

Espero poder responder a tu argumento sin utilizar el lenguaje matemático, pues no lo uso en el artículo y así es más comprensible para la mayor parte de los lectores -- no hay problema en que tú lo uses, simplemente es para que sepas por qué no lo hago.

Si entiendo tu argumentación, en lenguaje llano lo que dices es más o menos esto: Si sabes que has sido elegido con el número 7, parece al principio que es más probable que haya salido cara (pues tienes un número pequeño), pero no estás teniendo en cuenta que es más probable que hayas sido elegido si han sido elegidas 1000 personas que si han sido abducidas sólo 10. Al final, se compensa una cosa (tu número pequeño) con la otra (la mayor probabilidad de ser elegido si han elegido a muchos) y las probabilidades de cara y cruz con esa información siguen siendo 1/2 cada una.

Salvo que mi soñolienta mente se confunda, tu argumento no tiene ningún fallo, luego debo cambiar mi ejemplo. El problema está en que, aunque no se dice explícitamente, se sobreentiende que los humanos abducidos han sido elegidos al azar de entre toda la especie humana, yo incluido, con lo que debo usar esa información (que soy un observador abducido, independientemente de mi número de celda), y con esa información adicional las probabilidades son, en efecto, 1/2 cada una. Desgraciadamente, creo recordar que yo no pretendía dar esa impresión, sino que yo había sido elegido antes que nadie de forma individual, pero no lo digo en ningún sitio e incluso yo mismo, al leer el artículo unos meses después de escribirlo, llego a la misma conclusión que Juan Carlos -- que soy un abducido aleatorio de entre 10 o 1000 abducidos.

Lo cual es interesante, pero no sirve para nada a lo que pretendo con los ejemplos de este artículo, y eso me da mucha rabia. Veamos qué os parece esta versión mejorada del ejemplo, para que mi número de celda sí cuente. Es sólo un cambio al principio, pero debería hacerlo muy diferente:

Los alienígenas me han abducido, al azar, de entre toda la especie humana, a mí individualmente, para realizar un experimento probabilístico. Yo soy informado de este hecho para empezar.

A continuación los alienígenas, sin enseñármela, tiran una moneda. Si sale cara abducirán a 9 otros humanos. Si sale cruz, abducirán a 999 humanos. A continuación nos "barajan", y nos ponen en celdas aleatorias. Cuando despierto, mi celda es la número 7. ¿Ha salido cara, o ha salido cruz?

En este caso, el hecho de ser un observador no cuenta, pues desde antes de empezar el experimento sé que soy el observador; lo único por determinar es cuántos otros hay. ¿Problemas, inconsistencias? Si os parece bien --espero que si otros además de Juan Carlos estáis siguiendo esto, opinéis si veis algún fallo-- modifico la descripción del experimento en el artículo para añadir ese detalle importante.


De: m.
2008-05-17 01:12:58

En el segundo caso, a mí también me pareció más lógica la elección de cruz.
Sin embargo, una vez leídas sus explicaciones, Pedro, debo cambiar mi elección.

Es decir, yo empleé el método "de la cola del supermercado" (si me permite bautizarla así): "si yo estoy en una cola, hay más posibilidades de que ésta sea la más numerosa", o a la inversa: "tengo más posibilidades de estar en la cola más numerosa (tanto más cuánto más numerosa sea)". En este caso concreto, pues: "si estoy encerrado en una celda, hay más posibilidades de que haya salido cara (y hayan encerrado a 1000 personas y no a 10) - es decir, entre todas las personas, tengo más posibilidades de que me encierren si encierran a 1000 personas que a 10.
Hasta aquí parece lógico.

Sin embargo, el número de celda hace decantar el argumento hasta su opuesto, como bien explica.

La cuestión está, pues, no en las posibilidades que hay de que me encierren (es un hecho), si no de que mi número sea el 7.


De: Pedro
2008-05-17 08:33:01

m,


La cuestión está, pues, no en las posibilidades que hay de que me encierren (es un hecho), si no de que mi número sea el 7.


No todo el mundo es capaz de ver eso, enhorabuena :)


De: Ricardo Ochoa
2008-07-12 22:48:52

claaaro, hay más probabilidades de que mi número sea el 7 en un grupo pequeño que en un grupo grande: 1 entre 10, que 1 entre 1000.

La que me sacó canas fue la tercera, pues no me pareció tan simple de determinar, porque habría que imaginarse a todos los corredores respondiendo primero con una opción y luego con la otra para saber cuantos fallarían y cuantos acertarían. Se demora uno más para sacar esa conclusión pues a la final uno siempre va a estar dentro del grupo de corredores, pero saber a "simple vista" cuál es más acertada, sería un genio que asimile todos los datos muy rapido. Pero al menos al final la entendí y con justa razón.


De: Antonio Valverde
2008-10-05 22:27:27

Sobre la Situación#1: Se sobreentiende que la "raza alienígena avanzada salva a un grupo de humanos" para mantener la continuidad del género humano. Y en consecuencia, por muy retorcidas que sean sus razones, han elegido los dos grupos formados por 990 mujeres y 10 hombres, con 100% de seguridad ,ya que es la forma óptima de maximizar la multiplicación de la especie.... Y esto con independencia de que el observador en este caso, un servidor, sea hombre. O sea que para los fines del artículo habría que cambiar la agrupación sexista por otra más superficial como, por ej., blancos y negros (con igualdad de sexos en cada grupo), con lo que la selección del observador coincidirá con la de su color, conclusión a la que llega por su propio peso racista...


De: Pedro
2008-10-06 07:47:07

@ Antonio,

Entiendo la pega, pero, aparte de las "propias y retorcidas razones" (que no tienen por qué ser mantener la continuidad de la especie) el texto dice explícitamente que lo han hecho "al azar".

Si se me ocurre una división en la que todo el mundo caiga "de un lado" y que no sea problemática, lo cambio, pero las condiciones establecidas no permiten suponer que se trate de más mujeres como has hecho (salvo que ignores lo de "al azar", en cuyo caso ya no es el ejemplo del texto).

¡Gracias!


De: Naka Cristo
2008-11-15 00:47:58

Si en la situación #1 los alienígenas ejecutan a los que fallen, y todos eligen decir que están en el grupo de 990, se exterminaría a todo un sexo condenando a la especie humana.
¿Algunos se sacrificarían y tirarían una moneda para proteger la especie?


De: Jose
2008-12-18 02:03:37

Bueno, acabo de entender la segunda. La tercera se me resiste. Una observación respecto a la primera. Se debería especificar que los alienígenas te eligen a ti para informarte AL AZAR, y tú lo sabes. Si no se especifica esto, creo que la situación no queda "redonda", porque podrían elegirte porque eres mujer, por ejemplo, y entonces no hay ninguna posibilidad de saber nada respecto del grupo. A no ser que no haya entendido nada...


De: tomás
2009-11-03 11:28:24

Lamento muchísimo haber llegado tan tarde a esta cuestión -¡casi un año más tarde del íltimo comentario!- así que no espero contestación, aunque la verdad es que la necesitaría. También me duele que mi capacidad no pueda compararse con la que exhiben Juan Carlos y Pedro. Os envidio y felicito.
La cuestión es que encontré algo en la redacción del planteamiento que no me cuadraba y lo modífiqué muy ligeramente, pero sin caer en la profundidad que exponeis. En definitiva, que estuve perfectamente de acuerdo con el resultado. Para ello también utilicé Bayes aunque con una versión más modesta: P(1º[intersección]2º) = P(1º) P(2º/1º). Y lo apliqué al problema, con cuyo resultado, como digo, estuve conforme y creí haber entendido.
Pero es mi costumbre, que solía utilizar en mis muy lejanos tiempos de estudiante, utilizar un método con el que hay que tener mucho cuidado para no errar, pero que siempre, que recuerde, me fue bien. Consiste en plantear el problema de un modo que yo llamo "al límite", para corroborar un resultado ya obtenido.
Sería: Se construyen 1.000 celdas idénticas, numeradas desde el 1. En la 1ª se introduce una persona. Moneda al aire: si sale cara, nada se modifica; si sale cruz se introduce una persona dormida en cada una de las restantes. Cuando despierta se le informa de todo lo anterior con la excepción de que no sabe si salió cara o cruz, por lo que no sabe si se ocuparon o no todas las celdas.
Se realiza un juego de azar entre las celdas ocupadas cuyo nº desconoce y se le dice que su celda es la nº 1. La probabilidad de que salga 1 de un nº de celdas 1 -por Bayes- es 1/2, lo que equivale a cara. La p. de que salga 1 de 1.000 es de 1/2.000-Bayes otra vez-. Por tanto es mil veces más probable que haya salido cara. ¡Pero no es seguro!.
Un afectuoso saludo y mi enhorabuena por vuestra admirable inteligencia.
Sería:


De: Santi
2009-12-02 02:30:00

Yo también añado una pega a la situación nº 2: "la propia existencia de esta situación contiene información". Me explico. Si sale cara, las celdas 11-1000 están vacías, por lo que no pueden preguntar a nadie. Si sale cruz, los "avispados"alienígenas" jamás preguntarán a alguien de las celdas 11-1000 si salió cruz porque, obviamente, salió cruz. Por tanto, la existencia de esta situación supone que se ha preguntado a alguien al azar entre las celdas 1-10. Y, en consecuencia, la respuesta sería que la probabilidad de cara y cruz es del 50%.
Por cierto, felicidades por la güeb, lo que he visto me ha parecido muy didáctico y ameno :-)... aunque claro, este dato también está vacío de verdad: si no me hubiera gustado, no habría estado dando vueltas a los ejercicios y escribiendo estas líneas. La probabilidad condicionada es así ^^.


De: Rackham
2009-12-10 16:32:50

Ha pasado mucho tiempo desde la publicación de la entrada y más desde mi última clase de estadística pero... no puedo evitar contestar, ya que la respuesta a la situación #3 no para de patear mi sentido de la lógica.

Si a mi me preguntan si hay más o menos de 270 participantes en una carrera, me den dorsal o no, si no tengo ninguna otra información claramente diría que más. Si digo que menos, acertaré si hay 1 participante, 2, 3, 4 ... hasta 270, es decir, acertaría en 270 casos. En cambio, si digo que hay más de 270, acertaré si hay 271 participantes, 272, 273, 274.... y así hasta el número máximo de participantes que pueda haber, si son un millón, en 274 casos fallaría y en 999.726 acertaría. En el enunciado de la situación no se dice que haya un número máximo de posibles participantes, así que en lugar de un millón de casos hablaríamos de infinitos. Si apuestas por 270 participantes o menos, ganas en 270 casos, si apuestas por más de 270... aunque no ganarías siempre, si que habría infinitos casos en los que ganarías!

Por cosas como esta odio la estadística, puede llevar a la persona más inteligente a enfrascarse en cálculos de probabilidades, alejándola de la realidad y haciéndola llegar a creer los resultados más anti-intuitivos. Al fin y al cabo, la situación #3 se parece mucho a: "Cojo un número natural al azar. ¿Apostarías a que es menor o mayor que X?"


De: Rackham
2009-12-10 19:25:55

Una puntualización sobre mi comentario anterior. Hablando todavía de la situación #3, si tenemos alguna idea del número máximo de participantes que puede haber en la carrera, entonces evidentemente según el número de dorsal que nos den podemos empezar a apostar por que haya menos participantes que diez veces el numero de dorsal. Por ejemplo, si me dan el dorsal 6 billones, yo apostaría que muchos más humanos no van a encontrar, viendo los números del post siguiente. Yendo al ejemplo obvio de antes, es como: "Cojo un número natural menor que Y al azar. ¿Apostarías a que es menor o mayor que X?" Pues dependerá de X!


De: Jose Carlos
2009-12-30 21:57:20

Hola a todos! Disculpad también el retraso (me he enterado hoy del tema).

Tras sacar mi conclusión y sin entrar en cada una de las demás respuestas (que son tan dificiles de seguir, como la mía), me gustaria decir lo siguiente:

Situación 1#. No se puede saber, porque parece que los alienigenas están jugando sucio.

Situación 2#. Sale cara probablemente (99%) tal como explica el autor.

Situación 3#. De acuerdo con que lo probable sea que hay 10 veces menos el numero de mi pegatina 'Si el numero de corredores es Fijo' ; pero si dicho número crece exponencialmente, como los habitantes de la Tierra, y como mi pegatina es la misma, la probabilidad de 'estar en la parte baja de la población' aumenta y también el tope de 10x. Este aumento es mayor cuanto mayor sea dicho crecimiento. Así que creo que la Raza Humana no se extinguirá por ello.

Buen día a todos.


De: Felipe
2010-02-11 20:06:42

¿Cuál es la respuesta a la última pregunta?


De: Antonio Manuel
2010-08-19 21:09:50

Mi respuesta a la última pregunta es que hay mas de 270 corredores, puesto que esa es la opción mas probable.

Si no me equivoco (y si me equivoco que alguien me corrija), la probabilidad de que haya menos de 270 corredores es p=269/inf=0, luego la probabilidad de que haya mas es 1-p=1

¿estoy en lo cierto?


De: LuisAngel
2012-04-08 03:31:10

Hola Pedro, a mi me paso algo gracioso, respondi al primer dilema correctamente, pero la verdad lo hice dejandome llevar por "mi logica" mas que por las probabilidades... En el primer dilema respondi que los 990 eran hombres, me resulto mas logico que los alienigenas quisieran a los humanos mas que para salvar la raza, para utilizarlos como esclavos (si, es una no muy buena forma de pensar). Saludos


De: JM
2013-01-05 17:14:47

Si hay 1000 corredores y al que falla lo ejecutan... ¿sigue contando como corredor? ;-)... si los muertos no corren y el padrón alien de corredores es on-line ... a partir del dorsal 91 se librarían ... estoy de broma!!! me parece muy entretenida e interesante la serie!!!

Saludos y gracias por el blog


De: ookii
2013-11-12 09:20

Saludos camaradas, recién he comenzado a leer El Tamiz y la verdad me parece muy interesante, respecto a las preguntas he acertado sólo en la primera, la segunda pregunta no le había entendido bien hasta que leí la solución, y para la tercera pregunta tomé más criterios para decidir si habían más o menos de 10 veces mi número de pegatina, y lo mismo aplicaría si me toca la pegatina #27, como por ejemplo la manera como nos han invadido, si se trata de una raza mucho más avanzada y que nos capturan como moscas sin que podamos oponer resistencia entonces diría que sí hay mas de 270, pero si logramos hacerles batalla y se la hacemos difícil entonces diría que hay menos de 270. A la hora de la hora en verdad más aplicaría mi intuición. Si por otra parte me secuestran de mi cama sin previo aviso ahí si aplicaría los conocimientos aprendidos en El Tamiz :)

De: Sergio Montiel
2013-12-04 04:09

Creo que llegue un poco tarde y es en verdad fascinante todo de lo que aquí se discute, según yo lo veo, para el caso #1 Es mas probable que 990 sean hombres y 10 mujeres, para el caso #2 Coincido en que callo cara y así de la celda 11-1000 se encuentran vacias #3 sin meternos tanto a estadística pienso que es mucho mas probable que sean mas de 270 por las razones que argumento Rackham

De:
2014-01-03 19:31

Aquí hay algo que no encaja. Me limito al primer caso: Si yo, José Manuel, soy el interpelado, concluyo que hay un 99% de probabilidades de que el grupo numeroso sea el mío pero, si por ejemplo es mi hermana la interpelada, concluye que hay un 99% de probabilidades de que el grupo numeroso sea el suyo. Es obvio que ambos no pueden tener razón simultáneamente, ¿o no?

De: Daniel
2014-09-22 03:09

A mi en la segunda me parece que los dos resultados son igual de probables , así como esta planteado el problema lo que estamos midiendo es la probabilidad de que las celdas del 11-1000 estén llenas o no y estas dependieron de el resultado de la moneda (que es 50/50), ya que esta claro que las del 1-10 lo están este o no yo en ellas.

Por ejemplo si imaginamos que todavía no se ha lanzado la moneda pero sabes que estas en la celda 7, es fácil deducir que hay 50% de probabilidades de que se llenen o no las celdas restantes y la única diferencia es que estuviste consiente antes de que lanzaran la moneda.

Sobre la explicación seria mas o menos así: si bien hay 0.001 de ser 1/1000 y 0.1 de ser 1/10, también es mas probable que yo haya sido elegido de un grupo mas grande que de uno mas pequeño (Aquí no tomamos en cuenta que soy el #7 porque ya fue calculado anteriormente y seria redundante en el producto final ) concretamente la misma diferencia en proporción por lo que al multiplicarse los sucesos se compensan.

Vamos, que tuvo que pasar una de dos cosas:

-Que yo haya sido elegido de una muestra X de donde solo se eligieron 10 ("baja") y luego ser elegido como el 7 ("alta") . -Que yo haya sido elegido de una muestra X de donde solo se eligieron 1000 ("alta") y luego ser el 7 ("baja").

Deberían ser igual de probables.

De: Sergio B
2014-09-22 12:02

Pedro, se me hacen raros los * en algunos puntos y hay bastantes _ por ahi sueltos.

Daniel, en tu razonamiento falla algo, que se eligieran 10 oa que se eligieran 1000 tienen ambos la misma probabilidad ("media"), por eso juntandolo con la probabilidad de ser el 7, es mas probable que solo se eligieron 10. Para entender la probabilidad condicionada, a mi me gusta irme a los extremos, por ejemplo, que en ese caso el alienigena te da toda la informacion y ademas te dice que salio cara. La probilidad de que saliese cara o cruz es del 50%, pero puesto que sabes con un 100% de certeza que ha salido cara, pues si te preguntan yo no me arriesgaria a decir que fue cruz.

De: Argus
2014-09-22 14:36

Daniel, pensaba que no tenías razón, pero ya veo por dónde va tu comentario. La probabilidad se iguala al tener en cuenta el total de humanos (X). Sería algo así:

Probabilidad de ser elegido si cara: 10/X * 1/10 = 1/X

Probabilidad de ser elegido si cruz: 1000/X * 1/1000 = 1/X

Creo que para poder afirmar que salió cara con un 90% de probabilidad habría que añadir la siguiente clarificación en el enunciado: "Eres consciente antes de lanzar la moneda que tú eres uno de los primeros 10 elegidos." Partiendo de este punto, entonces sí, puedes afirmar cuando te despiertes después de lanzar la moneda que con mayor probabilidad siguió habiendo 10 humanos (salió cara), y no 1000 (salió cruz).

Al anónimo del comentario anterior: Evidentemente ambos no podéis tener razón. Sólo uno acertará, o tú o tu hermana. De hecho la respuesta no garantiza el acierto. Si le preguntan lo mismo a 10 pares de hermanos habrá 10 que acertarán y 10 que fallarán. Pero después de esas 10 parejas, todos los que quedan son del mismo sexo, bien hombres o bien mujeres, y con esa estrategia acertarán en total el 90%.

De: Sergio B
2014-09-23 13:21

Argus, yo diria que el hecho de que tu vas a estar entre los 10 es un hecho mas del enunciado, si eres el 25, esta claro que cara no ha salido.

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