En esta tercera entrega dedicada a los “efectos de selección del observador”, que iniciamos hablando de los principios generales para luego centrarnos en la aparente coincidencia de los valores de las constantes fundamentales del Universo que nos ha producido como especie consciente, vamos a hablar de los efectos que tiene saber en qué orden te encuentras de entre todos los observadores cuando observas algo.
Sé que me repito, pero una vez más: el objetivo de estar serie no es convencerte de nada sino hacerte pensar. En todos los artículos hablamos de probabilidades, no certezas, basadas en premisas que pueden ser totalmente falsas. Además, puede resultarte terriblemente aburrido u obvio. Estás avisado.
Antes de lanzarnos, en la siguiente entrega, a hablar del Argumento del Día del Juicio Final (que voy a abreviar ADJF) simplemente quiero asegurarme de que estamos en la misma onda, querido lector. Para ello, voy a plantearte tres situaciones diferentes. En cada una de ellas, trata de aplicar los conceptos de esta serie para hacer tus predicciones - si quieres comprobar las respuestas, están al final de las tres preguntas, pero piensa antes de leerlas.
No pretendo poner “ejercicios” y esto no es un examen: pero creo que, al resolver los dilemas, estarás aprendiendo nuevas aplicaciones de los conceptos anteriores y casi, casi, te habrás iniciado tú solo en el ADJF. Además, si te pareces a mí, te resultarán divertidos.
Situación #1:
Debido a una catástrofe, la Tierra es destruída. Afortunadamente, una raza alienígena avanzada salva a un grupo de humanos: mil personas han sobrevivido y tú eres una de ellas.
Los alienígenas te informan de que han salvado a dos grupos de humanos: uno de hombres y otro de mujeres. Uno de los dos grupos tiene 990 personas, y el otro grupo 10 personas. Los alienígenas no te dicen si hay 990 mujeres y 10 hombres, o 990 hombres y 10 mujeres: han elegido una de las dos opciones al azar por sus propias y retorcidas razones. ¿Cuál de los dos grupos es cuál, y con qué probabilidad estás seguro de ello?
Situación #2:
Una raza alienígena avanzada (sí, me gustan las razas alienígenas avanzadas; ¿tienes algún problema?) realiza un extraño experimento con humanos. Construyen 1000 celdas idénticas, numeradas del #1 al #1000. En la celdas #1 al #10 se introduce una persona dormida en cada una. A continuación, los alienígenas lanzan una moneda al aire: si sale cara, no hacen nada más (las celdas #11 al #1000 estarán vacías). Si sale cruz, introducen una persona dormida en cada una de las celdas restantes (de modo que todas están llenas).
Tú te despiertas y eres informado de toda la información del párrafo anterior por un alienígena, pero no sabes si la moneda salió cara o cruz, ni cuánta gente hay en las celdas. El alienígena te permite ver el número de tu celda (determinado también al azar), y es la celda #7. Entonces te pide que realices una apuesta: ¿salió cara o salió cruz?
Situación #3:
Los alienígenas, decididos a realizar más experimentos absurdos con humanos, organizan una carrera. Tú eres uno de los participantes, por supuesto: los alienígenas te dan tu pegatina con el número de corredor (determinado al azar de entre todos los corredores) y te dicen que corras. No te dicen cuántos corredores hay en la carrera. De hecho, al darte tu pegatina, el alienígena te hace la siguiente pregunta: Debes apostar por una de estas dos posibilidades: que el número total de corredores es menor que 10 veces tu número de corredor, o que es mayor que 10 veces tu número de corredor. ¿Cuál de las dos eliges?
Respuestas a los tres dilemas:
Si has leído y meditado los anteriores artículos de la serie, espero que no hayas tenido ningún problema para obtener las respuestas correctas - de hecho, tal vez te hayan parecido aburridas por fáciles. ¡Los alienígenas estarán decepcionados si es así!
En la primera situación, por supuesto, la respuesta correcta es que el grupo de 990 personas es el de tu sexo (cuál exactamente depende de tu sexo). Y la probabilidad es de un 99%, puesto que 99 de cada 100 personas será del mismo sexo que tú. Quiero poner de manifiesto aquí que no puedes estar seguro de tener razón: simplemente apuestas. Si tienes que elegir cuál de las dos opciones es la más probable, esta respuesta es la estrategia con mayor probabilidad de acertar.
De hecho, y esto es importante para después: si cada una de las 1000 personas del experimento sigue la misma estrategia, 10 de ellas estarán equivocadas siempre. La cuestión es que las otras 990 acertarán, de modo que, si hay que apostar, la elección está clara, pero nadie te asegura que vayas a acertar.
En el segundo dilema, la respuesta correcta es que la moneda probablemente salió cara y las celdas #11 a #1000 están vacías. Para obtener la probabilidad exacta de que tengas razón hay que aplicar el teorema de Bayes de probabilidad condicionada, pero dicho mal y pronto:
Tú estás en la celda 7, elegida al azar. La probabilidad de que esto ocurra si hay personas en las celdas 1-10 es del 10%, mientras que la probabilidad de que esto ocurra si hay personas en todas las celdas es del 0.1%. Por lo tanto, es más probable que sólo haya personas en las celdas 1-10. Acabamos de utilizar la información de cuál es tu orden de entre todos los observadores para hacer una predicción.
En el tercer dilema - en mi opinión, el más interesante - la elección correcta es que hay menos de 10 veces el número de mi pegatina. De hecho, puedo incluso decir con qué probabilidad aproximada.
Puesto que mi número ha sido elegido al azar de entre todos los números, hay un 50% de probabilidad de que esté en la primera mitad y un 50% de que esté en la segunda mitad. Hay un 90% de probabilidad de que esté en el primer 90%, etc. De modo que hay un 10% de que esté en el 10% superior, un 1% de que esté en el 1% superior, etc.
Por lo tanto, puedo afirmar con un 90% de certeza que no hay más de 10 veces mi número de pegatina en el conjunto de corredores. Y puedo afirmar esto simplemente mirando mi número de pegatina. ¿No es esto fascinante?
Pero supongamos que, entre los corredores, como probablemente entre los lectores de El Tamiz, algunos no están de acuerdo con esta estrategia: opinan que no hay manera de saber cuántos corredores hay en total simplemente mirando mi pegatina, de modo que eligen una u otra opción tirando una moneda al aire.
Y supongamos que los alienígenas, divertidos, informan a cada corredor de que, si acierta en la apuesta, podrá seguir viviendo, pero si falla será ejecutado.
Si, por ejemplo, el número total de corredores es de mil, si todos siguen la estrategia de tirar una moneda, la mitad aciertan y la mitad fallan en su respuesta: un éxito del 50%, evidentemente. 500 sobrevivirían y 500 morirían.
Pero ¿qué ocurre si los 1000 corredores siguen la estrategia descrita en este artículo? El corredor número 1 diría: tengo un 90% de certeza de que no hay más de 10 corredores, de modo que apuesto que no hay más de 10. Y, desde luego, habría metido la pata, pues hay 1000 corredores. Lo mismo le ocurre al corredor 2, y al 3, y al 4, etc. Todos ellos son ejecutados uno tras otro.
Ah, pero el corredor 100 diría: apuesto que no hay más de 1000 corredores, y habría acertado. Lo mismo que el corredor 101, 102, 103….todos los demás habrían acertado. De hecho, sólo fallarían en su estimación los 100 primeros: un 90% de éxito. Una vez más, la estrategia falla seguro en un número de casos, pero ese número es mucho menor que el número de aciertos. 900 corredores habrían sobrevivido en este caso, y sólo 100 habrían muerto.
Es posible que estos argumentos aún no te hayan convencido. Parte de la razón es que, por supuesto, estamos jugando con probabilidades. Mi pregunta entonces es la siguiente: supón que estás en este experimento. El alienígena te da la pegatina 27 y te pregunta: ¿crees que hay más de 270 corredores, o menos de 270 corredores? Si aciertas, podrás vivir, pero si fallas serás ejecutado. ¿Cuál de las dos elegirías? ¿Tirarías una moneda? Sé sincero.
En la siguiente entrega aplicaremos estos argumentos a una pregunta que nos toca de cerca: ¿Va a extinguirse pronto la raza humana? Si aún no se te ha derretido el cerebro ni te has dormido, creo que te resultará muy interesante - a mí, desde luego, me lo parece.
Comparte esta entrada:
El texto de ¿Cuántos corredores hay en la carrera? , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
Puedes suscribirte a El Tamiz a través del correo electrónico o añadiendo nuestra RSS a tu agregador de noticias. ¡Bienvenido!
Envía este artículo por e-mail
{ 14 } Comentarios
Hola de nuevo a todos. La verdad es que estos artículos que no son estrictamente informativos me parecen muy interesantes y dados a la participación. Animo a todos los que lo leeis a que lo hagáis sin temor al ridículo, como voy a hacer yo ahora.
He de reconocer que he tenido que leer los ejercicios varias veces, y que sólo he sabido contestar bien al primero. Para los otros dos he tenido que mirar la solución (no sabía por dónde cogerlos). El tercero lo he entendido y lo comparto, pero con el resultado del segundo me he tenido que pelear con lapiz y papel y recurrir a la Wikipedia para recordar (o aprender, no estoy seguro) el Teorema de Bayes, y después de garabatear un rato me he convencido. Y sin duda apostaría a que hay menos de 270 corredores (aunque cruzando los dedos, eso sí).
Sin embargo y aunque es matemáticamente correcto, me queda el mismo regustillo que cuándo alguien te dice que te compres un decimo de loteria que no empiece por cero… porque tiene más probabilidades de salir (90% si consideremas 100.000 números)…
En cualquier caso, quiero más!!!
Supongo que en algún momento nos hablarás de teoría de juegos y de cómo uno toma decisiones por la manera en que percibe las probabilidades y los riesgos, ¿verdad? Me parece la continuación evidente de la pregunta sobre cuál opción elegiría uno, con su vida amenazada. No puedo esperar el momento…
Gracias por los comentarios - me alegro de que os haya gustado.
Un par de cosas - en el caso de la lotería, lo que dices es como afirmar: “Si tienes que elegir un número del dado antes de tirarlo, no elijas el 1, porque hay 5/6 de probabilidad de que no salga”. “En la lotería, no elijas un número que empiece por 3, porque hay un 90% de probabilidad de que aciertes.” No aumenta tus posibilidades de ganar en absoluto, porque da igual cuál opción elijas son igual de probables. No creo que sea equivalente al caso del artículo - por cierto, lo que sí podrías hacer es, viendo el número de tu boleto de lotería (si es al azar), estimar el máximo de números que participan si no lo conoces.
Miguel - algún día hablaremos más de teoría de juegos, pero esta serie va a acabarse en el próximo artículo, porque no quiero dedicar tantos seguidos a un tema. Pero estará en la cola para un futuro no muy lejano - es un tema fascinante, ¿verdad? Cuando llegue el momento, haré un enlace desde esta serie para que puedan leerse juntos.
¡Gracias a los dos por el interés!
No comparto la interpretación del segundo ejemplo de que sea más probable que haya salido cara. Ahí va mi interpretación del segundo ejemplo (se admiten correcciones, naturalmente, puede que no haya considerado algún punto de vista): Un experimento equivalente al propuesto es el siguiente: supongamos que a cada uno de los habitantes de la Tierra le asignan aleatoriamente de manera biunívoca un número, del 1 al N (N = población de la Tierra, aprox. 7000 millones). Tras ello, y de manera independiente, se tira una moneda. Si sale cara, los alienígenas abducen a las personas numeradas del 1 al 10, y si sale cruz abducen a las personas numeradas del 1 al 5000. Usando el teorema de Bayes (si denotamos 7 al suceso “me toca el nº 7″, cara al suceso “sale cara” y cruz al suceso “sale cruz”), con la notación habitual, es decir, P (A|B) = “probabilidad de A condicionada por B”, tenemos que: P (cara|7) = P(cara)P(7|cara) / [P(cara)P(7|cara) + P(cruz)P(7|cruz)]. P(7|cara) = P(7|cruz) = P(7) = 1/N (recordemos que hemos hecho la asignación de números independiente del lanzamiento de la moneda). P(cara) = P(cruz) = 1/2. Sustituyendo, sale P(cara|7) = 1/2.
Creo que el argumento del artículo no es correcto, porque aunque es cierto que UNA VEZ ELEGIDO sí es más probable que si soy el 7 es porque sea uno de los 10 primeros, no uno de los 1000, lo cierto es que es mucho más alta la probabilidad de ser elegido cuando sale cruz.
Creo que el error está en usar un “falso teorema” de Bayes (o de la probabilidad total, del que Bayes es consecuencia) con todas las probabilidades condicionadas. Es cierto que: P(A) = P(B)P(A|B) + P(no B)P(A|no B) [donde en vez de la familia B y no B se puede tomar cualquier familia exhaustiva numerable de sucesos, no sólo 2, y escribir el sumatorio P(A) = sumatorio P(Bk)P(A|Bk)]. Lo que NO es cierto (aunque a veces pueda parecer intuitivo) es que P(A|B) = P(A|C)P(C|B) + P(A|no C)P(no C|B), que es la manera de llegar al resultado de que cara es más probable que cruz en el ejemplo 2. Usando ese “resultado” u otros parecidos, llegaríamos por ejemplo a que: P(cara|7) = P(cara)P(7|cara y elegido) / [P(cara)P(7|cara y elegido) + P(cruz)P(7|cruz y elegido)] = 1/20 / (1/20 + 1/2000) = 100/101 Pero también podríamos llegar, de forma igualmente “legítima”, al siguiente resultado (también falso a mi juicio) P(cara|7) = P(cara|elegido) P(elegido|7) + P(cara|no elegido) P(no elegido|7). Obviamente, P(elegido|7) = 1, pues el nº 7 siempre es abducido (los 9 primeros lo son salga cara o salga cruz). P(cara|elegido) = P(cara) P(elegido|cara) / [P(cara)P(elegido|cara) + P(cruz)P(elegido|cruz)] = 1/2*10/N / [1/2 * 10/N + 1/2 * 1000/N] = 1/101.
De hecho, si este experimento se repitiera de manera indefinida, el nº 7 estaría la mitad de las veces con otros 9 compañeros de celda (las veces que hubiera salido cara) y la otra mitad con 999 compañeros (las veces que saliera cruz), y no le saldría más a cuenta apostar por una cosa que por otra.
Juan Carlos,
Tal vez esté pasando por alto algo en tu razonamiento, pero tú dices:
Y en el ejemplo del artículo:
De modo que tú sabes que has sido elegido. No tengo ningún problema en modificar el artículo para que sea más explícito en ese aspecto y no queden dudas pero, si es así, ¿estamos de acuerdo en el resto?
Anoche estaba un poco adormilado ya, y es cierto que cometí algunos errores, pero intentaré explicarme mejor hoy. ¡Vivan las segundas oportunidades!
Voy a exponer un primer punto en mi argumentación: bajo la hipótesis de haber sido elegido, no son equiprobables los sucesos “ha salido cara” y “ha salido cruz”, precisamente por efecto de ser un observador.
Usando una interpretación frecuentista de la probabilidad, supongamos que los alienígenas repiten este experimento varias veces, y preguntan a todos los cautivos sin enseñarles su número de celda si creen que ha salido cara o cruz. Si me lo preguntaran a mí y ser devorado o no por esos alienígenas dependiera de que acertara la respuesta, mi apuesta sería que “ha salido cruz”. Si todos siguieran mi estrategia, cuando saliera cara morirían 10 de los 10 abducidos, pero cuando saliera cruz sobrevivirían 1000 de los 1000. Como en promedio sale cara la mitad de las veces que uno no es observador y sale cruz la otra mitad, el resultado es que sobrevivirían (acertarían) 1000 de cada 1010, o sea, P(cruz|elegido) = 100/101.. Naturalmente, P(cara|elegido) = 1/101, porque son sucesos complementarios excluida la eventualidad de que la moneda caiga de canto
¿Y toda esta parrafada para qué? Supongamos ahora que se da el experimento original: nos muestran nuestro número de celda (el 7) y nos interrogan sobre nuestra creencia en si ha salido cara o cruz. Tu razonamiento creo que usa las siguientes premisas: (1) Soy un elegido. (2) La probabilidad de cara es 1/2. (3) P(7|cara) = 1/10 [sabiendo que he sido elegido] (4) P(7|cruz y soy elegido) = 1/1000 [sabiendo que he sido elegido]
P(cara|7) = P(cara)P(7|cara) / [P(cara)P(7|cara) + P(cruz)P(7|cruz)] = 1/10 / [1/10 + 1/1000] = 100/101.
Sin embargo, ahí veo un fallo: si usas probabilidades condicionadas a saber que has sido elegido para calcular P(7|cara) y P(7|cruz) en lugar de estimarlas como 1/N, con N = población de la Tierra, también deberías usar P(cara) = 1/101 para la probabilidad de cara, usando igualmente la información de que has sido elegido. Lo correcto sería, si llamamos P1(A) = P(A|elegido) [es decir, P1 es la probabilidad condicionada a ser elegido]: P1(cara|7) = P1(cara)P1(7|cara) / [P1(cara)P1(7|cara) + P1(cruz)P1(7|cruz)] = 1/101 x 1/10 / [1/101 x 1/10 + 100/101 x 1/1000] = 1/2.
Es decir, tanto si usamos probabilidades condicionadas al conocimiento de que hemos sido elegidos (como hemos hecho ahora mismo), como si usamos probabilidades a priori (como hice en el primer párrafo del comentario anterior) llegamos a que P(cara) = 1/2. Lo que no se debe hacer es usar probabilidades condicionadas para el hecho de que me toque la celda 7, y probabilidades “a priori” (1/2) para el hecho de que salga cara o cruz en la moneda.
Espero que esta vez sí esté correcto el razonamiento. Si no, ya que esta vez no puedo culpar al sueño, lo achacaré a que acabo de llegar del trabajo y estoy cansado
Juan Carlos,
Espero poder responder a tu argumento sin utilizar el lenguaje matemático, pues no lo uso en el artículo y así es más comprensible para la mayor parte de los lectores — no hay problema en que tú lo uses, simplemente es para que sepas por qué no lo hago.
Si entiendo tu argumentación, en lenguaje llano lo que dices es más o menos esto: Si sabes que has sido elegido con el número 7, parece al principio que es más probable que haya salido cara (pues tienes un número pequeño), pero no estás teniendo en cuenta que es más probable que hayas sido elegido si han sido elegidas 1000 personas que si han sido abducidas sólo 10. Al final, se compensa una cosa (tu número pequeño) con la otra (la mayor probabilidad de ser elegido si han elegido a muchos) y las probabilidades de cara y cruz con esa información siguen siendo 1/2 cada una.
Salvo que mi soñolienta mente se confunda, tu argumento no tiene ningún fallo, luego debo cambiar mi ejemplo. El problema está en que, aunque no se dice explícitamente, se sobreentiende que los humanos abducidos han sido elegidos al azar de entre toda la especie humana, yo incluido, con lo que debo usar esa información (que soy un observador abducido, independientemente de mi número de celda), y con esa información adicional las probabilidades son, en efecto, 1/2 cada una. Desgraciadamente, creo recordar que yo no pretendía dar esa impresión, sino que yo había sido elegido antes que nadie de forma individual, pero no lo digo en ningún sitio e incluso yo mismo, al leer el artículo unos meses después de escribirlo, llego a la misma conclusión que Juan Carlos — que soy un abducido aleatorio de entre 10 o 1000 abducidos.
Lo cual es interesante, pero no sirve para nada a lo que pretendo con los ejemplos de este artículo, y eso me da mucha rabia. Veamos qué os parece esta versión mejorada del ejemplo, para que mi número de celda sí cuente. Es sólo un cambio al principio, pero debería hacerlo muy diferente:
Los alienígenas me han abducido, al azar, de entre toda la especie humana, a mí individualmente, para realizar un experimento probabilístico. Yo soy informado de este hecho para empezar.
A continuación los alienígenas, sin enseñármela, tiran una moneda. Si sale cara abducirán a 9 otros humanos. Si sale cruz, abducirán a 999 humanos. A continuación nos “barajan”, y nos ponen en celdas aleatorias. Cuando despierto, mi celda es la número 7. ¿Ha salido cara, o ha salido cruz?
En este caso, el hecho de ser un observador no cuenta, pues desde antes de empezar el experimento sé que soy el observador; lo único por determinar es cuántos otros hay. ¿Problemas, inconsistencias? Si os parece bien –espero que si otros además de Juan Carlos estáis siguiendo esto, opinéis si veis algún fallo– modifico la descripción del experimento en el artículo para añadir ese detalle importante.
En el segundo caso, a mí también me pareció más lógica la elección de cruz. Sin embargo, una vez leídas sus explicaciones, Pedro, debo cambiar mi elección.
Es decir, yo empleé el método “de la cola del supermercado” (si me permite bautizarla así): “si yo estoy en una cola, hay más posibilidades de que ésta sea la más numerosa”, o a la inversa: “tengo más posibilidades de estar en la cola más numerosa (tanto más cuánto más numerosa sea)”. En este caso concreto, pues: “si estoy encerrado en una celda, hay más posibilidades de que haya salido cara (y hayan encerrado a 1000 personas y no a 10) - es decir, entre todas las personas, tengo más posibilidades de que me encierren si encierran a 1000 personas que a 10. Hasta aquí parece lógico.
Sin embargo, el número de celda hace decantar el argumento hasta su opuesto, como bien explica.
La cuestión está, pues, no en las posibilidades que hay de que me encierren (es un hecho), si no de que mi número sea el 7.
m,
No todo el mundo es capaz de ver eso, enhorabuena
claaaro, hay más probabilidades de que mi número sea el 7 en un grupo pequeño que en un grupo grande: 1 entre 10, que 1 entre 1000.
La que me sacó canas fue la tercera, pues no me pareció tan simple de determinar, porque habría que imaginarse a todos los corredores respondiendo primero con una opción y luego con la otra para saber cuantos fallarían y cuantos acertarían. Se demora uno más para sacar esa conclusión pues a la final uno siempre va a estar dentro del grupo de corredores, pero saber a “simple vista” cuál es más acertada, sería un genio que asimile todos los datos muy rapido. Pero al menos al final la entendí y con justa razón.
Sobre la Situación#1: Se sobreentiende que la “raza alienígena avanzada salva a un grupo de humanos” para mantener la continuidad del género humano. Y en consecuencia, por muy retorcidas que sean sus razones, han elegido los dos grupos formados por 990 mujeres y 10 hombres, con 100% de seguridad ,ya que es la forma óptima de maximizar la multiplicación de la especie…. Y esto con independencia de que el observador en este caso, un servidor, sea hombre. O sea que para los fines del artículo habría que cambiar la agrupación sexista por otra más superficial como, por ej., blancos y negros (con igualdad de sexos en cada grupo), con lo que la selección del observador coincidirá con la de su color, conclusión a la que llega por su propio peso racista…
@ Antonio,
Entiendo la pega, pero, aparte de las “propias y retorcidas razones” (que no tienen por qué ser mantener la continuidad de la especie) el texto dice explícitamente que lo han hecho “al azar”.
Si se me ocurre una división en la que todo el mundo caiga “de un lado” y que no sea problemática, lo cambio, pero las condiciones establecidas no permiten suponer que se trate de más mujeres como has hecho (salvo que ignores lo de “al azar”, en cuyo caso ya no es el ejemplo del texto).
¡Gracias!
Si en la situación #1 los alienígenas ejecutan a los que fallen, y todos eligen decir que están en el grupo de 990, se exterminaría a todo un sexo condenando a la especie humana. ¿Algunos se sacrificarían y tirarían una moneda para proteger la especie?
Bueno, acabo de entender la segunda. La tercera se me resiste. Una observación respecto a la primera. Se debería especificar que los alienígenas te eligen a ti para informarte AL AZAR, y tú lo sabes. Si no se especifica esto, creo que la situación no queda “redonda”, porque podrían elegirte porque eres mujer, por ejemplo, y entonces no hay ninguna posibilidad de saber nada respecto del grupo. A no ser que no haya entendido nada…
Escribe un comentario